Đáp án: \(a=\displaystyle\frac{100\pi}{3}\)

Lời giải:

Ta có

\(a=6000^{\circ}\) suy ra \(a=6000^{\circ}\cdot\displaystyle\frac{\pi}{180^{\circ}}=\displaystyle\frac{100\pi}{3}\).

Đáp án: \(\displaystyle\frac{7 \pi}{18}\)

Lời giải:

Ta có \(70^\circ = \displaystyle\frac{70\pi}{180} = \displaystyle\frac{7\pi}{18}\) rad.

Đáp án: \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi,k\in \mathbb{Z}\)

Lời giải:

Góc lượng giác \(\left(OG,OP\right)\) chiếm \(\displaystyle\frac{1}{4}\) đường tròn. Số đo là \(\displaystyle\frac{1}{4}.2\pi+k2\pi \), \(k\in \mathbb{Z}\).

Đáp án: \(k=5\)

Lời giải:

Ta có \(10\pi <\alpha <11\pi \Rightarrow{}\displaystyle\frac{19\pi}{2}

Đáp án: \(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\)

Lời giải:

Ta có \(\displaystyle\frac{7\pi}{4}=2\pi-\displaystyle\frac{\pi}{4}\) nên góc lượng giác \(\displaystyle\frac{7\pi}{4}\) có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác \(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\).

Đáp án: \(\displaystyle\frac{\pi }{2}\) và \(\displaystyle\frac{5\pi }{2}\)

Lời giải:

Ta có \(\displaystyle\frac{5\pi }{2}=\displaystyle\frac{\pi }{2}+2\pi \) nên \(\displaystyle\frac{\pi }{2}\) và \(\displaystyle\frac{5\pi }{2}\) cùng điểm biểu diễn.

Đáp án: \(\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\)

Lời giải:

Tam giác đều có góc ở đỉnh là \(60^{\circ}\) nên góc ở tâm là \(120^{\circ}\) tương ứng \(\displaystyle\frac{k2\pi}{3}\).

Đáp án: \(\displaystyle\frac{k\pi}{2}\)

Lời giải:

+ Ta có

\(0\leq \dfrac{k\pi}{2}<2\pi\)

\(\Leftrightarrow 0\leq \dfrac{k}{2}<2\)

\(\Leftrightarrow 0\leq k < 4\)

\(\Rightarrow k\in \{0;\ 1;\ 2;\ 3\}\)

Suy ra góc lượng giác \(\dfrac{k\pi}{2}\) xác định 4 điểm cách đều trên đường tròn lượng giác. Bốn điểm này tạo thành hình vuông.

Đáp án:

• \(90^{\circ}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) rad
• \(120^{\circ}=\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) rad

Lời giải:

Ta có:

a) \(90^{\circ}=\displaystyle\frac{90\pi}{180}\,\text{rad}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\,\text{rad}\).

b) \(\left(\displaystyle\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{180}{\pi}\cdot \pi}{180}\,\text{rad}=1\,\text{rad}\).

c) \(120^{\circ}=\displaystyle\frac{120\pi}{180}\,\text{rad}=\displaystyle\frac{2\pi}{3}\,\text{rad}\).

d) \(-480^{\circ}=\displaystyle\frac{-480\pi}{180}\,\text{rad}=-\displaystyle\frac{8\pi}{3}\,\text{rad}\).

Đáp án:

• \(30^{\circ}=\displaystyle\frac{\pi}{6}\) rad
• \(\left(\displaystyle\frac{15}{\pi}\right)^{\circ}=\displaystyle\frac{1}{12}\) rad}
• \(132^{\circ}=\displaystyle\frac{11\pi}{15}\) rad

Lời giải:

Ta có:

a) \(30^{\circ}=\displaystyle\frac{30\pi}{180}\,\text{rad}=\displaystyle\frac{\pi}{6}\,\text{rad}\).

b) \(\left(\displaystyle\frac{15}{\pi}\right)^{\circ}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{15}{\pi}\cdot \pi}{180}\,\text{rad}=\displaystyle\frac{1}{12}\,\text{rad}\).

c) \(132^{\circ}=\displaystyle\frac{132\pi}{180}\,\text{rad}=\displaystyle\frac{11\pi}{5}\,\text{rad}\).

d) \(-495^{\circ}=\displaystyle\frac{-495\pi}{180}\,\text{rad}=-\displaystyle\frac{11\pi}{4}\,\text{rad}\).

Đáp án:

• \(\displaystyle\frac{3\pi}{4}\,\text{rad}=135^{\circ}\)
• \(-\displaystyle\frac{\pi}{360}\,\text{rad}=-0{,}5^{\circ}\)
• \(-4\,\text{rad}\approx -229{,}18^{\circ}\)

Lời giải:

a) \(\displaystyle\frac{3\pi}{4}\,\text{rad}=\left(\displaystyle\frac{3\pi}{4}\cdot\displaystyle\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}=135^{\circ}\).

b) \(-\displaystyle\frac{\pi}{360}\,\text{rad}=\left(-\displaystyle\frac{\pi}{360}\cdot\displaystyle\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}=-0{,}5^{\circ}\).

c) \(\displaystyle\frac{31\pi}{2}\,\text{rad}=\left(\displaystyle\frac{31\pi}{2}\cdot\displaystyle\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}=2790^{\circ}\).

d) \(-4\,\text{rad}=\left(-4\cdot\displaystyle\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}=\left(-\displaystyle\frac{720}{\pi}\right)\approx -229{,}18^{\circ}\).

Đáp án:

• \(60^{\circ}=\displaystyle\frac{\pi}{3}\) rad
• \(135^{\circ}=\displaystyle\frac{3\pi}{4}\) rad

Lời giải:

Ta có:

a) \(60^{\circ}=\displaystyle\frac{60\pi}{180}\,\text{rad}=\displaystyle\frac{\pi}{3}\,\text{rad}\).

b) \(\left(\displaystyle\frac{45}{\pi}\right)^{\circ}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{45}{\pi}\cdot \pi}{180}\,\text{rad}=\displaystyle\frac{1}{4}\,\text{rad}\).

c) \(135^{\circ}=\displaystyle\frac{135\pi}{180}\,\text{rad}=\displaystyle\frac{3\pi}{4}\,\text{rad}\).

d) \(-510^{\circ}=\displaystyle\frac{-510\pi}{180}\,\text{rad}=-\displaystyle\frac{17\pi}{6}\,\text{rad}\).

Đáp án:

• sđ\((Ox,Oy)=80^\circ+k360^\circ\,(k\in\mathbb{Z})\)
• sđ\((Oy,Ox)=-80^\circ+k360^\circ\,(k\in\mathbb{Z})\)

Lời giải:

+) Các góc lượng giác tia đầu \(Ox\), tia cuối \(Oy\) có số đo là sđ\((Ox,Oy)=80^\circ+k360^\circ\,(k\in\mathbb{Z})\).

+) Các góc lượng giác tia đầu \(Oy\), tia cuối \(Ox\) có số đo là sđ\((Ox,Oy)=-80^\circ+k360^\circ\,(k\in\mathbb{Z})\).

Đáp án:

• sđ\((Ox,Oy)=60^\circ+k360^\circ\,(k\in\mathbb{Z})\)
• sđ\((Ox,Ou)=110^\circ+k360^\circ\,(k\in\mathbb{Z})\)

Lời giải:

Ta có

a) \(\widehat{xOy}=60^\circ\Rightarrow\) sđ\((Ox,Oy)=60^\circ+k360^\circ\,(k\in\mathbb{Z})\).

b) \(\widehat{xOz}=150^\circ\Rightarrow\) sđ\((Ox,Oz)=-150^\circ+k360^\circ\,(k\in\mathbb{Z})\).

c) \(\widehat{xOt}=30^\circ\Rightarrow\) sđ\((Ox,Ot)=-30^\circ+k360^\circ\,(k\in\mathbb{Z})\).

d) \(\widehat{xOu}=110^\circ\Rightarrow \)sđ\((Ox,Ou)=110^\circ+k360^\circ\,(k\in\mathbb{Z})\).

Đáp án:

• Số đo góc lượng giác \((Ou,Ox)\) bằng \(-250^\circ + k \cdot 360^\circ\), \(k \in \mathbb{Z}\)
• Số đo góc lượng giác \((Ov,Ox)\) bằng \(270^\circ + k \cdot 360^\circ\), \(k \in \mathbb{Z}\)

Lời giải:

a) Đúng Vì \(\text{sđ}(Ou,Ox) = - \text{sđ}(Ox,Ou) = -250^\circ + k \cdot 360^\circ\), \(k \in \mathbb{Z}\).

b) Đúng Vì \(\text{sđ}(Ov,Ox) = - \text{sđ}(Ox,Ov) = 270^\circ + k \cdot 360^\circ\), \(k \in \mathbb{Z}\).

c) Sai. Vì

\(\begin{aligned}\text{sđ}(Ou,Ov) &= \text{sđ}(Ou,Ox) + \text{sđ}(Ox,Ov) + k \cdot 360^\circ\\ &= -250^\circ - 270^\circ + k \cdot 360^\circ = -520^\circ + k \cdot 360^\circ\\ &= -160^\circ + m \cdot 360^\circ~ (k \in \mathbb{Z},\,m \in \mathbb{Z},\,m = k - 1).\end{aligned}\)

Vậy số đo một góc lượng giác \((Ou,Ov)\) bằng \(-160^\circ\).

d) Sai. Vì số đo một góc lượng giác \((Ou,Ov)\) theo đơn vị radian bằng \(-160 \cdot \displaystyle\frac{\pi}{180} = - \displaystyle\frac{8\pi}{9}\).

Đáp án:

• Số đo của cung lượng giác \(AP\) bằng \(120^\circ+ k360^\circ\), \(k\in\mathbb{Z}\)
• Số đo của cung lượng giác \(AQ\) bằng \(-30^\circ+ k360^\circ\), \(k\in\mathbb{Z}\)
• Số đo của cung lượng giác \(AA'\) bằng \(180^\circ+ k360^\circ\), \(k\in\mathbb{Z}\)

Lời giải:

a) Ta có \(\widehat{AOP}=120^\circ\) nên số đo của cung lượng giác \(AP\) bằng \(120^\circ+ k360^\circ\), \(k\in\mathbb{Z}\).

b) Ta có \(\widehat{AOQ}=30^\circ\) nên số đo của cung lượng giác \(AQ\) bằng \(-30^\circ+ k360^\circ\), \(k\in\mathbb{Z}\).

c) Ta có \(\widehat{AOA'}=180^\circ\) nên số đo của cung lượng giác \(AA'\) bằng \(180^\circ+ k360^\circ\), \(k\in\mathbb{Z}\).

d) Ta có \(\widehat{AON}=120^\circ\) nên số đo của cung lượng giác \(AA'\) bằng \(-120^\circ+ k360^\circ\), \(k\in\mathbb{Z}\).

Đáp án:

• Điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) nằm trên cung \(AB\)

Lời giải:

a) Điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) nằm trên cung \(AB\).

b) Điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\displaystyle\frac{-\pi}{3}\) nằm trên cung \(B'A\).

c) Điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\displaystyle\frac{4\pi}{5}\) nằm trên cung \(BA'\).

d) Điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(-\displaystyle\frac{5\pi}{9}\) nằm trên cung \(A'B'\).

Đáp án:

• Góc lượng giác \(-\displaystyle\frac{5\pi}{4}\) có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc \(\alpha\)
• Góc lượng giác \(855^\circ\) có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc \(\alpha\)

Lời giải:

a) \(\displaystyle\frac{3\pi}{4} \text{rad}=\left(\displaystyle\frac{3\cdot 180}{4}\right)^\circ=135^\circ\) nên mệnh đề sai.

b) Điểm biểu diễn góc lượng giác \(\alpha\) là điểm \(M\) trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ II sao cho góc \(AOM=135^\circ\) nên mệnh đề sai.

c) Ta có \(\displaystyle\frac{-5\pi}{4}=\displaystyle\frac{3\pi}{4}-2\pi\) do đó \(-\displaystyle\frac{5\pi}{4}\) cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc \(\alpha\) nên mệnh đề đúng.

d) Ta có \(855^\circ=135^\circ+2.360^\circ\) do đó \(855^\circ\) có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc \(\alpha\) nên mệnh đề đúng.

Đáp án:

• \(\text{sđ}(ON,OA)=\text{sđ}(ON,OM)-\text{sđ} (OA,OM)\)
• Hai điểm \(M,N\) biểu diễn các cung có số đo là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k\pi(k\in\mathbb{Z})\)

Lời giải:

Xét tính đúng-sai của các phát biểu sau:

a) Số đo góc lượng giác \((OM,OA)\) là \(\text{sđ}(OM,OA)=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+k 2\pi(k\in\mathbb{Z})\) nên mệnh đề sai.

b) Theo hệ thức Chales \(\text{sđ}(ON,OA)+\text{sđ}(OA,OM)=\text{sđ}(ON,OM)\).

\(\Rightarrow \text{sđ} (ON,OA)=\text{sđ}(ON,OM)-\text{sđ}(OA,OM)\) nên mệnh đề đúng.

c) Độ dài cung tròn \(AM\) lớn là \(\ell_{AM}=\displaystyle\frac{5\pi}{3}\) nên mệnh đề sai.

d) Hai điểm \(M,N\) biểu diễn các cung có số đo là \(x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+k\pi(k\in\mathbb{Z})\) nên mệnh đề đúng.

Đáp án:

• Độ dài của một cung tròn có số đo \(\alpha\) bán kính \(R\) là \(\ell=\alpha\cdot R\)
• Độ dài của một cung tròn có bán kính \(\pi\), có số đo \(\pi\) rad bằng \(\pi^2\)
• Cung tròn có số đo \(2\pi\) rad thì có độ dài bằng chu vi của đường tròn tương ứng

Lời giải:

Ta có

a) Độ dài của một cung tròn có số đo \(\alpha\) bán kính \(R\) là \(\ell=\alpha\cdot R\).

b) Độ dài của một cung tròn có số đo \(\pi\) rad là \(\ell=R\cdot \pi\).

c) Độ dài của một cung tròn có bán kính \(\pi\), có số đo \(\pi\) rad là \(\ell=\pi\cdot \pi =\pi^2\).

d) Cung tròn có số đo \(2\pi\) rad thì có độ dài là \(\ell=R\cdot 2\pi=2\pi R\).

Đáp án:

• Chu vi của đường tròn có bán kính \(R\) bằng \(2\pi R\)
• Độ dài của một cung tròn có số đo \(1\) rad bằng bán kính \(R\) của cung tròn đó
• Độ dài của một cung tròn có bán kính \(R\), có số đo \(\alpha\) rad bằng \(R\cdot \alpha\)
• Cung tròn có số đo \(\pi\) rad thì có độ dài bằng nửa chu vi của đường tròn tương ứng

Lời giải:

Ta có

a) Chu vi của đường tròn bán kính \(R\) là \(C=2\pi R\).

b) Độ dài \(\ell\) của một cung tròn bán kính \(R\), có số đo \(1\) rad là \(\ell=R\).

c) Độ dài \(\ell\) của một cung tròn có bán kính \(R\), có số đo \(\alpha\) rad là \(\ell=R\cdot \alpha\).

d) Cung tròn có số đo \(\pi\) rad thì có độ dài bằng nửa chu vi của đường tròn tương ứng.

Đáp án:

• Cung trên đường tròn có số đo \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) có độ dài bằng \(5\pi\,\mathrm{cm}\)
• Cung có số đo \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\) có độ dài bằng \(\ell =\displaystyle\frac{5\pi}{3}\,\mathrm{cm}\)

Lời giải:

a) Chu vi của đường tròn là \(C=2\pi\cdot R=20\pi\,\mathrm{cm}\).

b) Cung có số đo \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) có độ dài \(\ell =R\cdot \alpha =10\cdot \displaystyle\frac{\pi}{2}=5\pi\,\mathrm{cm}\).

c) Cung có số đo \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\) có độ dài bằng \(\ell=10\cdot \displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{5\pi}{3}\,\mathrm{cm}\).

d) Cung có độ dài \(\ell =4\pi\,\mathrm{cm}\) có số đo \(\alpha=\displaystyle\frac{\ell}{R}=\displaystyle\frac{2\pi}{5}\).

Đáp án:

• Quãng đường vệ tinh \(X\) chuyển động được sau \(1\) giờ là \(28902{,}65\) (km) (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm) (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)
• Quãng đường vệ tinh \(X\) chuyển động được sau \(1{,}5\) giờ là \(43353{,}98\) (km) (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)
• Giả sử vệ tinh di chuyển theo chiều dương của đường tròn, sau \(4{,}5\) giờ thì vệ tinh vẽ nên một góc \(\displaystyle\frac{9\pi}{2}\) rad

Lời giải:

a) Một vòng di chuyển của \(X\) chính là chu vi đường tròn:

\[C=2\pi R=2\pi\cdot 9200=18400\pi\,\text{km}.\]

Sau \(1\) giờ, vệ tinh di chuyển nửa đường tròn với quãng đường là \(\displaystyle\frac{1}{2}C=9200\pi\approx 28902{,}65\) (km).

b) Sau \(1{,}5\) giờ, vệ tinh di chuyển được \(\displaystyle\frac{1{,}5\cdot 1}{2}\) đường tròn (hay \(\displaystyle\frac{3}{4}\) đường tròn), quãng đường là \(\displaystyle\frac{3}{4}C=\displaystyle\frac{3}{4}\cdot 18400\pi=13800\pi\approx 43353{,}98\) (km).

c) Sau \(5{,}3\) giờ, vệ tinh di chuyển được \(\displaystyle\frac{5,3\cdot 1}{2}\) đường tròn (hay \(\displaystyle\frac{53}{20}\) đường tròn), quãng đường là \(\displaystyle\frac{53}{20}C=\displaystyle\frac{53}{20}\cdot 18400\pi=48760\pi\approx 153184{,}05\) (km).

d) Sau \(4{,}5\) giờ thì số vòng tròn mà vệ tinh \(X\) di chuyển được là \(\displaystyle\frac{4{,}5}{2}=\displaystyle\frac{9}{2}\) (vòng).

Số đo góc lượng giác thu được là \(\displaystyle\frac{9}{4}\cdot 2\pi=\displaystyle\frac{9\pi}{2}\) (rad).

a) \(45^{\circ}=45 \cdot \frac{\pi}{180}=\displaystyle\frac{\pi}{4}\).

b) \(150^{\circ}=150 \cdot \frac{\pi}{180}=\displaystyle\frac{5 \pi}{6}\).

c) \(\displaystyle\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3} \cdot\left(\displaystyle\frac{180}{\pi}\right)^\circ=60^{\circ}\).

d) \(\displaystyle\frac{5 \pi}{4}=\displaystyle\frac{5 \pi}{4} \cdot\left(\displaystyle\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}=225^{\circ}\).

a) \(38^{\circ}=\displaystyle\frac{38\pi}{180}=\displaystyle\frac{19\pi}{90}\).

b) \(-115^{\circ}=\displaystyle\frac{-115\pi}{180}=-\displaystyle\frac{23\pi}{36}\);

c) \(\left(\displaystyle\frac{3}{\pi}\right)^{\circ}=\displaystyle\frac{3\pi}{\pi\cdot 180}=\displaystyle\frac{1}{60}\).

a) \(\displaystyle\frac{\pi}{12}=\left(\displaystyle\frac{\pi\cdot 180}{12\cdot \pi}\right)^\circ=15^\circ\);

b) \(-5=\left(\displaystyle\frac{-5\cdot 180}{\pi}\right)^\circ=\left(\displaystyle\frac{-900}{\pi}\right)^\circ\);

c) \(\displaystyle\frac{13 \pi}{9}=\left(\displaystyle\frac{13 \pi\cdot 180}{9\cdot \pi}\right)=260^\circ\).

a) \(-60^{\circ}=-\displaystyle\frac{60 \pi}{180}\, \mathrm{rad}=-\displaystyle\frac{\pi}{3}\, \mathrm{rad}\).

b) \(\displaystyle\frac{2 \pi}{5}\, \mathrm{rad}=\left(\displaystyle\frac{2 \pi}{5}\cdot \displaystyle\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}=72^{\circ}\).

c) \(3\, \mathrm{rad}=\left(3 \cdot \displaystyle\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}=\left(\displaystyle\frac{540}{\pi}\right)^{\circ} \approx 171{,}89^{\circ}\).

a) Số đo của góc lượng giác \((Oa,Ob)\) trong hình vẽ là \(90^\circ\).

b) Số đo của góc lượng giác \((Oa,Ob)\) trong hình vẽ là \(90^\circ + 360^\circ = 450^\circ\).

c) Số đo của góc lượng giác \((Oa,Ob)\) trong hình vẽ là \(90^\circ + 2\cdot 360^\circ = 810^\circ\).

d) Số đo của góc lượng giác \((Oa,Ob)\) trong hình vẽ là \(\displaystyle\frac{3}{4}\cdot \left(-360^\circ\right)=-270^\circ\).

a) Số đo của góc lượng giác \((OM,ON)\) là \(60^\circ\).

b) Số đo của góc lượng giác \((OM,ON)\) là \(60^\circ + 2\cdot 360^\circ = 780^\circ\).

c) Số đo của góc lượng giác \((OM,ON)\) là \(-300^\circ\).

Công thức tổng quát: \(\text{sđ}(OM,ON) = 60^\circ + k360^\circ\), \(k\in\mathbb{Z}\).

Gọi \(Om\), \(On\) là các tia biểu diễn cho vị trí của kim phút lần lượt tại \(0\) giờ và \(2\) giờ \(15\) phút.

Khi đó kim phút đã quay hết \(2\) vòng và đi tiếp \(\displaystyle\frac{1}{4}\) vòng của đồng hồ.

Mà kim phút chuyển động theo chiều âm nên ta có

\[(Om,On) = \displaystyle\frac{1}{4}\cdot (-360^\circ) + 2\cdot (-360^\circ) = -810^\circ.\]

Vậy kim phút đã quét hết một góc lượng giác là \(-810^\circ\).

Vì ba cánh quạt phân bố đều nhau nên ta có \(\widehat{MON}=\widehat{NOP}=\widehat{POM}=\displaystyle\frac{360^\circ}{3}=120^\circ\).

Suy ra \(\left(OM,ON\right)=120^\circ\), \((OM,OP)=-120^\circ\).

Theo hình vẽ, ta lại có \((Ox,OM)= -50^\circ\).

Khi đó, công thức tổng quát đo số đo các góc lượng giác \((Ox,ON)\), \((Ox,OP)\) là

\begin{eqnarray*}(Ox,ON)&=& (Ox,OM) + (OM,ON) + k360^\circ= -50^\circ + 120^\circ +k360^\circ=70^\circ + k360^\circ;\\ (Ox,OP)&=& (Ox,OM) + (OM,OP) + k360^\circ= -50^\circ + (-120^\circ)+ k360^\circ = -170^\circ+ k360^\circ.\end{eqnarray*}

Ta có \((O'u',Ov')=(Ou,Ov)+k360^\circ=60^\circ+k360^\circ\ (k\in \mathbb{Z})\).

Ta có \((O'u',Ov')=(Ou,Ov)+k2\pi=-\displaystyle\frac{4\pi}{3}+k2\pi\ (k\in \mathbb{Z})\).

Theo hệ thức Chasles, ta có

\begin{eqnarray*}(Ov,Ow)&=&(Ou,Ow)-(Ou,Ov)+k2\pi\\ &=&\displaystyle\frac{5\pi}{4}-\displaystyle\frac{3\pi}{4}+k2\pi\\ &=&\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi\ (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

Theo hệ thức Chasles, ta có

\begin{eqnarray*}(Ov,Ow)&=&(Ou,Ow)-(Ou,Ov)+k2\pi\\ &=&\displaystyle\frac{3\pi}{4}+\displaystyle\frac{11\pi}{4}+k2\pi\\ &=&\displaystyle\frac{7\pi}{2}+k2\pi\ (k\in \mathbb{Z}).\end{eqnarray*}

+) \((OA, OM)=120^\circ+k360^\circ\;(k\in \mathbb{Z})\).

+) \((OA, ON)=-75^\circ+k360^\circ\;(k\in \mathbb{Z})\).

Ta có \(\widehat{AON}=\left(\displaystyle\frac{360^\circ}{5} -45^\circ\right)+72^\circ=99^\circ\).

Vậy \((Ox, ON)=-99^\circ+k360^\circ \; (k \in \mathbb{Z})\).

Gọi \(M\) là điểm chính giữa của cung \(BA'\) trên đường tròn lượng giác.

Ta có \((OA,OM)=135^\circ\).

a) \(l=R\alpha=20\cdot\displaystyle\frac{\pi}{12}=\displaystyle\frac{5\pi}{3}\) cm;

b) \(l=R\alpha=20\cdot1{,}5=30\) cm;

c) Đổi \(35^{\circ}=35 \cdot \displaystyle\frac{\pi}{180}=\displaystyle\frac{7\pi}{36} \mathrm{rad}\).

Độ dài cung tròn là \(l=R\alpha=20\cdot\displaystyle\frac{7\pi}{36}=\displaystyle\frac{35\pi}{9}\) cm;

d) Đổi \(315^{\circ}=315 \cdot \displaystyle\frac{\pi}{180}=\displaystyle\frac{7\pi}{4} \mathrm{rad}\).

Độ dài cung tròn là \(l=R\alpha=20\cdot\displaystyle\frac{7\pi}{4}=35\) cm.

Gọi \(M\) là điểm của cung \(AB'\) trên đường tròn lượng giác sao cho số đo cung \(AM\) bằng \(\displaystyle\frac{1}{3}\) số đo cung \(AB'\).

Ta có \((OA,OM)=-\displaystyle\frac{\pi}{3}\).

Theo hệ thức Chasles, ta có

\((OM,ON)=(OA,ON)-(OA,OM)+k2\pi=\displaystyle\frac{7\pi}{6}-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\ (k\in \mathbb{Z}).\)

Suy ra \((OM,ON)=\displaystyle\frac{2\pi}{3}\).

Theo hệ thức Chasles, ta có

\((OP,OM)=(OA,OM)-(OA,OP)=\displaystyle\frac{\pi}{2}+\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\ (k\in \mathbb{Z}).\)

Suy ra \((OP,OM)=\displaystyle\frac{2\pi}{3}\).

Theo hệ thức Chasles, ta có

\((ON,OP)=(OA,OP)-(OA,ON)=-\displaystyle\frac{4\pi}{3}+k2\pi=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi\ (k\in \mathbb{Z}).\)

Suy ra \((ON,OP)=\displaystyle\frac{2\pi}{3}\).

Do đó \(\triangle OMN=\triangle OMP=\triangle ONP\) hay tam giác \(MNP\) là tam giác đều.

a) Điểm \(M\) trên đường đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng \(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) được xác định trong hình sau

b) Điểm \(M\) trên đường đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng \(-\displaystyle\frac{11\pi}{4}\) được xác định trong hình sau

c) Điểm \(M\) trên đường đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng \(150^{\circ}\) được xác định trong hình sau

d) Điểm \(M\) trên đường đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng \(-225^{\circ}\) được xác định trong hình sau

a) Ta có \(510^\circ=360^\circ+150^\circ\). Góc lượng giác gốc \(O\) có tia đầu \(Ou\), tia cuối \(Ov\) và có số đo \(510^\circ\) được biểu diễn ở hình bên.

b) Ta có \(-\displaystyle\frac{7\pi}{4}=-\pi+\left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\). Góc lượng giác gốc \(O\) có tia đầu \(Ou\), tia cuối \(Ov\) và có số đo \(-\displaystyle\frac{7\pi}{6}\) được biểu diễn ở hình bên.

a) Ta có \(865^{\circ}=145^{\circ}+2\cdot 360^{\circ}\). Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(865^{\circ}\) là điểm \(M\) trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ II sao cho \(\widehat{A O M}=145^{\circ}\).

b) Ta có \(\displaystyle\frac{-7 \pi}{3}=\displaystyle\frac{-\pi}{3}+(-1) \cdot 2 \pi\). Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\displaystyle\frac{-7 \pi}{3}\) là điểm \(N\) trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ IV sao cho \(\widehat{A O N}=\displaystyle\frac{\pi}{3}\).

a) Ta có \(\displaystyle\frac{-17 \pi}{3}=\displaystyle\frac{\pi}{3}+(-3) \cdot 2 \pi\). Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\displaystyle\frac{-17 \pi}{3}\) là điểm \(M\) trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ I sao cho \(\widehat{A O M}=\displaystyle\frac{\pi}{3}\).

b) Ta có \(\displaystyle\frac{13 \pi}{4}=-\displaystyle\frac{3\pi}{4}+(2) \cdot 2 \pi\). Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\displaystyle\frac{13 \pi}{4}\) là điểm \(N\) trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ III sao cho \(\widehat{A O N}=\displaystyle\frac{3\pi}{4}\).

c) Ta có \(-765^{\circ}=-45^{\circ}+(-2)\cdot 360^{\circ}\). Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(865^{\circ}\) là điểm \(K\) trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ IV sao cho \(\widehat{A O M}=45^{\circ}\).

+) \(\displaystyle\frac{31 \pi}{7}=\displaystyle\frac{3 \pi}{7}+(2) \cdot 2 \pi\).

+) \(\displaystyle\frac{10 \pi}{7}=-\displaystyle\frac{4 \pi}{7}+\cdot 2 \pi\).

+) \(\displaystyle\frac{-25 \pi}{7}=\displaystyle\frac{3 \pi}{7}+(-2) \cdot 2 \pi\).

Vậy góc lượng giác \(\displaystyle\frac{31 \pi}{7}\) có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác \(\displaystyle\frac{3 \pi}{7};\displaystyle\frac{-25 \pi}{7}\).

a) Ta có \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi=\displaystyle\frac{\pi}{2}+\displaystyle\frac{k2\pi}{2}\,(k \in \mathbb{Z})\).

Vậy có \(2\) điểm \(M_1\), \(M_2\) biểu diễn góc lượng giác \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi\,(k \in \mathbb{Z})\) trên đường tròn lượng giác là \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) và \(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\).

b) Ta có \(k \displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{k 2\pi}{8}\,(k \in \mathbb{Z})\).\\

Vậy có \(8\) điểm \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\), \(M_4\), \(M_5\), \(M_6\), \(M_7\) và \(M_8\) biểu diễn góc lượng giác \(k \displaystyle\frac{\pi}{4}\,(k \in \mathbb{Z})\) trên đường tròn lượng giác là \(0\), \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\), \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\), \(\displaystyle\frac{3\pi}{4}\), \(\pi\), \(\displaystyle\frac{5\pi}{4}\), \(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\), \(\displaystyle\frac{7\pi}{4}\).

Từ hình vẽ ta suy ra các điểm biểu diễn góc lượng giác như sau: điểm \(B\colon\displaystyle\frac{\pi}{2}\), \(C\colon\displaystyle\frac{7\pi}{6}\), \(D\colon\displaystyle\frac{11\pi}{6}\).

+) Với \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \displaystyle\frac{2 \pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z})\).

Ta có bảng sau

+) Với \(\displaystyle\frac{-\pi}{6}+k \displaystyle\frac{2 \pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z})\).

Ta có bảng sau

+) Với \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \displaystyle\frac{\pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z})\).

Ta có bảng sau

Vậy \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k \displaystyle\frac{2 \pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z}) ; \displaystyle\frac{-\pi}{6}+k \displaystyle\frac{2 \pi}{3}\,(k \in \mathbb{Z})\) biểu diễn cho các điểm \(B,C,D\).

a) Nhận xét thấy \(\sin^2 85^\circ=\left[\sin (90^\circ-5^\circ)\right]^2=\cos^2 5^\circ\).

Do đó

\begin{eqnarray*}A&=&\sin^2 5^\circ+\sin^2 10^\circ+\sin^2 15^\circ+\cdots+\sin^2 85^\circ\\ &=&\sin^2 5^\circ+\sin^2 85^\circ+\sin^2 10^\circ+\sin^2 80^\circ+\cdots+\sin^2 45^\circ\\ &=&\sin^2 5^\circ+\cos^2 5^\circ+\sin^2 10^\circ+\cos^2 10^\circ+\cdots+\sin^2 45^\circ\\ &=&\underbrace {1+1+\cdots+1}_{8\text{ số hạng}}+\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{17}{2}.\end{eqnarray*}

b) Nhận xét thấy \(\cos 175^\circ=\cos (180^\circ-5^\circ)=-\cos 5^\circ\).

Do đó

\begin{eqnarray*}B&=&\cos 5^\circ+\cos 10^\circ+\cos 15^\circ+\cdots+\cos 175^\circ\\ &=&\cos 5^\circ+\cos 175^\circ+\cos 10^\circ+\cos 170^\circ+\cdots+\cos 90^\circ\\ &=&\cos 5^\circ-\cos 5^\circ+\cos 10^\circ-\cos10^\circ+\cdots+\cos 90^\circ\\ &=&\cos 90^\circ\\ &=&0.\end{eqnarray*}

1 hải lí = \(\alpha\cdot R=\displaystyle\frac{1\cdot \pi }{60\cdot 180}\cdot 6371 \approx 1{,}85\) km.

a) Trong \(1\) giây, bánh xe quay được \(\displaystyle\frac{11}{5}\) (vòng).

Vì \(1\) vòng ứng với \(360^\circ\) nên góc mà bánh xe quay được trong \(1\) giây là \(\displaystyle\frac{11}{5}\cdot360^\circ=792^\circ\).

Vì \(1\) vòng ứng với \(2\pi\) rad nên góc mà bánh xe quay được trong \(1\) giây là \(\displaystyle\frac{11}{5}\cdot2\pi=\displaystyle\frac{22\pi}{5}\)(rad).

b) Đổi \(1\) phút \(=60\) s.

Trong \(60\) giây, bánh xe quay được số vòng là \(\displaystyle\frac{11}{5}\cdot60=132\) (vòng).

Chu vi mỗi vòng xe là \(680\pi\) (mm).

Độ dài quãng đường người đó đi trong \(1\) phút là \(132\cdot680\pi=89760\pi\) (mm).

a) Sau \(1\) giờ, vệ tinh chuyển động hết \(\displaystyle\frac{1}{2}\) vòng của quỹ đạo.

Suy ra quãng đường vệ tinh đã chuyển động là

\(S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2\pi\cdot 9~000=9~000\pi\approx 28247{,}3\text{ km.}\)

Sau \(3\) giờ, vệ tinh chuyển động hết \(\displaystyle\frac{3}{2}\) vòng của quỹ đạo.

Suy ra quãng đường vệ tinh đã chuyển động là

\(S=\displaystyle\frac{3}{2}\cdot 2\pi \cdot 9~000=27~000\pi\approx 84823\text{ km.}\)

Sau \(5\) giờ, vệ tinh chuyển động hết \(\displaystyle\frac{5}{2}\) vòng của quỹ đạo.

Suy ra quãng đường vệ tinh đã chuyển động là

\(S=\displaystyle\frac{5}{2}\cdot 2\pi\cdot 9~000=45~000\pi\approx 141371{,}7\text{ km.}\)

a) Vệ tinh chuyển động được quãng đường \(200~000\) km. Gọi \(x\) là thời gian vệ tinh chuyển động. Khi đó

\(200~000=x\cdot 2\pi \cdot 9~000\Leftrightarrow x\approx 11{,}1\text{ giờ}.\)

Trong 3 giây, số vòng quạt quay được là: \(\displaystyle\frac{3}{60}\cdot 45=2{,}25\).

Suy ra, góc quay có số đo là: \(2{,}25\cdot 2\pi=4{,}5\) (rad).