\(\S2.\) GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

1. Định nghĩa

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập hợp \(\mathscr D\).

+) Số \(M\) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên \(\mathscr D\) nếu \(f(x) \leq M\) với mọi \(x\) thuộc \(\mathscr D\) và tồn tại \(x_0\) thuộc \(\mathscr D\) sao cho \(f\left(x_0\right)=M\). Kí hiệu \(M=\max\limits_{\mathscr D} f(x)\).

+) Số \(m\) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên \(\mathscr D\) nếu \(f(x) \geq m\) với mọi \(x\) thuộc \(\mathscr D\) và tồn tại \(x_0\) thuộc \(\mathscr D\) sao cho \(f\left(x_0\right)=m\). Kí hiệu \(m=\min\limits _{\mathscr D} f(x)\).

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

+) Tìm các điểm \(x_1 ; x_2 ; \ldots ; x_n\) thuộc khoảng \((a ; b)\) mà tại đó \(f'(x)\) bằng 0 hoặc không tồn tại.

+) Tính \(f(a) ; f\left(x_1\right) ; f\left(x_2\right) ; \ldots ; f\left(x_n\right) ; f(b)\).

+) Gọi \(M\) là số lớn nhất và \(m\) là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2.

Khi đó:

\[M=\max _{[a ; b]} f(x),\quad m=\min _{[a ; b]} f(x).\]

Image

\[\max _{[a ; b]} f(x)=f(x_1),\quad \min _{[a ; b]} f(x)=f(b).\]

Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn

Dạng 1. Xác định giá trị nhỏ nhất, lớn nhất dựa vào bảng biến thiên, đồ thị

Dạng 2. Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm đa thức, phân thức 1/1

Dạng 3. Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm phân thức 2/1

Dạng 4. Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số chứa căn

Dạng 5. Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số chứa hàm lượng giác

Dạng 6. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số \(f(x)\) khi biết \(f'(x)\)

Dạng 7. Ứng dụng thực tế

Dạng 1. Xác định giá trị nhỏ nhất, lớn nhất dựa vào bảng biến thiên, đồ thị

Câu 1:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau

Image

Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất của hàm số \(y=-f(x)\) trên đoạn \([-1;4]\). Khẳng định nào dưới đây đúng?

Đáp án: \(M>6\)

Lời giải:

Câu 2:

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên đoạn \([-2;4]\) và có bảng biến thiên như hình.

Image

Mệnh đề nào dưới đây sai?

Đáp án: \(\displaystyle\min_{[-2;1)}y=1\)

Lời giải:

Dạng 2. Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm đa thức, phân thức 1/1

Câu 1:

Tìm giá trị lớn nhất \(M\) của hàm \(y=x^4-2x^2+1\) trên đoạn \(\left[0;2\right]\)

Đáp án: \(M=9\)

Lời giải:

\(y'=4x^3-4x \Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0 \notin (0;2)\\&x=1\\&x=-1 \notin (0;2)\end{aligned}\right..\)

Ta có \(y(0)=1; \; y(1)=0; \; y(2) = 9\). Suy ra \(M=9\).

Câu 2:

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-1}{x+3}\) trên đoạn \([0;2]\) bằng

Đáp án: \(\displaystyle\frac{3}{5}\)

Lời giải:

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{7}{(x+3)^2}>0, \forall x\in [0;2]\), có \(y(0)=-\displaystyle\frac{1}{3}, y(2)=\displaystyle\frac{3}{5}\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-1}{x+3}\) trên đoạn \([0;2]\) bằng \(\displaystyle\frac{3}{5}\).

Dạng 3. Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm phân thức 2/1

Câu 1:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2+x+4}{x+1}\) trên đoạn \([0;2]\) bằng

Đáp án: \(3\)

Lời giải:

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\).

\(f'(x)=\displaystyle\frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}\); \(f'(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=1\in [0;2]\\&x=3\notin [0;2].\end{aligned}\right.\)

\(f(0)=4\), \(f(1)=3\), \(f(2)=\displaystyle\frac{10}{3}\).

Suy ra \(\min\limits_{[0;2]} f(x)=f(1)=3\).

Câu 2:

Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{-x^2-4}{x}\) trên đoạn \(\left [ \displaystyle\frac{3}{2};4\right ]\) là

Đáp án: \(-4\)

Lời giải:

\(y'=\displaystyle\frac{4}{x^2}-1=0 \Leftrightarrow x=\pm 2.\)

Ta có \(f\left (\displaystyle\frac{3}{2}\right )\simeq -4,17\); \(f(2)=-4\); \(f(4)=-5\).

Vậy \(f(x)\) đạt giá trị lớn nhất là \(-4\) tại \(x=2\).

Dạng 4. Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số chứa căn

Câu 1:

Tổng giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y=\sqrt{2-x^2}-x\) bằng bao nhiêu?

Đáp án: \(2-\sqrt{2}\)

Lời giải:

Tập xác định \(\mathscr{D}=[-\sqrt{2};\sqrt{2}]\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-x}{\sqrt{2-x^2}}-1=\displaystyle\frac{-x-\sqrt{2-x^2}}{\sqrt{2-x^2}}\).

Mặt khác,

\begin{eqnarray*}& & y'=0\\& \Leftrightarrow & -x-\sqrt{2-x^2}=0\\& \Leftrightarrow & \sqrt{2-x^2}=-x\\& \Leftrightarrow & \begin{cases}x\leq 0\\2-x^2=x^2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x\leq 0\\x^2=1\end{cases}\\& \Leftrightarrow & x=-1.\end{eqnarray*}

Ta có \(y\left(-\sqrt{2}\right)=-\sqrt{2};~y(-1)=2;~y\left(\sqrt{2}\right)=-\sqrt{2}\).

Vậy \(\max\limits_{x\in\mathscr D} f(x)=2,\min\limits_{x\in\mathscr D} f(x)=-\sqrt{2}\) hay \(\max\limits_{x\in\mathscr D} f(x)+\min\limits_{x\in\mathscr D} f(x)=2-\sqrt{2}\).

Câu 2:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x+\sqrt{18-x^2}\).

Đáp án: \(\max y=6,\: \min y=-3\sqrt{2}\)

Lời giải:

Tập xác định \(\mathscr{D}=\left[-3\sqrt{2};3\sqrt{2}\right]\).

\(y'=1-\displaystyle\frac{x}{\sqrt{18-x^2}}\). Cho \(y'=0 \Leftrightarrow \sqrt{18-x^2}=x\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x\ge 0\\ x^2=9\end{cases}\Rightarrow x=3\).

Ta có \(y(3)=6\), \(y(-3\sqrt{2})=-3\sqrt{2}\), \(y(3\sqrt{2})=3\sqrt{2}\).

Vậy \(\max y=6\), \(\min y=-3\sqrt{2}\).

Dạng 5. Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số chứa hàm lượng giác

Câu 1:

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\cos^3x+9\cos x+6\sin^2x-1\) là

Đáp án: \(-2\)

Lời giải:

Ta có \(y=\cos^3x+9\cos x+6\left(1-\cos^2x\right)-1=\cos^3x-6\cos^2x+9\cos x+5\).

Đặt \(t=\cos x\), ta xét hàm số \(f(t)=t^3-6t^2+9t+5\), với \(t\in [-1;1]\).

Ta có \(f'(t)=3t^2-12t+9\), \(f'(t)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& t=1\notin (-1;1)\\& t=3\notin (-1;1).\end{aligned}\right.\)

\(f(-1)=-11\), \(f(1)=9\).

Suy ra \(\max\limits_{[-1;1]}f(t)=9\), \(\min\limits_{[-1;1]}f(t)=-11\).

Do đó \(\max\limits_{\mathbb{R}}y=9\), \(\min\limits_{\mathbb{R}}y=-11\).

Từ đó \(\min\limits_{\mathbb{R}}y+\max\limits_{\mathbb{R}}y=-11+9=-2\).

Câu 2:

Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{\cos x}{x}\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{\pi}{6};\displaystyle\frac{\pi}{3}\right]\) là một số có dạng \(\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{\pi}\) với \(a,b\in\mathbb{N^*}\). Tính \(a-b\).

Đáp án: \(0\)

Lời giải:

\(f(x)=\displaystyle\frac{\cos x}{x}\Rightarrow f'(x)=\displaystyle\frac{-x\sin x-\cos x}{x^2}< 0,\forall x\in \left[\displaystyle\frac{\pi}{6};\displaystyle\frac{\pi}{3}\right]\).

\(f\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{\pi}\), \(f\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\displaystyle\frac{3}{\pi}\).

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{\cos x}{x}\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{\pi}{6};\displaystyle\frac{\pi}{3}\right]\) bằng \(\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{\pi}\). Suy ra \(a=3,b=3\). Vậy \(a-b=0\).

Dạng 6. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số \(f(x)\) khi biết \(f'(x)\)

Câu 1:

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb R\) và có đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) như hình vẽ. Biết rằng \(f(-1)+f(2)=f(1)+f(4)\), các điểm \(A(1;0)\), \(B(-1;0)\) thuộc đồ thị.

Image

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(f(x)\) trên đoạn \([-1;4]\) lần lượt là

Đáp án: \(f(1),f(4)\)

Lời giải:

Dựa vào đồ thị hàm số \(f'(x)\) ta có bảng biến thiên sau

Image

Suy ra \(\min\limits_{[-1;4]}f(x)=f(1)\).

Trên đoạn \([1;4]\) hàm số đồng biến nên \(f(1)< f(2)\).

Theo giả thiết ta có \(f(4)=f(2)-f(1)+f(-1)>f(-1).\)

Vậy \(\max\limits_{[-1;4]}f(x)=f(4)\).

Câu 2:

Cho hàm số \( y=f(x) \) xác định và liên tục trên \( [a;c] \) và có đồ thị hàm số \( y=f'(x) \) như hình bên. Biết rằng \( f(a)+f(b)=2f(c) \).

Image

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \( y=f(x) \) trên đoạn \( [a;c] \)

Đáp án: \( f(a),f(b) \)

Lời giải:

Dựa vào đồ thị \( f'(x) \) trên khoảng \( [a,c],\) ta thấy

+) \( a\le x\le b \colon f'(x)\le 0\Rightarrow f(x)\) giảm.

+) \( x\ge b \) và \( x\le a\colon f'(x)\ge 0\Rightarrow f(x)\) tăng.

Image

+) Dựa vào bảng biến thiên suy ra \( \min \limits_{[a,c]}f(x)=f(b) .\)

+) Vì \( f(a)+f(b)=2f(c) \) suy ra \( f(a)\ge f(c). \)

+) Vậy \( \max \limits_{[a,c]}f(x)=f(a) \) và \( \min \limits_{[a,c]}f(x)=f(b) . \)

Dạng 7. Ứng dụng thực tế

Câu 1:

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức \(f(x)=0{,}025x^2(30-x)\), trong đó \(x\) (miligam) là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân. Khi đó liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là

Đáp án: \(20\) miligam

Lời giải:

Điều kiện: \(0\le x\le 30\).

Ta có \(f(x)=\displaystyle\frac{3}{4}x^2-\displaystyle\frac{1}{40}x^3\Rightarrow f'(x)=\displaystyle\frac{3}{2}x-\displaystyle\frac{3}{40}x^2\).

Do đó, \(f'(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\& x=20.\end{aligned}\right.\)

Mà \(f(0)=0; f(20)=100; f(30)=0\).

Vậy huyết áp giảm nhiều nhất khi bệnh nhân được tiêm \(20\) miligam thuốc.

Câu 2:

Một xưởng in có \(8\) máy in, mỗi máy in được \(4000\) bản in khổ giấy \(A4\) trong một giờ. Chi phí để bảo trì, vận hành một máy in trong mỗi lần in là \(50\) nghìn đồng. Chi phí in ấn của \(n\) máy chạy trong một giờ là \(20(3n+5)\) nghìn đồng. Hỏi nếu in \(50000\) bản in khổ \(A4\) thì phải sử dụng bao nhiêu máy để thu được lãi nhiều nhất?

Đáp án: \(5\) máy

Lời giải:

Gọi \(n\) là số máy mà xưởng sử dụng với \(1\leq n\leq 8.\)

Chi phí bảo trì, vận hành \(n\) máy là \(50n\) (nghìn đồng).

Số giờ mà \(n\) máy phải chạy để in được \(50000\) bản là \(\displaystyle\frac{50000}{4000n}\).

Chi phí in ấn của \(n\) máy để in hết \(50000\) bản là \(20\cdot(3n+5)\cdot \displaystyle\frac{50000}{4000n}\) (nghìn đồng).

Tổng chi phí mà xưởng sử dụng để in hết \(50000\) bản là \(f(n)=50n+20\cdot (3n+5) \cdot \displaystyle\frac{50000}{4000n}=50n+750+\displaystyle\frac{1250}{n}.\)

Ta có

\(f'(n)=50-\displaystyle\frac{1250}{n^2}\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow n=\pm 5\).

Ta có \(f(1)=2050; f(5)=1250; f(8)=1306,25\).

Vậy chi phí nhỏ nhất để in \(50000\) khổ \(A4\) là khi xưởng sử dụng \(5\) máy.

Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai

Dạng 1. Xác định giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của \(f(x)\) dựa vào đồ thị của \(f(x)\)

Dạng 2.

Dạng 3. Xác định giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của \(f(x)\) dựa vào biểu thức của \(f'(x)\)

Dạng 4. Xác định giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của \(f(x)\) dựa vào đồ thị của \(f'(x)\)

Dạng 1. Xác định giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của \(f(x)\) dựa vào đồ thị của \(f(x)\)

Câu 1:

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình bên dưới.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(\displaystyle\max\limits_{[-7;6]}f(x)=6\)
  • \(\displaystyle\min\limits_{[-7;6]}f(x)=-1\)

Lời giải:

Câu 2:

Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị như sau:

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(\displaystyle\max\limits_{[-3;4]}f(x)=3\)
  • \(\displaystyle\max\limits_{(-3;4)}f(x)=3\)

Lời giải:

Dạng 2.

Dạng 3. Xác định giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của \(f(x)\) dựa vào biểu thức của \(f'(x)\)

Câu 1:

Cho hàm số \(f(x)\) có \(f'(x)=(x-1)(x-3)(x-6)\), \(\forall x\in\mathbb{R}\) và \(f(1)=f(6)\). Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

Đáp án:

  • \(\displaystyle\max\limits_{[1;6]}f(x)=f(3)\)
  • \(\displaystyle\min\limits_{[1;6]}f(x)=f(1)\)

Lời giải:

Câu 2:

Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f(-1)>f(7)\), có \(f'(x)=x^2-4x-5\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\). Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(\displaystyle\min\limits_{(-1;6)}f(x)=f(5)\)

Lời giải:

Dạng 4. Xác định giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của \(f(x)\) dựa vào đồ thị của \(f'(x)\)

Câu 1:

Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f(0)>f(3)>f(6)\) và \(f(1)

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(\displaystyle\min\limits_{[0;6]}f(x)=f(6)\)
  • \(\displaystyle\max\limits_{[1;5]}f(x)=f(5)\)

Lời giải:

Câu 2:

Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f(-1)=f(5)\), có đồ thị của hàm số \(f'(x)\) như sau:

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(\displaystyle\min\limits_{[-1;5]}f(x)=f(-1)\)
  • \(\displaystyle\max\limits_{(-1;5)}f(x)=f(3)\)

Lời giải:

Phần 3. Tự luận

Cơ bản

Nâng cao

Ứng dụng thực tế

Cơ bản

Câu 1:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^3-6 x^2+9 x-1\) trên nửa khoảng \([-1 ;+\infty)\).

Ta có \(f^{\prime}(x)=3 x^2-12 x+9\). Khi đó

\(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=3.\)

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng \([-1 ;+\infty)\)

Image

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\min\limits _{[-1 ;+\infty)} f(x)=f(-1)=-17\) và hàm số không có giá trị lớn nhất trên \([-1 ;+\infty)\).

}

Câu 2:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số \(y=x^3-2 x^2+1\) trên \([0;+\infty)\).

Ta có \(y'=3x^2-4x\).

Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{4}{3}.\)

Bảng biến thiên

Image

Từ bảng biến thiên, ta được \(\min\limits_{[0;+\infty)} y=y\left(\displaystyle\frac{4}{3}\right)=-\displaystyle\frac{5}{27}\), \(\max\limits_{[0;+\infty)} y\) không tồn tại.

}

Câu 3:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số \(y=x^4-2 x^2+3\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=4x^3-4x\).

Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=1\) hoặc \(x=-1.\)

Bảng biến thiên của hàm số

Image

Từ bảng biến thiên, ta được \(\min\limits_{\mathbb{R}}y=y(-1)=y(1)=2\), \(\max\limits_{\mathbb{R}}y\) không tồn tại.

}

Câu 4:

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất (nếu có) của hàm số \(f(x)=x^3-12x+1\) trên khoảng \((1;3]\).

Xét hàm số \(f(x)=x^3-12x+1\) xác định trên khoảng \((1;3]\).

Đạo hàm \(f'(x)=3x^2-12\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 3x^2-12=0 \Leftrightarrow x=2\in(1;3]\) hoặc \(x=-2\notin(1;3].\)

Bảng biến thiên trên nửa khoảng \((1;3]\):

Image

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có \(\min\limits_{(1;3]}f(x)=-15\), \(\max\limits_{(1;3]}f(x)\) không tồn tại.

}

Câu 5:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x^3-3x-4\) trên nửa khoảng \([-3; 2)\).

Ta có \(y'=3x^2-3\).

Do đó \(y'=0\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=1.\)

Bảng biến thiên

Image

Vậy \(\min\limits_{[-3;2)}y=-22\) đạt tại \(x=-3\); \(\max\limits_{[-3;2)}y=-2\) đạt tại \(x=-1\).

}

Câu 6:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x^4-4x^2+3\) trên đoạn \([0; 4]\).

Ta có \(y'=4x^3-8x=4x\left(x^2-2\right); y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\sqrt{2}\) (vì \(x \in[0; 4]\));

\(y(0)=3;~y(4)=195;~y\left(\sqrt{2}\right)=-1.\)

Do đó: \(\max \limits_{[0; 4]} y=y(4)=195; \min \limits_{[0; 4]} y=y\left(\sqrt{2}\right)=-1\).

Câu 7:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f(x)=x^3-3x^2-9x+5\) trên đoạn \([0;5]\).

Ta có \(f'(x)=3x^2-6x-9\); \(f'(x)=0\Leftrightarrow \hoac{&x=-1\notin (0;5)\\&x=3\in (0;5).}\)

Mà \(f(0)=5\); \(f(5)=10\); \(f(3)=-22\).

Vậy \(\max\limits_{[0;5]}f(x)=10\), \(\min\limits_{[0;5]}f(x)=-22\).

Câu 8:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^4-8 x^2+9\) trên đoạn \([-1 ; 3]\).

Ta có \(f'(x)=4 x^3-16 x\);

\(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2\) hoặc \(x=-2\) (loại vì không thuộc \([-1 ; 3]\));

\(f(-1)=2 ; f(0)=9 ; f(2)=-7 ; f(3)=18\).

Vậy \(\max \limits_{[-1 ; 3]} f(x)=f(3)=18\) và \(\min\limits _{[-1 ; 3]} f(x)=f(2)=-7\).

Câu 9:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x^3}{3}-2x^2+3x+1\) trên đoạn \(\left[-3;2\right]\)

Ta có \(f'(x)=x^2-4x+3\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x^2-4x+3=0\) \(\Leftrightarrow \hoac{&x=1\in\left[-3;2\right]\\ &x=3\not \in\left[-3;2\right].}\)

Các giá trị \(f(1)=\displaystyle\frac{7}{3}, f(-3)=-35, f(2)=\displaystyle\frac{5}{3}\).

Vậy

\(\begin{aligned}&\max\limits_{\left[-3;2\right]}f(x)=\displaystyle\frac{7}{3} \text{ tại } x=1,\\ &\min\limits_{\left[-3;2\right]}f(x)=-35 \text{ tại } x=-3.\end{aligned}\)

Câu 10:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^4-2x^3+x^2+1\) trên đoạn \(\left[-1;1\right]\).

Xét hàm số \(f(x)=x^4-2x^3+x^2+1\), trên đoạn \(\left[-1;1\right]\).

Đạo hàm \(f'(x)=4x^3-6x^2+2x\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 4x^3-6x^2+2x \Leftrightarrow \hoac{&x=1\in[-1;1]\\&x=\displaystyle\frac{1}{2}\in[-1;1]\\&x=0\in[-1;1].}\)

Các giá trị \(f(-1)=5\), \(f(0)=1\), \(f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{17}{16}\), \(f(1)=1\).

So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{[-1;1]}f(x)=5\), \(\min\limits_{[-1;1]}f(x)=1\).

Câu 11:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\displaystyle\frac{2 x+1}{x-2}\) trên đoạn \([3 ; 7]\).

Ta có \(f'(x)=\displaystyle\frac{-5}{(x-2)^2}< 0,\quad \forall x\neq 2\).

Vậy \(\displaystyle\max _{[3 ; 7]} f(x)=f(3)=7\) và \(\displaystyle\min _{[3 ; 7]} f(x)=f(7)=3\).

Câu 12:

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f(x)=x^3-6x^2+9x+1\) trên nửa khoảng \([-1;4)\).

Trên nửa khoảng \([-1;4)\), ta có \(y'=f'(x)=3x^2-12x+9\).

+) \(y'=0\Leftrightarrow \hoac{&x=3\in [-1;4)\\&x=1\in [-1;4).}\)

+) \(\lim\limits_{x\to 4^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 4^-}\left(x^3-6x^2+9x+1\right)=5\).

Bảng biến thiên

Image

Từ bảng biến thiên, ta có \(-15\leq f(x)\leq 5,\forall x\in [-1;4)\).

Suy ra trên khoảng \([-1;4)\),

+) Hàm số có giá trị nhỏ nhất là \(-15\) tại \(x=-1\).

+) Hàm số có giá trị lớn nhất là \(5\) tại \(x=1\).

Câu 13:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=x^3-2x^2+x-6\) trên khoảng \((-1;1)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\), ta chỉ xét trên khoảng \((-1;1)\).

Đạo hàm \(y'=3x^2-4x+1; y'=0\Leftrightarrow\hoac{&x=1\\&x=\frac{1}{3}.}\)

Bảng biến thiên:

Image

Từ bảng biến thiên ta có \(\max\limits_{(-1;1)}y=-\displaystyle\frac{158}{27}=y\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)\).

Câu 14:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^3(1-x)^2\) trên nửa khoảng \(\left[\displaystyle\frac{1}{2};+\infty\right)\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\), ta chỉ xét trên nửa khoảng \(\left[\displaystyle\frac{1}{2};+\infty\right)\).

Đạo hàm \(f'(x)=x^2(1-x)(3-5x); f'(x)=0\Leftrightarrow x=0, x=1, x=\displaystyle\frac{3}{5}\).\\Bảng biến thiên:

Image

Từ bảng biến thiên cho ta\\ \(\min\limits_{\left[\frac{1}{2};+\infty\right)}f(x)=f(1)=0\) và \(\max\limits_{\left[\frac{1}{2};+\infty\right)}f(x)\) không tồn tại vì \(\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\).

Câu 15:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2-2 x+3}{x-1}\) trên \((1;+\infty)\).

Hàm số xác định trên tập \((1;+\infty)\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{x^2-2x-1}{x^2-2x+1}\).

Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x=1+\sqrt{2}\) hoặc \(x=1-\sqrt{2}\).

Bảng biến thiên của hàm số

Image

Vậy \(\min\limits_{(1;+\infty)} y=y\left(1+\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}\), \(\max\limits_{(1;+\infty)} y\) không tồn tại.

}

Câu 16:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f(x)=x+\displaystyle\frac{1}{x}-2\) trên khoảng \((-\infty;0)\).

Hàm số \(y=f(x)=x+\displaystyle\frac{1}{x}-2\) xác định trên khoảng \((-\infty ; 0)\);

Ta có \(f^{\prime}(x)=1-\displaystyle\frac{1}{x^2}=\displaystyle\frac{x^2-1}{x^2}\).

Suy ra \(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=-1\).

Bảng biến thiên

Image

Vậy \(\max\limits_{(-\infty;0)} f(x)=f(-1)=-4\); không tồn tại giá trị nhỏ nhất.

}

Câu 17:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số \(y=x-2+\displaystyle\frac{1}{x}\) trên khoảng \((0;+\infty)\).

Hàm số xác định trên khoảng \((0;+\infty)\).

Ta có \(y'=1-\displaystyle\frac{1}{x^2}; y'=0 \Leftrightarrow x=1\).

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \((0;+\infty)\):

Image

Vậy \(\min\limits_{(0;+\infty)}y=y(1)=0\); hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng \((0;+\infty)\).

}

Câu 18:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x+1}{3x-2}\) trên nửa khoảng \(\left[2;+\infty\right)\).

Ta có \(y'=- \displaystyle\frac{7}{\left(3x-2 \right)^2}<0\) với mọi \(x \in \left[2;+\infty\right)\).

Suy ra \(\underset{_{[2;+\infty)}}{\mathop{\max}}y=y(2)=\displaystyle\frac{2\cdot ^2+1}{3\cdot ^2-2}=\displaystyle\frac{5}{4}\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên \(\left[2;+\infty\right)\).

}

Câu 19:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g(x)=x+\displaystyle\frac{4}{x^2}\) trên đoạn \([1 ; 4]\).

Ta có \(f'(x)=1-\displaystyle\frac{8}{x^3}\).

Khi đó

\(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=2\).

Ta có

\(f(1)=5\); \(f(2)=3\); \(f(4)=\displaystyle\frac{17}{4}=4{,}25\).

Vậy \(\displaystyle\max _{[1 ; 4]} f(x)=f(1)=5\) và \(\displaystyle\min _{[1 ; 4]} f(x)=f(2)=3\).

Câu 20:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^3-\displaystyle\frac{3}{2}x^2\) trên đoạn \(\left[-1;2\right]\)

Xét hàm số \(f(x)=x^3-\displaystyle\frac{3}{2}x^2\), trên đoạn \(\left[-1;2\right]\).

Đạo hàm \(f'(x)=3x^2-3x\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 3x^2-3x=0 \Leftrightarrow \hoac{&x=1\in[-1;2]\\&x=0\in[-1;2].}\)

Các giá trị \(f(-1)=-\displaystyle\frac{5}{2}\), \(f(0)=0\), \(f(1)=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(f(2)=2\).

So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{[-1;2]}f(x)=2\), \(\min\limits_{[-1;2]}f(x)=-\displaystyle\frac{5}{2}\).

Câu 21:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g(x)=x+\displaystyle\frac{1}{x}\) trên khoảng \(\left(0 ; 5\right)\).

Xét \(g(x)=x+\displaystyle\frac{1}{x}\) trên khoảng \((0;5)\). Nhận thấy hàm số xác định và liên tục trên khoảng \((0;5)\).

Ta có \(g'(x)=1-\displaystyle\frac{1}{x^2}=\displaystyle\frac{x^2-1}{x^2}=0\Leftrightarrow x=1\).

Bảng biến thiên

Image

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\min\limits_{(0;5)}f(x)=2\) và hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng \((0;5)\).

Câu 22:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2+9}{x}\) trên khoảng \((0;+\infty)\).

+) Xét hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2+9}{x}\) với \(x\in(0;+\infty)\).

+) Ta có \(f'(x)=\displaystyle\frac{x^2-9}{x^2}\).

Khi đó \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x^2-9=0 \Leftrightarrow \hoac{&x=3\in(0;+\infty)\\&x=-3\notin(0;+\infty).} \)

Các giới hạn \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

Bảng biến thiên

Image

Căn cứ bảng biến thiên, ta có \(\min\limits_{(0;+\infty)}f(x)=6\) tại \(x=3\) và hàm số \(f(x)\) không có giá trị lớn nhất.

Câu 23:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x}{4+x^2}\) trên \(\mathbb{R}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(f'(x)=\displaystyle\frac{4-x^2}{\left(4+x^2\right)^2}; f'(x)=0\Leftrightarrow x=\pm 2\).

Bảng biến thiên:

Image

Vậy \(\min\limits_{\mathbb{R}}f(x)=f(-2)=-\displaystyle\frac{1}{4}\) và \(\max\limits_{\mathbb{R}}f(x)=f(2)=\displaystyle\frac{1}{4}\).

Câu 24:

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất (nếu có) của hàm số \(f(x)=x^2+\displaystyle\frac{2}{x}\) trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\).

Điều kiện \(x\ne 0\).

Đạo hàm \(f'(x)=2x-\displaystyle\frac{2}{x^2}=\displaystyle\frac{2x^3-2}{x^2}\).

\(f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\).

Bảng biến thiên

Image

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên \((0;+\infty)\) là \(3\) khi \(x=1\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên \((0;+\infty)\).

Câu 25:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x+\displaystyle\frac{4}{x}\) trên khoảng \((0;+\infty)\).

Hàm số xác định trên khoảng \((0;+\infty)\).

Đạo hàm \(f'(x)=1-\displaystyle\frac{4}{x^2}=\displaystyle\frac{x^2-4}{x^2}\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x^2-4=0 \Leftrightarrow x=2\) hoặc \(x=-2\).

Bảng biến thiên

Image

Vậy \(\min\limits_{(0;+\infty)}f(x)=4\).

Câu 26:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f(x)=x+\displaystyle\frac{1}{x}-2\) trên khoảng \((-\infty ; 0)\).

Xét hàm số \(y=f(x)=x+\displaystyle\frac{1}{x}-2\) trên khoảng \((-\infty ; 0)\);

Trên khoảng \((-\infty ; 0)\), ta có \(f'(x)=1-\displaystyle\frac{1}{x^2}=\displaystyle\frac{x^2-1}{x^2}\).

+) \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-1\).

+) \(\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}\left(x+\displaystyle\frac{1}{x}-2\right)=-\infty\).

+) \(\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}\left(x+\displaystyle\frac{1}{x}-2\right)=-\infty\).

Bảng biến thiên

Image

Từ bảng biến thiên, ta có \(f(x)\geq -4\). Suy ra, trên khoảng \((-\infty;0)\)

+) \(\max\limits_{x \in (-\infty;0)} f(x)=f(-1)=-4\);

+) không tồn tại giá trị nhỏ nhất.

Câu 27:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2+9}{x}\) trên khoảng \((0;+\infty)\).

Hàm số xác định trên khoảng \((0;+\infty)\).

Ta có \(f'(x)=\displaystyle\frac{x^2-9}{x^2}\).

Suy ra \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x^2-9=0 \Leftrightarrow x=3\) hoặc \(x=-3\).

Bảng biến thiên

Image

Vậy \(\min\limits_{(0;+\infty)}f(x)=f(3)=6\), \(\max\limits_{(0;+\infty)}f(x)\) không tồn tại.

Câu 28:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{4}{1+x^2}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(f'(x)=\displaystyle\frac{-8x}{\left(1+x^2\right)^2}\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0\)

Bảng biến thiên

Image

Vậy \(\max\limits_{\mathscr{D}}f(x)=f(0)=4\).

}

Câu 29:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=x-\displaystyle\frac{3}{x}\) trên nửa khoảng \((0;3]\).

Xét hàm số \(f(x)=x-\displaystyle\frac{3}{x}\) trên nửa khoảng \((0;3]\).

Đạo hàm \(f'(x)=1+\displaystyle\frac{3}{x^2}\); ta có \(f'(x)>0\ \forall x\in(0;3]\).

Vậy \(\max\limits_{(0;3]}f(x)=2\) tại \(x=3\).

}

Câu 30:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f(x)=\sqrt{4-x^2}\).

Xét hàm số \(y=f(x)=\sqrt{4-x^2}\);

Tập xác định của hàm số là \( \mathscr{D}=[-2;2]\)

Ta có \(f'(x)=\displaystyle\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}\); \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0\in(-2 ; 2)\).

Mà \(f(-2)=0 ; f(0)=2 ; f(2)=0\).

Vậy \(\max\limits_{x \in [-2;2]} f(x)=f(0)=2\); \(\min\limits_{x \in [-2;2]} f(x)=f(2)=0\).

Câu 31:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số \(y=\sqrt{2-x^2}\).

Tập xác định \(D=\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-2x}{2\sqrt{2-x^2}}=\displaystyle\frac{-x}{\sqrt{2-x^2}}\).

Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x=0\in \left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\).

Các giá trị \(y\left(-\sqrt{2} \right)=y \left(\sqrt{2} \right)=0\), \(y \left(0 \right)=\sqrt{2}\).

Vậy, \(\min\limits_{\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]}y=y\left(-\sqrt{2} \right)=y \left(\sqrt{2} \right)=0\) và \(\max\limits_{\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]}y=y \left(0 \right)=\sqrt{2}\).

}

Câu 32:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=2 \sqrt{1-x^2}+x^2\).

Tập xác định \(\mathscr D=\left[-1;1\right]\).

Ta có \(y'=-2x\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-1\right)\). Khi đó \(y'=0\Leftrightarrow x=0\).

Ta có \(y(-1)=1\); \(y(0)=2\) và \(y(1)=1\).

Vậy \(\max\limits_{[-1;1]}y=y(0)=2\) và \(\min\limits_{[-1;1]}y=y(\pm 1)=1\).

Câu 33:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=g(x)=\sqrt{1-x^2}\).

Tập xác định \(\mathscr D=[-1 ; 1]\).

Ta có \(0 \leq g(x) \leq 1\) với mọi \(x \in[-1 ; 1]\). Mặt khác \(g(0)=1\) và \(g(1)=0\).

Do đó \(\min\limits _{[-1 ; 1]} g(x)=0\) và \(\max\limits _{[-1 ; 1]} g(x)=1\).

Câu 34:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số \(y=\sqrt{4 x-2 x^2}\).

Tập xác định của hàm số là \([0;2]\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-2x+2}{\sqrt{4x-2x^2}}\).

Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x=1\).

Bảng biến thiên của hàm số

Image

Từ bảng biến thiên, ta được \(\max\limits_{[0;2]} y=y(1)=\sqrt{2}\), \(\min\limits_{[0;2]} y=y(0)=0\).

}

Câu 35:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f(x)=\sqrt{1-x^2}\).

Tập xác định của hàm số là \([-1; 1]\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{\left(1-x^2\right)'}{2 \sqrt{1-x^2}}=-\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\).

Suy ra \(y'=0 \Leftrightarrow x=0\).

Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn \([-1; 1]\):

Image

Vậy \(\min\limits_{[-1; 1]} f(x)=f(-1)=f(1)=0\); \(\max\limits_{[-1; 1]} f(x)=f(0)=1\).

}

Câu 36:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số \(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\).

Tập xác định của hàm số là \([1;3]\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{3-x}}\).

Với \(y'=0\Leftrightarrow x=2\).

Bảng biến thiên của hàm số

Image

Vậy \(\min\limits_{[1;3]} y=y(1)=\sqrt{2}\); \(\max\limits_{[1;3]} y=y(2)=2\).

}

Câu 37:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số \(y=x \mathrm{e}^{-x}\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=\mathrm{e}^{-x}-x\mathrm{e}^{-x}\).

Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x=1\).

Bảng biến thiên của hàm số

Image

Vậy \(\max\limits_{(0;+\infty)}y=(1)=\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}\), \(\min\limits_{(0;+\infty)}y\) không tồn tại.

}

Câu 38:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số \(y=x \ln x\).

Tập xác định của hàm số là \((0;+\infty)\).

Ta có \(y'=\ln x +1\). Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1}{e}\).

Bảng biến thiên của hàm số

Image

Vậy \(\min\limits_{(0;+\infty)} y=y\left(\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}\right)=-\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}\), \(\max\limits_{(0;+\infty)}y\) không tồn tại.

}

Câu 39:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f(x)=\mathrm{e}^x-x\) trên đoạn \([-1 ; 2]\).

Xét hàm số \(y=f(x)=\mathrm{e}^x-x\) trên đoạn \([-1 ; 2]\);

Ta có

\(f'(x)=\mathrm{e}^x-1\); \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0\in(-1 ; 2)\).

Mà \(f(-1)=\mathrm{e}^{-1}+1 ; f(0)=1 ; f(2)=\mathrm{e}^2-2\).

Vậy \(\max\limits_{x \in [-1;2]} f(x)=f(2)=\mathrm{e}^2-2; \min\limits_{x \in [-1;2]} f(x)=f(0)=1\).

Câu 40:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=\mathrm{e}^x\left(x^2-5x+7\right)\) trên đoạn \(\left[0;3\right]\).

Xét hàm số \(f(x)=\mathrm{e}^x\left(x^2-5x+7\right)\), trên đoạn \(\left[0;3\right]\).

Đạo hàm \(f'(x)=\mathrm{e}^x(x^2-3x+2)\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow \mathrm{e}^x(x^2-3x+2)=0 \Leftrightarrow \hoac{&x=2\in[0;3]\\&x=1\in[0;3].}\)

Các giá trị \(f(0)=7\), \(f(1)=3e\), \(f(2)=\mathrm{e}^2\), \(f(3)=\mathrm{e}^3\).

So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{[0;3]}f(x)=\mathrm{e}^3\), \(\min\limits_{[0;3]}f(x)=7\).

Câu 41:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f(x)=x \ln x\) trên đoạn \(\left[\mathrm{e}^{-2} ; \mathrm{e}\right]\).

Xét hàm số \(y=f(x)=x \ln x\) trên đoạn \(\left[\mathrm{e}^{-2} ; \mathrm{e}\right]\).

Ta có

\(f'(x)=\ln x -1\); \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=\mathrm{e}\notin \left[\mathrm{e}^{-2} ; \mathrm{e}\right]\).

Mà \(f(\mathrm{e}^{-2})=-2\mathrm{e}^{-2}\); \(f(\mathrm{e})=3\); \(f(\mathrm{e})=\mathrm{e}\).

Vậy \(\max\limits_{x \in [\mathrm{e}^{-2};\mathrm{e}]} f(x)=f(\mathrm{e})=\mathrm{e}\); \(\min\limits_{x \in [\mathrm{e}^{-2} ; \mathrm{e}]} f(x)=f(\mathrm{e}^{-2})=-2\mathrm{e}^{-2}\).

Câu 42:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\left(x^2-x\right) \mathrm{e}^x\) trên đoạn \([0; 1]\).

Hàm số xác định trên đoạn \([0; 1]\).

Ta có \(y'=(2x-1)\mathrm{e}^x+\left(x^2-x\right) \mathrm{e}^x=\left(x^2+x-1\right) \mathrm{e}^x\).

Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\in[0; 1]\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\in[0; 1]\).

Ta có \(y(0)=0\); \(y\left(\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)=\left(2-\sqrt{5}\right)\mathrm{e}^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\); \(y(1)=0.\)

Do đó: \(\max \limits_{[0; 1]} y=y\left(1\right)=y(0)=0\); \(\min \limits_{[0; 1]} y\left(\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)=\left(2-\sqrt{5}\right)\mathrm{e}^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\).

Câu 43:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=2\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}\) trên tập xác định của nó.

Tập xác định \(\mathscr{D}=\left[2;+\infty\right)\).

Đạo hàm \(f'(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x-2}}=\displaystyle\frac{2\sqrt{x-2}-\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x-2}}, x>2\).

Ta có \(f'(x)=0\Leftrightarrow 2\sqrt{x-2}-\sqrt{x-1}\Leftrightarrow 2\sqrt{x-2}=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow 4(x-2)=x+1\Leftrightarrow x=3\) (nhận).

Bảng biến thiên:

Image

Vậy \(\min\limits_{\left[2;+\infty\right)}f(x)=f(3)=3\).

Câu 44:

Cho hàm số \(f(x)=x+\sqrt{2x^2+1}\). Tìm tham số \(m\) thỏa mãn

a) Phương trình \(x+\sqrt{2x^2+1} = m\) có nghiệm.

b) Bất phương trình \(x + \sqrt{2x^2+1}>m\) có nghiệm với mọi \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Đặt \(f(x) = x+\sqrt{2x^2+1} \Rightarrow f'(x) = 1+\displaystyle\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}\).

Ta có \(f'(x) = 0

\Leftrightarrow \sqrt{2x^2+1} = -2x \Leftrightarrow x = -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Bảng biến thiên:

Image

a) Nhìn bảng biến thiên suy ra phương trình \(f(x) = m\) có nghiệm \(\Leftrightarrow m \ge f\left(-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\).

b) \(f(x) = x+\sqrt{2x^2+1} > m, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m < \min{f(x)} \Leftrightarrow m < f\left(-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Câu 45:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sin 2 x\) trên đoạn \(\left[0 ; \displaystyle\frac{7 \pi}{12}\right]\).

Ta có \(f'(x)=2\cos2x\). Khi đó

\(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}\).

Ta có

\(f(0)=0 ; f\left( \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =1 ; f\left(\displaystyle\frac{7\pi}{12}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Vậy \(\displaystyle\max _{\left[ 0 ; \tfrac{7\pi}{12}\right] } f(x)=f\left( \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) =1\) và \(\displaystyle\min _{\left[ 0 ; \tfrac{7\pi}{12}\right]}f(x)=f\left(\displaystyle\frac{7\pi}{12}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

Câu 46:

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(f(x)= 2\sin 3x +7x+1\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{-\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\).

Xét hàm số \(f(x)= 2\sin 3x +7x+1\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{-\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\).

Ta có \(f' (x)=6\cos 3x+7\).

Do \(\cos3x\in [-1;1]\Rightarrow 6\cos3x\in[-6;6]\Rightarrow f'(x)=6\cos 3x+7\in [1;13]\) hay \(f'(x)>0\).

Ta có \(f\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3-\displaystyle\frac{7\pi}{2}\), \(f\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=-1+\displaystyle\frac{7\pi}{2}\).

Vậy \(\min \limits_{\left[\tfrac{-\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]}y=3-\displaystyle\frac{7\pi}{2}\) tại \(x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}\), \(\max \limits_{\left[\tfrac{-\pi}{2} y;\tfrac{\pi}{2}\right]}y=-1+\displaystyle\frac{7\pi}{2}\) tại \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

}

Câu 47:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sin x+\cos x\) trên đoạn \([0; 2\pi]\).

Ta có \(y'=\cos x-\sin x; y'=0\Leftrightarrow \cos x=\sin x \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{5\pi}{4}\) (vì \(x \in[0; 2\pi]\));

\(y(0)=1; y(2 \pi)=1; y\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}; y\left(\displaystyle\frac{5 \pi}{4}\right)=-\sqrt{2}.\)

Do đó: \(\max \limits_{[0; 2\pi]} y=y\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}; \min \limits_{[0; 2\pi]} y=y\left(\displaystyle\frac{5 \pi}{4}\right)=-\sqrt{2}\).

Câu 48:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=\sin2x-2x\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{\pi}{2};\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right]\).

Ta có \(f'(x)=2\cos 2x-2>0\), \(\forall x\in \left(\displaystyle\frac{\pi}{2};\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right)\).

Suy ra \(\max\limits_{\left[\displaystyle\frac{\pi}{2};\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right]} f(x)=-\pi\), \(\min\limits_{\left[\displaystyle\frac{\pi}{2};\displaystyle\frac{3\pi}{2}\right]} f(x)=-3\pi\).

Câu 49:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=\cos2x+2x+1\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{-\pi}{2};\pi\right]\).

Xét hàm số \(f(x)=\cos2x+2x+1\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{-\pi}{2};\pi\right]\) .

Đạo hàm \(f'(x)=-2\sin2x+2\).

Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow -2\sin2x+2=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\).

Vì \(x\in \left[-\displaystyle\frac{\pi}{2};\pi\right] \Rightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}\).

Các giá trị \(f(-\displaystyle\frac{\pi}{2})=-\pi\), \(f\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{\pi}{2}+1\), \(f(1)=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(f(2)=2\).

So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{\left[-\tfrac{\pi}{2};\pi\right]}f(x)=2\pi+2\), \(\min\limits_{\left[-\tfrac{\pi}{2};\pi\right]}f(x)=-\pi\).

Câu 50:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y=x-\sin 2x\) trên đoạn \([0; \pi]\).

Hàm số xác định trên đoạn \([0; \pi]\).

Ta có \(y'=1-2\cos2x\).

Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow\cos2x=\displaystyle\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{6}+k\pi\).

Chọn nghiệm thuộc đoạn \([0; \pi]\): \(x=\displaystyle\frac{\pi}{6}\) và \(x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}\).

Ta có \(y(0)=0\); \(y\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{\pi}{6}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\); \(y\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\); \(y(\pi)=\pi.\)

Do đó: \(\max \limits_{[0; \pi]} y=y\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\); \(\min \limits_{[0; \pi]} y=y\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{\pi}{6}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Câu 51:

Cho hàm số \(y=f(x)=3 x^4-16 x^3+18 x^2\) có một phần đồ thị như hình.

Image

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số đã cho trên

a) Nửa khoảng \((-1 ; 4]\);

b) Đoạn \([-1 ; 1]\).

a) Trên nửa khoảng \((-1 ; 4]\) hàm số đã cho

+) không có giá trị lớn nhất;

+) giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(f(3)\).

b) Trên đoạn \([-1 ; 1]\), ta có

+) giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(f(-1)\);

+) giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(f(0)=0\).

Câu 52:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho như hình.

Image

Ở hình a, ta có \(\displaystyle\min f(x)=1\) tại \(x=5\), \(\displaystyle\max f(x)=6\) tại \(x=1\).

Ở hình b, ta có \(\displaystyle\min f(x)=1\) tại \(x=-3\) và \(x= -1\), \(\displaystyle\max f(x)=7\) tại \(x=1\).

Câu 53:

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên đoạn \(\left[-\sqrt{3};\sqrt{5}\right]\) và có bảng biến thiên như hình vẽ

Image

a) Tìm \(\max\limits_{\left[-\sqrt{3};\sqrt{5}\right]} f(x)\);

b) Tìm \(\min\limits_{(-1;2)} f(x)\);

c) Tìm \(\max\limits_{\left[-\sqrt{3};1\right]} f(x)\).

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

a) \(\max\limits_{\left[-\sqrt{3};\sqrt{5}\right]} f(x)=f\left(\sqrt{5}\right)=2\sqrt{5}\);

b) \(\min\limits_{(-1;2)} f(x)=f(1)=-2\);

c) Tìm \(\max\limits_{\left[-\sqrt{3};1\right]} f(x)=f(-1)=2\).

Câu 54:

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Image

a) Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên \((0;+\infty)\) tại \(x\) bằng bao nhiêu?

b) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên \((-1;1)\) tại \(x\) bằng bao nhiêu?

Từ bảng xét dấu đạo hàm ta suy ra bảng biến thiên

Image

Từ bảng biến thiên, suy ra

a) Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên \((0;+\infty)\) tại \(x=1\).

b) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên \((-1;1)\) tại \(x=0\).

Câu 55:

Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị như hình vẽ

Image

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \((0;+\infty)\);

b) Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên \((-\infty;2)\) tại \(x\) bằng bao nhiêu?

c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g(x)=f(\sin x)+3\)

a) Dựa vào đồ thị hàm số, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \((0;+\infty)\) bằng \(-2\) khi \(x=2\).

b) Từ đồ thị hàm số, suy ra hàm số đạt giá trị lớn nhất trên \((-\infty;2)\) tại \(x=0\).

c) Đặt \(t=\sin x\), \(t\in [-1;1]\).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(t)+3\) khi \(t\in [-1;1]\).

Từ đồ thị hàm số, suy ra \(\max\limits_{[-1;1]} f(t)=f(0)=2\), \(\min\limits_{[-1;1]} f(t)=f(-1)=-2\).

Suy ra \(\max g(x)=2+3=5\), \(\min g(x)=-2+3=1\).

Câu 56:

Cho hàm số \(f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ

Image

a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \((2;10)\).

c) Phương trình \(f(x^2)=3\) có bao nhiêu nghiệm?

a) Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng \(\displaystyle\frac{7}{4}\) khi \(x=\displaystyle\frac{5}{2}\).

b) Trên \((2;10)\), ta có \(\min\limits_{(2;10)} f(x)=f(\displaystyle\frac{5}{2}=\displaystyle\frac{7}{4}\).

c) Đặt \(t=x^2\ge 0\).

Phương trình \(f(t)=3\), có hai nghiệm \(t_1< -2\), \(t_2>\displaystyle\frac{5}{2}\).

Từ điều kiện \(t=x^2\ge 0\) suy ra \(t_1\) không thỏa mãn.

Phương trình đã cho tương đương \(x^2=t_2 \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{t_2}\).

Vậy phương trình đã cho có \(2\) nghiệm.

Câu 57:

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) như hình vẽ.

Image

Hàm số \(y=f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[0;\displaystyle\frac{7}{2}\right]\) tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?

Dự vào đồ thị của hàm số \(y=f'(x)\), ta có bảng biến thiên sau:

Image

Dựa vào bảng biến thiên trên, ta có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[0;\displaystyle\frac{7}{2}\right]\) là \(f(3)\).

Câu 58:

Cho hàm số bậc ba \(y=f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.

Image

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \([-2;2]\).

b) Tìm tập hợp các giá trị của \(m\) để \(f(x)=m\) có nghiệm trên \((-1;2)\).

c) Tìm tập hợp các giá trị \(a\) để \(f(x)>a\), với mọi \(x\in (-1;1)\).

d) Xét hàm số \(g(x)=m^2-3m-4+f(2x^3+x-1)\). Tìm các giá trị của \(m\) để \(\max\limits_{x\in[0;1]}g(x)=3\).

a) Dựa vào đồ thị, trên \([-2;2]\), giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(-1\) khi \(x=1\), giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(3\) khi \(x=-1\).

b) Số nghiệm của phương trình \(f(x)=m\) là số điểm chung của hai đồ thị \(y=f(x)\) và \(y=m\).

Dựa vào hình vẽ, để hai đồ thị có điểm chung trên \((-1;2)\) thì \(-1\le m < 3\).

c) Từ đồ thị, ta có \(f(x)>-1\), với mọi \(x \in (-1;1)\). Do đó để \(f(x)>a\), với mọi \(x\in (-1;1)\) thì \(a\le -1\).

d) Ta có

\(g'(x)=(6x^2+1)\cdot f'(2x^3+x-1)\) và

\(g'(x)=0\Leftrightarrow f'(2x^3+x-1)=0\Leftrightarrow \hoac{&2x^3+x-1=-1\\&2x^3+x-1=1}\Leftrightarrow\hoac{&x=0\\&x=-1\\&x=1.}\)

Ta có \(g(0)=m^2-3m-4+f(-1)=m^2-3m-1\) và \(g(1)=m^2-3m-4+f(2)=m^2-3m-1\).

Do \(\max\limits_{x\in[0;1]}g(x)=3\Leftrightarrow m^2-3m-1=3\Leftrightarrow m^2-3m-4=0\Leftrightarrow m=-1\) hoặc \(m=4\).

Câu 59:

Cho hàm số \( y=f(x)\) trên \(\left[ -2;4 \right]\) như hình vẽ.

Image

Gọi \(S\) là tập chứa các giá trị của \( m\) để hàm số \( y=\left( f\left(2-x \right)+m \right)^{2}\) có giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ -2;4 \right]\) bằng \(49\). Tính tổng các phần tử tập \(S\).

Do \( y=\left(f\left( 2-x \right)+m \right)^{2}\) có giá trị lớn nhất trên đoạn \([-2;4]\) bằng \(49\) nên với \(\forall x\in [-2;4]\) ta có

\(y=\left(f\left( 2-x \right)+m \right)^{2}\le 49\Leftrightarrow -7\le f\left( 2-x \right)+m\le 7\Leftrightarrow -7-m\le f\left( 2-x \right)\le 7-m.\)

Mặt khác

\(-4\le f\left( 2-x \right)\le 6,\forall x\in \left[ -2;4 \right]\),

suy ra \(\hoac{& 7-m=6 \\ & -7-m=-4}\) \(\Leftrightarrow \hoac{& m=1 \\ & m=-3.}\)

Vậy \(S=\left\{ 1;-3 \right\}\). Khi đó tổng giá trị của các phần tử của là \(-2.\)

Nâng cao

Ứng dụng thực tế

Câu 1:

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở \(A\) đến một hòn đảo ở \(C\) như bên dưới. Khoảng cách từ \(C\) đến \(B\) là \(4\) \(\mathrm{km}\). Bờ biển chạy thẳng từ \(A\) đến \(B\) với khoảng cách là \(10\) \(\mathrm{km}\). Tổng chi phí lắp đặt cho \(1\) \(\mathrm{km}\) dây điện trên biển là \(50\) triệu đồng, còn trên đất liền là \(30\) triệu đồng. Xác định vị trí điểm \(M\) trên đoạn \(AB\) (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.

Image

Đặt \(MB=x\) km \((0\le x\le 10)\) \(\Rightarrow AM=10-x\) (km), \(MC=\sqrt{MB^2+CB^2}=\sqrt{x^2+16}\) (km).

Khi đó, chi phí nối điện từ \(A\) đến \(C\) là \(f(x)=30(10-x)+50\sqrt{x^2+16}\) (triệu đồng).

Ta có \(f'(x)=-30+\displaystyle\frac{50x}{\sqrt{x^2+16}}\).

\(f'(x)=0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+16}}=\displaystyle\frac{3}{5}\Leftrightarrow 25x^2=9x^2+144\Leftrightarrow x=3\) (do \(0 \le x \le 10\)).

Ta có \(f(0)=500\), \(f(3)=460\), \(f(10)=100 \sqrt{29}\) nên chi phí nhỏ nhất là \(460\) triệu đồng khi \(x=3\).

Vậy \(M\) cách \(B\) một khoảng \(3\) \(\mathrm{km}\) trên đoạn \(AB\) (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) thì tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.

}

Câu 2:

Máng trượt của một cầu trượt cho trẻ em hình a được uốn từ một tấm kim loại có bề rộng \(80\) cm, mặt cắt được mô tả ở hình b. Nhà thiết kế khuyến cáo, diện tích mặt cắt càng lớn thì càng đảm bảo an toàn cho trẻ em.

Image

a) Gọi \(S\) là diện tích mặt cắt. Tìm điều kiện của \(x\) và viết công thức tính \(S\) theo \(x\).

b) Với \(x\) đạt giá trị bằng bao nhiêu thì cầu trượt đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em?

a) Do tấm kim loại có bề rộng \(80 \mathrm{~cm}\) nên ta có: \(2x+y=80 \Leftrightarrow y=80-2x\).

Để có thể thiết kế được máng trượt thì \(y>0 \Leftrightarrow 80-2 x>0 \Leftrightarrow x<40\).

Suy ra \(0

Diện tích của mặt cắt máng trượt là: \(S=x y=x(80-2x)=-2x^2+80x\).

b) Ta có:

\begin{eqnarray*}S(x)&=&-2x^2+80x \text{ với } x\in(0; 40);\\ S'(x)&=&-4 x+80 \\ S'(x)&=&0 \Leftrightarrow-4 x+80=0 \Leftrightarrow x=20.\end{eqnarray*}

Bảng biến thiên của hàm số \(S(x)\) như sau:

Image

Do đó, hàm số \(S(x)\) đạt cực đại tại \(x=20\) và \(S_{\text{CĐ}}=800\).

Vậy để cầu trượt đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em thì \(x=20\) (cm).

}

Câu 3:

Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng \(108\mathrm{~cm}^2\) như hình bên. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

Image

Thể tích của chiếc hộp là \(V=x^2\cdot h\) (cm\(^3\)).

Vì diện tích bề mặt bằng \(108\) cm\(^2\) nên ta có

\(x^2+4xh=108\Leftrightarrow h=\displaystyle\frac{108-x^2}{4x}\) (điều kiện \(0< x < \sqrt{108}\)).

Khi đó thể tích chiếc hộp là \(V=\displaystyle\frac{x\left(108-x^2\right)}{4}=-\displaystyle\frac{x^3}{4}+27x\).

Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(V=-\displaystyle\frac{x^3}{4}+27 x~(0< x < \sqrt{108})\).

Có \(V^{\prime}=-\displaystyle\frac{3}{4} x^2+27; V^{\prime}=0\Leftrightarrow-\displaystyle\frac{3}{4} x^2+27=0\Leftrightarrow x=6\) (vì \(0< x < \sqrt{108}\)).

Bảng biến thiên:

Image

Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể tích lớn nhất của chiếc hộp là \(108\) cm\(^3\) khi \(x=6\) cm và \(h=3\) cm.

}

Câu 4:

Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ vị trí \(A\) trên bờ biển đến vị trí \(B\) trên hòn đảo. Khoảng cách từ điểm \(B\) đến bờ biển là \(BH=6\mathrm{~km}\) (Hình 1.42). Giá tiền để xây dựng đường ống trên bờ là 50000 USD mỗi kilômét và giá tiền xây dựng đường ống trên biển là 130000 USD mỗi kilômét, biết rằng \(AH=9\mathrm{~km}\). Xác định vị trí điểm \(C\) trên đoạn \(AH\) để khi lắp ống dẫn theo đường gấp khúc \(ACB\) thì chi phí công ty bỏ ra là thấp nhất.

Image

Đặt \(AC=x\), với \(x\in[0,9]\).

Khi đó \(BC=\sqrt{BH^2+HC^2}=\sqrt{6^2+(9-x)^2}\).

Tổng chi phí công ty bỏ ra để lắp ống dẫn dẫn theo đường gấp khúc \(ACB\) là

\(c(x)=50 000x+130 000 \sqrt{6^2+(9-x)^2}=10 000(5x+13\sqrt{6^2+(9-x)^2}).\)

Do đó, chi phí công ty bỏ ra là thấp nhất khi \(f(x)=5x+13\sqrt{6^2+(9-x)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có \(f'(x)=5+\displaystyle\frac {13(x-9)}{\sqrt {36+\left(9-x \right)^2}}\).

Suy ra \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 5\sqrt {36+\left(9-x \right)^2}=13(x-9) \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{13}{2}\cdot\)

Ta có \(f(0)=13\sqrt{117}\), \(f(\frac{13}{2})=117\) và \(f(9)=123\).

Từ đó, \(f(x)\to \min\) khi \(x=\displaystyle\frac{13}{2}=6{,}5\).

Vậy với \(AC=6{,}5\) khi lắp ống dẫn theo đường gấp khúc \(ACB\) thì chi phí công ty bỏ ra là thấp nhất.

}

Câu 5:

Kính viễn vọng Hubble được tàu không gian Discovery đưa vào sử dụng ngày 24/4/1990. Mô hình vận tốc của tàu trong sứ mệnh này, từ lúc rời bệ phóng (\(t=0\) giây) cho đến khi được tên lửa đẩy nhanh khỏi bệ tại thời điểm \(t=126\) giây, được xác định bởi công thức:

Image

\(v(t)=0{,}001302t^3-0{,}09029t^2+23{,}61t-3{,}083\) (feet/giây).

Tính gia tốc lớn nhất và gia tốc nhỏ nhất của tàu trong khoảng thời gian này (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Gia tốc của tàu trong khoảng thời gian \(t=0\) giây đến \(t=126\) giây được xác định bởi công thức \(a(t)=v'(t)=0{,}003906t^2-0{,}18058t+23{,}61\) (ft/\(s^2\)) với \(t \in [0;126].\)

Ta có \(a'(t)=0{,}007812t-0{,}18058\).

\(a'(t)=0 \Leftrightarrow 0{,}007812t-0{,}18058 =0 \Leftrightarrow t = \displaystyle\frac{45145}{1953}\).

Ta có \(a(0)=23{,}61\), \(a \left( \displaystyle\frac{45145}{1953} \right) \approx 21{,}52\), \(a(126) \approx 62{,}87\).

Vậy gia tốc lớn nhất của tàu trong khoảng thời gian trên là \(62{,87}\) (ft/\(s^2\)) và gia tốc nhỏ nhất là \(21{,}52\) (ft/\(s^2\)).

}

Câu 6:

Trong đợt chào mừng kỉ niệm ngày 26 tháng 3, trường X có tổ chức cho các lớp bày các gian hàng tại sân trường. Để có thể che nắng, chứa đồ đạc trong quá trình tham gia hoạt động, một lớp đã nghĩ ra ý tưởng như sau: Dựng trên mặt đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều rộng là \(4\) m và chiều dài là \(6\) m, bằng cách gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều dài của tấm bạt, hai mép chiều rộng còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau \(x\) (m). Tìm \(x\) để khoảng không gian phía trong lều là lớn nhất.

Image

Theo đề bài, ta có \(0

Gọi tên như hình vẽ với \(AH \perp BC\), suy ra \(H\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BH=\displaystyle\frac{BC}{2}=\displaystyle\frac{x}{2}\).

Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(B\), theo định lý

\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{3^2-\displaystyle\frac{x^2}{4}}=\displaystyle\frac{\sqrt{36-x^2}}{2}\).

\(V_{ABC.A'B'C'}=S_{ABC}\cdot AA'=\displaystyle\frac{1}{2}AH\cdot BC\cdot AA'=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{36-x^2}}{2}\cdot x\cdot 4=x\sqrt{36-x^2}\).

\(V'=\sqrt{36-x^2}+x\cdot\displaystyle\frac{-2x}{2\sqrt{36-x^2}}=\sqrt{36-x^2}-\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{36-x^2}}=\displaystyle\frac{36-2x^2}{\sqrt{36-x^2}}\).

\(V'=0\Leftrightarrow 36-2x^2=0\Leftrightarrow x=3\sqrt{2}\) hoặc \(x=-3\sqrt{2}\) (loại).

Bảng biến thiên:

Image

Dựa vào bảng biến thiên, khi \(x=3\sqrt{2}\) (m) thì khoảng không gian phía trong lều là lớn nhất.

}

Câu 7:

Một người nông dân có \(15\, 000\, 000\) đồng để làm một hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông bao quanh hai khu đất trồng rau có dạng hai hình chữ nhật bằng nhau ({\it Hình 35}). Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là \(60\, 000\) đồng/mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song với nhau thì chi phí nguyên vật liệu là \(50\, 000\) đồng/mét, mặt giáp với bờ sông không phải rào. Tìm diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào.

Image

Gọi \(x\) (m) là chiều dài của mặt hàng rào song song với bờ sông.

Chi phí làm mặt hàng rào song song với bờ sông là \(60000x\).

Chi phí làm ba mặt hàng rào song song với nhau là \(15000000-60000x\).

Chiều dài của một mặt hàng rào song song với nhau là \(\displaystyle\frac{15000000-60000x}{3\cdot 50000}=\left( \displaystyle\frac{-2x+500}{5}\right)\).

Diện tích của khu đất là \(S(x)=x\left( \displaystyle\frac{-2x+500}{5}\right)=-\displaystyle\frac{2}{5}x^2+100x\). Điều kiện \(0

Xét hàm số \(f(x)= -\displaystyle\frac{2}{5}x^2+100x\) trên khoảng \((0;250)\).

\(f' (x)=-\displaystyle\frac{4}{5}x+100\), \(f' (x)=0\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{4}{5}x+100=0\Leftrightarrow x=125\).

Bảng biến thiên hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((0;250)\)

Image

Từ bảng biến thiên suy ra \(\max\limits_{(0;250)}f(x)=f(125)=6250\).

Vậy bác nông dân có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất \(6250 \text{ m}^2\). Với chiều dài mặt hàng rào song song với bờ sông là \(125 \text{ m}\) và chiều dài ba mặt song song là \(50 \text{ m}\).

}

Câu 8:

Một bác nông dân có ba tấm lưới B40, mỗi tấm dài \(a \text{ (m)}\) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân \(ABCD\) như hình bên (bờ sông là đường thẳng \(CD\) không phải rào). Hỏi bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?

Image

Image

Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\), \(B\) trên \(CD\).

Đặt \(x=MD\), \(\left( 0

Diện tích của mảnh vườn hình thang cân là \(S(x)=\displaystyle\frac{(AB+CD)AM}{2}=(a+x)\sqrt{a^2-x^2}\).

Xét hàm số \(f(x)= (a+x)\sqrt{a^2-x^2}\) trên khoảng \(\left(0;a\right)\).

Ta có \(f'(x)=\displaystyle\frac{-2x^2-ax+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\).

Suy ra \(f' (x)=0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{-2x^2-ax+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}=0\Leftrightarrow x=-a \notin \left(0;a\right)\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{a}{2}\in \left(0;a\right)\).

Bảng biến thiên hàm số \(f(x)\) trên khoảng \(\left(0;a\right)\).

Image

Từ bảng biến thiên suy ra \(\max\limits_{(0;a)} f(x)=f\left(\displaystyle\frac{a}{2}\right)=\displaystyle\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}\).

Vậy bác nông dân có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất \(\displaystyle\frac{3\sqrt{3}a^2}{4} \text{ m}^2\).

}

Câu 9:

Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng \(30 \mathrm{~cm}\) và chiều dài \(80 \mathrm{~cm}\) (Hình 4a), người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh \(x(\mathrm{~cm})\) với \(5 \leq x \leq 10\) và gấp lại để tạo thành chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp như Hình \(4 \mathrm{~b}\). Tìm \(x\) để thể tích chiếc hộp là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Image

Thể tích chiếc hộp là \(V(x)=x(30-2 x)(80-2 x)=2400 x-220 x^2+4 x^3\) với \(5 \leq x \leq 10\).

Ta có: \(V'(x)=12 x^2-440 x+2400\);

\(V'(x)=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{20}{3}\) hoặc \(x=30\) (loại vì không thuộc \([5 ; 10]\));

\(V(5)=7000 ; V\left(\displaystyle\frac{20}{3}\right)=\displaystyle\frac{200000}{27} ; V(10)=6000\).

Do đó \(\max \limits_{[5 ; 10]} V(x)=\displaystyle\frac{200000}{27}\) khi \(x=\displaystyle\frac{20}{3}\).

Vậy để thể tích chiếc hộp là lớn nhất thì \(x=\displaystyle\frac{20}{3} \mathrm{~cm}\).

}

Câu 10:

Một thùng chứa nhiên liệu gồm phần ở giữa là một hình trụ có chiều dài \(h\) mét \((h>0)\) và hai đầu là các nửa hình cầu bán kính \(r\) \((r>0)\). Biết rằng thể tích của thùng chứa là \(144\,000 \pi\) m\(^3\). Để sơn mặt ngoài của phần hình cầu cần \(20\,000\) đồng cho \(1\) m\(^2\), còn sơn mặt ngoài cho phần hình trụ cần \(10\,000\) đồng cho \(1\) m\(^2\).

Image

Xác định \(r\) để chi phí cho việc sơn diện tích mặt ngoài thùng chứa (bao gồm diện tích xung quanh hình trụ và diện tích hai nửa hình cầu) là nhỏ nhất, biết rằng bán kính \(r\leq 50\) m.

Ta có thể tích của thùng chứa nhiên liệu là \(V=\pi \cdot r^2 \cdot h + \displaystyle\frac{4}{3} \pi \cdot r^3 = 144\, 000 \pi\).

Suy ra \(h=\displaystyle\frac{(144\,000-\displaystyle\frac{4}{3} \cdot r^3)}{r^2}\).

Khi đó chi phí sơn diện tích mặt ngoài thùng chứa là

\(2 \pi \cdot r \cdot \displaystyle\frac{(144\,000-\displaystyle\frac{4}{3} \cdot r^3)}{r^2} \cdot 10^4 + 4 \pi \cdot r^2 \cdot 2 \cdot 10^4 =2 \pi \cdot 10^4 \left( \displaystyle\frac{144\,000}{r} + \displaystyle\frac{8}{3} r^2 \right).\)

Xét hàm số \(f(r)=\displaystyle\frac{144\,000}{r} + \displaystyle\frac{8}{3} r^2\) với \(r \in (0;50]\)

Ta có \(f^{\prime}(r)=-\displaystyle\frac{144\,000}{r^2} + \displaystyle\frac{16}{3} r=\displaystyle\frac{16r^3-432\,000}{3r^2}\) và \(f^{\prime}(r)=0 \Leftrightarrow r=30\) m.

Bảng biến thiên

Image

Vậy với \(r=30\) m thì chi phí cho việc sơn diện tích mặt ngoài của thùng chứa là nhỏ nhất.

}

Câu 11:

Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh họa bên, nó được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị của hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{1}{10} \left(-x^3+9x^2-15x +56\right)\). Đơn vị độ dài trên mỗi trục là \(100\) m.

Image

a) Đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục \(Ox\) dài bao nhiêu mét?

b) Tại những điểm nào trên đường đi dạo ven hồ (chạy dọc theo trục \(Ox\)) thì khoảng cách theo phương thẳng đứng đến bờ hồ đối diện là lớn nhất? Tìm khoảng cách lớn nhất đó.

c) Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số \(y=-1{,}5x+18\). Người ta dự định xây dựng trên bờ hồ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đường này là ngắn nhất. Tìm tọa độ của điểm để xây dựng bến thuyền này.

a) Trong trên, đồ thị hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{1}{10} \left(-x^3+9x^2-15x +56\right)\) cắt tia \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x=8\). Vậy đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục \(Ox\) dài \(800\) m.

b) Ta khảo sát hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{1}{10} \left(-x^3+9x^2-15x +56\right)\) với \(0\leq x\leq 8\).

\[f'(x)=\displaystyle\frac{1}{10}\left(-3x^2+18x-15\right);\]

\[f'(x)=0 \Leftrightarrow\displaystyle\frac{1}{10}\left(-3x^2+18x-15\right)=0 \Leftrightarrow x=1 \ \text{hoặc}\ x=5.\]

Bảng biến thiên

Image

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\max\limits_{[0;8]} f(x)=f(5)=8{,}1\) tại \(x=5\).

Vậy khoảng cách lớn nhất theo phương thẳng đứng từ một điểm trên đường đi dạo ven hồ (chạy dọc theo trục \(Ox\)) đến bờ hồ đối diện là

\[100 \cdot \left(\max\limits_{[0;8]} f(x)\right)=100 \cdot f(5)=100\cdot 8{,}1=810\ \text{(m)}\]

và đạt được tại điểm trên đường đi dạo ven hồ cách gốc \(O\) một khoảng cách là \(500\) m.

c) Xét điểm \(M\left(x{;}f(x)\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{1}{10} \left(-x^3+9x^2-15x +56\right)\) với \(0\leq x\leq 8\).

Khoảng cách từ điểm \(M\left(x{;}f(x)\right)\) đến đường thẳng \(y=-1{,}5x+18\Leftrightarrow -1{,}5x-y+18=0\) là

\[MH=\displaystyle\frac{\left|-1{,}5x-\displaystyle\frac{1}{10} \left(-x^3+9x^2-15x +56\right)+18\right|}{\sqrt{(-1{,}5)^2+1}}=\displaystyle\frac{\left|x^3-9x^2+124\right|}{10\sqrt{3{,}25}}.\]

Ta khảo sát hàm số \(h(x)=x^3-9x^2+124\) với \(0\leq x\leq 8\).

\[h'(x)=3x^2-18x;\]

\[h'(x)=0\Leftrightarrow 3x^2-18x=0 \Leftrightarrow x=0 \ \text{hoặc} \ x= 6.\]

Bảng biến thiên

Image

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(h(x)>0\) với \(0\leq x\leq 8\);

\[\min\limits_{[0;8]} h(x)=h(6)=16 \ \text{tại}\ x=6.\]

Do đó, \(\min MH=\min\limits_{[0;8]} \displaystyle\frac{\left|x^3-9x^2+124\right|}{10\sqrt{3{,}25}}=\displaystyle\frac{1}{10\sqrt{3{,}25}}\cdot \min\limits_{[0;8]} h(x)=\displaystyle\frac{1}{10\sqrt{3{,}25}}\cdot 16\approx0{,}8875\) và đạt được tại \(x=6\). Khi đó, \(f(6)=7{,}4\).

Vậy trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) ở hình trên, điểm để xây bến thuyền có tọa độ là \(M(6; 7{,}4)\).

}

Câu 12:

Từ một tấm bìa carton hình vuông có độ dài cạnh bằng \(60\) cm, người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp. Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của chiếc hộp là lớn nhất.

Image

Gọi \(x\) (cm) là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn góc của tấm bìa. Điều kiện \(0

Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ có cạnh \(x\) cm ở bốn góc và gập lên thì ta được một chiếc hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông với độ dài cạnh bằng \((60-2 x)\) (cm) và chiều cao bằng \(x\) cm. Thể tích của chiếc hộp này là

\[V(x)=(60-2 x)^2 \cdot x=4 x^3-240 x^2+3600 x\left(\text{cm}^3\right).\]

Ta có \(V'(x)=12 x^2-480 x+3600\); \(V'(x)=0 \Leftrightarrow x^2-40 x+300=0 \Leftrightarrow x=10\) (thoả mãn điều kiện) hoặc \(x=30\) (loại).

Lập bảng biến thiên:

Image

Vậy để thể tích của chiếc hộp là lớn nhất thì độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ phải cắt là \(10\) cm.

}

Câu 13:

Người ta cần rào một mảnh đất hình chữ nhật \(ABCD\) có diện tích là \(600\mathrm{~m}^2\). Trên mảnh đất này, người ta chia làm ba miếng đất hình chữ nhật có diện tích bằng nhau. Giá tiền để xây dựng hàng rào bên trong và bao bên ngoài là \(60000\) đồng mối mét, biết rằng chiều dài hình chữ nhật \(ABCD\) không vượt quá \(60\mathrm{~m}\).

Image

Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật \(ABCD\) sao cho chi phí xây dựng hàng rào là thấp nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Gọi \(x\) là chiều dài hình chữ nhật. Ta có \(x\in \left[10\sqrt{6}; 60\right]\).

Chiều rộng hình chữ nhật bằng \(\displaystyle\frac{\text{diện tích}}{\text{chiều dài}}=\displaystyle\frac{600}{x}\cdot\)

Chi phí cần để xây dựng hàng rào là \(60 000\cdot\left(2x+\displaystyle\frac{3\cdot600}{x}\right)=120 000\cdot\left(x+\displaystyle\frac{\cdot900}{x}\right)\).

Suy ra, chi phí hàng rào là thấp nhất khi hàm \(f(x)=x+\displaystyle\frac{\cdot900}{x}\), với \(x\in \left[10\sqrt{6}; 60\right]\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Do \(f'(x)=1-\displaystyle\frac{900}{x^2}\) nên \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=30\).

Mặt khác, \(f(10\sqrt{6})=25\sqrt{6}\approx61{,}23\), \(f(30)=60\) và \(f(60)=75\).

Suy ra \(f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x=30\).

Vậy hình chữ nhật \(ABCD\) có chiều dài bằng \(30\mathrm{~m}\) và chiều rộng bằng \(20\mathrm{~m}\) thì chi phí xây dựng hàng rào là thấp nhất.

}

Câu 14:

Hình dưới là một mương dẫn nước thủy lợi tại một địa phương. Phần không gian trong mương để nước chảy có mặt cắt ngang là một hình chữ nhật \(ABCD\). Với điều kiện lưu lượng nước qua mương cho phép ở đây thì diện tích mặt cắt \(ABCD\) là \(1{,}2\) m\(^2\). Để đảm bảo yêu cầu kĩ thuật tốt nhất cho mương, người ta cần thiết kế sao cho tổng độ dài \(AB+BC+CD\) là ngắn nhất.

a) Đặt \(BC=x\), tính \(y=AB+BC+CD\) theo \(x\).

b) Khảo sát hàm số \(y=f(x)\) tìm được ở câu a, từ đó tính \(x\) để \(y\) nhỏ nhất, biết rằng theo quy định thì đoạn \(BC\) (chiều rộng đáy mương) phải dưới \(10\) m.

Image

a) Ta có \(AB\cdot BC=1{,}2 \Leftrightarrow AB=\displaystyle\frac{1{,}2}{BC}\Leftrightarrow AB=\displaystyle\frac{1{,}2}{x}\).

Khi đó \(y=AB+BC+CD=\displaystyle\frac{1{,}2}{x}+x+\displaystyle\frac{1{,}2}{x}=\displaystyle\frac{x^2+2{,}4}{x}\).

b) Xét hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{x^2+2{,}4}{x}\) (\(0

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{x^2-2{,}4}{x^2}\); \(y'=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{2\sqrt{15}}{5}\) hoặc \(x=-\displaystyle\frac{2\sqrt{15}}{5}\) (loại).

Bảng biến thiên:

Image

Dựa vào bảng biến thiên, \(x=\displaystyle\frac{2\sqrt{15}}{5}\) thì \(y\) nhỏ nhất.

}

Câu 15:

Anh Nam có một mảnh đất rộng và muốn dành ra một khu đất hình chữ nhật có diện tích \(200\) m\(^2\) để trồng vài loại cây mới. Anh dự kiến rào quanh ba cạnh của khu đất hình chữ nhật này bằng lưới thép, cạnh còn lại (chiều dài) sẽ tận dụng bức tường có sẵn như hình vẽ.

Image

Do điều kiện địa lí, chiều rộng khu đất không vượt quá \(15\) m, hỏi chiều rộng của khu đất này bằng bao nhiêu để tổng chiều dài lưới thép cần dùng là ngắn nhất (nghĩa là chi phí rào lưới thép thấp nhất)?

Gọi \(x\) (m) là chiều rộng của khu đất hình chữ nhật cần rào.

Theo đề bài, ta có \(0

Diện tích khu đất này là \(200\) (m\(^2\)) nên chiều dài của khu đất là \(\displaystyle\frac{200}{x}\) (m).

Tổng chiều dài lưới thép rào quanh khu đất là \(L(x)=2x+\displaystyle\frac{200}{x}\) (m).

Xét hàm số: \(L(x)=2x+\displaystyle\frac{200}{x}\), với \(x\in(0;15]\).

Ta có: \(L^{\prime}(x)=2-\displaystyle\frac{200}{x^2}=\displaystyle\frac{2x^2-200}{x^2}\); \(L^{\prime}=0\Leftrightarrow x=10\) (do \(x>0\)).

Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \to 0^+} L(x)=\displaystyle\lim _{x \to 0^+} \left(2x+\displaystyle\frac{200}{x}\right) =+\infty\); \(L(10)=40\); \(L(15)=\displaystyle\frac{130}{3}\).

Bảng biến thiên:

Image

Dựa vào bảng biến thiên, chiều dài lưới thép ngắn nhất là \(40\) m khi chiều rộng khu đất này là \(x=10\) (m) (và chiều dài là \(\displaystyle\frac{200}{10}=20\) (m)).

}

Câu 16:

Hộp sữa \(1\) lít được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh \(x\) cm. Tìm \(x\) để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.

Thể tích hộp sữa là \(1\ \mathrm{l}=1\ \mathrm{dm}^3=1000\ \mathrm{cm}^3\) khi đó chiều cao của hộp sữa là \(\displaystyle\frac{1000}{x^2}\) (cm).

Đặt diện tích toàn phần của hộp sữa là \(y=2x^2+4x\cdot \displaystyle\frac{1000}{x^2}=\displaystyle\frac{2x^3+4000}{x}\) (cm)\(^2\).

Xét \(y'=\displaystyle\frac{4x^3-4000}{x^2}=0\Leftrightarrow x=10\) (cm).

Ta có bảng biến thiên như sau

Image

Vậy theo bảng biến thiên ta thấy \(x=10\) (cm) thì diện tích toàn phần của hộp sữa sẽ nhỏ nhất là \(600\ {\rm cm^2}\).

}

Câu 17:

Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hoá bằng hàm số \(N(t)=-t^3+12t^2\), \(0\leq t \leq 12\), trong đó \(N\) là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và \(t\) là thời gian (tuần).

a) Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.

b) Đạo hàm \(N^{\prime}(t)\) biểu thị tốc độ lây lan của virus (còn gọi là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhậnh nhất khi nào?

a) Với \(0\leq t \leq 12\) ta có

\(N^{\prime}(t)=-3t^2+24t, N^{\prime}(t)=0\Leftrightarrow-3t^2+24t=0\Leftrightarrow t=0\) hoặc \(t=8.\)

Ta có \(N(0)=0\), \(N(8)=256\), \(N(12)=0\).

Do đó, số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương là \(256\) người trong \(12\) tuần đầu.

\item Hàm số biểu thị tốc độ độ lây lan của virus là \(N^{\prime}(t)=-3t^2+24t\).

Đặt \(f(t)=-3t^2+24t\), với \(0\leq t \leq 12\).

Ta có \(f'(t)=-6t+24, f'(t)=0\Leftrightarrow t=4\).

\[f(0)=0, f(4)=48, f(12)=-144.\]

Do đó, virus sẽ lây lan nhanh nhất khi \(t=4\) (tuần thứ \(4\)).

}

Câu 18:

Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao \(2 \mathrm{~m}\) với vận tốc ban đầu là \(24{,}5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\). Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao \(h\) (mét) của vật sau \(t\) (giây) được cho bởi công thức \(h(t)=2+24{,}5 t-4{,}9t^{2}.\) Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Xét hàm số \(h(t)=2+24{,}5 t-4{,}9t^{2}\) với \(t>0\).

Ta có \(h'(t)=24{,}5-9{,}8t\).

\(h'(t)=0\Leftrightarrow t=2{,}5\).

Lập bảng biến thiên của \(h(t)\):

Image

Từ bảng biến thiên ta suy ra vật đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm \(t=2{,}5\) giây (Khi đó độ cao lớn nhất mà vật đạt được là \(32{,}625\) mét).

}

Câu 19:

Khối lượng \(q\) (kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán \(p\) (nghìn đồng/kg) theo công thức \(p=15-\displaystyle\frac{1}{2} q\). Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức \(R=p q\).

a) Viết công thức biểu diễn \(R\) theo \(p\).

b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó.

a) Ta có \(p=15-\displaystyle\frac{1}{2} q\) \(\Rightarrow q=30-2p\).

Lại có \(R=pq=p\left(30-2p\right)\Rightarrow R=-2p^2+30p\) với \(0

b) Xét \(R'=-4p+30=0\Leftrightarrow p=7{,}5\).

Ta có bảng biến thiên như sau

Image

Từ bảng biến thiên thấy để đạt được doanh thu cao nhất thì giá bán mỗi kilôgam sản phẩm \(p=7{,}5\) (nghìn đồng/kg) khi đó doanh thu cao nhất sẽ là \(R(7{,}5)=112{,}5\) (nghìn đồng).

}

Câu 20:

Một công ty kinh doanh bất động sản có \(20\) căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá \(2\) triệu đồng/\(1\) tháng thì tất cả các căn hộ đều có người thuê. Nhưng cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm \(200\) nghìn đồng/\(1\) tháng thì có thêm một căn hộ bỏ trống. Hỏi công ty nên cho thuê mỗi căn hộ giá bao nhiêu để tổng số tiền thu được là lớn nhất?

Cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm \(200\) nghìn đồng/\(1\) tháng thì có thêm một căn hộ bỏ trống.

Gọi số lần tăng \(200\) nghìn đồng/\(1\) tháng mỗi căn hộ là \(x\) \((x\in\mathbb{N})\).

Số căn hộ có người thuê là \(20-x\) \((0\le x \le 20)\).

Tổng số tiền thu được là \((2000+200x)(20-x)\).

Xét hàm số \(f(x)=(2000+200x)(20-x)=-200x^2+2000x+40000\) trên khoảng \((0;20)\).

\(f^\prime (x)=-400x+2000\), \(f^\prime (x)=0\Leftrightarrow -400x+2000=0\Leftrightarrow x=5 \).

Bảng biến thiên hàm số \(f(x)\) trên khoảng \(\left( 0;20\right)\).

Image

Từ bảng biến thiên suy ra \(\max\limits_{(0;20)} f(x)=f\left(5\right)=45000\) tại \(x=5\).

Vậy công ty nên cho thuê mỗi căn hộ giá \(2000+200\cdot5=30000\) nghìn đồng (ba triệu đồng) thì tổng số tiền thu được là lớn nhất.

}

Câu 21:

Một trang sách có dạng hình chữ nhật với diện tích là \(384 \text{ cm}^2\). Sau khi để lề trên và lề dưới đều là \(3 \text{ cm}\), để lề trái và lề phải đều là \(2 \text{ cm}\). Phần còn lại của trang sách được in chữ. Kích thước tối ưu của trang sách là bao nhiêu để phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất?

Gọi \(x \text{ (cm)}\) là chiều dài lề trên và lề dưới.

Chiều dài lề trái và lề phải là \(\displaystyle\frac{384}{x} \text{ (cm)}\). Điều kiện: \(4

Diện tích phần in chữ trên trang sách là \(S(x)=(x-4)\left(\displaystyle\frac{384}{x}-6 \right)\).

Xét hàm số \(f(x)= (x-4)\left(\displaystyle\frac{384}{x}-6 \right) =\displaystyle\frac{-6x^2-408x-1536}{x}\) trên khoảng \((4;64)\).

\(f^\prime (x)=\displaystyle\frac{-6x^2+1536}{x^2}\).

\(f^\prime (x)=0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{-6x^2+1536}{x^2}=0\Leftrightarrow x=-16 \notin (4;64)\) hoặc \(x=16\in (4;64)\).

Image

Bảng biến thiên hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((6;96)\)

Image

Từ bảng biến thiên suy ra \(\max\limits_{(4;64)} f(x)=f(16)=216\).

Do đó chiều dài lề trên và lề dưới của trang sách là \(16 \text{ (cm)}\), dài lề trái và lề phải của trang sách là \(\displaystyle\frac{384}{16}=24 \text{ (cm)}\) thì phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất bằng \(216 \text{ cm}^2\).

}

Câu 22:

Trong \(5\) giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s(t)=-t^3+6t^2+t+5,\) trong đó \(t\) tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong \(5\) giây đầu tiên đó?

Xét hàm số \(s(t)=-t^3+6t^2+t+5\), trên đoạn \(\left[0;5\right]\).

Vận tốc tức thời \(v(t)=s'(t)=-3t^2+12t+1\).

Đạo hàm

\(v'(t)=-6t+12\). Cho \(v'(t)=0 \Leftrightarrow -6t+12=0 \Leftrightarrow t=2\in[0;5]\).

Các giá trị \(v(0)=1\), \(v(2)=9\), \(v(5)=-24\).

So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{[0;5]}v(t)=9\), \(\min\limits_{[0;5]}v(t)=-24\).

Câu 23:

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ \(t\) là \(f(t)=45t^2-t^3\). Nếu xem \(f'(t)\) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm \(t\). Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

Ta có \(f'(t)=90t-3t^2\). Cần tính giá trị lớn nhất của hàm số \(g(t)=f'(t)\).

Khi đó: \(g'(t)=f''(t)=90-6t\); \(g'(t)=0\Leftrightarrow t=15\).

Bảng biến thiên.

Image

Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ \(15\).

Câu 24:

Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một bồn nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều rộng là \(x\) (m), chiều dài gấp 2 lần chiều rộng và không nắp, có chiều cao là \(h\) (m), có thể tích là \(\displaystyle\frac{4}{3}\) m\(^3\). Tìm chiều rộng của đáy hình chữ nhật để chi phí xây dựng là thấp nhất.

Thể tích của bồn nước là \(\displaystyle\frac{4}{3}\) m\(^3\) nên \(2x^2 h=\displaystyle\frac{4}{3} \Leftrightarrow h=\displaystyle\frac{2}{3x^2}\).

Diện tích xung quanh của bồn nước (không nắp) là \(S=2(xh+2xh)+2x^2=6xh+2x^2=\displaystyle\frac{4}{x}+2x^2.\)

Ta có \(S'(x)=-\displaystyle\frac{4}{x^2}+4x\); \(S'(x)=0\Leftrightarrow x=1\).

Bảng biến thiên

Image

Vậy với chiều rộng là \(1\) (m) thì chi phí xây dựng là thấp nhất.

Câu 25:

Một công ty bất động sản có \(50\) căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá \(2000000\) đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm \(50000\) đồng một tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Công ty đã tìm ra phương án cho thuê đạt lợi nhuận lớn nhất. Hỏi thu nhập nhiều nhất công ty có thể đạt được trong một tháng là bao nhiêu?

Gọi \(n\) là số lần tăng giá (\(n\) là số tự nhiên).

Khi đó số căn hộ bị bỏ trống cũng là \(n\).

Do đó số tiền thu được khi cho thuê \(50-n\) căn hộ là

\(A=\left({2\cdot 10}^6+{5\cdot 10}^4 n\right)(50-n)=-5\cdot 10^4n^2+5\cdot 10^5n+10^8\), với \(n< 50\).

Xét hàm số \(f(x)=-5\cdot 10^4x^2+5\cdot 10^5x+10^8\), với \(0\leq x< 50\).

Ta có \(f'(x)=-10^5x+5\cdot 10^5\); \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=5\).

Bảng biến thiên

Image

Vậy \(\max\limits_{[0;50]} f(x)=f(5)=101250000\).

Vậy thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong một tháng là \(101250000\) đồng.

Câu 26:

Một vật chuyển động theo quy luật \(s=-\displaystyle\frac{1}{2}t^3+9t^2\) với \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và \(s\) (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian \(10\) giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

Vận tốc tại thời điểm \(t\) là \(v(t)=s'(t)=-\displaystyle\frac{3}{2}t^2+18t\) với \(t\in [0;10]\).

Ta có \(v(t)=-\displaystyle\frac{3}{2}(t-6)^2+54\le 54\).

Vậy \(\max\limits_{[0;10]} v(t)=v(6)=54\) m/s.

Câu 27:

Trong một trò chơi, mỗi đội được phát một tấm bìa hình vuông có cạnh bằng \(30\)~cm. Nhiệm vụ của mỗi đội chơi là cắt ở bốn góc của tấm bìa này bốn hình vuông bằng nhau, rồi gấp tầm bìa lại (Hình 1.6) và dán keo để được một cái hộp không nắp có dạng hình hộp chữ nhật. Đội nào thiết kế được một cái hộp có thể tích lớn nhất sẽ dành chiến thắng. Hãy xác định cạnh của các hình vuông bị cắt để thu được hộp có thể tích lớn nhất.

Image

Gọi \(x\) (cm) chiều dài cạnh hình vuông bị cắt.

Khi đó, hình hộp được tao thành có các kích thước \(x\times (30-2x)\times (30-2x)\), với \(0< x< 15\).

Thể tích của khối hộp là \(V(x)=x(30-2x)^2=4x^3-120x^2+900x\).

Xét hàm số \(V=4x^3-120x^2+900x\) trên khoảng \((0;\,15)\) ta có

+) \(V'=12x^2-240x+900\).

+) \(V'=0\Leftrightarrow 12x^2-240x+900=0\Leftrightarrow x=5\) (do \(x\in (0;\,15)\) ).

Bảng biến thiên

Image

Trên khoảng \((0;15)\), hàm số \(V(x)\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(2\,000\) tại \(x=5\).

Vậy ta phải cắt các hình vuông có cạnh bằng \(x=5\) (cm) thì thu được khối hộp có thể tích lớn nhất.