1. Đường thẳng song song với mặt phẳng
Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \((P)\). Khi đó có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau:
+
+
+
wlithuyet11/lt11c4b3h1.png
2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng
#lithuyet11/lt11c4b3h2.png
3. Tính chất cơ bản của đường thẳng và mặt phẳng song song
#lithuyet11/lt11c4b3h3.png
#lithuyet11/lt11c4b3h4.png
4. Mặt phẳng đi qua một trong hai đường thẳng chéo nhau và song song với đường còn lại.
Dạng 2. Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng
Câu 1:
Cho đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \((\alpha)\). Giả sử \(b\not\subset (\alpha)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án: Nếu \(b\parallel a\) thì \(b\parallel (\alpha)\)
Lời giải:
Cho đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \((\alpha)\). Giả sử \(b\not\subset (\alpha)\). Nếu \(b\parallel a\) thì \(b\parallel (\alpha)\).
Câu 2:
Cho đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \((\alpha)\). Giả sử \(b\) không thuộc mặt phẳng \((\alpha)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án: Nếu \(b\parallel a\) thì \(b\parallel (\alpha)\)
Lời giải:
Theo định lý cho đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \((\alpha)\), giả sử \(b\) không thuộc mặt phẳng \((\alpha)\) nếu \(b\parallel a\) thì \(b\parallel (\alpha)\).
Câu 1:
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(N\) là trung điểm của \(AC\). Đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
Đáp án: \((BCD)\)
Lời giải:
\(M\) là trung điểm của \(AB\), \(N\) là trung điểm của \(AC\). Suy ra, \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\).
\(\Rightarrow MN \parallel BC \Rightarrow MN \parallel (BCD)\)
Câu 2:
Cho tứ diện \(ABCD\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABD\) và \(M\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BM=2MC\). Đường thẳng \(MG\) song song với mặt phẳng
Đáp án: \((ACD)\)
Lời giải:
Gọi \(E\) là trung điểm \(AD\). Ta có \(\displaystyle\frac{BM}{BC}=\displaystyle\frac{BG}{BE}=\displaystyle\frac{2}{3}\).
Suy ra \(MG\parallel CE\) mà \(CE\subset (ACD)\) nên \(MG\parallel (ACD)\).
Câu 1:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình thang với \(BC\) là đáy bé. Xác định giao tuyến của \(2\) mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\)
Đáp án: Đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AD\)
Lời giải:
Ta có \(\begin{cases} AD\in (SAD) \\ BC\in (SBC)\\ S\in (SAD)\cap (SBC)\\ AD\parallel BC\end{cases}\Rightarrow (SBC)\cap (SAD)=Sx\parallel AD\parallel BC\).
Câu 2:
Cho hình chóp \( S.ABCD \), đáy \( ABCD \) là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng \( (SAD) \) và \( (SBC) \) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
Đáp án: \(AD\)
Lời giải:
Ta có
\(\begin{cases} AD\parallel BC\\S\in (SAD)\cap (SBC)\end{cases}\Rightarrow (SAD)\cap (SBC)=Sx\parallel AD \).
Câu 1:
Cho tứ diện \(ABCD\). Từ điểm \(M\) trên cạnh \(AC\) (\(M\) khác \(A\), \(C\)) dựng một mặt phẳng \((\alpha)\) song song \(AB\) và \(CD\). Mặt phẳng này lần lượt cắt \(BC\), \(BD\), \(AD\) tại \(N\), \(P\), \(Q\). Cho \(AB=a\), \(CD=b\). Khi \(M\) di động trên \(AC\), tìm hệ thức giữa \(a\) và \(b\) sao cho chu vi \(MNPQ\) không đổi.
Đáp án: \(a=b\)
Lời giải:
Do \((\alpha)\) song song với \(AB\) nên giao tuyến của \((\alpha)\) với các mặt phẳng \((ABC)\), \((ABD)\) cũng song song với \(AB\), suy ra \(MN\parallel QP\).
Tương tự, ta cũng có \(MQ\parallel CD\), \(NP\parallel CD\) nên \(MQ\parallel NP\).
Do vậy \(MNPQ\) là hình hình hành.
Đặt \(\displaystyle\frac{AM}{AC}=x\).
Ta có
\(\displaystyle\frac{NP}{CD}=\displaystyle\frac{BN}{BC}=\displaystyle\frac{AM}{AC}=x\Rightarrow NP=x b.\)
Lại có,
\(\displaystyle\frac{MN}{AB}=\displaystyle\frac{CM}{AC}=1-x\Rightarrow MN=(1-x)a.\)
Chu vi của hình bình hành \(MNPQ\) là
\(C=2(MN+NP)=2\left[(1-x)a+bx \right]=2\left[a+(b-a)x \right]. \)
Vậy chu vi của \(MNPQ\) không đổi khi và chỉ khi \(a=b\).
Câu 2:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang, đáy lớn là \(AB\), \(M\) là trung điểm của \(CD\). Mặt phẳng \((\alpha)\) qua \(M\), song song với các đường thẳng \(BC\) và \(SA\). Mặt phẳng \((\alpha)\) cắt \(AB\), \(SB\) lần lượt tại \(N\) và \(P\). Xác định thiết diện của mặt phẳng \((\alpha)\) với hình chóp \(S.ABCD\).
Đáp án: Thiết diện là một hình thang có đáy lớn là \(MN\)
Lời giải:
Gọi \(Q=(\alpha)\cap SC\).
Ta có
+) \(\begin{cases}(\alpha)\cap (ABCD)=MN\\BC\parallel (\alpha)\end{cases}\Rightarrow MN\parallel BC\).
+) \(\begin{cases}(\alpha)\cap (SBC)=PQ\\BC\parallel (\alpha)\end{cases}\Rightarrow PQ\parallel BC\).
Lại có \(MN=BC>PQ\) nên thiết diện là hình thang \(MNPQ\) có đáy lớn là \(MN\).
Câu 1:
Cho tứ diện \(ABCD\). Các điểm \( M\), \( N\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\), điểm \( G\) là trọng tâm của tam giác \( BCD\). Gọi \( I\) là giao điểm của hai đường thẳng \( MN\) và \( AG\). Tính tỉ số \(\displaystyle\frac{IM}{IN}\).
Đáp án: \( 1\)
Lời giải:
Áp dụng định lí Me-ne-na-uyt cho tam giác \(BMN\) với cát tuyến \((A,I,G)\) ta được
\(\displaystyle\frac{IM}{IN} \cdot \displaystyle\frac{GN}{GB} \cdot \displaystyle\frac{AB}{AM} = 1\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{IM}{IN} \cdot \displaystyle\frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{IM}{IN}=1.\)
Câu 2:
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Một mặt phẳng chứa \(AC'\) và song song với \(BD\) cắt hình lập phương theo một thiết diện có diện tích bằng
Đáp án: \(a^{2}\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Lời giải:
Giả sử \((P)\) là mặt phẳng qua \(AC'\) và song song với \(BD\), khi đó \((P)\) sẽ cắt \((ABCD)\) theo giao tuyến \(d\) đi qua \(A\) và song song với \(BD\).
Kéo dài \(d\cap BC\equiv I\), \(d\cap CD\equiv J\).
Trong mặt phẳng \((BCC'B')\) kẻ \(IC'\cap BB'\equiv M\).
Trong mặt phẳng \((CDD'C')\) kẻ \(JC'\cap DD'\equiv N\).
Vậy thiết diện là tứ giác \(AMC'N\) và nó là hình thoi.
Ta có \(\displaystyle\frac{S_{IJC}}{S_{IJC'}}=\cos\widehat{CAC'}=\displaystyle\frac{AC}{AC'}\), suy ra
\(S_{IJC'}=\displaystyle\frac{AC'\cdot S_{IJC}}{AC}=\displaystyle\frac{AC'\cdot 2\cdot S_{ABCD}}{AC}=a^2\sqrt{6}\).
Mặt khác \(S_{IJC'}=2S_{AMC'N}\Rightarrow S_{AMC'N}=\displaystyle\frac{a^2\sqrt{6}}{2}\).
Câu 1:
Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA\), \(SC\). Chứng minh rằng đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng \((ABCD)\).
Vì \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA\), \(SC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\). Suy ra \(MN\parallel AC\). Do \(AC \subset(ABCD)\), nên \(M N \parallel (ABCD)\).
Câu 2:
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABD\), điểm \(I\) nằm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BI=2IC\). Chứng minh rằng \(IG\) song song với mặt phẳng \((ACD)\).
Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AD\).
Xét tam giác \(BCM\) có \(\displaystyle\frac{BI}{BC}=\displaystyle\frac{BG}{BM}=\displaystyle\frac{2}{3}\Rightarrow IG\parallel CM\).
Mà \(CM \subset (ACD)\) và \(IG \not\subset (ACD)\) nên suy ra \(IG \parallel (ACD)\).
Câu 3:
Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Lấy các điểm \(M\), \(N\) lần lượt thuộc các đường chéo \(AC\) và \(BF\) sao cho \(MC=2MA\); \(NF=2NB\). Qua \(M\), \(N\) ké các đường thẳng song song với \(AB\), cắt các cạnh \(AD\), \(AF\) lần lượt tại \(M_1\), \(N_1\). Chứng minh rằng
a) \(MN \parallel DE\);
b) \(M_1N_1 \parallel (DEF)\);
c) \(\left(MNN_1M_1\right) \parallel (DEF)\).
a) Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\), ta có \(AO\) là trung tuyến và \(\displaystyle\frac{AM}{AO}=\displaystyle\frac{2AM}{AC}=\displaystyle\frac{2}{3}\).
Suy ra \(M\) là trọng tâm của tam giác \(ABD\), tương tự \(N\) là trọng tâm tam giác \(ABE\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) thì \(M\), \(N\) lần lượt trên \(DI\) và \(EI\).
Trong tam giác \(IDE\) ta có \(\displaystyle\frac{IM}{ID}=\displaystyle\frac{IN}{IE}=\displaystyle\frac{1}{3}\) nên \(MN \parallel DE\) và \(MN=\displaystyle\frac{1}{3} DE\).
b) Trong tam giác \(FAB có NN_1 \parallel AB \Rightarrow \displaystyle\frac{AN_1}{AF}=\displaystyle\frac{BN}{BF}=\displaystyle\frac{1}{3}\).
Trong tam giác \(DAB\) có \(MM_1 \parallel AB \Rightarrow \displaystyle\frac{AM_1}{AD}=\displaystyle\frac{DM}{DI}=\displaystyle\frac{1}{3}\).
Do đó \(\displaystyle\frac{AN_1}{AF}=\displaystyle\frac{AM_1}{AD}\) nên \(M_1N_1 \parallel DF\).
Mà \(DF \subset(DEF)\) suy ra \(M_1N_1 \parallel (DEF)\).
c) Ta có \(M_1N_1 \parallel DF\), \(NN_1 \parallel EF\).
Mà \(M_1N_1\) và \(NN_1\) cắt nhau và nằm trong mặt phẳng \(\left(MNN_1M_1\right)\), còn \(DF\) và \(EF\) cắt nhau và nằm trong mặt phẳng \((DEF)\).
Vậy \(\left(MNN_1M_1\right) \parallel (DEF)\).
Câu 4:
Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(ABF\) và \(ABC\). Chứng minh rằng đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng \((ACF)\).
Gọi \(H\), \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AF\), \(AC\).
Ta có \(\displaystyle\frac{BM}{BH}=\displaystyle\frac{BN}{BK}=\displaystyle\frac{2}{3}\Rightarrow MN \parallel HK\).
Mà \(HK\subset (ACF)\) và \(MN \not\subset (ACF)\Rightarrow MN \parallel (ACF)\).
Câu 5:
Cho tứ diện \(ABCD\) và điểm \(M\) thuộc cạnh \(AB\). Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng qua \(M\), song song với hai đường thẳng \(B C\) và \(AD\). Gọi \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là giao điểm của mặt phẳng \((\alpha)\) với các cạnh \(AC\), \(CD\) và \(DB\).
a) Chứng minh \(MNPQ\) là hình bình hành.
b) Trong trường hợp nào thì \(MNPQ\) là hình thoi?
a) Ta có \(\begin{cases}MN \parallel BC\\QP \parallel BC\end{cases}\Rightarrow MN \parallel QP\quad (1).\)
Ta có \(\begin{cases}NP \parallel AD\\MQ \parallel AD\end{cases}\Rightarrow NP \parallel MQ \quad (2).\)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành.
b) Để hình bình hành \(MNPQ\) là hình thoi thì ta cần \(MQ=PQ\).
Để \(MQ=PQ\) ta cần \(M\) là trung điểm \(AB\) và \(AD=BC\).
Vậy để \(MNPQ\) là hình thoi ta cần bổ sung thêm \(M\) là trung điểm \(AB\) và \(AD=BC\).
}
Câu 6:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang \((AB\parallel CD)\) và \(AB=2CD\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(SA\), \(SB\). Chứng minh rằng
a) \(MN\parallel (SCD)\);
b) \(DM\parallel (SBC)\);
c) Lấy điểm \(I\) thuộc cạnh \(SD\) sao cho \(\displaystyle\frac{SI}{SD}=\displaystyle\frac{2}{3}\). Chứng minh rằng \(SB\parallel (AIC)\).
a) Chứng minh \(MN\parallel (SCD)\).
Ta có \(\begin{cases}MN\parallel AB\\CD\parallel AB\end{cases}\Rightarrow MN\parallel CD\).
Khi đó \(\begin{cases}MN\parallel CD\\CD\subset (SCD)\\MN\not\subset (SCD)\end{cases}\Rightarrow MN\parallel (SCD)\).
b) Chứng minh \(DM\parallel (SBC)\).
Ta có \(\begin{cases}MN\parallel CD\\MN=CD\left(=\displaystyle\frac{AB}{2}\right)\end{cases}\Rightarrow MNCD\) là hình bình hành.
Do đó \(DM\parallel CN\).
Khi đó \(\begin{cases}DM\parallel CN\\CN\subset (SBC)\\DM\not\subset (SBC)\end{cases}\Rightarrow DM\parallel (SBC)\).
c) Chứng minh \(SB\parallel (AIC)\).
Gọi \(E=AC\cap BD\).
Ta có \(\displaystyle\frac{DE}{EB}=\displaystyle\frac{CD}{AB}=\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow \displaystyle\frac{DE}{DB}=\displaystyle\frac{1}{3}\).
Theo giả thiết ta có \(\displaystyle\frac{DI}{SD}=\displaystyle\frac{1}{3}\Rightarrow IE\parallel SB\).
Khi đó \(\begin{cases}SB\parallel IE\\IE\subset (AIC)\\SB\not\subset (AIC)\end{cases}\Rightarrow SB\parallel (AIC)\).
Câu 7:
Cho tứ diện \(ABCD\). Trên cạnh \(AB\) lấy một điểm \(M\). Gọi \((R)\) là mặt phẳng qua \(M\) và song song với hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\). Xác định giao tuyến của mặt phẳng \((R)\) với mặt phẳng \((ABC)\).
Mặt phẳng \((R)\) đi qua \(M\) và song song với \(AC\), mà \(AC \subset(ABC)\) nên mặt phẳng \((R)\) cắt mặt phẳng \((ABC)\) theo giao tuyến \(p\) đi qua \(M\) và song song với \(AC\).
Câu 8:
Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không nằm trong cùng một mặt phẳng. Gọi \(O\) và \(O'\) lần lượt là tâm của \(ABCD\) và \(ABEF\).
a) Chứng minh đường thẳng \(O O'\) song song với các mặt phẳng \((CDFE)\), \((A D F)\) và \((B C E)\).
b) Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(A F\) và \(B E\). Chứng minh \(M N \parallel (C D F E)\).
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((O M N)\) và \((A B C D)\).
a) Ta có \(\begin{cases}OO'\not\subset (CDFE)\\OO'\parallel DF \\DF\subset (CDFE)\end{cases}\Rightarrow OO'\parallel (CDFE)\).
Ta có \(\begin{cases}OO'\not\subset (ADF)\\OO'\parallel DF \\DF\subset (ADF)\end{cases}\Rightarrow OO'\parallel (ADF)\).
Ta có \(\begin{cases}OO'\not\subset (BCE)\\OO'\parallel CE \\CE\subset (BCE)\end{cases}\Rightarrow OO'\parallel (BCE)\).
b) Ta có \(\begin{cases}MN\not\subset (CDFE)\\MN\parallel FE \\FE\subset (CDFE)\end{cases}\Rightarrow MN\parallel (CDFE).\)
c) Ta có \(\begin{cases}O\in (OMN)\cap (ABCD) \\MN \subset (OMN)\\AB \subset (ABCD)\\MN \parallel AB\end{cases}\Rightarrow (OMN)\cap (ABCD)=Ox\, \text{ với } Ox \parallel MN\parallel AB.\)
}
Câu 9:
Cho tứ diện \(ABCD\). Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(M\) sao cho \(BM=3AM\). Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M\) song song với hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\).
a) Xác định giao điểm \(K\) của mặt phẳng \((P)\) với đường thẳng \(CD\).
b) Tính tỉ số \(\displaystyle\frac{KC}{CD}\).
a) Xét \((P)\) và \((ABC)\) có \(M\) là điểm chung, \(BC\parallel (P)\) nên \((P)\cap (ABC)=MH\parallel BC\), \(H\in AC\).
Tương tự ta có \((P)\cap (BCD)=HK\parallel AD\), \(K\in CD\).
b) Ta có \(\displaystyle\frac{KC}{CD}=\displaystyle\frac{CH}{CA}=\displaystyle\frac{MB}{AB}=\displaystyle\frac{3}{4}\).
Câu 10:
Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình bình hành có \(O\) là giao điểm hai đường chéo. Cho \(M\) là trung điểm của \(S C\).
a) Chứng minh đường thẳng \(O M\) song song với hai mặt phẳng \((S A D)\) và \((SAB)\).
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((O M D)\) và \((S A D)\).
a) Ta có \(\begin{cases}OM\not\subset (SAD)\\OM \parallel SA \,(\text{đường trung bình})\\SA \subset (SAD)\end{cases}\Rightarrow OM\parallel(SAD).\)
Ta có \(\begin{cases}OM\not\subset (SAB)\\OM \parallel SA \,(\text{đường trung bình})\\SA \subset (SAB)\end{cases}\Rightarrow OM\parallel(SAB).\)
b) Ta có \(\begin{cases}D\in (OMD)\cap (SAD) \\SA \subset (SAD)\\OM \subset (OMD)\\OM \parallel SA.\end{cases}\)
\(\Rightarrow (OMD)\cap (SAD)=Dx\, \text{ với } Dx \parallel OM\parallel SA\).
}
Câu 11:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và một điểm \(M\) di động trên cạnh \(A D\). Một mặt phẳng \((\alpha)\) qua \(M\), song song với \(CD\) và \(SA\), cắt \(BC\), \(SC\), \(SD\) lần lượt tại \(N\), \(P\), \(Q\).
a) \(MNPQ\) là hình gì?
b) Gọi \(I=M Q \cap N P\). Chứng minh rằng \(I\) luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi \(M\) di động trên \(A D\).
a) Ta có \(PQ \parallel CD\) và \(NM \parallel CD \Rightarrow PQ \parallel NM\).
Vậy tứ giác \(MNPQ\) là hình thang.
b) Ta có \(\begin{cases}S\in (SAD)\cap (SBC) \\AD \subset (SAD)\\BC \subset (SBC)\\AD \parallel BC\end{cases}\)
\(\Rightarrow (SAD)\cap (SBC)=Sx\, \text{ với } Sx \parallel AD\parallel BC.\)
Ta có \(I=M Q \cap N P\Rightarrow \begin{cases}I\in MQ\subset (SAD)\\I\in NP \subset (SBC).\end{cases}\)
\(\Rightarrow I \in (SAD)\cap (SBC)=Sx\). Mà \(Sx\) cố định.
Vậy \(I\) luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi \(M\) di động trên \(A D\).
}
Câu 12:
Cho hình chóp \(S. ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang, đáy lớn \(AB\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), \((P)\) là mặt phẳng qua \(M\) song song với \(SA\) và \(BC\). Tìm giao tuyến của \((P)\) với các mặt của hình chóp \(S.ABCD\).
Trong \((ABCD)\) kẻ đường thẳng qua \(M\) song song \(BC\) cắt \(AB\) tại \(N\).
Trong \((SAB)\) kẻ đường thẳng qua \(N\) song song \(SA\) cắt \(SB\) tại \(P\).
Trong \((SBC)\) kẻ đường thẳng qua \(P\) song song \(BC\) cắt \(SC\) tại \(Q\).
Khi đó ta có \((P)\cap (ABCD)=MN\), \((P)\cap (SAB)=NP\), \((P)\cap (SBC)=PQ\), \((P)\cap (SDC)=QM\).
}