1. Hàm số. Tập xác định và tập giá trị của hàm số
+ Giả sử \(x\) và \(y\) là hai đại lượng biến thiên và \(x\) nhận giá trị thuộc tập số \(\mathscr{D}\)
+ Nếu với mỗi giá trị \(x\in\mathscr{D}\), ta xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng \(y\) thuộc tập hợp số thực \(\mathbb{R}\) thì ta có một hàm số.
\(-\) Ta gọi \(x\) là biến số và \(y\) là hàm số của \(x\).
\(-\) Tập hợp \(\mathscr{D}\) được gọi là tập xác định của hàm số.
\(-\) Tập hợp \(T\) gồm tất cả các giá trị \(y\) (tương ứng với \(x\in\mathscr{D}\)) được gọi là tập giá trị của hàm số.
Chú ý. Khi một hàm số được cho bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì ta quy ước: Tập xác định của hàm số \(y=f(x)\) là tập hợp tất cả các số thực \(x\) sao cho biểu thúc \(f(x)\) có nghĩa.
2. Đồ thị hàm số
+ Cho hàm số \(y=f(x)\) có tập xác định \(\mathscr{D}\).
+ Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đồ thị \((C)\) của hàm số là tập hợp tất cả các điểm \(M(x;y)\) với \(x\in\mathscr{D}\) và \(y=f(x)\).
3. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
Với hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\), ta nói:
+ Hàm số đồng biến trên khoảng \((a;b)\) nếu
\[\forall x_1,x_2\in(a;b),\ x_1 < x_2\Rightarrow f(x_1)< f(x_2).\]
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng \((a;b)\) nếu
\[\forall x_1,x_2\in(a;b),\ x_1 < x_2\Rightarrow f(x_1) > f(x_2).\]
Chú ý.
+ Khi hàm số đồng biến trên khoảng \((a;b)\) thì đồ thị của nó có dạng đi lên từ trái sang phải.
+ Khi hàm số nghịch biến trên khoảng \((a;b)\) thì đồ thị của nó có dạng đi xuống từ trái sang phải.
Dạng 1. Tính giá trị của hàm số tại một điểm
Dạng 2. Tìm tập xác định của hàm số
Dạng 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Dạng 4. Tập xác định của hàm số chứa tham số
Dạng 5. Toán liên quan đến đường thẳng \(y=ax+b\)
Câu 1:
Điểm nào sau đây \textbf{không} thuộc đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{\sqrt{x^2-4x+4}}{x}\)?
Đáp án: \(C\left(1;-1\right)\)
Lời giải:
Thay từng đáp án vào hàm số \(y=\displaystyle\frac{\sqrt{x^2-4x+4}}{x}\).
+) Với \(x=2\) và \(y=0\), ta được \(0=\displaystyle\frac{\sqrt{2^2-4.2+4}}{2}\) (đúng).
+) Với \(x=3\) và \(y=\displaystyle\frac{1}{3}\), ta được \(\displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{\sqrt{3^2-4\cdot3+4}}{3}\) (đúng).
+) Với thay \(x=1\) và \(y=-1\), ta được \(-1=\displaystyle\frac{\sqrt{1^2-4\cdot1+4}}{1}\Leftrightarrow-1=1\) (sai).
Câu 2:
Cho hàm số \(y=f(x)=\begin{cases} x^2-1 & \textrm{nếu}\,\, x\le 2\\ x+1 & \textrm{nếu}\,\, x>2\end{cases}\). Tính giá trị của hàm số tại \(x=3\).
Đáp án: \(4\)
Lời giải:
Ta có \(x=3>2\) nên \(f(3)=3+1=4\).
Câu 1:
Trong các hàm số sau, hàm số nào có tập xác định \(\mathscr{D} = \mathbb{R}\)?
Đáp án: \(y=\displaystyle\frac{2x^2-5x}{x^2+x+1}\)
Lời giải:
Ta có phương trình \(x^2+x+1=0\) vô nghiệm nên hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2-5x}{x^2+x+1}\) có tập xác định là \(\mathscr{D} = \mathbb{R}\).
Câu 2:
Hàm số \(y=\sqrt{3x-6}+\displaystyle\frac{x-1}{2-x}\) có tập xác định là
Đáp án: \((2;+\infty)\)
Lời giải:
Điều kiện xác định
\(\begin{cases}3x-6\ge 0\\ 2-x\neq 0\end{cases}\Leftrightarrow x>2\).
Vậy tập xác định của hàm số là \((2;+\infty)\).
Câu 1:
Cho hàm số \(f(x)=4-3x\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án: Hàm số nghịch biến trên \(\left(\displaystyle\frac{4}{3};+\infty \right)\)
Lời giải:
TXĐ: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
Với mọi \(x_1,x_2\in \mathbb{R}\) và \(x_1
\(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\left(4-3x_1\right)-\left(4-3x_2\right)=-3\left(x_1-x_2\right)>0.\)
Suy ra \(f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\). Do đó, hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Mà \(\left(\displaystyle\frac{4}{3};+\infty \right)\subset \mathbb{R}\) nên hàm số cũng nghịch biến trên \(\left(\displaystyle\frac{4}{3};+\infty \right)\).
Câu 2:
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?
Đáp án: \(y=2x+3\)
Lời giải:
\(y=2x+3\) là hàm số bậc nhất có hệ số \(a=2>0\). Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.
Câu 1:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y=\displaystyle\frac{x+2m+2}{x-m}\) xác định trên \(\left(-1;0\right)\).
Đáp án: \(m\ge 0\) hoặc \(m\le-1\)
Lời giải:
Hàm số xác định khi \(x-m\ne 0\Leftrightarrow x\ne m\).
Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{m\right\}\).
Hàm số xác định trên \(\left(-1;0\right)\) khi và chỉ khi
\(m\notin \left(-1;0\right)\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& m\ge 0 \\ &m\le-1.\end{aligned}\right.\)
Câu 2:
Tìm tập xác định của hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x+\sqrt{2-x}}{\sqrt{x+2}-1}\).
Đáp án: \(\mathscr{D}=[-2;2]\setminus\{-1\}\)
Lời giải:
Hàm số xác định khi và chỉ khi
\(\begin{cases}2-x\ge 0\\ x+2\ge 0\\ \sqrt{x+2}-1\ne 0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x\le 2\\ x\ge -2\\ \sqrt{x+2}\ne 1\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin{cases}-2\le x\le 2\\ x+2\ne 1\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}-2\le x\le 2\\ x\ne -1.\end{cases}\)
Suy ra tập xác định \(\mathscr{D}=[-2;2]\setminus\{-1\}\).
Câu 1:
Xác định hàm số \(y = ax + b\), biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(A\left(1;-3\right)\) và \(B\left(-1;5\right)\).
Đáp án: \(y = - 4x + 1\)
Lời giải:
Đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(A\) và \(B\)
\(\Leftrightarrow \begin{cases}a + b = - 3\\- a + b = 5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a = - 4\\b = 1\end{cases}\).
Vậy hàm số đã cho là \(y = - 4x + 1\).
Câu 2:
Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để ba đường thẳng \(y=2x\), \(y=-x-3\) và \(y=mx+5\) phân biệt và đồng qui.
Đáp án: \(m=7\)
Lời giải:
Tọa độ giao điểm \(A\) của hai đường thẳng \(y=2x\) và \(y=-x-3\) là nghiệm của hệ
\(\begin{cases}y=2x \\ y=-x-3\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x=-1 \\ y=-2\end{cases}\) \(\Rightarrow A(-1;-2)\).
Để ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng \(y=mx+5\) đi qua \(A\)
\(\Rightarrow-2=-1\times m+5\Rightarrow m=7\).
Thử lại, với \(m=7\) thì ba đường thẳng \(y=2x\); \(y=-x-3\) ; \(y=7x+5\) phân biệt và đồng quy.