Đáp án: \(x\neq\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\)

Lời giải:

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\cos x\neq 0\Leftrightarrow x\neq\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\).

Đáp án: \(\mathbb{R}\)

Lời giải:

Hàm số \(y=\sin x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Đáp án: \(-8\) và \(-2\)

Lời giải:

Vì \(-1\le \cos 2x\le 1\Rightarrow -8\le 3\cos 2x-5\le -2\).

Vậy GTNN của hàm số là \(-8\) khi \(\cos 2x=-1\) \(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\).

GTLN của hàm số là \(-2\) khi \(\cos 2x=1\) \(\Leftrightarrow x=k\pi\).

Đáp án: \(7\)

Lời giải:

Ta có \( y=3\cos x+4\le 3\cdot 1+4=7 \), suy ra \( \max y=7 \).

Đáp án: \(T=\left[-13;13\right]\)

Lời giải:

Ta có

\(y=12\sin x-5\cos x\) \(=13\left(\displaystyle\frac{12}{13}\sin x-\displaystyle\frac{5}{13}\cos x\right).\)

Đặt \(\displaystyle\frac{12}{13}=\cos \alpha \) \(\Rightarrow \displaystyle\frac{5}{13}=\sin \alpha \), khi đó

\(y=13\left(\sin x\cos \alpha-\sin \alpha \cos x\right)\) \(=13\sin \left(x-\alpha \right)\)

\(\Rightarrow -13\le y\le 13\) \(\Rightarrow T=\left[-13;13\right].\)

Đáp án: \(2021\)

Lời giải:

Ta có

\(y=2\cos^2x-2\sqrt{3}\sin x\cos x+2018\)

\(=1+\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x+2018\)

\(=2\left(\displaystyle\frac{1}{2}\cos 2x-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x\right)+2019\)

\(=2\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}-2x\right)+2019\le 2+2019=2021.\)

Dấu = xảy ra khi

\(\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}-2x\right)=1\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{\pi}{6}-2x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi \) \(\Leftrightarrow -2x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k2\pi\) \(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{-\pi}{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right).\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(2021\) khi \(x=\displaystyle\frac{-\pi}{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\).

Đáp án: \(y=\tan x\)

Lời giải:

Hàm số \(y=\tan x\) đồng biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{\pi}{2};\pi\right)\).

Đáp án: Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{\pi}{2};\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right)\)

Lời giải:

Ta có thể hiểu thế này: Hàm số \(y=\sin x\) đồng biến khi góc \(x\) thuộc góc phần tư thứ IV và thứ I; nghịch biến khi góc \(x\) thuộc gốc phần tư thứ II và thứ III

Đáp án: \(y=\cos x\)

Lời giải:

=\cos x\), nên nó là hàm số chẵn.

Đáp án: \(y=1+\cos x\)

Lời giải:

+) Hàm số \(y=1+\cos x \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) và đây là hàm số chẵn.

+) Hàm số \(y=1+\sin x \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\), hàm số này không phải là hàm số chẵn và không phải là hàm số lẻ.

+) Hàm số \(y=1+\tan x \) có tập xác định là \(\left\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\right\}\), hàm số này không phải là hàm số chẵn và không phải là hàm số lẻ.

+) Hàm số \(y=1+\cot x \) có tập xác định là \(\left\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq k \pi, k \in \mathbb{Z}\right\}\), hàm số này không phải là hàm số chẵn và không phải là hàm số lẻ.

Đáp án: \(T=\pi \)

Lời giải:

Hàm số \(y=\cot \left(ax+b\right)\) tuần hoàn với chu kì \(T=\displaystyle\frac{\pi}{\left| a\right|}\).

Áp dụng: Hàm số \(y=\tan 3x\) tuần hoàn với chu kì \(T_1=\displaystyle\frac{\pi}{3}.\)

Hàm số \(y=\cot x\) tuần hoàn với chu kì \(T_2=\pi.\)

Suy ra hàm số \(y=\tan 3x+\cot x\) tuần hoàn với chu kì \(T=\pi.\)

Nhận xét. \(T\) là bội chung nhỏ nhất của \(T_1\) và \(T_2.\)

Đáp án: \(T=\displaystyle\frac{\pi}{3}\)

Lời giải:

Hàm số \(y=\sin \left(ax+b\right)\) tuần hoàn với chu kì \(T=\displaystyle\frac{2\pi}{\left| a\right|}\).

Do vậy, hàm số \(y=\sin \left(6x-\displaystyle\frac{\pi}{8}\right)\) tuần hoàn với chu kì \(T=\displaystyle\frac{2\pi}{6}=\displaystyle\frac{\pi}{3}\).

Đáp án: \(y=\cos \displaystyle\frac{2x}{3}\)

Lời giải:

Ta thấy:

Tại \(x=0\) thì \(y=1\).

Tại \(x=3\pi \) thì \(y=1\).

Thay vào các phương án tìm được hàm thỏa mãn là

\(y=\cos \displaystyle\frac{2x}{3}\)

Đáp án: \(y=\left| \tan x\right|\)

Lời giải:

Ta thấy hàm số có GTNN bằng \(0\).

Hàm số xác định tại \(x=\pi \) và tại \(x=\pi \) thì \(y=0\).

Hàm số thỏa mãn là \(y=\left| \tan x\right|\)

Đáp án:

• Hàm số \(y=\cot \left(3x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) xác định khi \(x \neq \displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k \pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z})\)
• Hàm số \(y=\displaystyle\frac{\sin x}{2-\cos x}\) có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\)
• Hàm số \(y=\tan 2 x+\cot 2 x\) xác định khi \(\begin{cases}\cos 2x\neq 0\\ \sin 2x\neq 0.\end{cases}\)

Lời giải:

a) Hàm số xác định \(\Leftrightarrow 3 x-\displaystyle\frac{\pi}{4} \neq k \pi\,(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \neq \displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k \pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z})\).

Vậy tập xác định của hàm số: \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{\left.\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k \pi}{3} \right\rvert\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

b) Hàm số xác định \(\Leftrightarrow \sin x-1 \geq 0 \Leftrightarrow \sin x \geq 1 \Leftrightarrow \sin x=1 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k 2 \pi\,(k \in \mathbb{Z})\).

Vậy tập xác định của hàm số: \(\mathscr{D}=\left\{\left.\displaystyle\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \right\rvert\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

c) Hàm số xác định \(\Leftrightarrow 2-\cos x \neq 0 \Leftrightarrow \cos x \neq 2\) (đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)).

Vậy tập xác định của hàm số: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

d) Hàm số xác định \(\Leftrightarrow\begin{cases}\cos 2x\neq 0\\ \sin 2x\neq 0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}{2x\neq\displaystyle\frac{\pi}2+k\pi}\\ {2x\neq l\pi}\end{cases}(k, l\in\mathbb{Z})\Leftrightarrow\begin{cases}x\neq\displaystyle\frac{\pi}4+k\displaystyle\frac{\pi}2\\ x\neq l\displaystyle\frac{\pi}2\end{cases}\,(k, l\in\mathbb{Z}).\)

Vậy tập xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{\displaystyle\frac{\pi}{4}+k \displaystyle\frac{\pi}{2} ; \left.\ell \displaystyle\frac{\pi}{2} \right\rvert\, k,\ell \in \mathbb{Z}\right\}\).

Đáp án:

• Hàm số \(y=\tan \left(2 x-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\) xác định khi \(x \neq \displaystyle\frac{\pi}{3}+k \displaystyle\frac{\pi}{2}\) \((k \in \mathbb{Z})\)
• Hàm số \(y=\cot \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\) xác định khi \(x+\displaystyle\frac{\pi}{3} \neq k \pi\) \((k \in \mathbb{Z})\)

Lời giải:

a) Đúng.

Hàm số xác định \(\Leftrightarrow 2 x-\displaystyle\frac{\pi}{6} \neq \displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi\,(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow 2 x \neq \displaystyle\frac{2 \pi}{3}+k \pi\,(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \neq \displaystyle\frac{\pi}{3}+k \displaystyle\frac{\pi}{2}\,(k \in \mathbb{Z})\).

Vậy \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{\displaystyle\frac{\pi}{3}+k \displaystyle\frac{\pi}{2} \,\middle|\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

b) Đúng.

Hàm số xác định \(\Leftrightarrow x+\displaystyle\frac{\pi}{3} \neq k \pi(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \neq-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k \pi(k \in \mathbb{Z})\).

Vậy \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{\left.-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k \pi \right\rvert\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

c) Sai.

Hàm số xác định \(\Leftrightarrow \sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k \pi(k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow \mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\{k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\).

d) Sai.

Hàm số xác định \(\Leftrightarrow\begin{cases}{\cos x\neq 0}\\ {3x\neq\displaystyle\frac{\pi}2+k\pi}\end{cases}(k\in\mathbb{Z})\Leftrightarrow\begin{cases}x\neq\displaystyle\frac{\pi}2+k\pi\\ x\neq\displaystyle\frac{\pi}6+k\displaystyle\frac{\pi}3\end{cases}\,(k\in\mathbb{Z})\Leftrightarrow x\neq\displaystyle\frac{\pi}6+k\displaystyle\frac{\pi}3(k\in\mathbb{Z})\).

Vậy \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{\left.\displaystyle\frac{\pi}{6}+k \displaystyle\frac{\pi}{3} \right\rvert\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

Đáp án:

• Hàm số \(y=\tan \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) xác định khi và chỉ khi \(\cos \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) \neq 0\)
• Hàm số \(y=\displaystyle\frac{1+\cos x}{\sin x}\) có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\{k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\)
• Hàm số \(y=\cot \left(3 x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) xác định khi và chỉ khi \(x \neq \displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k \pi}{3}\) \((k \in \mathbb{Z})\)

Lời giải:

a) Đúng. Hàm số \(y=\tan \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) xác định khi và chỉ khi \(\cos \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) \neq 0\).

b) Đúng.

Hàm số \(y=\displaystyle\frac{1+\cos x}{\sin x}\) xác định \(\Leftrightarrow \sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k \pi\,(k \in \mathbb{Z})\).

Vậy tập xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\{k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\).

c) Đúng.

Hàm số \(y=\cot \left(3 x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) xác định \(\Leftrightarrow 3 x-\displaystyle\frac{\pi}{4} \neq k \pi \Leftrightarrow x \neq \displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k \pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z})\).

Vậy tập xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{\left.\displaystyle\frac{\pi}{12}+\displaystyle\frac{k \pi}{3} \right\rvert\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

d) Sai.

Điệu kiện xác định \(\begin{cases}\sin x\neq 0\\ \cos x\neq 0\\ \sqrt 3\tan x-3\neq 0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x\neq k\pi\\ x\neq\displaystyle\frac{\pi}2+k\pi\,(k\in\mathbb{Z}).\\ x\neq\displaystyle\frac{\pi}3+k\pi\end{cases}\)

Vậy tập xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{\displaystyle\frac{k \pi}{2}; \left.\displaystyle\frac{\pi}{3}+k \pi \right\rvert\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

Đáp án:

• Hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{\sin x}\) có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\)
• Hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{\cos \left(2 x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)+1}\) xác định khi \(\cos \left(2 x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \neq-1\)
• Hàm số \(y=\displaystyle\frac{\tan x+2}{3 \sin x}+1\) có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{k \displaystyle\frac{\pi}{2} \,\middle|\, k \in \mathbb{Z}\right\}\)

Lời giải:

a) Đúng.

Hàm số xác định khi \(\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k \pi,(k \in \mathbb{Z})\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\{k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\).

b) Đúng.

Hàm số xác định khi \(\cos \left(2 x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)+1 \neq 0 \Leftrightarrow \cos \left(2 x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \neq-1\).

c) Đúng.

Hàm số xác định khi \(\begin{cases}\cos x\neq 0\\ \sin x\neq 0\end{cases}\Leftrightarrow\sin 2x\neq 0\Leftrightarrow 2x\neq k\pi\Leftrightarrow x\neq k\displaystyle\frac{\pi}2,(k\in\mathbb{Z}).\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{k \displaystyle\frac{\pi}{2} \,\middle|\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

d) Sai.

Hàm số xác định khi

\begin{eqnarray*}& & \sin ^4 x-\cos ^4 x \neq 0\\&\Leftrightarrow & \left(\sin ^2 x-\cos ^2 x\right)\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right) \neq 0\\&\Leftrightarrow & \sin ^2 x-\cos ^2 x \neq 0 \Leftrightarrow-\cos 2 x \neq 0\\&\Leftrightarrow &\cos 2 x \neq 0 \Leftrightarrow 2 x \neq \displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi\\&\Leftrightarrow &x \neq \displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{k \pi}{2},(k \in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{\left.\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{k \pi}{2} \right\rvert\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

Đáp án:

• Hàm số \(y=\tan x+\cot 2 x\) xác định khi \(\begin{cases}\cos x\neq 0\\ \sin 2x\neq 0\end{cases}\)
• Hàm số \(y=\sqrt{\pi-\cos x}\) có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\)
• Hàm số \(y=\sqrt{4-\sin ^2 x}\) có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\)

Lời giải:

a) Đúng.

Hàm số xác định khi \(\begin{cases}{\cos x\neq 0}\\ {\sin 2x\neq 0}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}{x\neq\displaystyle\frac{\pi}2+k\pi}\\ {2x\neq k\pi}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x\neq\displaystyle\frac{\pi}2+k\pi\\ x\neq k\displaystyle\frac{\pi}2\end{cases}\Leftrightarrow x\neq k\displaystyle\frac{\pi}2,(k\in\mathbb{Z}).\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{k \displaystyle\frac{\pi}{2} \,\middle|\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

b) Đúng.

Hàm số xác định khi \(\pi-\cos x \geq 0 \Leftrightarrow \cos x \leq \pi \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

c) Đúng.

Hàm số xác định khi \(4-\sin ^2 x \geq 0 \Leftrightarrow \sin ^2 x<4 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}\) (vì \(0 \leq \sin ^2 x \leq 1<4, \forall x \in \mathbb{R}\)).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

d) Sai.

Hàm số xác định khi \(\begin{cases}{\sin x-1\geq 0}\\ {\cos x-1\geq 0}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}&\sin x\geq 1\\ &\cos x\geq 1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \sin x=1 \\ \cos x=1\end{cases}\) mà \(\sin ^2 x+\cos ^2 x=1\) nên \(\sin x\), \(\cos x\) không thể đồng thời bằng \(1\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\varnothing\).

Đáp án:

• Tập xác định của hàm số \(y=2\sin x\) là \(\mathbb{R}\)
• Đồ thị hàm số trên đoạn \([-\pi;\pi]\) cắt đường thẳng \(y=-1\) tại đúng 2 điểm phân biệt

Lời giải:

Dựa vào đồ thị của hàm số, ta có

a) Đúng.

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

b) Sai.

Tập giá trị của hàm số là \([-2;2]\).

c) Sai.

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{-\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2} \right)\)

d) Đúng.

Đồ thị hàm số trên đoạn \([-\pi;\pi]\) cắt đường thẳng \(y=-1\) tại đúng 2 điểm phân biệt.

Đáp án:

• Hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi\)
• Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\mathbb R\) là \(-1\)

Lời giải:

a) Đúng.

Hàm số \(y=\sin x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi\). Do đó mệnh đề đúng.

b) Sai.

Trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{5\pi}{2};-\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right)\) đồ thị có chiều hướng đi lên, nên hàm số đồng biến. Vậy mệnh đề nghịch biến là sai.

c) Đúng.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\mathbb R\) là \(-1\). Do đó mệnh đề đúng.

d) Sai.

Hàm số \(y=\sin x\) là hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ \(O\), nên mệnh đề là sai.

Đáp án:

• Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\sin x\) là \(1\)
• Hàm số \(y=\sin x\) là hàm số lẻ
• Hàm số \(y=\sin x\) tuần hoàn với chu kỳ \(T=2\pi\)

Lời giải:

a) Sai.

Vì \(y=\sin x\) là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số \(y=\sin x\) nhận gốc toạ độ \(O\) làm tâm đối xứng.

b) Đúng.

Ta có \(-1\leq \sin x\leq 1\) nên giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\sin x\) là \(1\).

c) Đúng.

Ta xét hàm số \(y=f(x)=\sin x\) có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Do đó \(\forall x \in \mathscr{D} \Rightarrow -x \in \mathscr{D}\).

Và \(f(-x)=\sin (-x)=-\sin x = -f(x)\) nên \(y=\sin x\) là hàm số lẻ.

d) Đúng.

Hàm số \(y=\sin x\) tuần hoàn với chu kỳ \(T=2\pi\).

Đáp án:

• Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2\pi;-\pi)\)
• Trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\), hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1

Lời giải:

Dựa vào đồ thị của hàm số, ta có

a) Sai.

Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;\pi)\).

b) Đúng.

Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2\pi;-\pi)\)

c) Đúng.

Trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\), hàm số có giá trị lớn nhất bằng \(1\).

d) Sai.

Trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\), có đúng \(4\) giá trị của \(x\) để hàm số nhận giá trị bằng \(0\).

Đáp án:

• Tập xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\)
• Hàm số đã cho là hàm số chẵn

Lời giải:

a) Đúng.

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

b) Sai.

Ta có

\(f(-x)=\sin ^2 (-x)+\cos (-x)-1=(-\sin x)^2+\cos x-1=\sin ^2 x+\cos x-1.\)

c) Sai.

Ta có

\(f(-x)=\sin ^2 (-x)+\cos (-x)-1=(-\sin x)^2+\cos x-1=\sin ^2 x+\cos x-1=f(x).\)

d) Đúng.

Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Với mọi \(x \in \mathscr{D}\), ta có \(-x \in \mathscr{D}\) và

\(f(-x)=\sin ^2 (-x)+\cos (-x)-1=(-\sin x)^2+\cos x-1=\sin ^2 x+\cos x-1=f(x).\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Đáp án:

• Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi \,\middle|\, k \in \mathbb{Z}\right\}\)
• \(f(-x)=-f(x)\)

Lời giải:

a) Đúng.

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi \,\middle|\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

b) Sai.

Ta có \(\begin{cases}f\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\tan \displaystyle\frac{\pi}{3} -\displaystyle\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}-\displaystyle\frac{\pi}{3}\\ f\left(-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\tan \left(-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) +\displaystyle\frac{\pi}{3}=-\sqrt{3}+\displaystyle\frac{\pi}{3}.\end{cases}\)

Suy ra \(f\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \ne f\left(-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\).

c) Đúng.

Ta có

\(f(-x)=\tan (-x)-(-x)=-\tan x+x=-(\tan x-x)=-f(x).\)

d) Sai.

Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi \,\middle|\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

Với mọi \(x \in \mathscr{D}\), ta có \(-x \in \mathscr{D}\) và

\(f(-x)=\tan (-x)-(-x)=-\tan x+x=-(\tan x-x)=-f(x).\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Đáp án:

• \(f(-\pi)=f(\pi)\)
• \(f(-x)=-f(x)\)
• Đồ thị hàm số nhận điểm \(O(0;0)\) làm tâm đối xứng

Lời giải:

a) Sai.

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

b) Đúng.

Ta có \(\begin{cases}f(-\pi)=|-\pi| \sin (-\pi)=0\\ f(\pi)=|\pi| \sin \pi=0.\end{cases}\)

Suy ra \(f(-\pi)=f(\pi)\).

c) Đúng.

Ta có

\(f(-x)=|-x| \sin (-x)=-|x| \sin x=-f(x).\)

d) Đúng.

Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Với mọi \(x \in \mathscr{D}\), ta có \(-x \in \mathscr{D}\) và

\(f(-x)=|-x| \sin (-x)=-|x| \sin x=-f(x).\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Đáp án:

• Tập xác định hàm số \(f(x)\) là \(\mathscr{D}_1=\mathbb{R}\)
• Tập xác định hàm số \(g(x)\) là \(\mathscr{D}_2=\mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi \,\middle|\, k \in \mathbb{Z}\right\}\)
• Hàm số \(g(x)\) là hàm số lẻ

Lời giải:

a) Đúng.

Ta có \(5-3 \sin ^2x >0, \forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số \(f(x)\) có tập xác định là \(\mathscr{D}_1=\mathbb{R}\).

b) Đúng.

Hàm số \(g(x)\) có tập xác định là \(\mathscr{D}_2=\mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi \,\middle| k \in \mathbb{Z}\right\}\).

c) Sai.

Hàm số \(f(x)\) có tập xác định là \(\mathscr{D}_1=\mathbb{R}\).

Với mọi \(x \in \mathscr{D}_1\), ta có \(-x \in \mathscr{D}_1\) và

\(f(-x)=\sqrt{5-3 \sin ^2(-x)}=\sqrt{5-3 \sin ^2x}=f(x).\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

d) Đúng.

Tập xác định của hàm số \(g(x)\) là \(\mathscr{D}_2=\mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi \,\middle|\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

Với mọi \(x \in \mathscr{D}_2\), ta có \(-x \in \mathscr{D}_2\) và

\begin{eqnarray*}g(-x)&=&\tan^3 (-x)-(-x)\cos (-x)\\&=& -\tan^3 x+x\cos x\\&=& -(\tan^3 x-x\cos x)=-g(x).\end{eqnarray*}

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Đáp án:

• Hàm số \(y=\cos^3 x\) có chu kì là \(2\pi\)
• Hàm số \(y=\sin^2 (x+2)\) có chu kì là \(\pi\)

Lời giải:

a) Đúng, vì hàm số \(y=\cos^3 x\) có chu kì là \(2\pi\).

b) Sai, vì hàm số \(y=\sin\displaystyle\frac{x}{2}\cos\displaystyle\frac{x}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}\sin x\) có chu kì là \(2\pi\).

c) Đúng, vì hàm số \(y=\sin^2 (x+2)=\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\cos (2x+4)\) có chu kì là \(\pi\).

d) Sai, vì hàm số \(y=\cos^2\left(\displaystyle\frac{x}{2}+1\right)=\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}\cos (x+2)\) có chu kì là \(2\pi\).

Đáp án:

• Hàm số \(y=\sin x\) và \(y=\tan 2x\) có chu kì khác nhau}

Lời giải:

a) Sai, vì hàm số \(y=\sin\displaystyle\frac{x}{2}\) và \(y=\cos\displaystyle\frac{x}{2} \) có cùng chu kì là \(\displaystyle\frac{2\pi}{\frac{1}{2}}=4\pi\).

b) Đúng, vì hàm số \(y=\sin x\) có chu kì là \(2\pi\) và hàm số \(y=\tan 2x\) có chu kì là \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

c) Sai, vì hàm số \(y=\tan 2x\) và \(y=\cot 2x\) có cùng chu kì là \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

d) Sai, vì hàm số \(y=\cos x\) và \(y=\cot\displaystyle\frac{x}{2}\) có cùng chu kì là \(2\pi\).

Đáp án:

• Hàm số \(y=\cos x\) là hàm số chẵn}
• Hàm số \(y=\cos x\) có chu kì tuần hoàn là \(2\pi\)

Lời giải:

a) Sai, vì hàm số \(y=\cos x\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

b) Sai, vì hàm số \(y=\cos x\) có tập giá trị \(T=[-1;1]\).

c) Đúng, vì \(\cos (-x)=\cos x\) nên hàm số \(y=\cos x\) là hàm số chẵn.

d) Đúng, vì \(\cos (x+2\pi)=\cos x\) nên hàm số \(y=\cos x\) có chu kì tuần hoàn là \(T=2\pi\).

Đáp án:

Lời giải:

a) Sai, vì \(\tan (x+\pi)=\tan x\) nên hàm số \(y=\tan x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi\).

b) Sai, vì \(\cos (x+2\pi)=\cos x\) nên hàm số \(y=\cos x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi\).

c) Sai, vì \(\cot \left(\displaystyle\frac{x+2\pi}{2}\right)=\cot \left(\displaystyle\frac{x}{2}+\pi\right)=\cot \displaystyle\frac{x}{2}\) nên hàm số \(y=\cot \displaystyle\frac{x}{2}\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi\).

d) Sai, vì \(\sin 2(x+\pi)=\sin (2x+2\pi)=\sin 2x\) nên hàm số \(y=\sin 2x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi\).

Đáp án:

• Hàm số \(y=\sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\)

Lời giải:

a) Đúng, vì hàm số \(y=\sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\).

b) Sai, vì hàm số \(y=\cos x\) tuần hoàn với chu kì \(T=2\pi\).

c) Sai, vì hàm số \(y=\tan x\) tuần hoàn với chu kì \(T=\pi\).

d) Sai, vì hàm số \(y=\cot x\) không xác định tại các điểm \(x=k\pi\) \((k\in\mathbb{Z})\) nên tính chất ``nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)'' không thể xảy ra.

Đáp án:

• Hàm số có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\)
• \(-\sqrt{2}\le \sin x+\cos x\le \sqrt{2}\)

Lời giải:

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đặt \(t=\sin x+ \cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\), \(t\in \left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\).

Ta có \(t^2=\left(\sin x+ \cos x\right)^2=1+2\sin x\cos x=1+\sin 2x\Rightarrow \sin 2x =t^2-1\).

Hàm số trở thành \(y=g(t)=t^2+2t+2\).

Bảng biến thiên của hàm số \(y=g(t)\) trên đoạn \( \left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\)

Vậy \(\max\limits_{x \in \mathbb{R}} y=4+2\sqrt{2}\) và \(\min\limits_{x \in \mathbb{R}} y=1\).

a) Đúng.

b) Đúng.

c) Sai.

d) Sai.

Đáp án:

• Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\)
• Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(2\)
• Giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(4\)

Lời giải:

a) Đúng.

Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

b) Sai.

\(y(0)=3-\sin\left(2\cdot 0+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=3-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).

c) Đúng.

Ta có

\(\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\le 1 \Rightarrow -\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\ge -1\Rightarrow 3-\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\ge 2\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(2\) khi \(\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)= 1 \).

d) Đúng.

Ta có \(\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\ge -1 \Rightarrow -\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\le 1\Rightarrow 3-\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\le 4\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(3\) khi \(\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)= -1\).

Đáp án:

• \(y(0)=1\)
• Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\)
• Giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(\sqrt{2}\)

Lời giải:

a) Đúng.

\(y(0)=\sin 0+\cos 0 =0+1=1\).

b) Đúng.

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

c) Sai.

Ta có

\(\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cos \displaystyle\frac{\pi}{4}+\cos x\sin \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).

d) Đúng.

Ta có \(y=\sqrt{2}\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).

Ta có

\(\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\le 1\Rightarrow \sqrt{2}\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\le \sqrt{2}\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt{2}\) khi \(\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=1\).

Đáp án:

• \(f(-x)=f(x)\), với mọi \(x\)
• Giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(4\)

Lời giải:

a) Đúng.

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Với mọi \(x\in \mathbb{R}\), ta có

\(f(-x)=2\sin^2(-x)+2=2\left(-\sin x\right)^2+2=2\sin^2x+2=f(x)\).

b) Sai.

\(f(x)=2\sin^2x+2=2\cdot \displaystyle\frac{1-\cos 2x}{2} + 2=3-\cos 2x\).

c) Đúng.

Ta có \(\sin^2x\le 1\Rightarrow 2\sin^2x\le 2\Rightarrow 2\sin^2x+2\le 4\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(4\) khi \(\sin ^2x=1\).

d) Sai.

Ta có \(\sin^2x\ge 0\Rightarrow 2\sin^2x\ge 0\Rightarrow 2\sin^2x+2\ge 2\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(2\) khi \(\sin^2x=0\).

Đáp án:

• Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\)
• Hàm số đã cho là hàm số chẵn
• Đặt \(t=\cos x\) thì \(y=2t^2+t-1\)
• Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(\displaystyle\frac{7}{8}\)

Lời giải:

a) Đúng.

Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

b) Đúng.

Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Do đó \(\forall x \in \mathscr{D}\) thì \(-x \in \mathscr{D}\).

Lại có, \(\forall x\in \mathscr{D}\), \(f(-x)=\cos(-2x)+\cos(-x)=\cos 2x+\cos x=f(x)\).

Vậy \(f(x)\) là hàm số chẵn.

c) Đúng.

Ta có \(f(x)=\cos 2x+\cos x=2\cos^2 x-1+\cos x\).

Đặt \(t=\cos x\) thì \(y=2t^2+t-1\).

d) Đúng.

Đặt \(t=\cos x\), \(-1\le t\le 1\) thì \(f(x)=2t^2+t-1\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số lần lượt là \(-\displaystyle\frac{9}{8}\) và \(2\). Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng \(\displaystyle\frac{7}{8}\).

Đáp án:

• Hàm số tuần hoàn với chu kì \(T=2\pi\)

Lời giải:

a) Hàm số tuần hoàn với chu kì \(T=2\pi\).

Phát biểu đã cho đúng.

b) Đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ \(O\). Hàm số \(y=\sin x\) là hàm số lẻ.

Phát biểu đã cho sai.

c) Từ đồ thị ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại \(7\) điểm thuộc đoạn \(\left[-3\pi ;3\pi\right]\).

Phát biểu đã cho sai.

d) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) và \(\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2};2\pi\right)\).

Phát biểu đã cho sai.

Đáp án:

• Hình vẽ trên minh họa đồ thị của hàm số \(y=\sin x\) trên một chu kì \(T=2\pi\)
• Có \(3\) giá trị \(x\) thuộc đoạn \([0;2\pi]\) thỏa mãn \(f(x)=0\)

Lời giải:

a) Dựa vào đồ thị, hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn \([0;2\pi]\) là \(1\).

Phát biểu đã cho sai.

b) Theo đồ thị ta thấy, hình vẽ đã cho minh họa cho đồ thị của hàm \(y=\sin{x}\) trên một chu kì \(T=2\pi\).

Phát biểu đã cho đúng.

c) Dựa vào đồ thị có \(3\) giá trị \(x\) thuộc đoạn \([0;2\pi]\) lần lượt là \(x=0\), \(x=\pi\) và \(x=2\pi\) thỏa mãn \(f(x)=0\).

Phát biểu đã cho đúng.

d) Dựa vào đồ thị, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \([0;2\pi]\) là \(-1\) tại điểm \(x=\displaystyle\frac{3\pi}{2}\).

Phát biểu đã cho sai.

Đáp án:

• Hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{\pi}{2};\pi\right)\)
• Hàm số \(y=f(x)\) là hàm số chẵn

Lời giải:

a) Hình vẽ trên minh họa cho đồ thị của hàm số \(y=\cos x\).

Phát biểu đã cho sai.

b) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{\pi}{2};\pi\right)\).

Phát biểu đã cho đúng.

c) Dựa vào hình vẽ, đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung.

Phát biểu đã cho đúng.

d) Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\).

Phát biểu đã cho sai.

Đáp án:

• Tập giá trị của hàm số là \([-1;1]\)
• Nếu \(x\in\left[-\pi; -\displaystyle\frac{\pi}{2}\right] \cup\left[\displaystyle\frac{\pi}{2}; \pi\right]\) thì \(\cos x \leq 0\)

Lời giải:

a) Dựa vào đồ thị: Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì \(T=2\pi\).

Phát biểu đã cho sai.

b) Dựa vào đồ thị: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2};0\right)\).

Phát biểu đã cho sai.

c) Dựa vào đồ thị: Tập giá trị của hàm số là \([-1;1]\).

Phát biểu đã cho đúng.

d) Dựa vào đồ thị: Trên đoạn \([-\pi; \pi]\), ta có

\(\cos x \leq 0 \Leftrightarrow x\in \left[-\pi; -\displaystyle\frac{\pi}{2}\right] \cup\left[\displaystyle\frac{\pi}{2}; \pi\right]\).

Phát biểu đã cho đúng.

a) Điều kiện xác định của hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{\cos x}\) là \(\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne \displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\,(k\in\mathbb{Z})\).

Vậy tập xác định của hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{\cos x}\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\,(k\in\mathbb{Z})\right\}\).

b) Điều kiện xác định của hàm số \(y=\tan\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) là

\(\cos \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\neq0\Leftrightarrow x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\ne \displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\Leftrightarrow x\ne \displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\,(k\in\mathbb{Z}).\)

Vậy tập xác định của hàm số \(y=\tan\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\left\{\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\,(k\in\mathbb{Z})\right\}\).

c) Ta có với mọi \(x\in\mathbb{R}\) thì

\(-1\leq\sin x\leq1\Rightarrow 0\leq\sin^2 x\leq1\Leftrightarrow 1\leq2-\sin^2 x\leq2.\)

Do đó \(2-\sin^2 x\ne0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

Vậy tập xác định của hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{2-\sin^2 x}\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

a) Hàm số xác định khi \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D} = \mathbb{R} \setminus \{k\pi | k \in \mathbb{Z}\}\).

b) Ta thấy \(1+\cos x \geq 0\) và \(2-\cos x >0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D} = \mathbb{R}\).

Biểu thức \(\displaystyle\frac{1}{\cos x}\) có nghĩa khi \(\cos x \neq 0\), tức là \(x \neq \displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi\) \((k \in \mathbb{Z})\).

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(\mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi \Big| k \in \mathbb{Z} \right\}\).

Ta có

\(-1\leq\cos x\leq1\Leftrightarrow-2\leq2\cos x\leq2\Leftrightarrow-1\leq2\cos x+1\leq3\Leftrightarrow -1\leq y\leq3.\)

Vậy tập giá trị của hàm số \(y=2\cos x+1\) là \(T=[-1;3]\).

a) Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}= \mathbb{R}\).

Ta có \(-1 \leq \sin \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) \leq 1\) \(\Rightarrow -3 \leq 2 \sin \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)-1 \leq 1\).

Suy ra tập giá trị của hàm số là \([-3;1]\).

b) Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}= \mathbb{R}\).

Ta có \(-1 \leq \cos x\leq 1\) \(\Rightarrow -2 \leq \sqrt{1+\cos x}-2 \leq \sqrt{2}-2\).

Suy ra tập giá trị của hàm số là \([-2;\sqrt{2}-2]\).

a) Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có

\begin{eqnarray*}&&-1\le \cos\left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\le 1\\ &\Leftrightarrow&-2\le 2\cos\left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\le 2\\ &\Leftrightarrow&-3\le 2\cos\left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)-1\le 1.\end{eqnarray*}

Vậy \(\min y=-3\) khi và chỉ khi \(\cos\left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=-1\Leftrightarrow 2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}=\pi+k2\pi\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k\pi\) với \(k\in\mathbb{Z}\).

\(\max y=1\) khi và chỉ khi \(\cos\left(2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=1\Leftrightarrow 2x-\displaystyle\frac{\pi}{3}=k2\pi\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k\pi\) với \(k\in\mathbb{Z}\).

Vậy tập giá trị của hàm số là \([-3;1]\).

b) Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\sin x\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).

Khi đó

\begin{eqnarray*}&&-1\le \sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\le 1\\ &\Leftrightarrow&-\sqrt{2}\le\sqrt{2}\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\le \sqrt{2}.\end{eqnarray*}

Vậy \(\min y=-\sqrt{2}\) khi và chỉ khi \(\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=-1\Leftrightarrow x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\) với \(k\in\mathbb{Z}\).

\(\max y=\sqrt{2}\) khi và chỉ khi \(\sin\left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=1\Leftrightarrow x+\displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k2\pi\) với \(k\in\mathbb{Z}\).

Vậy tập giá trị của hàm số là \(\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\).

Ta có:

\begin{align*}&\sin x=\sin(x+2\pi)\, \text{với mọi}\, x\in\mathbb{R};\\ &\tan(x+\pi)=\tan x \,\text{với mọi}\, x\ne \displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z}.\end{align*}

Do đó hàm số \(y=\sin x\) và \(y=\tan x\) là các hàm số tuần hoàn.

Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\) và với mọi số thực \(x\), ta có

\begin{align*}& x-\pi \in \mathbb{R} , x+\pi \in \mathbb{R},\\ & \sin 2(x+\pi)=\sin (2 x+2 \pi)=\sin 2 x.\end{align*}

Vậy \(y=\sin 2 x\) là hàm số tuần hoàn.

a) Hàm số \(y=\cos x\) có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\). Với mọi \(x\in\mathbb{R}\) ta có \(-x\in\mathbb{R}\) và \(\cos(-x)=\cos x\).

Do đó hàm số \(y=\cos x\) là hàm số chẵn.

b) Hàm số \(y=\tan x\) có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi|\,k\in\mathbb{Z}\right\}\).

Với mọi \(x\in\mathscr{D}\) thì

\(x\ne\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\,(k\in\mathbb{Z}) \Leftrightarrow -x\ne -\displaystyle\frac{\pi}{2}-k\pi \Leftrightarrow -x\ne \displaystyle\frac{\pi}{2}-\pi-k\pi \Leftrightarrow -x\ne \displaystyle\frac{\pi}{2}+l\pi\,(l\in\mathbb{Z}),\)

suy ra \(-x\in\mathscr{D}\). Mặt khác \(\tan(-x)=-\tan x\).

Do đó hàm số \(y=\tan x\) là hàm số lẻ.

a) Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Với mọi \(x \in \mathscr{D}\), ta có \(-x \in \mathscr{D}\)

và \(f(-x)=\sin (-x)\cos (-x)=-\sin x\cos x=-f(x).\)

Vậy hàm số \(f(x)=\sin x\cos x\) là hàm lẻ.

b) Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\displaystyle\frac{\pi}{2}\, \big| \, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

Với mọi \(x \in \mathscr{D}\), ta có \(-x \in \mathscr{D}\)

và \(f(-x)=\tan (-x)+\cot (-x)=-\tan x-\cot x=-(\tan x+\cot x)=-f(x).\)

Vậy hàm số \(f(x)=\tan x+\cot x\) là hàm lẻ.

c) Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Với mọi \(x \in \mathscr{D}\), ta có \(-x \in \mathscr{D}\)

và \(f(-x)=\sin^2 (-x)=(-\sin x)^2=\sin^2x=f(x).\)

Vậy hàm số \(f(x)=\sin x\cos x\) là hàm chẵn.

Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}= \mathbb{R}\).

Do đó, nếu \(x\) thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\) thì \(-x\) cũng thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\).

Ta có \(f(-x)=(-x) \sin (-x)=x \sin x=f(x), \forall x \in \mathscr{D}\).

Vậy \(f(x)=x \sin x\) là hàm số chẵn.

Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\left\{\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi \ \Big| \, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

Với mọi \(x \in \mathscr{D}\), ta có \(-x \in \mathscr{D}\)

và \(f(-x)=\sin (-x)+\tan (-x)=-\sin x-\tan x=-(\sin x+\tan x)=-f(x).\)

Vậy hàm số \(f(x)=\sin x+\tan x\) là hàm lẻ.

a) Xét hàm số \(y=5\sin^2x+1\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Với \(x\in\mathbb{R}\) thì \(-x\in\mathbb{R}\) nên \(\mathscr{D}\) là tập đối xứng.

Ta có \(y(-x)=5\sin^2(-x)+1=5\sin^2x+1=y(x)\).

Vậy hàm \(y=5\sin^2x+1\) là hàm số chẵn.

b) Xét hàm số \(y=\cos x+\sin x\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Với \(x\in\mathbb{R}\) thì \(-x\in\mathbb{R}\) nên \(\mathscr{D}\) là tập đối xứng.

Ta có \(y(-x)=\cos(-x)+\sin(-x)=\cos x-\sin x\).

Ta có \(y\left( \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =\cos \displaystyle\frac{\pi}{4}+\sin \displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}=\sqrt 2\);\\ \(y\left( -\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =\cos \left( -\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) +\left( -\sin \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}+\left( -\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}\right) =0\).

Suy ra \(y\left( \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\neq y\left(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) và \(y\left( \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\neq -y\left(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).

Do đó hàm \(y=\cos x+\sin x\) không phải hàm số chẵn cũng không phải hàm số lẻ.

c) Xét hàm số \(y=\tan 2x\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\left\{\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\displaystyle\frac{\pi}{2}\,(k\in\mathbb{Z})\right\}\).

Với \(x\in\mathscr{D}\) thì \(x\ne\displaystyle\frac{\pi}{4}+m\displaystyle\frac{\pi}{2}\,(m\in\mathbb{Z})\) suy ra \(-x\ne-\displaystyle\frac{\pi}{4}-m\displaystyle\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow -x\ne\displaystyle\frac{\pi}{4}-\displaystyle\frac{\pi}{2}-m\displaystyle\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow -x\ne\displaystyle\frac{\pi}{4}-(m+1)\displaystyle\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow -x\ne \displaystyle\frac{\pi}{4}+n\displaystyle\frac{\pi}{2}\,(n\in\mathbb{Z}),\)

tức là ta có \(-x\in\mathscr{D}\) nên \(\mathscr{D}\) là tập đối xứng.

Ta có \(y(-x)=\tan(-2x)=-\tan(2x)=-y(x)\).

Vậy hàm \(y=\tan 2x\) là hàm số lẻ.

a) Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}= \mathbb{R} \setminus \left \{ \displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{k\pi}{2}\Big| k \in \mathbb{Z}\right \}\).

Do đó, nếu \(x\) thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\) thì \(-x\) cũng thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\).

Ta có \(f(-x)=\sin (-2x)+\tan (-2x)=-\sin 2 x-\tan 2 x=-f(x), \forall x \in \mathscr{D}\).

Vậy \(y=\sin 2 x+\tan 2 x\) là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}= \mathbb{R}\).

Do đó, nếu \(x\) thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\) thì \(-x\) cũng thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\).

Ta có \(f(-x)=\cos (-x)+\sin^2 (-x)=\cos x+ \sin^2 x=f(x), \forall x \in \mathscr{D}\).

Vậy \(y=\cos x+\sin ^2 x\) là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}= \mathbb{R}\).

Do đó, nếu \(x\) thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\) thì \(-x\) cũng thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\).

Ta có \(f(-x)=\sin (-x) \cos (-2x)=-\sin x \cos 2 x=-f(x), \forall x \in \mathscr{D}\).

Vậy \(y=\sin x \cos 2 x\) là hàm số lẻ

d) Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}= \mathbb{R}\).

Do đó, nếu \(x\) thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\) thì \(-x\) cũng thuộc tập xác định \(\mathscr{D}\).

Ta có \(f\left (-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right ) = 0\); \(f\left (\displaystyle\frac{\pi}{4}\right ) = \sqrt{2}\).

Suy ra \(f\left (-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right ) \ne - f\left (\displaystyle\frac{\pi}{4}\right )\) và \(f\left (-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right ) \ne f\left (\displaystyle\frac{\pi}{4}\right )\).

Vậy hàm số đã cho không là hàm số lẻ cũng không là hàm số chẵn.

Ta có \(\left(\displaystyle\frac{11 \pi}{2} ; \displaystyle\frac{13 \pi}{2}\right)=\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2}+6 \pi ; \displaystyle\frac{\pi}{2}+6 \pi\right)\) và hàm số \(y=\sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2}; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\).

Suy ra hàm số \(y=\sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{11 \pi}{2} ; \displaystyle\frac{13 \pi}{2}\right)\).

Ta có \(\left(\displaystyle\frac{25 \pi}{3} ; \displaystyle\frac{26 \pi}{3}\right)=\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}+8 \pi ; \displaystyle\frac{2 \pi}{3}+8 \pi\right)\) và hàm số \(y=\cos x\) nghịch biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}; \displaystyle\frac{2 \pi}{3}\right)\).

Suy ra hàm số \(y=\cos x\) nghịch biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{25 \pi}{3} ; \displaystyle\frac{26 \pi}{3}\right)\).

a) Đồ thị hàm số \(y=\sin x\) trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\)

Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\) hàm số \(y=\sin x\) nhận giá trị bằng \(1\) khi \(x\in\left\{ -\displaystyle\frac{3\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2}\right\} \).

b) Đồ thị hàm số \(y=\sin x\) trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\)

Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\) hàm số \(y=\sin x\) nhận giá trị bằng \(0\) khi\\ \(x\in\left\{ \pm2\pi;\pm\pi;0\right\} \).

c) Đồ thị hàm số \(y=\cos x\) trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\)

Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\) hàm số \(y=\cos x\) nhận giá trị bằng \(-1\) khi \(x=\pm\pi\).

d) Đồ thị hàm số \(y=\cos x\) trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\)

Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn \([-2 \pi ; 2 \pi]\) hàm số \(y=\cos x\) nhận giá trị bằng \(0\) khi\\ \(x\in\left\{ \pm2\pi;\pm\pi;0\right\} \).

a) Đồ thị hàm số \(y=\tan x\) trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\)

Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\) hàm số \(y=\tan x\) nhận giá trị bằng \(-1\) khi \(x\in\left\lbrace -\displaystyle\frac{\pi}{4};\displaystyle\frac{3\pi}{4}\right\rbrace \).

b) Đồ thị hàm số \(y=\tan x\) trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\)

Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\) hàm số \(y=\tan x\) nhận giá trị bằng \(0\) khi \(x\in\left\lbrace 0;\pi\right\rbrace \).

c) Đồ thị hàm số \(y=\tan x\) trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\).

Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\) hàm số \(y=\cot x\) nhận giá trị bằng \(1\) khi\\ \(x\in\left\{ -\displaystyle\frac{3\pi}{4};\displaystyle\frac{\pi}{4};\displaystyle\frac{5\pi}{4}\right\} \).

d) Đồ thị hàm số \(y=\tan x\) trên khoảng \(\left(-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\).

Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng \(\left(-\pi; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\) hàm số \(y=\cot x\) nhận giá trị bằng \(1\) khi \(x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

a) Do \(\left(-\displaystyle\frac{9\pi}{2};-\displaystyle\frac{7\pi}{2}\right)=\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2}-4\pi ; \displaystyle\frac{\pi}{2}-4 \pi\right)\) nên hàm số \(y=\sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{9 \pi}{2} ; -\displaystyle\frac{7\pi}{2}\right)\).

Do \(\left(\displaystyle\frac{21\pi}{2} ; \displaystyle\frac{23\pi}{2}\right)=\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}+10\pi ; \displaystyle\frac{3\pi}{2}+10 \pi\right)\) nên hàm số \(y=\sin x\) nghịch biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{21 \pi}{2} ; \displaystyle\frac{23\pi}{2}\right)\).

c) Do \((-20 \pi ;-19 \pi)=(-20\pi;\pi-20\pi)\) nên hàm số \(y=\cos x\) nghịch biến trên khoảng \((-20 \pi ;-19 \pi)\).

Do \((-9 \pi ;-8 \pi)=(-\pi-8\pi;-8\pi)\) nên hàm số \(y=\cos x\) đồng biến trên khoảng \((-9 \pi ;-8 \pi)\).

a) Đồ thị hàm số \(y=\sin x\)

Dựa vào đồ thị ta thấy với mỗi \(m \in[-1 ; 1]\), có một giá trị \(\alpha \in\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\) sao cho \(\sin \alpha=m\).

b) Đồ thị hàm số \(y=\cos x\)

Dựa vào đồ thị ta thấy với mỗi \(m \in[-1 ; 1]\), có một giá trị \(\alpha \in\left[0;\pi\right]\) sao cho \(\cos \alpha=m\).

c) Đồ thị hàm số \(y=\tan x\)

Dựa vào đồ thị ta thấy với mỗi \(m \in \mathbb{R}\), có một giá trị \(\alpha \in\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) sao cho tan \(\alpha=m\).

d) Đồ thị hàm số \(y=\cot x\)

Dựa vào đồ thị ta thấy với mỗi \(m \in \mathbb{R}\), có một giá trị \(\alpha \in(0 ; \pi)\) sao cho \(\cot \alpha=m\).

a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right], y=0\) khi \(x=0 ; x=\pi\).

b) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành.

Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right]\), thì \(y >0\) khi \(x \in(0 ; \pi)\).

Vẽ đồ thị hàm \(y=\sin x\) và đường thẳng \(y=\displaystyle\frac{1}{2}\) trên cùng một hệ trục toạ độ.

Quan sát hình vẽ ta thấy trên \([-\pi;\pi]\) đồ thị hàm số \(y=\sin x\) cắt đường thẳng \(y=\displaystyle\frac{1}{2}\) tại hai điểm \(x=\displaystyle\frac{\pi}{6}\) và \(x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}\).

Vậy các giá trị cần tìm là \(x\in\left\{\displaystyle\frac{\pi}{6};\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right\}\).

a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{3 \pi}{2} ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right], y=0\) khi \(x=-\displaystyle\frac{3 \pi}{2}, x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}, x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

b) Hàm số nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành.

Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{3 \pi}{2} ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\), thì \(y <0\) khi \(x \in\left(-\displaystyle\frac{3 \pi}{2} ;-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\).

a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn \(\left[-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right], y=0\) khi \(x=-\pi ; x=0 ; x=\pi\).

b) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành.

Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn \(\left[-\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right]\) thì \(y>0\) khi \(x \in\left(-\pi ;-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) \cup\left(0 ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\pi ; \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right)\).

a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; 2 \pi\right] y=0\) khi \(x=-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; x=\displaystyle\frac{\pi}{2} ; x=\displaystyle\frac{3 \pi}{2}\).

b) Hàm số nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành.

Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; 2 \pi\right]\) thì \(y<0\) khi \(x \in\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; 0\right) \cup\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \pi\right) \cup\left(\displaystyle\frac{3 \pi}{2} ; 2 \pi\right)\).

Từ đồ thị của hàm số \(y=\tan x\) suy ra

\(\tan x=0 \Leftrightarrow x = k\pi, k \in \mathbb{Z}.\)

Phương trình hoành độ giao điểm

\(\cos x=\sin x\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\, (k\in \mathbb{Z}).\)

Vậy đồ thị hàm số \(y=\cos x\) và \(y=\sin x\) giao nhau tại \(x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\, (k\in \mathbb{Z})\).

a) Ta có \(\sin^2 \alpha=\displaystyle\frac{9}{25}\) và \(\cos^2 \alpha=\displaystyle\frac{16}{25}\).

Khi đó, \(\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=\displaystyle\frac{9}{25}+\displaystyle\frac{16}{25}=1\).

Vậy các đẳng thức \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{3}{5}\) và \(\cos \alpha=-\displaystyle\frac{4}{5}\) có thể đồng thời xảy ra.

b) Ta có \(\displaystyle\frac{1}{\sin ^2 \alpha}=9\) và \(1+\cot^2 \alpha=1+\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{5}{4}\).

Vậy các đẳng thức \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{1}{3}\) và \(\cot \alpha=\displaystyle\frac{1}{2}\) không đồng thời xảy ra.

c) Ta có \(\tan \alpha=3 \Rightarrow \cot \alpha=\displaystyle\frac{1}{3}\).

Vậy các đẳng thức \(\tan \alpha=3\) và \(\cot \alpha=\displaystyle\frac{1}{3}\) đồng thời xảy ra.

Ta có

\(\begin{aligned}\sin \left(-\displaystyle\frac{15 \pi}{2}-\alpha\right)-\cos (13 \pi+\alpha)&=\sin \left(-8\pi +\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\cos (12\pi+\pi+\alpha)\\ &=\cos \alpha+ \cos \alpha=2\cos \alpha=-\displaystyle\frac{10}{13}.\end{aligned}\)

a) Chu kì của hàm số \(p(t)\) là \(T=\displaystyle\frac{2\pi}{160\pi}=\displaystyle\frac{1}{80}\).

b) Chu kì của huyết áp là \(T=\displaystyle\frac{1}{80}\) nghĩa là \(1\) phút thì nhịp tim của người này là \(80\).

c) Ta có

\begin{eqnarray*}&&-1\le \sin(160\pi t)\le 1\\ &\Leftrightarrow& -25\le 25\sin(160\pi t)\le 25\\ &\Leftrightarrow& 90\le 115+25\sin(160\pi t)\le 140.\end{eqnarray*}

Do đó, số chỉ huyết áp của người này là \(140/90\). Huyết áp của người này so với huyết áp bình thường là cao hơn.

a) Chu kì của sóng là \(T= \displaystyle\frac{2\pi}{\tfrac{\pi}{10}} = 20\) (giây).

b) Ta có \(-90 \leq 90 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{10} t\right) \leq 90\), suy ra chiều cao của sóng là \(90- (-90) =180\) (cm).

a) Coi trạm quan sát \(T\) là gốc tọa độ thì ta có

\(x_H = \overline{TH} = AH\cdot\cot\alpha = 500\cot\alpha\;\left(\text{m}\right).\)

b) Dựa vào đồ thị hàm số \(\cot x\)

Ta thấy với \(\displaystyle\frac{\pi}{6} < \alpha < \displaystyle\frac{2\pi}{3}\) thì \(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} < \cot \alpha < \sqrt{3}\).

Do đó \(-\displaystyle\frac{500\sqrt{3}}{3} < x_H < 500\sqrt{3}\). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười ta được \(-288{,}7 < x_H< 866.\)

a) Vì \(-1\le\sin\alpha\le 1\) nên \(-0{,}3\le 0{,}3\sin\alpha\le 0{,3}\) hay \(-0{,}3\le v_x \le 0{,3}\).

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(v_x\) lần lượt là \(0{,}3\) m/s và \(-0{,}3\) m/s.

a) Ta có đồ thị của hàm số \(v_x\) trên \(\left[0;2\pi\right]\) như sau.

Dựa vào đồ thị ta có trên các khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) và \(\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2};2\pi\right)\) thì \(v_x\) tăng.

a) Ta có chiều cao \(h_\alpha\) của gàu \(G\) so với mặt nước là

\(h_\alpha = 3 + 3\sin\alpha\;(\text{m}).\)

b) Vì guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây nên trong 60 giây đầu, guồng \(G\) đi được đúng 2 vòng.

Ta có đồ thị của hàm số \(h_\alpha\) trong 2 chu kì đầu tiên như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số sin, ta thấy trong 2 chu kì đầu tiên thì có 4 thời điểm mà gàu \(G\) cách mặt nước \(1{,}5\) mét, ứng với các thời điểm \(t=17{,5}\)s; \(t=27{,5}\)s; \(t=47{,5}\)s và \(t=57{,5}\)s.

Vì điểm nằm cách xích đạo không quá \(20\) (cm) trên bản đồ nên ta có \(-20 \leq y \leq 20\).

Khi đó \(-20 \leq 20 \tan \left(\displaystyle\frac{\pi}{180} \varphi\right) \leq 20\) hay \(-1 \leq \tan \left(\displaystyle\frac{\pi}{180} \varphi\right) \leq 1\).

Ta có \(-90<\varphi<90\) khi và chi khi \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}<\displaystyle\frac{\pi}{180} \varphi<\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

Xét đồ thị hàm số \(y=\tan x\) trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2} ; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\).

Ta thấy \(-1 \leq \tan \left(\displaystyle\frac{\pi}{180} \varphi\right) \leq 1\) khi và chi khi \(-\displaystyle\frac{\pi}{4} \leq \displaystyle\frac{\pi}{180} \varphi \leq \displaystyle\frac{\pi}{4}\) hay \(-45 \leq \varphi \leq 45\).

Vậy trên bản đồ, các điểm cách xích đạo không quá \(20\) (cm)

nằm ở vĩ độ từ \(-45^{\circ}\) đến \(45^{\circ}\).

Ta có \(T \geq 22\) khi và chỉ khi \(20+4 \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{12} t-\displaystyle\frac{5 \pi}{6}\right) \geq 22\) hay \(\sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{12} t-\displaystyle\frac{5 \pi}{6}\right) \geq \displaystyle\frac{1}{2}\).\\ Vì \(0 \leq t \leq 24\) nên \(-\displaystyle\frac{5 \pi}{6} \leq \displaystyle\frac{\pi}{12} t-\displaystyle\frac{5 \pi}{6} \leq \displaystyle\frac{7 \pi}{6}\).

Xét đồ thị hàm số \(y=\sin x\) trên đoạn \(\left[-\displaystyle\frac{5 \pi}{6} ; \displaystyle\frac{7 \pi}{6}\right]\).

Ta thấy \(\sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{12} t-\displaystyle\frac{5 \pi}{6}\right) \geq \displaystyle\frac{1}{2}\) khi và chỉ khi \(\displaystyle\frac{\pi}{6} \leq \displaystyle\frac{\pi}{12} t-\displaystyle\frac{5 \pi}{6} \leq \displaystyle\frac{5 \pi}{6}\) hay \(12 \leq t \leq 20\).

Vậy hệ thống điều hoà được bật trong khoảng thời gian từ \(12\) giờ đến \(20\) giờ trong ngày.

a) Khi \(A=3\) cm, \(\varphi=0\) thì phương trình li độ là

\(x=A \cos (\omega t+\varphi)=3\cos(\omega t).\)

+) Với \(t=0\) thì \(x=3\cos(\omega\cdot 0)=3\);

+) Với \(t=\displaystyle\frac{T}{4}\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{T}{4}\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{4\omega}\right)=3\cos\displaystyle\frac{\pi}{2}=0\);

+) Với \(t=\displaystyle\frac{T}{2}\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{T}{2}\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{2\omega}\right)=3\cos\pi=-3\);

+) Với \(t=\displaystyle\frac{3T}{4}\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{3T}{4}\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{6\pi}{4\omega}\right)=3\cos\displaystyle\frac{3\pi}{2}=0\);

+) Với \(t=T\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot T\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\right)=3\cos2\pi=3\).

Đồ thị biểu diễn li độ của dao động trên đoạn \([0;2T]\)

b) Khi \(A=3\) cm, \(\varphi=-\displaystyle\frac{\pi}{2}\) thì phương trình li độ là

\(x=A \cos (\omega t+\varphi)=3\cos\left( \omega t-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right).\)

+) Với \(t=0\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot 0-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=0\);

+) Với \(t=\displaystyle\frac{T}{4}\) thì \(x=3\cos\left(\omega\cdot\displaystyle\frac{T}{4}-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{4\omega}-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos 0=3\);

+) Với \(t=\displaystyle\frac{T}{2}\) thì \(x=3\cos\left(\omega\cdot\displaystyle\frac{T}{2}-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{2\omega}-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=0\);

+) Với \(t=\displaystyle\frac{3T}{4}\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{3T}{4}-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{6\pi}{4\omega}-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos\pi=-3\);

+) Với \(t=T\) thì \(x=3\cos\left(\omega\cdot T-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) =3\cos\left(\omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{\omega}-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos\left( \displaystyle\frac{3\pi}{2}\right) =0\).

Đồ thị biểu diễn li độ của dao động trên đoạn \([0;2T]\)

c) Khi \(A=3\) cm, \(\varphi=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) thì phương trình li độ là

\(x=A \cos (\omega t+\varphi)=3\cos\left( \omega t+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) .\(

+) Với \(t=0\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot 0+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=0\);

+) Với \(t=\displaystyle\frac{T}{4}\) thì \(x=3\cos\left(\omega\cdot\displaystyle\frac{T}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{4\omega}+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos \pi=-3\);

+) Với \(t=\displaystyle\frac{T}{2}\) thì \(x=3\cos\left(\omega\cdot\displaystyle\frac{T}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{2\omega}+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right)=0\);

+) Với \(t=\displaystyle\frac{3T}{4}\) thì \(x=3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{3T}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) =3\cos\left( \omega\cdot\displaystyle\frac{6\pi}{4\omega}+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos2\pi=3\);

+) Với \(t=T\) thì \(x=3\cos\left(\omega\cdot T+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) =3\cos\left(\omega\cdot\displaystyle\frac{2\pi}{\omega}+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3\cos\left( \displaystyle\frac{5\pi}{2}\right) =0\).

Đồ thị biểu diễn li độ của dao động trên đoạn \([0;2T]\)

Ta có

\begin{eqnarray*}h=2&\Leftrightarrow&\left| y=2{,}5 \sin \left(2 \pi x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)+2\right|=2\\ &\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&y=2{,}5 \sin \left(2 \pi x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)+2=2\\&y=2{,}5 \sin \left(2 \pi x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)+2=-2\end{aligned}\right.\\ &\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&\sin \left(2 \pi x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=0\\&\sin \left(2 \pi x-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=-\displaystyle\frac{8}{5}\text{ (không xảy ra)}\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Đồ thị

Dựa vào đồ thị ta thấy một số giá trị của \(x\) để ống đựng nước cách mặt nước \(2\) m là

\(x\in\left\lbrace \displaystyle\frac{1}{4};\displaystyle\frac{3}{4};\displaystyle\frac{5}{4};\displaystyle\frac{7}{4};\displaystyle\frac{9}{4};\displaystyle\frac{11}{4};\displaystyle\frac{13}{4};\displaystyle\frac{15}{4};\ldots\right\rbrace \).