\(\S1.\) KHÁI NIỆN VÉCTƠ

1. Định nghĩa véctơ

Véctơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối.

+ Véc-tơ có điểm đầu \( A \), điểm cuối \( B \) được kí hiệu là \( \overrightarrow{AB} \), đọc là véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \).

+ Đường thẳng đi qua hai điểm \( A \) và \( B \) gọi là giá của véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \).

+ Độ dài của đoạn thẳng \( AB \) gọi là độ dài của véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \) và được kí hiệu là \( \left|\overrightarrow{AB}\right| \). Như vậy ta có \( \left|\overrightarrow{AB}\right| =AB \).

Một véc-tơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là \( \overrightarrow{a} \), \( \overrightarrow{b} \), \( \overrightarrow{x}\), \( \overrightarrow{y} \), \( \ldots \)

2. Hai véc-tơ cùng phương, cùng hướng

Hai véc-tơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Chú ý.

Hai véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{CD} \) cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{CD} \) là hai véc-tơ cùng hướng. Hai véc-tơ \( \overrightarrow{PQ} \) và \( \overrightarrow{RS} \) cùng phương nhưng có hướng ngược nhau. Ta nói hai véc-tơ \( \overrightarrow{PQ} \) và \( \overrightarrow{RS} \) là hai véc-tơ ngược hướng.

Hai véc-tơ cùng phương chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Nhận xét. Ba điểm phân biệt \( A \), \( B \), \( C \) thẳng hàng khi và chỉ khi \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \) cùng phương.

3. Véc-tơ bằng nhau, véc-tơ đối nhau

+ Hai véc-tơ \( \overrightarrow{a} \) và \( \overrightarrow{b} \) được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu \( \overrightarrow{a} =\overrightarrow{b}\).

+ Hai véc-tơ \( \overrightarrow{a} \) và \( \overrightarrow{b} \) được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, kí hiệu \( \overrightarrow{a} =-\overrightarrow{b}\). Khi đó véc-tơ \( \overrightarrow{b} \) được gọi là véc-tơ đối của véc-tơ \( \overrightarrow{a} \).

Chú ý.

+ Cho véc-tơ \( \overrightarrow{a} \) và điểm \( O \), ta luôn tìm được một điểm \( A \) duy nhất sao cho \( \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}\).

Khi đó độ dài của véc-tơ \( \overrightarrow{a} \) là độ dài đoạn \( OA \), kí hiệu là \( \left|\overrightarrow{a}\right| \).

+ Cho đoạn thẳng \( MN \), ta luôn có \( \overrightarrow{NM}=-\overrightarrow{MN} \).

4. Véctơ-không

Véc-tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là {\bf véctơ-không}, kí hiệu là \( \overrightarrow{0}\).

Chú ý.

+ Quy ước véctơ-không có độ dài bằng \( 0 \).

+ Véctơ-không luôn cùng phương, cùng hướng với mọi véc-tơ.

+ Mọi véctơ-không đều bằng nhau: \( \overrightarrow{0} =\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{CC}=\ldots \) với mọi điểm \( A \), \( B \), \( C \), \(\ldots \)

+ Véc-tơ đối của véctơ-không là chính nó.

Phần 1
Phần 2
Phần 3

Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn

Dạng 1. Câu hỏi lí thuyết

Dạng 2. Xác định véctơ

Dạng 3. Xác định tính cùng phương, cùng hướng, bằng nhau của hai véctơ

Dạng 4. Tính độ dài véctơ

Dạng 1. Câu hỏi lí thuyết

Câu 1:

Với \(\overrightarrow{DE}\) (khác véc-tơ-không) thì độ dài đoạn \(ED\) được gọi là

Phương của \(\overrightarrow{ED}\)
Giá của \(\overrightarrow{ED}\)
Độ dài của \(\overrightarrow{ED}\)
Hướng của \(\overrightarrow{ED}\)

Đáp án: Độ dài của \(\overrightarrow{ED}\)

Lời giải:

Độ dài của đoạn \(DE\) được gọi là độ dài của \(\overrightarrow{ED}\).

Tức là \(DE=\left|\overrightarrow{DE}\right|\).

Câu 2:

Hai véc-tơ có cùng độ dài và ngược hướng gọi là

Hai véc-tơ bằng nhau
Hai véc-tơ đối nhau
Hai véc-tơ cùng phương
Hai véc-tơ cùng hướng

Đáp án: Hai véc-tơ đối nhau

Lời giải:

Theo định nghĩa chúng là hai véc-tơ đối nhau.

Dạng 2. Xác định véctơ

Câu 1:

Có bao nhiêu véc-tơ khác véc-tơ \(\overrightarrow{0}\) có điểm đầu và điểm cuối là đình của tam giác \(ABC\)?

\(3\)
\(9\)
\(4\)
\(6\)

Đáp án: \(6\)

Lời giải:

Từ mỗi cạnh của tam giác ta lập được 2 véctơ. Suy ra có \(6\) véc-tơ được tạo thành từ ba đỉnh \(A\), \(B\), \(C\) của tam giác \(ABC\).

Câu 2:

Cho tứ giác \(ABCD\). Có bao nhiêu véc-tơ khác véc-tơ không có điểm đầu, điểm cuối là hai trong số bốn đỉnh của tứ giác?

\(12\)
\(4\)
\(16\)
\(6\)

Đáp án: \(12\)

Lời giải:

Có \(12\) véc-tơ, gồm: \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}\), \(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}\).