1. Hàm số. Tập xác định và tập giá trị của hàm số
+ Giả sử \(x\) và \(y\) là hai đại lượng biến thiên và \(x\) nhận giá trị thuộc tập số \(\mathscr{D}\)
+ Nếu với mỗi giá trị \(x\in\mathscr{D}\), ta xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng \(y\) thuộc tập hợp số thực \(\mathbb{R}\) thì ta có một hàm số.
\(-\) Ta gọi \(x\) là biến số và \(y\) là hàm số của \(x\).
\(-\) Tập hợp \(\mathscr{D}\) được gọi là tập xác định của hàm số.
\(-\) Tập hợp \(T\) gồm tất cả các giá trị \(y\) (tương ứng với \(x\in\mathscr{D}\)) được gọi là tập giá trị của hàm số.
Chú ý. Khi một hàm số được cho bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì ta quy ước: Tập xác định của hàm số \(y=f(x)\) là tập hợp tất cả các số thực \(x\) sao cho biểu thúc \(f(x)\) có nghĩa.
2. Đồ thị hàm số
+ Cho hàm số \(y=f(x)\) có tập xác định \(\mathscr{D}\).
+ Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đồ thị \((C)\) của hàm số là tập hợp tất cả các điểm \(M(x;y)\) với \(x\in\mathscr{D}\) và \(y=f(x)\).
3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
Với hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\), ta nói:
+ Hàm số đồng biến trên khoảng \((a;b)\) nếu
\[\forall x_1,x_2\in(a;b),\ x_1 < x_2\Rightarrow f(x_1)< f(x_2).\]
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng \((a;b)\) nếu
\[\forall x_1,x_2\in(a;b),\ x_1 < x_2\Rightarrow f(x_1) > f(x_2).\]
Chú ý.
+ Khi hàm số đồng biến trên khoảng \((a;b)\) thì đồ thị của nó có dạng đi lên từ trái sang phải.
+ Khi hàm số nghịch biến trên khoảng \((a;b)\) thì đồ thị của nó có dạng đi xuống từ trái sang phải.
Dạng 1. Tính giá trị của hàm số tại một điểm
Dạng 2. Tìm tập xác định của hàm số
Dạng 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Dạng 4. Tập xác định của hàm số chứa tham số
Dạng 5. Toán liên quan đến đường thẳng \(y=ax+b\)
Câu 1:
Cho hàm số \(y=f(x)=\left|-5x\right|\), kết quả nào sau đây là sai?
Đáp án: \(f\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)=-1\)
Lời giải:
Ta có \(f\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)=\left|-5\cdot\displaystyle\frac{1}{5} \right|=1\). Do đó, kết quả \(f\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)=-1\) sai.
Câu 2:
Cho hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{x+1}-\sqrt{x-4}\) và các điểm \(A(-1;\sqrt{5})\), \(B\left(4;\displaystyle\frac{1}{5}\right)\), \(C\left(3;-\displaystyle\frac{3}{4}\right)\), \(D\left(5;\displaystyle\frac{5}{6}\right)\). Số điểm trong các điểm trên thuộc đồ thị hàm số đã cho là
Đáp án: \(1\)
Lời giải:
Tại \(x=-1\) và \(x=3\) hàm số không xác định nên các điểm \(A, C\) không thuộc đồ thị hàm số.
\(f(4)=\displaystyle\frac{1}{5}\) nên điểm \(B\left( 4;\displaystyle\frac{1}{5}\right)\) thuộc đồ thị hàm số.
\(f(5)=-\displaystyle\frac{5}{6}\) nên điểm \(D\) không thuộc đồ thị hàm số.
Câu 1:
Tìm tập xác định \(\mathscr{D}\) của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{5x}{x-3}\).
Đáp án: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{3\}\)
Lời giải:
Hàm số xác định khi \(x-3\ne0\Leftrightarrow x\ne3\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{3\}\).
Câu 2:
Tập xác định của hàm số \(y=f(x)=\sqrt{x-1}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3-x}}\) là
Đáp án: \([1;3)\)
Lời giải:
Điều kiện \(\begin{cases}x-1\ge 0\\3-x>0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ge 1\\x<3.\end{cases}\)
Suy ra tập xác định \(\mathscr{D}=[1;3).\)
Câu 1:
Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x-3}{x+5}\) trên khoảng \(\left(-\infty;-5\right)\) và trên khoảng \(\left(-5;+\infty \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án: Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-5\right)\) và \(\left(-5;+\infty \right)\)
Lời giải:
Ta có
\(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\left(\displaystyle\frac{x_1-3}{x_1+5}\right)-\left(\displaystyle\frac{x_2-3}{x_2+5}\right)\)
\(=\displaystyle\frac{\left(x_1-3\right)\left(x_2+5\right)-\left(x_2-3\right)\left(x_1+5\right)}{\left(x_1+5\right)\left(x_2+5\right)}\)
\(=\displaystyle\frac{8\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1+5\right)\left(x_2+5\right)}.\)
Với mọi \(x_1, x_2\in \left(-\infty;-5\right)\) và \(x_1
Ta có \(\begin{cases} x_1<-5 \\ x_2<-5\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_1+5<0 \\ x_2+5<0.\end{cases}\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\displaystyle\frac{8}{\left(x_1+5\right)\left(x_2+5\right)}>0\Rightarrow f(x)\) đồng biến trên \(\left(-\infty;-5\right)\).
Với mọi \(x_1, x_2\in \left(-5;+\infty \right)\) và \(x_1
Ta có \(\begin{cases} x_1>-5 \\ x_2>-5\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x_1+5>0 \\ x_2+5>0\end{cases}\).
Suy ra \(\displaystyle\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\displaystyle\frac{8}{\left(x_1+5\right)\left(x_2+5\right)}>0\Rightarrow f(x)\) đồng biến trên \(\left(-5;+\infty \right)\).
Câu 2:
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?
Đáp án: \(y=-2x+1\)
Lời giải:
Hàm số \(y=-2x+1\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Câu 1:
Cho hàm số \(y=\displaystyle\frac{\sqrt{3x-2a}}{x-a+2}\). Tìm tất cả các giá trị thực của \(a\) để hàm số xác định với mọi \(x>-1\).
Đáp án: \(a\leq -\displaystyle\frac{3}{2}\)
Lời giải:
Tập xác định \(\mathscr{D}=\left[\displaystyle\frac{2}{3}a;+\infty\right) \setminus \left\{a-2\right\}\).
Để hàm số xác định với mọi \(x>-1\) thì
\(\begin{cases}\displaystyle\frac{2}{3}a \le -1\\a-2 \le -1\end{cases} \Leftrightarrow a\le-\displaystyle\frac{3}{2} \).
Câu 2:
Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y=\sqrt{x-m+1}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2m-x}}\) xác định trên khoảng \((0;1)\) là
Đáp án: \(\left[\displaystyle\frac{1}{2};1\right]\)
Lời giải:
Hàm số \(y=\sqrt{x-m+1}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2m-x}}\) xác định trên khoảng \((0;1)\) khi và chỉ khi
\(\begin{cases}x-m+1\ge 0 \\ 2m-x>0\end{cases}\ \forall x \in (0,1) \Leftrightarrow \begin{cases}m-1\le 0 \\ 2m\ge 1\end{cases} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{2}\le m \le 1.\)
Câu 1:
Tìm phương trình đường thẳng \(d\colon y=ax+b\). Biết đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I(1;2)\) và tạo với hai tia \(Ox\), \(Oy\) một tam giác có diện tích bằng \(4\).
Đáp án: \(y=-2x+4\)
Lời giải:
Đường thẳng \(d\colon y=ax+b\) đi qua điểm \(I(1;2)\Rightarrow2=a+b.\quad(1)\)
Ta có \(d\cap Ox=A\left(-\displaystyle\frac{b}{a};0\right)\); \(d\cap Oy=B(0;b)\).
Suy ra \(OA=\left|-\displaystyle\frac{b}{a}\right|=-\displaystyle\frac{b}{a}\) và \(OB=|b|=b\) (do \(A\), \(B\) thuộc hai tia \(Ox\), \(Oy\)).
Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\).
Do đó, ta có
\(S_{\triangle ABC}=\displaystyle\frac{1}{2}OA\times OB=4\) \(\Rightarrow\displaystyle\frac{1}{2}\times\left(-\displaystyle\frac{b}{a}\right)\times b=4\) \(\Rightarrow b^2=-8a.\quad(2)\)
Từ \((1)\) suy ra \(b=2-a\). Thay vào \((2)\), ta được
\((2-a)^2=-8a\Leftrightarrow a^2-4a+4=-8a\) \(\Leftrightarrow a^2+4a+4=0\Leftrightarrow a=-2.\)
Với \(a=-2\Rightarrow b=4\). Vậy đường thẳng cần tìm là \(d\colon y=-2x+4\).
Câu 2:
Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để ba đường thẳng \(y=-5\left(x+1\right)\), \(y=mx+3\) và \(y=3x+m\) phân biệt và đồng qui.
Đáp án: \(m=-13\)
Lời giải:
Để ba đường thẳng phân biệt khi \(m\ne 3\) và \(m\ne-5\).
Tọa độ giao điểm \(B\) của hai đường thẳng \(y=mx+3\) và \(y=3x+m\) là nghiệm của hệ
\(\begin{cases}y=mx+3 \\ y=3x+m\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x=1 \\ y=3+m\end{cases}\) \(\Rightarrow B(1;3+m)\).
Để ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng \(y=-5(x+1)\) đi qua \(B(1;3+m)\)
\(\Rightarrow3+m=-5\left(1+1\right)\Rightarrow m=-13\).