Đáp án: \((3;-4)\)

Lời giải:

Đường thẳng \(d\colon \begin{cases}x=2+3t\\y=1-4t\end{cases}\) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a}=(3;-4)\).

Đáp án: \(\overrightarrow{n}_2=(2;3)\)

Lời giải:

Véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{n}_2=(2;3)\).

Đáp án: \(\left(2;0\right)\)

Lời giải:

Ta có \(2-3\cdot 0 -2=0\) nên đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm có tọa độ \(\left(2;0\right)\).

Đáp án: \(M(3;1)\)

Lời giải:

Xét điểm \(M(3;1)\), ta có \(3+1-2=2\ne 0\) nên \(M\not\in d\).

Đáp án: \(d\colon \begin{cases}x=1+3t\\y=-2+5t\end{cases}\)

Lời giải:

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \((1; -2)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(3; 5)\) có phương trình tham số là \(d\colon \begin{cases}x=1+3t\\y=-2+5t.\end{cases}\)

Đáp án: \(x-y+2=0\)

Lời giải:

Đường thẳng \(\begin{cases}x=t\\y=2+t\end{cases}\) qua \(M(0;2)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(1;1)\Rightarrow\) véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(1;-1)\).

Khi đó đường thẳng đã cho có phương trình tổng quát là

\(1(x-0)-1(y-2)=0\) hay \(x-y+2=0\).

Đáp án: \(8x+3y+1=0\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow {AB}=(-3;8)\) \(\Rightarrow \overrightarrow {n}=(8;3)\) là\overrightarrow-tơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm \(A, B\).

Phương trình đường thẳng có\overrightarrow-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n}=(8;3)\) và đi qua \(A\) có dạng

\(8(x-1)+3(y+3)=0\) \(\Leftrightarrow 8x+3y+1=0.\)

Đáp án: \(4x+13y-152=0\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(13;-4\right)\) nên \(\overrightarrow{n}=\left(4;13\right)\) là một véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là

\(4\left(x-25\right)+13\left(y-4\right)=0\) \(\Leftrightarrow 4x+13y-152=0\).

Đáp án: \(\Delta \colon 2x-y-11=0\)

Lời giải:

Ta có \(\Delta\parallel d\) nên phương trình \(\Delta\) có dạng \(2x-y+c=0\), \(\left(c \ne 7\right)\).

Mà \(M \in \Delta\) nên \(2 \cdot 3+5+c=0\) \(\Leftrightarrow c=-11\).

Vậy \(\Delta \colon 2x-y-11=0\).

Đáp án: \(9x+2y-35=0\)

Lời giải:

Gọi \(d\) là đường cao từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\), khi đó \(d \perp BC\).

Suy ra một véc-tơ pháp tuyến của \(d\) là \(\overrightarrow{n_{d}}=\overrightarrow{BC}=\left( 9;2 \right)\).

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{d}}=\left( 9;2 \right)\) là

\( 9 \left( x-3 \right)+2\left( y-4 \right)=0\) \(\Leftrightarrow 9x+2y-35=0. \)

Đáp án: \(\displaystyle\frac{2}{5}\)

Lời giải:

Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta\) là

\(\mathrm{d}\left(M,\Delta\right)=\displaystyle\frac{|6+4-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\displaystyle\frac{2}{5}.\)

Đáp án: \(\displaystyle\frac{12}{5}\)

Lời giải:

Theo công thức khoảng cách từ điểm đến mặt ta có \(\mathrm{d}(M,\Delta)=\displaystyle\frac{|4\cdot(-3)+4\cdot3-12|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\displaystyle\frac{12}{5}\).

Đáp án: \(\cos \alpha=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\)

Lời giải:

Véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(\Delta\) lần lượt là \(\overrightarrow{n}_1=(3;4)\) và \(\overrightarrow{n}_2=(2;1)\).

Khi đó \(\cos (d,\Delta)=\displaystyle\frac{\left| \overrightarrow{n}_1\cdot \overrightarrow{n}_1\right| }{\left| \overrightarrow{n}_1\right|\cdot\left| \overrightarrow{n}_2\right|}\) \(=\displaystyle\frac{\left| 3\cdot 2+4\cdot 1\right| }{\sqrt{3^2+4^2}\cdot\sqrt{2^2+1^2}}=\displaystyle\frac{10}{5\sqrt{5}}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}.\)

Đáp án: \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{10}\)

Lời giải:

Đường thẳng \(3x-y-10=0\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_1=(3;-1)\).

Đường thẳng \(2x+4y-5=0\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_2=(2;4)\).

Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai đường thẳng đã cho, ta có

\( \cos \alpha = \displaystyle\frac{\left| \overrightarrow{n}_1 \cdot \overrightarrow{n}_2\right|}{\left| \overrightarrow{n}_1 \right| \cdot \left| \overrightarrow{n}_2\right|}\) \(= \displaystyle\frac{|3\cdot 2 + (-1) \cdot 4|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}\cdot \sqrt{2^2+ 4^2}}= \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{10}.\)

Đáp án: \(y=2x+1\)

Lời giải:

Vì \(\begin{cases}2=2\\-5\ne 1\end{cases}\) nên đường thẳng \(d\colon y=2x-5\) song song với đường thẳng \(y=2x+1\).

Đáp án: Không tồn tại

Lời giải:

Ta có \(d_1 \parallel d_2 \Leftrightarrow \begin{cases}\displaystyle\frac{4}{2} = \displaystyle\frac{3-5m}{-1}\\ \displaystyle\frac{4}{2} \ne \displaystyle\frac{m+1}{1}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}6-10m = -4\\2m + 2 \ne 4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}m = 1\\ m \ne 1\end{cases}\). Không tồn tại \(m\).

Vậy không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.