\(\S1.\) GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ \(0^\circ\) ĐẾN \(180^\circ\)
1. Giá trị lượng giác
+ Với mỗi góc \(\alpha\) (\(0^\circ\leq \alpha\leq 180^\circ\)) ta xác định được một điểm \(M\) duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat{xOM}=\alpha\). Gọi \((x_0;y_0)\) là tọa độ của điểm \(M\), ta có
\(-\) Tung độ \(y_0\) của \(M\) là sin của góc \(\alpha\), kí hiệu là \(\sin\alpha = y_0\).
\(-\) Hoành độ \(x_0\) của \(M\) là côsin của góc \(\alpha\), kí hiệu là \(\cos\alpha = x_0\).
\(-\) Tỉ số \(\dfrac{y_0}{x_0}\) là tang của góc \(\alpha\), kí hiệu là \(\tan\alpha = \dfrac{y_0}{x_0}\).
\(-\) Tỉ số \(\dfrac{x_0}{y_0}\) là côtang của góc \(\alpha\), kí hiệu là \(\cot\alpha = \dfrac{x_0}{y_0}\).
+ Các số \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\), \(\tan\alpha\), \(\cot\alpha\) được gọi là các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\).
Chú ý.
+ Nếu \(\alpha\) là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của \(\alpha\) đều dương.
+ Nếu \(\alpha\) là góc tù thì \(\sin\alpha>0\), \(\cos\alpha<0\), \(\tan\alpha<0\), \(\cot\alpha<0\).
+ \(\tan\alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha \neq 90^\circ\).
+ \(\cot\alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha \neq 0^\circ\) và \(\alpha\neq 180^\circ\).
2. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
Với mỗi góc \(\alpha\) thỏa mãn \(0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ\), ta luôn có
+) \(\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha\);
+) \(\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cos\alpha\);
+) \(\tan\left(180^\circ-\alpha\right)=-\tan\alpha\) (\(\alpha\neq 90^\circ\));
+) \(\cot\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cot\alpha\) (\(\alpha\neq 0^\circ\) và \(\alpha \neq 180^\circ\)).
3. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
Dưới đây là bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.
Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn
Dạng 1. So sánh các giá trị lượng giác
Dạng 2. Tính giá trị lượng giác của một góc tường minh
Dạng 3. Biết một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại
Dạng 4. Tính giá trị lượng giác của biểu thức đồng bậc
-->Dạng 1. So sánh các giá trị lượng giác
Câu 1:
Cho tam giác \(ABC\) không phải là tam giác vuông. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án: \(\cos A=-\cos \left( 180^\circ -A \right)\)
Lời giải:
\(\cos A=-\cos \left( 180^\circ -A \right)\) (tính chất SGK).
Câu 2:
Cho hai góc nhọn \(\alpha\) và \(\beta\) trong đó \(\alpha<\beta\). Khẳng định nào sau đây sai?
Đáp án: \(\cos\alpha<\cos\beta\)
Lời giải:
Từ lý thuyết giáo khoa, ta suy ra \(\cos\alpha<\cos\beta\) khi \(\alpha<\beta\) là mệnh đề sai.
Dạng 2. Tính giá trị lượng giác của một góc tường minh
Câu 1:
Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là \textbf{đúng}?
Đáp án: \(\tan {150^\circ}=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Lời giải:
Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được
\(\tan {150^\circ}=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\).
Câu 2:
Tính giá trị biểu thức \(P=\sin 30^\circ\cos60^\circ+\sin 60^\circ\cos30^\circ\).
Đáp án: \(P=1\)
Lời giải:
Ta có
\(P=\sin 30^\circ\cos60^\circ+\sin 60^\circ\cos30^\circ\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}=1\).
Dạng 3. Biết một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại
Câu 1:
Cho \(\alpha\) là góc tù, thỏa mãn \(\cos\alpha=-\displaystyle\frac{4}{5}\). Khi đó \(\sin\alpha\) bằng
Đáp án: \(\displaystyle\frac{3}{5}\)
Lời giải:
Với \(\alpha\) là góc tù thì \(\sin\alpha>0\).
Ta có
\(\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}\) \(=\sqrt{1-\left(-\displaystyle\frac{4}{5}\right)^2}\) \(=\displaystyle\frac{3}{5}\).
Câu 2:
Cho góc \(\alpha\) là góc tù thỏa \(\tan\alpha =-\displaystyle\frac{4}{3}\). Tính giá trị biểu thức \(A=2\sin\alpha -\cos\alpha\).
Đáp án: \(A=\displaystyle\frac{11}{5}\)
Lời giải:
Vì \(\alpha\) là góc tù nên \(\sin\alpha >0\); \(\cos\alpha<0\).
Ta có
\(1+\tan^2\alpha =\displaystyle\frac{1}{\cos^2\alpha}\Rightarrow \cos\alpha\) \(=-\displaystyle\frac{3}{5}\). Suy ra \(\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}\) \(=\displaystyle\frac{4}{5}\).
Vậy
\(A=2\sin\alpha -\cos\alpha= 2\cdot \displaystyle\frac{4}{5}-\left(-\displaystyle\frac{3}{5}\right)\) \(=\displaystyle\frac{11}{5}\).
Dạng 4. Tính giá trị lượng giác của biểu thức đồng bậc
Câu 1:
Cho biết \(\tan \alpha =-3\). Giá trị của \(P=\displaystyle\frac{6\sin \alpha -7\cos \alpha }{6\cos \alpha +7\sin \alpha }\) bằng bao nhiêu?
Đáp án: \(P=\displaystyle\frac{5}{3}\)
Lời giải:
Ta có
\(P=\displaystyle\frac{6\sin \alpha -7\cos \alpha }{6\cos \alpha +7\sin \alpha }\) \(=\displaystyle\frac{6\displaystyle\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-7}{6+7\displaystyle\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}\) \(=\displaystyle\frac{6\tan \alpha -7}{6+7\tan \alpha }\) \(=\displaystyle\frac{5}{3}\).
Câu 2:
Cho biết \(\cot \alpha =5\). Giá trị của \(P=2\cos^2\alpha +5\sin \alpha \cos \alpha +1\) bằng bao nhiêu?
Đáp án: \(P=\displaystyle\frac{101}{26}\)
Lời giải:
Ta có
\(P=2\cos^2\alpha +5\sin \alpha \cos \alpha +1\) \(=\sin ^2\alpha \left(2\displaystyle\frac{\cos^2\alpha }{\sin ^2\alpha }+5\displaystyle\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }+\displaystyle\frac{1}{\sin ^2\alpha } \right)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{1+\cot^2\alpha }(2\cot^2\alpha +5\cot \alpha +1+\cot^2\alpha )\) \(=\displaystyle\frac{3\cot^2\alpha +5\cot \alpha +1}{\cot^2\alpha +1}\) \(=\displaystyle\frac{101}{26}.\)