Đang cập nhật
Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Dạng 2. Tính số gia của hàm số
Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp điểm
Dạng 4. Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc
Dạng 5. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm
Câu 1:
Cho hàm số \(f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{x^2}{2} & \text{ khi }x\le 1\\ ax+b & \text{ khi } x>1\end{cases}\). Tìm tất cả các giá trị của các tham số \(a,\) \(b\) sao cho \(f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x=1\).
Đáp án: \(a=1, b=-\displaystyle\frac{1}{2}\)
Lời giải:
\(\bullet\,\) Hàm số có đạo hàm tại \(x=1\) nên hàm số liên tục tại \(x=1\)
\(\Leftrightarrow \lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^-} f(x) \Leftrightarrow a+b=\displaystyle\frac{1}{2}. \quad (1)\)
\(\bullet\,\) Ta có
\begin{align*}&\begin{cases} \lim\limits_{x \to 1^+}\displaystyle\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x \to 1^+}\displaystyle\frac{ax+b-\left( a.1+b \right)}{x-1}=\lim\limits_{x \to 1^+}\displaystyle\frac{a\left( x-1 \right)}{x-1}=\lim\limits_{x \to 1^+}a=a \\ \lim\limits_{x \to 1^-}\displaystyle\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x \to 1^-}\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x^2}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}}{x-1}=\lim\limits_{x \to 1^-}\displaystyle\frac{\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}{2\left( x-1 \right)}=\lim\limits_{x \to 1^-}\displaystyle\frac{x+1}{2}=1.\end{cases}\end{align*}
\(\bullet\,\) Hàm số có đạo hàm tại \(x=1 \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to 1^+}\displaystyle\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\) \(=\lim\limits_{x \to 1^-}\displaystyle\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\Leftrightarrow a=1 \quad (2)\).
\(\bullet\,\) Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), ta có \(a=1, b=-\displaystyle\frac{1}{2}\).
Câu 2:
Cho hàm số \(f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{3-\sqrt{4-x}}{4} & \text{ khi } x\ne 0\\ \displaystyle\frac{1}{4} & \text{ khi } x=0\end{cases}\). Tính \(f'(0)\).
Đáp án: \(f'(0)=\displaystyle\frac{1}{16}\)
Lời giải:
Ta có
\begin{eqnarray*}&&\lim\limits_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\ &=&\lim\limits_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3-\sqrt{4-x}}{4}-\displaystyle\frac{1}{4}}{x}\\ &=&\lim\limits_{x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{2-\sqrt{4-x}}{4x}\\ &=&\lim\limits_{x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{\left( 2-\sqrt{4-x} \right)\left( 2+\sqrt{4-x} \right)}{4x\left( 2+\sqrt{4-x} \right)}\\ &=&\lim\limits_{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x}{4x\left( 2+\sqrt{4-x} \right)}\\ &=&\lim\limits_{x \to 0}\displaystyle\frac{1}{4\left( 2+\sqrt{4-x} \right)}=\displaystyle\frac{1}{16}.\end{eqnarray*}
Câu 1:
Tính số gia của hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{x}\) tại điểm \(x\) (bất kì khác \(0\)) ứng với số gia \(\Delta x\).
Đáp án: \(\Delta y=-\displaystyle\frac{\Delta x}{x\left( x+\Delta x \right)}\)
Lời giải:
Ta có
\(\Delta y=f\left( x+\Delta x \right)-f(x)=\displaystyle\frac{1}{x+\Delta x}-\displaystyle\frac{1}{x}=-\displaystyle\frac{\Delta x}{x\left( x+\Delta x \right)}.\)
Câu 2:
Tính tỷ số \(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}\) của hàm số \(y=x^2-1\) theo \(x\) và \(\Delta x\).
Đáp án: \(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=\Delta x+2x\)
Lời giải:
Ta có
\begin{eqnarray*}&&\Delta y=f\left( x+\Delta x \right)-f(x)=\left[ \left( x+\Delta x \right)^2-1 \right]-\left( x^2-1 \right)=2x\Delta x+\left( \Delta x \right)^2\\ &\Rightarrow&\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=2x+\Delta x.\end{eqnarray*}
Câu 1:
Cho hàm số \(y=x^3-2x+1\) có đồ thị \((C)\). Hệ số góc của tiếp tuyến với \((C)\) tại điểm \(M(-1;2)\) bằng
Đáp án: \(1\)
Lời giải:
Ta có \(y'=3x^2-2\).
Tiếp tuyến với \((C)\) tại điểm \(M(-1;2)\) có hệ số góc là \(y'(-1)=1\).
Câu 2:
Cho hàm số \(y=x^3-3x^2+2\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trục tung.
Đáp án: \(y=2\)
Lời giải:
\(\bullet\,\) Ta có \(x_0=0; y_0=2\).
\(\bullet\,\) Ta có \(y'=3x^2-6x \Rightarrow k=y'(0)=0\).
Do đó \(\begin{cases} x_0=0 \\ & {{y}_0}=2 \\ k=0\end{cases}\)
\(\bullet\,\) Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=2\).
Câu 1:
Tìm tất cả các phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) của hàm số \(y= \displaystyle\frac{2x-1}{x+1}\) biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng \(y=3x+2\).
Đáp án: \(y=3x-1\) và \(y=3x+11\)
Lời giải:
\(y'=\displaystyle\frac{3}{(x+1)^2}\).
Gọi \((x_0;y_0)\) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến.
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y=3x+2\) ta có
\(y'(x_0)=3 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{3}{(x_0+1)^2}=3\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x_0=0\\&x_0=-2.\end{aligned}\right.\)
Với \(x_0=0 \Rightarrow y_0=-1 \Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến: \(y=3(x-0)-1 \Leftrightarrow y=3x-1\).
Với \(x_0=-2 \Rightarrow y_0=5 \Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến: \(y=3(x+2)+5 \Leftrightarrow y=3x+11\).
Câu 2:
Cho hàm số \(y=\displaystyle\frac{-x+1}{x+2}\) có đồ thị \((C)\). Gọi \(d\) là tiếp tuyến của \((C)\) biết \(d\) song song với đường thẳng \(y=-3x-1\). Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng \(y=ax+b\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính \(S=a^3-b^2\).
Đáp án: \(S= -196\)
Lời giải:
Trên đồ thị \((C)\) lấy điểm \(M(x_0;y_0)\).
Tiếp tuyến \(d\) của đồ thị \((C)\) tại điểm \(M\) có hệ số góc là \(k=y'(x_0)= \displaystyle\frac{-3}{(x_0+2)^2}\).
Do \(d\) song song với đường thẳng \(y=-3x-1 \Rightarrow k=-3 \Leftrightarrow (x_0+2)^2=1\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x_0=-3\\&x_0=-1.\end{aligned}\right.\)
\(\bullet\,\) Với \(x_0=-1 \Rightarrow y_0 =2\), suy ra \(d\) có phương trình là \(y=-3(x+1)+2 \Leftrightarrow y=-3x-1\), (loại) vì \(d\) trùng với đường thẳng \(y=-3x-1.\)
\(\bullet\,\) Với \(x_0=-3 \Rightarrow y_0=-4\), suy ra \(d\) có phương trình là \(y=-3(x+3)-4 \Leftrightarrow y=-3x-13\) (thỏa mãn).
Từ đó ta có \(a=-3; b=-13\Rightarrow S=a^3-b^2 =-196\)
Câu 1:
Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^3-3x^2+2\) đi qua điểm \(A(3;2)\)?
Đáp án: \(2\)
Lời giải:
Xét điểm \(M(x_0;x_0^3-3x_0^2+2)\) thuộc đồ thị hàm số. Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\) có dạng
\(y=(3x_0^2-6x_0)(x-x_0)+x_0^3-3x_0^2+2.\)
Tiếp tuyến này qua \(A(3;2)\) khi và chỉ khi
\begin{align*}&2=(3x_0^2-6x_0)(3-x_0)+x_0^3-3x_0^2+2\\\Leftrightarrow\ &-2x_0^3+12x_0^2-18x_0=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x_0=0\\ &x_0=3.\end{aligned}\right.\end{align*}
Vậy có hai tiếp tuyến đi qua \(A\) là \(y=2\) và \(y=9x-25\).
Câu 2:
Cho đồ thị hàm số \((C)\colon y=-x^{3}+3x+2\). Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số \((C)\) đi qua điểm \(A(3;0)\) là
Đáp án: \(3\)
Lời giải:
Ta có \(y'=-3x^{2}+3\).
Gọi tọa độ tiếp điểm là \((a;-a^{3}+3a+2)\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến có dạng \(y=(-3a^2+3)(x-a)-a^{3}+3a+2\). Vì tiếp tuyến đi qua điểm \(A(3;0)\) nên
\((-3a^2+3)(3-a)-a^{3}+3a+2=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&a=-1\\ &a=\displaystyle\frac{11\pm\sqrt{33}}{4}\end{aligned}\right.\Rightarrow\) có \(3\) tiếp tuyến của đồ thị hàm số được kẻ từ điểm \(A(3;0)\).
Câu 1:
Một chiếc xe đang chuyển động đều với vận tốc \(20\) m/s thì hãm phanh và chạy chậm dần với vận tốc là \(v(t)=20-2t \) m/s đến khi dừng hẳn. Hỏi quãng đường xe đi được từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu?
Đáp án: \(100\) m
Lời giải:
Ta có \(v(t)=20-2t=0\Leftrightarrow t=10\) nên sau khi phanh xe sẽ đi tiếp \(10\) giây rồi dừng hẳn.
Do \(a(t)=v'(t)=-2\) nên quãng đường xe đi được từ lúc hãm phanh đến lúc dừng hẳn là \(s=v_{0}t+\displaystyle\frac{1}{2}at^{2}=20\cdot 10+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot (-2)\cdot 10^{2}=100\; \text{m}.\)
Câu 2:
Một chất điểm \(A\) xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật \(v(t)=\displaystyle\frac{1}{180}t^2+\displaystyle\frac{11}{18}t\) m/s, trong đó \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc \(A\) bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm \(B\) cũng xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng cùng hướng với \(A\) nhưng chậm hơn \(5\) giây so với \(A\) và có gia tốc bằng \(a\) m/s\(^2\) ( \(a\) là hằng số). Sau khi \(B\) xuất phát được \(10\) giây thì đuổi kịp \(A\). Vận tốc của \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) bằng
Đáp án: \(15\) m/s
Lời giải:
+ Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm \(A\) bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm \(B\) bắt kịp thì \(A\) đi được \(15\) giây, \(B\) đi được \(10\) giây.
+ Biểu thức vận tốc của chất điểm \(B\) có dạng
\(v_B(t)=\displaystyle\int a \mathrm{\,d}t=at+C\), lại có \(v_B(0)=0\) nên \(v_B(t)=at\).
+ Từ lúc chất điểm \(A\) bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm \(B\) bắt kịp thì quãng đường hai chất điểm đi được là bằng nhau. Do đó
\(\displaystyle\int\limits_0^{15} \left(\displaystyle\frac{1}{180}t^2+\displaystyle\frac{11}{18}t\right) \mathrm{d}t=\displaystyle\int\limits_0^{10} at \mathrm{\,d}t\) \(\Leftrightarrow 75=50a \Leftrightarrow a=\displaystyle\frac{3}{2}.\)
Từ đó, vận tốc của \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) bằng \(v_B(10)=\displaystyle\frac{3}{2}\cdot 10 =15\) m/s.