\(\S4.\) HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ

1. Tập xác định của các hàm số lượng giác

+) Tập xác định của hàm số \(y=\sin x\) và \(y=\cos x\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

+) Tập xác định của hàm số \(y=\tan x\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi|\, k\in\mathbb{Z} \right \}\).

+) Tập xác định của hàm số \(y=\cot x\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\{k\pi|\, k\in\mathbb{Z}\}\)

2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

+) Hàm số \(y=f(x)\) với tập xác định \(\mathscr{D}\) được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi \(x\in\mathscr{D}\) ta có \(-x\in\mathscr{D}\) và \(f(-x)=f(x)\).

+) Hàm số \(y=f(x)\) với tập xác định \(\mathscr{D}\) được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi \(x\in\mathscr{D}\) ta có \(-x\in\mathscr{D}\) và \(f(-x)=-f(x)\).

+) Hàm số \(y=f(x)\) với tập xác định \(\mathscr{D}\) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một số \(T\) khác \(0\) sao cho với mọi \(x\in\mathscr{D}\) ta có \(x\pm T\in\mathscr{D}\) và \(f(x+T)=f(x)\).

+) Số \(T\) dương nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn \(y=f(x)\).

Chú ý.

+) Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

+) Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

+) Đồ thị của hàm số tuần hoàn chu kỳ \(T\) được lặp lại trên từng đoạn giá trị của \(x\) có độ dài \(T\).

+) Người ta chứng minh được rằng

\(-\) Các hàm số \(y=\sin x\) và \(y=\cos x\) là các hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi\).

\(-\) Các hàm số \(y=\tan x\) và \(y=\cot x\) là các hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(\pi\).

3. Đồ thị của các hàm số lượng giác

a. Đồ thị của hàm số \(y=\sin x\) trên \(\mathbb{R}\)

wlithuyet11/lt11c1b4h1.png

+) Hàm số \(y =\sin x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\), tập giá trị là \([-1;1]\).

+) Hàm số tuần hoàn chu kì \(2\pi\).

+) Hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ \(O\).

+) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi;\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\right)\) \((k \in \mathbb{Z})\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi;\displaystyle\frac{3\pi}{2}+k2\pi\right)\) \((k \in \mathbb{Z})\).

b. Đồ thị hàm số \(y=\cos x\) trên \(\mathbb{R}\)

Image

+) Hàm số \(y =\cos x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\), tập giá trị là \([-1;1]\).

+) Hàm số tuần hoàn chu kì \(2\pi\).

+) Hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục \(Oy\).

+) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\pi+k2\pi; k2\pi\right)\) \((k \in \mathbb{Z})\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(k2\pi;\pi+k2\pi\right)\) \((k \in \mathbb{Z})\).

c. Đồ thị hàm số \(y = \tan x\) trên \(\mathbb{R}\setminus\left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi|k \in \mathbb{Z}\right\}\)

Image

+) Hàm số \(y =\tan x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi|k \in \mathbb{Z}\right\}\), tập giá trị là \(\mathbb{R}\).

+) Hàm số tuần hoàn chu kì \(\pi\).

+) Hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ \(O\).

+) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi;\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\right)\) \((k \in \mathbb{Z})\).

d. Đồ thị hàm số \(y = \cot x\) trên \(\mathbb{R}\setminus\left\{k\pi|k \in \mathbb{Z}\right\}\)

Image

+) Hàm số \(y =\cot x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\left\{k\pi|k \in \mathbb{Z}\right\}\), tập giá trị là \(\mathbb{R}\).

+) Hàm số tuần hoàn chu kì \(\pi\).

+) Hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ \(O\).

+) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(k\pi;\pi+k\pi\right)\) \((k \in \mathbb{Z})\).

Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn

Dạng 1. Tìm tập xác định

Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số chứa sin hoặc cos

Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số dạng \(y=a\sin x+b\cos x\)

Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác

Dạng 5. Xác định tính chẵn lẻ

Dạng 6. Xác định chu kì

Dạng 7. Đồ thị của hàm số lượng giác

Dạng 1. Tìm tập xác định

Câu 1:

Tìm điều kiện xác định của hàm số \(y=1+\tan x\).

Đáp án: \(x\neq\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\)

Lời giải:

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\cos x\neq 0\Leftrightarrow x\neq\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\).

Câu 2:

Tập xác định của hàm số \(y=\sin x\) là

Đáp án: \(\mathbb{R}\)

Lời giải:

Hàm số \(y=\sin x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số chứa sin hoặc cos

Câu 1:

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y=3 \cos 2 x-5\) lần lượt là

Đáp án: \(-8\)\(-2\)

Lời giải:

Vì \(-1\le \cos 2x\le 1\Rightarrow -8\le 3\cos 2x-5\le -2\).

Vậy GTNN của hàm số là \(-8\) khi \(\cos 2x=-1\) \(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\).

GTLN của hàm số là \(-2\) khi \(\cos 2x=1\) \(\Leftrightarrow x=k\pi\).

Câu 2:

Giá trị lớn nhất của hàm số \( y=3\cos x+ 4\) là

Đáp án: \(7\)

Lời giải:

Ta có \( y=3\cos x+4\le 3\cdot 1+4=7 \), suy ra \( \max y=7 \).

Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số dạng \(y=a\sin x+b\cos x\)

Câu 1:

Tìm tập giá trị \(T\) của hàm số \(y=12\sin x-5\cos x.\)

Đáp án: \(T=\left[-13;13\right]\)

Lời giải:

Ta có

\(y=12\sin x-5\cos x\) \(=13\left(\displaystyle\frac{12}{13}\sin x-\displaystyle\frac{5}{13}\cos x\right).\)

Đặt \(\displaystyle\frac{12}{13}=\cos \alpha \) \(\Rightarrow \displaystyle\frac{5}{13}=\sin \alpha \), khi đó

\(y=13\left(\sin x\cos \alpha-\sin \alpha \cos x\right)\) \(=13\sin \left(x-\alpha \right)\)

\(\Rightarrow -13\le y\le 13\) \(\Rightarrow T=\left[-13;13\right].\)

Câu 2:

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=2\cos^2x-2\sqrt{3}\sin x\cos x+2018\) bằng

Đáp án: \(2021\)

Lời giải:

Ta có

\(y=2\cos^2x-2\sqrt{3}\sin x\cos x+2018\)

\(=1+\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x+2018\)

\(=2\left(\displaystyle\frac{1}{2}\cos 2x-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x\right)+2019\)

\(=2\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}-2x\right)+2019\le 2+2019=2021.\)

Dấu = xảy ra khi

\(\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}-2x\right)=1\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{\pi}{6}-2x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi \) \(\Leftrightarrow -2x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\) \(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{-\pi}{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(2021\) khi \(x=\displaystyle\frac{-\pi}{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\).

Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm số lượng giác

Câu 1:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{\pi}{2};\pi\right)\)?

Đáp án: \(y=\tan x\)

Lời giải:

Hàm số \(y=\tan x\) đồng biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{\pi}{2};\pi\right)\).

Câu 2:

Cho hàm số \(y=\sin x\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Đáp án: Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{\pi}{2};\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right)\)

Lời giải:

Ta có thể hiểu thế này: Hàm số \(y=\sin x\) đồng biến khi góc \(x\) thuộc góc phần tư thứ IV và thứ I; nghịch biến khi góc \(x\) thuộc gốc phần tư thứ II và thứ III

Dạng 5. Xác định tính chẵn lẻ

Câu 1:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

Đáp án: \(y=\cos x\)

Lời giải:

=\cos x\), nên nó là hàm số chẵn.

Câu 2:

Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

Đáp án: \(y=1+\cos x\)

Lời giải:

+) Hàm số \(y=1+\cos x \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) và đây là hàm số chẵn.

+) Hàm số \(y=1+\sin x \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\), hàm số này không phải là hàm số chẵn và không phải là hàm số lẻ.

+) Hàm số \(y=1+\tan x \) có tập xác định là \(\left\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\right\}\), hàm số này không phải là hàm số chẵn và không phải là hàm số lẻ.

+) Hàm số \(y=1+\cot x \) có tập xác định là \(\left\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq k \pi, k \in \mathbb{Z}\right\}\), hàm số này không phải là hàm số chẵn và không phải là hàm số lẻ.

Dạng 6. Xác định chu kì

Câu 1:

Tìm chu kì \(T\) của hàm số \(y=\tan 3x+\cot x.\)

Đáp án: \(T=\pi \)

Lời giải:

Hàm số \(y=\cot \left(ax+b\right)\) tuần hoàn với chu kì \(T=\displaystyle\frac{\pi}{\left| a\right|}\).

Áp dụng: Hàm số \(y=\tan 3x\) tuần hoàn với chu kì \(T_1=\displaystyle\frac{\pi}{3}.\)

Hàm số \(y=\cot x\) tuần hoàn với chu kì \(T_2=\pi.\)

Suy ra hàm số \(y=\tan 3x+\cot x\) tuần hoàn với chu kì \(T=\pi.\)

Nhận xét. \(T\) là bội chung nhỏ nhất của \(T_1\) và \(T_2.\)

Câu 2:

Tìm chu kì \(T\) của hàm số \(y=\sin \left(6x-\displaystyle\frac{\pi}{8}\right).\)

Đáp án: \(T=\displaystyle\frac{\pi}{3}\)

Lời giải:

Hàm số \(y=\sin \left(ax+b\right)\) tuần hoàn với chu kì \(T=\displaystyle\frac{2\pi}{\left| a\right|}\).

Do vậy, hàm số \(y=\sin \left(6x-\displaystyle\frac{\pi}{8}\right)\) tuần hoàn với chu kì \(T=\displaystyle\frac{2\pi}{6}=\displaystyle\frac{\pi}{3}\).

Dạng 7. Đồ thị của hàm số lượng giác

Câu 1:

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Image

Đáp án: \(y=\cos \displaystyle\frac{2x}{3}\)

Lời giải:

Ta thấy:

Tại \(x=0\) thì \(y=1\).

Tại \(x=3\pi \) thì \(y=1\).

Thay vào các phương án tìm được hàm thỏa mãn là

\(y=\cos \displaystyle\frac{2x}{3}\)

Câu 2:

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Image

Đáp án: \(y=\left| \tan x\right|\)

Lời giải:

Ta thấy hàm số có GTNN bằng \(0\).

Hàm số xác định tại \(x=\pi \) và tại \(x=\pi \) thì \(y=0\).

Hàm số thỏa mãn là \(y=\left| \tan x\right|\)

Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Dạng 2. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số lượng giác

Dạng 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Dạng 4. Xét tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Dạng 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Dạng 6. Đồ thị của hàm số lượng giác

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Câu 1:

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

Đáp án:

  • Hàm số \(y=\cot \left(3x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) xác định khi \(x \neq \displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k \pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z})\)
  • Hàm số \(y=\displaystyle\frac{\sin x}{2-\cos x}\) có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\)
  • Hàm số \(y=\tan 2 x+\cot 2 x\) xác định khi \(\begin{cases}\cos 2x\neq 0\\ \sin 2x\neq 0.\end{cases}\)

Lời giải:

a) Hàm số xác định \(\Leftrightarrow 3 x-\displaystyle\frac{\pi}{4} \neq k \pi\,(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \neq \displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k \pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z})\).

Vậy tập xác định của hàm số: \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{\left.\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k \pi}{3} \right\rvert\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

b) Hàm số xác định \(\Leftrightarrow \sin x-1 \geq 0 \Leftrightarrow \sin x \geq 1 \Leftrightarrow \sin x=1 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k 2 \pi\,(k \in \mathbb{Z})\).

Vậy tập xác định của hàm số: \(\mathscr{D}=\left\{\left.\displaystyle\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \right\rvert\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

c) Hàm số xác định \(\Leftrightarrow 2-\cos x \neq 0 \Leftrightarrow \cos x \neq 2\) (đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)).

Vậy tập xác định của hàm số: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

d) Hàm số xác định \(\Leftrightarrow\begin{cases}\cos 2x\neq 0\\ \sin 2x\neq 0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}{2x\neq\displaystyle\frac{\pi}2+k\pi}\\ {2x\neq l\pi}\end{cases}(k, l\in\mathbb{Z})\Leftrightarrow\begin{cases}x\neq\displaystyle\frac{\pi}4+k\displaystyle\frac{\pi}2\\ x\neq l\displaystyle\frac{\pi}2\end{cases}\,(k, l\in\mathbb{Z}).\)

Vậy tập xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{\displaystyle\frac{\pi}{4}+k \displaystyle\frac{\pi}{2} ; \left.\ell \displaystyle\frac{\pi}{2} \right\rvert\, k,\ell \in \mathbb{Z}\right\}\).

Câu 2:

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

Đáp án:

  • Hàm số \(y=\tan \left(2 x-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\) xác định khi \(x \neq \displaystyle\frac{\pi}{3}+k \displaystyle\frac{\pi}{2}\) \((k \in \mathbb{Z})\)
  • Hàm số \(y=\cot \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\) xác định khi \(x+\displaystyle\frac{\pi}{3} \neq k \pi\) \((k \in \mathbb{Z})\)

Lời giải:

a) Đúng.

Hàm số xác định \(\Leftrightarrow 2 x-\displaystyle\frac{\pi}{6} \neq \displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi\,(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow 2 x \neq \displaystyle\frac{2 \pi}{3}+k \pi\,(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \neq \displaystyle\frac{\pi}{3}+k \displaystyle\frac{\pi}{2}\,(k \in \mathbb{Z})\).

Vậy \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{\displaystyle\frac{\pi}{3}+k \displaystyle\frac{\pi}{2} \,\middle|\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

b) Đúng.

Hàm số xác định \(\Leftrightarrow x+\displaystyle\frac{\pi}{3} \neq k \pi(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \neq-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k \pi(k \in \mathbb{Z})\).

Vậy \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{\left.-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k \pi \right\rvert\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

c) Sai.

Hàm số xác định \(\Leftrightarrow \sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k \pi(k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow \mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\{k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\).

d) Sai.

Hàm số xác định \(\Leftrightarrow\begin{cases}{\cos x\neq 0}\\ {3x\neq\displaystyle\frac{\pi}2+k\pi}\end{cases}(k\in\mathbb{Z})\Leftrightarrow\begin{cases}x\neq\displaystyle\frac{\pi}2+k\pi\\ x\neq\displaystyle\frac{\pi}6+k\displaystyle\frac{\pi}3\end{cases}\,(k\in\mathbb{Z})\Leftrightarrow x\neq\displaystyle\frac{\pi}6+k\displaystyle\frac{\pi}3(k\in\mathbb{Z})\).

Vậy \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{\left.\displaystyle\frac{\pi}{6}+k \displaystyle\frac{\pi}{3} \right\rvert\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

Câu 3:

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

Đáp án:

  • Hàm số \(y=\tan \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) xác định khi và chỉ khi \(\cos \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) \neq 0\)
  • Hàm số \(y=\displaystyle\frac{1+\cos x}{\sin x}\) có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\{k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\)
  • Hàm số \(y=\cot \left(3 x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) xác định khi và chỉ khi \(x \neq \displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k \pi}{3}\) \((k \in \mathbb{Z})\)

Lời giải:

a) Đúng. Hàm số \(y=\tan \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) xác định khi và chỉ khi \(\cos \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) \neq 0\).

b) Đúng.

Hàm số \(y=\displaystyle\frac{1+\cos x}{\sin x}\) xác định \(\Leftrightarrow \sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k \pi\,(k \in \mathbb{Z})\).

Vậy tập xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\{k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\).

c) Đúng.

Hàm số \(y=\cot \left(3 x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) xác định \(\Leftrightarrow 3 x-\displaystyle\frac{\pi}{4} \neq k \pi \Leftrightarrow x \neq \displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k \pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z})\).

Vậy tập xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{\left.\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k \pi}{3} \right\rvert\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

d) Sai.

Điệu kiện xác định \(\begin{cases}\sin x\neq 0\\ \cos x\neq 0\\ \sqrt 3\tan x-3\neq 0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x\neq k\pi\\ x\neq\displaystyle\frac{\pi}2+k\pi\,(k\in\mathbb{Z}).\\ x\neq\displaystyle\frac{\pi}3+k\pi\end{cases}\)

Vậy tập xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{\displaystyle\frac{k \pi}{2}; \left.\displaystyle\frac{\pi}{3}+k \pi \right\rvert\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

Câu 4:

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

Đáp án:

  • Hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{\sin x}\) có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\)
  • Hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{\cos \left(2 x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)+1}\) xác định khi \(\cos \left(2 x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \neq-1\)
  • Hàm số \(y=\displaystyle\frac{\tan x+2}{3 \sin x}+1\) có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{k \displaystyle\frac{\pi}{2} \,\middle|\, k \in \mathbb{Z}\right\}\)

Lời giải:

a) Đúng.

Hàm số xác định khi \(\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k \pi,(k \in \mathbb{Z})\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\{k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\).

b) Đúng.

Hàm số xác định khi \(\cos \left(2 x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)+1 \neq 0 \Leftrightarrow \cos \left(2 x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \neq-1\).

c) Đúng.

Hàm số xác định khi \(\begin{cases}\cos x\neq 0\\ \sin x\neq 0\end{cases}\Leftrightarrow\sin 2x\neq 0\Leftrightarrow 2x\neq k\pi\Leftrightarrow x\neq k\displaystyle\frac{\pi}2,(k\in\mathbb{Z}).\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{k \displaystyle\frac{\pi}{2} \,\middle|\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

d) Sai.

Hàm số xác định khi

\begin{eqnarray*}& & \sin ^4 x-\cos ^4 x \neq 0\\&\Leftrightarrow & \left(\sin ^2 x-\cos ^2 x\right)\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right) \neq 0\\&\Leftrightarrow & \sin ^2 x-\cos ^2 x \neq 0 \Leftrightarrow-\cos 2 x \neq 0\\&\Leftrightarrow &\cos 2 x \neq 0 \Leftrightarrow 2 x \neq \displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi\\&\Leftrightarrow &x \neq \displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{k \pi}{2},(k \in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{\left.\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{k \pi}{2} \right\rvert\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

Câu 5:

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

Đáp án:

  • Hàm số \(y=\tan x+\cot 2 x\) xác định khi \(\begin{cases}\cos x\neq 0\\ \sin 2x\neq 0\end{cases}\)
  • Hàm số \(y=\sqrt{\pi-\cos x}\) có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\)
  • Hàm số \(y=\sqrt{4-\sin ^2 x}\) có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\)

Lời giải:

a) Đúng.

Hàm số xác định khi \(\begin{cases}{\cos x\neq 0}\\ {\sin 2x\neq 0}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}{x\neq\displaystyle\frac{\pi}2+k\pi}\\ {2x\neq k\pi}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x\neq\displaystyle\frac{\pi}2+k\pi\\ x\neq k\displaystyle\frac{\pi}2\end{cases}\Leftrightarrow x\neq k\displaystyle\frac{\pi}2,(k\in\mathbb{Z}).\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{k \displaystyle\frac{\pi}{2} \,\middle|\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

b) Đúng.

Hàm số xác định khi \(\pi-\cos x \geq 0 \Leftrightarrow \cos x \leq \pi \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

c) Đúng.

Hàm số xác định khi \(4-\sin ^2 x \geq 0 \Leftrightarrow \sin ^2 x<4 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}\) (vì \(0 \leq \sin ^2 x \leq 1<4, \forall x \in \mathbb{R}\)).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

d) Sai.

Hàm số xác định khi \(\begin{cases}{\sin x-1\geq 0}\\ {\cos x-1\geq 0}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}&\sin x\geq 1\\ &\cos x\geq 1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \sin x=1 \\ \cos x=1\end{cases}\) mà \(\sin ^2 x+\cos ^2 x=1\) nên \(\sin x\), \(\cos x\) không thể đồng thời bằng \(1\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\varnothing\).

Dạng 2. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số lượng giác

Câu 1:

Cho hàm số \(y=2\sin x\) trên đoạn \([-\pi;\pi]\) có đồ thị như hình bên.

Image

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Đáp án:

  • Tập xác định của hàm số \(y=2\sin x\)\(\mathbb{R}\)
  • Đồ thị hàm số trên đoạn \([-\pi;\pi]\) cắt đường thẳng \(y=-1\) tại đúng 2 điểm phân biệt

Lời giải:

Dựa vào đồ thị của hàm số, ta có

a) Đúng.

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

b) Sai.

Tập giá trị của hàm số là \([-2;2]\).

c) Sai.

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{-\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2} \right)\)

d) Đúng.

Đồ thị hàm số trên đoạn \([-\pi;\pi]\) cắt đường thẳng \(y=-1\) tại đúng 2 điểm phân biệt.

Câu 2:

Cho đồ thị của hàm số \(y=\sin x\) là hình vẽ bên dưới.

Image

Xác định tính đúng, sai của các mệnh đề.

Đáp án:

  • Hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi\)
  • Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\mathbb R\)\(-1\)

Lời giải:

a) Đúng.

Hàm số \(y=\sin x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi\). Do đó mệnh đề đúng.

b) Sai.

Trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{5\pi}{2};-\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right)\) đồ thị có chiều hướng đi lên, nên hàm số đồng biến. Vậy mệnh đề nghịch biến là sai.

c) Đúng.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\mathbb R\) là \(-1\). Do đó mệnh đề đúng.

d) Sai.

Hàm số \(y=\sin x\) là hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ \(O\), nên mệnh đề là sai.

Câu 3:

Cho hàm số \(y=\sin x\).

Đáp án:

  • Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\sin x\)\(1\)
  • Hàm số \(y=\sin x\) là hàm số lẻ
  • Hàm số \(y=\sin x\) tuần hoàn với chu kỳ \(T=2\pi\)

Lời giải:

a) Sai.

Vì \(y=\sin x\) là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số \(y=\sin x\) nhận gốc toạ độ \(O\) làm tâm đối xứng.

b) Đúng.

Ta có \(-1\leq \sin x\leq 1\) nên giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\sin x\) là \(1\).

c) Đúng.

Ta xét hàm số \(y=f(x)=\sin x\) có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Do đó \(\forall x \in \mathscr{D} \Rightarrow -x \in \mathscr{D}\).

Và \(f(-x)=\sin (-x)=-\sin x = -f(x)\) nên \(y=\sin x\) là hàm số lẻ.

d) Đúng.

Hàm số \(y=\sin x\) tuần hoàn với chu kỳ \(T=2\pi\).

Câu 4:

Cho đồ thị hàm số \(y=\cos x\) trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\) như hình bên dưới

Image

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Đáp án:

  • Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2\pi;-\pi)\)
  • Trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\), hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1

Lời giải:

Dựa vào đồ thị của hàm số, ta có

a) Sai.

Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;\pi)\).

b) Đúng.

Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2\pi;-\pi)\)

c) Đúng.

Trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\), hàm số có giá trị lớn nhất bằng \(1\).

d) Sai.

Trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\), có đúng \(4\) giá trị của \(x\) để hàm số nhận giá trị bằng \(0\).

Dạng 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Câu 1:

Cho hàm số \(f(x)=\sin^2 x+\cos x-1\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

Đáp án:

  • Tập xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\)
  • Hàm số đã cho là hàm số chẵn

Lời giải:

a) Đúng.

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

b) Sai.

Ta có

\(f(-x)=\sin ^2 (-x)+\cos (-x)-1=(-\sin x)^2+\cos x-1=\sin ^2 x+\cos x-1.\)

c) Sai.

Ta có

\(f(-x)=\sin ^2 (-x)+\cos (-x)-1=(-\sin x)^2+\cos x-1=\sin ^2 x+\cos x-1=f(x).\)

d) Đúng.

Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Với mọi \(x \in \mathscr{D}\), ta có \(-x \in \mathscr{D}\) và

\(f(-x)=\sin ^2 (-x)+\cos (-x)-1=(-\sin x)^2+\cos x-1=\sin ^2 x+\cos x-1=f(x).\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Câu 2:

Cho hàm số \(f(x)=\tan x-x\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

Đáp án:

  • Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi \,\middle|\, k \in \mathbb{Z}\right\}\)
  • \(f(-x)=-f(x)\)

Lời giải:

a) Đúng.

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi \,\middle|\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

b) Sai.

Ta có \(\begin{cases}f\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\tan \displaystyle\frac{\pi}{3} -\displaystyle\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}-\displaystyle\frac{\pi}{3}\\ f\left(-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\tan \left(-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) +\displaystyle\frac{\pi}{3}=-\sqrt{3}+\displaystyle\frac{\pi}{3}.\end{cases}\)

Suy ra \(f\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \ne f\left(-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\).

c) Đúng.

Ta có

\(f(-x)=\tan (-x)-(-x)=-\tan x+x=-(\tan x-x)=-f(x).\)

d) Sai.

Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi \,\middle|\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

Với mọi \(x \in \mathscr{D}\), ta có \(-x \in \mathscr{D}\) và

\(f(-x)=\tan (-x)-(-x)=-\tan x+x=-(\tan x-x)=-f(x).\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Câu 3:

Cho hàm số \(f(x)=|x| \sin x\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

Đáp án:

  • \(f(-\pi)=f(\pi)\)
  • \(f(-x)=-f(x)\)
  • Đồ thị hàm số nhận điểm \(O(0;0)\) làm tâm đối xứng

Lời giải:

a) Sai.

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

b) Đúng.

Ta có \(\begin{cases}f(-\pi)=|-\pi| \sin (-\pi)=0\\ f(\pi)=|\pi| \sin \pi=0.\end{cases}\)

Suy ra \(f(-\pi)=f(\pi)\).

c) Đúng.

Ta có

\(f(-x)=|-x| \sin (-x)=-|x| \sin x=-f(x).\)

d) Đúng.

Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Với mọi \(x \in \mathscr{D}\), ta có \(-x \in \mathscr{D}\) và

\(f(-x)=|-x| \sin (-x)=-|x| \sin x=-f(x).\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Câu 4:

Cho hai hàm số \(f(x)=\sqrt{5-3 \sin^2x}\) và \(g(x)=\tan^3 x-x\cos x\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

Đáp án:

  • Tập xác định hàm số \(f(x)\)\(\mathscr{D}_1=\mathbb{R}\)
  • Tập xác định hàm số \(g(x)\)\(\mathscr{D}_2=\mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi \,\middle|\, k \in \mathbb{Z}\right\}\)
  • Hàm số \(g(x)\) là hàm số lẻ

Lời giải:

a) Đúng.

Ta có \(5-3 \sin ^2x >0, \forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số \(f(x)\) có tập xác định là \(\mathscr{D}_1=\mathbb{R}\).

b) Đúng.

Hàm số \(g(x)\) có tập xác định là \(\mathscr{D}_2=\mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi \,\middle| k \in \mathbb{Z}\right\}\).

c) Sai.

Hàm số \(f(x)\) có tập xác định là \(\mathscr{D}_1=\mathbb{R}\).

Với mọi \(x \in \mathscr{D}_1\), ta có \(-x \in \mathscr{D}_1\) và

\(f(-x)=\sqrt{5-3 \sin ^2(-x)}=\sqrt{5-3 \sin ^2x}=f(x).\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

d) Đúng.

Tập xác định của hàm số \(g(x)\) là \(\mathscr{D}_2=\mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi \,\middle|\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

Với mọi \(x \in \mathscr{D}_2\), ta có \(-x \in \mathscr{D}_2\) và

\begin{eqnarray*}g(-x)&=&\tan^3 (-x)-(-x)\cos (-x)\\&=& -\tan^3 x+x\cos x\\&=& -(\tan^3 x-x\cos x)=-g(x).\end{eqnarray*}

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Dạng 4. Xét tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Câu 1:

Xét tính đúng - sai của các khẳng định sau.

Đáp án:

  • Hàm số \(y=\cos^3 x\) có chu kì là \(2\pi\)
  • Hàm số \(y=\sin^2 (x+2)\) có chu kì là \(\pi\)

Lời giải:

a) Đúng, vì hàm số \(y=\cos^3 x\) có chu kì là \(2\pi\).

b) Sai, vì hàm số \(y=\sin\displaystyle\frac{x}{2}\cos\displaystyle\frac{x}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}\sin x\) có chu kì là \(2\pi\).

c) Đúng, vì hàm số \(y=\sin^2 (x+2)=\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\cos (2x+4)\) có chu kì là \(\pi\).

d) Sai, vì hàm số \(y=\cos^2\left(\displaystyle\frac{x}{2}+1\right)=\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}\cos (x+2)\) có chu kì là \(2\pi\).

Câu 2:

Xét tính đúng - sai của các khẳng định sau.

Đáp án:

  • Hàm số \(y=\sin x\)\(y=\tan 2x\) có chu kì khác nhau}

Lời giải:

a) Sai, vì hàm số \(y=\sin\displaystyle\frac{x}{2}\) và \(y=\cos\displaystyle\frac{x}{2} \) có cùng chu kì là \(\displaystyle\frac{2\pi}{\frac{1}{2}}=4\pi\).

b) Đúng, vì hàm số \(y=\sin x\) có chu kì là \(2\pi\) và hàm số \(y=\tan 2x\) có chu kì là \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

c) Sai, vì hàm số \(y=\tan 2x\) và \(y=\cot 2x\) có cùng chu kì là \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

d) Sai, vì hàm số \(y=\cos x\) và \(y=\cot\displaystyle\frac{x}{2}\) có cùng chu kì là \(2\pi\).

Câu 3:

Cho hàm số \(y=\cos x\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

Đáp án:

  • Hàm số \(y=\cos x\) là hàm số chẵn}
  • Hàm số \(y=\cos x\) có chu kì tuần hoàn là \(2\pi\)

Lời giải:

a) Sai, vì hàm số \(y=\cos x\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

b) Sai, vì hàm số \(y=\cos x\) có tập giá trị \(T=[-1;1]\).

c) Đúng, vì \(\cos (-x)=\cos x\) nên hàm số \(y=\cos x\) là hàm số chẵn.

d) Đúng, vì \(\cos (x+2\pi)=\cos x\) nên hàm số \(y=\cos x\) có chu kì tuần hoàn là \(T=2\pi\).

Câu 4:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

Đáp án:

    Lời giải:

    a) Sai, vì \(\tan (x+\pi)=\tan x\) nên hàm số \(y=\tan x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi\).

    b) Sai, vì \(\cos (x+2\pi)=\cos x\) nên hàm số \(y=\cos x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi\).

    c) Sai, vì \(\cot \left(\displaystyle\frac{x+2\pi}{2}\right)=\cot \left(\displaystyle\frac{x}{2}+\pi\right)=\cot \displaystyle\frac{x}{2}\) nên hàm số \(y=\cot \displaystyle\frac{x}{2}\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi\).

    d) Sai, vì \(\sin 2(x+\pi)=\sin (2x+2\pi)=\sin 2x\) nên hàm số \(y=\sin 2x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi\).

    Câu 5:

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

    Đáp án:

    • Hàm số \(y=\sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\)

    Lời giải:

    a) Đúng, vì hàm số \(y=\sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\).

    b) Sai, vì hàm số \(y=\cos x\) tuần hoàn với chu kì \(T=2\pi\).

    c) Sai, vì hàm số \(y=\tan x\) tuần hoàn với chu kì \(T=\pi\).

    d) Sai, vì hàm số \(y=\cot x\) không xác định tại các điểm \(x=k\pi\) \((k\in\mathbb{Z})\) nên tính chất ``nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)'' không thể xảy ra.

    Dạng 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

    Câu 1:

    Cho hàm số \(y=2(\sin x+\cos x)+\sin 2x+3\). Các khẳng định sau đúng hay sai?

    Đáp án:

    • Hàm số có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\)
    • \(-\sqrt{2}\le \sin x+\cos x\le \sqrt{2}\)

    Lời giải:

    Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

    Đặt \(t=\sin x+ \cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\), \(t\in \left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\).

    Ta có \(t^2=\left(\sin x+ \cos x\right)^2=1+2\sin x\cos x=1+\sin 2x\Rightarrow \sin 2x =t^2-1\).

    Hàm số trở thành \(y=g(t)=t^2+2t+2\).

    Bảng biến thiên của hàm số \(y=g(t)\) trên đoạn \( \left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\)

    Image

    Vậy \(\max\limits_{x \in \mathbb{R}} y=4+2\sqrt{2}\) và \(\min\limits_{x \in \mathbb{R}} y=1\).

    a) Đúng.

    b) Đúng.

    c) Sai.

    d) Sai.

    Câu 2:

    Cho hàm số \(y=3-\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

    Đáp án:

    • Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\)
    • Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(2\)
    • Giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(4\)

    Lời giải:

    a) Đúng.

    Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

    b) Sai.

    \(y(0)=3-\sin\left(2\cdot 0+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=3-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).

    c) Đúng.

    Ta có

    \(\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\le 1 \Rightarrow -\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\ge -1\Rightarrow 3-\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\ge 2\).

    Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(2\) khi \(\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)= 1 \).

    d) Đúng.

    Ta có \(\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\ge -1 \Rightarrow -\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\le 1\Rightarrow 3-\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\le 4\).

    Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(3\) khi \(\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)= -1\).

    Câu 3:

    Cho hàm số \(y=\sin x+\cos x\). Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

    Đáp án:

    • \(y(0)=1\)
    • Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\)
    • Giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(\sqrt{2}\)

    Lời giải:

    a) Đúng.

    \(y(0)=\sin 0+\cos 0 =0+1=1\).

    b) Đúng.

    Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

    c) Sai.

    Ta có

    \(\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cos \displaystyle\frac{\pi}{4}+\cos x\sin \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).

    d) Đúng.

    Ta có \(y=\sqrt{2}\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).

    Ta có

    \(\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\le 1\Rightarrow \sqrt{2}\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\le \sqrt{2}\).

    Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt{2}\) khi \(\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=1\).

    Câu 4:

    Cho hàm số \(f(x)=2\sin^2x+2\). Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

    Đáp án:

    • \(f(-x)=f(x)\), với mọi \(x\)
    • Giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(4\)

    Lời giải:

    a) Đúng.

    Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

    Với mọi \(x\in \mathbb{R}\), ta có

    \(f(-x)=2\sin^2(-x)+2=2\left(-\sin x\right)^2+2=2\sin^2x+2=f(x)\).

    b) Sai.

    \(f(x)=2\sin^2x+2=2\cdot \displaystyle\frac{1-\cos 2x}{2} + 2=3-\cos 2x\).

    c) Đúng.

    Ta có \(\sin^2x\le 1\Rightarrow 2\sin^2x\le 2\Rightarrow 2\sin^2x+2\le 4\).

    Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(4\) khi \(\sin ^2x=1\).

    d) Sai.

    Ta có \(\sin^2x\ge 0\Rightarrow 2\sin^2x\ge 0\Rightarrow 2\sin^2x+2\ge 2\).

    Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(2\) khi \(\sin^2x=0\).

    Câu 5:

    Cho hàm số \(y=f(x)=\cos 2x+\cos x\). Xét tính đúng sai của các phát biểu sau.

    Đáp án:

    • Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\)
    • Hàm số đã cho là hàm số chẵn
    • Đặt \(t=\cos x\) thì \(y=2t^2+t-1\)
    • Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(\displaystyle\frac{7}{8}\)

    Lời giải:

    a) Đúng.

    Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

    b) Đúng.

    Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

    Do đó \(\forall x \in \mathscr{D}\) thì \(-x \in \mathscr{D}\).

    Lại có, \(\forall x\in \mathscr{D}\), \(f(-x)=\cos(-2x)+\cos(-x)=\cos 2x+\cos x=f(x)\).

    Vậy \(f(x)\) là hàm số chẵn.

    c) Đúng.

    Ta có \(f(x)=\cos 2x+\cos x=2\cos^2 x-1+\cos x\).

    Đặt \(t=\cos x\) thì \(y=2t^2+t-1\).

    d) Đúng.

    Đặt \(t=\cos x\), \(-1\le t\le 1\) thì \(f(x)=2t^2+t-1\).

    Bảng biến thiên

    Image

    Dựa vào bảng biến thiên, suy ra giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số lần lượt là \(-\displaystyle\frac{9}{8}\) và \(2\). Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng \(\displaystyle\frac{7}{8}\).

    Dạng 6. Đồ thị của hàm số lượng giác

    Câu 1:

    Cho hàm số \( y=\sin x\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

    Image

    Dựa vào đồ thị, xét tính đúng sai các khẳng định sau:

    Đáp án:

    • Hàm số tuần hoàn với chu kì \(T=2\pi\)

    Lời giải:

    a) Hàm số tuần hoàn với chu kì \(T=2\pi\).

    Phát biểu đã cho đúng.

    b) Đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ \(O\). Hàm số \(y=\sin x\) là hàm số lẻ.

    Phát biểu đã cho sai.

    c) Từ đồ thị ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại \(7\) điểm thuộc đoạn \(\left[-3\pi ;3\pi\right]\).

    Phát biểu đã cho sai.

    d) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) và \(\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2};2\pi\right)\).

    Phát biểu đã cho sai.

    Câu 2:

    Xét hàm số \(y=f(x)\) trên đoạn \([0;2\pi]\) có đồ thị được minh họa qua hình vẽ bên dưới.

    Image

    Dựa vào hình vẽ, xét tính đúng sai các phát biểu

    Đáp án:

    • Hình vẽ trên minh họa đồ thị của hàm số \(y=\sin x\) trên một chu kì \(T=2\pi\)
    • \(3\) giá trị \(x\) thuộc đoạn \([0;2\pi]\) thỏa mãn \(f(x)=0\)

    Lời giải:

    a) Dựa vào đồ thị, hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn \([0;2\pi]\) là \(1\).

    Phát biểu đã cho sai.

    b) Theo đồ thị ta thấy, hình vẽ đã cho minh họa cho đồ thị của hàm \(y=\sin{x}\) trên một chu kì \(T=2\pi\).

    Phát biểu đã cho đúng.

    c) Dựa vào đồ thị có \(3\) giá trị \(x\) thuộc đoạn \([0;2\pi]\) lần lượt là \(x=0\), \(x=\pi\) và \(x=2\pi\) thỏa mãn \(f(x)=0\).

    Phát biểu đã cho đúng.

    d) Dựa vào đồ thị, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \([0;2\pi]\) là \(-1\) tại điểm \(x=\displaystyle\frac{3\pi}{2}\).

    Phát biểu đã cho sai.

    Câu 3:

    Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau.

    Image

    Xét đúng sai các khẳng định sau

    Đáp án:

    • Hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{\pi}{2};\pi\right)\)
    • Hàm số \(y=f(x)\) là hàm số chẵn

    Lời giải:

    a) Hình vẽ trên minh họa cho đồ thị của hàm số \(y=\cos x\).

    Phát biểu đã cho sai.

    b) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{\pi}{2};\pi\right)\).

    Phát biểu đã cho đúng.

    c) Dựa vào hình vẽ, đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung.

    Phát biểu đã cho đúng.

    d) Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\).

    Phát biểu đã cho sai.

    Câu 4:

    Cho hàm số \(y=f(x)=\cos x\) có đồ thị như hình bên dưới.

    Image

    Xét tính đúng sai các phát biểu sau.

    Đáp án:

    • Tập giá trị của hàm số là \([-1;1]\)
    • Nếu \(x\in\left[-\pi; -\displaystyle\frac{\pi}{2}\right] \cup\left[\displaystyle\frac{\pi}{2}; \pi\right]\) thì \(\cos x \leq 0\)

    Lời giải:

    a) Dựa vào đồ thị: Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì \(T=2\pi\).

    Phát biểu đã cho sai.

    b) Dựa vào đồ thị: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2};0\right)\).

    Phát biểu đã cho sai.

    c) Dựa vào đồ thị: Tập giá trị của hàm số là \([-1;1]\).

    Phát biểu đã cho đúng.

    d) Dựa vào đồ thị: Trên đoạn \([-\pi; \pi]\), ta có

    \(\cos x \leq 0 \Leftrightarrow x\in \left[-\pi; -\displaystyle\frac{\pi}{2}\right] \cup\left[\displaystyle\frac{\pi}{2}; \pi\right]\).

    Phát biểu đã cho đúng.

    Phần 3. Tự luận

    Cơ bản

    Nâng cao

    Ứng dụng thực tế

    Cơ bản

    Câu 1:

    Tìm tập xác định của các hàm số sau:

    a) \(y=\displaystyle\frac{1}{\cos x}\);

    b) \(y=\tan\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\);

    c) \(y=\displaystyle\frac{1}{2-\sin^2 x}\).

    a) Điều kiện xác định của hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{\cos x}\) là \(\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne \displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\,(k\in\mathbb{Z})\).

    Vậy tập xác định của hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{\cos x}\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\,(k\in\mathbb{Z})\right\}\).

    b) Điều kiện xác định của hàm số \(y=\tan\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) là

    \(\cos \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\neq0\Leftrightarrow x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\ne \displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\Leftrightarrow x\ne \displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\,(k\in\mathbb{Z}).\)

    Vậy tập xác định của hàm số \(y=\tan\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\left\{\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\,(k\in\mathbb{Z})\right\}\).

    c) Ta có với mọi \(x\in\mathbb{R}\) thì

    \(-1\leq\sin x\leq1\Rightarrow 0\leq\sin^2 x\leq1\Leftrightarrow 1\leq2-\sin^2 x\leq2.\)

    Do đó \(2-\sin^2 x\ne0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

    Vậy tập xác định của hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{2-\sin^2 x}\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

    Câu 2:

    Tìm tập xác định của các hàm số sau:

    a) \(y=\displaystyle\frac{1-\cos x}{\sin x}\);

    b) \(y=\sqrt{\displaystyle\frac{1+\cos x}{2-\cos x}}\).

    a) Hàm số xác định khi \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).

    Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D} = \mathbb{R} \setminus \{k\pi | k \in \mathbb{Z}\}\).

    b) Ta thấy \(1+\cos x \geq 0\) và \(2-\cos x >0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

    Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D} = \mathbb{R}\).

    Câu 3:

    Tim tập xác định của hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{\cos x}\).

    Biểu thức \(\displaystyle\frac{1}{\cos x}\) có nghĩa khi \(\cos x \neq 0\), tức là \(x \neq \displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi\) \((k \in \mathbb{Z})\).

    Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(\mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi \Big| k \in \mathbb{Z} \right\}\).

    Câu 4:

    Tìm tập giá trị của hàm số \(y=2\cos x+1\).

    Ta có

    \(-1\leq\cos x\leq1\Leftrightarrow-2\leq2\cos x\leq2\Leftrightarrow-1\leq2\cos x+1\leq3\Leftrightarrow -1\leq y\leq3.\)

    Vậy tập giá trị của hàm số \(y=2\cos x+1\) là \(T=[-1;3]\).

    Câu 5:

    Tìm tập giá trị của các hàm số sau

    a) \(y=2 \sin \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)-1\);

    b) \(y=\sqrt{1+\cos x}-2\).

    a) Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}= \mathbb{R}\).

    Ta có \(-1 \leq \sin \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) \leq 1\) \(\Rightarrow -3 \leq 2 \sin \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)-1 \leq 1\).

    Suy ra tập giá trị của hàm số là \([-3;1]\).

    b) Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}= \mathbb{R}\).

    Ta có \(-1 \leq \cos x\leq 1\) \(\Rightarrow -2 \leq \sqrt{1+\cos x}-2 \leq \sqrt{2}-2\).

    Suy ra tập giá trị của hàm số là \([-2;\sqrt{2}-2]\).

    Câu 6:

    Tìm tập giá trị của các hàm số sau

    a) \(y=2\cos\left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)-1\);

    b) \(y=\sin x+\cos x\).

    a) Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

    Ta có

    \begin{eqnarray*}&&-1\le \cos\left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\le 1\\ &\Leftrightarrow&-2\le 2\cos\left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\le 2\\ &\Leftrightarrow&-3\le 2\cos\left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)-1\le 1.\end{eqnarray*}

    Vậy \(\min y=-3\) khi và chỉ khi \(\cos\left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=-1\Leftrightarrow 2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}=\pi+k2\pi\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k\pi\) với \(k\in\mathbb{Z}\).

    \(\max y=1\) khi và chỉ khi \(\cos\left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=1\Leftrightarrow 2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}=k2\pi\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k\pi\) với \(k\in\mathbb{Z}\).

    Vậy tập giá trị của hàm số là \([-3;1]\).

    b) Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

    Ta có \(\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\sin x\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).

    Khi đó

    \begin{eqnarray*}&&-1\le \sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\le 1\\ &\Leftrightarrow&-\sqrt{2}\le\sqrt{2}\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\le \sqrt{2}.\end{eqnarray*}

    Vậy \(\min y=-\sqrt{2}\) khi và chỉ khi \(\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=-1\Leftrightarrow x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\) với \(k\in\mathbb{Z}\).

    \(\max y=\sqrt{2}\) khi và chỉ khi \(\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=1\Leftrightarrow x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\) với \(k\in\mathbb{Z}\).

    Vậy tập giá trị của hàm số là \(\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\).

    Câu 7:

    Xét tính tuần hoàn của hàm số \(y=\sin x\) và hàm số \(y=\tan x\).

    Ta có:

    \begin{align*}&\sin x=\sin(x+2\pi)\, \text{với mọi}\, x\in\mathbb{R};\\ &\tan(x+\pi)=\tan x \,\text{với mọi}\, x\ne \displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z}.\end{align*}

    Do đó hàm số \(y=\sin x\) và \(y=\tan x\) là các hàm số tuần hoàn.

    Câu 8:

    Xét tính tuần hoàn của hàm số \(y=\sin 2 x\).

    Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\) và với mọi số thực \(x\), ta có

    \begin{align*}& x-\pi \in \mathbb{R} , x+\pi \in \mathbb{R},\\ & \sin 2(x+\pi)=\sin (2 x+2 \pi)=\sin 2 x.\end{align*}

    Vậy \(y=\sin 2 x\) là hàm số tuần hoàn.

    Câu 9:

    Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác \(y=\cos x\), \(y=\tan x\).

    a) Hàm số \(y=\cos x\) có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\). Với mọi \(x\in\mathbb{R}\) ta có \(-x\in\mathbb{R}\) và \(\cos(-x)=\cos x\).

    Do đó hàm số \(y=\cos x\) là hàm số chẵn.

    b) Hàm số \(y=\tan x\) có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi|\,k\in\mathbb{Z}\right\}\).

    Với mọi \(x\in\mathscr{D}\) thì

    \(x\ne\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\,(k\in\mathbb{Z}) \Leftrightarrow -x\ne -\displaystyle\frac{\pi}{2}-k\pi \Leftrightarrow -x\ne \displaystyle\frac{\pi}{2}-\pi-k\pi \Leftrightarrow -x\ne \displaystyle\frac{\pi}{2}+l\pi\,(l\in\mathbb{Z}),\)

    suy ra \(-x\in\mathscr{D}\). Mặt khác \(\tan(-x)=-\tan x\).

    Do đó hàm số \(y=\tan x\) là hàm số lẻ.

    Câu 10:

    Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số

    a) \(y=f(x)=\sin x \cos x\);

    b) \(y=f(x)=\tan x+\cot x\);

    c) \(y=f(x)=\sin ^2 x\).

    a) Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

    Với mọi \(x \in \mathscr{D}\), ta có \(-x \in \mathscr{D}\)

    và \(f(-x)=\sin (-x)\cos (-x)=-\sin x\cos x=-f(x).\)

    Vậy hàm số \(f(x)=\sin x\cos x\) là hàm lẻ.

    b) Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\displaystyle\frac{\pi}{2}\, \big| \, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

    Với mọi \(x \in \mathscr{D}\), ta có \(-x \in \mathscr{D}\)

    và \(f(-x)=\tan (-x)+\cot (-x)=-\tan x-\cot x=-(\tan x+\cot x)=-f(x).\)

    Vậy hàm số \(f(x)=\tan x+\cot x\) là hàm lẻ.

    c) Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

    Với mọi \(x \in \mathscr{D}\), ta có \(-x \in \mathscr{D}\)

    và \(f(-x)=\sin^2 (-x)=(-\sin x)^2=\sin^2x=f(x).\)

    Vậy hàm số \(f(x)=\sin x\cos x\) là hàm chẵn.

    Câu 11:

    Xét tính chẵn, lẻ của hàm số \(f(x)=x \sin x\).

    Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}= \mathbb{R}\).

    Do đó, nếu \(x\) thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\) thì \(-x\) cũng thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\).

    Ta có \(f(-x)=(-x) \sin (-x)=x \sin x=f(x), \forall x \in \mathscr{D}\).

    Vậy \(f(x)=x \sin x\) là hàm số chẵn.

    Câu 12:

    Xét tính chẵn, lẻ của hàm số: \(f(x)=\sin x+\tan x\).

    Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi \ \Big| \, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

    Với mọi \(x \in \mathscr{D}\), ta có \(-x \in \mathscr{D}\)

    và \(f(-x)=\sin (-x)+\tan (-x)=-\sin x-\tan x=-(\sin x+\tan x)=-f(x).\)

    Vậy hàm số \(f(x)=\sin x+\tan x\) là hàm lẻ.

    Câu 13:

    Các hàm số dưới đây có là hàm số chẵn hay hàm số lẻ không?

    a) \(y=5\sin^2x+1\);

    b) \(y=\cos x+\sin x\);

    c) \(y=\tan 2x\).

    a) Xét hàm số \(y=5\sin^2x+1\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

    Với \(x\in\mathbb{R}\) thì \(-x\in\mathbb{R}\) nên \(\mathscr{D}\) là tập đối xứng.

    Ta có \(y(-x)=5\sin^2(-x)+1=5\sin^2x+1=y(x)\).

    Vậy hàm \(y=5\sin^2x+1\) là hàm số chẵn.

    b) Xét hàm số \(y=\cos x+\sin x\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

    Với \(x\in\mathbb{R}\) thì \(-x\in\mathbb{R}\) nên \(\mathscr{D}\) là tập đối xứng.

    Ta có \(y(-x)=\cos(-x)+\sin(-x)=\cos x-\sin x\).

    Ta có \(y\left( \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =\cos \displaystyle\frac{\pi}{4}+\sin \displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}=\sqrt 2\);\\ \(y\left( -\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =\cos \left( -\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) +\left( -\sin \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}+\left( -\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}\right) =0\).

    Suy ra \(y\left( \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\neq y\left(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) và \(y\left( \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\neq -y\left(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).

    Do đó hàm \(y=\cos x+\sin x\) không phải hàm số chẵn cũng không phải hàm số lẻ.

    c) Xét hàm số \(y=\tan 2x\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\left\{\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\displaystyle\frac{\pi}{2}\,(k\in\mathbb{Z})\right\}\).

    Với \(x\in\mathscr{D}\) thì \(x\ne\displaystyle\frac{\pi}{4}+m\displaystyle\frac{\pi}{2}\,(m\in\mathbb{Z})\) suy ra \(-x\ne-\displaystyle\frac{\pi}{4}-m\displaystyle\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow -x\ne\displaystyle\frac{\pi}{4}-\displaystyle\frac{\pi}{2}-m\displaystyle\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow -x\ne\displaystyle\frac{\pi}{4}-(m+1)\displaystyle\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow -x\ne \displaystyle\frac{\pi}{4}+n\displaystyle\frac{\pi}{2}\,(n\in\mathbb{Z}),\)

    tức là ta có \(-x\in\mathscr{D}\) nên \(\mathscr{D}\) là tập đối xứng.

    Ta có \(y(-x)=\tan(-2x)=-\tan(2x)=-y(x)\).

    Vậy hàm \(y=\tan 2x\) là hàm số lẻ.

    Câu 14:

    Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

    a) \(y=\sin 2 x+\tan 2 x\)

    b) \(y=\cos x+\sin ^2 x\);

    c) \(y=\sin x \cos 2 x\)

    d) \(y=\sin x+\cos x\).

    a) Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}= \mathbb{R} \setminus \left \{ \displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{k\pi}{2}\Big| k \in \mathbb{Z}\right \}\).

    Do đó, nếu \(x\) thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\) thì \(-x\) cũng thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\).

    Ta có \(f(-x)=\sin (-2x)+\tan (-2x)=-\sin 2 x-\tan 2 x=-f(x), \forall x \in \mathscr{D}\).

    Vậy \(y=\sin 2 x+\tan 2 x\) là hàm số lẻ.

    b) Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}= \mathbb{R}\).

    Do đó, nếu \(x\) thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\) thì \(-x\) cũng thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\).

    Ta có \(f(-x)=\cos (-x)+\sin^2 (-x)=\cos x+ \sin^2 x=f(x), \forall x \in \mathscr{D}\).

    Vậy \(y=\cos x+\sin ^2 x\) là hàm số chẵn.

    c) Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}= \mathbb{R}\).

    Do đó, nếu \(x\) thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\) thì \(-x\) cũng thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\).

    Ta có \(f(-x)=\sin (-x) \cos (-2x)=-\sin x \cos 2 x=-f(x), \forall x \in \mathscr{D}\).

    Vậy \(y=\sin x \cos 2 x\) là hàm số lẻ

    d) Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}= \mathbb{R}\).

    Do đó, nếu \(x\) thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\) thì \(-x\) cũng thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\).

    Ta có \(f\left (-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right ) = 0\); \(f\left (\displaystyle\frac{\pi}{4}\right ) = \sqrt{2}\).

    Suy ra \(f\left (-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right ) \ne - f\left (\displaystyle\frac{\pi}{4}\right )\) và \(f\left (-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right ) \ne f\left (\displaystyle\frac{\pi}{4}\right )\).

    Vậy hàm số đã cho không là hàm số lẻ cũng không là hàm số chẵn.

    Câu 15:

    Hàm số \(y=\sin x\) đồng biến hay nghịch biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{11 \pi}{2} ; \displaystyle\frac{13 \pi}{2}\right)\)?

    Ta có \(\left(\displaystyle\frac{11 \pi}{2} ; \displaystyle\frac{13 \pi}{2}\right)=\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2}+6 \pi ; \displaystyle\frac{\pi}{2}+6 \pi\right)\) và hàm số \(y=\sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2}; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\).

    Suy ra hàm số \(y=\sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{11 \pi}{2} ; \displaystyle\frac{13 \pi}{2}\right)\).

    Câu 16:

    Hàm số \(y=\cos x\) đồng biến hay nghịch biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{25 \pi}{3} ; \displaystyle\frac{26 \pi}{3}\right)\)?

    Ta có \(\left(\displaystyle\frac{25 \pi}{3} ; \displaystyle\frac{26 \pi}{3}\right)=\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}+8 \pi ; \displaystyle\frac{2 \pi}{3}+8 \pi\right)\) và hàm số \(y=\cos x\) nghịch biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}; \displaystyle\frac{2 \pi}{3}\right)\).

    Suy ra hàm số \(y=\cos x\) nghịch biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{25 \pi}{3} ; \displaystyle\frac{26 \pi}{3}\right)\).

    Câu 17:

    Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của \(x\) trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\) để

    a) Hàm số \(y=\sin x\) nhận giá trị bằng \(1\);

    b) Hàm số \(y=\sin x\) nhận giá trị bằng \(0\);

    c) Hàm số \(y=\cos x\) nhận giá trị bằng \(-1\);

    d) Hàm số \(y=\cos x\) nhận giá trị bằng \(0\).

    a) Đồ thị hàm số \(y=\sin x\) trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\)

    Image

    Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\) hàm số \(y=\sin x\) nhận giá trị bằng \(1\) khi \(x\in\left\{ -\displaystyle\frac{3\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2}\right\} \).

    b) Đồ thị hàm số \(y=\sin x\) trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\)

    Image

    Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\) hàm số \(y=\sin x\) nhận giá trị bằng \(0\) khi\\ \(x\in\left\{ \pm2\pi;\pm\pi;0\right\} \).

    c) Đồ thị hàm số \(y=\cos x\) trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\)

    Image

    Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\) hàm số \(y=\cos x\) nhận giá trị bằng \(-1\) khi \(x=\pm\pi\).

    d) Đồ thị hàm số \(y=\cos x\) trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\)

    Image

    Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\) hàm số \(y=\cos x\) nhận giá trị bằng \(0\) khi\\ \(x\in\left\{ \pm2\pi;\pm\pi;0\right\} \).

    Câu 18:

    Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của \(x\) trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\) để

    a) Hàm số \(y=\tan x\) nhận giá trị bằng \(-1\);

    b) Hàm số \(y=\tan x\) nhận giá trị bằng \(0\);

    c) Hàm số \(y=\cot x\) nhận giá trị bằng \(1\);

    d) Hàm số \(y=\cot x\) nhận giá trị bằng \(0\).

    a) Đồ thị hàm số \(y=\tan x\) trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\)

    Image

    Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\) hàm số \(y=\tan x\) nhận giá trị bằng \(-1\) khi \(x\in\left\lbrace -\displaystyle\frac{\pi}{4};\displaystyle\frac{3\pi}{4}\right\rbrace \).

    b) Đồ thị hàm số \(y=\tan x\) trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\)

    Image

    Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\) hàm số \(y=\tan x\) nhận giá trị bằng \(0\) khi \(x\in\left\lbrace 0;\pi\right\rbrace \).

    c) Đồ thị hàm số \(y=\tan x\) trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\).

    Image

    Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\) hàm số \(y=\cot x\) nhận giá trị bằng \(1\) khi\\ \(x\in\left\{ -\displaystyle\frac{3\pi}{4};\displaystyle\frac{\pi}{4};\displaystyle\frac{5\pi}{4}\right\} \).

    d) Đồ thị hàm số \(y=\tan x\) trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\).

    Image

    Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng \(\left(-\pi; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\) hàm số \(y=\cot x\) nhận giá trị bằng \(1\) khi \(x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

    Câu 19:

    Xét sự biến thiên của mỗi hàm số sau trên các khoảng tương ứng:

    a) \(y=\sin x\) trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{9 \pi}{2} ;-\displaystyle\frac{7 \pi}{2}\right)\), \(\left(\displaystyle\frac{21 \pi}{2} ; \displaystyle\frac{23 \pi}{2}\right)\);

    b) \(y=\cos x\) trên khoảng \((-20 \pi ;-19 \pi)\), \((-9 \pi ;-8 \pi)\).

    a) Do \(\left(-\displaystyle\frac{9\pi}{2};-\displaystyle\frac{7\pi}{2}\right)=\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2}-4\pi ; \displaystyle\frac{\pi}{2}-4 \pi\right)\) nên hàm số \(y=\sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{9 \pi}{2} ; -\displaystyle\frac{7\pi}{2}\right)\).

    Do \(\left(\displaystyle\frac{21\pi}{2} ; \displaystyle\frac{23\pi}{2}\right)=\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}+10\pi ; \displaystyle\frac{3\pi}{2}+10 \pi\right)\) nên hàm số \(y=\sin x\) nghịch biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{21 \pi}{2} ; \displaystyle\frac{23\pi}{2}\right)\).

    c) Do \((-20 \pi ;-19 \pi)=(-20\pi;\pi-20\pi)\) nên hàm số \(y=\cos x\) nghịch biến trên khoảng \((-20 \pi ;-19 \pi)\).

    Do \((-9 \pi ;-8 \pi)=(-\pi-8\pi;-8\pi)\) nên hàm số \(y=\cos x\) đồng biến trên khoảng \((-9 \pi ;-8 \pi)\).

    Câu 20:

    Dùng đồ thị hàm số, hãy cho biết:

    a) Với mỗi \(m \in[-1 ; 1]\), có bao nhiêu giá trị \(\alpha \in\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\) sao cho \(\sin \alpha=m\);

    b) Với mỗi \(m \in[-1 ; 1]\), có bao nhiêu giá trị \(\alpha \in[0 ; \pi]\) sao cho \(\cos \alpha=m\);

    c) Với mỗi \(m \in \mathbb{R}\), có bao nhiêu giá trị \(\alpha \in\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) sao cho \(\tan\alpha=m\);

    d) Với mỗi \(m \in \mathbb{R}\), có bao nhiêu giá trị \(\alpha \in(0 ; \pi)\) sao cho \(\cot \alpha=m\).

    a) Đồ thị hàm số \(y=\sin x\)

    Image

    Dựa vào đồ thị ta thấy với mỗi \(m \in[-1 ; 1]\), có một giá trị \(\alpha \in\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\) sao cho \(\sin \alpha=m\).

    b) Đồ thị hàm số \(y=\cos x\)

    Image

    Dựa vào đồ thị ta thấy với mỗi \(m \in[-1 ; 1]\), có một giá trị \(\alpha \in\left[0;\pi\right]\) sao cho \(\cos \alpha=m\).

    c) Đồ thị hàm số \(y=\tan x\)

    Image

    Dựa vào đồ thị ta thấy với mỗi \(m \in \mathbb{R}\), có một giá trị \(\alpha \in\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) sao cho tan \(\alpha=m\).

    d) Đồ thị hàm số \(y=\cot x\)

    Image

    Dựa vào đồ thị ta thấy với mỗi \(m \in \mathbb{R}\), có một giá trị \(\alpha \in(0 ; \pi)\) sao cho \(\cot \alpha=m\).

    Câu 21:

    Sử dụng đồ thị ở hình dưới, hãy xác định các giá trị của \(x\) trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right]\) để hàm số \(y=\sin x\)

    Image

    a) Nhận giá trị bằng \(0\);

    b) Nhận giá trị dương.

    a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right], y=0\) khi \(x=0 ; x=\pi\).

    b) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành.

    Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right]\), thì \(y >0\) khi \(x \in(0 ; \pi)\).

    Câu 22:

    Dựa vào đồ thị của hàm số \(y=\sin x\), xác định các giá trị \(x\in[-\pi;\pi]\) thoả mãn \(\sin x=\displaystyle\frac{1}{2}\).

    Vẽ đồ thị hàm \(y=\sin x\) và đường thẳng \(y=\displaystyle\frac{1}{2}\) trên cùng một hệ trục toạ độ.

    Image

    Quan sát hình vẽ ta thấy trên \([-\pi;\pi]\) đồ thị hàm số \(y=\sin x\) cắt đường thẳng \(y=\displaystyle\frac{1}{2}\) tại hai điểm \(x=\displaystyle\frac{\pi}{6}\) và \(x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}\).

    Vậy các giá trị cần tìm là \(x\in\left\{\displaystyle\frac{\pi}{6};\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right\}\).

    Câu 23:

    Sử dụng đồ thị ở hình dưới, hãy xác định các giá trị của \(x\) trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{3\pi}{2} ; \displaystyle\frac{ \pi}{2}\right]\) để hàm số \(y=\cos x\)

    Image

    a) Nhận giá trị bằng \(0\);

    b) Nhận giá trị âm.

    a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{3 \pi}{2} ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right], y=0\) khi \(x=-\displaystyle\frac{3 \pi}{2}, x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}, x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

    b) Hàm số nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành.

    Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{3 \pi}{2} ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\), thì \(y <0\) khi \(x \in\left(-\displaystyle\frac{3 \pi}{2} ;-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\).

    Câu 24:

    Sử dụng đồ thị ở hình dưới, hãy xác định các giá trị của \(x\) trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right]\) để hàm số \(y=\tan x\)

    Image

    a) Nhận giá trị bằng \(0\);

    b) Nhận giá trị dương.

    a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn \(\left[-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right], y=0\) khi \(x=-\pi ; x=0 ; x=\pi\).

    b) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành.

    Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn \(\left[-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right]\) thì \(y>0\) khi \(x \in\left(-\pi ;-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) \cup\left(0 ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\).

    Câu 25:

    Sử dụng đồ thị ở hình dưới, hãy xác định các giá trị của \(x\) trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; 2 \pi\right]\) để hàm số \(y=\cot x\) :

    Image

    a) Nhận giá trị bằng \(0\);

    b) Nhận giá trị âm.

    a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; 2 \pi\right] y=0\) khi \(x=-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; x=\displaystyle\frac{\pi}{2} ; x=\displaystyle\frac{3 \pi}{2}\).

    b) Hàm số nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành.

    Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; 2 \pi\right]\) thì \(y<0\) khi \(x \in\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; 0\right) \cup\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \pi\right) \cup\left(\displaystyle\frac{3 \pi}{2} ; 2 \pi\right)\).

    Câu 26:

    Từ đồ thị của hàm số \(y=\tan x\), hãy tìm các giá trị \(x\) sao cho \(\tan x=0\).

    Từ đồ thị của hàm số \(y=\tan x\) suy ra

    \(\tan x=0 \Leftrightarrow x = k\pi, k \in \mathbb{Z}.\)

    Câu 27:

    Tại các giá trị nào của \(x\) thì đồ thị hàm số \(y=\cos x\) và \(y=\sin x\) giao nhau?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    \(\cos x=\sin x\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\, (k\in \mathbb{Z}).\)

    Vậy đồ thị hàm số \(y=\cos x\) và \(y=\sin x\) giao nhau tại \(x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\, (k\in \mathbb{Z})\).

    Câu 28:

    Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?

    a) \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{3}{5}\) và \(\cos \alpha=-\displaystyle\frac{4}{5}\);

    b) \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{1}{3}\) và \(\cot \alpha=\displaystyle\frac{1}{2}\);

    c) \(\tan \alpha=3\) và \(\cot \alpha=\displaystyle\frac{1}{3}\).

    a) Ta có \(\sin^2 \alpha=\displaystyle\frac{9}{25}\) và \(\cos^2 \alpha=\displaystyle\frac{16}{25}\).

    Khi đó, \(\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=\displaystyle\frac{9}{25}+\displaystyle\frac{16}{25}=1\).

    Vậy các đẳng thức \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{3}{5}\) và \(\cos \alpha=-\displaystyle\frac{4}{5}\) có thể đồng thời xảy ra.

    b) Ta có \(\displaystyle\frac{1}{\sin ^2 \alpha}=9\) và \(1+\cot^2 \alpha=1+\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{5}{4}\).

    Vậy các đẳng thức \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{1}{3}\) và \(\cot \alpha=\displaystyle\frac{1}{2}\) không đồng thời xảy ra.

    c) Ta có \(\tan \alpha=3 \Rightarrow \cot \alpha=\displaystyle\frac{1}{3}\).

    Vậy các đẳng thức \(\tan \alpha=3\) và \(\cot \alpha=\displaystyle\frac{1}{3}\) đồng thời xảy ra.

    Câu 29:

    Cho \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{12}{13}\) và \(\cos \alpha=-\displaystyle\frac{5}{13}\). Tính \(\sin \left(-\displaystyle\frac{15 \pi}{2}-\alpha\right)-\cos (13 \pi+\alpha)\).

    Ta có

    \(\begin{aligned}\sin \left(-\displaystyle\frac{15 \pi}{2}-\alpha\right)-\cos (13 \pi+\alpha)&=\sin \left(-8\pi +\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\cos (12\pi+\pi+\alpha)\\ &=\cos \alpha+ \cos \alpha=2\cos \alpha=-\displaystyle\frac{10}{13}.\end{aligned}\)

    Nâng cao

    Ứng dụng thực tế

    Câu 1:

    Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/ huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp \(120/80\) là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hóa bởi hàm số \(p(t)=115+25\sin(160\pi t)\), trong đó \(p(t)\) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimet thủy ngân) và thời gian \(t\) tính theo phút.

    a) Tìm chu kì của hàm số \(p(t)\).

    b) Tìm số nhịp tim mỗi phút.

    c) Tìm số chỉ huyết áp. So sánh huyết áp của người này với huyết áp bình thường.

    a) Chu kì của hàm số \(p(t)\) là \(T=\displaystyle\frac{2\pi}{160\pi}=\displaystyle\frac{1}{80}\).

    b) Chu kì của huyết áp là \(T=\displaystyle\frac{1}{80}\) nghĩa là \(1\) phút thì nhịp tim của người này là \(80\).

    c) Ta có

    \begin{eqnarray*}&&-1\le \sin(160\pi t)\le 1\\ &\Leftrightarrow& -25\le 25\sin(160\pi t)\le 25\\ &\Leftrightarrow& 90\le 115+25\sin(160\pi t)\le 140.\end{eqnarray*}

    Do đó, số chỉ huyết áp của người này là \(140/90\). Huyết áp của người này so với huyết áp bình thường là cao hơn.

    Câu 2:

    Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hoá bởi hàm số \(h(t)=90 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{10} t\right)\), trong đó \(h(t)\) là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm \(t\) giây.

    a) Tìm chu kì của sóng.

    b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.

    a) Chu kì của sóng là \(T= \displaystyle\frac{2\pi}{\tfrac{\pi}{10}} = 20\) (giây).

    b) Ta có \(-90 \leq 90 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{10} t\right) \leq 90\), suy ra chiều cao của sóng là \(90- (-90) =180\) (cm).

    Câu 3:

    Trong hình vẽ bên dưới, một chiếc máy bay \(A\) bay ở độ cao \(500\) m theo một đường thẳng đi ngang qua phía trên trạm quan sát \(T\) ở mặt đất. Hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt đất là \(H\), \(\alpha\) là góc lượng giác \(\left(Tx,TA\right)\) \(\left(0<\alpha<\pi\right)\).

    Image

    a) Biểu diễn tọa độ \(x_H\) của điểm \(H\) trên trục \(Tx\) theo \(\alpha\).

    b) Dựa vào đồ thị hàm số côtang, hãy cho biết với \(\displaystyle\frac{\pi}{6} < \alpha < \displaystyle\frac{2\pi}{3}\) thì \(x_H\) nằm trong khoảng nào? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

    a) Coi trạm quan sát \(T\) là gốc tọa độ thì ta có

    \(x_H = \overline{TH} = AH\cdot\cot\alpha = 500\cot\alpha\;\left(\text{m}\right).\)

    b) Dựa vào đồ thị hàm số \(\cot x\)

    Image

    Ta thấy với \(\displaystyle\frac{\pi}{6} < \alpha < \displaystyle\frac{2\pi}{3}\) thì \(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} < \cot \alpha < \sqrt{3}\).

    Do đó \(-\displaystyle\frac{500\sqrt{3}}{3} < x_H < 500\sqrt{3}\). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười ta được \(-288{,}7 < x_H< 866.\)

    Câu 4:

    Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin \(M\) phụ thuộc vào góc lượng giác \(\alpha = \left(Ox,OM\right)\) theo hàm số \(v_x = 0{,}3\sin\alpha\) (m/s) (Hình vẽ bên).

    a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(v_x\).

    b) Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy cho biết trong vòng quay đầu tiên \(\left(0\le \alpha\le 2\pi\right)\), góc \(\alpha\) ở trong các khoảng nào thì \(v_x\) tăng?

    Image

    a) Vì \(-1\le\sin\alpha\le 1\) nên \(-0{,}3\le 0{,}3\sin\alpha\le 0{,3}\) hay \(-0{,}3\le v_x \le 0{,3}\).

    Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(v_x\) lần lượt là \(0{,}3\) m/s và \(-0{,}3\) m/s.

    a) Ta có đồ thị của hàm số \(v_x\) trên \(\left[0;2\pi\right]\) như sau.

    Image

    Dựa vào đồ thị ta có trên các khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) và \(\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2};2\pi\right)\) thì \(v_x\) tăng.

    Câu 5:

    Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính của guồng đều bằng \(3\) m. Xét gàu \(G\) của guồng. Ban đầu gàu \(G\) nằm ở vị trí \(A\) (Hình vẽ bên).

    a) Viết hàm số \(h\) biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu \(G\) so với mặt nước theo góc \(\alpha = \left(OA,OG\right)\).

    b) Guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây. Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy cho biết ở các thời điểm \(t\) nào trong 1 phút đầu, khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng \(1{,}5\) mét?

    Image

    a) Ta có chiều cao \(h_\alpha\) của gàu \(G\) so với mặt nước là

    \(h_\alpha = 3 + 3\sin\alpha\;(\text{m}).\)

    b) Vì guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây nên trong 60 giây đầu, guồng \(G\) đi được đúng 2 vòng.

    Ta có đồ thị của hàm số \(h_\alpha\) trong 2 chu kì đầu tiên như sau:

    Image

    Dựa vào đồ thị hàm số sin, ta thấy trong 2 chu kì đầu tiên thì có 4 thời điểm mà gàu \(G\) cách mặt nước \(1{,}5\) mét, ứng với các thời điểm \(t=17{,5}\)s; \(t=27{,5}\)s; \(t=47{,5}\)s và \(t=57{,5}\)s.

    Câu 6:

    Trong Địa lí, phép chiếu hình trụ được sử dụng để vẽ một bản đồ phẳng như trong hình bên. Trên bản đồ phẳng lấy đường xích đạo làm trục hoành và kinh tuyến \(0^{\circ}\) làm trục tung. Khi đó tung độ của một điểm có vĩ độ \(\varphi^{\circ}(-90<\varphi<90)\) được cho bởi hàm số \(y=20 \tan \left(\displaystyle\frac{\pi}{180} \varphi\right)\) (cm).

    Sử dụng đồ thị hàm số tang, hãy cho biết những điểm ở vĩ độ nào nằm cách xích đạo không quá \(20\) (cm) trên bản đồ.

    Image

    Vì điểm nằm cách xích đạo không quá \(20\) (cm) trên bản đồ nên ta có \(-20 \leq y \leq 20\).

    Khi đó \(-20 \leq 20 \tan \left(\displaystyle\frac{\pi}{180} \varphi\right) \leq 20\) hay \(-1 \leq \tan \left(\displaystyle\frac{\pi}{180} \varphi\right) \leq 1\).

    Ta có \(-90<\varphi<90\) khi và chi khi \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}<\displaystyle\frac{\pi}{180} \varphi<\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

    Xét đồ thị hàm số \(y=\tan x\) trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\).

    Image

    Ta thấy \(-1 \leq \tan \left(\displaystyle\frac{\pi}{180} \varphi\right) \leq 1\) khi và chi khi \(-\displaystyle\frac{\pi}{4} \leq \displaystyle\frac{\pi}{180} \varphi \leq \displaystyle\frac{\pi}{4}\) hay \(-45 \leq \varphi \leq 45\).

    Vậy trên bản đồ, các điểm cách xích đạo không quá \(20\) (cm)

    nằm ở vĩ độ từ \(-45^{\circ}\) đến \(45^{\circ}\).

    Câu 7:

    Nhiệt độ ngoài trời \(T\) (tính bằng \({ }^{\circ} \mathrm{C}\)) vào thời điểm \(t\) giờ trong một ngày ở một thành phố được tính bởi công thức \(T=20+4 \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{12} t-\displaystyle\frac{5 \pi}{6}\right)\). Để bảo quản các tác phẩm nghệ thuật, hệ thống điều hoà nhiệt độ của một bào tàng sẽ được tự động bật khi nhiệt độ ngoài trời từ \(22^{\circ} \mathrm{C}\) trở lên. Dựa vào đồ thị của hàm số \(\sin\), hãy xác định khoảng thời gian \(t\) trong ngày \((0 \leq t \leq 24)\) hệ thống điều hoà được bật.

    Ta có \(T \geq 22\) khi và chỉ khi \(20+4 \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{12} t-\displaystyle\frac{5 \pi}{6}\right) \geq 22\) hay \(\sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{12} t-\displaystyle\frac{5 \pi}{6}\right) \geq \displaystyle\frac{1}{2}\).\\ Vì \(0 \leq t \leq 24\) nên \(-\displaystyle\frac{5 \pi}{6} \leq \displaystyle\frac{\pi}{12} t-\displaystyle\frac{5 \pi}{6} \leq \displaystyle\frac{7 \pi}{6}\).

    Xét đồ thị hàm số \(y=\sin x\) trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{5 \pi}{6} ; \displaystyle\frac{7 \pi}{6}\right]\).

    Image

    Ta thấy \(\sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{12} t-\displaystyle\frac{5 \pi}{6}\right) \geq \displaystyle\frac{1}{2}\) khi và chỉ khi \(\displaystyle\frac{\pi}{6} \leq \displaystyle\frac{\pi}{12} t-\displaystyle\frac{5 \pi}{6} \leq \displaystyle\frac{5 \pi}{6}\) hay \(12 \leq t \leq 20\).

    Vậy hệ thống điều hoà được bật trong khoảng thời gian từ \(12\) giờ đến \(20\) giờ trong ngày.

    Câu 8:

    Một dao động điều hoà có phương trình li độ dao động là \(x=A \cos (\omega t+\varphi)\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây, \(A\) là biên độ dao động và \(x\) là li độ dao động đều được tính bằng centimét. Khi đó, chu kì \(T\) của dao động là \(T=\displaystyle\frac{2 \pi}{\omega}\). Xác định giá trị của li độ khi \(t=0\), \(t=\displaystyle\frac{T}{4}\), \(t=\displaystyle\frac{T}{2}\), \(t=\displaystyle\frac{3T}{4}\), \(t=T\) và vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà trên đoạn \([0;2T]\) trong trường hợp

    a) \(A=3\) cm, \(\varphi=0\);

    b) \(A=3\) cm, \(\varphi=-\displaystyle\frac{\pi}{2}\);

    c) \(A=3\) cm, \(\varphi=\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

    a) Khi \(A=3\) cm, \(\varphi=0\) thì phương trình li độ là

    \(x=A \cos (\omega t+\varphi)=3\cos(\omega t).\)

    +) Với \(t=0\) thì \(x=3\cos(\omega\cdot 0)=3\);

    +) Với \(t=\displaystyle\frac{T}{4}\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{T}{4}\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{4\omega}\right)=3\cos\displaystyle\frac{\pi}{2}=0\);

    +) Với \(t=\displaystyle\frac{T}{2}\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{T}{2}\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{2\omega}\right)=3\cos\pi=-3\);

    +) Với \(t=\displaystyle\frac{3T}{4}\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{3T}{4}\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{6\pi}{4\omega}\right)=3\cos\displaystyle\frac{3\pi}{2}=0\);

    +) Với \(t=T\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot T\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\right)=3\cos2\pi=3\).

    Đồ thị biểu diễn li độ của dao động trên đoạn \([0;2T]\)

    Image

    b) Khi \(A=3\) cm, \(\varphi=-\displaystyle\frac{\pi}{2}\) thì phương trình li độ là

    \(x=A \cos (\omega t+\varphi)=3\cos\left( \omega t-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right).\)

    +) Với \(t=0\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot 0-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=0\);

    +) Với \(t=\displaystyle\frac{T}{4}\) thì \(x=3\cos\left(\omega\cdot\displaystyle\frac{T}{4}-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{4\omega}-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos 0=3\);

    +) Với \(t=\displaystyle\frac{T}{2}\) thì \(x=3\cos\left(\omega\cdot\displaystyle\frac{T}{2}-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{2\omega}-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=0\);

    +) Với \(t=\displaystyle\frac{3T}{4}\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{3T}{4}-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{6\pi}{4\omega}-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos\pi=-3\);

    +) Với \(t=T\) thì \(x=3\cos\left(\omega\cdot T-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) =3\cos\left(\omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{\omega}-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos\left( \displaystyle\frac{3\pi}{2}\right) =0\).

    Đồ thị biểu diễn li độ của dao động trên đoạn \([0;2T]\)

    Image

    c) Khi \(A=3\) cm, \(\varphi=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) thì phương trình li độ là

    \(x=A \cos (\omega t+\varphi)=3\cos\left( \omega t+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) .\(

    +) Với \(t=0\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot 0+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=0\);

    +) Với \(t=\displaystyle\frac{T}{4}\) thì \(x=3\cos\left(\omega\cdot\displaystyle\frac{T}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{4\omega}+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos \pi=-3\);

    +) Với \(t=\displaystyle\frac{T}{2}\) thì \(x=3\cos\left(\omega\cdot\displaystyle\frac{T}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{2\omega}+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right)=0\);

    +) Với \(t=\displaystyle\frac{3T}{4}\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{3T}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{6\pi}{4\omega}+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos2\pi=3\);

    +) Với \(t=T\) thì \(x=3\cos\left(\omega\cdot T+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) =3\cos\left(\omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{\omega}+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos\left( \displaystyle\frac{5\pi}{2}\right) =0\).

    Đồ thị biểu diễn li độ của dao động trên đoạn \([0;2T]\)

    Image

    Câu 9:

    Guồng nước (hay còn gọi là cọn nước) không chỉ là công cụ phục vụ sản xuất nông nghiệp, mà đã trở thành hình ảnh quen thuộc của bản làng và là một nét văn hoá đặc trưng của đồng bào dân tộc miền núi phía Bắc.

    Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính \(2,5\) m; trục của nó đặt cách mặt nước \(2\) m. Khi guồng quay đều, khoảng cách \(h\) (m) từ một ống đựng nước gắn tại một điểm của guồng đến mặt nước được tính theo công thức \(h=|y|\), trong đó \(y=2{,}5 \sin \left(2 \pi x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)+2\), với \(x\) (phút) là thời gian quay của guồng \((x \geq 0)\). Hãy chỉ ra một số giá trị của \(x\) để ống đựng nước cách mặt nước \(2\) m.

    Ta có

    \begin{eqnarray*}h=2&\Leftrightarrow&\left| y=2{,}5 \sin \left(2 \pi x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)+2\right|=2\\ &\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&y=2{,}5 \sin \left(2 \pi x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)+2=2\\&y=2{,}5 \sin \left(2 \pi x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)+2=-2\end{aligned}\right.\\ &\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&\sin \left(2 \pi x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=0\\&\sin \left(2 \pi x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=-\displaystyle\frac{8}{5}\text{ (không xảy ra)}\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

    Đồ thị

    Image

    Dựa vào đồ thị ta thấy một số giá trị của \(x\) để ống đựng nước cách mặt nước \(2\) m là

    \(x\in\left\lbrace \displaystyle\frac{1}{4};\displaystyle\frac{3}{4};\displaystyle\frac{5}{4};\displaystyle\frac{7}{4};\displaystyle\frac{9}{4};\displaystyle\frac{11}{4};\displaystyle\frac{13}{4};\displaystyle\frac{15}{4};\ldots\right\rbrace \).