Dạng 1. Giải bất phương trình bậc hai
Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm
Dạng 3. Bất phương trình bậc hai chứa tham số có mọi nghiệm trên toàn \(\mathbb{R}\)
Dạng 4. Hệ bất phương trình bậc hai
Câu 1:
Tập nghiệm của bất phương trình \(-x^2-4x+5\geq 0\) là
Đáp án: \([-5;1]\)
Lời giải:
Ta có \(-x^2-4x+5=0\) có hai nghiệm \(x=1\) và \(x=-5\).
Vì \(a=-1<0\) nên \(-x^2-4x+5\geq 0\Leftrightarrow -5\leq x\leq 1\).
Câu 2:
Tập nghiệm của bất phương trình \(x^2-4x+4 > 0\) là
Đáp án: \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\)
Lời giải:
Ta có \(x^2-4x+4>0\Leftrightarrow x\in\mathbb{R}\setminus\{2\}\).
Câu 1:
Cho phương trình \(2x^2+2\left( m+2 \right)x+3+4m+{m^2}=0\), với \(m\) là tham số. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm?
Đáp án: \(3\)
Lời giải:
Phương trình \(2x^2+2(m+2)x+3+4m+m^2=0\) có \(\Delta'=(m+2)^2-2(m^2+4m+3) = -m^2-4m-2\).
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi
\begin{eqnarray*}\Delta' \geq 0 &\Leftrightarrow & -m^2-4m-2 \geq 0\\ &\Leftrightarrow & -2-\sqrt{2} \leq m \leq -2+\sqrt{2}.\end{eqnarray*}
Vậy với \(m \in \left[-2-\sqrt{2};-2+\sqrt{2}\right]\) thì phương trình đã cho có nghiệm.
\(m\in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \{-3;-2;-1\}\) là các giá trị cần tìm.
}
Câu 2:
Phương trình \(x^2-(3m-2)x+2m^2-5m-2=0\) có hai nghiệm không âm khi
Đáp án: \(m\in \left[\displaystyle\frac{5+\sqrt{41}}{4};+\infty \right)\)
Lời giải:
Phương trình đã cho có hai nghiệm không âm khi và chỉ khi
\begin{eqnarray*}&&\begin{cases}(3m-2)^2-4(2m^2-5m-2) \geq 0 \\ 3m-2 \geq 0 \\ 2m^2-5m-2 \geq 0\end{cases}\\ &\Leftrightarrow & \begin{cases}m^2+8m+12 \geq 0 \\ m\geq \displaystyle\frac{2}{3} \\ \left[\begin{aligned}&m \leq \displaystyle\frac{5-\sqrt{41}}{4} \\&m \geq \displaystyle\frac{5+\sqrt{41}}{4}\end{aligned}\right.\end{cases}\\ &\Leftrightarrow & \begin{cases}\left[\begin{aligned}&m\leq -6 \\&m\geq -2\end{aligned}\right. \\ m \geq \displaystyle\frac{5+\sqrt{41}}{4}\end{cases}\\ &\Leftrightarrow & m \geq \displaystyle\frac{5+\sqrt{41}}{4}.\end{eqnarray*}
Vậy \(m\in \left[\displaystyle\frac{5+\sqrt{41}}{4};+\infty \right)\) là các giá ị thỏa mãn yêu cầu bài toán.
}
Câu 1:
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(mx^2+2(m+1)x+m-2>0\) có nghiệm.
Đáp án: \(m\in \left(-\displaystyle\frac{1}{4};+\infty \right)\)
Lời giải:
Đặt \(f(x)=mx^2+2(m+1)x+m-2\) và \(\Delta'=(m+1)^2-m(m-2)=4m+1\).
\(\bullet\,\) Với \(m=0\) ta được \(f(x)=2x-2>0\) có nghiệm \(x>1\). Do đó \(m=0\) là giá trị thỏa mãn.
\(\bullet\,\) Với \(m>0\) thì \(\Delta'>0\), nên \(f(x)=0\) có hia nghiệm \(x_1
\(\bullet\,\) Với \(m<0\) bất phương trình đã cho có nghiệm khi
\begin{eqnarray*}\Delta'>0 \Leftrightarrow 4m+1>0 \Leftrightarrow m>-\displaystyle\frac{1}{4}.\end{eqnarray*}
Khi đó \(f(x)=0\) có hai nghiệm \(x_1
Do đó \(-\displaystyle\frac{1}{4}
Kết hợp các trường hợp ta được \(m>-\displaystyle\frac{1}{4}\) là các giá trị cần tìm.
Câu 2:
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(-2x^2+2( m-2)x+m-2<0\) có nghiệm.
Đáp án: \(m\in \mathbb{R}\)
Lời giải:
Đặt \(f(x)=-2x^2+2(m-2)x+m-2\) và \(\Delta'=(m-2)^2+2(m-2)=m^2-2m\).
\(\bullet\,\) Nếu \(\Delta'<0\) thì \(f(x)<0, \forall x\in\mathbb{R}\), tức là bất phương trình đã cho có nghiệm.
\(\bullet\,\) Nếu \(\Delta'=0\) thì \(f(x)<0, \forall x \neq \displaystyle\frac{m-2}{2}\), tức là bất phương trình đã cho có nghiệm.
\(\bullet\,\) Nếu \(\Delta'>0\) thì \(f(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1
Trong cả ba trường hợp ta thấy bất phương trình đều có nghiệm.
Vậy bất phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).
Câu 1:
Tập nghiệm \(S\) của hệ bất phương trình \(\begin{cases} x^2-4x+3>0 \\ x^2-6x+8>0\end{cases}\) là
Đáp án: \(S=(-\infty;1)\cup (4;+\infty)\)
Lời giải:
Tập nghiệm của \(x^2-4x+3>0\) là \(S_1=(-\infty;1)\cup (3;+\infty)\).
Tập nghiệm của \(x^2-6x+8>0\) là \(S_2=(-\infty;2 )\cup (4;+\infty)\).
Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là \(S=S_1\cap S_2=(-\infty;1)\cup (4;+\infty)\).
Câu 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn \(\begin{cases} -2x^2-5x+4<0 \\ -x^2-3x+10>0\end{cases}\)?
Đáp án: \(2\)
Lời giải:
Tập nghiệm của \(-2x^2-5x+4<0\) là \(S_1=\left(-\infty ;\displaystyle\frac{-5-\sqrt{57}}{4}\right)\cup \left(\displaystyle\frac{-5+\sqrt{57}}{4};+\infty \right)\).
Tập nghiệm của \(-x^2-3x+10>0\) là \(S_2=(-5;2)\).
Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là \(S=S_1\cap S_2=\left(-5;\displaystyle\frac{-5-\sqrt{57}}{4} \right)\cup \left( \displaystyle\frac{-5+\sqrt{57}}{4};2 \right)\).
Do đó các giá trị nguyên của \(x\) thuộc tập \(S\) là \(\{-4;1\}\).