Đáp án: \(120\)

Lời giải:

Việc sắp xếp chỗ ngồi cho \(5\) người vào một dãy có \(5\) ghế là một hoán vị của \(5\) phần tử, ta có số cách sắp xếp bằng \(5!=120\) (cách).

Đáp án: \(720\) cách

Lời giải:

Số cách xếp \(6\) người theo một hàng dọc là \(6!=720\).

Đáp án: \(30\)

Lời giải:

Mỗi cặp sắp thứ tự gồm hai điểm \(\left(A,B\right)\) cho ta một vectơ có điểm đầu \(A\) và điểm cuối \(B\) và ngược lại. Như vậy, mỗi vectơ có thể xem là một chỉnh hợp chập \(2\) của tập hợp \(6\) điểm đã cho.

Suy ra có \(\mathrm{A}_6^2=30\) cách.

Đáp án: \(\mathrm{A}_5^4\)

Lời giải:

Mỗi số có \(4\) chữ số tạo thành là một chỉnh hợp chập \(4\) của \(5\) phần tử.

Vậy có \(\mathrm{A}_5^4\) số tạo thành.

Đáp án: \( 90 \)

Lời giải:

Chọn điểm đầu có \( 10 \) cách.

Chọn điểm cuối có \( 9 \) cách.

Vậy có \(10\cdot 9=90\) vectơ.

Đáp án: \(C_{10}^{2}\)

Lời giải:

Chọn hai học sinh từ \(10\) học sinh sẽ có \(C_{10}^{2}\) cách.

Đáp án: \(337681\)

Lời giải:

Xét phương trình \(a+b+c=2016\). Phương trình này có \(\mathrm{C}_{2015}^{2}\) nghiệm \((a;b;c)\). Ta tìm các nghiệm mà có cặp số trùng nhau.

\(\bullet\,\) Trường hợp 1. \(a=b=c \,\Rightarrow\, a=b=c=\displaystyle\frac{2016}{3}=672\), do đó trường hợp này có \(1\) nghiệm.

\(\bullet\,\) Trường hợp 2. Chỉ có 2 số trùng nhau. Nếu \(a=b\) thì \(2a+c=2016\), suy ra số \(c\) nhận các giá trị chẳn là \(2;4;\ldots;2014\) nên có \(1007\) nghiệm, trừ đi \(1\) nghiệm \((672;672;672)\) ta còn \(1006\) nghiệm. Xét tương tự nếu \(b=c\), \(c=a\), do đó trường hợp này có \(3\times 1006=3018\) nghiệm.

Suy ra, phương trình \(a+b+c=2016\) có \(\mathrm{C}_{2015}^{2}-1-3018=2026086\) nghiệm \((a;b;c)\) trong đó ba số \(a,b,c\) đôi một khác nhau. Trong số \(2026086\) nghiệm trên, chỉ có \(\displaystyle\frac{2026086}{3!}=337681\) nghiệm thỏa mãn \(a

Vậy có tất cả \(337681\) số tự nhiên \(abc\) thỏa đề bài.

Đáp án: \(456\)

Lời giải:

Gọi số cần lập là \(\overline{a_1a_2a_3a_4a_5}\), với \(a_1\neq0\).

\(\bullet\,\) Trường hợp 1. Số chẵn là số \(0\).

Bước 1. Xếp số \(0\) và \(4\) vị trí \(a_2,a_3,a_4,a_5\) \(\,\Rightarrow\,\) có \(4\) cách.\\

Bước 2. Chọn \(4\) số từ các chữ số \(1,3,5,7\) và xếp vào \(4\) vị trí còn lại \(\,\Rightarrow\,\) có \(4!\) cách.

Theo quy tắc nhân, trường hợp 1 có \(4\cdot 4!=96\) số.

\(\bullet\,\) Trường hợp 2. Số chẵn là một trong ba số \(2,4,6\).

Bước 1. Chọn một số trong ba số \(2,4,6\) và xếp vào một trong các vị trí \(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\) \(\,\Rightarrow\,\) có \(3\cdot 5=15\) cách.

Bước 2. Chọn \(4\) số từ các chữ số \(1,3,5,7\) và xếp vào \(4\) vị trí còn lại \(\,\Rightarrow\,\) có \(4!\) cách.

Theo quy tắc nhân, trường hợp 2 có \(15\cdot 4!=360\) số.

Theo quy tắc cộng, lập được \(96+360=456\) số.

Đáp án: \(1440\)

Lời giải:

Giả sử các vị trí ghế ngồi được đánh thứ tự từ \( 1 \) đến \( 7 \).

\(\bullet\,\) Các trường hợp xếp \(A\), \(B\), \(C\) ngồi không cạnh nhau gồm

\( (1-3-5) \), \( (1-3-6) \), \( (1-3-7) \), \( (1-4-6) \), \( (1-4-7) \), \( (1-5-7) \), \( (2-4-6) \), \( (2-4-7) \), \( (2-5-7) \), \( (3-5-7) \)

\( \Rightarrow \) có tất cả \( 10 \) trường hợp.

\(\bullet\,\) Số cách sắp xếp \(A\), \(B\), \(C\) vào \( 3 \) vị trí được chọn là \( 3!=6 \) cách.

\(\bullet\,\) Số cách sắp xếp \( 4 \) bạn còn lại vào \( 4\) vị trí còn lại là \( 4!=24 \) cách.

Tổng số cách sắp xếp \( 7 \) người vào \( 7 \) ghế xếp theo hàng ngang sao cho không có hai trong ba bạn \(A\), \(B\), \(C\) ngồi cạnh là \( 10\cdot 6\cdot 24=1440 \) cách.

Đáp án: \(7200\)

Lời giải:

Gộp hai bạn Bình, An lại thành một bạn đặc biệt. Khi đó ta sắp xếp \(7\) bạn (trong đó có một bạn đặc biệt) vào bàn dài có \(8\) chỗ, hai bạn Bình, An. Số cách sắp xếp là

\(7!\cdot 2!=10080\, (\text{cách}).\)

Gộp hai bạn Bình, An và gộp hai bạn Trang, Nghĩa lại thành hai bạn đặc biệt. Khi đó ta sắp xếp \(6\) bạn (trong đó có hai bạn đặc biệt) vào bàn dài có \(8\) chỗ, hai bạn Bình, An và hai bạn Trang, Nghĩa ngồi gần nhau. Số cách sắp xếp là

\(6!\cdot 2!\cdot 2!=2880\, (\text{cách}).\)

Số cách sắp xếp \(8\) bạn trên vào bàn dài có \(8\) chỗ sao cho Bình, An luôn ngồi cạnh nhau nhưng Trang, Nghĩa không ngồi cạnh nhau là

\(10080-2880=7200\, (\text{cách})\)

Đáp án: \(34\)

Lời giải:

Giả sử \(\{u_1; u_2;...;u_n\}\subset S,\, n>2 \) là một tập hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán. Không mất tính tổng quát giả sử \(u_10\). Ta có \(S_n=0\Leftrightarrow u_1+u_n=0\), lại có \(u_1+(n-1)d=u_n\) nên suy ra \((n-1)d=2u_n\), điều này chứng tỏ \(d\) là một ước nguyên dương của \(2u_n\) và \(d\ne 2u_n\) vì \(n>2\). Như vậy số tập hợp thỏa YCBT chính là tổng số số các ước thực sự của \(2u_n\) với \(u_n\in \{1; 2; ...; 10\}\).

Bằng cách liệt kê ta có tất cả 34 ước của \(2u_n\) với \(u_n\in \{1; 2; ...; 10\}\).

}

Đáp án: \(190\)

Lời giải:

Số viên bi được đánh số \(1,2,3,4,5\) lần lượt là \(4,4,3,2,1.\)

Vì ba viên bi từng đôi khác số nên khi chọn, ta có thể có những trường hợp sau: \((1,2,3); (1,2,4); (1,2,5); (1,3,4); (1,3,5);\) \((1,4,5); (2,3,4); (2,3,5); (2,4,5); (3,4,5).\)

Trường hợp \((1,2,3)\): Vì số viên bi được đánh số \(1,2,3\) lần lượt là \(4,4,3\) nên số cách chọn ba viên bi trong trường hợp này là \(48\) cách.

Tương tượng, những trường hơp còn lại lần lượt có số cách chọn là: \(48, 32, 16, 24, 12, 8, 24, 12, 8, 6.\)

Vậy có tổng cộng: \(48+32+16+24+12+8+24+12+8+6=190\) cách.

Đáp án: \(50\)

Lời giải:

* Số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác là \(\mathrm{C}_{10}^3\).

* Số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác:

Chọn 2 đỉnh kề nhau: có 10 cách chọn.

Chọn đỉnh còn lại không kề với 1 trong 2 đỉnh đã chọn: có 6 cách.

Vậy có \(10.6=60\) tam giác.

* Số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác

Chọn 2 cạnh kề nhau: có 10 cách.

Vậy số tam giác cần tìm là \(C_{10}^{3}-60-10=50\) tam giác.

Đáp án: \(175\) tam giác

Lời giải:

\(\bullet\) TH1. Tam giác có \(1\) đỉnh thuộc đường thẳng \(a\) và \(2\) đỉnh thuộc \(b\), có \(5\cdot \mathrm{C}_7^2=105\) tam giác.

\(\bullet\) TH2. Tam giác có \(2\) đỉnh thuộc đường thẳng \(a\) và \(1\) đỉnh thuộc \(b\), có \(\mathrm{C}_5^2\cdot 7=70\) tam giác.

Vậy tất cả có \(105+70=175\) tam giác.

Đáp án: \(n\) chia hết cho \(7\)

Lời giải:

Ta có \(\mathrm{C}_{n}^{2}+\mathrm{A}_{n}^{2}=9n\Leftrightarrow n=7\).

Đáp án: \( S=\{8\} \)

Lời giải:

Điều kiện: \( x\in \mathbb{N} \) và \( x>3 \).

\( \mathrm{A}^2_x-\mathrm{C}^3_x=0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x!}{(x-2)!}-\displaystyle\frac{x!}{3!(x-3)!}=0\Leftrightarrow x(x-1)-\displaystyle\frac{1}{6}x(x-1)(x-2)=0\Leftrightarrow x(x-1)\left [1-\displaystyle\frac{1}{6}(x-2)\right ]=0. \)

Kết hợp với điều kiện ta suy ra \( x=8 \).