\(\S1.\) GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ \(0^\circ\) ĐẾN \(180^\circ\)
1. Giá trị lượng giác
+ Với mỗi góc \(\alpha\) (\(0^\circ\leq \alpha\leq 180^\circ\)) ta xác định được một điểm \(M\) duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat{xOM}=\alpha\). Gọi \((x_0;y_0)\) là tọa độ của điểm \(M\), ta có
\(-\) Tung độ \(y_0\) của \(M\) là sin của góc \(\alpha\), kí hiệu là \(\sin\alpha = y_0\).
\(-\) Hoành độ \(x_0\) của \(M\) là côsin của góc \(\alpha\), kí hiệu là \(\cos\alpha = x_0\).
\(-\) Tỉ số \(\dfrac{y_0}{x_0}\) là tang của góc \(\alpha\), kí hiệu là \(\tan\alpha = \dfrac{y_0}{x_0}\).
\(-\) Tỉ số \(\dfrac{x_0}{y_0}\) là côtang của góc \(\alpha\), kí hiệu là \(\cot\alpha = \dfrac{x_0}{y_0}\).
+ Các số \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\), \(\tan\alpha\), \(\cot\alpha\) được gọi là các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\).
Chú ý.
+ Nếu \(\alpha\) là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của \(\alpha\) đều dương.
+ Nếu \(\alpha\) là góc tù thì \(\sin\alpha>0\), \(\cos\alpha<0\), \(\tan\alpha<0\), \(\cot\alpha<0\).
+ \(\tan\alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha \neq 90^\circ\).
+ \(\cot\alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha \neq 0^\circ\) và \(\alpha\neq 180^\circ\).
2. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
Với mỗi góc \(\alpha\) thỏa mãn \(0^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ\), ta luôn có
+) \(\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha\);
+) \(\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cos\alpha\);
+) \(\tan\left(180^\circ-\alpha\right)=-\tan\alpha\) (\(\alpha\neq 90^\circ\));
+) \(\cot\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cot\alpha\) (\(\alpha\neq 0^\circ\) và \(\alpha \neq 180^\circ\)).
3. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
Dưới đây là bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.
Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn
Dạng 1. So sánh các giá trị lượng giác
Dạng 2. Tính giá trị lượng giác của một góc tường minh
Dạng 3. Biết một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại
Dạng 4. Tính giá trị lượng giác của biểu thức đồng bậc
-->Dạng 1. So sánh các giá trị lượng giác
Câu 1:
Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án: \(\cos 90^\circ 30'>\cos 100^\circ \)
Lời giải:
Trong khoảng từ \(90^\circ \) đến \(180^\circ \), khi giá trị của góc tăng thì:
- Giá trị \(\sin\) tương ứng của góc đó giảm.
- Giá trị \(\cos\) tương ứng của góc đó giảm.
Câu 2:
Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án: \(\cos 95^\circ >\cos 100^\circ \)
Lời giải:
Trong khoảng từ \(90^\circ \) đến \(180^\circ \), khi giá trị của góc tăng thì:
- Giá trị \(\sin\) tương ứng của góc đó giảm.
- Giá trị \(\cos\) tương ứng của góc đó giảm.
Dạng 2. Tính giá trị lượng giác của một góc tường minh
Câu 1:
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), góc \(C\) bằng \(60^\circ\). Khẳng định nào sau đây là sai?
Đáp án: \(\cos B=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Lời giải:
Theo giả thiết, ta có góc \(B\) bằng \(30^\circ\), nên
\(\cos B=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\ne \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\).
Câu 2:
Cho \(\cos \alpha=- \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\). Tính giá trị \(\sin\alpha\).
Đáp án: \(\displaystyle\frac{\sqrt{14}}{4}\)
Lời giải:
Vì \(0\le \alpha\le 180^{\circ}\) nên
\(\sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2 \alpha}=\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{8}}=\displaystyle\frac{\sqrt{14}}{4}\).
Dạng 3. Biết một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại
Câu 1:
Cho \(\alpha\) là góc tù, thỏa mãn \(\cos\alpha=-\displaystyle\frac{3}{5}\). Khi đó \(\sin\alpha\) bằng
Đáp án: \(\displaystyle\frac{4}{5}\)
Lời giải:
Với \(\alpha\) là góc tù thì \(\sin\alpha>0\).
Ta có
\(\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}\) \(=\sqrt{1-\left(-\displaystyle\frac{3}{5}\right)^2}\) \(=\displaystyle\frac{4}{5}\).
Câu 2:
Cho \(\alpha\) là góc tù, thỏa mãn \(\cos\alpha=-\displaystyle\frac{4}{5}\). Khi đó \(\sin\alpha\) bằng
Đáp án: \(\displaystyle\frac{3}{5}\)
Lời giải:
Với \(\alpha\) là góc tù thì \(\sin\alpha>0\).
Ta có
\(\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}\) \(=\sqrt{1-\left(-\displaystyle\frac{4}{5}\right)^2}\) \(=\displaystyle\frac{3}{5}\).
Dạng 4. Tính giá trị lượng giác của biểu thức đồng bậc
Câu 1:
Cho biết \(\cos \alpha =-\displaystyle\frac{2}{3}\). Giá trị của \(P=\displaystyle\frac{\cot \alpha +3\tan \alpha }{2\cot \alpha +\tan \alpha }\) bằng bao nhiêu?
Đáp án: \(P=\displaystyle\frac{19}{13}\)
Lời giải:
Ta có biểu thức
\(\sin ^2\alpha +\cos^2\alpha =1\Leftrightarrow \sin ^2\alpha\) \(=1-\cos^2\alpha\) \(=\displaystyle\frac{5}{9}\).
Ta có
\(P=\displaystyle\frac{\cot \alpha +3\tan \alpha }{2\cot \alpha +\tan \alpha }\) \(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }+3\displaystyle\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}{2\displaystyle\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }+\displaystyle\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}\) \(=\displaystyle\frac{\cos^2\alpha +3\sin ^2\alpha }{2\cos^2\alpha +\sin ^2\alpha }\) \(=\displaystyle\frac{{\left(-\displaystyle\frac{2}{3} \right)}^2+3\cdot\displaystyle\frac{5}{9}}{2\cdot {\left(-\displaystyle\frac{2}{3} \right)}^2+\displaystyle\frac{5}{9}}\) \(=\displaystyle\frac{19}{13}\).
Câu 2:
Cho biết \(2\cos \alpha +\sqrt{2}\sin \alpha =2\), \(0^\circ<\alpha <90^\circ\). Tính giá trị của \(\cot \alpha \)
Đáp án: \(\cot \alpha =\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\)
Lời giải:
Ta có
\(2\cos \alpha +\sqrt{2}\sin \alpha =2\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin \alpha\) \(=2-2\cos \alpha \Rightarrow 2\sin ^2\alpha\) \(=(2-2\cos \alpha )^2\).
\(\Leftrightarrow 2\sin ^2\alpha =4-8\cos \alpha +4\cos^2\alpha\) \(\Leftrightarrow 2(1-\cos^2\alpha )\) \(=4-8\cos \alpha +4\cos^2\alpha\)
\(\Leftrightarrow 6\cos^2\alpha -8\cos \alpha +2\) \(=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\cos \alpha =1 \\ &\cos \alpha =\displaystyle\frac{1}{3}.\end{aligned}\right.\)
+) \(\cos \alpha =1\): không thỏa mãn vì \(0^\circ<\alpha <90^\circ\).
+) \(\cos \alpha =\displaystyle\frac{1}{3}\Rightarrow \sin \alpha\) \(=\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\Rightarrow\cot \alpha\) \(=\displaystyle\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\).