\(\S2.\) ĐỊNH LÍ CÔSIN VÀ ĐỊNH LÍ SIN
1. Định lý côsin trong tam giác
\(\bullet\ \) \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A;\)
\(\bullet\ \) \(b^2=a^2+c^2-2ac\cos B;\)
\(\bullet\ \) \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.\)
Hệ quả
\(\bullet\ \) \(\cos A=\displaystyle\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};\)
\(\bullet\ \) \(\cos B=\displaystyle\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac};\)
\(\bullet\ \) \(\cos C=\displaystyle\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.\)
2. Định lý sin trong tam giác
Trong tam giác \(ABC\) với \(BC=a\), \(CA=b\), \(AB=c\), ta có
\(\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\displaystyle\frac{b}{\sin B}=\displaystyle\frac{c}{\sin C}=2R,\)
trong đó \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Hệ quả.
\(\bullet\ \) \(a=2R\sin A;\qquad b=2R\sin B;\qquad\) \(c=2R\sin C;\)
\(\bullet\ \) \(\sin A=\displaystyle\frac{a}{2R};\qquad\sin B=\displaystyle\frac{b}{2R}; \qquad\ \) \(\sin C=\displaystyle\frac{c}{2R}.\)
3. Các công thức tính diện tích tam giác
Cho tam giác \(ABC\), ta kí hiệu:
\(*\) \(h_a\), \(h_b\), \(h_c\) là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh \(BC\), \(CA\), \(AB\).
\(*\) \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
\(*\) \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\) là nửa chu vi của tam giác.
\(*\) \(S\) là diện tích tam giác.
Ta có các công thức tính diện tích sau
\(\bullet\ \) \(S=\displaystyle\frac{1}{2}ah_a=\displaystyle\frac{1}{2}bh_b=\displaystyle\frac{1}{2}ch_c\);
\(\bullet\ \) \(S=\displaystyle\frac{1}{2}ab\sin C=\displaystyle\frac{1}{2}ac\sin B=\displaystyle\frac{1}{2}bc\sin A\);
\(\bullet\ \) \(S=\displaystyle\frac{abc}{4R}\);
\(\bullet\ \) \(S=pr\);
\(\bullet\ \) \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) (Công thức Heron)
Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn
Dạng 1. Tính độ dài cạnh và các góc của tam giác
Dạng 2. Tính độ dài đường trung tuyến
Dạng 3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Dạng 4. Tính diện tích tam giác
Dạng 6. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Dạng 1. Tính độ dài cạnh và các góc của tam giác
Câu 1:
Tam giác \( ABC\) có \( \widehat{B}=60^\circ\), \(\widehat{C}=45^\circ \) và \( AB=5\). Tính độ dài cạnh \( AC\).
Đáp án: \( AC=\displaystyle\frac{5\sqrt{6}}{2}\)
Lời giải:
Theo định lí hàm sin, ta có
\(\displaystyle\frac{AB}{\sin C}=\displaystyle\frac{AC}{\sin B}\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{5}{\sin 45^\circ}\) \(=\displaystyle\frac{AC}{\sin 60^\circ}\)
\(\Rightarrow AC\) \(=\displaystyle\frac{5\sqrt{6}}{2}\).
Câu 2:
Tam giác \( ABC\) có \( AB=5\), \(BC=7\), \(CA=8\). Số đo góc \( \widehat{A}\) bằng
Đáp án: \( 60^\circ \)
Lời giải:
Theo định lí hàm cô-sin, ta có
\( \cos{A}=\displaystyle\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC}\) \(=\displaystyle\frac{5^2+8^2-7^2}{2\cdot 5\cdot 8}\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\).
Do đó, \( \widehat{A}=60^\circ \).
Dạng 2. Tính độ dài đường trung tuyến
Câu 1:
Tam giác \( ABC \) có \( BC =12 \), \( CA = 9 \) và \( AB = 6 \). Trên cạnh \( BC \) lấy điểm \( M \) sao cho \( BM = 4 \). Độ dài đoạn thẳng \( AM \) bằng
Đáp án: \(\sqrt{19}\)
Lời giải:
Ta có
\(\cos B=\displaystyle\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot BC\cdot AC}\) \(=\displaystyle\frac{6^2+12^2-9^2}{2\cdot 6\cdot 12}\) \(=\displaystyle\frac{11}{16}.\)
Ta lại có
\(AM^2=AB^2+BM^2-2\cdot AB\cdot BM\cdot\cos B\)
\(=6^2+4^2-2\cdot 6\cdot 4\cdot\displaystyle\frac{11}{16}=19\)
\(\Rightarrow AM=\sqrt{19} \).
Câu 2:
Tam giác \( ABC \) có \( AB=5,AC=9 \) và đường trung tuyến \( AM=6. \) Độ dài cạnh \( BC \) bằng
Đáp án: \( 2\sqrt{17} \)
Lời giải:
\(AM^2=\displaystyle\frac{AB^2+AC^2}{2}-\displaystyle\frac{BC^2}{4}\Rightarrow BC^2=68\)
\(\Rightarrow BC=2\sqrt{17}.\)
Dạng 3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Câu 1:
Tam giác đều cạnh \( a\) nội tiếp trong đường tròn bán kính \( R\). Khi đó bán kính \( R\) bằng
Đáp án: \( R=\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Lời giải:
Ta có
\( S_{\Delta ABC}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A\) \(=\displaystyle\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
Vậy bán kính cần tính là
\(R=\displaystyle\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4\cdot S_{\Delta ABC}}\)
\(=\displaystyle\frac{a^3}{4\cdot \displaystyle\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}=\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{3}\).
Câu 2:
Cho tam giác \( ABC\) có \( AB=3\sqrt{3}\), \(BC=6\sqrt{3}\) và \( CA=9\). Gọi \( D\) là trung điểm \( BC\). Tính bán kính \( R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABD\).
Đáp án: \( R=3\)
Lời giải:
Vì \( D\) là trung điểm của \( BC\)
\(\Rightarrow \) \( AD^2=\displaystyle\frac{AB^2+AC^2}{2}-\displaystyle\frac{BC^2}{4}=27\)
\(\Rightarrow \) \( AD=3\sqrt{3}\).
Tam giác \( ABD\) có \( AB=BD=DA=3\sqrt{3}\) \( \Rightarrow \) tam giác \( ABD\) đều.
Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp là
\( R=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}AB=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3\sqrt{3}=3\).
Dạng 4. Tính diện tích tam giác
Câu 1:
Tam giác \( ABC\) có độ dài ba trung tuyến lần lượt là \( 9\), \(12\), \(15\). Diện tích của tam giác \( ABC\) bằng
Đáp án: \( 72\)
Lời giải:
Ta có
\( \begin{cases} m_a^2=\displaystyle\frac{b^2+c^2}{2}-\displaystyle\frac{a^2}{4}=81 \\ m_b^2=\displaystyle\frac{a^2+c^2}{2}-\displaystyle\frac{b^2}{4}=144 \\ m_{c}^2=\displaystyle\frac{a^2+b^2}{2}-\displaystyle\frac{c^2}{4}=225\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} a^2=292 \\ b^2=208 \\ c^2=100 \\ \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} a=2\sqrt{73} \\ b=4\sqrt{13} \\ c=10.\end{cases}\)
\(p=\displaystyle\frac{a+b+c}{2}=5+\sqrt{73}+2\sqrt{13}\).
Diện tích tam giác \( ABC\) là
\(S_{\Delta ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=72\).
Câu 2:
Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính \( R=4\) cm có diện tích bằng
Đáp án: \( 12\sqrt{3}\) cm\(^2\)
Lời giải:
Xét tam giác \( ABC\) đều, có độ dài cạnh bằng \( a\).
Theo định lí sin, ta có
\(\displaystyle\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2R\Leftrightarrow \displaystyle\frac{a}{\sin 60^\circ}\) \(=2\cdot 4\)
\(\Leftrightarrow a=8\cdot \sin 60^\circ=4\sqrt{3}\).
Vậy diện tích cần tính là
\(S_{\Delta ABC}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin \widehat{BAC}\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot (4\sqrt{3} )^2\cdot \sin 60^\circ=12\sqrt{3}\) cm\(^2\).
Dạng 5. Tính độ dài đường cao
Câu 1:
Tam giác \( ABC\) có \( AB=4\), \(BC=6\), \(AC=2\sqrt{7}\). Điểm \( M\) thuộc đoạn \( BC\) sao cho \( MC=2MB\). Tính độ dài cạnh \( AM\).
Đáp án: \( AM=2\sqrt{3}\)
Lời giải:
Theo định lí hàm cô-sin, ta có
\(\cos B=\displaystyle\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}\) \(=\displaystyle\frac{4^2+6^2-(2\sqrt{7} )^2}{2\cdot 4\cdot 6}=\displaystyle\frac{1}{2}\).
Do \( MC=2MB\Rightarrow BM=\displaystyle\frac{1}{3}BC=2\).
Theo định lí hàm cô-sin, ta có
\(AM^2=AB^2+BM^2-2\cdot AB\cdot BM\cdot \cos B\)
\(=4^2+2^2-2\cdot 4\cdot 2\cdot \displaystyle\frac{1}{2}=12.\)
\(\Rightarrow AM=2\sqrt{3}\).
}
{
\begin{tikzpicture}[scale=0.9, font=\footnotesize, line join = round, line cap = round,>=stealth]
\tkzDefPoints{-2/0/B,0/3/A,5/0/C}
\coordinate (M) at (\((B)!0. 33!(C)\));
\tkzDrawPoints[fill=black](A,B,C,M)
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzDrawSegments(M,A)
\tkzLabelPoints[above](A)
\tkzLabelPoints[below](M,B,C)
\end{tikzpicture}
}
Câu 2:
Cho tam giác với ba cạnh \( a=13,b=14,c=15. \) Đường cao \( h_c \) bằng
Đáp án: \( 11\displaystyle\frac{1}{5} \)
Lời giải:
Ta có
\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) \(=84=\displaystyle\frac{1}{2}h_c \cdot 15\)
\(\Rightarrow h_c=11\displaystyle\frac{1}{5}.\)
Dạng 6. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Câu 1:
Tam giác \( ABC\) vuông tại \( A\) có \( AB=6\) cm, \( BC=10\) cm. Tính bán kính \( r\) của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.
Đáp án: \( r=2\) cm}
Lời giải:
Dùng Pitago tính được \( AC=8\), suy ra
\( p=\displaystyle\frac{AB+BC+CA}{2}=12\).
Diện tích tam giác vuông
\( S=\displaystyle\frac{1}{2}AB\cdot AC=24\).
Lại có
\( S=p\cdot r\Rightarrow r=\displaystyle\frac{S}{p}=2\) cm.
Câu 2:
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \) có ba cạnh là \( 5 \), \( 12 \), \( 13 \) bằng
Đáp án: \( 2 \)
Lời giải:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7, line join = round, line cap = round]\tikzset{label style/.style={font=\footnotesize}}
\def\tamnoitiep123)4){\path(\((\)2)!2mm!1)\()!0.5!(\)2)!2mm!3)\()\))
coordinate 2a)(\((\)1)!2mm!2)\()!0.5!(\)1)!2mm!3)\()\))
coordinate 1a)(intersection of2--2a and1-1a) coordinate 4);}
\draw (0,0) coordinate(B)--(5,0) coordinate (C)--(1,4) coordinate (A)--cycle;
\tamnoitiep (A,B,C)(I)
\path (\((A)!(I)!(B)\)) coordinate(M);
\draw (I) let \p1=(\((I)-(M)\)) in circle ({veclen(\x1,\y1)});
\coordinate (H) at (\((A)!(I)!(C)\));
\draw (I)--(H);
\foreach \x/ \g in {A/90,B/180,C/0,I/-90} \fill[black] (\x)circle (1pt) (\((\x)+(\g:3mm)\)) node {\x};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Nửa chu vi \( \triangle ABC \) là
\(p=\displaystyle\frac{5+12+13}{2}=15.\)
Diện tích tam giác là
\(S=\sqrt{15\cdot(15-5)\cdot(15-12)\cdot(15-13)}=30.\)
Bán kính đường tròn nội tiếp là
\(r=\displaystyle\frac{S}{p}=\displaystyle\frac{30}{15}=2.\)
Dạng 7. Ứng dụng thực tế
Câu 1:
Giả sử \( CD=h\) là chiều cao của tháp trong đó \( C\) là chân tháp. Chọn hai điểm \( A\), \(B\) trên mặt đất sao cho ba điểm \( A\), \(B\) và \( C\) thẳng hàng. Ta đo được \( AB=24\) m, \( \widehat{CAD}=63^\circ\), \(\widehat{CBD}=48^\circ\). Chiều cao \( h\) của tháp gần với giá trị nào sau đây?
Đáp án: \( 60{,}5\) m
Lời giải:
Ta có
\(\alpha =\widehat{D}+\beta \) nên \( \widehat{D}=\alpha -\beta =63^\circ-48^\circ=15^\circ\).
Áp dụng định lí sin vào tam giác \( ABD\), ta có
\(\displaystyle\frac{AD}{\sin \beta}=\displaystyle\frac{AB}{\sin D}\)
\(\Rightarrow AD=\displaystyle\frac{AB\cdot \sin \beta}{\sin D}\) \(=\displaystyle\frac{24\cdot \sin 48^\circ}{\sin 15^\circ}\simeq 68{,}91\) m.
Trong tam giác vuông \( ACD\), có
\(h=CD=AD\cdot \sin \alpha \simeq 61{,}4\) m.
Câu 2:
Từ vị trí \( A\) người ta quan sát một cây cao (hình vẽ). Biết \( AH=4\) m, \(HB=20\) m, \( \widehat{BAC}=45^\circ\). Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?
Đáp án: \( 17\) m
Lời giải:
Trong tam giác \( AHB\), ta có
\(\tan \widehat{ABH}=\displaystyle\frac{AH}{BH}=\displaystyle\frac{4}{20}\) \(=\displaystyle\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow \widehat{ABH}\simeq 11^\circ19'\).
Suy ra \(\widehat{ABC}=90^\circ-\widehat{ABH}=78^\circ41'\).
Suy ra
\(\widehat{ACB}=180^\circ-(\widehat{BAC}+\widehat{ABC} )=56^\circ19'\).
Áp dụng định lý sin trong tam giác \( ABC\), ta được
\(\displaystyle\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}=\displaystyle\frac{CB}{\sin \widehat{BAC}}\)
\(\Rightarrow CB=\displaystyle\frac{AB\cdot \sin \widehat{BAC}}{\sin \widehat{ACB}}\simeq 17\) m.