1. Tam thức bậc hai
\(\bullet\,\) Là biểu thức có dạng: \(f(x)=ax^2+bx+c\), trong đó \(a\), \(b\), \(c\) là các hệ số và \(\color{red}{a\neq 0}\).
\(\bullet\,\) Nghiệm của tam thức \(f(x)\) là nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\).
2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai \(f(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\neq 0)\).
\(\bullet\,\) Nếu \(\Delta<0\) (hay \(f(x)\) vô nghiệm) thì \(f(x)\) cùng dấu với \(a\) với mọi giá trị \(x\).
\(\bullet\,\) Nếu \(\Delta=0\) (hay \(f(x)\) có nghiệm kép \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\)) thì \(f(x)\) cùng dấu với \(a\) với mọi giá trị \(x\neq x_0\).
\(\bullet\,\) Nếu \(\Delta>0\) (hay \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 < x_2\)) thì \(f(x)\) trái dấu với \(a\) với mọi \(x\in(x_1;x_2)\), \(f(x)\) cùng dấu với \(a\) với mọi \(x\) thuộc hai khoảng \((-\infty;x_1)\) và \((x_2;+\infty)\).
Dạng 1. Xác định tam thức bậc hai
Dạng 2. Xác định dấu của tam thức bậc hai
Câu 1:
Với \(m\) là tham số, biểu thức nào dưới đây là tam thức bậc hai?
Đáp án: \((m^2+m+1)x^2-3x+m-1\)
Lời giải:
\((m^2+m+1)x^2-3x+m-1\) là tam thức bậc hai.
Câu 2:
Với \(m\) là tham số, biểu thức nào dưới đây là tam thức bậc hai?
Đáp án: \((m^2+1)x^2+2mx-4\)
Lời giải:
\((m^2+1)x^2+2mx-4\) là tam thức bậc hai.
Câu 1:
Tam thức bậc hai \(f(x)=-x^2+5x-6\) nhận giá trị dương khi và chỉ khi
Đáp án: \(x\in (2;3)\)
Lời giải:
Ta có \(f(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=2 \\& x=3.\end{aligned}\right.\)
Vì \(a=-1<0\) nên \(f(x)>0\) khi \(x\in ( 2;3 )\).
Câu 2:
Cho các tam thức \(f(x)=-x^2+3x-4\); \(g(x)=x^2-4x+4\); \(h(x)=x^2-3x-1\). Số tam thức bậc hai đổi dấu trên \(\mathbb{R}\) là
Đáp án: \(1\)
Lời giải:
Vì \(f(x)=0\) vô nghiệm, \(g(x)=0\) có nghiệm kép, \(h(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt nên chỉ có \(h(x)\) đổi dấu trên \(\mathbb{R}\).