\(\S2.\) ĐỊNH LÍ CÔSIN VÀ ĐỊNH LÍ SIN
1. Định lý côsin trong tam giác
\(\bullet\ \) \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A;\)
\(\bullet\ \) \(b^2=a^2+c^2-2ac\cos B;\)
\(\bullet\ \) \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.\)
Hệ quả
\(\bullet\ \) \(\cos A=\displaystyle\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};\)
\(\bullet\ \) \(\cos B=\displaystyle\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac};\)
\(\bullet\ \) \(\cos C=\displaystyle\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.\)
2. Định lý sin trong tam giác
Trong tam giác \(ABC\) với \(BC=a\), \(CA=b\), \(AB=c\), ta có
\(\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\displaystyle\frac{b}{\sin B}=\displaystyle\frac{c}{\sin C}=2R,\)
trong đó \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Hệ quả.
\(\bullet\ \) \(a=2R\sin A;\qquad b=2R\sin B;\qquad\) \(c=2R\sin C;\)
\(\bullet\ \) \(\sin A=\displaystyle\frac{a}{2R};\qquad\sin B=\displaystyle\frac{b}{2R}; \qquad\ \) \(\sin C=\displaystyle\frac{c}{2R}.\)
3. Các công thức tính diện tích tam giác
Cho tam giác \(ABC\), ta kí hiệu:
\(*\) \(h_a\), \(h_b\), \(h_c\) là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh \(BC\), \(CA\), \(AB\).
\(*\) \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
\(*\) \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\) là nửa chu vi của tam giác.
\(*\) \(S\) là diện tích tam giác.
Ta có các công thức tính diện tích sau
\(\bullet\ \) \(S=\displaystyle\frac{1}{2}ah_a=\displaystyle\frac{1}{2}bh_b=\displaystyle\frac{1}{2}ch_c\);
\(\bullet\ \) \(S=\displaystyle\frac{1}{2}ab\sin C=\displaystyle\frac{1}{2}ac\sin B=\displaystyle\frac{1}{2}bc\sin A\);
\(\bullet\ \) \(S=\displaystyle\frac{abc}{4R}\);
\(\bullet\ \) \(S=pr\);
\(\bullet\ \) \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) (Công thức Heron)
Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn
Dạng 1. Tính độ dài cạnh và các góc của tam giác
Dạng 2. Tính độ dài đường trung tuyến
Dạng 3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Dạng 4. Tính diện tích tam giác
Dạng 6. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Dạng 1. Tính độ dài cạnh và các góc của tam giác
Câu 1:
Tam giác \( ABC \) có \( BC=10 \) và \(\displaystyle\frac{\sin A}{5}=\displaystyle\frac{\sin B}{4}=\displaystyle\frac{\sin C}{3}\). Chu vi của tam giác đó bằng
Đáp án: \(24\)
Lời giải:
Ta có
\(\displaystyle\frac{\sin A}{5}=\displaystyle\frac{\sin B}{4}\) \(=\displaystyle\frac{\sin C}{3}\)
hay
\(\displaystyle\frac{5}{\sin A}=\displaystyle\frac{4}{\sin B}\) \(=\displaystyle\frac{3}{\sin C}\) \(=t\Rightarrow\begin{cases}\sin A=\displaystyle\frac{5}{t}\\ \sin B=\displaystyle\frac{4}{t}\\ \sin C=\displaystyle\frac{3}{t}.\end{cases}\quad (*)\)
Ta lại có
\(\displaystyle\frac{AB}{\sin C}=\displaystyle\frac{AC}{\sin B}\) \(=\displaystyle\frac{BC}{\sin A}\)
và kết hợp với (*), ta được:
\(\displaystyle\frac{BC\cdot t}{5}=\displaystyle\frac{AC\cdot t}{4}\) \(=\displaystyle\frac{AB\cdot t}{3}\)
\(\Rightarrow \begin{cases}AC=\displaystyle\frac{4BC}{5}\\ AB=\displaystyle\frac{3BC}{5}.\end{cases}\)
Với \( BC=10 \) thì \( AC=8 \) và \( AB=6 \).
Vậy chu vi của \( \triangle ABC \) là \( 24 \).
Câu 2:
Tam giác \( ABC \) có \( \widehat{BAC}=105^{\circ},\widehat{ABC}=45^{\circ} \) và \( AC=10. \) Độ dài cạnh \( AB \) bằng
Đáp án: \( 5\sqrt{2} \)
Lời giải:
Ta có
\(\displaystyle\frac{AB}{\sin \widehat{BCA}}=\displaystyle\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}\)
\(\Rightarrow AB\) \(=\displaystyle\frac{10\sin 30^{\circ} }{\sin 45^{\circ}}\) \(=5\sqrt{2}.\)
Dạng 2. Tính độ dài đường trung tuyến
Câu 1:
Hình bình hành có hai cạnh là \( 9 \) và \( 5 \), một đường chéo bằng \( 11\). Tìm độ dài đường chéo còn lại.
Đáp án: \(\sqrt{91}\)
Lời giải:
Ta có
\(\cos \widehat{ADC}=\displaystyle\frac{AD^2+DC^2-AC^2}{2AD\cdot DC}\)
\(=\displaystyle\frac{9^2+5^2-11^2}{2\cdot 9\cdot 5}=-\displaystyle\frac{1}{6}\).
Ta lại có
\(\cos\widehat{DCB}=\cos(180^\circ-\widehat{ADC})\)
\(=-\cos \widehat{ADC}=\displaystyle\frac{1}{6} \).
Do đó
\(DB^2=DC^2+BC^2-2CD\cdot BC\cos\widehat{DCB}\)
\(=9^2+5^2-2\cdot 9\cdot 5\cdot \displaystyle\frac{1}{6}=91\)
\(\Rightarrow DB=\sqrt{91}\).
Câu 2:
Tam giác \( ABC\) cân tại \( C\), có \( AB=9\) cm và \( AC=\displaystyle\frac{15}{2}\) cm. Gọi \( D\) là điểm đối xứng của \( B\) qua \( C\). Tính độ dài cạnh \( AD\)
Đáp án: \( AD=12\) cm
Lời giải:
Ta có \( D\) là điểm đối xứng của \( B\) qua \( C\) suy ra \( C\) là trung điểm của \( BD\).
\(\Rightarrow AC\) là trung tuyến của tam giác \(DAB\).
Suy ra \( BD=2BC=2AC=15\).
Theo hệ thức trung tuyến ta có
\(AC^2=\displaystyle\frac{AB^2+AD^2}{2}-\displaystyle\frac{BD^2}{4}\)
\(\Rightarrow AD^2=2AC^2+\displaystyle\frac{BD^2}{2}-AB^2\)
\(\Rightarrow AD^2= 2\cdot \left(\displaystyle\frac{15}{2} \right)^2+\displaystyle\frac{15^2}{2}-9^2=144.\)
\(\Rightarrow AD=12.\)
Dạng 3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Câu 1:
Tam giác đều cạnh \( a\) nội tiếp trong đường tròn bán kính \( R\). Khi đó bán kính \( R\) bằng
Đáp án: \( R=\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Lời giải:
Ta có
\( S_{\Delta ABC}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A\) \(=\displaystyle\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
Vậy bán kính cần tính là
\(R=\displaystyle\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4\cdot S_{\Delta ABC}}\)
\(=\displaystyle\frac{a^3}{4\cdot \displaystyle\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}=\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{3}\).
Câu 2:
Cho tam giác \( ABC \) nội tiếp đường tròn bán kính \( R \), \( AB=R \), \( AC =R\sqrt{2} \). Tính góc \( \widehat{BAC} \) biết \( \widehat{BAC} \) là góc tù.
Đáp án: \( 105^\circ\)
Lời giải:
Ta có
\(\displaystyle\frac{AB}{\sin C}=\displaystyle\frac{BC}{\sin A}\) \(=\displaystyle\frac{CA}{\sin B}=2R\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{R}{\sin C}=\displaystyle\frac{BC}{\sin A}\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{2}R}{\sin B}=2R\)
\(\Rightarrow\begin{cases}\sin C=\displaystyle\frac{1}{2}\\ \sin B=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}\)
\(\Rightarrow \begin{cases}\widehat{B}=450^\circ\\ \widehat{C}=30^\circ.\end{cases}\)
Do đó
\(\widehat{A}=180^\circ-(\widehat{B}-\widehat{C})\) \(=180^\circ-(45^\circ+30^\circ)=105^\circ\).
Dạng 4. Tính diện tích tam giác
Câu 1:
Tam giác \( ABC\) vuông tại \( A\) có \( AB=AC=30\) cm. Hai đường trung tuyến \( BF\) và \( CE\) cắt nhau tại \( G\). Diện tích tam giác \( GFC\) bằng
Đáp án: \( \text{75 c}{{\text{m}}^{\text{2}}}\)
Lời giải:
Vì \( F\) là trung điểm của \( AC\) \( \Rightarrow \) \( FC=\displaystyle\frac{1}{2}AC=15\) cm.
Do \( G\) là trọng tâm tam giác \( ABC\) nên
\(\displaystyle\frac{\mathrm{d}(B;(AC ) )}{\mathrm{d}(G;(AC ))}=\displaystyle\frac{BF}{GF}=3.\)
\(\Rightarrow \mathrm{d}(G;(AC ) )=\displaystyle\frac{1}{3}\mathrm{d}(B;(AC ))\) \(=\displaystyle\frac{AB}{3}=10\) cm.
Vậy diện tích tam giác \( GFC\) là
\(S_{\Delta GFC}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \mathrm{d}(G;(AC))\cdot FC\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 15=75\) cm\(^2\).
}
{
\begin{tikzpicture}[scale=1, font=\footnotesize, line join = round, line cap = round,>=stealth]
\tkzDefPoints{0/0/B,4/0/C,2/2/A}
\tkzDefMidPoint(A,C) \tkzGetPoint{F}
\tkzDefMidPoint(A,B) \tkzGetPoint{E}
\tkzInterLL(F,B)(C,E) \tkzGetPoint{G}
\tkzDrawPoints[fill=black](A,B,C,E,F,G)
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzDrawSegments(F,B C,E)
\tkzLabelPoints[above](A)
\tkzLabelPoints[below](B,C,G)
\tkzLabelPoints[left](E)
\tkzLabelPoints[right](F)
\tkzMarkRightAngles[size=0.2](C,A,B)
\end{tikzpicture}
}
Câu 2:
Tam giác \( ABC\) có \( AB=8\) cm, \( AC=18\) cm và có diện tích bằng \( 64\) cm\(^2 \). Tính \( \sin A\).
Đáp án: \( \sin A=\displaystyle\frac{8}{9}\)
Lời giải:
Ta có
\( S_{\Delta ABC}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin \widehat{BAC}\Leftrightarrow 64\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 18\cdot \sin A\)
\(\Leftrightarrow \sin A=\displaystyle\frac{8}{9}\).
Dạng 5. Tính độ dài đường cao
Câu 1:
Tam giác \( ABC\) có \( AB=3\), \(AC=6\), \(\widehat{BAC}=60^\circ \). Tính độ dài đường cao \( h_a\) của tam giác.
Đáp án: \( h_a=3\)
Lời giải:
Áp dụng định lý hàm số cô-sin, ta có
\( BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos A=27\Rightarrow BC=3\sqrt{3}\).
Ta có
\(S_{\Delta ABC}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin{A}\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6\cdot \sin 60^\circ=\displaystyle\frac{9\sqrt{3}}{2}\).
Lại có
\(S_{\Delta ABC}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot BC\cdot h_a\)
\(\Rightarrow h_a=\displaystyle\frac{2S}{BC}=3\).
Câu 2:
Cho tam giác với ba cạnh \( a=13,b=14,c=15. \) Đường cao \( h_c \) bằng
Đáp án: \( 11\displaystyle\frac{1}{5} \)
Lời giải:
Ta có
\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) \(=84=\displaystyle\frac{1}{2}h_c \cdot 15\)
\(\Rightarrow h_c=11\displaystyle\frac{1}{5}.\)
Dạng 6. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Câu 1:
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \) có ba cạnh là \( 5 \), \( 12 \), \( 13 \) bằng
Đáp án: \( 2 \)
Lời giải:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7, line join = round, line cap = round]\tikzset{label style/.style={font=\footnotesize}}
\def\tamnoitiep123)4){\path(\((\)2)!2mm!1)\()!0.5!(\)2)!2mm!3)\()\))
coordinate 2a)(\((\)1)!2mm!2)\()!0.5!(\)1)!2mm!3)\()\))
coordinate 1a)(intersection of2--2a and1-1a) coordinate 4);}
\draw (0,0) coordinate(B)--(5,0) coordinate (C)--(1,4) coordinate (A)--cycle;
\tamnoitiep (A,B,C)(I)
\path (\((A)!(I)!(B)\)) coordinate(M);
\draw (I) let \p1=(\((I)-(M)\)) in circle ({veclen(\x1,\y1)});
\coordinate (H) at (\((A)!(I)!(C)\));
\draw (I)--(H);
\foreach \x/ \g in {A/90,B/180,C/0,I/-90} \fill[black] (\x)circle (1pt) (\((\x)+(\g:3mm)\)) node {\x};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Nửa chu vi \( \triangle ABC \) là
\(p=\displaystyle\frac{5+12+13}{2}=15.\)
Diện tích tam giác là
\(S=\sqrt{15\cdot(15-5)\cdot(15-12)\cdot(15-13)}=30.\)
Bán kính đường tròn nội tiếp là
\(r=\displaystyle\frac{S}{p}=\displaystyle\frac{30}{15}=2.\)
Câu 2:
Tính bán kính \( r\) của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh \( a\).
Đáp án: \( r=\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{6}\)
Lời giải:
Diện tích tam giác đều cạnh \( a\) bằng
\( S=\displaystyle\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
Lại có
\( S=pr\Rightarrow r=\displaystyle\frac{S}{p}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{\displaystyle\frac{3a}{2}}\) \(=\displaystyle\frac{a\sqrt{3}}{6}\).
Dạng 7. Ứng dụng thực tế
Câu 1:
Để đo khoảng cách từ một điểm \( A\) trên bờ sông đến gốc cây \( C\) trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm \( B\) cùng ở trên bờ với \( A\) sao cho từ \( A\) và \( B\) có thể nhìn thấy điểm \( C\). Ta đo được khoảng cách \( AB=40\) m, \( \widehat{CAB}=45^\circ\) và \( \widehat{CBA}=70^\circ\). Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng cách \( AC\) gần nhất với giá trị nào sau đây?
Đáp án: \( 41{,}5\) m
Lời giải:
\(\widehat{C}=180^\circ-(\widehat{A}+\widehat{B})=115^\circ\).
Áp dụng định lí sin vào tam giác \( ABC\), ta có
\(\displaystyle\frac{AC}{\sin B}=\displaystyle\frac{AB}{\sin C}\) \(\Rightarrow AC=\displaystyle\frac{AB\cdot \sin B}{\sin C}\) \(=\displaystyle\frac{40\cdot \sin 70^\circ}{\sin 115^\circ}\simeq 41{,}47\) m.
Câu 2:
Giả sử \( CD=h\) là chiều cao của tháp trong đó \( C\) là chân tháp. Chọn hai điểm \( A\), \(B\) trên mặt đất sao cho ba điểm \( A\), \(B\) và \( C\) thẳng hàng. Ta đo được \( AB=24\) m, \( \widehat{CAD}=63^\circ\), \(\widehat{CBD}=48^\circ\). Chiều cao \( h\) của tháp gần với giá trị nào sau đây?
Đáp án: \( 60{,}5\) m
Lời giải:
Ta có
\(\alpha =\widehat{D}+\beta \) nên \( \widehat{D}=\alpha -\beta =63^\circ-48^\circ=15^\circ\).
Áp dụng định lí sin vào tam giác \( ABD\), ta có
\(\displaystyle\frac{AD}{\sin \beta}=\displaystyle\frac{AB}{\sin D}\)
\(\Rightarrow AD=\displaystyle\frac{AB\cdot \sin \beta}{\sin D}\) \(=\displaystyle\frac{24\cdot \sin 48^\circ}{\sin 15^\circ}\simeq 68{,}91\) m.
Trong tam giác vuông \( ACD\), có
\(h=CD=AD\cdot \sin \alpha \simeq 61{,}4\) m.