Đáp án: \(\overrightarrow{n}_2=(-4;-6)\)

Lời giải:

Véc-tơ \(\overrightarrow{n}_2=(-4;-6)\) là một véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\).

Đáp án: \( \overrightarrow{n}=(2;1) \)

Lời giải:

Đường thẳng \( ax+by+c=0 \) có một véc-tơ pháp tuyến là \( (a;b) \). Vậy đường thẳng \( 2x+y-3=0 \) có một véc-tơ pháp tuyến là \( (2;1) \).

Đáp án: \(D(0;3)\)

Lời giải:

Gọi \(\Delta\) là đường thẳng \(\begin{cases} x=1+t \\ y=2-t.\end{cases}\)

Xét các trường hợp

\(\bullet\,\) Giả sử \(A(2;3)\) thuộc \(\Delta\) khi đó \(\begin{cases} 2=1+t \\ 3=2-t\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} t=1 \\ t=-1\end{cases}\) (vô nghiệm). Vậy \(A(2;3)\) không thuộc \(\Delta\).

\(\bullet\,\) Giả sử \(B(3;1)\) thuộc \(\Delta\) khi đó \(\begin{cases} 3=1+t \\ 1=2-t\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} t=2 \\ t=1\end{cases}\) (vô nghiệm). Vậy \(B(3;1)\) không thuộc \(\Delta\).

\(\bullet\,\) Giả sử \(C(1;-2)\) thuộc \(\Delta\) khi đó \(\begin{cases} 1=1+t \\ -2=2-t\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} t=0 \\ t=4\end{cases}\) (vô nghiệm). Vậy \(C(1;-2)\) không thuộc \(\Delta\).

\(\bullet\,\) Giả sử \(D(0;3)\) thuộc \(\Delta\) khi đó \(\begin{cases} 0=1+t \\ 3=2-t\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} t=-1 \\ t=-1\end{cases}\Leftrightarrow t=-1\) (thỏa mãn).

Vậy \(D(0;3)\) thuộc \(\Delta\).

Đáp án: \((2;6)\)

Lời giải:

Thay \(t=1\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được

\( \begin{cases} x=4-2\cdot 1=2 \\ y=5+1=6 \end{cases} \Rightarrow (2;6)\in d. \)

Đáp án: \(x-2y+3=0\)

Lời giải:

Gọi \(d\) là đường thẳng đã cho.

Từ phương trình tham số trên ta có \(M\left( 1;2 \right)\) thuộc \(d\), \(\overrightarrow{u}= \left( 2;1 \right)\) là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng.

Suy ra \(\overrightarrow{n} = \left( -1;2 \right)\) là véc-tơ pháp tuyến.

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( 1;2 \right)\), nhận \(\overrightarrow{n}=\left( -1;2 \right)\) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là \(-1 \left( x-1 \right)+2\left( y-2 \right)=0\) \(\Leftrightarrow -x+2y-3=0 \Leftrightarrow x-2y+3=0.\)

Đáp án: \(\begin{cases}x=1+2t\\y=-5-3t\end{cases}\)

Lời giải:

Phương trình tham số đường thẳng \(d\) qua \(M(1;-5)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (2;-3)\) là \\ \centerline\(\begin{cases}x=1+2t\\y=-5-3t.\end{cases}\)

Đáp án: \(4x+13y-152=0\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(13;-4\right)\) nên \(\overrightarrow{n}=\left(4;13\right)\) là một véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là

\(4\left(x-25\right)+13\left(y-4\right)=0\) \(\Leftrightarrow 4x+13y-152=0\).

Đáp án: \(x-y+1=0\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{MN}=(-3;-3)=(-3)(1;1)\), suy ra đường thẳng \(MN\) có một véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{u}=(1;1)\) nên có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(1;-1)\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \(M\), \(N\) là \(x-3-(y-4)=0 \Leftrightarrow x-y+1=0\).

Đáp án: \(x+y-1=0\)

Lời giải:

Gọi \(d\) là đường thẳng chứa đường cao cao hạ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\).

\(d\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow{BC}=(-3;-3)\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là

\(a(x-x_0)+b(y-y_0)=0\) \(\Leftrightarrow -3(x+2)-3(y-3)=0\) \(\Leftrightarrow x+y-1=0.\)

Đáp án: \(3x+2y=9\)

Lời giải:

Đường trung trực của \(AB\) đi qua trung điểm \(I(1;3)\) và nhận \(\overrightarrow{AB} =(6;4)\) làm véc-tơ pháp tuyến, có phương trình là

\(3(x-1)+2(y-3)=0\) \(\Leftrightarrow 3x+2y=9. \)

Đáp án: \(\sqrt{5}\)

Lời giải:

Ta có \(d\) qua \(N(1;1)\) và có \(\overrightarrow{u}=(-2;1)\) là véc-tơ chỉ phương nên \(\overrightarrow{n}=(1;2)\) là một véc-tơ pháp tuyến của \(d\). Do đó \(d\colon x+2y-3=0\).

Suy ra \(\mathrm{d}(M,d)=\displaystyle\frac{|4+2 \cdot 2-3|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\sqrt{5}\).

Đáp án: \(\displaystyle\frac{24}{5}\)

Lời giải:

Ta có \(\mathrm{d}(M,\Delta)=\displaystyle\frac{|3\cdot 3-4\cdot (-4)-1|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\displaystyle\frac{24}{5}\).

Đáp án: \(45^{\circ}\)

Lời giải:

Véc-tơ pháp tuyến của hai đường thẳng \(d_1\), \(d_2\) lần lượt là \(\overrightarrow{n}_1=(1;2)\) và \(\overrightarrow{n}_2=(1;-3)\).

Ta có \(\overrightarrow{n}_1 \cdot \overrightarrow{n}_2=-5\), \(\left|\overrightarrow{n}_1\right|=\sqrt{5}\) và \(\left|\overrightarrow{n}_2\right|=\sqrt{10}\).

Do đó \(\cos (d_1, d_2)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n}_1 \cdot \overrightarrow{n}_2\right|}{\left|\overrightarrow{n}_1\right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_2\right|}\) \(=\displaystyle\frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Hay \((d_1, d_2)=45^{\circ}\).

Đáp án: \(\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{10}\)

Lời giải:

\(\bullet\,\) Hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) có các véc-tơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}_1=(1;2)\), \(\overrightarrow{n}_2=(1;-1)\).

\(\bullet\,\) Góc \(\alpha\) giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) được tính theo công thức

\(\cos\alpha=\left|\cos\left(\overrightarrow{n}_1,\overrightarrow{n}_2\right)\right|\) \(=\displaystyle\frac{|1\cdot 1+2\cdot(-1)|}{\sqrt{1^2+2^2}\cdot\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{10}.\)

Đáp án: Cắt nhau nhưng không vuông góc

Lời giải:

\(\Delta_1\colon 2x+y+3=0\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_1=(2;1)\).

\(\Delta_2\colon x+2y+3=0\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_2=(1;2)\).

Ta có \(\begin{cases}\displaystyle\frac{2}{1}\neq\displaystyle\frac{1}{2}\\\overrightarrow{n}_1\cdot \overrightarrow{n}_2\neq 0.\end{cases}\)

Vậy \(\Delta_1\), \(\Delta_2\) cắt nhau nhưng không vuông góc.

Đáp án: \(d_1\colon 3 x+2 y=0\)

Lời giải:

Do \( \overrightarrow{n}_{\Delta}=(3;-2) \) không cùng phương với \( \overrightarrow{n}_{d_1}=(3;2) \) nên đường thẳng \(\Delta\) cắt đường thẳng \( d_1 \).