Đáp án: \(-\displaystyle\frac {9}{64}\)

Lời giải:

Ta có:

\begin{eqnarray*}\lim\limits_{x\rightarrow1}f(x)&=&\lim\limits_{x\rightarrow1}\displaystyle\frac{\sqrt{3x+1}-2x}{x-1}\\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow1}\displaystyle\frac{3x+1-4x^2}{(x-1)(\sqrt{3x+1}+2x)}\\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow1}\displaystyle\frac{-4x-1}{(\sqrt{3x+1}+2x)}\\ &=&\displaystyle\frac{-5}{4}\\ &=&f(1).\end{eqnarray*}

\(\Rightarrow\) Hàm số liên tục lại \(x=1\).

Khi đó ta có:

\begin{eqnarray*}f'(1)&=&\lim\limits_{x\rightarrow1}\displaystyle\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow1}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{3x+1}-2x}{x-1}+\displaystyle\frac{5}{4}}{x-1}\\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow1}\displaystyle\frac{4\sqrt{3x+1}-3x-5}{4(x-1)^2}\\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow1}\displaystyle\frac{16(3x+1)-(3x+5)^2}{4(x-1)^2(4\sqrt{3x+1}+3x+5)}\\ &=&\lim\limits_{x\rightarrow1}\displaystyle\frac{-9}{4(4\sqrt{3x+1}+3x+5)}\\ &=&-\displaystyle\frac{9}{64}.\end{eqnarray*}

Đáp án: không tồn tại

Lời giải:

Áp dụng công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa

\( f'( 0 )=\lim\limits_{x\to0}\displaystyle\frac{f( x )-f( 0 )}{x-0}\)

Ta có : \( \lim\limits_{x\to 0^+}\displaystyle\frac{f( x )-f( 0 )}{x-0}= \lim\limits_{x\to 0^+}\displaystyle\frac{( x-1 )^2-1}{x-0} =2 \)

\( \lim\limits_{x\to 0^-}\displaystyle\frac{f( x )-f( 0 )}{x-0}= \lim\limits_{x\to 0^-}\displaystyle\frac{-x^2+1-1}{x-0} =0 \)

Vì \(\lim\limits_{x\to 0^+}\displaystyle\frac{f( x )-f( 0 )}{x-0} \neq \lim\limits_{x\to 0^-}\displaystyle\frac{f( x )-f( 0 )}{x-0} \) nên không tồn tại \( \lim\limits_{x\to 0} \displaystyle\frac{f( x )-f( 0 )}{x-0} \) do đó không tồn tại đạo hàm tại \(x=0\).

Đáp án: \(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=\Delta x+2x\)

Lời giải:

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\Delta y=f\left( x+\Delta x \right)-f(x)=\left[ \left( x+\Delta x \right)^2-1 \right]-\left( x^2-1 \right)=2x\Delta x+\left( \Delta x \right)^2\\ &\Rightarrow&\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=2x+\Delta x.\end{eqnarray*}

Đáp án: \(\Delta y=5\)

Lời giải:

Ta có \(\Delta y=f\left( x_0+\Delta x \right)-f\left( x_0 \right)=f\left( 2+1 \right)-f\left( 2 \right)=f\left( 3 \right)-f\left( 2 \right)\) \(=\left( 3^2+2 \right)-\left( 2^2+2 \right)=5.\)

Đáp án: \(x+4y-20=0\)

Lời giải:

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-4}{(x-4)^2}\).

Điểm \(M(m; 3)\) thuộc đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-4}{x-4}\).

Suy ra \(\displaystyle\frac{2m-4}{m-4}=3 \Leftrightarrow m=8\).

Do đó \(M(8;3)\).

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-4}{x-4}\) tại điểm \(M\) có phương trình là

\begin{eqnarray*}& & y = y'(8) \cdot (x-8)+3 \\ & \Leftrightarrow & y = -\displaystyle\frac{1}{4}(x-8) +3\\& \Leftrightarrow & x+4y-20=0.\end{eqnarray*}

Đáp án: \(y=7x-5\)

Lời giải:

Ta có \(y'(1)=7.\)

Tiếp tuyên của Parabol \(y=3x^2+x-2\) tại điểm \(M(1;2)\) có phương trình là

\(y=f'(1)(x-1)+2 \Leftrightarrow y=7x-5.\)

Đáp án: \(y=9x-32\)

Lời giải:

\(\bullet\,\) Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số.

\(\bullet\,\) Đạo hàm \(y'=3x^2-12x+9\Rightarrow k=y'\left(x_0\right)=3x_0^2-12x_0+9.\)

\(\bullet\,\) Do tiếp tuyến song song với \(d:y=9x+1\) nên \(k=9\Leftrightarrow 3x_0^2-12x_0+9=9\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x_0=0 \\ & x_0=4.\end{aligned}\right.\)

\(\bullet\,\) Với \(x_0=0\Rightarrow y_0=0\Rightarrow \) phương trình tiếp tuyến \(y=9x\) (loại).

\(\bullet\,\) Với \(x_0=4\Rightarrow y_0=4\Rightarrow \) phương trình tiếp tuyến \(y=9\left(x-4\right)+4=9x-32.\)

Đáp án: \(4\)

Lời giải:

Ta có \(x+4y-1=0\Leftrightarrow y=-\displaystyle\frac{1}{4}x+\displaystyle\frac{1}{4}\) \((d)\).

Gọi \(k\) là hệ số góc của tiếp tuyến với \((C)\) vuông góc với \(d\).

Suy ra \(k \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{4}\right)=-1\Leftrightarrow k=4\).

Vậy hệ số góc cần tìm \(k=4\).

Đáp án: \(2\)

Lời giải:

Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm. Tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(x_0\) có dạng

\(y=(3-8x_0)(x-x_0)+3x_0-4x_0^2.\)

Tiếp tuyến đi qua điểm \(M(1;3)\) nên ta có

\(3=(3-8x_0)(1-x_0)+3x_0-4x_0^2\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x_0=0\\&x_0=2.\end{aligned}\right.\)

Vậy có 2 tiếp tuyến của \((C)\) đi qua điểm \(M(1;3).\)

Đáp án: \(2\)

Lời giải:

Ta có \(y'=3-12x^2\). Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm \(A(x_0;y_0)\) là \(y=y'(x_0)(x-x_0)+y_0\).

Do tiếp tuyến đi qua \(M(1;3)\) nên

\begin{eqnarray*}&&3=(3-12x_0^2)(1-x_0)+3x_0-4x_0^3\\&\Leftrightarrow& 8x_0^3-12x_0^2=0\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}x_0=0\\x_0=\displaystyle\frac{2}{3}\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Vậy từ \(M\) kẻ được \(2\) tiếp tuyến đến \((C)\).

Đáp án: \(a\in\left(10;20\right)\)

Lời giải:

Gọi \(v(t)\) là phương trình vận tốc của vật, suy ra \(v(t)=S'(t)=3t^2+2mt+10\).

Vận tốc triệt tiêu tại thời điểm \(t=4s\) nên ta có \(v(4)=0\Leftrightarrow 58+8m=0\Leftrightarrow m=-\displaystyle\frac{29}{4}\).

Khi đó \(v(t)=3t^2+2\cdot\left(-\displaystyle\frac{29}{2}\right)t+10\) \(\Rightarrow v'(t)=6t-\displaystyle\frac{29}{2}\).

Gia tốc của vật tại thời điểm \(t=5s\) là \(a=v'(5)=\displaystyle\frac{31}{2}=15{,}5\in (10;20)\).

Đáp án: \(23\) (m/s)

Lời giải:

Ta có \(v(t)=S'(t)=6t^2-1\) nên \(v(2)=6\cdot 2^2 -1=23\) (m/s).