\(\S3.\) ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1. Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng \(x=a\) được gọi là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn:

\(\lim\limits_{x \rightarrow a^{-}} f(x)=+\infty,\) \(\lim\limits_{x \rightarrow a^{+}} f(x)=+\infty,\) \(\lim\limits_{x \rightarrow a^{-}} f(x)=-\infty,\) \(\lim\limits_{x \rightarrow a^{+}} f(x)=-\infty.\)

Image

Image

Image

2. Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng \(y=m\) được gọi là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) nếu \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=b\) hoặc \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=b\).

Image

Image

3. Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng \(y=ax+b\), \(a \neq 0\), được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) nếu \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\) hoặc \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\).

Image

Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn

Dạng 1. Xác định các đường tiệm cận dựa vào bảng biến thiên

Dạng 2. Xác định đường tiệm cận ngang và đứng

Dạng 3. Xác định đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}\)

Dạng 4. Đường tiệm cận của đồ thị của các hàm số khác

Dạng 1. Xác định các đường tiệm cận dựa vào bảng biến thiên

Câu 1:

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định và có đạo hàm trên \(\mathbb{R} \setminus \left\lbrace -1;1\right\rbrace \) có bảng biến thiên như sau

Image

Đồ thị hàm số \(y=f(x)\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận (đứng và ngang)?

Đáp án: \(3\)

Lời giải:

Ta có \(\displaystyle \lim_{x\to-1^-}f(x)= - \infty\), \(\displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)= + \infty\), \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty }f(x)= 0\).

Do đó đồ thị hàm số có \(2 \) đường tiệm cận đứng \(x=-1\), \(x=1\) và \(1\) đường tiệm cận ngang \(y=0\).

Câu 2:

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \([-2;2]\) và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Image

Chọn khẳng định đúng về tổng số các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị \(f(x)\).

Đáp án: Đồ thị hàm số có đúng \(3\) tiệm cận

Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

+) \(\lim\limits_{x\to -\infty}y=0\) suy ra TCN \(y=0\).

+) \(\lim\limits_{x\to -2^\pm}y=\pm \infty\) suy ra TCĐ \(x=-2\).

+) \(\lim\limits_{x\to 2^\pm}y=\pm \infty\) suy ra TCĐ \(x=2\).

Do đó đồ thị hàm số có ba tiệm cận.

Dạng 2. Xác định đường tiệm cận ngang và đứng

Câu 1:

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y=\displaystyle\frac{x-3}{x+1} \) có phương trình là

Đáp án: \( y=1 \)

Lời giải:

Ta có \( \lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{x-3}{x+1}=1 \). Vậy đồ thị hàm số có duy nhất tiệm cận ngang \( y=1 \).

Câu 2:

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^{2}+3x-1}{x+1}\) là

Đáp án: \(x=-1\)

Lời giải:

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Ta có \(\lim\limits_{x \to-1^{+}} \displaystyle\frac{x^{2}+3x-1}{x+1}=-\infty\) và \(\lim\limits_{x \to-1^{-}} \displaystyle\frac{x^{2}+3x-1}{x+1}=+\infty\).

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là \(x=-1\).

Dạng 3. Xác định đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}\)

Câu 1:

Cho hàm số \(y=\displaystyle\frac{-x^2+3x-1}{x-2}\). Tọa độ giao điểm của các đường tiệm cận của đồ thị hàm số là

Đáp án: \(\left(2;-1\right)\)

Lời giải:

Ta có \(y=\displaystyle\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=-x+1+\displaystyle\frac{1}{x-2}\).

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\left[y-\left(-x+1\right)\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{x-2}\right)=0,\lim\limits_{x\to-\infty}\left[y-\left(-x+1\right)\right]=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{x-2}\right)=0\).

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(y=-x+1\).

\(\lim\limits_{x\to{2^+}}y=\lim\limits_{x\to{2^+}}\displaystyle\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=+\infty,\lim\limits_{x\to{2^-}}y=\lim\limits_{x\to{2^-}}\displaystyle\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=-\infty \).

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x=2\).

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là \(\left(2;-1\right)\).

Câu 2:

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2+3x+5}{x+2}\) là

Đáp án: \(y=x+1\)

Lời giải:

Gọi phương trình đường tiệm cận xiên là \(y=ax+b\).

Khi đó

\(a={\mathop{\lim}\limits_{x\to \pm \infty}} \displaystyle\frac{f(x)}{x}={\mathop{\lim}\limits_{x\to \pm \infty}} \displaystyle\frac{x^2+3x+5}{x^2+2x}={\mathop{\lim}\limits_{x\to \pm \infty}} \displaystyle\frac{x^2\left(1+\displaystyle\frac{3}{x}+\displaystyle\frac{5}{x^2} \right)}{x^2\left(1+\displaystyle\frac{2}{x} \right)}=1.\)

\(b={\mathop{\lim}\limits_{x\to \pm \infty}} \left(f(x)-ax\right)={\mathop{\lim}\limits_{x\to \pm \infty}} \left(\displaystyle\frac{x^2+3x+5}{x+2}-x\right)={\mathop{\lim}\limits_{x\to \pm \infty}} \displaystyle\frac{x+5}{x+2}={\mathop{\lim}\limits_{x\to \pm \infty}} \displaystyle\frac{x\left(1+\displaystyle\frac{5}{x} \right)}{x\left(1+\displaystyle\frac{2}{x} \right)}=1.\)

Vậy phương trình đường tiệm cận xiên là \(y=x+1\).

Dạng 4. Đường tiệm cận của đồ thị của các hàm số khác

Câu 1:

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{\sqrt{x+25}-5}{x^2+x}\) là

Đáp án: \(1\)

Lời giải:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=[-25;+\infty)\setminus \{-1;0\}\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to 0} y=\lim\limits_{x\to 0} \displaystyle\frac{x}{x(x+1)\left(\sqrt{x+25}+5\right)}=\lim\limits_{x\to 0} \displaystyle\frac{1}{(x+1)\left(\sqrt{x+25}+5\right)}=\displaystyle\frac{1}{10}\): hữu hạn.

Và \(\lim\limits_{x\to (-1)^+} y=\lim\limits_{x\to (-1)^+} \displaystyle\frac{1}{(x+1)\left(\sqrt{x+25}+5\right)}=+\infty \).

Vậy đồ thị hàm số đã cho chỉ có \(1\) tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=-1\).

Câu 2:

Đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2+1}{x^2-4}\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Đáp án: \(3\)

Lời giải:

Tập xác định là \(\mathscr{D}=\Bbb{R}\setminus\{-2;2\}.\)

Ta có

+) \(\lim\limits_{x\to \pm\infty}y=\lim\limits_{x\to \pm\infty} \displaystyle\frac{x^2+1}{x^2-4}=\lim\limits_{x\to \pm\infty} \displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{1}{x^2}}{1-\displaystyle\frac{4}{x^2}}=1\Rightarrow y=1\) là đường tiệm cận ngang.

+) \(\lim\limits_{x\to 2^+}y=\lim\limits_{x\to 2^+} \displaystyle\frac{x^2+1}{x^2-4}=+\infty \Rightarrow x=2\) là đường tiệm cận đứng.

+) \(\lim\limits_{x\to (-2)^+}y=\lim\limits_{x\to (-2)^+} \displaystyle\frac{x^2+1}{x^2-4}=-\infty \Rightarrow x=-2\) là đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có \(3\) đường tiệm cận.

Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai

Dạng 1. Xác định các đường tiệm cận dựa vào bảng biến thiên

Dạng 2. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\)

Dạng 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}\)

Dạng 1. Xác định các đường tiệm cận dựa vào bảng biến thiên

Câu 1:

Cho hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{ax+b}{cx+d}\) có đồ thị như hình dưới đây.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • Đồ thị có \(2\) đường tiệm cận}
  • \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-2\)\(\lim\limits_{x\to1^+}y=+\infty\)

Lời giải:

Câu 2:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị là các đường cong trong hình bên dưới, các đường đứt nét là các đường tiệm cận.

Image

Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(x=1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
  • \(x=-1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
  • \(\lim\limits_{x\to +\infty}y=0\)

Lời giải:

Dạng 2. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\)

Câu 1:

Cho hàm số \(y=\displaystyle\frac{3x-1}{x+2}\). Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • \(y=3\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
  • \(\lim\limits_{x\to -2^+}y=+\infty\)

Lời giải:

Câu 2:

Cho hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-5}{x-1}\). Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\)
  • \(x=1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Lời giải:

Dạng 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}\)

Câu 1:

Cho hàm số \(y=3x-1-\displaystyle\frac{2}{x-2}\). Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\)
  • \(y=3x-1\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Lời giải:

Câu 2:

Cho hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2-x-4}{x+1}\). Xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây.

Đáp án:

  • Đồ thị hàm số có đúng \(2\) đường tiệm cận}
  • \(\lim\limits_{x\to \pm\infty}(y-x+2)=0\)

Lời giải:

Phần 3. Tự luận

Cơ bản

Nâng cao

Ứng dụng thực tế

Cơ bản

Câu 1:

Cho hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x+1}{x+1}\) có đồ thị là đường cong như hình bên. Xác định phương trình đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Image

Ta có \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=2\) suy ra đường thẳng \(x=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị.

Lại có \(\lim\limits_{x\to(-1)^{+}}\displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^{-}}\displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=+\infty\) nên đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị.

}

Câu 2:

Hình bên là đồ thị của hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{2 x^2}{x^2-1}\). Sử dụng đồ thị này, hãy:

a) Viết kết quả của các giới hạn sau: \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)\); \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)\); \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}} f(x)\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-1^{+}} f(x)\).

b) Chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.

Image

a) \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=2\) ; \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=2\) ; \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=-\infty\) ; \(\lim _{x \rightarrow-1^{+}} f(x)-\infty\).

b) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=-1\) và \(x=1\); tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=2\).

}

Câu 3:

Cho hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{2-4x}{4-x^2}\) có đồ thị là đường cong như hình bên. Các đường thẳng \(x=2\) và \(x=-2\) có phải là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho hay không? Vì sao?

Image

Ta có \(\lim\limits_{x\to 2^{+}} f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{+}}\displaystyle\frac{2-4x}{4-x^2}=+\infty\) hoặc \(\lim\limits_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{-}}\displaystyle\frac{2-4x}{4-x^2}=-\infty\) nên đường thẳng \(x=2\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f(x)\).

Tương tự, \(\lim\limits_{x\to -2^{+}} f(x)=\lim\limits_{x\to -2^{+}}\displaystyle\frac{2-4x}{4-x^2}=+\infty\) hoặc \(\lim\limits_{x\to -2^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to -2^{-}}\displaystyle\frac{2-4x}{4-x^2}=-\infty\) nên đường thẳng \(x=-2\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) đã cho.

}

Câu 4:

Đường cong ở hình bên là đồ thị \((C)\) của hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{x^2-5x+7}{x-3}\). Chứng minh rằng đường thẳng \(\Delta\colon y=x-2\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=f(x)\).

Image

Ta có \(\lim\limits_{x\to +\infty}\left[f(x)-(x-2)\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\left[\displaystyle\frac{x^2-5x+7}{x-3}-(x-2)\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{x-3}\right)=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=x-2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=f(x)\).

}

Câu 5:

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-3}{5x^2-15x+10}\).

Image

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace 1;2\right\rbrace\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=+\infty\) và \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^{+}} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=1\), \(x=2\) là hai tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Mặt khác, \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=0\); \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=0\).

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=0\).

Vậy hàm số đã cho có \(2\) tiệm cận đứng là \(x=1\), \(x=2\) và \(1\) tiệm cận ngang là \(y=0\).

}

Câu 6:

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^{2}+x-1}{x}\).

Image

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace 0\right\rbrace\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{x^{2}+x-1}{x}=-\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=0\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có \(\begin{aligned}[t]a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x+1-\displaystyle\frac{1}{x}}{x}=1;\\ b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{x^{2}+x-1}{x}-x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x-1}{x}=1.\end{aligned}\)

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=1\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=1\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x+1\).

Vậy hàm số đã cho có tiệm cận đứng là \(x=0\) và tiệm cận xiên là \(y=x+1\).

}

Câu 7:

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{16x^{2}-8x}{16x^{2}+1}\).

Image

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \displaystyle\frac{16x^{2}-8x}{16x^{2}+1}=1\); \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{16x^{2}-8x}{16x^{2}+1}=1\).

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=1\).

}

Câu 8:

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{0\right\},\) liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình bên.

Image

Xác định các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang (nếu có) của đồ thị hàm số.

Do \(\lim\limits_{x \to +\infty} y=-\infty\) và \(\lim\limits_{x \to -\infty} y=+\infty\) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Do \(\lim\limits_{x \to 0^+} y=-\infty\) suy ra \(x=0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 9:

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\setminus\left\{\pm1\right\}\) liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Image

Xác định các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

\(\lim\limits_{x\to -1^\pm}f(x)=\pm\infty\).

\(\lim\limits_{x\to 1^\pm}f(x)=\mp\infty\).

Do đó \(x=1\) và \(x=-1\) là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lại có \(\lim\limits_{x\to \pm\infty}f(x)=-2\). Do đó \(y=-2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 10:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Image

Xác định các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số \(y=f(x)\).

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

+) \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} y=-2\), suy ra $y=-2$ là đường tiệm cận ngang.

+) \(\displaystyle\lim_{x \to -2^+} y=+\infty\), suy ra $x=-2$ là đường tiệm cận đứng.

+) \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} y=+\infty\), suy ra $x=2$ là đường tiệm cận đứng.

Câu 11:

Cho hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}\) có đồ thị là đường cong như hình bên. Hãy xác định các đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Image

Điều kiện xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Ta có

\(\lim\limits_{x\to -1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to -1^{+}}\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}=+\infty\) nên đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng.

\(\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}=1\) nên đường thẳng \(y=1\) là tiệm cận ngang.

\(\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}=-1\) nên đường thẳng \(y=-1\) là tiệm cận ngang.

Câu 12:

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

Image

a) \(y=\displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}\);

b) \(y=\displaystyle\frac{x^{2}+x-1}{x}\);

c) \(y=\displaystyle\frac{16x^{2}-8x}{16x^{2}+1}\).

a) Hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace 1;2\right\rbrace\).

Ta có

\(\lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=-\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=+\infty\).

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^{-}} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=-\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^{+}} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=1\), \(x=2\) là hai tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có

\(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=0\); \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=0\).

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=0\).

Vậy hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}\) có hai tiệm cận đứng là \(x=1\), \(x=2\) và tiệm cận ngang là \(y=0\).

b) Hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{x^{2}+x-1}{x}\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace 0\right\rbrace\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{-}} \displaystyle\frac{x^{2}+x-1}{x}=+\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{x^{2}+x-1}{x}=-\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=0\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có

\(\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x+1-\displaystyle\frac{1}{x}}{x}=1;\\ b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{x^{2}+x-1}{x}-x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x-1}{x}=1.\end{aligned}\)

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=1\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=1\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x+1\).

Vậy hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^{2}+x-1}{x}\) có tiệm cận đứng là \(x=0\) và tiệm cận xiên là \(y=x+1\).

c) Hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{16x^{2}-8x}{16x^{2}+1}\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \displaystyle\frac{16x^{2}-8x}{16x^{2}+1}=1\); \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{16x^{2}-8x}{16x^{2}+1}=1\).

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=1\).

Câu 13:

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{3 x-2}{x+1}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{3 x-2}{x+1}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{3-\displaystyle\frac{2}{x}}{1+\displaystyle\frac{1}{x}}=3\).

Tương tự, \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=3\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=3\).

}

Câu 14:

Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{3-x}{x+2}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\).

Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow-2^{+}} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-2^{+}} \displaystyle\frac{3-x}{x+2}=+\infty\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=-2\).

}

Câu 15:

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{-2x+1}{x+1}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\{-1\}\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-2 x+1}{x+1}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-2+\displaystyle\frac{1}{x}}{1+\displaystyle\frac{1}{x}}=-2\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{-2 x+1}{x+1}=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{-2+\displaystyle\frac{1}{x}}{1+\displaystyle\frac{1}{x}}=-2\).

Vậy đường thẳng \(y=-2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

}

Câu 16:

Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \displaystyle\frac{x + 1}{2 - x}\).

Ta có \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow + \infty}\displaystyle\frac{x + 1}{2 - x} = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\displaystyle\frac{1 + \displaystyle\frac{1}{x}}{\displaystyle\frac{2}{x} - 1} = - 1\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\displaystyle\frac{x + 1}{2 - x} = \lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\displaystyle\frac{1 + \displaystyle\frac{1}{x}}{\displaystyle\frac{2}{x} - 1} = - 1\)

nên đường thẳng \(y = -1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 17:

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x-5}{4x+2}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\displaystyle\frac{1}{2}\right\}\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{x-5}{4x+2}=\displaystyle\frac{1}{4}\) suy ra đường thẳng \(y=\displaystyle\frac{1}{4}\) là tiệm cận ngang của đồ thị.

Lại có \(\lim\limits_{x\to\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{+}}\displaystyle\frac{x-5}{4x+2}=-\infty\) suy ra đường thẳng \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.

Đồ thị không có tiệm cận xiên.

}

Câu 18:

Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{x^{2}+2}{x}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{x^{2}+2}{x}=+\infty\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=0\).

}

Câu 19:

Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2-5x+2}{x^2-4}\).

Vì \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{2x^2-5x+2}{x^2-4}=2\) và \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \displaystyle\frac{2x^2-5x+2}{x^2-4}=2\) nên \(y=2\) là tiệm cận ngang.

Lại có \(x^2-4=0 \Leftrightarrow x=\pm 2\) nên

+) Vì \(\lim\limits_{x \rightarrow 2} \displaystyle\frac{2x^2-5x+2}{x^2-4}=\lim\limits_{x \rightarrow 2} \displaystyle\frac{(2x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\lim\limits_{x \rightarrow 2} \displaystyle\frac{2x-1}{x+2}=\displaystyle\frac{3}{4}\) nên \(x=2\) \textbf{không} là tiệm cận đứng.

+) \(\lim\limits_{x \rightarrow -2^+} \displaystyle\frac{2x^2-5x+2}{x^2-4}=\lim\limits_{x \rightarrow -2^+} \displaystyle\frac{(2x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\lim\limits_{x \rightarrow -2^+} \displaystyle\frac{2x-1}{x+2}=-\infty\).

+) \(\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} \displaystyle\frac{2x^2-5x+2}{x^2-4}=\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} \displaystyle\frac{(2x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\lim\limits_{x \rightarrow -2-} \displaystyle\frac{2x-1}{x+2}=+\infty\).

Do đó ta có \(x=-2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 20:

Đường thẳng \(x=1\) có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2+2 x-3}{x-1}\) không?

Ta có:

\(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\displaystyle\frac{x^2+2 x-3}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\displaystyle\frac{(x-1)(x+3)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}(x+3)=4\);

\(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\displaystyle\frac{x^2+2 x-3}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\displaystyle\frac{(x-1)(x+3)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}(x+3)=4.\)

Suy ra đường thẳng \(x=1\) không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2+2 x-3}{x-1}\).

}

Câu 21:

Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y= \displaystyle\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1} \).

Tập xác định của hàm số \( \mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{-1;1\} \).

Ta có

+) Vì \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1} = 5 \) và \( \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \displaystyle\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1} = 5 \) nên đường thẳng \( y = 5\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) \(\lim\limits_{x \rightarrow -1^+} \displaystyle\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1} = \lim\limits_{x \rightarrow -1^+ } \displaystyle\frac{5x+1}{x+1} = -\infty \) suy ra đường thẳng \(x =-1 \) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 22:

Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{\sqrt{9x^2+6x+4}}{x+2}\).

Ta có

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2^{\pm}}y=\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2^{\pm}}\displaystyle\frac{\sqrt{9x^2+6x+4}}{x+2}=\pm\infty\) nên đồ thị có một đường tiệm cận đứng \(x=-2\).

Câu 23:

Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Ta có:

\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{\displaystyle\frac{x^{2}+1}{x^{2}}}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^{2}}}=1;\)

\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(-\sqrt{\displaystyle\frac{x^{2}+1}{x^{2}}}\right)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(-\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^{2}}}\right)=-1\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có hai tiệm cận ngang là \(y=1\) và \(y=-1\).

}

Câu 24:

Tìm tọa giao điểm của tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{3x-4}{x+2}\) với đường thẳng \(y=4-x\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\{-2\}\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to \pm \infty}\displaystyle\frac{3x-4}{x+2}=3\).

Suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \(y=3\).

Giao điểm của hai đường thẳng \(y=3\) và \(y=4-x\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\heva{&y=3\\&y=4-x}\Leftrightarrow \heva{&x=1\\&y=3.}\)

Vậy tọa độ giao điểm càn tìm là \((1;3)\).

Câu 25:

Tìm tọa độ giao điểm của tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{3-x}{x+1}\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\left\{-1\right\}\).

Ta có

+) \(\lim\limits_{x\to -1^+}\displaystyle\frac{3-x}{x+1}=+\infty\);

+) \(\lim\limits_{x\to -1^-}\displaystyle\frac{3-x}{x+1}=-\infty\);

+) \(\lim\limits_{x\to +\infty}\displaystyle\frac{3-x}{x+1}=-1\);

+) \(\lim\limits_{x\to -\infty}\displaystyle\frac{3-x}{x+1}=-1\).

Suy ra tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lần lượt có phương trình là \(x=-1\), \(y=-1\).

Vậy giao điểm của tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là \((-1;-1)\).

Câu 26:

Tìm tọa độ giao điểm của tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x}{2-x}\) với đường thẳng \(y=2x+3\).

Hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x}{2-x}\) có tập xác đinh là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\left\{2\right\}\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to 2^+}\displaystyle\frac{2x}{2-x}=-\infty\) và \(\lim\limits_{x\to 2^-}\displaystyle\frac{2x}{2-x}=+\infty\).

Suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x=2\).

Khi đó tọa độ giao điểm của tiệm cận đứng \(x=2\) và đường thẳng \(y=2x+3\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\heva{&x=2\\&y=2x+3}\Leftrightarrow \heva{&x=2\\&y=7.}\)

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là \((2;7)\).

Câu 27:

Tìm tọa giao điểm của tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{2-x}\) với trục hoành.

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\{2\}\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to 2^-}\displaystyle\frac{1}{2-x}=+\infty\) và \(\lim\limits_{x\to 2^+}\displaystyle\frac{1}{2-x}=-\infty\).

Suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x=2\).

Giao điểm của đường thẳng \(x=2\) và trục hoành có tọa độ là \((2;0)\).

Câu 28:

Cho hàm số \(y=f(x)=x+\displaystyle\frac{1}{x+2}\). Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(f(x)\)

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-x)]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{1}{x+2}=0\).

Tương tự \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x)]=0\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x\).

}

Câu 29:

Tìm phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{-x^2-3x-3}{x+1}\).

Ta có \(y=f(x)=\displaystyle\frac{-x^2-3x-3}{x+1}=-x-2-\displaystyle\frac{1}{x+1}\).

Mà \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-\displaystyle\frac{1}{x+1}\right)=0\) nên đường thẳng \(y=-x-2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Câu 30:

Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{x^2-x+2}{x+1}\).

Ta có:

\(a=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x^2-x+2}{x^2+x}=1\);

\(b=\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-x]=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-2 x+2}{x+1}=-2.\)

(Tương tự, \(\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=1, \lim _{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=-2\).)

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x-2\).

}

Câu 31:

Chứng minh rằng đường thẳng \(y=2x-1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=f(x)=2x-1-\displaystyle\frac{1}{x^2+1}\).

Do \(\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-(2x-1)]=\lim\limits_{x\to +\infty}\displaystyle\frac{-1}{x^2+1}=0\) nên đường thẳng \(y=2x-1\)

là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

}

Câu 32:

Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x^{2}-3 x+1}{x-2}\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\{2\}\).

Ta có \(\begin{aligned}[t]a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x^{2}-3 x+1}{x^{2}-2 x}=1;\\ b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-a x]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{x^{2}-3 x+1}{x-2}-x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-x+1}{x-2}=-1.\end{aligned}\)

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=1\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=-1\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x-1\).

}

Câu 33:

Tìm các tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^{2}+9x+11}{2x+5}\).

Ta có \(\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x+9+\displaystyle\frac{11}{x}}{2x+5}=1;\\b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{2x^{2}+9x+11}{2x+5}-x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{4x+11}{2x+5}=2.\end{aligned}\)

Ta cũng có

\(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=1\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=2\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x+2\).

Câu 34:

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{x^2-4 x+2}{1-x}\).

Ta có \(\lim\limits _{x \rightarrow1^+}f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow1^+}\displaystyle\frac{x^2-4 x+2}{1-x}=-\infty\).\\ Tương tự \(\lim\limits _{x \rightarrow1^-}f(x)=+\infty\).

Ta có

\(\begin{aligned}& a=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x^2-4 x+2}{x-x^2}=-1 ;\\& b=\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)+x]=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-3 x+2}{1-x}=3.\end{aligned}\)

Tương tự, \(\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=-1, \lim\limits _{x \rightarrow-\infty}[f(x)+x]=3\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=1\) tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=-x+3\).

Câu 35:

Tìm giao điểm \(I\) giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2{{x}^{2}}-x+1}{x-1}\).

Hàm số có \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Ta xét

+) Vì \(\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}\displaystyle\frac{2{{x}^{2}}-x+1}{x-1}=+\infty\) nên \(x =1\) là tiệm cận đứng của hàm số.

+) \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left[\displaystyle\frac{2{{x}^{2}}-x+1}{x-1} -(2x+1)\right]=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}{\displaystyle\frac{2}{x-1}}=0 \Rightarrow y=2x+1\) là tiệm cận xiên của hàm số.

Mà hai tiệm cận này cắt nhau tại \(I\ (1;3)\).

Câu 36:

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2-3x+4}{2x+1}\).

Tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\displaystyle\frac{1}{2}\right\}\).

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle\frac{x^2-3x+4}{2x+1}=+\infty\); \(\lim\limits_{x\to-\infty}\displaystyle\frac{x^2-3x+4}{2x+1}=-\infty\) suy ra đồ thị không có tiệm cận ngang.

\(\lim\limits_{x\to\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{+}}\displaystyle\frac{x^2-3x+4}{2x+1}=+\infty\) suy ra đường thẳng \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.

Ngoài ra, ta có \(y=\displaystyle\frac{x^2-3x+4}{2x+1}=\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{7}{4}+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{23}{4}}{2x+1}\).

Mà \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{23}{4}}{2x+1}\right)=0\) nên đường thẳng \(y=\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{7}{4}\) là tiệm cận xiên của đồ thị.

}

Câu 37:

Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2-3x+2}{x-1}\).

Tập xác định \(\mathbb{R}\setminus \{1\}\).

\(\lim\limits_{x \to 1^{+}} \displaystyle\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=+\infty \), suy ra đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng.

\(\lim\limits_{x \to \pm\infty}\displaystyle\frac{f(x)}{x} =\lim\limits_{x \to \pm\infty} \displaystyle\frac{2x^2-3x+2}{x(x-1)}=2\), \(\lim\limits_{x \to \pm\infty}\left[f(x)-2x\right]=\lim\limits_{x \to \pm\infty} \displaystyle\frac{-x+2}{x-1}=-1 \).

Suy ra đường thẳng \(y=2x-1\) là tiệm cận xiên.

}

Câu 38:

Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2-x+3}{\sqrt{2x+1}}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\left(-\displaystyle\frac{1}{2};+\infty\right)\).

\(\lim\limits_{x \to \left(-\frac{1}{2}\right)^{+}} \displaystyle\frac{2x^2-x+3}{\sqrt{2x+1}}=+\infty \), suy ra đường thẳng \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng.

\(\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{f(x)}{x} =\lim\limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{2x^2-x+3}{x\sqrt{2x+1}}=+\infty \), do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.

}

Câu 39:

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=x-3+\displaystyle\frac{1}{x^2}\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to 0^\pm}\left(x-3+\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)=+\infty\), suy ra \(x=0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lại có \(\lim\limits_{x\to \pm\infty} [y-(x-3)]=\lim\limits_{x\to \pm \infty}\displaystyle\frac{1}{x^2}=0\), suy ra \(y=x-3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

}

Câu 40:

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^{2}+2}{2x-4}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace 2\right\rbrace\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^{-}} \displaystyle\frac{x^{2}+2}{2x-4}=-\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^{+}} \displaystyle\frac{x^{2}+2}{2x-4}=+\infty\). Suy ra đường thẳng \(x=2\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có

\(\begin{aligned}[t]a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x+\displaystyle\frac{2}{x}}{2x-4}=\displaystyle\frac{1}{2};\\ b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{x^{2}+2}{2x-4}-\displaystyle\frac{1}{2}x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x+2}{2x-4}=1.\end{aligned}\)

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\displaystyle\frac{1}{2}\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-\displaystyle\frac{1}{2}x]=1\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=\displaystyle\frac{1}{2}x+1\).

}

Câu 41:

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^{2}-3x-6}{x+2}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace -2\right\rbrace\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow \left(-2\right)^{-}} \displaystyle\frac{2x^{2}-3x-6}{x+2}=-\infty\). Suy ra đường thẳng \(x=-2\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có

\(\begin{aligned}[t]a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x-3-\displaystyle\frac{6}{x}}{x+2}=2;\\ b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{2x^{2}-3x-6}{x+2}-2x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-7x-6}{x+2}=-7.\end{aligned}\)

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=2\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-2x]=-7\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=2x-7\).

}

Câu 42:

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^{2}+9x+11}{2x+5}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace -\displaystyle\frac{5}{2}\right\rbrace\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow \left(-\tfrac{5}{2}\right)^{+}} \displaystyle\frac{2x^{2}+9x+11}{2x+5}=+\infty\). Suy ra đường thẳng \(x=-\displaystyle\frac{5}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có

\(\begin{aligned}[t]a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x+9+\displaystyle\frac{11}{x}}{2x+5}=1;\\ b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{2x^{2}+9x+11}{2x+5}-x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{4x+11}{2x+5}=2.\end{aligned}\)

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=1\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=2\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x+2\).

}

Câu 43:

Tìm tọa độ giao điểm của đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(f(x)=x-2+\displaystyle\frac{3}{x+1}\) và đường thẳng \(y=2x-5\).

Hàm số \(f(x)=x-2+\displaystyle\frac{3}{x+1}\) có tập xác đinh là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\left\{-1\right\}\).

Ta có

+) \(\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-(x-2)]=\lim\limits_{x\to +\infty}\displaystyle\frac{3}{x+1}=x-2\);

+) \(\lim\limits_{x\to -\infty}[f(x)-(x-2)]=\lim\limits_{x\to -\infty}\displaystyle\frac{3}{x+1}=x-2\).

Suy ra tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(y=x-2\).

Giao điểm của tiệm cận xiên \(y=x-2\) và đường thẳng \(y=2x-5\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\heva{&y=x-2\\&y=2x-5}\Leftrightarrow \heva{&x-y=2\\&2x-y=5}\Leftrightarrow \heva{&x=3\\&y=1.}\)

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là \((3;1)\).

Câu 44:

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2-3x+1}{x-2}\) cắt hai trục tọa độ \(Ox\), \(Oy\) tại hai điểm \(A\) và \(B\). Tính diện tích tam giác \(OAB\).

Hàm số đã cho có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\{2\}\).

Ta có

\(\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x^{2}-3 x+1}{x^{2}-2 x}=1;\\b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-a x]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{x^{2}-3 x+1}{x-2}-x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-x+1}{x-2}=-1.\end{aligned}\)

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x-1\).

Đường thẳng cắt trục \(Ox\), \(Oy\) lần lượt tại hai điểm \(A(1;0)\) và \(B(0;-1)\).

Diện tích tam giác \(OAB\) là

\(S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot1 \cdot 1=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Câu 45:

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{2x^2-x}{x+3}\) cắt hai trục tọa độ tại hai điểm \(A\), \(B\). Tính độ dài \(AB\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \{-3\}\).

Ta có

\(\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x^2-x}{x^2+3x}=2;\\b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{2x^2-x}{x+3}-2x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-7x}{x+3}=-7.\end{aligned}\)

Ta cũng có

\(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=2\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-ax]=-7\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(d\colon y=2x-7\).

Đường thẳng \(d\) cắt hai trục tọa độ tại hai điểm \(A\left(0;-7\right)\) và \(B\left(\displaystyle\frac{7}{2};0\right)\).

Ta có \(AB=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{7}{2}-0\right)^2+(0+7)^2}=\displaystyle\frac{7\sqrt{5}}{2}\).

Câu 46:

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{x^2-2x+1}{x+2}\) cắt tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=g(x)=\log_2 x\) tại điểm \(M\). Tìm tọa độ điểm \(M\).

Hàm số \(f(x)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \{-2\}\).

Hàm số \(g(x)\) có tập xác định là \((0;+\infty)\).

Ta có

\(\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x^2-2x+1}{x^2+2x}=1;\\b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{x^2-2x+1}{x+2}-x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-4x+1}{x+2}=-4.\end{aligned}\)

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=1\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=-4\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là \(y=x-4\).

Đồ thị hàm số \(y=g(x)=\log_2 x\) có tiệm cận đứng là \(x=0\).

Tọa độ giao điểm cần tìm là nghiệm của hệ phương trình

\(\heva{&y=x-4\\&x=0}\Leftrightarrow \heva{&x=0\\&y=-4.}\)

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là \((0;-4)\).

Câu 47:

Cho đồ thị hàm số \( y=f(x) \) như hình vẽ. Đồ thị của hàm số \( y=(0{,}7)^{f(x)} \) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Image

Tập xác định của hàm số \( y=0{,}7^{f(x)} \) là \( \mathbb{R} \setminus \{a ; b\} \).

Xét tiệm cận đứng

\(\lim \limits_{x \to a^-} 0{,}7^{f(x)} =\lim \limits_{x \to -\infty} 0{,}7^{x} =+\infty\) \( \Rightarrow \) \( x=a \) là một tiệm cận đứng.

\(\lim \limits_{x \to b^-} 0{,}7^{f(x)} = \lim \limits_{x \to -\infty} 0{,}7^{x}=+\infty\) \( \Rightarrow \) \( x=b \) là một tiệm cận đứng.

Xét tiệm cận ngang

\(\lim \limits_{x \to -\infty} 0{,}7^{f(x)} = \lim \limits_{x \to -\infty} 0{,}7^{x}=+\infty\).

\(\lim \limits_{x \to +\infty} 0{,}7^{f(x)} = 0{,}7^{c}\) \( \Rightarrow \) \( y=0{,}7^c\) là tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Câu 48:

Cho đồ thị hàm số \(y=f(x)\) như hình vẽ. Đồ thị của hàm số \(y=\log f(x)\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Image

Dựa vào đồ thị hàm số ta có tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=(a;c)\setminus\{b\}\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to a^+}\log f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\log x=-\infty\), suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là \(x=a\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to b^+}\log f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\log x=-\infty\), suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là \(x=b\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to c^-}\log f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\log x=-\infty\), suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là \(x=c\).

Vậy đồ thị hàm số \(y=\log f(x)\) có tất cả ba đường tiệm cận đứng.

Câu 49:

Cho hàm số bậc ba \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ

Image

Xác định số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x}{f(x)+1}\).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

\(f(x)+1=0\Leftrightarrow f(x)=-1\Leftrightarrow \hoac{& x^2=0 \\ & x=a>1}\Leftrightarrow\hoac{& x=0\ \text{(nghiệm kép)} \\ & x=a>1.}\)

Do đó \(y=\displaystyle\frac{x}{f(x)+1}=\displaystyle\frac{x}{kx^2(x-a)}=\displaystyle\frac{1}{kx(x-a)}\).

Suy ra \(\lim \limits_{x \to 0} y=\infty\), \(\lim \limits_{x \to a} y=\infty\) và \(x=0\), \(x=a\) là các đường tiệm cận đứng.

Câu 50:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Image

Hỏi đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{2f(x)-1}\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(2f(x)-1=0 \Leftrightarrow f(x)=\displaystyle\frac{1}{2}\Leftrightarrow\hoac{&x=x_1\in (-2;0)\\&x=x_2\in (0;+\infty).}\)

Do \(\lim\limits_{x\to x_1}y=\lim\limits_{x\to x_1}\displaystyle\frac{1}{2f(x)-1}=\infty\), \(\lim\limits_{x\to x_2}y=\lim\limits_{x\to x_2}\displaystyle\frac{1}{2f(x)-1}=\infty\) nên \(x=x_1\) và \(x=x_2\) là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có \(2\) đường tiệm cận đứng.

Câu 51:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Image

Hỏi đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{2f(x)-1}\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

Do \(\lim\limits_{x\to +\infty}y=\lim\limits_{x\to +\infty}\displaystyle\frac{1}{2f(x)-1}=\displaystyle\frac{1}{2\cdot 0-1}=-1\), suy ra \(y=-1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Mặt khác \(\lim\limits_{x\to -\infty}y\) không tồn tại.

Tóm lại \(y=-1\) là tiệm cận ngang duy nhất của đồ thị hàm số.

Nâng cao

Câu 1:

Đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{ax+b}{2x+c}\) có tiệm cận ngang \(y=2\) và tiệm cận đứng \(x=1\). Tính \(a+c\).

Xét hàm số \(y=\displaystyle\frac{ax+b}{2x+c}\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\displaystyle\frac{c}{2}\right\}\).

Tiệm cận ngang \(y=\displaystyle\frac{a}{2}\) và tiệm cận đứng \(x=-\displaystyle\frac{c}{2}\).

Theo đề bài, ta có

\(\heva{&\displaystyle\frac{a}{2}=2\\&-\displaystyle\frac{c}{2}=1}\Leftrightarrow\heva{&a=4\\&c=-2}\Rightarrow a+c=2\).

Câu 2:

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x-m}{x^2-3x+2}\) có đúng hai đường tiệm cận.

Ta có \(x^2-3x+2=0\Leftrightarrow\hoac{&x=1\\&x=2.}\)

Do \(\lim\limits_{x\to\pm\infty} y=0\) nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là \(y=0\).

Đồ thị hàm số có đúng hai tiệm khi và chỉ khi nó có đúng một tiệm cận đứng, khi đó \(m=1 \) hoặc \(m=2\).

Câu 3:

Cho hàm số \(y=\displaystyle\frac{x+1}{x^2-2mx+4}\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.

Ta có \(\lim\limits_{x\to+\infty} y=0\) suy ra \(y=0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Để đồ thị hàm số có \(3\) tiệm cận thì phương trình \(x^2-2mx+4=0\) có hai nghiệm phân biệt khác \(-1\), hay

\(\heva{&m^2-4>0\\&1+2m+4\neq 0}\Leftrightarrow\heva{&\hoac{&m>2\\&m < -2}\\&m\neq-\displaystyle\frac{5}{2}.}\)

Câu 4:

Cho đồ thị hai hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{2x+1}{x+1}\) và \(g(x)=\displaystyle\frac{ax+1}{x+2}\) với \(a\neq\displaystyle\frac{1}{2}\). Tìm tất cả các giá trị thực dương của \(a\) để các tiệm cận của hai đồ thị hàm số tạo thành một hình chữ nhật có diện tích là \(4\).

Đồ thị hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{2x+1}{x+1}\) có hai đường tiệm cận là \(x=-1\) và \(y=2\).

Đồ thị hàm số \(g(x)=\displaystyle\frac{ax+1}{x+2}\) có hai đường tiệm cận là \(x=-2\) và \(y=a\).

Hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường tiệm cận của hai đồ thị trên có hai kích thước là \(1\) và \(|a-2|\).

Theo giả thiết, ta có \(|a-2|\cdot 1=4\Leftrightarrow\hoac{&a=6\\&a=-2}\). Vì \(a>0\) nên chọn \(a=6\).

Câu 5:

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng \(144 \mathrm{~m}^2\). Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là \(x(m)\).

a) Viết biểu thức tính chu vi \(P(x)\) (mét) của mảnh vườn.

b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \(P(x)\).

a) Ta có độ dài một cạnh của mảnh vườn là \(x(m)\) nên độ dài cạnh còn lại của mảnh vườn là \(\displaystyle\frac{144}{x}(m)\).

Vậy chu vi của mảnh vườn là \(P(x)=2\left(x+\displaystyle\frac{144}{x}\right)=2x+\displaystyle\frac{72}{x}\).

b)

+) Ta có: \(\lim _{x \rightarrow+\infty} P(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} 2x+\displaystyle\frac{72}{x}=+\infty\). Tương tự, \(\lim _{x \rightarrow+\infty} P(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} \left(2x+\displaystyle\frac{72}{x}\right)=-\infty\).

Vậy đồ thị hàm số \(P(x)\) không có tiệm cận ngang.

+) Ta có: \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \left(2x+\displaystyle\frac{72}{x}\right)=+\infty\). Tương tự, \(\lim _{x \rightarrow 0^{-}} P(x)=-\infty\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=0\).

+) Ta có:

\(\begin{aligned}&\lim _{x \rightarrow+\infty}[P(x)-2x]=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{72}{x}=0;\\& \lim _{x \rightarrow-\infty}[P(x)-2x]=\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{72}{x}=0.\end{aligned}\)

Vậy đồ thị hàm số \(P(x)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=2x\).

Câu 6:

Cho đường cong \((C)\): \(y=\displaystyle\frac{m x^2+\left(3 m^2-2\right) x-2}{x+3 m}\).

Tìm \(\mathrm{m}\) để góc giữa hai đường tiệm cận bằng \(45^\circ\).

Viết lại \((C)\) dưới dạng: \(y=m x-2+\displaystyle\frac{6 m}{x+3 m}\) \(\quad (1)\).

Từ (1) suy ra cần xét các khả năng sau:

+) Nếu \(\mathrm{m}=\displaystyle\frac{1}{3}\) khi đó từ \((1)\) có \(\mathrm{y}=\displaystyle\frac{1}{3} \mathrm{x}-2\) với \(\mathrm{x} \neq 1\). Trường hợp này \((C)\) không có tiệm cận.

+) Nếu \( \mathrm{m} \neq \displaystyle\frac{1}{3}\) khi đó từ \((1)\) suy ra:

+) \((C)\) có tiệm cận đứng \(x=-3 m\)

+) \((C)\) có tiệm cận xiên \(y=m x-2\) (khi \(m=0\), thì có tiệm cận ngang \(y=-2)\)

Đoạn thẳng \( x=-3m \) vuông góc với trục hoành, nên \( y=mx-2\) tạo với tiệm cận đứng một góc \(45^\circ\) khi và chi khi nó tạo với chiểu dương của trục hoành một góc bằng \(45^\circ\) hoặc \(135^\circ\), tức là khi \(\hoac{& m=\tan 45^\circ\\ & m=\tan 135^\circ}\Leftrightarrow m=\pm 1\).

Câu 7:

Cho đường cong \(\left(\mathrm{C}_m\right)\):\(y=\displaystyle\frac{2 x^2-3 x+m}{x-m}\). Tìm các tiệm cận của \(\left(\mathrm{C}_m\right)\) khi \(m\) thay đổi.

Viết lại \(\left(\mathrm{C}_m\right)\) dưới dạng: \(y=2x+2 m-3+\displaystyle\frac{2 m^2-2 m}{x-m}\) \(\quad (1)\).

Ta có \(2 m^2+2 m-3=0 \Leftrightarrow m=0\) hoặc \(m=1\). Vì thế từ \((1)\) suy ra:

+) Nếu \(m=0\), thì \(y=2 x-3\) với \(x \neq 0\left(\mathrm{C}_0\right)\) không có tiệm cận.

+) Nếu \(m=1\), thì \(y=2 x-1\), với \(x \neq 1\left(\mathrm{C}_1\right)\) không có tiệm cận.

+) Nếu \(m \neq 0, m \neq 1\), thì \(\left(\mathrm{C}_m\right)\) có tiệm cận đứng \(x=m\) và tiệm cận xiên \(y=2 x+2 m-3\).

Câu 8:

Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{mx+1}{2m+1-x}\) cùng với hai trụ tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng \(3\). Tìm \(m\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle\frac{mx+1}{2m+1-x}=-m\).

Mặt khác

\(\lim\limits_{x\to(2m+1)^+}\displaystyle\frac{mx+1}{2m+1-x} =\lim\limits_{x\to(2m+1)^+}\displaystyle\frac{m(2m+1)+1}{2m+1-x} =\lim\limits_{x\to(2m+1)^+}\displaystyle\frac{2m^2+m+1}{2m+1-x}\).

Mà \(\heva{&\lim\limits_{x\to(2m+1)^+}\left(2m^2+m+1\right)=2m^2+m+1>0\\&\lim\limits_{x\to(2m+1)^+}(2m+1-x)=0\\&2m+1-x< 0, \forall x>2m+1.}\)

Suy ra \(\lim\limits_{x\to(2m+1)^+}\displaystyle\frac{mx+1}{2m+1-x}=-\infty \).

Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận \(x=2m+1\) và \(y=-m\).

Hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng \(3\) suy ra

\(|2m+1|\cdot|m|=3\Leftrightarrow\hoac{&2m^2+m=3\\&2m^2+m=-3(PTVN)}\Leftrightarrow 2m^2+m-3=0\Leftrightarrow\hoac{&m=1\\&m=\displaystyle\frac{-3}{2}.}\)

Câu 9:

Cho \(\left(C _{m}\right): y=\displaystyle\frac{2x^2+m x-2}{x-1}\). Tìm \(m\) để tiệm cận xiên của \(\left(C _{m}\right)\) tạo với hệ trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng \(4\).

Ta có \(\left(C_m\right): y=2 x+m+2+\displaystyle\frac{m}{x-1}\) \(\quad (1)\).

Vậy từ \((1)\) suy ra \(\left(C_m\right)\) có tiệm cận xiên \(y=2x+m+2\) khi \(m \neq 0\). Tiệm cận xiên này cắt trục hoành tại \(A\left(-\displaystyle\frac{m+2}{2};0\right)\) và trục tung tại \((0;m+2)\).

Vì thế

\(S _{OAB}=4\Leftrightarrow\displaystyle\frac 12 OA\cdot OB=4\Leftrightarrow\displaystyle\frac 12\displaystyle\frac{|-m-2|}2\cdot| m+2|=4\Leftrightarrow| m+2|=4\Leftrightarrow\hoac{&m=2\\ & m=-6 .}\)

Ứng dụng thực tế

Câu 1:

Nồng độ oxygen trong hồ theo thời gian \(t\) cho bởi công thức \(y(t)=5-\displaystyle\frac{15t}{9t^{2}+1}\), với \(y\) được tính theo mg/l và \(t\) được tính theo giờ, \(t \geq 0\). Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y(t)\). Từ đó, có nhận xét gì về nồng độ oxygen trong hồ khi thời gian \(t\) trở nên rất lớn?

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(\lim\limits_{t \rightarrow+\infty}y=\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} \left(5-\displaystyle\frac{15t}{9t^{2}+1}\right)=5\).

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=5\).

Khi thời gian \(t\) trở nên rất lớn thì nồng độ oxygen trong hồ sẽ tiến dần về \(5\) mg/l.

Câu 2:

Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuât \(x\) (sản phẩm) là \(C(x)=2 x+50\) (triệu đồng). Khi đó \(f(x)=\displaystyle\frac{C(x)}{x}\) là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số \(f(x)\) giảm và \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=2\). Tính chất này nói lên điều gì?

Ta có \(f(x)=\displaystyle\frac{C(x)}{x}=\displaystyle\frac{2x+50}{x}\).

\(f'(x)=\displaystyle\frac{-50}{x^2}\) suy ra hàm số giảm.

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}f(x) =\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{2x+50}{x}=2\).

Image

Từ đó suy ra số sản phẩm sản xuất càng nhiều thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm càng giảm nhưng luôn lớn hơn \(2\) triệu đồng.

Câu 3:

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự \(f=30\) cm. Trong vật lí, ta biết rằng nếu đặt vật thật \(AB\) cách quang tâm \(O\) của thấu kính hội tụ một khoảng \(d\) (cm) lớn hơn \(30\) cm thì được ảnh thật \(A'B'\) cách quang tâm của thấu kính một \(d'\) (cm). Ngược lại, nếu \(0

a) Từ công thức thấu kính, tìm biểu thức xác định \(d'\) theo \(d\).

b) Xem biểu thức của \(d'\) ở câu a) là một hàm số theo \(d\), kí hiệu \(h(d)\). Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(h(d)\).

Image

a) Ta có \(\displaystyle\frac{1}{d'}=\displaystyle\frac{1}{f}-\displaystyle\frac{1}{d}=\displaystyle\frac{d-f}{df}\Rightarrow d'=\displaystyle\frac{df}{d-f}=\displaystyle\frac{30d}{d-30}\).

b) Xét \(h(d)=\displaystyle\frac{30d}{d-30}\), ta có

\(\lim\limits_{d\to\pm\infty}h(d)=30\) suy ra đường thẳng \(y=30\) là tiệm cận ngang của đồ thị.

\(\lim\limits_{d\to 30^{+}}h(d)=+\infty\) suy ra đường thẳng \(x=30\) là tiệm cận đứng của đồ thị.

Đồ thị không có tiệm cận xiên.

Câu 4:

Một bể bơi chứa \(5\,000\) lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng đồ \(30\) gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ \(25\) lít/phút.

a) Chứng tỏ nồng độ muối trong bể sau \(t\) phút (tính bằng tỉ số của khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị: gam/lít) là \(f(t)=\displaystyle\frac{30t}{200+t}\).

b) Xem \(y=f(t)\) là một hàm số xác định trên nửa khoảng \([0;+\infty)\), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.

c) Nêu nhận xét về nồng độ của muối trong bể sau thời gian \(t\) ngày càng lớn.

a) Sau \(t\) phút, ta có: khối lượng muối trong bể là \(25\cdot 30\cdot t=750t\) (gam); thể tích của lượng nước trong bể là \(5\,000+25t\) (lít). Vậy nồng độ muối sau \(t\) phút là

\(f(t)=\displaystyle\frac{750t}{5\,000+25t}=\displaystyle\frac{30t}{200+t}\,\text{(gam/lít)}.\)

Image

b) Ta có

\(\lim\limits_{t\to +\infty}f(t)=\lim\limits_{t \to +\infty}\displaystyle\frac{30t}{200+t}=\lim\limits_{t\to +\infty}\left(30-\displaystyle\frac{6\,000}{200+t}\right)=30\).

Vậy đường thẳng \(y=30\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(f(t)\).

c) Ta có đồ thị hàm số \(y=f(t)\) nhận đường thẳng \(y=30\) làm đường tiệm cận ngang, tức là khi \(t\) càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức \(30\) (gam/lít). Lúc đó, nồng độ muối trong bể sẽ gần như bằng nồng độ nước muối bơm vào bể.

Câu 5:

Để loại bỏ \(p\%\) một loài tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí bỏ ra là \(C(p)=\displaystyle\frac{45p}{100-p}\) (triệu đồng), với \(0 \leq p<100.\)

Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(C(p)\) và nêu ý nghĩa thực tiễn của đường tiệm cận này.

Ta có \(\displaystyle\lim_{p\to 100^-}C(p)=\displaystyle\lim_{p\to 100^-}\displaystyle\frac{45p}{100-p}=+\infty\).

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(p=100\).

Ý nghĩa thực tiễn: Để loại bỏ hoàn toàn loài tảo độc trên thì chi phí vô cùng lớn (không thể thực hiện được).

Câu 6:

Số lượng sản phẩm bán được của một công ty trong \(x\) (tháng) được tính theo công thức \(S(x)=200\left(5-\displaystyle\frac{9}{2+x}\right)\), trong đó \(x\ge 1\).

a) Xem \(y=S(x)\) là một hàm số xác định trên nửa khoảng \([1;+\infty)\), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.

b) Nêu nhận xét về số lượng sản phẩm bán được của công ty trong \(x\) (tháng) khi \(x\) đủ lớn.

a) Ta có \(\lim\limits_{x\to +\infty}\left[200\left(5+\displaystyle\frac{9}{2-x}\right)\right]=200\cdot 5=1000\).

Vậy \(y=1\,000\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=S(x)\).

b) Từ phần trên ta có thể rút ra nhận xét: khi số tháng đủ lớn thì công ty có thể bán được số sản phẩm gần bằng \(1\,000\).

Câu 7:

Một trung tâm dạy nghề cần thiết kế mô hình đánh giá kĩ năng của một học viên theo học nghề đánh máy. Người ta có thể làm như sau:

+) Để xây dựng mô hình toán học cho bài toán trên, ta sử dụng thống kê. Bằng cách khảo sát tốc độ đánh máy trung bình \(S\) (tính bằng từ trên phút) của học viên đó sau \(t\) tuần học (\(5\leq t\leq 30\)), ta thu thập các số liệu thống kê được cho trong bảng bên dưới.

Image

+) Ta cần chọn hàm số \(y=f(t)\) để biểu diễn các số liệu ở bảng trên, tức là ở hệ trục tọa độ \(Oty\), đồ thị của hàm số đó trên khoảng \((0;+\infty)\) gần với các điểm \(A(5;38)\), \(B(10;56)\), \(C(15;79)\), \(D(20;90)\), \(E(25;93)\), \(G(30;94)\). Ngoài ra, do tốc độ đánh máy trung bình của học viên tăng theo thời gian \(t\) và chỉ đến một giới hạn \(M\) nào đó cho dù thời gian \(t\) có kéo dài đến vô cùng nên hàm số \(y=f(t)\) phải thỏa mãn thêm hai điều kiện: Hàm số đó đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\) và \(\lim\limits_{t\to +\infty}f(t)=M\in\mathbb{R}\), \(M>94\). Vì các hàm đa thức (với bậc lớn hơn hoặc bằng \(1\)) không thỏa mãn hai điều kiện đó nên ta chọn một hàm phân thức hữu tỉ để biểu diễn các số liệu ở bảng trên. Ta có thể chọn hàm số có dạng \(f(t)=\displaystyle\frac{at+b}{ct+d}\) (\(ac\neq 0\)) cho mục đích đó. Dựa vào bảng trên, ta chọn hàm số \(f(t)=\displaystyle\frac{110t-280}{t+2}\) \((t>0)\).

a) Dựa theo mô hình đó, dự đoán tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó sau \(40\) tuần (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của từ/phút).

b) Xem \(y=f(t)\) là một hàm số xác định trên khoảng \((0;+\infty)\), hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.

c) Nêu nhận xét về tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó sau thời gian \(t\) ngày càng lớn.

a) Ta có \(f(40)=\displaystyle\frac{110\cdot40-280}{40+2}\approx 98\). Vậy tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó sau \(40\) tuần là khoảng \(98\) từ/phút.

b) Ta có \(\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=\lim\limits_{t\to+\infty}\displaystyle\frac{110t-280}{t+2}=\lim\limits_{t\to+\infty}\left(110-\displaystyle\frac{500}{t+2}\right)=110\).\\

Vậy đường thẳng \(y=110\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f(t)\).

c) Do đường thẳng \(y=110\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f(t)\) nên khi \(t\) càng lớn thì tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó sẽ tiến gần đến mức \(110\) từ/phút.

Câu 8:

Theo thuyết tương đối hẹp, khối lượng m (kg) của một hạt phụ thuộc vào tốc độ di chuyển \(v(\mathrm{~km} / \mathrm{s})\) của nó trong hệ quy chiếu quán tính theo công thức \(m(v)=\displaystyle\frac{m_0}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^2}{c^2}}}\), trong đó \(m_0\)

là khối lượng nghỉ của hạt, \(c=300000 \mathrm{~km} / \mathrm{s}\) là tốc độ ánh sáng.

Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số khối lượng hạt.

Hàm số \(y=m(v)=\displaystyle\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\left[0;c\right)\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow c^-} \displaystyle\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=+\infty\).

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=c=300\,000\).

Câu 9:

Tại một công ty sản xuất đồ chơi \(A\), công ty phải chi \(50\,000\) USD để thiết lập dây chuyền sản xuất ban đầu. Sau đó, cứ sản xuất được một sản phẩm đồ chơi \(A\), công ty phải trả \(5\) USD cho nguyên liệu thô và nhân công. Gọi \(x\) (\(x\geq 1\)) là số đồ chơi \(A\) mà công ty đã sản xuất và \(T(x)\) (đơn vị USD) là tổng tiền bao gồm cả chi phí ban đầu mà công ty phải chi trả khi sản xuất \(x\) đồ chơi \(A\). Người ta xác định chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm đồ chơi \(A\) là \(M(x)=\displaystyle\frac{T(x)}{x}\).

a) Xem \(M(x)\) là hàm số theo \(x\) xác định trên nửa khoảng \([1;+\infty)\), tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số này.

b) Nêu nhận xét về chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm đồ chơi \(A\) khi \(x\) đủ lớn.

Image

a) Chi phí bỏ ra để sản xuất đồ chơi là \(T(x)=50\,000+5x\) (USD).

Chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là \(M(x)=\displaystyle\frac{T(x)}{x}=\displaystyle\frac{50\,000+5x}{x}\) (với \(x\geq 1\)).

Ta có \(\lim\limits_{x\to \pm\infty}M(x)=5\).

Suy ra đường thẳng \(y=5\) là tiệm cận ngang của đồ thị.

b) Khi số đồ chơi \(A\) được sản xuất với số lượng \(x\) đủ lớn thì chi phí trung bình tiệm cận với tổng của giá nguyên liệu thô và nhân công.