Ta có \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=2\) suy ra đường thẳng \(x=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị.

Lại có \(\lim\limits_{x\to(-1)^{+}}\displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^{-}}\displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=+\infty\) nên đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có \(\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{x-1}-1\right)=-1\) nên đường thẳng \(y=-1\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Hình ảnh đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng \(y=-1\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to 2^{+}} f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{+}}\displaystyle\frac{2-4x}{4-x^2}=+\infty\) hoặc \(\lim\limits_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{-}}\displaystyle\frac{2-4x}{4-x^2}=-\infty\) nên đường thẳng \(x=2\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f(x)\).

Tương tự, \(\lim\limits_{x\to -2^{+}} f(x)=\lim\limits_{x\to -2^{+}}\displaystyle\frac{2-4x}{4-x^2}=+\infty\) hoặc \(\lim\limits_{x\to -2^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to -2^{-}}\displaystyle\frac{2-4x}{4-x^2}=-\infty\) nên đường thẳng \(x=-2\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) đã cho.

Ta có \(\lim\limits_{x\to +\infty}\left[f(x)-(x-2)\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\left[\displaystyle\frac{x^2-5x+7}{x-3}-(x-2)\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{x-3}\right)=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=x-2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=f(x)\).

Hình ảnh của đường thẳng \(\Delta\colon y=x-2\) như hình bên dưới.

Hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace 1;2\right\rbrace\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=-\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=+\infty\).

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^{-}} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=-\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^{+}} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=1\), \(x=2\) là hai tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=0\); \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=0\).

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=0\).

Vậy hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}\) có hai tiệm cận đứng là \(x=1\), \(x=2\) và tiệm cận ngang là \(y=0\).

Hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{x^{2}+x-1}{x}\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace 0\right\rbrace\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{-}} \displaystyle\frac{x^{2}+x-1}{x}=+\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{x^{2}+x-1}{x}=-\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=0\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có \(\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x+1-\displaystyle\frac{1}{x}}{x}=1;\\ b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{x^{2}+x-1}{x}-x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x-1}{x}=1.\end{aligned}\)

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=1\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=1\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x+1\).

Vậy hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^{2}+x-1}{x}\) có tiệm cận đứng là \(x=0\) và tiệm cận xiên là \(y=x+1\).

Hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{16x^{2}-8x}{16x^{2}+1}\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \displaystyle\frac{16x^{2}-8x}{16x^{2}+1}=1\); \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{16x^{2}-8x}{16x^{2}+1}=1\).

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=1\).

Xét hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x+3}{x+1}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\setminus \{-1\}\).

Ta có: \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} \displaystyle\frac{2x+3}{x+1}=2\).

Suy ra đường thẳng \(y=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x+3}{x+1}\).

\(\lim\limits_{x \to -1^{-}} \displaystyle\frac{2x+3}{x+1}=-\infty\),

\(\lim\limits_{x \to -1^{+}} \displaystyle\frac{2x+3}{x+1}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x+3}{x+1}\).

Xét hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{2x^2+3x}{x+1}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\setminus \{-1\}\).

Ta có: \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} \displaystyle\frac{2x^2+3x}{x+1}=\pm \infty\).

Suy ra đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2+3x}{x+1}\) không có tiệm cận ngang.

\(\lim\limits_{x \to -1^{-}} \displaystyle\frac{2x^2+3x}{x+1}=+\infty\),

\(\lim\limits_{x \to -1^{+}} \displaystyle\frac{2x^2+3x}{x+1}=-\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(\displaystyle\frac{2x^2+3x}{x+1}\).

\(\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{f(x)}{x} =\lim\limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{2x^2+3x}{x(x+1)}=2\),

\(\lim\limits_{x \to +\infty} \left[f(x)-2x\right]=\lim\limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x}{x+1}=1\).

Suy ra đường thẳng \(y=2x+1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2+3x}{x+1}\).

a) \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=2\);

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=2\);

\(\lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=-\infty\);

\(\lim\limits_{x \rightarrow-1^{+}} f(x)-\infty\).

b) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=-1\) và \(x=1\); tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=2\).

Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{3 x-2}{x+1}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{3-\displaystyle\frac{2}{x}}{1+\displaystyle\frac{1}{x}}=3\).

Tương tự, \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=3\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=3\).

Ta có:

\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{\displaystyle\frac{x^{2}+1}{x^{2}}}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^{2}}}=1;\)

\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(-\sqrt{\displaystyle\frac{x^{2}+1}{x^{2}}}\right)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(-\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^{2}}}\right)=-1\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có hai tiệm cận ngang là \(y=1\) và \(y=-1\).

Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow-2^{+}} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-2^{+}} \displaystyle\frac{3-x}{x+2}=+\infty\).

Tương tự, \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow -2^{-}} f(x)=-\infty\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=-2\).

Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{x^{2}+2}{x}=+\infty\).

Tương tự, \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=-\infty\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=0\).

Ta có \(\underset{x\to -1^{+}}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to -1^{+}}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{3x-2}{x+1}=-\infty\); \(\underset{x\to -1^{-}}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to -1^{-}}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{3x-2}{x+1}=+\infty\).

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{3x-2}{x+1}\) là đường thẳng \(x=-1\).

Ta có \(\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{3x-2}{x+1}=3;\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{3x-2}{x+1}=3\).

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{3x-2}{x+1}\) đường thẳng \(y=3\).

Ta có \(\underset{x\to{\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{+}}}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to{\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{+}}}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{x^2+2x-1}{2x-1}=+\infty;\underset{x\to{\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-}}}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to{\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{-}}}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{x^2+2x-1}{2x-1}=-\infty\).

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2+2x-1}{2x-1}\) là đường thẳng \(x=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Ta có \(\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{x^2+2x-1}{2x-1}=-\infty;\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}y=\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{x^2+2x-1}{2x-1}=+\infty\).

Vậy đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2+2x-1}{2x-1}\) không có tiệm cận ngang.

Ta có \(y=\displaystyle\frac{x^2+2x-1}{2x-1}=\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{5}{4}+\displaystyle\frac{1}{4(2x-1)}\).

\(\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}\left[y-\left(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{5}{4}\right)\right]=\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{1}{4(2x-1)}=0\), \(\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}\left[y-\left(\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{5}{4}\right)\right]=\underset{x\to -\infty}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{1}{4(2x-1)}=0\).

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2+2x-1}{2x-1}\) là đường thẳng \(y=\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{5}{4}\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-x)]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{1}{x+2}=0\). Tương tự \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x)]=0\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x\).

Ta có:

\(\begin{aligned}& a=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x^2-x+2}{x^2+x}=1 ; \\& b=\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-x]=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-2 x+2}{x+1}=-2.\end{aligned}\)

Tương tự, \(\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=1, \lim _{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=-2\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x-2\).

Ta có:

\(\begin{aligned} &\lim _{x \rightarrow 1^{+}}f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\displaystyle\frac{x^2+2 x-3}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\displaystyle\frac{(x-1)(x+3)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}(x+3)=4;\\& \lim _{x \rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\displaystyle\frac{x^2+2 x-3}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\displaystyle\frac{(x-1)(x+3)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}(x+3)=4.\end{aligned}\)

Suy ra đường thẳng \(x=1\) không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2+2 x-3}{x-1}\).

Ta có: \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{3- x}{2x+1}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3}{x}-1}{2+\displaystyle\frac{1}{x}}=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

Tương tự, \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=3\).

Ta có: \(\lim _{x \rightarrow-\displaystyle\frac{1}{2}^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-\displaystyle\frac{1}{2}^{+}} \displaystyle\frac{3-x}{2x+1}=+\infty\). Tương tự, \(\lim _{x \rightarrow-\displaystyle\frac{1}{2}^{-}} f(x)=-\infty\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

Ta có: \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2 x^2+x-1}{x+2}=+\infty\).

Tương tự, \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{2 x^2+x-1}{x+2}=-\infty\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) không có tiệm cận ngang.

Ta có: \(\lim _{x \rightarrow -2^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow -2^{+}} \displaystyle\frac{2 x^2+x-1}{x+2}=+\infty\). Tương tự, \(\lim _{x \rightarrow -2^{-}} f(x)=-\infty\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=-2\).

Ta có:

\(\begin{aligned}& a=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2 x^2+x-1}{x^2+2x}=2 ; \\& b=\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-2x]=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-3 x-1}{x+2}=-3.\end{aligned}\)

Tương tự, \(\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=2, \lim _{x \rightarrow-\infty}[f(x)+x]=-3\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=2x-3\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\displaystyle\frac{1}{2}\right\}\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{x-5}{4x+2}=\displaystyle\frac{1}{4}\) suy ra đường thẳng \(y=\displaystyle\frac{1}{4}\) là tiệm cận ngang của đồ thị.

Lại có \(\lim\limits_{x\to\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{+}}\displaystyle\frac{x-5}{4x+2}=-\infty\) suy ra đường thẳng \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.

Đồ thị không có tiệm cận xiên.

Tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\displaystyle\frac{1}{2}\right\}\).

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle\frac{x^2-3x+4}{2x+1}=+\infty\); \(\lim\limits_{x\to-\infty}\displaystyle\frac{x^2-3x+4}{2x+1}=-\infty\) suy ra đồ thị không có tiệm cận ngang.

\(\lim\limits_{x\to\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{+}}\displaystyle\frac{x^2-3x+4}{2x+1}=+\infty\) suy ra đường thẳng \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.

Ngoài ra, ta có \(y=\displaystyle\frac{x^2-3x+4}{2x+1}=\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{7}{4}+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{23}{4}}{2x+1}\).

Mà \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{23}{4}}{2x+1}\right)=0\) nên đường thẳng \(y=\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{7}{4}\) là tiệm cận xiên của đồ thị.

Tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=\pm\infty\) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Lại có \(\lim\limits_{x\to(-1)^{+}}y=+\infty\) nên đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị.

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle\frac{3}{x+1}=0\) nên đường thẳng \(y=2x-1\) là tiệm cận xiên của đồ thị.

Xét hàm số \(y=f(x)=x-3+\displaystyle\frac{1}{x^2}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\).

\(\lim\limits_{x \to 0^{-}} \left(x-3+\displaystyle\frac{1}{x^2} \right)=+\infty\),

\(\lim\limits_{x \to 0^{+}} \left(x-3+\displaystyle\frac{1}{x^2} \right)=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=x-3+\displaystyle\frac{1}{x^2}\).

\(\lim\limits_{x \to \pm\infty}\left[f(x)-(x-3)\right] =\lim\limits_{x \to \pm\infty} \displaystyle\frac{1}{x^2}=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=x-3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=x-3+\displaystyle\frac{1}{x^2}\).

Tập xác định \(\mathbb{R}\setminus \{1\}\).

\(\lim\limits_{x \to 1^{-}} \displaystyle\frac{2x^2-3x+2}{x-1} =-\infty\),

\(\lim\limits_{x \to 1^{+}} \displaystyle\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2-3x+2}{x-1}\).

\(\lim\limits_{x \to \pm\infty}\displaystyle\frac{f(x)}{x} =\lim\limits_{x \to \pm\infty} \displaystyle\frac{2x^2-3x+2}{x(x-1)}=2\),

\(\lim\limits_{x \to \pm\infty}\left[f(x)-2x\right]=\lim\limits_{x \to \pm\infty} \displaystyle\frac{-x+2}{x-1}=-1\) .

Suy ra đường thẳng \(y=2x-1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2-3x+2}{x-1}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\left(-\displaystyle\frac{1}{2};+\infty\right)\).

\(\lim\limits_{x \to \left(-\frac{1}{2}\right)^{+}} \displaystyle\frac{2x^2-x+3}{\sqrt{2x+1}}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2-x+3}{\sqrt{2x+1}}\).

\(\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{f(x)}{x} =\lim\limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{2x^2-x+3}{x\sqrt{2x+1}}=+\infty\).

Do đó đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2-x+3}{\sqrt{2x+1}}\) không có tiệm cận xiên.

Xét hàm số \(y=\displaystyle\frac{5x+1}{3x-2}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\setminus \left\{\displaystyle\frac{2}{3}\right\}\)

Ta có: \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} \displaystyle\frac{5x+1}{3x-2}=\displaystyle\frac{5}{3}\).

Suy ra đường thẳng \(y=\displaystyle\frac{5}{3}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{5x+1}{3x-2}\).

\(\lim\limits_{x \to \left(\tfrac{2}{3}\right)^{-}} \displaystyle\frac{5x+1}{3x-2}=-\infty\),

\(\lim\limits_{x \to \left(\tfrac{2}{3}\right)^{+}} \displaystyle\frac{5x+1}{3x-2}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=\displaystyle\frac{2}{3}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{5x+1}{3x-2}\).

Tập xác định \(\mathbb{R}\setminus \{-1\}\).

Ta có: \(\lim\limits_{x \to \pm \infty} \displaystyle\frac{2x^2-3x}{x^3+1}=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2-3x}{x^3+1}\).

\(\lim\limits_{x \to -1^{-}} \displaystyle\frac{2x^2-3x}{x^3+1}=-\infty\),

\(\lim\limits_{x \to -1^{+}} \displaystyle\frac{2x^2-3x}{x^3+1}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x^2-3x}{x^3+1}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=(-\infty;-2)\cup (2;+\infty)\).

Ta có: \(\lim\limits_{x \to - \infty} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}=-1\), \(\lim\limits_{x \to + \infty} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}=1\)

Suy ra đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\) có hai đường tiệm cận ngang là \(y=\pm 1\).

\(\lim\limits_{x \to -2^{-}} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}=-\infty\),

\(\lim\limits_{x \to 2^{+}} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}=+\infty \).

Suy ra đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\) có hai đường tiệm cận đứng là \(x=\pm 2\).

Do \(\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-(2x-1)]=\lim\limits_{x\to +\infty}\displaystyle\frac{-1}{x^2+1}=0\) nên đường thẳng \(y=2x-1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Ta thấy \(\lim\limits_{x\to \pm+\infty}\displaystyle\frac{x}{2-x}=-1\).

Vậy \(y=-1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Lại có \(\lim\limits_{x\to 2^+}\displaystyle\frac{x}{2-x}=-\infty\) và \(\lim\limits_{x\to 2^-}\displaystyle\frac{x}{2-x}=+\infty\).

Vậy \(x=2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Ta có \(y=\displaystyle\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=2x-1+\displaystyle\frac{1}{x-1}\).

Ta thấy \(\lim\limits_{x\to 1^+}\displaystyle\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=+\infty\) nên \(x=1\) là tiệm cận đứng.

Lại có \(\lim\limits_{x\to \pm \infty}\left[y-(2x-1)\right]=\lim\limits_{x\to \pm\infty}\displaystyle\frac{1}{x-1}=0\) nên \(y=2x-1\) là tiệm cận xiên.

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Ta thấy \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}[y-(x-3)]=\lim\limits_{x\to \pm \infty}\displaystyle\frac{1}{x^2}=0\).

Vậy \(y=x-3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Lại có \(\lim\limits_{x\to 0^\pm}\left(x-3+\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)=+\infty\).

Vậy \(x=0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\{-1 ; 1\}\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow-1^{-}} \displaystyle\frac{x}{x^{2}-1}=-\infty ; \lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}} \displaystyle\frac{x}{x^{2}-1}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=-1\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có \(\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}} \displaystyle\frac{x}{x^{2}-1}=-\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow -1^{+}} \displaystyle\frac{x}{x^{2}-1}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=1\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Tập xác định \(\mathscr{D}=(1 ;+\infty)\).

Vì \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}}\displaystyle\frac{2}{\sqrt{x-1}}=+\infty\) nên đường thẳng \(x=1\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\{-1\}\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-2 x+1}{x+1}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-2+\displaystyle\frac{1}{x}}{1+\displaystyle\frac{1}{x}}=-2\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{-2 x+1}{x+1}=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{-2+\displaystyle\frac{1}{x}}{1+\displaystyle\frac{1}{x}}=-2\).

Vậy đường thẳng \(y=-2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\{2\}\).

Ta có \(\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x^{2}-3 x+1}{x^{2}-2 x}=1;\\b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-a x]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{x^{2}-3 x+1}{x-2}-x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-x+1}{x-2}=-1.\end{aligned}\)

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=1\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=-1\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x-1\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace \displaystyle\frac{3}{2}\right\rbrace\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow \left(\tfrac{3}{2}\right)^{-}} \displaystyle\frac{4x-5}{2x-3}=-\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow \left(\tfrac{3}{2}\right)^{+}} \displaystyle\frac{4x-5}{2x-3}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=\displaystyle\frac{3}{2}\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lại có \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{4x-5}{2x-3}=2\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{4x-5}{2x-3}=2\).

Vậy đường thẳng \(y=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace \displaystyle\frac{3}{4}\right\rbrace\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow \left(\tfrac{3}{4}\right)^{-}} \displaystyle\frac{-2x+7}{4x-3}=-\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow \left(\tfrac{3}{4}\right)^{+}} \displaystyle\frac{-2x+7}{4x-3}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=\displaystyle\frac{3}{4}\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lại có \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-2x+7}{4x-3}=-\displaystyle\frac{1}{2}\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{-2x+7}{4x-3}=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

Vậy đường thẳng \(y=-\displaystyle\frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace \displaystyle\frac{7}{3}\right\rbrace\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow \left(\tfrac{7}{3}\right)^{-}} \displaystyle\frac{5x}{3x-7}=-\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow \left(\tfrac{7}{3}\right)^{+}} \displaystyle\frac{5x}{3x-7}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=\displaystyle\frac{7}{3}\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lại có \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{5x}{3x-7}=\displaystyle\frac{5}{3}\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{5x}{3x-7}=\displaystyle\frac{5}{3}\).

Vậy đường thẳng \(y=\displaystyle\frac{5}{3}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace 2\right\rbrace\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^{-}} \displaystyle\frac{x^{2}+2}{2x-4}=-\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^{+}} \displaystyle\frac{x^{2}+2}{2x-4}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=2\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có \(\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x+\displaystyle\frac{2}{x}}{2x-4}=\displaystyle\frac{1}{2};\\b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{x^{2}+2}{2x-4}-\displaystyle\frac{1}{2}x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x+2}{2x-4}=1.\end{aligned}\)

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\displaystyle\frac{1}{2}\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-\displaystyle\frac{1}{2}x]=1\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=\displaystyle\frac{1}{2}x+1\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace -2\right\rbrace\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow \left(-2\right)^{-}} \displaystyle\frac{2x^{2}-3x-6}{x+2}=-\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow \left(-2\right)^{+}} \displaystyle\frac{2x^{2}-3x-6}{x+2}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=-2\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có \(\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x-3-\displaystyle\frac{6}{x}}{x+2}=2;\\b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{2x^{2}-3x-6}{x+2}-2x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-7x-6}{x+2}=-7.\end{aligned}\)

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=2\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-2x]=-7\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=2x-7\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace -\displaystyle\frac{5}{2}\right\rbrace\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow \left(-\tfrac{5}{2}\right)^{-}} \displaystyle\frac{2x^{2}+9x+11}{2x+5}=-\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow \left(-\tfrac{5}{2}\right)^{+}} \displaystyle\frac{2x^{2}+9x+11}{2x+5}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=-\displaystyle\frac{5}{2}\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có \(\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x+9+\displaystyle\frac{11}{x}}{2x+5}=1;\\b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{2x^{2}+9x+11}{2x+5}-x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{4x+11}{2x+5}=2.\end{aligned}\)

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=1\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=2\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x+2\).

Hàm số \(y(t)=5-\displaystyle\frac{15t}{9t^{2}+1}\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \left(5-\displaystyle\frac{15t}{9t^{2}+1}\right)=5\).

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=5\).

Khi thời gian \(t\) trở nên rất lớn thì nồng độ oxygen trong hồ sẽ tiến dần về \(5\) mg/l.

a) Sau \(t\) phút, ta có: khối lượng muối trong bể là \(25\cdot 30\cdot t=750t\) (gam); thể tích của lượng nước trong bể là \(5\,000+25t\) (lít). Vậy nồng độ muối sau \(t\) phút là

\(f(t)=\displaystyle\frac{750t}{5\,000+25t}=\displaystyle\frac{30t}{200+t}\,\text{(gam/lít)}.\)

b) Ta có

\(\lim\limits_{t\to +\infty}f(t)=\lim\limits_{t \to +\infty}\displaystyle\frac{30t}{200+t}=\lim\limits_{t\to +\infty}\left(30-\displaystyle\frac{6\,000}{200+t}\right)=30\).

Vậy đường thẳng \(y=30\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(f(t)\) \texttt{(Hình 17).}

c) Ta có đồ thị hàm số \(y=f(t)\) nhận đường thẳng \(y=30\) làm đường tiệm cận ngang, tức là khi \(t\) càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức \(30\) (gam/lít). Lúc đó, nồng độ muối trong bể sẽ gần như bằng nồng độ nước muối bơm vào bể.

a) Ta có \(f(40)=\displaystyle\frac{110\cdot40-280}{40+2}\approx 98\). Vậy tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó sau \(40\) tuần là khoảng \(98\) từ/phút.

b) Ta có \(\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=\lim\limits_{t\to+\infty}\displaystyle\frac{110t-280}{t+2}=\lim\limits_{t\to+\infty}\left(110-\displaystyle\frac{500}{t+2}\right)=110\).

Vậy đường thẳng \(y=110\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f(t)\).

c) Do đường thẳng \(y=110\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f(t)\) nên khi \(t\) càng lớn thì tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó sẽ tiến gần đến mức \(110\) từ/phút.

a) Ta có \(\lim\limits_{x\to +\infty}\left[200\left(5+\displaystyle\frac{9}{2-x}\right)\right]=200\cdot 5=1000\).

Vậy \(y=1\,000\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=S(x)\).

b) Từ phần trên ta có thể rút ra nhận xét: khi số tháng đủ lớn thì công ty có thể bán được số sản phẩm gần bằng \(1\,000\).

a) Ta có \(\displaystyle\frac{1}{d'}=\displaystyle\frac{1}{f}-\displaystyle\frac{1}{d}=\displaystyle\frac{d-f}{df}\Rightarrow d'=\displaystyle\frac{df}{d-f}=\displaystyle\frac{30d}{d-30}\).

b) Xét \(h(d)=\displaystyle\frac{30d}{d-30}\), ta có

+) \(\lim\limits_{d\to\pm\infty}h(d)=30\) suy ra đường thẳng \(y=30\) là tiệm cận ngang của đồ thị.

+) \(\lim\limits_{d\to 30^{+}}h(d)=+\infty\) suy ra đường thẳng \(x=30\) là tiệm cận đứng của đồ thị.

+) Đồ thị không có tiệm cận xiên.

a) Chi phí bỏ ra để sản xuất đồ chơi là \(T(x)=50\,000+5x\) (USD).

Chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là \(M(x)=\displaystyle\frac{T(x)}{x}=\displaystyle\frac{50\,000+5x}{x}\) (với \(x\geq 1\)).

Ta có \(\lim\limits_{x\to \pm\infty}M(x)=5\). Suy ra đường thẳng \(y=5\) là tiệm cận ngang của đồ thị.

b) Khi số đồ chơi \(A\) được sản xuất với số lượng \(x\) đủ lớn thì chi phí trung bình tiệm cận với tổng của giá nguyên liệu thô và nhân công.

a) Ta có độ dài một cạnh của mảnh vườn là \(x(m)\) nên độ dài cạnh còn lại của mảnh vườn là \(\displaystyle\frac{144}{x}(m)\).

Vậy chu vi của mảnh vườn là \(P(x)=2\left(x+\displaystyle\frac{144}{x}\right)=2x+\displaystyle\frac{72}{x}\).

b) Ta có:

\(\lim _{x \rightarrow+\infty} P(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} 2x+\displaystyle\frac{72}{x}=+\infty\). Tương tự, \(\lim _{x \rightarrow+\infty} P(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} \left(2x+\displaystyle\frac{72}{x}\right)=-\infty\).

Vậy đồ thị hàm số \(P(x)\) không có tiệm cận ngang.

\(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \left(2x+\displaystyle\frac{72}{x}\right)=+\infty\).

Tương tự, \(\lim _{x \rightarrow 0^{-}} P(x)=-\infty\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=0\).

Ta có:

\(\begin{aligned}&\lim _{x\rightarrow+\infty}[P(x)-2x]=\lim_{x\rightarrow+\infty}\displaystyle\frac{72}{x}=0;\\ &\lim_{x\rightarrow-\infty}[P(x)-2x]=\lim_{x\rightarrow-\infty}\displaystyle\frac{72}{x}=0.\end{aligned}\)

Vậy đồ thị hàm số \(P(x)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=2x\).

Ta có \(f(x)=\displaystyle\frac{C(x)}{x}=\displaystyle\frac{2x+50}{x}\).

\(f^\prime(x)=\displaystyle\frac{-50}{x^2}\) suy ra hàm số giảm.

\(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x+50}{x}=2\).

Từ đó suy ra số sản phẩm sản xuất càng nhiều thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm càng giảm nhưng luôn lớn hơn \(2\) triệu đồng.

Ta có \(\displaystyle\lim_{p\to 100^-}C(p)=\displaystyle\lim_{p\to 100^-}\displaystyle\frac{45p}{100-p}=+\infty\).

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(p=100\).

Ý nghĩa thực tiễn: Để loại bỏ hoàn toàn loài tảo độc trên thì chi phí vô cùng lớn (không thể thực hiện được).