Xác định véctơ chỉ phương, véctơ pháp tuyến
Dạng 2. Xác định điểm thuộc đường thẳng
Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có một vtcp hoặc vtpt
Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
Dạng 5. Viết phương trình đường thẳng song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước
Dạng 6. Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Dạng 7. Tính góc giữa hai đường thẳng
Câu 1:
Cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(2x+3y-4=0\). Véc-tơ nào sau đây là một véc-tơ pháp tuyến của \(d\)?
Đáp án: \(\overrightarrow{n}_2=(2;3)\)
Lời giải:
Véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{n}_2=(2;3)\).
Câu 2:
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\colon\begin{cases}x=1-4t \\ y=-2+3t\end{cases}\) là
Đáp án: \(\overrightarrow{u}=(-4;3)\)
Lời giải:
Từ phương trình đường thẳng ta có \(\overrightarrow{u}=(-4;3)\).
Câu 1:
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(\Delta\colon \begin{cases}x=3-t\\y=1+2t\end{cases}\,\left(t\in\mathbb{R}\right)\). Điểm nào sau đây nằm trên đường thẳng \(\Delta\)?
Đáp án: \(D(3;1)\)
Lời giải:
Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng \(\Delta\) ta thấy điểm \(D(3;1)\) thuộc \(\Delta\).
Câu 2:
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta\colon x-y+2=0\). Điểm nào dưới đây không thuộc \(\Delta\)?
Đáp án: \(M(2; 0)\)
Lời giải:
Thay tọa độ các điểm \(M,N,P,Q\) vào \(\Delta \), ta thấy điểm không thuộc \(\Delta \) là \(M(2;0)\).
Câu 1:
Phương trình đường thẳng đi qua \(A(-2;1)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(4;5)\) là
Đáp án: \(\begin{cases} x= -2+4t \\ y=1+5t\end{cases}\)
Lời giải:
Đường thẳng đi qua \(A(-2;1)\), véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(4;5)\) có phương trình là \(\begin{cases} x= -2+4t \\ y=1+5t.\end{cases}\)
Câu 2:
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(M(3;-1)\) và có một véc-tơ chỉ phương \((2;-1)\).
Đáp án: \(x+2y-1=0\)
Lời giải:
Gọi \(d\) là đường thẳng cần tìm.
Do \(d\) có một véc-tơ chỉ phương, suy ra \(d\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(1;2)\).
Phương trình tổng quát của \(d\) là
\( 1\cdot (x-3) + 2 \cdot (y+1) = 0\) \(\Leftrightarrow x+2y-1=0.\)
Câu 1:
Cho \(A(2 ;-1)\), \(B(4 ; 5)\). Đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) có phương trình là
Đáp án: \(3x-y-7=0\)
Lời giải:
\(\overrightarrow{AB}=(2;6)\).
Trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) có tọa độ \((3;2)\).
Đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) đi qua \(I(3;2)\) với một véc-tơ pháp tuyến \((3;-1)\) có phương trình là \(3(x-3)-(y-2)=0\) hay \(3x-y-7=0\).
Câu 2:
Cho \(A(1;1)\) và \(B(2;3)\). Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) là
Đáp án: \(2x-y-1=0\)
Lời giải:
Gọi đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) là \(d\).
Ta có \(\overrightarrow{AB}=(1;2)\) là một VTCP của \(d\).
Ta có VTPT của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{n}_d=(2;-1)\).
Phương trình đường thẳng cần tìm là \(2(x-1)-(y-1)=0\) \(\Leftrightarrow 2x-y-1=0.\)
Câu 1:
Cho tam giác \(ABC\), biết \(A(-2;3)\), \(B(4;1)\), \(C(1;-2)\). Đường cao hạ từ đỉnh \(A\) của tam giác có phương trình là
Đáp án: \(x+y-1=0\)
Lời giải:
Gọi \(d\) là đường thẳng chứa đường cao cao hạ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\).
\(d\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow{BC}=(-3;-3)\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là
\(a(x-x_0)+b(y-y_0)=0\) \(\Leftrightarrow -3(x+2)-3(y-3)=0\) \(\Leftrightarrow x+y-1=0.\)
Câu 2:
Viết phương trình đường thẳng \((d)\) đi qua \(M(2;1)\) và song song với đường thẳng \((\Delta)\colon y=\displaystyle\frac{-1}{2}x-2\).
Đáp án: \((d)\colon y=\displaystyle\frac{-1}{2}x+2\)
Lời giải:
Ta có \((d)\parallel (\Delta)\colon y=\displaystyle\frac{-1}{2}x-2 \Rightarrow (d)\) có dạng \((d)\colon y=\displaystyle\frac{-1}{2}x+m\; (m\ne -2)\)
Theo đề \(M(2;1)\in (d) \Leftrightarrow 1=\displaystyle\frac{-1}{2}\cdot 2+m \Leftrightarrow m=2\) (nhận)
Vậy \((d)\colon y=\displaystyle\frac{-1}{2}x+2\).
Câu 1:
Khoảng cách từ điểm \( M(0;1) \) đến đường thẳng \(\Delta\colon 5x-12y-1=0\) là
Đáp án: \( 1 \)
Lời giải:
Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta\) là \(d\left(M,\Delta \right) = \displaystyle\frac{\left|5\cdot 0 - 12 \cdot 1 -1 \right|}{\sqrt{5^2+(-12)^2}}=1\).
Câu 2:
Cho \(\triangle ABC\) có \(A(3;4)\), \(B(1;1)\) và \(C(2;1)\). Đường cao kẻ từ \(A\) của \(\triangle ABC\) có độ dài là
Đáp án: \(3\)
Lời giải:
Ta có \(\overrightarrow{BC}=(1;0)\). Suy ra véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \(BC\) là \(\overrightarrow{n}=(0;1)\).
Đường thẳng \(BC\) đi qua \(B(1;1)\) và có VTPT \(\overrightarrow{n}=(0;1)\) nên có phương trình là \(y-1=0\).
Độ dài đường cao kẻ từ \(A\) của \(\triangle ABC\) đúng bằng khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(BC\).
Ta có \(\mathrm{d}(A, BC)=|4-1|=3\).
Vậy độ dài của đường cao kẻ từ \(A\) bằng 3.
Câu 1:
Cho hai đường thẳng \(d_1\colon x+\sqrt{3}y-4=0\) và \(d_2\colon x-\sqrt{3}y+1=0\). Tính số đo góc tạo bởi \(d_1\) và \(d_2\).
Đáp án: \(60^\circ\)
Lời giải:
\(\bullet\,\) Đường thẳng \(d_1\), \(d_2\) lần lượt có các véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=(1;\sqrt{3})\), \(\overrightarrow{n_2}=(1;-\sqrt{3})\).
\(\bullet\,\) Ta có \(|\overrightarrow{n_1}|=|\overrightarrow{n_2}|=2\) và \(\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=-2\).
\(\bullet\,\) Gọi \(\alpha\) là góc tạo bởi \(d_1\) và \(d_2\), khi đó \(\cos \alpha=\displaystyle\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}=\displaystyle\frac{1}{2}\), suy ra \(\alpha=60^\circ\).
Câu 2:
Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \(\Delta_1\colon x+2y-6=0\) và \(\Delta_2\colon x-3y+9=0\). Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\). Khi đó
Đáp án: \(\varphi=45^\circ\)
Lời giải:
Véc-tơ pháp tuyến của \(\Delta_1\) là \(\overrightarrow{n}_1=(1;2)\).
Véc-tơ pháp tuyến của \(\Delta_2\) là \(\overrightarrow{n}_2=(1;-3)\).
Ta có \(\cos \varphi=\displaystyle\frac{|1\cdot 1 +2\cdot (-3)|}{\sqrt{1^2+2^2}\cdot\sqrt{1^2+(-3)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \varphi=45^\circ\).
Câu 1:
Đường thẳng \(\Delta\colon 3 x-2 y-7=0\) cắt đường thẳng nào sau đây?
Đáp án: \(d_1\colon 3 x+2 y=0\)
Lời giải:
Do \( \overrightarrow{n}_{\Delta}=(3;-2) \) không cùng phương với \( \overrightarrow{n}_{d_1}=(3;2) \) nên đường thẳng \(\Delta\) cắt đường thẳng \( d_1 \).
Câu 2:
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \(\Delta\colon \begin{cases}x=1+3t\\y=-1-2t\end{cases}\), \(d\colon 6x-4y-2=0\). Chọn phát biểu đúng.
Đáp án: \(\Delta\) vuông góc với \(d\)
Lời giải:
Đường thẳng \(\Delta\) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a}=(3;-2)\).
Đường thẳng \(d\) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(4;6)\).
Ta thấy \(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{u}=0\Rightarrow \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{u}\).
Do đó đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với \(d\).