Đáp án: \( x^2+y^2+2x-1=0 \)

Lời giải:

Phương trình đường tròn tổng quát có dạng \( x^2+y^2-2ax-2by+c=0 \) với \(a^2+b^2-c>0\).

Trong các đáp án, chỉ có \( x^2+y^2+2x-1=0 \) phù hợp với phương trình tổng quát và là phương trình của đường tròn có tâm \( I(-1;0) \) và bán kính là \( \sqrt{2} \).

Đáp án: \(R=5\)

Lời giải:

Đường tròn \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\) có bán kính là

\(R= \sqrt{\displaystyle\frac{(-4)^2+6^2}{4}+12}= \sqrt{25}=5.\)

Đáp án: \(x^2+y^2-x+3y-2=0 \)

Lời giải:

Từ phương trình \(x^2+y^2-10x-6y-2=0 \) ta có \(a=5\), \(b=3\), \(c=-2\) và \(a^2+b^2-c=36>0\) nên phương trình này là phương trình đường tròn.

Đáp án: \(x^2+y^2-2y+6y-10=0\)

Lời giải:

Phương trình đường tròn có dạng \(x^2+y^2+2ax+2by+c=0\) với \(a^2+b^2-c>0\).

Trong các phương án đã cho chỉ có phương trình \(x^2+y^2-2y+6y-10=0\) là phương trình đường tròn.

Đáp án: \(m\in \left(-\infty;1\right)\cup \left(2;+\infty \right)\)

Lời giải:

Ta có: \(x^2+y^2-2mx-4\left(m-2\right)y+6-m=0\) \(\Rightarrow \begin{cases} a=m \\ b=2\left(m-2\right) \\ c=6-m\end{cases}\) \(\Rightarrow a^2+b^2-c>0.\)

\(\Leftrightarrow 5m^2-15m+10>0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&m<1 \\ &m>2.\end{aligned}\right.\)

Đáp án: \(m=-1\)

Lời giải:

Ta có: \(x^2+y^2-2\left(m+1\right)x+4y-1=0\) \(\Rightarrow \begin{cases}a=m+1 \\ b=-2 \\ c=-1\end{cases}\)

\(\Rightarrow R^2=a^2+b^2-c={\left(m+1\right)}^2+5\) \(\Rightarrow R_{\min}=5\Leftrightarrow m=-1.\)

Đáp án: \(x^2+y^2=1\)

Lời giải:

\((C)\colon \begin{cases} I(0;0) \\ R=1\end{cases}\Rightarrow (C)\colon x^2+y^2=1.\)

Đáp án: \((x-2)^2+y^2=9\)

Lời giải:

Phương trình đường tròn \((C)\) là \((x-2)^2+y^2=9\).

Đáp án: \((x-3)^2+y^2=20\)

Lời giải:

Đường tròn có tâm \(I(3;0)\) và đi qua \(A(1;4)\) có bán kính \(R=IA=\sqrt{(1-3)^2+(4-0)^2}=2\sqrt{5}\).

Đường tròn có tâm \(I(3;0)\) và bán kính \(R=2\sqrt{5}\) có phương trình là \((x-3)^2+y^2=20\).

Đáp án: \((x-3)^2+(y+2)^2=25\)

Lời giải:

Đường tròn tâm \(I(3;-2)\) và đi qua điểm \(M(-1;1)\) nên có bán kính bằng \(MI\).

\(MI^2=(3+1)^2+(-2-1)^2\) \(=25\)

Vậy phương trình đường tròn là \((x-3)^2+(y+2)^2=25\).

Đáp án: \((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=5\)

Lời giải:

Đường tròn đường kính \(AB\) nhận trung điểm \(I(2;-3)\) của \(AB\) làm tâm và bán kính \(IA=\sqrt{(3-2)^2+(-1+3)^2}=\sqrt{5}\) nên có phương trình \((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=5\).

Đáp án: \((C)\colon (x-2)^2+y^2=2\)

Lời giải:

Ta có \(AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\). Tọa độ trung điểm \(M\) của \(AB\) là \((2;0)\)

Đường tròn \(C\) nhận \(AB\) là đường kính nên có bán kính là \(R=\displaystyle\frac{AB}{2}=\sqrt{2}\).

Vậy phương trình đường tròn \((C)\) đi qua \(M(2;0)\) và có bán kính \(R=\sqrt{2}\) là

\((x-2)^2+y^2=2.\)

Đáp án: \((x-2)^2+(y+3)^2=4\)

Lời giải:

\((C)\colon \begin{cases} I(2;-3) \\ R=\mathrm{d}\left(I;Oy\right)=2\end{cases}\) \(\Rightarrow (C)\colon (x-2)^2+(y+3)^2=4.\)

Đáp án: \(\left( x-3 \right)^{2}+\left( y+2 \right)^{2}=\displaystyle\frac{81}{5}\)

Lời giải:

Bán kính \(R=\mathrm{d} \left(I,\Delta \right)=\displaystyle\frac{\left| 2.3+2+1 \right|}{\sqrt{2^2+(-1)^{2}}}=\displaystyle\frac{9}{\sqrt{5}}\).

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I\left( 3;-2 \right)\), bán kính \(R=\displaystyle\frac{9}{\sqrt{5}}\) có phương trình là \((C) \colon \left( x-3 \right)^{2}+\left( y+2 \right)^{2}=\displaystyle\frac{81}{5}\).

Đáp án: \(x^2+y^2-4x-2y-20=0\)

Lời giải:

\(A,B,C\in (C)\colon x^2+y^2+2ax+2by+c=0\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}20-4a+8b+c=0 \\ 50+10a+10b+c=0 \\ 40+12a-4b+c=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}a=-2 \\ b=-1 \\ c=-20.\end{cases}\)

Vậy \((C)\colon x^2+y^2-4x-2y-20=0.\)

Đáp án: \( x^2+y^2-2x+4y+1=0 \)

Lời giải:

{Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \) là \( x^2+y^2-2ax-2by+c=0 \) với \( a , b ,c\in \mathbb{R} \).

Do đường tròn đi qua 3 điểm \( A , B \) và \( C \) nên ta có hệ phương trình

\( \begin{cases} 1^2+0^2-2a \cdot 1 -2b \cdot 0 +c =0 \\ 1^2+(-4)^2-2a \cdot 1 -2b \cdot (-4) +c =0 \\ 3^2+(-2)^2-2a \cdot 3 -2b \cdot (-2) +c =0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} -2a+c=-1 \\ -2a+8b+c =-17 \\ -6a+4b+c=-13\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=-2 \\ c=1.\end{cases}\)

Phương trình đường tròn cần tìm là \( x^2+y^2-2x+4y+1=0 \).

Đáp án: \({\left(x-3\right)}^2+y^2=8\)

Lời giải:

Tâm \(I\) của đường tròn nằm trên đường thẳng qua \(M\) vuông góc với \(\Delta\) là

\({\Delta}':x+y-3=0\Rightarrow I\left(a;3-a\right).\)

Ta có: \(R^2=IA^2=IM^2={\left(a-1\right)}^2+{\left(a-5\right)}^2={\left(a-1\right)}^2+{\left(a-1\right)}^2\)

\(\Leftrightarrow a=3\Rightarrow \begin{cases}I\left(3;0\right) \\ R^2=8\end{cases}\Rightarrow (C):{\left(x-3\right)}^2+y^2=8.\)

Đáp án: \({\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=1\) hoặc \((x-5)^2+(y-5)^2=25\)

Lời giải:

Vì \(M\left(2;1\right)\) thuộc góc phần tư \((I)\) nên \(A\left(a;a\right),a>0.\)

Khi đó: \(R=a^2=IM^2={\left(a-2\right)}^2+{\left(a-1\right)}^2\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& a=1\Rightarrow I\left(1;1\right),R=1\Rightarrow C:{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=1 \\ &a=5\Rightarrow I\left(5;5\right),R=5\Rightarrow C:{\left(x-5\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=25.\end{aligned}\right.\)

Đáp án: \(x+2y=1\)

Lời giải:

Đường tròn có tâm \(I(4;1)\). Khi đó \(\overrightarrow{AI} =(1;2)\).

Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \(A\) nhận \(\overrightarrow{AI}\) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là

\(1\cdot (x-3) +2\cdot (y+1)=0\) \(\Leftrightarrow x+2y=1.\)

Đáp án: \(x+y-5=0\)

Lời giải:

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R = \sqrt{2}\).

Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến với \((C)\) tại \(M(2;3)\).

Đường thẳng \(\Delta\) qua \(M(2;3)\) và nhận \(\overrightarrow{IM} = (1;1)\) làm véc-tơ pháp tuyến.

Vậy phương trình \(\Delta\) là \(1(x-2) + 1(y-3) = 0\) \(\Leftrightarrow x + y - 5 = 0\).

Đáp án: \(2x+y=0\); \(2x+y-10=0\)

Lời giải:

Đường tròn \((C) \colon (x-3)^2+(y+1)^2=5\) có tâm \(I(3;-1)\) và bán kính \(R=\sqrt{5}\).

Đường thẳng \((d)\) song song với đường thẳng \(2x+y+7=0\) có dạng: \(2x+y+m=0\); \(m \ne 7\).

Đường thẳng \((d)\) là tiếp tuyến của đường tròn \((C)\) \(\Leftrightarrow \mathrm{d}(I,d)=R\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{|2 \cdot 3-1+m|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\sqrt{5}\) \(\Leftrightarrow |m+5|=5\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&m=0\\ &m=-10\end{aligned}\right.\).

Vậy đường tròn \((C)\) có \(2\) tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán: \(2x+y=0\) và \(2x+y-10=0\).

Đáp án: \(2 x+y=0 ; 2 x+y-10=0\)

Lời giải:

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(3;-1)\) và bán kính \(R=\sqrt{5}\).

Gọi \(\Delta \colon 2x+y+m =0\) (\(m\ne 7\)) là tiếp tuyến song song với \(d\).

Ta có

\(\mathrm{d}(I,\Delta) =R \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\left |6-1+m\right |}{\sqrt{5}} =\sqrt{5}\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&m=0\\ &m=-10\end{aligned}\right.\ (\text{thỏa mãn}).\)

Vậy phương trình các tiếp tuyến là \(2 x+y=0 ; 2 x+y-10=0\).