\(\S2.\) ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

Lỗi khi trích xuất lý thuyết từ dữ liệu

Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn

Xác định véctơ chỉ phương, véctơ pháp tuyến

Dạng 2. Xác định điểm thuộc đường thẳng

Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có một vtcp hoặc vtpt

Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Dạng 5. Viết phương trình đường thẳng song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước

Dạng 6. Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Dạng 7. Tính góc giữa hai đường thẳng

Dạng 8. Bài toán chứa tham số

Dạng 1. Xác định véctơ chỉ phương, véctơ pháp tuyến

Câu 1:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\colon \begin{cases}x=2+3t\\y=1-4t\end{cases}\), một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) có tọa độ là

Đáp án: \((3;-4)\)

Lời giải:

Đường thẳng \(d\colon \begin{cases}x=2+3t\\y=1-4t\end{cases}\) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a}=(3;-4)\).

Câu 2:

Cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(2x+3y-4=0\). Véc-tơ nào sau đây là một véc-tơ pháp tuyến của \(d\)?

Đáp án: \(\overrightarrow{n}_2=(2;3)\)

Lời giải:

Véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{n}_2=(2;3)\).

Dạng 2. Xác định điểm thuộc đường thẳng

Câu 1:

Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(x-3y-2=0\) đi qua điểm nào sau đây

Đáp án: \(\left(2;0\right)\)

Lời giải:

Ta có \(2-3\cdot 0 -2=0\) nên đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm có tọa độ \(\left(2;0\right)\).

Câu 2:

Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tổng quát là \(x+y-2=0\). Điểm nào dưới đây không thuộc \(d\)?

Đáp án: \(M(3;1)\)

Lời giải:

Xét điểm \(M(3;1)\), ta có \(3+1-2=2\ne 0\) nên \(M\not\in d\).

Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có một vtcp hoặc vtpt

Câu 1:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường thẳng \(d\) đi qua điểm \((1; -2)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(3; 5)\) có phương trình tham số là

Đáp án: \(d\colon \begin{cases}x=1+3t\\y=-2+5t\end{cases}\)

Lời giải:

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \((1; -2)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(3; 5)\) có phương trình tham số là \(d\colon \begin{cases}x=1+3t\\y=-2+5t.\end{cases}\)

Câu 2:

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\begin{cases}x=t\\y=2+t\end{cases}\) là

Đáp án: \(x-y+2=0\)

Lời giải:

Đường thẳng \(\begin{cases}x=t\\y=2+t\end{cases}\) qua \(M(0;2)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(1;1)\Rightarrow\) véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(1;-1)\).

Khi đó đường thẳng đã cho có phương trình tổng quát là

\(1(x-0)-1(y-2)=0\) hay \(x-y+2=0\).

Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Câu 1:

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho hai điểm \(A(1;-3), B(-2;5)\). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \(A, B\)?

Đáp án: \(8x+3y+1=0\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow {AB}=(-3;8)\) \(\Rightarrow \overrightarrow {n}=(8;3)\) là\overrightarrow-tơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm \(A, B\).

Phương trình đường thẳng có\overrightarrow-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n}=(8;3)\) và đi qua \(A\) có dạng

\(8(x-1)+3(y+3)=0\) \(\Leftrightarrow 8x+3y+1=0.\)

Câu 2:

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left(12;8\right)\) và \(B\left(25;4\right)\) là

Đáp án: \(4x+13y-152=0\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(13;-4\right)\) nên \(\overrightarrow{n}=\left(4;13\right)\) là một véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là

\(4\left(x-25\right)+13\left(y-4\right)=0\) \(\Leftrightarrow 4x+13y-152=0\).

Dạng 5. Viết phương trình đường thẳng song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước

Câu 1:

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(d \colon 2x-y+7=0\) và điểm \(M(3;-5)\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) qua \(M\) và song song với đường thẳng \(d\).

Đáp án: \(\Delta \colon 2x-y-11=0\)

Lời giải:

Ta có \(\Delta\parallel d\) nên phương trình \(\Delta\) có dạng \(2x-y+c=0\), \(\left(c \ne 7\right)\).

Mà \(M \in \Delta\) nên \(2 \cdot 3+5+c=0\) \(\Leftrightarrow c=-11\).

Vậy \(\Delta \colon 2x-y-11=0\).

Câu 2:

Viết phương trình tổng quát của đường cao đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) biết toạ độ các đỉnh \(A\left( 3;4 \right)\), \(B\left( -2;5 \right)\), \(C\left( 7;7 \right)\).

Đáp án: \(9x+2y-35=0\)

Lời giải:

Gọi \(d\) là đường cao từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\), khi đó \(d \perp BC\).

Suy ra một véc-tơ pháp tuyến của \(d\) là \(\overrightarrow{n_{d}}=\overrightarrow{BC}=\left( 9;2 \right)\).

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{d}}=\left( 9;2 \right)\) là

\( 9 \left( x-3 \right)+2\left( y-4 \right)=0\) \(\Leftrightarrow 9x+2y-35=0. \)

Dạng 6. Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Câu 1:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), khoảng cách từ điểm \(M(2;-1)\) đến đường thẳng \(\Delta \colon 3x-4y-12=0\) bằng

Đáp án: \(\displaystyle\frac{2}{5}\)

Lời giải:

Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta\) là

\(\mathrm{d}\left(M,\Delta\right)=\displaystyle\frac{|6+4-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\displaystyle\frac{2}{5}.\)

Câu 2:

Trong mặt phẳng \(O x y\), khoảng cách từ điểm \(M(-3 ; 4)\) đến đường thẳng \(\Delta\colon 4 x+3 y-12=0\) bằng

Đáp án: \(\displaystyle\frac{12}{5}\)

Lời giải:

Theo công thức khoảng cách từ điểm đến mặt ta có \(\mathrm{d}(M,\Delta)=\displaystyle\frac{|4\cdot(-3)+4\cdot3-12|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\displaystyle\frac{12}{5}\).

Dạng 7. Tính góc giữa hai đường thẳng

Câu 1:

Cho hai đường thẳng \(d\colon 3x+4y-2=0\) và \(\Delta\colon \begin{cases}x=5-t \\ y=-3+2 t\end{cases}\). Tính cô-sin góc \(\alpha\) giữa \(d\) và \(\Delta\)

Đáp án: \(\cos \alpha=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\)

Lời giải:

Véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(\Delta\) lần lượt là \(\overrightarrow{n}_1=(3;4)\) và \(\overrightarrow{n}_2=(2;1)\).

Khi đó \(\cos (d,\Delta)=\displaystyle\frac{\left| \overrightarrow{n}_1\cdot \overrightarrow{n}_1\right| }{\left| \overrightarrow{n}_1\right|\cdot\left| \overrightarrow{n}_2\right|}\) \(=\displaystyle\frac{\left| 3\cdot 2+4\cdot 1\right| }{\sqrt{3^2+4^2}\cdot\sqrt{2^2+1^2}}=\displaystyle\frac{10}{5\sqrt{5}}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}.\)

Câu 2:

Tính cô-sin của góc giữa hai đường thẳng \(3x-y-10=0\) và \(2x+4y-5=0\).

Đáp án: \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{10}\)

Lời giải:

Đường thẳng \(3x-y-10=0\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_1=(3;-1)\).

Đường thẳng \(2x+4y-5=0\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_2=(2;4)\).

Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai đường thẳng đã cho, ta có

\( \cos \alpha = \displaystyle\frac{\left| \overrightarrow{n}_1 \cdot \overrightarrow{n}_2\right|}{\left| \overrightarrow{n}_1 \right| \cdot \left| \overrightarrow{n}_2\right|}\) \(= \displaystyle\frac{|3\cdot 2 + (-1) \cdot 4|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}\cdot \sqrt{2^2+ 4^2}}= \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{10}.\)

Dạng 8. Bài toán chứa tham số

Câu 1:

Đường thẳng \(d\colon y=2x-5\) song song với đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?

Đáp án: \(y=2x+1\)

Lời giải:

Vì \(\begin{cases}2=2\\-5\ne 1\end{cases}\) nên đường thẳng \(d\colon y=2x-5\) song song với đường thẳng \(y=2x+1\).

Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \(d_1\colon 2x-y+1=0\), \(d_2\colon 4x+(3-5m)y+m+1=0\). Giá trị của tham số \(m\) sao cho \(d_1\parallel d_2\) là

Đáp án: Không tồn tại

Lời giải:

Ta có \(d_1 \parallel d_2 \Leftrightarrow \begin{cases}\displaystyle\frac{4}{2} = \displaystyle\frac{3-5m}{-1}\\ \displaystyle\frac{4}{2} \ne \displaystyle\frac{m+1}{1}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}6-10m = -4\\2m + 2 \ne 4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}m = 1\\ m \ne 1\end{cases}\). Không tồn tại \(m\).

Vậy không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai

Dạng 1.

Dạng 2.

Dạng 3.

Dạng 4.

Dạng 1.

Dạng 2.

Dạng 3.

Dạng 4.

Phần 3. Tự luận

Dạng 1. Biết biểu thức

Dạng 2. Hàm hợp

Dạng 3. Ứng dụng thực tế

Dạng 1. Biết biểu thức

Dạng 2. Hàm hợp

Dạng 3. Ứng dụng thực tế