\(\S4.\) KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1. Khảo sát hàm số \(y=ax^3+bx^2+cx+d\)

Image

Đồ thị hàm số bậc \(3\) luôn nhận điểm \(I\) làm tâm đối xứng, trong đó \(x_{_I}=-\displaystyle\frac{b}{3a}\).

2. Khảo sát hàm số \(y=\displaystyle\frac{ax+b}{cx+d}\)

Image

Chú ý: Đồ thị luôn nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

3. Khảo sát hàm số \(y=\displaystyle\frac{ax^2+bx+c}{mx+n}\)

Image

Chú ý: Đồ thị luôn nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn

Dạng 1.

Dạng 2.

Dạng 3.

Dạng 4.

Dạng 5.

Dạng 6.

Dạng 1.

Dạng 2.

Dạng 3.

Dạng 4.

Dạng 5.

Dạng 6.

Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai

Dạng 1.

Dạng 2.

Dạng 3.

Dạng 4.

Dạng 1.

Câu 1:

Cho hàm số bậc ba \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(a+b+c+d=0\)
  • \(y=f(x)=x^3-3x^2+2\)

Lời giải:

Câu 2:

Cho hàm số bậc ba \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(a < 0\), \(d=1\)
  • \(x_{_\text{CT}}=0\), \(x_{_\text{CĐ}}=2\)

Lời giải:

Câu 3:

Cho hàm số bậc ba \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(a > 0\), \(d=-1\)

Lời giải:

Câu 4:

Cho hàm số bậc ba \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(a > 0\), \(d=1\)
  • \(f(x)=x^3-3x^2+1\)

Lời giải:

Câu 5:

Cho hàm số bậc ba \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(a > 0\), \(d=1\)
  • \(f'(1)=0\), \(f'(-1)=0\)

Lời giải:

Câu 6:

Cho hàm số bậc ba \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) có bảng biến thiên như hình bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(d=1\)
  • \(f(x)=-x^3-3x^2+1\)

Lời giải:

Câu 7:

Cho hàm số bậc ba \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(3a-2b+c=0\), \(3a+2b+c=0\)

Lời giải:

Câu 8:

Cho hàm số bậc ba \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(d=-4\)
  • \(f(x)=-x^3+3x^2-4\)

Lời giải:

Câu 9:

Cho hàm số bậc ba \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(f(2)=-3\)
  • \(f'(2)=0\), \(f'(0)=0\)

Lời giải:

Câu 10:

Cho hàm số bậc ba \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(a< 0\), \(d=1\)
  • \(f(1)=0\), \(f(0)=1\)

Lời giải:

Câu 11:

Cho hàm số bậc ba \(y=f(x)=x^3-3x^2+cx+d\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(d=1\)
  • \(f(1)=2\)

Lời giải:

Câu 12:

Cho hàm số \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(a<0\), \(d=-2\)
  • \(b=3\)

Lời giải:

Đây là đồ thị của hàm số \(y=-x^3+3x^2-2\)

Câu 13:

Cho hàm số \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(c=0\)
  • \(b>0\)

Lời giải:

Đây là đồ thị của hàm số \(y=x^3+3x^2-2\)

Câu 14:

Cho hàm số \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(a < 0\), \(d=\displaystyle\frac{3}{2}\)

Lời giải:

Đây là đồ thị của hàm số \(y=-x^3-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+2x+\displaystyle\frac{3}{2}\).

Câu 15:

Cho hàm số \(y=f(x)=ax^3+cx+d\) có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(a>0\)
  • \(a+c=2\)
  • Nếu \(a=1\) thì \(f(x)=x^3+x\)

Lời giải:

Đây là đồ thị hàm số \(y=x^3+x\).

Dạng 2.

Câu 1:

Cho hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{-2x+b}{cx+d}\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • Đồ thị qua điểm \((0;1)\)
  • \(c=1\)

Lời giải:

Câu 2:

Cho hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{ax+1}{cx+d}\) có đồ thị \((C)\) là đường cong trong hình bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(\displaystyle\frac{a}{c}=1\)
  • \(y=\displaystyle\frac{x+1}{x-1}\)

Lời giải:

Câu 3:

Cho hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{ax-1}{cx+d}\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(\displaystyle\frac{a}{c}=0{,}5\)\(\displaystyle\frac{d}{c}=0{,}5\)
  • \(a=1\)

Lời giải:

Câu 4:

Cho hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{ax+b}{cx+d}\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(\displaystyle\frac{d}{c}=1\)
  • \(f(1)=0\), \(f(0)=-1\)

Lời giải:

Câu 5:

Cho hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{ax+3}{cx+d}\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(\displaystyle\frac{d}{c}=-1\)
  • \(\displaystyle\frac{a}{c}=-2\)
  • \(f(x)=\displaystyle\frac{-2x+3}{x-1}\)

Lời giải:

Câu 6:

Cho hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{ax+b}{cx+d}\) (có đồ thị \((C)\)) có bảng biến thiên như hình bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • Đồ thị \((C)\) có đường tiệm cận ngang là \(y=1\) nên \(\displaystyle\frac{a}{c}=1\)
  • Đồ thị \((C)\) cắt trục tung tại một điểm duy nhất}

Lời giải:

Câu 7:

Cho hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{ax+2}{cx+d}\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(f(0)=-1\)

Lời giải:

Câu 8:

Cho hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{ax+b}{x+d}\) có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(a=1\)

Lời giải:

Đây là đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x-1}{x+1}\).

Câu 9:

Cho hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{ax+b}{x+d}\) có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(d=-1\)

Lời giải:

Đây là đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{-2x+3}{x-1}\).

Dạng 3.

Câu 1:

Cho hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{ax^2+bx+c}{x+e}\) có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(e=3\)
  • \(a-b+c=0\)

Lời giải:

Câu 2:

Cho hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{ax^2+bx+4}{x+e}\) có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(e=-1\)
  • \(a=2\)

Lời giải:

Đây là đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2-x+4}{x-1}\).

Câu 3:

Cho hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{ax^2+bx+c}{x+e}\) có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(y=-x\) là tiệm cận xiên

Lời giải:

Đây là đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{-x^2+2x-4}{x-2}\).

Câu 4:

Cho hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{ax^2+bx+c}{x+e}\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(y=x+1\) là tiệm cận xiên
  • \(a=1\)

Lời giải:

Câu 5:

Cho hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2-x+7}{x-3}\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • Đồ thị có đường tiệm cận đứng là \(x=3\)
  • Đồ thị có đường tiệm cận xiên là \(y=x-2\)

Lời giải:

Dạng 4.

Phần 3. Tự luận

Cơ bản

Nâng cao

Ứng dụng thực tế

Cơ bản

Câu 1:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=2x^3-3x^2+1\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=6x^2-6x\).

\(y'=0\Leftrightarrow 6x^2-6x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=1.\)

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

Bảng biến thiên:

Image

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((1;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((0;1)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{_\text{CĐ}}=1\); đạt cực tiểu tại \(x=1\), \(y_{_\text{CT}}=0\).

Bảng giá trị:

Image

Đồ thị:

Image

}

Câu 2:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=-x^3+3x^2-1\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=-3x^2+6x\).

\(y'=0\Leftrightarrow -3x^2+6x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2.\)

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).

Bảng biến thiên:

Image

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\), đồng biến trên khoảng \((0;2)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), \(y_{_\text{CT}}=-1\); đạt cực đại tại \(x=2\), \(y_{_\text{CĐ}}=3\).

Bảng giá trị:

Image

Đồ thị:

Image

}

Câu 3:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=(x-2)^3+4\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=3(x-2)^2\).

\[y'=0\Leftrightarrow 3(x-2)^2=0\Leftrightarrow x=2\quad (\text{nghiệm kép}).\]

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

Bảng biến thiên:

Image

\(\Rightarrow\) Hàm số đồng biến trên toàn \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.

Bảng giá trị:

Image

Đồ thị:

Image

}

Câu 4:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=-x^3+3x^2-3x+2\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=-3x^2+6x-3\).

\[y'=0\Leftrightarrow -3x^2+6x-3=0\Leftrightarrow x=1\quad (\text{nghiệm kép}).\]

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).

Bảng biến thiên:

Image

\(\Rightarrow\) Hàm số nghịch biến trên toàn \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.

Bảng giá trị:

Image

Đồ thị:

Image

}

Câu 5:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{3}x^3+x^2+2x+1\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

Bảng biến thiên:

Image

\(\Rightarrow\) Hàm số đồng biến trên toàn \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.

Bảng giá trị:

Image

Đồ thị

Image

}

Câu 6:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=-x^3-3x\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=-3x^2-3<0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).

Bảng biến thiên:

Image

\(\Rightarrow\) Hàm số nghịch biến trên toàn \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.

Bảng giá trị:

Image

Đồ thị:

Image

}

Câu 7:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=f(x)=x^3-3 x^2+4\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=3 x^2-6 x\);

\(y'=0 \Leftrightarrow 3x^2-6x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2\).

Giới hạn

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty\).

Bảng biến thiên

Image

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ; 0)\) và \((2 ;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((0 ; 2)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(f_{\text{CĐ}}=f(0)=4\); Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(f_{\mathrm{CT}}=f(2)=0\).

Giao với các trục tọa độ:

+) Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;4)\).

+) Ta có

\begin{eqnarray*}x^3-3 x^2+4=0 &\Leftrightarrow& (x-2)^2(x+1)=0\\ &\Leftrightarrow& x=-1 \text { hoặc } x=2.\end{eqnarray*}

\(\Rightarrow\) Do đó đồ thị hàm số giao với trục \(O x\) tại hai điểm là \((-1 ; 0)\) và \((2 ; 0)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((3;4)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I(1;2)\).

Image

}

Câu 8:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=f(x)=-x^3-3 x^2-4 x-2\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=-3 x^2-6 x-4\); Phương trình \(y' = 0\) vô nghiệm.

Giới hạn: \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty\).

Bảng biến thiên

Image

\(\Rightarrow\) Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Hàm số không có cực trị.

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điếm \((0 ;-2)\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(O x\) tại điểm \((-1 ; 0)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((-2;2)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I(-1;0)\).

Image

}

Câu 9:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=-x^3+3x^2-4\).

Tập xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=-3x^2+6x\). Suy ra \(y'=0\) khi \(x=0\) hoặc \(x=2\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x \to -\infty}y=+\infty\); \(\lim\limits_{x \to +\infty}y=-\infty\).

Bảng biến thiên

Image

+) Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;2)\), nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), giá trị cực tiểu \(y_{CT}=-4\). Hàm số đạt cực đại tại \(x=2\), giá trị cực đại \(y_{\text{CĐ}}=0\).

Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm \((0;-4)\).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \((-1;0)\) và \((2;0)\).

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \((1;-2)\).

Image

}

Câu 10:

Cho hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{3}x^3-x^2+4\).

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Đạo hàm \(y'=x^2-2x\); \(y'=0 \Leftrightarrow \hoac{& x=0\\& x=2.}\)

Trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\), \(y'>0\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng \((0;2)\), \(y'<0\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{\text{CĐ}}=4\) và đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{\text{CT}}=\displaystyle\frac{8}{3}\).

\(\lim\limits_{x\to -\infty} y=\lim\limits_{x\to -\infty} x^3 \left(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{4}{x^3}\right)=-\infty\); \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=\lim\limits_{x\to +\infty} x^3 \left(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{4}{x^3}\right)=+\infty\).

Bảng biến thiên

Image

Đồ thị

Khi \(x=0\) thì \(y=4\) nên \((0;4)\) là giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\).

Điểm \((0;4)\) là điểm cực đâị và điểm \(\left(2;\displaystyle\frac{8}{3}\right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình bên. Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left(1;\displaystyle\frac{10}{3}\right)\).

Image

b) Đồ thị hàm số trên có hai điểm cực trị là \(A(0;4)\), \(B\left(2;\displaystyle\frac{8}{3}\right)\).

Suy ra \(AB=\sqrt{2^2+\left(-\displaystyle\frac{4}{3}\right)^2}=\displaystyle\frac{2\sqrt{13}}{3}\).

Câu 11:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: \(y=x^3+x-2\).

Tập xác định: \(\mathbb{R}\).

Sự biến thiên.

Giới hạn tại vô cực \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} y=+\infty, \displaystyle\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} y=+\infty\).

\( y'=3x^{2}+1\);

\(y'=0 \Leftrightarrow 3x^{2}+1>0,\,\, \forall x \in \mathbb{R}\).

Bảng biến thiên

Image

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị.

Giao điểm của đồ thị với trục tung \((0 ; -2)\).

Giao điểm của đồ thị với trục hoành.

Xét phương trình

\(x^{3}+x-2=0 \Leftrightarrow x=1\).

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại điểm \((1; 0)\).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((1 ; 0),(0 ; -2)\) và \(\left(\displaystyle\frac{1}{2} ; -\displaystyle\frac{11}{8}\right)\).

Image

Câu 12:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: \(y=2x^3+x^2-\displaystyle\frac{1}{2}x-3\).

Tập xác định \(\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực: \(\displaystyle\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} y=+\infty, \displaystyle\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} y=-\infty\).

\( y'= 6x^{2} + 2x -\displaystyle\frac{1}{2}\);

\(y'=0 \Leftrightarrow 6x^{2} + 2x -\displaystyle\frac{1}{2}=0 \Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{1}{2}\) và \(x=\displaystyle\frac{1}{6}\).

Bảng biến thiên.

Image

Hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty; -\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) và \(\left(\displaystyle\frac{1}{6}; +\infty\right)\).

Hàm số nghịch biến trên \( \left(-\displaystyle\frac{1}{2}; \displaystyle\frac{1}{6}\right)\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}, y_{\text{CĐ}}=-\displaystyle\frac{11}{4}\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\displaystyle\frac{1}{6}, y_{\mathrm{CT}}=-\displaystyle\frac{329}{108}\).

Đồ thị.

Giao điểm của đồ thị với trục tung: \((0 ; -3)\).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left(\displaystyle\frac{1}{6}; -\displaystyle\frac{329}{108}\right),\left(-\displaystyle\frac{1}{2}; -\displaystyle\frac{11}{4}\right),(0 ; -3)\).

Image

Câu 13:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: \(y =-2{x^3}-3{x^2}+1\).

Tập xác định: \(\mathbb{R}\) .

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm \(y' = - 6{x^2} - 6x;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\,hay\,\,x = - 1\)

Hàm số đã cho có 2 cực trị.

Các giới hạn tại vô cực:

\(\lim\limits_{x \to - \infty } y = \lim\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( { - 2 - \displaystyle\frac{3}{x} + \displaystyle\frac{1}{{{x^3}}}} \right) = + \infty ;\\ \lim\limits_{x \to + \infty } y = \lim\limits_{x \to + \infty } {x^3}\left( { - 2 - \displaystyle\frac{3}{x} + \displaystyle\frac{1}{{{x^3}}}} \right) = - \infty {\rm{.}} \)

Bảng biến thiên:

Image

Đồ thị:

Image

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left( { - \displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{1}{2}} \right)\)

Câu 14:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {x^3}+3{x^2}+3x+2\).

Tập xác định: \(\mathbb{R}\) .

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm \(y' = 3{x^2} + 6x + 3;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) . Do \(y' \ge 0\) trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Hàm số đã cho không có cực trị.

Các giới hạn tại vô cực:

\(\lim\limits_{x \to - \infty } y = \lim\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( {1 + \displaystyle\frac{3}{x} + \displaystyle\frac{3}{{{x^2}}} + \displaystyle\frac{2}{{{x^3}}}} \right) = - \infty;\)

\(\lim\limits_{x \to + \infty } y = \lim\limits_{x \to + \infty } {x^3}\left( {1 + \displaystyle\frac{3}{x} + \displaystyle\frac{3}{{{x^2}}} + \displaystyle\frac{2}{{{x^3}}}} \right) = + \infty {\rm{.}}\)

Bảng biến thiên:

Image

Đồ thị:

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn trên Hình b. Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left( {- 1;1} \right)\)

Image

Câu 15:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số \(y = - {x^3} - \displaystyle\frac{3}{2}{x^2} - \displaystyle\frac{3}{2}x\) .

Tập xác định: \(\mathbb{R}\) .

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm \(y' = - 3{x^2} - 3x - \frac{3}{2}\) . Do \(y' < 0\) trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) .

Hàm số đã cho không có cực trị.

Các giới hạn tại vô cực:

\(\lim\limits_{x \to - \infty } y = \lim\limits_{x \to - \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 + \displaystyle\frac{3}{{2x}} + \displaystyle\frac{3}{{2{x^2}}}} \right)} \right] = + \infty ; \lim\limits_{x \to + \infty } y = \lim\limits_{x \to + \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 + \displaystyle\frac{3}{{2x}} + \displaystyle\frac{3}{{2{x^2}}}} \right)} \right] = - \infty .\)

Bảng biến thiên:

Image

Đồ thị:

Đồ thị của hàm số đi qua gốc toạ độ \(O\left( {0;0} \right)\) và điểm \(\left( { - 1;1} \right)\) .

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn trên Hình 2. Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left( { - \displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{1}{2}} \right)\)

Image

Câu 16:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).

Tập xác định: \(\mathbb{R}\) .

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm \(y' = 3{x^2} - 6x;y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\) .

Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right),y' > 0\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng \(\left( {0;2} \right),y' < 0\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CĐ}} = 2\) .

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và \({y_{CT}} = - 2\) .

Các giới hạn tại vô cực:

\( \lim\limits_{x \to - \infty } y = \lim\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( {1 - \displaystyle\frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^3}}}} \right) = - \infty ; \lim\limits_{x \to + \infty } y = \lim\limits_{x \to + \infty } {x^3}\left( {1 - \displaystyle\frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^3}}}} \right) = + \infty {\rm{.\;}}\)

Bảng biến thiên:

Image

Đồ thị:

Khi \(x = 0\) thì \(y = 2\) nên \(\left( {0;2} \right)\) là giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\) .

Ta có

\(y = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 1{\rm{\;hay\;}}x = 1 - \sqrt 3 {\rm{\;hay\;}}x = 1 + \sqrt 3 {\rm{.\;}}\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục \(Ox\) tại ba điểm \(\left( {1;0} \right),\left( {1 + \sqrt 3 ;0} \right),\left( {1 - \sqrt 3 ;0} \right)\) ,.

Điểm \(\left( {0;2} \right)\) là điểm cực đại và điểm \(\left( {2; - 2} \right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Image

Câu 17:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: \(y=-x^3=3x+1\).

Tâm xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Ta có \(y'=-3x^2+3\). Vậy \(y'=0\) khi \(x=\pm1\).

Trên khoảng \((-1;1)\), \(y'>0\) nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((1;+\infty)\), \(y'<0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1\), giá trị cực tiểu \(y_{ct}=-1\). Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\), giá trị cực đại \(y_{\text{cđ}}=3\).

Giới hạn vô cực

\(\lim\limits_{x \to -\infty}y=\lim\limits_{x \to -\infty}x^3\left(-1+\displaystyle\frac{3}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}\right)=+\infty\);

\(\lim\limits_{x \to +\infty}y=\lim\limits_{x \to +\infty}x^3\left(-1+\displaystyle\frac{3}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}\right)=-\infty\).

Bảng biến thiên

Image

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm \((0;1)\).

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \((0;1)\).

Image

Câu 18:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: \(y=x^3+3x^2-x-1\).

Tâm xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Ta có \(y'=3x^2+6x-1\). Vậy \(y'=0\) khi \(x=x_{cd}=\displaystyle\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}\) hoặc \(x=x_{ct}=\displaystyle\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}\).

Trên khoảng \((x_1;x_2)\), \(y'<0\) nên hàm số nghịch biến. Trên các khoảng \((-\infty;x_1)\) và \((x_2;+\infty)\), \(y'>0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=x_1\), giá trị cực tiểu \(y_{cd}=\displaystyle\frac{18+6\sqrt{3}}{9}\). Hàm số đạt cực đại tại \(x=x_2\), giá trị cực đại \(y_{\text{ct}}=\displaystyle\frac{18-16\sqrt{3}}{9}\).

Giới hạn vô cực

\(\lim\limits_{x \to -\infty}y=-\infty\);

\(\lim\limits_{x \to +\infty}y=+\infty\).

Bảng biến thiên

Image

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm \((0;-1)\).

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \((1;2)\).

Image

Câu 19:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=-x^3+3x^2-4\).

Tâm xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Ta có \(y'=-3x^2+6x\). Vậy \(y'=0\) khi \(x=0\) hoặc \(x=2\).

Trên khoảng \((0;2)\), \(y'>0\) nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\), \(y'<0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), giá trị cực tiểu \(y_{CT}=-4\). Hàm số đạt cực đại tại \(x=2\), giá trị cực đại \(y_{\text{CĐ}}=0\).

Giới hạn vô cực

\(\lim\limits_{x \to -\infty}y=\lim\limits_{x \to -\infty}x^3\left(-1+\displaystyle\frac{3}{x}-\displaystyle\frac{4}{x^3}\right)=+\infty\);

\(\lim\limits_{x \to +\infty}y=\lim\limits_{x \to +\infty}x^3\left(-1+\displaystyle\frac{3}{x}-\displaystyle\frac{4}{x^3}\right)=-\infty\).

Bảng biến thiên

Image

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm \((0;-4)\).

Ta có \(y=0\Leftrightarrow-x^3+3x^2-4=0\Leftrightarrow-(x-2)^2(x+1)=0\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=2\). Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \((-1;0)\) và \((2;0)\).

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \((1;-2)\).

Image

Câu 20:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=x^3-2x^2+2x-1\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Ta có \(y'=3x^2-4x+2\). Vậy \(y'>0, \forall x\in\mathbb{R}\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty; +\infty)\).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn vô cực:

\(\lim\limits_{x \to -\infty}y=\lim\limits_{x \to -\infty}x^3\left(1-\displaystyle\frac{2}{x}+\displaystyle\frac{2}{x^2}-\displaystyle\frac{1}{x^3}\right)=-\infty\),

\(\lim\limits_{x \to +\infty}y=\lim\limits_{x \to +\infty}x^3\left(1-\displaystyle\frac{2}{x}+\displaystyle\frac{2}{x^2}-\displaystyle\frac{1}{x^3}\right)=+\infty\).

Bảng biến thiên

Image

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \((0;-1)\).

Ta có \(y=0\Leftrightarrow x^3-2x^2+2x-1=0\Leftrightarrow x=1\).

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \((1;0)\).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(\left(\displaystyle\frac{2}{3};\displaystyle\frac{-7}{27}\right)\).

Image

Câu 21:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=-2x^3+3x^2-5x\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Ta có \(y'=-6x^2+6x-5\). Vậy \(y'<0, \forall x\in\mathbb{R}\).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn vô cực

\(\lim\limits_{x \to -\infty}y=\lim\limits_{x \to -\infty}(-2x^3+3x^2-5x)=\lim\limits_{x \to -\infty}x^3\left(-2+\displaystyle\frac{3}{x}-\displaystyle\frac{5}{x^2}\right)=+\infty\);

\(\lim\limits_{x \to +\infty}y=\lim\limits_{x \to +\infty}(-2x^3+3x^2-5x)=\lim\limits_{x \to +\infty}x^3\left(-2+\displaystyle\frac{3}{x}-\displaystyle\frac{5}{x^2}\right)=-\infty\).

Bảng biến thiên

Image

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \((0,0)\).

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(\left(\displaystyle\frac{1}{2};-2\right)\).

Image

Câu 22:

Cho hàm số \(y=-x^3+3x+1\). Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị và chỉ ra tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số \(y=- x^3 + 3 x + 1\).

Tập xác định: \(\mathbb{R}\).

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm \(y'=3 - 3 x^2\);

\(y'=0 \Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=1\).

Trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\), \(y' > 0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng~đó.

Trên khoảng \(\left(-1;1\right)\), \(y' < 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng~đó.

Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = -1\) và \(y_{\text{CT}} = -1\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\) và \(y_{\text{CĐ}} = 3\).

Các giới hạn tại vô cực:

\(\lim\limits_{x\to-\infty}y=\lim\limits_{x\to-\infty}x^3\left(-1 + \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^3}\right)=+\infty; \lim\limits_{x\to+\infty}y=\lim\limits_{x\to+\infty}x^3\left(-1 + \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^3}\right)=-\infty.\)

Bảng biến thiên:

Image

Đồ thị:

Khi \(x = 0\) thì \(y = 1\) nên \(\left(0;1\right)\) là giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\).

Ta có \(\begin{aligned}y=0 & \Leftrightarrow - x^3 + 3 x + 1=0\\& \Leftrightarrow x\in \{x_1, x_2, x_3\}.\end{aligned}\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục \(Ox\) tại ba điểm có hành độ \(x_1, x_2, x_3\).

Điểm \(\left(-1;-1\right)\) là điểm cực tiểu và điểm \(\left(1;3\right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Image

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left(0;1\right)\).

Câu 23:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: \(y=x^3+3x^2-4\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực:

\(\lim\limits_{x\to -\infty}y=-\infty\);

\(\lim\limits_{x\to +\infty}y=+\infty\).

Ta có \(y'=3x^2+6x\); \(y'=0\Leftrightarrow3x^2+6x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=-2\).

Bảng biến thiên

Image

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\) và \((0;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\).

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), \(y_{\text{CĐ}}=0\);

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), \(y_{\text{CT}}=-4\).

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;-4)\).

Ta có \(x^3+3x^2-4=0\Leftrightarrow x=1 \) hoặc \(x=-2\), do đó đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại hai điểm là \((1;0)\) và \((-2;0)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((-3;-4)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I(-1;-2)\).

Image

Câu 24:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: \(y=x^3+4x^2+4x\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực:

\(\lim\limits_{x\to -\infty}y=-\infty\);

\(\lim\limits_{x\to +\infty}y=+\infty\).

Ta có \(y'=3x^2+8x+4\); \(y'=0\Leftrightarrow3x^2+8x+4=0\Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{2}{3}\) hoặc \(x=-2\).

Bảng biến thiên

Image

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\) và \(\left(-\displaystyle\frac{2}{3};+\infty\right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left(-2;-\displaystyle\frac{2}{3}\right)\).

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), \(y_{\text{CĐ}}=0\);

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\displaystyle\frac{2}{3}\), \(y_{\text{CT}}=-\displaystyle\frac{32}{27}\).

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;0)\).

Ta có \(x^3+4x^2+4x=0\Leftrightarrow x=0 \) hoặc \(x=-2\), do đó đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại hai điểm là \((0;0)\) và \((-2;0)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((-3;-3)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I\left (-\displaystyle\frac{4}{3};-\displaystyle\frac{16}{27}\right )\).

Image

Câu 25:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: \(y=-2x^3+2\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực:

\(\lim\limits_{x\to -\infty}y=+\infty\);

\(\lim\limits_{x\to +\infty}y=-\infty\).

Ta có \(y'=-6x^2\); \(y'=0\Leftrightarrow -6x^2=0\Leftrightarrow x=0\).

Bảng biến thiên

Image

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;2)\).

Ta có \(-2x^3+2=0\Leftrightarrow x=1 \), do đó đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \((1;0)\)

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((-1;4)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I(0;2)\).

Image

Câu 26:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: \(y=-x^3-x^2-x+1\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực:

\(\lim\limits_{x\to -\infty}y=+\infty\);

\(\lim\limits_{x\to +\infty}y=-\infty\).

Ta có \(y'=-3x^2-2x-1\); \(y'=0\Leftrightarrow -3x^2-2x-1=0\) vô nghiệm.

Bảng biến thiên

Image

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;1)\).

Ta có \(-x^3-x^2-x+1=0\Leftrightarrow x=1 \), do đó đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \((1;0)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((-1;2)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I\left (-\displaystyle\frac{1}{3};\displaystyle\frac{34}{27}\right )\).

Image

Câu 27:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=f(x)=-x^3 + 2x^2 + 4x - 3\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên:

Giới hạn

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(-x^3 + 2x^2 + 4x - 3\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left[x^3\left(-1+\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}-\frac{3}{x^3 }\right)\right]=-\infty\);

\(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}\left(-x^3 + 2x^2 + 4x - 3\right)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}\left[x^3\left(-1+\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}-\frac{3}{x^3 }\right)\right]=+\infty\).

Ta có \(y'=-3 x^2 + 4 x + 4\);

\begin{eqnarray*}y'=0 &\Leftrightarrow& -3 x^2 + 4 x + 4=0 \\&\Leftrightarrow& x =-\frac{2}{3} \text { hoặc } x=2.\end{eqnarray*}

Bảng biến thiên

Image

Chiều biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{2}{3} ; 2\right)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty ; -\displaystyle\frac{2}{3}\right)\) và \((2 ;+\infty)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=2, f_{\text{CĐ}}=f(2)=5\); Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\frac{2}{3}, f_{\mathrm{CT}}=f(-\frac{2}{3})=-\displaystyle\frac{121}{27}\).

Đồ thị

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm \((0 ; -3)\). Ta có

\begin{eqnarray*}-x^3 + 2x^2 + 4x - 3 =0&\Leftrightarrow& (x-3)(-x^2-x+1)=0\\&\Leftrightarrow& x=3 \text { hoặc } x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}.\end{eqnarray*}

Do đó đồ thị hàm số giao với trục \(O x\) tại các điểm là \((3 ; 0)\) và \((\frac{1\pm \sqrt{5}}{2} ; 0)\).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I(\frac{2}{3} ; \frac{7}{27})\).

Đồ thị hàm số được cho như Hình 1.32.

Image

Câu 28:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x + 1\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên:

Giới hạn

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x + 1\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left[x^3\left(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3 }\right)\right]=+\infty\);

\(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x + 1\right)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}\left[x^3\left(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3 }\right)\right]=-\infty\).

Ta có \(y'=x^2 -2x + 1\);

\begin{eqnarray*}y'=0 &\Leftrightarrow& x^2 -2x + 1=0 \\&\Leftrightarrow& x =1.\end{eqnarray*}

Bảng biến thiên

Image

Chiều biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ; 1)\) và \((1 ; +\infty)\).

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm \((0 ; 1)\). Ta có

\begin{eqnarray*}\displaystyle\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x + 1 =0 &\Leftrightarrow& x=1 -\sqrt[3]{4}.\end{eqnarray*}

Do đó đồ thị hàm số giao với trục \(O x\) tại điểm là \((1 -\sqrt[3]{4} ; 0)\).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I(1 ; \frac{4}{3})\).

Đồ thị hàm số được cho như Hình 1.33.

Image

Câu 29:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=f(x)=x^3-3 x^2+4\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên:

Giới hạn

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(x^3-3 x^2+4\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left[x^3\left(1-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^3}\right)\right]=+\infty\);

\(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}\left(x^3-3 x^2+4\right)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}\left[x^3\left(1-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^3}\right)\right]=-\infty\).

Ta có \(y'=3 x^2-6 x\);

\begin{eqnarray*}y'=0 &\Leftrightarrow& 3x^2-6x=0 \\&\Leftrightarrow& x=0 \text { hoặc } x=2.\end{eqnarray*}

Bảng biến thiên

Image

Chiều biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ; 0)\) và \((2 ;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((0 ; 2)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0, f_{\text{CĐ}}=f(0)=4\); Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2, f_{\mathrm{CT}}=f(2)=0\).

Đồ thịĐồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0 ; 4)\).

Ta có

\begin{eqnarray*}x^3-3 x^2+4=0 &\Leftrightarrow& (x-2)^2(x+1)=0\\&\Leftrightarrow& x=-1 \text { hoặc } x=2.\end{eqnarray*}

Do đó đồ thị hàm số giao với trục \(O x\) tại hai điểm là \((-1 ; 0)\) và \((2 ; 0)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((3 ; 4)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I(1 ; 2)\).

Image

Câu 30:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=f(x)=-x^3-3 x^2-4 x-2\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên:

Giới hạn

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(-x^3-3 x^2-4 x-2\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left[x^3\left(-1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right)\right]=-\infty\);

\(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}\left(-x^3-3 x^2-4 x-2\right)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}\left[x^3\left(-1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right)\right]=+\infty\).

Ta có \(y'=-3 x^2-6 x-4\); Phương trình \(y' = 0\) vô nghiệm.

Bảng biến thiên

Image

Chiều biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điếm \((0 ;-2)\). Ta có

\(-x^3-3 x^2-4 x-2=(x+1)\left(-x^2-2 x-2\right)=0 \Leftrightarrow x=-1.\)

Do đó đồ thị hàm số giao với trục \(O x\) tại điểm \((-1 ; 0)\).

Đổ thị hàm số đi qua điểm \((-2 ; 2)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I(-1 ; 0)\).}{

Image

Câu 31:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x-1}{x+1}\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{2}{(x+1)^2}>0\) với mọi \(x\in\mathscr{D}\). Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=1\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^-}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^+}y=-\infty\).

\(\Rightarrow\) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y=1\) và tiệm cận đứng \(x=-1\).

Bảng biến thiên:

Image

Bảng giá trị:

Image

Đồ thị:

Image

}

Câu 32:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{-2x}{x+1}\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{-2}{(x+1)^2}<0\) với mọi \(x\in\mathscr{D}\). Suy ra hàm số nghịch biến trên từng khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=-2\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^-}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^+}y=+\infty\).

\(\Rightarrow\) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y=-2\) và tiệm cận đứng \(x=-1\).

Bảng biến thiên:

Image

Bảng giá trị:

Image

Đồ thị:

Image

}

Câu 33:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x-2}{x+1}\).

Tập xác định: \(\mathbb{R} \backslash\{-1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{3}{(x+1)^2}>0\) với mọi \(x \neq-1\). Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\).

Giới hạn:

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to-1^{+}} y=+\infty\), suy ra đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to+\infty} y=1\), \(\displaystyle\lim\limits_{x \to-\infty} y=1\). Suy ra đường thẳng \(y=1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên.

Image

Giao điểm của đồ thị với trục tung: \((0;-2)\).

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \((2;0)\).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((0;-2)\), \((2;0)\), \((-2;4)\) và \((-4;2)\).

Image

}

Câu 34:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{2 x+1}{x-1}\).

Tập xác định \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{-3}{(x-1)^{2}}<0\) với mọi \(x \neq 1\). Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty ; 1)\) và \((1 ;+\infty)\).

Giới hạn:

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 1^{+}} y=+\infty\). Suy ra đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} y=2, \displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} y=2\). Suy ra đường thẳng \(y=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên.

Image

Giao điểm của đồ thị với trục tung: \((0 ;-1)\).

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(\left(-\displaystyle\frac{1}{2} ; 0\right)\).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((0;-1)\), \(\left(-\displaystyle\frac{1}{2};0\right)\), \((-2;1)\), \((2;5)\), \(\left(\displaystyle\frac{5}{2};4\right)\) và \((4;3)\).

Image

}

Câu 35:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{-x + 1}{x - 2}\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{1}{(x - 2)^2}> 0,\ \forall x \in \mathscr{D}\), suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ; 2)\) và \((2 ;+\infty)\).

Giới hạn, tiệm cận

\(\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} f(x)=-\infty\), suy ra đường thẳng \(x = 2\) là đường tiệm cận đứng.

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=-1\), \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=-1\). Suy ra đường thẳng \(y = -1\) là đường tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên

Image

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0 ; -\displaystyle\frac{1}{2})\) và giao với trục \(Ox\) tại điểm \((1 ; 0)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((3 ;-2)\), nhận giao điểm \(I(2 ;-1)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Image

}

Câu 36:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x+1}{x+1}\).

Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus\{-1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{1}{(x+1)^{2}}>0\) với mọi \(x \neq -1\). Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\) và không có cực trị.

Giới hạn và tiệm cận:

\(\lim\limits_{x \to(-1)^{+}} y=\lim _{x \rightarrow (-1)^{+}} \displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=-\infty\);

\(\lim\limits_{x \to+\infty} y=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=2\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} y=\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=2\).

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=-1\), tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=2\).

Bảng biến thiên:

Image

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left(0 ;1\right)\).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left(0;-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(-1;2)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

Image

}

Câu 37:

Cho hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-1}$.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Gọi $A$ là giao điểm của đồ thị hàm số với trục $Oy$, $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tìm điểm $B$ đối xứng với $A$ qua $I$. Chứng minh rằng điểm $B$ cũng thuộc đồ thị hàm số này.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Tập xác định $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

Sự biến thiên

Đạo hàm $y'=-\dfrac{3}{(x-1)^2}$. Vì $y'<0$ với mọi $x\neq 1$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$.

Ta có $\lim\limits_{x\to -\infty} y=\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{2x+1}{x-1}=2$; $\lim\limits_{x\to +\infty} y=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{2x+1}{x-1}=2$.

$\Rightarrow$ Đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Lại có $\lim\limits_{x\to 1^{-}} y=\lim\limits_{x\to 1^{-}} \dfrac{2x+1}{x-1}=-\infty$; $\lim\limits_{x\to 1^{+}} y=\lim\limits_{x\to 1^{+}} \dfrac{2x+1}{x-1}=+\infty$.

$\Rightarrow$ Đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

Image

Đồ thị

Đồ thị của hàm số giao với trục $Ox$ tại điểm $\left(-\dfrac{1}{2};0\right)$, giao với trục $Oy$ tại điểm $(0;-1)$.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình bên. Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm $I(1;2)$.

Image

b) Ta có $A(0;-1)$ và $I(1;2)$.

Do điểm $B$ đối xứng với $A$ qua $I$ nên $I$ là trung điểm của đoạn $AB$ $\Rightarrow B(2;5)$.

Thay tọa độ $B$ vào đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-1}$ ta có $5=\dfrac{2\cdot 2+1}{2-1} \Leftrightarrow 5=5$ (đúng).

Vậy điểm $B$ cũng thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Câu 38:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: $y=3+ \dfrac{1}{x}$.

Tập xác định: $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Đạo hàm: $y'=-\dfrac{1}{x^2}<0$ với mọi $x\in\mathscr{D}$.

Suy ra hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty;0)$ và $(0;+\infty)$.

Giới hạn: $\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=3$, $\lim\limits_{x\to(0)^-}y=-\infty$, $\lim\limits_{x\to(0)^+}y=+\infty$.

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=3$ và tiệm cận đứng $x=0$.

Bảng biến thiên:

Image

Bảng giá trị:

Image

Đồ thị:

Image

Câu 39:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: $y=\dfrac{x-3}{1-x}$.

Tập xác định: $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

Đạo hàm: $y'=\dfrac{-2}{(1-x)^2}<0$ với mọi $x\in\mathscr{D}$.

Suy ra hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$.

Giới hạn: $\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=-1$, $\lim\limits_{x\to(1)^-}y=-\infty$, $\lim\limits_{x\to(1)^+}y=+\infty$.

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=-1$ và tiệm cận đứng $x=1$.

Bảng biến thiên:

Image

Bảng giá trị:

Image

Đồ thị:

Image

Câu 40:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {1} \right\}$

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ . Vì $y' < 0$ với mọi $x \ne 1 $ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {- \infty;1} \right)$ và $\left( { 1; + \infty } \right)$

Tiệm cận:

Ta có $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ x + 1}}{{x -1}} = 1;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ x + 1}}{{x -1}} = 1$ .

Suy ra đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} = - \infty $ .

Suy ra đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Image

Đồ thị:

Image

Đồ thị của hàm số giao với trục $Ox$ tại điểm $\left( {-1;0} \right)$ , giao với trục $Oy$ tại điểm $\left( {0;-1} \right)$ .

Đồ thị của hàm số được biểu diễn trên Hình a).

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I\left( { 1; 1} \right)$ .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận $x = 1$ và $y = 1$.

Câu 41:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: $y = \dfrac{{2x}}{{3x - 1}}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { \dfrac{1}{3}} \right\}$

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{(3x - 1)}^2}}}$ . Vì $y' < 0$ với mọi $x \ne \dfrac{1}{3}$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; \dfrac{1}{3}} \right)$ và $\left( { \dfrac{1}{3}; + \infty } \right)$

Tiệm cận:

Ta có $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ 2x }}{{3x - 1}} = \dfrac{2}{3};\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ 2x }}{{3x - 1}} = \dfrac{2}{3}$ .

Suy ra đường thẳng $y = \dfrac{2}{3}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { \frac{1}{3}} \right)}^ - }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { \frac{1}{3}} \right)}^ - }} \dfrac{{ 2x }}{{3x - 1}} = - \infty ;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { \frac{1}{3}} \right)}^ + }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { \frac{1}{3}} \right)}^ + }} \dfrac{{ 2x }}{{3x - 1}} = + \infty $ .

Suy ra đường thẳng $x = \dfrac{1}{3}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Image

Đồ thị:

Image

Đồ thị của hàm số đi qua gốc tọa độ $\left( {0;0} \right)$ .

Đồ thị của hàm số được biểu diễn trên Hình b).

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I\left( { \dfrac{1}{3}; \dfrac{2}{3}} \right)$ .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận $x = \dfrac{1}{3}$ và $y = \dfrac{2}{3}$.

Câu 42:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: $y = \dfrac{{5 + x}}{{2 - x}}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { 2} \right\}$

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y' = \dfrac{{ 7}}{{{{(-x + 2)}^2}}}$ . Vì $y' > 0$ với mọi $x \ne 2$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; 2} \right)$ và $\left( { 2; + \infty } \right)$

Tiệm cận:

Ta có $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ x + 5}}{{-x + 2}} = -1 ;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ x + 5}}{{-x + 2}} = -1 $ .

Suy ra đường thẳng $y = -1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { 2} \right)}^ - }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { 2} \right)}^ - }} \dfrac{{ x + 5}}{{-x +2}} = + \infty ;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { 2} \right)}^ + }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { 2} \right)}^ + }} \dfrac{{ x + 5}}{{-x + 2}} = - \infty $ .

Suy ra đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Image

Đồ thị:

Image

Đồ thị của hàm số giao với trục $Oy$ tại điểm $\left( {0;\dfrac{5}{2}} \right)$ .

Đồ thị của hàm số được biểu diễn trên Hình c).

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I\left( 2; -1 \right)$ .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận $x = 2$ và $y = - 1$ .

Câu 43:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số $y = \dfrac{{ - x + 2}}{{2x + 3}}$ .

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { - \dfrac{3}{2}} \right\}$

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y' = \dfrac{{ - 7}}{{{{(2x + 3)}^2}}}$ . Vì $y' < 0$ với mọi $x \ne - \dfrac{3}{2}$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right)$ và $\left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)$

Tiệm cận:

Ta có $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - x + 2}}{{2x + 3}} = - \dfrac{1}{2};\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ - x + 2}}{{2x + 3}} = - \dfrac{1}{2}$ .

Suy ra đường thẳng $y = - \dfrac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^ - }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^ - }} \dfrac{{ - x + 2}}{{2x + 3}} = - \infty ;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^ + }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^ + }} \dfrac{{ - x + 2}}{{2x + 3}} = + \infty $ .

Suy ra đường thẳng $x = - \dfrac{3}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Image

Đồ thị:

Image

Đồ thị của hàm số giao với trục $Ox$ tại điểm $\left( {2;0} \right)$ , giao với trục $Oy$ tại điểm $\left( {0;\dfrac{2}{3}} \right)$ .

Đồ thị của hàm số được biểu diễn trên Hình 4.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I\left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)$ .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận $x = - \dfrac{3}{2}$ và $y = - \dfrac{1}{2}$.

Câu 44:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số $y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}$ .

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { - 1} \right\}$.

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y' = \dfrac{3}{{{{(x + 1)}^2}}}$ . Vì $y' > 0$ với mọi $x \ne - 1$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$ .

Tiệm cận:

Ta có $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2; \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2$ .

Suy ra đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - {1^ - }} \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} = + \infty ;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - {1^ + }} \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} = - \infty $ .

Suy ra đường thẳng $x = - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Image

Đồ thị:

Đồ thị của hàm số giao với trục $Ox$ tại điểm $\left( {\dfrac{1}{2};0} \right)$ , giao với trục $Oy$ tại điểm $\left( {0; - 1} \right)$ .

Đồ thị của hàm số được biểu diễn trên Hình 3.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I\left( { - 1;2} \right)$ . Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận $x = - 1$ và $y = 2$ .

Image

Câu 45:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\dfrac{x+1}{x-2}$.

Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R} \setminus\{2\}$.

Sự biến thiên

Ta có: $y^{\prime}=-\dfrac{3}{(x-2)^{2}}<0$ với mọi $x \neq 2$.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ; 2)$ và $(2 ;+\infty)$.

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận

$\begin{aligned}&\lim _{x \rightarrow 2^{-}} y=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \dfrac{x+1}{x-2}=-\infty ; \lim _{x \rightarrow 2^{+}} y=\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \dfrac{x+1}{x-2}=+\infty;\\&\lim _{x \rightarrow+\infty} y=\lim _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{x+1}{x-2}=1 ; \lim _{x \rightarrow-\infty} y=\lim _{x \rightarrow-\infty} \dfrac{x+1}{x-2}=1.\end{aligned}$

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$, tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$.

Bảng biến thiên:

Image

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0 ;-\dfrac{1}{2}\right)$.

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $(-1 ; 0)$.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm $(2 ; 1)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

Image

Câu 46:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: $y=\dfrac{2x+1}{x+1}$.

Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R} \setminus\{-1\}$.

Sự biến thiên

Ta có: $y^{\prime}=\dfrac{1}{(x+1)^{2}}>0$ với mọi $x \neq -1$.

Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ; -1)$ và $(-1 ;+\infty)$.

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận

$\begin{aligned}&\lim _{x \rightarrow (-1)^{-}} y=\lim _{x \rightarrow (-1)^{-}} \dfrac{2x+1}{x+1}=+\infty ; \lim _{x \rightarrow )(-1)^{+}} y=\lim _{x \rightarrow (-1)^{+}} \dfrac{2x+1}{x+1}=-\infty;\\&\lim _{x \rightarrow+\infty} y=\lim _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{2x+1}{x+1}=2 ; \lim _{x \rightarrow-\infty} y=\lim _{x \rightarrow-\infty} \dfrac{2x+1}{x+1}=2.\end{aligned}$

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$, tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$.

Bảng biến thiên:

Image

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0 ;1\right)$.

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left(0;-\dfrac{1}{2}\right)$.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I(-1 ; 2)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

Image

Câu 47:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: $y=\dfrac{x+3}{1-x}$.

Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R} \setminus\{1\}$.

Sự biến thiên

Ta có: $y^{\prime}=\dfrac{4}{(x-1)^{2}}>0$ với mọi $x \neq -1$.

Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ; 1)$ và $(1 ;+\infty)$.

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận

$\begin{aligned}&\lim _{x \rightarrow 1^{-}} y=\lim _{x \rightarrow (-1)^{-}} \dfrac{x+3}{-x+1}=+\infty ; \lim _{x \rightarrow 1^{+}} y=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \dfrac{x+3}{-x+1}=-\infty;\\&\lim _{x \rightarrow+\infty} y=\lim _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{x+3}{-x+1}=-1 ; \lim _{x \rightarrow-\infty} y=\lim _{x \rightarrow-\infty} \dfrac{x+3}{-x+1}=-1.\end{aligned}$

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$, tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-1$.

Bảng biến thiên:

Image

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left(-3 ;0\right)$.

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $(0;3)$.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I(1 ; -1)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

Image

Câu 48:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=f(x)=\dfrac{-x + 1}{x - 2}$.

Tập xác định: $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}$.

Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận

$\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow 2^+}\dfrac{-x + 1}{x - 2}=-\infty$; $\lim\limits_{x \rightarrow 2^-} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow 2^-}\dfrac{-x + 1}{x - 2}= +\infty$.

Suy ra đường thẳng $x = 2$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

$\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\dfrac{-x + 1}{x - 2}=-1; \lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{-x + 1}{x - 2}=-1$.

Suy ra đường thẳng $y = -1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có $y'=\dfrac{1}{(x - 2)^2}> 0, \forall x \in \mathscr{D}$; $y'$ không xác định tại $x = 2$.

Bảng biến thiên

Image

Chiều biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ; 2)$ và $(2 ;+\infty)$.

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị

Vẽ các đường tiệm cận $x = 2$ và $y = -1$.

Đồ thị hàm số giao với trục $Oy$ tại điểm $(0 ; -\dfrac{1}{2})$ và giao với trục $Ox$ tại điểm $(1 ; 0)$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(3 ;-2)$, nhận giao điểm $I(2 ;-1)$ của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.}{

Image

Câu 49:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị của hàm số $y=f(x)=\dfrac{2x + 4}{2x + 1}$.

Tập xác định: $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-\frac{1}{2}\}$.

Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận

$\lim\limits_{x \rightarrow (-\frac{1}{2})^+} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow -(-\frac{1}{2})^+}\dfrac{2x + 4}{2x + 1}=+\infty$; $\lim\limits_{x \rightarrow (-\frac{1}{2})^-} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow (-\frac{1}{2})^-}\dfrac{2x + 4}{2x + 1}= -\infty$.

Suy ra đường thẳng $x = -\frac{1}{2}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

$\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\dfrac{2x + 4}{2x + 1}=1; \lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{2x + 4}{2x + 1}=1$.

Suy ra đường thẳng $y = 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có $y'=-\dfrac{6}{(2x + 1)^2}< 0, \forall x \in \mathscr{D}$; $y'$ không xác định tại $x = -\frac{1}{2}$.

Bảng biến thiên

Image

Chiều biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ; -\frac{1}{2})$ và $(-\frac{1}{2} ;+\infty)$.

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị

Vẽ các đường tiệm cận $x = -\dfrac{1}{2}$ và $y = 1$.

Đồ thị hàm số giao với trục $Oy$ tại điểm $(0 ; 4)$ và giao với trục $Ox$ tại điểm $(-2;0)$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(3 ;-2)$, nhận giao điểm $I\left(-\dfrac{1}{2} ;1\right)$ của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Image

Câu 50:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: $y=\dfrac{x-2}{2x+1}$

Tập xác định $\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\dfrac{1}{2} \right\}$.

Đạo hàm $y'=\dfrac{5}{(2x+1)^2}>0, \forall x\ne -\dfrac{1}{2}$.

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty;-\dfrac{1}{2}\right)$ và $\left(-\dfrac{1}{2};+\infty\right)$.

Giới hạn \& tiệm cận.

+ $ \lim\limits_{x \to {-\tfrac{1}{2}^-}}y=+\infty; \lim\limits_{x \to {-\tfrac{1}{2}^+}}y=-\infty$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-\dfrac{1}{2}$.

+$\lim\limits_{x \to \pm \infty}y=\dfrac{1}{2}$. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=\dfrac{1}{2}$.

Bảng biến thiên

Image

Đồ thị

Vẽ các đường tiệm cận $x=-\dfrac{1}{2}$ và $y=\dfrac{1}{2}$.

Đồ thị hàm số giao với trục $Oy$ tại điểm $(0;-2)$ và giao với trục $Ox$ tại điểm $(2;0)$.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$ của hai đường tiệp cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Image

Câu 51:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: $y=\dfrac{1-2x}{2x+4}$.

Tập xác định $\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}$.

Đạo hàm $y'=\dfrac{8}{(2x+4)^2}>0, \forall x\ne -2$.

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty;-2\right)$ và $\left(-2;+\infty\right)$.

Giới hạn \& tiệm cận.

+ $ \lim\limits_{x \to {-2^-}}y=+\infty; \lim\limits_{x \to {-2^+}}y=-\infty$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-2$.

+$\lim\limits_{x \to \pm \infty}y=-1$. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=-1$.

Bảng biến thiên

Image

Đồ thị

Vẽ các đường tiệm cận $x=-2$ và $y=-1$.

Đồ thị hàm số giao với trục $Oy$ tại điểm $\left(\dfrac{1}{2};0\right)$ và giao với trục $Ox$ tại điểm $\left(0;\dfrac{1}{4}\right)$.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I\left(-2;-1\right)$ của hai đường tiệp cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Image

Câu 52:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2-3x+6}{x-1}\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(2x-3)(x-1)-(x^2-3x+6)}{(x-1)^2}=\displaystyle\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}\).

\[y'=0\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=3.\]

Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=x-2+\displaystyle\frac{4}{x-1}\).

\(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to1^-}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to1^+}y=+\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=1\).

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(x-2)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{4}{x-1}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=x-2\).

Bảng biến thiên:

Image

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-1;1)\), \((3;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\), \((1;3)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), \(y_{_\text{CĐ}}=-5\); đạt cực tiểu tại \(x=3\), \(y_{_\text{CT}}=3\).

Bảng giá trị:

Image

Đồ thị:

Image

}

Câu 53:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{-x^2+2x-4}{x-2}\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(-2x+2)(x-2)-(-x^2+2x-4)}{(x-2)^2}=\displaystyle\frac{-x^2+4x}{(x-2)^2}\).

\(y'=0\Leftrightarrow -x^2+4x=0\Leftrightarrow x=0\); \(x=4.\)

Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=-x-\displaystyle\frac{4}{x-2}\).

\(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).

\(\lim\limits_{x\to2^-}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to2^+}y=-\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=2\).

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(-x)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{-4}{x-2}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=-x\).

Bảng biến thiên:

Image

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((0;2)\), \((4;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;0)\), \((2;4)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), \(y_{_\text{CT}}=2\); đạt cực đại tại \(x=4\), \(y_{_\text{CĐ}}=-6\).

Bảng giá trị:

Image

Đồ thị:

Image

}

Câu 54:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2+3x-5}{x+2}\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(4x+3)(x+2)-(2x^2+3x-5)}{(x+2)^2}=\displaystyle\frac{2x^2+8x+11}{(x+2)^2}\).

\[y'=0\Leftrightarrow 2x^2+8x+11=0\quad \text{vô nghiệm}.\]

Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=2x-1-\displaystyle\frac{3}{x+2}\).

\(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to(-2)^-}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to(-2)^+}y=-\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=-2\).

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(x-1)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{-3}{x+2}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=2x-1\).

Bảng biến thiên:

Image

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((-2;+\infty)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Bảng giá trị:

Image

Đồ thị:

Image

}

Câu 55:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2-2x-3}{-x+2}\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(2x-2)(-x+2)+(x^2-2x-3)}{(-x+2)^2}=\displaystyle\frac{-x^2+2x-7}{(-x+2)^2}\).

\[y'=0\Leftrightarrow -x^2+2x-7=0 \Leftrightarrow \ \text{vô nghiệm}.\]

Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=-x-\displaystyle\frac{3}{-x+2}\).

\(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).

\(\lim\limits_{x\to 2^-}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to 2^+}y=-\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=2\).

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(-x)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{3}{-x+2}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=-x\).

Bảng biến thiên:

Image

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;2)\), \((2;+\infty)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Bảng giá trị:

Image

Đồ thị:

Image

}

Câu 56:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(\displaystyle\frac{x^2+2x+4}{x}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{x^2-4}{x^2}\). Suy ra \(y'=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x^2-4}{x^2}=0\Leftrightarrow x=\pm 2\).

Giới hạn: ta viết hàm số dưới dạng \(y=x+2+\displaystyle\frac{4}{x}\).

\(\lim\limits_{x\to -\infty} y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to 0^{+}} y=+\infty\). Suy ra đường thẳng \(x=0\) là tiệm cận đứng.

\(\lim\limits_{x\to -\infty}[y-(x+2)]=0\), \(\lim\limits_{x\to + \infty} [y-(x+2)]=0\). Suy ra đường thẳng \(y=x+2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

Image

+) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\), nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(-2;0\right)\) và \(\left(0;2\right)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), \(y_{\text{CĐ}}=-2\), hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{\text{CT}}=6\).

Bảng giá trị

Image

Đồ thị

Image

}

Câu 57:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2+4x+3}{x+2}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \left\{-2\right\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{x^2+4x+5}{(x+2)^2}\). Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x^2+4x+5=0\), phương trình vô nghiệm.

Giới hạn: ta viết hàm số dưới dạng \(y=x+2-\displaystyle\frac{1}{x+2}\).

\(\lim\limits_{x\to -\infty} y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to -2^{+}} y=-\infty\). Suy ra đường thẳng \(x=-2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x\to -\infty}[y-(x+2)]=0\), \(\lim\limits_{x\to + \infty} [y-(x+2)]=0\). Suy ra đường thẳng \(y=x+2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

Image

+) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(-2;+\infty\right)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Bảng giá trị

Image

Đồ thị

Image

}

Câu 58:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số \( y = \displaystyle\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} \) .

Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 1 \right\}\)

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{x^2-2x}{(x - 1)^2}\). Suy ra \(y'=0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x=2\).

Giới hạn: hàm số được viết lại \(y=x+3+\displaystyle\frac{1}{x-1}\).

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to-\infty}y =-\infty\), \(\displaystyle\lim\limits_{x\to+\infty}y =+\infty\).

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to1^+}y =+\infty\), suy ra \(x=1\) là đường tiệm cận đứng.

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to-\infty}[y-(x+3)]=\displaystyle\lim\limits_{x\to-\infty}\displaystyle\frac{1}{x-1}=0\), \(\displaystyle\lim\limits_{x\to+\infty}[y-(x+3)]=\displaystyle\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle\frac{1}{x-1}=0\). Suy ra \(y=x+3\) là đường tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

Image

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(- \infty;0\right)\) và \(\left( 2;+\infty\right)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left(0;1\right)\) và \(\left(1;2\right)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\), \({y_{CT}} = 6\), hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CĐ}} = 2\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \((-1+\sqrt{3}; 0)\) và điểm \((-1-\sqrt{3};0)\); giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;2)\).

Image

}

Câu 59:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{-x^2-3x+4}{x+2}\).

Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \setminus\{-2\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{-x^2-4x-10}{(x+2)^2}\). Ta có \(y'=0\Leftrightarrow -x^2-4x-10=0\), phương trình vô nghiệm.

Giới hạn: hàm số được viết lại \(y=-x-1+\displaystyle\frac{6}{x+2}\).

\(\lim\limits_{x \to-\infty} y=\lim\limits_{x \to-\infty} \displaystyle\frac{-x^2-3 x+4}{x+2}=+\infty\), \(\lim\limits_{x \to+\infty} y=\lim\limits_{x \to+\infty} \displaystyle\frac{-x^2-3 x+4}{x+2}=-\infty\).

\(\lim\limits_{x \to-2^{+}}y=+\infty\), suy ra đường thẳng \(x=-2\) là tiệm cận đứng.

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to\pm \infty}[y-(-x-1)]=\displaystyle\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{6}{x+2}=0\), suy ra \(y=-x-1\) là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên

Image

+) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-2)\) và \((-2;+\infty)\).

+) Hàm số không có cực trị

Đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \((-4; 0)\) và điểm \((1; 0)\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0; 2)\).

Đồ thị của hàm số được biểu diễn trên Hình 6.

Image

}

Câu 60:

Cho hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2+4x-1}{x-1}\).

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \([2;4]\).

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{1\}\).

Sự biến thiên

Ta có \(y=x+5+\displaystyle\frac{4}{x-1} \Rightarrow y'=\displaystyle\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}\);

Xét \(y'=0 \Leftrightarrow x^2-2x-3=0 \Leftrightarrow \hoac{& x=-1\\& x=3.}\)

Trên khoảng \((-\infty;-1)\) và \((3;+\infty)\), \(y'>0\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng \((-1;1)\) và \((1;3)\), \(y'<0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), \(y_{\text{CĐ}}=2\) và đạt cực tiểu tại \(x=3\), \(y_{\text{CT}}=10\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to -\infty} y=\lim\limits_{x\to -\infty} \displaystyle\frac{x^2+4x-1}{x-1}=-\infty\); \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=\lim\limits_{x\to +\infty} \displaystyle\frac{x^2+4x-1}{x-1}=+\infty\).

Lại có \(\lim\limits_{x\to -\infty} \left[\displaystyle\frac{x^2+4x-1}{x-1}-(x+5)\right]=\lim\limits_{x\to -\infty} \displaystyle\frac{4}{x-1}=0\).

\(\lim\limits_{x\to +\infty} \left[\displaystyle\frac{x^2+4x-1}{x-1}-(x+5)\right]=\lim\limits_{x\to +\infty} \displaystyle\frac{4}{x-1}=0\).

\(\Rightarrow\) Đường thẳng \(y=x+5\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Mặt khác \(\lim\limits_{x\to 1^{-}} y=\lim\limits_{x\to 1^{-}} \displaystyle\frac{x^2+4x-1}{x-1}=-\infty\); \(\lim\limits_{x\to 1^{+}} y=\lim\limits_{x\to 1^{+}} \displaystyle\frac{x^2+4x-1}{x-1}=+\infty\).

\(\Rightarrow\) Đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

Image

Đồ thị

Ta có \(y=0 \Leftrightarrow x^2+4x-1=0 \Leftrightarrow x=-2\pm\sqrt{5}\).

Vậy đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \(\left(-2-\sqrt{5};0\right)\) và điểm \(\left(-2+\sqrt{5};0\right)\).

Đồ thị giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;1)\).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình bên. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm \(I(1;6)\).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận \(x=1\) và \(y=x+5\).

Image

Ta có bảng biến thiên của hàm số trên trên đoạn \([2;4]\)

Image

Vậy \(\max\limits_{x\in [2;4]} y=y(2)=11\) và \(\min\limits_{x\in [2;4]} y=y(3)=10\).

Câu 61:

Cho hàm số \(y=\displaystyle\frac{-x^2+3x+1}{x+2}\).

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

Tìm tọa độ trung điểm nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Có nhận xét gì về điểm này?

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{-x^2+3x+1}{x+2}\)

Tập xác định: \(\mathbb{R} \backslash\{-2\}\).

Sự biến thiên.

Giơi hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng \(y= -x+5 -\displaystyle\frac{9}{x+2}\).

\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} y= -\infty, \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} y= +\infty\).

\(\lim\limits_{x \rightarrow (-2)^{-}} y= +\infty, \lim\limits_{x \rightarrow (-2)^{+}} y= -\infty\).\\Do đó, đường thẳng \(x=-2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[y - (-x+5)]=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{-9}{x+2}=0, \lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[y - (-x+5)]=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{-9}{x+2}=0\).

Do đó, đường thẳng \(y= -x+5 \) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-x^2-4x+5}{(x+2)^2}\). Ta có \(y'=0 \Leftrightarrow x=-5\) hoặc \(x=1\).

Bảng biến thiên:

Image

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-5;-2)\), \((-2;1)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-5)\), \((1;+\infty)\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-5\), \(y_{_\text{CT}}=13\); đạt cực đại tại \(x=1\), \(y_{_\text{CĐ}}=1\).

Bảng giá trị:

Image

Đồ thị:

Image

Tìm tọa độ trung điểm nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Có nhận xét gì về điểm này?

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-5\), \(y_{_\text{CT}}=13\); đạt cực đại tại \(x=1\), \(y_{_\text{CĐ}}=1\). Do đó trung điểm nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(I(-2;7)\). Đây cũng là tọa độ giao điểm của đường tiệm cận đứng và đương tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Câu 62:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y=\displaystyle\frac{x^2-2x+2}{x-1}\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(2x-2)(x-1)-(x^2-2x+2)}{(x-1)^2}=\displaystyle\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\).

\(y'=0\Leftrightarrow x^2-2x=0\Leftrightarrow\hoac{&x=0\\ &x=2.}\)

Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=x-1+\displaystyle\frac{1}{x-1}\).

\(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to1^-}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to1^+}y=+\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=1\).

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(x-1)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{1}{x-1}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=x-2\).

Bảng biến thiên:

Image

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\), \((2;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((0;-1)\), \((1;2)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{_\text{CĐ}}=-2\); đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{_\text{CT}}=2\).

Bảng giá trị:

Image

Đồ thị:

Image

Câu 63:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y=2x-\displaystyle\frac{1}{1-2x}\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\displaystyle\frac{1}{2}\right\}\).

Đạo hàm: \(y'=2-\displaystyle\frac{2}{(1-2x)^2}\).

\(y'=0\Leftrightarrow 2-\displaystyle\frac{2}{(1-2x)^2}=0\Leftrightarrow\hoac{&x=0\\ &x=1.}\)

Giới hạn: Ta có

\(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to \left(\displaystyle\frac{1}{2} \right)^-}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to\left(\displaystyle\frac{1}{2} \right)^+}y=+\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=\displaystyle\frac{1}{2}\).

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(2x)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{-1}{1-2x}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=2x\).

Bảng biến thiên:

Image

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\), \((1;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{1}{2}\right)\), \(\left(\displaystyle\frac{1}{2};1\right)\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\), \(y_{_\text{CT}}=3\); đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{_\text{CĐ}}=-1\).

Bảng giá trị:

Image

Đồ thị:

Image

Câu 64:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: \(y=x-\displaystyle\frac{1}{x}\).

Tập xác định: \(\mathbb{R} \backslash\{0\}\).

Sự biến thiên.

Giơi hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận

\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} y=+\infty, \displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} y=-\infty\).

\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{-}} y=+\infty, \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} y=-\infty\).

Do đó, đường thẳng \(x=0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}(y-x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-1}{x}=0, \displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}(y-x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{-1}{x}=0\).

Do đó, đường thẳng \(y=x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

\item

\(y^{\prime}=\displaystyle\frac{x^{2}+1}{x^{2}}\)

\(y^{\prime}>0\) với mọi \(x \neq 0\).

Bảng biến thiên.

Image

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty ; 0)\) và \((0 ;+\infty)\).

Đồ thị.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm \((-1 ; 0),(1 ; 0)\).

Đồ thị hàm số không cắt trục tung.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((-1 ; 0)\), \((1 ; 0)\), \(\left(-2 ; -\displaystyle\frac{3}{2}\right)\), \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}; -\displaystyle\frac{3}{2}\right)\), \(-\left(\displaystyle\frac{1}{2}; \displaystyle\frac{3}{2}\right)\), \(\left(2 ;\displaystyle\frac{3}{2}\right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(O(0 ; 0)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Image

Câu 65:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: \(y=-x+2-\displaystyle\frac{1}{x+1}\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \backslash\{-1\}\).

Sự biến thiên.

Giơi hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận

\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} y= -\infty, \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} y= +\infty\).

\(\lim\limits_{x \rightarrow (-1)^{-}} y= +\infty, \lim\limits_{x \rightarrow (-1)^{+}} y= -\infty\).

Do đó, đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[y - (-x+2)]=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{-1}{x+1}=0\),

\( \lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[y - (-x+2)]=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{-1}{x+1}=0\).

Do đó, đường thẳng \(y= -x+2 \) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có \(y'=-1+\displaystyle\frac{1}{(x+1)^2}\), \(y'=0\Leftrightarrow x=-2\) hoặc \(x=0\)

Bảng biến thiên:

Image

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-2;-1)\), \((-1;0)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((0;+\infty)\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-2\), \(y_{_\text{CT}}=5\); đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{_\text{CĐ}}=1\).

Bảng giá trị:

Image

Đồ thị:

Image

Câu 66:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: \(y=\displaystyle\frac{-x^2-x+2}{x+1}\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \backslash\{-1\}\).

Sự biến thiên.

Giơi hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận

\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} y= -\infty, \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} y= +\infty\).

\(\lim\limits_{x \rightarrow (-1)^{-}} y= +\infty, \lim\limits_{x \rightarrow (-1)^{+}} y= -\infty\).

Do đó, đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta viết lại hàm số dưới dạng \(y=-x+\displaystyle\frac{2}{x+1}\).

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[y - (-x)]=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{2}{x+1}=0\),

\( \lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[y - (-x)]=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{2}{x+1}=0\).

Do đó, đường thẳng \(y= -x \) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có \(y'=-1-\displaystyle\frac{2}{(x+1)^2}<0,\, \forall x \in \mathscr{D}\)

Bảng biến thiên:

Image

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\).

Hàm số không có cực trị.

Bảng giá trị:

Image

Đồ thị:

Image

Câu 67:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{-x^2-3x+4}{x+2}\).

Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \setminus\{-2\}\).

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{-x^2-4x-10}{(x+2)^2}\). Vì \(y' < 0\) với mọi \(x \neq-2\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-2)\) và \((-2;+\infty)\).

Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

\(\lim\limits_{x \to-\infty} y=\lim\limits_{x \to-\infty} \displaystyle\frac{-x^2-3 x+4}{x+2}=+\infty; \lim\limits_{x \to+\infty} y=\lim\limits_{x \to+\infty} \displaystyle\frac{-x^2-3 x+4}{x+2}=-\infty.\)

Ta có

\(a=\lim\limits_{x \to+\infty} \displaystyle\frac{-x^2-3x+4}{x^2+2x}=-1\).

\(b=\lim\limits_{x \to+\infty}\left[\displaystyle\frac{-x^2-3x+4}{x+2}-(-1) x\right]=\lim\limits_{x \to+\infty}\left(\displaystyle\frac{-x+4}{x+2}\right)=-1\).

Suy ra đường thẳng \(y=-x-1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có \(\lim\limits_{x \to-2^{-}} y=\lim\limits_{x \to-2^{-}} \displaystyle\frac{-x^2-3x+4}{x+2}=-\infty; \lim\limits_{x \to-2^{+}} y=\lim\limits_{x \to-2^{+}} \displaystyle\frac{-x^2-3x+4}{x+2}=+\infty\). Suy ra đường thẳng \(x=-2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

Image

Đồ thị:

Ta có

\begin{eqnarray*}y=0 &\Leftrightarrow&-x^2-3x+4=0\\&\Leftrightarrow& x=-4\,\, \text {hoặc} \,\,x=1.\end{eqnarray*}

Vậy đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \((-4; 0)\) và điểm \((1; 0)\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0; 2)\).

Đồ thị của hàm số được biểu diễn trên Hình 6.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm \(I(-2; 1)\).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận \(x=-2\) và \(y=-x-1\).

Image

Câu 68:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số \( y = \displaystyle\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} \) .

Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 1 \right\}\)

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm \(y' = \displaystyle\frac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x - 1)}^2}}}\) .

Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\) .

Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right),y' > 0\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và \( \left( {1;2} \right),y' < 0 \) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và \({y_{CT}} = 6\) .

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CĐ}} = 2\) .

Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } \displaystyle\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = - \infty ;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \displaystyle\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = + \infty \)

Ta có:

\(a = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \displaystyle\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{{x^2} - x}} = 1\) và \(b = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} - x} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \displaystyle\frac{{3x - 2}}{{x - 1}} = 3\) .

Suy ra đường thẳng \(y = x + 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ - }} \displaystyle\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = - \infty ;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1 + } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1 + } \displaystyle\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = + \infty \) .

Suy ra đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Image

Đồ thị:

Ta có \(y=0\Leftrightarrow x^2+2x-2=0\Leftrightarrow x=-1+\sqrt{3}\) hoặc \(x=-1-\sqrt{3}\).

Vậy đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \((-1+\sqrt{3}; 0)\) và điểm \((-1-\sqrt{3}; 0)\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0; 2)\).

Đồ thị hàm số được biểu diễn trên Hình 5.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm \(I(1; 4)\).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận \(x=1\) và \(y=x+3\).

Image

Câu 69:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: \(y=\displaystyle\frac{x^2-2x}{x-1}\).

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus \{1\}\).

\(\bullet\) Sự biến thiên.

Ta có \(y=\displaystyle\frac{x^2-2x}{x-1}=x-1-\displaystyle\frac{1}{x-1}\).

\(y'=\displaystyle\frac{(2x-2)(x-1)-(x^2-2x)}{(x-1)^2}=\displaystyle\frac{x^2-2x+2}{(x-1)^2}=\displaystyle\frac{(x-1)^2+1}{(x-1)^2}>0\) với mọi \(x\) khác \(1\).

Do đó, hàm số đồng biến trong khoảng \(\left(-\infty;1 \right)\) và \(\left(1;+\infty \right)\).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn

\(\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{x^2-2x}{x-1}=+\infty;\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{x^2-2x}{x-1}=-\infty\).

\(\underset{x\to{1^{-}}}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to{1^{-}}}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{x^2-2x}{x-1}=+\infty;\underset{x\to{1^{+}}}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to{1^{+}}}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{x^2-2x}{x-1}=-\infty\).

\(\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}[y-(x-1)]=\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}\left(x-1-\displaystyle\frac{1}{x-1}-(x-1)\right)=\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}-\displaystyle\frac{1}{x-1}=0\).

\(\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}[y-(x-1)]=\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}\left(x-1-\displaystyle\frac{1}{x-1}-(x-1)\right)=\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}-\displaystyle\frac{1}{x-1}=0\).

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x=1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y=x-1\) làm tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên

Image

\(\bullet\) Đồ thị.

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(\left(0;0 \right)\).

\(y=0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x^2-2x}{x-1}=0\Leftrightarrow \hoac{&x=0 \\&x=2}\).

Đồ thị hàm số giao với \(Ox\) tại các điểm \(\left(0;0 \right)\) và \(\left(2;0\right)\).

Đồ thị hàm số nhận \(I\left(1; 0 \right)\) làm tâm đối xứng.

Image

Câu 70:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: \(y=\displaystyle\frac{2x^2-x+4}{x-1}\)

Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus\{1\}\).

Sự biến thiên:

Viết \(y=2x+1+\displaystyle\frac{5}{x-1}\), ta có \(y^{\prime}=2-\displaystyle\frac{5}{(x-1)^{2}}\) với mọi \(x \neq 1\).

Suy ra

\( y'=0\Leftrightarrow x=1\pm \displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2}. \)

Trên các khoảng \(\left( -\infty;1-\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2} \right)\) và \(\left(1+\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2};+\infty \right)\) thì \(y'>0\) nên hàm số đồng biến trên các khoảng này.

Trên các khoảng \(\left(1-\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2};1 \right)\) và \(\left( 1;1+\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2} \right)\) thì \(y'<0\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng này.

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là \((x_{\text{cđ}};y_{\text{cđ}})=\left(1-\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2};3-2\sqrt{10} \right)\) và điểm cực tiểu là \((x_{\text{ct}},y_{\text{ct}})=\left(1+\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2}; 3+2\sqrt{10} \right)\).

\(\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} y=-\infty\); \(\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} y=+\infty\).

Tiệm cận:

\begin{align*}&\lim\limits _{x \rightarrow 1^{-}} y=-\infty ; \lim\limits _{x \rightarrow 1^{+}} y=+\infty;\\&\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}[y-(2x+1)]= \lim\limits _{x \rightarrow-\infty}[y-(2x+1)]=0.\end{align*}

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=1\), tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=2x+1\).

Bảng biến thiên

Image

Đồ thị

Image

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \((0 ;-4)\).

Ta có \(y=0 \Leftrightarrow 2x^{2}-x+4=0\). Phương trình này vô nghiệm nên đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(1;3)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Câu 71:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: \(y=\displaystyle\frac{x^2+2x+1}{x+3}\).

Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus\{-3\}\).

Sự biến thiên:

Viết \(y=x-1+\displaystyle\frac{4}{x+3}\), ta có \(y^{\prime}=1-\displaystyle\frac{4}{(x+3)^{2}}\) với mọi \(x \neq -3\).

Suy ra \( y'=0\Leftrightarrow x=-5\) hoặc \(x=-1\).

Trên các khoảng \(\left( -\infty;-5 \right)\) và \(\left(-1;+\infty \right)\) thì \(y'>0\) nên hàm số đồng biến trên các khoảng này.

Trên các khoảng \(\left(-5;-3 \right)\) và \(\left( -3;-1\right)\) thì \(y'<0\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng này.

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là \((x_{\text{cđ}};y_{\text{cđ}})=\left(-5;-8\right)\) và điểm cực tiểu là \((x_{\text{ct}},y_{\text{ct}})=\left(-1; 0 \right)\).

\(\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} y=-\infty\); \(\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} y=+\infty\).

Tiệm cận:

\begin{align*}&\lim\limits _{x \rightarrow (-3)^{-}} y=-\infty ; \lim\limits _{x \rightarrow (-3)^{+}} y=+\infty;\\&\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}[y-(x-1)]= \lim\limits _{x \rightarrow-\infty}[y-(x-1)]=0.\end{align*}

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=1\), tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x-1\).

Bảng biến thiên

Image

Đồ thị

Image

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left(0;\displaystyle\frac{1}{3}\right)\).

Ta có \(y=0 \Leftrightarrow x^2+2x+1=0 \Leftrightarrow x=-1.\)

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \((0,-1)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(-3;-4)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Câu 72:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{-x^{2}+3 x-1}{x-2}\).

Hàm số có tập xác định \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Sự biến thiên

Viết \(y=-x+1+\displaystyle\frac{1}{x-2}\), suy ra \(y'=-1-\displaystyle\frac{1}{(x-2)^2}<0\), với mọi \(x\ne 2\).

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\).

Hàm số không có cực trị.

\(\lim\limits_{x\to -\infty} y=\lim\limits_{x\to -\infty}\displaystyle\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=+\infty\); \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=\lim\limits_{x\to +\infty}\displaystyle\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=-\infty\).

Tiệm cận

\begin{align*}&\lim\limits_{x\to 2^-} y=\lim\limits_{x\to 2^-}\left(-x+1+\displaystyle\frac{1}{x-2}\right)=-\infty; \lim\limits_{x\to 2^+} y=\lim\limits_{x\to 2^+}\left(-x+1+\displaystyle\frac{1}{x-2}\right)=+\infty;\\&\lim\limits_{x\to +\infty} \left(y-(-x+1)\right)=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{x-2}=0; \lim\limits_{x\to -\infty} \left(y-(-x+1)\right)=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x-2}=0.\end{align*}

Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=2\) và tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=-x+1\).

Bảng biến thiên

Image

Đồ thị (hình vẽ)

Image

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left(0;\displaystyle\frac{1}{2}\right)\).

Ta có \(y=0 \Leftrightarrow -x^2+3x-1=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}\). Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \(\left(\displaystyle\frac{3-\sqrt{5}}{2};0\right)\) và \(\left(\displaystyle\frac{3+\sqrt{5}}{2};0\right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(2 ;-1)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Câu 73:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^{2}+x-2}{x+1}\).

Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus\{-1\}\).

Sự biến thiên:

Viết \(y=x-\displaystyle\frac{2}{x+1}\), ta có \(y^{\prime}=1+\displaystyle\frac{2}{(x+1)^{2}}>0\) với mọi \(x \neq-1\).

Hàm số đồng biến trên từng khoảng \((-\infty ;-1)\) và \((-1 ;+\infty)\).

Hàm số không có cực trị.

\(\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} y=\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{x^{2}+x-2}{x+1}=\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{x+1-\displaystyle\frac{2}{x}}{1+\displaystyle\frac{1}{x}}=-\infty\);\\ \(\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} y=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x^{2}+x-2}{x+1}=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x+1-\displaystyle\frac{2}{x}}{1+\displaystyle\frac{1}{x}}=+\infty\).

Tiệm cận:

\begin{align*}&\lim\limits _{x \rightarrow-1^{-}} y=\lim\limits _{x \rightarrow-1^{-}}\left(x-\displaystyle\frac{2}{x+1}\right)=+\infty ; \lim\limits _{x \rightarrow-1^{+}} y=\lim\limits _{x \rightarrow-1^{+}}\left(x-\displaystyle\frac{2}{x+1}\right)=-\infty;\\&\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}[y-x]=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}\left(-\displaystyle\frac{2}{x+1}\right)=0 ; \lim\limits _{x \rightarrow-\infty}[y-x]=\lim\limits _{x \rightarrow-\infty}\left(-\displaystyle\frac{2}{x+1}\right)=0.\end{align*}

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=-1\), tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x\).

Bảng biến thiên:

Image

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \((0 ;-2)\).

Ta có \(y=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x^{2}+x-2}{x+1}=0 \Leftrightarrow x=-2\) hoặc \(x=1\).

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \((-2 ; 0)\) và \((1 ; 0)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(-1 ;-1)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Image

Câu 74:

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^{2}-x-1}{x-2}\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Sự biết thiên: Viết \(y=x+1+\displaystyle\frac{1}{x-2}\).

Ta có: \(y^{\prime}=1-\displaystyle\frac{1}{(x-2)^{2}}=\displaystyle\frac{x^{2}-4 x+3}{(x-2)^{2}}\). Vậy \(y^{\prime}=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x^{2}-4 x+3}{(x-2)^{2}}=0 \Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=3\).

Trên các khoảng \((-\infty ; 1)\) và \((3 ;+\infty), y^{\prime}>0\) nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.

Trên các khoảng \((1 ; 2)\) và \((2 ; 3), y^{\prime}<0\) nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.

Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\) với \(y_{C D}=1\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\) với \(y_{C T}=5\).

\(\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} y=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{x^{2}-x-1}{x-2}=\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{x-1-\displaystyle\frac{1}{x}}{1-\displaystyle\frac{2}{x}}=-\infty\);

\(\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x^{2}-x-1}{x-2}=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x-1-\displaystyle\frac{1}{x}}{1-\displaystyle\frac{2}{x}}=+\infty\).

Tiệm cận

\begin{align*}&\lim _{x \rightarrow 2^{-}} y=\lim _{x \rightarrow 2^{-}}\left(x+1+\displaystyle\frac{1}{x-2}\right)=-\infty ; \lim _{x \rightarrow 2^{+}} y=\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\left(x+1+\displaystyle\frac{1}{x-2}\right)=+\infty;\\&\lim _{x \rightarrow+\infty}[y-(x+1)]=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{1}{x-2}=0 ; \lim _{x \rightarrow-\infty}[y-(x+1)]=\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{1}{x-2}=0\end{align*}

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=2\), tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x+1\).

Bảng biến thiên

Image

Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left(0 ; \displaystyle\frac{1}{2}\right)\).

Ta có \(y=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x^{2}-x-1}{x-2}=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\). Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \(\left(\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{2} ; 0\right)\) và \(\left(\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2} ; 0\right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(2 ; 3)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Image

Câu 75:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: \(y=\displaystyle\frac{x^2+2x+2}{x+1}\).

Tập xác định: \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Sự biến thiên:

Gới hạn, tiệm cận:

Ta có:

\(\begin{aligned}&y=\displaystyle\frac{x^2+2 x+2}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1};\\&\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x+1+\displaystyle\frac{1}{x+1}\right)=+\infty;\\&\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x+1+\displaystyle\frac{1}{x+1}\right)=-\infty.\end{aligned}\)

Ta có:

\(\begin{aligned}&\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to-1^+}\displaystyle\frac{x^2+2 x+2}{x+1}=+\infty;\\&\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to-1^-}\displaystyle\frac{x^2+2 x+2}{x+1}=-\infty.\end{aligned}\)

Suy ra đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-\left(x+1\right)\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x+1}=0\);\(\lim\limits_{x\to-\infty}\left[f(x)-\left(x+1\right)\right]=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{x+1}=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=x+1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bảng biến thiên:

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{x^2+2 x}{\left(x+1\right)^2}\);

\(y'=0 \Leftrightarrow x=-2\) hoặc \(x=0\).

Image

Chiều biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(0;+\infty\right)\);

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(-2;-1\right)\) và \(\left(0;-1\right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\) và \(y_{\text{CĐ}}=-2\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\) và \(y_{\text{CT}}=2\).

Đồ thị:

Vẽ các đường tiệm cận \(x=-1\) và \(y=x+1\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left(0;2\right)\) và không giao trục \(Ox\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left(-1;0\right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối~xứng.

Image

Câu 76:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: \(y=\displaystyle\frac{x^2-2x-3}{x-2}\)

Tập xác định: \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Sự biến thiên:

Gới hạn, tiệm cận:

Ta có:

\(\begin{aligned}&y=\displaystyle\frac{x^2-2 x-3}{x-2}=x-\frac{3}{x-2};\\&\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x-\displaystyle\frac{3}{x-2}\right)=+\infty;\\&\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x-\displaystyle\frac{3}{x-2}\right)=-\infty.\end{aligned}\)

Ta có: \(\lim\limits_{x\to2^+}f(x)=\lim\limits_{x\to2^+}\displaystyle\frac{x^2-2 x-3}{x-2}=+\infty\); \(\lim\limits_{x\to2^-}f(x)=\lim\limits_{x\to2^-}\displaystyle\frac{x^2-2 x-3}{x-2}=-\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-(x)\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}-\frac{3}{x-2}=0\);

\(\lim\limits_{x\to-\infty}\left[f(x)-(x)\right]=\lim\limits_{x\to-\infty}-\frac{3}{x-2}=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bảng biến thiên:

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{x^2-4 x+7}{\left(x-2\right)^2}\);

Phương trình \(y'=0\) vô nghiệm, \(y'\) không xác định tại \(x=2\).

Image

Chiều biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;2\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\).

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:

Vẽ các đường tiệm cận \(x=2\) và \(y=x\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left(0;\frac{3}{2}\right)\) và giao với trục \(Ox\) tại \(\left(-1;0\right)\) và \(\left(3; 0\right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left(2;2\right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Bảng giá trị

Image

Câu 77:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: \(y=-x-1+\displaystyle\frac{1}{x+1}\)

Tập xác định: \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Sự biến thiên:

Gới hạn, tiệm cận:

Ta có:

\(\begin{aligned}[t]&y=-x-1+\frac{1}{x+1};\\&\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-x-1+\displaystyle\frac{1}{x+1}\right)=-\infty;\\&\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(-x-1+\displaystyle\frac{1}{x+1}\right)=+\infty.\end{aligned}\)

Ta có:

\(

\begin{aligned}[t]&\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to-1^+}\displaystyle\frac{-x^2-2 x}{x+1}=+\infty;\\&\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to-1^-}\displaystyle\frac{-x^2-2 x}{x+1}=-\infty.\end{aligned}\(

Suy ra đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-\left(-x-1\right)\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x+1}=0\);\(\lim\limits_{x\to-\infty}\left[f(x)-\left(-x-1\right)\right]=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{x+1}=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=-x-1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bảng biến thiên:

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{-x^2-2 x-2}{\left(x+1\right)^2}\);

Phương trình \(y'=0\) vô nghiệm, \(y'\) không xác định tại \(x=-1\).

Image

Chiều biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(-1;+\infty\right)\).

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:

Vẽ các đường tiệm cận \(x=-1\) và \(y=-x-1\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left(0;0\right)\) và giao với trục \(Ox\) tại \(\left(-2;0\right)\) và \(\left(0; 0\right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left(-1;0\right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Bảng giá trị

Image

Câu 78:

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: \(y=\displaystyle\frac{2x^2-x+1}{1-x}\cdot\).

Tập xác định: \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Sự biến thiên:

Gới hạn, tiệm cận:

Ta có:

\(\begin{aligned}[t]&y=\displaystyle\frac{2 x^2-x+1}{1-x}=-2 x-1+\frac{2}{1-x};\\&\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-2 x-1+\displaystyle\frac{2}{1-x}\right)=-\infty;\\&\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(-2 x-1+\displaystyle\frac{2}{1-x}\right)=+\infty.\end{aligned}\)

Ta có:

\(\begin{aligned}[t]&\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1^+}\displaystyle\frac{2 x^2-x+1}{1-x}=+\infty;\\&\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1^-}\displaystyle\frac{2 x^2-x+1}{1-x}=-\infty.\end{aligned}\)

Suy ra đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-\left(-2 x-1\right)\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{2}{1-x}=0\);\(\lim\limits_{x\to-\infty}\left[f(x)-\left(-2 x-1\right)\right]=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{2}{1-x}=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=-2 x-1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bảng biến thiên:

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{-2 x^2+4 x}{\left(1-x\right)^2}\);

\(y'=0 \Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2\).

Image

Chiều biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;0\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\);

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(0;1\right)\) và \(\left(2;1\right)\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\) và \(y_{\text{CT}}=1\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=2\) và \(y_{\text{CĐ}}=-7\).

Đồ thị:

Vẽ các đường tiệm cận \(x=1\) và \(y=-2 x-1\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left(0;1\right)\) và không giao trục \(Ox\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left(1;-3\right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Image

Câu 79:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: \(y=\displaystyle\frac{-x^2-2x-2}{x+1}\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash \{-1\}\).

Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

Ta có: \(y=\displaystyle\frac{-x^2-2x-2}{x+1}=-x-1-\displaystyle\frac{1}{x+1}\);

\(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to +\infty} \left(-x-1-\displaystyle\frac{1}{x+1}\right)=-\infty\);\\\(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -\infty} \left(-x+\displaystyle\frac{2}{x+1}\right)=+\infty\).

Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \to -1^+} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -1^+} \displaystyle\frac{-x^2-2x-2}{x+1}=-\infty\);\\ \(\displaystyle\lim _{x \to -1^-} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -1^-} \displaystyle\frac{-x^2-2x-2}{x+1}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=-1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

\(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} [f(x)-(-x-1)]=\displaystyle\lim _{x \to +\infty} \left(-\displaystyle\frac{1}{x+1}\right)=0\);\\ \(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} [f(x)-(-x-1)]=\displaystyle\lim _{x \to -\infty} \left(-\displaystyle\frac{1}{x+1}\right)=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=-x-1\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bảng biến thiên:

Ta có \(y^{\prime}=-1+\displaystyle\frac{1}{(x+1)^2}=\displaystyle\frac{-x^2-2x}{(x+1)^2}\).

Phương trình \(y^{\prime}=0\Leftrightarrow x=-2\) hoặc \(x=0\), \(y^{\prime}\) không xác định tại \(x=-1\).

Image

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-2;-1)\) và \((-1;0)\); nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\) và \((0;+\infty)\).

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(f_{\text{CĐ}}=-2\);

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-2\), \(f_{\text{CT}}=2\).

Đồ thị:

Vẽ các đường tiệm cận \(x=-1\) và \(y=-x-1\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại \((0;0)\) và không giao với trục \(Ox\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(-1;0)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Image

Câu 80:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: \(y=\displaystyle\frac{x^2-2x-3}{x-2}\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash \{2\}\).

Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

Ta có: \(y=\displaystyle\frac{x^2-2x-3}{x-2}=x-\displaystyle\frac{3}{x-2}\);

\(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to +\infty} \left(x-\displaystyle\frac{3}{x-2}\right)=+\infty\); \(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -\infty} \left(x-\displaystyle\frac{3}{x-2}\right)=-\infty\).

Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \to 2^+} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to 2^+} \displaystyle\frac{x^2-2x-3}{x-2}=-\infty\); \(\displaystyle\lim _{x \to 2^-} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to 2^-} \displaystyle\frac{x^2-2x-3}{x-2}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=2\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

\(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} [f(x)-x]=\displaystyle\lim _{x \to +\infty} -\displaystyle\frac{3}{x-2}=0\); \(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} [f(x)-x]=\displaystyle\lim _{x \to -\infty} -\displaystyle\frac{3}{x-2}=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=x\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bảng biến thiên:

Ta có \(y^{\prime}=1+\displaystyle\frac{3}{(x-2)^2}=\displaystyle\frac{x^2-4x+7}{(x-2)^2}\).

Phương trình \(y^{\prime}=0\) vô nghiệm, \(y^{\prime}\) không xác định tại \(x=2\).

Image

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\).

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:

Vẽ các đường tiệm cận \(x=2\) và \(y=x\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại \(\left(0;\displaystyle\frac{3}{2}\right)\) và giao với trục \(Ox\) tại \((3;0)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(2;2)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Image

Câu 81:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{x^2+4x+5}{x+2}\)

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash \{-2\}\).

Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

Ta có: \(y=\displaystyle\frac{x^2+4x+5}{x+2}=x+2+\displaystyle\frac{1}{x+2}\);

\(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to +\infty} \left(x+2+\displaystyle\frac{1}{x+2}\right)=+\infty\); \(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -\infty} \left(x+2+\displaystyle\frac{1}{x+2}\right)=-\infty\).

Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \to -2^+} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -2^+} \displaystyle\frac{x^2+4x+5}{x+2}=+\infty\); \(\displaystyle\lim _{x \to -2^-} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -2^-} \displaystyle\frac{x^2+4x+5}{x+2}=-\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=-2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

\(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} \left[f(x)-(x+2)\right]=\displaystyle\lim _{x \to +\infty} \displaystyle\frac{1}{x+2}=0\); \(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} \left[f(x)-(x+2)\right]=\displaystyle\lim _{x \to -\infty} \displaystyle\frac{1}{x+2}=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=x+2\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bảng biến thiên:

Ta có: \(y^{\prime}=1-\displaystyle\frac{1}{(x+2)^2}=\displaystyle\frac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}\);

\(y^{\prime}=0\Leftrightarrow x=-3\) hoặc \(x=-1\).

Image

Chiều biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-3)\) và \((-1;+\infty)\);

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-3;-2)\) và \((-2;-1)\).

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-3,\, f_{\text{CĐ}}=f(-3)=-2\);

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=-1,\, f_{\text{CT}}=f(-1)=2\).

Đồ thị:

Vẽ các đường tiệm cận \(x=-2\) và \(y=x+2\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left(0;\displaystyle\frac{5}{2}\right)\) và không giao với trục \(Ox\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(-1;2)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xưng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó là trục đối xứng.

Image

Câu 82:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{-x^2-x+2}{x+1}\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash \{-1\}\).

Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

Ta có: \(y=\displaystyle\frac{-x^2-x+2}{x+1}=-x+\displaystyle\frac{2}{x+1}\);

\(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to +\infty} \left(-x+\displaystyle\frac{2}{x+1}\right)=-\infty\); \(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -\infty} \left(-x+\displaystyle\frac{2}{x+1}\right)=+\infty\).

Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \to -1^+} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -1^+} \displaystyle\frac{-x^2-x+2}{x+1}=+\infty\); \(\displaystyle\lim _{x \to -1^-} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -1^-} \displaystyle\frac{-x^2-x+2}{x+1}=-\infty\).

Suy ra đường thẳng \(y=-x\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

\(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} [f(x)-(-x)]=\displaystyle\lim _{x \to +\infty} \displaystyle\frac{2}{x+1}=0\); \(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} [f(x)-(-x)]=\displaystyle\lim _{x \to -\infty} \displaystyle\frac{2}{x+1}=0\).

Suy ra đường thẳng \(x=-1\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bảng biến thiên:

Ta có \(y^{\prime}=-1-\displaystyle\frac{2}{(x+1)^2}=\displaystyle\frac{-x^2-2x-3}{(x+1)^2}\).

Phương trình \(y^{\prime}=0\) vô nghiệm, \(y^{\prime}\) không xác định tại \(x=-1\).

Image

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\).

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:

Vẽ các đường tiệm cận \(x=-1\) và \(y=-x\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại \((0;2)\) và giao với trục \(Ox\) tại \((-2;0)\) và \((1;0)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(-1;1)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Image

Câu 83:

Cho hàm số bậc ba \(y=f(x)\) có đồ thị như bên. Viết công thức của hàm số.

Image

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a<0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases}f(1)=1\\ f(3)=5\\ f'(1)=0\\ f'(3)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} a+b+c+d=1\\ 27a+9b+3c+d=5\\ 3a+2b+c=0\\ 27a+6b+c=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} a=-1\\ b=6\\ c=-9\\ d=5.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=-x^3+6x^2-9x+5\).

}

Câu 84:

Cho hàm số bậc ba \(y=f(x)\) có đồ thị như bên. Viết công thức của hàm số.

Image

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a>0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases}f(-1)=3\\ f(1)=-1\\ f'(-1)=0\\ f'(1)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} -a+b-c+d=3\\ a+b+c+d=-1\\ 3a-2b+c=0\\ 3a+2b+c=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=0\\ c=-3\\ d=1.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=x^3-3x+1\).

}

Câu 85:

Cho hàm số bậc ba \(y=f(x)\) có đồ thị như bên. Viết công thức của hàm số.

Image

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a<0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases}f(0)=-4\\ f(2)=0\\ f'(0)=0\\ f'(2)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} d=-4\\ 8a+4b+2c+d=0\\ c=0\\ 12a+4b+c=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} a=-1\\ b=3\\ c=0\\ d=-4.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=-x^3+3x^2-4\).

}

Câu 86:

Cho hàm số bậc ba \(y=f(x)\) có đồ thị như bên. Viết công thức của hàm số.

Image

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a>0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases}f(0)=2\\ f(2)=-2\\ f'(0)=0\\ f'(2)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} d=2\\ 8a+4b+2c+d=-2\\ c=0\\ 12a+4b+c=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=-3\\ c=0\\ d=2.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=x^3-3x^2+2\).

}

Nâng cao

Ứng dụng thực tế

Câu 1:

Để thiết kế mô hình của một đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi với sự khác biệt về độ cao ở vị trí hai sườn đồi giao nhau là \(50\) feet (xem hình minh họa), người ta có thể làm như sau:

+) Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) với gốc \(O\) là vị trí hai sườn đồi giao nhau, phương nằm ngang là trục \(Ox\), đơn vị trên mỗi trục tọa độ là feet (\(1\) feet \(=0{,}3048\) m).

+) Chọn hai vị trí \(A\), \(B\) lần lượt trên hai sườn đồi. Bằng cách đo đạc tại thực địa, ta xác định được tọa độ của hai điểm \(A\), \(B\) và góc dốc \(\alpha\) (đơn vị: độ) tại điểm \(B\) của sườn đồi. Giả sử ta có \(A(-1000;60)\), \(B(1000;90)\) và \(\tan\alpha=0{,}04\) (xem hình minh họa).

+) Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), quan sát đường cong (vẽ bằng nét đứt) mô phỏng đoạn đường cao tốc nối hai sườn đồi, đường cong đó gợi nên hình ảnh đồ thị của hàm số bậc ba. Vì thế ta có thể chọn hàm số bậc ba \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) (\(a\neq 0\)) sao cho trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), đồ thị của hàm số đó trên đoạn \([-1000;1000]\) mô phỏng đoạn đường cao tốc cần thiết kế. Ta chọn theo nguyên tắc: Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(B\) của đồ thị hàm số đó bằng \(0{,}04\).

Image

Hãy xác định hàm số bậc ba đó.

Gọi hàm số bậc ba là \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) (\(a\neq 0\)).

Do đồ thị đi qua điểm \(C(0;50)\) nên \(d=50\), suy ra \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+50\).

Do đồ thị đi qua các điểm \(A(-1000;60)\) và \(B(1000;90)\) nên ta có

\begin{align*}&\begin{cases}-1000000000a+1000000b-1000c=10\\ 1000000000a+1000000b+1000c=40\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}-100000000a+100000b-100c=1\\ 100000000a+100000b+100c=4\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}b=\displaystyle\frac{1}{40000}\\ 100000000a+100c=1{,}5.\end{cases}\end{align*}

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c=3ax^2+\displaystyle\frac{1}{20000}x+c.\)

Do hệ số góc của tiếp tuyến tại \(B\) của đồ thị hàm số đó bằng \(0{,}04\) nên

\[f'(1000)=3000000a+\displaystyle\frac{1}{20}+c=0{,}04\Leftrightarrow 3000000a+c=-0{,}01.\]

Ta có hệ phương trình sau:

\[\begin{cases}100000000a+100c=1{,}5\\ 3000000a+c=-0{,}01\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=-\displaystyle\frac{1}{80000000}\\ c=\displaystyle\frac{11}{400}.\end{cases}\]

Vậy hàm số bậc ba cần tìm là: \(f(x)=-\displaystyle\frac{1}{80000000}x^3+\displaystyle\frac{1}{40000}x^2+\displaystyle\frac{11}{400}x+50.\)

}

Câu 2:

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được \(x\) mét vải lụa \((1\leq x \leq 18)\). Tổng chi phí sản xuất \(x\) mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí: \(C(x)=x^3-3 x^2-20 x+500.\) Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá \(220\) nghìn đồng/mét. Gọi \(B(x)\) là số tiền bán được và \(L(x)\) là lợi nhuận thu được khi bán \(x\) mét vải lụa.

a) Hãy viết biểu thức tính \(B(x)\) và \(L(x)\) theo \(x\).

b) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số \(L(x)\) trên \([1; 18]\).

c) Hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa? Tính lợi nhuận tối đa đó.

a) Khi bán \(x\) mét vải lụa:

+) Số tiền thu được là \(B(x)=220x\) (nghìn đồng).

+) Lợi nhuận thu được là \(L(x)=B(x)-C(x)=-x^3+3x^2+240x-500\) (nghìn đồng).

b) Hàm số \(L(x)\) xác định trên \([1; 18]\).

Đạo hàm \(L'(x)=-3x^2+6x+240; L'(x)=0\Leftrightarrow x=10\) hoặc \(x=-8\) (loại).

Bảng biến thiên:

Image

+) Hàm số đồng biến trên khoảng \((1; 10)\) và nghịch biến trên khoảng \((10; 18)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=10\) và \(L_{\text{CĐ}}=L(10)=1200\).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại \((10; 1200)\) và đi qua các điểm \((1;-258)\), \((18;-1040)\).

Image

c) Quan sát đồ thị hàm số, ta nhận thấy khi \(x=10\) thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(1\,200\). Như vậy, hộ làm nghề dệt cần sản xuất và bán ra mỗi ngày \(10\) mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận tối đa này là \(1\,200\) nghìn đồng.

}

Câu 3:

Trong một nhà hàng, mỗi tuần để chế biến \(x\) phần ăn (\(x\) lấy giá trị trong khoảng từ \(30\) đến \(120\)) thì chi phí trung bình (đơn vị: nghìn đồng) của một phần ăn được cho bởi công thức

\(\overline{C}(x)=2x-230+\displaystyle\frac{7\,200}{x}.\)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(\overline{C}(x)\) trên \([30; 120]\).

b) Từ kết quả trên, tìm số phần ăn sao cho chi phí trung bình của một phần ăn là thấp nhất.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y=\overline{C}(x)=2x-230+\displaystyle\frac{7\,200}{x}\) trên \([30; 120]\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{0\}\).

Đạo hàm \(y'=2-\displaystyle\frac{7\,200}{x^2}=\displaystyle\frac{2x^2-7\,200}{x^2}\); \(y'=0 \Leftrightarrow x=-60\) (loại) \(x=60\) (nhận).

Giới hạn:

\(\lim\limits_{x\to -\infty} y=-\infty\); \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to 0^{+}} \left(2x-230+\displaystyle\frac{7\,200}{x}\right)=+\infty\), \(\Rightarrow\) Đường thẳng \(x=0\) là tiệm cận đứng.

\(\lim\limits_{x\to \pm\infty} \left[y-(2x-230)\right]=\lim\limits_{x\to \pm\infty} \displaystyle\frac{7\,200}{x}=0\), \(\Rightarrow\) Đường thẳng \(y=2x-230\) là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên

Image

+) Hàm số nghịch biến trên khoảng \((30;60)\), đồng biến trên khoảng \((60;120)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=60\), \(y_{\text{CT}}=10\).

Trên khoảng, \(y'>0\) nên hàm số đó.

Đồ thị

Image

b) Từ kết quả trên, để chi phí trung bình của một phần ăn là thấp nhất thì số phần ăn \(x=60\).

}

Câu 4:

Dân số của một thị trấn sau \(t\) năm kể từ năm \(1970\) được ước tính bởi công thức \(f(t)=\displaystyle\frac{26t+10}{t+5}\) (\(f(t)\) được tính bằng nghìn người)

a) Tính dân số của thị trấn vào năm \(2022\) (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).

b) Xem \(y=f(t)\) là một hàm số xác định trên nửa khoảng \([0;+\infty)\). Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y=f(t)\).

c) Đạo hàm của hàm số \(y=f(t)\) biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm).

+) Tính tốc độ tăng dân số vào năm \(2022\) của thị trấn đó.

+) Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là \(0{,}192\) nghìn người/năm?

a) Ta có: \(f(52)=\displaystyle\frac{26 \cdot 52+10}{52+5}=\displaystyle\frac{1\ 362}{57}\approx 23{,}895\) (nghìn người).

Vậy dân số của thị trấn vào năm \(2022\) khoảng \(23\ 895\) người.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị.

Đạo hàm: \(f^\prime(t)=\displaystyle\frac{120}{(t+5)^2}>0\) với mọi \(t\geq 0\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{t \to +\infty}f(t)=26\). Do đó, đường thẳng \(y=26\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

Image

Hàm số đồng biến trên nủa khoảng \([2:+\infty)\) và không có cực trị.

Giao điểm của đồ thị với trục tung: \((0;2)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((1;6)\).

Image

c) Tốc độ tăng dân số.

+) Tốc độ tăng dân số vào năm \(2022\) của thị trấn là:

\[f^\prime (52)=\displaystyle\frac{120}{(52+5)^2}=\displaystyle\frac{40}{1\ 083}.\]

+) Ta có

\[f^\prime(t)=0{,}192\Leftrightarrow \displaystyle\frac{120}{(t+2)^2}=0{,}192\Leftrightarrow (t+5)^2=625\Leftrightarrow t=20\ (\text{do}\ t\geq 0).\]

Vậy vào năm \(1990\), thì tốc độ tăng dân số là là \(0{,}192\) nghìn người/năm.

}

Câu 5:

Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao \(250\) km so với bề mặt của Mặt Trăng.

Trong khoảng \(50\) giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao \(h\) của con tàu so với bề mặt của Mặt Trăng được tính (gần đúng) bởi hàm \(h(t)=-0{,}01t^3+1{,}1t^2-30t+250\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây và \(h\) là độ cao tính bằng kilômét.

a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y=h(t)\) với \(0\leq t\leq 50\) (đơn vị trên trục hoành là \(10\) giây, đơn vị trên trục tung là \(10\) km).

b) Gọi \(v(t)\) là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm \(t\) (giây) kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm với \((0\leq t\leq 50\)). Xác định hàm số \(v(t)\).

c) Vận tốc tức thời của con tàu lúc bắt đầu hãm phanh là bao nhiêu? Tại thời điểm \(t=25\) (giây) là bao nhiêu?

d) Tại thời điểm \(t=25\) (giây), vận tốc tức thời của con tàu vẫn giảm hay đang tăng trở lại?

e) Tìm thời điểm \(t\) (\(0\leq t\leq 50\)) sao cho con tàu đạt khoảng cách nhỏ nhất so với bề mặt của Mặt Trăng. Khoảng cách nhỏ nhất này là bao nhiêu?

a) Vẽ đồ thị của hàm số \(h(t)=-0{,}01t^3+1{,}1t^2-30t+250\).

Miền khảo sát: \([0;50]\).

Đạo hàm: \(h'(t)=-0{,}03t^2+2{,}2t-30\).

\(h'(t)=0\Leftrightarrow -0{,}03t^2+2{,}2t-30=0\Leftrightarrow t\approx 18\) hoặc \(t\approx 55.\)

Bảng biến thiên:

Image

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((0;18)\) và đồng biến trên khoảng \((18;50)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(t=18\), \(y_{_\text{CT}}=h(18)=8{,}08\).

Bảng giá trị:

Image

Đồ thị:

Image

b) Xác định \(v(t)\).

Ta có \(v(t)=h'(t)=-0{,}03t^2+2{,}2t-30\).

c) Tính vận tốc tức thời lúc bắt đầu hãm phanh và lúc \(t=25\) (giây).

Vận tốc tức thời lúc bắt đầu hãm phanh là: \(v(0)=-30\) (km/s).

Vận tốc tức thời lúc \(t=25\) (giây) là: \(v(25)=6{,}25\) (km/s).

c) Tại thời điểm \(t=25\) (giây), vận tốc tức thời của con tàu vẫn giảm hay tăng trở lại?

Ta có phương trình gia tốc: \(a(t)=v'(t)=-0{,}06t+2{,}2t\).

Vì \(a(25)=53{,}5>0\) nên tại thời điểm \(t=25\) (giây), vận tốc tức thời của con tàu đang tăng trở lại.

d) Tìm thời điểm mà khoảng cách giữa con tàu và Mặt Trăng nhỏ nhất.

Dựa vào đồ thị ta thấy tại thời điểm \(t=18\) (giây) thì khoảng cách giữa con tàu và Mặt Trăng nhỏ nhất, khoảng cách này bằng \(8{,}08\) km.

}

Câu 6:

Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho toạ độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm \(t\) (giây) là \(y=t^3-12t+3, t \geq 0\).

a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.

b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?

c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian \(0\leq t \leq 3\).

d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?

a) Vận tốc của hạt chuyển động là \(v(t)=y'=3t^2-12\).

Gia tốc của hạt chuyển động là \(a(t)=v'(t)=6t\).

b) Vận chuyển động đi lên khi \(v(t)\ge0 \Leftrightarrow t\ge 2\).

Vận chuyển động đi xuống khi \(v(t)\le 0\Leftrightarrow 0\le t\le 2\).

c) Khi \(0\le t\le 2\), vật đi xuống nên quãng đường đi được trong khoảng thời gian \(0\le t \le 2\) là \(\)y(0)-y(2)=16.\(\)

Khi \(2\le t\le 3\), vật đi lên nên quãng đường đi được là trong khoảng thời gian \(2\le t \le 3\) là \(\)y(3)-y(2)=7.\(\)

Do đó quãng đường đi được trong khoảng thời gian \(0\le t \le 3\) là \(23\) m.

d) Hạt tăng tốc khi \(a(t)\ge 0 \Leftrightarrow t\ge 0\), hạt giảm tốc khi \(a(t)\le0 \Leftrightarrow t \le 0\).

}

Câu 7:

Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất \(x\) đơn vị hàng hoá nào đó là: \(C(x)=23\,000+50 x-0{,}5x^2+0{,}00175x^3.\)

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm \(C'(100)\) và giải thích ý nghĩa của nó.

c) So sánh \(C'(100)\) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 101.

a) Hàm chi phí biên là \(C'(x)=0{,}00525x^2-x+50\).

b) Ta có \(C'(100)=0{,}00525\cdot 100^2-100+50=2{,}5\) (trăm nghìn đồng).

Chi phí biên tại \(x=100\) là \(250\,000\) đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo (đơn thứ \(101\)) là khoảng \(250\,000\) đổng.

c) Chi phí sản xuất đơn hàng thứ \(101\) là

\(C(101)-C(100)=24\,752{,}52675-24\,750=2{,}52675\) (trăm nghìn đồng)

Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên \(C'(100)\) đã tính ở câu trên.

}

Câu 8:

Dân số của một quốc gia sau \(t\) (năm) kể từ năm \(2023\) được ước tính bởi công thức \(N(t)=100\mathrm{e}^{0, 012t}\) (\(N(t)\) được tính bằng triệu người, \(0\le t\le 50\)).

a) Ước tính dân số của quốc gia này vào các năm \(2030\) và \(2035\) (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).

b) Xem \(N(t)\) là hàm số của biến số \(t\) xác định trên đoạn \(\left[0;50\right]\). Xét chiều biến thiên của hàm số \(N(t)\) trên đoạn \(\left[0;50\right]\).

c) Đạo hàm của hàm số \(N(t)\) biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/ năm). Vào năm nào tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là \(1{,}6\) triệu người/ năm?

a) Dân số của quốc gia vào năm \(2030\) là \(N(7)=100\mathrm{e}^{0{,}012\cdot ^7}=100\mathrm{e}^{0{,}084}=108{,}763\) (triệu người).

Dân số của quốc gia vào năm \(2035\) là \(N(12)=100 \mathrm{e}^{0{,}012 \cdot 12}=100 \mathrm{e}^{0{,}144}=115,488\) (triệu người).

b) Trên đoạn \(\left[0;50\right]\) ta có \(N'(t)=0{,}012\cdot 100 \mathrm{e}^{0{,}012t}=1,2 \mathrm{e}^{0{,}012t}>0\) với mọi \(t \in \left[0;50\right]\).

Do đó, hàm số \(N(t)\) đồng biến trên đoạn \(\left[0;50\right]\).

c) Ta có \(N'(t)=1{,}2 \mathrm{e}^{0{,}012t}\).

Với tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là \(1,6\) triệu người/năm ta có

\(1{,}6=1{,}2\mathrm{e}^{0{,}012t}\Leftrightarrow{\mathrm{e}^{0{,}012t}}=\displaystyle\frac{4}{3}\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{250\ln \displaystyle\frac{4}{3}}{3}\approx 23{,}97\).

Vậy vào năm \(2046\) thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là \(1{,}6\) triệu người/ năm.

}

Câu 9:

Giả sử doanh số (tính bằng sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong một năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số \(f(t)=\displaystyle\frac{5000}{1+5e^{-t}},\, t\ge0\), trong đó thời gian \(t\) được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó đạo hàm \(f'(t)\) biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Gọi \(g(t)\) là hàm tốc độ bán hàng.

Khi đó \(g(t)=f'(t)=\displaystyle\frac{25\,000e^{-t}}{(1+5e^{-t})^2}\), \(t\ge0\).

Ta có \(g'(t)=\displaystyle\frac{25\,000e^{-t}(1+5e^{-t})(5e^{-t}-1)}{(1+5e^{-t})^4}\); \(g'(t)=0\Leftrightarrow t=-\ln{\displaystyle\frac{1}{5}}=\ln5\).

Bảng biến thiên hàm số

Image

Hàm số đạt cực đại tại \(t=-\ln{\displaystyle\frac{1}{5}}\approx1{,}6\).

Vậy sau khi phát hành \(1{,}6\) năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.

}

Câu 10:

Người quản lí của một khu chung cư có \( 100 \) căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là \( 8 \) triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm \( 100 \) nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

Gọi \( x \) là số lần tăng giá \((0

Mỗi lần tăng giá thì số căn hộ cho thuê là \( 100 - x \) (căn).

Số tiền thuê căn hộ sau mỗi lần tăng là \(8\,000\,000+100\,000x\) đồng.

Khi đó tổng số tiền cho thuê căn hộ 1 tháng là:

\begin{align*}y&=(8\,000\,000+100\,000 x)(100-x) \\ & =800\,000\,000-8\,000\,000 x+10\,000\,000 x-100\,000 x^2 \\ & =800\,000\,000+2\,000\,000 x-100\,000 x^2.\end{align*}

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(y\) lớn nhất.

Ta có

\(y'=-200\,000 x+2\,000\,000; \quad y'=0 \Leftrightarrow x=10.\)

Bảng biến thiên

Image

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy doanh thu lớn nhất khi người quản lí đặt giá thuê căn hộ là \(8\,000\,000+10 \cdot 100\,000 = 9\,000\,000\) (đồng).

}

Câu 11:

Trong \(5\) giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình \(\)s(t)=-t^3+6t^2+t+5,\(\) trong đó \(t\) tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong \(5\) giây đầu tiên đó?

Xét hàm số \(s(t)=-t^3+6t^2+t+5\), trên đoạn \(\left[0;5\right]\).

Đạo hàm \(s'(t)=-3t^2+12t+1.\)

Cho \(s'(t)=0 \Leftrightarrow -3t^2+12t+1=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{6+\sqrt{39}}{3}\in[0;5]\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{6-\sqrt{39}}{3}\notin[0;5].\)

Các giá trị \(f(0)=5\), \(f\left(\tfrac{6+\sqrt{39}}{3}\right)\approx41{,}04\), \(f(5)=35\).

So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{[0;5]}f(x)\approx41{,}04\), \(\min\limits_{[0;5]}f(x)=5\).

}

Câu 12:

Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe ô tô. Biết rằng thể tích \(V\) (lít) của lượng xăng trong bình xăng tính theo thời gian bơm xăng \(t\) (phút) được cho bởi công thức \(V(t)=300(t^2-t^3)+4 \text{ với } 0\le t\le 0{,}5.\)

a) Ban đầu trong bình xăng có bao nhiêu lít xăng?

b) Sau khi bơm \(30\) giây thì bình xăng đầy. Hỏi dung tích của bình xăng trong xe là bao nhiêu lít?

c) Khi xăng chảy vào bình xăng, gọi \(V(t)\) là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm \(t\) với \(0\le t\le 0{,}5\). Xăng chảy vào bình xăng ở thời điểm nào có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất?

a) Số xăng trong bình ban đầu là \(V(0)=4\) lít.

b) Dung tích bình xăng \(V=V\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=41{,}5\) lít.

c) Xét hàm số \(V(t)=300(t^2-t^3)+4 \text{ với } 0\le t\le 0{,}5.\)

Đạo hàm \(V'(t)=300t(2-3t)\).

Cho \(V'(t)=0 \Leftrightarrow 300t(t-3t)=0 \Leftrightarrow t=0\in[0;0{,}5]\) hoặc \(t=\displaystyle\frac{2}{3}\notin[0;0{,5}].\)

Các giá trị \(V(0)=4\), \(V\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=41{,}5\).

Xăng chảy vào bình xăng vào thời điểm ở giây thứ \(30\) có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất.

}

Câu 13:

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng \(144 \mathrm{~m}^2\). Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là \(x(m)\).

a) Viết biểu thức tính chu vi \(P(x)\) (mét) của mảnh vườn.

b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \(P(x)\).

a) Ta có độ dài một cạnh của mảnh vườn là \(x(m)\) nên độ dài cạnh còn lại của mảnh vườn là \(\displaystyle\frac{144}{x}\) (m).

Vậy chu vi của mảnh vườn là \(P(x)=2\left(x+\displaystyle\frac{144}{x}\right)=2x+\displaystyle\frac{72}{x}\).

b) Ta có: \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} P(x)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} 2x+\displaystyle\frac{72}{x}=+\infty\) và \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} P(x)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \left(2x+\displaystyle\frac{72}{x}\right)=-\infty\)

nên đồ thị hàm số \(P(x)\) không có tiệm cận ngang.

Ta có: \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \left(2x+\displaystyle\frac{72}{x}\right)=+\infty\). Suy ra đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=0\).

Ta có:

\(\lim _{x \rightarrow+\infty}[P(x)-2x]=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{72}{x}=0\) và \(\lim _{x \rightarrow-\infty}[P(x)-2x]=\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{72}{x}=0\) nên đồ thị hàm số \(P(x)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=2x\).

}