\(\S1.\) KHÁI NIỆN VÉCTƠ

1. Định nghĩa véctơ

Véctơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối.

+ Véc-tơ có điểm đầu \( A \), điểm cuối \( B \) được kí hiệu là \( \overrightarrow{AB} \), đọc là véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \).

+ Đường thẳng đi qua hai điểm \( A \) và \( B \) gọi là giá của véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \).

+ Độ dài của đoạn thẳng \( AB \) gọi là độ dài của véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \) và được kí hiệu là \( \left|\overrightarrow{AB}\right| \). Như vậy ta có \( \left|\overrightarrow{AB}\right| =AB \).

Một véc-tơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là \( \overrightarrow{a} \), \( \overrightarrow{b} \), \( \overrightarrow{x}\), \( \overrightarrow{y} \), \( \ldots \)

2. Hai véc-tơ cùng phương, cùng hướng

Hai véc-tơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Chú ý.

Hai véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{CD} \) cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{CD} \) là hai véc-tơ cùng hướng. Hai véc-tơ \( \overrightarrow{PQ} \) và \( \overrightarrow{RS} \) cùng phương nhưng có hướng ngược nhau. Ta nói hai véc-tơ \( \overrightarrow{PQ} \) và \( \overrightarrow{RS} \) là hai véc-tơ ngược hướng.

Hai véc-tơ cùng phương chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Nhận xét. Ba điểm phân biệt \( A \), \( B \), \( C \) thẳng hàng khi và chỉ khi \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \) cùng phương.

3. Véc-tơ bằng nhau, véc-tơ đối nhau

+ Hai véc-tơ \( \overrightarrow{a} \) và \( \overrightarrow{b} \) được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu \( \overrightarrow{a} =\overrightarrow{b}\).

+ Hai véc-tơ \( \overrightarrow{a} \) và \( \overrightarrow{b} \) được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, kí hiệu \( \overrightarrow{a} =-\overrightarrow{b}\). Khi đó véc-tơ \( \overrightarrow{b} \) được gọi là véc-tơ đối của véc-tơ \( \overrightarrow{a} \).

Chú ý.

+ Cho véc-tơ \( \overrightarrow{a} \) và điểm \( O \), ta luôn tìm được một điểm \( A \) duy nhất sao cho \( \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}\).

Khi đó độ dài của véc-tơ \( \overrightarrow{a} \) là độ dài đoạn \( OA \), kí hiệu là \( \left|\overrightarrow{a}\right| \).

+ Cho đoạn thẳng \( MN \), ta luôn có \( \overrightarrow{NM}=-\overrightarrow{MN} \).

4. Véctơ-không

Véc-tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là {\bf véctơ-không}, kí hiệu là \( \overrightarrow{0}\).

Chú ý.

+ Quy ước véctơ-không có độ dài bằng \( 0 \).

+ Véctơ-không luôn cùng phương, cùng hướng với mọi véc-tơ.

+ Mọi véctơ-không đều bằng nhau: \( \overrightarrow{0} =\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{CC}=\ldots \) với mọi điểm \( A \), \( B \), \( C \), \(\ldots \)

+ Véc-tơ đối của véctơ-không là chính nó.