Dạng 6. Bài toán có yếu tố chọn
Dạng 7. Bài toán có yếu tố hình học
Dạng 8. Phương trình chứa các số tổ hợp
Câu 1:
Số cách xếp \(6\) người theo một hàng dọc là
Đáp án: \(720\) cách
Lời giải:
Số cách xếp \(6\) người theo một hàng dọc là \(6!=720\).
Câu 2:
Có bao nhiêu cách sắp xếp \(5\) người thành một hàng dọc?
Đáp án: \(120\)
Lời giải:
Số cách sắp xếp \(5\) người thành một hàng dọc là \(5!=120\) cách.
Câu 1:
Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho \(6\) người ngồi vào \(4\) chỗ trên một bàn dài?
Đáp án: \(360\)
Lời giải:
Số cách xếp khác nhau cho \(6\) người ngồi vào \(4\) chỗ trên một bàn dài là số chỉnh hợp chập \(4\) của \(6\) phần tử. Suy ra có \(\mathrm{A}_6^4=360\) cách.
Câu 2:
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau được lập từ các chữ số \(1,\) \(2,\) \(4,\) \(5,\) \(7,\) \(8\)?
Đáp án: \(60\)
Lời giải:
Gọi số cần lập là \(\overline{abc}\).
Ta có 3 cách chọn \(c\) từ các số \(2, 4, 8\).
Có 5 cách chọn \(a\) sau khi chọn \(c\).
Còn lại 4 cách chọn \(b\) sau khi chọn \(a, c\).
Vậy có \(3\cdot4\cdot5=60\) số thỏa yêu cầu.
Câu 1:
Một cuộc thi có \(15\) người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. Nếu kết quả cuộc thi và việc chọn ra \(4\) người có điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?
Đáp án: \(1365\)
Lời giải:
Nếu kết quả cuộc thi là việc chọn ra \(4\) người có điểm cao nhất thì mỗi kết quả ứng với một tổ hợp chập \(4\) của \(15\) phần tử.
Như vậy, ta có \(\mathrm{C}_{15}^4=1365\) kết quả.
Câu 2:
Cho tập hợp \(A\) có \(5\) phần tử. Có bao nhiêu tập hợp con của \(A\) gồm có \(2\) phần tử?
Đáp án: \(\mathrm{C}_5^2\)
Lời giải:
Số tập con gồm \(2\) phần tử của \(A\) là \(\mathrm{C}_5^2\).
Câu 1:
Có bao nhiêu số tự nhiên có \(10\) chữ số khác nhau sao cho các chữ số \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) xuất hiện theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải và chữ số \(6\) luôn đứng trước chữ số \(5\)?
Đáp án: \(22680\)
Lời giải:
Gọi \(S_1\) là tập các số thỏa mãn yêu cầu đề bài tính cả số \(0\) đứng đầu.
\(\bullet\,\) Chọn \(4\) vị trí trong \(10\) vị trí để xếp \(4\) chữ số \(7,8,9,0\) có: \(\mathrm{A}_{10}^4\) (cách)
\(\bullet\,\) Chọn \(1\) vị trí trong \(5\) vị trí (bỏ \(1\) vị trí trống ở cuối) để xếp chữ số \(6\) có: \(\mathrm{C}_5^1\) (cách)
\(\bullet\,\) Xếp \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) vào năm vị trí còn lại theo thứ tự có: \(1\) cách
Suy ra có: \(S_1=\mathrm{A}_{10}^4\cdot\mathrm{C}_5^1\) (số).
Gọi \(S_2\) là tập số thỏa mãn yêu cầu đề bài mà số \(0\) luôn đứng ở đầu.
Tương tự như trên ta có \(S_2=\mathrm{A}_9^3\cdot\mathrm{C}_5^1\) (số).
Vậy có \(S_1-S_2=22680\) số thỏa mãn.
Câu 2:
Từ các chữ số thuộc tập hợp \(S=\{1, 2, 3, \ldots, 8, 9\}\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số khác nhau sao cho chữ số \(1\) đứng trước chữ số \(2\), chữ số \(3\) đứng trước chữ số \(4\) và chữ số \(5\) đứng trước chữ số \(6\)?
Đáp án: \(45360\)
Lời giải:
\(\bullet\,\) Số các số có chín chữ số khác nhau là \(9!\). Trong \(9!\) số này, số các số mà chữ số \(1\) đứng trước chữ số \(2\) hoặc chữ số \(1\) đứng sau chữ số \(2\) là bằng nhau. Do đó, số các số mà chữ số \(1\) đứng trước chữ số \(2\) là \(\displaystyle\frac{9!}{2}\).
\(\bullet\,\) Tương tự, số các số mà chữ số \(1\) đứng trước chữ số \(2\) và chữ số \(3\) đứng trước chữ số \(4\) là \(\displaystyle\frac{9!}{4}\).
\(\bullet\,\) Số các số cần tìm là \(\displaystyle\frac{9!}{8}=45360.\)
Câu 1:
Có bao nhiêu cách xếp \(6\) bạn A, B, C, D, E, F vào một ghế dài sao cho hai bạn A, F ngồi ở \(2\) đầu ghế?
Đáp án: \(48\)
Lời giải:
Chọn chỗ ngồi cho hai bạn \(A, F \Rightarrow\) Có \(2!\) cách xếp.
Xếp bốn bạn còn lại B, C, D, E vào bốn vị trí còn lại \(\Rightarrow \) Có \(4!\) cách xếp.
Vậy có \(2!\cdot 4!=48\) cách xếp.
Câu 2:
Có bao nhiêu cách xếp 4 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh bán kính giống nhau vào một dãy có 8 ô trống?
Đáp án: \( 6720 \) cách
Lời giải:
Chọn \( 7 \) vị trí trên một dãy, sau đó xếp \( 7 \) viên bi có \( \mathrm{A}_{8}^7 \).
Do 3 bi xanh giống nhau nên số cách xếp là \( \displaystyle\frac{\mathrm{A}_{8}^7}{3!}=6720 \).
Câu 1:
Có bao nhiêu số tự nhiên có \(3\) chữ số \(\overline{abc}\) sao cho \(a\), \(b\), \(c\) là độ dài \(3\) cạnh của một tam giác cân.
Đáp án: \(165\)
Lời giải:
\(\bullet\,\) \(a\), \(b\), \(c\) là độ dài \(3\) cạnh của một tam giác đều.
Trường hợp này có \(9\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
\(\bullet\,\) \(a\), \(b\), \(c\) là độ dài \(3\) cạnh của một tam giác cân và không đều.
Không làm mất tính tổng quát, giả sử \(a=b\).
\(\bullet\,\) \(a=b>c\)
+ \(a=b=2\Rightarrow c=1\).
+ \(a=b=3\Rightarrow c=1\), \(2\).
+ \(a=b=4\Rightarrow c=1\), \(2\), \(3\).
\(\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\)
+ \(a=b=9\Rightarrow c=1\), \(2\), \(3\), \ldots , \(8\).
\(\Rightarrow\) có \(1+2+3+\ldots+8=36\) số thỏa mãn bài toán.
\(\bullet\,\) \(a=b
+ \(c=9\Rightarrow \displaystyle\frac{9}{2}
+ \(c=7\Rightarrow \displaystyle\frac{7}{2}
+ \(c=5\Rightarrow \displaystyle\frac{5}{2}
+ \(c=2\), \(1\) không có \(a\) tương ứng
\(\Rightarrow\) có \(4+3+3+2+2+1+1=16\) số thỏa mãn bài toán
\(\Rightarrow\) trường hợp \(a=b\neq c\) có \(36+16=52\) số thỏa mãn.
Tương tự, mỗi trường hợp \(b=c\neq a\), \(c=a\neq b\) đều có \(52\) số thỏa mãn.
Theo quy tắc cộng ta có \(9+52\cdot 3=165\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 2:
Cho hai đường thẳng song song \(a\) và \(b\). Trên đường thẳng \(a\) lấy \(5\) điểm phân biệt, trên đường thẳng \(b\) lấy \(7\) điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác được lập từ các điểm đó?
Đáp án: \(175\)
Lời giải:
Số tam giác được lập từ các điểm trên là \(\mathrm{C}^{1}_{5}\mathrm{C}^{2}_{7}+\mathrm{C}^{2}_{5}\mathrm{C}^{1}_{7}=175\).
Câu 1:
Cho tam giác \(ABC\). Trên mỗi cạnh \(AB, BC, CA\) lấy \(9\) điểm phân biệt và không có điểm nào trùng với \(3\) đỉnh \(A, B, C\). Hỏi từ \(30\) điểm đã cho (tính cả các điểm \(A, B, C\)) lập được bao nhiêu tam giác.
Đáp án: \(3565\)
Lời giải:
Số cách lấy \(3\) điểm bất kì từ \(30\) điểm đã cho là: \(\mathrm{C}_{30}^3\).
Mỗi cạnh có \(11\) điểm, chọn \(3\) điểm, có \(3\) cạnh nên số trường hợp chọn ra \(3\) điểm thẳng hàng là: \(3\cdot \mathrm{C}_{11}^3\).
Vậy số tam giác có \(3\) đỉnh thuộc các điểm đã cho là: \(\mathrm{C}_{30}^3-3\cdot\mathrm{C}_{11}^3=3565\).
Câu 2:
Cho hai đường thẳng song song \(a\) và \(b\). Trên đường thẳng \(a\) có \(5\) điểm phân biệt, trên đường thẳng \(b\) có \(7\) điểm phân biệt. Tính số tam giác có \(3\) đỉnh lấy từ các điểm trên hai đường thẳng \(a\) và \(b\).
Đáp án: \(175\) tam giác
Lời giải:
\(\bullet\) TH1. Tam giác có \(1\) đỉnh thuộc đường thẳng \(a\) và \(2\) đỉnh thuộc \(b\), có \(5\cdot \mathrm{C}_7^2=105\) tam giác.
\(\bullet\) TH2. Tam giác có \(2\) đỉnh thuộc đường thẳng \(a\) và \(1\) đỉnh thuộc \(b\), có \(\mathrm{C}_5^2\cdot 7=70\) tam giác.
Vậy tất cả có \(105+70=175\) tam giác.
Câu 1:
Nghiệm lớn nhất của phương trình \(\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{A}_n^2-3\mathrm{C}_n^1-n+9=0\) là
Đáp án: \(6\)
Lời giải:
Điều kiện: \(n\ge 2, n\in\mathbb{N}\).
Phương trình tương đương
\(\displaystyle\frac{1}{2}n(n-1)-3n-n+9=0\) \(\Leftrightarrow n^2-9n+18=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& n=3 \\ & n=6.\end{aligned}\right.\)
Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình là \(n=6\).
Câu 2:
Tìm \(n\) biết \(A_{n}^{3}+5 A_{n}^{2}=2(n+15)\).
Đáp án: \(n=3\)
Lời giải:
Ta có \(A_{n}^{3}+5 A_{n}^{2}=2(n+15)\) \(\Leftrightarrow (n-2)\cdot (n-1)\cdot n + 5n\cdot (n-1)=2(n+5)\) \(\Leftrightarrow n=3.\)