Dạng 6. Bài toán có yếu tố chọn
Dạng 7. Bài toán có yếu tố hình học
Dạng 8. Phương trình chứa các số tổ hợp
Câu 1:
Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng có \(5\) đội bóng? (Giả sử rằng không có hai đội nào có điểm trùng nhau).
Đáp án: \(120\)
Lời giải:
Số các khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng có \(5\) đội bóng là số hoán vị của \(5\) phần tử nên có \(5!=120\) cách.
Câu 2:
Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên gồm \(3\) chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số \(1,2,3,4\)?
Đáp án: \(24\)
Lời giải:
Số các số tự nhiên gồm \(3\) chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số \(1,2,3,4\) là \(\mathrm{A}^3_4=24\).
Câu 1:
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau được lập từ các chữ số \(1,\) \(2,\) \(4,\) \(5,\) \(7,\) \(8\)?
Đáp án: \(60\)
Lời giải:
Gọi số cần lập là \(\overline{abc}\).
Ta có 3 cách chọn \(c\) từ các số \(2, 4, 8\).
Có 5 cách chọn \(a\) sau khi chọn \(c\).
Còn lại 4 cách chọn \(b\) sau khi chọn \(a, c\).
Vậy có \(3\cdot4\cdot5=60\) số thỏa yêu cầu.
Câu 2:
Cho tập \(A=\left\{0,1, 2, \ldots, 9\right\}.\) Số các số tự nhiên có \(5\) chữ số đôi một khác nhau lấy ra từ tập \(A\) là?
Đáp án: \(27216\)
Lời giải:
Gọi số cần tìm là \(\overline{abcde},a\ne 0\).
\(\bullet \) Chọn \(a\) có \(9\) cách.
\(\bullet \) Chọn \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) từ \(9\) số còn lại có \(\mathrm{A}_9^4=3024\) cách.
Vậy có \(9\times 3024=27216\).
Câu 1:
Có \(15\) đội bóng đá thi đấu theo thể thức vòng tròn tính điểm. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?
Đáp án: \(105\)
Lời giải:
Lấy hai đội bất kỳ trong \(15\) đội bóng tham gia thi đấu ta được một trận đấu.
Vậy số trận đấu chính là một tổ hợp chập \(2\) của \(15\) phần tử (đội bóng đá).
Như vậy, ta có \(\mathrm{C}_{15}^2=\displaystyle\frac{15!}{13!\cdot 2!}=105\) trận đấu.
Câu 2:
Cho tập hợp \(M\) có \(10\) phần tử. Số tập con gồm \(2\) phần tử của \(M\) là
Đáp án: \(\mathrm{C}_{10}^2\)
Lời giải:
Số tập con gồm \(2\) của tập gồm \(10\) là tổ hợp chập \(2\) của \(10\).
Câu 1:
Từ các chữ số \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\) người ta lập số tự nhiên có \(9\) chữ số sao cho trong số được lập từ trái qua phải các chữ số \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) sắp xếp theo thứ tự tăng dần (không nhất thiết \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) phải đứng cạnh nhau), nhưng các chữ số \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\) thì không phải vậy. Hỏi có bao nhiêu số tạo thành?
Đáp án: \(2520\)
Lời giải:
Ta tìm số các số tự nhiên có \(9\) chữ số sao cho trong số được lập từ trái qua phải các chữ số \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Sắp xếp năm chữ số trên vào \(5\) trong \(9\) vị trí theo đúng thứ tự tăng dần có \(\mathrm{C}_9^5 \), còn lại \(4\) chữ số và \(4\) vị trí có \(4!\) cách sắp xếp. Như vậy có \(4! \cdot \mathrm{C}_9^5\) số thỏa mãn.
Ta tìm số các số tự nhiên có \(9\) chữ số sao cho trong số được lập từ trái qua phải các chữ số \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\) sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Tương tự như trên ta có \(3! \cdot \mathrm{C}_9^6\) số thỏa mãn.
Vậy số các số thỏa mãn đề bài là \( 4!\cdot \mathrm{C}_9^5- 3! \cdot \mathrm{C}_9^6 = 2520 \).
Câu 2:
Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau và chia hết cho \(5\)?
Đáp án: \( 952 \)
Lời giải:
Gọi \(A=\left\{0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,8;\,9\right\}\).
Số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu có dạng \(\overline{abcd}\) (\(a\), \(b\), \(c\), \(d\in A\)); \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) đôi một khác nhau.
Số cần tìm chia hết cho \(5\) nên \(d=0\) hoặc \( d=5 \).
\(\bullet\,\) Trường hợp \(d=0\): Chọn \(a\), \(b\), \(c\in A\setminus\{0\}\).
Suy ra có \(\mathrm{A}_9^3 = 504\) số.
\(\bullet\,\) Trường hợp \(d=5\):
Chọn \( a\neq 0 \), \( a\neq 5 \): có \( 8 \) cách.
Chọn \(b\), \(c\in A\setminus\{5;\,a\}\) và hoán vị \(b\), \(c\) có \(\mathrm{A}_8^2\) cách.
Suy ra có \(8\cdot \mathrm{A}_8^2=448\) số.
Vậy có \(504+448=952\) số thỏa mãn.
Câu 1:
Có bao nhiêu cách xếp 4 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh bán kính giống nhau vào một dãy có 8 ô trống?
Đáp án: \( 6720 \) cách
Lời giải:
Chọn \( 7 \) vị trí trên một dãy, sau đó xếp \( 7 \) viên bi có \( \mathrm{A}_{8}^7 \).
Do 3 bi xanh giống nhau nên số cách xếp là \( \displaystyle\frac{\mathrm{A}_{8}^7}{3!}=6720 \).
Câu 2:
Trường và Phan cùng \(8\) bạn khác rủ nhau đi xem bóng đá. Số cách xếp nhóm bạn trên vào \(10\) chỗ ngồi sắp hàng ngang sao cho Trường và Phan ngồi cạnh nhau là
Đáp án: \(18\cdot8!\)
Lời giải:
Chọn \(2\) vị trí cạnh nhau trong \(10\) vị trí có \(9\) cách.
Xếp Trường và Phan vào \(2\) vị trí vừa chọn có \(2\) cách.
Xếp \(8\) bạn còn lại vào \(8\) vị trí vừa chọn có \(8!\) cách.
Vậy có \(9\cdot2\cdot8!=18\cdot8!\) cách.
Câu 1:
Có \(5\) tem thư khác nhau và \(6\) bì thư khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra \(3\) tem và \(3\) bì thư rồi dán \(3\) tem vào \(3\) bì thư?
Đáp án: \(1200\)
Lời giải:
Chon \(3\) tem có \(\mathrm{C}_5^3\).
Chọn \(3\) thư có \(\mathrm{C}_6^3\).
Dán \(3\) tem vào \(3\) bì thư có \(3!\) cách.
Vậy có \(\mathrm{C}_5^3 \cdot \mathrm{C}_6^3 \cdot 3!=1200\).
}
Câu 2:
Có \(12\) học sinh gồm \(3\) học sinh khối \(12\), \(4\) học sinh khối \(11\) và \(5\) học sinh khối \(10\). Hỏi có bao nhiêu cách chọn \(6\) học sinh sao cho mỗi khối có \(2\) học sinh?
Đáp án: \(180\)
Lời giải:
Ta thực hiện liên tiếp các hành động sau
\(\bullet\,\) Chọn \(2\) học sinh khối \(12\) có \(\mathrm{C}_3^2=3\) cách.
\(\bullet\,\) Chọn \(2\) học sinh khối \(11\) có \(\mathrm{C}_4^2=6\) cách.
\(\bullet\,\) Chọn \(2\) học sinh khối \(10\) có \(\mathrm{C}_5^2=10\) cách.
Theo quy tắc nhân có \(3\cdot 6\cdot 10=180\) cách.
Câu 1:
Cho hai đường thẳng song song \(d_1\) và \(d_2\). Trên \(d_1\) có \(6\) điểm phân biệt, trên \(d_2\) có \(n\) điểm phân biệt (\(n\ge 3, n\in \Bbb{N}\)). Tìm \(n\), biết rằng có \(96\) tam giác có đỉnh là các điểm đã cho.
Đáp án: \(4\)
Lời giải:
\(\bullet\,\) Chọn \(1\) điểm trên \(d_1\) và \(2\) điểm trên \(d_2\) có \(\mathrm{C}_6^1\cdot \mathrm{C}_n^2=6\mathrm{C}_n^2\) cách.
\(\bullet\,\) Chọn \(2\) điểm trên \(d_1\) và \(1\) điểm trên \(d_2\) có \(\mathrm{C}_6^2\cdot \mathrm{C}_n^1=15n\) cách.
\(\bullet\,\) Số tam giác tạo thành là \(6\mathrm{C}_n^2+15n\).
\(\bullet\,\) Theo giả thiết
\begin{eqnarray*}&&6\mathrm{C}_n^2+15n=96\\ &\Leftrightarrow& 3n(n-1)+15n=96\\ &\Leftrightarrow& n^2+4n-32=0\\ &\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}& n=-8\, (\text{loại}) \\& n=4.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}
Câu 2:
Một đa giác đều có số đường chéo gấp bốn lần số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?
Đáp án: \( 11\)
Lời giải:
Gọi \(n\) là số cạnh của đa giác đều đã cho (\(n\ge 4\)).
\(\bullet\,\) Số cạnh của đa giác là \(n\).
\(\bullet\,\) Số đường chéo của đa giác là \(\mathrm{C}_n^2-n\).
Khi đó ta có
\begin{eqnarray*}&&\mathrm{C}_n^2-n=4n\\ &\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{n(n-1)}{2}-5n=0 \Leftrightarrow n=11.\end{eqnarray*}
Câu 1:
Giải phương trình sau \(\displaystyle\frac{P_{n + 4}}{P_n\cdot P_{n + 2}} - \displaystyle\frac{15}{P_{n - 1}}=0\).
Đáp án: \(n\in \{2;6\}\)
Lời giải:
Điều kiện \(n \geq 1, n\in\mathbb{Z}\). Ta có
\begin{eqnarray*}&&\displaystyle\frac{P_{n + 4}}{P_n\cdot P_{n + 2}} - \displaystyle\frac{15}{P_{n - 1}}=0\\&\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{(n+4) !}{n ! \cdot(n+2) !}-\displaystyle\frac{15}{(n-1) !}=0 \\&\Leftrightarrow& (n+3)(n+4)-15 n=0\\&\Leftrightarrow& n^2 - 8n + 12=0.\end{eqnarray*}
Suy ra \(n\in \{2;6\}\).
Câu 2:
Biết \(\mathrm{P}_n=720\) thì \(n\) có giá trị là
Đáp án: \(6\)
Lời giải:
Vì \(720=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\) nên từ \(\mathrm{P}_n=720\) suy ra \(n=6\).