\(\S2.\) ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

Lỗi khi trích xuất lý thuyết từ dữ liệu

Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn

Xác định véctơ chỉ phương, véctơ pháp tuyến

Dạng 2. Xác định điểm thuộc đường thẳng

Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có một vtcp hoặc vtpt

Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Dạng 5. Viết phương trình đường thẳng song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước

Dạng 6. Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Dạng 7. Tính góc giữa hai đường thẳng

Dạng 8. Bài toán chứa tham số

Dạng 1. Xác định véctơ chỉ phương, véctơ pháp tuyến

Câu 1:

Cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(2x+3y-4=0\). Véc-tơ nào sau đây là một véc-tơ pháp tuyến của \(d\)?

Đáp án: \(\overrightarrow{n}_2=(2;3)\)

Lời giải:

Véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{n}_2=(2;3)\).

Câu 2:

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\colon\begin{cases}x=1-4t \\ y=-2+3t\end{cases}\) là

Đáp án: \(\overrightarrow{u}=(-4;3)\)

Lời giải:

Từ phương trình đường thẳng ta có \(\overrightarrow{u}=(-4;3)\).

Dạng 2. Xác định điểm thuộc đường thẳng

Câu 1:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(\Delta\colon \begin{cases}x=3-t\\y=1+2t\end{cases}\,\left(t\in\mathbb{R}\right)\). Điểm nào sau đây nằm trên đường thẳng \(\Delta\)?

Đáp án: \(D(3;1)\)

Lời giải:

Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng \(\Delta\) ta thấy điểm \(D(3;1)\) thuộc \(\Delta\).

Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta\colon x-y+2=0\). Điểm nào dưới đây không thuộc \(\Delta\)?

Đáp án: \(M(2; 0)\)

Lời giải:

Thay tọa độ các điểm \(M,N,P,Q\) vào \(\Delta \), ta thấy điểm không thuộc \(\Delta \) là \(M(2;0)\).

Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có một vtcp hoặc vtpt

Câu 1:

Phương trình đường thẳng đi qua \(A(-2;1)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(4;5)\) là

Đáp án: \(\begin{cases} x= -2+4t \\ y=1+5t\end{cases}\)

Lời giải:

Đường thẳng đi qua \(A(-2;1)\), véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(4;5)\) có phương trình là \(\begin{cases} x= -2+4t \\ y=1+5t.\end{cases}\)

Câu 2:

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(M(3;-1)\) và có một véc-tơ chỉ phương \((2;-1)\).

Đáp án: \(x+2y-1=0\)

Lời giải:

Gọi \(d\) là đường thẳng cần tìm.

Do \(d\) có một véc-tơ chỉ phương, suy ra \(d\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(1;2)\).

Phương trình tổng quát của \(d\) là

\( 1\cdot (x-3) + 2 \cdot (y+1) = 0\) \(\Leftrightarrow x+2y-1=0.\)

Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Câu 1:

Cho \(A(2 ;-1)\), \(B(4 ; 5)\). Đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) có phương trình là

Đáp án: \(3x-y-7=0\)

Lời giải:

\(\overrightarrow{AB}=(2;6)\).

Trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) có tọa độ \((3;2)\).

Đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) đi qua \(I(3;2)\) với một véc-tơ pháp tuyến \((3;-1)\) có phương trình là \(3(x-3)-(y-2)=0\) hay \(3x-y-7=0\).

Câu 2:

Cho \(A(1;1)\) và \(B(2;3)\). Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) là

Đáp án: \(2x-y-1=0\)

Lời giải:

Gọi đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) là \(d\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(1;2)\) là một VTCP của \(d\).

Ta có VTPT của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{n}_d=(2;-1)\).

Phương trình đường thẳng cần tìm là \(2(x-1)-(y-1)=0\) \(\Leftrightarrow 2x-y-1=0.\)

Dạng 5. Viết phương trình đường thẳng song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước

Câu 1:

Cho tam giác \(ABC\), biết \(A(-2;3)\), \(B(4;1)\), \(C(1;-2)\). Đường cao hạ từ đỉnh \(A\) của tam giác có phương trình là

Đáp án: \(x+y-1=0\)

Lời giải:

Gọi \(d\) là đường thẳng chứa đường cao cao hạ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\).

\(d\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow{BC}=(-3;-3)\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là

\(a(x-x_0)+b(y-y_0)=0\) \(\Leftrightarrow -3(x+2)-3(y-3)=0\) \(\Leftrightarrow x+y-1=0.\)

Câu 2:

Viết phương trình đường thẳng \((d)\) đi qua \(M(2;1)\) và song song với đường thẳng \((\Delta)\colon y=\displaystyle\frac{-1}{2}x-2\).

Đáp án: \((d)\colon y=\displaystyle\frac{-1}{2}x+2\)

Lời giải:

Ta có \((d)\parallel (\Delta)\colon y=\displaystyle\frac{-1}{2}x-2 \Rightarrow (d)\) có dạng \((d)\colon y=\displaystyle\frac{-1}{2}x+m\; (m\ne -2)\)

Theo đề \(M(2;1)\in (d) \Leftrightarrow 1=\displaystyle\frac{-1}{2}\cdot 2+m \Leftrightarrow m=2\) (nhận)

Vậy \((d)\colon y=\displaystyle\frac{-1}{2}x+2\).

Dạng 6. Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Câu 1:

Khoảng cách từ điểm \( M(0;1) \) đến đường thẳng \(\Delta\colon 5x-12y-1=0\) là

Đáp án: \( 1 \)

Lời giải:

Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta\) là \(d\left(M,\Delta \right) = \displaystyle\frac{\left|5\cdot 0 - 12 \cdot 1 -1 \right|}{\sqrt{5^2+(-12)^2}}=1\).

Câu 2:

Cho \(\triangle ABC\) có \(A(3;4)\), \(B(1;1)\) và \(C(2;1)\). Đường cao kẻ từ \(A\) của \(\triangle ABC\) có độ dài là

Đáp án: \(3\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{BC}=(1;0)\). Suy ra véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \(BC\) là \(\overrightarrow{n}=(0;1)\).

Đường thẳng \(BC\) đi qua \(B(1;1)\) và có VTPT \(\overrightarrow{n}=(0;1)\) nên có phương trình là \(y-1=0\).

Độ dài đường cao kẻ từ \(A\) của \(\triangle ABC\) đúng bằng khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(BC\).

Ta có \(\mathrm{d}(A, BC)=|4-1|=3\).

Vậy độ dài của đường cao kẻ từ \(A\) bằng 3.

Dạng 7. Tính góc giữa hai đường thẳng

Câu 1:

Cho hai đường thẳng \(d_1\colon x+\sqrt{3}y-4=0\) và \(d_2\colon x-\sqrt{3}y+1=0\). Tính số đo góc tạo bởi \(d_1\) và \(d_2\).

Đáp án: \(60^\circ\)

Lời giải:

\(\bullet\,\) Đường thẳng \(d_1\), \(d_2\) lần lượt có các véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=(1;\sqrt{3})\), \(\overrightarrow{n_2}=(1;-\sqrt{3})\).

\(\bullet\,\) Ta có \(|\overrightarrow{n_1}|=|\overrightarrow{n_2}|=2\) và \(\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=-2\).

\(\bullet\,\) Gọi \(\alpha\) là góc tạo bởi \(d_1\) và \(d_2\), khi đó \(\cos \alpha=\displaystyle\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}=\displaystyle\frac{1}{2}\), suy ra \(\alpha=60^\circ\).

Câu 2:

Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \(\Delta_1\colon x+2y-6=0\) và \(\Delta_2\colon x-3y+9=0\). Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\). Khi đó

Đáp án: \(\varphi=45^\circ\)

Lời giải:

Véc-tơ pháp tuyến của \(\Delta_1\) là \(\overrightarrow{n}_1=(1;2)\).

Véc-tơ pháp tuyến của \(\Delta_2\) là \(\overrightarrow{n}_2=(1;-3)\).

Ta có \(\cos \varphi=\displaystyle\frac{|1\cdot 1 +2\cdot (-3)|}{\sqrt{1^2+2^2}\cdot\sqrt{1^2+(-3)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \varphi=45^\circ\).

Dạng 8. Bài toán chứa tham số

Câu 1:

Đường thẳng \(\Delta\colon 3 x-2 y-7=0\) cắt đường thẳng nào sau đây?

Đáp án: \(d_1\colon 3 x+2 y=0\)

Lời giải:

Do \( \overrightarrow{n}_{\Delta}=(3;-2) \) không cùng phương với \( \overrightarrow{n}_{d_1}=(3;2) \) nên đường thẳng \(\Delta\) cắt đường thẳng \( d_1 \).

Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \(\Delta\colon \begin{cases}x=1+3t\\y=-1-2t\end{cases}\), \(d\colon 6x-4y-2=0\). Chọn phát biểu đúng.

Đáp án: \(\Delta\) vuông góc với \(d\)

Lời giải:

Đường thẳng \(\Delta\) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a}=(3;-2)\).

Đường thẳng \(d\) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(4;6)\).

Ta thấy \(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{u}=0\Rightarrow \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{u}\).

Do đó đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với \(d\).

Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai

Dạng 1.

Dạng 2.

Dạng 3.

Dạng 4.

Dạng 1.

Dạng 2.

Dạng 3.

Dạng 4.

Phần 3. Tự luận

Dạng 1. Biết biểu thức

Dạng 2. Hàm hợp

Dạng 3. Ứng dụng thực tế

Dạng 1. Biết biểu thức

Dạng 2. Hàm hợp

Dạng 3. Ứng dụng thực tế