Đáp án: \(3\)

Lời giải:

Ta có \(\displaystyle \lim_{x\to-1^-}f(x)= - \infty\), \(\displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)= + \infty\), \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty }f(x)= 0\).

Do đó đồ thị hàm số có \(2 \) đường tiệm cận đứng \(x=-1\), \(x=1\) và \(1\) đường tiệm cận ngang \(y=0\).

Đáp án: Đồ thị hàm số có đúng \(3\) tiệm cận

Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

+) \(\lim\limits_{x\to -\infty}y=0\) suy ra TCN \(y=0\).

+) \(\lim\limits_{x\to -2^\pm}y=\pm \infty\) suy ra TCĐ \(x=-2\).

+) \(\lim\limits_{x\to 2^\pm}y=\pm \infty\) suy ra TCĐ \(x=2\).

Do đó đồ thị hàm số có ba tiệm cận.

Đáp án: \( y=1 \)

Lời giải:

Ta có \( \lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{x-3}{x+1}=1 \). Vậy đồ thị hàm số có duy nhất tiệm cận ngang \( y=1 \).

Đáp án: \(x=-1\)

Lời giải:

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Ta có \(\lim\limits_{x \to-1^{+}} \displaystyle\frac{x^{2}+3x-1}{x+1}=-\infty\) và \(\lim\limits_{x \to-1^{-}} \displaystyle\frac{x^{2}+3x-1}{x+1}=+\infty\).

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là \(x=-1\).

Đáp án: \(\left(2;-1\right)\)

Lời giải:

Ta có \(y=\displaystyle\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=-x+1+\displaystyle\frac{1}{x-2}\).

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\left[y-\left(-x+1\right)\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{x-2}\right)=0,\lim\limits_{x\to-\infty}\left[y-\left(-x+1\right)\right]=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{x-2}\right)=0\).

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(y=-x+1\).

\(\lim\limits_{x\to{2^+}}y=\lim\limits_{x\to{2^+}}\displaystyle\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=+\infty,\lim\limits_{x\to{2^-}}y=\lim\limits_{x\to{2^-}}\displaystyle\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=-\infty \).

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x=2\).

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là \(\left(2;-1\right)\).

Đáp án: \(y=x+1\)

Lời giải:

Gọi phương trình đường tiệm cận xiên là \(y=ax+b\).

Khi đó

\(a={\mathop{\lim}\limits_{x\to \pm \infty}} \displaystyle\frac{f(x)}{x}={\mathop{\lim}\limits_{x\to \pm \infty}} \displaystyle\frac{x^2+3x+5}{x^2+2x}={\mathop{\lim}\limits_{x\to \pm \infty}} \displaystyle\frac{x^2\left(1+\displaystyle\frac{3}{x}+\displaystyle\frac{5}{x^2} \right)}{x^2\left(1+\displaystyle\frac{2}{x} \right)}=1.\)

\(b={\mathop{\lim}\limits_{x\to \pm \infty}} \left(f(x)-ax\right)={\mathop{\lim}\limits_{x\to \pm \infty}} \left(\displaystyle\frac{x^2+3x+5}{x+2}-x\right)={\mathop{\lim}\limits_{x\to \pm \infty}} \displaystyle\frac{x+5}{x+2}={\mathop{\lim}\limits_{x\to \pm \infty}} \displaystyle\frac{x\left(1+\displaystyle\frac{5}{x} \right)}{x\left(1+\displaystyle\frac{2}{x} \right)}=1.\)

Vậy phương trình đường tiệm cận xiên là \(y=x+1\).

Đáp án: \(1\)

Lời giải:

Tập xác định: \(\mathscr{D}=[-25;+\infty)\setminus \{-1;0\}\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to 0} y=\lim\limits_{x\to 0} \displaystyle\frac{x}{x(x+1)\left(\sqrt{x+25}+5\right)}=\lim\limits_{x\to 0} \displaystyle\frac{1}{(x+1)\left(\sqrt{x+25}+5\right)}=\displaystyle\frac{1}{10}\): hữu hạn.

Và \(\lim\limits_{x\to (-1)^+} y=\lim\limits_{x\to (-1)^+} \displaystyle\frac{1}{(x+1)\left(\sqrt{x+25}+5\right)}=+\infty \).

Vậy đồ thị hàm số đã cho chỉ có \(1\) tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=-1\).

Đáp án: \(3\)

Lời giải:

Tập xác định là \(\mathscr{D}=\Bbb{R}\setminus\{-2;2\}.\)

Ta có

+) \(\lim\limits_{x\to \pm\infty}y=\lim\limits_{x\to \pm\infty} \displaystyle\frac{x^2+1}{x^2-4}=\lim\limits_{x\to \pm\infty} \displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{1}{x^2}}{1-\displaystyle\frac{4}{x^2}}=1\Rightarrow y=1\) là đường tiệm cận ngang.

+) \(\lim\limits_{x\to 2^+}y=\lim\limits_{x\to 2^+} \displaystyle\frac{x^2+1}{x^2-4}=+\infty \Rightarrow x=2\) là đường tiệm cận đứng.

+) \(\lim\limits_{x\to (-2)^+}y=\lim\limits_{x\to (-2)^+} \displaystyle\frac{x^2+1}{x^2-4}=-\infty \Rightarrow x=-2\) là đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có \(3\) đường tiệm cận.

Đáp án:

• Đồ thị có \(2\) đường tiệm cận}
• \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-2\) và \(\lim\limits_{x\to1^+}y=+\infty\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(x=1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
• \(x=-1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
• \(\lim\limits_{x\to +\infty}y=0\)

Lời giải:

Đáp án:

• \(y=3\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
• \(\lim\limits_{x\to -2^+}y=+\infty\)

Lời giải:

Đáp án:

• Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\)
• \(x=1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Lời giải:

Đáp án:

• Tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\)
• \(y=3x-1\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Lời giải:

Đáp án:

• Đồ thị hàm số có đúng \(2\) đường tiệm cận}
• \(\lim\limits_{x\to \pm\infty}(y-x+2)=0\)

Lời giải:

Ta có \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=2\) suy ra đường thẳng \(x=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị.

Lại có \(\lim\limits_{x\to(-1)^{+}}\displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^{-}}\displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=+\infty\) nên đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị.

}

a) \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=2\) ; \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=2\) ; \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=-\infty\) ; \(\lim _{x \rightarrow-1^{+}} f(x)-\infty\).

b) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=-1\) và \(x=1\); tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=2\).

}

Ta có \(\lim\limits_{x\to 2^{+}} f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{+}}\displaystyle\frac{2-4x}{4-x^2}=+\infty\) hoặc \(\lim\limits_{x\to 2^{-}} f(x)=\lim\limits_{x\to 2^{-}}\displaystyle\frac{2-4x}{4-x^2}=-\infty\) nên đường thẳng \(x=2\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f(x)\).

Tương tự, \(\lim\limits_{x\to -2^{+}} f(x)=\lim\limits_{x\to -2^{+}}\displaystyle\frac{2-4x}{4-x^2}=+\infty\) hoặc \(\lim\limits_{x\to -2^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to -2^{-}}\displaystyle\frac{2-4x}{4-x^2}=-\infty\) nên đường thẳng \(x=-2\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) đã cho.

}

Ta có \(\lim\limits_{x\to +\infty}\left[f(x)-(x-2)\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\left[\displaystyle\frac{x^2-5x+7}{x-3}-(x-2)\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{x-3}\right)=0\).

Suy ra đường thẳng \(y=x-2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=f(x)\).

}

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace 1;2\right\rbrace\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=+\infty\) và \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^{+}} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=1\), \(x=2\) là hai tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Mặt khác, \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=0\); \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=0\).

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=0\).

Vậy hàm số đã cho có \(2\) tiệm cận đứng là \(x=1\), \(x=2\) và \(1\) tiệm cận ngang là \(y=0\).

}

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace 0\right\rbrace\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{x^{2}+x-1}{x}=-\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=0\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có \(\begin{aligned}[t]a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x+1-\displaystyle\frac{1}{x}}{x}=1;\\ b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{x^{2}+x-1}{x}-x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x-1}{x}=1.\end{aligned}\)

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=1\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=1\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x+1\).

Vậy hàm số đã cho có tiệm cận đứng là \(x=0\) và tiệm cận xiên là \(y=x+1\).

}

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \displaystyle\frac{16x^{2}-8x}{16x^{2}+1}=1\); \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{16x^{2}-8x}{16x^{2}+1}=1\).

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=1\).

}

Do \(\lim\limits_{x \to +\infty} y=-\infty\) và \(\lim\limits_{x \to -\infty} y=+\infty\) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Do \(\lim\limits_{x \to 0^+} y=-\infty\) suy ra \(x=0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

\(\lim\limits_{x\to -1^\pm}f(x)=\pm\infty\).

\(\lim\limits_{x\to 1^\pm}f(x)=\mp\infty\).

Do đó \(x=1\) và \(x=-1\) là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lại có \(\lim\limits_{x\to \pm\infty}f(x)=-2\). Do đó \(y=-2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

+) \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} y=-2\), suy ra $y=-2$ là đường tiệm cận ngang.

+) \(\displaystyle\lim_{x \to -2^+} y=+\infty\), suy ra $x=-2$ là đường tiệm cận đứng.

+) \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} y=+\infty\), suy ra $x=2$ là đường tiệm cận đứng.

Điều kiện xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Ta có

\(\lim\limits_{x\to -1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to -1^{+}}\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}=+\infty\) nên đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng.

\(\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}=1\) nên đường thẳng \(y=1\) là tiệm cận ngang.

\(\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}=-1\) nên đường thẳng \(y=-1\) là tiệm cận ngang.

a) Hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace 1;2\right\rbrace\).

Ta có

\(\lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=-\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=+\infty\).

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^{-}} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=-\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^{+}} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=+\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=1\), \(x=2\) là hai tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có

\(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=0\); \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}=0\).

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=0\).

Vậy hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-3}{5x^{2}-15x+10}\) có hai tiệm cận đứng là \(x=1\), \(x=2\) và tiệm cận ngang là \(y=0\).

b) Hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{x^{2}+x-1}{x}\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace 0\right\rbrace\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{-}} \displaystyle\frac{x^{2}+x-1}{x}=+\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{x^{2}+x-1}{x}=-\infty\).

Suy ra đường thẳng \(x=0\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có

\(\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x+1-\displaystyle\frac{1}{x}}{x}=1;\\ b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{x^{2}+x-1}{x}-x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x-1}{x}=1.\end{aligned}\)

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=1\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=1\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x+1\).

Vậy hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^{2}+x-1}{x}\) có tiệm cận đứng là \(x=0\) và tiệm cận xiên là \(y=x+1\).

c) Hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{16x^{2}-8x}{16x^{2}+1}\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \displaystyle\frac{16x^{2}-8x}{16x^{2}+1}=1\); \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{16x^{2}-8x}{16x^{2}+1}=1\).

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=1\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{3 x-2}{x+1}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{3-\displaystyle\frac{2}{x}}{1+\displaystyle\frac{1}{x}}=3\).

Tương tự, \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=3\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=3\).

}

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\).

Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow-2^{+}} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-2^{+}} \displaystyle\frac{3-x}{x+2}=+\infty\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=-2\).

}

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\{-1\}\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-2 x+1}{x+1}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-2+\displaystyle\frac{1}{x}}{1+\displaystyle\frac{1}{x}}=-2\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{-2 x+1}{x+1}=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{-2+\displaystyle\frac{1}{x}}{1+\displaystyle\frac{1}{x}}=-2\).

Vậy đường thẳng \(y=-2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

}

Ta có \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow + \infty}\displaystyle\frac{x + 1}{2 - x} = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\displaystyle\frac{1 + \displaystyle\frac{1}{x}}{\displaystyle\frac{2}{x} - 1} = - 1\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\displaystyle\frac{x + 1}{2 - x} = \lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\displaystyle\frac{1 + \displaystyle\frac{1}{x}}{\displaystyle\frac{2}{x} - 1} = - 1\)

nên đường thẳng \(y = -1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\displaystyle\frac{1}{2}\right\}\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{x-5}{4x+2}=\displaystyle\frac{1}{4}\) suy ra đường thẳng \(y=\displaystyle\frac{1}{4}\) là tiệm cận ngang của đồ thị.

Lại có \(\lim\limits_{x\to\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{+}}\displaystyle\frac{x-5}{4x+2}=-\infty\) suy ra đường thẳng \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.

Đồ thị không có tiệm cận xiên.

}

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Ta có: \(\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{x^{2}+2}{x}=+\infty\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=0\).

}

Vì \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{2x^2-5x+2}{x^2-4}=2\) và \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \displaystyle\frac{2x^2-5x+2}{x^2-4}=2\) nên \(y=2\) là tiệm cận ngang.

Lại có \(x^2-4=0 \Leftrightarrow x=\pm 2\) nên

+) Vì \(\lim\limits_{x \rightarrow 2} \displaystyle\frac{2x^2-5x+2}{x^2-4}=\lim\limits_{x \rightarrow 2} \displaystyle\frac{(2x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\lim\limits_{x \rightarrow 2} \displaystyle\frac{2x-1}{x+2}=\displaystyle\frac{3}{4}\) nên \(x=2\) \textbf{không} là tiệm cận đứng.

+) \(\lim\limits_{x \rightarrow -2^+} \displaystyle\frac{2x^2-5x+2}{x^2-4}=\lim\limits_{x \rightarrow -2^+} \displaystyle\frac{(2x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\lim\limits_{x \rightarrow -2^+} \displaystyle\frac{2x-1}{x+2}=-\infty\).

+) \(\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} \displaystyle\frac{2x^2-5x+2}{x^2-4}=\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} \displaystyle\frac{(2x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\lim\limits_{x \rightarrow -2-} \displaystyle\frac{2x-1}{x+2}=+\infty\).

Do đó ta có \(x=-2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có:

\(\lim _{x \rightarrow 1^{+}}f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\displaystyle\frac{x^2+2 x-3}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\displaystyle\frac{(x-1)(x+3)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}(x+3)=4\);

\(\lim _{x \rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\displaystyle\frac{x^2+2 x-3}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\displaystyle\frac{(x-1)(x+3)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}(x+3)=4.\)

Suy ra đường thẳng \(x=1\) không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x^2+2 x-3}{x-1}\).

}

Tập xác định của hàm số \( \mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{-1;1\} \).

Ta có

+) Vì \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1} = 5 \) và \( \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \displaystyle\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1} = 5 \) nên đường thẳng \( y = 5\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) \(\lim\limits_{x \rightarrow -1^+} \displaystyle\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1} = \lim\limits_{x \rightarrow -1^+ } \displaystyle\frac{5x+1}{x+1} = -\infty \) suy ra đường thẳng \(x =-1 \) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2^{\pm}}y=\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2^{\pm}}\displaystyle\frac{\sqrt{9x^2+6x+4}}{x+2}=\pm\infty\) nên đồ thị có một đường tiệm cận đứng \(x=-2\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Ta có:

\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{\displaystyle\frac{x^{2}+1}{x^{2}}}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^{2}}}=1;\)

\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(-\sqrt{\displaystyle\frac{x^{2}+1}{x^{2}}}\right)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(-\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^{2}}}\right)=-1\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có hai tiệm cận ngang là \(y=1\) và \(y=-1\).

}

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\{-2\}\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to \pm \infty}\displaystyle\frac{3x-4}{x+2}=3\).

Suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \(y=3\).

Giao điểm của hai đường thẳng \(y=3\) và \(y=4-x\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\heva{&y=3\\&y=4-x}\Leftrightarrow \heva{&x=1\\&y=3.}\)

Vậy tọa độ giao điểm càn tìm là \((1;3)\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\left\{-1\right\}\).

Ta có

+) \(\lim\limits_{x\to -1^+}\displaystyle\frac{3-x}{x+1}=+\infty\);

+) \(\lim\limits_{x\to -1^-}\displaystyle\frac{3-x}{x+1}=-\infty\);

+) \(\lim\limits_{x\to +\infty}\displaystyle\frac{3-x}{x+1}=-1\);

+) \(\lim\limits_{x\to -\infty}\displaystyle\frac{3-x}{x+1}=-1\).

Suy ra tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lần lượt có phương trình là \(x=-1\), \(y=-1\).

Vậy giao điểm của tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là \((-1;-1)\).

Hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x}{2-x}\) có tập xác đinh là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\left\{2\right\}\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to 2^+}\displaystyle\frac{2x}{2-x}=-\infty\) và \(\lim\limits_{x\to 2^-}\displaystyle\frac{2x}{2-x}=+\infty\).

Suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x=2\).

Khi đó tọa độ giao điểm của tiệm cận đứng \(x=2\) và đường thẳng \(y=2x+3\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\heva{&x=2\\&y=2x+3}\Leftrightarrow \heva{&x=2\\&y=7.}\)

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là \((2;7)\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\{2\}\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to 2^-}\displaystyle\frac{1}{2-x}=+\infty\) và \(\lim\limits_{x\to 2^+}\displaystyle\frac{1}{2-x}=-\infty\).

Suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x=2\).

Giao điểm của đường thẳng \(x=2\) và trục hoành có tọa độ là \((2;0)\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-x)]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{1}{x+2}=0\).

Tương tự \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x)]=0\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x\).

}

Ta có \(y=f(x)=\displaystyle\frac{-x^2-3x-3}{x+1}=-x-2-\displaystyle\frac{1}{x+1}\).

Mà \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(-\displaystyle\frac{1}{x+1}\right)=0\) nên đường thẳng \(y=-x-2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có:

\(a=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x^2-x+2}{x^2+x}=1\);

\(b=\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-x]=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-2 x+2}{x+1}=-2.\)

(Tương tự, \(\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=1, \lim _{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=-2\).)

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x-2\).

}

Do \(\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-(2x-1)]=\lim\limits_{x\to +\infty}\displaystyle\frac{-1}{x^2+1}=0\) nên đường thẳng \(y=2x-1\)

là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus\{2\}\).

Ta có \(\begin{aligned}[t]a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x^{2}-3 x+1}{x^{2}-2 x}=1;\\ b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-a x]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{x^{2}-3 x+1}{x-2}-x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-x+1}{x-2}=-1.\end{aligned}\)

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=1\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=-1\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x-1\).

}

Ta có \(\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x+9+\displaystyle\frac{11}{x}}{2x+5}=1;\\b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{2x^{2}+9x+11}{2x+5}-x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{4x+11}{2x+5}=2.\end{aligned}\)

Ta cũng có

\(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=1\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=2\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x+2\).

Ta có \(\lim\limits _{x \rightarrow1^+}f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow1^+}\displaystyle\frac{x^2-4 x+2}{1-x}=-\infty\).\\ Tương tự \(\lim\limits _{x \rightarrow1^-}f(x)=+\infty\).

Ta có

\(\begin{aligned}& a=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x^2-4 x+2}{x-x^2}=-1 ;\\& b=\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)+x]=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-3 x+2}{1-x}=3.\end{aligned}\)

Tương tự, \(\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=-1, \lim\limits _{x \rightarrow-\infty}[f(x)+x]=3\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=1\) tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=-x+3\).

Hàm số có \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Ta xét

+) Vì \(\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}\displaystyle\frac{2{{x}^{2}}-x+1}{x-1}=+\infty\) nên \(x =1\) là tiệm cận đứng của hàm số.

+) \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left[\displaystyle\frac{2{{x}^{2}}-x+1}{x-1} -(2x+1)\right]=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}{\displaystyle\frac{2}{x-1}}=0 \Rightarrow y=2x+1\) là tiệm cận xiên của hàm số.

Mà hai tiệm cận này cắt nhau tại \(I\ (1;3)\).

Tập xác định là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\displaystyle\frac{1}{2}\right\}\).

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle\frac{x^2-3x+4}{2x+1}=+\infty\); \(\lim\limits_{x\to-\infty}\displaystyle\frac{x^2-3x+4}{2x+1}=-\infty\) suy ra đồ thị không có tiệm cận ngang.

\(\lim\limits_{x\to\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{+}}\displaystyle\frac{x^2-3x+4}{2x+1}=+\infty\) suy ra đường thẳng \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.

Ngoài ra, ta có \(y=\displaystyle\frac{x^2-3x+4}{2x+1}=\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{7}{4}+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{23}{4}}{2x+1}\).

Mà \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{23}{4}}{2x+1}\right)=0\) nên đường thẳng \(y=\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{7}{4}\) là tiệm cận xiên của đồ thị.

}

Tập xác định \(\mathbb{R}\setminus \{1\}\).

\(\lim\limits_{x \to 1^{+}} \displaystyle\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=+\infty \), suy ra đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng.

\(\lim\limits_{x \to \pm\infty}\displaystyle\frac{f(x)}{x} =\lim\limits_{x \to \pm\infty} \displaystyle\frac{2x^2-3x+2}{x(x-1)}=2\), \(\lim\limits_{x \to \pm\infty}\left[f(x)-2x\right]=\lim\limits_{x \to \pm\infty} \displaystyle\frac{-x+2}{x-1}=-1 \).

Suy ra đường thẳng \(y=2x-1\) là tiệm cận xiên.

}

Tập xác định \(\mathscr{D}=\left(-\displaystyle\frac{1}{2};+\infty\right)\).

\(\lim\limits_{x \to \left(-\frac{1}{2}\right)^{+}} \displaystyle\frac{2x^2-x+3}{\sqrt{2x+1}}=+\infty \), suy ra đường thẳng \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng.

\(\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{f(x)}{x} =\lim\limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{2x^2-x+3}{x\sqrt{2x+1}}=+\infty \), do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.

}

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to 0^\pm}\left(x-3+\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)=+\infty\), suy ra \(x=0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lại có \(\lim\limits_{x\to \pm\infty} [y-(x-3)]=\lim\limits_{x\to \pm \infty}\displaystyle\frac{1}{x^2}=0\), suy ra \(y=x-3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

}

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace 2\right\rbrace\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^{-}} \displaystyle\frac{x^{2}+2}{2x-4}=-\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow 2^{+}} \displaystyle\frac{x^{2}+2}{2x-4}=+\infty\). Suy ra đường thẳng \(x=2\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có

\(\begin{aligned}[t]a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x+\displaystyle\frac{2}{x}}{2x-4}=\displaystyle\frac{1}{2};\\ b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{x^{2}+2}{2x-4}-\displaystyle\frac{1}{2}x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x+2}{2x-4}=1.\end{aligned}\)

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\displaystyle\frac{1}{2}\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-\displaystyle\frac{1}{2}x]=1\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=\displaystyle\frac{1}{2}x+1\).

}

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace -2\right\rbrace\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow \left(-2\right)^{-}} \displaystyle\frac{2x^{2}-3x-6}{x+2}=-\infty\). Suy ra đường thẳng \(x=-2\) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có

\(\begin{aligned}[t]a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x-3-\displaystyle\frac{6}{x}}{x+2}=2;\\ b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{2x^{2}-3x-6}{x+2}-2x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-7x-6}{x+2}=-7.\end{aligned}\)

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=2\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-2x]=-7\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=2x-7\).

}

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace -\displaystyle\frac{5}{2}\right\rbrace\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow \left(-\tfrac{5}{2}\right)^{+}} \displaystyle\frac{2x^{2}+9x+11}{2x+5}=+\infty\). Suy ra đường thẳng \(x=-\displaystyle\frac{5}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có

\(\begin{aligned}[t]a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x+9+\displaystyle\frac{11}{x}}{2x+5}=1;\\ b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{2x^{2}+9x+11}{2x+5}-x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{4x+11}{2x+5}=2.\end{aligned}\)

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=1\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=2\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x+2\).

}

Hàm số \(f(x)=x-2+\displaystyle\frac{3}{x+1}\) có tập xác đinh là \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\left\{-1\right\}\).

Ta có

+) \(\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-(x-2)]=\lim\limits_{x\to +\infty}\displaystyle\frac{3}{x+1}=x-2\);

+) \(\lim\limits_{x\to -\infty}[f(x)-(x-2)]=\lim\limits_{x\to -\infty}\displaystyle\frac{3}{x+1}=x-2\).

Suy ra tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(y=x-2\).

Giao điểm của tiệm cận xiên \(y=x-2\) và đường thẳng \(y=2x-5\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\heva{&y=x-2\\&y=2x-5}\Leftrightarrow \heva{&x-y=2\\&2x-y=5}\Leftrightarrow \heva{&x=3\\&y=1.}\)

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là \((3;1)\).

Hàm số đã cho có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\backslash\{2\}\).

Ta có

\(\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x^{2}-3 x+1}{x^{2}-2 x}=1;\\b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-a x]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{x^{2}-3 x+1}{x-2}-x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-x+1}{x-2}=-1.\end{aligned}\)

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=x-1\).

Đường thẳng cắt trục \(Ox\), \(Oy\) lần lượt tại hai điểm \(A(1;0)\) và \(B(0;-1)\).

Diện tích tam giác \(OAB\) là

\(S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot1 \cdot 1=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \{-3\}\).

Ta có

\(\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x^2-x}{x^2+3x}=2;\\b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{2x^2-x}{x+3}-2x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-7x}{x+3}=-7.\end{aligned}\)

Ta cũng có

\(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=2\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-ax]=-7\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(d\colon y=2x-7\).

Đường thẳng \(d\) cắt hai trục tọa độ tại hai điểm \(A\left(0;-7\right)\) và \(B\left(\displaystyle\frac{7}{2};0\right)\).

Ta có \(AB=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{7}{2}-0\right)^2+(0+7)^2}=\displaystyle\frac{7\sqrt{5}}{2}\).

Hàm số \(f(x)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \{-2\}\).

Hàm số \(g(x)\) có tập xác định là \((0;+\infty)\).

Ta có

\(\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{x^2-2x+1}{x^2+2x}=1;\\b&=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-ax]=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\frac{x^2-2x+1}{x+2}-x\right)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{-4x+1}{x+2}=-4.\end{aligned}\)

Ta cũng có \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}=1\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty}[f(x)-x]=-4\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là \(y=x-4\).

Đồ thị hàm số \(y=g(x)=\log_2 x\) có tiệm cận đứng là \(x=0\).

Tọa độ giao điểm cần tìm là nghiệm của hệ phương trình

\(\heva{&y=x-4\\&x=0}\Leftrightarrow \heva{&x=0\\&y=-4.}\)

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là \((0;-4)\).

Tập xác định của hàm số \( y=0{,}7^{f(x)} \) là \( \mathbb{R} \setminus \{a ; b\} \).

Xét tiệm cận đứng

\(\lim \limits_{x \to a^-} 0{,}7^{f(x)} =\lim \limits_{x \to -\infty} 0{,}7^{x} =+\infty\) \( \Rightarrow \) \( x=a \) là một tiệm cận đứng.

\(\lim \limits_{x \to b^-} 0{,}7^{f(x)} = \lim \limits_{x \to -\infty} 0{,}7^{x}=+\infty\) \( \Rightarrow \) \( x=b \) là một tiệm cận đứng.

Xét tiệm cận ngang

\(\lim \limits_{x \to -\infty} 0{,}7^{f(x)} = \lim \limits_{x \to -\infty} 0{,}7^{x}=+\infty\).

\(\lim \limits_{x \to +\infty} 0{,}7^{f(x)} = 0{,}7^{c}\) \( \Rightarrow \) \( y=0{,}7^c\) là tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có tập xác định của hàm số là \(\mathscr{D}=(a;c)\setminus\{b\}\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to a^+}\log f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\log x=-\infty\), suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là \(x=a\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to b^+}\log f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\log x=-\infty\), suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là \(x=b\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to c^-}\log f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\log x=-\infty\), suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là \(x=c\).

Vậy đồ thị hàm số \(y=\log f(x)\) có tất cả ba đường tiệm cận đứng.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

\(f(x)+1=0\Leftrightarrow f(x)=-1\Leftrightarrow \hoac{& x^2=0 \\ & x=a>1}\Leftrightarrow\hoac{& x=0\ \text{(nghiệm kép)} \\ & x=a>1.}\)

Do đó \(y=\displaystyle\frac{x}{f(x)+1}=\displaystyle\frac{x}{kx^2(x-a)}=\displaystyle\frac{1}{kx(x-a)}\).

Suy ra \(\lim \limits_{x \to 0} y=\infty\), \(\lim \limits_{x \to a} y=\infty\) và \(x=0\), \(x=a\) là các đường tiệm cận đứng.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(2f(x)-1=0 \Leftrightarrow f(x)=\displaystyle\frac{1}{2}\Leftrightarrow\hoac{&x=x_1\in (-2;0)\\&x=x_2\in (0;+\infty).}\)

Do \(\lim\limits_{x\to x_1}y=\lim\limits_{x\to x_1}\displaystyle\frac{1}{2f(x)-1}=\infty\), \(\lim\limits_{x\to x_2}y=\lim\limits_{x\to x_2}\displaystyle\frac{1}{2f(x)-1}=\infty\) nên \(x=x_1\) và \(x=x_2\) là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có \(2\) đường tiệm cận đứng.

Do \(\lim\limits_{x\to +\infty}y=\lim\limits_{x\to +\infty}\displaystyle\frac{1}{2f(x)-1}=\displaystyle\frac{1}{2\cdot 0-1}=-1\), suy ra \(y=-1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Mặt khác \(\lim\limits_{x\to -\infty}y\) không tồn tại.

Tóm lại \(y=-1\) là tiệm cận ngang duy nhất của đồ thị hàm số.

Xét hàm số \(y=\displaystyle\frac{ax+b}{2x+c}\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\displaystyle\frac{c}{2}\right\}\).

Tiệm cận ngang \(y=\displaystyle\frac{a}{2}\) và tiệm cận đứng \(x=-\displaystyle\frac{c}{2}\).

Theo đề bài, ta có

\(\heva{&\displaystyle\frac{a}{2}=2\\&-\displaystyle\frac{c}{2}=1}\Leftrightarrow\heva{&a=4\\&c=-2}\Rightarrow a+c=2\).

Ta có \(x^2-3x+2=0\Leftrightarrow\hoac{&x=1\\&x=2.}\)

Do \(\lim\limits_{x\to\pm\infty} y=0\) nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là \(y=0\).

Đồ thị hàm số có đúng hai tiệm khi và chỉ khi nó có đúng một tiệm cận đứng, khi đó \(m=1 \) hoặc \(m=2\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to+\infty} y=0\) suy ra \(y=0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Để đồ thị hàm số có \(3\) tiệm cận thì phương trình \(x^2-2mx+4=0\) có hai nghiệm phân biệt khác \(-1\), hay

\(\heva{&m^2-4>0\\&1+2m+4\neq 0}\Leftrightarrow\heva{&\hoac{&m>2\\&m < -2}\\&m\neq-\displaystyle\frac{5}{2}.}\)

Đồ thị hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{2x+1}{x+1}\) có hai đường tiệm cận là \(x=-1\) và \(y=2\).

Đồ thị hàm số \(g(x)=\displaystyle\frac{ax+1}{x+2}\) có hai đường tiệm cận là \(x=-2\) và \(y=a\).

Hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường tiệm cận của hai đồ thị trên có hai kích thước là \(1\) và \(|a-2|\).

Theo giả thiết, ta có \(|a-2|\cdot 1=4\Leftrightarrow\hoac{&a=6\\&a=-2}\). Vì \(a>0\) nên chọn \(a=6\).

a) Ta có độ dài một cạnh của mảnh vườn là \(x(m)\) nên độ dài cạnh còn lại của mảnh vườn là \(\displaystyle\frac{144}{x}(m)\).

Vậy chu vi của mảnh vườn là \(P(x)=2\left(x+\displaystyle\frac{144}{x}\right)=2x+\displaystyle\frac{72}{x}\).

b)

+) Ta có: \(\lim _{x \rightarrow+\infty} P(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} 2x+\displaystyle\frac{72}{x}=+\infty\). Tương tự, \(\lim _{x \rightarrow+\infty} P(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} \left(2x+\displaystyle\frac{72}{x}\right)=-\infty\).

Vậy đồ thị hàm số \(P(x)\) không có tiệm cận ngang.

+) Ta có: \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \left(2x+\displaystyle\frac{72}{x}\right)=+\infty\). Tương tự, \(\lim _{x \rightarrow 0^{-}} P(x)=-\infty\).

Vậy đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=0\).

+) Ta có:

\(\begin{aligned}&\lim _{x \rightarrow+\infty}[P(x)-2x]=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{72}{x}=0;\\& \lim _{x \rightarrow-\infty}[P(x)-2x]=\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{72}{x}=0.\end{aligned}\)

Vậy đồ thị hàm số \(P(x)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=2x\).

Viết lại \((C)\) dưới dạng: \(y=m x-2+\displaystyle\frac{6 m}{x+3 m}\) \(\quad (1)\).

Từ (1) suy ra cần xét các khả năng sau:

+) Nếu \(\mathrm{m}=\displaystyle\frac{1}{3}\) khi đó từ \((1)\) có \(\mathrm{y}=\displaystyle\frac{1}{3} \mathrm{x}-2\) với \(\mathrm{x} \neq 1\). Trường hợp này \((C)\) không có tiệm cận.

+) Nếu \( \mathrm{m} \neq \displaystyle\frac{1}{3}\) khi đó từ \((1)\) suy ra:

+) \((C)\) có tiệm cận đứng \(x=-3 m\)

+) \((C)\) có tiệm cận xiên \(y=m x-2\) (khi \(m=0\), thì có tiệm cận ngang \(y=-2)\)

Đoạn thẳng \( x=-3m \) vuông góc với trục hoành, nên \( y=mx-2\) tạo với tiệm cận đứng một góc \(45^\circ\) khi và chi khi nó tạo với chiểu dương của trục hoành một góc bằng \(45^\circ\) hoặc \(135^\circ\), tức là khi \(\hoac{& m=\tan 45^\circ\\ & m=\tan 135^\circ}\Leftrightarrow m=\pm 1\).

Viết lại \(\left(\mathrm{C}_m\right)\) dưới dạng: \(y=2x+2 m-3+\displaystyle\frac{2 m^2-2 m}{x-m}\) \(\quad (1)\).

Ta có \(2 m^2+2 m-3=0 \Leftrightarrow m=0\) hoặc \(m=1\). Vì thế từ \((1)\) suy ra:

+) Nếu \(m=0\), thì \(y=2 x-3\) với \(x \neq 0\left(\mathrm{C}_0\right)\) không có tiệm cận.

+) Nếu \(m=1\), thì \(y=2 x-1\), với \(x \neq 1\left(\mathrm{C}_1\right)\) không có tiệm cận.

+) Nếu \(m \neq 0, m \neq 1\), thì \(\left(\mathrm{C}_m\right)\) có tiệm cận đứng \(x=m\) và tiệm cận xiên \(y=2 x+2 m-3\).

Ta có \(\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle\frac{mx+1}{2m+1-x}=-m\).

Mặt khác

\(\lim\limits_{x\to(2m+1)^+}\displaystyle\frac{mx+1}{2m+1-x} =\lim\limits_{x\to(2m+1)^+}\displaystyle\frac{m(2m+1)+1}{2m+1-x} =\lim\limits_{x\to(2m+1)^+}\displaystyle\frac{2m^2+m+1}{2m+1-x}\).

Mà \(\heva{&\lim\limits_{x\to(2m+1)^+}\left(2m^2+m+1\right)=2m^2+m+1>0\\&\lim\limits_{x\to(2m+1)^+}(2m+1-x)=0\\&2m+1-x< 0, \forall x>2m+1.}\)

Suy ra \(\lim\limits_{x\to(2m+1)^+}\displaystyle\frac{mx+1}{2m+1-x}=-\infty \).

Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận \(x=2m+1\) và \(y=-m\).

Hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng \(3\) suy ra

\(|2m+1|\cdot|m|=3\Leftrightarrow\hoac{&2m^2+m=3\\&2m^2+m=-3(PTVN)}\Leftrightarrow 2m^2+m-3=0\Leftrightarrow\hoac{&m=1\\&m=\displaystyle\frac{-3}{2}.}\)

Ta có \(\left(C_m\right): y=2 x+m+2+\displaystyle\frac{m}{x-1}\) \(\quad (1)\).

Vậy từ \((1)\) suy ra \(\left(C_m\right)\) có tiệm cận xiên \(y=2x+m+2\) khi \(m \neq 0\). Tiệm cận xiên này cắt trục hoành tại \(A\left(-\displaystyle\frac{m+2}{2};0\right)\) và trục tung tại \((0;m+2)\).

Vì thế

\(S _{OAB}=4\Leftrightarrow\displaystyle\frac 12 OA\cdot OB=4\Leftrightarrow\displaystyle\frac 12\displaystyle\frac{|-m-2|}2\cdot| m+2|=4\Leftrightarrow| m+2|=4\Leftrightarrow\hoac{&m=2\\ & m=-6 .}\)

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(\lim\limits_{t \rightarrow+\infty}y=\lim\limits_{t \rightarrow+\infty} \left(5-\displaystyle\frac{15t}{9t^{2}+1}\right)=5\).

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=5\).

Khi thời gian \(t\) trở nên rất lớn thì nồng độ oxygen trong hồ sẽ tiến dần về \(5\) mg/l.

Ta có \(f(x)=\displaystyle\frac{C(x)}{x}=\displaystyle\frac{2x+50}{x}\).

\(f'(x)=\displaystyle\frac{-50}{x^2}\) suy ra hàm số giảm.

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}f(x) =\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{2x+50}{x}=2\).

Từ đó suy ra số sản phẩm sản xuất càng nhiều thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm càng giảm nhưng luôn lớn hơn \(2\) triệu đồng.

a) Ta có \(\displaystyle\frac{1}{d'}=\displaystyle\frac{1}{f}-\displaystyle\frac{1}{d}=\displaystyle\frac{d-f}{df}\Rightarrow d'=\displaystyle\frac{df}{d-f}=\displaystyle\frac{30d}{d-30}\).

b) Xét \(h(d)=\displaystyle\frac{30d}{d-30}\), ta có

\(\lim\limits_{d\to\pm\infty}h(d)=30\) suy ra đường thẳng \(y=30\) là tiệm cận ngang của đồ thị.

\(\lim\limits_{d\to 30^{+}}h(d)=+\infty\) suy ra đường thẳng \(x=30\) là tiệm cận đứng của đồ thị.

Đồ thị không có tiệm cận xiên.

a) Sau \(t\) phút, ta có: khối lượng muối trong bể là \(25\cdot 30\cdot t=750t\) (gam); thể tích của lượng nước trong bể là \(5\,000+25t\) (lít). Vậy nồng độ muối sau \(t\) phút là

\(f(t)=\displaystyle\frac{750t}{5\,000+25t}=\displaystyle\frac{30t}{200+t}\,\text{(gam/lít)}.\)

b) Ta có

\(\lim\limits_{t\to +\infty}f(t)=\lim\limits_{t \to +\infty}\displaystyle\frac{30t}{200+t}=\lim\limits_{t\to +\infty}\left(30-\displaystyle\frac{6\,000}{200+t}\right)=30\).

Vậy đường thẳng \(y=30\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(f(t)\).

c) Ta có đồ thị hàm số \(y=f(t)\) nhận đường thẳng \(y=30\) làm đường tiệm cận ngang, tức là khi \(t\) càng lớn thì nồng độ muối trong bể sẽ tiến gần đến mức \(30\) (gam/lít). Lúc đó, nồng độ muối trong bể sẽ gần như bằng nồng độ nước muối bơm vào bể.

Ta có \(\displaystyle\lim_{p\to 100^-}C(p)=\displaystyle\lim_{p\to 100^-}\displaystyle\frac{45p}{100-p}=+\infty\).

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(p=100\).

Ý nghĩa thực tiễn: Để loại bỏ hoàn toàn loài tảo độc trên thì chi phí vô cùng lớn (không thể thực hiện được).

a) Ta có \(\lim\limits_{x\to +\infty}\left[200\left(5+\displaystyle\frac{9}{2-x}\right)\right]=200\cdot 5=1000\).

Vậy \(y=1\,000\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=S(x)\).

b) Từ phần trên ta có thể rút ra nhận xét: khi số tháng đủ lớn thì công ty có thể bán được số sản phẩm gần bằng \(1\,000\).

a) Ta có \(f(40)=\displaystyle\frac{110\cdot40-280}{40+2}\approx 98\). Vậy tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó sau \(40\) tuần là khoảng \(98\) từ/phút.

b) Ta có \(\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=\lim\limits_{t\to+\infty}\displaystyle\frac{110t-280}{t+2}=\lim\limits_{t\to+\infty}\left(110-\displaystyle\frac{500}{t+2}\right)=110\).\\

Vậy đường thẳng \(y=110\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f(t)\).

c) Do đường thẳng \(y=110\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f(t)\) nên khi \(t\) càng lớn thì tốc độ đánh máy trung bình của học viên đó sẽ tiến gần đến mức \(110\) từ/phút.

Hàm số \(y=m(v)=\displaystyle\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\) có tập xác định \(\mathscr{D}=\left[0;c\right)\).

Ta có \(\lim\limits_{x \rightarrow c^-} \displaystyle\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=+\infty\).

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=c=300\,000\).

a) Chi phí bỏ ra để sản xuất đồ chơi là \(T(x)=50\,000+5x\) (USD).

Chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là \(M(x)=\displaystyle\frac{T(x)}{x}=\displaystyle\frac{50\,000+5x}{x}\) (với \(x\geq 1\)).

Ta có \(\lim\limits_{x\to \pm\infty}M(x)=5\).

Suy ra đường thẳng \(y=5\) là tiệm cận ngang của đồ thị.

b) Khi số đồ chơi \(A\) được sản xuất với số lượng \(x\) đủ lớn thì chi phí trung bình tiệm cận với tổng của giá nguyên liệu thô và nhân công.