Dạng 1. Tính góc giữa hai đường thẳng
Dạng 2. Tính góc giữa hai véctơ
Câu 1:
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(DA'\) bằng
Đáp án: \(60^\circ\)
Lời giải:
Ta có \(\widehat{(AC,DA')}=\widehat{(AC,CB')}=\widehat{ACB'}\).
Xét \(\triangle ACB'\) có \(AC=CB'=AB'=AB\sqrt{2}\).
Do đó \(\triangle ACB'\) là tam giác đều.
Vậy \(\widehat{ACB'}=60^\circ\) hay \(\widehat{\left(AC,DA'\right) }=60^\circ\).
Câu 2:
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AD=a\), \(BD=2a\). Góc giữa hai đường thẳng \(A'C'\) và \(BD\) bằng
Đáp án: \(60^\circ\)
Lời giải:
Ta có \(A'C'\parallel AC\) nên góc giữa \(A'C'\) và \(BD\) là góc giữa \(AC\) và \(BD\).
Gọi \(O=AC\cap BD\).
Xét \(\triangle AOD\) có \(AD=a\), \(OA=OD=\displaystyle\frac{BD}{2}=a\) nên \(\triangle AOD\) đều cạnh \(a\).
Do đó \(\widehat{AOD}=60^\circ\).
Vậy góc giữa \(A'C'\) và \(BD\) bằng \(60^\circ\).
Câu 1:
Cho tứ diện đều \(ABCD\). Hỏi số đo góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng bao nhiêu?
Đáp án: \(90^{\circ}\)
Lời giải:
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\)
\(=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB\cdot AD\cdot\cos60^{\circ} -AB\cdot AC\cdot\cos60^{\circ} = 0\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{CD} \Leftrightarrow\) góc giữa \(AB\) và \(CD\) bằng \(9{\circ}\).
}
Câu 2:
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài các cạnh bằng \(a\). Khi đó \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{C'D'}\) có giá trị là
Đáp án: \(-a^2\)
Lời giải:
\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{C'D'}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\cdot\left(-\overrightarrow{AB}\right)=-\overrightarrow{AB}^2=-a^2\).
Câu 1:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi \(A B C D\) cạnh \(a\). Cho biết \(S A=a \sqrt{3}, S A \perp A B\) và \(S A \perp A D\). Tính góc giữa \(S B\) và \(C D\), \(S D\) và \(C B\).
Vì \(CD\parallel AB\) nên \((SB,CD)=(SB,AB)=\widehat{SBA}\).
\(\triangle SBA\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat{SBA}=\displaystyle\frac{SA}{AB}=\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SBA}=60^\circ\).
Tương tự, \(CB\parallel AD\) nên \((SD,CB)=(SD,AD)=\widehat{SDA}\).
Do \(\triangle SAD=\triangle SAB\) (c.g.c) nên \(\widehat{SDA}=\widehat{SBA}=60^\circ\).
Câu 2:
Cho tứ diện đều \(A B C D\). Chứng minh rằng \(A B \perp C D\).
Gọi \(2x\) là cạnh của tứ diện đều.
Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm của \(BC\), \(AC\), \(BD\).
Các tam giác \(ABD\) và \(CBD\) đều có cùng cạnh \(2x\) nên các đường cao \(AP\) và \(CP\) của chúng cũng bằng nhau, và
\(AP=CP=\displaystyle\frac{2x\sqrt{3}}{2}=x\sqrt{3}\).
Khi đó \(\triangle PAC\) cân tại \(P\), có \(PN\) là đường trung tuyến suy ra \(PN\perp AC\).
Ta có \(\begin{cases}AB\parallel MN\\ CD\parallel MP\end{cases}\) \(\Rightarrow (AB,CD)=(MN,MP)\).
Xét \(\triangle MNP\) có: \(MN=\displaystyle\frac{AB}{2}=x\), \(MP=\displaystyle\frac{CD}{2}=x\); \(PN=\sqrt{PA^2-AN^2}=\sqrt{\left(x\sqrt{3}\right)^2-x^2}=x\sqrt{2}\).
Suy ra \(\triangle MPN\) vuông cân tại \(M\), suy ra \(\widehat{MNP}=90^\circ\).
Vậy \((AB,CD)=(MN,MP)=\widehat{MPN}=90^\circ\), suy ra \(AB\perp CD\) (đpcm).
Câu 3:
Cho hình chóp \(S . A B C\) có \(S A=S B=S C=a\), \(\widehat{B S A}=\widehat{C S A}=60^{\circ}\), \(\widehat{B S C}=90^{\circ}\). Cho \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của \(S A\) và \(B C\). Chứng minh rằng \(I J \perp S A\) và \(I J \perp B C\).
\(\triangle SAB\) và \(\triangle SAC\) cân tại \(S\), có \(\widehat{ASB}=\widehat{ASC}=60^\circ\), suy ra \(SAB\) và \(SAC\) là các tam giác đều. Suy ra \(AB=AC=a\).
\(\triangle SBC\) vuông cân tại \(S\), suy ra \(BC=SA\sqrt{2}=a\sqrt{2}\).
Suy ra \(\triangle BAC\) vuông cân tại \(A\).
\(SBC\) và \(ABC\) là các tam giác vuông có cùng cạnh huyền \(BC\), \(J\) là trung điểm \(BC\Rightarrow JS=JA \left(=\displaystyle\frac{BC}{2}\right)\).
\(\triangle JSA\) cân tại \(S\) có \(JI\) là đường trung tuyến, suy ra \(JI\perp SA\).
\(IB\) và \(IC\) là các đường cao của tam giác đều có cùng cạnh \(a\), suy ra \(IB=IC\).
\(\triangle IBC\) cân tại \(I\), có \(IJ\) là đường trung tuyến nên \(IJ\perp BC\).
Câu 4:
Cho tứ diện đều \(A B C D\) cạnh \(a\). Gọi \(K\) là trung điểm của \(C D\). Tính góc giữa hai đường thẳng \(A K\) và \(B C\).
Gọi \(I\) là trung điểm \(BD\). Khi đó \(IK\) là đường trung bình của \(\triangle BCD\) nên \(IK\parallel BC\).
Do đó \((AK,BC)=(AK,IK)\).
Xét \(\triangle AIK\) có: \(\begin{cases}AI=AK=\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{2}\\ IK=\displaystyle\frac{BC}{2}=\displaystyle\frac{a}{2}\end{cases}\)
\(\Rightarrow \cos \widehat{AKI}=\displaystyle\frac{KA^2+KI^2-AI^2}{2KI\cdot KA}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{6}\Rightarrow \widehat{AKI}\approx 73^\circ 13'\).
Câu 5:
Cho tứ diện \(A B C D\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(B C\) và \(A D\). Biết \(A B=C D=2 a\) và \(M N=a \sqrt{3}\). Tính góc giữa \(A B\) và \(C D\).
Gọi \(P\) là trung điểm \(AC\). Ta có \(\begin{cases}MP\parallel AB\\ NP\parallel CD\end{cases}\) \(\Rightarrow (AB,CD)=(MP,NP)\).
Xét \(\triangle MNP\) có \(\begin{cases}NP=\displaystyle\frac{CD}{2}=a\\MP=\displaystyle\frac{AB}{2}=a\\MN=a\sqrt{3}.\end{cases}\)
\(\Rightarrow \cos\widehat{NPM}=\displaystyle\frac{PN^2+PM^2-MN^2}{2PN\cdot PM}=-\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{NPM}=120^\circ>90^\circ\).
Suy ra \((MP,NP)=180^\circ-\widehat{NPM}=180^\circ-120^\circ=60^\circ\).
Vậy \((AB,CD)=60^\circ\).
Câu 6:
Một ô che nắng có viền khung hình lục giác đều \(ABCDEF\) song song với mặt bàn và có cạnh \(A B\) song song với cạnh bàn \(a\). Tính số đo góc hợp bởi đường thẳng \(a\) lần lượt với các đường thẳng \(AF\), \(AE\) và \(AD\).
Trong lục giác đều, mỗi góc ở đỉnh bằng \(120^\circ\).
Vì \(a\parallel AB\) nên
\(\bullet\,\) \((a,AF)=(AB,AF)=180^\circ-\widehat{BAF}=180^\circ-120^\circ=60^\circ\).
\(\bullet\,\) \((a,AE)=(AB,AE)=90^\circ\) (\(\triangle EAB\) có \(OE=OB=OA\) nên vuông tại \(A\)).
\(\bullet\,\) \((a,AD)=(AB,AD)=\widehat{DAB}=\widehat{OAB}=60^\circ\) (\(\triangle OAB\) đều).
Câu 7:
Cho hình lăng trụ \(A B C. A' B' C'\) có các đáy là các tam giác đều. Tính góc \(\left(A B, B' C'\right)\).
Vì \(B'C' \parallel BC\) nên \((AB,B'C')=(AB,BC)=\widehat{ABC}=60^\circ\).
Câu 8:
Cho hình hộp \(A B C D . A' B' C' D'\) có các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng tứ diện \(A C B' D'\) có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.
Hình hộp đã cho có các cạnh bằng nhau nên tứ giác \(ABCD\) là một hình thoi. Suy ra \(AC \perp BD\). Mà \(BD\parallel B'D'\) nên \(AC \perp B'D'\).
Lập luận tương tự cho hai cặp cạnh đối diện còn lại.
Vậy tứ diện \(ACB'D'\) có các cặp cạnh đối diện vuông góc.
Câu 9:
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(\widehat{CBD}=90^{\circ}\).
\(\bullet\,\) Gọi \(M\), \(N\) tương ứng là trung điểm của \(AB\), \(AD\). Chứng minh rằng \(MN\) vuông góc với \(BC\).
\(\bullet\,\) Gọi \(G\), \(K\) tương ứng là trọng tâm của các tam giác \(ABC\), \(ACD\). Chứng minh rằng \(GK\) vuông góc với \(BC\).
\(\bullet\,\) Vì \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\) nên \(MN \parallel BD\) và theo giả thiết \(BD \perp BC\) nên ta có \(MN \perp BC\).
\(\bullet\,\) Hai đường thẳng \(GK\) và \(BD\) cùng nằm trong mặt phẳng \((PBD)\) nên đồng phẳng, đồng thời \(\displaystyle\frac{PG}{PB}=\displaystyle\frac{PK}{PD}=\displaystyle\frac{1}{3}\) nên ta có \(GK \parallel BD\).
Mặt khác, \(BD\perp BC\) nên ta cũng có \(GK \perp BC\).
Câu 10:
Đối với nhà gỗ truyền thống, trong các cấu kiện hoành, quá giang, xà cái, rui, cột tương ứng được đánh số \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) như trong vẽ, những cặp cấu kiện nào vuông góc với nhau?
Các cấu kiện \(1\), \(2\), \(5\) vuông góc với nhau từng đôi một.
Các cấu kiện \(2\), \(3\), \(5\) vuông góc với nhau từng đôi một.
Cấu kiện \(4\) vuông góc với cấu kiện \(1\) và cấu kiện \(3\).
Câu 11:
Hình bên gợi nên hình ảnh \(5\) cặp đường thẳng vuông góc. Hãy chỉ ra \(5\) cặp đường thẳng đó.
Ta có \(5\) cặp đường thẳng vuông góc là \(a\) và \(b\), \(a\) và \(c\), \(b\) và \(c\), \(a\) và \(d\), \(c\) và \(d\).
Câu 12:
Trong hình bên cho \(ABB'A'\), \(BCC'B'\), \(ACA'C'\) là các hình chữ nhật. Chứng minh rằng \(AB \perp CC'\), \(AA'\perp BC\).
\(\bullet\,\) Ta có \(ABB'A'\) là hình chữ nhật nên \( AB\perp BB' \), \(BCC'B'\) là hình chữ nhật nên \( BB'\parallel CC'\). Suy ra \(AB \perp CC'\).
\(\bullet\,\) Ta có \(BCC'B'\) là hình chữ nhật nên \( BC\perp CC' \), \(ACC'A'\) là hình chữ nhật nên \( AA'\parallel CC'\). Suy ra \(AA'\perp BC\).
Câu 13:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(A B C D\) là hình bình hành và \(\widehat{SAB}=100^{\circ}\). Tính góc giữa hai đường thẳng:
\(\bullet\,\) \(SA\) và \(AB\),
\(\bullet\,\) \(SA\) và \(CD\).
\(\bullet\,\) Góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(AB\) là \(\widehat{SAB}=100^{\circ}\).
\(\bullet\,\) Vì \(CD\parallel AB\) nên góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CD\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(AB\). Suy ra \( (SA,CD)=100^{\circ} \).
Câu 14:
Bạn Hoa nói rằng: \lq\lq Nếu hai đường thẳng phân biệt \(a\) và \(b\) cùng vuông góc với đường thẳng \(c\) thì \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau\rq\rq. Bạn Hoa nói đúng hay sai? Vì sao?
Bạn Hoa nói sai vì \(a\) và \(b\) chưa chắc vuông góc, chúng có thể cắt nhau, chéo nhau hay song song.
Ví dụ. Hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có \( AB \) và \( CD \) cùng vuông góc với \( BC \) nhưng \( AB \) và \( CD \) song song.