Đáp án: \(\begin{cases} 2x-y\le 3 \\ 2x+5y\le 12x+8\end{cases}\)

Lời giải:

Thay tọa độ \(M(0;-3)\) lần lượt vào từng hệ bất phương trình \(\begin{cases} 2x-y\le 3 \\ 2x+5y\le 12x+8\end{cases}\) ta được \(\begin{cases}2 \cdot 0+3 \leq 3 \\ 2 \cdot 0 + 5\cdot (-3) \leq 12 \cdot 0 + 8\end{cases}\) (luôn đúng). Vậy \(M(0;-3)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Đáp án: \(P(8;4)\)

Lời giải:

Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.

+) Với \(O(0;0)\) bất phương trình thứ nhất của hệ trở thành \(3 \cdot 0 +0 \geq 9\) (vô lý). Do đó \(O(0;0)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

+) Với \(M(1;2)\) bất phương trình thứ nhất của hệ trở thành \(3 \cdot 1 +2 \geq 9\) (vô lý). Do đó \(M(1;2)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

+) Với \(N(2;1)\) bất phương trình thứ nhất của hệ trở thành \(3 \cdot 2 +1 \geq 9\) (vô lý). Do đó \(N(2;1)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

+) Với \(P(8;4)\) ta được \(\begin{cases}3 \cdot 8 + 4 \geq 9 \\ 8 \geq 4-3 \\ 2 \cdot 4 \geq 8-8 \\ 4 \geq 6\end{cases}\). Do đó \(P(8;4)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Đáp án: \(\begin{cases} x-y>0 \\ 2x-y>1\end{cases}\)

Lời giải:

Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án \(\begin{cases} x-y\ge 0 \\ 2x-y\ge 1\end{cases}\).

Chọn điểm \(M(1;0)\) thử vào các hệ bất phương trình.

Xét đáp án \(\begin{cases} x-y>0 \\ 2x-y>1\end{cases}\), ta có \(\begin{cases} 1-0>0 \\ 2\cdot 1-0>1\end{cases}\) (luôn đúng) và miền nghiệm không chứa biên.

Đáp án: \(\left\{\begin{aligned}&x+y>0\\ &2x-3y+6>0\\ &x-2y+1>0\end{aligned}\right.\)

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ ta có phương trình của ba đường thẳng là

\(d\colon y=-x\Leftrightarrow x+y=0\),

\(d'\colon y=-\dfrac{2}{3}x+2\Leftrightarrow 2x-3y-6=0\) và

\(d''\colon y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x-2y+1=0\).

Ta thấy điểm \((1;0)\) thuộc miền nghiệm của hệ, đồng thời là nghiệm của các bất phương trình

\(x+y>0\), \(2x-3y-6<0\) và \(x-2y+1>0\).

Vậy miền đã cho là miền nghiệm của hệ \(\left\{\begin{aligned}&x+y>0\\ &2x-3y+6>0\\ &x-2y+1>0.\end{aligned}\right.\)

Đáp án: \(F_{\min}=32\)

Lời giải:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), vẽ các đường thẳng \(d_1\colon 2x+y-14=0\), \(d_2 \colon 2x+5y-30=0\), \(\Delta \colon y=9\), \(\Delta'\colon x=10\).

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng (tứ giác \(ABCD\) kể cả biên) tô màu như hình vẽ trên.

Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ bất phương trình là \(A(5;4)\), \(B\left(\displaystyle\frac{5}{2};9 \right)\), \(C(10;9)\), \(D(10;2)\).

Ta có \(F(5;4)=32\), \(F\left(\displaystyle\frac{5}{2};9\right)=37\), \(F(10;9)=67\), \(F(10;2)=46\).

Vậy \(F_{\min}=32\).

Đáp án: \(F_{\max}=10\)

Lời giải:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\)vẽ các đường thẳng \(d_1 \colon x-y-1=0\), \(d_2 \colon x+2y-10=0\), \(\Delta \colon y=4\).

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng (ngũ giác \(OABCD\) kể cả biên) tô màu như hình vẽ trên.

Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ bất phương trình là \(O(0;0)\), \(A(1;0)\), \(B(4;3)\), \(C(2;4)\), \(D(0;4)\).

Ta có \(F(0;0)=0\), \(F(1;0)=1\), \(F(4;3)=10\), \(F(2;4)=10\), \(F(0;4)=8\).

Vậy \(F_{\max}=10\).

Đáp án: \(20\)kg loại I và \(40\) kg loại II

Lời giải:

Gọi \(x\ge 0\), \(y\ge 0\,\left( \text{kg} \right)\) lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất.

Khi đó, tổng số nguyên liệu sử dụng là \(2x+4y\le 200\).

Tổng số giờ làm việc là \(30x+15y\le 1200\).

Lợi nhuận tạo thành là \(L=40x+30y\) (nghìn).

Thực chất của bài toán này là phải tìm \(x\ge 0\), \(y\ge 0\) thoả mãn hệ \(\begin{cases} 2x+4y\le 200 \\30x+15y\le 1200\end{cases}\) sao cho \(L=40x+30y\) đạt giá trị lớn nhất.

Đáp án: \(100\) đơn vị vitamin \(A\), \(300\) đơn vị vitamin \(B\)

Lời giải:

Gọi \(x\ge 0\), \(y\ge 0\) lần lượt là số đơn vị vitamin \(A\) và \(B\) để một người cần dùng trong một ngày.

Trong một ngày, mỗi người cần từ \(400\) đến \(1000\) đơn vị vitamin cả \(A\) lẫn \(B\) nên ta có \(400\le x+y\le 1000.\)

Hằng ngày, tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin \(A\)và không quá \(500\) đơn vị vitamin \(B\) nên ta có \(x\le 600,\ y\le 500.\)

Mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin \(B\) không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin \(A\) và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin \(A\) nên ta có \(0,5x\le y\le 3x.\)

Số tiền cần dùng mỗi ngày là \(T(x,y)=9x+7,5y\).

Bài toán trở thành, Tìm \(x\ge 0\), \(y\ge 0\) thỏa mãn hệ \(\begin{cases} 0\le x\le 600 \\0\le y\le 500 \\400\le x+y\le 1000 \\ 0,5x\le y\le 3x\end{cases}\) để \(T(x,y)=9x+7,5y\) đạt giá trị nhỏ nhất.