1. Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
+ Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x\), \(y\).
+ Mỗi nghiệm chung của tất cả các bất phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
+ Trong mặt phẳng \(Oxy\), tập hợp các điểm \((x_0;y_0)\) có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.
2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
+ Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta thực hiện như sau:
\(-\) Trên cùng mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ.
\(-\) Phần giao của các miền nghiệm là miền nghiệm của hệ bất phương trình.
3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F=ax+by\) trên một miền đa giác
Hệ bất phương trình giúp ta mô tả được nhiều bài toán thực tế để tìm ra cách giải quyết tối ưu. Chúng thường được đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biếu thức \(F=ax+by\) trên một miền đa giác.
Người ta chứng minh được \(F\) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của đa giác.
Dạng 1. Xác định nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn
Dạng 2. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn
Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức \(F(x;y)=ax+by\)
Câu 1:
Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\begin{cases} 2x+y-2\leq 0 \\ x-y+2>0\end{cases}\)?
Đáp án: \(K(1;0)\)
Lời giải:
Thay tọa độ của điểm \(K(1;0)\) vào từng phương trình của hệ, ta được
\[2\cdot 1+0-2\leq 0\quad (\text{đúng}),\quad 1-0+2>0\quad (\text{đúng}).\]
Suy ra điểm \(S\) thuộc miền nghiệm của hệ.
Tọa độ của các điểm còn lại không phải là nghiệm của đồng thời hai phương trình.
Câu 2:
Cho hệ bất phương trình \(\begin{cases} x+y-2\le 0 \\ 2x-3y+2>0\end{cases}\). Trong các điểm sau, điểm nào \textbf{không} thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?
Đáp án: \(N(-1;1)\)
Lời giải:
Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.
Với \(N(-1;1)\) thì \(2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 + 2 > 0\) (vô lý). Vậy \(N(-1;1)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Câu 1:
Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây (không chứa biên), biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?
Đáp án: \(\begin{cases} x-2y<0 \\ x+3y>-2\end{cases}\)
Lời giải:
Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án \(\begin{cases} x-2y\le 0 \\ x+3y\ge -2\end{cases}\) và \(\begin{cases} x-2y\le 0 \\ x+3y\le -2.\end{cases}\)
Chọn điểm \(M(0;1)\) thử vào các hệ bất phương trình.
Xét đáp án \(\begin{cases} x-2y<0 \\ x+3y>-2\end{cases}\), ta có \(\begin{cases} 0-2\cdot 1>0 \\ 0+3\cdot 1>-2 \end{cases}\) (luôn đúng) và miền nghiệm không chứa biên.
Câu 2:
Miền không bị gạch trong hình vẽ bên là miền nghiệm của hệ phương trình nào dưới đây?
Đáp án: \(\left\{\begin{aligned}&x+y>0\\ &2x-3y+6>0\\ &x-2y+1>0\end{aligned}\right.\)
Lời giải:
Dựa vào hình vẽ ta có phương trình của ba đường thẳng là
\(d\colon y=-x\Leftrightarrow x+y=0\),
\(d'\colon y=-\dfrac{2}{3}x+2\Leftrightarrow 2x-3y-6=0\) và
\(d''\colon y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x-2y+1=0\).
Ta thấy điểm \((1;0)\) thuộc miền nghiệm của hệ, đồng thời là nghiệm của các bất phương trình
\(x+y>0\), \(2x-3y-6<0\) và \(x-2y+1>0\).
Vậy miền đã cho là miền nghiệm của hệ \(\left\{\begin{aligned}&x+y>0\\ &2x-3y+6>0\\ &x-2y+1>0.\end{aligned}\right.\)
Câu 1:
Biểu thức \(F(x;y)=yx\) đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện \(\begin{cases}2x-y\ge 2 \\x-2y\le 2 \\x+y\le 5 \\x\ge 0\end{cases}\) tại điểm \(M\) có toạ độ là
Đáp án: \((4;1)\)
Lời giải:
Ta đi giải các hệ phương trình sau
\(\begin{cases}2x-y=2 \\ x-2y=2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=\displaystyle\frac{2}{3} \\ y=-\displaystyle\frac{2}{3}.\end{cases}\)
\(\begin{cases}2x-y=2 \\ x+y=5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=\displaystyle\frac{7}{3} \\ y=\displaystyle\frac{8}{3}.\end{cases}\)
\(\begin{cases} x-2y=2 \\ x+y=5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=4 \\ y=1.\end{cases}\)
Suy ra chỉ có đáp án \((4;1)\) và \(\left(\displaystyle\frac{2}{3};-\displaystyle\frac{2}{3}\right)\) là đỉnh của đa giác miền nghiệm.
So sánh \(F(x;y)=yx\) ứng với tọa độ ở đáp án \((4;1)\) và \(\left(\displaystyle\frac{2}{3};-\displaystyle\frac{2}{3}\right)\), ta được đáp án \((4;1)\).
Câu 2:
Giá trị lớn nhất \(F_{\max}\) của biểu thức \(F(x;y)=x+2y\) trên miền xác định bởi hệ \(\begin{cases} 0\le y\le 4 \\ x\ge 0 \\ x-y-1\le 0 \\ x+2y-10\le 0\end{cases}\) là
Đáp án: \(F_{\max}=10\)
Lời giải:
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\)vẽ các đường thẳng \(d_1 \colon x-y-1=0\), \(d_2 \colon x+2y-10=0\), \(\Delta \colon y=4\).
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng (ngũ giác \(OABCD\) kể cả biên) tô màu như hình vẽ trên.
Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ bất phương trình là \(O(0;0)\), \(A(1;0)\), \(B(4;3)\), \(C(2;4)\), \(D(0;4)\).
Ta có \(F(0;0)=0\), \(F(1;0)=1\), \(F(4;3)=10\), \(F(2;4)=10\), \(F(0;4)=8\).
Vậy \(F_{\max}=10\).
Câu 1:
Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản phẩm \(A\) và sản phẩm \(B\) trong một chu trình sản xuất. Để sản xuất một tấn sản phẩm \(A\) lãi \(4\) triệu đồng người ta sử dụng máy \(I\) trong \(1\) giờ, máy \(II\) trong \(2\) giờ và máy \(III\) trong \(3\) giờ. Để sản xuất ra một tấn sản phẩm \(B\) lãi được \(3\) triệu đồng người ta sử dụng máy \(I\) trong \(6\) giờ, máy \(II\) trong \(3\) giờ và máy \(III\) trong \(2\) giờ. Biết rằng máy \(I\) chỉ hoạt động không quá \(36\) giờ, máy hai hoạt động không quá \(23\) giờ và máy \(III\) hoạt động không quá \(27\) giờ. Hãy lập kế hoạch sản xuất cho nhà máy để tiền lãi được nhiều nhất.
Đáp án: Sản xuất \(7\) tấn sản phẩm \(A\) và \(3\) tấn sản phẩm \(B\)
Lời giải:
Gọi \(x\ge 0\), \(y\ge 0\) (tấn) là sản lượng cần sản xuất của sản phẩm \(A\) và sản phẩm \(B\). Ta có
\(x+6y\) là thời gian hoạt động của máy \(I\).
\(2x+3y\) là thời gian hoạt động của máy \(II\).
\(3x+2y\) là thời gian hoạt động của máy \(III\).
Số tiền lãi của nhà máy là \(T=4x+3y\) (triệu đồng).
Bài toán trở thành, tìm \(x\ge 0\), \(y\ge 0\) thỏa mãn \(\begin{cases} x+6y\le 36 \\ 2x+3y\le 23 \\ 3x+2y\le 27\end{cases}\) để \(T=4x+3y\) đạt giá trị lớn nhất.
Câu 2:
Công ty bao bì dược cần sản xuất \(3\) loại hộp giấy: đựng thuốc B1, đựng cao Sao vàng và đựng "Quy sâm đại bổ hoàn". Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước giống nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau. Cách thứ nhất cắt được \(3\) hộp B1, \(1\) hộp cao Sao vàng và \(6\) hộp Quy sâm; Cách thứ hai cắt được \(2\) hộp B1, \(3\) hộp cao Sao vàng và \(1\) hộp Quy sâm. Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có là \(900\) hộp, số hộp B1 tối thiểu là \(900\) hộp, số hộp cao Sao vàng tối thiểu là \(1000\) hộp. Cần phương án sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất?
Đáp án: Cắt theo cách một \(100\) tấm, cắt theo cách hai \(300\) tấm
Lời giải:
Gọi \(x\ge 0\), \(y\ge 0\) lần lượt là số tấm bìa cắt theo cách thứ nhất, thứ hai.
Bài toán đưa đến tìm \(x\ge 0\), \(y\ge 0\) thoả mãn hệ \(\begin{cases} 3x+2y\ge 900 \\ x+3y\ge 1000 \\6x+y=900\end{cases}\) sao cho \(L=x+y\) nhỏ nhất.