Đáp án: Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất

Lời giải:

Nếu \(2\) mặt phẳng trùng nhau, khi đó \(2\) mặt phẳng có vô số điểm chung và chung nhau vô số đường thẳng.

Đáp án: \(1 \)

Lời giải:

\(4\) điểm \(A,B,C,D\) tạo thành \(1\) tứ giác, khi đó \(4\) điểm \(A,B,C,D\) đã đồng phẳng và tạo thành \(1\) mặt phẳng duy nhất là mặt phẳng \(\left(ABCD\right)\).

Đáp án: Đường thẳng \(CE\)

Lời giải:

Ta có \(C=(EAC)\cap (SCD)\).\quad (1).

Mặt khác \(\begin{cases} E\in SD;\text{ }SD\in (SCD)\Rightarrow E\in (SCD) \\ E\in (EAC)\end{cases}\Rightarrow E\in (EAC)\cap (SCD)\). \quad (2)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \((EAC)\cap (SCD)=CE\).

Đáp án: \(EF\)

Lời giải:

Ta có

\(\begin{cases}E\in (CDE)\cap(ABF)\\F\in (CDE)\cap(ABF)\end{cases}\) suy ra \(EF= (CDE)\cap(ABF)\).

Đáp án: \(CD\) và \(NP\)

Lời giải:

Trong \((BCD)\), \(CD\cap NP=I \Rightarrow CD\cap(MNP)=I\).

Vậy giao điểm của \(CD\) và mặt phẳng \((MNP)\) là giao điểm của \(CD\) và \(NP\).

Đáp án: \(CD\) và \(NP\)

Lời giải:

Ta có \(\displaystyle\frac{BN}{BC}=\displaystyle\frac{1}{2}\) và \(\displaystyle\frac{BP}{BD}=\displaystyle\frac{2}{3}\) nên \(\displaystyle\frac{BN}{BC}\neq \displaystyle\frac{BP}{BD}\) suy ra \(NP\) cắt \(CD\).

Gọi \(I=NP\cap CD\). Khi đó

\(\left\{\begin{aligned}I\in NP, NP\subset (MNP) \\I\in CD\end{aligned}\right. \Rightarrow I\in CD\cap (MNP).\)

a) Đường thẳng \(B C\) có hai điểm phân biệt \(B, C\) thuộc mặt phẳng \((A B C)\) nên đường thẳng \(B C\) nằm trong mặt phẳng \((A B C)\). Vì \(M\) thuộc đường thẳng \(B C\) nên \(M\) thuộc mặt phẳng \((A B C)\).

b) Đường thẳng \(A M\) có hai điểm phân biệt \(A, M\) thuộc mặt phẳng

\((A B C)\) nên đường thẳng \(AM\) nằm trong mặt phẳng \((A B C)\).

Áp dụng tính chất 2, ta có \((P)\) là mặt phẳng duy nhất đi qua ba điểm \(A, B, C\). Áp dụng tính chất 3, ta có mọi điểm của đường thẳng \(BC\) đều thuộc mặt phằng \((P)\). Ta lại có \(M\in BC\) (giả thiết). Suy ra \(M \in(P)\).

a) Đường thẳng \(D E\) có hai điểm phân biệt \(D\) và \(E\) thuộc mặt phẳng \((S A B)\) nên đường thẳng này nằm trong mặt phẳng \((SAB)\).

b) Ta có \(F=DE\cap AB\Rightarrow \begin{cases}F \in AB \subset (SAB) \\F \in DE \subset (CDE)\end{cases}\)

\(\Rightarrow F \in (S A B)\cap(C D E).\)

a) Ta có \(M\in SA\subset (SAC)\Rightarrow M\in (SAC)\).\hfill (1)

\(N\in SC\subset (SAC)\Rightarrow N\in (SAC)\).\hfill (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MN\subset (SAC)\).

b) Ta có \(\begin{cases}O\in AC \subset (SAC)\\O\in BD \subset (SBD)\end{cases}\Rightarrow O\in (SAC)\cap (SBD)\).

Vì \(M\in (ABM)\) và \(M\in SC \subset (SCD)\) nên \(M\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \((ABM)\) và \((SCD)\).

Mặt khác \(N=AB\cap CD\Rightarrow \begin{cases}N \in AB \subset (ABM) \\N \in CD \subset (SCD)\end{cases}\)\(\Rightarrow N \in (ABM)\cap(S CD).\)

Hay \(N\) là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng \((ABM)\) và \((SCD)\).

Vậy \((ABM)\cap (SCD)=MN\).

wHinhBaitapSGK11/chuong4/11c4b1h7.png

a) Trong \((SAC)\colon AM \cap SO=I\).

Ta có \(\begin{cases}I\in AM\\I\in SO \subset (SBD)\end{cases}\Rightarrow I=AM\cap (SBD)\).

Tam giác \(SAC\) có hai đường trung tuyến \(AM\) và \(SO\) cắt nhau tại \(I\), suy ra \(I\) là trọng tâm của tam giác \(SAC\). Từ đó ta có \(IA=2IM\) (đpcm).

b) Trong \((SBD)\colon BI\cap SD=E\).

Ta có \(\begin{cases}E\in SD\\E\in BI \subset (ABM)\end{cases}\Rightarrow E=SD\cap (ABM)\).

c) Trong \((ABCD)\colon CN\cap BD=F\).

Trong \((SNC)\colon SF\cap MN=J\).

Ta có \(\begin{cases}J\in MN\\I\in SF\subset (SBD)\end{cases}\Rightarrow J=MN\cap (SBD)\).

Gọi \(M\) là giao điểm của \(a\) và \(b\). Vì \(M\) thuộc \(a\) nên \(M\) thuộc mp\((S, a)\). Vì \(M\) thuộc \(b\) nên \(M\) thuộc mp\((S, b)\). Hai điểm \(S\), \(M\) cùng thuộc mp\((S, a)\) và mp\((S, b)\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng \(SM\).

a) Vì \( S \) và \( C \) cùng thuộc hai mặt phẳng \( (SCB) \) và \( (SCD) \) nên giao tuyến của hai mặt phẳng \( (SCB) \) và \( (SCD) \) là đường thẳng \( SC \).

b) Gọi \( O \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \). Khi đó vì \( O \) thuộc mặt phẳng \( (SAC) \) nên điểm \( O \) là giao điểm của mặt phẳng \( (SAC) \) với đường thẳng \( BD \).

}

a) Trong tam giác \(A B C\), hai đường trung tuyến \(B N\) và \(C M\) cắt nhau tại trọng tâm \(G\) của tam giác. Điểm \(G\) thuộc \(B N\) nên cũng thuộc mặt phẳng \((S B N)\). Điểm \(G\) thuộc \(C M\) nên cũng thuộc mặt phẳng \((S C M)\). Vậy \(G\) là một điểm chung của hai mặt phẳng \((S B N)\) và \((S C M)\).

b) Vì \(S\), \(G\) là hai điểm chung của hai mặt phẳng \((S B N)\) và \((S C M)\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng \(S G\). Đường thẳng này đi qua trọng tâm \(G\) của tam giác \(A B C\).

a) Trong mặt phẳng \((ABC)\), vẽ giao điểm \(E\) của \(MN\) và \(AC\). Ta có \(E \in AC\), suy ra \(E \in(SAC)\). Vậy \(E\) là giao điểm của đường thẳng \(M N\) và mặt phẳng \((SAC)\).

b) Ta có \(S\) và \(E\) là hai điểm chung của hai mặt phẳng \((SMN)\) và \((SAC)\), suy ra \((SMN) \cap(SAC)=SE\).

Trong mặt phẳng \((ABC)\), vẽ giao điểm \(F\) của \(AN\) và \(MC\). Ta có \(S\) và \(F\) là hai điểm chung của hai mặt phẳng \((SAN)\) và \((SCM)\), suy ra \((SAN) \cap(SCM)=SF\).

wHinhBaitapSGK11/chuong4/11c4b1h12.png

a) Trong mặt phẳng \((BCD)\), ta có \(\displaystyle\frac{BP}{BD}=\displaystyle\frac{2}{3}\ne \displaystyle\frac{BN}{BC}=\displaystyle\frac{1}{2}\) nên hai đường thẳng \(NP\) và \(CD\) cắt nhau. Gọi giao điểm này là \(E\) thì \(E\) chính là giao điểm của đường thẳng \(CD\) và mặt phẳng \((MNP)\).

b) Hai điểm \( M \) và \(E\) là hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng \((ACD)\) và \((MNP)\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng \(ME\).

a) Trong mặt phẳng \((SAB)\) hai điểm \(E\) và \(P\) nằm về hai phía khác nhau đối với đường thẳng \(SB\) nên hai đường thẳng \(SB\) và \(EP\) phải cắt nhau. Gọi giao điểm này là \(H\) thì \(H\) chính là giao điểm của đường thẳng \(SB\) và mp\((E,d)\).

Tương tự, trong mặt phẳng \((SAD)\), hai đường thẳng \(SD\) và \(EQ\) cũng cắt nhau, gọi giao điểm là \(K\) thì \(K\) chính là giao điểm của \(SD\) và mp\((E,d)\).

b) Xác định giao tuyến của mp\((E, d)\) với các mặt của hình chóp.

Quan sát hình vẽ, ta thấy

+) mp\((E,d)\cap (ABCD)=PQ\),

+) mp\((E,d)\cap (SAB)=EP\),

+) mp\((E,d)\cap (SBC)=HM\),

+) mp\((E,d)\cap (SCD)=NK\),

+) mp\((E,d)\cap (SDA)=EK\).

wHinhBaitapSGK11/chuong4/11c4b1h14.png

a) Ta có \(\begin{cases}G\in (EFG)\\G\in BD\subset (BCD)\end{cases}\Rightarrow G\in (EFG)\cap (BCD)\).\hfill (1)

Mặt khác, \(\begin{cases}I\in EF \subset (EFG)\\I\in BC\subset (BCD)\end{cases}\Rightarrow I\in (EFG)\cap (BCD)\).\hfill (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(GI=(EFG)\cap (BCD)\).

Trong \((BCD)\colon GI\cap CD=K\).

Ta có \(\begin{cases}F\in (EFG)\\F\in AC\subset (ACD)\end{cases}\Rightarrow F\in (EFG)\cap (ACD)\).\hfill (3)

Mặt khác, \(\begin{cases}K\in GI\subset (EFG)\\K\in CD\subset (ACD)\end{cases}\Rightarrow K\in (EFG)\cap (ACD)\).\hfill (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(FK=(EFG)\cap (ACD)\).

b) Vì \(IG\) và \(CD\) cắt nhau tại \(K\) nên để chứng minh \(CD, IG, HF\) cùng đi qua một điểm, ta chứng minh \(H, K, F\) thẳng hàng. Thật vậy:

Ta có \(\begin{cases}H\in EG\subset (EFG)\\K\in GI\subset (EFG)\\F\in (EFG)\end{cases}\Rightarrow H, K, F\in (EFG)\).\hfill (5)

Mặt khác, \(\begin{cases}H\in AD\subset (ACD)\\K\in CD\subset (ACD)\\F\in AC\subset (ACD)\end{cases}\Rightarrow H, K, F\in (ACD)\).\hfill (6)

Từ (5) và (6) suy ra \(H, K, F\in (ACD)\cap (EFG)\), do đó \(H, K, F\) thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng \(CD, IG, HF\) cùng đi qua một điểm.

wHinhBaitapSGK11/chuong4/11c4b1h15.png

a) Trong \((SBD)\colon SO\cap MN=E\).

Ta có \(\begin{cases}E\in SO\\E\in MN\subset (MNP)\end{cases}\Rightarrow E=SO\cap (MNP)\).

b) Trong \((SAC)\colon PE\cap SA=Q\).

Ta có \(\begin{cases}Q\in SA\\Q\in PE\subset (MNP)\end{cases}\Rightarrow Q=SA\cap (MNP)\).

c) Từ giả thiết ta có

\(\begin{cases}I\in QM \subset (MNP)\\J\in QP\subset (MNP)\\K\in QN \subset (MNP)\end{cases}\Rightarrow I, J, K\in (MNP)\). \hfill (1)

Mặt khác, \(\begin{cases}I\in AB \subset (ABCD)\\J\in (AC)\subset (ABCD)\\K\in AD \subset (ABCD)\end{cases}\Rightarrow I, J, K\in (ABCD)\). \hfill (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(I, J, K \in (MNP)\cap (ABCD)\). Suy ra \(I, J, K\) thẳng hàng.

a) Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua ba điểm \(O, A, B\) được xác định theo tính chất 2 . Trong mặt phẳng \((P)\) ta có:

\(\displaystyle\frac{OG}{OA}=\displaystyle\frac{1}{3}\) (vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ACD\));

\(\displaystyle\frac{OG'}{OB}=\displaystyle\frac{1}{3}\) (vì \(G'\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\) ).

Suy ra \(\displaystyle\frac{OG}{OA}=\displaystyle\frac{OG}{OR}\). Áp dụng tính chất 6, suy ra \(GG'\parallel AB\).

b) Gọi \((Q)\) là mặt phẳng đi qua ba điểm \(B, C, D\). Các điểm \(B, G', O, F\) là điểm chung của hai mặt phằng phân biệt \((P)\) và \((Q)\). Suy ra chúng phải cùng nằm trên giao tuyến của \((P)\) và \((Q)\). Vậy \(B\), \(G'\), \(O\), \(F\) thẳng hàng.

a) Xác định giao điểm \(E\) của đường thẳng \(MP\) với mặt phẳng \((BCD)\).

Trong \((ABC)\) gọi \(E=MP\cap BC\Rightarrow \begin{cases}E\in MP\\E\in BC,\, BC\subset (BCD)\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}E\in MP\\E\in (BCD)\end{cases}\)

\(\Rightarrow E=MP\cap (BCD)\).

b) Xác định giao điểm \(Q\) của đường thẳng \(CD\) với mặt phẳng \((MNP)\).

Trong \((BCD)\) gọi \(Q=CD\cap NE\Rightarrow \begin{cases}Q\in CD\\Q\in NE,\, NE\subset (MNP)\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}Q\in CD\\Q\in (MNP)\end{cases}\)

\(\Rightarrow Q=CD\cap (MNP)\).

c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \((ACD)\) với mặt phẳng \((MNP)\).

Ta có \(Q=CD\cap (MNP)\Rightarrow \begin{cases}Q\in CD,\, CD\subset (ACD)\\Q\in (MNP)\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}Q\in (ACD)\\Q\in (MNP)\end{cases}\)

\(\Rightarrow Q\in (ACD)\cap (MNP)\).

Lại có \(\begin{cases}P\in (MNP)\\P\in AC,\, AC\subset (ACD)\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}P\in (MNP)\\P\in (ACD)\end{cases}\Rightarrow P\in (ACD)\cap (MNP)\).

Do đó \(QP=(ACD)\cap (MNP)\).

d) Gọi \(I\) là giao điểm của \(MQ\) và \(NP\), \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABD\). Chứng minh \(C\), \(I\), \(G\) thẳng hàng.

Ta có \(C\in (MCD)\cap (ACN)\).

Trong \((MNE)\colon I=MQ\cap NP\Rightarrow \begin{cases}I\in MQ,\,MQ\subset (MCD)\\I\in NP,\,NP\subset (ACN)\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}I\in (MCD)\\I\in (ACN)\end{cases}\)

\(\Rightarrow I\in (MCD)\cap (ACN)\).

Lại có \(G=MD\cap AN\Rightarrow \begin{cases}G\in (MCD)\\G\in (ACN)\end{cases}\Rightarrow G\in (MCD)\cap (ACN)\).

Vậy \(C\), \(I\), \(G\) thẳng hàng.

Ta có \( \begin{cases}S\in (SAC)\cap (SDB)\\O\in (SAC)\cap (SDB)\end{cases}\) suy ra \( SO= (SAC)\cap (SDB) \).

Xét \( (MPD) \), \( I\in MC\cap DN \Rightarrow \begin{cases}I\in MC,\,MC\subset (SAC)\\I\in DN,\,DN\subset (SBD)\end{cases}\)\\ suy ra \(I\in (SAC)\cap (SDB) \) hay \( I\in SO \).

Vậy \(S\), \(O\), \(I\) thẳng hàng.

}

a) Trong \( (SAC) \), gọi \( E=MN\cap AC \).

Ta có \( \begin{cases}E\in MN\\E\in AC,\,AC\subset (ABC)\end{cases}\)\\ suy ra \(E=MN\cap (ABC) \).

b) Ta có \( \begin{cases}B\in (BMN)\cap (ABC)\\E\in (BMN)\cap (ABC)\end{cases}\)

suy ra \( SO= (BMN)\cap (ABC) \).

}

wHinhBaitapSGK11/chuong4/11c4b1h20.png

a) Trong mặt phẳng \((ABC)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(MN\) và \(BC\). Vì \(E \in B C\) nên \(E \in(BCD)\). Do đó, \(E\) là giao điểm của \(M N\) với mặt phẳng \((BCD)\).

Trong mặt phẳng \((ABD)\), gọi \(F\) là giao điểm của \(M P\) và \(B D\). Vì \(F \in BD\) nên \(F \in(B C D)\). Do đó, \(F\) là giao điểm của \(MP\) với mặt phẳng \((B C D)\).

Trong mặt phẳng \((ACD)\), gọi \(G\) là giao điểm của \(N P\) và \(C D\). Vì \(G \in CD\) nên \(G \in(B C D)\). Do đó, \(G\) là giao điểm của \(NP\) với mặt phẳng \((BCD)\).

b) Do \(E\), \(F\), \(G\) cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt \((MNP)\) và \((BCD)\) nên theo Tính chất 4, các điểm \(E\), \(F\), \(G\) đều thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng \((MNP)\) và \((BCD)\). Vậy ba điểm \(E\), \(F\), \(G\) thẳng hàng.

}

wHinhBaitapSGK11/chuong4/11c4b1h21.png

a) Trong mặt phẳng \((A B C D)\) có \(D N\) cắt \(A B\) tại \(P\). Vì \(P \in D N\) nên \(P \in(D M N)\). Do đó, \(P\) là giao điểm của mặt phẳng \((D M N)\) với \(A B\).

Trong mặt phẳng \((SAB)\) có \(M P\) cắt \(S B\) tại \(E\). Vì \(E \in MP\) nên \(E \in(DMN)\). Do đó, \(E\) là giao điểm của mặt phẳng (\(DMN)\) với \(SB\).

b) Vì \(M\) và \(E\) cùng thuộc hai mặt phẳng \((DMN)\) và \((SAB)\) nên giao tuyến của mặt phẳng \((DMN)\) với mặt phẳng \((SAB)\) là đường thẳng \(M E\).

Vì \(N\) và \(E\) cùng thuộc hai mặt phẳng \((DMN)\) và \((SBC)\) nên giao tuyến của mặt phẳng (\(DMN)\) với mặt phẳng \((SBC)\) là đường thẳng \(N E\).

}