\(\S2.\) HÀM SỐ BẬC HAI
1. Hàm số bậc hai
+ Hàm số bậc hai theo biến \(x\) là hàm số cho bởi công thức có dạng \(y=f(x)=ax^2+bx+c\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các số thực và \(a\neq 0\).
+ Tập xác định của hàm số bậc hai là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
2. Đồ thị hàm số bậc hai
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đồ thị hàm số bậc hai \(y=ax^2+bx+c\) (với \(a\neq 0\)) là một parabol \((P)\):
\(-\) Có đỉnh \(S\) với hoành độ \(x_{_S}=-\dfrac{b}{2a}\), tung độ \(y_{_S}=-\dfrac{\Delta}{4a}\).
\(-\) Có trục đối xứng là đường thẳng \(x=-\dfrac{b}{2a}\) (đường thẳng này đi qua đỉnh \(S\) và song song với trục \(Oy\)).
\(-\) Bề lõm quay lên nếu \(a>0\), quay xuống nếu \(a<0\).
\(-\) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(c\), tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ \((0;c)\).
Chú ý.
+ Nếu \(b=2b'\) thì \((P)\) có đỉnh \(S\left(-\displaystyle\frac{b'}{a};-\displaystyle\frac{\Delta'}{a}\right)\).
+ Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0\) có hai nghiệm \(x_1\), \(x_2\) thì đồ thị hàm số bậc hai \(y=ax^2+bx+c\) cắt trục hoành tại hai điểm lần lượt có hoành độ là hai nghiệm này.
Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai \(y=ax^2+bx+c\) (với \(a\neq 0\)):
1) Xác định tọa độ đỉnh \(S\left(-\dfrac{b}{2a};-\dfrac{\Delta}{4a}\right)\).
2) Vẽ trục đối xứng \(d\) là đường thẳng \(x=-\dfrac{b}{2a}\).
3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (điểm \(A(0;c)\)) và giao điểm của đồ thị với trục hoành (nếu có).
\(\quad\) Xác định thêm điểm đối xứng với \(A\) qua trục đối xứng \(d\), là điểm \(B\left(-\dfrac{b}{a};c\right)\).
4) Vẽ parabol có đỉnh \(S\), có trục đối xứng \(d\), đi qua các điểm tìm được.
3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai
\(a>0\)
\(a<0\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;-\dfrac{b}{2a}\right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left(-\dfrac{b}{2a};+\infty\right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;-\dfrac{b}{2a}\right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left(-\dfrac{b}{2a};+\infty\right)\).
Chú ý. Từ bảng biến thiên của hàm số bậc hai, ta thấy
+ Khi \(a>0\), hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}\) tại \(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}\) và hàm số có tập giá trị là \(T=\left[-\displaystyle\frac{\Delta}{4a};+\infty\right)\).
+ Khi \(a<0\), hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}\) tại \(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}\) và hàm số có tập giá trị là \(T=\left(-\infty;-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}\right]\).
4. Ứng dụng của hàm số bậc hai
Tầm bay cao và tầm bay xa
Trong môn cầu lông, khi phát cầu, người chơi cần đánh cầu qua khỏi lưới sang phía sân đối phương và không được để cho cầu rơi ngoài biên.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), chọn điểm có tọa độ \((0;y_0)\) là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời khỏi mặt vợt là
\(y=\displaystyle\frac{-g\cdot x^2}{2\cdot v_0^2\cdot \cos^2 \alpha}+\tan (\alpha)\cdot x+y_0.\)
Trong đó
+ \(g\) là gia tốc trọng trường (thường được chọn là \(9{,}8\) m/s\(^2\));
+ \(\alpha\) là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất);
+ \(v_0\) là vận tốc ban đầu của cầu;
+ \(y_0\) là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất.
Đây là một hàm số bậc hai nên quỹ đạo chuyển động của cầu lông là một parabol.
Xét trường hợp lặng gió, với vận tốc ban đầu và góc phát cầu đã biết, cầu chuyển động theo quỹ đạo parabol nên sẽ
+ Đạt vị trí cao nhất tại đỉnh parabol, gọi là tầm bay cao;
+ Rơi chạm đất ở vị trí cách nơi đứng phát cầu một khoảng, gọi là tầm bay xa.
Ví dụ. Một người đang tập chơi cầu lông có khuynh hướng phát cầu với góc \(30^\circ\) (so với mặt đất).
a. Hãy tính khoảng cách từ vị trí người này đến vị trí cầu rơi chạm đất (tầm bay xa), biết cầu rời mặt vợt ở độ cao \(0{,}7\) m so với mặt đất và vận tốc ban đầu của cầu là \(8\) (m/s) (bỏ qua sức cản của gió và xem quỹ đạo của cầu luôn nằm trong mặt phẳng thẳng đứng).
b. Giữ giả thiết như câu a) và cho biết khoảng cách từ vị trí phát cầu đến lưới là \(4\) m. Lần phát cầu này có bị xem là hỏng không? Tại sao?
Thông tin bổ sung:
+ Mép trên của lưới cầu lông cách mặt đất \(1{,}524\) m;
+ Gia tốc trọng trường được chọn là \(9{,}8\) m/s\(^2\).
Lời giải
a. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ (vị trí rơi của cầu thuộc trục hoành và vị trí cầu rời mặt vợt thuộc trục tung).
+ Với \(g=9{,}8\) m/s\(^2\), góc phát cầu \(\alpha =30^\circ\), vận tốc ban đầu \(v_0=8\) m/s, phương trình quỹ đạo của cầu là
\(\quad\) \(y=-\displaystyle\frac{4{,}9}{48}x^2+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}x+0{,}7 \text{ (với \(x\ge 0\))}.\)
+ Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình
\(\quad\) \(-\displaystyle\frac{4{,}9}{48}x^2+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}x+0{,}7=0\) ta được \(x_1\approx -1{,}03\) và \(x_2\approx 6{,}68\).
+ Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là \(6{,}68\) m.
b. Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biên phía bên sân đối phương thì lần phát cầu mới được xem là hợp lệ.
+ Ta cần so sánh tung độ của điểm trên quỹ đạo (có hoành độ bằng khoảng cách từ gốc tọa độ đến chân lưới phân cách) với chiều cao mép trên của lưới để tìm câu trả lời.
+ Khi \(x=4\), ta có \(y=-\displaystyle\frac{4{,}9}{48}\cdot 4^2+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 4+0{,}7\approx 1{,}38\).
+ Suy ra \(y<1{,}524\).
+ Như vậy lần phát cầu đã bị hỏng vì điểm trên quỹ đạo của cầu thấp hơn mép trên của lưới.
Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn
Dạng 1. Xác định đỉnh, trục đối xứng của parabol
Dạng 2. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc hai
Dạng 3. Đồ thị của hàm số bậc hai
Dạng 4. Bài toán tương giao giữa đường thẳng và parabol
Dạng 5. Bài toán tương giao giữa đường thẳng và parabol có chứa tham số
Dạng 6. Xác định các hệ số của hàm số bậc hai
Dạng 7. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bậc hai
Dạng 1. Xác định đỉnh, trục đối xứng của parabol
Câu 1:
Hàm số nào sau đây đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x=\displaystyle\frac{3}{4}?\)
Đáp án: \(y=x^2-\displaystyle\frac{3}{2}x+1\)
Lời giải:
Ta cần có hệ số \(a>0\) và \(-\displaystyle\frac{b}{2a}=\displaystyle\frac{3}{4}\).
Câu 2:
Cho hàm số \(y=x^2-4x+3\). Trục đối xứng của đồ thị hàm số là
Đáp án: \(x=2\)
Lời giải:
Trục đối xứng của đồ thị hàm số là
\(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}=-\displaystyle\frac{-4}{2}=2\)
Dạng 2. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc hai
Câu 1:
Chọn mệnh đề {\bf sai}. Hàm số \(y=x^2-2x+100\)
Đáp án: đồng biến trên khoảng \((-1;3)\)
Lời giải:
Parabol \(y=x^2-2x+100\) có hoành độ đỉnh là \(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}=1\) và hệ số \(a=1>0\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;1)\) và đồng biến trên khoảng \((1;+\infty)\).
Câu 2:
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;0\right)?\)
Đáp án: \(y=\sqrt{2}x^2+1\)
Lời giải:
Xét hàm số \(y=\sqrt{2}x^2+1\), ta có \(-\displaystyle\frac{b}{2a}=0\) và có \(a>0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(0;+\infty \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;0\right)\).
Dạng 3. Đồ thị của hàm số bậc hai
Câu 1:
Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình vẽ
Đáp án: \(y=x^2-2x+3\)
Lời giải:
Nhìn vào bảng biến thiên ta suy ra hệ số \(a<0\), do đó loại phương án \(C\).
Từ bảng biến thiên ta có tọa đỉnh của Parabol là \(S(1;2)\).
Vì \(S(1;2)\) là tọa độ đỉnh của hàm số \(y=-x^2+2x+1\).
Do đó hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ là \(y=-x^2+2x+1\).
Câu 2:
Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?
Đáp án: \(y=-2x^2+5x-1\)
Lời giải:
Đồ thị đã cho là một parabol nên hàm số cần tìm là một hàm số bậc hai \(y=ax^2+bx+c\) (\(a\neq 0\)).
+) Vì bề lõm của parabol hướng xuống dưới nên \(a<0\).
+) Hoành độ của tung độ đỉnh dương nên \(ab<0\), suy ra \(b>0\).
+) Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(c<0\).
Dạng 4. Bài toán tương giao giữa đường thẳng và parabol
Câu 1:
Tọa độ giao điểm của parabol \(y=3x^2-4x+1\) với trục tung là
Đáp án: \((0;1)\)
Lời giải:
Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ
\(\begin{cases}y=3x^2-4x+1\\x=0\end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases}x=0\\y=1.\end{cases}\)
Vậy tọa độ giao điểm của parabol với trục tung là \((0;1).\)
Câu 2:
Nghiệm của phương trình \(8x^2+12x-17=0\) có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số nào sau đây?
Đáp án: \(y=4x^2+11x-2\) và \(y=-4x^2-x+15\)
Lời giải:
Xét các phương trình sau
+) \(4x^2+11x+2=-4x^2+x-15\) \(\Leftrightarrow 8x^2+10x+17=0\).
+) \(4x^2+11x-2=-4x^2-x+15\) \(\Leftrightarrow \boxed{8x^2+12x-17=0}\).
+) \(8x^2=12x-17\) \(\Leftrightarrow 8x^2-12x+17=0\).
+) \(x^2+11x+2=x^2+x-15\) \(\Leftrightarrow 10x+17=0\).
Vậy nghiệm của phương trình \(8x^2+12x-17=0\) có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y=4x^2+11x-2\) và \(y=-4x^2-x+15\).
Dạng 5. Bài toán tương giao giữa đường thẳng và parabol có chứa tham số
Câu 1:
Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để phương trình \(x^4-2x^2+3-m=0\) có nghiệm.
Đáp án: \(m\ge 2\)
Lời giải:
Đặt \(t=x^2\), \(t\ge 0\). Khi đó, phương trình đã cho trở thành: \(t^2-2t+3-m=0.\quad(*)\)
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \((*)\) có nghiệm không âm. Ta xét hai trường hợp
+) Phương trình \((*)\) vô nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta'<0\Leftrightarrow m-2<0\Leftrightarrow m<2\).
+) Phương trình \((*)\) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi \(\begin{cases}\Delta'=m-2\ge 0 \\ S=2<0 \\ P=3-m>0\end{cases}\Leftrightarrow m\in \varnothing\).
Do đó, phương trình \((*)\) có nghiệm không âm khi và chỉ khi \(m\ge 2\).
Câu 2:
Để hai đồ thị hàm số \(y=-x^2-4x\) và \(y=x^2-m\) có hai điểm chung thì
Đáp án: \(m>-2\)
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm
\(-x^2-4x=x^2-m\Leftrightarrow 2x^2+4x-m=0\quad(1).\)
Hai đồ thị có hai điểm chung \(\Leftrightarrow\) phương trình \((1)\) có hai nghiệm phân biệt
\(\Delta'>0\Leftrightarrow 4+2m>0\Leftrightarrow m>-2.\)
Dạng 6. Xác định các hệ số của hàm số bậc hai
Câu 1:
Tìm parabol \((P)\colon y=ax^2+3x-2,\) biết rằng parabol có đỉnh \(I\left(-\displaystyle\frac{1}{2};-\displaystyle\frac{11}{4}\right)\).
Đáp án: \(y=3x^2+3x-2\)
Lời giải:
Vì \((P)\) có đỉnh \(I\left(-\displaystyle\frac{1}{2};-\displaystyle\frac{11}{4}\right)\) nên ta có
\(\begin{cases}-\displaystyle\frac{b}{2a}=-\displaystyle\frac{1}{2} \\-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}=-\displaystyle\frac{11}{4}\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin{cases}b=a \\ \Delta =11a\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 3=a \\ 9+8a=11a\end{cases}\Leftrightarrow a=3\).
Vậy \((P)\colon y=3x^2+3x-2\).
Câu 2:
Biết rằng hàm số \(y=ax^2+bx+c\), \(\left(a\ne 0\right)\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(3\) tại \(x=2\) và có đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(0;-1)\). Tính tổng \(S=a+b+c\).
Đáp án: \(S=2\)
Lời giải:
Từ giả thiết ta có hệ
\(\begin{cases}a<0 \\ -\displaystyle\frac{b}{2a}=2 \\ -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}=3 \\ c=-1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a<0 \\ b=-4a \\ b^2-4ac=-12a \\ c=-1\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin{cases}a<0 \\ b=-4a \\ 16a^2+16a=0 \\ c=-1\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin{cases}a=0\left(\text{loại}\right) \\ b=0 \\ c=-1\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a=-1 \\ b=4 \\ c=-1\end{cases}\)
\(\Rightarrow S=a+b+c=2.\)
Dạng 7. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bậc hai
Câu 1:
Tìm giá trị lớn nhất \(M\) và giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(y=f(x)=x^2-4x+3\) trên đoạn \(\left[-2;1\right]\).
Đáp án: \(M=15; m=0\)
Lời giải:
Hàm số \(y=x^2-4x+3\) có \(a=1>0\) nên bề lõm hướng lên.
Hoành độ đỉnh \(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}=2\notin \left[-2;1\right]\).
Ta có \(\begin{cases}f\left(-2\right)=15\\ f(1)=0\end{cases}\)
\(\Rightarrow m=\min y=f(1)=0;\)
\(M=\max y=f\left(-2\right)=15\).
Câu 2:
Tìm giá trị lớn nhất \(M\) và giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(y=f(x)=x^2-3x\) trên đoạn \(\left[0;2\right]\).
Đáp án: \(M=0; m=-\displaystyle\frac{9}{4}\)
Lời giải:
Hàm số \(y=x^2-3x\) có \(a=1>0\) nên bề lõm hướng lên.
Hoành độ đỉnh \(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}=\displaystyle\frac{3}{2}\in \left[0;2\right]\).
Vậy
\(\begin{cases} \min y=f\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)=-\displaystyle\frac{9}{4} \\ \max y=\max \left\{f(0),f(2)\right\}=\max \left\{0,-2\right\}=0\end{cases}\).
Từ đó \(m=-\dfrac{9}{4}\), \(M=0\).