\(\S2.\) ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(\Delta\colon \begin{cases}x=3-t\\y=1+2t\end{cases}\,\left(t\in\mathbb{R}\right)\). Điểm nào sau đây nằm trên đường thẳng \(\Delta\)?

\(D(3;1)\)
\(B(-1;2)\)
\(A(1;2)\)
\(C(3;-1)\)

Đáp án: \(D(3;1)\)

Lời giải:

Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng \(\Delta\) ta thấy điểm \(D(3;1)\) thuộc \(\Delta\).

Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta\colon x-y+2=0\). Điểm nào dưới đây không thuộc \(\Delta\)?

\(P(1; 3)\)
\(N(0; 2)\)
\(Q(3; 5)\)
\(M(2; 0)\)

Đáp án: \(M(2; 0)\)

Lời giải:

Thay tọa độ các điểm \(M,N,P,Q\) vào \(\Delta \), ta thấy điểm không thuộc \(\Delta \) là \(M(2;0)\).

Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có một vtcp hoặc vtpt

Câu 1:

Phương trình đường thẳng đi qua \(A(-2;1)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(4;5)\) là

\(\begin{cases} x= -2-5t \\ y=1+4t\end{cases}\)
\(\begin{cases} x= 4-2t \\ y=5+t\end{cases}\)
\(\begin{cases} x= -2+4t \\ y=1+5t\end{cases}\)
\(4x+5y+3=0\)

Đáp án: \(\begin{cases} x= -2+4t \\ y=1+5t\end{cases}\)

Lời giải:

Đường thẳng đi qua \(A(-2;1)\), véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(4;5)\) có phương trình là \(\begin{cases} x= -2+4t \\ y=1+5t.\end{cases}\)

Câu 2:

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(M(3;-1)\) và có một véc-tơ chỉ phương \((2;-1)\).

\(2x+y-5=0\)
\(2x-y-7=0\)
\(x+2y-1=0\)
\(x-2y-5=0\)

Đáp án: \(x+2y-1=0\)

Lời giải:

Gọi \(d\) là đường thẳng cần tìm.

Do \(d\) có một véc-tơ chỉ phương, suy ra \(d\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(1;2)\).

Phương trình tổng quát của \(d\) là

\( 1\cdot (x-3) + 2 \cdot (y+1) = 0\) \(\Leftrightarrow x+2y-1=0.\)

Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Câu 1:

Cho \(A(2 ;-1)\), \(B(4 ; 5)\). Đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) có phương trình là

\(x+3y-9=0\)
\(2x+6y-13=0\)
\(3x+2y-18=0\)
\(3x-y-7=0\)

Đáp án: \(3x-y-7=0\)

Lời giải:

\(\overrightarrow{AB}=(2;6)\).

Trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) có tọa độ \((3;2)\).

Đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) đi qua \(I(3;2)\) với một véc-tơ pháp tuyến \((3;-1)\) có phương trình là \(3(x-3)-(y-2)=0\) hay \(3x-y-7=0\).

Câu 2:

Cho \(A(1;1)\) và \(B(2;3)\). Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) là

\(-x+2y-1=0\)
\(x-2y+1=0\)
\(2x+y-1=0\)
\(2x-y-1=0\)

Đáp án: \(2x-y-1=0\)

Lời giải:

Gọi đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) là \(d\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(1;2)\) là một VTCP của \(d\).

Ta có VTPT của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{n}_d=(2;-1)\).

Phương trình đường thẳng cần tìm là \(2(x-1)-(y-1)=0\) \(\Leftrightarrow 2x-y-1=0.\)

Dạng 5. Viết phương trình đường thẳng song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước

Câu 1:

Cho tam giác \(ABC\), biết \(A(-2;3)\), \(B(4;1)\), \(C(1;-2)\). Đường cao hạ từ đỉnh \(A\) của tam giác có phương trình là

\(x+y-5=0\)
\(x+y-1=0\)
\(x+2y-4=0\)
\(x-y+5=0\)

Đáp án: \(x+y-1=0\)

Lời giải:

Gọi \(d\) là đường thẳng chứa đường cao cao hạ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\).

\(d\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow{BC}=(-3;-3)\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là

\(a(x-x_0)+b(y-y_0)=0\) \(\Leftrightarrow -3(x+2)-3(y-3)=0\) \(\Leftrightarrow x+y-1=0.\)

Câu 2:

Viết phương trình đường thẳng \((d)\) đi qua \(M(2;1)\) và song song với đường thẳng \((\Delta)\colon y=\displaystyle\frac{-1}{2}x-2\).

\((d)\colon y=\displaystyle\frac{1}{2}x+2\)
\((d)\colon y=\displaystyle\frac{-1}{2}x+4\)
\((d)\colon y=2x+4\)
\((d)\colon y=\displaystyle\frac{-1}{2}x+2\)

Đáp án: \((d)\colon y=\displaystyle\frac{-1}{2}x+2\)

Lời giải:

Ta có \((d)\parallel (\Delta)\colon y=\displaystyle\frac{-1}{2}x-2 \Rightarrow (d)\) có dạng \((d)\colon y=\displaystyle\frac{-1}{2}x+m\; (m\ne -2)\)

Theo đề \(M(2;1)\in (d) \Leftrightarrow 1=\displaystyle\frac{-1}{2}\cdot 2+m \Leftrightarrow m=2\) (nhận)

Vậy \((d)\colon y=\displaystyle\frac{-1}{2}x+2\).

Dạng 6. Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Câu 1:

Khoảng cách từ điểm \( M(0;1) \) đến đường thẳng \(\Delta\colon 5x-12y-1=0\) là

\( 1 \)
\( \displaystyle\frac{13}{17} \)
\( \sqrt{13} \)
\( \displaystyle\frac{11}{35} \)

Đáp án: \( 1 \)

Lời giải:

Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta\) là \(d\left(M,\Delta \right) = \displaystyle\frac{\left|5\cdot 0 - 12 \cdot 1 -1 \right|}{\sqrt{5^2+(-12)^2}}=1\).

Câu 2:

Cho \(\triangle ABC\) có \(A(3;4)\), \(B(1;1)\) và \(C(2;1)\). Đường cao kẻ từ \(A\) của \(\triangle ABC\) có độ dài là

\(4\)
\(3\)
\(2\)
\(5\)

Đáp án: \(3\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{BC}=(1;0)\). Suy ra véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \(BC\) là \(\overrightarrow{n}=(0;1)\).

Đường thẳng \(BC\) đi qua \(B(1;1)\) và có VTPT \(\overrightarrow{n}=(0;1)\) nên có phương trình là \(y-1=0\).

Độ dài đường cao kẻ từ \(A\) của \(\triangle ABC\) đúng bằng khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(BC\).

Ta có \(\mathrm{d}(A, BC)=|4-1|=3\).

Vậy độ dài của đường cao kẻ từ \(A\) bằng 3.

Dạng 7. Tính góc giữa hai đường thẳng

Câu 1:

Cho hai đường thẳng \(d_1\colon x+\sqrt{3}y-4=0\) và \(d_2\colon x-\sqrt{3}y+1=0\). Tính số đo góc tạo bởi \(d_1\) và \(d_2\).

\(120^\circ\)
\(60^\circ\)
\(30^\circ\)
\(-60^\circ\)

Đáp án: \(60^\circ\)

Lời giải:

\(\bullet\,\) Đường thẳng \(d_1\), \(d_2\) lần lượt có các véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=(1;\sqrt{3})\), \(\overrightarrow{n_2}=(1;-\sqrt{3})\).

\(\bullet\,\) Ta có \(|\overrightarrow{n_1}|=|\overrightarrow{n_2}|=2\) và \(\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=-2\).

\(\bullet\,\) Gọi \(\alpha\) là góc tạo bởi \(d_1\) và \(d_2\), khi đó \(\cos \alpha=\displaystyle\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}=\displaystyle\frac{1}{2}\), suy ra \(\alpha=60^\circ\).

Câu 2:

Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \(\Delta_1\colon x+2y-6=0\) và \(\Delta_2\colon x-3y+9=0\). Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\). Khi đó

\(\varphi=135^\circ\)
\(\varphi=30^\circ\)
\(\varphi=60^\circ\)
\(\varphi=45^\circ\)

Đáp án: \(\varphi=45^\circ\)

Lời giải:

Véc-tơ pháp tuyến của \(\Delta_1\) là \(\overrightarrow{n}_1=(1;2)\).

Véc-tơ pháp tuyến của \(\Delta_2\) là \(\overrightarrow{n}_2=(1;-3)\).

Ta có \(\cos \varphi=\displaystyle\frac{|1\cdot 1 +2\cdot (-3)|}{\sqrt{1^2+2^2}\cdot\sqrt{1^2+(-3)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \varphi=45^\circ\).

Dạng 8. Bài toán chứa tham số

Câu 1:

Đường thẳng \(\Delta\colon 3 x-2 y-7=0\) cắt đường thẳng nào sau đây?

\(d_4\colon 6 x-4 y-14=0\)
\(d_2\colon 3 x-2 y=0\)
\(d_1\colon 3 x+2 y=0\)
\(d_3\colon-3 x+2 y-7=0\)

Đáp án: \(d_1\colon 3 x+2 y=0\)

Lời giải:

Do \( \overrightarrow{n}_{\Delta}=(3;-2) \) không cùng phương với \( \overrightarrow{n}_{d_1}=(3;2) \) nên đường thẳng \(\Delta\) cắt đường thẳng \( d_1 \).

Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \(\Delta\colon \begin{cases}x=1+3t\\y=-1-2t\end{cases}\), \(d\colon 6x-4y-2=0\). Chọn phát biểu đúng.