Đáp án: \(720\) cách

Lời giải:

Số cách xếp \(6\) người theo một hàng dọc là \(6!=720\).

Đáp án: \(120\)

Lời giải:

Số cách sắp xếp \(5\) người thành một hàng dọc là \(5!=120\) cách.

Đáp án: \(360\)

Lời giải:

Số cách xếp khác nhau cho \(6\) người ngồi vào \(4\) chỗ trên một bàn dài là số chỉnh hợp chập \(4\) của \(6\) phần tử. Suy ra có \(\mathrm{A}_6^4=360\) cách.

Đáp án: \(60\)

Lời giải:

Gọi số cần lập là \(\overline{abc}\).

Ta có 3 cách chọn \(c\) từ các số \(2, 4, 8\).

Có 5 cách chọn \(a\) sau khi chọn \(c\).

Còn lại 4 cách chọn \(b\) sau khi chọn \(a, c\).

Vậy có \(3\cdot4\cdot5=60\) số thỏa yêu cầu.

Đáp án: \(1365\)

Lời giải:

Nếu kết quả cuộc thi là việc chọn ra \(4\) người có điểm cao nhất thì mỗi kết quả ứng với một tổ hợp chập \(4\) của \(15\) phần tử.

Như vậy, ta có \(\mathrm{C}_{15}^4=1365\) kết quả.

Đáp án: \(\mathrm{C}_5^2\)

Lời giải:

Số tập con gồm \(2\) phần tử của \(A\) là \(\mathrm{C}_5^2\).

Đáp án: \(22680\)

Lời giải:

Gọi \(S_1\) là tập các số thỏa mãn yêu cầu đề bài tính cả số \(0\) đứng đầu.

\(\bullet\,\) Chọn \(4\) vị trí trong \(10\) vị trí để xếp \(4\) chữ số \(7,8,9,0\) có: \(\mathrm{A}_{10}^4\) (cách)

\(\bullet\,\) Chọn \(1\) vị trí trong \(5\) vị trí (bỏ \(1\) vị trí trống ở cuối) để xếp chữ số \(6\) có: \(\mathrm{C}_5^1\) (cách)

\(\bullet\,\) Xếp \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) vào năm vị trí còn lại theo thứ tự có: \(1\) cách

Suy ra có: \(S_1=\mathrm{A}_{10}^4\cdot\mathrm{C}_5^1\) (số).

Gọi \(S_2\) là tập số thỏa mãn yêu cầu đề bài mà số \(0\) luôn đứng ở đầu.

Tương tự như trên ta có \(S_2=\mathrm{A}_9^3\cdot\mathrm{C}_5^1\) (số).

Vậy có \(S_1-S_2=22680\) số thỏa mãn.

Đáp án: \(45360\)

Lời giải:

\(\bullet\,\) Số các số có chín chữ số khác nhau là \(9!\). Trong \(9!\) số này, số các số mà chữ số \(1\) đứng trước chữ số \(2\) hoặc chữ số \(1\) đứng sau chữ số \(2\) là bằng nhau. Do đó, số các số mà chữ số \(1\) đứng trước chữ số \(2\) là \(\displaystyle\frac{9!}{2}\).

\(\bullet\,\) Tương tự, số các số mà chữ số \(1\) đứng trước chữ số \(2\) và chữ số \(3\) đứng trước chữ số \(4\) là \(\displaystyle\frac{9!}{4}\).

\(\bullet\,\) Số các số cần tìm là \(\displaystyle\frac{9!}{8}=45360.\)

Đáp án: \(48\)

Lời giải:

Chọn chỗ ngồi cho hai bạn \(A, F \Rightarrow\) Có \(2!\) cách xếp.

Xếp bốn bạn còn lại B, C, D, E vào bốn vị trí còn lại \(\Rightarrow \) Có \(4!\) cách xếp.

Vậy có \(2!\cdot 4!=48\) cách xếp.

Đáp án: \( 6720 \) cách

Lời giải:

Chọn \( 7 \) vị trí trên một dãy, sau đó xếp \( 7 \) viên bi có \( \mathrm{A}_{8}^7 \).

Do 3 bi xanh giống nhau nên số cách xếp là \( \displaystyle\frac{\mathrm{A}_{8}^7}{3!}=6720 \).

Đáp án: \(165\)

Lời giải:

\(\bullet\,\) \(a\), \(b\), \(c\) là độ dài \(3\) cạnh của một tam giác đều.

Trường hợp này có \(9\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

\(\bullet\,\) \(a\), \(b\), \(c\) là độ dài \(3\) cạnh của một tam giác cân và không đều.

Không làm mất tính tổng quát, giả sử \(a=b\).

\(\bullet\,\) \(a=b>c\)

+ \(a=b=2\Rightarrow c=1\).

+ \(a=b=3\Rightarrow c=1\), \(2\).

+ \(a=b=4\Rightarrow c=1\), \(2\), \(3\).

\(\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\)

+ \(a=b=9\Rightarrow c=1\), \(2\), \(3\), \ldots , \(8\).

\(\Rightarrow\) có \(1+2+3+\ldots+8=36\) số thỏa mãn bài toán.

\(\bullet\,\) \(a=bc\) nên \(\displaystyle\frac{c}{2}

+ \(c=9\Rightarrow \displaystyle\frac{9}{2}

+ \(c=8\Rightarrow 4

+ \(c=7\Rightarrow \displaystyle\frac{7}{2}

+ \(c=6\Rightarrow 3

+ \(c=5\Rightarrow \displaystyle\frac{5}{2}

+ \(c=4\Rightarrow 2

+ \(c=2\), \(1\) không có \(a\) tương ứng

\(\Rightarrow\) có \(4+3+3+2+2+1+1=16\) số thỏa mãn bài toán

\(\Rightarrow\) trường hợp \(a=b\neq c\) có \(36+16=52\) số thỏa mãn.

Tương tự, mỗi trường hợp \(b=c\neq a\), \(c=a\neq b\) đều có \(52\) số thỏa mãn.

Theo quy tắc cộng ta có \(9+52\cdot 3=165\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: \(175\)

Lời giải:

Số tam giác được lập từ các điểm trên là \(\mathrm{C}^{1}_{5}\mathrm{C}^{2}_{7}+\mathrm{C}^{2}_{5}\mathrm{C}^{1}_{7}=175\).

Đáp án: \(3565\)

Lời giải:

Số cách lấy \(3\) điểm bất kì từ \(30\) điểm đã cho là: \(\mathrm{C}_{30}^3\).

Mỗi cạnh có \(11\) điểm, chọn \(3\) điểm, có \(3\) cạnh nên số trường hợp chọn ra \(3\) điểm thẳng hàng là: \(3\cdot \mathrm{C}_{11}^3\).

Vậy số tam giác có \(3\) đỉnh thuộc các điểm đã cho là: \(\mathrm{C}_{30}^3-3\cdot\mathrm{C}_{11}^3=3565\).

Đáp án: \(175\) tam giác

Lời giải:

\(\bullet\) TH1. Tam giác có \(1\) đỉnh thuộc đường thẳng \(a\) và \(2\) đỉnh thuộc \(b\), có \(5\cdot \mathrm{C}_7^2=105\) tam giác.

\(\bullet\) TH2. Tam giác có \(2\) đỉnh thuộc đường thẳng \(a\) và \(1\) đỉnh thuộc \(b\), có \(\mathrm{C}_5^2\cdot 7=70\) tam giác.

Vậy tất cả có \(105+70=175\) tam giác.

Đáp án: \(6\)

Lời giải:

Điều kiện: \(n\ge 2, n\in\mathbb{N}\).

Phương trình tương đương

\(\displaystyle\frac{1}{2}n(n-1)-3n-n+9=0\) \(\Leftrightarrow n^2-9n+18=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& n=3 \\ & n=6.\end{aligned}\right.\)

Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình là \(n=6\).

Đáp án: \(n=3\)

Lời giải:

Ta có \(A_{n}^{3}+5 A_{n}^{2}=2(n+15)\) \(\Leftrightarrow (n-2)\cdot (n-1)\cdot n + 5n\cdot (n-1)=2(n+5)\) \(\Leftrightarrow n=3.\)