Hàm số xác định \(\Leftrightarrow 2x-1> 0 \Leftrightarrow x > \displaystyle\frac{1}{2}\).

}

Điều kiện: \(4-x^2\ne 0\Leftrightarrow x\ne -2\: \text{và}\: x\ne 2\).

Hàm số đã cho xác định \(\Leftrightarrow 3x-x^2>0 \Leftrightarrow 0< x< 3\Leftrightarrow x \in (0; 3).\)

Điều kiện \(3-2x>0\Leftrightarrow x< \displaystyle\frac{3}{2}\).

Hàm số có tập xác định là \(\left(-\infty;\displaystyle\frac{3}{2}\right)\).

Hàm số \(y=(x-2)^{-4}+\log _4(x-1)\) xác định khi và chỉ khi

\(\left\{\begin{aligned}&x-2\ne 0 \\&x-1>0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x\ne 2 \\&x>1.\end{aligned}\right.\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=(1;2)\cup (2;+\infty)\).

Hàm số xác định khi \(\begin{cases}x - 1 > 0\\x - 3 > 0\end{cases} \Leftrightarrow x > 3 \Rightarrow \mathscr{D} = \left(3;+\infty\right)\).

Hàm số đã cho xác định \(\Leftrightarrow 2x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - \displaystyle\frac{1}{2} \Rightarrow \mathscr{D} = \left(- \displaystyle\frac{1}{2};+\infty\right)\).

Hàm số xác định khi và chỉ khi: \(6-x>0 \Leftrightarrow x < 6\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\left( - \infty; 6 \right)\).

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(4x-x^2>0 \Leftrightarrow 0< x< 4\).

Vậy tập xác định \(\mathscr{D}=(0;4)\).

Điều kiện xác định của hàm số là \(x^2+2x+3>0\) (đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\)).

Điều kiện \(-x^2-2x+3>0\Leftrightarrow -3< x< 1\).

Do đó tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=(-3;1)\).

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(-2x^2+x+1>0 \,\Leftrightarrow\, -\displaystyle\frac{1}{2}< x< 1.\)

Điều kiện: \(x^2+4x-5>0\Leftrightarrow x>1\) hoặc \(x< -5.\)

Vậy TXĐ\(\colon \mathscr{D}=(-\infty ;-5) \cup (1;+\infty)\).

Điều kiện \(3x+1>0\Leftrightarrow x>-\displaystyle\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\) Tập xác định của hàm số là \(\left(-\displaystyle\frac{1}{3};+\infty\right)\cdot\)

Điều kiện \(2x-x^2>0\Leftrightarrow 0< x< 2\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=(0;2)\).

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\begin{cases}(x-2)^2>0\\x+1>0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x\neq 2\\x>-1\end{cases}\).

Vậy \(\mathscr{D}=(-1; 2)\cup (2; +\infty)\).

Vì \(0< \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}< 1\) nên hàm số \(y=\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^x\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Vì \(0< \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}< 1\) nên hàm số \(y=\left(\displaystyle\frac{\sqrt[3]{26}}{3}\right)^x\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Vì \(\pi>1\) nên hàm số \(y=\log_\pi x\) đồng biến trên \((0;+\infty)\).

Vì \(0< \tfrac{\sqrt{15}}{4}< 1\) nên hàm số \(y=\log_{\tfrac{\sqrt{15}}{4}} x\) nghịch biến trên \((0;+\infty)\).

Lập bảng giá trị của hàm số ta được

Đồ thị:

Bảng giá trị:

Đồ thị của hàm số đi qua các điểm \(A\left(-1;\displaystyle\frac{1}{3}\right)\), \(B(0;1)\), \(C(1;3)\), \(D(2;9)\).

Lập bảng giá trị của hàm số ta được

Đồ thị của hàm số \(y=4^x\) như bên dưới

Lập bảng giá trị của hàm số ta được

Đồ thị:

Lập bảng giá trị của hàm số ta được

Đồ thị:

Lập bảng giá trị của hàm số tại một số điểm như sau:

Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số \(y=\left( \displaystyle\frac{1}{3} \right)^{x}\) như hình bên.

Lập bảng giá trị của hàm số ta được

Đồ thị:

Lập bảng giá trị của hàm số ta được

Đồ thị của hàm số \(y=\left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)^x\) như bên dưới

Vì hàm số \(y=3^x\) có cơ số \(3>1\) nên ta có bảng biến thiên như sau

Bảng giá trị:

Đồ thị của hàm số đi qua các điểm \(A\left(-1;\displaystyle\frac{1}{3}\right)\), \(B(0;1)\), \(C(1;3)\), \(D(2;9)\).

Vì hàm số \(y=4^x\) có cơ số \(4>1\) nên ta có bảng biến thiên như sau

Lập bảng giá trị của hàm số ta được

Đồ thị đi qua các điểm \(A\left(-1;\displaystyle\frac{1}{4}\right)\), \(B(0;1)\), \(C(1;4)\).

Vì hàm số \(y=2^x\) có cơ số \(2>1\) nên ta có bảng biến thiên như sau

Lập bảng giá trị của hàm số ta được

Đồ thị:

Vì hàm số có cơ số \(\displaystyle\frac{1}{2}< 1\) nên ta có bảng biến thiên như sau

Lập bảng giá trị của hàm số ta được

Đồ thị:

Vì hàm số có cơ số \(\displaystyle\frac{1}{3}< 1\) nên ta có bảng biến thiên như sau

Lập bảng giá trị của hàm số tại một số điểm như sau:

Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số \(y=\left( \displaystyle\frac{1}{3} \right)^{x}\) như hình bên.

Vì hàm số có cơ số \(\displaystyle\frac{2}{3}< 1\) nên ta có bảng biến thiên như sau

Lập bảng giá trị của hàm số ta được

Đồ thị:

Vì hàm số có cơ số \(\displaystyle\frac{3}{2}>1\) nên ta có bảng biến thiên như sau

Lập bảng giá trị của hàm số ta được

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

Do hàm số có cơ số \(a=10>1\) nên ta có bảng biến thiên:

Lập bảng giá trị của hàm số ta được

Đồ thị của hàm số \(y=\log x\) như bên dưới

Tập xác định: \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

Bảng giá trị:

Đồ thị của hàm số đi qua các điểm \(A\left(\displaystyle\frac{1}{3};-1\right)\), \(B(1;0)\), \(C(3;1)\), \(D(9;2)\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

Lập bảng giá trị của hàm số ta được

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

Lập bảng giá trị của hàm số ta được

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

Lập bảng giá trị của hàm số ta được

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

Lập bảng giá trị của hàm số ta được

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

Do hàm số có cơ số \(a=10>1\) nên ta có bảng biến thiên:

Lập bảng giá trị của hàm số ta được

Đồ thị của hàm số \(y=\log x\) như bên dưới

Tập xác định: \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

Vì hàm số \(y=\log_2 x\) có cơ số \(2>1\) nên ta có bảng biến thiên như sau

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

Vì hàm số \(y=\log_3 x\) có cơ số \(3>1\) nên ta có bảng biến thiên như sau

Bảng giá trị:

Đồ thị của hàm số đi qua các điểm \(A\left(\displaystyle\frac{1}{3};-1\right)\), \(B(1;0)\), \(C(3;1)\), \(D(9;2)\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

Vì hàm số \(y=\log_{\sqrt{2}} x\) có cơ số \(\sqrt{2}>1\) nên ta có bảng biến thiên như sau

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

Vì hàm số \(y=\log_{\sqrt{3}} x\) có cơ số \(\sqrt{3}>1\) nên ta có bảng biến thiên như sau

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

Vì hàm số \(y=\log_{\sqrt{5}} x\) có cơ số \(\sqrt{5}>1\) nên ta có bảng biến thiên như sau

Bảng giá trị:

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

Vì hàm số \(y=\log_{\tfrac{1}{4}} x\) có cơ số \(\displaystyle\frac{1}{4}< 1\) nên ta có bảng biến thiên như sau

Lập bảng giá trị của hàm số ta được

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

Vì hàm số \(y=\log_{\tfrac{1}{3}} x\) có cơ số \(\displaystyle\frac{1}{3}< 1\) nên ta có bảng biến thiên như sau

Lập bảng giá trị của hàm số ta được

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

Vì hàm số \(y=\log_{\tfrac{1}{2}} x\) có cơ số \(\displaystyle\frac{1}{2}< 1\) nên ta có bảng biến thiên như sau

Lập bảng giá trị của hàm số ta được

Đồ thị:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

Vì hàm số \(y=\log_{\tfrac{1}{5}} x\) có cơ số \(\displaystyle\frac{1}{5}< 1\) nên ta có bảng biến thiên như sau

Lập bảng giá trị của hàm số ta được

Đồ thị:

Hàm số \(y=a^x\) đồng biến suy ra \(a>1\).

Hàm số \(y=\log_b x\) nghịch biến suy ra \(0< b< 1\).

Xét đường thẳng \(x=1\). Nó cắt các đường cong \(y=a^x\), \(y=b^x\), \(y=c^x\) lần lượt tại các điểm mà tung độ là \(a\), \(b\), \(c\). Căn cứ vào đồ thị đã cho, ta suy ra \(c< 1< a< b.\)

Quan sát trên đồ thị ta thấy đồ thị hàm số \(y=a^x\), \(y=b^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên \(a>1\), \(b>1\).

Với \(x=1\Rightarrow a^1>b^1\) hay \(a>b\).

Quan sát đồ thị \(\left(C_3\right)\) nghịch biến \(\Rightarrow c< 1.\)

Vậy \(a>b>c.\)

Từ đồ thị suy ra hàm số \(y=a^x\) nghịch biến \(\Rightarrow 0< a< 1\) và hàm số \(y=b^x\), \(y=c^x\) đồng biến \(\Rightarrow b, c>1.\)

Đường thẳng \(x=1\) cắt đồ thị \(y=a^x\), \(y=b^x\), \(y=c^x\) lần lượt tại các điểm có tung độ là \(a\), \(b\), \(c.\)

Từ đồ thị suy ra \(0< a< 1< c< b.\)

Hàm số \(y=a^x\) nghịch biến trên tập xác định nên \(a< 1\), hàm số \(y=log_bx\) và \(y=\log_cx\) đồng biến trên tập xác định nên \(b>1\) và \(c>1\).

Dựa vào đồ thị ta thấy rằng khi \(x>1\) thì \(\log_bx >\log_cx\), suy ra \(c>b\). Vậy \(c>b>a\).

Theo đồ thị ta có hàm số \(y=\log_{ b } x\) là hàm nghịch biến, hàm số \(y=\log_{ a } x\), \(y=\log_{ c } x\) là hàm đồng biến.

\(\Rightarrow 0< b< 1\) và \(a>1\), \(c>1\).

Mặt khác ta có \(\log_{ c } \mathrm{e}>\log_{ a } \mathrm{e}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{\ln \mathrm{e}}{\ln c}>\displaystyle\frac{\ln \mathrm{e}}{\ln a}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{\ln c}>\displaystyle\frac{1}{\ln a}\Leftrightarrow \ln c< \ln a\Leftrightarrow c< a\).

Vậy \(b< c< a\).

Từ đồ thị và tính chất hàm logarit ta có \(0< c< 1\), \(a>1\), \(b>1\).

Với cùng một giá trị \(x\) ta có \(\log_a x>\log_bx\Leftrightarrow \log_xa< \log_xb\Leftrightarrow a< b\). Vậy \(b>a>c\).

Ta có hàm số \(y=\log_b x\) nghịch biến, \(y=\log_a x\), \(y=\log_c x\) đồng biến nên \(0< b< 1\) và \(a,c>1\).

Chẳng hạn với \(x=2\) dựa vào đồ thị ta thấy

\(0< \log_a 2< \log_c 2\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{\log_2 a}< \displaystyle\frac{1}{\log_2 c}\Leftrightarrow \log_2 a>\log_2 c\Leftrightarrow a>c.\)

Do đó \(b< 1< c< a\).

Dựa vào đồ thị suy \(a > b\) và \(N\) thuộc đồ thị

\(y = \log_{a}x\) và \(P\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \log_{b}x\). Do giả thiết suy ra \(MN = \log_{a}9\) và

\(MP = \log_{b}9\). Vì \(MN = NP\) suy ra \(MP = 2MN\) nên

\(\log_{b}9 = 2\log_{a}9\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{\log_{9}b} = \displaystyle\frac{2}{\log_{9}a}\Leftrightarrow \log_{9}a = 2\log_{9}b\Leftrightarrow \log_{9}a = \log_{9}b^2\Leftrightarrow a = b^2.\)

Do \(1{,}4>1\) nên hàm số \(y=1{,}4^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Mà \(2>1{,}8\) nên \(1{,}4^2>1{,}4^{1{,}8}\).

Do \(0{,}9< 1\) nên hàm số \(y=0{,}9^x\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Mà \(-1{,}2< -0{,}8\) nên \(0{,}9^{-1{,}2}>0{,}9^{-0{,}8}\).

Ta có \(\sqrt[3]{2}=2^{\tfrac{1}{3}}\) và \(\sqrt[5]{4}=\sqrt[5]{2^2}=2^{\tfrac{2}{5}}\).

Do \(2>1\) nên hàm số \(y=2^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Mà \(\displaystyle\frac{1}{3}< \displaystyle\frac{2}{5}\) nên \(2^{\tfrac{1}{3}}< 2^{\tfrac{2}{5}}\), suy ra \(\sqrt[3]{2}< \sqrt[5]{4}\).

Ta có \(3\log_32=\log_32^3=\log_38\).

Hàm số \(y=\log_3x\) có cơ số \(3>1\) nên đồng biến trên \((0;+\infty)\).

Mà \(7< 8\) nên \(\log_37< \log_38\). Vậy \(\log_37< 3\log_32\).

Ta có \(2\log_{0{,}4}5=\log_{0{,}4}5^2=\log_{0{,}4}25\) và \(3\log_{0{,}4}3=\log_{0{,}4}3^3=\log_{0{,}4}27\).

Hàm số \(y=\log_{0{,}4}x\) có cơ số \(0{,}4< 1\) nên nghịch biến trên \((0;+\infty)\).

Mà \(25< 27\) nên \(\log_{0{,}4}25>\log_{0{,}4}27\). Vậy \(2\log_{0{,}4}5>3\log_{0{,}4}3\).

Do \(1{,}3>1\) nên hàm số \(y=1{,}3^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Mà \(0{,}7>0{,}6\) nên \(1{,}3^{0{,}7}>1{,}3^{0{,}6}\).

Do \(0{,}75< 1\) nên hàm số \(y=0{,}75^x\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Mà \(-2{,}3>-2{,}4\) nên \(0{,}75^{-2{,}3}< 0{,}75^{-2{,}4}\).

Hàm số \(y=\log_{\pi}x\) có cơ số \(\pi>1\) nên đồng biến trên \((0;+\infty)\).

Mà \(0{,}8< 1{,}2\) nên \(\log_{\pi}0{,}8< \log_{\pi}1{,}2\).

Hàm số \(y=\log_{0{,}3}x\) có cơ số \(0{,}3< 1\) nên nghịch biến trên \((0;+\infty)\).

Mà \(2< 2{,}1\) nên \(\log_{0{,}3}2>\log_{0{,}3}2{,}1\).

Năm 2025 ứng với \(t=5\) nên có dân số thế giới là

\(P(5)=7{,}795\cdot(1+0{,}0105)^5\approx8{,}213\text{ (tỉ người).}\)

Năm 2030 ứng với \(t=10\) nên có dân số thế giới là

\(P(10)=7{,}795\cdot(1+0{,}0105)^{10}\approx8{,}653\text{ (tỉ người).}\)

a) \(m(0) = 13\mathrm e^{0} = 13\) (kilôgam).

b) \(m(45) = 13\mathrm e^{-0,015 \cdot 45} \approx 6{,}62\) (kilôgam).

Khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 6 tháng là \(M(6) = 75 - 20 \ln (6+1) \approx 36{,}1 \%.\)

Khối lượng Poloni còn lại sau \(100\) ngày là

\(m(100)=100 \cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{100}{138}} \approx 60,5(\mathrm{~g}).\)

a) Tốc độ của gió ở gần tâm khi cơn lốc xoáy di chuyển được quãng đường \(5\) dặm là

\(S=93 \log 5+65 \approx 130 \text { (dặm/giờ).}\)

b) Tốc độ của gió ở gần tâm khi cơn lốc xoáy di chuyển được quãng đường \(10\) dặm là

\(S=93 \log 10+65=158\text { (dặm/giờ)}.\)

Dân số Việt Nam vào năm 2030 là

\(S=A \cdot e^{rt}=98564407\cdot e^{0,93\%\cdot 9}\approx 107169341\text{ (người).}\)

Số đơn vị kiến thức mới em học sinh sẽ nhớ sau \(2\) ngày là

\(f(2)=25\left(1-e^{-0{,}2\cdot2}\right)\approx 8{,}24\text{ (đơn vị)}.\)

Số đơn vị kiến thức mới em học sinh sẽ nhớ sau \(8\) ngày là

\(f(8)=25\left(1-e^{-0{,}2\cdot8}\right)\approx 19{,}95\text{ (đơn vị)}.\)

}

Hàm số \(\mathrm{pH}=-\log \left[\mathrm{H}^{+}\right]\) có \(a=10>1\) nên nghịch biến trên \((0;+\infty)\).

Vì \(8 \cdot 10^{-7}>2 \cdot 10^{-9}\) nên độ pH của mẫu 1 bé hơn độ pH của mẫu 2.

Người đó có được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi là \(15\) triệu đồng sau

\(y=\log_{1,06}\left(\displaystyle\frac{15}{10}\right)\approx 7\text{ (năm).}\)

Người đó có được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi là \(20\) triệu đồng sau

\(y=\log_{1,06}\left(\displaystyle\frac{20}{10}\right)\approx 12\text{ (năm).}\)

a) Khi \(I=I_0\) thì \(L=10\log 1=0\) (dB). Vậy mức cường độ âm thấp nhất mà tai người bình thường có thể nghe được là \(0\) (dB).

b) Khi \(I=10^{-9}\) W/m\(^2\), ta có \(L=10\log\displaystyle\frac{10^{-9}}{10^{-12}}=10\log10^3=30\log10=30\) (dB).

c) Với \(I=10^{-7}\) W/m\(^2\), \(L=10\log\displaystyle\frac{10^{-7}}{10^{-12}}=10\log10^5=50\log10=50\) (dB).

Với \(I=5\cdot10^{-6}\) W/m\(^2\), \(L=10\log\displaystyle\frac{5\cdot10^{-6}}{10^{-12}}=10\log\left(5\cdot10^6\right)=10(6+\log5)\approx67\) (dB).

Hàm số \(y=\log x\) đồng biến nên hàm số \(y=10\log x\) cũng đồng biến.

Do đó, từ \(10^{-7}\le I\le5\cdot10^{-6}\) suy ra \(50\le L\le67\).

Vậy mức cường độ âm tại khu văn phòng nằm trong khoảng từ \(50\) (dB) đến \(67\) (dB).

a) Do \(I_0\) là cường độ ánh sáng tại mặt nước biển là không đổi, nên cường độ ánh sáng \(I\) tỉ lệ thuận với hàm số \(a^d\).

Do \(I\) giảm dần theo độ sâu, nên hàm số \(a^d\) nghịch biến, suy ra \(0< a< 1\).

b) Tại độ sâu \(1\)m, ta có cường độ ánh sáng \(I=0{,}95I_0\), suy ra \(0{,}95I_0=I_0a^1\Leftrightarrow a=0{,}95\).

c) Tại độ sâu \(20\)m, suy ra \(d=20\). Cường độ ánh sáng tại đó là \(I=I_0a^d=I_0\cdot0{,}95^{20}\approx0{,}4I_0\).

Vậy tại độ sâu \(20\)m, cường độ ánh sáng tại đó bằng khoảng \(40\)\% so với \(I_0\).

a) Nếu áp suất ở ngoài máy bay là \(\displaystyle\frac{1}{2}P_0\) thì độ cao của máy bay là \(h=-19{,}4\cdot\log\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}P_0}{P_0}=-19{,}4\cdot\log\displaystyle\frac{1}{2}\approx5{,}8\text{km}.\)

b) Gọi áp suất lần lượt của hai ngọn núi A và B là \(P_A\), \(P_B\). Ta có \(P_A=\displaystyle\frac{4}{5}P_B\).

Độ cao của núi A và núi B là \(\heva{&h_A=-19{,}4\cdot\log\displaystyle\frac{P_A}{P_0}\\&h_B=-19{,}4\cdot\log\displaystyle\frac{P_B}{P_0}.}\)

Ta có

\begin{eqnarray*}h_A&=&-19{,}4\cdot\log\displaystyle\frac{P_A}{P_0}=-19{,}4\cdot\log\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4}{5}P_B}{P_0}\\&=&-19{,}4\cdot\left(\log\displaystyle\frac{4}{5}+\log\displaystyle\frac{P_B}{P_0}\right)=-19{,}4\cdot\log\displaystyle\frac{4}{5}+h_B\approx h_B+1{,}9.\end{eqnarray*}

Vậy núi A cao hơn núi B \(1{,}9\)km.