Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=-3x^2+6x\). Vậy \(y'=0\) khi \(x=0\) hoặc \(x=2\).

+) Trên khoảng \((0;2)\), \(y'>0\) nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\), \(y'< 0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), giá trị cực tiểu \(y_{CT}=-4\). Hàm số đạt cực đại tại \(x=2\), giá trị cực đại \(y_{\text{CĐ}}=0\).

Giới hạn

\(\lim\limits_{x \to -\infty}y=\lim\limits_{x \to -\infty}x^3\left(-1+\displaystyle\frac{3}{x}-\displaystyle\frac{4}{x^3}\right)=+\infty\);

\(\lim\limits_{x \to +\infty}y=\lim\limits_{x \to +\infty}x^3\left(-1+\displaystyle\frac{3}{x}-\displaystyle\frac{4}{x^3}\right)=-\infty\).

Bảng biến thiên

Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm \((0;-4)\).

+) Ta có \(y=0\Leftrightarrow-x^3+3x^2-4=0\Leftrightarrow-(x-2)^2(x+1)=0\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=2\). Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \((-1;0)\) và \((2;0)\).

+) Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \((1;-2)\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=3 - 3 x^2\); \(y'=0 \Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=1\).

+) Trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\), \(y' > 0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

+) Trên khoảng \(\left(-1;1\right)\), \(y' < 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Cực trị:

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = -1\) và \(y_{\text{CT}} = -1\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\) và \(y_{\text{CĐ}} = 3\).

Các giới hạn:

\[\lim\limits_{x\to-\infty}y=\lim\limits_{x\to-\infty}x^3\left(-1 + \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^3}\right)=+\infty;\lim\limits_{x\to+\infty}y=\lim\limits_{x\to+\infty}x^3\left(-1 + \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^3}\right)=-\infty.\]

Bảng biến thiên:

Bảng giá trị:

Đồ thị:

+) Khi \(x = 0\) thì \(y = 1\) nên \(\left(0;1\right)\) là giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\).

Ta có \(\begin{aligned}[t]y=0 & \Leftrightarrow - x^3 + 3 x + 1=0\\ &\Leftrightarrow x\in \{x_1, x_2, x_3\}.\end{aligned}\)

+) Vậy đồ thị của hàm số giao với trục \(Ox\) tại ba điểm có hành độ \(x_1, x_2, x_3\).

Điểm \(\left(-1;-1\right)\) là điểm cực tiểu và điểm \(\left(1;3\right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left(0;1\right)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Giới hạn:

\(\lim\limits_{x\to -\infty}y=-\infty\);

\(\lim\limits_{x\to +\infty}y=+\infty\).

Đạo hàm: \(y'=3x^2+6x\); \(y'=0\Leftrightarrow3x^2+6x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=-2\).

Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\) và \((0;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), \(y_{\text{CĐ}}=0\);

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), \(y_{\text{CT}}=-4\).

Đồ thị:

+) Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;-4)\).

+) Ta có \(x^3+3x^2-4=0\Leftrightarrow x=1 \) hoặc \(x=-2\), do đó đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại hai điểm là \((1;0)\) và \((-2;0)\).

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm \((-3;-4)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I(-1;-2)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Giới hạn:

\(\lim\limits_{x\to -\infty}y=-\infty\);

\(\lim\limits_{x\to +\infty}y=+\infty\).

Đạo hàm: \(y'=3x^2+8x+4\); \(y'=0\Leftrightarrow3x^2+8x+4=0\Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{2}{3}\) hoặc \(x=-2\).

Bảng biến thiên

+) Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\) và \(\left(-\displaystyle\frac{2}{3};+\infty\right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left(-2;-\displaystyle\frac{2}{3}\right)\).

+) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), \(y_{\text{CĐ}}=0\); Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\displaystyle\frac{2}{3}\), \(y_{\text{CT}}=-\displaystyle\frac{32}{27}\).

Đồ thị:

+) Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;0)\).

+) Ta có \(x^3+4x^2+4x=0\Leftrightarrow x=0 \) hoặc \(x=-2\), do đó đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại hai điểm là \((0;0)\) và \((-2;0)\).

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm \((-3;-3)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I\left (-\displaystyle\frac{4}{3};-\displaystyle\frac{16}{27}\right )\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Giới hạn

+) \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(x^3-3 x^2+4\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left[x^3\left(1-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^3}\right)\right]=+\infty\);

+) \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}\left(x^3-3 x^2+4\right)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}\left[x^3\left(1-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^3}\right)\right]=-\infty\).

Đạo hàm: \(y'=3 x^2-6 x\);

\[y'=0 \Leftrightarrow 3x^2-6x=0 \Leftrightarrow x=0 \text { hoặc } x=2.\]

Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ; 0)\) và \((2 ;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((0 ; 2)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=0, f_{\text{CĐ}}=f(0)=4\); Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2, f_{\mathrm{CT}}=f(2)=0\).

Đồ thị

+) Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0 ; 4)\).

+) Ta có

\(x^3-3 x^2+4=0\) \(\Leftrightarrow (x-2)^2(x+1)=0\) \(\Leftrightarrow x=-1 \text { hoặc } x=2.\)

+) Do đó đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại hai điểm là \((-1 ; 0)\) và \((2 ; 0)\).

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm \((3 ; 4)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I(1 ; 2)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to -\infty} y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=+\infty\).

Đạo hàm: \(y^\prime =3x^2-6x\);

\(y^\prime =0 \Leftrightarrow 3x^2-6x=0 \Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2\).

Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;0)\) và \((2; +\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((0;2)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{\text{CĐ}}=2\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{\text{CT}}=-2\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathbb{R}\).

Giới hạn:

\(\lim\limits_{x \to+\infty} y=+\infty, \lim\limits_{x \to-\infty} y=-\infty\).

Đạo hàm: \(y'=3 x^2-6 x\)

\(y'=0 \Leftrightarrow 3 x^2-6 x=0 \Leftrightarrow x=0\, \text{hoặc}\, x=2.\)

Bảng biến thiên.

+) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty ; 0)\) và \((2 ;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((0 ; 2)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=0, y_{\text{CĐ}}=4\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2, y_{\mathrm{CT}}=0\).

Đồ thị.

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: \((0 ; 4)\).

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành.

Xét phương trình:

\begin{eqnarray*}x^{3}-3 x^{2}+4=0 &\Leftrightarrow&(x+1)(x-2)^{2}=0\\ &\Leftrightarrow& x=-1 \text { hoặc } x=2.\end{eqnarray*}

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại hai điểm \((-1 ; 0)\) và \((2 ; 0)\).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((-1 ; 0),(2 ; 0),(0 ; 4)\) và \((1 ; 2)\).

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

+) Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

+) Sự biến thiên

Đạo hàm \(y'=x^2-2x\); \(y'=0 \Leftrightarrow x=0;\, x=2.\)

Trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\), \(y'>0\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng \((0;2)\), \(y'< 0\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{\text{CĐ}}=4\) và đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{\text{CT}}=\displaystyle\frac{8}{3}\).

\(\lim\limits_{x\to -\infty} y=\lim\limits_{x\to -\infty} x^3 \left(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{4}{x^3}\right)=-\infty\); \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=\lim\limits_{x\to +\infty} x^3 \left(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{4}{x^3}\right)=+\infty\).

Bảng biến thiên

+) Đồ thị

Khi \(x=0\) thì \(y=4\) nên \((0;4)\) là giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\).

Điểm \((0;4)\) là điểm cực đâị và điểm \(\left(2;\displaystyle\frac{8}{3}\right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình bên. Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left(1;\displaystyle\frac{10}{3}\right)\).

b) Đồ thị hàm số trên có hai điểm cực trị là \(A(0;4)\), \(B\left(2;\displaystyle\frac{8}{3}\right)\).

Suy ra \(AB=\sqrt{2^2+\left(-\displaystyle\frac{4}{3}\right)^2}=\displaystyle\frac{2\sqrt{13}}{3}\).

Tâm xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=-3x^2+3\). Vậy \(y'=0\) khi \(x=\pm1\).

+) Trên khoảng \((-1;1)\), \(y'>0\) nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((1;+\infty)\), \(y'< 0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1\), giá trị cực tiểu \(y_{ct}=-1\). Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\), giá trị cực đại \(y_{\text{cđ}}=3\).

Giới hạn vô cực

\(\lim\limits_{x \to -\infty}y=\lim\limits_{x \to -\infty}x^3\left(-1+\displaystyle\frac{3}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}\right)=+\infty\); \(\lim\limits_{x \to +\infty}y=\lim\limits_{x \to +\infty}x^3\left(-1+\displaystyle\frac{3}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}\right)=-\infty\).

Bảng biến thiên

Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm \((0;1)\).

+) Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \((0;1)\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=6x^2-6x\).

\[y'=0\Leftrightarrow 6x^2-6x=0\Leftrightarrow x=0;\,x=1.\]

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((1;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((0;1)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{_\text{CĐ}}=1\); đạt cực tiểu tại \(x=1\), \(y_{_\text{CT}}=0\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=-3x^2+6x\).

\[y'=0\Leftrightarrow -3x^2+6x=0\Leftrightarrow x=0;\,x=2.\]

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\), đồng biến trên khoảng \((0;2)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), \(y_{_\text{CT}}=-1\); đạt cực đại tại \(x=2\), \(y_{_\text{CĐ}}=3\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=-3x^2+12x-9;y'=0\Leftrightarrow -3x^2+12x-9=0\Leftrightarrow x=1;\,x=3\).

\(\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}(-x^3+6x^2-9x+12)=\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}\left[x^3\left(-1+\displaystyle\frac{6}{x}-\displaystyle\frac{9}{x^2}+\displaystyle\frac{12}{x^3}\right)\right]=+\infty\).

\(\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}(-x^3+6x^2-9x+12)=\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}\left[x^3\left(-1+\displaystyle\frac{6}{x}-\displaystyle\frac{9}{x^2}+\displaystyle\frac{12}{x^3}\right)\right]=-\infty\).

Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên \(\left(1;3\right)\), hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;1\right)\) và \(\left(3;+\infty\right)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=3\), giá trị cực đại \(y=12\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\), giá trị cực tiểu \(y_{CT}=8\).

Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị hàm số \(y=-x^3+6x^2-9x+12\) với trục tung là \(\left(0; 12\right)\).

+) Đồ thị hàm số \(y=-x^3+6x^2-9x+12\) đi qua các điểm \(\left(1;8\right)\), \(\left(3;12\right)\), \(\left(4;8\right)\).

+) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(\left(2; 10\right)\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=3x^2+6x-1\).

Suy ra \(y'=0\) khi \(x=x_{cd}=\displaystyle\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}\) hoặc \(x=x_{ct}=\displaystyle\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}\).

+) Trên khoảng \((x_1;x_2)\), \(y'< 0\) nên hàm số nghịch biến. Trên các khoảng \((-\infty;x_1)\) và \((x_2;+\infty)\), \(y'>0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=x_1\), giá trị cực tiểu \(y_{cd}=\displaystyle\frac{18+6\sqrt{3}}{9}\). Hàm số đạt cực đại tại \(x=x_2\), giá trị cực đại \(y_{\text{ct}}=\displaystyle\frac{18-16\sqrt{3}}{9}\).

Giới hạn

\(\lim\limits_{x \to -\infty}y=-\infty\); \(\lim\limits_{x \to +\infty}y=+\infty\).

Bảng biến thiên

Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm \((0;-1)\).

+) Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \((-1;2)\).

Tập xác định \(\mathbb{R}\).

Giới hạn tại vô cực: \(\displaystyle\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} y=+\infty, \displaystyle\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} y=-\infty\).

\( y'= 6x^{2} + 2x -\displaystyle\frac{1}{2}\);

\(y'=0 \Leftrightarrow 6x^{2} + 2x -\displaystyle\frac{1}{2}=0 \Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{1}{2}\) và \(x=\displaystyle\frac{1}{6}\).

Bảng biến thiên.

Hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty; -\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) và \(\left(\displaystyle\frac{1}{6}; +\infty\right)\).

Hàm số nghịch biến trên \( \left(-\displaystyle\frac{1}{2}; \displaystyle\frac{1}{6}\right)\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}, y_{\text{CĐ}}=-\displaystyle\frac{11}{4}\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\displaystyle\frac{1}{6}, y_{\mathrm{CT}}=-\displaystyle\frac{329}{108}\).

Đồ thị.

Giao điểm của đồ thị với trục tung: \((0 ; -3)\).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left(\displaystyle\frac{1}{6}; -\displaystyle\frac{329}{108}\right),\left(-\displaystyle\frac{1}{2}; -\displaystyle\frac{11}{4}\right),(0 ; -3)\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=3(x-2)^2\).

\[y'=0\Leftrightarrow 3(x-2)^2=0\Leftrightarrow x=2\quad (\text{nghiệm kép}).\]

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên toàn \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=-3x^2+6x-3\).

\[y'=0\Leftrightarrow -3x^2+6x-3=0\Leftrightarrow x=1\quad (\text{nghiệm kép}).\]

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên toàn \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên toàn \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=-3x^2-3< 0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên toàn \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=3x^2-4x+2\). Vậy \(y'>0, \forall x\in\mathbb{R}\).

+) Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty; +\infty)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Giới hạn vô cực:

\(\lim\limits_{x \to -\infty}y=\lim\limits_{x \to -\infty}x^3\left(1-\displaystyle\frac{2}{x}+\displaystyle\frac{2}{x^2}-\displaystyle\frac{1}{x^3}\right)=-\infty\),

\(\lim\limits_{x \to +\infty}y=\lim\limits_{x \to +\infty}x^3\left(1-\displaystyle\frac{2}{x}+\displaystyle\frac{2}{x^2}-\displaystyle\frac{1}{x^3}\right)=+\infty\).

Bảng biến thiên

Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \((0;-1)\).

+) Ta có \(y=0\Leftrightarrow x^3-2x^2+2x-1=0\Leftrightarrow x=1\).

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \((1;0)\).

+) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(\left(\displaystyle\frac{2}{3};\displaystyle\frac{-7}{27}\right)\).

Tập xác định: \(\mathbb{R}\).

Giới hạn tại vô cực \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} y=+\infty, \displaystyle\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} y=+\infty\).

\( y'=3x^{2}+1\);

\(y'=0 \Leftrightarrow 3x^{2}+1>0,\,\, \forall x \in \mathbb{R}\).

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị.

Giao điểm của đồ thị với trục tung \((0 ; -2)\).

Giao điểm của đồ thị với trục hoành.

Xét phương trình

\(x^{3}+x-2=0 \Leftrightarrow x=1\).

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại điểm \((1; 0)\).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((1 ; 0),(0 ; -2)\) và \(\left(\displaystyle\frac{1}{2} ; -\displaystyle\frac{11}{8}\right)\).

Tập xác định: \(\mathbb{R}\) .

Đạo hàm \(y'=-3{x^2}- 3x-\frac{3}{2}\) . Do \(y' < 0\) trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left({-\infty;+\infty}\right)\) .

Hàm số đã cho không có cực trị.

Các giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to- \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } \left[ { - {x^3}\left({1 + \displaystyle\frac{3}{{2x}} + \displaystyle\frac{3}{{2{x^2}}}}\right)} \right] = + \infty;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \left[{- {x^3}\left({1 + \displaystyle\frac{3}{{2x}} + \displaystyle\frac{3}{{2{x^2}}}}\right)} \right] = - \infty .\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị của hàm số đi qua gốc toạ độ \(O\left({0;0}\right)\) và điểm \(\left({ - 1;1}\right)\) .

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn trên Hình 2. Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left({ - \displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{1}{2}}\right)\)

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to -\infty} y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=-\infty\).

Đạo hàm: \(y^\prime =-3x^2+6x-6\); \(y^\prime < 0 \) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

Bảng biến thiên

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;+\infty)\).

+ Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:

\(\bullet\) Giao điểm với trục tung: \((0;0)\).

\(\bullet\) Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((0;0)\), \((1;-4)\) và \((2;-8)\).

\(\bullet\) Đồ thị có tâm đối xứng là \(I(1;-4)\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Giới hạn

+) \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(-x^3-3 x^2-4 x-2\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left[x^3\left(-1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right)\right]=-\infty\);

+) \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}\left(-x^3-3 x^2-4 x-2\right)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}\left[x^3\left(-1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right)\right]=+\infty\).

Đạo hàm: \(y'=-3 x^2-6 x-4\); Phương trình \(y' = 0\) vô nghiệm.

Bảng biến thiên

+) Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

+) Hàm số không có cực trị.

Đồ thị

+) Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điếm \((0 ;-2)\). Ta có

\(-x^3-3 x^2-4 x-2=(x+1)\left(-x^2-2 x-2\right)=0 \Leftrightarrow x=-1.\)

+) Do đó đồ thị hàm số giao với trục \(O x\) tại điểm \((-1 ; 0)\).

+) Đổ thị hàm số đi qua điểm \((-2 ; 2)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I(-1 ; 0)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Giới hạn:

\(\lim\limits_{x\to -\infty}y=+\infty\);

\(\lim\limits_{x\to +\infty}y=-\infty\).

Đạo hàm: \(y'=-6x^2\); \(y'=0\Leftrightarrow -6x^2=0\Leftrightarrow x=0\).

Bảng biến thiên

+) Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

+) Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:

+) Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;2)\).

+) Ta có \(-2x^3+2=0\Leftrightarrow x=1 \), do đó đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \((1;0)\)

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm \((-1;4)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I(0;2)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Giới hạn:

\(\lim\limits_{x\to -\infty}y=+\infty\);

\(\lim\limits_{x\to +\infty}y=-\infty\).

Đạo hàm: \(y'=-3x^2-2x-1\); \(y'=0\Leftrightarrow -3x^2-2x-1=0\) vô nghiệm.

Bảng biến thiên

+) Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

+) Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:

+) Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;1)\).

+) Ta có \(-x^3-x^2-x+1=0\Leftrightarrow x=1 \), do đó đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \((1;0)\).

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm \((-1;2)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I\left (-\displaystyle\frac{1}{3};\displaystyle\frac{34}{27}\right )\).

Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus\{-1\}\).

Ta có: \(y^{\prime}=\displaystyle\frac{1}{(x+1)^{2}}>0\) với mọi \(x \neq -1\).

+) Hàm số đồng biến trên từng khoảng \((-\infty ; -1)\) và \((-1 ;+\infty)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận

\(\begin{aligned}&\lim _{x \rightarrow (-1)^{-}} y=\lim _{x \rightarrow (-1)^{-}} \displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=+\infty ; \lim _{x \rightarrow )(-1)^{+}} y=\lim _{x \rightarrow (-1)^{+}} \displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=-\infty;\\&\lim _{x \rightarrow+\infty} y=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=2 ; \lim _{x \rightarrow-\infty} y=\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=2.\end{aligned}\)

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=-1\), tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=2\).

Bảng biến thiên:

Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left(0 ;1\right)\).

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left(0;-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\).

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(-1 ; 2)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus\{1\}\).

Ta có: \(y^{\prime}=\displaystyle\frac{4}{(x-1)^{2}}>0\) với mọi \(x \neq -1\).

+) Hàm số đồng biến trên từng khoảng \((-\infty ; 1)\) và \((1 ;+\infty)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận

\(\begin{aligned}[t]&\lim _{x \rightarrow 1^{-}} y=\lim _{x \rightarrow (-1)^{-}} \displaystyle\frac{x+3}{-x+1}=+\infty ; \lim _{x \rightarrow 1^{+}} y=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \displaystyle\frac{x+3}{-x+1}=-\infty;\\&\lim _{x \rightarrow+\infty} y=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x+3}{-x+1}=-1 ; \lim _{x \rightarrow-\infty} y=\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{x+3}{-x+1}=-1.\end{aligned}\)

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=1\), tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=-1\).

Bảng biến thiên:

Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left(-3 ;0\right)\).

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \((0;3)\).

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(1 ; -1)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{2}{(x+1)^2}>0\) với mọi \(x\in\mathscr{D}\).

Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=1\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^-}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^+}y=-\infty\).

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y=1\) và tiệm cận đứng \(x=-1\).

Bảng biến thiên:

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{-2}{(x+1)^2}< 0\) với mọi \(x\in\mathscr{D}\).

Suy ra hàm số nghịch biến trên từng khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=-2\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^-}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^+}y=+\infty\).

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y=-2\) và tiệm cận đứng \(x=-1\).

Bảng biến thiên:

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định \(\mathbb{R} \backslash\{1\}\).

Giới hạn và tiệm cận:

+) Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận.

\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow 1^{-}} y=-\infty, \displaystyle\lim _{x \rightarrow 1^{+}} y=+\infty\). Do đó, đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} y=2, \displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} y=2\). Do đó, đường thẳng \(y=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) \(y^{\prime}=\displaystyle\frac{-3}{(x-1)^{2}}< 0\) với mọi \(x \neq 1\).

Bảng biến thiên.

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty ; 1)\) và \((1 ;+\infty)\).

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: \((0 ;-1)\).

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(\left(-\displaystyle\frac{1}{2} ; 0\right)\).

+) Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((0 ;-1),\left(-\displaystyle\frac{1}{2} ; 0\right)\), \((-2 ; 1),(2 ; 5),\left(\displaystyle\frac{5}{2} ; 4\right)\) và \((4 ; 3)\).

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

+) Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{1\}\).

+) Sự biến thiên

Đạo hàm \(y'=-\displaystyle\frac{3}{(x-1)^2}\). Vì \(y'< 0\) với mọi \(x\neq 1\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty;1)\) và \((1;+\infty)\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to -\infty} y=\lim\limits_{x\to -\infty} \displaystyle\frac{2x+1}{x-1}=2\); \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=\lim\limits_{x\to +\infty} \displaystyle\frac{2x+1}{x-1}=2\).

\(\Rightarrow\) Đường thẳng \(y=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Lại có \(\lim\limits_{x\to 1^{-}} y=\lim\limits_{x\to 1^{-}} \displaystyle\frac{2x+1}{x-1}=-\infty\); \(\lim\limits_{x\to 1^{+}} y=\lim\limits_{x\to 1^{+}} \displaystyle\frac{2x+1}{x-1}=+\infty\).

\(\Rightarrow\) Đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

+) Đồ thị

Đồ thị của hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \(\left(-\displaystyle\frac{1}{2};0\right)\), giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;-1)\).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình bên. Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I(1;2)\).

b) Ta có \(A(0;-1)\) và \(I(1;2)\).

Do điểm \(B\) đối xứng với \(A\) qua \(I\) nên \(I\) là trung điểm của đoạn \(AB\) \(\Rightarrow B(2;5)\).

Thay tọa độ \(B\) vào đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x+1}{x-1}\) ta có \(5=\displaystyle\frac{2\cdot 2+1}{2-1} \Leftrightarrow 5=5\) (đúng).

Vậy điểm \(B\) cũng thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Đạo hàm: \(y'=-\displaystyle\frac{1}{x^2}< 0\) với mọi \(x\in\mathscr{D}\).

Suy ra hàm số nghịch biến trên từng khoảng \((-\infty;0)\) và \((0;+\infty)\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=3\), \(\lim\limits_{x\to(0)^-}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to(0)^+}y=+\infty\).

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y=3\) và tiệm cận đứng \(x=0\).

Bảng biến thiên:

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

\(y'=\displaystyle\frac{-2}{(1-x)^2}< 0\) với mọi \(x\in\mathscr{D}\).

Suy ra hàm số nghịch biến trên từng khoảng \((-\infty;1)\) và \((1;+\infty)\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=-1\), \(\lim\limits_{x\to(1)^-}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to(1)^+}y=+\infty\).

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y=-1\) và tiệm cận đứng \(x=1\).

Bảng biến thiên:

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { - 1} \right\}\).

Đạo hàm \(y' = \displaystyle\frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}}\) . Vì \(y' > 0\) với mọi \(x \ne - 1\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left({ - \infty ; - 1}\right)\) và \(\left({ - 1; + \infty }\right)\) .

Tiệm cận:

Ta có \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } \displaystyle\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2; \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \displaystyle\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2\) .

Suy ra đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - {1^ - }} \displaystyle\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = + \infty ;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - {1^ + }} \displaystyle\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = - \infty \) .

Suy ra đường thẳng \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị của hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \(\left({\displaystyle\frac{1}{2};0}\right)\) , giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left({0; - 1}\right)\) .

Đồ thị của hàm số được biểu diễn trên Hình 3.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm \(I\left({ - 1;2}\right)\) . Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận \(x = - 1\) và \(y = 2\) .

Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { - \displaystyle\frac{3}{2}} \right\}\)

Đạo hàm \(y' = \displaystyle\frac{{ - 7}}{{{{(2x + 3)}^2}}}\) . Vì \(y' < 0\) với mọi \(x \ne - \displaystyle\frac{3}{2}\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left({ - \infty ; - \frac{3}{2}}\right)\) và \(\left({ - \frac{3}{2}; + \infty }\right)\)

Tiệm cận:

Ta có \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } \displaystyle\frac{{ - x + 2}}{{2x + 3}} = - \displaystyle\frac{1}{2};\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \displaystyle\frac{{ - x + 2}}{{2x + 3}} = - \displaystyle\frac{1}{2}\) .

Suy ra đường thẳng \(y = - \displaystyle\frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left({ - \frac{3}{2}}\right)}^ - }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left({ - \frac{3}{2}}\right)}^ - }} \displaystyle\frac{{ - x + 2}}{{2x + 3}} = - \infty ;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left({ - \frac{3}{2}}\right)}^ + }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left({ - \frac{3}{2}}\right)}^ + }} \displaystyle\frac{{ - x + 2}}{{2x + 3}} = + \infty \) .

Suy ra đường thẳng \(x = - \displaystyle\frac{3}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Đồ thị của hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \(\left({2;0}\right)\) , giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left({0;\displaystyle\frac{2}{3}}\right)\).

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm \(I\left({ - \displaystyle\frac{3}{2}; - \displaystyle\frac{1}{2}}\right)\).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận \(x = - \displaystyle\frac{3}{2}\) và \(y = - \displaystyle\frac{1}{2}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{2\}\).

Giới hạn và tiệm cận:

\(\lim\limits_{x\to \pm\infty} y=3\). Do đó đường thẳng \(y=3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x\to 2^{-}} y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to 2^{+}} y=+\infty\). Do đó đường thẳng \(x=2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đạo hàm: \(y^\prime =\displaystyle\frac{-4}{(x-2)^2}\); \(y^\prime < 0 \) với mọi \(x\ne 1\).

Bảng biến thiên

+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\).

+ Hàm số không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \left\{-\displaystyle\frac{3}{2}\right\}\).

Giới hạn và tiệm cận:

\(\lim\limits_{x\to \pm\infty} y=\displaystyle\frac{1}{2}\). Do đó đường thẳng \(y=-\displaystyle\frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x\to \left(-\tfrac{3}{2}\right)^{-}} y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to \left(-\tfrac{3}{2}\right)^{+}} y=-\infty\). Do đó đường thẳng \(x=-\displaystyle\frac{3}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Đạo hàm: \(y^\prime =\displaystyle\frac{3}{(2x+3)^2}\); \(y^\prime >0 \) với mọi \(x\ne -\displaystyle\frac{3}{2}\).

Bảng biến thiên

+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;\displaystyle\frac{-3}{2}\right)\) và \(\left(\displaystyle\frac{-3}{2};+\infty\right)\).

+ Hàm số không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Giới hạn, tiệm cận

+) \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow 2^+}\displaystyle\frac{-x + 1}{x - 2}=-\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^-} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow 2^-}\displaystyle\frac{-x + 1}{x - 2}= +\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x = 2\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

+) \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\displaystyle\frac{-x + 1}{x - 2}=-1; \lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}\displaystyle\frac{-x + 1}{x - 2}=-1\).

Suy ra đường thẳng \(y = -1\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{1}{(x - 2)^2}> 0, \forall x \in \mathscr{D}\); \(y'\) không xác định tại \(x = 2\).

Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ; 2)\) và \((2 ;+\infty)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Đồ thị

+) Vẽ các đường tiệm cận \(x = 2\) và \(y = -1\).

+) Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0 ; -\displaystyle\frac{1}{2})\) và giao với trục \(Ox\) tại điểm \((1 ; 0)\).

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm \((3 ;-2)\), nhận giao điểm \(I(2 ;-1)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{8}{(2x+4)^2}>0, \forall x\ne -2\).

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(-2;+\infty\right)\).

Giới hạn và tiệm cận.

+) \(\lim\limits_{x \to {-2^-}}y=+\infty; \lim\limits_{x \to {-2^+}}y=-\infty\).

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=-2\).

+) \(\lim\limits_{x \to \pm \infty}y=-1\). Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y=-1\).

Bảng biến thiên:

Đồ thị

+) Vẽ các đường tiệm cận \(x=-2\) và \(y=-1\).

+) Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left(\displaystyle\frac{1}{2};0\right)\) và giao với trục \(Ox\) tại điểm \(\left(0;\displaystyle\frac{1}{4}\right)\).

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left(-2;-1\right)\) của hai đường tiệp cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{3}{(x+1)^2}>0\) với mọi \(x\) khác \(-1\).

+) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(-1;+\infty\right)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Giới hạn

\(\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{2x-1}{x+1}=2;\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{2x-1}{x+1}=2\).

\(\underset{x\to -1^{-}}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to -1^{-}}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{2x-1}{x+1}=+\infty;\underset{x\to -1^{+}}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to -1^{+}}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{2x-1}{x+1}=-\infty\).

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x=-1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y=2\) làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên

Đồ thị.

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(\left(0;-1\right)\).

\(y=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{2x-1}{x+1}=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1}{2}\).

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left(\displaystyle\frac{1}{2};0\right)\).

+) Đồ thị hàm số nhận \(I\left(-1; 2\right)\) làm tâm đối xứng.

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Giới hạn, tiệm cận:

\(\lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{3x+6}{2-x}=-\infty ; \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \displaystyle\frac{3x+6}{2-x}=+\infty.\)

Suy ra đường thẳng \(x=2\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

\(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3x+6}{2-x}=-3 ; \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{3x+6}{2-x}=-3.\)

Suy ra đường thẳng \(y=-3\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có \(y^{\prime}=\displaystyle\frac{12}{(2-x)^2}>0, \forall x \in \mathscr{D} ; y^{\prime}\) không xác định tại \(x=2\).

Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ; 2)\) và \((2 ;+\infty)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:

+) Vẽ các đường tiệm cận \(x=2\) và \(y=-3\).

+) Đồ thị hàm số giao với trục \(O y\) tại điểm \((0 ;3)\) và giao với trục \(O x\) tại điểm \((-2 ; 0)\).

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm \((6 ;-6)\), nhận giao điểm \(I(2 ;-3)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số được cho như hình bên dưới.

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\displaystyle\frac{1}{2} \right\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{5}{(2x+1)^2}>0, \forall x\ne -\displaystyle\frac{1}{2}\).

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) và \(\left(-\displaystyle\frac{1}{2};+\infty\right)\).

Giới hạn và tiệm cận.

+) \(\lim\limits_{x \to {-\tfrac{1}{2}^-}}y=+\infty; \lim\limits_{x \to {-\tfrac{1}{2}^+}}y=-\infty\). Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

+) \(\lim\limits_{x \to \pm \infty}y=\displaystyle\frac{1}{2}\). Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Bảng biến thiên

Đồ thị

+) Vẽ các đường tiệm cận \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\) và \(y=\displaystyle\frac{1}{2}\).

+) Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;-2)\) và giao với trục \(Ox\) tại điểm \((2;0)\).

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left(-\displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) của hai đường tiệp cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(2x-3)(x-1)-(x^2-3x+6)}{(x-1)^2}=\displaystyle\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}\).

\[y'=0\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\Leftrightarrow x=-1;\,x=3.\]

Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=x-2+\displaystyle\frac{4}{x-1}\).

+) \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

+) \(\lim\limits_{x\to1^-}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to1^+}y=+\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=1\).

+) \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(x-2)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{4}{x-1}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=x-2\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-1;1)\), \((3;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\), \((1;3)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), \(y_{_\text{CĐ}}=-5\); đạt cực tiểu tại \(x=3\), \(y_{_\text{CT}}=3\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(-2x+2)(x-2)-(-x^2+2x-4)}{(x-2)^2}=\displaystyle\frac{-x^2+4x}{(x-2)^2}\).

\[y'=0\Leftrightarrow -x^2+4x=0\Leftrightarrow x=0;\,x=4.\]

Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=-x-\displaystyle\frac{4}{x-2}\).

+) \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).

+) \(\lim\limits_{x\to2^-}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to2^+}y=-\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=2\).

+) \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(-x)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{-4}{x-2}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=-x\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((0;2)\), \((4;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;0)\), \((2;4)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), \(y_{_\text{CT}}=2\); đạt cực đại tại \(x=4\), \(y_{_\text{CĐ}}=-6\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

+) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

+) Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{1\}\).

+) Sự biến thiên

Ta có \(y=x+5+\displaystyle\frac{4}{x-1} \Rightarrow y'=\displaystyle\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}\);

Xét \(y'=0 \Leftrightarrow x^2-2x-3=0 \Leftrightarrow x=-1;\, x=3.\)

Trên khoảng \((-\infty;-1)\) và \((3;+\infty)\), \(y'>0\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng \((-1;1)\) và \((1;3)\), \(y'< 0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), \(y_{\text{CĐ}}=2\) và đạt cực tiểu tại \(x=3\), \(y_{\text{CT}}=10\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to -\infty} y=\lim\limits_{x\to -\infty} \displaystyle\frac{x^2+4x-1}{x-1}=-\infty\); \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=\lim\limits_{x\to +\infty} \displaystyle\frac{x^2+4x-1}{x-1}=+\infty\).

Lại có \(\lim\limits_{x\to -\infty} \left[\displaystyle\frac{x^2+4x-1}{x-1}-(x+5)\right]=\lim\limits_{x\to -\infty} \displaystyle\frac{4}{x-1}=0\).

\(\lim\limits_{x\to +\infty} \left[\displaystyle\frac{x^2+4x-1}{x-1}-(x+5)\right]=\lim\limits_{x\to +\infty} \displaystyle\frac{4}{x-1}=0\).

\(\Rightarrow\) Đường thẳng \(y=x+5\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Mặt khác \(\lim\limits_{x\to 1^{-}} y=\lim\limits_{x\to 1^{-}} \displaystyle\frac{x^2+4x-1}{x-1}=-\infty\); \(\lim\limits_{x\to 1^{+}} y=\lim\limits_{x\to 1^{+}} \displaystyle\frac{x^2+4x-1}{x-1}=+\infty\).

\(\Rightarrow\) Đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

+) Đồ thị

Ta có \(y=0 \Leftrightarrow x^2+4x-1=0 \Leftrightarrow x=-2\pm\sqrt{5}\).

Vậy đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \(\left(-2-\sqrt{5};0\right)\) và điểm \(\left(-2+\sqrt{5};0\right)\).

Đồ thị giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;1)\).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình bên. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm \(I(1;6)\).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận \(x=1\) và \(y=x+5\).

+) Ta có bảng biến thiên của hàm số trên trên đoạn \([2;4]\)

Vậy \(\max\limits_{x\in [2;4]} y=y(2)=11\) và \(\min\limits_{x\in [2;4]} y=y(3)=10\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\displaystyle\frac{1}{2}\right\}\).

Đạo hàm: \(y'=2-\displaystyle\frac{2}{(1-2x)^2}\).

\[y'=0\Leftrightarrow 2-\displaystyle\frac{2}{(1-2x)^2}=0\Leftrightarrow x=0;\,x=1.\]

Giới hạn: Ta có

+) \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

+) \(\lim\limits_{x\to \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^-}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^+}y=+\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=\displaystyle\frac{1}{2}\).

+) \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(2x)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{-1}{1-2x}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=2x\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\), \((1;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{1}{2}\right)\), \(\left(\displaystyle\frac{1}{2};1\right)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\), \(y_{_\text{CT}}=3\); đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{_\text{CĐ}}=-1\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(2x-2)(x-1)-(x^2-2x+2)}{(x-1)^2}=\displaystyle\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\).

\[y'=0\Leftrightarrow x^2-2x=0\Leftrightarrow x=0;\,x=2.\]

Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=x-1+\displaystyle\frac{1}{x-1}\).

+) \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

+) \(\lim\limits_{x\to1^-}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to1^+}y=+\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=1\).

+) \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(x-1)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{1}{x-1}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=x-2\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\), \((2;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((0;-1)\), \((1;2)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{_\text{CĐ}}=-2\); đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{_\text{CT}}=2\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{-x^2+3x+1}{x+2}\)

Tập xác định: \(\mathbb{R} \backslash\{-2\}\).

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng \(y= -x+5 -\displaystyle\frac{9}{x+2}\).

\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} y= -\infty, \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} y= +\infty\).

\(\lim\limits_{x \rightarrow (-2)^{-}} y= +\infty, \lim\limits_{x \rightarrow (-2)^{+}} y= -\infty\).\\Do đó, đường thẳng \(x=-2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[y - (-x+5)]=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{-9}{x+2}=0, \lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[y - (-x+5)]=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{-9}{x+2}=0\).

Do đó, đường thẳng \(y= -x+5 \) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-x^2-4x+5}{(x+2)^2}\). Ta có \(y'=0 \Leftrightarrow x=-5\) hoặc \(x=1\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-5;-2)\), \((-2;1)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-5)\), \((1;+\infty)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-5\), \(y_{_\text{CT}}=13\); đạt cực đại tại \(x=1\), \(y_{_\text{CĐ}}=1\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

b) Tìm tọa độ trung điểm nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Có nhận xét gì về điểm này?

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-5\), \(y_{_\text{CT}}=13\); đạt cực đại tại \(x=1\), \(y_{_\text{CĐ}}=1\). Do đó trung điểm nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(I(-2;7)\). Đây cũng là tọa độ giao điểm của đường tiệm cận đứng và đương tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 1 \right\}\)

Đạo hàm \(y' = \displaystyle\frac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x - 1)}^2}}}\) .

Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\) .

Trên các khoảng \(\left({ - \infty ;0}\right)\) và \(\left({2; + \infty }\right),y' > 0\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng \(\left({0;1}\right)\) và \( \left({1;2}\right),y' < 0 \) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và \({y_{CT}} = 6\) .

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CĐ}} = 2\) .

Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } \displaystyle\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = - \infty ;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \displaystyle\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = + \infty \)

Ta có:

\(a = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \displaystyle\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{{x^2} - x}} = 1\) và \(b = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \left({\displaystyle\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} - x}\right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \displaystyle\frac{{3x - 2}}{{x - 1}} = 3\) .

Suy ra đường thẳng \(y = x + 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ - }} \displaystyle\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = - \infty ;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1 + } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1 + } \displaystyle\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = + \infty \) .

Suy ra đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Ta có \(y=0\Leftrightarrow x^2+2x-2=0\Leftrightarrow x=-1+\sqrt{3}\) hoặc \(x=-1-\sqrt{3}\).

Vậy đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \((-1+\sqrt{3}; 0)\) và điểm \((-1-\sqrt{3}; 0)\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0; 2)\).

Đồ thị hàm số được biểu diễn trên Hình 5.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm \(I(1; 4)\).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận \(x=1\) và \(y=x+3\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}\).

Ta viết hàm số dưới dạng \(y=x+2+\displaystyle\frac{4}{x}\).

Giới hạn và tiệm cận:

+) \(\lim\limits_{x\to -\infty} y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to 0^{-}} y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to 0^{+}} y=+\infty\).

Do đó đường thẳng \(x=0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) \(\lim\limits_{x\to -\infty} [y-(x+2)]=0\), \(\lim\limits_{x\to + \infty} [y-(x+2)]=0\).

Do đó đường thẳng \(y=x+2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Đạo hàm: \(y^\prime =\displaystyle\frac{x^2-4}{x^2}\);

\(y^\prime =0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x^2-4}{x^2}=0\Leftrightarrow \) \(x=\pm 2\).

Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\), hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(-2;0\right)\) và \(\left(0;2\right)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), \(y_{\text{CĐ}}=-2\), hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{\text{CT}}=6\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash \{-2\}\).

Giới hạn, tiệm cận:

Ta có: \(y=\displaystyle\frac{x^2+4x+5}{x+2}=x+2+\displaystyle\frac{1}{x+2}\);

\(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to +\infty} \left(x+2+\displaystyle\frac{1}{x+2}\right)=+\infty\); \(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -\infty} \left(x+2+\displaystyle\frac{1}{x+2}\right)=-\infty\).

Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \to -2^+} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -2^+} \displaystyle\frac{x^2+4x+5}{x+2}=+\infty\); \(\displaystyle\lim _{x \to -2^-} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -2^-} \displaystyle\frac{x^2+4x+5}{x+2}=-\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=-2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

\(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} \left[f(x)-(x+2)\right]=\displaystyle\lim _{x \to +\infty} \displaystyle\frac{1}{x+2}=0\); \(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} \left[f(x)-(x+2)\right]=\displaystyle\lim _{x \to -\infty} \displaystyle\frac{1}{x+2}=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=x+2\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bảng biến thiên:

Ta có: \(y^{\prime}=1-\displaystyle\frac{1}{(x+2)^2}=\displaystyle\frac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}\);

\(y^{\prime}=0\Leftrightarrow x=-3\) hoặc \(x=-1\).

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-3)\) và \((-1;+\infty)\);

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-3;-2)\) và \((-2;-1)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-3,\, f_{\text{CĐ}}=f(-3)=-2\);

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=-1,\, f_{\text{CT}}=f(-1)=2\).

Đồ thị:

Vẽ các đường tiệm cận \(x=-2\) và \(y=x+2\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left(0;\displaystyle\frac{5}{2}\right)\) và không giao với trục \(Ox\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(-1;2)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xưng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó là trục đối xứng.

Tập xác định: \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Gới hạn, tiệm cận:

Ta có:

\(\begin{aligned}&y=\displaystyle\frac{2 x^2-x+1}{1-x}=-2 x-1+\frac{2}{1-x};\\&\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-2 x-1+\displaystyle\frac{2}{1-x}\right)=-\infty;\\&\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(-2 x-1+\displaystyle\frac{2}{1-x}\right)=+\infty.\end{aligned}\)

Ta có:

\(\begin{aligned}&\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1^+}\displaystyle\frac{2 x^2-x+1}{1-x}=+\infty;\\&\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1^-}\displaystyle\frac{2 x^2-x+1}{1-x}=-\infty.\end{aligned}\)

Suy ra đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-\left(-2 x-1\right)\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{2}{1-x}=0\);\(\lim\limits_{x\to-\infty}\left[f(x)-\left(-2 x-1\right)\right]=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{2}{1-x}=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=-2 x-1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{-2 x^2+4 x}{\left(1-x\right)^2}\);

\(y'=0 \Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;0\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\);

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(0;1\right)\) và \(\left(2;1\right)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\) và \(y_{\text{CT}}=1\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=2\) và \(y_{\text{CĐ}}=-7\).

Đồ thị:

+) Vẽ các đường tiệm cận \(x=1\) và \(y=-2 x-1\).

+) Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left(0;1\right)\) và không giao trục \(Ox\).

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left(1;-3\right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Tập xác định: \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Gới hạn, tiệm cận:

Ta có:

\(\begin{aligned}&y=\displaystyle\frac{x^2+2 x+2}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1};\\&\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x+1+\displaystyle\frac{1}{x+1}\right)=+\infty;\\&\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x+1+\displaystyle\frac{1}{x+1}\right)=-\infty.\end{aligned}\)

Ta có:

\(\begin{aligned}&\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to-1^+}\displaystyle\frac{x^2+2 x+2}{x+1}=+\infty;\\&\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to-1^-}\displaystyle\frac{x^2+2 x+2}{x+1}=-\infty.\end{aligned}\)

Suy ra đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-\left(x+1\right)\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x+1}=0\);\(\lim\limits_{x\to-\infty}\left[f(x)-\left(x+1\right)\right]=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{x+1}=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=x+1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{x^2+2 x}{\left(x+1\right)^2}\);

\(y'=0 \Leftrightarrow x=-2\) hoặc \(x=0\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(0;+\infty\right)\);

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(-2;-1\right)\) và \(\left(0;-1\right)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\) và \(y_{\text{CĐ}}=-2\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\) và \(y_{\text{CT}}=2\).

Đồ thị:

+) Vẽ các đường tiệm cận \(x=-1\) và \(y=x+1\).

+) Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left(0;2\right)\) và không giao trục \(Ox\).

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left(-1;0\right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus\{1\}\).

Viết \(y=2x+1+\displaystyle\frac{5}{x-1}\), ta có \(y^{\prime}=2-\displaystyle\frac{5}{(x-1)^{2}}\) với mọi \(x \neq-1\).

Suy ra

\[y'=0\Leftrightarrow x=1\pm \displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2}.\]

+) Trên các khoảng \(\left(-\infty;1-\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2}\right)\) và \(\left(1+\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2};+\infty\right)\) thì \(y'>0\) nên hàm số đồng biến trên các khoảng này.

+) Trên các khoảng \(\left(1-\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2};1\right)\) và \(\left(1;1+\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2}\right)\) thì \(y'< 0\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng này.

+) Đồ thị hàm số có điểm cực đại là \((x_{\text{cđ}};y_{\text{cđ}})=\left(1-\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2};3-2\sqrt{10}\right)\) và điểm cực tiểu là \((x_{\text{ct}},y_{\text{ct}})=\left(1+\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2}; 3+2\sqrt{10}\right)\).

Tiệm cận:

\(\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} y=-\infty\); \(\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} y=+\infty\).

\(\lim\limits _{x \rightarrow 1^{-}} y=-\infty;\) \(\lim\limits _{x \rightarrow 1^{+}} y=+\infty;\)

\(\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}[y-(2x+1)]= \lim\limits _{x \rightarrow-\infty}[y-(2x+1)]=0.\)

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=1\), tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=2x+1\).

Bảng biến thiên

Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \((0 ;-4)\).

+) Ta có \(y=0 \Leftrightarrow 2x^{2}-x+4=0\). Phương trình này vô nghiệm nên đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(1;3)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\{-3\}\).

Viết \(y=x-1+\displaystyle\frac{4}{x+3}\), ta có \(y^{\prime}=1-\displaystyle\frac{4}{(x+3)^{2}}\) với mọi \(x \neq -3\).

Suy ra \( y'=0\Leftrightarrow x=-5\) hoặc \(x=-1\).

+) Trên các khoảng \(\left(-\infty;-5\right)\) và \(\left(-1;+\infty\right)\) thì \(y'>0\) nên hàm số đồng biến trên các khoảng này.

+) Trên các khoảng \(\left(-5;-3\right)\) và \(\left(-3;-1\right)\) thì \(y'< 0\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng này.

+) Đồ thị hàm số có điểm cực đại là \((x_{\text{cđ}};y_{\text{cđ}})=\left(-5;-8\right)\) và điểm cực tiểu là \((x_{\text{ct}},y_{\text{ct}})=\left(-1; 0\right)\).

Tiệm cận:

\(\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} y=-\infty\); \(\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} y=+\infty\).

\(\lim\limits _{x \rightarrow (-3)^{-}} y=-\infty ; \lim\limits _{x \rightarrow (-3)^{+}} y=+\infty\);

\(\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}[y-(x-1)]= \lim\limits _{x \rightarrow-\infty}[y-(x-1)]=0.\)

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=1\), tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x-1\).

Bảng biến thiên

Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left(0;\displaystyle\frac{1}{3}\right)\).

+) Ta có \(y=0 \Leftrightarrow x^2+2x+1=0 \Leftrightarrow x=-1.\)

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \((0,-1)\).

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(-3;-4)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Viết \(y=x+1+\displaystyle\frac{1}{x-2}\).

Ta có: \(y^{\prime}=1-\displaystyle\frac{1}{(x-2)^{2}}=\displaystyle\frac{x^{2}-4 x+3}{(x-2)^{2}}\).

Suy ra \(y^{\prime}=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x^{2}-4 x+3}{(x-2)^{2}}=0 \Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=3\).

+) Trên các khoảng \((-\infty ; 1)\) và \((3 ;+\infty), y^{\prime}>0\) nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.

+) Trên các khoảng \((1 ; 2)\) và \((2 ; 3), y^{\prime}< 0\) nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\) với \(y_{C D}=1\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\) với \(y_{C T}=5\).

Tiệm cận

\(\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} y=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{x^{2}-x-1}{x-2}=\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{x-1-\displaystyle\frac{1}{x}}{1-\displaystyle\frac{2}{x}}=-\infty\);

\(\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x^{2}-x-1}{x-2}=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x-1-\displaystyle\frac{1}{x}}{1-\displaystyle\frac{2}{x}}=+\infty\).

\(\lim\limits _{x \rightarrow 2^{-}} y=\lim\limits _{x \rightarrow 2^{-}}\left(x+1+\displaystyle\frac{1}{x-2}\right)=-\infty;\) \(\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} y=\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}}\left(x+1+\displaystyle\frac{1}{x-2}\right)=+\infty;\)

\(\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}[y-(x+1)]=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{1}{x-2}=0 ; \lim\limits _{x \rightarrow-\infty}[y-(x+1)]=\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{1}{x-2}=0.\)

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=2\), tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x+1\).

Bảng biến thiên

Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left(0 ; \displaystyle\frac{1}{2}\right)\).

+) Ta có \(y=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x^{2}-x-1}{x-2}=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\). Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \(\left(\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{2} ; 0\right)\) và \(\left(\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2} ; 0\right)\).

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(2 ; 3)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus\{-1\}\).

Viết \(y=x-\displaystyle\frac{2}{x+1}\), ta có \(y^{\prime}=1+\displaystyle\frac{2}{(x+1)^{2}}>0\) với mọi \(x \neq-1\).

+) Hàm số đồng biến trên từng khoảng \((-\infty ;-1)\) và \((-1 ;+\infty)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận:

\(\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} y=\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{x^{2}+x-2}{x+1}=\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{x+1-\displaystyle\frac{2}{x}}{1+\displaystyle\frac{1}{x}}=-\infty\);\\ \(\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} y=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x^{2}+x-2}{x+1}=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x+1-\displaystyle\frac{2}{x}}{1+\displaystyle\frac{1}{x}}=+\infty\).

\(\lim\limits _{x \rightarrow-1^{-}} y=\lim\limits _{x \rightarrow-1^{-}}\left(x-\displaystyle\frac{2}{x+1}\right)=+\infty\); \(\lim\limits _{x \rightarrow-1^{+}} y=\lim\limits _{x \rightarrow-1^{+}}\left(x-\displaystyle\frac{2}{x+1}\right)=-\infty;\)

\(\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}[y-x]=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}\left(-\displaystyle\frac{2}{x+1}\right)=0 ; \lim\limits _{x \rightarrow-\infty}[y-x]=\lim\limits _{x \rightarrow-\infty}\left(-\displaystyle\frac{2}{x+1}\right)=0.\)

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=-1\), tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x\).

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \((0 ;-2)\).

+) Ta có \(y=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x^{2}+x-2}{x+1}=0 \Leftrightarrow x=-2\) hoặc \(x=1\).

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \((-2 ; 0)\) và \((1 ; 0)\).

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(-1 ;-1)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \backslash\{2\}\).

Giới hạn, tiệm cận:

\(\lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \left(2 x+\displaystyle\frac{3}{2-x}\right) =-\infty ; \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \left(2 x+\displaystyle\frac{3}{2-x}\right)=+\infty.\)

Suy ra đường thẳng \(x=2\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

\(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3}{2-x}=0 ; \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{3}{2-x}=0.\)

Suy ra đường thẳng \(y=2x\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có \(y'=2+\displaystyle\frac{3}{(2-x)^2}>0, \forall x \in \mathscr{D}\); \(y'\) không xác định tại \(x=2\).

Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ; 2)\) và \((2 ;+\infty)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:

+) Vẽ các đường tiệm cận \(x=2\) và \(y=2x\).

+) Đồ thị hàm số giao với trục \(O y\) tại điểm \(\left(0 ;\displaystyle\frac{3}{2}\right) \) và giao với trục \(O x\) tại điểm \(\left(\displaystyle\frac{2+\sqrt{10}}{2} ; 0\right) \) và \(\left(\displaystyle\frac{2-\sqrt{10}}{2} ; 0\right) \)

+) Đồ thị nhận giao điểm \(I(2 ;4)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số được cho như hình bên dưới.

Tập xác định: \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Gới hạn, tiệm cận:

Ta có:

\(\begin{aligned}[t]&y=\displaystyle\frac{x^2-2 x-3}{x-2}=x-\frac{3}{x-2};\\&\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x-\displaystyle\frac{3}{x-2}\right)=+\infty;\\&\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x-\displaystyle\frac{3}{x-2}\right)=-\infty.\end{aligned}\)

Ta có:

\(\lim\limits_{x\to2^+}f(x)=\lim\limits_{x\to2^+}\displaystyle\frac{x^2-2 x-3}{x-2}=+\infty\); \(\lim\limits_{x\to2^-}f(x)=\lim\limits_{x\to2^-}\displaystyle\frac{x^2-2 x-3}{x-2}=-\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-(x)\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}-\frac{3}{x-2}=0\);

\(\lim\limits_{x\to-\infty}\left[f(x)-(x)\right]=\lim\limits_{x\to-\infty}-\frac{3}{x-2}=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{x^2-4 x+7}{\left(x-2\right)^2}\);

Phương trình \(y'=0\) vô nghiệm, \(y'\) không xác định tại \(x=2\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;2\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

+) Vẽ các đường tiệm cận \(x=2\) và \(y=x\).

+) Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left(0;\frac{3}{2}\right)\) và giao với trục \(Ox\) tại \(\left(-1;0\right)\) và \(\left(3; 0\right)\).

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left(2;2\right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus \{1\}\).

Đạo hàm: \(y=\displaystyle\frac{x^2-2x}{x-1}=x-1-\displaystyle\frac{1}{x-1}\).

\(y'=\displaystyle\frac{(2x-2)(x-1)-(x^2-2x)}{(x-1)^2}=\displaystyle\frac{x^2-2x+2}{(x-1)^2}=\displaystyle\frac{(x-1)^2+1}{(x-1)^2}>0\) với mọi \(x\) khác \(1\).

Do đó, hàm số đồng biến trong khoảng \(\left(-\infty;1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn

\(\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{x^2-2x}{x-1}=+\infty;\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{x^2-2x}{x-1}=-\infty\).

\(\underset{x\to{1^{-}}}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to{1^{-}}}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{x^2-2x}{x-1}=+\infty;\underset{x\to{1^{+}}}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to{1^{+}}}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{x^2-2x}{x-1}=-\infty\).

\(\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}[y-(x-1)]=\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}\left(x-1-\displaystyle\frac{1}{x-1}-(x-1)\right)=\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}-\displaystyle\frac{1}{x-1}=0\).

\(\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}[y-(x-1)]=\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}\left(x-1-\displaystyle\frac{1}{x-1}-(x-1)\right)=\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}-\displaystyle\frac{1}{x-1}=0\).

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x=1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y=x-1\) làm tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên

Đồ thị.

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(\left(0;0\right)\).

\(y=0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x^2-2x}{x-1}=0\Leftrightarrow x=0 ;\,x=2\).

+) Đồ thị hàm số giao với \(Ox\) tại các điểm \(\left(0;0\right)\) và \(\left(2;0\right)\).

+) Đồ thị hàm số nhận \(I\left(1; 0\right)\) làm tâm đối xứng.

Tập xác định: \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Gới hạn, tiệm cận:

Ta có:

\(\begin{aligned}&y=-x-1+\frac{1}{x+1};\\&\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-x-1+\displaystyle\frac{1}{x+1}\right)=-\infty;\\&\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(-x-1+\displaystyle\frac{1}{x+1}\right)=+\infty.\end{aligned}\)

Ta có:

\(\begin{aligned}&\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to-1^+}\displaystyle\frac{-x^2-2 x}{x+1}=+\infty;\\&\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to-1^-}\displaystyle\frac{-x^2-2 x}{x+1}=-\infty.\end{aligned}\)

Suy ra đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-\left(-x-1\right)\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x+1}=0\);\(\lim\limits_{x\to-\infty}\left[f(x)-\left(-x-1\right)\right]=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{x+1}=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=-x-1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{-x^2-2 x-2}{\left(x+1\right)^2}\);

Phương trình \(y'=0\) vô nghiệm, \(y'\) không xác định tại \(x=-1\).

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(-1;+\infty\right)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

+) Vẽ các đường tiệm cận \(x=-1\) và \(y=-x-1\).

+) Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left(0;0\right)\) và giao với trục \(Ox\) tại \(\left(-2;0\right)\) và \(\left(0; 0\right)\).

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left(-1;0\right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \left\{-2\right\}\).

Ta viết hàm số dưới dạng \(y=x+2-\displaystyle\frac{1}{x+2}\).

Giới hạn và tiệm cận:

+) \(\lim\limits_{x\to -\infty} y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to -2^{-}} y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to -2^{+}} y=-\infty\).

Do đó đường thẳng \(x=-2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) \(\lim\limits_{x\to -\infty} [y-(x+2)]=0\), \(\lim\limits_{x\to + \infty} [y-(x+2)]=0\).

Do đó đường thẳng \(y=x+2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Đạo hàm: \(y^\prime =\displaystyle\frac{x^2+4x+5}{(x+2)^2}\); Suy ra \(y^\prime >0\) với mọi \(x \ne -2\).

Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(-2;+\infty\right)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

+) Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash \{-1\}\).

+) Giới hạn, tiệm cận:

Ta có: \(y=\displaystyle\frac{-x^2-x+2}{x+1}=-x+\displaystyle\frac{2}{x+1}\);

\(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to +\infty} \left(-x+\displaystyle\frac{2}{x+1}\right)=-\infty\); \(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -\infty} \left(-x+\displaystyle\frac{2}{x+1}\right)=+\infty\).

Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \to -1^+} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -1^+} \displaystyle\frac{-x^2-x+2}{x+1}=+\infty\); \(\displaystyle\lim _{x \to -1^-} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -1^-} \displaystyle\frac{-x^2-x+2}{x+1}=-\infty\).

Suy ra đường thẳng \(y=-x\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

\(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} [f(x)-(-x)]=\displaystyle\lim _{x \to +\infty} \displaystyle\frac{2}{x+1}=0\); \(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} [f(x)-(-x)]=\displaystyle\lim _{x \to -\infty} \displaystyle\frac{2}{x+1}=0\).

Suy ra đường thẳng \(x=-1\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

+) Bảng biến thiên:

Ta có \(y^{\prime}=-1-\displaystyle\frac{2}{(x+1)^2}=\displaystyle\frac{-x^2-2x-3}{(x+1)^2}\).

Phương trình \(y^{\prime}=0\) vô nghiệm, \(y^{\prime}\) không xác định tại \(x=-1\).

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:

Vẽ các đường tiệm cận \(x=-1\) và \(y=-x\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại \((0;2)\) và giao với trục \(Ox\) tại \((-2;0)\) và \((1;0)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(-1;1)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \setminus\{-2\}\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{-x^2-4x-10}{(x+2)^2}\). Vì \(y' < 0\) với mọi \(x \neq-2\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-2)\) và \((-2;+\infty)\).

Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

\(\lim\limits_{x \to-\infty} y=\lim\limits_{x \to-\infty} \displaystyle\frac{-x^2-3 x+4}{x+2}=+\infty; \lim\limits_{x \to+\infty} y=\lim\limits_{x \to+\infty} \displaystyle\frac{-x^2-3 x+4}{x+2}=-\infty.\)

Ta có

\(a=\lim\limits_{x \to+\infty} \displaystyle\frac{-x^2-3x+4}{x^2+2x}=-1\).

\(b=\lim\limits_{x \to+\infty}\left[\displaystyle\frac{-x^2-3x+4}{x+2}-(-1) x\right]=\lim\limits_{x \to+\infty}\left(\displaystyle\frac{-x+4}{x+2}\right)=-1\).

Suy ra đường thẳng \(y=-x-1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có \(\lim\limits_{x \to-2^{-}} y=\lim\limits_{x \to-2^{-}} \displaystyle\frac{-x^2-3x+4}{x+2}=-\infty; \lim\limits_{x \to-2^{+}} y=\lim\limits_{x \to-2^{+}} \displaystyle\frac{-x^2-3x+4}{x+2}=+\infty\). Suy ra đường thẳng \(x=-2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

Đồ thị:

\[y=0 \Leftrightarrow-x^2-3x+4=0\Leftrightarrow x=-4\,\, \text {hoặc} \,\,x=1.\]

Vậy đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \((-4; 0)\) và điểm \((1; 0)\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0; 2)\).

Đồ thị của hàm số được biểu diễn trên Hình 6.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm \(I(-2; 1)\).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận \(x=-2\) và \(y=-x-1\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(4x+3)(x+2)-(2x^2+3x-5)}{(x+2)^2}=\displaystyle\frac{2x^2+8x+11}{(x+2)^2}\).

\[y'=0\Leftrightarrow 2x^2+8x+11=0\quad \text{vô nghiệm}.\]

Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=2x-1-\displaystyle\frac{3}{x+2}\).

+) \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

+) \(\lim\limits_{x\to(-2)^-}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to(-2)^+}y=-\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=-2\).

+) \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(x-1)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{-3}{x+2}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=2x-1\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((-2;+\infty)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(2x-2)(-x+2)+(x^2-2x-3)}{(-x+2)^2}=\displaystyle\frac{-x^2+2x-7}{(-x+2)^2}\).

\[y'=0\Leftrightarrow -x^2+2x-7=0 \Leftrightarrow \ \text{vô nghiệm}.\]

Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=-x-\displaystyle\frac{3}{-x+2}\).

+) \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).

+) \(\lim\limits_{x\to 2^-}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to 2^+}y=-\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=2\).

+) \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(-x)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{3}{-x+2}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=-x\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;2)\), \((2;+\infty)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Đạo hàm: \(y=-x+\displaystyle\frac{1}{x}\Rightarrow y'=-x-\displaystyle\frac{1}{x^2}< 0\), \(\forall x\in \mathscr{D}\). Suy ra hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Giới hạn và tiệm cận:

\(\lim\limits_{x\to 0^+}y=+\infty\), suy ra \(x=0\) là tiệm cận đứng.

\(\lim\limits_{x\to \pm \infty}[y+x]=0\), suy ra \(y=x\) là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

Đồ thị

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a\neq 0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases} f(1)=1\\ f(3)=5\\ f'(1)=0\\ f'(3)=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a+b+c+d=1\\ 27a+9b+3c+d=5\\ 3a+2b+c=0\\ 27a+6b+c=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=-1\\ b=6\\ c=-9\\ d=5.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=-x^3+6x^2-9x+5\).

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a\neq 0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases} f(0)=-4\\ f(2)=0\\ f'(0)=0\\ f'(2)=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d=-4\\ 8a+4b+2c+d=0\\ c=0\\ 12a+4b+c=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=-1\\ b=3\\ c=0\\ d=-4.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=-x^3+3x^2-4\).

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a\neq 0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases} f(0)=2\\ f(2)=-2\\ f'(0)=0\\ f'(2)=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d=2\\ 8a+4b+2c+d=-2\\ c=0\\ 12a+4b+c=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=-3\\ c=0\\ d=2.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=x^3-3x^2+2\).

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a\neq 0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases} f(0)=4\\ f(2)=0\\ f'(0)=0\\ f'(2)=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d=4\\ 8a+4b+2c+d=0\\ c=0\\ 12a+4b+c=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=-3\\ c=0\\ d=4.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=x^3-3x^2+4\).

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a\neq 0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases} f(1)=2\\ f(3)=-2\\ f'(1)=0\\ f'(3)=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a+b+c+d=2\\ 27a+9b+3c+d=-2\\ 3a+2b+c=0\\ 27a+6b+c=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=-6\\ c=9\\ d=-2.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=x^3-6x^2+9x-2\).

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a\neq 0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\), \(f''(x)=6ax+2b\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases} f(-1)=2\\ f(0)=1\\ f(1)=0\\ f''(0)=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -a+b-c+d=2\\ d=1\\ a+b+c+d=0\\ 2b=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=-1\\ b=0\\ c=0\\ d=1.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=-x^3+1\).

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a\neq 0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases} f(-1)=3\\ f(1)=-1\\ f'(-1)=0\\ f'(1)=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -a+b-c+d=3\\ a+b+c+d=-1\\ 3a-2b+c=0\\ 3a+2b+c=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=0\\ c=-3\\ d=1.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=x^3 - 3x + 1\).

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a\neq 0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases} f(0)=1\\ f(2)=5\\ f'(0)=0\\ f'(2)=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d=1\\ 8a+4b+2c+d=5\\ c=0\\ 12a+4b+c=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=-1\\ b=3\\ c=0\\ d=1.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=-x^3+3x^2+1\).

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a\neq 0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\), \(f''(x)=6ax+2b\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases} f(0)=1\\ f(1)=2\\ f(2)=3\\ f''(1)=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d=1\\ a+b+c+d=2\\ 8a+4b+2c+d=3\\ 6a+2b=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=-3\\ c=3\\ d=1.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=x^3-3x^2+3x+1\).

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a\neq 0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases} f(-2)=-3\\ f(0)=1\\ f'(-2)=0\\ f'(0)=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -8a+4b-2c+d=-3\\ d=1\\ 12a-4b+c=0\\ c=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=-1\\ b=-3\\ c=0\\ d=1.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=-x^3-3x^2+1\).

+) Do đồ thị cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;1)\) nên \(\displaystyle\frac{a\cdot 0+1}{c\cdot0+d}=1\Leftrightarrow d=1\).

+) Do đồ thị có đường tiệm cận đứng là \(x=-1\) nên \(-\displaystyle\frac{d}{c}=-1\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{1}{c}=-1\Leftrightarrow c=1\).

+) Do đồ thị có đường tiệm cận ngang là \(y=2\) nên \(\displaystyle\frac{a}{c}=2\Leftrightarrow \displaystyle\frac{a}{1}=2\Leftrightarrow a=2\).

Vậy \(y=f(x)=\displaystyle\frac{2x+1}{x+1}\).

+) Do đồ thị cắt trục \(Ox\) tại điểm \((-3;0)\) nên \(\displaystyle\frac{-3+b}{c\cdot(-3)+d}=0\Leftrightarrow -3+b=0\Leftrightarrow b=3\).

+) Do đồ thị cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;3)\) nên \(\displaystyle\frac{0+b}{c\cdot0+d}=3\Leftrightarrow\displaystyle\frac{3}{d}=3\Leftrightarrow d=1\).

+) Do đồ thị có đường tiệm cận đứng là \(x=1\) nên \(-\displaystyle\frac{d}{c}=1\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow c=-1\).

Vậy \(y=f(x)=\displaystyle\frac{x+3}{-x+1}\).

+) Do đồ thị cắt trục \(Ox\) tại điểm \((1;0)\) nên \(\displaystyle\frac{1+b}{c\cdot1+d}=0\Leftrightarrow 1+b=0\Leftrightarrow b=-1\).

+) Do đồ thị cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;-1)\) nên \(\displaystyle\frac{0+b}{c\cdot0+d}=-1\Leftrightarrow\displaystyle\frac{-1}{d}=-1\Leftrightarrow d=1\).

+) Do đồ thị có đường tiệm cận ngang là \(y=1\) nên \(\displaystyle\frac{a}{c}=1\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow c=1\).

Vậy \(y=f(x)=\displaystyle\frac{x-1}{x+1}\).

+) Do đồ thị có đường tiệm cận đứng là \(x=-1\) nên \(-\displaystyle\frac{d}{c}=-1\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{1}{c}=-1\Leftrightarrow c=1\).

+) Do đồ thị có đường tiệm cận ngang là \(y=-2\) nên \(\displaystyle\frac{a}{c}=-2\Leftrightarrow \displaystyle\frac{a}{1}=-2\Leftrightarrow a=-2\).

+) Do đồ thị qua gốc tọa độ nên \(\displaystyle\frac{a\cdot 0+b}{c\cdot0+1}=0\Leftrightarrow 0+b=0\Leftrightarrow b=0\).

Vậy \(y=f(x)=\displaystyle\frac{-2x}{x+1}\).

+) Do đồ thị có đường tiệm cận đứng là \(x=1\) nên \(-\displaystyle\frac{d}{c}=1\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{d}{1}=1\Leftrightarrow d=-1\).

+) Do đồ thị có đường tiệm cận ngang là \(y=2\) nên \(\displaystyle\frac{a}{c}=2\Leftrightarrow \displaystyle\frac{a}{1}=2\Leftrightarrow a=2\).

+) Do đồ thị đi qua điểm \((4;3)\) nên \(\displaystyle\frac{a\cdot 4+b}{4+d}=3\Leftrightarrow \displaystyle\frac{2\cdot4+b}{4-1}=3\Leftrightarrow b=1\).

Vậy \(y=f(x)=\displaystyle\frac{2x+1}{x-1}\).

+) Do đồ thị có đường tiệm cận ngang là \(y=1\) nên \(\displaystyle\frac{a}{c}=1\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow c=1\).

+) Do đồ thị cắt trục \(Ox\) tại điểm \((-1;0)\) nên \(\displaystyle\frac{-1+b}{c\cdot(-1)+d}=0\Leftrightarrow -1+b=0\Leftrightarrow b=1\).

+) Do đồ thị có đường tiệm cận đứng là \(x=0\) nên \(-\displaystyle\frac{d}{c}=0\Leftrightarrow d=0\).

Vậy \(y=f(x)=\displaystyle\frac{x+1}{x}\).

+) Do đồ thị có đường tiệm cận đứng là \(x=1\) nên \(-\displaystyle\frac{d}{c}=1\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{-1}{c}=1\Leftrightarrow c=1\).

+) Do đồ thị có đường tiệm cận ngang là \(y=-1\) nên \(\displaystyle\frac{a}{c}=-1\Leftrightarrow \displaystyle\frac{a}{1}=-1\Leftrightarrow a=-1\).

+) Do đồ thị cắt trục \(Ox\) tại điểm \((3;0)\) nên \(\displaystyle\frac{a\cdot 3+b}{c\cdot3-1}=0\Leftrightarrow 3(-1)+b=0\Leftrightarrow b=3\).

Vậy \(y=f(x)=\displaystyle\frac{-x+3}{x-1}\).

+) Do đồ thị có đường tiệm cận đứng là \(x=2\) nên \(-\displaystyle\frac{d}{c}=2\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{2}{c}=2\Leftrightarrow c=-1\).

+) Do đồ thị có đường tiệm cận ngang là \(y=-1\) nên \(\displaystyle\frac{a}{c}=-1\Leftrightarrow \displaystyle\frac{a}{-1}=-1\Leftrightarrow a=1\).

+) Do đồ thị cắt trục \(Ox\) tại điểm \((1;0)\) nên \(\displaystyle\frac{a\cdot 1+b}{c\cdot1+2}=0\Leftrightarrow 1+b=0\Leftrightarrow b=-1\).

Vậy \(y=f(x)=\displaystyle\frac{x-1}{-x+2}\).

+) Do đồ thị qua gốc tọa độ nên \(\displaystyle\frac{0+b}{c\cdot0+d}=0\Leftrightarrow b=0\).

+) Do đồ thị qua điểm \((-3;1)\) nên \(\displaystyle\frac{-3+b}{c\cdot(-3)+d}=1\Leftrightarrow \displaystyle\frac{-3}{-3c+d}=1\Leftrightarrow -3c+d=-3\).

+) Do đồ thị qua điểm \((-2;2)\) nên \(\displaystyle\frac{-2+b}{c\cdot(-2)+d}=2\Leftrightarrow \displaystyle\frac{-2}{-2c+d}=2\Leftrightarrow -4c+2d=-2\).

Giải hệ \(\begin{cases}-3c+d=-3\\ -4c+2d=-2\end{cases}\) ta được \(c=2\), \(d=3\).

Vậy \(y=f(x)=\displaystyle\frac{x}{2x+3}\).

+) Do đồ thị cắt trục \(Ox\) tại điểm \((2;0)\) nên \(\displaystyle\frac{2+b}{c\cdot2+d}=0\Leftrightarrow 2+b=0\Leftrightarrow b=-2\).

+) Do đồ thị cắt trục \(Oy\) tại điểm \((0;-2)\) nên \(\displaystyle\frac{0+b}{c\cdot0+d}=-2\Leftrightarrow \displaystyle\frac{-2}{d}=-2\Leftrightarrow d=1\).

+) Do đồ thị đi qua điểm \(\left(-2;\displaystyle\frac{4}{3}\right)\) nên \(\displaystyle\frac{-2+b}{c(-2)+d}=\displaystyle\frac{4}{3}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{-2-2}{-2c+1}=\displaystyle\frac{4}{3}\Leftrightarrow c=2\).

Vậy \(y=f(x)=\displaystyle\frac{x-2}{2x+1}\).

Do đồ thị có đường thẳng \(x=2\) là đường tiệm cận đứng và \(y=-x\) là đường tiệm cận xiên nên \(f(x)\) có dạng:

\(f(x)=-x+\displaystyle\frac{m}{x-2}\).

Ngoài ra đồ thị đi qua điểm \((0;2)\) nên

\(f(0)=2\Leftrightarrow \displaystyle\frac{m}{-2}=2\Leftrightarrow m=-4\).

Vậy \(y=f(x)=-x+\displaystyle\frac{-4}{x-2}=\displaystyle\frac{-x^2+2x-4}{x-2}\).

Từ đồ thị, ta thấy phương trình của hai đường tiệm cận là:

\(d_1\colon x=2\) và \(d_2\colon y=-x\).

Suy ra \(f(x)\) có dạng: \(f(x)=-x+\displaystyle\frac{m}{x-2}\).

Ngoài ra đồ thị đi qua điểm \((-1;0)\) nên

\(f(-1)=0\Leftrightarrow -(-1)+\displaystyle\frac{m}{-1-2}=0\Leftrightarrow m=3\).

Vậy \(y=f(x)=-x+\displaystyle\frac{3}{x-2}=\displaystyle\frac{-x^2+2x+3}{x-2}\).

Từ đồ thị, ta thấy phương trình của hai đường tiệm cận là:

\(d_1\colon x=1\) và \(d_2\colon y=x-2\).

Suy ra \(f(x)\) có dạng: \(f(x)=x-2+\displaystyle\frac{m}{x-1}\).

Ngoài ra đồ thị đi qua điểm \((3;3)\) nên

\(f(3)=3\Leftrightarrow 3-2+\displaystyle\frac{m}{3-1}=3\Leftrightarrow m=4\).

Vậy \(y=f(x)=x-2+\displaystyle\frac{4}{x-1}=\displaystyle\frac{x^2-3x+6}{x-1}\).

Do đồ thị có hai đường tiệm cận là: \(d_1\colon x=1\) và \(d_2\colon y=x+5\), suy ra \(f(x)\) có dạng: \(f(x)=x+5+\displaystyle\frac{m}{x-1}\).

Ngoài ra đồ thị đi qua điểm \((3;10)\) nên

\(f(3)=10\Leftrightarrow 3+5+\displaystyle\frac{m}{3-1}=10\Leftrightarrow m=4\).

Vậy \(y=f(x)=x+5+\displaystyle\frac{4}{x-1}=\displaystyle\frac{x^2+4x-1}{x-1}\).

Từ đồ thị, ta thấy phương trình của hai đường tiệm cận là:

\(d_1\colon x=1\) và \(d_2\colon y=x-1\). Suy ra \(f(x)\) có dạng: \(f(x)=x-1+\displaystyle\frac{m}{x-1}\).

Ngoài ra đồ thị đi qua điểm \((0;-2)\) nên

\(f(0)=-2\Leftrightarrow 0-1+\displaystyle\frac{m}{0-1}=-2\Leftrightarrow m=1\).

Vậy \(y=f(x)=x-1+\displaystyle\frac{1}{x-1}=\displaystyle\frac{x^2-2x+2}{x-1}\).

Từ đồ thị, ta thấy phương trình của hai đường tiệm cận là:

\(d_1\colon x=-2\) và \(d_2\colon y=-x+5\). Suy ra \(f(x)\) có dạng: \(f(x)=-x+5+\displaystyle\frac{m}{x+2}\).

Ngoài ra đồ thị đi qua điểm \((-3;17)\) nên

\(f(-3)=17\Leftrightarrow -(-3)+5+\displaystyle\frac{m}{-3+2}=17\Leftrightarrow m=-9\).

Vậy \(y=f(x)=-x+5+\displaystyle\frac{-9}{x+2}=\displaystyle\frac{-x^2+3x+1}{x+2}\).

Do đồ thị có hai đường tiệm cận là: \(d_1\colon x=1\) và \(d_2\colon y=x+3\) nên \(f(x)\) có dạng: \(f(x)=x+3+\displaystyle\frac{m}{x-1}\).

Ngoài ra đồ thị đi qua điểm \((0;2)\) nên

\(f(0)=2\Leftrightarrow 0+3+\displaystyle\frac{m}{0-1}=2\Leftrightarrow m=1\).

Vậy \(y=f(x)=x+3+\displaystyle\frac{1}{x-1}=\displaystyle\frac{x^2+ 2x - 2}{x - 1}\).

Do đồ thị có hai đường tiệm cận là: \(d_1\colon x=-1\) và \(d_2\colon y=x\) nên \(f(x)\) có dạng: \(f(x)=x+\displaystyle\frac{m}{x+1}\).

Ngoài ra đồ thị đi qua điểm \((1;0)\) nên

\(f(1)=0\Leftrightarrow 1+\displaystyle\frac{m}{1+1}=0\Leftrightarrow m=-2\).

Vậy \(y=f(x)=x+\displaystyle\frac{-2}{x+1}=\displaystyle\frac{x^2+x-2}{x+1}\).

Từ đồ thị, ta thấy phương trình của hai đường tiệm cận là:

\(d_1\colon x=2\) và \(d_2\colon y=x\). Suy ra \(f(x)\) có dạng: \(f(x)=x+\displaystyle\frac{m}{x-2}\).

Ngoài ra đồ thị đi qua điểm \((3;0)\) nên

\(f(3)=0\Leftrightarrow 3+\displaystyle\frac{m}{3-2}=0\Leftrightarrow m=-3\).

Vậy \(y=f(x)=x+\displaystyle\frac{-3}{x-2}=\displaystyle\frac{x^2-2x-3}{x-2}\).

Từ đồ thị, ta thấy phương trình của hai đường tiệm cận là:

\(d_1\colon x=1\) và \(d_2\colon y=x-1\). Suy ra \(f(x)\) có dạng: \(f(x)=x-1+\displaystyle\frac{m}{x-1}\).

Ngoài ra đồ thị đi qua điểm \((2;0)\) nên

\(f(2)=0\Leftrightarrow 2-1+\displaystyle\frac{m}{2-1}=0\Leftrightarrow m=-1\).

Vậy \(y=f(x)=x-1+\displaystyle\frac{-1}{x-1}=\displaystyle\frac{x^2-2x}{x-1}\).

Do đồ thị có hai đường tiệm cận là: \(d_1\colon x=2\) và \(d_2\colon y=x+1\) nên \(f(x)\) có dạng: \(f(x)=x+1+\displaystyle\frac{m}{x-2}\).

Ngoài ra đồ thị đi qua điểm \((3;5)\) nên

\(f(3)=5\Leftrightarrow 3+1+\displaystyle\frac{m}{3-2}=5\Leftrightarrow m=1\).

Vậy \(y=f(x)=x+1+\displaystyle\frac{1}{x-2}=\displaystyle\frac{x^2-x-1}{x-2}\).

Từ đồ thị, ta thấy:

+) Đường tiệm cận đứng có phương trình là \(x=1\).

+) Đường tiệm cận xiên \(y=px+q\) đi qua hai điểm \((0;0)\) và \((1;2)\).

Suy ra \(\begin{cases}p\cdot 0+q=0\\ p\cdot1+q=2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}q=0\\ p=2.\end{cases}\)

Suy ra \(f(x)\) có dạng: \(f(x)=2x+\displaystyle\frac{m}{x-1}\).

Ngoài ra đồ thị đi qua điểm \((0;-2)\) nên

\(f(0)=-2\Leftrightarrow 2\cdot0+\displaystyle\frac{m}{0-1}=-2\Leftrightarrow m=2\).

Vậy \(y=f(x)=2x+\displaystyle\frac{2}{x-1}=\displaystyle\frac{2x^2-2x+2}{x-1}\).

Từ đồ thị, ta thấy:

+) Đường tiệm cận đứng có phương trình là \(x=-1\).

+) Đường tiệm cận xiên \(y=px+q\) đi qua hai điểm \((0;-1)\) và \((-2;0)\).

Suy ra \(\begin{cases}p\cdot 0+q=-1\\ p\cdot(-2)+q=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}q=-1\\ p=-\displaystyle\frac{1}{2}.\end{cases}\)

Suy ra \(f(x)\) có dạng: \(f(x)=-\displaystyle\frac{1}{2}x-1+\displaystyle\frac{m}{x+1}\).

Ngoài ra đồ thị đi qua điểm \((0;-2)\) nên

\(f(0)=-2\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{1}{2}\cdot0-1+\displaystyle\frac{m}{0+1}=-2\Leftrightarrow m=-1\).

Vậy \(y=f(x)=-\displaystyle\frac{1}{2}x-1+\displaystyle\frac{-1}{x+1}\).

Từ đồ thị, ta thấy:

+) Đường tiệm cận đứng có phương trình là \(x=1\).

+) Đường tiệm cận xiên \(y=px+q\) đi qua hai điểm \((0;-1)\) và \((2;3)\).

Suy ra \(\begin{cases}p\cdot 0+q=-1\\ p\cdot2+q=3\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}q=-1\\ p=2.\end{cases}\)

Suy ra \(f(x)\) có dạng: \(f(x)=2x-1+\displaystyle\frac{m}{x-1}\).

Ngoài ra đồ thị đi qua điểm \((0;-2)\) nên

\(f(0)=-2\Leftrightarrow 2\cdot0-1+\displaystyle\frac{m}{0-1}=-2\Leftrightarrow m=1\).

Vậy \(y=f(x)=2x-1+\displaystyle\frac{1}{x-1}=\displaystyle\frac{2x^2-3x+1}{x-1}\).

Từ đồ thị, ta thấy:

+) Đường tiệm cận đứng có phương trình là \(x=1\).

+) Đường tiệm cận xiên \(y=px+q\) đi qua hai điểm \((0;0)\) và \((2;1)\).

Suy ra \(\begin{cases}p\cdot 0+q=0\\ p\cdot(2)+q=1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}q=0\\ p=\displaystyle\frac{1}{2}.\end{cases}\)

Suy ra \(f(x)\) có dạng: \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x+\displaystyle\frac{m}{x-1}\).

Ngoài ra đồ thị đi qua điểm \((0;-1)\) nên

\(f(0)=-1\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{2}\cdot0+\displaystyle\frac{m}{0-1}=-1\Leftrightarrow m=1\).

Vậy \(y=f(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x+\displaystyle\frac{1}{x-1}\).

a) Khi bán \(x\) mét vải lụa:

+) Số tiền thu được là \(B(x)=220x\) (nghìn đồng).

+) Lợi nhuận thu được là \(L(x)=B(x)-C(x)=-x^3+3x^2+240x-500\) (nghìn đồng).

b) Hàm số \(L(x)\) xác định trên \([1; 18]\).

+) Đạo hàm \(L'(x)=-3x^2+6x+240; L'(x)=0\Leftrightarrow x=10\) hoặc \(x=-8\) (loại).

+) Trên khoảng \((1; 10), L'(x) > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng này.

+) Trên khoảng \((10; 18), L'(x) < 0\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.

+) Cực trị: Hàm số \(L(x)\) đạt cực đại tại \(x=10\) và \(L_{\text{CĐ}}=L(10)=1200\).

+) Bảng biến thiên:

+) Đồ thị:

Đồ thị hàm số có điểm cực đại \((10; 1200)\) và đi qua các điểm \((1;-258),(18;-1040)\) như Hình 8.

c) Quan sát đồ thị hàm số, ta nhận thấy khi \(x=10\) thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(1\,200\). Như vậy, hộ làm nghề dệt cần sản xuất và bán ra mỗi ngày \(10\) mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận tối đa này là \(1\,200\) nghìn đồng.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y=\overline{C}(x)=2x-230+\displaystyle\frac{7\,200}{x}\) trên \([30; 120]\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{0\}\).

Đạo hàm \(y'=2-\displaystyle\frac{7\,200}{x^2}=\displaystyle\frac{2x^2-7\,200}{x^2}\);

\(y'=0 \Leftrightarrow x=-60\) (loại) hoặc \(x=60\) (nhận).

Trên khoảng \((30;60)\), \(y'< 0\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Trên khoảng \((60;120)\), \(y'>0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=60\), \(y_{\text{CT}}=10\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to -\infty} y=-\infty\); \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=+\infty\).

Mà \(\lim\limits_{x\to -\infty} \left[y-(2x-230)\right]=\lim\limits_{x\to -\infty} \displaystyle\frac{7\,200}{x}=0\); \(\lim\limits_{x\to +\infty} \left[y-(2x-230)\right]=\lim\limits_{x\to +\infty} \displaystyle\frac{7\,200}{x}=0\).

\(\Rightarrow\) Đường thẳng \(y=2x-230\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Mặt khác \(\lim\limits_{x\to 0^{-}} \left(2x-230+\displaystyle\frac{7\,200}{x}\right)=-\infty\); \(\lim\limits_{x\to 0^{+}} \left(2x-230+\displaystyle\frac{7\,200}{x}\right)=+\infty\).

\(\Rightarrow\) Đường thẳng \(x=0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

Đồ thị

Trên đoạn \([30;120]\), đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình bên.

c) Từ kết quả trên, để chi phí trung bình của một phần ăn là thấp nhất thì số phần ăn \(x=60\).

Do đồ thị hàm số bậc ba \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) (\(a\neq 0\)) đi qua điểm \(C(0;50)\) nên \(d=50\), suy ra \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+50\).

Do đồ thị đi qua các điểm \(A(-1000;60)\) và \(B(1000;90)\) nên ta có

\begin{align*}&\begin{cases}-1000000000a+1000000b-1000c=10\\ 1000000000a+1000000b+1000c=40\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}-100000000a+100000b-100c=1\\ 100000000a+100000b+100c=4\end{cases}\\\Leftrightarrow\ &\begin{cases}b=\displaystyle\frac{1}{40000}\\ 100000000a+100c=1{,}5.\end{cases}\end{align*}

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c=3ax^2+\displaystyle\frac{1}{20000}x+c.\)

Do hệ số góc của tiếp tuyến tại \(B\) của đồ thị hàm số đó bằng \(0{,}04\) nên

\[f'(1000)=3000000a+\displaystyle\frac{1}{20}+c=0{,}04\Leftrightarrow 3000000a+c=-0{,}01.\]

Ta có hệ phương trình sau:

\[\begin{cases}100000000a+100c=1{,}5\\ 3000000a+c=-0{,}01\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=-\displaystyle\frac{1}{80000000}\\ c=\displaystyle\frac{11}{400}.\end{cases}\]

Vậy hàm số bậc ba cần tìm là: \(f(x)=-\displaystyle\frac{1}{80000000}x^3+\displaystyle\frac{1}{40000}x^2+\displaystyle\frac{11}{400}x+50.\)

a) Ta có: \(f(52)=\displaystyle\frac{26 \cdot 52+10}{52+5}=\displaystyle\frac{1\ 362}{57}\approx 23{,}895\) (nghìn người).

Vậy dân số của thị trấn vào năm \(2022\) khoảng \(23\ 895\) người.

b) Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực và đường tiệm cận ngang:

\(\lim\limits_{t \to +\infty}f(t)=26\). Do đó, đường thẳng \(y=26\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(f^\prime(t)=\displaystyle\frac{120}{(t+5)^2}>0\) với mọi \(t\geq 0\).

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên nủa khoảng \([2:+\infty)\).

Hàm số không có cực trị.

Giao điểm của đồ thị với trục tung: \((0;2)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((1;6)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y=f(t)=\displaystyle\frac{26t+10}{t+5}\), \(t \geq 0\) được cho ở hình bên.

c) Tốc độ tăng dân số vào năm \(2022\) của thị trấn là:

\[f^\prime (52)=\displaystyle\frac{120}{(52+5)^2}=\displaystyle\frac{40}{1\ 083}.\]

Ta có

\[f^\prime(t)=0{,}192\Leftrightarrow \displaystyle\frac{120}{(t+2)^2}=0{,}192\Leftrightarrow (t+5)^2=625\Leftrightarrow t=20\ (\text{do}\ t\geq 0).\]

Vậy vào năm \(1990\), thì tốc độ tăng dân số là là \(0{,}192\) nghìn người/năm.

a) Vẽ đồ thị của hàm số \(h(t)=-0{,}01t^3+1{,}1t^2-30t+250\).

Miền khảo sát: \([0;50]\).

Đạo hàm: \(h'(t)=-0{,}03t^2+2{,}2t-30\).

\[h'(t)=0\Leftrightarrow -0{,}03t^2+2{,}2t-30=0\Leftrightarrow t\approx 18;\,t\approx 55.\]

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((0;18)\) và đồng biến trên khoảng \((18;50)\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(t=18\), \(y_{_\text{CT}}=h(18)=8{,}08\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

b) Xác định \(v(t)\).

Ta có \(v(t)=h'(t)=-0{,}03t^2+2{,}2t-30\).

c) Tính vận tốc tức thời lúc bắt đầu hãm phanh và lúc \(t=25\) (giây).

Vận tốc tức thời lúc bắt đầu hãm phanh là: \(v(0)=-30\) (km/s).

Vận tốc tức thời lúc \(t=25\) (giây) là: \(v(25)=6{,}25\) (km/s).

d) Tại thời điểm \(t=25\) (giây), vận tốc tức thời của con tàu vẫn giảm hay tăng trở lại?

Ta có phương trình gia tốc: \(a(t)=v'(t)=-0{,}06t+2{,}2t\).

Vì \(a(25)=53{,}5>0\) nên tại thời điểm \(t=25\) (giây), vận tốc tức thời của con tàu đang tăng trở lại.

e) Tìm thời điểm mà khoảng cách giữa con tàu và Mặt Trăng nhỏ nhất.

Dựa vào đồ thị ta thấy tại thời điểm \(t=18\) (giây) thì khoảng cách giữa con tàu và Mặt Trăng nhỏ nhất, khoảng cách này bằng \(8{,}08\) km.

a) Ta có

\(p=\displaystyle\frac{354}{1+0{,}01 x}\Leftrightarrow(1+0{,}01 x) p=354\Leftrightarrow 0{,}01 x=\displaystyle\frac{354}{p}-1\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{35\,400}{p}-100\)

Vì \(x \geq 0\) nên

\(x=\displaystyle\frac{35\,400}{p}-100 \geq 0 \Leftrightarrow 0< p \leq 354\)

Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=(0 ; 354]\).

Số sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là \( 240 \) nghìn đồng là

\(x=\displaystyle\frac{35\,400}{240}-100=47{,}5.\)

b) Khảo sát hàm số \(x=\displaystyle\frac{35\,400}{p}-100\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D} =(0 ; 354]\).

Ta có \(x'=-\displaystyle\frac{35\,400}{p^2}< 0, \forall p \in D\)

Hàm số luôn nghịch biến với mọi p \(\in(0 ; 354)\).

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận

\(\lim\limits_{p \rightarrow 0^{+}} x=\lim\limits\_{p \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{35\,400}{p}-100\right)=+\infty.\)

Do đó \(p =0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số giao với trục hoành tại điểm \((354 ; 0)\) và đi qua điểm \((300; 18)\); \( (200; 77) \).

d) Số lượng đơn vị sản phẩm bán sẽ giảm đi khi giá bán tăng và sẽ không bán được sản phầm nào nếu giá bán là \( 354 \) nghìn đồng.

e) Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn \(\lim\limits_{p \rightarrow 0^{+}} x(p)\):

Vì \(\lim\limits_{p \rightarrow 0^{+}} x(p)=+\infty\) nên giá bán càng thấp thì số lượng đơn vị sản phẩm sẽ bán được càng nhiều.

Xét hàm số \(y=C(x)=\displaystyle\frac{300x}{100-x}, 0\leq x < 100\).

Ta có

a) \(y'=\displaystyle\frac{30\,000}{(100-x)^2} > 0\), với mọi \(x \in[0; 100)\).

Do đó hàm số luôn đồng biến trên nửa khoảng \([0; 100)\).

+) \(\lim\limits_{x \to 100^{-}} C(x)=\lim\limits_{x \to 100^{-}} \displaystyle\frac{300x}{100-x}=+\infty\), nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x=100\).

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số như hình

b) Chi phí cần bỏ ra \(C(x)\) sẽ luôn tăng khi \(x\) tăng.

Vì \(\lim\limits_{x \rightarrow 100^{-}} C(x)=+\infty\) (hàm số \(C(x)\) không xác định khi \(x=100\)) nên nhà máy không thể loại bỏ \(100\%\) chất gây ô nhiễm không khí (dù bỏ ra chi phí là bao nhiêu đi chăng nữa).

a) Vì tam giác \(ABC\) là tam giác đều, độ dài ba đoạn dây \(OA\), \(OB\), \(OC\) đều bằng \(L>0\). Ta chọn hệ trục như hình vẽ, với \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(H\) là trung điểm \(BC\).

Trong đó \(A\), \(H\) nằm trên trục \(Gx\) và \(O\) nằm trên trục \(Gz\).

Bán kính của chiếc đèn là \(18\) nên \(AG=18\) suy ra \(AB=18\sqrt{3}\) và \(BH=HC=9\sqrt{3}\).

Do đó, ta có \(G(0,0,0)\), \(A(18,0,0)\), \(B(-9,9\sqrt{3},0)\), \(C(-9,-9\sqrt{3},0)\).

Xét tam giác vuông \(AOG\), suy ra \(OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=\sqrt{L^2-18^2}\) nên \(O(0;0;\sqrt{L^2-18^2})\).

Ta có \(\overrightarrow{OA}=(18;0;-\sqrt{L^2-18^2})\), \(\overrightarrow{OB}=(-9;9\sqrt{3};-\sqrt{L^2-18^2})\) và \(\overrightarrow{OC}=(-9;-9\sqrt{3};-\sqrt{L^2-18^2})\).

Suy ra \(|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=L\) và \(|\overrightarrow{F_1}|=|\overrightarrow{F_2}|=|\overrightarrow{F_3}|\).

Tồn tại hằng số \(c\ne 0\) sao cho

\(\overrightarrow{F_1}=c\cdot \overrightarrow{OA}=(18c;0;-c\sqrt{L^2-18^2});\)

\(\overrightarrow{F_2}=c\cdot \overrightarrow{OB}=(-9c;9c\sqrt{3};-c\sqrt{L^2-18^2});\)

\(\overrightarrow{F_3}=c\cdot \overrightarrow{OC}=(-9c;-9c\sqrt{3};-c\sqrt{L^2-18^2}).\)

Suy ra \(\overrightarrow{P}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=(0;0;-3c\sqrt{L^2-18^2})\), trong đó \(\overrightarrow{P}\) là trọng lực tác dụng lên bóng đèn.

Mà trọng lượng của bóng đèn là \(24\) N nên \(|\overrightarrow{P}|=24\Leftrightarrow 9c^2(L^2-18^2)=24^2\Leftrightarrow c=\displaystyle\frac{8}{\sqrt{L^2-18^2}},\forall L\in (18;+\infty).\)

Vậy \(F=|F_1|=|F_2|=|F_3|=\displaystyle\frac{8L}{\sqrt{L^2-18^2}}\).

b) Xét hàm số \(F=\displaystyle\frac{8L}{\sqrt{L^2-18^2}}\) trên \((18;+\infty)\).

Ta có

\(F'=\displaystyle\frac{-2592}{(L^2-18^2)\sqrt{L^2-18^2}}< 0\), \(\forall L\in (18;+\infty)\).

Ta có bảng biến thiên

Đồ thị của hàm số

c) Mỗi sợi dây được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là \(10\) N.

Suy ra \(F(L)\le 10\Leftrightarrow F(L)\le F(30)\Leftrightarrow L\ge 30\).

Vậy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây bằng \(30\) in thỏa mãn yêu cầu bài toán.