Đáp án: \(K(1;0)\)

Lời giải:

Thay tọa độ của điểm \(K(1;0)\) vào từng phương trình của hệ, ta được

\[2\cdot 1+0-2\leq 0\quad (\text{đúng}),\quad 1-0+2>0\quad (\text{đúng}).\]

Suy ra điểm \(S\) thuộc miền nghiệm của hệ.

Tọa độ của các điểm còn lại không phải là nghiệm của đồng thời hai phương trình.

Đáp án: \(N(-1;1)\)

Lời giải:

Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.

Với \(N(-1;1)\) thì \(2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 + 2 > 0\) (vô lý). Vậy \(N(-1;1)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Đáp án: \(\begin{cases} x-2y<0 \\ x+3y>-2\end{cases}\)

Lời giải:

Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án \(\begin{cases} x-2y\le 0 \\ x+3y\ge -2\end{cases}\) và \(\begin{cases} x-2y\le 0 \\ x+3y\le -2.\end{cases}\)

Chọn điểm \(M(0;1)\) thử vào các hệ bất phương trình.

Xét đáp án \(\begin{cases} x-2y<0 \\ x+3y>-2\end{cases}\), ta có \(\begin{cases} 0-2\cdot 1>0 \\ 0+3\cdot 1>-2 \end{cases}\) (luôn đúng) và miền nghiệm không chứa biên.

Đáp án: \(\left\{\begin{aligned}&x+y>0\\ &2x-3y+6>0\\ &x-2y+1>0\end{aligned}\right.\)

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ ta có phương trình của ba đường thẳng là

\(d\colon y=-x\Leftrightarrow x+y=0\),

\(d'\colon y=-\dfrac{2}{3}x+2\Leftrightarrow 2x-3y-6=0\) và

\(d''\colon y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x-2y+1=0\).

Ta thấy điểm \((1;0)\) thuộc miền nghiệm của hệ, đồng thời là nghiệm của các bất phương trình

\(x+y>0\), \(2x-3y-6<0\) và \(x-2y+1>0\).

Vậy miền đã cho là miền nghiệm của hệ \(\left\{\begin{aligned}&x+y>0\\ &2x-3y+6>0\\ &x-2y+1>0.\end{aligned}\right.\)

Đáp án: \((4;1)\)

Lời giải:

Ta đi giải các hệ phương trình sau

\(\begin{cases}2x-y=2 \\ x-2y=2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=\displaystyle\frac{2}{3} \\ y=-\displaystyle\frac{2}{3}.\end{cases}\)

\(\begin{cases}2x-y=2 \\ x+y=5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=\displaystyle\frac{7}{3} \\ y=\displaystyle\frac{8}{3}.\end{cases}\)

\(\begin{cases} x-2y=2 \\ x+y=5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=4 \\ y=1.\end{cases}\)

Suy ra chỉ có đáp án \((4;1)\) và \(\left(\displaystyle\frac{2}{3};-\displaystyle\frac{2}{3}\right)\) là đỉnh của đa giác miền nghiệm.

So sánh \(F(x;y)=yx\) ứng với tọa độ ở đáp án \((4;1)\) và \(\left(\displaystyle\frac{2}{3};-\displaystyle\frac{2}{3}\right)\), ta được đáp án \((4;1)\).

Đáp án: \(F_{\max}=10\)

Lời giải:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\)vẽ các đường thẳng \(d_1 \colon x-y-1=0\), \(d_2 \colon x+2y-10=0\), \(\Delta \colon y=4\).

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng (ngũ giác \(OABCD\) kể cả biên) tô màu như hình vẽ trên.

Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ bất phương trình là \(O(0;0)\), \(A(1;0)\), \(B(4;3)\), \(C(2;4)\), \(D(0;4)\).

Ta có \(F(0;0)=0\), \(F(1;0)=1\), \(F(4;3)=10\), \(F(2;4)=10\), \(F(0;4)=8\).

Vậy \(F_{\max}=10\).

Đáp án: Sản xuất \(7\) tấn sản phẩm \(A\) và \(3\) tấn sản phẩm \(B\)

Lời giải:

Gọi \(x\ge 0\), \(y\ge 0\) (tấn) là sản lượng cần sản xuất của sản phẩm \(A\) và sản phẩm \(B\). Ta có

\(x+6y\) là thời gian hoạt động của máy \(I\).

\(2x+3y\) là thời gian hoạt động của máy \(II\).

\(3x+2y\) là thời gian hoạt động của máy \(III\).

Số tiền lãi của nhà máy là \(T=4x+3y\) (triệu đồng).

Bài toán trở thành, tìm \(x\ge 0\), \(y\ge 0\) thỏa mãn \(\begin{cases} x+6y\le 36 \\ 2x+3y\le 23 \\ 3x+2y\le 27\end{cases}\) để \(T=4x+3y\) đạt giá trị lớn nhất.

Đáp án: Cắt theo cách một \(100\) tấm, cắt theo cách hai \(300\) tấm

Lời giải:

Gọi \(x\ge 0\), \(y\ge 0\) lần lượt là số tấm bìa cắt theo cách thứ nhất, thứ hai.

Bài toán đưa đến tìm \(x\ge 0\), \(y\ge 0\) thoả mãn hệ \(\begin{cases} 3x+2y\ge 900 \\ x+3y\ge 1000 \\6x+y=900\end{cases}\) sao cho \(L=x+y\) nhỏ nhất.