Đáp án: \(\overrightarrow{n}=(3;2)\) là một véc-tơ pháp tuyến của \(\Delta\)

Lời giải:

Đường thẳng \(\Delta\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(2;-3)\Rightarrow \overrightarrow{n}=(3;2)\) là một véc-tơ pháp tuyến.

Đáp án: \(\overrightarrow{n}=(2;3)\)

Lời giải:

Đường thẳng \(d\colon 2x+3y-4=0\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(2;3)\).

Đáp án: \((2;6)\)

Lời giải:

Thay \(t=1\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được

\( \begin{cases} x=4-2\cdot 1=2 \\ y=5+1=6 \end{cases} \Rightarrow (2;6)\in d. \)

Đáp án: \(D(3;1)\)

Lời giải:

Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng \(\Delta\) ta thấy điểm \(D(3;1)\) thuộc \(\Delta\).

Đáp án: \(x-2y+5=0\)

Lời giải:

Đường thẳng đi qua \(A(-1 ; 2)\), nhận \(\overrightarrow{n}=(2 ;-4)\) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là

\(2(x+1)-4(y-2)=0\) \(\Leftrightarrow 2x-4y+10=0\) \(\Leftrightarrow x-2y+5=0.\)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là \(x-2y+5=0\).

Đáp án: \(2x+y-12=0\)

Lời giải:

Đường thẳng đi qua \(M\left( 3;6 \right)\) và có một véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}= \left( 2;1 \right)\) có phương trình tổng quát là \( 2\left( x-3 \right)+1\left( y-6 \right)=0 \Leftrightarrow 2x+y-12=0.\)

Đáp án: \(y+1=0\)

Lời giải:

Đường trung trực của đoạn \(AB\) đi qua trung điểm \(I\) của đoạn \(AB\) và nhận \(\overrightarrow{AB}\) làm véc-tơ pháp tuyến.

Ta có \(I(1;-1)\) và \(\overrightarrow{AB}=(0;6)=6(0;1)\).

Phương trình của đường trung trực là

\(0(x-1)+1(y+1)=0\) \(\Leftrightarrow y+1=0.\)

Đáp án: \(\begin{cases}x=3+3t\\y=5t\end{cases}\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{BA}=(3;5)\).\\

Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A(3;0)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{BA}=(3;5)\) nên phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) là \(\begin{cases}x=3+3t\\y=5t.\end{cases}\)

Đáp án: \(\Delta \colon 2x-y-11=0\)

Lời giải:

Ta có \(\Delta\parallel d\) nên phương trình \(\Delta\) có dạng \(2x-y+c=0\), \(\left(c \ne 7\right)\).

Mà \(M \in \Delta\) nên \(2 \cdot 3+5+c=0\) \(\Leftrightarrow c=-11\).

Vậy \(\Delta \colon 2x-y-11=0\).

Đáp án: \(24x+32y-53=0\)

Lời giải:

Đường thẳng \(\left(d\right)\) song song \(\left(d_3\right)\) nên có phương trình \(3x+4y+c=0\) \((c\ne -1)\).

Giao điểm \(M\) của \(\left(d_1\right)\) và \(\left(d_2\right)\) là nghiệm của hệ \(\begin{cases}3x-2y+5=0\\ 2x+4y-7=0\end{cases}\) nên \(M\left(-\displaystyle\frac{3}{8};\displaystyle\frac{31}{16}\right)\).

Do \(M\in d_3\) nên \(3\left(-\displaystyle\frac{3}{8}\right)+4\left(\displaystyle\frac{31}{16}\right)+c=0\) hay \(c=-\displaystyle\frac{53}{8}\).

Vậy \(\left(d_3\right)\colon 3x+4y-\displaystyle\frac{53}{8}=0\Leftrightarrow 24x+32y-53=0\).

Đáp án: \(2\)

Lời giải:

Ta có \(\mathrm{d}(M;\Delta)=\displaystyle\frac{|3\cdot 1-4\cdot (-1)-17|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=2\).

Đáp án: \(2\sqrt 5 \)

Lời giải:

Ta có

\(\mathrm{d} (M, \Delta)= \displaystyle\frac{\big| -1+2\cdot (-3)-3\big|}{\sqrt{1+4}}= 2\sqrt{5}.\)

Đáp án: \(45^\circ\)

Lời giải:

Ta có hai véc-tơ pháp tuyến của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) lần lượt là \(\overrightarrow{n}_1=(-1;1)\) và \(\overrightarrow{n}_2=(2;0)\).

Có \(\cos(d_1,d_2)=|\cos(\overrightarrow{n}_1,\overrightarrow{n}_2)|\) \(=\displaystyle\frac{|(-1)\cdot 2+1\cdot 0|}{\sqrt{(-1)^2+1^2}\sqrt{2^2+0^2}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow (d_1,d_2)=45^\circ\).

Đáp án: \(4\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{n}_d = (1;1)\); \(\overrightarrow{n}_{d'} = (1;-m)\).

Theo giả thiết

\begin{align*}&\displaystyle\frac{\left |\overrightarrow{n}_d \cdot \overrightarrow{n}_{d'} \right |}{\left |\overrightarrow{n}_d \right | \cdot \left |\overrightarrow{n}_{d'} \right |} = \cos 60^{\circ}\\\Leftrightarrow &\displaystyle\frac{\left |1-m \right |}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{1+m^2}} = \displaystyle\frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow &m^2+1 = 2(m^2-2m+1) \\ \Leftrightarrow &m^2 -4m+1 =0 \\ \Leftrightarrow &m = 2\pm \sqrt{3}.\end{align*}

Suy ra \(m_{1}+m_{2} = 4\).

Đáp án: Không tồn tại

Lời giải:

Ta có \(d_1 \parallel d_2 \Leftrightarrow \begin{cases}\displaystyle\frac{4}{2} = \displaystyle\frac{3-5m}{-1}\\ \displaystyle\frac{4}{2} \ne \displaystyle\frac{m+1}{1}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}6-10m = -4\\2m + 2 \ne 4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}m = 1\\ m \ne 1\end{cases}\). Không tồn tại \(m\).

Vậy không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: \(\left(-\displaystyle\frac{11}{5} ;-\displaystyle\frac{13}{5}\right)\)

Lời giải:

Tọa độ giao điểm của hai dường thẳng là nghiệm của hệ phương trình \(\begin{cases}x-2y-3=0\\3x-y+4=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=-\displaystyle\frac{11}{5}\\y=-\displaystyle\frac{13}{5}.\end{cases}\)

Vậy tọa độ giao điểm \(\left(-\displaystyle\frac{11}{5} ;-\displaystyle\frac{13}{5}\right).\)