Xác định véctơ chỉ phương, véctơ pháp tuyến
Dạng 2. Xác định điểm thuộc đường thẳng
Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có một vtcp hoặc vtpt
Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
Dạng 5. Viết phương trình đường thẳng song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước
Dạng 6. Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Dạng 7. Tính góc giữa hai đường thẳng
Câu 1:
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\colon \begin{cases}x=2+3t\\y=1-4t\end{cases}\), một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) có tọa độ là
Đáp án: \((3;-4)\)
Lời giải:
Đường thẳng \(d\colon \begin{cases}x=2+3t\\y=1-4t\end{cases}\) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a}=(3;-4)\).
Câu 2:
Cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(2x+3y-4=0\). Véc-tơ nào sau đây là một véc-tơ pháp tuyến của \(d\)?
Đáp án: \(\overrightarrow{n}_2=(2;3)\)
Lời giải:
Véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{n}_2=(2;3)\).
Câu 1:
Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(x-3y-2=0\) đi qua điểm nào sau đây
Đáp án: \(\left(2;0\right)\)
Lời giải:
Ta có \(2-3\cdot 0 -2=0\) nên đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm có tọa độ \(\left(2;0\right)\).
Câu 2:
Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tổng quát là \(x+y-2=0\). Điểm nào dưới đây không thuộc \(d\)?
Đáp án: \(M(3;1)\)
Lời giải:
Xét điểm \(M(3;1)\), ta có \(3+1-2=2\ne 0\) nên \(M\not\in d\).
Câu 1:
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường thẳng \(d\) đi qua điểm \((1; -2)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(3; 5)\) có phương trình tham số là
Đáp án: \(d\colon \begin{cases}x=1+3t\\y=-2+5t\end{cases}\)
Lời giải:
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \((1; -2)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(3; 5)\) có phương trình tham số là \(d\colon \begin{cases}x=1+3t\\y=-2+5t.\end{cases}\)
Câu 2:
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\begin{cases}x=t\\y=2+t\end{cases}\) là
Đáp án: \(x-y+2=0\)
Lời giải:
Đường thẳng \(\begin{cases}x=t\\y=2+t\end{cases}\) qua \(M(0;2)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(1;1)\Rightarrow\) véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(1;-1)\).
Khi đó đường thẳng đã cho có phương trình tổng quát là
\(1(x-0)-1(y-2)=0\) hay \(x-y+2=0\).
Câu 1:
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho hai điểm \(A(1;-3), B(-2;5)\). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \(A, B\)?
Đáp án: \(8x+3y+1=0\)
Lời giải:
Ta có \(\overrightarrow {AB}=(-3;8)\) \(\Rightarrow \overrightarrow {n}=(8;3)\) là\overrightarrow-tơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm \(A, B\).
Phương trình đường thẳng có\overrightarrow-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n}=(8;3)\) và đi qua \(A\) có dạng
\(8(x-1)+3(y+3)=0\) \(\Leftrightarrow 8x+3y+1=0.\)
Câu 2:
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left(12;8\right)\) và \(B\left(25;4\right)\) là
Đáp án: \(4x+13y-152=0\)
Lời giải:
Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(13;-4\right)\) nên \(\overrightarrow{n}=\left(4;13\right)\) là một véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).
Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là
\(4\left(x-25\right)+13\left(y-4\right)=0\) \(\Leftrightarrow 4x+13y-152=0\).
Câu 1:
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(d \colon 2x-y+7=0\) và điểm \(M(3;-5)\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) qua \(M\) và song song với đường thẳng \(d\).
Đáp án: \(\Delta \colon 2x-y-11=0\)
Lời giải:
Ta có \(\Delta\parallel d\) nên phương trình \(\Delta\) có dạng \(2x-y+c=0\), \(\left(c \ne 7\right)\).
Mà \(M \in \Delta\) nên \(2 \cdot 3+5+c=0\) \(\Leftrightarrow c=-11\).
Vậy \(\Delta \colon 2x-y-11=0\).
Câu 2:
Viết phương trình tổng quát của đường cao đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) biết toạ độ các đỉnh \(A\left( 3;4 \right)\), \(B\left( -2;5 \right)\), \(C\left( 7;7 \right)\).
Đáp án: \(9x+2y-35=0\)
Lời giải:
Gọi \(d\) là đường cao từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\), khi đó \(d \perp BC\).
Suy ra một véc-tơ pháp tuyến của \(d\) là \(\overrightarrow{n_{d}}=\overrightarrow{BC}=\left( 9;2 \right)\).
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{d}}=\left( 9;2 \right)\) là
\( 9 \left( x-3 \right)+2\left( y-4 \right)=0\) \(\Leftrightarrow 9x+2y-35=0. \)
Câu 1:
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), khoảng cách từ điểm \(M(2;-1)\) đến đường thẳng \(\Delta \colon 3x-4y-12=0\) bằng
Đáp án: \(\displaystyle\frac{2}{5}\)
Lời giải:
Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta\) là
\(\mathrm{d}\left(M,\Delta\right)=\displaystyle\frac{|6+4-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\displaystyle\frac{2}{5}.\)
Câu 2:
Trong mặt phẳng \(O x y\), khoảng cách từ điểm \(M(-3 ; 4)\) đến đường thẳng \(\Delta\colon 4 x+3 y-12=0\) bằng
Đáp án: \(\displaystyle\frac{12}{5}\)
Lời giải:
Theo công thức khoảng cách từ điểm đến mặt ta có \(\mathrm{d}(M,\Delta)=\displaystyle\frac{|4\cdot(-3)+4\cdot3-12|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\displaystyle\frac{12}{5}\).
Câu 1:
Cho hai đường thẳng \(d\colon 3x+4y-2=0\) và \(\Delta\colon \begin{cases}x=5-t \\ y=-3+2 t\end{cases}\). Tính cô-sin góc \(\alpha\) giữa \(d\) và \(\Delta\)
Đáp án: \(\cos \alpha=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\)
Lời giải:
Véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(\Delta\) lần lượt là \(\overrightarrow{n}_1=(3;4)\) và \(\overrightarrow{n}_2=(2;1)\).
Khi đó \(\cos (d,\Delta)=\displaystyle\frac{\left| \overrightarrow{n}_1\cdot \overrightarrow{n}_1\right| }{\left| \overrightarrow{n}_1\right|\cdot\left| \overrightarrow{n}_2\right|}\) \(=\displaystyle\frac{\left| 3\cdot 2+4\cdot 1\right| }{\sqrt{3^2+4^2}\cdot\sqrt{2^2+1^2}}=\displaystyle\frac{10}{5\sqrt{5}}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}.\)
Câu 2:
Tính cô-sin của góc giữa hai đường thẳng \(3x-y-10=0\) và \(2x+4y-5=0\).
Đáp án: \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{10}\)
Lời giải:
Đường thẳng \(3x-y-10=0\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_1=(3;-1)\).
Đường thẳng \(2x+4y-5=0\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_2=(2;4)\).
Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai đường thẳng đã cho, ta có
\( \cos \alpha = \displaystyle\frac{\left| \overrightarrow{n}_1 \cdot \overrightarrow{n}_2\right|}{\left| \overrightarrow{n}_1 \right| \cdot \left| \overrightarrow{n}_2\right|}\) \(= \displaystyle\frac{|3\cdot 2 + (-1) \cdot 4|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}\cdot \sqrt{2^2+ 4^2}}= \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{10}.\)
Câu 1:
Đường thẳng \(d\colon y=2x-5\) song song với đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?
Đáp án: \(y=2x+1\)
Lời giải:
Vì \(\begin{cases}2=2\\-5\ne 1\end{cases}\) nên đường thẳng \(d\colon y=2x-5\) song song với đường thẳng \(y=2x+1\).
Câu 2:
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \(d_1\colon 2x-y+1=0\), \(d_2\colon 4x+(3-5m)y+m+1=0\). Giá trị của tham số \(m\) sao cho \(d_1\parallel d_2\) là
Đáp án: Không tồn tại
Lời giải:
Ta có \(d_1 \parallel d_2 \Leftrightarrow \begin{cases}\displaystyle\frac{4}{2} = \displaystyle\frac{3-5m}{-1}\\ \displaystyle\frac{4}{2} \ne \displaystyle\frac{m+1}{1}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}6-10m = -4\\2m + 2 \ne 4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}m = 1\\ m \ne 1\end{cases}\). Không tồn tại \(m\).
Vậy không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.