\(\S1.\) GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ \(0^\circ\) ĐẾN \(180^\circ\)
1. Giá trị lượng giác
+ Với mỗi góc \(\alpha\) (\(0^\circ\leq \alpha\leq 180^\circ\)) ta xác định được một điểm \(M\) duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat{xOM}=\alpha\). Gọi \((x_0;y_0)\) là tọa độ của điểm \(M\), ta có
\(-\) Tung độ \(y_0\) của \(M\) là sin của góc \(\alpha\), kí hiệu là \(\sin\alpha = y_0\).
\(-\) Hoành độ \(x_0\) của \(M\) là côsin của góc \(\alpha\), kí hiệu là \(\cos\alpha = x_0\).
\(-\) Tỉ số \(\dfrac{y_0}{x_0}\) là tang của góc \(\alpha\), kí hiệu là \(\tan\alpha = \dfrac{y_0}{x_0}\).
\(-\) Tỉ số \(\dfrac{x_0}{y_0}\) là côtang của góc \(\alpha\), kí hiệu là \(\cot\alpha = \dfrac{x_0}{y_0}\).
+ Các số \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\), \(\tan\alpha\), \(\cot\alpha\) được gọi là các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\).
Chú ý.
+ Nếu \(\alpha\) là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của \(\alpha\) đều dương.
+ Nếu \(\alpha\) là góc tù thì \(\sin\alpha>0\), \(\cos\alpha<0\), \(\tan\alpha<0\), \(\cot\alpha<0\).
+ \(\tan\alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha \neq 90^\circ\).
+ \(\cot\alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha \neq 0^\circ\) và \(\alpha\neq 180^\circ\).
2. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
Với mỗi góc \(\alpha\) thỏa mãn \(0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ\), ta luôn có
+) \(\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha\);
+) \(\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cos\alpha\);
+) \(\tan\left(180^\circ-\alpha\right)=-\tan\alpha\) (\(\alpha\neq 90^\circ\));
+) \(\cot\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cot\alpha\) (\(\alpha\neq 0^\circ\) và \(\alpha \neq 180^\circ\)).
3. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
Dưới đây là bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.
Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn
Dạng 1. So sánh các giá trị lượng giác
Dạng 2. Tính giá trị lượng giác của một góc tường minh
Dạng 3. Biết một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại
Dạng 4. Tính giá trị lượng giác của biểu thức đồng bậc
-->Dạng 1. So sánh các giá trị lượng giác
Câu 1:
Cho góc \(0^\circ\leq \alpha\leq 180^\circ\). Tìm điều kiện của góc \(\alpha\) để các giá trị lượng giác của \(\sin\alpha\) và \(\tan\alpha\) trái dấu nhau.
Đáp án: \(90^\circ<\alpha<180^\circ\)
Lời giải:
Ta có \(0^\circ\leq \alpha\leq 180^\circ\).
Để \(\sin\alpha\) và \(\tan\alpha\) trái dấu nhau thì \(\alpha\) thuộc góc phần tư thứ 2 tức là \(90^\circ<\alpha<180^\circ\).
Câu 2:
Cho \( \alpha \) và \( \beta \) là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
Đáp án: \( \sin \alpha=\sin \beta \)
Lời giải:
Ghi nhớ \(\sin \alpha=\sin(180^\circ-\alpha)\).
Dạng 2. Tính giá trị lượng giác của một góc tường minh
Câu 1:
Tính giá trị biểu thức \(P=\cos 30^\circ\cos 60^\circ-\sin 30^\circ\sin 60^\circ\).
Đáp án: \(P=0\)
Lời giải:
Vì \(30^\circ\) và \(60^\circ\) là hai góc phụ nhau nên
\(\begin{cases} \sin 30^\circ=\cos 60^\circ \\ \sin 60^\circ=\cos 30^\circ\end{cases}\).
\(\Rightarrow P=\cos 30^\circ\cos 60^\circ-\sin 30^\circ\sin 60^\circ\)
\(=\cos 30^\circ\cos 60^\circ-\cos 60^\circ\cos 30^\circ=0\).
Câu 2:
Khẳng định nào sau đây là sai?
Đáp án: \(\sin 120^\circ=\displaystyle\frac{1}{2}\)
Lời giải:
Ta có
\(\cos 150^\circ=\displaystyle\frac{-\sqrt{3}}{2}\), \(\tan 120^\circ=-\sqrt{3}\), \(\boxed{\sin 120^\circ=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}\), \(\cot 90^\circ=0\).
Dạng 3. Biết một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại
Câu 1:
Cho \(\sin x=\displaystyle\frac{3}{5}\), \(90^\circ
Đáp án: \(-\displaystyle\frac{12}{25}\)
Lời giải:
\(\cos^2x=1-\sin^2x=1-\displaystyle\frac{9}{25}=\displaystyle\frac{16}{25}\) \(\Rightarrow \cos x=\pm \displaystyle\frac{4}{5}\).
Do \(90^\circ
\(P=\tan x\cdot \cos^2x\) \(=\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \cos^2x\) \(=\sin x\cdot \cos x\) \(=\displaystyle\frac{3}{5}\cdot \left(-\displaystyle\frac{4}{5}\right)\) \(=-\displaystyle\frac{12}{25}\).
Câu 2:
Cho \(\alpha\) là góc nhọn, thỏa mãn \(\sin\alpha=\displaystyle\frac{4}{5}\). Khi đó \(\cos\alpha\) bằng
Đáp án: \(\displaystyle\frac{3}{5}\)
Lời giải:
Với \(\alpha\) là góc nhọn thì \(\cos\alpha>0\).
Ta có \(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}\) \(=\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{4}{5}\right)^2}\) \(=\displaystyle\frac{3}{5}\).
Dạng 4. Tính giá trị lượng giác của biểu thức đồng bậc
Câu 1:
Cho biết \(2\cos \alpha +\sqrt{2}\sin \alpha =2\), \(0^\circ<\alpha <90^\circ\). Tính giá trị của \(\cot \alpha \)
Đáp án: \(\cot \alpha =\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\)
Lời giải:
Ta có
\(2\cos \alpha +\sqrt{2}\sin \alpha =2\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin \alpha\) \(=2-2\cos \alpha \Rightarrow 2\sin ^2\alpha\) \(=(2-2\cos \alpha )^2\).
\(\Leftrightarrow 2\sin ^2\alpha =4-8\cos \alpha +4\cos^2\alpha\) \(\Leftrightarrow 2(1-\cos^2\alpha )\) \(=4-8\cos \alpha +4\cos^2\alpha\)
\(\Leftrightarrow 6\cos^2\alpha -8\cos \alpha +2\) \(=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\cos \alpha =1 \\ &\cos \alpha =\displaystyle\frac{1}{3}.\end{aligned}\right.\)
+) \(\cos \alpha =1\): không thỏa mãn vì \(0^\circ<\alpha <90^\circ\).
+) \(\cos \alpha =\displaystyle\frac{1}{3}\Rightarrow \sin \alpha\) \(=\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\Rightarrow\cot \alpha\) \(=\displaystyle\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\).
Câu 2:
Cho biết \(\cos \alpha +\sin \alpha =\displaystyle\frac{1}{3}\). Giá trị của \(P=\sqrt{\tan^2\alpha +\cot^2\alpha }\) bằng bao nhiêu?
Đáp án: \(P=\displaystyle\frac{7}{4}\)
Lời giải:
Ta có
\(\cos \alpha +\sin \alpha =\displaystyle\frac{1}{3}\Rightarrow (\cos \alpha +\sin \alpha )^2=\displaystyle\frac{1}{9}\)
\(\Leftrightarrow 1+2\sin \alpha \cos \alpha =\displaystyle\frac{1}{9}\Leftrightarrow \sin \alpha \cos \alpha\) \(=-\displaystyle\frac{4}{9}\).
Ta có
\(P=\sqrt{\tan^2\alpha +\cot^2\alpha }\) \(=\sqrt{(\tan \alpha +\cot \alpha )^2-2\tan \alpha \cot \alpha }\) \(=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\displaystyle\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\right)^2-2}\)
\(=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{\sin ^2\alpha +\cos^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha } \right)^2-2}\) \(=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha } \right)^2-2}\) \(=\sqrt{\left(-\displaystyle\frac{9}{4} \right)^2-2}\) \(=\displaystyle\frac{7}{4}.\)