\(\S1.\) KHÁI NIỆN VÉCTƠ
1. Định nghĩa véctơ
Véctơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối.
+ Véc-tơ có điểm đầu \( A \), điểm cuối \( B \) được kí hiệu là \( \overrightarrow{AB} \), đọc là véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \).
+ Đường thẳng đi qua hai điểm \( A \) và \( B \) gọi là giá của véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \).
+ Độ dài của đoạn thẳng \( AB \) gọi là độ dài của véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \) và được kí hiệu là \( \left|\overrightarrow{AB}\right| \). Như vậy ta có \( \left|\overrightarrow{AB}\right| =AB \).
Một véc-tơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là \( \overrightarrow{a} \), \( \overrightarrow{b} \), \( \overrightarrow{x}\), \( \overrightarrow{y} \), \( \ldots \)
2. Hai véc-tơ cùng phương, cùng hướng
Hai véc-tơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Chú ý.
Hai véc-tơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{CD} \) cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{CD} \) là hai véc-tơ cùng hướng. Hai véc-tơ \( \overrightarrow{PQ} \) và \( \overrightarrow{RS} \) cùng phương nhưng có hướng ngược nhau. Ta nói hai véc-tơ \( \overrightarrow{PQ} \) và \( \overrightarrow{RS} \) là hai véc-tơ ngược hướng.
Hai véc-tơ cùng phương chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
Nhận xét. Ba điểm phân biệt \( A \), \( B \), \( C \) thẳng hàng khi và chỉ khi \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \) cùng phương.
3. Véc-tơ bằng nhau, véc-tơ đối nhau
+ Hai véc-tơ \( \overrightarrow{a} \) và \( \overrightarrow{b} \) được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu \( \overrightarrow{a} =\overrightarrow{b}\).
+ Hai véc-tơ \( \overrightarrow{a} \) và \( \overrightarrow{b} \) được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, kí hiệu \( \overrightarrow{a} =-\overrightarrow{b}\). Khi đó véc-tơ \( \overrightarrow{b} \) được gọi là véc-tơ đối của véc-tơ \( \overrightarrow{a} \).
Chú ý.
+ Cho véc-tơ \( \overrightarrow{a} \) và điểm \( O \), ta luôn tìm được một điểm \( A \) duy nhất sao cho \( \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}\).
Khi đó độ dài của véc-tơ \( \overrightarrow{a} \) là độ dài đoạn \( OA \), kí hiệu là \( \left|\overrightarrow{a}\right| \).
+ Cho đoạn thẳng \( MN \), ta luôn có \( \overrightarrow{NM}=-\overrightarrow{MN} \).
4. Véctơ-không
Véc-tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là {\bf véctơ-không}, kí hiệu là \( \overrightarrow{0}\).
Chú ý.
+ Quy ước véctơ-không có độ dài bằng \( 0 \).
+ Véctơ-không luôn cùng phương, cùng hướng với mọi véc-tơ.
+ Mọi véctơ-không đều bằng nhau: \( \overrightarrow{0} =\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{CC}=\ldots \) với mọi điểm \( A \), \( B \), \( C \), \(\ldots \)
+ Véc-tơ đối của véctơ-không là chính nó.
Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn
Dạng 3. Xác định tính cùng phương, cùng hướng, bằng nhau của hai véctơ
Dạng 1. Câu hỏi lí thuyết
Câu 1:
Cho ba véc-tơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\) khác véc-tơ \(\overrightarrow{0}\). Hãy chọn khẳng định đúng.
Đáp án: Nếu \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) ngược hướng với \(\overrightarrow{c}\) thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng
Lời giải:
+) Có vô số véc-tơ cùng hướng với cả ba véc-tơ \(\overrightarrow{a}\), \(-\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{0}\). Sai vì \(\overrightarrow{a}\) và \(-\overrightarrow{a}\) ngược hướng với nhau.
+) Không có véc-tơ nào cùng hướng với cả ba véc-tơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\). Sai vì có véc-tơ \(\overrightarrow{0}\) cùng hướng với cả ba véc-tơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\).
+) Nếu \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{c}\) thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) ngược hướng. sai vì nếu \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{c}\) thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng.
+) Nếu \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) ngược hướng với \(\overrightarrow{c}\) thì \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng. Đúng.
Câu 2:
Mệnh đề nào sau đây sai?
Đáp án: \(\left| \overrightarrow{AB}\right|>0\)
Lời giải:
Vì có thể xảy ra trường hợp \(\left| \overrightarrow{AB}\right|=0\Leftrightarrow A\equiv B\).
Dạng 2. Xác định véctơ
Câu 1:
Có bao nhiêu véc-tơ khác véc-tơ \(\overrightarrow{0}\) có điểm đầu và điểm cuối là đình của tam giác \(ABC\)?
Đáp án: \(6\)
Lời giải:
Từ mỗi cạnh của tam giác ta lập được 2 véctơ. Suy ra có \(6\) véc-tơ được tạo thành từ ba đỉnh \(A\), \(B\), \(C\) của tam giác \(ABC\).
Câu 2:
Cho tứ giác \(ABCD\). Có tất cả bao nhiêu véc-tơ (khác véc-tơ \(\overrightarrow{0}\)) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tứ giác đó?
Đáp án: \(12\)
Lời giải:
Ta có \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BA}\) \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{CA}\), \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{BD}\), \(\overrightarrow{DB}.\)
Vậy có \(12\) véc-tơ thỏa mãn bài.
Dạng 3. Xác định tính cùng phương, cùng hướng, bằng nhau của hai véctơ
Câu 1:
Cho hình vuông \(ABCD\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án: \(\left| \overrightarrow{AB}\right|=\left| \overrightarrow{BC}\right|\)
Lời giải:
Vì \(AB=BC\Leftrightarrow \left| \overrightarrow{AB}\right|=\left| \overrightarrow{BC}\right|\).
Câu 2:
Cho lục giác đều \(ABCDEF\) tâm \(O\). Số các véc-tơ khác véc-tơ-không, cùng phương với \(\overrightarrow{OC}\) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
Đáp án: \(6\)
Lời giải:
Các véc-tơ cùng phương với \(\overrightarrow{OC}\) là \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{DE}\), \(\overrightarrow{ED}\), \(\overrightarrow{FC}\), \(\overrightarrow{CF}\).
Dạng 4. Tính độ dài véctơ
Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai
Dạng 3. Xác định tính cùng phương, cùng hướng, bằng nhau của hai véctơ
Dạng 1.
Dạng 2. Xác định véctơ
Dạng 3. Xác định tính cùng phương, cùng hướng, bằng nhau của hai véctơ
Dạng 4.
Phần 3. Tự luận
Dạng 3. Xác định tính cùng phương, cùng hướng, bằng nhau của hai véctơỨng dụng thực tế