Đáp án:

• \(a+b+c+d=0\)
• \(y=f(x)=x^3-3x^2+2\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(a < 0\), \(d=1\)
• \(x_{_\text{CT}}=0\), \(x_{_\text{CĐ}}=2\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(a > 0\), \(d=-1\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(a > 0\), \(d=1\)
• \(f(x)=x^3-3x^2+1\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(a > 0\), \(d=1\)
• \(f'(1)=0\), \(f'(-1)=0\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(d=1\)
• \(f(x)=-x^3-3x^2+1\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(3a-2b+c=0\), \(3a+2b+c=0\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(d=-4\)
• \(f(x)=-x^3+3x^2-4\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(f(2)=-3\)
• \(f'(2)=0\), \(f'(0)=0\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(a< 0\), \(d=1\)
• \(f(1)=0\), \(f(0)=1\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(d=1\)
• \(f(1)=2\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(a<0\), \(d=-2\)
• \(b=3\)

Lời giải:

Đây là đồ thị của hàm số \(y=-x^3+3x^2-2\)

Đáp án:

• \(c=0\)
• \(b>0\)

Lời giải:

Đây là đồ thị của hàm số \(y=x^3+3x^2-2\)

Đáp án:

• \(a < 0\), \(d=\displaystyle\frac{3}{2}\)

Lời giải:

Đây là đồ thị của hàm số \(y=-x^3-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+2x+\displaystyle\frac{3}{2}\).

Đáp án:

• \(a>0\)
• \(a+c=2\)
• Nếu \(a=1\) thì \(f(x)=x^3+x\)

Lời giải:

Đây là đồ thị hàm số \(y=x^3+x\).

Đáp án:

• Đồ thị qua điểm \((0;1)\)
• \(c=1\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(\displaystyle\frac{a}{c}=1\)
• \(y=\displaystyle\frac{x+1}{x-1}\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(\displaystyle\frac{a}{c}=0{,}5\) và \(\displaystyle\frac{d}{c}=0{,}5\)
• \(a=1\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(\displaystyle\frac{d}{c}=1\)
• \(f(1)=0\), \(f(0)=-1\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(\displaystyle\frac{d}{c}=-1\)
• \(\displaystyle\frac{a}{c}=-2\)
• \(f(x)=\displaystyle\frac{-2x+3}{x-1}\)

Lời giải:

Đáp án:

• Đồ thị \((C)\) có đường tiệm cận ngang là \(y=1\) nên \(\displaystyle\frac{a}{c}=1\)
• Đồ thị \((C)\) cắt trục tung tại một điểm duy nhất}

Lời giải:

Đáp án:

• \(f(0)=-1\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(a=1\)

Lời giải:

Đây là đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x-1}{x+1}\).

Đáp án:

• \(d=-1\)

Lời giải:

Đây là đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{-2x+3}{x-1}\).

Đáp án:

• \(e=3\)
• \(a-b+c=0\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(e=-1\)
• \(a=2\)

Lời giải:

Đây là đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2-x+4}{x-1}\).

Đáp án:

• \(y=-x\) là tiệm cận xiên

Lời giải:

Đây là đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{-x^2+2x-4}{x-2}\).

Đáp án:

• \(y=x+1\) là tiệm cận xiên
• \(a=1\)

Lời giải:

Đáp án:

• Đồ thị có đường tiệm cận đứng là \(x=3\)
• Đồ thị có đường tiệm cận xiên là \(y=x-2\)

Lời giải:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=6x^2-6x\).

\(y'=0\Leftrightarrow 6x^2-6x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=1.\)

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((1;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((0;1)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{_\text{CĐ}}=1\); đạt cực tiểu tại \(x=1\), \(y_{_\text{CT}}=0\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=-3x^2+6x\).

\(y'=0\Leftrightarrow -3x^2+6x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2.\)

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\), đồng biến trên khoảng \((0;2)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), \(y_{_\text{CT}}=-1\); đạt cực đại tại \(x=2\), \(y_{_\text{CĐ}}=3\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=3(x-2)^2\).

\[y'=0\Leftrightarrow 3(x-2)^2=0\Leftrightarrow x=2\quad (\text{nghiệm kép}).\]

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

Bảng biến thiên:

\(\Rightarrow\) Hàm số đồng biến trên toàn \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=-3x^2+6x-3\).

\[y'=0\Leftrightarrow -3x^2+6x-3=0\Leftrightarrow x=1\quad (\text{nghiệm kép}).\]

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).

Bảng biến thiên:

\(\Rightarrow\) Hàm số nghịch biến trên toàn \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

Bảng biến thiên:

\(\Rightarrow\) Hàm số đồng biến trên toàn \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=-3x^2-3<0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).

Bảng biến thiên:

\(\Rightarrow\) Hàm số nghịch biến trên toàn \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=3 x^2-6 x\);

\(y'=0 \Leftrightarrow 3x^2-6x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2\).

Giới hạn

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty\).

Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ; 0)\) và \((2 ;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((0 ; 2)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(f_{\text{CĐ}}=f(0)=4\); Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(f_{\mathrm{CT}}=f(2)=0\).

Giao với các trục tọa độ:

+) Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;4)\).

+) Ta có

\begin{eqnarray*}x^3-3 x^2+4=0 &\Leftrightarrow& (x-2)^2(x+1)=0\\ &\Leftrightarrow& x=-1 \text { hoặc } x=2.\end{eqnarray*}

\(\Rightarrow\) Do đó đồ thị hàm số giao với trục \(O x\) tại hai điểm là \((-1 ; 0)\) và \((2 ; 0)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((3;4)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I(1;2)\).

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=-3 x^2-6 x-4\); Phương trình \(y' = 0\) vô nghiệm.

Giới hạn: \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty\).

Bảng biến thiên

\(\Rightarrow\) Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Hàm số không có cực trị.

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điếm \((0 ;-2)\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(O x\) tại điểm \((-1 ; 0)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((-2;2)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I(-1;0)\).

}

Tập xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=-3x^2+6x\). Suy ra \(y'=0\) khi \(x=0\) hoặc \(x=2\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x \to -\infty}y=+\infty\); \(\lim\limits_{x \to +\infty}y=-\infty\).

Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;2)\), nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), giá trị cực tiểu \(y_{CT}=-4\). Hàm số đạt cực đại tại \(x=2\), giá trị cực đại \(y_{\text{CĐ}}=0\).

Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm \((0;-4)\).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \((-1;0)\) và \((2;0)\).

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \((1;-2)\).

}

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Đạo hàm \(y'=x^2-2x\); \(y'=0 \Leftrightarrow \hoac{& x=0\\& x=2.}\)

Trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\), \(y'>0\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng \((0;2)\), \(y'<0\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{\text{CĐ}}=4\) và đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{\text{CT}}=\displaystyle\frac{8}{3}\).

\(\lim\limits_{x\to -\infty} y=\lim\limits_{x\to -\infty} x^3 \left(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{4}{x^3}\right)=-\infty\); \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=\lim\limits_{x\to +\infty} x^3 \left(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{4}{x^3}\right)=+\infty\).

Bảng biến thiên

Đồ thị

Khi \(x=0\) thì \(y=4\) nên \((0;4)\) là giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\).

Điểm \((0;4)\) là điểm cực đâị và điểm \(\left(2;\displaystyle\frac{8}{3}\right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình bên. Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left(1;\displaystyle\frac{10}{3}\right)\).

b) Đồ thị hàm số trên có hai điểm cực trị là \(A(0;4)\), \(B\left(2;\displaystyle\frac{8}{3}\right)\).

Suy ra \(AB=\sqrt{2^2+\left(-\displaystyle\frac{4}{3}\right)^2}=\displaystyle\frac{2\sqrt{13}}{3}\).

Tập xác định: \(\mathbb{R}\).

Sự biến thiên.

Giới hạn tại vô cực \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} y=+\infty, \displaystyle\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} y=+\infty\).

\( y'=3x^{2}+1\);

\(y'=0 \Leftrightarrow 3x^{2}+1>0,\,\, \forall x \in \mathbb{R}\).

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị.

Giao điểm của đồ thị với trục tung \((0 ; -2)\).

Giao điểm của đồ thị với trục hoành.

Xét phương trình

\(x^{3}+x-2=0 \Leftrightarrow x=1\).

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại điểm \((1; 0)\).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((1 ; 0),(0 ; -2)\) và \(\left(\displaystyle\frac{1}{2} ; -\displaystyle\frac{11}{8}\right)\).

Tập xác định \(\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực: \(\displaystyle\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} y=+\infty, \displaystyle\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} y=-\infty\).

\( y'= 6x^{2} + 2x -\displaystyle\frac{1}{2}\);

\(y'=0 \Leftrightarrow 6x^{2} + 2x -\displaystyle\frac{1}{2}=0 \Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{1}{2}\) và \(x=\displaystyle\frac{1}{6}\).

Bảng biến thiên.

Hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty; -\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) và \(\left(\displaystyle\frac{1}{6}; +\infty\right)\).

Hàm số nghịch biến trên \( \left(-\displaystyle\frac{1}{2}; \displaystyle\frac{1}{6}\right)\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}, y_{\text{CĐ}}=-\displaystyle\frac{11}{4}\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\displaystyle\frac{1}{6}, y_{\mathrm{CT}}=-\displaystyle\frac{329}{108}\).

Đồ thị.

Giao điểm của đồ thị với trục tung: \((0 ; -3)\).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left(\displaystyle\frac{1}{6}; -\displaystyle\frac{329}{108}\right),\left(-\displaystyle\frac{1}{2}; -\displaystyle\frac{11}{4}\right),(0 ; -3)\).

Tập xác định: \(\mathbb{R}\) .

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm \(y' = - 6{x^2} - 6x;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\,hay\,\,x = - 1\)

Hàm số đã cho có 2 cực trị.

Các giới hạn tại vô cực:

\(\lim\limits_{x \to - \infty } y = \lim\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( { - 2 - \displaystyle\frac{3}{x} + \displaystyle\frac{1}{{{x^3}}}} \right) = + \infty ;\\ \lim\limits_{x \to + \infty } y = \lim\limits_{x \to + \infty } {x^3}\left( { - 2 - \displaystyle\frac{3}{x} + \displaystyle\frac{1}{{{x^3}}}} \right) = - \infty {\rm{.}} \)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left( { - \displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{1}{2}} \right)\)

Tập xác định: \(\mathbb{R}\) .

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm \(y' = 3{x^2} + 6x + 3;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) . Do \(y' \ge 0\) trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Hàm số đã cho không có cực trị.

Các giới hạn tại vô cực:

\(\lim\limits_{x \to - \infty } y = \lim\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( {1 + \displaystyle\frac{3}{x} + \displaystyle\frac{3}{{{x^2}}} + \displaystyle\frac{2}{{{x^3}}}} \right) = - \infty;\)

\(\lim\limits_{x \to + \infty } y = \lim\limits_{x \to + \infty } {x^3}\left( {1 + \displaystyle\frac{3}{x} + \displaystyle\frac{3}{{{x^2}}} + \displaystyle\frac{2}{{{x^3}}}} \right) = + \infty {\rm{.}}\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn trên Hình b. Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left( {- 1;1} \right)\)

Tập xác định: \(\mathbb{R}\) .

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm \(y' = - 3{x^2} - 3x - \frac{3}{2}\) . Do \(y' < 0\) trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) .

Hàm số đã cho không có cực trị.

Các giới hạn tại vô cực:

\(\lim\limits_{x \to - \infty } y = \lim\limits_{x \to - \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 + \displaystyle\frac{3}{{2x}} + \displaystyle\frac{3}{{2{x^2}}}} \right)} \right] = + \infty ; \lim\limits_{x \to + \infty } y = \lim\limits_{x \to + \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 + \displaystyle\frac{3}{{2x}} + \displaystyle\frac{3}{{2{x^2}}}} \right)} \right] = - \infty .\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị của hàm số đi qua gốc toạ độ \(O\left( {0;0} \right)\) và điểm \(\left( { - 1;1} \right)\) .

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn trên Hình 2. Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left( { - \displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{1}{2}} \right)\)

Tập xác định: \(\mathbb{R}\) .

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm \(y' = 3{x^2} - 6x;y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\) .

Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right),y' > 0\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng \(\left( {0;2} \right),y' < 0\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CĐ}} = 2\) .

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và \({y_{CT}} = - 2\) .

Các giới hạn tại vô cực:

\( \lim\limits_{x \to - \infty } y = \lim\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( {1 - \displaystyle\frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^3}}}} \right) = - \infty ; \lim\limits_{x \to + \infty } y = \lim\limits_{x \to + \infty } {x^3}\left( {1 - \displaystyle\frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^3}}}} \right) = + \infty {\rm{.\;}}\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Khi \(x = 0\) thì \(y = 2\) nên \(\left( {0;2} \right)\) là giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\) .

Ta có

\(y = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 1{\rm{\;hay\;}}x = 1 - \sqrt 3 {\rm{\;hay\;}}x = 1 + \sqrt 3 {\rm{.\;}}\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục \(Ox\) tại ba điểm \(\left( {1;0} \right),\left( {1 + \sqrt 3 ;0} \right),\left( {1 - \sqrt 3 ;0} \right)\) ,.

Điểm \(\left( {0;2} \right)\) là điểm cực đại và điểm \(\left( {2; - 2} \right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Tâm xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Ta có \(y'=-3x^2+3\). Vậy \(y'=0\) khi \(x=\pm1\).

Trên khoảng \((-1;1)\), \(y'>0\) nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((1;+\infty)\), \(y'<0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1\), giá trị cực tiểu \(y_{ct}=-1\). Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\), giá trị cực đại \(y_{\text{cđ}}=3\).

Giới hạn vô cực

\(\lim\limits_{x \to -\infty}y=\lim\limits_{x \to -\infty}x^3\left(-1+\displaystyle\frac{3}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}\right)=+\infty\);

\(\lim\limits_{x \to +\infty}y=\lim\limits_{x \to +\infty}x^3\left(-1+\displaystyle\frac{3}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}\right)=-\infty\).

Bảng biến thiên

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm \((0;1)\).

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \((0;1)\).

Tâm xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Ta có \(y'=3x^2+6x-1\). Vậy \(y'=0\) khi \(x=x_{cd}=\displaystyle\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}\) hoặc \(x=x_{ct}=\displaystyle\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}\).

Trên khoảng \((x_1;x_2)\), \(y'<0\) nên hàm số nghịch biến. Trên các khoảng \((-\infty;x_1)\) và \((x_2;+\infty)\), \(y'>0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=x_1\), giá trị cực tiểu \(y_{cd}=\displaystyle\frac{18+6\sqrt{3}}{9}\). Hàm số đạt cực đại tại \(x=x_2\), giá trị cực đại \(y_{\text{ct}}=\displaystyle\frac{18-16\sqrt{3}}{9}\).

Giới hạn vô cực

\(\lim\limits_{x \to -\infty}y=-\infty\);

\(\lim\limits_{x \to +\infty}y=+\infty\).

Bảng biến thiên

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm \((0;-1)\).

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \((1;2)\).

Tâm xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Ta có \(y'=-3x^2+6x\). Vậy \(y'=0\) khi \(x=0\) hoặc \(x=2\).

Trên khoảng \((0;2)\), \(y'>0\) nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\), \(y'<0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), giá trị cực tiểu \(y_{CT}=-4\). Hàm số đạt cực đại tại \(x=2\), giá trị cực đại \(y_{\text{CĐ}}=0\).

Giới hạn vô cực

\(\lim\limits_{x \to -\infty}y=\lim\limits_{x \to -\infty}x^3\left(-1+\displaystyle\frac{3}{x}-\displaystyle\frac{4}{x^3}\right)=+\infty\);

\(\lim\limits_{x \to +\infty}y=\lim\limits_{x \to +\infty}x^3\left(-1+\displaystyle\frac{3}{x}-\displaystyle\frac{4}{x^3}\right)=-\infty\).

Bảng biến thiên

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm \((0;-4)\).

Ta có \(y=0\Leftrightarrow-x^3+3x^2-4=0\Leftrightarrow-(x-2)^2(x+1)=0\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=2\). Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \((-1;0)\) và \((2;0)\).

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \((1;-2)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Ta có \(y'=3x^2-4x+2\). Vậy \(y'>0, \forall x\in\mathbb{R}\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty; +\infty)\).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn vô cực:

\(\lim\limits_{x \to -\infty}y=\lim\limits_{x \to -\infty}x^3\left(1-\displaystyle\frac{2}{x}+\displaystyle\frac{2}{x^2}-\displaystyle\frac{1}{x^3}\right)=-\infty\),

\(\lim\limits_{x \to +\infty}y=\lim\limits_{x \to +\infty}x^3\left(1-\displaystyle\frac{2}{x}+\displaystyle\frac{2}{x^2}-\displaystyle\frac{1}{x^3}\right)=+\infty\).

Bảng biến thiên

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \((0;-1)\).

Ta có \(y=0\Leftrightarrow x^3-2x^2+2x-1=0\Leftrightarrow x=1\).

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \((1;0)\).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(\left(\displaystyle\frac{2}{3};\displaystyle\frac{-7}{27}\right)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Ta có \(y'=-6x^2+6x-5\). Vậy \(y'<0, \forall x\in\mathbb{R}\).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn vô cực

\(\lim\limits_{x \to -\infty}y=\lim\limits_{x \to -\infty}(-2x^3+3x^2-5x)=\lim\limits_{x \to -\infty}x^3\left(-2+\displaystyle\frac{3}{x}-\displaystyle\frac{5}{x^2}\right)=+\infty\);

\(\lim\limits_{x \to +\infty}y=\lim\limits_{x \to +\infty}(-2x^3+3x^2-5x)=\lim\limits_{x \to +\infty}x^3\left(-2+\displaystyle\frac{3}{x}-\displaystyle\frac{5}{x^2}\right)=-\infty\).

Bảng biến thiên

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \((0,0)\).

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(\left(\displaystyle\frac{1}{2};-2\right)\).

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số \(y=- x^3 + 3 x + 1\).

Tập xác định: \(\mathbb{R}\).

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm \(y'=3 - 3 x^2\);

\(y'=0 \Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=1\).

Trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\), \(y' > 0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng~đó.

Trên khoảng \(\left(-1;1\right)\), \(y' < 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng~đó.

Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = -1\) và \(y_{\text{CT}} = -1\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\) và \(y_{\text{CĐ}} = 3\).

Các giới hạn tại vô cực:

\(\lim\limits_{x\to-\infty}y=\lim\limits_{x\to-\infty}x^3\left(-1 + \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^3}\right)=+\infty; \lim\limits_{x\to+\infty}y=\lim\limits_{x\to+\infty}x^3\left(-1 + \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^3}\right)=-\infty.\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Khi \(x = 0\) thì \(y = 1\) nên \(\left(0;1\right)\) là giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\).

Ta có \(\begin{aligned}y=0 & \Leftrightarrow - x^3 + 3 x + 1=0\\& \Leftrightarrow x\in \{x_1, x_2, x_3\}.\end{aligned}\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục \(Ox\) tại ba điểm có hành độ \(x_1, x_2, x_3\).

Điểm \(\left(-1;-1\right)\) là điểm cực tiểu và điểm \(\left(1;3\right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left(0;1\right)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực:

\(\lim\limits_{x\to -\infty}y=-\infty\);

\(\lim\limits_{x\to +\infty}y=+\infty\).

Ta có \(y'=3x^2+6x\); \(y'=0\Leftrightarrow3x^2+6x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=-2\).

Bảng biến thiên

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\) và \((0;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\).

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), \(y_{\text{CĐ}}=0\);

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), \(y_{\text{CT}}=-4\).

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;-4)\).

Ta có \(x^3+3x^2-4=0\Leftrightarrow x=1 \) hoặc \(x=-2\), do đó đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại hai điểm là \((1;0)\) và \((-2;0)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((-3;-4)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I(-1;-2)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực:

\(\lim\limits_{x\to -\infty}y=-\infty\);

\(\lim\limits_{x\to +\infty}y=+\infty\).

Ta có \(y'=3x^2+8x+4\); \(y'=0\Leftrightarrow3x^2+8x+4=0\Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{2}{3}\) hoặc \(x=-2\).

Bảng biến thiên

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\) và \(\left(-\displaystyle\frac{2}{3};+\infty\right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left(-2;-\displaystyle\frac{2}{3}\right)\).

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), \(y_{\text{CĐ}}=0\);

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\displaystyle\frac{2}{3}\), \(y_{\text{CT}}=-\displaystyle\frac{32}{27}\).

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;0)\).

Ta có \(x^3+4x^2+4x=0\Leftrightarrow x=0 \) hoặc \(x=-2\), do đó đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại hai điểm là \((0;0)\) và \((-2;0)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((-3;-3)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I\left (-\displaystyle\frac{4}{3};-\displaystyle\frac{16}{27}\right )\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực:

\(\lim\limits_{x\to -\infty}y=+\infty\);

\(\lim\limits_{x\to +\infty}y=-\infty\).

Ta có \(y'=-6x^2\); \(y'=0\Leftrightarrow -6x^2=0\Leftrightarrow x=0\).

Bảng biến thiên

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;2)\).

Ta có \(-2x^3+2=0\Leftrightarrow x=1 \), do đó đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \((1;0)\)

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((-1;4)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I(0;2)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực:

\(\lim\limits_{x\to -\infty}y=+\infty\);

\(\lim\limits_{x\to +\infty}y=-\infty\).

Ta có \(y'=-3x^2-2x-1\); \(y'=0\Leftrightarrow -3x^2-2x-1=0\) vô nghiệm.

Bảng biến thiên

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;1)\).

Ta có \(-x^3-x^2-x+1=0\Leftrightarrow x=1 \), do đó đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \((1;0)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((-1;2)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I\left (-\displaystyle\frac{1}{3};\displaystyle\frac{34}{27}\right )\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên:

Giới hạn

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(-x^3 + 2x^2 + 4x - 3\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left[x^3\left(-1+\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}-\frac{3}{x^3 }\right)\right]=-\infty\);

\(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}\left(-x^3 + 2x^2 + 4x - 3\right)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}\left[x^3\left(-1+\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}-\frac{3}{x^3 }\right)\right]=+\infty\).

Ta có \(y'=-3 x^2 + 4 x + 4\);

\begin{eqnarray*}y'=0 &\Leftrightarrow& -3 x^2 + 4 x + 4=0 \\&\Leftrightarrow& x =-\frac{2}{3} \text { hoặc } x=2.\end{eqnarray*}

Bảng biến thiên

Chiều biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{2}{3} ; 2\right)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty ; -\displaystyle\frac{2}{3}\right)\) và \((2 ;+\infty)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=2, f_{\text{CĐ}}=f(2)=5\); Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\frac{2}{3}, f_{\mathrm{CT}}=f(-\frac{2}{3})=-\displaystyle\frac{121}{27}\).

Đồ thị

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm \((0 ; -3)\). Ta có

\begin{eqnarray*}-x^3 + 2x^2 + 4x - 3 =0&\Leftrightarrow& (x-3)(-x^2-x+1)=0\\&\Leftrightarrow& x=3 \text { hoặc } x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}.\end{eqnarray*}

Do đó đồ thị hàm số giao với trục \(O x\) tại các điểm là \((3 ; 0)\) và \((\frac{1\pm \sqrt{5}}{2} ; 0)\).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I(\frac{2}{3} ; \frac{7}{27})\).

Đồ thị hàm số được cho như Hình 1.32.

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên:

Giới hạn

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x + 1\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left[x^3\left(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3 }\right)\right]=+\infty\);

\(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x + 1\right)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}\left[x^3\left(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3 }\right)\right]=-\infty\).

Ta có \(y'=x^2 -2x + 1\);

\begin{eqnarray*}y'=0 &\Leftrightarrow& x^2 -2x + 1=0 \\&\Leftrightarrow& x =1.\end{eqnarray*}

Bảng biến thiên

Chiều biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ; 1)\) và \((1 ; +\infty)\).

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm \((0 ; 1)\). Ta có

\begin{eqnarray*}\displaystyle\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x + 1 =0 &\Leftrightarrow& x=1 -\sqrt[3]{4}.\end{eqnarray*}

Do đó đồ thị hàm số giao với trục \(O x\) tại điểm là \((1 -\sqrt[3]{4} ; 0)\).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I(1 ; \frac{4}{3})\).

Đồ thị hàm số được cho như Hình 1.33.

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên:

Giới hạn

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(x^3-3 x^2+4\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left[x^3\left(1-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^3}\right)\right]=+\infty\);

\(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}\left(x^3-3 x^2+4\right)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}\left[x^3\left(1-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^3}\right)\right]=-\infty\).

Ta có \(y'=3 x^2-6 x\);

\begin{eqnarray*}y'=0 &\Leftrightarrow& 3x^2-6x=0 \\&\Leftrightarrow& x=0 \text { hoặc } x=2.\end{eqnarray*}

Bảng biến thiên

Chiều biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ; 0)\) và \((2 ;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((0 ; 2)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0, f_{\text{CĐ}}=f(0)=4\); Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2, f_{\mathrm{CT}}=f(2)=0\).

Đồ thịĐồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0 ; 4)\).

Ta có

\begin{eqnarray*}x^3-3 x^2+4=0 &\Leftrightarrow& (x-2)^2(x+1)=0\\&\Leftrightarrow& x=-1 \text { hoặc } x=2.\end{eqnarray*}

Do đó đồ thị hàm số giao với trục \(O x\) tại hai điểm là \((-1 ; 0)\) và \((2 ; 0)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((3 ; 4)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I(1 ; 2)\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Sự biến thiên:

Giới hạn

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(-x^3-3 x^2-4 x-2\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left[x^3\left(-1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right)\right]=-\infty\);

\(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}\left(-x^3-3 x^2-4 x-2\right)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}\left[x^3\left(-1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right)\right]=+\infty\).

Ta có \(y'=-3 x^2-6 x-4\); Phương trình \(y' = 0\) vô nghiệm.

Bảng biến thiên

Chiều biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điếm \((0 ;-2)\). Ta có

\(-x^3-3 x^2-4 x-2=(x+1)\left(-x^2-2 x-2\right)=0 \Leftrightarrow x=-1.\)

Do đó đồ thị hàm số giao với trục \(O x\) tại điểm \((-1 ; 0)\).

Đổ thị hàm số đi qua điểm \((-2 ; 2)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I(-1 ; 0)\).}{

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{2}{(x+1)^2}>0\) với mọi \(x\in\mathscr{D}\). Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=1\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^-}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^+}y=-\infty\).

\(\Rightarrow\) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y=1\) và tiệm cận đứng \(x=-1\).

Bảng biến thiên:

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{-2}{(x+1)^2}<0\) với mọi \(x\in\mathscr{D}\). Suy ra hàm số nghịch biến trên từng khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=-2\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^-}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^+}y=+\infty\).

\(\Rightarrow\) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y=-2\) và tiệm cận đứng \(x=-1\).

Bảng biến thiên:

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định: \(\mathbb{R} \backslash\{-1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{3}{(x+1)^2}>0\) với mọi \(x \neq-1\). Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\).

Giới hạn:

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to-1^{+}} y=+\infty\), suy ra đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to+\infty} y=1\), \(\displaystyle\lim\limits_{x \to-\infty} y=1\). Suy ra đường thẳng \(y=1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên.

Giao điểm của đồ thị với trục tung: \((0;-2)\).

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \((2;0)\).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((0;-2)\), \((2;0)\), \((-2;4)\) và \((-4;2)\).

}

Tập xác định \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{-3}{(x-1)^{2}}<0\) với mọi \(x \neq 1\). Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty ; 1)\) và \((1 ;+\infty)\).

Giới hạn:

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 1^{+}} y=+\infty\). Suy ra đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} y=2, \displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} y=2\). Suy ra đường thẳng \(y=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên.

Giao điểm của đồ thị với trục tung: \((0 ;-1)\).

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(\left(-\displaystyle\frac{1}{2} ; 0\right)\).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((0;-1)\), \(\left(-\displaystyle\frac{1}{2};0\right)\), \((-2;1)\), \((2;5)\), \(\left(\displaystyle\frac{5}{2};4\right)\) và \((4;3)\).

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{1}{(x - 2)^2}> 0,\ \forall x \in \mathscr{D}\), suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ; 2)\) và \((2 ;+\infty)\).

Giới hạn, tiệm cận

\(\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} f(x)=-\infty\), suy ra đường thẳng \(x = 2\) là đường tiệm cận đứng.

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=-1\), \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=-1\). Suy ra đường thẳng \(y = -1\) là đường tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0 ; -\displaystyle\frac{1}{2})\) và giao với trục \(Ox\) tại điểm \((1 ; 0)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((3 ;-2)\), nhận giao điểm \(I(2 ;-1)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

}

Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus\{-1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{1}{(x+1)^{2}}>0\) với mọi \(x \neq -1\). Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\) và không có cực trị.

Giới hạn và tiệm cận:

\(\lim\limits_{x \to(-1)^{+}} y=\lim _{x \rightarrow (-1)^{+}} \displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=-\infty\);

\(\lim\limits_{x \to+\infty} y=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=2\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} y=\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=2\).

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=-1\), tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=2\).

Bảng biến thiên:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left(0 ;1\right)\).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left(0;-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(-1;2)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

}

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Tập xác định $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

Sự biến thiên

Đạo hàm $y'=-\dfrac{3}{(x-1)^2}$. Vì $y'<0$ với mọi $x\neq 1$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$.

Ta có $\lim\limits_{x\to -\infty} y=\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{2x+1}{x-1}=2$; $\lim\limits_{x\to +\infty} y=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{2x+1}{x-1}=2$.

$\Rightarrow$ Đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Lại có $\lim\limits_{x\to 1^{-}} y=\lim\limits_{x\to 1^{-}} \dfrac{2x+1}{x-1}=-\infty$; $\lim\limits_{x\to 1^{+}} y=\lim\limits_{x\to 1^{+}} \dfrac{2x+1}{x-1}=+\infty$.

$\Rightarrow$ Đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

Đồ thị

Đồ thị của hàm số giao với trục $Ox$ tại điểm $\left(-\dfrac{1}{2};0\right)$, giao với trục $Oy$ tại điểm $(0;-1)$.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình bên. Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm $I(1;2)$.

b) Ta có $A(0;-1)$ và $I(1;2)$.

Do điểm $B$ đối xứng với $A$ qua $I$ nên $I$ là trung điểm của đoạn $AB$ $\Rightarrow B(2;5)$.

Thay tọa độ $B$ vào đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-1}$ ta có $5=\dfrac{2\cdot 2+1}{2-1} \Leftrightarrow 5=5$ (đúng).

Vậy điểm $B$ cũng thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Tập xác định: $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Đạo hàm: $y'=-\dfrac{1}{x^2}<0$ với mọi $x\in\mathscr{D}$.

Suy ra hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty;0)$ và $(0;+\infty)$.

Giới hạn: $\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=3$, $\lim\limits_{x\to(0)^-}y=-\infty$, $\lim\limits_{x\to(0)^+}y=+\infty$.

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=3$ và tiệm cận đứng $x=0$.

Bảng biến thiên:

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

Đạo hàm: $y'=\dfrac{-2}{(1-x)^2}<0$ với mọi $x\in\mathscr{D}$.

Suy ra hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$.

Giới hạn: $\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=-1$, $\lim\limits_{x\to(1)^-}y=-\infty$, $\lim\limits_{x\to(1)^+}y=+\infty$.

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=-1$ và tiệm cận đứng $x=1$.

Bảng biến thiên:

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {1} \right\}$

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ . Vì $y' < 0$ với mọi $x \ne 1 $ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {- \infty;1} \right)$ và $\left( { 1; + \infty } \right)$

Tiệm cận:

Ta có $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ x + 1}}{{x -1}} = 1;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ x + 1}}{{x -1}} = 1$ .

Suy ra đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} = - \infty $ .

Suy ra đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị của hàm số giao với trục $Ox$ tại điểm $\left( {-1;0} \right)$ , giao với trục $Oy$ tại điểm $\left( {0;-1} \right)$ .

Đồ thị của hàm số được biểu diễn trên Hình a).

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I\left( { 1; 1} \right)$ .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận $x = 1$ và $y = 1$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { \dfrac{1}{3}} \right\}$

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{(3x - 1)}^2}}}$ . Vì $y' < 0$ với mọi $x \ne \dfrac{1}{3}$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; \dfrac{1}{3}} \right)$ và $\left( { \dfrac{1}{3}; + \infty } \right)$

Tiệm cận:

Ta có $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ 2x }}{{3x - 1}} = \dfrac{2}{3};\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ 2x }}{{3x - 1}} = \dfrac{2}{3}$ .

Suy ra đường thẳng $y = \dfrac{2}{3}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { \frac{1}{3}} \right)}^ - }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { \frac{1}{3}} \right)}^ - }} \dfrac{{ 2x }}{{3x - 1}} = - \infty ;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { \frac{1}{3}} \right)}^ + }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { \frac{1}{3}} \right)}^ + }} \dfrac{{ 2x }}{{3x - 1}} = + \infty $ .

Suy ra đường thẳng $x = \dfrac{1}{3}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị của hàm số đi qua gốc tọa độ $\left( {0;0} \right)$ .

Đồ thị của hàm số được biểu diễn trên Hình b).

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I\left( { \dfrac{1}{3}; \dfrac{2}{3}} \right)$ .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận $x = \dfrac{1}{3}$ và $y = \dfrac{2}{3}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { 2} \right\}$

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y' = \dfrac{{ 7}}{{{{(-x + 2)}^2}}}$ . Vì $y' > 0$ với mọi $x \ne 2$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; 2} \right)$ và $\left( { 2; + \infty } \right)$

Tiệm cận:

Ta có $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ x + 5}}{{-x + 2}} = -1 ;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ x + 5}}{{-x + 2}} = -1 $ .

Suy ra đường thẳng $y = -1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { 2} \right)}^ - }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { 2} \right)}^ - }} \dfrac{{ x + 5}}{{-x +2}} = + \infty ;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { 2} \right)}^ + }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { 2} \right)}^ + }} \dfrac{{ x + 5}}{{-x + 2}} = - \infty $ .

Suy ra đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị của hàm số giao với trục $Oy$ tại điểm $\left( {0;\dfrac{5}{2}} \right)$ .

Đồ thị của hàm số được biểu diễn trên Hình c).

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I\left( 2; -1 \right)$ .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận $x = 2$ và $y = - 1$ .

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { - \dfrac{3}{2}} \right\}$

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y' = \dfrac{{ - 7}}{{{{(2x + 3)}^2}}}$ . Vì $y' < 0$ với mọi $x \ne - \dfrac{3}{2}$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right)$ và $\left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)$

Tiệm cận:

Ta có $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - x + 2}}{{2x + 3}} = - \dfrac{1}{2};\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{ - x + 2}}{{2x + 3}} = - \dfrac{1}{2}$ .

Suy ra đường thẳng $y = - \dfrac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^ - }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^ - }} \dfrac{{ - x + 2}}{{2x + 3}} = - \infty ;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^ + }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{3}{2}} \right)}^ + }} \dfrac{{ - x + 2}}{{2x + 3}} = + \infty $ .

Suy ra đường thẳng $x = - \dfrac{3}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị của hàm số giao với trục $Ox$ tại điểm $\left( {2;0} \right)$ , giao với trục $Oy$ tại điểm $\left( {0;\dfrac{2}{3}} \right)$ .

Đồ thị của hàm số được biểu diễn trên Hình 4.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I\left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)$ .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận $x = - \dfrac{3}{2}$ và $y = - \dfrac{1}{2}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { - 1} \right\}$.

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y' = \dfrac{3}{{{{(x + 1)}^2}}}$ . Vì $y' > 0$ với mọi $x \ne - 1$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$ .

Tiệm cận:

Ta có $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2; \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2$ .

Suy ra đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - {1^ - }} \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} = + \infty ;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - {1^ + }} \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} = - \infty $ .

Suy ra đường thẳng $x = - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị của hàm số giao với trục $Ox$ tại điểm $\left( {\dfrac{1}{2};0} \right)$ , giao với trục $Oy$ tại điểm $\left( {0; - 1} \right)$ .

Đồ thị của hàm số được biểu diễn trên Hình 3.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I\left( { - 1;2} \right)$ . Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận $x = - 1$ và $y = 2$ .

Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R} \setminus\{2\}$.

Sự biến thiên

Ta có: $y^{\prime}=-\dfrac{3}{(x-2)^{2}}<0$ với mọi $x \neq 2$.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ; 2)$ và $(2 ;+\infty)$.

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận

$\begin{aligned}&\lim _{x \rightarrow 2^{-}} y=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \dfrac{x+1}{x-2}=-\infty ; \lim _{x \rightarrow 2^{+}} y=\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \dfrac{x+1}{x-2}=+\infty;\\&\lim _{x \rightarrow+\infty} y=\lim _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{x+1}{x-2}=1 ; \lim _{x \rightarrow-\infty} y=\lim _{x \rightarrow-\infty} \dfrac{x+1}{x-2}=1.\end{aligned}$

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$, tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$.

Bảng biến thiên:

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0 ;-\dfrac{1}{2}\right)$.

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $(-1 ; 0)$.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm $(2 ; 1)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R} \setminus\{-1\}$.

Sự biến thiên

Ta có: $y^{\prime}=\dfrac{1}{(x+1)^{2}}>0$ với mọi $x \neq -1$.

Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ; -1)$ và $(-1 ;+\infty)$.

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận

$\begin{aligned}&\lim _{x \rightarrow (-1)^{-}} y=\lim _{x \rightarrow (-1)^{-}} \dfrac{2x+1}{x+1}=+\infty ; \lim _{x \rightarrow )(-1)^{+}} y=\lim _{x \rightarrow (-1)^{+}} \dfrac{2x+1}{x+1}=-\infty;\\&\lim _{x \rightarrow+\infty} y=\lim _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{2x+1}{x+1}=2 ; \lim _{x \rightarrow-\infty} y=\lim _{x \rightarrow-\infty} \dfrac{2x+1}{x+1}=2.\end{aligned}$

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$, tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$.

Bảng biến thiên:

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0 ;1\right)$.

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left(0;-\dfrac{1}{2}\right)$.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I(-1 ; 2)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R} \setminus\{1\}$.

Sự biến thiên

Ta có: $y^{\prime}=\dfrac{4}{(x-1)^{2}}>0$ với mọi $x \neq -1$.

Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ; 1)$ và $(1 ;+\infty)$.

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận

$\begin{aligned}&\lim _{x \rightarrow 1^{-}} y=\lim _{x \rightarrow (-1)^{-}} \dfrac{x+3}{-x+1}=+\infty ; \lim _{x \rightarrow 1^{+}} y=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \dfrac{x+3}{-x+1}=-\infty;\\&\lim _{x \rightarrow+\infty} y=\lim _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{x+3}{-x+1}=-1 ; \lim _{x \rightarrow-\infty} y=\lim _{x \rightarrow-\infty} \dfrac{x+3}{-x+1}=-1.\end{aligned}$

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$, tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-1$.

Bảng biến thiên:

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left(-3 ;0\right)$.

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $(0;3)$.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I(1 ; -1)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

Tập xác định: $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}$.

Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận

$\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow 2^+}\dfrac{-x + 1}{x - 2}=-\infty$; $\lim\limits_{x \rightarrow 2^-} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow 2^-}\dfrac{-x + 1}{x - 2}= +\infty$.

Suy ra đường thẳng $x = 2$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

$\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\dfrac{-x + 1}{x - 2}=-1; \lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{-x + 1}{x - 2}=-1$.

Suy ra đường thẳng $y = -1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có $y'=\dfrac{1}{(x - 2)^2}> 0, \forall x \in \mathscr{D}$; $y'$ không xác định tại $x = 2$.

Bảng biến thiên

Chiều biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ; 2)$ và $(2 ;+\infty)$.

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị

Vẽ các đường tiệm cận $x = 2$ và $y = -1$.

Đồ thị hàm số giao với trục $Oy$ tại điểm $(0 ; -\dfrac{1}{2})$ và giao với trục $Ox$ tại điểm $(1 ; 0)$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(3 ;-2)$, nhận giao điểm $I(2 ;-1)$ của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.}{

Tập xác định: $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-\frac{1}{2}\}$.

Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận

$\lim\limits_{x \rightarrow (-\frac{1}{2})^+} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow -(-\frac{1}{2})^+}\dfrac{2x + 4}{2x + 1}=+\infty$; $\lim\limits_{x \rightarrow (-\frac{1}{2})^-} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow (-\frac{1}{2})^-}\dfrac{2x + 4}{2x + 1}= -\infty$.

Suy ra đường thẳng $x = -\frac{1}{2}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

$\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\dfrac{2x + 4}{2x + 1}=1; \lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{2x + 4}{2x + 1}=1$.

Suy ra đường thẳng $y = 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có $y'=-\dfrac{6}{(2x + 1)^2}< 0, \forall x \in \mathscr{D}$; $y'$ không xác định tại $x = -\frac{1}{2}$.

Bảng biến thiên

Chiều biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ; -\frac{1}{2})$ và $(-\frac{1}{2} ;+\infty)$.

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị

Vẽ các đường tiệm cận $x = -\dfrac{1}{2}$ và $y = 1$.

Đồ thị hàm số giao với trục $Oy$ tại điểm $(0 ; 4)$ và giao với trục $Ox$ tại điểm $(-2;0)$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(3 ;-2)$, nhận giao điểm $I\left(-\dfrac{1}{2} ;1\right)$ của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Tập xác định $\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\dfrac{1}{2} \right\}$.

Đạo hàm $y'=\dfrac{5}{(2x+1)^2}>0, \forall x\ne -\dfrac{1}{2}$.

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty;-\dfrac{1}{2}\right)$ và $\left(-\dfrac{1}{2};+\infty\right)$.

Giới hạn \& tiệm cận.

+ $ \lim\limits_{x \to {-\tfrac{1}{2}^-}}y=+\infty; \lim\limits_{x \to {-\tfrac{1}{2}^+}}y=-\infty$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-\dfrac{1}{2}$.

+$\lim\limits_{x \to \pm \infty}y=\dfrac{1}{2}$. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=\dfrac{1}{2}$.

Bảng biến thiên

Đồ thị

Vẽ các đường tiệm cận $x=-\dfrac{1}{2}$ và $y=\dfrac{1}{2}$.

Đồ thị hàm số giao với trục $Oy$ tại điểm $(0;-2)$ và giao với trục $Ox$ tại điểm $(2;0)$.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$ của hai đường tiệp cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Tập xác định $\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}$.

Đạo hàm $y'=\dfrac{8}{(2x+4)^2}>0, \forall x\ne -2$.

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty;-2\right)$ và $\left(-2;+\infty\right)$.

Giới hạn \& tiệm cận.

+ $ \lim\limits_{x \to {-2^-}}y=+\infty; \lim\limits_{x \to {-2^+}}y=-\infty$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-2$.

+$\lim\limits_{x \to \pm \infty}y=-1$. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=-1$.

Bảng biến thiên

Đồ thị

Vẽ các đường tiệm cận $x=-2$ và $y=-1$.

Đồ thị hàm số giao với trục $Oy$ tại điểm $\left(\dfrac{1}{2};0\right)$ và giao với trục $Ox$ tại điểm $\left(0;\dfrac{1}{4}\right)$.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I\left(-2;-1\right)$ của hai đường tiệp cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(2x-3)(x-1)-(x^2-3x+6)}{(x-1)^2}=\displaystyle\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}\).

\[y'=0\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=3.\]

Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=x-2+\displaystyle\frac{4}{x-1}\).

\(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to1^-}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to1^+}y=+\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=1\).

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(x-2)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{4}{x-1}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=x-2\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-1;1)\), \((3;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\), \((1;3)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), \(y_{_\text{CĐ}}=-5\); đạt cực tiểu tại \(x=3\), \(y_{_\text{CT}}=3\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(-2x+2)(x-2)-(-x^2+2x-4)}{(x-2)^2}=\displaystyle\frac{-x^2+4x}{(x-2)^2}\).

\(y'=0\Leftrightarrow -x^2+4x=0\Leftrightarrow x=0\); \(x=4.\)

Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=-x-\displaystyle\frac{4}{x-2}\).

\(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).

\(\lim\limits_{x\to2^-}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to2^+}y=-\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=2\).

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(-x)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{-4}{x-2}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=-x\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((0;2)\), \((4;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;0)\), \((2;4)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), \(y_{_\text{CT}}=2\); đạt cực đại tại \(x=4\), \(y_{_\text{CĐ}}=-6\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(4x+3)(x+2)-(2x^2+3x-5)}{(x+2)^2}=\displaystyle\frac{2x^2+8x+11}{(x+2)^2}\).

\[y'=0\Leftrightarrow 2x^2+8x+11=0\quad \text{vô nghiệm}.\]

Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=2x-1-\displaystyle\frac{3}{x+2}\).

\(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to(-2)^-}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to(-2)^+}y=-\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=-2\).

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(x-1)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{-3}{x+2}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=2x-1\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((-2;+\infty)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(2x-2)(-x+2)+(x^2-2x-3)}{(-x+2)^2}=\displaystyle\frac{-x^2+2x-7}{(-x+2)^2}\).

\[y'=0\Leftrightarrow -x^2+2x-7=0 \Leftrightarrow \ \text{vô nghiệm}.\]

Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=-x-\displaystyle\frac{3}{-x+2}\).

\(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).

\(\lim\limits_{x\to 2^-}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to 2^+}y=-\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=2\).

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(-x)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{3}{-x+2}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=-x\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;2)\), \((2;+\infty)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{x^2-4}{x^2}\). Suy ra \(y'=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x^2-4}{x^2}=0\Leftrightarrow x=\pm 2\).

Giới hạn: ta viết hàm số dưới dạng \(y=x+2+\displaystyle\frac{4}{x}\).

\(\lim\limits_{x\to -\infty} y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to 0^{+}} y=+\infty\). Suy ra đường thẳng \(x=0\) là tiệm cận đứng.

\(\lim\limits_{x\to -\infty}[y-(x+2)]=0\), \(\lim\limits_{x\to + \infty} [y-(x+2)]=0\). Suy ra đường thẳng \(y=x+2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\), nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(-2;0\right)\) và \(\left(0;2\right)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), \(y_{\text{CĐ}}=-2\), hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{\text{CT}}=6\).

Bảng giá trị

Đồ thị

}

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \left\{-2\right\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{x^2+4x+5}{(x+2)^2}\). Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x^2+4x+5=0\), phương trình vô nghiệm.

Giới hạn: ta viết hàm số dưới dạng \(y=x+2-\displaystyle\frac{1}{x+2}\).

\(\lim\limits_{x\to -\infty} y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to -2^{+}} y=-\infty\). Suy ra đường thẳng \(x=-2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x\to -\infty}[y-(x+2)]=0\), \(\lim\limits_{x\to + \infty} [y-(x+2)]=0\). Suy ra đường thẳng \(y=x+2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(-2;+\infty\right)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Bảng giá trị

Đồ thị

}

Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 1 \right\}\)

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{x^2-2x}{(x - 1)^2}\). Suy ra \(y'=0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x=2\).

Giới hạn: hàm số được viết lại \(y=x+3+\displaystyle\frac{1}{x-1}\).

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to-\infty}y =-\infty\), \(\displaystyle\lim\limits_{x\to+\infty}y =+\infty\).

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to1^+}y =+\infty\), suy ra \(x=1\) là đường tiệm cận đứng.

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to-\infty}[y-(x+3)]=\displaystyle\lim\limits_{x\to-\infty}\displaystyle\frac{1}{x-1}=0\), \(\displaystyle\lim\limits_{x\to+\infty}[y-(x+3)]=\displaystyle\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle\frac{1}{x-1}=0\). Suy ra \(y=x+3\) là đường tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(- \infty;0\right)\) và \(\left( 2;+\infty\right)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left(0;1\right)\) và \(\left(1;2\right)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\), \({y_{CT}} = 6\), hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CĐ}} = 2\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \((-1+\sqrt{3}; 0)\) và điểm \((-1-\sqrt{3};0)\); giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;2)\).

}

Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \setminus\{-2\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{-x^2-4x-10}{(x+2)^2}\). Ta có \(y'=0\Leftrightarrow -x^2-4x-10=0\), phương trình vô nghiệm.

Giới hạn: hàm số được viết lại \(y=-x-1+\displaystyle\frac{6}{x+2}\).

\(\lim\limits_{x \to-\infty} y=\lim\limits_{x \to-\infty} \displaystyle\frac{-x^2-3 x+4}{x+2}=+\infty\), \(\lim\limits_{x \to+\infty} y=\lim\limits_{x \to+\infty} \displaystyle\frac{-x^2-3 x+4}{x+2}=-\infty\).

\(\lim\limits_{x \to-2^{+}}y=+\infty\), suy ra đường thẳng \(x=-2\) là tiệm cận đứng.

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to\pm \infty}[y-(-x-1)]=\displaystyle\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{6}{x+2}=0\), suy ra \(y=-x-1\) là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên

+) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-2)\) và \((-2;+\infty)\).

+) Hàm số không có cực trị

Đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \((-4; 0)\) và điểm \((1; 0)\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0; 2)\).

Đồ thị của hàm số được biểu diễn trên Hình 6.

}

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{1\}\).

Sự biến thiên

Ta có \(y=x+5+\displaystyle\frac{4}{x-1} \Rightarrow y'=\displaystyle\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}\);

Xét \(y'=0 \Leftrightarrow x^2-2x-3=0 \Leftrightarrow \hoac{& x=-1\\& x=3.}\)

Trên khoảng \((-\infty;-1)\) và \((3;+\infty)\), \(y'>0\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng \((-1;1)\) và \((1;3)\), \(y'<0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), \(y_{\text{CĐ}}=2\) và đạt cực tiểu tại \(x=3\), \(y_{\text{CT}}=10\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to -\infty} y=\lim\limits_{x\to -\infty} \displaystyle\frac{x^2+4x-1}{x-1}=-\infty\); \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=\lim\limits_{x\to +\infty} \displaystyle\frac{x^2+4x-1}{x-1}=+\infty\).

Lại có \(\lim\limits_{x\to -\infty} \left[\displaystyle\frac{x^2+4x-1}{x-1}-(x+5)\right]=\lim\limits_{x\to -\infty} \displaystyle\frac{4}{x-1}=0\).

\(\lim\limits_{x\to +\infty} \left[\displaystyle\frac{x^2+4x-1}{x-1}-(x+5)\right]=\lim\limits_{x\to +\infty} \displaystyle\frac{4}{x-1}=0\).

\(\Rightarrow\) Đường thẳng \(y=x+5\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Mặt khác \(\lim\limits_{x\to 1^{-}} y=\lim\limits_{x\to 1^{-}} \displaystyle\frac{x^2+4x-1}{x-1}=-\infty\); \(\lim\limits_{x\to 1^{+}} y=\lim\limits_{x\to 1^{+}} \displaystyle\frac{x^2+4x-1}{x-1}=+\infty\).

\(\Rightarrow\) Đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

Đồ thị

Ta có \(y=0 \Leftrightarrow x^2+4x-1=0 \Leftrightarrow x=-2\pm\sqrt{5}\).

Vậy đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \(\left(-2-\sqrt{5};0\right)\) và điểm \(\left(-2+\sqrt{5};0\right)\).

Đồ thị giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;1)\).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình bên. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm \(I(1;6)\).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận \(x=1\) và \(y=x+5\).

Ta có bảng biến thiên của hàm số trên trên đoạn \([2;4]\)

Vậy \(\max\limits_{x\in [2;4]} y=y(2)=11\) và \(\min\limits_{x\in [2;4]} y=y(3)=10\).

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số \(y=\displaystyle\frac{-x^2+3x+1}{x+2}\)

Tập xác định: \(\mathbb{R} \backslash\{-2\}\).

Sự biến thiên.

Giơi hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng \(y= -x+5 -\displaystyle\frac{9}{x+2}\).

\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} y= -\infty, \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} y= +\infty\).

\(\lim\limits_{x \rightarrow (-2)^{-}} y= +\infty, \lim\limits_{x \rightarrow (-2)^{+}} y= -\infty\).\\Do đó, đường thẳng \(x=-2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[y - (-x+5)]=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{-9}{x+2}=0, \lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[y - (-x+5)]=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{-9}{x+2}=0\).

Do đó, đường thẳng \(y= -x+5 \) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-x^2-4x+5}{(x+2)^2}\). Ta có \(y'=0 \Leftrightarrow x=-5\) hoặc \(x=1\).

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-5;-2)\), \((-2;1)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-5)\), \((1;+\infty)\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-5\), \(y_{_\text{CT}}=13\); đạt cực đại tại \(x=1\), \(y_{_\text{CĐ}}=1\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tìm tọa độ trung điểm nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Có nhận xét gì về điểm này?

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-5\), \(y_{_\text{CT}}=13\); đạt cực đại tại \(x=1\), \(y_{_\text{CĐ}}=1\). Do đó trung điểm nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(I(-2;7)\). Đây cũng là tọa độ giao điểm của đường tiệm cận đứng và đương tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(2x-2)(x-1)-(x^2-2x+2)}{(x-1)^2}=\displaystyle\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\).

\(y'=0\Leftrightarrow x^2-2x=0\Leftrightarrow\hoac{&x=0\\ &x=2.}\)

Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=x-1+\displaystyle\frac{1}{x-1}\).

\(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to1^-}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to1^+}y=+\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=1\).

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(x-1)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{1}{x-1}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=x-2\).

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\), \((2;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((0;-1)\), \((1;2)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{_\text{CĐ}}=-2\); đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{_\text{CT}}=2\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\displaystyle\frac{1}{2}\right\}\).

Đạo hàm: \(y'=2-\displaystyle\frac{2}{(1-2x)^2}\).

\(y'=0\Leftrightarrow 2-\displaystyle\frac{2}{(1-2x)^2}=0\Leftrightarrow\hoac{&x=0\\ &x=1.}\)

Giới hạn: Ta có

\(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to \left(\displaystyle\frac{1}{2} \right)^-}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to\left(\displaystyle\frac{1}{2} \right)^+}y=+\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=\displaystyle\frac{1}{2}\).

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(2x)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{-1}{1-2x}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=2x\).

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\), \((1;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{1}{2}\right)\), \(\left(\displaystyle\frac{1}{2};1\right)\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\), \(y_{_\text{CT}}=3\); đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{_\text{CĐ}}=-1\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathbb{R} \backslash\{0\}\).

Sự biến thiên.

Giơi hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận

\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} y=+\infty, \displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} y=-\infty\).

\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{-}} y=+\infty, \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} y=-\infty\).

Do đó, đường thẳng \(x=0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty}(y-x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-1}{x}=0, \displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}(y-x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{-1}{x}=0\).

Do đó, đường thẳng \(y=x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

\item

\(y^{\prime}=\displaystyle\frac{x^{2}+1}{x^{2}}\)

\(y^{\prime}>0\) với mọi \(x \neq 0\).

Bảng biến thiên.

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty ; 0)\) và \((0 ;+\infty)\).

Đồ thị.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm \((-1 ; 0),(1 ; 0)\).

Đồ thị hàm số không cắt trục tung.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((-1 ; 0)\), \((1 ; 0)\), \(\left(-2 ; -\displaystyle\frac{3}{2}\right)\), \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}; -\displaystyle\frac{3}{2}\right)\), \(-\left(\displaystyle\frac{1}{2}; \displaystyle\frac{3}{2}\right)\), \(\left(2 ;\displaystyle\frac{3}{2}\right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(O(0 ; 0)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \backslash\{-1\}\).

Sự biến thiên.

Giơi hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận

\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} y= -\infty, \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} y= +\infty\).

\(\lim\limits_{x \rightarrow (-1)^{-}} y= +\infty, \lim\limits_{x \rightarrow (-1)^{+}} y= -\infty\).

Do đó, đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[y - (-x+2)]=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{-1}{x+1}=0\),

\( \lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[y - (-x+2)]=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{-1}{x+1}=0\).

Do đó, đường thẳng \(y= -x+2 \) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có \(y'=-1+\displaystyle\frac{1}{(x+1)^2}\), \(y'=0\Leftrightarrow x=-2\) hoặc \(x=0\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-2;-1)\), \((-1;0)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((0;+\infty)\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-2\), \(y_{_\text{CT}}=5\); đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{_\text{CĐ}}=1\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \backslash\{-1\}\).

Sự biến thiên.

Giơi hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận

\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} y= -\infty, \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} y= +\infty\).

\(\lim\limits_{x \rightarrow (-1)^{-}} y= +\infty, \lim\limits_{x \rightarrow (-1)^{+}} y= -\infty\).

Do đó, đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta viết lại hàm số dưới dạng \(y=-x+\displaystyle\frac{2}{x+1}\).

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[y - (-x)]=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{2}{x+1}=0\),

\( \lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[y - (-x)]=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{2}{x+1}=0\).

Do đó, đường thẳng \(y= -x \) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có \(y'=-1-\displaystyle\frac{2}{(x+1)^2}<0,\, \forall x \in \mathscr{D}\)

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\).

Hàm số không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \setminus\{-2\}\).

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{-x^2-4x-10}{(x+2)^2}\). Vì \(y' < 0\) với mọi \(x \neq-2\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-2)\) và \((-2;+\infty)\).

Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

\(\lim\limits_{x \to-\infty} y=\lim\limits_{x \to-\infty} \displaystyle\frac{-x^2-3 x+4}{x+2}=+\infty; \lim\limits_{x \to+\infty} y=\lim\limits_{x \to+\infty} \displaystyle\frac{-x^2-3 x+4}{x+2}=-\infty.\)

Ta có

\(a=\lim\limits_{x \to+\infty} \displaystyle\frac{-x^2-3x+4}{x^2+2x}=-1\).

\(b=\lim\limits_{x \to+\infty}\left[\displaystyle\frac{-x^2-3x+4}{x+2}-(-1) x\right]=\lim\limits_{x \to+\infty}\left(\displaystyle\frac{-x+4}{x+2}\right)=-1\).

Suy ra đường thẳng \(y=-x-1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có \(\lim\limits_{x \to-2^{-}} y=\lim\limits_{x \to-2^{-}} \displaystyle\frac{-x^2-3x+4}{x+2}=-\infty; \lim\limits_{x \to-2^{+}} y=\lim\limits_{x \to-2^{+}} \displaystyle\frac{-x^2-3x+4}{x+2}=+\infty\). Suy ra đường thẳng \(x=-2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

Đồ thị:

Ta có

\begin{eqnarray*}y=0 &\Leftrightarrow&-x^2-3x+4=0\\&\Leftrightarrow& x=-4\,\, \text {hoặc} \,\,x=1.\end{eqnarray*}

Vậy đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \((-4; 0)\) và điểm \((1; 0)\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0; 2)\).

Đồ thị của hàm số được biểu diễn trên Hình 6.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm \(I(-2; 1)\).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận \(x=-2\) và \(y=-x-1\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 1 \right\}\)

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm \(y' = \displaystyle\frac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x - 1)}^2}}}\) .

Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\) .

Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right),y' > 0\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và \( \left( {1;2} \right),y' < 0 \) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và \({y_{CT}} = 6\) .

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CĐ}} = 2\) .

Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } \displaystyle\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = - \infty ;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \displaystyle\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = + \infty \)

Ta có:

\(a = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \displaystyle\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{{x^2} - x}} = 1\) và \(b = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \left( {\displaystyle\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} - x} \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to + \infty } \displaystyle\frac{{3x - 2}}{{x - 1}} = 3\) .

Suy ra đường thẳng \(y = x + 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ - }} \displaystyle\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = - \infty ;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1 + } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1 + } \displaystyle\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = + \infty \) .

Suy ra đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Ta có \(y=0\Leftrightarrow x^2+2x-2=0\Leftrightarrow x=-1+\sqrt{3}\) hoặc \(x=-1-\sqrt{3}\).

Vậy đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \((-1+\sqrt{3}; 0)\) và điểm \((-1-\sqrt{3}; 0)\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0; 2)\).

Đồ thị hàm số được biểu diễn trên Hình 5.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm \(I(1; 4)\).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận \(x=1\) và \(y=x+3\).

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus \{1\}\).

\(\bullet\) Sự biến thiên.

Ta có \(y=\displaystyle\frac{x^2-2x}{x-1}=x-1-\displaystyle\frac{1}{x-1}\).

\(y'=\displaystyle\frac{(2x-2)(x-1)-(x^2-2x)}{(x-1)^2}=\displaystyle\frac{x^2-2x+2}{(x-1)^2}=\displaystyle\frac{(x-1)^2+1}{(x-1)^2}>0\) với mọi \(x\) khác \(1\).

Do đó, hàm số đồng biến trong khoảng \(\left(-\infty;1 \right)\) và \(\left(1;+\infty \right)\).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn

\(\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{x^2-2x}{x-1}=+\infty;\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{x^2-2x}{x-1}=-\infty\).

\(\underset{x\to{1^{-}}}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to{1^{-}}}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{x^2-2x}{x-1}=+\infty;\underset{x\to{1^{+}}}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to{1^{+}}}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{x^2-2x}{x-1}=-\infty\).

\(\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}[y-(x-1)]=\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}\left(x-1-\displaystyle\frac{1}{x-1}-(x-1)\right)=\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}-\displaystyle\frac{1}{x-1}=0\).

\(\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}[y-(x-1)]=\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}\left(x-1-\displaystyle\frac{1}{x-1}-(x-1)\right)=\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}-\displaystyle\frac{1}{x-1}=0\).

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x=1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y=x-1\) làm tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên

\(\bullet\) Đồ thị.

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(\left(0;0 \right)\).

\(y=0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x^2-2x}{x-1}=0\Leftrightarrow \hoac{&x=0 \\&x=2}\).

Đồ thị hàm số giao với \(Ox\) tại các điểm \(\left(0;0 \right)\) và \(\left(2;0\right)\).

Đồ thị hàm số nhận \(I\left(1; 0 \right)\) làm tâm đối xứng.

Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus\{1\}\).

Sự biến thiên:

Viết \(y=2x+1+\displaystyle\frac{5}{x-1}\), ta có \(y^{\prime}=2-\displaystyle\frac{5}{(x-1)^{2}}\) với mọi \(x \neq 1\).

Suy ra

\( y'=0\Leftrightarrow x=1\pm \displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2}. \)

Trên các khoảng \(\left( -\infty;1-\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2} \right)\) và \(\left(1+\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2};+\infty \right)\) thì \(y'>0\) nên hàm số đồng biến trên các khoảng này.

Trên các khoảng \(\left(1-\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2};1 \right)\) và \(\left( 1;1+\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2} \right)\) thì \(y'<0\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng này.

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là \((x_{\text{cđ}};y_{\text{cđ}})=\left(1-\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2};3-2\sqrt{10} \right)\) và điểm cực tiểu là \((x_{\text{ct}},y_{\text{ct}})=\left(1+\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2}; 3+2\sqrt{10} \right)\).

\(\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} y=-\infty\); \(\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} y=+\infty\).

Tiệm cận:

\begin{align*}&\lim\limits _{x \rightarrow 1^{-}} y=-\infty ; \lim\limits _{x \rightarrow 1^{+}} y=+\infty;\\&\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}[y-(2x+1)]= \lim\limits _{x \rightarrow-\infty}[y-(2x+1)]=0.\end{align*}

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=1\), tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=2x+1\).

Bảng biến thiên

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \((0 ;-4)\).

Ta có \(y=0 \Leftrightarrow 2x^{2}-x+4=0\). Phương trình này vô nghiệm nên đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(1;3)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus\{-3\}\).

Sự biến thiên:

Viết \(y=x-1+\displaystyle\frac{4}{x+3}\), ta có \(y^{\prime}=1-\displaystyle\frac{4}{(x+3)^{2}}\) với mọi \(x \neq -3\).

Suy ra \( y'=0\Leftrightarrow x=-5\) hoặc \(x=-1\).

Trên các khoảng \(\left( -\infty;-5 \right)\) và \(\left(-1;+\infty \right)\) thì \(y'>0\) nên hàm số đồng biến trên các khoảng này.

Trên các khoảng \(\left(-5;-3 \right)\) và \(\left( -3;-1\right)\) thì \(y'<0\) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng này.

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là \((x_{\text{cđ}};y_{\text{cđ}})=\left(-5;-8\right)\) và điểm cực tiểu là \((x_{\text{ct}},y_{\text{ct}})=\left(-1; 0 \right)\).

\(\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} y=-\infty\); \(\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} y=+\infty\).

Tiệm cận:

\begin{align*}&\lim\limits _{x \rightarrow (-3)^{-}} y=-\infty ; \lim\limits _{x \rightarrow (-3)^{+}} y=+\infty;\\&\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}[y-(x-1)]= \lim\limits _{x \rightarrow-\infty}[y-(x-1)]=0.\end{align*}

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=1\), tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x-1\).

Bảng biến thiên

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left(0;\displaystyle\frac{1}{3}\right)\).

Ta có \(y=0 \Leftrightarrow x^2+2x+1=0 \Leftrightarrow x=-1.\)

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \((0,-1)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(-3;-4)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Hàm số có tập xác định \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Sự biến thiên

Viết \(y=-x+1+\displaystyle\frac{1}{x-2}\), suy ra \(y'=-1-\displaystyle\frac{1}{(x-2)^2}<0\), với mọi \(x\ne 2\).

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\).

Hàm số không có cực trị.

\(\lim\limits_{x\to -\infty} y=\lim\limits_{x\to -\infty}\displaystyle\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=+\infty\); \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=\lim\limits_{x\to +\infty}\displaystyle\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=-\infty\).

Tiệm cận

\begin{align*}&\lim\limits_{x\to 2^-} y=\lim\limits_{x\to 2^-}\left(-x+1+\displaystyle\frac{1}{x-2}\right)=-\infty; \lim\limits_{x\to 2^+} y=\lim\limits_{x\to 2^+}\left(-x+1+\displaystyle\frac{1}{x-2}\right)=+\infty;\\&\lim\limits_{x\to +\infty} \left(y-(-x+1)\right)=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{x-2}=0; \lim\limits_{x\to -\infty} \left(y-(-x+1)\right)=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x-2}=0.\end{align*}

Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=2\) và tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=-x+1\).

Bảng biến thiên

Đồ thị (hình vẽ)

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left(0;\displaystyle\frac{1}{2}\right)\).

Ta có \(y=0 \Leftrightarrow -x^2+3x-1=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}\). Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \(\left(\displaystyle\frac{3-\sqrt{5}}{2};0\right)\) và \(\left(\displaystyle\frac{3+\sqrt{5}}{2};0\right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(2 ;-1)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus\{-1\}\).

Sự biến thiên:

Viết \(y=x-\displaystyle\frac{2}{x+1}\), ta có \(y^{\prime}=1+\displaystyle\frac{2}{(x+1)^{2}}>0\) với mọi \(x \neq-1\).

Hàm số đồng biến trên từng khoảng \((-\infty ;-1)\) và \((-1 ;+\infty)\).

Hàm số không có cực trị.

\(\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} y=\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{x^{2}+x-2}{x+1}=\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{x+1-\displaystyle\frac{2}{x}}{1+\displaystyle\frac{1}{x}}=-\infty\);\\ \(\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} y=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x^{2}+x-2}{x+1}=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x+1-\displaystyle\frac{2}{x}}{1+\displaystyle\frac{1}{x}}=+\infty\).

Tiệm cận:

\begin{align*}&\lim\limits _{x \rightarrow-1^{-}} y=\lim\limits _{x \rightarrow-1^{-}}\left(x-\displaystyle\frac{2}{x+1}\right)=+\infty ; \lim\limits _{x \rightarrow-1^{+}} y=\lim\limits _{x \rightarrow-1^{+}}\left(x-\displaystyle\frac{2}{x+1}\right)=-\infty;\\&\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}[y-x]=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty}\left(-\displaystyle\frac{2}{x+1}\right)=0 ; \lim\limits _{x \rightarrow-\infty}[y-x]=\lim\limits _{x \rightarrow-\infty}\left(-\displaystyle\frac{2}{x+1}\right)=0.\end{align*}

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=-1\), tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x\).

Bảng biến thiên:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \((0 ;-2)\).

Ta có \(y=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x^{2}+x-2}{x+1}=0 \Leftrightarrow x=-2\) hoặc \(x=1\).

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \((-2 ; 0)\) và \((1 ; 0)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(-1 ;-1)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Sự biết thiên: Viết \(y=x+1+\displaystyle\frac{1}{x-2}\).

Ta có: \(y^{\prime}=1-\displaystyle\frac{1}{(x-2)^{2}}=\displaystyle\frac{x^{2}-4 x+3}{(x-2)^{2}}\). Vậy \(y^{\prime}=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x^{2}-4 x+3}{(x-2)^{2}}=0 \Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=3\).

Trên các khoảng \((-\infty ; 1)\) và \((3 ;+\infty), y^{\prime}>0\) nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.

Trên các khoảng \((1 ; 2)\) và \((2 ; 3), y^{\prime}<0\) nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.

Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\) với \(y_{C D}=1\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\) với \(y_{C T}=5\).

\(\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} y=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{x^{2}-x-1}{x-2}=\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{x-1-\displaystyle\frac{1}{x}}{1-\displaystyle\frac{2}{x}}=-\infty\);

\(\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x^{2}-x-1}{x-2}=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x-1-\displaystyle\frac{1}{x}}{1-\displaystyle\frac{2}{x}}=+\infty\).

Tiệm cận

\begin{align*}&\lim _{x \rightarrow 2^{-}} y=\lim _{x \rightarrow 2^{-}}\left(x+1+\displaystyle\frac{1}{x-2}\right)=-\infty ; \lim _{x \rightarrow 2^{+}} y=\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\left(x+1+\displaystyle\frac{1}{x-2}\right)=+\infty;\\&\lim _{x \rightarrow+\infty}[y-(x+1)]=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{1}{x-2}=0 ; \lim _{x \rightarrow-\infty}[y-(x+1)]=\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{1}{x-2}=0\end{align*}

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=2\), tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x+1\).

Bảng biến thiên

Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left(0 ; \displaystyle\frac{1}{2}\right)\).

Ta có \(y=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x^{2}-x-1}{x-2}=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\). Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \(\left(\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{2} ; 0\right)\) và \(\left(\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2} ; 0\right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(2 ; 3)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Tập xác định: \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Sự biến thiên:

Gới hạn, tiệm cận:

Ta có:

\(\begin{aligned}&y=\displaystyle\frac{x^2+2 x+2}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1};\\&\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x+1+\displaystyle\frac{1}{x+1}\right)=+\infty;\\&\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x+1+\displaystyle\frac{1}{x+1}\right)=-\infty.\end{aligned}\)

Ta có:

\(\begin{aligned}&\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to-1^+}\displaystyle\frac{x^2+2 x+2}{x+1}=+\infty;\\&\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to-1^-}\displaystyle\frac{x^2+2 x+2}{x+1}=-\infty.\end{aligned}\)

Suy ra đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-\left(x+1\right)\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x+1}=0\);\(\lim\limits_{x\to-\infty}\left[f(x)-\left(x+1\right)\right]=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{x+1}=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=x+1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bảng biến thiên:

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{x^2+2 x}{\left(x+1\right)^2}\);

\(y'=0 \Leftrightarrow x=-2\) hoặc \(x=0\).

Chiều biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(0;+\infty\right)\);

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(-2;-1\right)\) và \(\left(0;-1\right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\) và \(y_{\text{CĐ}}=-2\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\) và \(y_{\text{CT}}=2\).

Đồ thị:

Vẽ các đường tiệm cận \(x=-1\) và \(y=x+1\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left(0;2\right)\) và không giao trục \(Ox\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left(-1;0\right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối~xứng.

Tập xác định: \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Sự biến thiên:

Gới hạn, tiệm cận:

Ta có:

\(\begin{aligned}&y=\displaystyle\frac{x^2-2 x-3}{x-2}=x-\frac{3}{x-2};\\&\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x-\displaystyle\frac{3}{x-2}\right)=+\infty;\\&\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x-\displaystyle\frac{3}{x-2}\right)=-\infty.\end{aligned}\)

Ta có: \(\lim\limits_{x\to2^+}f(x)=\lim\limits_{x\to2^+}\displaystyle\frac{x^2-2 x-3}{x-2}=+\infty\); \(\lim\limits_{x\to2^-}f(x)=\lim\limits_{x\to2^-}\displaystyle\frac{x^2-2 x-3}{x-2}=-\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-(x)\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}-\frac{3}{x-2}=0\);

\(\lim\limits_{x\to-\infty}\left[f(x)-(x)\right]=\lim\limits_{x\to-\infty}-\frac{3}{x-2}=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bảng biến thiên:

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{x^2-4 x+7}{\left(x-2\right)^2}\);

Phương trình \(y'=0\) vô nghiệm, \(y'\) không xác định tại \(x=2\).

Chiều biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;2\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\).

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:

Vẽ các đường tiệm cận \(x=2\) và \(y=x\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left(0;\frac{3}{2}\right)\) và giao với trục \(Ox\) tại \(\left(-1;0\right)\) và \(\left(3; 0\right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left(2;2\right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Bảng giá trị

Tập xác định: \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Sự biến thiên:

Gới hạn, tiệm cận:

Ta có:

\(\begin{aligned}[t]&y=-x-1+\frac{1}{x+1};\\&\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-x-1+\displaystyle\frac{1}{x+1}\right)=-\infty;\\&\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(-x-1+\displaystyle\frac{1}{x+1}\right)=+\infty.\end{aligned}\)

Ta có:

\(

\begin{aligned}[t]&\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to-1^+}\displaystyle\frac{-x^2-2 x}{x+1}=+\infty;\\&\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to-1^-}\displaystyle\frac{-x^2-2 x}{x+1}=-\infty.\end{aligned}\(

Suy ra đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-\left(-x-1\right)\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x+1}=0\);\(\lim\limits_{x\to-\infty}\left[f(x)-\left(-x-1\right)\right]=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{x+1}=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=-x-1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bảng biến thiên:

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{-x^2-2 x-2}{\left(x+1\right)^2}\);

Phương trình \(y'=0\) vô nghiệm, \(y'\) không xác định tại \(x=-1\).

Chiều biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(-1;+\infty\right)\).

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:

Vẽ các đường tiệm cận \(x=-1\) và \(y=-x-1\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left(0;0\right)\) và giao với trục \(Ox\) tại \(\left(-2;0\right)\) và \(\left(0; 0\right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left(-1;0\right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Bảng giá trị

Tập xác định: \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Sự biến thiên:

Gới hạn, tiệm cận:

Ta có:

\(\begin{aligned}[t]&y=\displaystyle\frac{2 x^2-x+1}{1-x}=-2 x-1+\frac{2}{1-x};\\&\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-2 x-1+\displaystyle\frac{2}{1-x}\right)=-\infty;\\&\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(-2 x-1+\displaystyle\frac{2}{1-x}\right)=+\infty.\end{aligned}\)

Ta có:

\(\begin{aligned}[t]&\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1^+}\displaystyle\frac{2 x^2-x+1}{1-x}=+\infty;\\&\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1^-}\displaystyle\frac{2 x^2-x+1}{1-x}=-\infty.\end{aligned}\)

Suy ra đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\left[f(x)-\left(-2 x-1\right)\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{2}{1-x}=0\);\(\lim\limits_{x\to-\infty}\left[f(x)-\left(-2 x-1\right)\right]=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{2}{1-x}=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=-2 x-1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bảng biến thiên:

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{-2 x^2+4 x}{\left(1-x\right)^2}\);

\(y'=0 \Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2\).

Chiều biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;0\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\);

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(0;1\right)\) và \(\left(2;1\right)\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\) và \(y_{\text{CT}}=1\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=2\) và \(y_{\text{CĐ}}=-7\).

Đồ thị:

Vẽ các đường tiệm cận \(x=1\) và \(y=-2 x-1\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left(0;1\right)\) và không giao trục \(Ox\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left(1;-3\right)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash \{-1\}\).

Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

Ta có: \(y=\displaystyle\frac{-x^2-2x-2}{x+1}=-x-1-\displaystyle\frac{1}{x+1}\);

\(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to +\infty} \left(-x-1-\displaystyle\frac{1}{x+1}\right)=-\infty\);\\\(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -\infty} \left(-x+\displaystyle\frac{2}{x+1}\right)=+\infty\).

Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \to -1^+} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -1^+} \displaystyle\frac{-x^2-2x-2}{x+1}=-\infty\);\\ \(\displaystyle\lim _{x \to -1^-} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -1^-} \displaystyle\frac{-x^2-2x-2}{x+1}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=-1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

\(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} [f(x)-(-x-1)]=\displaystyle\lim _{x \to +\infty} \left(-\displaystyle\frac{1}{x+1}\right)=0\);\\ \(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} [f(x)-(-x-1)]=\displaystyle\lim _{x \to -\infty} \left(-\displaystyle\frac{1}{x+1}\right)=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=-x-1\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bảng biến thiên:

Ta có \(y^{\prime}=-1+\displaystyle\frac{1}{(x+1)^2}=\displaystyle\frac{-x^2-2x}{(x+1)^2}\).

Phương trình \(y^{\prime}=0\Leftrightarrow x=-2\) hoặc \(x=0\), \(y^{\prime}\) không xác định tại \(x=-1\).

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-2;-1)\) và \((-1;0)\); nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\) và \((0;+\infty)\).

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(f_{\text{CĐ}}=-2\);

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-2\), \(f_{\text{CT}}=2\).

Đồ thị:

Vẽ các đường tiệm cận \(x=-1\) và \(y=-x-1\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại \((0;0)\) và không giao với trục \(Ox\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(-1;0)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash \{2\}\).

Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

Ta có: \(y=\displaystyle\frac{x^2-2x-3}{x-2}=x-\displaystyle\frac{3}{x-2}\);

\(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to +\infty} \left(x-\displaystyle\frac{3}{x-2}\right)=+\infty\); \(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -\infty} \left(x-\displaystyle\frac{3}{x-2}\right)=-\infty\).

Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \to 2^+} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to 2^+} \displaystyle\frac{x^2-2x-3}{x-2}=-\infty\); \(\displaystyle\lim _{x \to 2^-} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to 2^-} \displaystyle\frac{x^2-2x-3}{x-2}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=2\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

\(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} [f(x)-x]=\displaystyle\lim _{x \to +\infty} -\displaystyle\frac{3}{x-2}=0\); \(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} [f(x)-x]=\displaystyle\lim _{x \to -\infty} -\displaystyle\frac{3}{x-2}=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=x\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bảng biến thiên:

Ta có \(y^{\prime}=1+\displaystyle\frac{3}{(x-2)^2}=\displaystyle\frac{x^2-4x+7}{(x-2)^2}\).

Phương trình \(y^{\prime}=0\) vô nghiệm, \(y^{\prime}\) không xác định tại \(x=2\).

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\).

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:

Vẽ các đường tiệm cận \(x=2\) và \(y=x\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại \(\left(0;\displaystyle\frac{3}{2}\right)\) và giao với trục \(Ox\) tại \((3;0)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(2;2)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash \{-2\}\).

Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

Ta có: \(y=\displaystyle\frac{x^2+4x+5}{x+2}=x+2+\displaystyle\frac{1}{x+2}\);

\(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to +\infty} \left(x+2+\displaystyle\frac{1}{x+2}\right)=+\infty\); \(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -\infty} \left(x+2+\displaystyle\frac{1}{x+2}\right)=-\infty\).

Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \to -2^+} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -2^+} \displaystyle\frac{x^2+4x+5}{x+2}=+\infty\); \(\displaystyle\lim _{x \to -2^-} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -2^-} \displaystyle\frac{x^2+4x+5}{x+2}=-\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=-2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

\(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} \left[f(x)-(x+2)\right]=\displaystyle\lim _{x \to +\infty} \displaystyle\frac{1}{x+2}=0\); \(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} \left[f(x)-(x+2)\right]=\displaystyle\lim _{x \to -\infty} \displaystyle\frac{1}{x+2}=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=x+2\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bảng biến thiên:

Ta có: \(y^{\prime}=1-\displaystyle\frac{1}{(x+2)^2}=\displaystyle\frac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}\);

\(y^{\prime}=0\Leftrightarrow x=-3\) hoặc \(x=-1\).

Chiều biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-3)\) và \((-1;+\infty)\);

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-3;-2)\) và \((-2;-1)\).

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=-3,\, f_{\text{CĐ}}=f(-3)=-2\);

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=-1,\, f_{\text{CT}}=f(-1)=2\).

Đồ thị:

Vẽ các đường tiệm cận \(x=-2\) và \(y=x+2\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \(\left(0;\displaystyle\frac{5}{2}\right)\) và không giao với trục \(Ox\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(-1;2)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xưng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó là trục đối xứng.

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash \{-1\}\).

Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

Ta có: \(y=\displaystyle\frac{-x^2-x+2}{x+1}=-x+\displaystyle\frac{2}{x+1}\);

\(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to +\infty} \left(-x+\displaystyle\frac{2}{x+1}\right)=-\infty\); \(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -\infty} \left(-x+\displaystyle\frac{2}{x+1}\right)=+\infty\).

Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \to -1^+} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -1^+} \displaystyle\frac{-x^2-x+2}{x+1}=+\infty\); \(\displaystyle\lim _{x \to -1^-} f(x)=\displaystyle\lim _{x \to -1^-} \displaystyle\frac{-x^2-x+2}{x+1}=-\infty\).

Suy ra đường thẳng \(y=-x\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

\(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} [f(x)-(-x)]=\displaystyle\lim _{x \to +\infty} \displaystyle\frac{2}{x+1}=0\); \(\displaystyle\lim _{x \to -\infty} [f(x)-(-x)]=\displaystyle\lim _{x \to -\infty} \displaystyle\frac{2}{x+1}=0\).

Suy ra đường thẳng \(x=-1\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Bảng biến thiên:

Ta có \(y^{\prime}=-1-\displaystyle\frac{2}{(x+1)^2}=\displaystyle\frac{-x^2-2x-3}{(x+1)^2}\).

Phương trình \(y^{\prime}=0\) vô nghiệm, \(y^{\prime}\) không xác định tại \(x=-1\).

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\).

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:

Vẽ các đường tiệm cận \(x=-1\) và \(y=-x\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại \((0;2)\) và giao với trục \(Ox\) tại \((-2;0)\) và \((1;0)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(-1;1)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a<0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases}f(1)=1\\ f(3)=5\\ f'(1)=0\\ f'(3)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} a+b+c+d=1\\ 27a+9b+3c+d=5\\ 3a+2b+c=0\\ 27a+6b+c=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} a=-1\\ b=6\\ c=-9\\ d=5.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=-x^3+6x^2-9x+5\).

}

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a>0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases}f(-1)=3\\ f(1)=-1\\ f'(-1)=0\\ f'(1)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} -a+b-c+d=3\\ a+b+c+d=-1\\ 3a-2b+c=0\\ 3a+2b+c=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=0\\ c=-3\\ d=1.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=x^3-3x+1\).

}

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a<0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases}f(0)=-4\\ f(2)=0\\ f'(0)=0\\ f'(2)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} d=-4\\ 8a+4b+2c+d=0\\ c=0\\ 12a+4b+c=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} a=-1\\ b=3\\ c=0\\ d=-4.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=-x^3+3x^2-4\).

}

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a>0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases}f(0)=2\\ f(2)=-2\\ f'(0)=0\\ f'(2)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} d=2\\ 8a+4b+2c+d=-2\\ c=0\\ 12a+4b+c=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=-3\\ c=0\\ d=2.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=x^3-3x^2+2\).

}

Gọi hàm số bậc ba là \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) (\(a\neq 0\)).

Do đồ thị đi qua điểm \(C(0;50)\) nên \(d=50\), suy ra \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+50\).

Do đồ thị đi qua các điểm \(A(-1000;60)\) và \(B(1000;90)\) nên ta có

\begin{align*}&\begin{cases}-1000000000a+1000000b-1000c=10\\ 1000000000a+1000000b+1000c=40\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}-100000000a+100000b-100c=1\\ 100000000a+100000b+100c=4\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}b=\displaystyle\frac{1}{40000}\\ 100000000a+100c=1{,}5.\end{cases}\end{align*}

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c=3ax^2+\displaystyle\frac{1}{20000}x+c.\)

Do hệ số góc của tiếp tuyến tại \(B\) của đồ thị hàm số đó bằng \(0{,}04\) nên

\[f'(1000)=3000000a+\displaystyle\frac{1}{20}+c=0{,}04\Leftrightarrow 3000000a+c=-0{,}01.\]

Ta có hệ phương trình sau:

\[\begin{cases}100000000a+100c=1{,}5\\ 3000000a+c=-0{,}01\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=-\displaystyle\frac{1}{80000000}\\ c=\displaystyle\frac{11}{400}.\end{cases}\]

Vậy hàm số bậc ba cần tìm là: \(f(x)=-\displaystyle\frac{1}{80000000}x^3+\displaystyle\frac{1}{40000}x^2+\displaystyle\frac{11}{400}x+50.\)

}

a) Khi bán \(x\) mét vải lụa:

+) Số tiền thu được là \(B(x)=220x\) (nghìn đồng).

+) Lợi nhuận thu được là \(L(x)=B(x)-C(x)=-x^3+3x^2+240x-500\) (nghìn đồng).

b) Hàm số \(L(x)\) xác định trên \([1; 18]\).

Đạo hàm \(L'(x)=-3x^2+6x+240; L'(x)=0\Leftrightarrow x=10\) hoặc \(x=-8\) (loại).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên khoảng \((1; 10)\) và nghịch biến trên khoảng \((10; 18)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=10\) và \(L_{\text{CĐ}}=L(10)=1200\).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại \((10; 1200)\) và đi qua các điểm \((1;-258)\), \((18;-1040)\).

c) Quan sát đồ thị hàm số, ta nhận thấy khi \(x=10\) thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(1\,200\). Như vậy, hộ làm nghề dệt cần sản xuất và bán ra mỗi ngày \(10\) mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận tối đa này là \(1\,200\) nghìn đồng.

}

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y=\overline{C}(x)=2x-230+\displaystyle\frac{7\,200}{x}\) trên \([30; 120]\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{0\}\).

Đạo hàm \(y'=2-\displaystyle\frac{7\,200}{x^2}=\displaystyle\frac{2x^2-7\,200}{x^2}\); \(y'=0 \Leftrightarrow x=-60\) (loại) \(x=60\) (nhận).

Giới hạn:

\(\lim\limits_{x\to -\infty} y=-\infty\); \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to 0^{+}} \left(2x-230+\displaystyle\frac{7\,200}{x}\right)=+\infty\), \(\Rightarrow\) Đường thẳng \(x=0\) là tiệm cận đứng.

\(\lim\limits_{x\to \pm\infty} \left[y-(2x-230)\right]=\lim\limits_{x\to \pm\infty} \displaystyle\frac{7\,200}{x}=0\), \(\Rightarrow\) Đường thẳng \(y=2x-230\) là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên

+) Hàm số nghịch biến trên khoảng \((30;60)\), đồng biến trên khoảng \((60;120)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=60\), \(y_{\text{CT}}=10\).

Trên khoảng, \(y'>0\) nên hàm số đó.

Đồ thị

b) Từ kết quả trên, để chi phí trung bình của một phần ăn là thấp nhất thì số phần ăn \(x=60\).

}

a) Ta có: \(f(52)=\displaystyle\frac{26 \cdot 52+10}{52+5}=\displaystyle\frac{1\ 362}{57}\approx 23{,}895\) (nghìn người).

Vậy dân số của thị trấn vào năm \(2022\) khoảng \(23\ 895\) người.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị.

Đạo hàm: \(f^\prime(t)=\displaystyle\frac{120}{(t+5)^2}>0\) với mọi \(t\geq 0\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{t \to +\infty}f(t)=26\). Do đó, đường thẳng \(y=26\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên nủa khoảng \([2:+\infty)\) và không có cực trị.

Giao điểm của đồ thị với trục tung: \((0;2)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((1;6)\).

c) Tốc độ tăng dân số.

+) Tốc độ tăng dân số vào năm \(2022\) của thị trấn là:

\[f^\prime (52)=\displaystyle\frac{120}{(52+5)^2}=\displaystyle\frac{40}{1\ 083}.\]

+) Ta có

\[f^\prime(t)=0{,}192\Leftrightarrow \displaystyle\frac{120}{(t+2)^2}=0{,}192\Leftrightarrow (t+5)^2=625\Leftrightarrow t=20\ (\text{do}\ t\geq 0).\]

Vậy vào năm \(1990\), thì tốc độ tăng dân số là là \(0{,}192\) nghìn người/năm.

}

a) Vẽ đồ thị của hàm số \(h(t)=-0{,}01t^3+1{,}1t^2-30t+250\).

Miền khảo sát: \([0;50]\).

Đạo hàm: \(h'(t)=-0{,}03t^2+2{,}2t-30\).

\(h'(t)=0\Leftrightarrow -0{,}03t^2+2{,}2t-30=0\Leftrightarrow t\approx 18\) hoặc \(t\approx 55.\)

Bảng biến thiên:

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((0;18)\) và đồng biến trên khoảng \((18;50)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(t=18\), \(y_{_\text{CT}}=h(18)=8{,}08\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

b) Xác định \(v(t)\).

Ta có \(v(t)=h'(t)=-0{,}03t^2+2{,}2t-30\).

c) Tính vận tốc tức thời lúc bắt đầu hãm phanh và lúc \(t=25\) (giây).

Vận tốc tức thời lúc bắt đầu hãm phanh là: \(v(0)=-30\) (km/s).

Vận tốc tức thời lúc \(t=25\) (giây) là: \(v(25)=6{,}25\) (km/s).

c) Tại thời điểm \(t=25\) (giây), vận tốc tức thời của con tàu vẫn giảm hay tăng trở lại?

Ta có phương trình gia tốc: \(a(t)=v'(t)=-0{,}06t+2{,}2t\).

Vì \(a(25)=53{,}5>0\) nên tại thời điểm \(t=25\) (giây), vận tốc tức thời của con tàu đang tăng trở lại.

d) Tìm thời điểm mà khoảng cách giữa con tàu và Mặt Trăng nhỏ nhất.

Dựa vào đồ thị ta thấy tại thời điểm \(t=18\) (giây) thì khoảng cách giữa con tàu và Mặt Trăng nhỏ nhất, khoảng cách này bằng \(8{,}08\) km.

}

a) Vận tốc của hạt chuyển động là \(v(t)=y'=3t^2-12\).

Gia tốc của hạt chuyển động là \(a(t)=v'(t)=6t\).

b) Vận chuyển động đi lên khi \(v(t)\ge0 \Leftrightarrow t\ge 2\).

Vận chuyển động đi xuống khi \(v(t)\le 0\Leftrightarrow 0\le t\le 2\).

c) Khi \(0\le t\le 2\), vật đi xuống nên quãng đường đi được trong khoảng thời gian \(0\le t \le 2\) là \(\)y(0)-y(2)=16.\(\)

Khi \(2\le t\le 3\), vật đi lên nên quãng đường đi được là trong khoảng thời gian \(2\le t \le 3\) là \(\)y(3)-y(2)=7.\(\)

Do đó quãng đường đi được trong khoảng thời gian \(0\le t \le 3\) là \(23\) m.

d) Hạt tăng tốc khi \(a(t)\ge 0 \Leftrightarrow t\ge 0\), hạt giảm tốc khi \(a(t)\le0 \Leftrightarrow t \le 0\).

}

a) Hàm chi phí biên là \(C'(x)=0{,}00525x^2-x+50\).

b) Ta có \(C'(100)=0{,}00525\cdot 100^2-100+50=2{,}5\) (trăm nghìn đồng).

Chi phí biên tại \(x=100\) là \(250\,000\) đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo (đơn thứ \(101\)) là khoảng \(250\,000\) đổng.

c) Chi phí sản xuất đơn hàng thứ \(101\) là

\(C(101)-C(100)=24\,752{,}52675-24\,750=2{,}52675\) (trăm nghìn đồng)

Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên \(C'(100)\) đã tính ở câu trên.

}

a) Dân số của quốc gia vào năm \(2030\) là \(N(7)=100\mathrm{e}^{0{,}012\cdot ^7}=100\mathrm{e}^{0{,}084}=108{,}763\) (triệu người).

Dân số của quốc gia vào năm \(2035\) là \(N(12)=100 \mathrm{e}^{0{,}012 \cdot 12}=100 \mathrm{e}^{0{,}144}=115,488\) (triệu người).

b) Trên đoạn \(\left[0;50\right]\) ta có \(N'(t)=0{,}012\cdot 100 \mathrm{e}^{0{,}012t}=1,2 \mathrm{e}^{0{,}012t}>0\) với mọi \(t \in \left[0;50\right]\).

Do đó, hàm số \(N(t)\) đồng biến trên đoạn \(\left[0;50\right]\).

c) Ta có \(N'(t)=1{,}2 \mathrm{e}^{0{,}012t}\).

Với tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là \(1,6\) triệu người/năm ta có

\(1{,}6=1{,}2\mathrm{e}^{0{,}012t}\Leftrightarrow{\mathrm{e}^{0{,}012t}}=\displaystyle\frac{4}{3}\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{250\ln \displaystyle\frac{4}{3}}{3}\approx 23{,}97\).

Vậy vào năm \(2046\) thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là \(1{,}6\) triệu người/ năm.

}

Gọi \(g(t)\) là hàm tốc độ bán hàng.

Khi đó \(g(t)=f'(t)=\displaystyle\frac{25\,000e^{-t}}{(1+5e^{-t})^2}\), \(t\ge0\).

Ta có \(g'(t)=\displaystyle\frac{25\,000e^{-t}(1+5e^{-t})(5e^{-t}-1)}{(1+5e^{-t})^4}\); \(g'(t)=0\Leftrightarrow t=-\ln{\displaystyle\frac{1}{5}}=\ln5\).

Bảng biến thiên hàm số

Hàm số đạt cực đại tại \(t=-\ln{\displaystyle\frac{1}{5}}\approx1{,}6\).

Vậy sau khi phát hành \(1{,}6\) năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.

}

Gọi \( x \) là số lần tăng giá \((0

Mỗi lần tăng giá thì số căn hộ cho thuê là \( 100 - x \) (căn).

Số tiền thuê căn hộ sau mỗi lần tăng là \(8\,000\,000+100\,000x\) đồng.

Khi đó tổng số tiền cho thuê căn hộ 1 tháng là:

\begin{align*}y&=(8\,000\,000+100\,000 x)(100-x) \\ & =800\,000\,000-8\,000\,000 x+10\,000\,000 x-100\,000 x^2 \\ & =800\,000\,000+2\,000\,000 x-100\,000 x^2.\end{align*}

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(y\) lớn nhất.

Ta có

\(y'=-200\,000 x+2\,000\,000; \quad y'=0 \Leftrightarrow x=10.\)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy doanh thu lớn nhất khi người quản lí đặt giá thuê căn hộ là \(8\,000\,000+10 \cdot 100\,000 = 9\,000\,000\) (đồng).

}

Xét hàm số \(s(t)=-t^3+6t^2+t+5\), trên đoạn \(\left[0;5\right]\).

Đạo hàm \(s'(t)=-3t^2+12t+1.\)

Cho \(s'(t)=0 \Leftrightarrow -3t^2+12t+1=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{6+\sqrt{39}}{3}\in[0;5]\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{6-\sqrt{39}}{3}\notin[0;5].\)

Các giá trị \(f(0)=5\), \(f\left(\tfrac{6+\sqrt{39}}{3}\right)\approx41{,}04\), \(f(5)=35\).

So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{[0;5]}f(x)\approx41{,}04\), \(\min\limits_{[0;5]}f(x)=5\).

}

a) Số xăng trong bình ban đầu là \(V(0)=4\) lít.

b) Dung tích bình xăng \(V=V\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=41{,}5\) lít.

c) Xét hàm số \(V(t)=300(t^2-t^3)+4 \text{ với } 0\le t\le 0{,}5.\)

Đạo hàm \(V'(t)=300t(2-3t)\).

Cho \(V'(t)=0 \Leftrightarrow 300t(t-3t)=0 \Leftrightarrow t=0\in[0;0{,}5]\) hoặc \(t=\displaystyle\frac{2}{3}\notin[0;0{,5}].\)

Các giá trị \(V(0)=4\), \(V\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=41{,}5\).

Xăng chảy vào bình xăng vào thời điểm ở giây thứ \(30\) có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất.

}

a) Ta có độ dài một cạnh của mảnh vườn là \(x(m)\) nên độ dài cạnh còn lại của mảnh vườn là \(\displaystyle\frac{144}{x}\) (m).

Vậy chu vi của mảnh vườn là \(P(x)=2\left(x+\displaystyle\frac{144}{x}\right)=2x+\displaystyle\frac{72}{x}\).

b) Ta có: \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} P(x)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} 2x+\displaystyle\frac{72}{x}=+\infty\) và \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} P(x)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \left(2x+\displaystyle\frac{72}{x}\right)=-\infty\)

nên đồ thị hàm số \(P(x)\) không có tiệm cận ngang.

Ta có: \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \left(2x+\displaystyle\frac{72}{x}\right)=+\infty\). Suy ra đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=0\).

Ta có:

\(\lim _{x \rightarrow+\infty}[P(x)-2x]=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{72}{x}=0\) và \(\lim _{x \rightarrow-\infty}[P(x)-2x]=\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{72}{x}=0\) nên đồ thị hàm số \(P(x)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=2x\).

}