Đáp án: \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)

Lời giải:

Quan sát đồ thị ta thấy

\(\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = 3\);

\(\lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = 0\). Vậy \(\lim\limits_{x\to 1^-}f(x) \ne \lim\limits_{x\to 1^+}f(x)\) nên \(\lim\limits_{x\to 1} f(x)\) không tồn tại.

Suy ra hàm số gián đoạn tại điểm \(x=1\).

Do đó \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) sai.

Đáp án: Hàm số liên tục tại điểm \(x=1\)

Lời giải:

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số gián đoạn tại điểm \(x=1\).

Đáp án: \(y=\displaystyle\frac{3-2x}{x-1}\)

Lời giải:

Hàm số \(y=\displaystyle\frac{3-2x}{x-1}\) không xác định tại \(x=1\) do đó hàm số này gián đoạn tại \(x=1\).

Đáp án: \(y=\displaystyle\frac{1}{x-1}\)

Lời giải:

Hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{x-1}\) không liên tục tại \(x=1\) do \(y=\displaystyle\frac{1}{x-1}\) không xác định tại \(x=1\).

Đáp án: \(y=x+\displaystyle\frac{1}{x}\)

Lời giải:

Hàm số \(y=x+\displaystyle\frac{1}{x}\) không xác định tại \(x=0\) nên không liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án: \(y=\displaystyle\frac{x}{x+1}\)

Lời giải:

Xét hàm số \(y=\displaystyle\frac{x}{x+1}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\{1\}\) nên hàm số \(y=\displaystyle\frac{x}{x+1}\) không liên tục tại điểm \(x=-1\).

Đáp án: \(f(x)\) liên tục tại \(x_0=0\)

Lời giải:

TXĐ: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\)

Ta có \(\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^+} (x^2+1)=1\) và \(\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^-} x=0 = f(0)\).

Vì \(\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) \ne \lim\limits_{x \to 0^-} f(x)\) nên hàm số \(y=f(x)\) không liên tục tại \(x_0=0\).

Đáp án: Hàm số không liên tục tại \( x_0=-1 \)

Lời giải:

Ta có \(f(-1)=2\cdot (-1)+3=1 \), \( \lim\limits_{x\to -1^-} (2x+3)=1\).

Lại có,

\(\lim\limits_{x\to -1^+} \displaystyle\frac{x+\sqrt{x+2}}{x+1}\)

\(=\lim\limits_{x\to -1^+} \displaystyle\frac{x^2-x-2}{(x+1)(x-\sqrt{x+2})}\)

\(=\lim\limits_{x\to -1^+} \displaystyle\frac{x-2}{x-\sqrt{x+2}} =\displaystyle\frac{3}{2} \).

Vậy hàm số không liên tục tại \( x_0=-1 \).

}

Đáp án: \(4\)

Lời giải:

Ta có \(f(2)=m\) và \(\lim\limits_{x\to 2}f(x)=\lim\limits_{x\to 2}(x+2)=2+2=4\).

Hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x=2\) khi và chỉ khi

\(f(2)=\lim\limits_{x\to 2}f(x)\) \(\Leftrightarrow m=4\).

Đáp án: \(1\)

Lời giải:

Ta có

+) \(f(1)=a-\displaystyle\frac{1}{2}\).

+) \(\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^-}\left(ax-\displaystyle\frac{1}{2}\right)=a-\displaystyle\frac{1}{2}\).

+) \(\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}\displaystyle\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^+}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}+1}\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Để hàm số liên tục tại \(x=1\) thì \(\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=f(1)\) \(\Leftrightarrow a-\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow a=1\).

Đáp án: \(3\)

Lời giải:

Xét hàm số \(f(x)=2x^3-6x+1\) liên tục trên đoạn \([-2;2]\).

Ta có

\(f(-2)=-3,\quad f(0)=1,\quad f(1)=-3,\quad f(2)=5.\)

Suy ra \(f(-2)f(0)<0\), \(f(0)f(1)<0\), \(f(0)f(2)<0\).

Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất \(3\) nghiệm phân biệt thuộc khoảng \((-2;2)\).

Mặt khác, do phương trình đã cho là phương trình bậc ba nên nó có đúng \(3\) nghiệm phân biệt thuộc khoảng \((-2;2)\).

Đáp án: Phương trình \((1)\) có đúng bốn nghiệm trên khoảng \((-1;3)\)

Lời giải:

Hàm số \(f(x)=x^4-3x^3+x-\displaystyle\frac{1}{8}\) liên tục trên đoạn \([-1;3]\) và có

\(f(-1)=\displaystyle\frac{23}{8}\);

\(f\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)=-\displaystyle\frac{3}{16}\);

\(f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{1}{16}\);

\(f\left(1\right)=-\displaystyle\frac{9}{8}\); \(f\left(3\right)=\displaystyle\frac{23}{8}\).

Suy ra trên mỗi khoảng \(\left(-1;-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\); \(\left(-\displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{1}{2}\right)\); \(\left(\displaystyle\frac{1}{2};1\right)\) ; \(\left(1;3\right)\) phương trình có ít nhất một nghiệm.

Mặt khác phương trình là bậc \(4\) nên có không quá \(4\) nghiệm.

Vậy phương trình \((1)\) có đúng bốn nghiệm trên khoảng \((-1;3)\).

a) Hàm số trên là hàm đa thức nên liên tục trên \( \mathbb{R} \).

b) Dựa vào đồ thị ta có \( \displaystyle\lim\limits_{t\to 2}\left(-2t^{2}+8t\right) =8 \).

}

Hàm số liên tục trên tập xác định là \( f(x)=x^{2}-2x \). Vì đồ thị là một đường liền nét trên mặt phẳng tọa độ.

}

a) Trong hình ta có

\( f(0)=0\), \(\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}x^{2}=0\).

Như vậy \(\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}f(x)=f(0)\) nên hàm số liên tục tại \( x=0 \).

b) Trong hình ta có

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=-1\), \(\displaystyle\lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=1\).

Do đó không tồn tại \(\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}f(x)\).

Vậy hàm số \( f(x) \) không liên tục tại \( x=0 \).

}

Hàm số trên là hàm sơ cấp nên liên tục trên \( \mathbb{R} \).

Ta có \( f(2)=2\cdot 2^{3}+2+1=19 \).

\( \displaystyle\lim\limits_{x\to 2}f(x) =\displaystyle\lim\limits_{x\to 2}\left(2x^{3}+x+1\right)=2\cdot 2^{3}+2+1=19\).

Vậy \( \displaystyle\lim\limits_{x\to 2}f(x)=f(2)=19 \) nên hàm số \( y=2x^{3}+x+1 \) liên tục tại \( x=2 \).

}

Tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R}\setminus\{2\} \).

a) Ta thấy

\begin{eqnarray*}\displaystyle\lim\limits_{x\to 3}f(x)&=&\displaystyle\lim\limits_{x\to 3}\left(x^{3}+2x+\displaystyle\frac{6}{x-2}\right)\\&=&\displaystyle\lim\limits_{x\to 3}\left(x^{3}\right)+\displaystyle\lim\limits_{x\to 3}(2x)+\displaystyle\lim\limits_{x\to 3}\left(\displaystyle\frac{6}{x-2}\right)\\&=&3^{3}+2\cdot 3 +\displaystyle\frac{6}{3-2}\\&=&f(3)\end{eqnarray*}

Vậy hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x=3 \).

b) Hàm số \( g(x) = x^{3} +2x\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\). Do đó hàm số \( g(x) \) liên tục trên mỗi khoảng \( (-\infty;2) \) và \( (2;+\infty) \).

Hàm số \( h(x) \) là hàm số phân thức hữu tỉ nên liên tục trên mỗi khoảng xác định \( (-\infty;2) \) và \( (2;+\infty) \).

Vậy hàm số \( f(x)=g(x)+h(x) \) liên tục trên mỗi khoảnh \( (-\infty;2) \) và \( (2;+\infty) \).

}

+) Khi \(x > 0\): \(f(x)=\sqrt{x+4}\) liên tục.

+) Khi \(x < 0\): \(f(x)=2\cos x\) liên tục.

+) Tại \(x=0\): \(\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-} f(x)=f(0)=2\) \(\Rightarrow\) hàm số \(y=f(x)\) liên tục tại \(x=0\).

Vậy hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

}

a) Ta có \(f(0)=0^2+1=1\), \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}\left(x^2+1\right)=0^2+1=1\),

\phantom{Ta có} \(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}(1-x)=1-0=1\).

Do \(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=f(0)\) nên hàm số \(y=f(x)\) liên tục tại điểm \(x=0\).

b) Ta có \(f(1)=1^2+2=3\), \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1^+}\left(x^2+2\right)=1^2+2=3\),

\phantom{Ta có} \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1^-}(x)=1=1\).

Do \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)\ne\lim\limits_{x\to1^-}f(x)\) nên không tồn tại \(\lim\limits_{x\to1}f(x)\).

Vậy hàm số \(y=f(x)\) không liên tục tại điểm \(x=1\).

}

a) Hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x}{x^2-4}\) là hàm phân thức, có tập xác định là \((-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)\) nên nó liên tục trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((-2;2)\), \((2;+\infty)\).

b) Hàm số \(g(x)=\sqrt{9-x^2}\) là hàm vô tỉ có tập xác định là \([-3;3]\) nên nó liên tục trên đoạn \([-3;3]\).

c) Hàm số \(y=\cos x\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\in\mathbb{R}\), hàm số \(y=\tan x\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\ne\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).

Do đó nên hàm số \(y=\cos x+\tan x\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\ne\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).

}

Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)\).

Các hàm số \(y=\sin x\) và \(y=x+1\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\in\mathbb{R}\).

Do đó, hàm số \(y=\displaystyle\frac{\sin x}{x+1}\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\ne-1\) (hay liên tục trên các khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\)).

}

a) \(y=3x^3-4x^2+5x+2\) là hàm số đa thức nên nó liên tục trên \(\mathbb{R}\).

b) \(y=\displaystyle\frac{3x^2+x-1}{x-2}\) là hàm số phân thức, có tập xác định \((-\infty;2)\cup(2;+\infty)\) nên nó liên tục trên các khoảng \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\).

}

#HinhBaitapSGK11/chuong3/11c3b3h7.png

Với mọi \(x_0\in(-1;1)\), ta có

\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-x_0^2}=f\left(x_0\right)\).

Do đó hàm số \(f(x)\) liên tục tại mọi điểm \(x_0\in(-1;1)\).

Ta lại có

\(\lim\limits_{x\to(-1)^+}f(x)=\lim\limits_{x\to(-1)^+}\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-(-1)^2}=0=f(-1)\).

\(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1^-}\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-1^2}=0=f(1)\).

Vậy hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([-1;1]\).

}

a) Ta có \(f(2)=3\) và \(\lim\limits_{x\to2}f(x)=\lim\limits_{x\to2}\left(x^2-2x+3\right)=2^2-2\cdot2+3=3\), suy ra \(\lim\limits_{x\to2}f(x)=f(2)\).

Vậy hàm số \(y=f(x)\) liên tục tại \(x_0=2\).

b) Ta có \(f(0)=2\cdot0=0\), \(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}(2x)=2\cdot0=0\),

\phantom{Ta có }\(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}\left(x^2+2\right)=0+2=2\).

Do \(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)\ne\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) nên không tồn tại \(\lim\limits_{x\to0}f(x)\).

Vậy hàm số \(y=f(x)\) không liên tục tại điểm \(x_0=0\).

}

a) Ta có

+) \(f(0)=1. \)

+) Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x\to 0}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x\to 0} \displaystyle\frac{1}{x}\) không tồn tại.

Vậy hàm số gián đoạn tại \(x=0\).

b) Ta có

+) \(f(1)=2-1=1. \)

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x\to 1^-}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x\to 1^-} (1+x)=2.\)

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x\to 1^+}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x\to 1^+} (2-x)=1.\)

Vậy \(f(1)=\mathop {\lim }\limits_{x\to 1^+}f(x)\ne \mathop {\lim }\limits_{x\to 1^-}f(x)\) nên hàm số gián đoạn tại \(x=1\).

}

a) Tập xác định của hàm số đã cho là \(\mathbb{R}\setminus \{-2;-3\}\).

Do đó hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \((-\infty;-3)\), \((-3;-2)\) và \((-2,+\infty)\);

b) Hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\).

Với \(x < 1\), ta có \(f(x)= 1+x^2\) là hàm đa thức, do đó liên tục trên khoảng \((-\infty;1)\).

Với \(x > 1\), ta có \(f(x)=4-x\) cũng là hàm đa thức, do đó liên tục trên khoảng \((1;+\infty).\)

Tại \(x=1\), ta có

+) \(\lim\limits_{x\to 1^-}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 1^-}{(1+x^2)}=2. \)

+) \(\lim\limits_{x\to 1^+}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 1^+}{(4-x)}=3. \)

Vì \(\lim\limits_{x\to 1^+}{f(x)}\neq \lim\limits_{x\to 1^-}{f(x)}\) do đó hàm số đã cho không liên tục tại \(x=1\). Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \((-\infty;1)\) và \((1;+\infty)\).

}

Do \( f(x)=x+1 \) nếu \( x\ne 3 \) nên hàm số đó liên tục trên mỗi khoảng \( (-\infty;3) \) và \( (3;+\infty) \).

Với \( x=3 \) thì \( f(3)=a \).

Ta có \( \displaystyle\lim\limits_{x\to 3}f(x) =\displaystyle\lim\limits_{x\to 3}(x+1)=3+1=4 \).

Vậy hàm số \( f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \) khi hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x=3 \) khi và chỉ khi

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to 3}f(x)=f(3)=4 \Leftrightarrow a=4.\)

}

a) Với mỗi \( x_{0}\in (3;4) \) ta có \( \displaystyle\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=\displaystyle\lim\limits_{x\to x_{0}}(2x+3) =2x_{0}+3=f\left(x_{0}\right)\).

Ta lại có

\( \displaystyle\lim\limits_{x\to 3^{+}}f(x) = \displaystyle\lim\limits_{x\to 3^{+}}(2x+3) =9=f(3) \).

\( \displaystyle\lim\limits_{x\to 4^{-}}f(x) = \displaystyle\lim\limits_{x\to 4^{-}}(2x+3) =11=f(4) \).

Vậy hàm số đã cho liên tục trên đoạn \( [3;4] \).

b) Hàm số \( f(x)=\displaystyle\frac{x+1}{x-2} \) không xác định tại \( x=2 \) nên hàm số không liên tục tại \( x=2 \).

Do \( 2\in (1;3) \) nên hàm số đã cho không liên tục trên khoảng \( (1;3) \).

}

a) Hàm số \( y=x^{2} \) và hàm số \( y=\sin x \) liên tục trên \( \mathbb{R} \) nên hàm số \( f(x)=x^{2}+\sin x \) là tổng của hai hàm số trên cũng liên tục trên \( \mathbb{R} \).

b) Tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R}\setminus\{1\} \).

Vậy hàm số \( f(x) \) liên tục trên các khoảng \( (-\infty;1) \) và \( (1;+\infty) \).

c) Tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R}\setminus\{-4;3\} \).

Vậy hàm số \( f(x) \) liên tục trên các khoảng \( (-\infty;-4) \); (-4;3) và \( (3;+\infty) \).

}

a) Hàm số trên là hàm đa thức nên liên tục trên \( \mathbb{R} \).

Ta có \( f(4) =2a+1=1 \) (do \( a=0 \)).

\( \displaystyle\lim\limits_{x\to 4}f(x)= \displaystyle\lim\limits_{x\to 4}\left(x^{2}+x+1\right) =4^{2}+4+1 =21\).

Vì \(\displaystyle\lim\limits_{x\to 4}f(x) \ne f(4) \) nên hàm số trên không liên tục tại \( x=4 \) khi \( a=0 \).

b) Hàm số trên là hàm đa thức nên liên tục trên \( \mathbb{R} \).

Ta có \( f(4) =2a+1 \).

\( \displaystyle\lim\limits_{x\to 4}f(x)= \displaystyle\lim\limits_{x\to 4}\left(x^{2}+x+1\right) =4^{2}+4+1 =21\).

Để hàm số liên tục tại \( x=4 \) thì \( \displaystyle\lim\limits_{x\to 4}f(x) =f(4) \Leftrightarrow 2a+1=21\Leftrightarrow a=10 \).

Vậy \( a=10 \) thì hàm số liên tục tại \( x=4 \).

c) Tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \).

+) TH1: \( x\ne 4 \), hàm số trên là hàm đa thức nên liên tục trên \( \mathbb{R} \).

+) TH2: \( x=4 \), hàm số trên là hàm hằng nên liên tục trên \( \mathbb{R} \).

Vậy hàm số trên liên tục trên \( \mathbb{R} \).

}

Với \(x\neq 5\) thì \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2-25}{x-5}=x+5\) là hàm liên tục.

Do đó, để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số phải liên tục tại \(x=5\).

Tức là \(\lim\limits_{x\to 5} f(x)=f(5)\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to 5} (x+5)=a\Leftrightarrow a=10\).

Vậy với \(a=10\) thì hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

}

a) Với \(a=0 ; b=1\), ta có:

\(f(x)= \begin{cases}2 x & \text { nếu } x < 2 \\ 4 & \text { nếu } x=2 \\ -3 x+1 & \text { nếu } x > 2.\end{cases}\)

Ta có \(\underset{x \rightarrow 2^{-}}\lim f(x)=\underset{x \rightarrow 2^{-}}\lim (2 x)=4 \text{ và }

\underset{x \rightarrow 2^{+}}\lim f(x)=\underset{x \rightarrow 2^{+}}\lim (-3 x+1)=-5.\)

Vì \(\underset{x \rightarrow 2^{-}}\lim f(x) \neq \underset{x \rightarrow 2^{+}}\lim f(x) \) nên không tồn tại \(\underset{x \rightarrow 2}\lim f(x)\).

b) Ta có

\(\underset{x \rightarrow 2^{-}}\lim f(x)=\underset{x \rightarrow 2^{-}}\lim(2 x+a)=4+a\)

và

\(\underset{x \rightarrow 2^{+}}\lim f(x)=\underset{x \rightarrow 2^{+}}\lim (-3 x+b)=-6+b.\)

Hàm số liên tục của hàm số tại \(x=2\) khi và chỉ khi tồn tại \(\underset{x \rightarrow 2}\lim f(x)\) và \(\underset{x \rightarrow 2}\lim f(x)=f(2)\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}4+a=4 \\ -6+b=4\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=0 \\ b=10.\end{cases}\)

Vậy \(a=0 ; b=10\) thoả mãn yêu cầu bài toán.

c) Để hàm số liên tục trên tập xác định điều kiện cần và đủ là hàm số liên tục tại \(x=2\). Do đó với \(a=0, b=10\) thì hàm số liên tục trên tập xác định.

}

Với mọi \(x_0\ne-2\), ta có \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2-4}{x+2}\) luôn xác định nên liên tục tại đó.

Mặt khác ta có \(f(-2)=a\), \(\lim\limits_{x\to-2}f(x)=\lim\limits_{x\to-2}\displaystyle\frac{x^2-4}{x+2}=\lim\limits_{x\to-2}(x-2)=-2-2=-4\).

Để hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số \(y=f(x)\) phải liên tục tại \(x=-2\)

\(\lim\limits_{x\to-2}f(x)=f(-2)\Leftrightarrow a=-4.\)

}

Hàm số liên tục trên các khoảng \((-\infty; a)\) và \((a;+\infty)\).

Ta có

+) \(f(a)=a+1. \)

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x\to a^-}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x\to a^-} (x+1)=a+1.\)

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x\to a^+}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x\to a^+} x^2=a^2.\)

Để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\), ta cần

\(f(a)=\mathop {\lim }\limits_{x\to a^+}f(x)= \mathop {\lim }\limits_{x\to a^-}f(x)\Leftrightarrow a+1=a^2 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&a=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\&a=\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{2}.\end{aligned}\right.\)

}

Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((0;+\infty)\).

Xét tại \(x=0\).

Ta có

+) \(f(0)=\sin0=0\).

+) \(\lim\limits_{x\to 0^+}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 0^+}{\sin x}=0.\)

+) \(\lim\limits_{x\to 0^-}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 0^-}{(-x+m)}=m.\)

Hàm số đã cho liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi

\(f(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 0^-}{f(x)}\Leftrightarrow m=0.\)

}

Xét hàm số \(f(x)=x^5+x^3-10\) với \(x\in \mathbb{R}\). Ta có

+) Vì \(f(x)\) là hàm số đa thức nên \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}.\)

+) \(f(0)=-1 < 0\), \(f(2)=30 > 0\). Suy ra \(f(0)f(2) < 0\).

Suy ra \(f(x)=0\) có ít nhất một nghiệm trên \(\left(0;2\right)\).

}

Giả sử hàm số \( h(x)=f(x)+g(x) \) là hàm số liên tục tại \( x_{0} \).

Khi đó, hàm số \( g(x)=h(x) -f(x) \) là hiệu của hai hàm số liên tục tại \( x_{0} \) nên hàm số \( g(x) \) là hàm số liên tục tại \( x_{0} \). Điều này mâu thuẫn với giả thiết là \( g(x) \) không liên tục tại \( x_{0} \).

Vậy ý kiến trên là đúng.

}

Vì \(T(t)\) là hàm liên tục trên tập xác định nên ta có hàm \(T(t)\) liên tục tại \(t=60\)

\(\Leftrightarrow \lim\limits_{t\to 60^-} T(t)=\lim\limits_{t\to 60^+} T(t)=T(60)\)

\(\Leftrightarrow 10+2\cdot 60=k-3\cdot 60\Leftrightarrow k=310\).

Vậy \(k=310\).

}

+) Với mọi \(r\in(0;R)\), hàm số \(F(r)=\displaystyle\frac{GMr}{R^3}\) luôn xác định nên liên tục tại đó.

+) Với mọi \(r\in(R;+\infty)\), hàm số \(F(r)=\displaystyle\frac{GM}{r^2}\) luôn xác định nên liên tục tại đó.

+) Ta có \(\begin{cases}\lim\limits_{r\to R^-}F(r)=\lim\limits_{r\to R^-}\displaystyle\frac{GMr}{R^3}=\displaystyle\frac{GM}{R^2}\\ \lim\limits_{x\to R^+}F(r)=\lim\limits_{x\to R^+}\displaystyle\frac{GM}{r^2}=\displaystyle\frac{GM}{R^2}\\ F(R)=\displaystyle\frac{GM}{R^2}\end{cases}\) nên hàm số \(F(r)\) liên tục tại \(r=R\).

Vậy hàm số \(F(r)\) liên tục trên \((0;+\infty)\).

}

+) Hàm số \(C(x)\) là hàm hằng trên từng khoảng \((0;2)\), \((2;4)\), \((4;6)\) nên liên tục trên từng khoảng đó.

+) Ta có \(\begin{cases} \lim\limits_{x\to2^-}C(x)=60\.000\\ \lim\limits_{x\to2^+}C(x)=100\.000\end{cases}\Rightarrow\) không tồn tại \(\lim\limits_{x\to2}C(x)\), vậy \(C(x)\) không liên tục tại \(x_0=2\).

+) Ta có \(\begin{cases}\lim\limits_{x\to4^-}C(x)=100.000\\ \lim\limits_{x\to4^+}C(x)=200\,000\end{cases}\Rightarrow\) không tồn tại \(\lim\limits_{x\to4}C(x)\), vậy \(C(x)\) không liên tục tại \(x_0=4\).

Vậy hàm số \(C(x)\) liên tục trên từng khoảng \((0;2)\), \((2;4)\), \((4;6)\).

}

Từ công thức khối lượng \(m=\displaystyle\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\). Ta thấy \(m\) là một hàm số của \(v\), với tập xác định là nửa khoảng \([0 ; c)\). Rõ ràng khi \(v\) tiến gần tới vận tốc ánh sáng, tức là \(v \rightarrow c^{-}\), ta có \(\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^{2}}{c^{2}}} \rightarrow 0\). Do đó \(\lim \limits_{v \rightarrow c^{-}} m(v)=+\infty\), nghĩa là khối lượng \(m\) của vật trở nên vô cùng lớn khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng.

}

a) Gọi \(x\) là quãng đường di chuyển, \(f(x)\) là giá tiền tính theo quãng đường.

+) \(0\le x\le 0{,}5\), ta có \(f(x)=10000\) đồng.

+) \(0{,}5 < x \le 30\), \(f(x)= 10000+13500(x-0{,}5)\) đồng.

+) \(x>30\), \(f(x)= 408250+11000(x-30)\) đồng.

Vậy \(f(x)=\begin{cases}10000&\text{nếu }& 0\le x\le 0{,}5\\ 10000+13500(x-0{,}5)&\text{nếu }& 0{,}5 < x\le 30\\ 408250+11000(x-30)&\text{nếu }& x>30.\end{cases}\)

b) Hàm số \(f(x)\) liên tục trên các khoảng \((0; 0{,}5)\), \((0{,}5; 30)\) và \((30;+\infty)\).

Tại \(x=0{,}5\), ta có \(f(0{,}5)=10000\), \(\lim\limits_{x\to {0{,}5}^+}{f(x)}=10000\), \(\lim\limits_{x\to {0{,}5}^-}{f(x)}=10000\).

Vì \(f(0,5)=\lim\limits_{x\to {0{,}5}^+}{f(x)}=\lim\limits_{x\to {0{,}5}^-}{f(x)}\), do đó \(f(x)\) liên tục tại \(x=0,5\).

Tại \(x=30\), ta có \(f(30)=408250\), \(\lim\limits_{x\to 30^-}{f(x)}=408250\), \(\lim\limits_{x\to 30^+}{f(x)}=408250\).

Vì \(f(30)=\lim\limits_{x\to 30^-}{f(x)}=\lim\limits_{x\to 30^+}{f(x)}\), do đó\(f(x)\) liên tục tại \(x=30\).

Vậy \(f(x)\) liên tục trên khoảng \((0;+\infty)\).

}