Dạng 6. Bài toán có yếu tố chọn
Dạng 7. Bài toán có yếu tố hình học
Dạng 8. Phương trình chứa các số tổ hợp
Câu 1:
Có bao nhiêu cách sắp xếp \(4\) người vào \(4\) ghế ngồi được bố trí quanh một bàn tròn?
Đáp án: \(6\)
Lời giải:
Chọn \(1\) người ngồi vào \(1\) vị trí bất kì. Xếp \(3\) người còn lại vào \(3\) ghế trống của bàn là một hoán vị của \(3\) phần tử nên có có \(3!=6\) cách.
Câu 2:
Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có \(5\) chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau?
Đáp án: \(72\)
Lời giải:
Số cách xếp \(5\) bạn vào \(5\) chỗ trên ghế dài là số hoán vị của \(5\) phần tử nên có \(5!=120\) cách.
Số cách xếp sao cho bạn An và bạn Dũng luôn ngồi cạnh nhau là \(2\cdot 4!=48\) cách (An và Dũng ngồi cạnh nhau xem như \(1\) bạn; xếp \(4\) bạn vào \(4\) chỗ có \(4!\) cách; cách xếp An và Dũng ngồi cạnh nhau là \(2!=2\)).
Vậy số cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau là \(120-48=72\) cách.
Câu 1:
Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm \(6\) điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ \(\overrightarrow{0}\) có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này?
Đáp án: \(30\)
Lời giải:
Mỗi cặp sắp thứ tự gồm hai điểm \(\left(A,B\right)\) cho ta một vectơ có điểm đầu \(A\) và điểm cuối \(B\) và ngược lại. Như vậy, mỗi vectơ có thể xem là một chỉnh hợp chập \(2\) của tập hợp \(6\) điểm đã cho.
Suy ra có \(\mathrm{A}_6^2=30\) cách.
Câu 2:
Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu \(11\) mét. Huấn luyện viên mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự \(5\) cầu thủ trong số \(11\) cầu thủ để đá luân lưu \(5\) quả \(11\) mét. Hãy tính xem huấn luyện viên của mỗi đội có bao nhiêu cách lập danh sách gồm \(5\) cầu thủ.
Đáp án: \(55440\)
Lời giải:
Số cách lập danh sách gồm \(5\) cầu thủ đá \(5\) quả \(11\) mét là số các chỉnh hợp chập \(5\) của \(11\) phần tử.
Vậy có \(\mathrm{A}_{11}^5=55440\).
Câu 1:
Trong một ban chấp hành đoàn gồm \(7\) người, cần chọn \(3\) người trong ban thường vụ. Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của \(3\) người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu các chọn?
Đáp án: \(35\)
Lời giải:
Vì không xét đến sự phân biệt chức vụ của \(3\) người trong ban thường vụ nên mỗi cách chọn ứng với một tổ hợp chập \(3\) của \(7\) phần tử.
Như vậy, ta có \(\mathrm{C}_7^5=\displaystyle\frac{7!}{2!\cdot 5!}=35\) cách chọn ban thường vụ.
Câu 2:
Trong mặt phẳng, cho \(6\) điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?
Đáp án: \(20\)
Lời giải:
Cứ \(3\) điểm phân biệt không thẳng hàng tạo thành một tam giác.
Lấy \(3\) điểm bất kỳ trong \(6\) điểm phân biệt thì số tam giác cần tìm chính là một tổ hợp chập \(3\) của \(6\) phần từ (điểm).
Như vậy, ta có \(\mathrm{C}_6^3=20\) tam giác.
Câu 1:
Từ các chữ số \( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \) ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có \( 6 \) chữ số (các chữ số đôi một khác nhau), mà luôn có mặt nhiều hơn một chữ số lẻ và đồng thời trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là số lẻ?
Đáp án: \( 34800 \)
Lời giải:
Gọi số cần tìm có dạng \( m=\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6} \) với \( a_i \in \{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\},~ a_1 \ne 0 \) và \( i\in \{1;2;3;4;5;6\} \).
Vì các chữ số \( a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6 \) là đôi một khác nhau, có nhiều hơn một chữ số lẻ và đồng thời trong đó có hai chữ số kề nhau không cùng là số lẻ nên ta xét hai trường hợp sau:
\(\bullet\,\) Trường hợp 1: Có \( 4 \) chữ số chẵn và \( 2 \) chữ số lẻ.
\(\bullet\,\) Chữ số \( 0 \) đứng ở vị trí bất kì.
\(\bullet\,\) Lấy \( 4 \) chữ số chẵn và \( 2 \) chữ số lẻ có \( \mathrm{C}_5^4 \cdot \mathrm{C}_5^2\).
\(\bullet\,\) Xếp \( 4 \) chữ số chẵn có \( 4! \).
\(\bullet\,\) Xếp \( 2 \) chữ số lẻ có \( \mathrm{A}_5^2 \).
Vậy trường hợp này có \(\mathrm{C}_5^4 \cdot \mathrm{C}_5^2 \cdot 4! \cdot \mathrm{A}_5^2 =24000\) số.
\(\bullet\,\) Chữ số \( a_1 = 0\).
\(\bullet\,\) Lấy thêm \( 3 \) chữ số chẵn; \( 2 \) chữ số lẻ có \(\mathrm{C}_4^3 \cdot \mathrm{C}_5^2\).
\(\bullet\,\) Xếp \( 3 \) chữ số chẵn có \( 3! \).
\(\bullet\,\) Xếp \( 2 \) chữ số lẻ có \( \mathrm{A}_4^2 \).
Vậy trường hợp này có \( \mathrm{C}_4^3 \cdot \mathrm{C}_5^2 \cdot 3! \cdot\mathrm{A}_4^2=2880\).
\(\bullet\,\) Trường hợp 2: Có \( 3 \) chữ số chẵn và \( 3 \) chữ số lẻ.
\(\bullet\,\) Chữ số \( 0 \) đứng ở vị trí bất kì.
\(\bullet\,\) Lấy \( 3 \) chữ số chẵn và \( 3 \) chữ số lẻ có \( \mathrm{C}_5^3 \cdot \mathrm{C}_5^3\).
\(\bullet\,\) Xếp \( 3 \) chữ số chẵn có \( 3! \).
\(\bullet\,\) Xếp \( 3 \) chữ số lẻ có \( \mathrm{A}_4^3 \).
Vậy trường hợp này có \(\mathrm{C}_5^3 \cdot \mathrm{C}_5^3 \cdot 3! \cdot \mathrm{A}_4^3 = 14400\) số.
\(\bullet\,\) Chữ số \( a_1 = 0\).
\(\bullet\,\) Lấy thêm \( 2 \) chữ số chẵn; \( 3 \) chữ số lẻ có \(\mathrm{C}_4^2 \cdot \mathrm{C}_5^3\).
\(\bullet\,\) Xếp \( 2 \) chữ số chẵn có \( 2! \).
\(\bullet\,\) Xếp \( 3 \) chữ số lẻ có \( \mathrm{A}_3^3=3! \).
Vậy trường hợp này có \( \mathrm{C}_4^2 \cdot \mathrm{C}_5^3 \cdot 2!\cdot 3!=720\).
Vậy có \( (24000-2880)+(14400-720)=34800\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 2:
Người ta viết các số có 6 chữ số từ các chữ số \(1,2,3,4,5\) như sau: trong mỗi số được viết có một chữ số xuất hiện hai lần còn các chữ số còn lại xuất hiện một lần. Hỏi có bao nhiêu số được tạo thành?
Đáp án: \(1800\)
Lời giải:
Có 5 cách chọn chữ số xuất hiện 2 lần.
Xếp 2 chữ số vừa chọn vào 6 vị trí thì có \(\mathrm{C}_6^2=15\) cách chọn.
Xếp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại có \(4!\) cách chọn.
Vậy có \(5\cdot 15\cdot 4!=1800\) số.
Câu 1:
Sắp xếp \( 6 \) nam sinh và \( 4 \) nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có \( 10 \) chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau và các nam sinh luôn ngồi cạnh nhau?
Đáp án: \( 34560 \)
Lời giải:
Sắp xếp \( 6 \) nam sinh ngồi cạnh nhau, có \( \mathrm{P}_6=6! \) cách.
Sắp xếp \( 4 \) nữ sinh ngồi cạnh nhau, có \( \mathrm{P}_4=4! \) cách.
Xem \( 6 \) nam sinh ngồi cạnh nhau là một nhóm, \( 4 \) nữ sinh ngồi cạnh nhau là một nhóm. Có \( 2 \) cách sắp xếp \( 2 \) nhóm này vào dãy ghế hàng ngang có \( 10 \) chỗ ngồi.
Vậy có tất cả \( 6!\times 4!\times 2= 34560 \) cách sắp xếp thỏa mãn bài toán.
Câu 2:
Có bao nhiêu cách xếp \(6\) bạn A, B, C, D, E, F vào một ghế dài sao cho hai bạn A, F ngồi ở \(2\) đầu ghế?
Đáp án: \(48\)
Lời giải:
Chọn chỗ ngồi cho hai bạn \(A, F \Rightarrow\) Có \(2!\) cách xếp.
Xếp bốn bạn còn lại B, C, D, E vào bốn vị trí còn lại \(\Rightarrow \) Có \(4!\) cách xếp.
Vậy có \(2!\cdot 4!=48\) cách xếp.
Câu 1:
Lớp \(11A\) có \(40\) học sinh gồm \(25\) học sinh nam và \(15\) học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra một đội văn nghệ gồm \(3\) học sinh của lớp \(11A\), trong đó có \(1\) bạn nam và \(2\) bạn nữ?
Đáp án: \(2625 \)
Lời giải:
Số cách chọn \(1\) bạn nam từ \(25\) học sinh nam là \(\mathrm{C}_{25}^1\) (cách chọn).
Số cách chọn \(2\) bạn nữ từ \(15\) học sinh nữ là \(\mathrm{C}_{15}^2\) (cách chọn).
Suy ra số cách chọn là \(n(A)=\mathrm{C}_{25}^1\cdot \mathrm{C}_{15}^2=2625\) (cách chọn).
}
Câu 2:
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 10 chữ số sao cho số \(k\) xuất hiện đúng \(k\) lần, với \(k=1,2,3,4\)?
Đáp án: \(60\)
Lời giải:
Nếu số cuối cùng là số 2 thì số các số thỏa mãn là \(\displaystyle\frac{9!}{3!\times 4!}=2520\).
Nếu số cuối cùng là số 4 thì số các số thỏa mãn là \(\displaystyle\frac{9!}{2!\times 3! \times 3!}=5040\).
Vậy theo quy tắc cộng ta có \(2520 + 5040 = 7560\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 1:
Cho đa giác đều \( 36 \) đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác vuông có đỉnh là \( 3 \) trong \( 36 \) đỉnh của đa giác đều?
Đáp án: \(612\)
Lời giải:
Chọn hai điểm của đa giác đều \( 36 \) cạnh đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đó ta có tất cả \( 18 \) cạnh như thế.
Ứng với mỗi đường kính, ta có \( 34 \) ta giác vuông.
Suy ra có tất cả \( 18\cdot 34=612 \) tam giác vuông.
Câu 2:
Cho hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) song song với nhau. Trên \(d_1\) có \(10\) điểm phân biệt, trên \(d_2\) có \(n\) điểm phân biệt \((n\ge 2)\). Biết rằng có \(5700\) tam giác có các đỉnh là các điểm nói trên. Tìm giá trị của \(n\).
Đáp án: \(30\)
Lời giải:
Tam giác có \(3\) đỉnh chọn trong \(10\) điểm phân biệt trên đường thẳng \(d_1\) và \(n\) điểm phân biệt trên đường thẳng \(d_2\) thì có \(2\) khả năng
\(\bullet\,\) Khả năng 1: Tam giác có \(2\) đỉnh trên đường thẳng \(d_1\) và \(1\) đỉnh trên đường thẳng \(d_2\).
\(\bullet\,\) Khả năng 2: Tam giác có \(1\) đỉnh trên đường thẳng \(d_1\) và \(2\) đỉnh trên đường thẳng \(d_2\).
Do đó, ta có
\begin{eqnarray*}& &\mathrm{C}_{10}^2\cdot \mathrm{C}_{n}^1+\mathrm{C}_{10}^1\cdot \mathrm{C}_{n}^2=5700\\ &\Leftrightarrow & 45n+ 10\cdot \displaystyle\frac{n(n-1)}{2}=5700\\ &\Leftrightarrow & 45n+ 5n(n-1)=5700\\ &\Leftrightarrow & 5n^2+40n-5700=0\\ &\Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}&n=30\\&n=-38\end{aligned}\right. \Rightarrow n=30.\end{eqnarray*}
Câu 1:
Phương trình \(\mathrm{A}^2_{2n}-44=\mathrm{A}^2_n\) có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
Đáp án: \(1\) nghiệm
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương
\(2n(2n-1)-44=n(n-1)\) \(\Leftrightarrow 3n^2-n-44=0\) \(\Leftrightarrow n=4\ (\text{do}\ n>0).\)
Vậy phương trình đã cho có \(1\) nghiệm nguyên dương.
Câu 2:
Cho số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(\mathrm{A}_n^2=132\). Giá trị của \(n\) là
Đáp án: \(n=12\)
Lời giải:
Ta có \(\mathrm{A}_n^2=132\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{n!}{(n-2)!}=132\) \(\Leftrightarrow n(n-1)=132\) \(\Leftrightarrow n^2-n-132=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}& n=-11\text{ (loại)} \\ & n=12\text{ (thỏa mãn).}\end{aligned}\right.\)
Vậy \(n=12\).