\(\S2.\) HÀM SỐ BẬC HAI
1. Hàm số bậc hai
+ Hàm số bậc hai theo biến \(x\) là hàm số cho bởi công thức có dạng \(y=f(x)=ax^2+bx+c\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các số thực và \(a\neq 0\).
+ Tập xác định của hàm số bậc hai là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
2. Đồ thị hàm số bậc hai
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đồ thị hàm số bậc hai \(y=ax^2+bx+c\) (với \(a\neq 0\)) là một parabol \((P)\):
\(-\) Có đỉnh \(S\) với hoành độ \(x_{_S}=-\dfrac{b}{2a}\), tung độ \(y_{_S}=-\dfrac{\Delta}{4a}\).
\(-\) Có trục đối xứng là đường thẳng \(x=-\dfrac{b}{2a}\) (đường thẳng này đi qua đỉnh \(S\) và song song với trục \(Oy\)).
\(-\) Bề lõm quay lên nếu \(a>0\), quay xuống nếu \(a<0\).
\(-\) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(c\), tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ \((0;c)\).
Chú ý.
+ Nếu \(b=2b'\) thì \((P)\) có đỉnh \(S\left(-\displaystyle\frac{b'}{a};-\displaystyle\frac{\Delta'}{a}\right)\).
+ Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0\) có hai nghiệm \(x_1\), \(x_2\) thì đồ thị hàm số bậc hai \(y=ax^2+bx+c\) cắt trục hoành tại hai điểm lần lượt có hoành độ là hai nghiệm này.
Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai \(y=ax^2+bx+c\) (với \(a\neq 0\)):
1) Xác định tọa độ đỉnh \(S\left(-\dfrac{b}{2a};-\dfrac{\Delta}{4a}\right)\).
2) Vẽ trục đối xứng \(d\) là đường thẳng \(x=-\dfrac{b}{2a}\).
3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (điểm \(A(0;c)\)) và giao điểm của đồ thị với trục hoành (nếu có).
\(\quad\) Xác định thêm điểm đối xứng với \(A\) qua trục đối xứng \(d\), là điểm \(B\left(-\dfrac{b}{a};c\right)\).
4) Vẽ parabol có đỉnh \(S\), có trục đối xứng \(d\), đi qua các điểm tìm được.
3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai
\(a>0\)
\(a<0\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;-\dfrac{b}{2a}\right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left(-\dfrac{b}{2a};+\infty\right)\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;-\dfrac{b}{2a}\right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left(-\dfrac{b}{2a};+\infty\right)\).
Chú ý. Từ bảng biến thiên của hàm số bậc hai, ta thấy
+ Khi \(a>0\), hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}\) tại \(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}\) và hàm số có tập giá trị là \(T=\left[-\displaystyle\frac{\Delta}{4a};+\infty\right)\).
+ Khi \(a<0\), hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}\) tại \(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}\) và hàm số có tập giá trị là \(T=\left(-\infty;-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}\right]\).
4. Ứng dụng của hàm số bậc hai
Tầm bay cao và tầm bay xa
Trong môn cầu lông, khi phát cầu, người chơi cần đánh cầu qua khỏi lưới sang phía sân đối phương và không được để cho cầu rơi ngoài biên.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), chọn điểm có tọa độ \((0;y_0)\) là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời khỏi mặt vợt là
\(y=\displaystyle\frac{-g\cdot x^2}{2\cdot v_0^2\cdot \cos^2 \alpha}+\tan (\alpha)\cdot x+y_0.\)
Trong đó
+ \(g\) là gia tốc trọng trường (thường được chọn là \(9{,}8\) m/s\(^2\));
+ \(\alpha\) là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất);
+ \(v_0\) là vận tốc ban đầu của cầu;
+ \(y_0\) là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất.
Đây là một hàm số bậc hai nên quỹ đạo chuyển động của cầu lông là một parabol.
Xét trường hợp lặng gió, với vận tốc ban đầu và góc phát cầu đã biết, cầu chuyển động theo quỹ đạo parabol nên sẽ
+ Đạt vị trí cao nhất tại đỉnh parabol, gọi là tầm bay cao;
+ Rơi chạm đất ở vị trí cách nơi đứng phát cầu một khoảng, gọi là tầm bay xa.
Ví dụ. Một người đang tập chơi cầu lông có khuynh hướng phát cầu với góc \(30^\circ\) (so với mặt đất).
a. Hãy tính khoảng cách từ vị trí người này đến vị trí cầu rơi chạm đất (tầm bay xa), biết cầu rời mặt vợt ở độ cao \(0{,}7\) m so với mặt đất và vận tốc ban đầu của cầu là \(8\) (m/s) (bỏ qua sức cản của gió và xem quỹ đạo của cầu luôn nằm trong mặt phẳng thẳng đứng).
b. Giữ giả thiết như câu a) và cho biết khoảng cách từ vị trí phát cầu đến lưới là \(4\) m. Lần phát cầu này có bị xem là hỏng không? Tại sao?
Thông tin bổ sung:
+ Mép trên của lưới cầu lông cách mặt đất \(1{,}524\) m;
+ Gia tốc trọng trường được chọn là \(9{,}8\) m/s\(^2\).
Lời giải
a. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ (vị trí rơi của cầu thuộc trục hoành và vị trí cầu rời mặt vợt thuộc trục tung).
+ Với \(g=9{,}8\) m/s\(^2\), góc phát cầu \(\alpha =30^\circ\), vận tốc ban đầu \(v_0=8\) m/s, phương trình quỹ đạo của cầu là
\(\quad\) \(y=-\displaystyle\frac{4{,}9}{48}x^2+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}x+0{,}7 \text{ (với \(x\ge 0\))}.\)
+ Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình
\(\quad\) \(-\displaystyle\frac{4{,}9}{48}x^2+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}x+0{,}7=0\) ta được \(x_1\approx -1{,}03\) và \(x_2\approx 6{,}68\).
+ Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là \(6{,}68\) m.
b. Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biên phía bên sân đối phương thì lần phát cầu mới được xem là hợp lệ.
+ Ta cần so sánh tung độ của điểm trên quỹ đạo (có hoành độ bằng khoảng cách từ gốc tọa độ đến chân lưới phân cách) với chiều cao mép trên của lưới để tìm câu trả lời.
+ Khi \(x=4\), ta có \(y=-\displaystyle\frac{4{,}9}{48}\cdot 4^2+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 4+0{,}7\approx 1{,}38\).
+ Suy ra \(y<1{,}524\).
+ Như vậy lần phát cầu đã bị hỏng vì điểm trên quỹ đạo của cầu thấp hơn mép trên của lưới.
Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn
Dạng 1. Xác định đỉnh, trục đối xứng của parabol
Dạng 2. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc hai
Dạng 3. Đồ thị của hàm số bậc hai
Dạng 4. Bài toán tương giao giữa đường thẳng và parabol
Dạng 5. Bài toán tương giao giữa đường thẳng và parabol có chứa tham số
Dạng 6. Xác định các hệ số của hàm số bậc hai
Dạng 7. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bậc hai
Dạng 1. Xác định đỉnh, trục đối xứng của parabol
Câu 1:
Tọa độ đỉnh của parabol \((P)\colon y=-x^2+4x+5\) là
Đáp án: \(I(2;9)\)
Lời giải:
Hoành độ đỉnh của parabol \((P)\colon y=-x^2+4x+5\) là \(x_I=-\displaystyle\frac{4}{2(-1)}=2\).
Từ đó đỉnh parabol \((P)\colon y=-x^2+4x+5\) là \(I(2;9)\).
Câu 2:
Cho parabol \((P) \colon y=3x^2-2x+1\) . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Đáp án: \((P)\) có đỉnh \(I\left( \displaystyle\frac{1}{3};\displaystyle\frac{2}{3} \right)\)
Lời giải:
Tọa độ đỉnh của parabol là
\(\left(-\displaystyle\frac{b}{2a};-\displaystyle\frac{\Delta}{4a} \right)=\left( \displaystyle\frac{1}{3}; \displaystyle\frac{2}{3} \right)\).
Dạng 2. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc hai
Câu 1:
Cho hàm số \(y=ax^2+bx+c \left(a>0\right)\). Khẳng định nào sau đây là sai?
Đáp án: Đồ thị của hàm số luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt
Lời giải:
Ví dụ trường hợp đồ thị có đỉnh nằm phía trên trục hoành thì khi đó đồ thị hàm số không cắt trục hoành (hoặc xét phương trình hoành độ giao điểm \(ax^2+bx+c=0\), phương trình này không phải lúc nào cũng có hai nghiệm).
Câu 2:
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng \(\left(-1;+\infty \right)?\)
Đáp án: \(y=-\sqrt{2}{\left(x+1\right)}^2\)
Lời giải:
Xét hàm số \(y=-\sqrt{2}{\left(x+1\right)}^2\), ta có \(y=-\sqrt{2}{\left(x+1\right)}^2=-\sqrt{2}x^2-2\sqrt{2}x-\sqrt{2}\) nên \(-\displaystyle\frac{b}{2a}=-1\) và có \(a<0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left(-1;+\infty \right)\).
Dạng 3. Đồ thị của hàm số bậc hai
Câu 1:
Cho hàm số \(y=ax^2+bx+c\) có đồ thị là một Parabol \((P)\) như hình vẽ bên. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
Đáp án: \(a>0\), \(b<0\) và \(c>0\)
Lời giải:
Chiều Parabol quay lên nên hệ số \(a>0\), đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm ở phía trên \(Ox\) nên \(c>0\), trục đối xứng nằm bên phải \(Oy\) nên \(a, b\) trái dấu.
Câu 2:
Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây?
Đáp án: \(y=-2x^2-2x+1\)
Lời giải:
Bảng biến thiên có bề lõm hướng xuống. Loại đáp án A và B.
Đỉnh của parabol có tọa độ là \(\left(-\displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{3}{2}\right)\).
Chỉ có hàm số \(y=-2x^2-2x+1\) thỏa mãn.
Dạng 4. Bài toán tương giao giữa đường thẳng và parabol
Câu 1:
Tọa độ giao điểm của \((P)\colon y=x^2+2x-1\) và đường thẳng \(y=x-1\) là
Đáp án: \((0;-1)\) và \((-1;-2)\)
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của \((P)\colon y=x^2+2x-1\) và đường thẳng \(y=x-1\) là
\(x^2+2x-1=x-1\) \(\Leftrightarrow x^2+x=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-1\Rightarrow y=-2\\ &x=0\Rightarrow y=-1.\end{aligned}\right.\)
Tọa độ các giao điểm là \((0;-1)\) và \((-1;-2)\).
Câu 2:
Tìm giao điểm của đường thẳng \((d) \colon y=x+1\) và parabol \((P) \colon y=x^2-3x-4\).
Đáp án: \((-1;0)\) và \((5;6)\)
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của \((d)\) và \((P)\) là
\(x^2-3x-4 = x+1 \Leftrightarrow x^2 - 4x - 5 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x = -1 \\ &x= 5.\end{aligned}\right.\)
Thay lần lượt \(x=-1\), \(x=5\) vào phương trình \((d)\) ta được \(y=0\) và \(y=6\).
Vậy giao điểm của \((d)\) và \((P)\) là \((-1;0)\) và \((5;6)\).
Dạng 5. Bài toán tương giao giữa đường thẳng và parabol có chứa tham số
Câu 1:
Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để phương trình \(-2x^2-4x+3=m\) có nghiệm.
Đáp án: \(m\le 5\)
Lời giải:
Xét phương trình:
\(-2x^2-4x+3-m=0.\quad(1)\)
Để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
\(\Delta'\ge 0\Leftrightarrow-2m+10\ge 0\Leftrightarrow m\le 5\).
Câu 2:
Cho parabol \((P)\colon y=x^2-2x+m-1\). Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để parabol không cắt \(Ox\).
Đáp án: \(m>2\)
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của \((P)\) và trục \(Ox\) là
\(x^2-2x+m-1=0\) \(\Leftrightarrow(x-1)^2=2-m.\quad(1)\)
Parabol không cắt \(Ox\) khi và chỉ khi \((1)\) vô nghiệm
\(\Leftrightarrow 2-m<0\Leftrightarrow m>2\).
Dạng 6. Xác định các hệ số của hàm số bậc hai
Câu 1:
Tìm tham số \(m\) để đỉnh của parabol \(y=x^2+x+m\) nằm trên đường thẳng \(y=\displaystyle\frac{3}{4}\).
Đáp án: \(m=1\)
Lời giải:
Parabol \(y=x^2+x+m\) có đỉnh \(I\left(-\displaystyle\frac{1}{2};m-\displaystyle\frac{1}{4}\right)\).
\(I\) nằm trên đường thẳng \(y=\displaystyle\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow\, m-\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{3}{4} \,\Leftrightarrow\, m=1.\)
Câu 2:
Xác định parabol \((P)\colon y=ax^2+bx+c,\) biết rằng \((P)\) có đỉnh \(I\left(-2;-1\right)\) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(-3\).
Đáp án: \(y=-\displaystyle\frac{1}{2}x^2-2x-3\)
Lời giải:
Vì \((P)\) có đỉnh \(I(-2;-1)\) nên ta có
\(\begin{cases}-\displaystyle\frac{b}{2a}=-2 \\ -\displaystyle\frac{\Delta}{4a}=-1\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin{cases} b=4a \\ b^2-4ac=4a\end{cases}.\quad(1)\)
Gọi \(A\) là giao điểm của \((P)\) với \(Oy\) tại điểm có tung độ bằng \(-3\). Suy ra \(A\left(0;-3\right)\).
Theo giả thiết, \(A\left(0;-3\right)\) thuộc \((P)\) nên \(a\times 0+b\times0+c=-3\Leftrightarrow c=-3.\quad(2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\), ta có hệ
\(\begin{cases} b=4a \\ 16a^2+8a=0 \\ c=-3\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin{cases}a=0\left(\text{loại}\right) \\ b=0 \\ c=-3\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a=-\displaystyle\frac{1}{2} \\ b=-2 \\ c=-3.\end{cases}\)
Vậy \((P)\colon y=-\displaystyle\frac{1}{2}x^2-2x-3\).
Dạng 7. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bậc hai
Câu 1:
Tìm giá trị lớn nhất \(M\) và giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(y=f(x)=x^2-4x+3\) trên đoạn \(\left[-2;1\right]\).
Đáp án: \(M=15; m=0\)
Lời giải:
Hàm số \(y=x^2-4x+3\) có \(a=1>0\) nên bề lõm hướng lên.
Hoành độ đỉnh \(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}=2\notin \left[-2;1\right]\).
Ta có \(\begin{cases}f\left(-2\right)=15\\ f(1)=0\end{cases}\)
\(\Rightarrow m=\min y=f(1)=0;\)
\(M=\max y=f\left(-2\right)=15\).
Câu 2:
Tìm giá trị thực của tham số \(m\ne 0\) để hàm số \(y=mx^2-2mx-3m-2\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(-10\) trên \(\mathbb{R}\).
Đáp án: \(m=2\)
Lời giải:
Ta có \(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}=\displaystyle\frac{2m}{2m}=1\), suy ra \(y=-4m-2\).
Để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \(-10\) khi và chỉ khi
\(\begin{cases}m>0\\-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}=-10.\end{cases}\)
Vậy ta có
\(\begin{cases} m>0 \\ -4m-2=-10\end{cases}\Leftrightarrow m=2\).