Đáp án: \((1;-2)\)

Lời giải:

Tâm của đường tròn \((C)\colon x^2+y^2-2x+4y-1=0\) có tọa độ là \((1;-2)\).

Đáp án: \(I(1;-2),R=2\sqrt{2}\)

Lời giải:

Tâm \(I(1;-2)\), bán kính \(R=\sqrt{1^2+(-2)^2-(-3)}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).

Đáp án: \(2x^2+2y^2-8x-4y-6=0\)

Lời giải:

Loại các đáp án \(5x^2+4y^2+x-4y+1=0\) vì không có dạng \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0.\)

Xét đáp án

\(x^2+y^2+2x-4y+9= 0\) \(\Rightarrow a=-1,b=2,c=-9\) \(\Rightarrow a^2+b^2-c<0\Rightarrow\) loại.

Xét đáp án

\(x^2+y^2-6x+4y+13=0\) \(\Rightarrow a=3,b=-2,c=13\) \(\Rightarrow a^2+b^2-c<0\Rightarrow\) loại.

Xét đáp án

\(2x^2+2y^2-8x-4y-6=0\) \(\Leftrightarrow x^2+y^2-4x-2y-3=0\) \(\Rightarrow \begin{cases}a=2 \\b=1 \\ c=-3\end{cases}\) \(\Rightarrow a^2+b^2-c>0.\)

Đáp án: \((x-1)^{2}+(y+1)^{2}=3\)

Lời giải:

Dạng chính tắc của phương trình đường tròn là \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\) (với \(R^2>0\)).

Chỉ có phương trình \((x-1)^2+(y+1)^2=3\) \(\Leftrightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=\left(\sqrt{3}\right)^2\) là phương trình của một đường tròn.

Đáp án: \(\left[\begin{aligned}m<-2\\m>-1\end{aligned}\right.\)

Lời giải:

Ta có \(\begin{cases}a=-m\\b=2(m+1)\\c=4m^2+5m+2.\end{cases}\)

Phương trình đã cho là phương trình đường tròn khi và chỉ khi

\begin{align*}&a^2+b^2-c>0\\ \Leftrightarrow &(-m)^2+\left[2(m+1)\right]^2-(4m^2+5m+2)>0\\ \Leftrightarrow &m^2+3m+2>0\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&m<-2\\&m>-1.\end{aligned}\right.\end{align*}

Đáp án: \(m<\displaystyle\frac{1}{2}\)

Lời giải:

Ta có: \(x^2+y^2+2mx+2\left(m-1\right)y+2m^2=0\)

\(\Rightarrow \begin{cases} a=-m \\ b=1-m \\ c=2m^2\end{cases}\) \(\Rightarrow a^2+b^2-c>0\) \(\Leftrightarrow-2m+1>0\) \(\Leftrightarrow m<\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Đáp án: \(\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)

Lời giải:

Đường tròn tâm \(I\left(3;-1\right)\) và bán kính \(R=2\) có phương trình là \(\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2=2^2=4\).

Đáp án: \(x^2+y^2+2x+4y-4=0\)

Lời giải:

\((C)\colon \begin{cases} I(1;2) \\ R=3\end{cases}\) \(\Rightarrow (C)\colon (x-1)^2+(y-2)^2=9\) \(\Leftrightarrow x^2+y^2-2x-4y-4=0.\)

Đáp án: \((x-1)^2+(y-4)^2=5\)

Lời giải:

Bán kính đường tròn là \(R=\sqrt{(2-1)^2+(6-4)^2}=\sqrt{5}\).

Phương trình đường tròn tâm \(I(1;4)\), bán kính \(R=\sqrt{5}\) là

\((x-1)^2+(y-4)^2=5.\)

Đáp án: \(x^2+y^2=5\)

Lời giải:

\(\bullet\,\) \(OM=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}\).

\(\bullet\,\) \((C) \colon\begin{cases}\text{tâm }O(0;0) \\ \text{bán kính }R=OM=\sqrt{5}\end{cases}\) nên có phương trình \(x^2+y^2=5\).

Đáp án: \((x-2)^2+(y+3)^2=5\)

Lời giải:

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(I(2;-3)\).

Phương trình đường tròn đường kính \(AB\) có tâm \(I(2;-3)\) và bán kính \(R= \displaystyle\frac{AB}{2}=\sqrt{5}\) là

\((x-2)^2+(y+3)^2=5\).

Đáp án: \( (x-3)^2+(y-2)^2=2 \)

Lời giải:

Tâm đường tròn đường kính \( AB \) là trung điểm \( I \) của \( AB \) có tọa độ \( (3;2) \).

Bán kính đường tròn là \( \displaystyle\frac{AB}{2}=\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\).

Phương trình đường tròn cần tìm là \( (x-3)^2+(y-2)^2=2 \).

Đáp án: \((x+2)^2+(y-1)^2=1\)

Lời giải:

\((C)\colon \begin{cases} I(-2;1) \\ R=\mathrm{d}\left(I;\Delta \right)=\displaystyle\frac{\left|-6-4+5\right|}{\sqrt{9+16}}=1\end{cases}\) \(\Rightarrow (C)\colon (x+2)^2+(y-1)^2=1.\)

Đáp án: \((x-2)^2+(y-3)^2=9\)

Lời giải:

\((C)\colon \begin{cases} I(2;3) \\ R=\mathrm{d}\left(I;Ox\right)=3\end{cases}\) \(\Rightarrow (C)\colon (x-2)^2+(y-3)^2=9.\)

Đáp án: \(x^2+y^2+25x+19y-49=0\)

Lời giải:

Phương trình đường tròn có dạng \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\).

Đường tròn này qua \(A,B,C\) nên

\(\begin{cases}1+4-2a-4b+c=0\\25+4-10a-4b+c=0\\1+9-2a+6b+c=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}a=3\\b=-\displaystyle\frac{1}{2}\\c=-1.\end{cases}\)

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là \(x^2+y^2-6x+y-1=0\).

Đáp án: \(x^2+y^2-4x+2y-20=0\)

Lời giải:

Gọi phương trình đường tròn có dạng \((C) \colon x^2+y^2+2ax+2by+c=0\)

\(A,B,C \in (C) \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}10-6a-2b+c=0\\10-2a+6b+c=0\\8-4a+4b+c=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \quad \begin{cases}a=-2\\b=1\\c=-20\end{cases}\).

Vậy \((C) \colon x^2+y^2-4x+2y-20=0\).

Đáp án: \(x^2+(y-4)^2=6\)

Lời giải:

\(I\left(0;a\right)\Rightarrow IA=IB=R\) \(\Leftrightarrow R^2=1^2+(a-1)^2=3^2+(a-5)^2\) \(\Rightarrow \begin{cases} a=4 \\ I\left(0;4\right) \\ R^2=10.\end{cases}\)

Vậy đường tròn cần tìm là \(x^2+(y-4)^2=10.\)

Đáp án: \({\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=1\) hoặc \((x-5)^2+(y-5)^2=25\)

Lời giải:

Vì \(M\left(2;1\right)\) thuộc góc phần tư \((I)\) nên \(A\left(a;a\right),a>0.\)

Khi đó: \(R=a^2=IM^2={\left(a-2\right)}^2+{\left(a-1\right)}^2\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& a=1\Rightarrow I\left(1;1\right),R=1\Rightarrow C:{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=1 \\ &a=5\Rightarrow I\left(5;5\right),R=5\Rightarrow C:{\left(x-5\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=25.\end{aligned}\right.\)

Đáp án: \(d:4x+3y-11=0\)

Lời giải:

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I\left(-2;-2\right)\) nên tiếp tuyến tại \(M\) có VTPT là \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{IM}=(4;3)\) nên có phương trình là: \(4\left(x-2\right)+3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow 4x+3y-11=0.\)

Đáp án: \(x+y-7=0\)

Lời giải:

Đường tròn \((C)\colon x^2+y^2-2x-4y-3=0\) có tâm \(I(1;2)\).

Tiếp tuyến \((\Delta)\) của \((C)\) tại \(M\) nhận véc-tơ \(\overrightarrow{IM}=(2;2)\) làm một véc-tơ pháp tuyến.

Phương trình tiếp tuyến \((\Delta)\) là \(2(x-3)+2(y-4)=0\) \(\Leftrightarrow x+y-7=0\).

Đáp án: \(x=0\) hoặc \(x-4=0\)

Lời giải:

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I\left(2;2\right),~R=2\) và tiếp tuyến có dạng \(\Delta:x+c=0.\)

Ta có \(R=d\left[I;\Delta \right]\Leftrightarrow \left| c+2\right|=2\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&c=0 \\ &c=-4.\end{aligned}\right.\)

Đáp án: \(1\)

Lời giải:

Đường tròn \((x-2)^2 + (y+3)^2 = 16\) có tâm \(I(2;-3)\) và bán kính \(R=4\).

Tiếp tuyến \(\Delta\) song song với đường thẳng \(3x-4y+2=0\) có dạng \(3x-4y+m=0\), (\(m\ne 2\)).

Điều kiện tiếp xúc của \(\Delta\) với đường tròn \((I;R)\) là

\(\mathrm{d}(I,\Delta) = R \Leftrightarrow \displaystyle\frac{|m+18|}{5} = 4\)

\(\Leftrightarrow |m+18| = 20\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&m+18=20\\ &m+18=-20\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&m=2 \text{(loại)}\\ &m=-38 \text{(thỏa mãn)}.\end{aligned}\right.\)

Vậy chỉ có \(1\) tiếp tuyến thỏa mãn.