Dạng 1. Tìm min, max dựa vào đồ thị
Dạng 2. Tìm min, max của hàm số khi biết biểu thức
Dạng 3. Tìm min, max khi biết f'(x)
Dạng 4. Min, max của hàm số chứa tham số
Câu 1:
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị trên đoạn \([-1;3]\) như hình vẽ bên. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([-1;3]\).
\(\max\limits_{[-1;3]}f(x)=2\) tại \(x=0\), \(\min\limits_{[-1;3]}f(x)=-1\) tại \(x=-1\) hoặc \(x=3\).
Câu 2:
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị trên đoạn \([-1{,}5;4]\) như hình vẽ bên. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([-1{,}5;4]\).
\(\max\limits_{[-1{,}5;4]}f(x)=3\) tại \(x=-1{,}5\), \(\min\limits_{[-1{,}5;4]}f(x)=-1\) tại \(x=1\).
Câu 3:
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị trên đoạn \([-1{,}5;4]\) như hình vẽ bên. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([-1{,}5;4]\).
\(\max\limits_{[-1{,}5;4]}f(x)=3\) tại \(x=3\), \(\min\limits_{[-1{,}5;4]}f(x)=-1\) tại \(x=1\).
Câu 4:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình bên dưới.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \(f(x)\) với \(x \in (-\infty;2]\).
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm \(f(x)\) với \(x \in (-\infty;2]\) bằng \(1\).
Câu 5:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
Tính (nếu tồn tại):
a) \(\min\limits_{(-\infty;-1)}f(x)\).
b) \(\max\limits_{(-1;+\infty)}f(x)\).
c) \(\min\limits_{(-1;+\infty)}f(x)\).
a) \(\min\limits_{(-\infty;-1)}f(x)\) không tồn tại.
b) \(\max\limits_{(-1;+\infty)}f(x)=8\) tại \(x=1\).
c) \(\min\limits_{(-1;+\infty)}f(x)\) không tồn tại.
Câu 6:
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ dưới. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f(x)\) trên đoạn \([-2;2]\).
Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên \([-2;2]\) là \(-5\), đạt tại \(x==2\) hoặc \(x=1\); giá trị lớn nhất trên \([-2;2]\) là \(-1\), đạt tại \(x=-1\) hoặc \(x=2\).
}
Câu 7:
Cho hàm số \(f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ bên.
Tính: \(\min\limits_{[-2;2]}f(x)\) và \(\max\limits_{[-2;2]}f(x)\).
Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\min\limits_{[-2;2]}f(x)=3\) và \(\max\limits_{[-2;2]}f(x)=11\).
Câu 8:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở hinh.
Ta có \(\displaystyle\min f(x)=1\) tại \(x=5\), \(\displaystyle\max f(x)=6\) tại \(x=1\).
Câu 9:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở hinh.
Ta có \(\displaystyle\min f(x)=1\) tại \(x=-3\) và \(x= -1\), \(\displaystyle\max f(x)=7\) tại \(x=1\).
Câu 10:
Cho hàm số \(y=f(x)=3 x^4-16 x^3+18 x^2\) có một phần đồ thị như hình bên. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số đã cho trên
a) Nửa khoảng \((-1 ; 4]\);
b) Đoạn \([-1 ; 1]\).
a) Trên nửa khoảng \((-1 ; 4]\) hàm số đã cho
+) không có giá trị lớn nhất;
+) giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(f(3)\).
b) Trên đoạn \([-1 ; 1]\), ta có
+) giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(f(-1)\);
+) giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(f(0)=0\).
Câu 11:
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên đoạn \([-2;4]\) và có bảng biến thiên như hình.
Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn \([-2;4]\).
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: \(\max\limits_{[-2;4]}y=3\), \(\min\limits_{[-2;4]}y=-1\).
Câu 12:
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \((-\infty;6]\), có bảng biến thiên như hình.
Tìm \(\max\limits_{[-\infty;6]}y\) và \(\min\limits_{[-\infty;6]}y\).
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: \(\max\limits_{[-\infty;6]}y=3\), \(\min\limits_{[-\infty;6]}y=-1\).
Câu 13:
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên đoạn \([-2;4]\) và có bảng biến thiên như hình.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([-2;4]\).
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: \(\max\limits_{[-2;4]}y=3\), \(\min\limits_{[-2;4]}y=-4\).
Câu 14:
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \([-2;4]\) và có bảng biến thiên như hình.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([-2;4]\) (nếu tồn tại).
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: \(\max\limits_{[-2;4]}y\) không tồn tại, \(\min\limits_{[-2;4]}y=-6\).
Câu 15:
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \([-1;2)\) và có bảng biến thiên như hình.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)\) trên \([-1;2)\).
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: \(\max\limits_{[-1;2)}y\) không tồn tại, \(\min\limits_{[-1;2)}y=-3\).
Câu 16:
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \([-2;4]\) và có bảng biến thiên như hình.
Tính: \(\max\limits_{[-2;4]}|y|\), \(\min\limits_{[-2;4]}|y|\).
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: \(\max\limits_{[-2;4]}|y|=6\), \(\min\limits_{[-2;4]}|y|=0\).
Câu 17:
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình.
Tính: \(\max\limits_{[-3;4]}|y|\), \(\min\limits_{[-3;4]}|y|\).
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: \(\max\limits_{[-3;4]}|y|=4\), \(\min\limits_{[-3;4]}|y|=0\).
Câu 18:
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([-3;3]\) và có bảng biến thiên như hình.
Tính: \(\displaystyle\max_{[-3;3]}|f(x)|\) và \(\displaystyle\min_{[-3;3]}|f(x)|\).
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: \(\max\limits_{[-3;3]}|f(x)|=4\), \(\min\limits_{[-3;3]}|f(x)|=0\).
Câu 19:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau
Tính giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\Big|f(x)\Big|\) trên đoạn \([-2;10]\).
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: \(\max\limits_{[-2;10]}|f(x)|=20\).
Câu 20:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=-f(x)\) trên đoạn \([-3;5]\).
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: \(\min\limits_{[-3;5]}\left[-f(x)\right]=-6\).
Câu 21:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau
Tính giá trị lớn nhất của hàm số \(y=-f(x)\) trên đoạn \([-1;4]\).
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: \(\max\limits_{[-1;4]}\left[-f(x)\right]=7\).
Câu 1:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=x^3-3x^2\) trên đoạn \([-1;1]\).
\(y'=3x^2-6x\), \(y'=0 \Leftrightarrow x=0 \in [-1;1] ;\,x=2\notin [-1;1].\)
\(y(-1)=-3\); \(y(0)=0\); \(y(1)=-2\).
Vậy \(M=\max\limits_{[-1;1]} y=y(0)=0\).
Câu 2:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=x^4-2x^2\) trên đoạn \([0;1]\).
Hàm số \(y=x^4-2x^2\) liên tục trên \([0;1]\).
\(y'=4x^3-4x=0\Leftrightarrow x=0\in [0;1];\,x=-1\notin [0;1];\,x=1\in [0;1]\).
\(y(0)=0, y'(1)=-1\).
Suy ra \(\max\limits_{[0;1]}y=y(0)=0\).
Câu 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x^4 - x^2 + 13\) trên đoạn \([-2; 3]\).
\(\bullet\) \(y'= 4x^3 - 2x\). Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 ;\,x = \pm \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\).
\(\bullet\) \(y(-2)= 25\), \(y\left(-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\displaystyle\frac{51}{4}\), \(y(0)=13,y\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\right)= \displaystyle\frac{51}{4}\), \(y(3)=85\).
Vậy \(\displaystyle \min_{[-2;3]} y = \displaystyle\frac{51}{4}\).
Câu 4:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+2\) trên \([-2;2]\).
Ta có \(y'=3x^2-6x-9 =0 \Leftrightarrow x=-1 \in [-2;2];\, x=3 \notin [-2;2].\)
\(y(-2)= 0; y'(-1)=7; y'(2)=-20\).
Vậy \(\max\limits_{[-2;2]}y=7; \min\limits_{[-2;2]}y=-20\).
Câu 5:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x+1}{1-x}\) trên đoạn \([2;3]\).
Ta có \(y'=\displaystyle\frac{3}{(1-x)^2}>0,\, \forall x\ne 1\), suy ra hàm số đồng biến trên \([2;3]\).
Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \([2;3]\) là \(f(2)=-5\).
Câu 6:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=x^3-3x^2-9x+10\) trên đoạn \([-2;2]\).
\(f'(x)=3x^2-6x-9\).
\(f'(x)=0 \Leftrightarrow 3x^2-6x-9=0 \Leftrightarrow x=-1;\,x=3.\)
\(f(-2)=8,\,f(-1)=15,\,f(2)=-12.\)
Suy ra \(\max\limits_{[-2;2]}f(x)=15\).
Câu 7:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^3-3x^2-9x+35\) trên đoạn \([-4;4]\).
Ta có \(f'(x)=3x^2-6x-9=0\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\Leftrightarrow x=-1;\,x=3.\)
\(f(-4)=-41; f(4)=15; f(-1)=40; f(3)=8\).
Vậy \(\min\limits_{x\in[-4;4]} f(x)=-41\).
Câu 8:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=x^4-8x^2+16\) trên \(\left[1;3\right]\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
Hàm số liên tục trên \(\left[1;3\right]\) và có
đạo hàm \(y'=4x^3-16x,\forall x\in \left(1;3\right)\).
\( y'=0\Leftrightarrow x=0\notin \left[1;3\right];\,x=2\in \left[1;3\right];\,x=-2\notin \left[1;3\right].\)
Ta có \(y(1)=9, y(2)=0, y(3)=25\).
Do đó \(\max\limits_{x\in \left[1;3\right]} y=y(3)=25\).
Câu 9:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x^3-3x+1\) trên đoạn \([-2;0]\).
Hàm số đã cho xác định trên \(\mathbb{R}\).
Đạo hàm \(y'=3x^2-3\), suy ra \(y'=0 \Leftrightarrow x= -1 \in [-2;0]; x=1 \notin [-2;0]\).
Khi đó \(y(-2)=-1\), \(y(1)=-1\); \(y(0)=1\).
Giá trị nhỏ nhất cần tìm là \(-1\).
Câu 10:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{3}x^3-\displaystyle\frac{3}{2}x^2+2x+1\) trên \([0;3]\).
Ta có
\[f'(x)=0 \Leftrightarrow x^2-3x+2=0 \Leftrightarrow x=1;\,x=2.\]
Lại có \(f(0)=1\), \(f(1)=\displaystyle\frac{11}{6}\), \(f(2)=\displaystyle\frac{5}{3}\), \(f(3)=\displaystyle\frac{5}{2}\) nên
\(\max \limits_{[0;3]} f(x)=f(3)=\displaystyle\frac{5}{2}\) và \(\min \limits_{[0;3]} f(x)=f(0)=1\).
Câu 11:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 5x - \displaystyle\frac{2}{3} \) trên đoạn \([0;3]\).
Ta có \(f'(x) = x^2 - 6x + 5\).
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \text{ (nhận)};\,x = 5 \text{ (loại)}.\)
Có \(f(0) = -\displaystyle\frac{2}{3}, f(1) = \displaystyle\frac{5}{3}, f(3) = -\displaystyle\frac{11}{3}\).
Vậy \(\min\limits_{x \in [0;3]} f(x) = -\displaystyle\frac{11}{3}\).
Câu 12:
Tìm giá trị nhỏ nhất \(N\) của hàm số \(y=x^3-3x^2+3x+2\) trên đoạn \([-1;2]\).
\(y' = 3x^2-6x+3 = 3(x-1)^2 \ge 0\) với mọi \(x \in [1;2]\).
\(y(-1) = -5\), \(y(2) = 4\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-1;2]\) là \(-5.\)
Câu 13:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=x^4-2x^2+5\) trên đoạn \([-2;2].\)
Ta có \(y'=0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \pm 1\).
\(y(0) = 5\); \(y(-1) = y(1) = 4\); \(y(-2) = y(2) = 13\). Vậy \(\max\limits_{[-2;2]}f(x)=13\).
Câu 14:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=2x^3+3x^2-1\) trên đoạn \(\left[-1;1 \right]\).
Ta có \(y'=6x^2+6x\).
\(y'=0\Leftrightarrow x=0\in[-1;1];\,x=-1\in[-1;1].\)
Ta có: \(y(-1)=0, y(0)=-1, y(1)=4\) suy ra \(\min\limits_{\left[ -1;1\right] } y=y(0)=-1\).
Câu 15:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x^4-4x^2+5\) trên đoạn \([-1;2]\).
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn \([-1;2]\).
Ta có \(y'=4x^3-8x=4x(x^2-2).\)
\(y'=0\Leftrightarrow x=0;\,x^2-2=0\Leftrightarrow x=0;\,x=\sqrt{2};\,x=-\sqrt{2}\notin [-1;2].\)
Và \(y(-1)=2;\,y(0)=5;\,y\left(\sqrt{2}\right)=1;\,y(2)=5\Rightarrow\min\limits_{[-1;2]}y=1\) khi \(x=\sqrt{2}\).
Câu 16:
Tìm giá trị \(m\) nhỏ nhất của hàm số \(y = x^3 - 7x^2 + 11x - 2\) trên đoạn \(\left[0;2\right]\).
Ta có \(y' = 3x^2 - 14x + 11\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 14x + 11 = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,x = \displaystyle\frac{11}{3}\).
Khi đó \(y\left(0\right) = -2, y\left(1\right) = 3\) và \(y\left(2\right) = 0\).
Vậy \(\min\limits_{x \in \left[0;2\right]} y = y\left(0\right) = - 2\).
Câu 17:
Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(y=x^4-6x^2-1\) trên đoạn \([-1;3]\).
Ta có \(y'=4x^3-12x\).
Phương trình
\[y'=0\Leftrightarrow4x^3-12x=0\Leftrightarrow x=0\text{ (nhận)};\,x=\sqrt{3}\text{ (nhận)};\,x=-\sqrt{3}\text{ (loại).}\]
Khi đó \[y(0)=-1;~y\left(\sqrt{3}\right)=-10;~y(-1)=-6;~y(3)=26.\]
Vậy \(m=\min\limits_{x\in[-1;3]}y=-10\).
Câu 18:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=x^4-4x^2+9\) trên đoạn \([-2;3]\).
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn \([-2;3]\).
Ta có \(y'=4x^3-8x\).
\(y'=0 \Leftrightarrow 4x^3-8x=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\in [-2;3]\\ &x=\pm \sqrt{2}\in [-2;3].
\end{aligned}\right.\)
Ta có \(f(-2)=9\), \(f(3)=54\), \(f(0)=9\), \(f\left(-\sqrt{2}\right)=5\), \(f\left(\sqrt{2}\right)=5\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([-2;3]\) bằng \(f(3)=54\).
Câu 19:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y =x^3+ 2x^2- 7x\) trên đoạn \([0; 4]\).
Ta có \(y'=3x^2+4x-7\), \(y'=0\Leftrightarrow x=1\mbox{ (nhận)};\,x=-\displaystyle\frac{7}{4}\mbox{ (loại)}.\)
Mà \(y(0)=0\), \(y(1)=-4\), \(y(4)=68\).
Vậy \(\min\limits_{[0;4]}y=-4\).
Câu 20:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y =x^4-x^2+ 13\) trên đoạn \(\left[- 1; 2\right]\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
Ta có \(y'=4x^3-2x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=0;\, x=\pm\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Khi đó \(y(-1)=13\); \(y(2)=25\); \(y(0)=13\); \(y\left(\pm\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\displaystyle\frac{51}{4}\).
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn \([-1;2]\) là \(25\).
Câu 21:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^4-6x^2+4\) trên đoạn \([-1;2]\).
\(f(x)=x^4-6x^2+4\)
Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
\(y'=4x^3-12x.\)
\(y'=0 \Leftrightarrow x=0\\x=\sqrt{3}\\x=-\sqrt{3}\).
Ta có \(f(-1)=-1\); \(f(0)=4\); \(f\left(\sqrt{3}\right)=-\sqrt{5}\); \(f(2)=-4\).
Suy ra \(\min \limits_{x \in [-1;2]}f(x) =-5 \Leftrightarrow x=\sqrt{3}\).
Câu 22:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=2x^3+3x^2-12x+2\) trên đoạn \([-1;2]\).
Ta có \(y'= 6x^2 +6x -12.\)
Từ đó suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x=1 \in [-1; \, 2];\,x=-2 \notin [-1; \, 2].\)
\(y(-1)= 15, y(1)= -5, y(2)=5.\)
Do đó giá trị lớn nhất của hàm số \(y=2x^3+3x^2-12x+2\) trên đoạn \([-1;2]\) là \(15\).
Câu 23:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^3-6 x^2+9 x-1\) trên nửa khoảng \([-1 ;+\infty)\).
Ta có \(f^{\prime}(x)=3 x^2-12 x+9\). Khi đó
\(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=1;\,x=3.\)
Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng \([-1 ;+\infty)\)
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\min\limits _{[-1 ;+\infty)} f(x)=f(-1)=-17\) và hàm số không có giá trị lớn nhất trên \([-1 ;+\infty)\).
Câu 24:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^4-8 x^2+9\) trên đoạn \([-1 ; 3]\).
Ta có \(f'(x)=4 x^3-16 x\);
\(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2\) hoặc \(x=-2\) (loại vì không thuộc \([-1 ; 3]\));
\(f(-1)=2 ; f(0)=9 ; f(2)=-7 ; f(3)=18\).
Vậy \(\max \limits_{[-1 ; 3]} f(x)=f(3)=18\) và \(\min\limits _{[-1 ; 3]} f(x)=f(2)=-7\).
Câu 25:
Tìm giá trị nhỏ nhất \(K\) của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x-2}{x+1}\) trên đoạn \(\left[0;2\right]\).
Ta có \(y'=\displaystyle\frac{3}{(x+1)^2} > 0\) nên \(K=y(0)=-2\).
Câu 26:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x+1}{1-x}\) trên đoạn \([2;3]\).
Ta có \(y'=\displaystyle\frac{3}{(1-x)^2}>0,\, \forall x\ne 1\), suy ra hàm số đồng biến trên \([2;3]\).
Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \([2;3]\) là \(f(2)=-5\).
Câu 27:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \displaystyle\frac{2x - 5}{x - 3}\) trên đoạn \(\left[0;2\right]\).
Ta có \(y' = \displaystyle\frac{- 1}{\left(x - 3\right)^2} \Rightarrow\) hàm số nghịch biến trên \(\left[0;2\right].\)
\(\Rightarrow \underset{x \in \left[0;2\right]}{\max} y = y\left(0\right) = \displaystyle\frac{5}{3}\).
Câu 28:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \displaystyle\frac{2x - 1}{x + 5}\) trên đoạn \(\left[-1; 3\right]\).
Ta có \(y' = \displaystyle\frac{11}{(x + 5)^2} > 0, \, \forall x \in \mathbb{R} \setminus \left\lbrace -5 \right\rbrace\).
Xét trên đoạn \(\left[-1; 3 \right]\) thì \(\displaystyle \max\limits_{x \in \left[-1; 3 \right]} y = y(3) = \displaystyle\frac{5}{8}\).
Câu 29:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-1}{x+3}\) trên đoạn \([0;2]\).
Ta có \(y'=\displaystyle\frac{7}{(x+3)^2}>0, \forall x\in [0;2]\), có \(y(0)=-\displaystyle\frac{1}{3}, y(2)=\displaystyle\frac{3}{5}\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-1}{x+3}\) trên đoạn \([0;2]\) bằng \(\displaystyle\frac{3}{5}\).
Câu 30:
Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(y=\displaystyle\frac{3x+1}{x-2}\) trên \([-1;1]\).
Vì \(y'=\displaystyle\frac{-7}{(x-2)^2}< 0\), \(\forall x\in [-1;1]\) nên \(m=y(1)=-4\).
Câu 31:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2+x+4}{x+1}\) trên đoạn \([0;3]\).
Ta có \(y=x+\displaystyle\frac{4}{x+1}\) liên tục trên \([0;3]\) và
\(y'=1-\displaystyle\frac{4}{(x+1)^2} = 0\Leftrightarrow x+1=2;\,x+1=-2\Leftrightarrow x=1;\,x=-3\).
Vì \(x\in [0;3]\) nên chỉ có \(x=1\) thỏa mãn.
Có \(f(1)=3; f(0)=4; f(3)=4\).
Do đó \(\max\limits_{[0;3]}f(x)=4\) và \(\min\limits_{[0;3]}f(x)=3\).
Câu 32:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{3}x^3-3x^2+5x-\displaystyle\frac{2}{3}\) trên đoạn \([0;5]\).
Ta có \(f'(x)=x^2-6x+5\).
Phương trình \(f'(x)=0\Leftrightarrow x^2-6x+5=0\Leftrightarrow x=1\in [0;5];\,x=5\in [0;5].\)
Do \(f(0)=-\displaystyle\frac{2}{3}\), \(f(1)=\displaystyle\frac{5}{3}\), \(f(5)=-9\) nên \(\displaystyle\max_{[0;5]}f(x)=\displaystyle\frac{5}{3}\).
Câu 33:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \displaystyle\frac{x^2 - 3x + 3}{x - 1}\) trên đoạn \(\left[-2; \displaystyle\frac{1}{2}\right]\).
Ta có \(y = x - 2 + \displaystyle\frac{1}{x - 1}\). Suy ra \(y' = 1 - \displaystyle\frac{1}{(x - 1)^2}\). Xét phương trình
\begin{align*}&1 - \displaystyle\frac{1}{(x - 1)^2} = 0\\\Leftrightarrow\ &(x - 1)^2 = 1\\\Leftrightarrow\ &x - 1 = 1;\,x - 1 = - 1 \\\Leftrightarrow\ &x = 2 & \text{ (loại)};\,x = 0.\end{align*}
Xét hàm số \(y = \displaystyle\frac{x^2 - 3x + 3}{x - 1}\) trên đoạn \(\left[-2; \displaystyle\frac{1}{2}\right]\), ta có: \(y(-2) = -\displaystyle\frac{13}{3}, y(0) = -3, y(0{,}5) = -\displaystyle\frac{7}{2}\).
Suy ra, \(\displaystyle \max_{x \in \left[-2; \tfrac{1}{2}\right]} y = -3\).
Câu 34:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x - 5 + \displaystyle\frac{1}{x}\) trên đoạn \(\left[ \displaystyle\frac{1}{2};5\right]\).
\(y'=1-\displaystyle\frac{1}{x^2}\); \(y'=0 \Leftrightarrow x=\pm 1\).
Tính được: \(y\left (\displaystyle\frac{1}{2}\right )=-\displaystyle\frac{5}{2}\); \(y(1)=-3\); \(y(5)=\displaystyle\frac{1}{5}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x - 5 + \displaystyle\frac{1}{x}\) trên đoạn \(\left[ \displaystyle\frac{1}{2};5\right]\) là \(-3\).
Câu 35:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x^2+\displaystyle\frac{16}{x}\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{1}{3};1\right]\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{0\}\).
Ta có \(y'=2x-\displaystyle\frac{16}{x^2}\).
\(y'=0 \Leftrightarrow 2x-\displaystyle\frac{16}{x^2}=0 \Leftrightarrow 2x^3=16 \Leftrightarrow x=2\notin \left[\displaystyle\frac{1}{3};1\right].\)
Mà \(y\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)=\displaystyle\frac{433}{9}\); \(y(1)=17\).
Vậy \(\min\limits_{\left[\tfrac{1}{3};1\right]} y=17\).
Câu 36:
Tính giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức \(P=\displaystyle\frac{x^2-x+4}{x-1}\) trên đoạn \([2;4]\).
Xét trên đoạn \([2;4]\) ta có \( P(x)=x+\displaystyle\frac{4}{x-1} \Rightarrow P'(x)=1-\displaystyle\frac{4}{(x-1)^2}.\)
Xét \(P'(x)=0 \Leftrightarrow (x-1)^2=4 \Leftrightarrow x=3 \quad(\text{nhận}) ;\,x=-1 \quad(\text{loại}).\)
\(P(2)=6, P(3)=5, P(4)=\displaystyle\frac{16}{3}\).
Vậy \(\min\limits_{[2;4]}P(x) =5\); \(\max\limits_{[2;4]}P(x) =6\).
Câu 37:
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2+x+4}{x+1}\) trên đoạn \([0;2]\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\).
\(f'(x)=\displaystyle\frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}\); \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\in [0;2];\,x=3\notin [0;2].\)
\(f(0)=4\), \(f(1)=3\), \(f(2)=\displaystyle\frac{10}{3}\).
Suy ra \(\min\limits_{[0;2]} f(x)=f(1)=3\).
Câu 38:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^{2}-3x}{x+1}\) trên đoạn \([0; 2]\).
Ta có hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^{2}-3x}{x+1}\) liên tục trên đoạn \([0; 2]\).
Vì \(y=\displaystyle\frac{x^{2}-3x}{x+1}=x-4+\displaystyle\frac{4}{x+1}\) nên \(y'=1-\displaystyle\frac{4}{(x+1)^2}\).
\(\forall x\in [0;2]\colon y'=0\Leftrightarrow x=1\).
Ta lại có \(y(0)=0\), \(y(1)=-1\), \(y(2)=-\displaystyle\frac{2}{3}\).
Vậy \(\min\limits_{[0;2]}y=y(0)=0.\)
Câu 39:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left(x\right)=x+\displaystyle\frac{4}{x}\) trên đoạn \(\left[1;3\right]\).
TXĐ: \(\,\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{ 0\}\);
Ta có
\(f'\left(x\right)=1-\displaystyle\frac{4}{x^2}\).
\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=-2\not\in \left[1;3\right] \text{ (loại)} ;\, x=2.\)
Có \(f\left(1\right)=5,\,f\left(2\right)=4,\,f\left(3\right)=\displaystyle\frac{13}{3}\).
\(\Rightarrow \max\limits_{\left[1;3\right]}f\left(x\right)=f\left(1\right)=5\); \(\min\limits_{\left[1;3\right]}f\left(x\right)=f\left(2\right)=4\).
Câu 40:
Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y=x^2+\displaystyle\frac{2}{x}\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{1}{2};2\right].\)
Ta có \(y'=2x-\displaystyle\frac{2}{x}=\displaystyle\frac{2x^2-2}{x}.\)
Giải \(y'=0\Leftrightarrow x=1\in \left[\displaystyle\frac{1}{2};2\right];\,x=-1\notin \left[\displaystyle\frac{1}{2};2\right].\)
Ta có \(y(1)=3\), \(y(2)=5\), \(y\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{17}{4}.\)
Suy ra \(\max\limits_{\left[\tfrac{1}{2};2\right]}y=5\) khi \(x=2\) và \(\min\limits_{\left[\tfrac{1}{2};2\right]}y=3\) khi \(x=1.\)
Câu 41:
Tính của giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=x+\displaystyle\frac{4}{x}\) trên đoạn \([1;3]\).
Ta có \(f'(x)=1-\displaystyle\frac{4}{x^2}=\displaystyle\frac{x^2-4}{x^2}\).
Khi đó \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=2\) hoặc \(x=-2\) (loại).
Suy ra \(\max\limits_{[1;3]} y=\max\{f(1),f(3),f(2)\}=y(1)=5\) và \(\min\limits_{[1;3]} y=y(2)=4\).
Câu 42:
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x^3+\displaystyle\frac{3}{x}\) trên đoạn \([2;3]\).
Ta có \(y'=3x^2-\displaystyle\frac{3}{x^2}=0 \Rightarrow x=\pm 1 \notin [2;3]\).
Và \(y(2)=\displaystyle\frac{19}{2}, y(3)=28\).
Nên \(\min \limits_{x\in [2;3]} y=\displaystyle\frac{19}{2}\).
}
Câu 43:
Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x+\displaystyle\frac{4}{x}\) trên đoạn \([1;3]\).
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn \([1;3]\).
Ta có \(y'=1-\displaystyle\frac{4}{x^2}\Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow x=2;\,x=-2\, \text{(loại).}\)
Do \(y(1)=5\); \(y(2)=4\); \(y(3)=\displaystyle\frac{13}{3}\).
Vậy \(M+m= 9\).
Câu 44:
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x+\displaystyle\frac{16}{x}\) trên đoạn \([1;5]\).
Xét hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([1;5]\).
Ta có \(f'(x)=1-\displaystyle\frac{16}{x^2}\).
Vậy \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=4\).
Mà \(f(1)=17,\,f(5)=\displaystyle\frac{41}{5},\,f(4)=8\) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)\) là \(8\) khi \(x=4\).
Câu 45:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=1+x+\displaystyle\frac{4}{x}\) trên đoạn \(\left[-3;-1\right]\).
Hàm số \(y\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[-3;-1\right]\). Ta có \(y'=1-\displaystyle\frac{4}{x^2}\)
\begin{eqnarray*}y'=0\Leftrightarrow x=-2\in \left[-3;-1\right] ;\, x=2\notin \left[-3;-1\right].\end{eqnarray*}
Khi đó, \(y\left(-3\right)=-\displaystyle\frac{10}{3}\); \(y\left(-2\right)=-3\); \(y\left(-1\right)=-4\).
Vậy \(\min \limits_{\left[-3;-1\right]}y=-4\) tại \(x=-1\).
Câu 46:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{-x^2-4}{x}\) trên đoạn \(\left [ \displaystyle\frac{3}{2};4\right ]\).
\[y'=\displaystyle\frac{4}{x^2}-1=0 \Leftrightarrow x=\pm 2.\]
Ta có \(f\left (\displaystyle\frac{3}{2}\right )\simeq -4,17\); \(f(2)=-4\); \(f(4)=-5\).
Vậy \(f(x)\) đạt giá trị lớn nhất là \(-4\) tại \(x=2\).
Câu 47:
Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^2-\displaystyle\frac{16}{x}\) trên đoạn \([-4;-1]\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \{0\}\).
\(f'(x)=2x+\displaystyle\frac{16}{x^2}\). Khi đó \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-2\).
\(f(-4)=20, f(-2)=12, f(-1)=17\).
Suy ra \(M=20, m=12\) nên \(T=32\).
Câu 48:
Tính giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2-3x+3}{x-1}\) trên đoạn \(\left[-2;\displaystyle\frac{1}{2}\right]\).
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn \(\left[-2;\displaystyle\frac{1}{2}\right]\) .
Ta có \(y'=\displaystyle\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\), suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x=0;\, x=2.\)
Khi đó \(y(-2)=-\displaystyle\frac{13}{3}\); \(y\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=-\displaystyle\frac{7}{2}\); \(y(0)=-3\Rightarrow\max\limits_{\left[-2;\frac{1}{2}\right]}y=-3.\)
Câu 49:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2-3x+6}{x-1}\) trên đoạn \([2;4]\).
Xét hàm số \(f(x)=x-2+\displaystyle\frac{4}{x-1}\) trên đoạn \([2;4]\).
Ta có \(f'(x)=1-\displaystyle\frac{4}{(x-1)^2}\).
Ta có \(f'(x)=0\Rightarrow (x-1)^2=4 \Leftrightarrow x=3 \in [2;4];\, x=-1 \notin [2;4]\Rightarrow x=3\).
Tính được \(f(2)=4; f(3)=3; f(4) =\displaystyle\frac{10}{3}\).
Suy ra \(\max\limits_{x\in[2;4]}f(x)=4\); \(\min\limits_{x\in[2;4]}f(x)=3\). Suy ra \(S=4+3=7\).
Câu 50:
Tính giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\sqrt{-x^2+2x}\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=\left[0;2\right]\).
Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-x+1}{\sqrt{-x^2+2x}}\); \(y'=0 \Leftrightarrow -x+1=0 \Leftrightarrow x=1 \in \mathscr{D}\).
Mặt khác \(y(1)=1\), \(y(0)=0\), \(y(2)=0\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(1\).
Câu 51:
Tính giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2-x+1}}\) trên đoạn \([0;1]\).
Hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2-x+1}}\) liên tục trên đoạn \([0;1]\).
Ta có \(f'(x) = -\displaystyle\frac{2x-1}{2\sqrt{\left(x^2-x+1\right)^3}}\); \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1}{2}\).
\(f(0)=1\); \(f(1)=1\); \(f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right) = \displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}\).
Vậy \(\max\limits_{x \in [0,1]} f(x) = \displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}\).
Câu 52:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x+\sqrt{18-x^2}\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=\left[-3\sqrt{2};3\sqrt{2}\right]\).
\(y'=1-\displaystyle\frac{x}{\sqrt{18-x^2}}\).
Cho \(y'=0 \Leftrightarrow \sqrt{18-x^2}=x\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x\ge 0\\ x^2=9\end{cases}\Rightarrow x=3\).
Ta có \(y(3)=6\), \(y(-3\sqrt{2})=-3\sqrt{2}\), \(y(3\sqrt{2})=3\sqrt{2}\).
Vậy \(\max y=6\), \(\min y=-3\sqrt{2}\).
Câu 53:
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=\sqrt{x^2-2x+3}\) trên đoạn \(\left[-2;0 \right]\).
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn \(\left[-2;0 \right]\).
Ta có \(f'(x)= \displaystyle\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+3}} < 0 \, \forall x \in \left(-2;0 \right)\), suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn \(\left[-2;0 \right]\).
Do đó \(\min\limits_{x\in \left[-2;0 \right]} f(x) = f(0) = \sqrt{3}.\)
Câu 54:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{2x-x^2}\).
TXĐ: \(D = [0;2]\), \(y'=\displaystyle\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}\).
\(y'=0 \Leftrightarrow x=1\).
\(y(0)=y(2)=0\), \(y(1)=1\).
Vậy GTLN là \(1\), GTNN là \(0\).
Câu 55:
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y=x-\sqrt{4-x^2}\).
Tập xác định: \(\mathscr{D}=[-2;2]\).
\(y' = 1 + \displaystyle\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\); \(y'=0 \Leftrightarrow x=\sqrt{2}\).
\(y(-2) = -2\); \(y(2)=2\); \(y(\sqrt{2}) = 0\).
Suy ra \(\max\limits_{[-2;2]}f(x)=2\), \(\min\limits_{[-2;2]}f(x)=-2\).
Câu 56:
Cho hàm số \(y=x+\sqrt{18-x^2}\) . Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Tập xác định \(\mathscr{D}=\left[-3\sqrt{2};3\sqrt{2}\right] \)
Ta có \(y'=1-\displaystyle\frac{x}{\sqrt{18-x^2}}, y'=0\Leftrightarrow x=3.\)
Ta có \(y\left(-3\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}\), \(y\left(3\right)=6\), \(y\left(3\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}\).
Vậy \(\max\limits_{\left[-3\sqrt{2};3\sqrt{2}\right]}f(x)=6\), \(\min\limits_{\left[-3\sqrt{2};3\sqrt{2}\right]}f(x)=3\sqrt{2}\).
Câu 57:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x+\sqrt{12-3x^2}\).
Điều kiện: \(-2\le x\le 2\).
Đạo hàm \(y'=1-\displaystyle\frac{3x}{\sqrt{12-3x^2}}=0\Leftrightarrow \sqrt{12-3x^2}=3x\Leftrightarrow x=\pm 1\).
Ta có \(y(-2)=-2\), \(y(2)=2\), \(y(-1)=2\), \(y(1)=4\).
\(\max\limits_{[-2;2]}f(x)=4\), \(\min\limits_{[-2;2]}f(x)=-2\).
Câu 58:
Tính giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y=\sqrt{2-x^2}-x\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=[-\sqrt{2};\sqrt{2}]\).
Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-x}{\sqrt{2-x^2}}-1=\displaystyle\frac{-x-\sqrt{2-x^2}}{\sqrt{2-x^2}}\).
Mặt khác,
\begin{eqnarray*}& & y'=0\\&\Leftrightarrow & -x-\sqrt{2-x^2}=0\\& \Leftrightarrow & \sqrt{2-x^2}=-x\\& \Leftrightarrow & \begin{cases}x\leq 0\\2-x^2=x^2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x\leq 0\\x^2=1\end{cases}\\& \Leftrightarrow & x=-1.\end{eqnarray*}
Ta có \(y\left(-\sqrt{2}\right)=-\sqrt{2};~y(-1)=2;~y\left(\sqrt{2}\right)=-\sqrt{2}\).
Vậy \(\max\limits_{x\in\mathscr D} f(x)=2\) và \(\min\limits_{x\in\mathscr D} f(x)=-\sqrt{2}\).
Câu 59:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y=g(x)=\sqrt{1-x^2}\).
Xét hàm số \(g(x)=\sqrt{1-x^2}\).
Tập xác định \(\mathscr D=[-1 ; 1]\).
Ta có \(0 \leq g(x) \leq 1\) với mọi \(x \in[-1 ; 1]\). Mặt khác \(g(0)=1\) và \(g(1)=0\).
Do đó \(\min\limits _{[-1 ; 1]} g(x)=0\) và \(\max\limits _{[-1 ; 1]} g(x)=1\).
Câu 60:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y=f(x)=\sqrt{4-x^2}\).
Xét hàm số \(y=f(x)=\sqrt{4-x^2}\);
Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=[-2;2]\)
Ta có \(f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}\); \(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=0\in(-2 ; 2)\).
Mà \(f(-2)=0 ; f(0)=2 ; f(2)=0\).
Vậy \(\max\limits_{x \in [-2;2]} f(x)=f(0)=2; \min\limits_{x \in [-2;2]} f(x)=f(2)=0\).
Câu 61:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y=\sqrt{4 x-2 x^2}\).
Tập xác định của hàm số là \([0;2]\).
Ta có \(y=\sqrt{4 x-2 x^2}\Rightarrow y'=\displaystyle\frac{-2x+2}{\sqrt{4x-2x^2}}\).
Với \(y'=0\Leftrightarrow x=1\).
Lập bảng biến thiên của hàm số
Từ bảng biến thiên, ta được \(\max y=y(1)=\sqrt{2}\).
Câu 62:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y=\sqrt{2-x^2}\).
Tập xác định \(D=\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\).
Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-2x}{2\sqrt{2-x^2}}=\displaystyle\frac{-x}{\sqrt{2-x^2}}\).
\(y'=0\Leftrightarrow x=0\) (thỏa mãn).
\(y\left(-\sqrt{2} \right)=y \left(\sqrt{2} \right)=0\), \(y \left(0 \right)=\sqrt{2}\).
Vậy, \(\underset{\left[_{-\sqrt{2};\sqrt{2}}\right]}{\mathop{\min}}y=y\left(-\sqrt{2} \right)=y \left(\sqrt{2} \right)=0\), \(\underset{\left[_{-\sqrt{2};\sqrt{2}}\right]}{\mathop{\max}}y=y \left(0 \right)=\sqrt{2}\).
Câu 63:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=2 \sqrt{1-x^2}+x^2\).
Tập xác định \(\mathscr D=\left[-1;1\right]\).
Ta có \(y'=-2x\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-1\right)\). Khi đó \(y'=0\Leftrightarrow x=0\).
Ta có \(y(-1)=1\); \(y(0)=2\) và \(y(1)=1\).
Vậy \(\max y=y(0)=2\) và \(\min y=y(\pm 1)=1\).
Câu 64:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số: \(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\).
Tập xác định của hàm số là \([1;3]\).
Ta có \(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\Rightarrow y'=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{3-x}}\).
Với \(y'=0\Leftrightarrow x=2\).
Lập bảng biến thiên của hàm số
Từ bảng biến thiên, ta được \(\min y=y(1)=\sqrt{2}\); \(\max y=y(2)=2\).
Câu 65:
Tính giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{\sin x}{x}\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{\pi}{6};\displaystyle\frac{\pi}{3}\right]\).
Ta có \(f'(x)=\displaystyle\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}\).
Xét hàm số \(g(x)=x\cos x-\sin x\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{\pi}{6};\displaystyle\frac{\pi}{3}\right]\).
Ta có \(g'(x)=-x\sin x< 0, \forall x\in \left[\displaystyle\frac{\pi}{6};\displaystyle\frac{\pi}{3}\right]\).
Suy ra \(g(x)\) nghịch biến trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{\pi}{6};\displaystyle\frac{\pi}{3}\right] \Rightarrow g(x)\le g\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{\pi}{4\sqrt{3}}-\displaystyle\frac{1}{2}< 0\).
Từ đó suy ra \(f'(x)< 0,\forall x\in \left[\displaystyle\frac{\pi}{6};\displaystyle\frac{\pi}{3}\right]\). Dẫn tới \(\displaystyle \max\limits_{\left[\tfrac{\pi}{6};\tfrac{\pi}{3}\right]} f(x)=f\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{3}{\pi}\).
Câu 66:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=\cos^22x-\sin x\cos x+4\) trên \(\mathbb{R}.\)
Ta có \(f(x)=1-\sin^2 2x-\displaystyle\frac{1}{2}\sin2x+4=-\sin^22x-\displaystyle\frac{1}{2}\sin2x+5.\)
Đặt \(t=\sin2x\Rightarrow t\in [-1;1].\)
Xét hàm số \(f(t)=-t^2-\displaystyle\frac{1}{2}t+5\Rightarrow f'(t)=-2t-\displaystyle\frac{1}{2}.\)
Khi đó, \(f'(t)=0\Leftrightarrow t=-\displaystyle\frac{1}{4}\in [-1;1].\)
Mặt khác \(f(-1)=\displaystyle\frac{9}{2}\), \(f(1)=\displaystyle\frac{7}{2}\), \(f\left(-\displaystyle\frac{1}{4}\right)=\displaystyle\frac{81}{16}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(\displaystyle\frac{7}{2}\) khi \(\sin2x=1\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi\), \(k\in \Bbb{Z}.\)
Câu 67:
Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\cos^3x+9\cos x+6\sin^2x-1\).
Ta có \(y=\cos^3x+9\cos x+6\left(1-\cos^2x\right)-1=\cos^3x-6\cos^2x+9\cos x+5\).
Đặt \(t=\cos x\), ta xét hàm số \(f(t)=t^3-6t^2+9t+5\), với \(t\in [-1;1]\).
Ta có \(f'(t)=3t^2-12t+9\), \(f'(t)=0\Leftrightarrow t=1\notin (-1;1);\, t=3\notin (-1;1).\)
\(f(-1)=-11\), \(f(1)=9\).
Suy ra \(\max\limits_{[-1;1]}f(t)=9\), \(\min\limits_{[-1;1]}f(t)=-11\).
Do đó \(\max\limits_{\mathbb{R}}y=9\), \(\min\limits_{\mathbb{R}}y=-11\).
Câu 68:
Tính giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{\cos x}{x}\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{\pi}{6};\displaystyle\frac{\pi}{3}\right]\) là một số có dạng \(\displaystyle\frac{a\sqrt{b}}{\pi}\) với \(a,b\in\mathbb{N^*}\). Tính \(a-b\).
\(f(x)=\displaystyle\frac{\cos x}{x}\Rightarrow f'(x)=\displaystyle\frac{-x\sin x-\cos x}{x^2}< 0,\forall x\in \left[\displaystyle\frac{\pi}{6};\displaystyle\frac{\pi}{3}\right]\).
\(f\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{\pi}\), \(f\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\displaystyle\frac{3}{\pi}\).
Do đó giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{\cos x}{x}\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{\pi}{6};\displaystyle\frac{\pi}{3}\right]\) bằng \(\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{\pi}\).
Suy ra \(a=3,b=3\). Vậy \(a-b=0\).
Câu 69:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{2}\cos {2x}+4\sin x\) trên đoạn \(\left[ 0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\).
Biến đổi hàm số ta được \(y=-2\sqrt{2}\sin x^2+4\sin x+\sqrt{2}\).
Đặt \(t=\sin x\), bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
\(y=-2\sqrt{2}t^2+4t+\sqrt{2} \text{ với } t\in [0;1].\)
Ta có \(y'=-4\sqrt{2}t+4=0\).
\(y'=0\Leftrightarrow -4\sqrt{2}t+4=0\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\).
Khi đó \(y(0)=\sqrt{2}\), \(y(1)=4-\sqrt{2}\), \(y\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \right)=2\sqrt{2}\).
Vậy \(\min \limits_{\left[ 0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right] } y=\sqrt{2}.\)
Câu 70:
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2x + \cos x\) trên đoạn \([0;1]\).
Đạo hàm \(y' = 2 - \sin x > 0\). Suy ra bảng biến thiên
Từ kết quả bảng biến thiên suy ra, giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\min \limits_{[0;1]} y= 1\).
Câu 71:
Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=2\sin^2x-\cos x+1\).
Ta có \(y=2\sin^2x-\cos x+1=-2\cos^2x-\cos x+3\). Đặt \(t=\cos x\) với \(-1\leq t\leq 1\).
Khi đó \(y=-2t^2-t+3\Rightarrow y'=-4t-1=0\Leftrightarrow t=-\displaystyle\frac{1}{4}\cdot\)
\(\Rightarrow y(-1)=2\); \(y(1)=0\); \(y\left(-\displaystyle\frac{1}{4}\right)=\displaystyle\frac{25}{8}\)
\(\max y=\displaystyle\frac{25}{8}\), \(\min y=0\).
Câu 72:
Hàm số \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{\sin x}\) trên đoạn \(\left [\displaystyle\frac{\pi}{3}; \displaystyle\frac{5\pi}{6}\right ]\) có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là \(M\) và \(m\). Tính \(M\) và \(m\).
Ta thấy \(\forall x \in \left [ \displaystyle\frac{\pi}{3} ; \displaystyle\frac{5\pi}{6} \right ] \Rightarrow \displaystyle\frac{1}{2} \leq \sin x \leq 1 \Rightarrow 1 \leq \displaystyle\frac{1}{\sin x} \leq 2 \Rightarrow \begin{cases} M = f \left ( \displaystyle\frac{5\pi}{6} \right ) = 2\\ m =f \left ( \displaystyle\frac{\pi}{2} \right ) = 1\end{cases} \Rightarrow M - m = 1\).
Câu 73:
Cho hàm số \(y=f(x)=\sin x+\cos^2x\) . Tính giá trị \(S=\sqrt{7}{(1+\min y)}^2+16\max^2y.\)
Đặt \(t=\sin x,t\in [-1;1]\). Hàm số trở thành \(y=g(t)=1+t-t^2\) và \(g'(t)=0\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{1}{2}\in [-1;1]\).
Ta có \(g(-1)=-1;g(1)=1;g\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{5}{4}\). Suy ra \(\min y=-1, \max y=\displaystyle\frac{5}{4}\).
Vậy \(S=25\).
Câu 74:
Tính giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\cos2x+4\sin x\) trên đoạn \(\left[0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\).
Ta có \(y=-2\sin^2 x+4\sin x+1\).
Đặt \(a=\sin x\), với \(a\in[0;1]\).
Khi đó \(y=f(a)=-2a^2+4a+1\le f\left(-\displaystyle\frac{4}{2\cdot (-2)}\right)=f(1)=3\).
Vậy \(\max\limits_{\left[0;\frac{\pi}{2}\right]} y=3\).
Câu 75:
Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\left|\sin^2x-2\sin x-2\right|\) lần lượt là \(a,b\) thì giá trị \(a+b\).
Đặt \(t=\sin x\) với \(\forall t \in [-1;1]\).
Xét hàm số \(y=t^2-2t-2, \forall t \in [-1;1]\).
\(y'=2t-2 \Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow t=1\).
Đồ thị hàm số \(f(t)\) và \(\left| f(t)\right|\) như hình bên.
Vậy \(\begin{cases}\max \limits_{t \in [-1;1]} \left|f(t)\right| =3\\\min \limits_{t \in [-1;1]} \left|f(t)\right| =0\end{cases} \Rightarrow a+b=3\).
Câu 76:
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: \(f(x)= 2\sin 3x +7x+1\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{-\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\).
Xét hàm số \(f(x)= 2\sin 3x +7x+1\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{-\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\).
\(\bullet\) \(f^\prime (x)=6\cos 3x+7\). Khi đó trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{-\pi}{2};\displaystyle\frac{\pi}{2} \right)\), \(f^\prime (x)>0\).
\(\bullet\) \(f\left(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=3-\displaystyle\frac{7\pi}{2}\), \(f\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=-1+\displaystyle\frac{7\pi}{2}\).
Vậy \(\min \limits_{\left[\tfrac{-\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]}y=3-\displaystyle\frac{7\pi}{2}\) tại \(x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}\), \(\max \limits_{\left[\tfrac{-\pi}{2} y;\tfrac{\pi}{2}\right]}y=-1+\displaystyle\frac{7\pi}{2}\) tại \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\).
}
Câu 77:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y=x-\sin 2x\) trên đoạn \([0; \pi]\).
Ta có \(y'=1-2\cos2x\); \(y'=0\Leftrightarrow\cos2x=\displaystyle\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{6}+k\pi\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{6} ;\,x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}.\) (vì \(x\in[0; \pi]\)).
\(y(0)=0\); \(y\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{\pi}{6}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\); \(y\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\); \(y(\pi)=\pi.\)
Do đó: \(\max \limits_{[0; \pi]} y=y\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}; \min \limits_{[0; \pi]} y=y\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{\pi}{6}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Câu 78:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sin x+\cos x\) trên đoạn \([0; 2\pi]\).
Ta có \(y^{\prime}=\cos x-\sin x; y^{\prime}=0\Leftrightarrow \cos x=\sin x \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{5\pi}{4}\) (vì \(x \in[0; 2\pi]\));
\[y(0)=1; y(2 \pi)=1; y\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}; y\left(\displaystyle\frac{5 \pi}{4}\right)=-\sqrt{2}.\]
Do đó: \(\max \limits_{[0; 2\pi]} y=y\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}; \min \limits_{[0; 2\pi]} y=y\left(\displaystyle\frac{5 \pi}{4}\right)=-\sqrt{2}\).
Câu 79:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f(x)=\cos2x+2x+1\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{-\pi}{2};\pi\right]\).
Xét hàm số \(f(x)=\cos2x+2x+1\) trên đoạn \(\left[\displaystyle\frac{-\pi}{2};\pi\right]\) .
Đạo hàm \(f'(x)=-2\sin2x+2\).
Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow -2\sin2x+2=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\).
Vì \(x\in \left[-\displaystyle\frac{\pi}{2};\pi\right] \Rightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{4}\).
Các giá trị \(f(-\displaystyle\frac{\pi}{2})=-\pi\), \(f\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{\pi}{2}+1\), \(f(1)=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(f(2)=2\).
So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{\left[-\tfrac{\pi}{2};\pi\right]}f(x)=2\pi+2\), \(\min\limits_{\left[-\tfrac{\pi}{2};\pi\right]}f(x)=-\pi\).
Câu 80:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(g(x)=\displaystyle\frac{\ln x}{x}\) trên đoạn \(\left[1;4\right]\).
Ta có \(g'(x)=\displaystyle\frac{1-\ln x}{x^2}\).
Cho \(g'(x)=0 \Leftrightarrow 1-\ln x=0 \Leftrightarrow x=e\in\left[1;4\right]\).
Các giá trị \(g(1)=0, g(e)=\displaystyle\frac{1}{4}, g(4)=\displaystyle\frac{\ln4}{4}=\displaystyle\frac{\ln2}{2}\).
Vậy
\(\begin{aligned}&\max\limits_{\left[1;4\right]}g(x)=\displaystyle\frac{1}{e} \text{ tại } x=e,\\ &\min\limits_{\left[1;4\right]}g(x)=0 \text{ tại } x=1.\end{aligned}\)
Câu 81:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f(x)=e^x\left(x^2-5x+7\right)\) trên đoạn \(\left[0;3\right]\).
Xét hàm số \(f(x)=e^x\left(x^2-5x+7\right)\), trên đoạn \(\left[0;3\right]\).
Đạo hàm \(f'(x)=e^x(x^2-3x+2)\).
Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow e^x(x^2-3x+2)=0 \Leftrightarrow x=2\in[0;3];\,x=1\in[0;3].\)
Các giá trị \(f(0)=7\), \(f(1)=3e\), \(f(2)=e^2\), \(f(3)=e^3\).
So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{[0;3]}f(x)=e^3\), \(\min\limits_{[0;3]}f(x)=7\).
Câu 82:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y=\left(x^2-x\right) \mathrm{e}^x\) trên đoạn \([0; 1]\).
Ta có \(y'=(2x-1)\mathrm{e}^x+\left(x^2-x\right) \mathrm{e}^x=\left(x^2+x-1\right) \mathrm{e}^x\); \(y'=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\) (vì \(x\in[0; 1]\)).
\(y(0)=0\); \(y\left(\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)=\left(2-\sqrt{5}\right)\mathrm{e}^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\); \(y(1)=0.\)
Do đó: \(\max \limits_{[0; 1]} y=y\left(1\right)=y(0)=0; \min \limits_{[0; 1]} y\left(\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)=\left(2-\sqrt{5}\right)\mathrm{e}^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\).
Câu 83:
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: \(f(x)= \displaystyle\frac{\ln (x+1)}{x+1}\) trên đoạn \(\left[0;3\right]\).
Xét hàm số \(f(x)= \displaystyle\frac{x^2+3x+6}{x+2}\) trên đoạn \(\left[1;5\right]\).
\(\bullet\) \(f^\prime (x)=\displaystyle\frac{x^2+4x}{(x+2)^2}\). Khi đó trên khoảng \((1;5)\), \(f^\prime (x)>0\).
\(\bullet\) \(f(1)=\displaystyle\frac{10}{3}\), \(f(5)=\displaystyle\frac{46}{7}\).
Vậy \(\min \limits_{[1;5]}y=\displaystyle\frac{10}{3}\) tại \(x=1\), \(\max \limits_{[1;5]}y=\displaystyle\frac{46}{7}\) tại \(x=5\).
a) Xét hàm số \(f(x)= \displaystyle\frac{\ln (x+1)}{x+1}\) trên đoạn \(\left[0;3\right]\).
\(\bullet\) \(f^\prime (x)=\displaystyle\frac{1-\ln(x+1)}{(x+1)^2}\). Khi đó trên khoảng \((0;3)\), \(f^\prime (x)=0\) khi \(x=\text{e}-1\).
\(\bullet\) \(f(0)=0\), \(f(3)=\displaystyle\frac{4}{4}\), \(f(\text{e}-1)=\displaystyle\frac{1}{\text{e}}\).
Vậy \(\min \limits_{[0;3]}y=0\) tại \(x=0\), \(\max \limits_{[0;3]}y=\displaystyle\frac{1}{\text{e}}\) tại \(x=\text{e}-1\).
}
Câu 84:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số: \(y=x \mathrm{e}^{-x}\).
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
Ta có \(y=x\mathrm{e}^{-x}\Rightarrow y'=\mathrm{e}^{-x}-x\mathrm{e}^{-x}\).
Với \(y'=0\Leftrightarrow x=1\).
Lập bảng biến thiên của hàm số
Từ bảng biến thiên, ta được \(\max y=(1)=\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}\).
Câu 85:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số: \(y=x \ln x\).
Tập xác định của hàm số là \((0;+\infty)\).
Ta có \(y=x\ln x\Rightarrow y'=\ln x +1\).
Với \(y'=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1}{e}\).
Lập bảng biến thiên của hàm số
Từ bảng biến thiên, ta được \(\min y=y\left(\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}\right)=-\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}\).
Câu 86:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y=f(x)=\mathrm{e}^x-x\) trên đoạn \([-1 ; 2]\).
Xét hàm số \(y=f(x)=\mathrm{e}^x-x\) trên đoạn \([-1 ; 2]\);
Ta có
\(f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^x-1\); \(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=0\in(-1 ; 2)\).
Mà \(f(-1)=\mathrm{e}^{-1}+1 ; f(0)=1 ; f(2)=\mathrm{e}^2-2\).
Vậy \(\max\limits_{x \in [-1;2]} f(x)=f(2)=\mathrm{e}^2-2; \min\limits_{x \in [-1;2]} f(x)=f(0)=1\).
Câu 87:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y=f(x)=x \ln x\) trên đoạn \(\left[\mathrm{e}^{-2} ; \mathrm{e}\right]\).
Xét hàm số \(y=f(x)=x \ln x\) trên đoạn \(\left[\mathrm{e}^{-2} ; \mathrm{e}\right]\).
Ta có \(f^{\prime}(x)=\ln x -1\); \(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=\mathrm{e}\notin(\mathrm{e}^{-2} ; \mathrm{e})\)'
Mà \(f(\mathrm{e}^{-2})=-2\mathrm{e}^{-2} ; f(\mathrm{e})=3\); \(f(\mathrm{e})=\mathrm{e}\).
Vậy \(\max\limits_{x \in [\mathrm{e}^{-2} ; \mathrm{e}]} f(x)=f(\mathrm{e})=\mathrm{e}; \min\limits_{x \in [\mathrm{e}^{-2} ; \mathrm{e}]} f(x)=f(\mathrm{e}^{-2})=-2\mathrm{e}^{-2}\).
Câu 88:
Gọi \(M,\ m\) tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\displaystyle\frac{2\cos x+1}{\cos x-2}\). Tìm \(M\) và \(m\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).
Đặt \(t=\cos x\), với \(x\in\mathbb{R} \Rightarrow t\in[-1;1]\). Thu được hàm \(f(t)=\displaystyle\frac{2t+1}{t-2}\), \(t\in[-1;1]\) và \(M=\displaystyle\max_{[-1;1]}f(t),\ m=\displaystyle\min_{[-1;1]}f(t)\).
Vì \(f(t)\) nghịch biến trên \([-1;1]\), nên \(M=f(-1)=\displaystyle\frac{1}{3},\ m=f(1)=-3.\)
Vậy mệnh đúng là \(9M+m=0\).
Câu 1:
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb R\) và có đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) như hình vẽ. Biết rằng \(f(-1)+f(2)=f(1)+f(4)\), các điểm \(A(1;0)\), \(B(-1;0)\) thuộc đồ thị. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(f(x)\) trên đoạn \([-1;4]\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(f'(x)\) ta có bảng biến thiên sau
Suy ra \(\min\limits_{[-1;4]}f(x)=f(1)\).
Trên đoạn \([1;4]\) hàm số đồng biến nên \(f(1)< f(2)\).
Từ đó ta có \(f(4)=f(2)-f(1)+f(-1)>f(-1).\)
Suy ra \(\max\limits_{[-1;4]}f(x)=f(4)\).
Câu 2:
Cho hàm số \(f(x)\) có đồ thị của hàm số \(y=f'(x)\) như hình vẽ. Biết \(f(0)+f(1)-2f(2)=f(4)-f(3)\). Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\), giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([0;4]\).
Từ đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) ta suy ra \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0;\, x=2.\)
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy \(M=f(2)\).
Mặt khác, từ bảng biến thiên ta có
\(\begin{cases}f(1)< f(2)\\f(3)< f(2)\end{cases}\Rightarrow f(1)+f(3)< 2f(2)\).
Do đó \(f(4)=f(0)+f(1)+f(3)-2f(2)< f(0)+f(2)+f(2)-2f(2)=f(0) \Rightarrow m=f(4)\).
Câu 3:
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục, có đạo hàm trên đoạn \([a;b]\) và đồ thị của hàm số \(f'(x)\) là đường cong như hình vẽ bên. Tìm \(\min\limits_{[a;b]}f(x)\).
Dựa vào đồ thị của \(f'(x) \), ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \(\min\limits_{[a;b]}f(x)=f(x_2)\).
Câu 4:
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm là \(f'(x)\). Đồ thị của hàm số \(y=f'(x)\) cho như hình vẽ. Biết rằng \(f(2)+f(4)=f(3)+f(0)\). Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của \(f(x)\) trên đoạn \([0;4]\).
Dựa vào đồ thị hàm số \(f'(x)\) ta lập được bảng biến thiên như hình bên.
Theo giả thiết ta có:
\(f(4)-f(0)=f(3)-f(2)< 0 \Rightarrow f(4)< f(0) \).
Vậy \(\max \limits_{[0;4]}f(x)=f(2)\) và \(\min \limits_{[0;4]}f(x)=f(4)\).
Câu 5:
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm là \(f'(x)\). Đồ thị của hàm số \(y=f'(x)\) được cho như hình bên. Biết rằng \(f(0)+f(3)=f(2)+f(5)\). Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của \(f(x)\) trên đoạn \([0; 5]\).
Dựa vào đồ thị \(y=f'(x) \), ta có bảng biến thiên như sau
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của \(f(x) \) trên đoạn \([0;5] \) là \(f(2) \).
Vì \(f(0)+f(3)=f(2)+f(5)\Rightarrow f(5)-f(0)=f(3)-f(2)>0\Rightarrow f(5)>f(0)\)
\(\Rightarrow\) giá trị lớn nhất của \(f(x) \) trên đoạn \([0;5] \) là \(f(5) \).
Câu 6:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Đặt hàm số \(g(x)=f(2x^3+x-1)+m\). Tìm \(m\) để \(\max\limits_{[0;1]} g(x)=-10\).
Ta có \(g'(x)=(6x^2+1)f'(2x^3+x-1)\).
Vì \(6x^2+1>0\) nên
\(g'(x)=0 \,\Leftrightarrow\, f'(2x^3+x-1)=0\) \(\Leftrightarrow\, 2x^3+x-1=-1;\, 2x^3+x-1=1\) \(\Leftrightarrow\,x=0;\, x=x_0 \in (0;1)\).
Bảng biến thiên của hàm số \(g(x)\)
Dựa vào bảng biến thiên, ta được \(\max\limits_{[0;1]} g(x)=3+m\).
Suy ra, \(3+m=-10 \,\Leftrightarrow\, m=-13\).
Câu 1:
Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=-x^3-3x^2+m\) trên đoạn \(\left[-1;1\right]\) bằng \(0.\)
Ta có \(y'=-3x^2-6x.\) Giải \(y'=0\Leftrightarrow x=0\in [-1;1];\, x=-2\not\in [-1;1].\)
Mặt khác \(y(-1)=m-2,\) \(y(0)=m,\) \(y(1)=m-4.\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-1;1]\) bằng \(m-4\) tại \(x=1.\)
Theo giả thiết suy ra \(m-4=0\Leftrightarrow m=4.\)
Câu 2:
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y=x^3+(m^2+1)x-m+1\) có giá trị lớn nhất trên đoạn \([0;1]\) bằng 9.
Ta có \(y'=3x^2+(m^2+1)>0,\forall x\in \mathbb{R} \Rightarrow\) hàm số đồng biến trên \([0;1]\).
Do đó \(\max\limits_{x\in [0;1]} y=y(1)=m^2-m+3\). Suy ra \(m^2-m+3=9 \Leftrightarrow m=-2;\, m=3\).
Câu 3:
Tìm \(m\) để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 2(m - 10)\) trên đoạn \([1; 3]\) bằng \(-5\).
\(\bullet\) \(f'(x) = 9x^2-8x\). Ta có \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0;\, x = \displaystyle\frac{8}{9}.\)
\(\bullet\) Ta có bảng biến thiên
\(\bullet\) Giá trị nhỏ nhất của \(f(x)\) trên đoạn \([1;3]\) bằng \(-5 \Leftrightarrow 2m - 21 = -5 \Leftrightarrow m= 8\).
Câu 4:
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) biết giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\displaystyle\frac{3x+m}{x-1}\) trên \([2;5]\) bằng \(4\).
Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).
Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-3-m}{(x-1)^2}\).
+) Với \(-m-3=0\Leftrightarrow m=-3\) hàm số thành hàm hằng \(y=1\) (không thỏa mãn).
+) Với \(-m-3>0\Leftrightarrow m< -3\) thì \(y'>0\) hàm số đồng biến trên \([2;5]\subset \mathscr{D}\). Do đó GTLN của hàm số là \(y(5)=\displaystyle\frac{15+m}{4}=4\Leftrightarrow m=1\) (không thỏa mãn).
+) Với \(-m-3< 0\Leftrightarrow m>-3\) thì \(y'< 0\) hàm số nghịch biến trên \([2;5]\). Do đó GTLN của hàm số là \(y(2)=6+m=4\Leftrightarrow m=-2\) (thỏa mãn).
Câu 5:
Cho hàm số \(y=\displaystyle\frac{x+m}{x+1}\) thỏa mãn \(\min \limits_{[1;2]}y + \max \limits_{[1;2]}y=\displaystyle\frac{16}{3}\). Tìm \(m\).
Với \(m=1\) thì \(y=\displaystyle\frac{x+1}{x+1}=1\) là hàm hằng nên \(\min \limits_{[1;2]}y + \max \limits_{[1;2]}y =1+1=2\) (loại).
Với \(m \ne 1\) thì \(y'=\displaystyle\frac{1-m}{(x+1)^2}\). Suy ra hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng \((1;2)\).
Khi đó \(\begin{cases}\min \limits_{[1;2]}y=y(1)\\ \max \limits_{[1;2]}y=y(2)\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}\min \limits_{[1;2]}y=y(2)\\ \max \limits_{[1;2]}y=y(1)\end{cases}.\)
Ta có \(\min \limits_{[1;2]}y + \max \limits_{[1;2]}y = y(1)+y(2) \Leftrightarrow \displaystyle\frac{16}{3} = \displaystyle\frac{1+m}{2} + \displaystyle\frac{2+m}{3} \Leftrightarrow m=5\).
Câu 6:
Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y=\displaystyle\frac{mx+1}{x+m^2}\) có giá trị lớn nhất trên đoạn \([2;3]\) bằng \(\displaystyle\frac{5}{6}\).
Hàm số luôn xác định trên đoạn \([2;3]\).
Ta có \(y'=\displaystyle\frac{m^3-1}{(x+m^2)^2}\) và \(y(2)=\displaystyle\frac{2m+1}{m^2+2}\); \(y(3)=\displaystyle\frac{3m+1}{m^2+3}\).
Trường hợp 1: nếu \(y'< 0, \forall x\in [2;3]\) thì \(m< 1\) và \(\max \limits_{[2;3]} y=y(2)=\displaystyle\frac{5}{6} \Leftrightarrow m=2; m=\displaystyle\frac{2}{5}\), do đó ta được \(m=\displaystyle\frac{2}{5}\).
Trường hợp 2: nếu \(y'>0, \forall x\in [2;3]\) thì \(m>1\) và \(\max \limits_{[2;3]} y=y(3)=\displaystyle\frac{5}{6} \Leftrightarrow m=3; m=\displaystyle\frac{3}{5}\), do đó ta được \(m=3\).
Câu 7:
Cho hàm số \(y=\displaystyle\frac{x-m^{2}+m}{x+1}\). Tìm các giá trị của tham số \(m\) sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([0;1]\) bằng \(-2\).
Ta có \(y'=\displaystyle\frac{m^{2}-m+1}{(x+1)^{2}}>0\) với mọi \(x\in [0;1]\Rightarrow\) hàm số luôn đồng biến trên \([0;1]\)
\(\Rightarrow\) giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([0;1]\) là \(y(0)=-2\)
\(\Leftrightarrow m^{2}-m-2=0\Leftrightarrow m=-1;\,m=2.\)
Câu 8:
Cho hàm số \(y=\displaystyle\frac{x+m}{x-2}\) (\(m\) là tham số thực) thỏa mãn \(\min\limits_{\left[3;5\right]}y=3\). Tìm \(m\).
TXĐ\(\colon\,\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\{2\}\).
\(y'=\displaystyle\frac{-2-m}{\left(x-2\right)^2}\).
TH1. \(y'=0\Leftrightarrow m=-2\)
\(\Rightarrow y=1\) loại.
TH2. \(y'>0\Leftrightarrow -2-m>0\Leftrightarrow m< -2\).
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra \(\min\limits_{\left[3;5\right]}y=y\left(3\right)=3+m=3\Leftrightarrow m=0 (\text{ loại})\).
TH3. \(y'< 0\Leftrightarrow -2-m< 0\Leftrightarrow m>-2\).
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra \(\min\limits_{\left[3;5\right]}y=y\left(5\right)=\displaystyle\frac{5+m}{3}=3\Leftrightarrow m=4\) (thỏa mãn).
Câu 9:
Cho hàm số \(y=\displaystyle\frac{x+1+m}{1-x}\) (\(m\) là số thực) thoả mãn \(\max\limits_{\left[2;5\right]}y=4\). Tìm \(m\).
Với \(m=-2\) không thoả mãn.
Với \(m\neq -2\) ta có \(y'=\displaystyle\frac{2+m}{(1-x)^2}\). Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: \(m>-2\) khi đó \(y'>0\) trên \(\left[2; 5\right]\) nên \(\max\limits_{\left[2;5\right]}y=4\Leftrightarrow y(5)=4\Leftrightarrow m=-22\) (loại).
Trường hợp 2: \(m< -2\) khi đó \(y'>0\) trên \(\left[2; 5\right]\) nên \(\max\limits_{\left[2;5\right]}y=4\Leftrightarrow y(2)=4\Leftrightarrow m=-7\) (thoả mãn).
Vậy \(m=-7\) thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu 10:
Tìm giá trị của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x+m^2}{x-1}\) trên \(\left[-1;0\right]\) bằng \(-1\).
Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-m^2-1}{(x-1)^2} < 0, \forall m\). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[-1;0\right]\) là \(y(-1)=\displaystyle\frac{m^2-1}{-2}\).
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x+m^2}{x-1}\) trên \(\left[-1;0\right]\) bằng \(-1\Leftrightarrow \displaystyle\frac{m^2-1}{-2}=-1\Leftrightarrow m=\pm\sqrt{3}\).
Câu 11:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\displaystyle\frac{x+m^2}{x-1}\) trên đoạn \([2;3]\) bằng \(14\).
Tập xác định \(\mathscr{D} = \mathbb{R} \backslash \{1\}\).
\(y'= \displaystyle\frac{-1-m^2}{(x-1)^2} < 0\), \(\forall x \neq 1\).
Do đó hàm số nghịch biến trên \(\left(1; +\infty\right)\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left[2;3\right]\).
Suy ra \(y(3)\) là giá trị nhỏ nhất.
Theo đề bài \(y(3)=14 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{3+m^2}{2} =14 \Leftrightarrow m= \pm 5\).
Câu 12:
Cho hàm số \(y=\displaystyle\frac{m\cos x-2}{\cos x+3}\) có giá trị lớn nhất là \(B\), giá trị nhỏ nhất là \(b\). Tìm \(m\) để \(B+b=\displaystyle\frac{-5}{4}\).
Đặt \(t=\cos x\), với \(t\in[-1;1]\). Khi đó giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y=\displaystyle\frac{m\cos x-2}{\cos x+3}\) là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(f(t)=\displaystyle\frac{mt-2}{t+3}\)với \(t\in[-1;1]\).
Ta có \(f'(t)=\displaystyle\frac{3m+2}{(t+3)^2}\) giữa nguyên dấu trên đoạn \([-1;1]\). Bởi vậy:
\(B+b=f(-1)+f(1)=\displaystyle\frac{-m-2}{2}+\displaystyle\frac{m-2}{4}=\displaystyle\frac{-m-6}{4}.\)
Do đó:
\(B+b=\displaystyle\frac{-5}{4}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{-m-6}{4}=\displaystyle\frac{-5}{4}\Leftrightarrow -m-6=-5\Leftrightarrow m=-1.\)
}
Câu 13:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left|\displaystyle\frac{x^2 + mx + m}{x + 1}\right|\) trên \(\left[1; 2\right]\) bằng \(2\).
\(\bullet\) Ta có \(y = \left| \displaystyle\frac{x^2 + mx + m}{x + 1}\right| = \left|x + m - 1 + \displaystyle\frac{1}{x + 1}\right|\).
Xét hàm số \(f(x) = x + m - 1 + \displaystyle\frac{1}{x + 1}\) có \(f'(x) = 1 - \displaystyle\frac{1}{(x + 1)^2} > 0\) \(\forall x \in \left[1; 2\right]\).
Do đó hàm số \(f(x)\) đồng biến trên đoạn \(\left[1; 2\right]\).
\(\bullet\) Suy ra \(\displaystyle \max_{[1;2]}f(x) = f(2)\) và \(\displaystyle \min_{[1;2]} f(x) = f(1)\).
Suy ra \(\displaystyle \max_{[1;2]} \left| f(x) \right| = \max \left\lbrace |f(2)|;|f(1)|\right\rbrace = \max \left\lbrace \left| m + \displaystyle\frac{1}{2}\right|; \left| m + \displaystyle\frac{4}{3}\right|\right\rbrace\).
\(\bullet\) Với \(\left| m + \displaystyle\frac{4}{3}\right| = 2 \Leftrightarrow m = \displaystyle\frac{2}{3} \text{ (thỏa mãn)};\, m = - \displaystyle\frac{10}{3} \text{ (loại)}\).
\(\bullet\) Với \(\left| m + \displaystyle\frac{1}{2}\right| = 2 \Leftrightarrow m = - \displaystyle\frac{5}{2} \text{ (thỏa mãn)};\, m = \displaystyle\frac{3}{2} \text{ (loại)}\).
Vậy \(S\) có 2 phần tử.
Câu 14:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\left|x^4-8x^2-m\right|\) trên đoạn \(\left[0;3\right]\) bằng \(14\).
Xét hàm số \(f(x)=x^4-8x^2-m\) trên đoạn \([0;3]\) có \(f'(x)=4x^3-16x\).
\(f'(x)=0\Leftrightarrow x=0;\,x=\pm 2\).
\(f(0)=-m; f(2)=-m-16; f(3)=-m+9\).
Khi đó \(\max\limits_{x\in [0;3]} y=|-m-16|;\,|-m+9|\).
Nếu \(|-m-16|\ge |-m+9|\Leftrightarrow m\ge -\displaystyle\frac{7}{2}\Rightarrow \max\limits_{x\in [0;3]} y=|-m-16|=14\Leftrightarrow m=-2\).
Nếu \(|-m-16|< |-m+9|\Leftrightarrow m< -\displaystyle\frac{7}{2}\Rightarrow \max\limits_{x\in [0;3]} y=|-m+9|=14\Leftrightarrow m=-5\).
Vậy có \(2\) giá trị của \(m\) thỏa mãn và thuộc khoảng \((-7;1)\).
Câu 15:
Biết rằng tồn tại hai giá trị của \(m\) sao cho hàm số \(y = \big | x^3 - 3x^2 + m \big |\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2\) trên đoạn \([-2;3]\). Tính tổng hai giá trị đó.
Xét \(f(x) = x^3 - 3x^2\), ta có \(f'(x) = 3x^2 - 6x\).
Ta có \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 0 \\ x = 2 \end{cases}.\)
Khi đó ta có \(\begin{cases} f(-2) = -20 \\ f(0) = 0\\ f(2) = -4 \\ f(3) = 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \min \limits_{[-2;3]} f(x) = - 20 \\ \max \limits_{[-2;3]} f(x) = 0. \end{cases}\)
Với \(x \in [-2;3]\) ta có
\begin{align*}&\ -20\leq x^3- 3x^2\leq 0 \\\Rightarrow &\ m-20\leq x^3-3x^2+m\leq m\\ \Rightarrow& \ \min | x^3 - 3x^2 + m |=\min \big \{ |m - 20|;|m|\big\}.\end{align*}
\begin{enumerate}[Th1.]
+) \(m < 0\), ta được \(\min | x^3 - 3x^2 + m | = - m \Rightarrow m = -2\).
+) \(m \geq 20\), ta được \(\min | x^3 - 3x^2 + m | = m - 20 \Rightarrow m = 22\).
+) \(0 \leq m < 20\), ta được \(\min | x^3 - 3x^2 + m | = 0\) (không thỏa mãn đề bài).
\end{enumerate}
Vậy tổng hai giá trị \(m\) thỏa mãn đề bài bằng \(20\).
Câu 16:
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y=|x^3-3x+m|\) trên đoạn \([0;2]\) bằng \(3\). Tính số phần tử của \(S\).
Đặt \(f(x)=x^3-3x+m\), \(f'(x)=3x^2-3\), \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=\pm 1\).
+) Nếu \(m\ge 0\) thì \(\max\limits_{[0;2]} y =|m+2|\). Khi đó \(|m+2|=3 \Leftrightarrow m=1\).
+) Nếu \(m< 0\) thì \(\max\limits_{[0;2]} y =|m-2|\). Khi đó \(|m-2|=3 \Leftrightarrow m=-1\).
Vậy có \(2\) giá trị \(m\) thỏa đề.
Câu 17:
Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=|\sin^4 x+\cos 2x+m|\) bằng \(2\)?
Ta biến đổi \(y=|\sin^4 x+1-2\sin^2 x+m|=|(\sin^2 x-1)^2+m|=|\cos^4 x+m|\).\\ Đặt \(\cos^4 x=t,\ t\in [0;1]\). Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=|t+m|\).
Xét hàm số \(f(t)=t+m\), ta có bảng biến thiên như sau
Đến đây chúng ta có các trường hợp sau
+) Nếu \(m\ge 0\), khi đó giá trị nhỏ nhất của \(|f(t)|\) là \(m\), từ giả thiết suy ra \(m=2\) (thỏa mãn).
+) Nếu \(m< 0< m+1\Leftrightarrow -1< m< 0\), đồ thị hàm số cắt đường thẳng \(y=0\), vậy giá trị nhỏ nhất của \(|f(t)|\) bằng \(0\) (loại).
+) Nếu \(m\le -1\), khi đó giá trị nhỏ nhất của \(|f(t)|\) là \(-1-m\). Từ giả thiết ta có\\ \(-1-m=2\Leftrightarrow m=-3\) (thỏa mãn).
Vậy có hai giá trị \(m\) thỏa mãn.
Câu 18:
Cho hàm số \(y=|x^3+3x^2+m-1|\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn \([-1;1]\) bằng \(3\). Tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng bao nhiêu?
Đặt \(f(x)=x^3+3x^2+m-1\) nên \(f'(x)=3x^2+6x \Leftrightarrow x=0 \text{ hoặc } x=-2\).
Ta có \(|f(0)| =|m-1|\), \(|f(1)|=|m+3|\), \(|f(-1)|=|m+1|\). Ta xét \(3\) trường hợp
+) TH1: \(\begin{cases}|m-1|=3\\ |m+3|\leq 3 \\ |m+1|\leq 3\end{cases} \Leftrightarrow m=-2\).
+) TH2: \(\begin{cases}|m-1|\leq 3\\ |m+3|= 3 \\ |m+1|\leq 3\end{cases} \Leftrightarrow m=0\).
+) TH3: \(\begin{cases}|m-1|\leq 3\\ |m+3|\leq 3 \\ |m+1|= 3\end{cases} (\text{ vô nghiệm})\).
Tổng các phần tử của \(S\) là \(-2\).
}
Câu 19:
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = |x^2+2x+m-4|\) trên đoạn \([-2;1]\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Xét hàm số \(f(x) = x^2 + 2x + m - 4\) trên đoạn \([-2;1]\). Ta có \(f'(x) = 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = -1\).
Ta có \(f(-2) = m-4\), \(f(1) = m-1\) và \(f(-1) = m-5\).
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là \(\max\{|m-4|,|m-1|,|m-5|\}\).
Ta thấy \(m-5 < m-4 < m-1\) nên \(|m-4| < \max\{|m-1|,|m-5|\}\). Do đó \(\max\{|m-4|,|m-1|,|m-5|\} = \max\{|m-1|,|m-5|\}\).
Đặt \(A = m-1 = (m-3) + 2\) và \(m = m-5 = (m-3) - 2\).
+) \(m-3 > 0 \Rightarrow \max\{|A|,|B|\} \geq |A| > 2\).
+) \(m - 3 < 0 \Rightarrow \max\{|A|,|B|\} |B| > 2\).
+) \(m-3 = 0 \Rightarrow \max\{|A|,|B|\} = |A| = |B| = 2\)
Vậy để giá trị giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất thì \(m =3\).
Câu 20:
Cho hàm số \(f(x)=\left|x^4-4x^3+4x^2+a\right|\). Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \([0;2]\). Có bao nhiêu số nguyên \(a\) thuộc đoạn \([-3;3]\) sao cho \(M\leqslant 2m\)?
Đặt \(g(x)=x^4-4x^3+4x^2+a\).
\(g'(x)=4x^3-12x^2+8x=0 \Leftrightarrow x=0 ;\, x=1 ;\, x=2.\)
Khi đó:
\(\max\limits_{[0;2]}g(x)=\max \left\{g(0),g(1),g(2)\right\}=\max \left\{a,a+1,a\right\}=a+1\).
\(\min\limits_{[0;2]} g(x)=\min \left\{g(0),g(1),g(2)\right\}=\min \left\{a,a+1,a\right\}=a\).
Nếu \(a\geqslant 0 \Rightarrow m=a,M=a+1 \Rightarrow 2a\geqslant a+1 \Leftrightarrow a\geqslant 1 \Rightarrow a\in \{1;2;3\}\).
Nếu \(a\leqslant -1 \Rightarrow m=-(a+1),M=-a \Rightarrow -2(a+1)\geqslant -a \Leftrightarrow a\leqslant -2 \Rightarrow a\in \{-3;-2\}\).
Vậy có \(5\) số nguyên \(a\) thỏa mãn.
Câu 21:
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\left|x^3-3x^2-9x+m\right|\) trên đoạn \([-2;4]\) bằng \(16\). Tính số phần tử của \(S\).
Xét hàm số \(f(x)=x^3-3x^2-9x+m\) trên \([-2;4]\).
\(f'(x)=3x^2-6x-9;\ f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1;\, x=3\).
\(f(-2)=-2+m; f(-1)=5+m; f(3)=-27+m;f(4)=-20+m\).
Suy ra \(\underset{[2;4]}{\mathop{\min}}\,f\left( x \right)=m-27\); \(\underset{[2;4]}{\mathop{\max}}\,f\left( x \right)=m+5\Rightarrow \underset{[2;4]}{\mathop{\max}}\,\left|f (x) \right|=\max\left\{|m-27|;|m+5|\right\}\).
\(\circ\) Trường hợp \(1\): Nếu \(|m-27|\le |m+5|\ (*)\)
\(\Rightarrow \underset{[2;4]}{\mathop{\max}}\,\left| f(x) \right|=|m+5|\Rightarrow m+5=16\Leftrightarrow m=11;\, m=-21\).
Kết hợp điều kiện \((*)\Rightarrow m=11\).
\(\circ\) Trường hợp \(2\): Nếu \(|m-27|> |m+5|\ (**)\)
\(\Rightarrow \underset{[2;4]}{\mathop{\max}}\,\left| f(x) \right|=|m-27|\Rightarrow m-27=16\Leftrightarrow m=43;\, m=11\).
Kết hợp điều kiện \((**)\) không có \(m\) thỏa mãn.
Vậy \(S=\left\{11\right\}\Rightarrow S\) có \(1\) phần tử.
Câu 22:
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) sao cho trị lớn nhất của hàm số \(y=\left |3x^2-6x+2m-1\right |\) trên đoạn \([-2;3]\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính số phần tử của tập S.
Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\left |3x^2-6x+2m-1\right |\) trên đoạn \([-2;3]\).
Ta có \(M \geq f(-2) = |2m+23|\), \(M \geq f(1) = |2m-4|\)
\(\Rightarrow 2M \geq |2m+23| + |2m-4| \geq |2m+23 -2m+4|=27 \Rightarrow M \geq \displaystyle\frac{27}{2}\).
Khi \(M=\displaystyle\frac{27}{2} \Rightarrow |2m+23| = |2m-4| \Leftrightarrow m= -\displaystyle\frac{19}{4}\).
Với \(m=-\displaystyle\frac{19}{4}\), \(\displaystyle \max_{[-2;3]} f(x) =\max \{ f(-2); f(1);f(3)\} = \displaystyle\frac{27}{2}.\)
Câu 23:
Cho hàm số \(f(x)=\left| 8x^4+ax^2+b\right|\), trong đó \(a\), \(b\) là tham số thực. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \(\left[-1;1\right]\) bằng \(1\). Tìm \(a\) và \(b\).
Xét \(g(x)=8x^4+ax^2+b\), \(g'(x)=32x^3+2ax=0\Leftrightarrow x=0;\, x^2=-\displaystyle\frac{a}{16}.\)
Ta có \(\underset{\left[-1;1\right]}\max f(x)=1 \Rightarrow g(0)=b\in \left[-1;1\right]\).
+) Trường hợp \(1\): \(a>0\). Ta có \(g(1)=g\left(-1\right)=8+a+b>1\). Suy ra \(\underset{\left[-1;1\right]}\max f(x)>1\) không thỏa yêu cầu bài toán.
+) Trường hợp \(2\): \(a< 0\).
Nếu \(-\displaystyle\frac{a}{16}>1\Leftrightarrow a< -16\). Ta có \(g(1)=g\left(-1\right)=8+a+b< -1\). Suy ra \(\underset{\left[-1;1\right]}\max f(x)>1\) không thỏa yêu cầu bài toán.
Nếu \(-\displaystyle\frac{a}{16}< 1\Leftrightarrow a>-16\).
Ta có bảng biến thiên
Với \(\underset{\left[-1;1\right]}\max f(x)=b=1\).
Khi đó theo yêu cầu bài toán ta có hệ
\(\begin{cases}1-\displaystyle\frac{a^2}{32}\ge-1\\ 8+a+b\le 1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a^2\le 64 \\ a\le-8 \end{cases}\Leftrightarrow a=-8\; \text{thỏa}\ a>-16.\)
Với \(\underset{\left[-1;1\right]}\max f(x)=8+a+b=1.\)
Khi đó ta có hệ \(\begin{cases}b\le 1 \\ b-\displaystyle\frac{a^2}{32}\ge-1\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a\ge-8\\ \displaystyle\frac{a^2}{32}+a+6\le 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a\ge-8\\ -24\le a\le-8\end{cases}\Leftrightarrow a=-8\Rightarrow b=1.\)
Với \(\underset{\left[-1;1\right]}\max f(x)=\left| b-\displaystyle\frac{a^2}{32}\right|=1\). Ta có
\(\begin{cases}b-\displaystyle\frac{a^2}{32}=-1\\ 8+a+b\le 1\\ b\le 1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}b=\displaystyle\frac{a^2}{32}-1\\ 6+a+\displaystyle\frac{a^2}{32}\le 0\\ a\ge-8\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=-8 \\ b=1.\end{cases}\)
Vậy \(a=-8\), \(b=1\) thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 24:
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y= - \left|x^3 - 3x + m\right|\) trên đoạn \(\left[ 0;2\right]\) bằng \(- 3\). Tính tổng tất cả các phần tử của \(S\).
+) Nhận xét\(\colon\)
Tìm \(m\) sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y= - \left|x^3 - 3x + m\right|\) trên đoạn \(\left[ 0;2\right]\) bằng \(-3\)
\(\Leftrightarrow\) Tìm \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\left|x^3 - 3x + m\right|\) trên đoạn \(\left[ 0;2\right]\) bằng \(3\).
+) Xét hàm số \(f(x)=x^3 - 3x + m\) liên tục trên đoạn \(\left[ 0;2\right]\).
Ta có \(f'(x)=3x^2 - 3=0 \Leftrightarrow x=1 \,\,\,(n);\, x= - 1 \,\,\,(l)\).
+) Suy ra GTLN và GTNN của \(f(x)\) thuộc \(\left\{f\left(0\right), f\left(1\right), f\left(2\right)\right\}=\left\{m, m - 2, m + 2\right\}\).
+) Xét hàm số \(y=\left|x^3 - 3x + m\right|\) trên đoạn \(\left[ 0;2\right]\) ta được giá trị lớn nhất của hàm số y là \(\max\limits_{x\in\left[ 0;2 \right]} y=\left\{|m|, \left|m - 2\right|, \left|m + 2\right|\right\}=3\).
+) TH 1: \(m\ge 0\Rightarrow \max\limits_{x\in\left[ 0;2 \right]} y=m + 2=3\Leftrightarrow m=1\).
+) TH 2: \(m< 0\Rightarrow \max\limits_{x\in\left[ 0;2 \right]} y=2 - m=3\Leftrightarrow m= - 1\).
+) Vậy \(m\in \left\{- 1; 1\right\}\) nên tổng các phần tử của \(S\) bằng \(0\).
Câu 25:
Cho hàm số \(f(x)=\left|x^4-4x^3+4x^2+a\right|\). Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \([0;2]\). Có bao nhiêu số nguyên \(a\in[-4;4]\) sao cho \(M\le 2m\)?
Xét hàm số \(g(x)=x^4-4x^3+4x^2+a\).
Ta có \(g'(x)=4x^3-12x^2+8x=0\Leftrightarrow x=0;\, x=1;\, x=2.\)
Bảng biến thiên
Trên đoạn \([0,2]\) ta xét các trường hợp
+) Nếu \(\begin{cases}a+1>0\\ a< 0\end{cases}\) thì \(m=f_{\min}=0\), suy ra \(0\le M\le 2m=0\Rightarrow f_{\max}=M=0\) (vô lý).
+) Nếu \(a>0\) thì \(M=f_{\max}=a+1\) và \(m=f_{\min}=a\), khi đó ta có
\begin{align*}M\le 2m\Leftrightarrow a+1\le 2a\Leftrightarrow a\ge 1. \tag{1}\end{align*}
+) Nếu \(a+1< 0\Leftrightarrow a< -1\) thì \(M=f_{\max}=|a|\) và \(f_{\min}=|a+1|\), khi đó ta có
\begin{align*}M\le 2m\Leftrightarrow -a\le -2(a+1)\Leftrightarrow a\le -2. \tag{2}\end{align*}
Từ (1), (2) và kết hợp giả thiết, suy ra \(a\in[-4;-2]\cup [1;4]\).
Vậy \(a\) có \(7\) giá trị nguyên thỏa mãn.
Câu 26:
Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = |4x^2 + 2x + m|\) trên đoạn \([-1;1]\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Đặt \(g(x)=4x^2 + 2x + m\). Ta có
Từ bảng biến thiên ta có \(\max \limits_{[-1;1]}y= \max\left\{\left |6+m\right |,\left |-\displaystyle\frac{1}{4}+m\right |\right\}\). Ta lại có
\begin{eqnarray*}&&\left |6+m\right |\ge \left |-\displaystyle\frac{1}{4}+m\right |\\ &\Leftrightarrow &\left (6+m\right )^2 \ge \left (-\displaystyle\frac{1}{4}+m\right )^2\\ &\Leftrightarrow &36+12m+m^2\ge \displaystyle\frac{1}{16}-\displaystyle\frac{1}{2}m+m^2\\ &\Leftrightarrow &m\ge -\displaystyle\frac{23}{8}.\end{eqnarray*}
+) Với \(m \ge -\displaystyle\frac{23}{8},\quad \max \limits_{[-1;1]}y=\left |6+m\right |=6+m \ge 6-\displaystyle\frac{23}{8}=\displaystyle\frac{25}{8}.\)
+) Với \(m < -\displaystyle\frac{23}{8},\quad \max \limits_{[-1;1]}y=\left |-\displaystyle\frac{1}{4}+m\right |=\displaystyle\frac{1}{4}-m > \displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{23}{8}=\displaystyle\frac{25}{8}.\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(y = |4x^2 + 2x + m|\) trên đoạn \([-1;1]\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\displaystyle\frac{25}{8}\) khi \(m=-\displaystyle\frac{23}{8}.\)
Câu 27:
Tập hợp nào sau đây chứa tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\left| x^2-2x+m \right|\) trên đoạn \([-1;2]\) bằng \(5\).
Xét hàm số \(f(x)=x^2-2x+m\) trên đoạn \([-1;2]\).
Vậy \(\min\limits_{[-1;2]}f(x) = f(1) = m-1\), \(\max\limits_{[-1;2]}f(x) = f(-1) = m+3\Rightarrow m-1 \le f(x) \le m+3\), \(\forall x\in[-1;2].\, (*)\)
+) TH1 \(|m-1| > |m+3|\) (i)
Khi đó \((*)\) \(\Rightarrow y=|f(x)| \le |m-1|\), \(\forall x\in[-1;2]\).
Dấu bằng xảy ra khi \(x=1\). Vậy \(\max\limits_{[-1;2]}y = |m-1|\).
Để \(\max\limits_{[-1;2]}y = 5\) thì \(|m-1|=5 \Leftrightarrow m=6 ;\,m=-4.\)
Nếu \(m=6\) thì \(|m-1|=5< 9=|m+3|\) (không thỏa (i)) \(\Rightarrow\) Loại \(m=6\).
Nếu \(m=-4\) thì \(|m-1|=5>1=|m+3|\) (thỏa (i)) \(\Rightarrow\) Nhận \(m=-4\).
+) TH2 \(|m+3|\ge|m+1|\) (ii)
Khi đó \((*)\) \(\Rightarrow y=|f(x)| \le |m+3|\), \(\forall x\in[-1;2]\).
Dấu bằng xảy ra khi \(x=-1\). Vậy \(\max\limits_{[-1;2]}y = |m+3|\).
Để \(\max\limits_{[-1;2]}y = 5\) thì \(|m+3|=5 \Leftrightarrow m=2 ;\,m=-8.\)
Nếu \(m=2\) thì \(|m+3|=5>1=|m-1|\) (thỏa (ii)) \(\Rightarrow\) Nhận \(m=2\).
Nếu \(m=-8\) thì \(|m+3|=5< 9=|m-1|\) (không thỏa (ii)) \(\Rightarrow\) Loại \(m=-8\).
Vậy trong các phương án, chỉ có tập hợp \((-5;-2) \cup (0;3)\) chứa cả hai giá trị \(m=-4\) và \(m=2\) thỏa yêu cầu đề bài.
Câu 28:
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị tham số thực \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y=|x^2-2x+m|\) trên đoạn \([-1;2]\) bằng \(5\). Tính tổng bình phương các phần tử của \(S\).
Xét hàm số \(g(x)=x^2-2x+m\).
Hàm \(g(x)\) liên tục trên \([-1;2]\) và \(g'(x)=2x-2\) và \(g'(x)=0\Leftrightarrow x=1\).
Có \(g(-1)=3+m,\,g(1)=m-1,\,g(2)=m\). Suy ra \(\min\limits_{[-1;2]}g(x)=m-1\) và \(\max\limits_{[-1;2]}g(x)=m+3\).
Suy ra \(\max\limits_{[-1;2]}y\in\{|m-1|;|m+3|\}\).
+) Trường hợp 1: \(|m-1|\leq|m+3|\Leftrightarrow m\geq -1\), khi đó \(\max\limits_{[-1;2]}y=|m+3|=5\Leftrightarrow m=2;\, m=-8.\)
Kết hợp điều kiện, ta được \(m=2\).
+) Trường hợp 2: \(|m-1|>|m+3|\Leftrightarrow m< -1\), khi đó
\(\max\limits_{[-1;2]}y=|m-1|=5\Leftrightarrow m=6;\, m=-4.\)
Kết hợp điều kiện, ta được \(m=-4\).
Vậy \(S=\{-4;2\}\) và tổng bình phương các phần tử của \(S\) bằng \((-4)^2+2^2=20\).
Câu 29:
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả cá giá trị của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\left|x^2-4x+m\right|\) trên đoạn \(\left[0;3\right]\) bằng \(\displaystyle\frac{7}{2}\). Tìm tích các phần tử trong \(S\).
Đặt \(t=x^2-4x\Rightarrow t\in \left[-4;0\right]\).
Vậy \(y=\left|t+m\right|\Rightarrow \max\limits_{\left[-4;0\right]}y=\max\limits_{\left[-4;0\right]}\left|t+m\right|=\max\{\left|m-4\right|, \left|m\right|\}=g(m)\).
Vẽ đồ thị hàm \(g(m)\) ta thực hiện như sau
Vẽ đồng thời cả hai đồ thị hàm số \(y=\left|m-4\right|\) và \(y=\left|m\right|\).
Ta lấy phần đồ thị nằm ở mặt trên của hai đồ thị ta được đồ thị hàm số \(g(m)\).
Từ đồ thị của hàm \(g(m)\) ở trên ta thấy \(g(m)=\displaystyle\frac{7}{2}\Leftrightarrow m=\displaystyle\frac{7}{2};\,4-m=\displaystyle\frac{7}{2}\Leftrightarrow m=\displaystyle\frac{7}{2};\, m=\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow S=\left\{\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{7}{2}\right\}\).
Vậy tích các phần tử trong \(S\) là \(\displaystyle\frac{7}{4}\).
Câu 30:
Tìm \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y=|3x^2-6x+2m-1|\) trên đoạn \([-2;3]\) là nhỏ nhất.
Xét hàm số \(f(x)=3x^2-6x+2m-1\).
\(f'(x)=6x-6=0.\) \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1.\)
Ta có bảng biến thiên
Suy ra \(2m-4\le f(x) \le 2m+23 \Rightarrow \max\limits_{\left[-2;3\right]} |f(x)|=\max \{|2m-4|;|2m+23|\}\).
+) TH1: Nếu \(|2m-4|\ge |2m+23| \Leftrightarrow m\le -\displaystyle\frac{19}{4}\) thì \(\max\limits_{\left[-2;3\right]}|f(x)|=|2m-4|\)\\ Do \(m\le -\displaystyle\frac{19}{4} \Rightarrow 2m\le \displaystyle\frac{-19}{2} \Leftrightarrow 2m-4\le -\displaystyle\frac{19}{2}-4=-\displaystyle\frac{27}{2} \Leftrightarrow |2m-4|\ge \displaystyle\frac{27}{2}.\)
+) TH2: Nếu \(|2m-4|\le |2m+23| \Leftrightarrow m\ge -\displaystyle\frac{19}{4} \Rightarrow \max\limits_{\left[-2;3\right]} |f(x)|=|2m+23|\). Do \(m\ge -\displaystyle\frac{19}{4} \Rightarrow 2m+23\ge \displaystyle\frac{27}{2} \Leftrightarrow |2m+23| \ge \displaystyle\frac{27}{2}.\)
\(\Rightarrow \min\limits_{\left[-2;3\right]}=\displaystyle\frac{27}{2}
\Leftrightarrow m=-\displaystyle\frac{19}{4}\)
Câu 31:
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\left|x^3-3x+m\right|\) trên đoạn \([0;2]\) bằng \(3\). Tính số phần tử của \(S\).
Xét hàm số \(f(x)=x^3-3x+m\) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[0;2\right]\).
Ta có \(f'(x)=3{x}^{2}-3\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\,\ (\text{thỏa mãn});\, x=-1\,\ (\text{loại)}.\)
Suy ra GTLN và GTNN của \(f(x)\) thuộc tập hợp \(\left\{f(0);f(1);f(2)\right\}=\left\{m;m-2;m+2\right\}\).
Xét hàm số \(y=\left|x^3-3x+m\right|\) trên đoạn \([0;2]\).
Ta được giá trị lớn nhất của \(y\) là
\(\max \left\{|m|;|m-2|;|m+2|\right\}=3\).
+) Nếu \(\left|m\right|=3\), khi đó \(\max \left\{1;3;5\right\}=5\) (loại).
+) Nếu \(\left|m-2\right|=3\Leftrightarrow m=-1;\, m=5.\)
+) Với \(m=-1\). Ta có \(\max \left\{1;3\right\}=3\) (nhận).
+) Với \(m=5\). Ta có \(\max \left\{3;5;7\right\}=7\) (loại).
+) Nếu \(\left|m+2\right|=3\Leftrightarrow m=1;\, m=-5.\)
+) Với \(m=1\). Ta có \(\max \left\{1;3\right\}=3\) (nhận).
+) Với \(m=-5\). Ta có \(\max \left\{3;5;7\right\}=7\) (loại).
Do đó \(m\in \left\{-1;1\right\}\).
Vậy tập hợp \(S\) có \(2\) phần tử.
Câu 32:
Tìm \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\left.\right|x^3-3x+2m-1\left.\right|\) trên đoạn \([0;2]\) là nhỏ nhất.
Xét hàm số \(f(x)=x^3-3x+2m-1, f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).\)
Bảng biến thiên của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([0;2]\) như sau:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(\max\limits_{[0;2]} \left|f(x)\right|=\max\{|2m-1|;|2m-3|;|2m+1|\}\).
Ta xét các trường hợp sau:
TH1. \(m\ge \displaystyle\frac{3}{2}\Rightarrow \max\limits_{[0;2]} \left|f(x)\right|=\max\{2m-1;2m-3;2m+1\}=2m+1\ge 2\cdot \displaystyle\frac{3}{2}+1= 4.\)
TH2. \(m\le -\displaystyle\frac{1}{2}\), khi đó ta có
\begin{eqnarray*}& \max\limits_{[0;2]} \left|f(x)\right|&=\max\{|2m-1|;|2m-3|;|2m+1|\}\\&&=\max\{1-2m;3-2m;-1-2m\}\\
&&=3-2m\ge 3-2\cdot\displaystyle\frac{-1}{2}=4.\end{eqnarray*}
TH3. \(\displaystyle\frac{1}{2}\le m\le \displaystyle\frac{3}{2}\Rightarrow 2m+1\ge 3-2m\). Ta có
\begin{eqnarray*}& \max\limits_{[0;2]} \left|f(x)\right|&=\max\{|2m-1|;|2m-3|;|2m+1|\}\\ &&=\max\{2m-1;3-2m;2m+1\}\\&&=\max\{3-2m;2m+1\}\\ &&=2m+1\ge 2\cdot \displaystyle\frac{1}{2}+1=2.\end{eqnarray*}
Suy ra \(\max\limits_{[0;2]} \left|f(x)\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2\), xảy ra dấu "\(=\)" \(\Leftrightarrow m=\displaystyle\frac{1}{2}.\)
TH4. \(-\displaystyle\frac{1}{2}\le m\le \displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow 2m+1\le 3-2m\)
\begin{eqnarray*}& \max\limits_{[0;2]} \left|f(x)\right|&=\max\{|2m-1|;|2m-3|;|2m+1|\}\\&&=\max\{1-2m;3-2m;2m+1\}\\&&=\max\{3-2m;2m+1\}\\&&=3-2m\ge 3-2\cdot \displaystyle\frac{1}{2}=2.\end{eqnarray*}
Suy ra \(\max\limits_{[0;2]} \left|f(x)\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2\), xảy ra dấu ''\(=\)'' \(\Leftrightarrow m=\displaystyle\frac{1}{2}.\)
Vậy \(\max\limits_{[0;2]} \left|f(x)\right|\) nhỏ nhất khi \(m=\displaystyle\frac{1}{2}\).
Câu 33:
Cho hàm số \(f(x)=|8\cos ^4x+a\cos ^2x+b|\), trong đó \(a,b\) là tham số thực. Gọi \(M\) là giá trị lớn nhất của hàm số. Tính tổng \(a+b\) khi \(M\) nhận giá trị nhỏ nhất.
Đặt \(t=\cos ^2x\) (\(t\in [0;1]\)) \(\Leftrightarrow g(t)=|8t^2+at+b|,\,t\in [0;1]\).
Ta có \(g(0)=|b|\), \(g(1)=|8+a+b|\), \(g \left(-\displaystyle\frac{a}{16}\right)=\left|b-\displaystyle\frac{a^2}{32}\right|\).
\(M=\max \left\lbrace g(0);g(1);g \left(-\displaystyle\frac{a}{16}\right)\right\rbrace\) nên ta có
\(\begin{cases} M\ge |b|\\ M\ge |8+a+b|\\ M\ge \left|b-\displaystyle\frac{a^2}{32}\right|\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} M\ge |b|\\ & M\ge |8+a+b|\\ 2M\ge \left|-2b+\displaystyle\frac{a^2}{16}\right|\end{cases}\Rightarrow 4M\ge \left| \displaystyle\frac{a^2}{16}+a+8\right| \ge 4\Rightarrow M\ge 1.\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=-8\) và \(\max \left\lbrace |b|;|b-2|\right\rbrace=1\) hay \(a=-8\), \(b=1\).
Vậy \(M\) nhận giá trị nhỏ nhất bằng \(1\) và khi đó \(a+b=-7\).
Câu 34:
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y=|x^2-2x+m|\) trên đoạn \([-1;2]\) bằng \(5\).
Xét hàm số \(y=x^2-2x+m\) có \(\Delta '=1-m\).
Trường hợp \(\Delta '\le 0\Leftrightarrow m\ge 1\) thì \(x^2-2x+m \ge 0\; \forall x\in \mathbb{R} \Rightarrow |x^2-2x+m|=x^2-2x+m\).
Hàm số \(y=x^2-2x+m\) là một parabol có bề lõm hướng lên nên chỉ có thể đạt giá trị lớn nhất tại \(x=-1\) hoặc \(x=2\).
Ta có \(y(-1)=m+3\), \(y(2)=m\). Vì \(m+3>m\) khi \(m\ge 1\) nên giá trị lớn nhất của hàm số \(y(-1)=m+3=5\Leftrightarrow m=2\).
Trường hợp \(\Delta '> 0\Leftrightarrow m< 1\).
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy \(m=-4\).
Câu 35:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y=|x^2+2x+m-4|\) trên đoạn \([-2;1]\) bằng \(4\)?
Xét hàm số \(f(x)=x^2+2x+m-4\) trên \([-2;1]\). Ta có \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-1\).
Mà \(f(-2)=m-4, f(-1)=m-5, f(1)=m-1\). Suy ra GTLN, GTNN của \(f(x)\) trên \([-2;1]\) lần lượt là \(m-1, m-5\).
Suy ra GTLN của \(y=|x^2+2x+m-4|\) là \(\max\{ |m-1|, |m-5|\}\). Xét hai trường hợp sau:
TH1: \(|m-1|=4\), suy ra \(m\in \{5; -3\}\). Thử lại ta có \(m=5\) thỏa mãn.
TH2: \(|m-5|=4\) suy ra \(m\in \{9; 1\}\). Thử lại ta có \(m=1\) thỏa mãn.
Vậy có hai giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu.
Câu 36:
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left|\displaystyle\frac{x^2-mx+2m}{x-2}\right|\) trên \([-1; 1]\) bằng 3. Tính tổng tất cả các phần tử trong tập \(S\).
Xét hàm số \(y = \displaystyle\frac{x^2-mx+2m}{x-2}\) trên \(\left[-1;1\right]\)
\(\Rightarrow y'=\displaystyle\frac{x^2-4x}{(x-2)^2}\).
\(y'=0\Leftrightarrow x=0;\, x=4\).
Do đó \(\displaystyle \max_{x\in [-1;1]} f(x)=-m\) và \(\displaystyle \min_{x\in [-1;1]} f(x)=-m-1\)
\(\Rightarrow \displaystyle \max_{x\in [-1;1]} y= \max\{|-m|,|-m-1|\}\).
+) Xét \(\displaystyle \max_{x\in [-1;1]} y=|-m|=3\Leftrightarrow -m=3;\, -m=-3 \Leftrightarrow m=3 \Rightarrow \displaystyle \max_{x\in [-1;1]} y=4\ \text{(loại)};\, m=-3 \Rightarrow \displaystyle \max_{x\in [-1;1]} y=3\ \text{(thỏa)}.\)
+) Xét \(\displaystyle \max_{x\in [-1;1]} y=|-m-1|=3\Leftrightarrow -m-1=3;\, -m-1=-3\Leftrightarrow m=-4 \Rightarrow \displaystyle \max_{x\in [-1;1]} y=4\ \text{(loại)};\, m=2 \Rightarrow \displaystyle \max_{x\in [-1;1]} y=3\ \text{(thỏa)}.\)
Vậy \(S=-3+2=-1.\)
Câu 37:
Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\left|-x^4+8x^2+m\right|\) trên đoạn \([-1;3]\) bằng 2018?
Ta có \(y=\left|-x^4+8x^2+m\right|=\left|\left(x^2-4\right)^2-m-16\right|\).
Đặt \((x^2-4)^2=t\). Khi \(x\in [-1;3]\) thì \(t\in [0;25]\).
Khi đó ta có \(y=f(t)=\left|t-m-16\right|\).
Ta có \(\max\limits_{[-1;3]}y=\max\limits_{[0;25]}f(t)=\max\left\{\left|m+16\right|, \left|9-m\right|\right\}\).
+) Trường hợp 1: \(\begin{cases}\left|m+16\right|> \left|9-m\right|\\ \left|m+16\right|=2018\end{cases}\Leftrightarrow m=2002\).
+) Trường hợp 2: \(\begin{cases}\left|m+16\right|< \left|9-m\right|\\\left|9-m\right|=2018\end{cases}\Leftrightarrow m=-2009\).
+) Trường hợp 3: \(\begin{cases}\left|m+16\right|= \left|9-m\right|\\\left|m+16\right|=2018\end{cases}\Leftrightarrow m\in \varnothing\).
Vậy, có hai giá trị của \(m\) thỏa mãn đề bài là \(m=-2009\) và \(m=2002\).
Câu 1:
Một chất điểm chuyển động có vận tốc tức thời \(v(t)\) phụ thuộc vào thời gian \(t\) theo hàm số \(v(t)=-t^4+24t^2+500\) (m/s). Trong khoảng thời gian từ \(t=0\) (s) đến \(t=10\) (s) chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm nào?
Ta có \(v'(t)=-4t^3+48t=-4t(t^2-12)\)
\(v'(t)=0\Leftrightarrow t=0;\, t=\pm 2\sqrt{3}\).
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(v(t)\) trên đoạn \([0;10]\), ta có:
\(v(0)=500\), \(v(2\sqrt{3})=664\), \(v(10)=-9260\).
Vậy vận tốc lớn nhất khi \(t=2\sqrt{3}\) (s).
Câu 2:
Một vật chuyển động theo quy luật \(s=-\displaystyle\frac{1}{3}t^3+6t^2\) với \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và \(s\) (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian \(7\) giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
Công thức vận tốc chuyển động của vật là \(v(t)=s'(t)=-t^2+12t\).
Ta tìm giá trị lớn nhất của \(v(t)\) trên khoảng \((0;7]\).
Ta có: \(v(t) =36-(t^2-12t+36) =36-\left(t-6 \right)^2 \leq 36\) (m/s),
Do đó \(\max\limits_{(0;7]}=36 \Leftrightarrow t=6\).
Vậy vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian \(7\) giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, là \(36\) m/s.
Câu 3:
Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường (theo đơn vị mét (m)) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian \(t\) (theo đơn vị giây (s)) cho bởi phương trình là \(S=6t^2-t^3\). Tìm thời điểm \(t\) mà tại đó vận tốc \(v\)(m/s) của đoàn tàu đạt giá trị lớn nhất?
Ta có: \(v(t)=s'(t)=12t-3t^2=12-3(t-2)^2\leq 12\).
Vậy \(v(t)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(t=2\) s.
Câu 4:
Ông A dự định sử dụng hết \(5\) m\(^2\) kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Gọi \(x,\,y\) lần lượt là chiều rộng và chiều cao của bể cá (điều kiện \(x,\,y>0\)).
Với giả thiết của bài toán, thể tích bể cá là \(V=2x^2y\).
Tổng diện tích các mặt kính:
\(S=2xy+2\cdot 2xy+2x^2=5\).
\(\Leftrightarrow 6xy+2x^2=5 \Leftrightarrow y=\displaystyle\frac{5-2x^2}{6x}\).
Do \(x,\,y>0\) nên \(x>0\) và \(5-2x^2>0 \Leftrightarrow 0< x< \sqrt{\displaystyle\frac{5}{2}}\).
Như vậy \(V=2x^2y=\displaystyle\frac{5x-2x^3}{3} \Rightarrow V'=\displaystyle\frac{5-6x^2}{3}\).
Cho \(V'=0 \Leftrightarrow 5-6x^2=0 \Leftrightarrow x=\sqrt{\displaystyle\frac{5}{6}}\).
Vậy dung tích lớn nhất của bể cá là \(\max V=\displaystyle\frac{5\sqrt{30}}{27}\approx 1{,}01\) m\(^3\).
Câu 5:
Từ một tấm tôn có hình dạng là nửa hình tròn bán kính \(R=3\), người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật (hình vẽ bên). Tính diện tích lớn nhất có thể của tấm tôn hình chữ nhật.
Đặt \(OQ=x,\ (0< x< 3) \Rightarrow MQ=\sqrt{MO^2-OQ^2}=\sqrt{9-x^2}\).
Ta có \(S_{MNPQ}=PQ\cdot MQ=2x\cdot\sqrt{9-x^2}\le 2\cdot\displaystyle\frac{x^2+9-x^2}{2}=9.\)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(x=\displaystyle\frac{3\sqrt2}{2}.\)
Câu 6:
Một cái hồ rộng có hình dạng là một chữ nhật. Tại một góc nhỏ của hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí \(K\) cách bờ \(AB\) là \(1\) m và cách bờ \(AC\) là \(8\) m, rồi dùng một sào ngăn một góc nhỏ của hồ để thả bèo (như hình vẽ). Tính chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào \(2\) bờ \(AB\), \(AC\) và cọc \(K\) (bỏ qua đường kính của sào).
Đặt \(PK =x\,\,(x>1)\), khi đó \(MP=\sqrt{x^2-1}\).
Ta có \(MK\parallel AQ\) nên \(\displaystyle\frac{PM}{MA}=\displaystyle\frac{PK}{KQ}\Rightarrow KQ=\displaystyle\frac{8PK}{MP}=\displaystyle\frac{8x}{\sqrt{x^2-1}}.\)
Do đó \(PQ=PK+KQ=x+\displaystyle\frac{8x}{\sqrt{x^2-1}}=f(x),\,\, x>1.\)
Có \(f'(x) =1-\displaystyle\frac{8}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}, f'(x)=0\Leftrightarrow x=\sqrt{5}.\)
Ta có bảng biến thiên:
Vậy chiều dài ngắn nhất của cây sào là \(5\sqrt{5}.\)
Câu 7:
Cần phải làm một cái cửa sổ mà phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ nhật có chu vi là \(a\) mét (\(a\) chính là chu vi của hình bán nguyệt cộng với chu vi của hình chữ nhật trừ đi đường kính của hình bán nguyệt). Gọi \(d\) là đường kính của hình bán nguyệt. Hãy xác định \(d\) để diện tích cửa sổ là lớn nhất.
Gọi \(S_1\), \(S_2\) theo thứ tự là diện tích của hình bán nguyệt và hình chữ nhật (xem hình vẽ bên). Khi đó diện tích của cửa sổ là \(S = S_1 + S_2\).
Ta có \(S_1=\displaystyle\frac{1}{2}\pi\left(\displaystyle\frac{d}{2}\right)^2=\displaystyle\frac{1}{8}\pid^2\). (\(1\))
\(S_2 =\) (chiều dài) \(\times\) (chiều rộng)
\(= d\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\left(a-\displaystyle\frac{\pi d}{2}-d\right) = \displaystyle\frac{1}{2}ad - d^2\left(\displaystyle\frac{\pi}{4} + \displaystyle\frac{1}{2}\right).\) (\(2\))
Cộng (\(1\)) và (\(2\)), vế với vế ta được:
\(S = S_1 + S_2 = -d^2\left(\displaystyle\frac{\pi}{8} + 1\right) + \displaystyle\frac{1}{2}ad\).
Xét hàm số biến \(d\colon S = -d^2\left(\displaystyle\frac{\pi}{8} + \displaystyle\frac{1}{2}\right) + \displaystyle\frac{1}{2}ad\) có \(S' = -d\left(\displaystyle\frac{\pi}{4} + 1\right) + \displaystyle\frac{1}{2}a = 0\) \(\Leftrightarrow\) \(d = \displaystyle\frac{2a}{\pi + 4}\).
Do hàm bậc hai \(S\) có hệ số của \(d^2\) âm nên hàm số đạt cực đại tại \(d = \displaystyle\frac{2a}{\pi + 4}\).
Câu 8:
Một tấm bìa các tông dạng tam giác \(ABC\) có diện tích \(S\). Tại một điểm \(D\) thuộc cạnh \(BC\) người ta cắt theo hai đường thẳng lần lượt song song với hai cạnh \(AB\) và \(AC\) để phần bìa còn lại là một hình bình hành có một đỉnh là \(A\). Diện tích hình bình hành lớn nhất bằng bao nhiêu (tính theo \(S\))?
Đặt \(x=\displaystyle\frac{BD}{BC}\), \((0< x< 1)\) \(\Rightarrow \displaystyle\frac{CD}{BC} = 1-x\).
\(\displaystyle\frac{S_{BED}}{S_{ABC}} = x^2\); \(\displaystyle\frac{S_{CFD}}{S_{ABC}} = (1-x)^2\); \(S_{AEDF} = S(2x-2x^2) \leq \displaystyle\frac{S}{2}\).
Vậy diện tích hình bình hành lớn nhất bằng \(\displaystyle\frac{S}{2}\) khi \(D\) là trung điểm của \(BC\).
Câu 9:
Một người thợ muốn làm một chiếc thùng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và không có nắp, biết thể tích của khối hộp là \(V=2{,}16\) m\(^3\). Giá nguyên liệu để làm bốn mặt bên là \(36000\) đồng/m\(^2\) và giá nguyên liệu để làm đáy là \(90000\) đồng/m\(^2\). Tính các kích thước của hình hộp để chi phí làm chiếc thùng đó là nhỏ nhất.
Gọi độ dài cạnh đáy là \(x\) m và chiều cao là \(h\) m.
Ta có, diện tích đáy là \(x^{2}\Rightarrow\)
thể tích hình hộp là \(V=x^{2}h=2{,}16\Rightarrow h=\displaystyle\frac{2{,}16}{x^{2}}\).
Diện tích mặt bên là \(xh=\displaystyle\frac{2{,}16}{x}\).
Chi phí làm chiếc thùng là
\(f(x)=90x^{2}+4\cdot 36\cdot \displaystyle\frac{2{,}16}{x}=90x^{2}+\displaystyle\frac{7776}{25x}\).
\(f'(x)=180x-\displaystyle\frac{7776}{25x^{2}}=0\Rightarrow x=1{,}2\).
Ta có bảng biến thiên
Để chi phí làm chiếc thùng nhỏ nhất thì cạnh đáy là \(1{,}2\) m và chiều cao là \(h=\displaystyle\frac{2{,}16}{1{,}2}=1{,}8\) m.
Câu 10:
Từ kho hàng hóa \(A\) dọc theo đường sắt \(AB\) cần phải xây một kho trung chuyển tại điểm \(C\) và xây dựng một con đường từ \(C\) đến \(D\). Biết rằng vận tốc trên đường sắt là \(v_1\) và trên đường bộ là \(v_2 \; (v_1>v_2)\). Tìm điều kiện của \(\cos \alpha\) để điểm \(C\) được chọn là địa điểm sao cho thời gian chuyển hàng hóa từ \(A\) đến \(D\) qua \(C\) là nhanh nhất (góc \(\alpha\) như hình vẽ).
Kẻ \(DH \perp AB\). Dễ thấy \(0\le \alpha \le \displaystyle\frac{\pi}{2}\).
Thời gian chuyển hàng từ \(A\) đến \(D\) qua \(D\) là
\(t=\displaystyle\frac{AC}{v_1}+\displaystyle\frac{CD}{v_2}
= \displaystyle\frac{AH-CH}{v_1}+\displaystyle\frac{CD}{v_2}
=\displaystyle\frac{AH-DH \cdot \cot \alpha }{v_1} +\displaystyle\frac{DH}{v_2 \sin \alpha}.\)
Ta có
\(t'=\displaystyle\frac{DH}{v_1}\cdot \displaystyle\frac{1}{\sin^2 \alpha}-\displaystyle\frac{DH}{v_2}\cdot \displaystyle\frac{\cos \alpha}{\sin^2 \alpha}=\displaystyle\frac{DH}{v_1v_2\sin^2 \alpha} \left(v_2-v_1 \cos \alpha \right).\)
Do đó
\(t'=0 \Leftrightarrow \cos \alpha = \displaystyle\frac{v_2}{v_1}\Leftrightarrow \alpha = \arccos \displaystyle\frac{v_2}{v_1}.\)
Xét \(v_2-v_1 \cos \alpha >0 \Leftrightarrow \cos \alpha < \displaystyle\frac{v_2}{v_1}\). Vì \(\cos x\) nghịch biến trên \(\left[0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\) nên \(\cos \alpha < \displaystyle\frac{v_2}{v_1} \Leftrightarrow \alpha > \arccos \displaystyle\frac{v_2}{v_1}.\)
Bảng biến thiên
Vậy để thời gian chuyển hàng nhanh nhất thì \(\cos \alpha = \displaystyle\frac{v_2}{v_1}\).
Câu 11:
Bác Tôm có một cái ao có diện tích \(50\) m\(^2\) để nuôi cá. Vụ vừa qua bác nuôi với mật độ \(20\) con/m\(^2\) và thu được tất cả \(1{,}5\) tấn cá thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá thu được, bác thấy cứ thả giảm đi \(8\) con/m\(^2\) thì tương ứng sẽ có mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm \(0{,}5\) kg. Hỏi vụ tới bác phải mua bao nhiêu con cá giống để đạt được tổng khối lượng cá thành phẩm cao nhất? (Giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi).
Số cá bác đã thả trong vụ vừa qua là \(20\cdot 50=1000\) con. Gọi \(x\) là số cá giảm đi, khi đó năng suất \(a\) tăng \(a=\displaystyle\frac{0{,}5\cdot x}{8}=0{,}0625\) kg/con.
Vậy sản lượng thu được trong năm tới của bác Tôm sẽ là:
\((1000-x)(1{,5}+0{,}0625x)\text{ (kg)}.\)
Xét hàm số \(f(x)=(1000-x)(1{,5}+0{,}0625x)=-0{,}0625x^2+61x+1500\).
Vậy số cá giống cần mua là \(1000-488=512\).
Câu 12:
Gọi \(S\) là tập tất cả các giá trị tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y=x^4-2x^2+m-2\) có đúng một tiếp tuyến song song với trục hoành. Tính tổng tất cả các phần tử của \(S\).
Gọi \(M(x_0;x_0^4-2x_0^2+m-2)\) là tọa độ của tiếp điểm.
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\) là:
\(k=4x_0^3-4x_0=4x_0(x_0^2-1).\)
Điều kiện cần để tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với trục hoành là:
\(k=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x_0=0 \\ &x_0=1 \\ &x_0=-1. \end{aligned}\right.\)
+) Với \(x_0=0 \Rightarrow M(0;m-2)\). Phương trình tiếp tuyến tại \(M(0;m-2)\) là \(y=m-2\).
+) Với \(x_0=1 \Rightarrow M(0;m-3)\). Phương trình tiếp tuyến tại \(M(0;m-3)\) là \(y=m-3\).
+) Với \(x_0=-1 \Rightarrow M(0;m-3)\). Phương trình tiếp tuyến tại \(M(0;m-3)\) là \(y=m-3\).
Để có đúng một tiếp tuyến song song với trục hoành thì ta phải có:
\(\left[\begin{aligned}&m-2=0 \\ &m-3=0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &m=2 \\&m=3.\end{aligned}\right.\)
Vậy tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng \(5\).
Câu 13:
Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất. Muốn thể tích khối trụ đó luôn bằng \(1\ \mathrm{ dm}^3\) thì bán kính đáy của hình trụ phải bằng bao nhiêu để cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon sữa bò đó là thấp nhất?
Giả sử hình trụ có bán kính đáy là \(r\ \mathrm{ dm}\) và chiều cao là \(h\ \mathrm{ dm}\).\\Theo đề bài thì thể tích của khối trụ là \(V=\pi r^2 h=1 \ \mathrm{ dm}^3\). Suy ra \(h=\displaystyle\frac{1}{\pi r^2}\).
Chi phí nguyên liệu làm vỏ lon ít nhất khi diện tích toàn phần \(S_{\text{tp}}\) của hình trụ là nhỏ nhất.
Ta có \(S_{\text{tp}}=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\displaystyle\frac{2}{r}=2\pi r^2+\displaystyle\frac{1}{r}+\displaystyle\frac{1}{r}\geq 3\sqrt[3]{2\pi r^2\cdot\displaystyle\frac{1}{r}\cdot\displaystyle\frac{1}{r}}=3\sqrt[3]{2\pi}\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(2\pi r^2=\displaystyle\frac{1}{r}\Leftrightarrow r^3=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\Leftrightarrow r=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{2\pi}}\).
Do đó, \(\min S_{\text{tp}}=3\sqrt[3]{2\pi}\) khi \(r=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{2\pi}}\).
Vậy giá trị \(r\) cần tìm là \(r=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{2\pi}}\).
Câu 14:
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s(t)=t^2-\displaystyle\frac{1}{6}t^3\) (m). Tìm thời điểm \(t\) (giây) mà tại đó vận tốc \(v\) (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.
Ta có \(v(t)=s'(t)=2t-\displaystyle\frac{1}{2}t^2\). Suy ra \(v'(t)=2-t\) và \(v'(t)=0\Leftrightarrow t=2\).
Bảng biến thiên
Vậy chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm \(t=2\) (giây).
Câu 15:
Một xưởng in có \(8\) máy in, mỗi máy in được \(4000\) bản in khổ giấy \(A4\) trong một giờ. Chi phí để bảo trì, vận hành một máy in trong mỗi lần in là \(50\) nghìn đồng. Chi phí in ấn của \(n\) máy chạy trong một giờ là \(20(3n+5)\) nghìn đồng. Hỏi nếu in \(50000\) bản in khổ \(A4\) thì phải sử dụng bao nhiêu máy để thu được lãi nhiều nhất?
Gọi \(n\) là số máy mà xưởng sử dụng với \(1\leq n\leq 8.\)
Chi phí bảo trì, vận hành \(n\) máy là \(50n\) (nghìn đồng).
Số giờ mà \(n\) máy phải chạy để in được \(50000\) bản là \(\displaystyle\frac{50000}{4000n}\).
Chi phí in ấn của \(n\) máy để in hết \(50000\) bản là \(20\cdot(3n+5)\cdot \displaystyle\frac{50000}{4000n}\) (nghìn đồng).
Tổng chi phí mà xưởng sử dụng để in hết \(50000\) bản là
\(f(n)=50n+20\cdot (3n+5) \cdot \displaystyle\frac{50000}{4000n}=50n+750+\displaystyle\frac{1250}{n}.\)
Ta có
\(f'(n)=50-\displaystyle\frac{1250}{n^2}\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow n=\pm 5\).
Ta có \(f(1)=2050; f(5)=1250; f(8)=1306,25\).
Vậy chi phí nhỏ nhất để in \(50000\) khổ \(A4\) là khi xưởng sử dụng \(5\) máy.
Câu 16:
Một thanh sắt chiều dài \(AB=100\) m được cắt thành hai phần \(AC\) và \(CB\) với \(AC=x\) m. Đoạn \(AC\) được uốn thành một hình vuông có chu vi bằng \(A\)C và đoạn \(CB\) uốn thành tam giác đều có chu vi bằng \(CB\). Tìm \(x\) khi tổng diện tích của hình vuông và tam giác nhỏ nhất.
Theo đề các cạnh của hình vuông có độ dài là \(\displaystyle\frac{a}{4}\), các cạnh của tam giác đều có độ dài là \(\displaystyle\frac{100-x}{3}\).
Ta có \(S=\left(\displaystyle\frac{x}{4} \right)^2+\left(\displaystyle\frac{100-x}{3}\right)^2\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}= \displaystyle\frac{\left(9+4\sqrt{3}\right)}{144} x^2-\displaystyle\frac{800\sqrt{3}}{144}x+\displaystyle\frac{40000\sqrt{3}}{144}.\)
Đây là hàm bậc hai có hệ số \(a>0\) nên hàm đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}=\displaystyle\frac{800\sqrt{3}}{144}\cdot \displaystyle\frac{144}{2\cdot(9+4\sqrt{3})}\approx 43.5 \text{ m}.\)
Câu 17:
Ông An muốn xây một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp với dung tích \(3000\) lít. Đáy bể là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là \(500000\) đồng cho mỗi mét vuông. Hỏi chi phí thấp nhất ông An cần bỏ ra để xây bể nước là bao nhiêu?
Gọi \(x\) là chiều rộng bể, chiều dài bể là \(2x\), diện tích đáy là \(2x^2\).
Do thể tích bể là \(V=3000\) lít \(=3\) m\(^3\) nên chiều cao bể là \(\displaystyle\frac{3}{2x^2}\) .
Diện tích xây dựng là diện tích toàn phần của bể là
\( S=2\left(2x^2+x\cdot \frac{3}{2x^2}+2x\cdot \frac{3}{2x^2}\right)=2\left(2x^2+\frac{9}{2x}\right)=4x^2+\frac{9}{2x}+\frac{9}{2x}\geq 3\sqrt[3]{81}.\)
Vậy diện tích xây dựng ít nhất là \(S=9\sqrt[3]{3}\) khi và chỉ khi \(4x^2=\displaystyle\frac{9}{2x}\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{\sqrt[3]{9}}{2}\).
Chi phí xây dựng ít nhất là \(9\sqrt[3]{3} \cdot 500000 \approx 6490123\) đồng.
Câu 18:
Một người bán buôn Thanh Long Đỏ ở Lập Thạch - Vĩnh Phúc nhận thấy rằng: Nếu bán với giá \(20000\) đồng/kg thì mỗi tuần có \(90\) khách đến mua và mỗi khách mua trung bình \(60\) kg. Cứ tăng giá \(2000\) đồng/kg thì số khách mua hàng tuần giảm đi \(1\) và khi đó mỗi khách lại mua ít hơn mức trung bình \(5\) kg, và như vậy cứ giảm giá \(2000\) đồng/kg thì số khách mua hàng tuần tăng thêm \(1\) và khi đó mỗi khách lại mua nhiều hơn mức trung bình \(5\) kg. Hỏi người đó phải bán với giá mỗi kg là bao nhiêu để lợi nhuận thu được hàng tuần là lớn nhất, biết rằng người đó phải nộp tổng các loại thuế là \(2200\) đồng/kg. (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).
Giả sử giá bán thay đổi \(x\) lần, mỗi lần thay đổi \(2000\) đồng (\(x\in\mathbb{Z}\), \(x>0\) là tăng giá, \(x< 0\) là giảm giá). Theo thực tế thì \(-10< x< 45\) (giá bán trên \(0\) đồng và còn ít nhất một khách)
Tổng tiền thu được sau khi thay đổi là
\(T=(90-x)(60-5x)(20+2x-2,2)=10x^3-931x^2+1772x+96120\).
Xét hàm số \(T(x)=10x^3-931x^2+1772x+96120\).
Bài toán trở thành tìm GTLN của \(T(x)\) với \(-10< x< 45\).
Ta có \(T'(x)=2(15x^2-931x+886)\)
\(T'(x)=0\Leftrightarrow \begin{cases}x\approx 1\\ x\approx 61\end{cases}\)
Bảng biến thiên của \(T(x)\)
Dựa vào bảng biến thiên suy ra \(T\) lớn nhất khi \(x=1\), tức là ta chỉ tăng giá một lần. Vậy giá bán đưa ra để lợi nhuận cao nhất là \(22000\).
Câu 19:
Lúc \(10\) giờ sáng trên sa mạc, một nhà địa chất đang ở tại ví trí \(A\), anh ta muốn đến vị trí \(B\) (bằng ô tô) trước \(12\) giờ trưa, với \(AB=70\) km. Nhưng trong sa mạc thì xe chỉ có thể di chuyển với vận tốc là \(30\) km/h. Cách vị trí \(A\) \(10\) km có một con đường nhựa chạy song song với đường thẳng nối từ \(A\) đến \(B\). Trên đường nhựa thì xe có thể di chuyển với vận tốc \(50\) km/h. Tìm thời gian ít nhất để nhà địa chất đến vị trí \(B\).
Gọi các giả thiết như trên hình vẽ. Ta có
\(AC=\sqrt{x^2+100};DB=\sqrt{z^2+100}\).
Từ đó tổng thời gian đi là \(P=\displaystyle\frac{AC+DB}{30}+\displaystyle\frac{y}{50}\).
Sử dụng bất đẳng thức khoảng cách ta có\\ \(AC+BD=\sqrt{x^2+100}+\sqrt{z^2+100}\geq \sqrt{(x+z)^2+(10+10)^2}=\sqrt{(70-y)^2+400}\).
Từ đó \(P\geq \displaystyle\frac{\sqrt{(70-y)^2+400}}{30}+\displaystyle\frac{y}{50}=f(y)\) với \(0\leq y\leq 70\).
Ta có \(f'(y)=\displaystyle\frac{y-70}{30\sqrt{(70-y)^2+400}}+\displaystyle\frac{1}{50}\).
\begin{eqnarray*}& &f'(y)=0\Leftrightarrow 50(70-y)=30\sqrt{(70-y)^2+400}\\&\Leftrightarrow& 25(70-y)^2=9\left((70-y)^2+400 \right)\\&\Leftrightarrow& (70-y)^2=225\Leftrightarrow 70-y=15\Leftrightarrow y=55.\end{eqnarray*}
Ta có \(f(0)=\displaystyle\frac{10\sqrt{53}}{30};f(70)=\displaystyle\frac{31}{15};f(55)=\displaystyle\frac{29}{15}\). Trong đó \(f(55)\) là bé nhất nên \\ \(\displaystyle\min_{[0;70]} f(y)=f(55)=\displaystyle\frac{29}{15}\Rightarrow \min P=1\) giờ \(56\) phút.
Câu 20:
Cho một tờ giấy hình chữ nhật \(ABCD\) với chiều dài \(AB=9(\text{cm})\) và chiều rộng \(BC=6(\text{cm}).\) Gấp tờ giấy một lần sao cho khi gấp ta được đỉnh \(B\) nằm trên cạnh \(CD\) (xem hình sau).
Để độ dài nếp gấp \(PM\) là nhỏ nhất thì giá trị nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu?
Đặt \(PB=x, BM=MQ=y \ \text{với}\ 0< x< 9\ \text{và}\ 0< y< 6.\)
Suy ra \(MC=6-y, QC=\sqrt{12y-36}, QB=\sqrt{12y}.\)
Ta chứng minh được \(PM\perp BQ\) nên suy ra
\(PM=\sqrt{x^2+y^2}=2\cdot \displaystyle\frac{xy}{\sqrt{12y}}=\displaystyle\frac{xy}{\sqrt{3y}}\Rightarrow x^2=\displaystyle\frac{3y^2}{y-3}.\)
Khi đó
\(PM=\sqrt{\displaystyle\frac{3y^2}{y-3}+y^2}=\sqrt{\displaystyle\frac{y^3}{y-3}}=\sqrt{f(y)}.\)
Xét hàm số \(f(y)=\displaystyle\frac{y^3}{y-3}\ \text{với}\ 3< y< 6.\)
Ta có \(f'(y)=\displaystyle\frac{y^2(2y-9)}{(y-3)^2}\Rightarrow f'(y)=0\Rightarrow y=\displaystyle\frac{9}{2}\in (3;6).\)
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có \(f(y)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\displaystyle\frac{243}{4}\) khi \(y=\displaystyle\frac{9}{2}.\)
Do đó \(PM\) đạt giá trị nhỏ nhất \(\sqrt{\displaystyle\frac{243}{4}}=\displaystyle\frac{9\sqrt{3}}{2}.\)
Câu 21:
Có hai mương nước \((A)\) và \((B)\) thông nhau, bờ của mương nước \((A)\) vuông góc với mương nước \((B)\), chiều rộng của hai mương nước bằng nhau và bằng \(8\) mét (tham khảo hình vẽ). Một khúc gỗ \(MN\) có bề dày không đáng kể trôi từ mương nước \((A)\) sang mương nước \((B)\) theo dòng chảy. Độ dài lớn nhất của khúc gỗ bằng bao nhiêu để nó có thể trôi lọt? (tính gần đúng đến chữ số hàng trăm).
Thanh gỗ \(MN\) trôi được khi thanh gỗ chạm điểm \(O\) thì \(OM\leq ON\).
Vậy \(MN_{min}\) khi \(OM=ON\).
Khi đó tam giác \(HMN\) vuông cân tại \(H\) và
\(MN=\sqrt{16^2+16^2}=16\sqrt{2}\approx 22,63\) mét.
Câu 22:
Một cái ao có hình \(ABCDE\) (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn bán kính \(10\)m, người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ \(AB\) của ao đến vườn. Tính gần đúng độ dài tối thiểu \(l\) của cây cầu biết:
+) Hai bờ \(AE\) và \(BC\) nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm \(O\);
+) Bờ \(AB\) là một phần của một parabol có đỉnh là điểm \(A\) và có trục đối xứng là đường thẳng \(OA\);
+) Độ dài đoạn \(OA\) và \(OB\) lần lượt là \(40\)m và \(20\)m;
+) Tâm \(I\) của mảnh vườn cách đường thẳng \(AE\) và \(BC\) lần lượt là \(40\)m và \(30\)m.
Ta coi một đơn vị bằng \(10\)m và gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(A,B\) lần lượt thuộc các tia \(Oy,Ox\). Khi đó bờ của mảnh vườn là hình tròn \((C): (x-4)^2 + (y-3)^2 = 1\), bờ \(AB\) của ao là phần parabol \((P):y=4-x^2\) ứng với \(x\in[0;2]\). Bài toán trở thành tìm \(M \in (C)\) và \(N \in (P)\) sao cho \(MN\) ngắn nhất.
Ta thấy rằng để \(MN\) ngắn nhất thì \(M,N,I\) phải thẳng hàng với \(I(4;3)\) là tâm của \((C)\).
Khi đó \(MN = IN - IM = IN -1\), vì vậy ta chỉ cần tìm \(N \in (P)\) sao cho \(IN\) ngắn nhất.
Do \(N\in (P)\) nên \(N\left(x; 4-x^2 \right)\) với \(x\in[0;2]\).
\(IN^2 = (x-4)^2 +\left(1-x^2 \right)^2 = x^4 -x^2 -8x +17\).
Xét \(f(x) = x^4 -x^2 -8x +17\) với \(x\in [0;2]\), \(f'(x) = 4x^3 -2x - 8\).
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 4x^3 - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = x_0 \approx 1{,}392768772 \in (0;2)\).
\(f(0) = 17\), \(f(2) = 13\), \(f(x_0) \approx 7{,}68\) suy ra \(\displaystyle \min \limits_{[0;2]} f(x) \approx 7{,}68\).
Vậy \(\min IN \approx 2{,}77\) tức là \(l \approx 17{,}7\) m.
Câu 23:
Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức \(f(x)=0{,}025x^2(30-x)\), trong đó \(x\) (miligam) là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân. Khi đó liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là bao nhiêu miligam?
Điều kiện: \(0\le x\le 30\).
Ta có \(f(x)=\displaystyle\frac{3}{4}x^2-\displaystyle\frac{1}{40}x^3\Rightarrow f'(x)=\displaystyle\frac{3}{2}x-\displaystyle\frac{3}{40}x^2\). Do đó, \(f'(x)=0\Leftrightarrowx=0;\, x=20.\)
Mà \(f(0)=0; f(20)=100; f(30)=0\).
Vậy huyết áp giảm nhiều nhất khi bệnh nhân được tiêm \(20\) miligam thuốc.
Câu 24:
Một chất điểm chuyển động có phương trình \(s(t)=t^3-3t^2+9t+2\), trong đó \(t>0\) với \(t\) tính bằng giây (s) và \(s(t)\) tính bằng mét (m). Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất?
Vận tốc tức thời \(v(t)=s'(t)=3t^2-6t+9=3(t-1)^2+6\ge 6\).
Vậy vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(6\) tại thời điểm \(t=1\)\,s.
Câu 25:
Người ta muốn xây một chiếc bể nước có hình dạng là một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \(\displaystyle\frac {500}{3}\) m\(^3\). Biết đáy bể là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng và giá thuê thợ xây là \(700.000\) đồng/m\(^2\). Khi kích thước của bể để chi phí thuê nhân công ít nhất, hãy tính chi phí thuê nhân công.
Gọi \(x,y\) lần lượt là chiều rộng và chiều cao của bể cá (điều kiện \(x,y>0\) ).
Với giả thiết của bài toán, thể tích bể cá là
\(V=2x^2y=\displaystyle\frac {500}{3}\Rightarrow y=\displaystyle\frac {250}{3x^2}.\)
Để chi phí thuê nhân công ít nhất thì tổng diện tích các mặt của bể cá phải nhỏ nhất. Tổng diện tích các mặt của bể cá
\(S=2xy+2\cdot 2xy+2x^2=6xy+2x^2=\displaystyle\frac {500}{x}+2x^2\).
Xét hàm số \(S(x)=\displaystyle\frac {500}{x}+2x^2\) trên khoảng \((0;+\infty)\).
\(\Rightarrow S'(x)=-\displaystyle\frac {500}{x^2}+4x\).
\(S'(x)=0\Leftrightarrow -500+4x^3=0\Leftrightarrow x=5\).
Bảng biến thiên
Do đó \(\min S=150\) tại \(x=5\).
Khi đó, chi phí thuê nhân công là \(150\cdot 700000=105\) triệu đồng.
Vậy chi phí thuê nhân công ít nhất là \(105\) triệu đồng.
Câu 26:
Sau khi phát hiện dịch sốt xuất huyết, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đế ngày thứ \(t\) là \(f(t) = 45t^2 - t^3,\ t = 0, 1, 2, \ldots, 25\). Nếu coi \(f(t)\) là hàm số xác định trên đoạn \([0;25]\) thì đạo hàm \(f'(t)\) được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm \(t\). Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất.
Ta có \(f'(t) = -3t^2 + 90t, f''(t) = -6t + 90\).
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy ngày thứ \(15\) thì tốc độ truyền bệnh là lớn nhất.
Câu 27:
Một người thợ muốn làm \(1\) chiếc thùng dạng hình hộp chữ nhật không nắp, đáy là hình vuông có thể tích là \(2{,}16\) m\(^3\). Biết giá vật liệu để làm đáy và mặt bên của thùng lần lượt là \(90000\) đồng/m\(^2\) và \(36000\) đồng/m\(^2\). Để làm được chiếc thùng với chi phí mua vật liệu thấp nhất người thợ phải chọn các kích thước của chiếc thùng là bao nhiêu?
Giả sử chiếc thùng hình hộp là \(ABCD{.}A'B'C'D'\), đáy là \(A'B'C'D'\). Đặt \(A'B' =x\) và \(AA' =y\) \((x,y > 0)\).
Khi đó \(V =x^2y = 2{,}16 \Rightarrow y = \displaystyle\frac{2{,}16 }{x^2}\).
chi phí mua vật liệu đóng thùng là
\(A =4\cdot 36000 xy + 90000x^2 = \displaystyle\frac{311040}{x}+90000x^2\)//
Xét hàm số \(g(x) = \displaystyle\frac{311040}{x}+90000x^2 \Rightarrow g'(x) = \displaystyle\frac{-311040+180000x^3 }{x^2}\), \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1{,}2\). \\Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 1{,}2\) m \(\Rightarrow y=1{,}5\) m.
Câu 28:
Một cửa hàng cà phê sắp khai trương đang nghiên cứu thị trường để định giá bán cho mỗi cốc cà phê. Sau khi nghiên cứu, người quản lý thấy rằng nếu bán với giá \(20\ 000\) đồng một cốc thì mỗi tháng trung bình sẽ bán được \(2\ 000\) cốc, còn từ mức giá \(20\ 000\) đồng mà cứ tăng giá thêm \(1\ 000\) đồng thì sẽ bán ít đi \(100\) cốc. Biết chi phí nguyên vật liệu để pha một cốc cà phê không thay đổi là \(18\ 000\) đồng. Hỏi cửa hàng phải bán mỗi cốc cà phê với giá bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất?
Gọi \(x\) là giá bán mỗi cốc cà phê.
Khi đó, số lượng cốc bán được là \(2000-\displaystyle\frac{x-20000}{1000}\cdot 100.\)
Lợi nhuận \(f(x)=\left[2000-\displaystyle\frac{x-20000}{1000}\cdot 100 \right]\left(x-18000\right)=-\displaystyle\frac{1}{10}x^2+5800x-72000000\ge f\left(-\displaystyle\frac{5800}{2\cdot \displaystyle\frac{-1}{10}} \right)=f(29000).\)
Câu 29:
Nhà xe khoán cho hai tài xế An và Bình mỗi người lần lượt nhận \(32\) lít và \(72\) lít xăng trong một tháng. Biết rằng, trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là 10 lít. Tổng số ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán là bao nhiêu?
Gọi \(x\) (lít) \((0< x< 10)\) là số xăng An sử dụng trong \(1\) ngày.
Khi đó: \(10-x\) (lít) là số xăng Bình sử dụng trong \(1\) ngày.
Suy ra \(f(x)=\displaystyle\frac{32}{x}+\displaystyle\frac{72}{10-x},x\in (0;10)\) là tổng số ngày An và Bình sử dụng hết số xăng được khoán.
Ta có: \(f(x)=\displaystyle\frac{32}{x}+\displaystyle\frac{72}{10-x} \Rightarrow f'(x)=-\displaystyle\frac{32}{x^2}+\displaystyle\frac{72}{(10-x)^2}\).
Cho \(f'(x)=0 \Leftrightarrow -\displaystyle\frac{32}{x^2}+\displaystyle\frac{72}{(10-x)^2}=0 \Leftrightarrow x=4\in (0;10) ;\,x=-20\notin (0;10)\).
Bảng biến thiên của hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{32}{x}+\displaystyle\frac{72}{10-x},x\in (0;10)\)
Theo BBT thì ít nhất \(20\) ngày thì An và Bình sử dụng hết lượng xăng được khoán.
Câu 30:
Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong \(t\) giờ được tính theo công thức \(c(t)=\displaystyle\frac{t}{t^2+1}\) (mg/L). Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?
Với \(c(t)=\displaystyle\frac{t}{t^2+1}\), \(t>0\) ta có \(c'(t)=\displaystyle\frac{-t^2+1}{(t^2+1)^2}\).
Cho \(c'(t)=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{-t^2+1}{(t^2+1)^2}=0 \Leftrightarrow t=1\).
Bảng biến thiên
Vậy \(\max\limits_{(0;+\infty)} c(t)=\displaystyle\frac{1}{2}\) khi \(t=1\).
Câu 31:
Một người thợ gò làm một cái thùng đựng nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp bằng tôn. Biết rằng đường chéo hình hộp bằng \(6\) dm và chỉ được sử dụng vừa đủ \(36\) dm\(^2\) tôn. Với yêu cầu như trên, người thợ làm được cái thùng có thể tích lớn nhất là \(V\) dm\(^3\). Tính \(V\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Gọi các kích thước của thùng đựng nước là \(a,b,c\). Giả sử \(0< a \le b \le c\).
Do đường chéo của thùng bằng \(6\) dm nên \(a^2+b^2+c^2 = 6^2 =36\).
Ta có \(36 = a^2+b^2+c^2 \ge 3a^2 \Leftrightarrow a^2 \le 12\). Suy ra \(0< a \le 2\sqrt{3}\).
Diện tích toàn phần của thùng là \(S_{\text{tp}} = 2(ab+bc+ca) = 36 \Leftrightarrow ab+bc+ca=18\).
Ta có \(a+b+c = \sqrt{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)} = 6\sqrt{2}\).
Thể tích của thùng đựng nước là \[V=abc = a(18-ab-ac) = 18a - a^2 (b+c) = 18a - a^2 \left(6\sqrt{2} - a\right) = a^3 - 6\sqrt{2} a^2 + 18a.\]
Xét hàm số \(f(a) = a^3 - 6\sqrt{2} a^2 + 18a\) với \(0< a \le 2\sqrt{3}\).
Ta có \(f'(a) = 3a^2 - 12\sqrt{2} a + 18\), \(f'(a) = 0 \Leftrightarrow a = \sqrt{2}\)\ \(\left(\text{do}\ 0< a \le 2\sqrt{3}\right)\).
Bảng biến thiên
Suy ra \(\max\limits_{a \in (0,2\sqrt{3}]} f(a) = f\left(\sqrt{2}\right) = 8\sqrt{2}\). Do đó \(V_\text{max} = 8\sqrt{2}\). Đẳng thức xảy ra khi
\(\begin{cases} a=\sqrt{2}\\ a+b+c=6\sqrt{2}\\ a^2+b^2+c^2=36\\ a \le b \le c\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=\sqrt{2}\\ b+c=5\sqrt{2}\\ b^2+c^2=34\\ a \le b \le c\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=\sqrt{2}\\ b=\sqrt{2}\\ c=4\sqrt{2}.\end{cases}\)
Vậy \(V_\text{max} = 8\sqrt{2} \approx 11,3\) khi thùng đựng nước có các kích thước là \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{2}\), \(4\sqrt{2}\).
Câu 32:
Hộp sữa \(1\) lít được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh \(x\) cm. Tìm \(x\) để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.
Thể tích hộp sữa là \(1\ \mathrm{l}=1\ \mathrm{dm}^3=1000\ \mathrm{cm}^3\) khi đó chiều cao của hộp sữa là \(\displaystyle\frac{1000}{x^2}\) (cm).
Đặt diện tích toàn phần của hộp sữa là
\(y=2x^2+4x\cdot \displaystyle\frac{1000}{x^2}=\displaystyle\frac{2x^3+4000}{x}\) (cm)\(^2\).
Xét \(y'=\displaystyle\frac{4x^3-4000}{x^2}=0\Leftrightarrow x=10\) (cm).
Ta có bảng biến thiên như sau
Vậy theo bảng biến thiên ta thấy \(x=10\) (cm) thì diện tích toàn phần của hộp sữa sẽ nhỏ nhất là \(600\) cm\(^2\).
Câu 33:
Tìm hai số không âm \(a\) và \(b\) có tổng bằng \(10\) sao cho
a) Biểu thức \(ab\) đạt giá trị lớn nhất;
b) Tổng bình phương của chúng đạt giá trị nhỏ nhất;
c) Biểu thức \(ab^2\) đạt giá trị lớn nhất.
Ta có \(a+b=10 \Leftrightarrow a=10-b\).
Khi đó với \(a\), \(b\geq 0\) thì \(10-b\geq 0 \Leftrightarrow b\leq 0\).
Nên \(b\in [0;10]\).
a) Xét biểu thức \(y=ab=10b-b^2\) ta có
\(y'=10-2b; y'=0 \Leftrightarrow b=5\in [0;10].\)
Ta có \(y(0)=0\), \(y(5)=25\), \(y(10)=0\).
Vậy \(\max\limits_{b\in\mathscr [0;10]} y=25\) khi \(b=5 \Rightarrow a=5\).
b) Xét biểu thức \(y=a^2+b^2=2b^2-20b+100\) ta có
\(y'=4b-20; y'=0 \Leftrightarrow b=5\in [0;10].\)
Ta có \(y(0)=100\), \(y(5)=50\), \(y(10)=100\).
Vậy \(\min\limits_{b\in\mathscr [0;10]} y=50\) khi \(b=5 \Rightarrow a=5\).
c) Xét biểu thức \(y=ab^2=-b^3+10b^2\) ta có
\(y'=-3b^2+20b; y'=0 \Leftrightarrow b=0\in [0;10];\, b=\displaystyle\frac{20}{3}\in [0;10].\)
Ta có \(y(0)=0\), \(y\left(\displaystyle\frac{20}{3}\right)=\displaystyle\frac{4000}{27}\), \(y(10)=0\).
Vậy \(\max\limits_{b\in\mathscr [0;10]} y=\displaystyle\frac{4000}{27}\) khi \(b=\displaystyle\frac{20}{3} \Rightarrow a=\displaystyle\frac{10}{3}\).
Câu 34:
Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hoá bằng hàm số \(N(t)=-t^3+12t^2\), \(0\leq t \leq 12\), trong đó \(N\) là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và \(t\) là thời gian (tuần).
a) Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.
b) Đạo hàm \(N^{\prime}(t)\) biểu thị tốc độ lây lan của virus (còn gọi là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhậnh nhất khi nào?
a) Với \(0\leq t \leq 12\) ta có
\(N^{\prime}(t)=-3t^2+24t, N^{\prime}(t)=0\Leftrightarrow-3t^2+24t=0\Leftrightarrow t=0;\, t=8.\)
Ta có \(N(0)=0\), \(N(8)=256\), \(N(12)=0\).
Do đó, số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương là \(256\) người trong \(12\) tuần đầu.
b) Hàm số biểu thị tốc độ độ lây lan của virus là \(N^{\prime}(t)=-3t^2+24t\).
Đặt \(f(t)=-3t^2+24t\), với \(0\leq t \leq 12\).
Ta có \(f'(t)=-6t+24, f'(t)=0\Leftrightarrow t=4\).
\[f(0)=0, f(4)=48, f(12)=-144.\]
Do đó, virus sẽ lây lan nhanh nhất khi \(t=4\) (tuần thứ \(4\)).
Câu 35:
Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao \(2 \mathrm{~m}\) với vận tốc ban đầu là \(24{,}5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\). Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao \(h\) (mét) của vật sau \(t\) (giây) được cho bởi công thức \(h(t)=2+24{,}5 t-4{,}9t^{2}.\) Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Xét hàm số \(h(t)=2+24{,}5 t-4{,}9t^{2}\) với \(t>0\).
Ta có \(h'(t)=24{,}5-9{,}8t\).
\(h'(t)=0\Leftrightarrow t=2{,}5\).
Lập bảng biến thiên của \(h(t)\):
Từ bảng biến thiên ta suy ra vật đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm \(t=2{,}5\) giây (Khi đó độ cao lớn nhất mà vật đạt được là \(32{,}6\) mét).
Câu 36:
Máng trượt của một cầu trượt cho trẻ em (\textit{Hình a}) được uốn từ một tấm kim loại có bề rộng \(80\) cm, mặt cắt được mô tả ở \textit{Hình b}. Nhà thiết kế khuyến cáo, diện tích mặt cắt càng lớn thì càng đảm bảo an toàn cho trẻ em.
a) Gọi \(S\) là diện tích mặt cắt. Tìm điều kiện của \(x\) và viết công thức tính \(S\) theo \(x\).
b) Với \(x\) đạt giá trị bằng bao nhiêu thì cầu trượt đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em?
a) Do tấm kim loại có bề rộng \(80 \mathrm{~cm}\) nên ta có: \(2x+y=80 \Leftrightarrow y=80-2x\).
Để có thể thiết kế được máng trượt thì \(y>0 \Leftrightarrow 80-2 x>0 \Leftrightarrow x< 40\).
Suy ra \(0< x< 40\).
Diện tích của mặt cắt máng trượt là: \(S=x y=x(80-2x)=-2x^2+80x\).
b) Ta có:
\begin{eqnarray*}S(x)&=&-2x^2+80x \text{ với } x\in(0; 40);\\ S'(x)&=&-4 x+80 \\ S'(x)&=&0 \Leftrightarrow-4 x+80=0 \Leftrightarrow x=20.\end{eqnarray*}
Bảng biến thiên của hàm số \(S(x)\) như sau:
Do đó, hàm số \(S(x)\) đạt cực đại tại \(x=20\) và \(S_{\text{CĐ}}=800\).
Vậy để cầu trượt đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em thì \(x=20\) (cm).
Câu 37:
Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng \(12\) cm và bán kính đáy bằng \(5\) cm (Hình a).
Người ta cắt hình nón, trụ này theo mặt phẳng chứa đường thẳng nối đỉnh và tâm hình tròn đáy của hình nón thì thu được một hình phẳng như Hình b.
a) Chứng minh rằng công thức tính bán kính \(r\) của đáy hình trụ theo chiều cao \(h\) của nó là \(r=\displaystyle\frac{5\cdot (12-h)}{12}\).
b) Chứng minh biểu thức sau biểu thị thể tích khối trụ theo \(h\): \(V(h)=\displaystyle\frac{25\pi\cdot h\cdot (12-h)^2}{144}\).
c) Tìm \(h\) để khối trụ có thể tích lớn nhất.
a) Giả sử ta có hình vẽ như hình bên.
Khi đó \(\triangle SMN\backsim \triangle SAO\) nên
\(\displaystyle\frac{MN}{AO}=\displaystyle\frac{SN}{SO} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{r}{5}=\displaystyle\frac{12-h}{12}.\)
Suy ra \(r=\displaystyle\frac{5\cdot (12-h)}{12}\).
b) Thể tích khối trụ là
\(V=h\pi\cdot r^2=h\pi\cdot\left(\displaystyle\frac{5\cdot (12-h)}{12}\right)^2=\displaystyle\frac{25\pi\cdot h\cdot (12-h)^2}{144}.\)
c) Ta có \(V(h)=\displaystyle\frac{25\pi\cdot h\cdot (12-h)^2}{144}=\displaystyle\frac{25\pi}{144}\cdot (h^3-24h^2+144h)\), với \(h\in (0;12)\).
\(\Rightarrow V'(h)=\displaystyle\frac{25\pi}{144}\cdot (3h^2-48h+144); V'(h)=0 \Leftrightarrow h=4;\, h=12.\)
Bảng biến thiên
Vậy khi \(h=4\) thì thể tích \(V(h)\) lớn nhất.
Câu 38:
Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy \(1\,000\) vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: \(N(t)=1\,000+\displaystyle\frac{100t}{100+t^2}\text{ (con),}\( trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây. Tính số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.
Xét hàm số \(N(t)=1\,000+\displaystyle\frac{100t}{100+t^2}\ (t>0)\).
Ta có \(N'(t)=\displaystyle\frac{100\cdot(100+t^2)-100\cdot2t}{\left(100+t^2\right)^2}=\displaystyle\frac{100\cdot\left(100-t^2\right)}{\left(100+t^2\right)^2}\).
Cho \(N'(t)=0 \Leftrightarrow 100-t^2=0 \Leftrightarrow \hoac{&t=10&&(\text{thoả } t>0)\\ &t=-10.&&(\text{không thoả } t>0)}\)
Bảng biến thiên
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng \((0;+\infty)\) hàm số \(N(t)\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\,005\) tại \(x=10\).
Vậy số vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng là \(1\,005\) con.
Câu 39:
Khối lượng \(q\) (kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán \(p\) (nghìn đồng/kg) theo công thức \(p=15-\displaystyle\frac{1}{2} q\). Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức \(R=p q\).
a) Viết công thức biểu diễn \(R\) theo \(p\).
b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó.
a) Ta có \(p=15-\displaystyle\frac{1}{2} q\) \(\Rightarrow q=30-2p\).
Lại có \(R=pq=p\left(30-2p\right)\Rightarrow R=-2p^2+30p\) với \(0< p\).
b) Xét \(R'=-4p+30=0\Leftrightarrow p=7{,}5\).
Ta có bảng biến thiên như sau
Từ bảng biến thiên thấy để đạt được doanh thu cao nhất thì giá bán mỗi kilôgam sản phẩm \(p=7{,}5\) (nghìn đồng/kg) khi đó doanh thu cao nhất sẽ là \(R(7{,}5)=112{,}5\) (nghìn đồng).
Câu 40:
Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng \(30 \mathrm{~cm}\) và chiều dài \(80 \mathrm{~cm}\) (Hình 4a), người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh \(x(\mathrm{~cm})\) với \(5 \leq x \leq 10\) và gấp lại để tạo thành chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp như Hình \(4 \mathrm{~b}\). Tìm \(x\) để thể tích chiếc hộp là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Thể tích chiếc hộp là \(V(x)=x(30-2 x)(80-2 x)=2400 x-220 x^2+4 x^3\) với \(5 \leq x \leq 10\).
Ta có: \(V'(x)=12 x^2-440 x+2400\);
\(V'(x)=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{20}{3}\) hoặc \(x=30\) (loại vì không thuộc \([5 ; 10]\));
\(V(5)=7000 ; V\left(\displaystyle\frac{20}{3}\right)=\displaystyle\frac{200000}{27} ; V(10)=6000\).
Do đó \(\max \limits_{[5 ; 10]} V(x)=\displaystyle\frac{200000}{27}\) khi \(x=\displaystyle\frac{20}{3}\).
Vậy để thể tích chiếc hộp là lớn nhất thì \(x=\displaystyle\frac{20}{3} \mathrm{~cm}\).
Câu 41:
Bạn Việt muốn dùng tấm bìa hình vuông cạnh \(6\) dm làm một chiếc hộp không nắp, có đáy là hình vuông bằng cách cắt bỏ đi \(4\) hình vuông nhỏ ở bốn góc của tấm bìa như hình bên dưới.
Bạn Việt muốn tìm độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất.
a) Hãy thiết lập hàm số biểu thị thể tích hộp theo \(x\) với \(x\) là độ dài cạnh hình vuông cần cắt đi.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tìm được.
Từ đó, hãy tư vấn cho bạn Việt cách giải quyết vấn đề và giải thích vì sao cần chọn giá trị này. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)
a) Hãy thiết lập hàm số biểu thị thể tích hộp theo \(x\) với \(x\) là độ dài cạnh hình vuông cần cắt đi.
Mặt đáy của hộp là hình vuông có cạnh bằng \(6-2x\) (cm), với \(0< x< 3\). Vậy diện tích của đáy hộp là \(S=(6-2x)^2\).
Khối hộp có chiều cao \(h=x\) (cm).
Vậy thể tích hộp là \(V=S\cdot h=(6-2x)^2 \cdot x=4x^3-24x^2+36x\) (cm\(^3\)).
b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tìm được.
Xét hàm \(f(x)=4x^3-24x^2+36x,\,\,0< x< 3\).
Tập xác định: \(\mathscr{D}=(0;3)\).
Giới hạn tại vô cực: \(\displaystyle\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty, \displaystyle\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty\).
Ta có \(f'(x)=12x^2-48x+36\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow x^2-4x+3=0\Leftrightarrow x=1;\, x=3.\)
Ta có bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên \((0;1)\) và nghịch biến trên khoảng \((1;3)\).
Hàm số không có cực trị.
Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((0 ; 0),(1 ; 16),(3 ; 0)\).
Vậy hình vuông mà bạn Việt cần cắt bỏ pải có độ dài cạnh \(x=1\) dm thì chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất.
Câu 42:
Một công ty kinh doanh bất động sản có \(20\) căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá \(2\) triệu đồng/\(1\) tháng thì tất cả các căn hộ đều có người thuê. Nhưng cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm \(200\) nghìn đồng/\(1\) tháng thì có thêm một căn hộ bỏ trống. Hỏi công ty nên cho thuê mỗi căn hộ giá bao nhiêu để tổng số tiền thu được là lớn nhất?
Cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm \(200\) nghìn đồng/\(1\) tháng thì có thêm một căn hộ bỏ trống.
Gọi số lần tăng \(200\) nghìn đồng/\(1\) tháng mỗi căn hộ là \(x\) \((x\in\mathbb{N})\).
Số căn hộ có người thuê là \(20-x\) \((0\le x \le 20)\).
Tổng số tiền thu được là \((2000+200x)(20-x)\).
Xét hàm số \(f(x)=(2000+200x)(20-x)=-200x^2+2000x+40000\) trên khoảng \((0;20)\).
\(f^\prime (x)=-400x+2000\), \(f^\prime (x)=0\Leftrightarrow -400x+2000=0\Leftrightarrow x=5\).
Bảng biến thiên hàm số \(f(x)\) trên khoảng \(\left(0;20\right)\).
Từ bảng biến thiên suy ra \(\max\limits_{(0;20)} f(x)=f\left(5\right)=45000\) tại \(x=5\).
Vậy công ty nên cho thuê mỗi căn hộ giá \(2000+200\cdot5=30000\) nghìn đồng (ba triệu đồng) thì tổng số tiền thu được là lớn nhất.
Câu 43:
Có hai xã \(A\), \(B\) cùng ở một bên bờ sông Lam, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là \(AA'=500 \text{ m}\), \(BB'=600 \text{ m}\) và người ta đo được \(A'B'=2\,200 \text{ m}\). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho dân hai xã.
Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí \(M\) của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn \(A'B'\) sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí \(M\) là nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó.
Đặt \(A'M=x\), \((0< x< 2200)\), \(B'M=2200-x\).
Ta có: \(AM=\sqrt{x^2+500^2}\), \(BM=\sqrt{(2200-x)^2+600^2}\).
Khi đó tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí \(M\) là \(AM+BM= \sqrt{x^2+500^2}+\sqrt{(2200-x)^2+600^2}\).
Xét hàm số \(f(x)= \sqrt{x^2+500^2}+\sqrt{(2200-x)^2+600^2}\) trên khoảng \((0< x< 2200)\).
\(f^\prime (x)=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+500^2}}-\displaystyle\frac{2200-x}{\sqrt{(2200-x)^2+600^2}}\), \(f^\prime (x)=0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+500^2}}=\displaystyle\frac{2200-x}{\sqrt{(2200-x)^2+600^2}}\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x^2}{x^2+500^2}=\displaystyle\frac{(2200-x)^2}{(2200-x)^2+600^2}\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x^2+500^2}{x^2}=\displaystyle\frac{(2200-x)^2+600^2}{(2200-x)^2}\)
\(\Leftrightarrow 1+\displaystyle\frac{500^2}{x^2}=1+\displaystyle\frac{600^2}{(2200-x)^2}\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{25}{x^2}=\displaystyle\frac{36}{(2200-x)^2}\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{5}{x}=\displaystyle\frac{6}{2200-x}\Leftrightarrow x=1000\), vì \(x>0\).
Bảng biến thiên hàm số \(f(x)\) trên khoảng \(\left(0;2200\right)\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông là khoảng \(2460 \text{ m}\), tại vị trí \(M\) cách điểm \(A'\) là \(1000 \text{ m}\).
Câu 44:
Một người nông dân có \(15\, 000\, 000\) đồng để làm một hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông bao quanh hai khu đất trồng rau có dạng hai hình chữ nhật bằng nhau ({\it Hình 35}). Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là \(60\, 000\) đồng/mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song với nhau thì chi phí nguyên vật liệu là \(50\, 000\) đồng/mét, mặt giáp với bờ sông không phải rào. Tìm diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào.
Gọi \(x \text{ (m)}\) là chiều dài của mặt hàng rào song song với bờ sông.
Chi phí làm mặt hàng rào song song với bờ sông là \(60000x\).
Chi phí làm ba mặt hàng rào song song với nhau là \(15000000-60000x\).
Chiều dài của một mặt hàng rào song song với nhau là
\(\displaystyle\frac{15000000-60000x}{3\cdot 50000}=\left(\displaystyle\frac{-2x+500}{5}\right)\).
Diện tích của khu đất là
\(S(x)=x\left(\displaystyle\frac{-2x+500}{5}\right)=-\displaystyle\frac{2}{5}x^2+100x\). Điều kiện \(0< x< 250\).
Xét hàm số \(f(x)= -\displaystyle\frac{2}{5}x^2+100x\) trên khoảng \((0;250)\).
\(f^\prime (x)=-\displaystyle\frac{4}{5}x+100\),
\(f^\prime (x)=0\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{4}{5}x+100=0\Leftrightarrow x=125\).
Bảng biến thiên hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((0;250)\)
Từ bảng biến thiên suy ra \(\max\limits_{(0;250)} f(x)=f(125)=6250\).
Vậy bác nông dân có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất \(6250 \text{ m}^2\). Với chiều dài mặt hàng rào song song với bờ sông là \(125 \text{ m}\) và chiều dài ba mặt song song là \(50 \text{ m}\).
Câu 45:
Một bác nông dân có ba tấm lưới B40, mỗi tấm dài \(a \text{ (m)}\) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân \(ABCD\) như hình bên (bờ sông là đường thẳng \(CD\) không phải rào). Hỏi bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?
Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\), \(B\) trên \(CD\).
Đặt \(x=MD\), \(\left(0< x< a\right)\). Suy ra \(AM=\sqrt{AD^2-MD^2}=\sqrt{a^2-x^2}\).
Diện tích của mảnh vườn hình thang cân là
\(S(x)=\displaystyle\frac{(AB+CD)AM}{2}=(a+x)\sqrt{a^2-x^2}\).
Xét hàm số \(f(x)= (a+x)\sqrt{a^2-x^2}\) trên khoảng \(\left(0< x< a\right)\).
\(f^\prime (x)=\displaystyle\frac{-2x^2-ax+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\),
\(f^\prime (x)=0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{-2x^2-ax+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}=0\Leftrightarrow x=-a \notin \left(0< x< a\right) ;\, x=\displaystyle\frac{a}{2}\in \left(0< x< a\right)\).
Bảng biến thiên hàm số \(f(x)\) trên khoảng \(\left(0;a\right)\).
Từ bảng biến thiên suy ra \(\max\limits_{(0;a)} f(x)=f\left(\displaystyle\frac{a}{2}\right)=\displaystyle\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}\).
Vậy bác nông dân có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất \(\displaystyle\frac{3\sqrt{3}a^2}{4} \text{ m}^2\).
Câu 46:
Một trang sách có dạng hình chữ nhật với diện tích là \(384 \text{ cm}^2\). Sau khi để lề trên và lề dưới đều là \(3 \text{ cm}\), để lề trái và lề phải đều là \(2 \text{ cm}\). Phần còn lại của trang sách được in chữ. Kích thước tối ưu của trang sách là bao nhiêu để phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất?
Gọi \(x \text{ (cm)}\) là chiều dài lề trên và lề dưới.
Chiều dài lề trái và lề phải là \(\displaystyle\frac{384}{x} \text{ (cm)}\). Điều kiện: \(4< x< 64\).
Diện tích phần in chữ trên trang sách là \(S(x)=(x-4)\left(\displaystyle\frac{384}{x}-6 \right)\).
Xét hàm số \(f(x)= (x-4)\left(\displaystyle\frac{384}{x}-6 \right) =\displaystyle\frac{-6x^2-408x-1536}{x}\) trên khoảng \((4;64)\).
\(f^\prime (x)=\displaystyle\frac{-6x^2+1536}{x^2}\).
\(f^\prime (x)=0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{-6x^2+1536}{x^2}=0\Leftrightarrow x=-16 \notin (4;64);\,x=16\in (4;64)\)
Bảng biến thiên hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((6;96)\)
Từ bảng biến thiên suy ra \(\max\limits_{(4;64)} f(x)=f(16)=216\).
Do đó chiều dài lề trên và lề dưới của trang sách là \(16 \text{ (cm)}\), dài lề trái và lề phải của trang sách là \(\displaystyle\frac{384}{16}=24 \text{ (cm)}\) thì phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất bằng \(216 \text{ cm}^2\).
Câu 47:
Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh họa bên, nó được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị của hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{1}{10} \left(-x^3+9x^2-15x +56\right)\). Đơn vị độ dài trên mỗi trục là \(100\) m.
a) Đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục \(Ox\) dài bao nhiêu mét?
b) Tại những điểm nào trên đường đi dạo ven hồ (chạy dọc theo trục \(Ox\)) thì khoảng cách theo phương thẳng đứng đến bờ hồ đối diện là lớn nhất? Tìm khoảng cách lớn nhất đó.
c) Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số \(y=-1{,}5x+18\). Người ta dự định xây dựng trên bờ hồ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đường này là ngắn nhất. Tìm tọa độ của điểm để xây dựng bến thuyền này.
a) Trong trên, đồ thị hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{1}{10} \left(-x^3+9x^2-15x +56\right)\) cắt tia \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x=8\). Vậy đường dạo ven hồ chạy dọc theo trục \(Ox\) dài \(800\) m.
b) Ta khảo sát hàm số
\(y=f(x)=\displaystyle\frac{1}{10} \left(-x^3+9x^2-15x +56\right)\) với \(0\leq x\leq 8\).
\[f^\prime(x)=\displaystyle\frac{1}{10}\left(-3x^2+18x-15\right);\]
\[f^\prime(x)=0 \Leftrightarrow\displaystyle\frac{1}{10}\left(-3x^2+18x-15\right)=0 \Leftrightarrow x=1 \ \text{hoặc}\ x=5.\]
Bảng biến thiên
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(\max\limits_{[0;8]} f(x)=f(5)=8{,}1\) tại \(x=5\).
Vậy khoảng cách lớn nhất theo phương thẳng đứng từ một điểm trên đường đi dạo ven hồ (chạy dọc theo trục \(Ox\)) đến bờ hồ đối diện là
\[100 \cdot \left(\max\limits_{[0;8]} f(x)\right)=100 \cdot f(5)=100\cdot 8{,}1=810\ \text{(m)}\]
và đạt được tại điểm trên đường đi dạo ven hồ cách gốc \(O\) một khoảng cách là \(500\) m.
c) Xét điểm \(M\left(x{;}f(x)\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{1}{10} \left(-x^3+9x^2-15x +56\right)\) với \(0\leq x\leq 8\).
Khoảng cách từ điểm \(M\left(x{;}f(x)\right)\) đến đường thẳng \(y=-1{,}5x+18\Leftrightarrow -1{,}5x-y+18=0\) là
\[MH=\displaystyle\frac{\left|-1{,}5x-\displaystyle\frac{1}{10} \left(-x^3+9x^2-15x +56\right)+18\right|}{\sqrt{(-1{,}5)^2+1}}=\displaystyle\frac{\left|x^3-9x^2+124\right|}{10\sqrt{3{,}25}}.\]
Ta khảo sát hàm số \(h(x)=x^3-9x^2+124\) với \(0\leq x\leq 8\).
\[h^\prime(x)=3x^2-18x;\]
\[h^\prime(x)=0\Leftrightarrow 3x^2-18x=0 \Leftrightarrow x=0 \ \text{hoặc} \ x= 6.\]
Bảng biến thiên
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có: \(h(x)>0\) với \(0\leq x\leq 8\);
\[\min\limits_{[0;8]} h(x)=h(6)=16 \ \text{tại}\ x=6.\]
Do đó, \(\min MH=\min\limits_{[0;8]} \displaystyle\frac{\left|x^3-9x^2+124\right|}{10\sqrt{3{,}25}}=\displaystyle\frac{1}{10\sqrt{3{,}25}}\cdot \min\limits_{[0;8]} h(x)=\displaystyle\frac{1}{10\sqrt{3{,}25}}\cdot 16\approx0{,}8875\) và đạt được tại \(x=6\). Khi đó, \(f(6)=7{,}4\).
Vậy trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) ở hình trên, điểm để xây bến thuyền có tọa độ là \(M(6; 7{,}4)\).
Câu 48:
Trong \(5\) giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s(t)=-t^3+6t^2+t+5,\( trong đó \(t\) tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong \(5\) giây đầu tiên đó?
Xét hàm số \(s(t)=-t^3+6t^2+t+5\), trên đoạn \(\left[0;5\right]\).
Đạo hàm \(s'(t)=-3t^2+12t+1.\)
Cho \(s'(t)=0 \Leftrightarrow -3t^2+12t+1=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{6+\sqrt{39}}{3}\in[0;5];\, x=\displaystyle\frac{6-\sqrt{39}}{3}\notin[0;5].\)
Các giá trị \(f(0)=5\), \(f\left(\tfrac{6+\sqrt{39}}{3}\right)\approx41{,}04\), \(f(5)=35\).
So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{[0;5]}f(x)\approx41{,}04\), \(\min\limits_{[0;5]}f(x)=5\).
Câu 49:
Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe ô tô. Biết rằng thể tích \(V\) (lít) của lượng xăng trong bình xăng tính theo thời gian bơm xăng \(t\) (phút) được cho bởi công thức \(V(t)=300(t^2-t^3)+4 \text{ với } 0\le t\le 0{,}5.\)
a) Ban đầu trong bình xăng có bao nhiêu lít xăng?
b) Sau khi bơm \(30\) giây thì bình xăng đầy. Hỏi dung tích của bình xăng trong xe là bao nhiêu lít?
c) Khi xăng chảy vào bình xăng, gọi \(V(t)\) là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm \(t\) với \(0\le t\le 0{,}5\). Xăng chảy vào bình xăng ở thời điểm nào có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất?
a) Số xăng trong bình ban đầu là \(V(0)=4\) lít.
b) Dung tích bình xăng \(V=V\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=41{,}5\) lít.
c) Xét hàm số \(V(t)=300(t^2-t^3)+4 \text{ với } 0\le t\le 0{,}5.\)
Đạo hàm \(V'(t)=300t(2-3t)\).
Cho \(V'(t)=0 \Leftrightarrow 300t(t-3t)=0 \Leftrightarrow t=0\in[0;0{,}5];\,t=\displaystyle\frac{2}{3}\notin[0;0{,5}].\)
Các giá trị \(V(0)=4\), \(V\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=41{,}5\).
Xăng chảy vào bình xăng vào thời điểm ở giây thứ \(30\) có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất.
Câu 50:
Ông Nam cần xây một cái bể chứa nước có đạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy để phục vụ cho việc tưới cây trong vườn. Do các điều kiện về diện tích vườn, ông Nam cần bể có thể tích là \(36\) m\(^3\), đáy bể có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và chiều rộng không quá \(4\) m, biết rằng chi phí vật liệu xây dựng mỗi mét vuông diện tích bề mặt là như nhau. Hỏi chiều cao bể nước bằng bao nhiêu để tổng chi phí vật liệu là nhỏ nhất?
Xem bể có dạng hình hộp chữ nhật \(ABCDA'B'C'D'\) như hình.
Gọi \(x\) (m) là chiều rộng của bể, ta có \(0< x\leq 4\).
Chiều dài của bể là \(2x\) (m).
Gọi \(h\) (m) là chiều cao bể nước, ta có thể tích của bể là \(V=x\cdot (2x)\cdot h\).
Suy ra \(h=\displaystyle\frac{V}{2x^2}=\displaystyle\frac{36}{2x^2}=\displaystyle\frac{18}{x^2}\) (m).
Tổng diện tích các mặt cần xây là
\begin{eqnarray*}S &=& S_{ABCD}+2\cdot S_{ABB'A'}+2\cdot S_{BCC'B'}\\&=& 2x^2+2\cdot x\cdot \displaystyle\frac{18}{x^2}+2\cdot 2x\cdot \displaystyle\frac{18}{x^2}\\&=& 2x^2+\displaystyle\frac{108}{x}.\end{eqnarray*}
Xét hàm số \(S(x)=2x^2+\displaystyle\frac{108}{x}\) \(\left(0< x\leq 4\right)\), ta có
\(S'(x)=4x-\displaystyle\frac{108}{x^2}=\displaystyle\frac{4x^3-108}{x^2}=\displaystyle\frac{4(x-3)(x^2+3x+9)}{x^2}\).
\(S'(x)=0\Leftrightarrow x=3\).
Do \(\begin{cases}x^2>0\\x^2+3x+9>0\end{cases}\) khi \(x\in (0;4]\) nên dấu của \(S'(x)\) phụ thuộc vào dấu của biểu thức \((x-3)\).
\(\lim\limits_{x\to 0^+}S(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\left(2x^2+\displaystyle\frac{108}{x}\right)=+\infty\).
Bảng biến thiên
Chi phí xây dựng thấp nhất khi tổng diện tích các mặt cần xây \(S(x)\) là nhỏ nhất.
Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(S(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x=3\), suy ra \(h=2\).
Vậy cần xây bể có chiều cao là \(2\) (m).
Câu 51:
Người quản lí của một khu chung cư có \(100\) căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là \(8\) triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm \(100\) nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?
Gọi \(x\) là số lần tăng giá \((0< x< 100)\).
Mỗi lần tăng giá thì số căn hộ cho thuê là \(100 - x\) (căn).
Số tiền thuê căn hộ sau mỗi lần tăng là \(8\,000\,000+100\,000x\) đồng.
Khi đó tổng số tiền cho thuê căn hộ 1 tháng là:
\begin{align*}y&=(8\,000\,000+100\,000 x)(100-x)\\& =800\,000\,000-8\,000\,000 x+10\,000\,000 x-100\,000 x^2\\& =800\,000\,000+2\,000\,000 x-100\,000 x^2.\end{align*}
Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(y\) lớn nhất.
Ta có
\(y'=-200\,000 x+2\,000\,000; \quad y'=0 \Leftrightarrow x=10.\)
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy doanh thu lớn nhất khi người quản lí đặt giá thuê căn hộ là \(8\,000\,000+10 \cdot 100\,000 = 9\,000\,000\) (đồng).
Câu 52:
Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở \(A\) đến một hòn đảo ở \(C\) như bên dưới. Khoảng cách từ \(C\) đến \(B\) là \(4\) \(\mathrm{km}\). Bờ biển chạy thẳng từ \(A\) đến \(B\) với khoảng cách là \(10\) \(\mathrm{km}\). Tổng chi phí lắp đặt cho \(1\) \(\mathrm{km}\) dây điện trên biển là \(50\) triệu đồng, còn trên đất liền là \(30\) triệu đồng. Xác định vị trí điểm \(M\) trên đoạn \(AB\) (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.
Đặt \(MB=x(\mathrm{km}, 0\le x\le 10)\) \(\Rightarrow AM=10-x\) (km), \(MC=\sqrt{MB^2+CB^2}=\sqrt{x^2+16}(\mathrm{km})\).
Khi đó, chi phí nối điện từ \(A\) đến \(C\) là \(f(x)=30(10-x)+50\sqrt{x^2+16}\) (triệu đồng).
Ta có \(f'(x)=-30+\displaystyle\frac{50x}{\sqrt{x^2+16}}\).
\(f'(x)=0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+16}}=\displaystyle\frac{3}{5}\Leftrightarrow 25x^2=9x^2+144\Leftrightarrow x=3\) (do \(0 \le x \le 10\)).
Ta có \(f(0)=500\), \(f(3)=460\), \(f(10)=100 \sqrt{29}\) nên chi phí nhỏ nhất là \(460\) triệu đồng khi \(x=3\).
Vậy \(M\) cách \(B\) một khoảng \(3\) \(\mathrm{km}\) trên đoạn \(AB\) (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) thì tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.
Câu 53:
Anh An chèo thuyền từ điểm \(A\) trên bờ một con sông thẳng rộng \(3\) km và muốn đến điểm \(B\) ở bờ đối diện cách \(8\) km về phía hạ lưu càng nhanh càng tốt (hình bên). Anh An có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông đến điểm \(C\) rồi chạy bộ đến \(B\), hoặc anh có thể chèo thuyền thẳng đến \(B\), hoặc anh cũng có thể chèo thuyền đến một điểm \(D\) nào đó giữa \(C\) và \(B\) rồi chạy bộ đến \(B\). Nếu vận tốc chèo thuyền là \(6\) km/h và vận tốc chạy bộ là \(8\) km/h thì anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm nào để đến được \(B\) càng sớm càng tốt? (Giả sử rằng vận tốc của nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An).
Gọi độ dài đoạn \(CD\) là \(x\) (km, \(0 \leq x \leq 8\)).
Khi đó độ dài quãng đường \(A D\) là \(\sqrt{9+x^2}\) (km).
Thời gian đi hết quãng đường \(AD\) là \(\displaystyle\frac{\sqrt{9+x^2}}{6}(h)\).
Độ dài quãng đường \(BD\) là \(8 - x\) (km).
Thời gian đi hết quãng đường \(BD\) là \(\displaystyle\frac{8-x}{8}\) (h).
Thời gian người đó đi đến \(B\) bằng cách chèo thuyền đến một điểm \(D\) nào đó giữa \(C\) và \(B\) rồi chạy bộ đến \(B\) là \(\left(\displaystyle\frac{\sqrt{9+x^2}}{6}+\displaystyle\frac{8-x}{8} \right)\) (h)
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
\(y=\displaystyle\frac{\sqrt{9+x^2}}{6}+\displaystyle\frac{8-x}{8} \quad (0 \leq x \leq 8).\)
Ta có \(y'=\frac{x}{6 \sqrt{9+x^2}}-\frac{1}{8}\).
\begin{align*}y'=0 &\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x}{6 \sqrt{9+x^2}}-\displaystyle\frac{1}{8}=0 \\& \Leftrightarrow 8 x=6 \sqrt{9+x^2} \\& \Leftrightarrow \begin{cases}x \geq 0 \\ 64 x^2=36\left(9+x^2\right)\end{cases} \\& \Leftrightarrow \begin{cases}x \geq 0 \\ 28 x^2=324\end{cases} \\& \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{9 \sqrt{7}}{7}\end{align*}
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy anh An phải chèo thuyền đến điểm \(D\) cách \(C\) một đoạn \(\displaystyle\frac{9 \sqrt{7}}{7}\) km thì sẽ đến \(B\) sớm nhất.
Câu 54:
Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ có thể tích \(1\) lít. Tìm các kích thước của hộp đựng để chi phi vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất (kết quả được tính theo centimét và làm tròn đến chứ số thập phân thứ hai).
Đổi \(1 \text{ lít} =1000 \text{ cm}^3\).
Gọi \(r\) (cm) là bán kính đáy của hình trụ, \(h\) (cm) là chiều cao của hình trụ.
Diện tích toàn phần của hinh trụ là \(S=2 \pi r^2+2 \pi r h\).
Do thể tích của hình trụ là \(1000 \text{ cm}^3\) nên ta có: \(1000=V=\pi r^2 h\), hay \(h=\displaystyle\frac{1000}{\pi r^2}\).
Do đó, diện tích toàn phần của hình trụ là \(S=2 \pi r^2+\displaystyle\frac{2000}{r},\, r>0\).
Ta cần tìm \(r\) sao cho \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có
\begin{align*}&S'=4 \pi r-\displaystyle\frac{2000}{r^2}=\displaystyle\frac{4 \pi r^3-2000}{r^2};\\&S'=0 \Leftrightarrow \pi r^3=500 \Leftrightarrow r=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{500}{\pi}}\end{align*}
Bảng biến thiên
Khi đó
\(h=\displaystyle\frac{1000}{\pi r^2}=\displaystyle\frac{1000}{\pi \sqrt[3]{\frac{250000}{\pi^2}}}=\displaystyle\frac{100}{\sqrt[3]{250 \pi}}.\)
Vậy cần sản xuất các hộp đựng hình trụ có bán kinh đáy \(r=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{500}{\pi}} \approx 5,42 \text{ (cm)}\) và chiều cao \(h=\displaystyle\frac{100}{\sqrt[3]{250 \pi}} \approx 10,84\text{ (cm)}\).
Câu 55:
Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng \(108\mathrm{~cm}^2\) như hình bên. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.
Thể tích của chiếc hộp là \(V=x^2\cdot h\) (cm\(^3\)).
Vì diện tích bề mặt bằng \(108\) cm\(^2\) nên ta có
\(x^2+4xh=108\Leftrightarrow h=\displaystyle\frac{108-x^2}{4x}\) (điều kiện \(0< x < \sqrt{108}\)).
Khi đó thể tích chiếc hộp là \(V=\displaystyle\frac{x\left(108-x^2\right)}{4}=-\displaystyle\frac{x^3}{4}+27x\).
Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(V=-\displaystyle\frac{x^3}{4}+27 x~(0< x < \sqrt{108})\).
Có \(V^{\prime}=-\displaystyle\frac{3}{4} x^2+27; V^{\prime}=0\Leftrightarrow-\displaystyle\frac{3}{4} x^2+27=0\Leftrightarrow x=6\) (vì \(0< x < \sqrt{108}\)).
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể tích lớn nhất của chiếc hộp là \(108\) cm\(^3\) khi \(x=6\) cm và \(h=3\) cm.
Câu 56:
Trong các hình chữ nhật có chu vi là \(24\mathrm{~cm}\), hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Gọi \(x\) (cm) là chiều rộng của hình chữ nhật.
Điều kiện \(0< x< 12\).
Chiều dài của hình chữ nhật là \(12-x\) (cm).
Diện tích của hình chữ nhật là \(x(12-x)=-x^2+12x\) (cm\(^2\)).
Xét hàm số \(y=-x^2+12x\) với \(0< x< 12\).
Ta có \(y'=-2x+12\); \(y'=0\Leftrightarrow x=6\).
\[y(0)=0; y(6)=36; y(12)=0.\]
Do đó: \(\max \limits_{(0;12)} y=y(6)=36\).
Trong các hình chữ nhật có chu vi là \(24\mathrm{~cm}\) thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
Câu 57:
Giả sử doanh số (tính bằng sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong một năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số \(f(t)=\displaystyle\frac{5000}{1+5e^{-t}},\, t\ge0\), trong đó thời gian \(t\) được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó đạo hàm \(f'(t)\) biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?
Gọi \(g(t)\) là hàm tốc độ bán hàng.
Khi đó \(g(t)=f'(t)=\displaystyle\frac{25\,000e^{-t}}{(1+5e^{-t})^2}\), \(t\ge0\).
Ta có \(g'(t)=\displaystyle\frac{25\,000e^{-t}(1+5e^{-t})(5e^{-t}-1)}{(1+5e^{-t})^4}\); \(g'(t)=0\Leftrightarrow t=-\ln{\displaystyle\frac{1}{5}}\).
Bảng biến thiên hàm số
Hàm số đạt cực đại tại \(t=-\ln{\displaystyle\frac{1}{5}}\approx1{,}6\).
Vậy sau khi phát hành \(1{,}6\) năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.
Câu 58:
Một cổng vòm có dạng nửa hình tròn trên mặt đất với bán kính \(R=5 \mathrm{~m}\). Người ta muốn đặt một khung hình chữ nhật \(ABCD\) để thiết kế trang trí, với hai điểm \(A\), \(B\) đính trên vòm và \(CD\) đặt trên mặt đất (Hình 1.68). Tìm khoảng cách \(A\), \(B\) so với mặt đất để diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là lớn nhất.
Gọi hình chữ nhật cần tính diện tích là \(A B C D\) có \(OC=x\) \((0< x< 4)\), \(OB=4\).
Khi đó diện tích cùa hình chữ nhật \(A B C D\) là
\(S=AB\cdot BC=2x\sqrt{16-x^2}=f(x).\)
Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật \(A B C D\) là giá trị lớn nhất của \(f(x)=2 x \sqrt{16-x^2}\) trên \((0 ; 4)\).
Ta có
\(f'(x)=2\sqrt{16-x^2}-\displaystyle\frac{2 x^2}{\sqrt{16-x^2}}=\displaystyle\frac{-4x^2+32}{\sqrt{16-x^2}};\)
\(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=2\sqrt{2}\in(0 ;4);\, x=-2 \sqrt{2} \notin(0 ; 4)\).
Ta có \(\displaystyle\max_{(0 ; 4)}f(x)=f(2 \sqrt{2})=16\). Khi đó \(BC=2\sqrt{2}\).
Vậy khoảng cách \(A\), \(B\) so với mặt đất là \(2\sqrt{2}\). Khi đó \(S_{\max }=16\).
Câu 59:
Kính viễn vọng Hubble được tàu không gian Discovery đưa vào sử dụng ngày 24/4/0.7990. Mô hình vận tốc của tàu trong sứ mệnh này, từ lúc rời bệ phóng (\(t=0\) giây) cho đến khi được tên lửa đẩy nhanh khỏi bệ tại thời điểm \(t=126\) giây, được xác định bởi công thức:\\ \(v(t)=0{,}001302t^3-0{,}09029t^2+23{,}61t-3{,}083\) (feet/giây). Tính gia tốc lớn nhất và gia tốc nhỏ nhất của tàu trong khoảng thời gian này (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Gia tốc của tàu trong khoảng thời gian \(t=0\) giây đến \(t=126\) giây được xác định bởi công thức \(a(t)=v'(t)=0{,}003906t^2-0{,}18058t+23{,}61 \; (\text{ft}/s^2) \; \text{với} \; t \in [0;126].\)
Ta có \(a'(t)=0{,}007812t-0{,}18058\).
\(a'(t)=0 \Leftrightarrow 0{,}007812t-0{,}18058 =0 \Leftrightarrow t = \displaystyle\frac{45145}{1953}\).
Ta có \(a(0)=23{,}61\), \(a \left(\displaystyle\frac{45145}{1953} \right) \approx 21{,}52\), \(a(126) \approx 62{,}87\).
Vậy gia tốc lớn nhất của tàu trong khoảng thời gian trên là \(62{,87} \; (\text{ft}/s^2)\) và gia tốc nhỏ nhất là \(21{,}52\; (\text{ft}/s^2)\).
Câu 60:
Từ một miếng bìa hình chữ nhật với kích thước \(20\mathrm{~cm} \times 10\mathrm{~cm}\), bạn Lan cắt bỏ hai hình vuông có cạnh là \(x(\mathrm{~cm})\) và hai hình chữ nhật rồi gấp theo đường nét đứt và dán các mép để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật. Tìm \(x\) để thể tích hộp là lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Mặt đáy của hộp là hình chữ nhật có cạnh bằng \(10-2x\) (cm) và \(10-x\) (cm), với \(0< x< 2{,}5\). Vậy diện tích của đáy hộp là \(S=(10-2x)(10-x)=2x^2-30x+100\).
Khối hộp có chiều cao \(h=x\) (cm).
Vậy thể tích hộp là \(V=S\cdot h=(2x^2-30x+100) \cdot x=2x^3-30x^2+100x\) (cm\(^3\)).
Xét hàm \(f(x)=2x^3-30x^2+100x\), \(0< x< 2{,}5\).
Ta có \(f'(x)=6x^2-60x+100\)
\(\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow 3x^2-30x+50=0\) \(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{15-5\sqrt{4}}{3}\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{15+5\sqrt{3}}{3}\).
Do \(0< x< 2{,}5\) nên ta lấy \(x=x=\displaystyle\frac{15-5\sqrt{4}}{3}\).
Ta có bảng biến thiên
Vậy thể tích khối hộp đạt giá trị lớn nhất khi \(x=\displaystyle\frac{15-5\sqrt{4}}{3}\) (cm).
Câu 61:
Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn Nam làm một hình chóp tứ giác đều \(S.EFGH\) bằng cách sử dụng một tấm bìa hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(5\mathrm{~cm}\) và cắt tấm bìa theo các tam giác cân \(AEB\), \(BFC\), \(CGD\), \(DHA\). Sau đó bạn gấp các tam giác \(AEH\), \(BEF\), \(CFG\), \(DGH\) sao cho bốn đỉnh \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) trùng nhau tạo thành đỉnh \(S\) của khối chóp tứ giác đều như hình vẽ. Thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng bao nhiêu?
Đặt cạnh của hình vuông \(EFGH\) là \(x (x>0)\).
\(\Rightarrow OM=\displaystyle\frac{x}{2}\), \(CM=CO-OM=\displaystyle\frac{5 \sqrt{2}-x}{2}\) \((0< x< 5 \sqrt{2})\).
Khi gấp các tam giác thành hình chóp tứ giác đều \(A.EFGH\) thì \(C \equiv A\) nên ta có \(AM=CM\).
\(\Rightarrow A O=\sqrt{A M^2-O M^2}=\displaystyle\frac{\sqrt{50-10 \sqrt{2} x}}{2} \left(0< x< \displaystyle\frac{5 \sqrt{2}}{2}\right).\)
Thể tích khối chóp \(A.EFGH\) là
\(V_{A.EFGH}=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot S_{EFGH}\cdot AO=\displaystyle\frac{1}{6} x^2 \sqrt{50-10\sqrt{2} x}=\displaystyle\frac{1}{6}\sqrt{50 x^4-10\sqrt{2} x^5}.\)
Xét hàm số \(f(x)=50x^4-10\sqrt{2} x^5\) với \(0< x< \displaystyle\frac{5 \sqrt{2}}{2}\).
\(f'(x)=200x^3-50\sqrt{2}x^4=50x^3(4-\sqrt{2} x); f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0;\, x=2 \sqrt{2}.\)
Bảng biến thiên
Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành là \(V_{A. EFGH}=\displaystyle\frac{4\sqrt{10}}{3}\) khi và chỉ khi \(x=2\sqrt{2}\).
Câu 62:
Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ vị trí \(A\) trên bờ biển đến vị trí \(B\) trên hòn đảo. Khoảng cách từ điểm \(B\) đến bờ biển là \(BH=6\mathrm{~km}\) (Hình 1.42). Giá tiền để xây dựng đường ống trên bờ là 50000 USD mỗi kilômét và giá tiền xây dựng đường ống trên biển là 130000 USD mỗi kilômét, biết rằng \(AH=9\mathrm{~km}\). Xác định vị trí điểm \(C\) trên đoạn \(AH\) để khi lắp ống dẫn theo đường gấp khúc \(ACB\) thì chi phí công ty bỏ ra là thấp nhất.
Đặt \(AC=x\), với \(x\in[0,9]\).
Khi đó \(BC=\sqrt{BH^2+HC^2}=\sqrt{6^2+(9-x)^2}\).
Tổng chi phí công ty bỏ ra để lắp ống dẫn dẫn theo đường gấp khúc \(ACB\) là
\begin{equation*}c(x)=50 000x+130 000 \sqrt{6^2+(9-x)^2}=10 000(5x+13\sqrt{6^2+(9-x)^2}).\end{equation*}
Do đó, chi phí công ty bỏ ra là thấp nhất khi \(f(x)=5x+13\sqrt{6^2+(9-x)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có \(f'(x)=5+\displaystyle\frac {13(x-9)}{\sqrt {36+\left(9-x \right)^2}}\).
Suy ra \(f'(x)=0 \Leftrightarrow 5\sqrt {36+\left(9-x \right)^2}=13(x-9) \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{13}{2}\cdot\)
Ta có \(f(0)=13\sqrt{117}\), \(f(\frac{13}{2})=117\) và \(f(9)=123\).
Từ đó, \(f(x)\to \min\) khi \(x=\displaystyle\frac{13}{2}=6{,}5\).
Vậy với \(AC=6{,}5\) khi lắp ống dẫn theo đường gấp khúc \(ACB\) thì chi phí công ty bỏ ra là thấp nhất.
Câu 63:
Người ta cần thiết kế một cái lon có dạng hình trụ có thể tích là 1 lít (Hình 1.41). Tính tỉ lệ chiều cao và bán kính đáy hình trụ này để tổng chi phí làm vỏ lon (bao gồm cả hai đáy) là nhỏ nhất.
Giả sử \(h\) và \(r\) (\(h, r>0\)) lần lượt là chiều cao và bán kính đáy hình trụ.
Ta có \(V=\pi r^2h\). Suy ra \(h=\displaystyle\frac{1}{\pi r^2}\cdot\)
Tổng chi phí làm vỏ lon là nhỏ nhất khi và chỉ khi
\[S_{\text{tp}}=2\pi r l+2\pi r^2=2\pi (r.h+r^2)=2\pi \left(\displaystyle\frac{1}{\pi r}+r^2\right)=2\pi f(r)\]
là nhỏ nhất.
Suy ra chi phí làm vỏ lon là nhỏ nhất khi và chỉ khi \(f(r)=\displaystyle\frac{1}{\pi r}+r^2\) đạt giá trị nhỏ nhất, với \(r>0\).
Ta có:
\begin{eqnarray*}&&f'(r)=-\displaystyle\frac{1}{\pi r^2}+2r=\displaystyle\frac{2\pi r^3-1}{\pi r^2}\\&& f'(r)=0 \Leftrightarrow r=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{1}{2\pi}}.\end{eqnarray*}
Bảng biến thiên của \(f(r)\)
Do đó, \(f(r)\to \min \Leftrightarrow r=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{1}{2\pi}}\).
Mặt khác, \(\displaystyle\frac{h}{r}=\displaystyle\frac{1}{\pi r^3}=2\).
Vậy, chi phí làm vỏ lon là nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\displaystyle\frac{h}{r}=2\).
Câu 64:
Trong Vật lí, điện trở tương đương \(R_{\text{tđ}}\) của hai điện trở \(R_1 R_2\) mắc song song được xác định bởi công thức \(\displaystyle\frac{1}{R_{\text{tđ}}}=\displaystyle\frac{1}{R_1}+\displaystyle\frac{1}{R_2}\), biết rằng \(R_2=3(\Omega)\). Đặt \(R_1=x(\Omega)\), \(x > 0\).
a) Tính \(R_{\text {td}}\) theo \(x\), xem biểu thức tính được này là một hàm số \(y=f(x)\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(f(x)\) với \(x > 0\).
b) Khi \(x\) tăng, điện trở \(R_{\text{tđ}}\) thay đổi như thế nào? \(R_{\text{tđ}}\) không thể vượt qua giá trị bao nhiêu?
a) Với \(R_1=x\) và \(R_2=3\), ta có \(\displaystyle\frac{1}{R_{\text{tđ}}}=\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{x+2}{2x}\cdot\)
Suy ra \(R_{\text{tđ}}=\displaystyle\frac{2x}{x+2}=f(x)\).
Khảo sát sự biến thiên của \(f(x)\) với \(x>0\).
Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{4}{\left(x+2\right)^2}\cdot\)
Vì \(y'>0\) với mọi \(x\ne-2\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-2)\) và \((-2;+\infty)\).
Tiệm cận:
Ta có \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=\lim\limits_{x\to-\infty}\displaystyle\frac{2 x}{x+2}=2\);
\(\lim\limits_{x\to+\infty}y=\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle\frac{2 x}{x+2}=2\).
Suy ra đường thẳng \(y=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị của hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \(\left(0; 0\right)\). Đồ thị của hàm số được biểu diễn trên dưới.
Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận \(x=-2\) và \(y=2\).
b) Do \(y'>0\) với mọi \(x\ge0\) nên \(R_{\text{tđ}}\) tăng khi \(x\) tăng;
Đường thẳng \(y=2\) là tiệm cận ngang của \(f(x)\) nên \(R_{\text{tđ}}\) không thể vượt qua \(2~\Omega\).
Câu 65:
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s(t)=-t^3+2t^2-t\), với \(t\) (đơn vị: giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và \(s\) (đơn vị: mét) là quãng đường chất điểm di chuyển được trong khoảng thời gian đó.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(s=s(t)\) trên hệ trục toạ độ \(tOs\).
b) Trong khoảng thời gian 2 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, chất điểm đạt được vận tốc lớn nhất là bao nhiêu?
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số \(s(t)=-t^3+2 t^2-t\), với \(t\ge0\).
Đạo hàm \(s'=-3 t^2+4 t-1\);
\(s'=0 \Leftrightarrow t=\frac{1}{3}\) hoặc \(x=1\).
Trên các khoảng \(\left(0;\frac{1}{3}\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\), \(s' > 0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng~đó.
Trên khoảng \(\left(\frac{1}{3};1\right)\), \(s' < 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng~đó.
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\frac{1}{3}\) và \(s_{\text{CT}}=-\frac{4}{27}\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\) và \(s_{\text{CĐ}}=0\).
Các giới hạn tại vô cực:
\[\lim\limits_{x\to+\infty}y=\lim\limits_{x\to+\infty}x^3\left(-1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right)=-\infty.\]
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Khi \(x=0\) thì \(s=0\) nên \(\left(0;0\right)\) là giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\).
Ta có \(\begin{aligned}y=0\Leftrightarrow -t^3+2 t^2-t=0\Leftrightarrow t\in\left\{0, 1\right\}.\end{aligned}\)
Vậy đồ thị của hàm số giao với trục \(Ox\) tại hai điểm có hành độ \(\left\{0, 1\right\}\).
Điểm \(\left(\frac{1}{3};-\frac{4}{27}\right)\) là điểm cực tiểu và điểm \(\left(1;0\right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left(\frac{2}{3};-\frac{2}{27}\right)\).
b) Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường.
Do đó \(v(t)=s'(t)=-3t^2+4t-1=-3\left(t-\displaystyle\frac{2}{3}\right)+\displaystyle\frac{1}{3}\le\displaystyle\frac{1}{3},\; \forall x\in \mathbb{R}\).
Suy ra trong khoảng thời gian 2 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, chất điểm đạt được vận tốc lớn nhất là \(\displaystyle\frac{1}{3}\mathrm{~m/s}\).
Câu 66:
Người ta cần rào một mảnh đất hình chữ nhật \(ABCD\) có diện tích là \(600\mathrm{~m}^2\). Trên mảnh đất này, người ta chia làm ba miếng đất hình chữ nhật có diện tích bằng nhau. Giá tiền để xây dựng hàng rào bên trong và bao bên ngoài là \(60000\) đồng mối mét, biết rằng chiều dài hình chữ nhật \(ABCD\) không vượt quá \(60\mathrm{~m}\).
Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật \(ABCD\) sao cho chi phí xây dựng hàng rào là thấp nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Gọi \(x\) là chiều dài hình chữ nhật. Ta có \(x\in \left[10\sqrt{6}; 60\right]\).
Chiều rộng hình chữ nhật bằng \(\displaystyle\frac{\text{diện tích}}{\text{chiều dài}}=\displaystyle\frac{600}{x}\cdot\)
Chi phí cần để xây dựng hàng rào là \(60 000\cdot\left(2x+\displaystyle\frac{3\cdot600}{x}\right)=120 000\cdot\left(x+\displaystyle\frac{\cdot900}{x}\right)\).
Suy ra, chi phí hàng rào là thấp nhất khi hàm \(f(x)=x+\displaystyle\frac{\cdot900}{x}\), với \(x\in \left[10\sqrt{6}; 60\right]\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Do \(f'(x)=1-\displaystyle\frac{900}{x^2}\) nên \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=30\).
Mặt khác, \(f(10\sqrt{6})=25\sqrt{6}\approx61{,}23\), \(f(30)=60\) và \(f(60)=75\).
Suy ra \(f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x=30\).
Vậy hình chữ nhật \(ABCD\) có chiều dài bằng \(30\mathrm{~m}\) và chiều rộng bằng \(20\mathrm{~m}\) thì chi phí xây dựng hàng rào là thấp nhất.
Câu 67:
Một người chèo thuyền từ điểm \(A\) trên bờ một con sông thẳng, rộng \(3\mathrm{~km}\) và muốn đến điểm \(B\), cách bờ đối diện \(8\mathrm{~km}\) về phía hạ lưu, càng nhậnh càng tốt như hình. Người ấy có thể chèo thuyền qua sông đến điểm \(C\) rồi chạy bộ đến \(B\), hoặc anh ta có thể chèo thẳng đến \(B\), hoặc có thể chèo thuyền đến điểm \(D\) nào đó giữa \(C\) và \(B\) rồi chạy bộ đến \(B\). Biết rằng tốc độ chèo thuyền của người này là \(6\mathrm{~km}/\mathrm{h}\) và tốc độ chạy bộ là \(8\mathrm{~km}/\mathrm{h}\). Tìm thời gian ngắn nhất mà người này có thể đi từ \(A\) đến \(B\) (bỏ qua vận tốc của nước và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Gọi \(x=CD\), với \(x\in[0,8]\).
Thời gian người đó di chuyển từ \(A\) đến \(D\) là
\(\displaystyle\frac{\sqrt{3^2+x^2}}{6}=\displaystyle\frac{\sqrt{9+x^2}}{6}\cdot\)
Thời gian người đó di chuyển từ \(D\) đến \(B\) là \(\displaystyle\frac{8-x}{8}\cdot\)
Thời gian người đó di chuyển từ \(A\) đến \(B\) là
\(f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{9+x^2}}{6}+\displaystyle\frac{8-x}{8}\cdot\)
Khảo sát sự biến thiên của hàm \(f(x)\).
Đạo hàm của \(f'(x)=\displaystyle\frac{x}{6\sqrt{x^2+9}}-\displaystyle\frac{1}{8}\cdot\)
Phương trình \(f'(x)=0\) tương đương với
\begin{eqnarray*}&&4x=3\sqrt{x^2+9}\\ &\Leftrightarrow&\begin{cases}x\ge0\\ 16x^2=9(x^2+9)\end{cases}\\ &\Leftrightarrow& x=\displaystyle\frac{9\sqrt{7}}{7}\cdot\end{eqnarray*}
Bảng biến thiên
Suy ra \(\min\limits_{x\in[0,8]}=\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{8}+1\approx1{,}33\).
Tìm thời gian ngắn nhất mà người này có thể đi từ \(A\) đến \(B\) gần bằng \(1{,}33\mathrm{~h}\).
Câu 68:
Hình dưới là một mương dẫn nước thủy lợi tại một địa phương. Phần không gian trong mương để nước chảy có mặt cắt ngang là một hình chữ nhật \(ABCD\). Với điều kiện lưu lượng nước qua mương cho phép ở đây thì diện tích mặt cắt \(ABCD\) là \(1{,}2\) m\(^2\). Để đảm bảo yêu cầu kĩ thuật tốt nhất cho mương, người ta cần thiết kế sao cho tổng độ dài \(AB+BC+CD\) là ngắn nhất.
a) Đặt \(BC=x\), tính \(y=AB+BC+CD\) theo \(x\).
b) Khảo sát hàm số \(y=f(x)\) tìm được ở câu a, từ đó tính \(x\) để \(y\) nhỏ nhất, biết rằng theo quy định thì đoạn \(BC\) (chiều rộng đáy mương) phải dưới \(10\) m.
a) Ta có \(AB\cdot BC=1{,}2 \Leftrightarrow AB=\displaystyle\frac{1{,}2}{BC}\Leftrightarrow AB=\displaystyle\frac{1{,}2}{x}\).
Khi đó \(y=AB+BC+CD=\displaystyle\frac{1{,}2}{x}+x+\displaystyle\frac{1{,}2}{x}=\displaystyle\frac{x^2+2{,}4}{x}\).
b) Xét hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{x^2+2{,}4}{x}\) (\(0< x< 10\)).
Ta có \(y'=\displaystyle\frac{x^2-2{,}4}{x^2}\); \(y'=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{2\sqrt{15}}{5}\) hoặc \(x=-\displaystyle\frac{2\sqrt{15}}{5}\) (loại).
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, \(x=\displaystyle\frac{2\sqrt{15}}{5}\) thì \(y\) nhỏ nhất.
Câu 69:
Anh Nam có một mảnh đất rộng và muốn dành ra một khu đất hình chữ nhật có diện tích \(200\) m\(^2\) để trồng vài loại cây mới. Anh dự kiến rào quanh ba cạnh của khu đất hình chữ nhật này bằng lưới thép, cạnh còn lại (chiều dài) sẽ tận dụng bức tường có sẵn như hình vẽ.
Do điều kiện địa lí, chiều rộng khu đất không vượt quá \(15\) m, hỏi chiều rộng của khu đất này bằng bao nhiêu để tổng chiều dài lưới thép cần dùng là ngắn nhất (nghĩa là chi phí rào lưới thép thấp nhất)?
Gọi \(x\) (m) là chiều rộng của khu đất hình chữ nhật cần rào.
Theo đề bài, ta có \(0< x\leq 15\).
Diện tích khu đất này là \(200\) (m\(^2\)) nên chiều dài của khu đất là \(\displaystyle\frac{200}{x}\) (m).
Tổng chiều dài lưới thép rào quanh khu đất là \(L(x)=2x+\displaystyle\frac{200}{x}\) (m).
Xét hàm số: \(L(x)=2x+\displaystyle\frac{200}{x}\), với \(x\in(0;15]\).
Ta có: \(L^{\prime}(x)=2-\displaystyle\frac{200}{x^2}=\displaystyle\frac{2x^2-200}{x^2}\); \(L^{\prime}=0\Leftrightarrow x=10\) (do \(x>0\)).
Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \to 0^+} L(x)=\displaystyle\lim _{x \to 0^+} \left(2x+\displaystyle\frac{200}{x}\right) =+\infty\); \(L(10)=40\); \(L(15)=\displaystyle\frac{130}{3}\).
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, chiều dài lưới thép ngắn nhất là \(40\) m khi chiều rộng khu đất này là \(x=10\) (m) (và chiều dài là \(\displaystyle\frac{200}{10}=20\) (m)).
Câu 70:
Trong đợt chào mừng kỉ niệm ngày 26 tháng 3, trường X có tổ chức cho các lớp bày các gian hàng tại sân trường. Để có thể che nắng, chứa đồ đạc trong quá trình tham gia hoạt động, một lớp đã nghĩ ra ý tưởng như sau: Dựng trên mặt đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều rộng là \(4\) m và chiều dài là \(6\) m, bằng cách gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều dài của tấm bạt, hai mép chiều rộng còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau \(x\) (m). Tìm \(x\) để khoảng không gian phía trong lều là lớn nhất.
Theo đề bài, ta có \(0< x< 6\).
Gọi tên như hình vẽ với \(AH \perp BC\), suy ra \(H\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BH=\displaystyle\frac{BC}{2}=\displaystyle\frac{x}{2}\).
Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(B\), theo định lý
\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{3^2-\displaystyle\frac{x^2}{4}}=\displaystyle\frac{\sqrt{36-x^2}}{2}\).
\(V_{ABC.A'B'C'}=S_{ABC}\cdot AA'=\displaystyle\frac{1}{2}AH\cdot BC\cdot AA'=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{36-x^2}}{2}\cdot x\cdot 4=x\sqrt{36-x^2}\).
\(V'=\sqrt{36-x^2}+x\cdot\displaystyle\frac{-2x}{2\sqrt{36-x^2}}=\sqrt{36-x^2}-\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{36-x^2}}=\displaystyle\frac{36-2x^2}{\sqrt{36-x^2}}\).
\(V'=0\Leftrightarrow 36-2x^2=0\Leftrightarrow x=3\sqrt{2}\) hoặc \(x=-3\sqrt{2}\) (loại).
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, \(x=3\sqrt{2}\) (m) thì khoảng không gian phía trong lều là lớn nhất.
Câu 71:
Giả sử chi phí để xuất bản \(x\) cuốn tạp chí (gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in,...) được cho bởi công thức sau: \(C(x)=0{,}0001x^2-0{,}2x+10000\), trong đó \(C(x)\) được tính theo đơn vị là vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là \(4\) nghìn đồng.
a) Tính tổng chi phí \(T(x)\) (xuất bản và phát hành) cho \(x\) cuốn tạp chí,
b) Tỉ số \(M(x)=\displaystyle\frac{T(x)}{x}\) được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản \(x\) cuốn. Tính \(M(x)\) theo \(x\) và tìm số lượng tạp chí cần xuất bản sao cho chi phí trung bình là thấp nhất, biết rằng nhu cầu hiện tại xuất bản không quá \(30000\) cuốn. Khi đó chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí là bao nhiêu?
a) Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là \(4\) nghìn đồng, tức là \(0{,}4\) vạn đồng.
Suy ra chi phí phát hành cho \(x\) cuốn là \(0{,}4x\) (vạn đồng).
Theo để bài, ta có tổng chi phí xuất bản và phát hành cho \(x\) cuốn tạp chí là:
\[T(x)=C(x)+0{,}4x=0{,}0001x^2+0{,}2x+10000,\;\text{với}\; x>0.\]
b) Ta có \(M(x)=\displaystyle\frac{T(x)}{x}=0{,}0001x+0{,}2+\displaystyle\frac{10000}{x}\).
Xét hàm số \(f(x)=0{,}0001x+0{,}2+\displaystyle\frac{10000}{x}\), với \(0< x\leq 30000\).
\(f^{\prime}(x)=0{,}0001-\displaystyle\frac{10000}{x^2}=\displaystyle\frac{0{,}0001x^2-10000}{x^2}\); \(f^{\prime}(x)=0\Leftrightarrow x=10000\) (do \(x>0\)).
\(\displaystyle\lim _{x \to 0^+} f(x)=+\infty\).
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy giá trị của \(M(x)\) nhỏ nhất khi \(x=10000\).
Vậy số lượng tạp chí cần xuất bản sao cho chi phí trung bình thấp nhất là \(x=10000\) (cuốn).
Chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản \(10000\) cuốn là:
\[M(10000)=2{,}2 \;\text{(vạn đồng)}=22000\;\text{(đồng)}.\]
Câu 72:
Khi một vật lạ mắc kẹt trong khí quản khiến ta phải ho, cơ hoành đẩy lên gây ra tăng áp lực trong phổi, theo đó cuống họng co thắt làm hẹp khí quản khiến không khí đi qua mạnh hơn. Đối với một lượng không khí bị đẩy ra trong một khoảng thời gian cố định, khí quản càng nhỏ thì luồng không khí càng đẩy ra nhanh hơn. Vận tốc luồng khí thoát ra càng cao, lực tác động lên vật lạ càng lớn. Qua nghiên cứu một số trường hợp, người ta nhận thấy vận tốc \(v\) của luồng khí liên hệ với bán kính \(x\) của khí quản theo công thức: \(v(x)=k(x_0-x)x^2\; \text{với}\; \displaystyle\frac{1}{2}x_0\leq x\leq x_0\), trong đó \(k\) là hằng số (\(k>0\)) và \(x_0\) là bán kính khí quản ở trạng thái bình thường. Tìm \(x\) theo \(x_0\) để vận tốc của luồng khí một cơn ho trong trường hợp này là lớn nhất.
Xét hàm số \(f(x)=(x_0-x)x^2\) với \(x_0\) cố định và \(\displaystyle\frac{1}{2}x_0\leq x\leq x_0\).
Do \(k\) là hằng số nên vận tốc của luồng khí một cơn ho lớn nhất khi \(f(x)\) đạt giá trị lớn nhất.
Ta có \(f(x)=-x^3+x_0x^2\); \(f^{\prime}(x)=-3x^2+2x_0x\); \(f^{\prime}(x)=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{2}{3}x_0\).
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(\max\limits_{\left [\tfrac{1}{2}x_0;x_0\right ]}f(x)=f\left(\displaystyle\frac{2}{3}x_0\right)\).
Vậy vận tốc của luồng khí một cơn ho lớn nhất khi \(x=\displaystyle\frac{2}{3}x_0\).
Câu 73:
Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi bằng \(18 \mathrm{~cm}\), hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là \(x\) cm, với \(x \in \left(0;\displaystyle\frac{9}{2}\right]\).
Khi đó chiều dài của hình chữ nhật là \(9-x\) cm.
Diện tích của hình chữ nhật là \(f(x)=x(9-x)=-x^2+9x\).
Ta có \(f^{\prime}(x)=-2x+9\) và \(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x = \displaystyle\frac{9}{2}\).
Bảng biến thiên
Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là hình vuông có cạnh \(x = \displaystyle\frac{9}{2}\).
Câu 74:
Một doanh nghiệp tư nhân \(A\) chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung vào chiến lược kinh doanh xe \(X\) với chi phí mua vào một chiếc là 27 triệu đồng và bán ra với giá 31 triệu đồng. Với giá bán này, số lượng xe mà khách hàng đã mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang bán chạy này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán. Bộ phận nghiên cứu thị trường ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Hỏi theo đó, giá bán mới là bao nhiêu thì lợi nhuận thu được cao nhất?
Gọi giá bán mới là \(x\) (triệu đồng) với \(x \in [27;31]\).
Khi đó số xe bán ra là \(600+(31-x) \cdot 200\).
Lợi nhuận thu được là
\begin{eqnarray*}f(x) &=& [600+(31-x) \cdot 200](x-27)\\&=& (-200x+6800)(x-27)\\&=& -200x^2+12200x-183600\\&=& -200\left(x-\displaystyle\frac{61}{2}\right)^2+2450\\&\leq&2450.\end{eqnarray*}
Vậy giá bán mới là \(30,5\) triệu đồng thì lợi nhuận thu được là lớn nhất là \(2\,450\) (triệu đông).
Câu 75:
Một thùng chứa nhiên liệu gồm phần ở giữa là một hình trụ có chiều dài \(h\) mét \((h>0)\) và hai đầu là các nửa hình cầu bán kính \(r\) \((r>0)\). Biết rằng thể tích của thùng chứa là \(144\,000 \pi\) m\(^3\). Để sơn mặt ngoài của phần hình cầu cần \(20\,000\) đồng cho \(1\) m\(^2\), còn sơn mặt ngoài cho phần hình trụ cần \(10\,000\) đồng cho \(1\) m\(^2\).
Xác định \(r\) để chi phí cho việc sơn diện tích mặt ngoài thùng chứa (bao gồm diện tích xung quanh hình trụ và diện tích hai nửa hình cầu) là nhỏ nhất, biết rằng bán kính \(r\leq 50\) m.
Ta có thể tích của thùng chứa nhiên liệu là \(V=\pi \cdot r^2 \cdot h + \displaystyle\frac{4}{3} \pi \cdot r^3 = 144\, 000 \pi\)
Suy ra \(h=\displaystyle\frac{(144\,000-\displaystyle\frac{4}{3} \cdot r^3)}{r^2}\)
Khi đó chi phí sơn diện tích mặt ngoài thùng chứa là
\(2\pi\cdot r\cdot\displaystyle\frac{(144\,000-\displaystyle\frac{4}{3}\cdot r^3)}{r^2}\cdot 10^4+4\pi\cdot r^2\cdot2\cdot10^4=2\pi\cdot10^4\left(\displaystyle\frac{144\,000}{r}+\displaystyle\frac{8}{3}r^2\right).\)
Xét hàm số \(f(r)=\displaystyle\frac{144\,000}{r} + \displaystyle\frac{8}{3} r^2\) với \(r \in (0;50]\)
Ta có \(f^{\prime}(r)=-\displaystyle\frac{144\,000}{r^2} + \displaystyle\frac{16}{3} r=\displaystyle\frac{16r^3-432\,000}{3r^2}\) và \(f^{\prime}(r)=0 \Leftrightarrow r=30\) m.
Bảng biến thiên
Vậy với \(r=30\) m thì chi phí cho việc sơn diện tích mặt ngoài của thùng chứa là nhỏ nhất.
Câu 76:
Từ một tấm bìa carton hình vuông có độ dài cạnh bằng \(60\) cm, người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp. Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của chiếc hộp là lớn nhất.
Gọi \(x\) (cm) là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn góc của tấm bìa. Điều kiện \(0< x< 30\).
Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ có cạnh \(x\) cm ở bốn góc và gập lên thì ta được một chiếc hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông với độ dài cạnh bằng \((60-2 x)\) (cm) và chiều cao bằng \(x\) cm. Thể tích của chiếc hộp này là
\[V(x)=(60-2 x)^2 \cdot x=4 x^3-240 x^2+3600 x\left(\text{cm}^3\right).\]
Ta có \(V'(x)=12 x^2-480 x+3600\); \(V'(x)=0 \Leftrightarrow x^2-40 x+300=0 \Leftrightarrow x=10\) (thoả mãn điều kiện) hoặc \(x=30\) (loại).
Lập bảng biến thiên:
Vậy để thể tích của chiếc hộp là lớn nhất thì độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ phải cắt là \(10\) cm.
Câu 77:
Ho ép khí quản lại, ảnh hưởng đến tốc độ của không khí đi vào khí quản. Tốc độ của không khí đi vào khí quản khi ho được cho bởi công thức \(V=k(R-r)r^2\) với \(0\le r< R,\) trong đó \(k\) là hằng số, \(R\) là bán kính bình thường của khí quản, \(r\) là bán kính khí quản kho ho. Hỏi bán kính của khí quản khi ho bằng bao nhiêu thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất?
Xét hàm số \(V=k(R-r)r^2\) trên nửa khoảng \([0;R)\)
Ta có \(V(r)=k(R-r)r^2 \Rightarrow V'(r)=-3kr^2+2kRr=-kr(3r-2R)\).
Cho \(V'(r)=0 \Leftrightarrow -kr(3r-2R)=0 \Leftrightarrow r=0\in[0;R);\, r=\displaystyle\frac{2R}{3}\in[0;R)\).
Các giá trị \(V(0)=0\), \(V\left(\displaystyle\frac{2R}{3}\right)=4k\left(\displaystyle\frac{R}{3}\right)^3\).
Bán kính khí quản lớn nhất khi \(r=\displaystyle\frac{2R}{3}\).
Bảng biến thiên
Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có
\(\max\limits_{[0;R)}V(r)=V\left(\displaystyle\frac{2R}{3}\right)=4k\left(\displaystyle\frac{R}{3}\right)^3=\displaystyle\frac{4kR^3}{27}\).