Đáp án: \(I(2;2)\) và \(R=\sqrt{11}\)

Lời giải:

Ta có:

\(\begin{aligned}&(S) \colon x^2+y^2-4x-4y-3=0\\ \Leftrightarrow &(x^2-4x+4)+(y^2-4y+4)-4-4-3=0\\ \Leftrightarrow &(x-2)^2+(y-2)^2=\left(\sqrt{11}\right)^2\end{aligned}\)

Vậy tâm của đường tròn \((S) \colon x^2+y^2-4x-4y-3=0\) là \(I(2;2)\).

Bán kính của đường tròn \((S)\) là: \(R=\sqrt{11}\).

Đáp án: \((0;2)\)

Lời giải:

Tọa độ tâm của đường tròn \((C) \colon x^2+(y-2)^2=9\) là \((0;2)\).

Đáp án: \(x^2 + y^2 = 1\)

Lời giải:

Đường tròn có tâm \(I(a;b)\) và bán kính \(R\) có phương trình \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\). Như vậy, \(x^2 + y^2 = 1\) là một phương trình đường tròn với tâm \(O(0;0)\) và bán kính \(R = 1\).

Đáp án: \(2x^2+2y^2-4x+6y-12=0\)

Lời giải:

Biết rằng \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\) là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi \(a^2+b^2-c>0\).

Ta thấy phương trình trong phương án \(A\) và \(B\) có hệ số của \(x^2\), \(y^2\) không bằng nhau nên đây không phải là phương trình đường tròn.

Với phương án \(C\) có \(a^2+b^2-c=1+16-18<0\) nên đây không phải là phương trình đường tròn. Vậy ta chọn đáp án \(D\).

Đáp án: \(1

Lời giải:

Ta có \(\begin{cases}a=\displaystyle\frac{-4m}{-2}=2m\\b=\displaystyle\frac{2(m-1)}{-2}=1-m\\c=6m^2-5m+3.\end{cases}\)

Phương trình đã cho là phương trình đường tròn khi và chỉ khi

\begin{align*}&a^2+b^2-c>0\\\Leftrightarrow&(2m)^2+(1-m)^2-(6m^2-5m+3)>0\\\Leftrightarrow&4m^2+1-2m+m^2-6m^2+5m-3>0\\\Leftrightarrow&-m^2+3m-2>0\\ \Leftrightarrow &1

Đáp án: \(\left[\begin{aligned}m<-2\\m>-1\end{aligned}\right.\)

Lời giải:

Ta có \(\begin{cases}a=-m\\b=2(m+1)\\c=4m^2+5m+2.\end{cases}\)

Phương trình đã cho là phương trình đường tròn khi và chỉ khi

\begin{align*}&a^2+b^2-c>0\\ \Leftrightarrow &(-m)^2+\left[2(m+1)\right]^2-(4m^2+5m+2)>0\\ \Leftrightarrow &m^2+3m+2>0\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&m<-2\\&m>-1.\end{aligned}\right.\end{align*}

Đáp án: \(\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)

Lời giải:

Đường tròn tâm \(I\left(3;-1\right)\) và bán kính \(R=2\) có phương trình là \(\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2=2^2=4\).

Đáp án: \((x-2)^2+y^2=9\)

Lời giải:

Phương trình đường tròn \((C)\) là \((x-2)^2+y^2=9\).

Đáp án: \((x+1)^2+(y-1)^2=25\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{IA}=(4;-3)\) \(\Rightarrow IA=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5\).

Đường tròn tâm \(I(-1;1)\) và đi qua \(A(3;-2)\) nên có bán kính \(R=IA=5\).

Đường tròn đó có phương trình là

\((x+1)^2+(y-1)^2=25.\)

Đáp án: \((x-3)^2+(y+2)^2=25\)

Lời giải:

Đường tròn tâm \(I(3;-2)\) và đi qua điểm \(M(-1;1)\) nên có bán kính bằng \(MI\).

\(MI^2=(3+1)^2+(-2-1)^2\) \(=25\)

Vậy phương trình đường tròn là \((x-3)^2+(y+2)^2=25\).

Đáp án: \((x-1)^2+(y-2)^2=4\)

Lời giải:

Đường tròn có tâm là trung điểm \(AB\). Tâm \(I(1;2)\).

Ta có \(\overrightarrow{IA}=(-2;0)\). Bán kính đường tròn là \(IA=2\).

Phương trình đường tròn là \((x-1)^2+(y-2)^2=4\).

Đáp án: \((x+1)^2+(y-4)^2=5\)

Lời giải:

Đường tròn đường kính \(AB\) có tâm là điểm \(I(-1;4)\) (\(I\) là trung điểm của đoạn \(AB\)), bán kính \(R = \displaystyle\frac{AB}{2} = \displaystyle\frac{\sqrt{(-3-1)^2+(5-3)^2}}{2} = \sqrt{5}.\)

Phương trình đường tròn đường kính \(AB\) là \((x+1)^2+(y-4)^2=5\).

Đáp án: \((x+1)^2+(y-2)^2=\displaystyle\frac{4}{5}\)

Lời giải:

\((C)\colon \begin{cases} I(-1;2) \\ R=\mathrm{d}\left(I;\Delta \right)=\displaystyle \frac{\left|-1-4+7\right|}{\sqrt{1+4}}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\end{cases}\) \(\Rightarrow (C)\colon (x+1)^2+(y-2)^2=\displaystyle\frac{4}{5}.\)

Đáp án: \((x+2)^2+(y-1)^2=1\)

Lời giải:

Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn \((C)\).

Ta có \((C)\) tiếp xúc \(\Delta \Leftrightarrow R=\mathrm{d}(I,\Delta)\) \(\Leftrightarrow R=\displaystyle\frac{\vert 3 \cdot(-2)-4\cdot 1+5\vert}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=1\).

Vậy \((C)\) có phương trình là \((x+2)^2+(y-1)^2=1\).

Đáp án: \(x^2+y^2+25x+19y-49=0\)

Lời giải:

Phương trình đường tròn có dạng \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\).

Đường tròn này qua \(A,B,C\) nên

\(\begin{cases}1+4-2a-4b+c=0\\25+4-10a-4b+c=0\\1+9-2a+6b+c=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}a=3\\b=-\displaystyle\frac{1}{2}\\c=-1.\end{cases}\)

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là \(x^2+y^2-6x+y-1=0\).

Đáp án: \(\displaystyle\frac{5}{2}\)

Lời giải:

Tính được \(AB=3\), \(BC=4\) và \(AC=5\). Suy ra \(AB^2+BC^2=AC^2\) nên tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\).

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R=\displaystyle\frac{1}{2}AC=\displaystyle\frac{5}{2}\).

Đáp án: \((x-1)^2+(y-1)^2=1\)

Lời giải:

Vì các điểm \(A(3;0)\) và \(B(0;4)\) nằm trong góc phần tư thứ nhất nên tam giác \(OAB\) cũng nằm trong góc phần tư thứ nhất.

Do vậy gọi tâm đường tròn nội tiếp là \(I(a,b)\) thì \(0

Theo đề ra ta có: \(\mathrm{d}(I;Ox)=\mathrm{d}(I;Oy)=\mathrm{d}(I;AB)\)

Phương trình theo đoạn chắn của AB là: \(\displaystyle\frac{x}{3}+\displaystyle\frac{y}{4}=1\) hay \(4x+3y-12=0\).

Do vậy ta có: \(\begin{cases}|a|=|b|\\|4a+3b-12|=5|a|\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}|a|=|b|\\\left[\begin{aligned}&7a-12=5a\\&7a-12=-5a\end{aligned}\right.\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=b>0\\ \left[\begin{aligned}&a=6\,\mbox{(loại)}\\ &a=1.\end{aligned}\right.\end{cases}\)

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: \((x-1)^2+(y-1)^2=1\).

Đáp án: \(x^2+(y-4)^2=6\)

Lời giải:

\(I\left(0;a\right)\Rightarrow IA=IB=R\) \(\Leftrightarrow R^2=1^2+(a-1)^2=3^2+(a-5)^2\) \(\Rightarrow \begin{cases} a=4 \\ I\left(0;4\right) \\ R^2=10.\end{cases}\)

Vậy đường tròn cần tìm là \(x^2+(y-4)^2=10.\)

Đáp án: \(x-3y-17=0\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{IA}=(2;-6)\), phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C)\) có tâm \(I(0;1)\), tại điểm \(A(2;-5)\) nhận \(\overrightarrow{IA}\) làm véc-tơ pháp tuyến có dạng

\(2(x-2)-6(y+5)=0\) \(\Leftrightarrow x-3y-17=0.\)

Đáp án: \(x+y-7=0\)

Lời giải:

Đường tròn \((C)\colon x^2+y^2-2x-4y-3=0\) có tâm \(I(1;2)\).

Tiếp tuyến \((\Delta)\) của \((C)\) tại \(M\) nhận véc-tơ \(\overrightarrow{IM}=(2;2)\) làm một véc-tơ pháp tuyến.

Phương trình tiếp tuyến \((\Delta)\) là \(2(x-3)+2(y-4)=0\) \(\Leftrightarrow x+y-7=0\).

Đáp án: \(2x+y=0\); \(2x+y-10=0\)

Lời giải:

Đường tròn \((C) \colon (x-3)^2+(y+1)^2=5\) có tâm \(I(3;-1)\) và bán kính \(R=\sqrt{5}\).

Đường thẳng \((d)\) song song với đường thẳng \(2x+y+7=0\) có dạng: \(2x+y+m=0\); \(m \ne 7\).

Đường thẳng \((d)\) là tiếp tuyến của đường tròn \((C)\) \(\Leftrightarrow \mathrm{d}(I,d)=R\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{|2 \cdot 3-1+m|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\sqrt{5}\) \(\Leftrightarrow |m+5|=5\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&m=0\\ &m=-10\end{aligned}\right.\).

Vậy đường tròn \((C)\) có \(2\) tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán: \(2x+y=0\) và \(2x+y-10=0\).

Đáp án: \(3x+2y+17=0\) hoặc \(3x+2y-9=0\)

Lời giải:

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I\left(-2;1\right),R=\sqrt{13}\) và tiếp tuyến có dạng

\(\Delta:3x+2y+c=0.\)

Ta có \(R=d\left[I;\Delta \right]\Leftrightarrow \displaystyle\frac{\left| c-4\right|}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&c=17 \\ &c=-9.\end{aligned}\right.\)