Đáp án: \(M>6\)

Lời giải:

Đáp án: \(\displaystyle\min_{[-2;1)}y=1\)

Lời giải:

Đáp án: \(M=9\)

Lời giải:

\(y'=4x^3-4x \Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0 \notin (0;2)\\&x=1\\&x=-1 \notin (0;2)\end{aligned}\right..\)

Ta có \(y(0)=1; \; y(1)=0; \; y(2) = 9\). Suy ra \(M=9\).

Đáp án: \(\displaystyle\frac{3}{5}\)

Lời giải:

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{7}{(x+3)^2}>0, \forall x\in [0;2]\), có \(y(0)=-\displaystyle\frac{1}{3}, y(2)=\displaystyle\frac{3}{5}\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-1}{x+3}\) trên đoạn \([0;2]\) bằng \(\displaystyle\frac{3}{5}\).

Đáp án: \(3\)

Lời giải:

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\).

\(f'(x)=\displaystyle\frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}\); \(f'(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=1\in [0;2]\\&x=3\notin [0;2].\end{aligned}\right.\)

\(f(0)=4\), \(f(1)=3\), \(f(2)=\displaystyle\frac{10}{3}\).

Suy ra \(\min\limits_{[0;2]} f(x)=f(1)=3\).

Đáp án: \(-4\)

Lời giải:

\(y'=\displaystyle\frac{4}{x^2}-1=0 \Leftrightarrow x=\pm 2.\)

Ta có \(f\left (\displaystyle\frac{3}{2}\right )\simeq -4,17\); \(f(2)=-4\); \(f(4)=-5\).

Vậy \(f(x)\) đạt giá trị lớn nhất là \(-4\) tại \(x=2\).

Đáp án: \(2-\sqrt{2}\)

Lời giải:

Tập xác định \(\mathscr{D}=[-\sqrt{2};\sqrt{2}]\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-x}{\sqrt{2-x^2}}-1=\displaystyle\frac{-x-\sqrt{2-x^2}}{\sqrt{2-x^2}}\).

Mặt khác,

\begin{eqnarray*}& & y'=0\\& \Leftrightarrow & -x-\sqrt{2-x^2}=0\\& \Leftrightarrow & \sqrt{2-x^2}=-x\\& \Leftrightarrow & \begin{cases}x\leq 0\\2-x^2=x^2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x\leq 0\\x^2=1\end{cases}\\& \Leftrightarrow & x=-1.\end{eqnarray*}

Ta có \(y\left(-\sqrt{2}\right)=-\sqrt{2};~y(-1)=2;~y\left(\sqrt{2}\right)=-\sqrt{2}\).

Vậy \(\max\limits_{x\in\mathscr D} f(x)=2,\min\limits_{x\in\mathscr D} f(x)=-\sqrt{2}\) hay \(\max\limits_{x\in\mathscr D} f(x)+\min\limits_{x\in\mathscr D} f(x)=2-\sqrt{2}\).

Đáp án: \(\max y=6,\: \min y=-3\sqrt{2}\)

Lời giải:

Tập xác định \(\mathscr{D}=\left[-3\sqrt{2};3\sqrt{2}\right]\).

\(y'=1-\displaystyle\frac{x}{\sqrt{18-x^2}}\). Cho \(y'=0 \Leftrightarrow \sqrt{18-x^2}=x\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x\ge 0\\ x^2=9\end{cases}\Rightarrow x=3\).

Ta có \(y(3)=6\), \(y(-3\sqrt{2})=-3\sqrt{2}\), \(y(3\sqrt{2})=3\sqrt{2}\).

Vậy \(\max y=6\), \(\min y=-3\sqrt{2}\).

Đáp án: \(-2\)

Lời giải:

Ta có \(y=\cos^3x+9\cos x+6\left(1-\cos^2x\right)-1=\cos^3x-6\cos^2x+9\cos x+5\).

Đặt \(t=\cos x\), ta xét hàm số \(f(t)=t^3-6t^2+9t+5\), với \(t\in [-1;1]\).

Ta có \(f'(t)=3t^2-12t+9\), \(f'(t)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& t=1\notin (-1;1)\\& t=3\notin (-1;1).\end{aligned}\right.\)

\(f(-1)=-11\), \(f(1)=9\).

Suy ra \(\max\limits_{[-1;1]}f(t)=9\), \(\min\limits_{[-1;1]}f(t)=-11\).

Do đó \(\max\limits_{\mathbb{R}}y=9\), \(\min\limits_{\mathbb{R}}y=-11\).

Từ đó \(\min\limits_{\mathbb{R}}y+\max\limits_{\mathbb{R}}y=-11+9=-2\).

Đáp án: \(0\)

Lời giải:

\(f(x)=\displaystyle\frac{\cos x}{x}\Rightarrow f'(x)=\displaystyle\frac{-x\sin x-\cos x}{x^2}< 0,\forall x\in \left[\displaystyle\frac{\pi}{6};\displaystyle\frac{\pi}{3}\right]\).

\(f\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{\pi}\), \(f\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\displaystyle\frac{3}{\pi}\).

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{\cos x}{x}\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{\pi}{6};\displaystyle\frac{\pi}{3}\right]\) bằng \(\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{\pi}\). Suy ra \(a=3,b=3\). Vậy \(a-b=0\).

Đáp án: \(f(1),f(4)\)

Lời giải:

Dựa vào đồ thị hàm số \(f'(x)\) ta có bảng biến thiên sau

Suy ra \(\min\limits_{[-1;4]}f(x)=f(1)\).

Trên đoạn \([1;4]\) hàm số đồng biến nên \(f(1)< f(2)\).

Theo giả thiết ta có \(f(4)=f(2)-f(1)+f(-1)>f(-1).\)

Vậy \(\max\limits_{[-1;4]}f(x)=f(4)\).

Đáp án: \( f(a),f(b) \)

Lời giải:

Dựa vào đồ thị \( f'(x) \) trên khoảng \( [a,c],\) ta thấy

+) \( a\le x\le b \colon f'(x)\le 0\Rightarrow f(x)\) giảm.

+) \( x\ge b \) và \( x\le a\colon f'(x)\ge 0\Rightarrow f(x)\) tăng.

+) Dựa vào bảng biến thiên suy ra \( \min \limits_{[a,c]}f(x)=f(b) .\)

+) Vì \( f(a)+f(b)=2f(c) \) suy ra \( f(a)\ge f(c). \)

+) Vậy \( \max \limits_{[a,c]}f(x)=f(a) \) và \( \min \limits_{[a,c]}f(x)=f(b) . \)

Đáp án: \(20\) miligam

Lời giải:

Điều kiện: \(0\le x\le 30\).

Ta có \(f(x)=\displaystyle\frac{3}{4}x^2-\displaystyle\frac{1}{40}x^3\Rightarrow f'(x)=\displaystyle\frac{3}{2}x-\displaystyle\frac{3}{40}x^2\).

Do đó, \(f'(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\& x=20.\end{aligned}\right.\)

Mà \(f(0)=0; f(20)=100; f(30)=0\).

Vậy huyết áp giảm nhiều nhất khi bệnh nhân được tiêm \(20\) miligam thuốc.

Đáp án: \(5\) máy

Lời giải:

Gọi \(n\) là số máy mà xưởng sử dụng với \(1\leq n\leq 8.\)

Chi phí bảo trì, vận hành \(n\) máy là \(50n\) (nghìn đồng).

Số giờ mà \(n\) máy phải chạy để in được \(50000\) bản là \(\displaystyle\frac{50000}{4000n}\).

Chi phí in ấn của \(n\) máy để in hết \(50000\) bản là \(20\cdot(3n+5)\cdot \displaystyle\frac{50000}{4000n}\) (nghìn đồng).

Tổng chi phí mà xưởng sử dụng để in hết \(50000\) bản là \(f(n)=50n+20\cdot (3n+5) \cdot \displaystyle\frac{50000}{4000n}=50n+750+\displaystyle\frac{1250}{n}.\)

Ta có

\(f'(n)=50-\displaystyle\frac{1250}{n^2}\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow n=\pm 5\).

Ta có \(f(1)=2050; f(5)=1250; f(8)=1306,25\).

Vậy chi phí nhỏ nhất để in \(50000\) khổ \(A4\) là khi xưởng sử dụng \(5\) máy.

Đáp án:

• \(\displaystyle\max\limits_{[-7;6]}f(x)=6\)
• \(\displaystyle\min\limits_{[-7;6]}f(x)=-1\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(\displaystyle\max\limits_{[-3;4]}f(x)=3\)
• \(\displaystyle\max\limits_{(-3;4)}f(x)=3\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(\displaystyle\max\limits_{[1;6]}f(x)=f(3)\)
• \(\displaystyle\min\limits_{[1;6]}f(x)=f(1)\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(\displaystyle\min\limits_{(-1;6)}f(x)=f(5)\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(\displaystyle\min\limits_{[0;6]}f(x)=f(6)\)
• \(\displaystyle\max\limits_{[1;5]}f(x)=f(5)\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(\displaystyle\min\limits_{[-1;5]}f(x)=f(-1)\)
• \(\displaystyle\max\limits_{(-1;5)}f(x)=f(3)\)

Lời giải:

Ta có \(f^{\prime}(x)=3 x^2-12 x+9\). Khi đó

\(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=3.\)

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng \([-1 ;+\infty)\)

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\min\limits _{[-1 ;+\infty)} f(x)=f(-1)=-17\) và hàm số không có giá trị lớn nhất trên \([-1 ;+\infty)\).

}

Ta có \(y'=3x^2-4x\).

Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{4}{3}.\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta được \(\min\limits_{[0;+\infty)} y=y\left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)=-\displaystyle\frac{5}{27}\), \(\max\limits_{[0;+\infty)} y\) không tồn tại.

}

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=4x^3-4x\).

Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=1\) hoặc \(x=-1.\)

Bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên, ta được \(\min\limits_{\mathbb{R}}y=y(-1)=y(1)=2\), \(\max\limits_{\mathbb{R}}y\) không tồn tại.

}

Xét hàm số \(f(x)=x^3-12x+1\) xác định trên khoảng \((1;3]\).

Đạo hàm \(f'(x)=3x^2-12\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 3x^2-12=0 \Leftrightarrow x=2\in(1;3]\) hoặc \(x=-2\notin(1;3].\)

Bảng biến thiên trên nửa khoảng \((1;3]\):

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có \(\min\limits_{(1;3]}f(x)=-15\), \(\max\limits_{(1;3]}f(x)\) không tồn tại.

}

Ta có \(y'=3x^2-3\).

Do đó \(y'=0\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=1.\)

Bảng biến thiên

Vậy \(\min\limits_{[-3;2)}y=-22\) đạt tại \(x=-3\); \(\max\limits_{[-3;2)}y=-2\) đạt tại \(x=-1\).

}

Ta có \(y'=4x^3-8x=4x\left(x^2-2\right); y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\sqrt{2}\) (vì \(x \in[0; 4]\));

\(y(0)=3;~y(4)=195;~y\left(\sqrt{2}\right)=-1.\)

Do đó: \(\max \limits_{[0; 4]} y=y(4)=195; \min \limits_{[0; 4]} y=y\left(\sqrt{2}\right)=-1\).

Ta có \(f'(x)=3x^2-6x-9\); \(f'(x)=0\Leftrightarrow \hoac{&x=-1\notin (0;5)\\&x=3\in (0;5).}\)

Mà \(f(0)=5\); \(f(5)=10\); \(f(3)=-22\).

Vậy \(\max\limits_{[0;5]}f(x)=10\), \(\min\limits_{[0;5]}f(x)=-22\).

Ta có \(f'(x)=4 x^3-16 x\);

\(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2\) hoặc \(x=-2\) (loại vì không thuộc \([-1 ; 3]\));

\(f(-1)=2 ; f(0)=9 ; f(2)=-7 ; f(3)=18\).

Vậy \(\max \limits_{[-1 ; 3]} f(x)=f(3)=18\) và \(\min\limits _{[-1 ; 3]} f(x)=f(2)=-7\).

Ta có \(f'(x)=x^2-4x+3\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x^2-4x+3=0\) \(\Leftrightarrow \hoac{&x=1\in\left[-3;2\right]\\ &x=3\not \in\left[-3;2\right].}\)

Các giá trị \(f(1)=\displaystyle\frac{7}{3}, f(-3)=-35, f(2)=\displaystyle\frac{5}{3}\).

Vậy

\(\begin{aligned}&\max\limits_{\left[-3;2\right]}f(x)=\displaystyle\frac{7}{3} \text{ tại } x=1,\\ &\min\limits_{\left[-3;2\right]}f(x)=-35 \text{ tại } x=-3.\end{aligned}\)

Xét hàm số \(f(x)=x^4-2x^3+x^2+1\), trên đoạn \(\left[-1;1\right]\).

Đạo hàm \(f'(x)=4x^3-6x^2+2x\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 4x^3-6x^2+2x \Leftrightarrow \hoac{&x=1\in[-1;1]\\&x=\displaystyle\frac{1}{2}\in[-1;1]\\&x=0\in[-1;1].}\)

Các giá trị \(f(-1)=5\), \(f(0)=1\), \(f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{17}{16}\), \(f(1)=1\).

So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{[-1;1]}f(x)=5\), \(\min\limits_{[-1;1]}f(x)=1\).

Ta có \(f'(x)=\displaystyle\frac{-5}{(x-2)^2}< 0,\quad \forall x\neq 2\).

Vậy \(\displaystyle\max _{[3 ; 7]} f(x)=f(3)=7\) và \(\displaystyle\min _{[3 ; 7]} f(x)=f(7)=3\).

Trên nửa khoảng \([-1;4)\), ta có \(y'=f'(x)=3x^2-12x+9\).

+) \(y'=0\Leftrightarrow \hoac{&x=3\in [-1;4)\\&x=1\in [-1;4).}\)

+) \(\lim\limits_{x\to 4^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 4^-}\left(x^3-6x^2+9x+1\right)=5\).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta có \(-15\leq f(x)\leq 5,\forall x\in [-1;4)\).

Suy ra trên khoảng \([-1;4)\),

+) Hàm số có giá trị nhỏ nhất là \(-15\) tại \(x=-1\).

+) Hàm số có giá trị lớn nhất là \(5\) tại \(x=1\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\), ta chỉ xét trên khoảng \((-1;1)\).

Đạo hàm \(y'=3x^2-4x+1; y'=0\Leftrightarrow\hoac{&x=1\\&x=\frac{1}{3}.}\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có \(\max\limits_{(-1;1)}y=-\displaystyle\frac{158}{27}=y\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\), ta chỉ xét trên nửa khoảng \(\left[\displaystyle\frac{1}{2};+\infty\right)\).

Đạo hàm \(f'(x)=x^2(1-x)(3-5x); f'(x)=0\Leftrightarrow x=0, x=1, x=\displaystyle\frac{3}{5}\).\\Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên cho ta\\ \(\min\limits_{\left[\frac{1}{2};+\infty\right)}f(x)=f(1)=0\) và \(\max\limits_{\left[\frac{1}{2};+\infty\right)}f(x)\) không tồn tại vì \(\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\).

Hàm số xác định trên tập \((1;+\infty)\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{x^2-2x-1}{x^2-2x+1}\).

Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x=1+\sqrt{2}\) hoặc \(x=1-\sqrt{2}\).

Bảng biến thiên của hàm số

Vậy \(\min\limits_{(1;+\infty)} y=y\left(1+\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}\), \(\max\limits_{(1;+\infty)} y\) không tồn tại.

}

Hàm số \(y=f(x)=x+\displaystyle\frac{1}{x}-2\) xác định trên khoảng \((-\infty ; 0)\);

Ta có \(f^{\prime}(x)=1-\displaystyle\frac{1}{x^2}=\displaystyle\frac{x^2-1}{x^2}\).

Suy ra \(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=-1\).

Bảng biến thiên

Vậy \(\max\limits_{(-\infty;0)} f(x)=f(-1)=-4\); không tồn tại giá trị nhỏ nhất.

}

Hàm số xác định trên khoảng \((0;+\infty)\).

Ta có \(y'=1-\displaystyle\frac{1}{x^2}; y'=0 \Leftrightarrow x=1\).

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \((0;+\infty)\):

Vậy \(\min\limits_{(0;+\infty)}y=y(1)=0\); hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng \((0;+\infty)\).

}

Ta có \(y'=- \displaystyle\frac{7}{\left(3x-2 \right)^2}<0\) với mọi \(x \in \left[2;+\infty\right)\).

Suy ra \(\underset{_{[2;+\infty)}}{\mathop{\max}}y=y(2)=\displaystyle\frac{2\cdot ^2+1}{3\cdot ^2-2}=\displaystyle\frac{5}{4}\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên \(\left[2;+\infty\right)\).

}

Ta có \(f'(x)=1-\displaystyle\frac{8}{x^3}\).

Khi đó

\(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=2\).

Ta có

\(f(1)=5\); \(f(2)=3\); \(f(4)=\displaystyle\frac{17}{4}=4{,}25\).

Vậy \(\displaystyle\max _{[1 ; 4]} f(x)=f(1)=5\) và \(\displaystyle\min _{[1 ; 4]} f(x)=f(2)=3\).

Xét hàm số \(f(x)=x^3-\displaystyle\frac{3}{2}x^2\), trên đoạn \(\left[-1;2\right]\).

Đạo hàm \(f'(x)=3x^2-3x\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 3x^2-3x=0 \Leftrightarrow \hoac{&x=1\in[-1;2]\\&x=0\in[-1;2].}\)

Các giá trị \(f(-1)=-\displaystyle\frac{5}{2}\), \(f(0)=0\), \(f(1)=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(f(2)=2\).

So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{[-1;2]}f(x)=2\), \(\min\limits_{[-1;2]}f(x)=-\displaystyle\frac{5}{2}\).

Xét \(g(x)=x+\displaystyle\frac{1}{x}\) trên khoảng \((0;5)\). Nhận thấy hàm số xác định và liên tục trên khoảng \((0;5)\).

Ta có \(g'(x)=1-\displaystyle\frac{1}{x^2}=\displaystyle\frac{x^2-1}{x^2}=0\Leftrightarrow x=1\).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\min\limits_{(0;5)}f(x)=2\) và hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng \((0;5)\).

+) Xét hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2+9}{x}\) với \(x\in(0;+\infty)\).

+) Ta có \(f'(x)=\displaystyle\frac{x^2-9}{x^2}\).

Khi đó \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x^2-9=0 \Leftrightarrow \hoac{&x=3\in(0;+\infty)\\&x=-3\notin(0;+\infty).} \)

Các giới hạn \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

Bảng biến thiên

Căn cứ bảng biến thiên, ta có \(\min\limits_{(0;+\infty)}f(x)=6\) tại \(x=3\) và hàm số \(f(x)\) không có giá trị lớn nhất.

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(f'(x)=\displaystyle\frac{4-x^2}{\left(4+x^2\right)^2}; f'(x)=0\Leftrightarrow x=\pm 2\).

Bảng biến thiên:

Vậy \(\min\limits_{\mathbb{R}}f(x)=f(-2)=-\displaystyle\frac{1}{4}\) và \(\max\limits_{\mathbb{R}}f(x)=f(2)=\displaystyle\frac{1}{4}\).

Điều kiện \(x\ne 0\).

Đạo hàm \(f'(x)=2x-\displaystyle\frac{2}{x^2}=\displaystyle\frac{2x^3-2}{x^2}\).

\(f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên \((0;+\infty)\) là \(3\) khi \(x=1\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên \((0;+\infty)\).

Hàm số xác định trên khoảng \((0;+\infty)\).

Đạo hàm \(f'(x)=1-\displaystyle\frac{4}{x^2}=\displaystyle\frac{x^2-4}{x^2}\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x^2-4=0 \Leftrightarrow x=2\) hoặc \(x=-2\).

Bảng biến thiên

Vậy \(\min\limits_{(0;+\infty)}f(x)=4\).

Xét hàm số \(y=f(x)=x+\displaystyle\frac{1}{x}-2\) trên khoảng \((-\infty ; 0)\);

Trên khoảng \((-\infty ; 0)\), ta có \(f'(x)=1-\displaystyle\frac{1}{x^2}=\displaystyle\frac{x^2-1}{x^2}\).

+) \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-1\).

+) \(\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}\left(x+\displaystyle\frac{1}{x}-2\right)=-\infty\).

+) \(\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}\left(x+\displaystyle\frac{1}{x}-2\right)=-\infty\).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta có \(f(x)\geq -4\). Suy ra, trên khoảng \((-\infty;0)\)

+) \(\max\limits_{x \in (-\infty;0)} f(x)=f(-1)=-4\);

+) không tồn tại giá trị nhỏ nhất.

Hàm số xác định trên khoảng \((0;+\infty)\).

Ta có \(f'(x)=\displaystyle\frac{x^2-9}{x^2}\).

Suy ra \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x^2-9=0 \Leftrightarrow x=3\) hoặc \(x=-3\).

Bảng biến thiên

Vậy \(\min\limits_{(0;+\infty)}f(x)=f(3)=6\), \(\max\limits_{(0;+\infty)}f(x)\) không tồn tại.

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(f'(x)=\displaystyle\frac{-8x}{\left(1+x^2\right)^2}\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0\)

Bảng biến thiên

Vậy \(\max\limits_{\mathscr{D}}f(x)=f(0)=4\).

}

Xét hàm số \(f(x)=x-\displaystyle\frac{3}{x}\) trên nửa khoảng \((0;3]\).

Đạo hàm \(f'(x)=1+\displaystyle\frac{3}{x^2}\); ta có \(f'(x)>0\ \forall x\in(0;3]\).

Vậy \(\max\limits_{(0;3]}f(x)=2\) tại \(x=3\).

}

Xét hàm số \(y=f(x)=\sqrt{4-x^2}\);

Tập xác định của hàm số là \( \mathscr{D}=[-2;2]\)

Ta có \(f'(x)=\displaystyle\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}\); \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0\in(-2 ; 2)\).

Mà \(f(-2)=0 ; f(0)=2 ; f(2)=0\).

Vậy \(\max\limits_{x \in [-2;2]} f(x)=f(0)=2\); \(\min\limits_{x \in [-2;2]} f(x)=f(2)=0\).

Tập xác định \(D=\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-2x}{2\sqrt{2-x^2}}=\displaystyle\frac{-x}{\sqrt{2-x^2}}\).

Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x=0\in \left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\).

Các giá trị \(y\left(-\sqrt{2} \right)=y \left(\sqrt{2} \right)=0\), \(y \left(0 \right)=\sqrt{2}\).

Vậy, \(\min\limits_{\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]}y=y\left(-\sqrt{2} \right)=y \left(\sqrt{2} \right)=0\) và \(\max\limits_{\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]}y=y \left(0 \right)=\sqrt{2}\).

}

Tập xác định \(\mathscr D=\left[-1;1\right]\).

Ta có \(y'=-2x\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-1\right)\). Khi đó \(y'=0\Leftrightarrow x=0\).

Ta có \(y(-1)=1\); \(y(0)=2\) và \(y(1)=1\).

Vậy \(\max\limits_{[-1;1]}y=y(0)=2\) và \(\min\limits_{[-1;1]}y=y(\pm 1)=1\).

Tập xác định \(\mathscr D=[-1 ; 1]\).

Ta có \(0 \leq g(x) \leq 1\) với mọi \(x \in[-1 ; 1]\). Mặt khác \(g(0)=1\) và \(g(1)=0\).

Do đó \(\min\limits _{[-1 ; 1]} g(x)=0\) và \(\max\limits _{[-1 ; 1]} g(x)=1\).

Tập xác định của hàm số là \([0;2]\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-2x+2}{\sqrt{4x-2x^2}}\).

Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x=1\).

Bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên, ta được \(\max\limits_{[0;2]} y=y(1)=\sqrt{2}\), \(\min\limits_{[0;2]} y=y(0)=0\).

}

Tập xác định của hàm số là \([-1; 1]\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{\left(1-x^2\right)'}{2 \sqrt{1-x^2}}=-\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\).

Suy ra \(y'=0 \Leftrightarrow x=0\).

Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn \([-1; 1]\):

Vậy \(\min\limits_{[-1; 1]} f(x)=f(-1)=f(1)=0\); \(\max\limits_{[-1; 1]} f(x)=f(0)=1\).

}

Tập xác định của hàm số là \([1;3]\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{3-x}}\).

Với \(y'=0\Leftrightarrow x=2\).

Bảng biến thiên của hàm số

Vậy \(\min\limits_{[1;3]} y=y(1)=\sqrt{2}\); \(\max\limits_{[1;3]} y=y(2)=2\).

}

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=\mathrm{e}^{-x}-x\mathrm{e}^{-x}\).

Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x=1\).

Bảng biến thiên của hàm số

Vậy \(\max\limits_{(0;+\infty)}y=(1)=\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}\), \(\min\limits_{(0;+\infty)}y\) không tồn tại.

}

Tập xác định của hàm số là \((0;+\infty)\).

Ta có \(y'=\ln x +1\). Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1}{e}\).

Bảng biến thiên của hàm số

Vậy \(\min\limits_{(0;+\infty)} y=y\left(\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}\right)=-\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}\), \(\max\limits_{(0;+\infty)}y\) không tồn tại.

}

Xét hàm số \(y=f(x)=\mathrm{e}^x-x\) trên đoạn \([-1 ; 2]\);

Ta có

\(f'(x)=\mathrm{e}^x-1\); \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0\in(-1 ; 2)\).

Mà \(f(-1)=\mathrm{e}^{-1}+1 ; f(0)=1 ; f(2)=\mathrm{e}^2-2\).

Vậy \(\max\limits_{x \in [-1;2]} f(x)=f(2)=\mathrm{e}^2-2; \min\limits_{x \in [-1;2]} f(x)=f(0)=1\).

Xét hàm số \(f(x)=\mathrm{e}^x\left(x^2-5x+7\right)\), trên đoạn \(\left[0;3\right]\).

Đạo hàm \(f'(x)=\mathrm{e}^x(x^2-3x+2)\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow \mathrm{e}^x(x^2-3x+2)=0 \Leftrightarrow \hoac{&x=2\in[0;3]\\&x=1\in[0;3].}\)

Các giá trị \(f(0)=7\), \(f(1)=3e\), \(f(2)=\mathrm{e}^2\), \(f(3)=\mathrm{e}^3\).

So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{[0;3]}f(x)=\mathrm{e}^3\), \(\min\limits_{[0;3]}f(x)=7\).

Xét hàm số \(y=f(x)=x \ln x\) trên đoạn \(\left[\mathrm{e}^{-2} ; \mathrm{e}\right]\).

Ta có

\(f'(x)=\ln x -1\); \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=\mathrm{e}\notin \left[\mathrm{e}^{-2} ; \mathrm{e}\right]\).

Mà \(f(\mathrm{e}^{-2})=-2\mathrm{e}^{-2}\); \(f(\mathrm{e})=3\); \(f(\mathrm{e})=\mathrm{e}\).

Vậy \(\max\limits_{x \in [\mathrm{e}^{-2};\mathrm{e}]} f(x)=f(\mathrm{e})=\mathrm{e}\); \(\min\limits_{x \in [\mathrm{e}^{-2} ; \mathrm{e}]} f(x)=f(\mathrm{e}^{-2})=-2\mathrm{e}^{-2}\).

Hàm số xác định trên đoạn \([0; 1]\).

Ta có \(y'=(2x-1)\mathrm{e}^x+\left(x^2-x\right) \mathrm{e}^x=\left(x^2+x-1\right) \mathrm{e}^x\).

Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\in[0; 1]\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\in[0; 1]\).

Ta có \(y(0)=0\); \(y\left(\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)=\left(2-\sqrt{5}\right)\mathrm{e}^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\); \(y(1)=0.\)

Do đó: \(\max \limits_{[0; 1]} y=y\left(1\right)=y(0)=0\); \(\min \limits_{[0; 1]} y\left(\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)=\left(2-\sqrt{5}\right)\mathrm{e}^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\left[2;+\infty\right)\).

Đạo hàm \(f'(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x-2}}=\displaystyle\frac{2\sqrt{x-2}-\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x-2}}, x>2\).

Ta có \(f'(x)=0\Leftrightarrow 2\sqrt{x-2}-\sqrt{x-1}\Leftrightarrow 2\sqrt{x-2}=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow 4(x-2)=x+1\Leftrightarrow x=3\) (nhận).

Bảng biến thiên:

Vậy \(\min\limits_{\left[2;+\infty\right)}f(x)=f(3)=3\).

Đặt \(f(x) = x+\sqrt{2x^2+1} \Rightarrow f'(x) = 1+\displaystyle\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}\).

Ta có \(f'(x) = 0

\Leftrightarrow \sqrt{2x^2+1} = -2x \Leftrightarrow x = -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Bảng biến thiên:

a) Nhìn bảng biến thiên suy ra phương trình \(f(x) = m\) có nghiệm \(\Leftrightarrow m \ge f\left(-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\).

b) \(f(x) = x+\sqrt{2x^2+1} > m, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m < \min{f(x)} \Leftrightarrow m < f\left(-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Ta có \(f'(x)=2\cos2x\). Khi đó

\(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}\).

Ta có

\(f(0)=0 ; f\left( \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =1 ; f\left(\displaystyle\frac{7\pi}{12}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Vậy \(\displaystyle\max _{\left[ 0 ; \tfrac{7\pi}{12}\right] } f(x)=f\left( \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =1\) và \(\displaystyle\min _{\left[ 0 ; \tfrac{7\pi}{12}\right]}f(x)=f\left(\displaystyle\frac{7\pi}{12}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

Xét hàm số \(f(x)= 2\sin 3x +7x+1\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{-\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\).

Ta có \(f' (x)=6\cos 3x+7\).

Do \(\cos3x\in [-1;1]\Rightarrow 6\cos3x\in[-6;6]\Rightarrow f'(x)=6\cos 3x+7\in [1;13]\) hay \(f'(x)>0\).

Ta có \(f\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3-\displaystyle\frac{7\pi}{2}\), \(f\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=-1+\displaystyle\frac{7\pi}{2}\).

Vậy \(\min \limits_{\left[\tfrac{-\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]}y=3-\displaystyle\frac{7\pi}{2}\) tại \(x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}\), \(\max \limits_{\left[\tfrac{-\pi}{2} y;\tfrac{\pi}{2}\right]}y=-1+\displaystyle\frac{7\pi}{2}\) tại \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

}

Ta có \(y'=\cos x-\sin x; y'=0\Leftrightarrow \cos x=\sin x \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{5\pi}{4}\) (vì \(x \in[0; 2\pi]\));

\(y(0)=1; y(2 \pi)=1; y\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}; y\left(\displaystyle\frac{5 \pi}{4}\right)=-\sqrt{2}.\)

Do đó: \(\max \limits_{[0; 2\pi]} y=y\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}; \min \limits_{[0; 2\pi]} y=y\left(\displaystyle\frac{5 \pi}{4}\right)=-\sqrt{2}\).

Ta có \(f'(x)=2\cos 2x-2>0\), \(\forall x\in \left(\displaystyle\frac{\pi}{2};\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right)\).

Suy ra \(\max\limits_{\left[\displaystyle\frac{\pi}{2};\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right]} f(x)=-\pi\), \(\min\limits_{\left[\displaystyle\frac{\pi}{2};\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right]} f(x)=-3\pi\).

Xét hàm số \(f(x)=\cos2x+2x+1\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{-\pi}{2};\pi\right]\) .

Đạo hàm \(f'(x)=-2\sin2x+2\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow -2\sin2x+2=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\).

Vì \(x\in \left[-\displaystyle\frac{\pi}{2};\pi\right] \Rightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}\).

Các giá trị \(f(-\displaystyle\frac{\pi}{2})=-\pi\), \(f\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{\pi}{2}+1\), \(f(1)=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(f(2)=2\).

So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{\left[-\tfrac{\pi}{2};\pi\right]}f(x)=2\pi+2\), \(\min\limits_{\left[-\tfrac{\pi}{2};\pi\right]}f(x)=-\pi\).

Hàm số xác định trên đoạn \([0; \pi]\).

Ta có \(y'=1-2\cos2x\).

Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow\cos2x=\displaystyle\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{6}+k\pi\).

Chọn nghiệm thuộc đoạn \([0; \pi]\): \(x=\displaystyle\frac{\pi}{6}\) và \(x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}\).

Ta có \(y(0)=0\); \(y\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{\pi}{6}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\); \(y\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\); \(y(\pi)=\pi.\)

Do đó: \(\max \limits_{[0; \pi]} y=y\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\); \(\min \limits_{[0; \pi]} y=y\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{\pi}{6}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\).

a) Trên nửa khoảng \((-1 ; 4]\) hàm số đã cho

+) không có giá trị lớn nhất;

+) giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(f(3)\).

b) Trên đoạn \([-1 ; 1]\), ta có

+) giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(f(-1)\);

+) giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(f(0)=0\).

Ở hình a, ta có \(\displaystyle\min f(x)=1\) tại \(x=5\), \(\displaystyle\max f(x)=6\) tại \(x=1\).

Ở hình b, ta có \(\displaystyle\min f(x)=1\) tại \(x=-3\) và \(x= -1\), \(\displaystyle\max f(x)=7\) tại \(x=1\).

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

a) \(\max\limits_{\left[-\sqrt{3};\sqrt{5}\right]} f(x)=f\left(\sqrt{5}\right)=2\sqrt{5}\);

b) \(\min\limits_{(-1;2)} f(x)=f(1)=-2\);

c) Tìm \(\max\limits_{\left[-\sqrt{3};1\right]} f(x)=f(-1)=2\).

Từ bảng xét dấu đạo hàm ta suy ra bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra

a) Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên \((0;+\infty)\) tại \(x=1\).

b) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên \((-1;1)\) tại \(x=0\).

a) Dựa vào đồ thị hàm số, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \((0;+\infty)\) bằng \(-2\) khi \(x=2\).

b) Từ đồ thị hàm số, suy ra hàm số đạt giá trị lớn nhất trên \((-\infty;2)\) tại \(x=0\).

c) Đặt \(t=\sin x\), \(t\in [-1;1]\).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(t)+3\) khi \(t\in [-1;1]\).

Từ đồ thị hàm số, suy ra \(\max\limits_{[-1;1]} f(t)=f(0)=2\), \(\min\limits_{[-1;1]} f(t)=f(-1)=-2\).

Suy ra \(\max g(x)=2+3=5\), \(\min g(x)=-2+3=1\).

a) Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng \(\displaystyle\frac{7}{4}\) khi \(x=\displaystyle\frac{5}{2}\).

b) Trên \((2;10)\), ta có \(\min\limits_{(2;10)} f(x)=f(\displaystyle\frac{5}{2}=\displaystyle\frac{7}{4}\).

c) Đặt \(t=x^2\ge 0\).

Phương trình \(f(t)=3\), có hai nghiệm \(t_1< -2\), \(t_2>\displaystyle\frac{5}{2}\).

Từ điều kiện \(t=x^2\ge 0\) suy ra \(t_1\) không thỏa mãn.

Phương trình đã cho tương đương \(x^2=t_2 \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{t_2}\).

Vậy phương trình đã cho có \(2\) nghiệm.

Dự vào đồ thị của hàm số \(y=f'(x)\), ta có bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên trên, ta có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[0;\displaystyle\frac{7}{2}\right]\) là \(f(3)\).

a) Dựa vào đồ thị, trên \([-2;2]\), giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(-1\) khi \(x=1\), giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(3\) khi \(x=-1\).

b) Số nghiệm của phương trình \(f(x)=m\) là số điểm chung của hai đồ thị \(y=f(x)\) và \(y=m\).

Dựa vào hình vẽ, để hai đồ thị có điểm chung trên \((-1;2)\) thì \(-1\le m < 3\).

c) Từ đồ thị, ta có \(f(x)>-1\), với mọi \(x \in (-1;1)\). Do đó để \(f(x)>a\), với mọi \(x\in (-1;1)\) thì \(a\le -1\).

d) Ta có

\(g'(x)=(6x^2+1)\cdot f'(2x^3+x-1)\) và

\(g'(x)=0\Leftrightarrow f'(2x^3+x-1)=0\Leftrightarrow \hoac{&2x^3+x-1=-1\\&2x^3+x-1=1}\Leftrightarrow\hoac{&x=0\\&x=-1\\&x=1.}\)

Ta có \(g(0)=m^2-3m-4+f(-1)=m^2-3m-1\) và \(g(1)=m^2-3m-4+f(2)=m^2-3m-1\).

Do \(\max\limits_{x\in[0;1]}g(x)=3\Leftrightarrow m^2-3m-1=3\Leftrightarrow m^2-3m-4=0\Leftrightarrow m=-1\) hoặc \(m=4\).

Do \( y=\left(f\left( 2-x \right)+m \right)^{2}\) có giá trị lớn nhất trên đoạn \([-2;4]\) bằng \(49\) nên với \(\forall x\in [-2;4]\) ta có

\(y=\left(f\left( 2-x \right)+m \right)^{2}\le 49\Leftrightarrow -7\le f\left( 2-x \right)+m\le 7\Leftrightarrow -7-m\le f\left( 2-x \right)\le 7-m.\)

Mặt khác

\(-4\le f\left( 2-x \right)\le 6,\forall x\in \left[ -2;4 \right]\),

suy ra \(\hoac{& 7-m=6 \\ & -7-m=-4}\) \(\Leftrightarrow \hoac{& m=1 \\ & m=-3.}\)

Vậy \(S=\left\{ 1;-3 \right\}\). Khi đó tổng giá trị của các phần tử của là \(-2.\)

Đặt \(MB=x\) km \((0\le x\le 10)\) \(\Rightarrow AM=10-x\) (km), \(MC=\sqrt{MB^2+CB^2}=\sqrt{x^2+16}\) (km).

Khi đó, chi phí nối điện từ \(A\) đến \(C\) là \(f(x)=30(10-x)+50\sqrt{x^2+16}\) (triệu đồng).

Ta có \(f'(x)=-30+\displaystyle\frac{50x}{\sqrt{x^2+16}}\).

\(f'(x)=0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+16}}=\displaystyle\frac{3}{5}\Leftrightarrow 25x^2=9x^2+144\Leftrightarrow x=3\) (do \(0 \le x \le 10\)).

Ta có \(f(0)=500\), \(f(3)=460\), \(f(10)=100 \sqrt{29}\) nên chi phí nhỏ nhất là \(460\) triệu đồng khi \(x=3\).

Vậy \(M\) cách \(B\) một khoảng \(3\) \(\mathrm{km}\) trên đoạn \(AB\) (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) thì tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.

}

a) Do tấm kim loại có bề rộng \(80 \mathrm{~cm}\) nên ta có: \(2x+y=80 \Leftrightarrow y=80-2x\).

Để có thể thiết kế được máng trượt thì \(y>0 \Leftrightarrow 80-2 x>0 \Leftrightarrow x<40\).

Suy ra \(0

Diện tích của mặt cắt máng trượt là: \(S=x y=x(80-2x)=-2x^2+80x\).

b) Ta có:

\begin{eqnarray*}S(x)&=&-2x^2+80x \text{ với } x\in(0; 40);\\ S'(x)&=&-4 x+80 \\ S'(x)&=&0 \Leftrightarrow-4 x+80=0 \Leftrightarrow x=20.\end{eqnarray*}

Bảng biến thiên của hàm số \(S(x)\) như sau:

Do đó, hàm số \(S(x)\) đạt cực đại tại \(x=20\) và \(S_{\text{CĐ}}=800\).

Vậy để cầu trượt đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em thì \(x=20\) (cm).

}

Thể tích của chiếc hộp là \(V=x^2\cdot h\) (cm\(^3\)).

Vì diện tích bề mặt bằng \(108\) cm\(^2\) nên ta có

\(x^2+4xh=108\Leftrightarrow h=\displaystyle\frac{108-x^2}{4x}\) (điều kiện \(0< x < \sqrt{108}\)).

Khi đó thể tích chiếc hộp là \(V=\displaystyle\frac{x\left(108-x^2\right)}{4}=-\displaystyle\frac{x^3}{4}+27x\).

Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(V=-\displaystyle\frac{x^3}{4}+27 x~(0< x < \sqrt{108})\).

Có \(V^{\prime}=-\displaystyle\frac{3}{4} x^2+27; V^{\prime}=0\Leftrightarrow-\displaystyle\frac{3}{4} x^2+27=0\Leftrightarrow x=6\) (vì \(0< x < \sqrt{108}\)).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể tích lớn nhất của chiếc hộp là \(108\) cm\(^3\) khi \(x=6\) cm và \(h=3\) cm.

}

Đặt \(AC=x\), với \(x\in[0,9]\).

Khi đó \(BC=\sqrt{BH^2+HC^2}=\sqrt{6^2+(9-x)^2}\).

Tổng chi phí công ty bỏ ra để lắp ống dẫn dẫn theo đường gấp khúc \(ACB\) là

\(c(x)=50 000x+130 000 \sqrt{6^2+(9-x)^2}=10 000(5x+13\sqrt{6^2+(9-x)^2}).\)

Do đó, chi phí công ty bỏ ra là thấp nhất khi \(f(x)=5x+13\sqrt{6^2+(9-x)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có \(f'(x)=5+\displaystyle\frac {13(x-9)}{\sqrt {36+\left(9-x \right)^2}}\).

Suy ra \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 5\sqrt {36+\left(9-x \right)^2}=13(x-9) \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{13}{2}\cdot\)

Ta có \(f(0)=13\sqrt{117}\), \(f(\frac{13}{2})=117\) và \(f(9)=123\).

Từ đó, \(f(x)\to \min\) khi \(x=\displaystyle\frac{13}{2}=6{,}5\).

Vậy với \(AC=6{,}5\) khi lắp ống dẫn theo đường gấp khúc \(ACB\) thì chi phí công ty bỏ ra là thấp nhất.

}

Gia tốc của tàu trong khoảng thời gian \(t=0\) giây đến \(t=126\) giây được xác định bởi công thức \(a(t)=v'(t)=0{,}003906t^2-0{,}18058t+23{,}61\) (ft/\(s^2\)) với \(t \in [0;126].\)

Ta có \(a'(t)=0{,}007812t-0{,}18058\).

\(a'(t)=0 \Leftrightarrow 0{,}007812t-0{,}18058 =0 \Leftrightarrow t = \displaystyle\frac{45145}{1953}\).

Ta có \(a(0)=23{,}61\), \(a \left( \displaystyle\frac{45145}{1953} \right) \approx 21{,}52\), \(a(126) \approx 62{,}87\).

Vậy gia tốc lớn nhất của tàu trong khoảng thời gian trên là \(62{,87}\) (ft/\(s^2\)) và gia tốc nhỏ nhất là \(21{,}52\) (ft/\(s^2\)).

}

Theo đề bài, ta có \(0

Gọi tên như hình vẽ với \(AH \perp BC\), suy ra \(H\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BH=\displaystyle\frac{BC}{2}=\displaystyle\frac{x}{2}\).

Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(B\), theo định lý

\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{3^2-\displaystyle\frac{x^2}{4}}=\displaystyle\frac{\sqrt{36-x^2}}{2}\).

\(V_{ABC.A'B'C'}=S_{ABC}\cdot AA'=\displaystyle\frac{1}{2}AH\cdot BC\cdot AA'=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{36-x^2}}{2}\cdot x\cdot 4=x\sqrt{36-x^2}\).

\(V'=\sqrt{36-x^2}+x\cdot\displaystyle\frac{-2x}{2\sqrt{36-x^2}}=\sqrt{36-x^2}-\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{36-x^2}}=\displaystyle\frac{36-2x^2}{\sqrt{36-x^2}}\).

\(V'=0\Leftrightarrow 36-2x^2=0\Leftrightarrow x=3\sqrt{2}\) hoặc \(x=-3\sqrt{2}\) (loại).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, khi \(x=3\sqrt{2}\) (m) thì khoảng không gian phía trong lều là lớn nhất.

}

Gọi \(x\) (m) là chiều dài của mặt hàng rào song song với bờ sông.

Chi phí làm mặt hàng rào song song với bờ sông là \(60000x\).

Chi phí làm ba mặt hàng rào song song với nhau là \(15000000-60000x\).

Chiều dài của một mặt hàng rào song song với nhau là \(\displaystyle\frac{15000000-60000x}{3\cdot 50000}=\left( \displaystyle\frac{-2x+500}{5}\right)\).

Diện tích của khu đất là \(S(x)=x\left( \displaystyle\frac{-2x+500}{5}\right)=-\displaystyle\frac{2}{5}x^2+100x\). Điều kiện \(0

Xét hàm số \(f(x)= -\displaystyle\frac{2}{5}x^2+100x\) trên khoảng \((0;250)\).

\(f' (x)=-\displaystyle\frac{4}{5}x+100\), \(f' (x)=0\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{4}{5}x+100=0\Leftrightarrow x=125\).

Bảng biến thiên hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((0;250)\)

Từ bảng biến thiên suy ra \(\max\limits_{(0;250)}f(x)=f(125)=6250\).

Vậy bác nông dân có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất \(6250 \text{ m}^2\). Với chiều dài mặt hàng rào song song với bờ sông là \(125 \text{ m}\) và chiều dài ba mặt song song là \(50 \text{ m}\).

}

Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\), \(B\) trên \(CD\).

Đặt \(x=MD\), \(\left( 0

Diện tích của mảnh vườn hình thang cân là \(S(x)=\displaystyle\frac{(AB+CD)AM}{2}=(a+x)\sqrt{a^2-x^2}\).

Xét hàm số \(f(x)= (a+x)\sqrt{a^2-x^2}\) trên khoảng \(\left(0;a\right)\).

Ta có \(f'(x)=\displaystyle\frac{-2x^2-ax+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\).

Suy ra \(f' (x)=0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{-2x^2-ax+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}=0\Leftrightarrow x=-a \notin \left(0;a\right)\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{a}{2}\in \left(0;a\right)\).

Bảng biến thiên hàm số \(f(x)\) trên khoảng \(\left(0;a\right)\).

Từ bảng biến thiên suy ra \(\max\limits_{(0;a)} f(x)=f\left(\displaystyle\frac{a}{2}\right)=\displaystyle\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}\).

Vậy bác nông dân có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất \(\displaystyle\frac{3\sqrt{3}a^2}{4} \text{ m}^2\).

}

Thể tích chiếc hộp là \(V(x)=x(30-2 x)(80-2 x)=2400 x-220 x^2+4 x^3\) với \(5 \leq x \leq 10\).

Ta có: \(V'(x)=12 x^2-440 x+2400\);

\(V'(x)=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{20}{3}\) hoặc \(x=30\) (loại vì không thuộc \([5 ; 10]\));

\(V(5)=7000 ; V\left(\displaystyle\frac{20}{3}\right)=\displaystyle\frac{200000}{27} ; V(10)=6000\).

Do đó \(\max \limits_{[5 ; 10]} V(x)=\displaystyle\frac{200000}{27}\) khi \(x=\displaystyle\frac{20}{3}\).

Vậy để thể tích chiếc hộp là lớn nhất thì \(x=\displaystyle\frac{20}{3} \mathrm{~cm}\).

}

Ta có thể tích của thùng chứa nhiên liệu là \(V=\pi \cdot r^2 \cdot h + \displaystyle\frac{4}{3} \pi \cdot r^3 = 144\, 000 \pi\).

Suy ra \(h=\displaystyle\frac{(144\,000-\displaystyle\frac{4}{3} \cdot r^3)}{r^2}\).

Khi đó chi phí sơn diện tích mặt ngoài thùng chứa là

\(2 \pi \cdot r \cdot \displaystyle\frac{(144\,000-\displaystyle\frac{4}{3} \cdot r^3)}{r^2} \cdot 10^4 + 4 \pi \cdot r^2 \cdot 2 \cdot 10^4 =2 \pi \cdot 10^4 \left( \displaystyle\frac{144\,000}{r} + \displaystyle\frac{8}{3} r^2 \right).\)

Xét hàm số \(f(r)=\displaystyle\frac{144\,000}{r} + \displaystyle\frac{8}{3} r^2\) với \(r \in (0;50]\)

Ta có \(f^{\prime}(r)=-\displaystyle\frac{144\,000}{r^2} + \displaystyle\frac{16}{3} r=\displaystyle\frac{16r^3-432\,000}{3r^2}\) và \(f^{\prime}(r)=0 \Leftrightarrow r=30\) m.

Bảng biến thiên

Vậy với \(r=30\) m thì chi phí cho việc sơn diện tích mặt ngoài của thùng chứa là nhỏ nhất.

}

a) Trong trên, đồ thị hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{1}{10} \left(-x^3+9x^2-15x +56\right)\) cắt tia \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x=8\). Vậy đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục \(Ox\) dài \(800\) m.

b) Ta khảo sát hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{1}{10} \left(-x^3+9x^2-15x +56\right)\) với \(0\leq x\leq 8\).

\[f'(x)=\displaystyle\frac{1}{10}\left(-3x^2+18x-15\right);\]

\[f'(x)=0 \Leftrightarrow\displaystyle\frac{1}{10}\left(-3x^2+18x-15\right)=0 \Leftrightarrow x=1 \ \text{hoặc}\ x=5.\]

Bảng biến thiên

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\max\limits_{[0;8]} f(x)=f(5)=8{,}1\) tại \(x=5\).

Vậy khoảng cách lớn nhất theo phương thẳng đứng từ một điểm trên đường đi dạo ven hồ (chạy dọc theo trục \(Ox\)) đến bờ hồ đối diện là

\[100 \cdot \left(\max\limits_{[0;8]} f(x)\right)=100 \cdot f(5)=100\cdot 8{,}1=810\ \text{(m)}\]

và đạt được tại điểm trên đường đi dạo ven hồ cách gốc \(O\) một khoảng cách là \(500\) m.

c) Xét điểm \(M\left(x{;}f(x)\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{1}{10} \left(-x^3+9x^2-15x +56\right)\) với \(0\leq x\leq 8\).

Khoảng cách từ điểm \(M\left(x{;}f(x)\right)\) đến đường thẳng \(y=-1{,}5x+18\Leftrightarrow -1{,}5x-y+18=0\) là

\[MH=\displaystyle\frac{\left|-1{,}5x-\displaystyle\frac{1}{10} \left(-x^3+9x^2-15x +56\right)+18\right|}{\sqrt{(-1{,}5)^2+1}}=\displaystyle\frac{\left|x^3-9x^2+124\right|}{10\sqrt{3{,}25}}.\]

Ta khảo sát hàm số \(h(x)=x^3-9x^2+124\) với \(0\leq x\leq 8\).

\[h'(x)=3x^2-18x;\]

\[h'(x)=0\Leftrightarrow 3x^2-18x=0 \Leftrightarrow x=0 \ \text{hoặc} \ x= 6.\]

Bảng biến thiên

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(h(x)>0\) với \(0\leq x\leq 8\);

\[\min\limits_{[0;8]} h(x)=h(6)=16 \ \text{tại}\ x=6.\]

Do đó, \(\min MH=\min\limits_{[0;8]} \displaystyle\frac{\left|x^3-9x^2+124\right|}{10\sqrt{3{,}25}}=\displaystyle\frac{1}{10\sqrt{3{,}25}}\cdot \min\limits_{[0;8]} h(x)=\displaystyle\frac{1}{10\sqrt{3{,}25}}\cdot 16\approx0{,}8875\) và đạt được tại \(x=6\). Khi đó, \(f(6)=7{,}4\).

Vậy trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) ở hình trên, điểm để xây bến thuyền có tọa độ là \(M(6; 7{,}4)\).

}

Gọi \(x\) (cm) là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn góc của tấm bìa. Điều kiện \(0

Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ có cạnh \(x\) cm ở bốn góc và gập lên thì ta được một chiếc hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông với độ dài cạnh bằng \((60-2 x)\) (cm) và chiều cao bằng \(x\) cm. Thể tích của chiếc hộp này là

\[V(x)=(60-2 x)^2 \cdot x=4 x^3-240 x^2+3600 x\left(\text{cm}^3\right).\]

Ta có \(V'(x)=12 x^2-480 x+3600\); \(V'(x)=0 \Leftrightarrow x^2-40 x+300=0 \Leftrightarrow x=10\) (thoả mãn điều kiện) hoặc \(x=30\) (loại).

Lập bảng biến thiên:

Vậy để thể tích của chiếc hộp là lớn nhất thì độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ phải cắt là \(10\) cm.

}

Gọi \(x\) là chiều dài hình chữ nhật. Ta có \(x\in \left[10\sqrt{6}; 60\right]\).

Chiều rộng hình chữ nhật bằng \(\displaystyle\frac{\text{diện tích}}{\text{chiều dài}}=\displaystyle\frac{600}{x}\cdot\)

Chi phí cần để xây dựng hàng rào là \(60 000\cdot\left(2x+\displaystyle\frac{3\cdot600}{x}\right)=120 000\cdot\left(x+\displaystyle\frac{\cdot900}{x}\right)\).

Suy ra, chi phí hàng rào là thấp nhất khi hàm \(f(x)=x+\displaystyle\frac{\cdot900}{x}\), với \(x\in \left[10\sqrt{6}; 60\right]\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Do \(f'(x)=1-\displaystyle\frac{900}{x^2}\) nên \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=30\).

Mặt khác, \(f(10\sqrt{6})=25\sqrt{6}\approx61{,}23\), \(f(30)=60\) và \(f(60)=75\).

Suy ra \(f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x=30\).

Vậy hình chữ nhật \(ABCD\) có chiều dài bằng \(30\mathrm{~m}\) và chiều rộng bằng \(20\mathrm{~m}\) thì chi phí xây dựng hàng rào là thấp nhất.

}

a) Ta có \(AB\cdot BC=1{,}2 \Leftrightarrow AB=\displaystyle\frac{1{,}2}{BC}\Leftrightarrow AB=\displaystyle\frac{1{,}2}{x}\).

Khi đó \(y=AB+BC+CD=\displaystyle\frac{1{,}2}{x}+x+\displaystyle\frac{1{,}2}{x}=\displaystyle\frac{x^2+2{,}4}{x}\).

b) Xét hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{x^2+2{,}4}{x}\) (\(0

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{x^2-2{,}4}{x^2}\); \(y'=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{2\sqrt{15}}{5}\) hoặc \(x=-\displaystyle\frac{2\sqrt{15}}{5}\) (loại).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, \(x=\displaystyle\frac{2\sqrt{15}}{5}\) thì \(y\) nhỏ nhất.

}

Gọi \(x\) (m) là chiều rộng của khu đất hình chữ nhật cần rào.

Theo đề bài, ta có \(0

Diện tích khu đất này là \(200\) (m\(^2\)) nên chiều dài của khu đất là \(\displaystyle\frac{200}{x}\) (m).

Tổng chiều dài lưới thép rào quanh khu đất là \(L(x)=2x+\displaystyle\frac{200}{x}\) (m).

Xét hàm số: \(L(x)=2x+\displaystyle\frac{200}{x}\), với \(x\in(0;15]\).

Ta có: \(L^{\prime}(x)=2-\displaystyle\frac{200}{x^2}=\displaystyle\frac{2x^2-200}{x^2}\); \(L^{\prime}=0\Leftrightarrow x=10\) (do \(x>0\)).

Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \to 0^+} L(x)=\displaystyle\lim _{x \to 0^+} \left(2x+\displaystyle\frac{200}{x}\right) =+\infty\); \(L(10)=40\); \(L(15)=\displaystyle\frac{130}{3}\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, chiều dài lưới thép ngắn nhất là \(40\) m khi chiều rộng khu đất này là \(x=10\) (m) (và chiều dài là \(\displaystyle\frac{200}{10}=20\) (m)).

}

Thể tích hộp sữa là \(1\ \mathrm{l}=1\ \mathrm{dm}^3=1000\ \mathrm{cm}^3\) khi đó chiều cao của hộp sữa là \(\displaystyle\frac{1000}{x^2}\) (cm).

Đặt diện tích toàn phần của hộp sữa là \(y=2x^2+4x\cdot \displaystyle\frac{1000}{x^2}=\displaystyle\frac{2x^3+4000}{x}\) (cm)\(^2\).

Xét \(y'=\displaystyle\frac{4x^3-4000}{x^2}=0\Leftrightarrow x=10\) (cm).

Ta có bảng biến thiên như sau

Vậy theo bảng biến thiên ta thấy \(x=10\) (cm) thì diện tích toàn phần của hộp sữa sẽ nhỏ nhất là \(600\ {\rm cm^2}\).

}

a) Với \(0\leq t \leq 12\) ta có

\(N^{\prime}(t)=-3t^2+24t, N^{\prime}(t)=0\Leftrightarrow-3t^2+24t=0\Leftrightarrow t=0\) hoặc \(t=8.\)

Ta có \(N(0)=0\), \(N(8)=256\), \(N(12)=0\).

Do đó, số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương là \(256\) người trong \(12\) tuần đầu.

\item Hàm số biểu thị tốc độ độ lây lan của virus là \(N^{\prime}(t)=-3t^2+24t\).

Đặt \(f(t)=-3t^2+24t\), với \(0\leq t \leq 12\).

Ta có \(f'(t)=-6t+24, f'(t)=0\Leftrightarrow t=4\).

\[f(0)=0, f(4)=48, f(12)=-144.\]

Do đó, virus sẽ lây lan nhanh nhất khi \(t=4\) (tuần thứ \(4\)).

}

Xét hàm số \(h(t)=2+24{,}5 t-4{,}9t^{2}\) với \(t>0\).

Ta có \(h'(t)=24{,}5-9{,}8t\).

\(h'(t)=0\Leftrightarrow t=2{,}5\).

Lập bảng biến thiên của \(h(t)\):

Từ bảng biến thiên ta suy ra vật đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm \(t=2{,}5\) giây (Khi đó độ cao lớn nhất mà vật đạt được là \(32{,}625\) mét).

}

a) Ta có \(p=15-\displaystyle\frac{1}{2} q\) \(\Rightarrow q=30-2p\).

Lại có \(R=pq=p\left(30-2p\right)\Rightarrow R=-2p^2+30p\) với \(0

b) Xét \(R'=-4p+30=0\Leftrightarrow p=7{,}5\).

Ta có bảng biến thiên như sau

Từ bảng biến thiên thấy để đạt được doanh thu cao nhất thì giá bán mỗi kilôgam sản phẩm \(p=7{,}5\) (nghìn đồng/kg) khi đó doanh thu cao nhất sẽ là \(R(7{,}5)=112{,}5\) (nghìn đồng).

}

Cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm \(200\) nghìn đồng/\(1\) tháng thì có thêm một căn hộ bỏ trống.

Gọi số lần tăng \(200\) nghìn đồng/\(1\) tháng mỗi căn hộ là \(x\) \((x\in\mathbb{N})\).

Số căn hộ có người thuê là \(20-x\) \((0\le x \le 20)\).

Tổng số tiền thu được là \((2000+200x)(20-x)\).

Xét hàm số \(f(x)=(2000+200x)(20-x)=-200x^2+2000x+40000\) trên khoảng \((0;20)\).

\(f^\prime (x)=-400x+2000\), \(f^\prime (x)=0\Leftrightarrow -400x+2000=0\Leftrightarrow x=5 \).

Bảng biến thiên hàm số \(f(x)\) trên khoảng \(\left( 0;20\right)\).

Từ bảng biến thiên suy ra \(\max\limits_{(0;20)} f(x)=f\left(5\right)=45000\) tại \(x=5\).

Vậy công ty nên cho thuê mỗi căn hộ giá \(2000+200\cdot5=30000\) nghìn đồng (ba triệu đồng) thì tổng số tiền thu được là lớn nhất.

}

Gọi \(x \text{ (cm)}\) là chiều dài lề trên và lề dưới.

Chiều dài lề trái và lề phải là \(\displaystyle\frac{384}{x} \text{ (cm)}\). Điều kiện: \(4

Diện tích phần in chữ trên trang sách là \(S(x)=(x-4)\left(\displaystyle\frac{384}{x}-6 \right)\).

Xét hàm số \(f(x)= (x-4)\left(\displaystyle\frac{384}{x}-6 \right) =\displaystyle\frac{-6x^2-408x-1536}{x}\) trên khoảng \((4;64)\).

\(f^\prime (x)=\displaystyle\frac{-6x^2+1536}{x^2}\).

\(f^\prime (x)=0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{-6x^2+1536}{x^2}=0\Leftrightarrow x=-16 \notin (4;64)\) hoặc \(x=16\in (4;64)\).

Bảng biến thiên hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((6;96)\)

Từ bảng biến thiên suy ra \(\max\limits_{(4;64)} f(x)=f(16)=216\).

Do đó chiều dài lề trên và lề dưới của trang sách là \(16 \text{ (cm)}\), dài lề trái và lề phải của trang sách là \(\displaystyle\frac{384}{16}=24 \text{ (cm)}\) thì phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất bằng \(216 \text{ cm}^2\).

}

Xét hàm số \(s(t)=-t^3+6t^2+t+5\), trên đoạn \(\left[0;5\right]\).

Vận tốc tức thời \(v(t)=s'(t)=-3t^2+12t+1\).

Đạo hàm

\(v'(t)=-6t+12\). Cho \(v'(t)=0 \Leftrightarrow -6t+12=0 \Leftrightarrow t=2\in[0;5]\).

Các giá trị \(v(0)=1\), \(v(2)=9\), \(v(5)=-24\).

So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{[0;5]}v(t)=9\), \(\min\limits_{[0;5]}v(t)=-24\).

Ta có \(f'(t)=90t-3t^2\). Cần tính giá trị lớn nhất của hàm số \(g(t)=f'(t)\).

Khi đó: \(g'(t)=f''(t)=90-6t\); \(g'(t)=0\Leftrightarrow t=15\).

Bảng biến thiên.

Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ \(15\).

Thể tích của bồn nước là \(\displaystyle\frac{4}{3}\) m\(^3\) nên \(2x^2 h=\displaystyle\frac{4}{3} \Leftrightarrow h=\displaystyle\frac{2}{3x^2}\).

Diện tích xung quanh của bồn nước (không nắp) là \(S=2(xh+2xh)+2x^2=6xh+2x^2=\displaystyle\frac{4}{x}+2x^2.\)

Ta có \(S'(x)=-\displaystyle\frac{4}{x^2}+4x\); \(S'(x)=0\Leftrightarrow x=1\).

Bảng biến thiên

Vậy với chiều rộng là \(1\) (m) thì chi phí xây dựng là thấp nhất.

Gọi \(n\) là số lần tăng giá (\(n\) là số tự nhiên).

Khi đó số căn hộ bị bỏ trống cũng là \(n\).

Do đó số tiền thu được khi cho thuê \(50-n\) căn hộ là

\(A=\left({2\cdot 10}^6+{5\cdot 10}^4 n\right)(50-n)=-5\cdot 10^4n^2+5\cdot 10^5n+10^8\), với \(n< 50\).

Xét hàm số \(f(x)=-5\cdot 10^4x^2+5\cdot 10^5x+10^8\), với \(0\leq x< 50\).

Ta có \(f'(x)=-10^5x+5\cdot 10^5\); \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=5\).

Bảng biến thiên

Vậy \(\max\limits_{[0;50]} f(x)=f(5)=101250000\).

Vậy thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong một tháng là \(101250000\) đồng.

Vận tốc tại thời điểm \(t\) là \(v(t)=s'(t)=-\displaystyle\frac{3}{2}t^2+18t\) với \(t\in [0;10]\).

Ta có \(v(t)=-\displaystyle\frac{3}{2}(t-6)^2+54\le 54\).

Vậy \(\max\limits_{[0;10]} v(t)=v(6)=54\) m/s.

Gọi \(x\) (cm) chiều dài cạnh hình vuông bị cắt.

Khi đó, hình hộp được tao thành có các kích thước \(x\times (30-2x)\times (30-2x)\), với \(0< x< 15\).

Thể tích của khối hộp là \(V(x)=x(30-2x)^2=4x^3-120x^2+900x\).

Xét hàm số \(V=4x^3-120x^2+900x\) trên khoảng \((0;\,15)\) ta có

+) \(V'=12x^2-240x+900\).

+) \(V'=0\Leftrightarrow 12x^2-240x+900=0\Leftrightarrow x=5\) (do \(x\in (0;\,15)\) ).

Bảng biến thiên

Trên khoảng \((0;15)\), hàm số \(V(x)\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(2\,000\) tại \(x=5\).

Vậy ta phải cắt các hình vuông có cạnh bằng \(x=5\) (cm) thì thu được khối hộp có thể tích lớn nhất.