\(\S2.\) ĐỊNH LÍ CÔSIN VÀ ĐỊNH LÍ SIN
1. Định lý côsin trong tam giác
\(\bullet\ \) \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A;\)
\(\bullet\ \) \(b^2=a^2+c^2-2ac\cos B;\)
\(\bullet\ \) \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.\)
Hệ quả
\(\bullet\ \) \(\cos A=\displaystyle\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};\)
\(\bullet\ \) \(\cos B=\displaystyle\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac};\)
\(\bullet\ \) \(\cos C=\displaystyle\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.\)
2. Định lý sin trong tam giác
Trong tam giác \(ABC\) với \(BC=a\), \(CA=b\), \(AB=c\), ta có
\(\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\displaystyle\frac{b}{\sin B}=\displaystyle\frac{c}{\sin C}=2R,\)
trong đó \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Hệ quả.
\(\bullet\ \) \(a=2R\sin A;\qquad b=2R\sin B;\qquad\) \(c=2R\sin C;\)
\(\bullet\ \) \(\sin A=\displaystyle\frac{a}{2R};\qquad\sin B=\displaystyle\frac{b}{2R}; \qquad\ \) \(\sin C=\displaystyle\frac{c}{2R}.\)
3. Các công thức tính diện tích tam giác
Cho tam giác \(ABC\), ta kí hiệu:
\(*\) \(h_a\), \(h_b\), \(h_c\) là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh \(BC\), \(CA\), \(AB\).
\(*\) \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
\(*\) \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\) là nửa chu vi của tam giác.
\(*\) \(S\) là diện tích tam giác.
Ta có các công thức tính diện tích sau
\(\bullet\ \) \(S=\displaystyle\frac{1}{2}ah_a=\displaystyle\frac{1}{2}bh_b=\displaystyle\frac{1}{2}ch_c\);
\(\bullet\ \) \(S=\displaystyle\frac{1}{2}ab\sin C=\displaystyle\frac{1}{2}ac\sin B=\displaystyle\frac{1}{2}bc\sin A\);
\(\bullet\ \) \(S=\displaystyle\frac{abc}{4R}\);
\(\bullet\ \) \(S=pr\);
\(\bullet\ \) \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) (Công thức Heron)
Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn
Dạng 1. Tính độ dài cạnh và các góc của tam giác
Dạng 2. Tính độ dài đường trung tuyến
Dạng 3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Dạng 4. Tính diện tích tam giác
Dạng 6. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Dạng 1. Tính độ dài cạnh và các góc của tam giác
Câu 1:
Tam giác \( ABC \) có \( AB=7 \), \( AC = 5 \) và \( \cos (B+C)=-\displaystyle\frac{1}{5} \). Độ dài cạnh \( BC \) bằng
Đáp án: \(2\sqrt{15}\)
Lời giải:
Ta có
\(\cos(B+C)=\cos(180^\circ -A)=-\cos A\Rightarrow \cos A\) \(=\displaystyle\frac{1}{5} \).
Ta có
\( BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot \cos A\) \(=7^2+5^2-2\cdot 7\cdot 5\cdot \displaystyle\frac{1}{5}60^{\circ}\)
\(\Rightarrow BC\) \(=2\sqrt{15}\).
Câu 2:
Tam giác \( ABC \) có góc \( B \) tù, \( AB=3,AC=4 \) và có diện tích bằng \( 3\sqrt{3}. \) Góc \( A \) có số đo bằng
Đáp án: \( 60^{\circ} \)
Lời giải:
Ta có
\(S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC \sin A\) \(=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \sin A\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}.\)
Nên \( \hat{A}=60^{\circ}. \)
Dạng 2. Tính độ dài đường trung tuyến
Câu 1:
Hình bình hành có hai cạnh là \( 9 \) và \( 5 \), một đường chéo bằng \( 11\). Tìm độ dài đường chéo còn lại.
Đáp án: \(\sqrt{91}\)
Lời giải:
Ta có
\(\cos \widehat{ADC}=\displaystyle\frac{AD^2+DC^2-AC^2}{2AD\cdot DC}\)
\(=\displaystyle\frac{9^2+5^2-11^2}{2\cdot 9\cdot 5}=-\displaystyle\frac{1}{6}\).
Ta lại có
\(\cos\widehat{DCB}=\cos(180^\circ-\widehat{ADC})\)
\(=-\cos \widehat{ADC}=\displaystyle\frac{1}{6} \).
Do đó
\(DB^2=DC^2+BC^2-2CD\cdot BC\cos\widehat{DCB}\)
\(=9^2+5^2-2\cdot 9\cdot 5\cdot \displaystyle\frac{1}{6}=91\)
\(\Rightarrow DB=\sqrt{91}\).
Câu 2:
Cho tam giác \( DEF \) có \( DE=DF=10 \) cm và \( EF=12 \) cm. Gọi \( I \) là trung điểm của cạnh \( EF. \) Đoạn thẳng \( DI \) có độ dài bằng
Đáp án: \( 8 \) cm
Lời giải:
\(DI=\sqrt{\displaystyle\frac{DE^2+DF^2}{2}-\displaystyle\frac{EF^2}{4}}=8.\)
Dạng 3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Câu 1:
Cho tam giác \( ABC \) nội tiếp đường tròn bán kính \( R \), \( AB=R \), \( AC =R\sqrt{2} \). Tính góc \( \widehat{BAC} \) biết \( \widehat{BAC} \) là góc tù.
Đáp án: \( 105^\circ\)
Lời giải:
Ta có
\(\displaystyle\frac{AB}{\sin C}=\displaystyle\frac{BC}{\sin A}\) \(=\displaystyle\frac{CA}{\sin B}=2R\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{R}{\sin C}=\displaystyle\frac{BC}{\sin A}\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{2}R}{\sin B}=2R\)
\(\Rightarrow\begin{cases}\sin C=\displaystyle\frac{1}{2}\\ \sin B=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}\)
\(\Rightarrow \begin{cases}\widehat{B}=450^\circ\\ \widehat{C}=30^\circ.\end{cases}\)
Do đó
\(\widehat{A}=180^\circ-(\widehat{B}-\widehat{C})\) \(=180^\circ-(45^\circ+30^\circ)=105^\circ\).
Câu 2:
Cho tam giác \( ABC\) có \( AB=3\sqrt{3}\), \(BC=6\sqrt{3}\) và \( CA=9\). Gọi \( D\) là trung điểm \( BC\). Tính bán kính \( R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABD\).
Đáp án: \( R=3\)
Lời giải:
Vì \( D\) là trung điểm của \( BC\)
\(\Rightarrow \) \( AD^2=\displaystyle\frac{AB^2+AC^2}{2}-\displaystyle\frac{BC^2}{4}=27\)
\(\Rightarrow \) \( AD=3\sqrt{3}\).
Tam giác \( ABD\) có \( AB=BD=DA=3\sqrt{3}\) \( \Rightarrow \) tam giác \( ABD\) đều.
Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp là
\( R=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}AB=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3\sqrt{3}=3\).
Dạng 4. Tính diện tích tam giác
Câu 1:
Tam giác \( ABC \) có \( AB=10,AC=24 \) và diện tích tam giác \( ABC \) bằng \( 120. \) Độ dài đường trung tuyến \( AM \) bằng
Đáp án: \( 13 \)
Lời giải:
Ta có:
\(\sin A=\displaystyle\frac{2S}{AB \cdot AC}=1\)
\(\Rightarrow \) Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A. \)
Nên \( AM=\displaystyle\frac{BC}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{AB^2+AC^2}}{2}=13.\)
Câu 2:
Tam giác \( ABC\) vuông tại \( A\) có \( AB=AC=30\) cm. Hai đường trung tuyến \( BF\) và \( CE\) cắt nhau tại \( G\). Diện tích tam giác \( GFC\) bằng
Đáp án: \( \text{75 c}{{\text{m}}^{\text{2}}}\)
Lời giải:
Vì \( F\) là trung điểm của \( AC\) \( \Rightarrow \) \( FC=\displaystyle\frac{1}{2}AC=15\) cm.
Do \( G\) là trọng tâm tam giác \( ABC\) nên
\(\displaystyle\frac{\mathrm{d}(B;(AC ) )}{\mathrm{d}(G;(AC ))}=\displaystyle\frac{BF}{GF}=3.\)
\(\Rightarrow \mathrm{d}(G;(AC ) )=\displaystyle\frac{1}{3}\mathrm{d}(B;(AC ))\) \(=\displaystyle\frac{AB}{3}=10\) cm.
Vậy diện tích tam giác \( GFC\) là
\(S_{\Delta GFC}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \mathrm{d}(G;(AC))\cdot FC\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 15=75\) cm\(^2\).
}
{
\begin{tikzpicture}[scale=1, font=\footnotesize, line join = round, line cap = round,>=stealth]
\tkzDefPoints{0/0/B,4/0/C,2/2/A}
\tkzDefMidPoint(A,C) \tkzGetPoint{F}
\tkzDefMidPoint(A,B) \tkzGetPoint{E}
\tkzInterLL(F,B)(C,E) \tkzGetPoint{G}
\tkzDrawPoints[fill=black](A,B,C,E,F,G)
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzDrawSegments(F,B C,E)
\tkzLabelPoints[above](A)
\tkzLabelPoints[below](B,C,G)
\tkzLabelPoints[left](E)
\tkzLabelPoints[right](F)
\tkzMarkRightAngles[size=0.2](C,A,B)
\end{tikzpicture}
}
Dạng 5. Tính độ dài đường cao
Câu 1:
Tam giác \( MPQ\) vuông tại \( P\). Trên cạnh \( MQ\) lấy hai điểm \( E\), \(F\) sao cho các góc \( \widehat{MPE}\), \(\widehat{EPF}\), \(\widehat{FPQ}\) bằng nhau. Đặt \( MP=q\), \(PQ=m\), \(PE=x\), \(PF=y\). Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?
Đáp án: \( MF^2=q^2+y^2-yq\)
Lời giải:
Ta có
\( \widehat{MPE}=\widehat{EPF}=\widehat{FPQ}=\displaystyle\frac{\widehat{MPQ}}{3}=30^\circ.\)
\(\Rightarrow \widehat{MPF}=\widehat{EPQ}=60^\circ\).
Theo định lí hàm cô-sin, ta có
\(ME^2 =PM^2+PE^2-2\cdot PM\cdot PE\cdot \cos \widehat{MPE}\)
\(=q^2+x^2-2qx\cdot \cos 30^\circ =q^2+x^2-qx\sqrt{3}.\)
\(MF^2 =PM^2+PF^2-2PM\cdot PF\cdot \cos \widehat{MPF}\)
\(=q^2+y^2-2qy\cdot \cos 60^\circ\)
\(=q^2+y^2-qy.\)
\(MQ^2=MP^2+PQ^2=q^2+m^2\).
}
{\begin{tikzpicture}[scale=1, font=\footnotesize, line join = round, line cap = round,>=stealth]
\tkzDefPoints{0/0/M,2/3/P,1/0/x}
\tkzDefPointBy[rotation = center P angle 30](M) \tkzGetPoint{e}
\tkzDefPointBy[rotation = center P angle 30](e) \tkzGetPoint{f}
\tkzDefPointBy[rotation = center P angle 30](f) \tkzGetPoint{q}
\tkzInterLL(M,x)(P,e) \tkzGetPoint{E}
\tkzInterLL(M,x)(P,f) \tkzGetPoint{F}
\tkzInterLL(M,x)(P,q) \tkzGetPoint{Q}
\tkzDrawPoints[fill=black](M,Q,P,E,F)
\tkzDrawPolygon(P,M,Q)
\tkzDrawSegments(P,E P,F)
\tkzLabelPoints[above](P)
\tkzLabelPoints[below](M,E,F,Q)
\end{tikzpicture}}
Câu 2:
Tam giác \( ABC\) có \( BC=2\sqrt{3}\), \(AC=2AB\) và độ dài đường cao \( AH=2\). Tính độ dài cạnh \( AB\).
Đáp án: \( AB=2\) hoặc \( AB=\displaystyle\frac{2\sqrt{21}}{3}\)
Lời giải:
Ta có
\( S=\displaystyle\frac{1}{2}BC\cdot AH=2\sqrt{3}\), \( p=\displaystyle\frac{AB+BC+CA}{2}=\displaystyle\frac{2\sqrt{3}+3AB}{2}\).
Suy ra
\(S=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{3AB+2\sqrt{3}}{2} \right)\left(\displaystyle\frac{3AB-2\sqrt{3}}{2} \right)\left(\displaystyle\frac{2\sqrt{3}-AB}{2} \right)\left(\displaystyle\frac{2\sqrt{3}+AB}{2}\right)}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{3}=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{3AB+2\sqrt{3}}{2} \right)\left(\displaystyle\frac{3AB-2\sqrt{3}}{2} \right)\left(\displaystyle\frac{2\sqrt{3}-AB}{2} \right)\left(\displaystyle\frac{2\sqrt{3}+AB}{2}\right)}\)
\(\Leftrightarrow12=\displaystyle\frac{(9AB^2-12 )(12-AB^2 )}{16}\)
\(\Leftrightarrow AB=2\) hoặc \(AB=\displaystyle\frac{2\sqrt{21}}{3}.\)
Dạng 6. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Câu 1:
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \) có ba cạnh là \( 5 \), \( 12 \), \( 13 \) bằng
Đáp án: \( 2 \)
Lời giải:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7, line join = round, line cap = round]\tikzset{label style/.style={font=\footnotesize}}
\def\tamnoitiep123)4){\path(\((\)2)!2mm!1)\()!0.5!(\)2)!2mm!3)\()\))
coordinate 2a)(\((\)1)!2mm!2)\()!0.5!(\)1)!2mm!3)\()\))
coordinate 1a)(intersection of2--2a and1-1a) coordinate 4);}
\draw (0,0) coordinate(B)--(5,0) coordinate (C)--(1,4) coordinate (A)--cycle;
\tamnoitiep (A,B,C)(I)
\path (\((A)!(I)!(B)\)) coordinate(M);
\draw (I) let \p1=(\((I)-(M)\)) in circle ({veclen(\x1,\y1)});
\coordinate (H) at (\((A)!(I)!(C)\));
\draw (I)--(H);
\foreach \x/ \g in {A/90,B/180,C/0,I/-90} \fill[black] (\x)circle (1pt) (\((\x)+(\g:3mm)\)) node {\x};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Nửa chu vi \( \triangle ABC \) là
\(p=\displaystyle\frac{5+12+13}{2}=15.\)
Diện tích tam giác là
\(S=\sqrt{15\cdot(15-5)\cdot(15-12)\cdot(15-13)}=30.\)
Bán kính đường tròn nội tiếp là
\(r=\displaystyle\frac{S}{p}=\displaystyle\frac{30}{15}=2.\)
Câu 2:
Tam giác \( ABC\) có \( a=21\), \(b=17\), \(c=10\). Tính bán kính \( r\) của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.
Đáp án: \( r=\displaystyle\frac{7}{2}\)
Lời giải:
Ta có
\( p=\displaystyle\frac{21+17+10}{2}=24\).
Suy ra
\( S=\sqrt{24(24-21 )(24-17 )(24-10 )}=84\).
Lại có
\( S=p\cdot r\)
\(\Rightarrow r=\displaystyle\frac{S}{p}=\displaystyle\frac{84}{24}\) \(=\displaystyle\frac{7}{2}\).
Dạng 7. Ứng dụng thực tế
Câu 1:
Để đo khoảng cách từ một điểm \( A\) trên bờ sông đến gốc cây \( C\) trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm \( B\) cùng ở trên bờ với \( A\) sao cho từ \( A\) và \( B\) có thể nhìn thấy điểm \( C\). Ta đo được khoảng cách \( AB=40\) m, \( \widehat{CAB}=45^\circ\) và \( \widehat{CBA}=70^\circ\). Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng cách \( AC\) gần nhất với giá trị nào sau đây?
Đáp án: \( 41{,}5\) m
Lời giải:
\(\widehat{C}=180^\circ-(\widehat{A}+\widehat{B})=115^\circ\).
Áp dụng định lí sin vào tam giác \( ABC\), ta có
\(\displaystyle\frac{AC}{\sin B}=\displaystyle\frac{AB}{\sin C}\) \(\Rightarrow AC=\displaystyle\frac{AB\cdot \sin B}{\sin C}\) \(=\displaystyle\frac{40\cdot \sin 70^\circ}{\sin 115^\circ}\simeq 41{,}47\) m.
Câu 2:
Giả sử \( CD=h\) là chiều cao của tháp trong đó \( C\) là chân tháp. Chọn hai điểm \( A\), \(B\) trên mặt đất sao cho ba điểm \( A\), \(B\) và \( C\) thẳng hàng. Ta đo được \( AB=24\) m, \( \widehat{CAD}=63^\circ\), \(\widehat{CBD}=48^\circ\). Chiều cao \( h\) của tháp gần với giá trị nào sau đây?
Đáp án: \( 60{,}5\) m
Lời giải:
Ta có
\(\alpha =\widehat{D}+\beta \) nên \( \widehat{D}=\alpha -\beta =63^\circ-48^\circ=15^\circ\).
Áp dụng định lí sin vào tam giác \( ABD\), ta có
\(\displaystyle\frac{AD}{\sin \beta}=\displaystyle\frac{AB}{\sin D}\)
\(\Rightarrow AD=\displaystyle\frac{AB\cdot \sin \beta}{\sin D}\) \(=\displaystyle\frac{24\cdot \sin 48^\circ}{\sin 15^\circ}\simeq 68{,}91\) m.
Trong tam giác vuông \( ACD\), có
\(h=CD=AD\cdot \sin \alpha \simeq 61{,}4\) m.