Ta có \(f(x)-f(1)=x^2-x-(1^2-1)=x(x-1)\). Suy ra

\[f'(1)=\lim\limits_{x \to 1} \displaystyle\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x \to 1} \displaystyle\frac{x(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x \to 1}x=1.\]

Ta có \(f(x)-f(-1)=-x^3-1=-(x+1)(x^2-x+1)\).

\[f'(-1)=\lim\limits_{x \to -1} \displaystyle\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\lim\limits_{x \to -1} \displaystyle\frac{-(x+1)(x^2-x+1)}{x+1}=\lim\limits_{x \to -1}[-(x^2-x+1)]=-3.\]

\(y=kx^2+c\) (với \(k,c\) là hằng số).

Với \(x_0\) bất kỳ, ta có:

\(\begin{aligned}[t]f'(x_0)&=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{(kx^2+c)-(kx_0^2+c)}{x-x_0}=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{k(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}\\&=\lim\limits_{x \to x_0} k(x+x_0)=k(x_0+x_0)=2kx_0.\end{aligned}\)

Vậy hàm số \(y=kx^2+c\) (với \(c,k\) là hằng số) có đạo hàm là hàm số \(y'=2kx\).

Với \(x_0\) bất kỳ, ta có:

\(\begin{aligned}[t]f'(x_0)&=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{(x^3)-(x_0^3)}{x-x_0}=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)}{x-x_0}\\&=\lim\limits_{x \to x_0} (x^2+xx_0+x_0^2)=(x_0^2+x_0x_0+x_0^2)=3x_0^2.\end{aligned}\)

Vậy hàm số \(y=x^3\) có đạo hàm là hàm số \(y'=3x^2\).

Ta có \(f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}=\lim\limits_{x \to x_0}\left(x+x_0\right)=2 x_0\).

Với bất kì \(x_0\), ta có:

\(f^{\prime}(x_0)=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{C-C}{x-x_0}=\lim\limits_{x \to x_0} 0=0.\)

Vậy \(f^{\prime}(x)=(C)^{\prime}=0\) trên \(\mathbb{R}\).

Với bất kì \(x_0 \neq 0\), ta có:

\[f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{1}{x_0}}{x-x_0}=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{x_0-x}{x x_0\left(x-x_0\right)}=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{-1}{x x_0}=-\displaystyle\frac{1}{x_0^2}.\]

Vậy \(f^{\prime}(x)=\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\displaystyle\frac{1}{x^2}\) trên các khoảng \((-\infty ; 0)\) và \((0 ;+\infty)\).

Với bất kì \(x_0\), ta có:

\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{x \to x_0}\displaystyle\frac{x^3-{x_0}^3}{x-x_0}=\lim\limits_{x \to x_0}(x^2+xx_0+{x_0}^2)=3{x_0}^2.\)

Vậy \(f^\prime(x)=\left(x^3\right)^\prime=3x^2\) trên \(\mathbb{R}\).

Với bất kì \(x_0\), ta có

\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\displaystyle\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\displaystyle\frac{-x^2+{x_0}^2}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\left[-(x+x_0)\right]=-2x_0\).

Vậy \(f^\prime(x)=-2x\) trên \(\mathbb{R}\).

Với bất kì \(x_0\), ta có

\(f^\prime(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\displaystyle\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\displaystyle\frac{\left[\left(x^3-2x\right)-\left({x_0}^3-2x_0\right)\right]}{x-x_0}\)

\(=\lim\limits_{x\to x_0}\left[x^2+xx_0+{x_0}^2-2\right]=3{x_0}^2-2\).

Vậy \(f^\prime(x)=3x^2-2\) trên \(\mathbb{R}\).

Với mọi \(x_0\ne 0\), ta có

\(f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4}{x}-\displaystyle\frac{4}{x_0}}{x-x_0}=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{4(x_0-x)}{x x_0\left(x-x_0\right)}=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{-4}{x x_0}=-\displaystyle\frac{4}{x_0^2}.\)

Vậy \(f^{\prime}(x)=\left(\displaystyle\frac{4}{x}\right)^{\prime}=-\displaystyle\frac{4}{x^2}\) trên các khoảng \((-\infty ; 0)\) và \((0 ;+\infty)\).

Xét \(\Delta x\) là số gia của biến số tại điểm \(x_0=2\).

Ta có: \(\Delta y=f(2+\Delta x)-f(2)=\displaystyle\frac{1}{2+\Delta x}-\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{2-(2+\Delta x)}{2(2+\Delta x)}=\displaystyle\frac{-\Delta x}{2(2+\Delta x)}\).

Suy ra: \(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=\displaystyle\frac{-1}{2(2+\Delta x)}\).

Ta thấy: \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\displaystyle\frac{-1}{2(2+\Delta x)}=\displaystyle\frac{-1}{4}\).

Vậy \(f^\prime(2)=\displaystyle\frac{-1}{4}\).

Xét \(\Delta x\) là số gia của biến số tại điểm \(x\).

Ta có: \(\Delta y=f(2+\Delta x)-f(2)=(x+\Delta x)^2-x^2=\Delta x(2x+\Delta x)\).

Suy ra: \(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=2x+\Delta x\).

Ta thấy: \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)=2x\).

Vậy \(f^\prime(x)=2x\).

Xét \(\Delta x\) là số gia của biến số tại điểm \(x_0=1\).

Ta có:

\(\begin{aligned}\Delta y=&f(1+\Delta x)-f(1)\\ =&3(1+\Delta x)^3-1-2\\ =&9\Delta x+9(\Delta x)^2+3(\Delta x)^3\\ =&\Delta x[9+9\Delta x+3(\Delta x)^2].\end{aligned}\)

Suy ra: \(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=9+9\Delta x+3(\Delta x)^2\).

Ta thấy: \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\left(9+9\Delta x+3(\Delta x)^2\right)=9\).

Vậy \(f^\prime(1)=9\).

Ta có

\(y'\left(\displaystyle\frac{1}{2} \right)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{f\left(\displaystyle\frac{1}{2}+\Delta x \right)-f\left(\displaystyle\frac{1}{2} \right)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\displaystyle\frac{{{\left(\displaystyle\frac{1}{2}+\Delta x \right)}^2}-{{\left(\displaystyle\frac{1}{2} \right)}^2}}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\left(1+\Delta x \right)=1.\)

Vậy \(k=y'\left(\displaystyle\frac{1}{2} \right)=1\).

Ta có \(f'(x)=2x+2\).

Tiếp tuyến của \((P)\) tại điểm \((0;-1)\) có hệ số góc là \(f'(0)=2\).

\(y'=-3x^2+2x-3\).

Gọi hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y=-x^3+x^2-3x+4\) tại điểm \(M(1;1)\) là \(k\).

Ta có \(k=y'(1)=-3 \cdot 1^2+2 \cdot 1 -3=-4.\)

Ta có \(f'(x)=3x^2\).

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng \(2\) có hệ số góc \(k=f'(2)=3\cdot 2^2=12\).

Ta có \(y' = 3x^2-8x\).

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng \(1\) là \(y'(1) = -5\).

Ta có \(y'=6x\).

Hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số tại \(x_0=2\) là \(y'(2)=12\).

Ta có \(y'=3x^2-2\).

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M(1;-1)\) có hệ số góc là \(k=y'(1)=1\).

Ta có \(y'=3x^2-4x\Rightarrow y'(1)=-1\).

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(M\) bằng \(-1\).

Ta có \(y'=6x^2-6x\Rightarrow y'(-1)=12\).

Vậy hệ số góc bằng \(12\).

Ta có \(y'(x)=3x^2-6x\). Do đó, hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(x_0=1\) là \(k=y'(1)=-3\).

Ta có \(f'(x)=-\displaystyle\frac{6}{(2x-1)^2}\) nên \(f'(2)=-\displaystyle\frac{6}{9}=-\displaystyle\frac{2}{3}.\)

\(y = f(x)=x^2-3x\Rightarrow f'(x)=2x-3\).

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm \(M(1;-2)\) là \(k=f'(1)=-1\).

Ta có \(y'=4x^3+8x\).

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x_0=1\) là \(k=y'(1)=12\).

Ta có \(y'=3x^2-2\).

Hệ số góc của tiếp tuyến với \((C)\) tại \(M\) là \(k=y'(-1)=3-2=1\).

Ta có \(y' = 3x^2\). Tại điểm \(M\) có hoành độ \(x = 1\) thì \(k = y'(1) = 3\cdot 1^2 = 3\).

Ta có: \(y'=\displaystyle\frac{-4}{(2x-1)^2}\).

Hệ số góc của tiếp tuyến với \((C)\) tại điểm có hoành độ bằng \(0\) là \(k=y'(0)=-4.\)

Ta có \(y'=3x^2-2\).

Tiếp tuyến với \((C)\) tại điểm \(M(-1;2)\) có hệ số góc là \(y'(-1)=1\).

Ta có \(y'=x^3-4x\), giao điểm của đồ thị với trục tung có tung độ \(x=0\).

Hệ số góc của tiếp tuyến là \(k=y'(0)=0\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x+4}}\).

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x+4}\) và trục tung là \(M(0;2)\).

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x+4}\) tại giao điểm của nó và trục tung là \(k =y'(0)=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{0+4}}=\displaystyle\frac{1}{4}.\)

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \(x_0=0\).

Đạo hàm \(y'=3x^2+2x-3\), hệ số góc của tiếp tuyến là \(y'(0)=-3\).

Xét hàm số \(y=f(x) = \displaystyle\frac{3-4x}{x-2}\), ta có

\(f'(x) = \displaystyle\frac{5}{(x-2)^{2}}\).

\(y_{0} = \displaystyle\frac{3-4x_{0}}{x_{0}-2} \Leftrightarrow -\displaystyle\frac{7}{3} = \displaystyle\frac{3-4x_{0}}{x_{0}-2} \Leftrightarrow x_{0}=-1\).

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có tung độ \(y_{0}=-\displaystyle\frac{7}{3}\) là \(k=f'(x_{0}) = \displaystyle\frac{5}{9}\).

Ta tính được \(k=y'(-1)=3\).

Ta có \(\begin{cases} x_0=-1 \\ y_0=-1 \\ k=3.\end{cases}\)

Suy ra phương trình tiếp tuyến \(y+1=3(x+1)\Leftrightarrow y=3x+2\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Có \(y'=2x\) nên phương trình tiếp tuyến tại \(M(1;1)\) là \(y=2(x-1)+1=2x-1\).

Ta có \(f'(x) = -3x^2 + 1\).

Vì \(d\) có tiếp điểm là \(M(-2;6)\) nên \(d\) hệ số góc tiếp tuyến \(k = f'(-2) = -3\cdot (-2)^2 + 1 = -11\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm \(M(-2;6)\) là \((d)\colon y = -11x - 16\).

\(y'=9x^2-2x-7 \Rightarrow y'(0)=-7\).

Phương trình tiếp tuyến \(y=y'(0)(x-0)+1\) hay \(y=-7x+1\).

Ta có \(f'(x)=3x^2+6x\).

Hệ số góc của tiếp tuyến của \((C)\) là \(f'(-1)=-3\).

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=-3(x+1)+3\Rightarrow y=-3x\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{2}{(x+1)^2}\) xác định với mọi \(x\in\mathscr{D}\).

Hệ số góc \(k=y'(-2)=2\).

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=2x+9\).

Ta có \(y'(1)=7.\)

Tiếp tuyên của Parabol \(y=3x^2+x-2\) tại điểm \(M(1;2)\) có phương trình là\\ \(y=f'(1)(x-1)+2 \Leftrightarrow y=7x-5.\)

Ta có \(y'=3x^2+6x\) và \(x_0=1\Rightarrow \begin{cases}y(1)=2\\y'(1)=9.\end{cases}\)

Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại \((1;2)\) là

\(y=9(x-1)+2\Leftrightarrow y=9x-7\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-4}{(x-4)^2}\).

Điểm \(M(m; 3)\) thuộc đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-4}{x-4}\).

Suy ra \(\displaystyle\frac{2m-4}{m-4}=3 \Leftrightarrow m=8\).

Do đó \(M(8;3)\).

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{2x-4}{x-4}\) tại điểm \(M\) có phương trình là

\begin{eqnarray*}&&y=y'(8)\cdot(x-8)+3\\ & \Leftrightarrow &y=-\displaystyle\frac{1}{4}(x-8)+3\\& \Leftrightarrow&x+4y-20=0.\end{eqnarray*}

\(y'=4x^3-6x\).

Ta có \(A \in (C)\).

Tiếp tuyến của đường cong \((C)\) tại điểm \(A(1;2)\) có phương trình là

\begin{eqnarray*}&&y=y'(1)\cdot (x-1)+2\\& \Leftrightarrow& y=-2(x-1)+2\\& \Leftrightarrow& y=-2x+4.\end{eqnarray*}

Ta có \(y'=4x^3+2x\).

Gọi \(M(x_0;y_0)\) là tiếp điểm.

\(x_0=-1\Rightarrow y_0=1\Rightarrow M(-1;1)\).

Hệ số góc \(k=y'(x_0)=-6\).

Vậy pttt là \(y=k(x-x_0)+y_0=-6(x+1)+1=-6x-5\).

Ta có \(y=f(x)=x^3+x-3 \Rightarrow f'(x)=3x^2+1\).

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm \(M(0;-3)\) là

\[y=f'(0)(x-0)-3 \Leftrightarrow y=x-3.\]

Vậy tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm \(M(0;-3)\) có phương trình là \(y=x-3\).

Ta có, \(y'=\displaystyle\frac{3}{(x+2)^2}\) \(\Rightarrow y'(-1)=3\).

Suy ra, phương trình tiếp tuyến là \(y=3x+1\).

Ta có \(y'=3x^2 +4x - 1 \Rightarrow y'(1)=6\). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M(1;0)\) là \(y=6(x-1)+0 \Leftrightarrow y=6x-6\). Do đó \(ab=-36\).

Ta có \(y(-1)=-4\), \(y'=\displaystyle\frac{5}{(x+2)^2}\Rightarrow y'(-1)=5\).

Vậy phương trình tiếp tuyến là \(y=5(x+1)-4\Leftrightarrow y=5x+1\).

Ta có \(y' = -3x^2 + 6x\).

Gọi \(\Delta\) là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A(3; 1)\), ta có:

\(\Delta \colon y = y'(3)(x - 3) + y(3) \Rightarrow \Delta \colon y = -9x+28\).

Ta có \(y'=3x^2-6x \Rightarrow y'(-1)=9\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(A(-1;-2)\) là

\(y=9(x+1)-2 \Leftrightarrow y=9x+7\).

Ta có \(y'=-\displaystyle\frac{4}{(x-1)^2} \Rightarrow y'(-1)=-1\).

Theo giả thiết ta có \(x_0=1\) nên \(y_0=-2 \Rightarrow\) tiếp điểm \(M(-1;-2)\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M(-1;-2)\) là \(y=-1(x+1)-2\)\\ \(\Leftrightarrow y=-x-3\).

Ta có \(y=x^3+x^2-2x-3\Rightarrow y'=3x^2+2x-2\), khi đó \(y'\left(1\right)=3\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left(1;-3\right)\) là \(y=3\left(x-1\right)-3=3x-6\).

Ta có \(f'(x)= 2x-3\), suy ra \(f'(-1)= -5\). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M_0(-1;4)\) là

\(y=-5(x+1)+4 \Leftrightarrow y= -5x-1.\)

Ta có \(y'=3x^2\Rightarrow y'(-1)=3\cdot (-1)^2=3\).

Ta có phương trình tiếp tuyến là \(y=3(x+1)-1\Leftrightarrow y=3x+2\).

Cho \(x=0\Rightarrow y=2\).

Ta có giao điểm của \((C)\) với trục tung là \(M(0;2)\).

\(y'=3x^2-6x\Rightarrow y'(0)=0\).

Phương trình tiếp tuyến là \(y=0(x-0)+2\Leftrightarrow y=2\).

Ta có \(f'(x)=4x^3-8x\) nên \(f'(2) = 16\).

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=f'(2)(x-2)+f(2) = 16(x-2)+1=16x-31\).

Ta có \(y=x^2+3x-2\Rightarrow y'=2x+3\) và \(y' (1) = 5\).

Phương trình tiêp tuyến của đồ thị tại điểm \(A\left(1;2 \right)\) là \(y=5 \left(x-1 \right)+2=5x-3\).

Ta có \(y'=3x^2+6x\Rightarrow y'(-1)=-3\).

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M(-1; 3)\) là

\(y=-3(x+1)+3\Leftrightarrow y=-3x\).

Có \(f'(x)=2x-2\Rightarrow f'(1)=0\), \(f(1)=2\).

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm có hoành độ \(x_0=1\) là

\(y=0(x-1)+2\Leftrightarrow y=2.\)

Ta có \(f'(x)=3x^2-4x+3\). Do đó \(f'(1)=2\).

Với \(x_0=1\Rightarrow y_0=f\left(x_0\right)=2\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M_0(1;2)\) là

\[y-2=2(x-1)\Leftrightarrow y=2x.\]

Vậy phương trình tiếp tuyến là \(y=2x\).

Ta tính được \(k=y'(-1)=-1\).

Với \(x_0=-1\Rightarrow y_0=-1\).

Ta có \(\begin{cases} x_0=-1 \\ {{y}_0}=-1 \\ k=-1\end{cases}\).

Suy ra phương trình tiếp tuyến \(y+1=-1(x+1)\Leftrightarrow y=-x-2\).

Với \(y_0=8\Rightarrow x_0=2\).

Ta tính được \(k=y'\left(2 \right)=12\).

Ta có \(\begin{cases}x_0=2 \\ y_0=8 \\ k=12\end{cases}\)

\(\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến \(y-8=12\left(x-2 \right)\Leftrightarrow y=12x-16.\)

Ta có \(x_0=0; y_0=2\).

Ta có \(y'=3x^2-6x \Rightarrow k=y'(0)=0\).

Do đó \(\begin{cases} x_0=0 \\ {{y}_0}=2 \\ k=0\end{cases}\)

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=2\).

Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^3-3x^2+2=-2\Leftrightarrow x=-1 ;\, x=2\)

Với \(x=-1\), ta có \(\begin{cases} y=-2 \\ k=y'(-1)=9\end{cases}\).

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y=9x+7\).

Với \(x=2\), ta có \(\begin{cases} y=-2 \\ k=y'(-2)=0\end{cases}\).

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=-2\).

Đạo hàm \(y'=3x^2-2\Rightarrow\) hệ số góc \(k=y'(1)=1\).

Ta có \(\begin{cases} x_0=1 \\ y_0=2 \\ k=1 \end{cases}\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến \(y=\left(x-1\right)+2\Leftrightarrow y=x+1\).

Vì \(x_0=-1\Rightarrow y_0=\displaystyle\frac{4}{-1-1}=-2.\)

Đạo hàm \(y'=-\displaystyle\frac{4}{(x-1)^2}\Rightarrow\) hệ số góc \(k=y'\left(-1\right)=-1.\)

Ta có \(\begin{cases} x_0=-1 \\ y_0=-2 \\ k=-1\end{cases}\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến \(y=-\left(x+1\right)-2\Leftrightarrow y=-x-3.\)

Ta có \(y'=2\sin x\cos x=\sin 2x\).

Với \(x=\displaystyle\frac{\pi}{4}\) thì \(y\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\sin^2 \displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{1}{2}\), \(y'\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\sin \displaystyle\frac{2\pi}{4}=1\). Tiếp tuyến với \((C)\) tại điểm \(x=\displaystyle\frac{\pi}{4}\) có phương trình là

\[y=1\left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\Leftrightarrow y=x+\displaystyle\frac{2-\pi}{4}.\]

Gọi phương trình tiếp tuyến có dạng: \(y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)\).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục \(Ox\) là:

\(\begin{cases}y = 0\\ y= -x^3 - 3x^2 + 4\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x = 1\\ y = 0\end{cases} \vee \begin{cases}x = -2\\ y = 0\end{cases}\).

\(x = 1; y = 0; f'(1) = -9 \Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = -9(x - 1) \Leftrightarrow y = -9x + 9\).

\(x = -2; y = 0; f'(-2) = 0 \Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = 0\).

Gọi phương trình tiếp tuyến có dạng: \(y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)\).

\(y_0 = \tan \left(\displaystyle\frac{\pi}{4} - 3\displaystyle\frac{\pi}{6} \right) = -1; f'\left(\displaystyle\frac{\pi}{6} \right) = -6 \).

Vậy \(y = -6\left(x \displaystyle\frac{\pi}{6} \right) - 1 \Leftrightarrow y = -6x + \pi - 1\).

\(y'=\displaystyle\frac{3}{(x+1)^2}\).

\(y_{0}=1 \Rightarrow \displaystyle\frac{2x_{0}-1}{x_{0}+1}=1 \Leftrightarrow x_{0} = 2\).

\(f'(x_{0})=\displaystyle\frac{3}{(2+1)^2} = \displaystyle\frac{1}{3}\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị có dạng \(y=f'(x_{0})(x-x_{0})+y_{0} \Rightarrow y = \displaystyle\frac{1}{3}x +\displaystyle\frac{1}{3}\).

Gọi \(M\) là giao điểm của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x-2}{x+1}\) và trục \(Ox\Rightarrow M(2;0)\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{3}{(x+1)^2}\), \(x\neq -1\).

Khi đó \(y'(2)=\displaystyle\frac{1}{3}\), phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại \(M\) là

\(y=\displaystyle\frac{1}{3}(x-2)\Rightarrow y=\displaystyle\frac{1}{3}x-\displaystyle\frac{2}{3}.\)

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(A(0;2)\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-1}{(x+1)^2} \Rightarrow y'(0)=-1\). Phương trình tiếp tuyến là

\[y-1=-1(x-0)\Leftrightarrow y=-x+1.\]

Gọi \(A\) là giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung \(\Rightarrow A(0;2)\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-1}{(x+1)^2}\Rightarrow y'(0)=-1\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(A\) có dạng \(y=-1\cdot (x-0)+2\Leftrightarrow y=-x+2\).

Giao điểm của \((C)\) với truc tung là \(x=0\Rightarrow y=-1\).

\(y'=3x^2-1\), \(y'(0)=-1\).

Phương trình tiếp tuyến \(y=-1(x-0)-1=-x-1\).

Tọa độ tiếp điểm \(M(0;2)\).

\(y'=\displaystyle\frac{2}{(1-x)^2}\Rightarrow y'(0)=2\).

Phương trình tiếp tuyến cần tìm: \(y=2x+2\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \((H)\) với \(Ox\) là \(\displaystyle\frac{2x-4}{x-3}=0\Leftrightarrow x=2\).

Vậy \((H)\) cắt \(Ox\) tại \(A(2;0)\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-2}{(x-3)^2}\), suy ra phương trình tiếp tuyến của \((H)\) tại \(A\) là

\(y=y'(2)(x-2)\Leftrightarrow y=-2(x-2)=-2x+4.\)

Ta có \((H)\) cắt trục \(O x\) tại \(M(-3;0)\).

\(y'=\displaystyle\frac{-1}{(x+2)^2} \Rightarrow y'(-3)=-1\).

Khi đó tiếp tuyến tại điểm \(M\) có phương trình \(y=-x-3 \Rightarrow a=-1\), \(b=-3\).

Vậy \(a+b=-4\).

Phương trình hoành độ giao điểm là

\begin{eqnarray*}\displaystyle\frac{x-1}{x-2}=0 \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}&x-1=0 \\&x-2\neq 0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}&x=1 \\&x\neq 2\end{aligned}\right. \Leftrightarrow x=1.\end{eqnarray*}

Như vậy tiếp điểm là \(M(1;0)\).

Ta có \(y'=-\displaystyle\frac{1}{(x-2)^2}\), nên hệ số góc của tiếp tuyến tại \(M\) là \(y'(1)=-1\).

Phương trình tiếp tuyến là \(y=-x+1\).

Giao điểm của \((C)\) với trục tung là \(M(0;1)\).

Xét hàm số \(y=\displaystyle\frac{x-1}{x+1}\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash\{-1\}\) ta có \(y'= \displaystyle\frac{2}{(x+1)^2}\Rightarrow y'(0)=2\).

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M\) là \(y=2(x-0)+1\Leftrightarrow y=2x+1\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}\).

Với \(x_0=0\) ta có \(\left\{\begin{aligned}&y'(0)=\displaystyle\frac{1}{2} \\&y_0=y(0)=1.\end{aligned}\right. \)

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M(0;1)\) là

\(y=\displaystyle\frac{1}{2}(x-0)+1 \Leftrightarrow y=\displaystyle\frac{1}{2}x+1\).

Gọi \(M(x_0;y_0)\) là tiếp điểm.

Ta có \(y'=3x^2-6x\).

Đường thẳng \(d\colon y=9x+7\) có hệ số góc \(k=9\).

Tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M\) song song với \(d\) nên ta có

\[y'(x_0)=9\Leftrightarrow 3x_0^2-6x_0=9\Leftrightarrow 3x_0^2-6x_0-9=0\Leftrightarrow x_0=3;\,x_0=-1.\]

Với \(x_0=3\) ta có \(y_0=2\). Phương trình tiếp tuyến là

\[y=9(x-3)+2\Leftrightarrow y=9x-25.\]

Với \(x_0=-1\) ta có \(y_0=-2\). Phương trình tiếp tuyến là

\[y=9(x+1)-2\Leftrightarrow y=9x+7\quad(\text{loại vì trùng với phương trình}\: d)\]

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=9x-25\).

Hoành độ của tiếp điểm là nghiệm của phương trình \(3x^2+6x=24\Leftrightarrow x=-4;\,x=2.\)

Với \(x=-4\), tiếp tuyến có phương trình \(y=24(x+4)+y(-4)\Leftrightarrow y=24x+60\) thỏa mãn.

Với \(x=2\), tiếp tuyến có phương trình \(y=24(x-2)+0=24x-48\), loại.

Vậy tiếp tuyến cần tìm là: \(y=24x+60\).

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm thuộc \((C)\) và \(\Delta\) là tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\).

\(\Delta\) có hệ số góc là \(f'\left(x_0\right) =\displaystyle\frac{-4}{\left(x_0-1\right)^2}\).

Do \(\Delta\) song song với đường thẳng \(y=-4x\) nên

\[ f'\left(x_0 \right) = -4\Leftrightarrow \displaystyle\frac{-4}{\left(x_0 -1\right)^2}=-4 \Leftrightarrow x_0=0 ;\, x_0 = 2.\]

Với \(x_0=0\) ta có \(y_0=-1\), phương trình \(\Delta\) là \(y=-4x-1\) (nhận).

Với \(x_0 = 2\) ta có \(y_0=7\), phương trình \(\Delta\) là \(y=-4(x-2)+7 = -4x+15\) (nhận).

Tập xác định \(\mathscr{D} =\mathbb{R}\).

Có \(y' =4x^3 +2x\).

Gọi \(M(x_0;y_0)\) là tiếp điểm.

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y=-\displaystyle\frac{1}{6}x-1\) nên \(y'\left(x_0\right) \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{6}\right) =-1 \Leftrightarrow 2x_0^3 +x_0-3=0 \Leftrightarrow x_0 =1\).

Suy ra toạ độ tiếp điểm là \(M(1;3)\), do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=6x-3\).

Ta có \(y'=4x^3-4x\), \(\forall x\in \mathbb{R}\).

Tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm \(M(x_0;y_0)\in (C)\) có hệ số góc \(k=y'(x_0)=4x_0^3-4x_0\).

Để tiếp tuyến song song với trục hoành thì \(k=0\), khi đó

\(4x_0^3-4x_0=0 \Leftrightarrow x_0=0;\,x_0=\pm 1.\)

Với \(x_0=0\Rightarrow y_0=0\), phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M(0;0)\) là \(y=0\) trùng với \(Ox\).

Với \(x_0=-1\Rightarrow y_0=-1\), phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M(-1;-1)\) là \(y=-1\) song song với \(Ox\).

Với \(x_0=1\Rightarrow y_0=-1\), phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M(1;-1)\) là \(y=-1\) song song với \(Ox\).

Vậy đồ thị \((C)\) chỉ có một tiếp tuyến song song với trục hoành là đường thẳng \(y=-1\).

Hàm số \(y=x^2-x+5\) xác định trên \(\mathbb{R}\), có \(y'=2x-1\).

Đường thẳng \(d\) có hệ số góc là \(k_1=-\displaystyle\frac{1}{3}\).

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^2-x+5\) tại điểm \(M(x_0;y_0)\), có hệ số góc \(k=y'(x_0)=2x_0-1\). Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d\) khi và chỉ khi

\[k\cdot k_1=-1 \Leftrightarrow (2x_0-1)\cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right) = -1 \Leftrightarrow 2x_0-1=3 \Leftrightarrow x_0=2.\]

Với \(x_0=2\Rightarrow y_0=7\), \(k=y'(2)=3\), phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=3(x-2)+7=3x+1\).

Ta có \(y'=3x^2-3\).

Tiếp tuyến tại điểm \(M(x_0;y_0)\) thuộc đồ thị hàm số có hệ số góc là \(k=f'(x_0)=3x_0^2-3\).

Đường thẳng \(y=-\displaystyle\frac{1}{9}x\) có hệ số góc là \(k_1=-\displaystyle\frac{1}{9}\).

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y=-\displaystyle\frac{1}{9}x\) khi và chỉ khi

\(k\cdot k_1=-1\Leftrightarrow k=9\Leftrightarrow 3x_0^2-3=9\Leftrightarrow x_0^2=4\Leftrightarrow x_0=2;\,x_0=-2.\)

Với \(x_0=2\Rightarrow y_0=4\). Tiếp tuyến tại điểm \((2;4)\) là \(y=9(x-2)+4=9x-14\).

Với \(x_0=-2\Rightarrow y_0=0\). Tiếp tuyến tại điểm \((-2;0)\) là \(y=9(x+2)=9x+18\).

Hàm số \(y=-5x^2+2x-1\) có \(y'=-10x+2\).

Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ

thị \((C)\) song song với đường thẳng \(y=-8x+3\) là nghiệm phương trình

\[-10x+2=-8\Leftrightarrow x=1.\]

Với \(x=1\) thì \(y=-4\). Phương trình tiếp tuyến cần lập là

\[y-(-4)=-8\cdot (x-1)\Leftrightarrow y=-8x+4.\]

Hệ số góc của tiếp tuyến của \((C)\) là

\begin{eqnarray*}&&y'(x_0)=-9\\& \Leftrightarrow& x^2_0+6x_0=-9\\&\Leftrightarrow& x_0=-3\Rightarrow y_0=16.\end{eqnarray*}

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) là \(y=-9(x+3)+16\Rightarrow y=-9x-11\).

Hàm số \(y=\displaystyle\frac{2 x+1}{x+1}\) \((C)\) có đạo hàm là \(y'=\displaystyle\frac{1}{(x+1)^2}\).

Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là \(M\left(x_0;\displaystyle\frac{2 x_0+1}{x_0+1}\right)\). Khi đó để tiếp tuyến tại \(M\) của đồ thi \((C)\) song song với đường thẳng \(d\colon y=x+1\) thì điều kiện cần là

\[y'\left(x_0\right)=1\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{(x_0+1)^2}=1\Leftrightarrow x_0+1=1;\,x_0+1=-1\Leftrightarrow x_0=0;\,x_0=-2.\]

Với \(x_0=0\) thì \(M(0;1)\). Khi đó tiếp tuyến tại \(M\) của đồ thị \((C)\) có phuong trình \(y=(x-0)+1=x+1\).

Với \(x_0=-2\) thì \(M(-2;3)\). Khi đó tiếp tuyến tại \(M\) của đồ thị \((C)\) có phuong trình \(y=(x+2)+3=x+5\).

Vậy phương trình tiểp tuyến của đồ thi \((C)\) song song với đường thẳng \(d\colon y=x+1\) là \(y=x+1;\,y=x+5.\)

Ta có \(y'=f'(x)=3x^2-2x\).

Gọi \(M(a;b)\) là điểm tiếp xúc của \((C)\) và tiếp tuyến. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y=x\) nên

\[ f'(a)=1\Leftrightarrow 3a^2-2a=1\Leftrightarrow 3a^2-2a-1=0\Leftrightarrow a=1;\,a=-\displaystyle\frac{1}{3}.\]

Với \(a=1\Rightarrow b=1\) hay \(M(1;1)\). Phương trình tiếp tuyến với \((C)\) tại \(M(1;1)\) là

\[y=1(x-1)+1\Leftrightarrow y=x \ \text{(loại vì trùng với} \ y=x).\]

Với \(a=-\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow b=\displaystyle\frac{23}{27}\) hay \(M\left(-\displaystyle\frac{1}{3}; \displaystyle\frac{23}{27}\right)\). Phương trình tiếp tuyến với \((C)\) tại \(M\left(-\displaystyle\frac{1}{3}; \displaystyle\frac{23}{27}\right)\) là

\[y=1\left(x+\displaystyle\frac{1}{3}\right)+\displaystyle\frac{23}{27}\Leftrightarrow y=x+\displaystyle\frac{32}{27} \ \text{(nhận)}.\]

Vậy có một tiếp tuyến cần tìm là: \(y=x+\displaystyle\frac{32}{27}\).

Ta có \(x+4y-1=0\Leftrightarrow y=-\displaystyle\frac{1}{4}x+\displaystyle\frac{1}{4}\) \((d)\).

Gọi \(k\) là hệ số góc của tiếp tuyến với \((C)\) vuông góc với \(d\). Suy ra

\(k \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{4}\right)=-1\Leftrightarrow k=4\).

Vậy hệ số góc cần tìm \(k=4\).

\(f'(x)=3x^2-2x\). Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm.

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y=5x+5\) nên \(f'(x_0)=5 \Leftrightarrow 3x_0^2-2x_0=5 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x_0=-1 \\& x_0=\displaystyle\frac{5}{3}\end{aligned}\right. \)

Với \(x_0=-1 \Rightarrow y_0=0\), ta có pttt: \(y=5(x+1)=5x+5\) (loại).

Với \(x_0=\displaystyle\frac{5}{3} \Rightarrow y_0=\displaystyle\frac{104}{27}\), ta có pttt: \(y=5\left(x-\displaystyle\frac{5}{3}\right)+\displaystyle\frac{104}{27}=5x-\displaystyle\frac{121}{27}\).

\(y'=\displaystyle\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}\).

Gọi \(M(x_0; y_0)\) là tọa độ tiếp điểm. Khi đó hệ số góc tiếp tuyến là \(y'(x_0)=\displaystyle\frac{3}{2\sqrt{3x_0-2}}\).

Do tiếp tuyến song song với \(y=\displaystyle\frac{3}{2}x+\displaystyle\frac{1}{2}\) nên

\(y'(x_0)=\displaystyle\frac{3}{2\sqrt{3x_0-2}}=\displaystyle\frac{3}{2} \Leftrightarrow \sqrt{3x_0-2}=1 \Leftrightarrow x_0=1 \Rightarrow y_0=1.\)

Khi đó phương trình tiếp tuyến tại \(M(1;1)\) là

\(y=\displaystyle\frac{3}{2}(x-1)+1=\displaystyle\frac{3}{2}x-\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Ta có \(y' = \displaystyle\frac{5}{(x + 1)^2}\). Gọi \((x_0;y_0)\) là tọa độ tiếp điểm. Do tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y = 5x + 17\) nên hệ số góc của tiếp tuyến là

\begin{align*}f'(x_0) = 5 \Rightarrow \displaystyle\frac{5}{(x_0 + 1)^2 } = 5 \Rightarrow x_0 &= 0;\, x_0 &= -2\end{align*}

Với \(x_0 = 0, y_0 = -3 \Rightarrow\) tiếp tuyến có phương trình là \(y = 5x - 3\).

Với \(x_0 = -2, y_0 = 7 \Rightarrow\) tiếp tuyến có phương trình là \(y = 5(x + 2) + 7 \Leftrightarrow 5x + 17\) (loại do trùng với đường thẳng đã cho).

Ta có: \(d: 4y+x+4=0\Leftrightarrow y=-\displaystyle\frac{1}{4}x-1.\)

Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm, \((x_0 \ne -1).\)

Vì tiếp tuyến của \((C)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) nên ta có:

\(f'(x_0) \cdot \displaystyle\frac{-1}{4} = -1 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{4}{\left(x_0+1\right)^2 }= 4\Leftrightarrow x_0=0;\,x_0=-2.\)

a)[+)] Với \(x_0=0 \Rightarrow y_0 = -1\). Ta có tiếp tuyến \(y=4x-1\).

a)[+)] Với \(x_0=-2 \Rightarrow y_0 = 7\). Ta có tiếp tuyến \(y=4x+15\).

Ta có: \(f'(x)=3x^2-10x\).

Theo đề, ta có: \((3x^2-10x)\cdot\displaystyle\frac{1}{7}=-1\Leftrightarrow 3x^2-10x+7=0\Leftrightarrow x=1;\,x=\frac{7}{3}\).

Vậy có hai điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Áp dụng công thức tính đạo hàm \(y'=-2x-4\), ta có \(y'=8\) tính được \(x=-6\).

Ta có \(y=f(x)=\displaystyle\frac{2x-1}{x+1}\Rightarrow f'(x)=\displaystyle\frac{3}{(x+1)^2}\).

Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến của \((C)\) tại tiếp điểm có hoành độ \(x_0\), suy ra hệ số góc của \(\Delta\) là \(f'(x_0)\).

Đường thẳng \((d):x+3y+2=0\) có phương trình theo hệ số góc là \(y=-\displaystyle\frac{1}{3}x-\displaystyle\frac{2}{3}\).

Theo bài ra \(\Delta \perp d\) nên ta có: \(-f'(x_0)\cdot \displaystyle\frac{1}{3}=-1\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{(x_0+1)^2}=1\Leftrightarrow x_0=0;\,x_0=-2\).

Hàm số \(y=x^3-3x+2\) có tập xác định \(\mathbb{R}\), \(y'=3x^2-3\).

Giả sử tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tiếp xúc với \((C)\) tại điểm \(M(x_0,y_0)\).

Khi đó theo bài ra tiếp tuyến có hệ số góc bằng \(9\) nên

\(3x_0^2-3=9 \Leftrightarrow x_0^2=4 \Leftrightarrow x_0=\pm 2.\)

Với \(x_0=2\), tiếp điểm \(M(2;4)\) nên phương trình tiếp tuyến tại \(M\) là \(y=9(x-2)+4 \Leftrightarrow y= 9x-14.\)

Với \(x_0=-2\), tiếp điểm \(M(-2;0)\) nên phương trình tiếp tuyến tại \(M\) là \(y=9(x+2)+0 \Leftrightarrow y= 9x+18.\)

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{3}{(x+2)^2}\).

Gọi \((x_0;y_0)\) là tọa độ tiếp điểm.

Tiếp tuyến song song với đường thẳng \((d)\colon y=3x+2\) nên tiếp tuyến có hệ số góc là \(3\). Suy ra \(y'(x_0)=3\Leftrightarrow \displaystyle\frac{3}{(x+2)^2}=3\Leftrightarrow (x+2)^2=1 \Leftrightarrow x=-1;\,x=-3.\)

\(x_0=-1\Rightarrow y(-1)=-1\).

Phương trình tiếp tuyến tại \((-1;-1)\) là \(y=3(x+1)-1\Leftrightarrow y=3x+2\) (loại).

\(x_0=-3\Rightarrow y(-3)=5\).

Phương trình tiếp tuyến tại \((-3;5)\) là \(y=3(x+3)+5\Leftrightarrow y=3x+14\) (nhận).

Ta có \(y' = x^2 + 6x\).\\ Do phương trình tiếp tuyến có hệ số góc \(k = -9\) nên \(y' = -9 \Leftrightarrow x^2 + 6x = - 9 \Leftrightarrow x = -3\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm có hoành độ \(x = - 3\) là

\(y = y'(-3)(x + 3) + y(-3) = -9(x + 3) + 16.\)

\(y'=\displaystyle\frac{-2}{(x-1)^2}.\)

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm \(M\left(m;\displaystyle\frac{m+1}{m-1}\right)\) có dạng

\(y=\displaystyle\frac{-2}{(m-1)^2}(x-m)+\displaystyle\frac{m+1}{m-1}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{2}{(m-1)^2}x+y-\displaystyle\frac{m^2+2m-1}{(m-1)^2}=0.\)

ycbt \(\Leftrightarrow \begin{cases}\displaystyle\frac{2}{(m-1)^2}=2\\-\displaystyle\frac{m^2+2m-1}{(m-1)^2}\ne 1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m=0;\, m=2\\ -\displaystyle\frac{m^2+2m-1}{(m-1)^2}\ne 1\end{cases}\Leftrightarrow m=2\).

Vậy phương trình tiếp tuyến là \(2x+y-7=0\).

Ta có \(y'=3x^2-12x+9\).

Lấy điểm \(M(m; m^3-6m^2+9m)\) thuộc \((C)\).

Tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) có phương trình \(\Delta \colon y=y'(m)(x-m)+m^3-6m^2+9m\).

Đường thẳng \(\Delta\) song song với đường thẳng \(y=9x\) nên suy ra \(y'(m)=9\).

Ta có \(y'(m)=9 \Leftrightarrow 3m^2-12m+9=9 \Leftrightarrow m=0;\,m=4.\)

Với \(m=0\) suy ra \(\Delta \colon y=9x\) (loại).

Với \(m=4\) suy ra \(\begin{aligned}\Delta \colon & y=9(x-4)+4\\ \Leftrightarrow \quad &y =9x-32 \quad \text{(thỏa mãn).}\end{aligned}\)

Gọi \(M(x,y)\) là tiếp điểm. Ta có \(\Delta\colon y=-2x-1\).

Ta có tiếp tuyến tại \(M\) song song với \(\Delta\) nên \(y'=-2\Leftrightarrow \displaystyle\frac{-2}{(x-1)^2}=-2\Leftrightarrow x-1=1;\,x-1=-1\Leftrightarrow x=2;\,x=0.\)

Với \(x=2\Rightarrow y=3\). Tiếp tuyến có phương trình là \(y=-2(x-2)+3=-2x+7\) (nhận).

Với \(x=0\Rightarrow y=-1\). Tiếp tuyến có phương trình là \(y=-2x-1\) (loại).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Ta có \(3x+y-11=0\Leftrightarrow y=-3x+11\) nên hệ số góc là \(k=-3\). Do tiếp tuyến song song với đường thẳng \(3x+y-11=0\) nên hệ số góc tiếp tuyến bằng \(-3\) hay

\begin{eqnarray*}y'=-3 & \Leftrightarrow & \displaystyle\frac{-3}{(x-1)^2}=-3\\ &\Leftrightarrow & (x-1)^2=1\\& \Leftrightarrow & x-1=1;\, x-1=-1\\& \Leftrightarrow & x=2;\, &x=0.\end{eqnarray*}

Với \(x=2\) thì \(y=5\) khi đó phương trình tiếp tuyến là \(y=-3(x-2)+5\Leftrightarrow y=-3x+11\) (loại).

Với \(x=0\) thì \(y=-1\) khi đó phương trình tiếp tuyến là \(y=-3x-1\).

Vậy phương trình tiếp tuyến là \(y=-3x-1\).

\(y'=\displaystyle\frac{3}{(x+1)^2}\).

Gọi \((x_0;y_0)\) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến.

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y=3x+2\) ta có

\(y'(x_0)=3 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{3}{(x_0+1)^2}=3 \Leftrightarrow x_0=0;\,x_0=-2.\)

Với \(x_0=0 \Rightarrow y_0=-1 \Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến: \(y=3(x-0)-1 \Leftrightarrow y=3x-1\).

Với \(x_0=-2 \Rightarrow y_0=5 \Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến: \(y=3(x+2)+5 \Leftrightarrow y=3x+11\).

{ Trên đồ thị \((C)\) lấy điểm \(M(x_0;y_0)\). Tiếp tuyến \(d\) của đồ thị \((C)\) tại điểm \(M\) có hệ số góc là \(k=y'(x_0)= \displaystyle\frac{-3}{(x_0+2)^2}\).

Do \(d\) song song với đường thẳng \(y=-3x-1 \Rightarrow k=-3 \Leftrightarrow (x_0+2)^2=1 \Leftrightarrow x_0=-3;\,x_0=-1.\)

Với \(x_0=-1 \Rightarrow y_0 =2\), suy ra \(d\) có phương trình là \(y=-3(x+1)+2 \Leftrightarrow y=-3x-1\), (loại) vì \(d\) trùng với đường thẳng \(y=-3x-1.\)

Với \(x_0=-3 \Rightarrow y_0=-4\), suy ra \(d\) có phương trình là \(y=-3(x+3)-4 \Leftrightarrow y=-3x-13\) (thỏa mãn).

Từ đó ta có \(a=-3; b=-13\Rightarrow S=a^3-b^2 =-196\)

Gọi \(M(x_0;y_0)\) là tiếp điểm. Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y=-x+2\) khi và chỉ khi \(y'(x_0)=-1 \Leftrightarrow -\displaystyle\frac{1}{(x_0-1)^2}=-1 \Leftrightarrow x_0=0;\,x_0=2.\)

+) Với \(x_0=0\) thì \(y_0=-2\) ta có phương trình tiếp tuyến \(y=-x-2\).

+) Với \(x_0=2\) thì \(y_0=0\) ta có phương trình tiếp tuyến \(y=-x+2\) (loại).

Vậy \(y=-x-2\) là phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-3}{(x-2)^2}\). Từ giả thiết ta có \(\displaystyle\frac{-3}{(x-2)^2}=-3 \Leftrightarrow (x-1)^2=1 \Leftrightarrow x=3 \Rightarrow y=5;\,x=1 \Rightarrow y=-1.\)

Vậy tiếp tuyến cần tìm là \(y=-3x+14;\,y=-3x+2.\)

Gọi \(M(x_0; y_0)\) là tiếp điểm.

Ta có \(y'=3x^2+6x-2\).

Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(M\) là \(k=y'\left(x_0\right)=3x_0^2+6x_0-2\).

Đường thẳng \(2x+y-3=0\) có hệ số góc là \(-2\).

Tiếp tuyến tại \(M\) song song với đường thẳng \(2x+y-3=0\) nên

\[3x_0^2+6x_0-2=-2\Leftrightarrow3x_0^2+6x_0=0\Leftrightarrow x_0=0\\ &x_0=-2. \]

Với \(x_0=0\) thì \(y_0=-1\). Suy ra phương trình tiếp tuyến là \(y=-2x-1\Leftrightarrow 2x+y+1=0\).

Với \(x_0=-2\) thì \(y_0=7\). Suy ra phương trình tiếp tuyến là \(y=-2(x+2)+7\Leftrightarrow 2x+y-3=0\).

Đường thẳng này trùng với đường thẳng đề bài cho nên không thỏa mãn bài toán.

Vậy, tiếp tuyến của đồ thị hàm số và song song với đường thẳng \(2x+y-3=0\) có phương trình là \(2x+y+1=0\).

Ta có \(y'=x^2-1\).

Gọi \(M(x_0;y_0)\) là hoành độ tiếp điểm. Do tiếp tuyến tại \(M\) vuông góc với đường thẳng \(y=-\displaystyle\frac{1}{3}x+\displaystyle\frac{2}{3}\) nên ta có \(y'(x_0)=3\Leftrightarrow x_0^2-1=3\Leftrightarrow x_0=-2;\,x_0=2.\)

Do \(x_0<0\) nên \(x_0=-2\Rightarrow M(-2;0).\)

Ta có \(y'=3x^2-6x\).

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y=9x+7\) nên hệ số góc của nó là \(k=9\).

Nên \(y'=k \Leftrightarrow 3x^2-6x=9 \Leftrightarrow x=3;\,x=-1.\)

Với \(x=3\) ta có \(y(3)=2\) suy ra phương trình tiếp tuyến là \(y=9(x-3)+2=9x-25\) (thỏa mãn).

Với \(x=-1\) ta có \(y(-1)=-2\) suy ra phương trình tiếp tuyến là \(y=9(x+1)-2=9x+7\) (loại).

Vậy có một tiếp tuyến thỏa mãn.

Ta có \(y' = \displaystyle\frac{-2}{(x-1)^2}\).

Gọi \(M(x_{0};y_{0})\) là tiếp điểm, do tiếp tuyến tại \(M\) song song với \(\Delta \colon y=-2x-1\)

\(\Rightarrow \displaystyle\frac{-2}{(x_{0}-1)^2} = -2 \Leftrightarrow (x_{0}-1)^{2}=1 \Leftrightarrow x_{0}=2 \\ & x_{0} = 0.\)

Với \(x_{0}=2\) suy ra phương trình tiếp tuyến \(y=-2(x-2)+3\Leftrightarrow y=-2x+7\) (nhận).

Với \(x_{0}=0\) suy ra phương trình tiếp tuyến \(y=-2(x-0)-1 \Leftrightarrow y=-2x-1\) (loại do trùng với đường thẳng \(\Delta\)).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{4}{{(x+1)}^2}\).

Do \(M\in(\mathcal{C})\colon y=\displaystyle\frac{x-3}{x+1}\) nên \(M\left(m;\displaystyle\frac{m-3}{m+1}\right)\).

Vì tiếp tuyến của đồ thị \((\mathcal{C})\) tại \(M\) song song với đường thẳng \(y=4x-3\) nên ta có

\begin{eqnarray*}&&y'(m)=4\\&\Leftrightarrow&\displaystyle\frac{4}{(m+1)^2}=4\\&\Leftrightarrow&(m+1)^2=1\\&\Leftrightarrow& m+1=1;\, m+1=-1\\& \Leftrightarrow& m=0;\, m=-2.\end{eqnarray*}

Với \(m=0\Rightarrow M\left(0;-3\right)\);

phương trình tiếp tuyến là \(y=4x-3\) (loại).

Với \(m=-2\Rightarrow M\left(-2;5\right)\); phương trình tiếp tuyến là \(y=4x+13\) (nhận).

Vậy \(M\left(-2;5\right)\).

Gọi \(\mathscr{(C)}\) là đồ thị của hàm số \(y = \displaystyle\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x + 1\).

Vì tiếp tuyến của \(\mathscr{(C)}\) song song với đường thẳng \(y = 3x + 1\) nên tiếp tuyến của \(\mathscr{(C)}\) có hệ số góc \(k = 3\).

Gọi \((x_0; y_0)\) là tiếp điểm, ta có \(y'(x_0) = k \Leftrightarrow x_0^2 - 4x_0 + 3 = 3 \Leftrightarrow x_0 = 0 \Rightarrow y_0 = 1 ;\,x_0 = 4 \Rightarrow y_0 = \displaystyle\frac{7}{3}.\)

Phương trình tiếp tuyến của \(\mathscr{(C)}\) tại điểm \((0; 1)\) là \(y = 3(x - 0) + 1 = 3x + 1\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\mathscr{(C)}\) tại điểm \(\left(4; \displaystyle\frac{7}{3}\right)\) là \(y = 3(x - 4) + \displaystyle\frac{7}{3} = 3x - \displaystyle\frac{29}{3}\).

Vậy có một tiếp tuyến của \(\mathscr{(C)}\) song song với đường thẳng \(y = 3x + 1\) là đường thẳng \(y = 3x - \displaystyle\frac{29}{3}\).

Gọi \(M\left(x_0;{{y}_0} \right)\) là tọa độ tiếp điểm.

Ta tính được \(k=y'(x_0)=3x_0^2-6x_0\).

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y=9x+7\) nên có \(k=9\Leftrightarrow 3x_0^2-6x_0=9\Leftrightarrow x_0=-1 \\ & x_0=3.\)

Với \(x_0=-1\), ta có \(\begin{cases}y_0=-2 \\ k=9.\end{cases}\)

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=9x+7\) (loại).

Với \(x_0=3\) thì \(\begin{cases} y_0=2 \\ k=9\end{cases}\). Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=9x-25\).

Gọi \(M\left(x_0;{{y}_0} \right)\) là tọa độ tiếp điểm.

Ta tính được \(k=y'(x_0)=3x_0^2-6x_0\).

Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y=-\displaystyle\frac{1}{45}x\) nên ta có

\(k \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{45} \right)=-1\Leftrightarrow k=45\Leftrightarrow 3x_0^2-6x_0=45\Leftrightarrow x_0=5 ;\,x_0=-3.\)

Với \(x_0=5\), ta có \(\begin{cases}y_0=52 \\ k=45\end{cases} \Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=45x-173\).

Với \(x_0=-3\), ta có \(\begin{cases}y_0=-52 \\ k=45\end{cases} \Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=45x+83\).

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là tọa độ tiếp điểm.

Ta tính được \(k=y'\left(x_0 \right)=-\displaystyle\frac{1}{x_0^2}\).

Theo giả thiết ta có \(k=-\displaystyle\frac{1}{4}\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{1}{x_0^2}=-\displaystyle\frac{1}{4}\Leftrightarrow x_0^2=4\Leftrightarrow x_0=\pm 2.\)

Với \(x_0=2\), ta có \(y_0=\displaystyle\frac{1}{2}\)

nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=-\displaystyle\frac{1}{4}\left(x-2 \right)+\displaystyle\frac{1}{2}\Leftrightarrow x+4y-4=0\).

Với \(x_0=-2\), ta có \(y_0=-\displaystyle\frac{1}{2}\) nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=-\displaystyle\frac{1}{4}\left(x+2 \right)-\displaystyle\frac{1}{2}\Leftrightarrow x+4y+4=0.\)

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số.

Đạo hàm \(y'=3x^2\Rightarrow k=y'\left(x_0\right)=3x_0^2=12\Leftrightarrow x_0=\pm 2.\)

Với \(x_0=-2\Rightarrow y_0=-8\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến \(y=12\left(x+2\right)-8=12x+16.\)

Với \(x_0=2\Rightarrow y_0=8\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến \(y=12\left(x-2\right)+8=12x-16.\)

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số.

Đạo hàm \(y'=3x^2-12x+9\Rightarrow k=y'\left(x_0\right)=3x_0^2-12x_0+9.\)

Do tiếp tuyến song song với \(d:y=9x+1\) nên \(k=9\Leftrightarrow 3x_0^2-12x_0+9=9\Leftrightarrow x_0=0 ;\, x_0=4.\)

Với \(x_0=0\Rightarrow y_0=0\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến \(y=9x\) (loại).

Với \(x_0=4\Rightarrow y_0=4\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến \(y=9\left(x-4\right)+4=9x-32.\)

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số.

Đạo hàm \(y'=4x^3+1\Rightarrow k=y'\left(x_0\right)=4x_0^3+1\).

Đường thẳng \(d\colon y=-\displaystyle\frac{1}{5}x\) có hệ số góc là \(k_1=-\displaystyle\frac{1}{5}.\)

Theo giả thiết ta có \(k_1k_2=-1\Leftrightarrow-\displaystyle\frac{1}{5}k_2=-1\Leftrightarrow k_2=5\Rightarrow 4x_0^3+1=5\Leftrightarrow x_0=1.\)

Với \(x_0=1\Rightarrow y_0=2\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến \(y=5\left(x-1\right)+2=5x-3\).

Hàm số \(y=x^3-3x^2+2\) xác định trên \(\mathbb{R}\), có \(y'=3x^2-6x\).

Đường thẳng \(d\colon x+45y=0 \Leftrightarrow y=-\displaystyle\frac{1}{45}x\) có hệ số góc \(k_1=-\displaystyle\frac{1}{45}\).

Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị hàm số tại điểm \(M\left(x_0;y_0\right)\). Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là \(k=y'(x_0) = 3x_0^2-6x_0\).

Tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng \(d\) nên

\[k\cdot k_1=-1 \Leftrightarrow 3x_0^2-6x_0=45 \Leftrightarrow x_0^2-2x_0-15=0 \Leftrightarrow x_0=-3;\,x_0=5.\]

Với \(x_0=-3\), \(y_0=-52\), \(k=45\). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M(-3;-52)\) là \(y=45(x+3)-52 = 45x+83\).

Với \(x_0=5\), \(y_0=52\), \(k=45\). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M(5;52)\) là \(y=45(x-5)+52 = 45x-173\).

Gọi \(M(x_0;y_0)\) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị \((C)\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{-4}{(-x+1)^2}\).

Do tiếp tuyến của \((C)\) song song với đường thẳng \(y=-\displaystyle\frac{1}{4} x-\displaystyle\frac{3}{4}\) nên hệ số góc của tiếp tuyến là

\[y'(x_0)=-\displaystyle\frac{1}{4}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{-4}{(-x_0+1)^2}=-\displaystyle\frac{1}{4}\Leftrightarrow (-x_0+1)^2=16\Leftrightarrow -x_0+1=4;\,-x_0+1=-4\Leftrightarrow x_0=-3;\,x_0=5.\]

Với \(x_0=-3\), ta có \(y_0=0\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M(-3;0)\) là

\[y=-\displaystyle\frac{1}{4}(x+3)+0\Leftrightarrow y=-\displaystyle\frac{1}{4}x-\displaystyle\frac{3}{4}. \quad \text{(Loại)}\]

Với \(x_0=5\), ta có \(y_0=2\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M(5;2)\) là

\[y=-\displaystyle\frac{1}{4}(x-5)+2\Leftrightarrow y=-\displaystyle\frac{1}{4}x+\displaystyle\frac{13}{4}. \quad \text{(Nhận)}\]

Vậy \(ab=-\displaystyle\frac{1}{4}\cdot \displaystyle\frac{13}{4}=-\displaystyle\frac{13}{16}\).

Với \(x \in \mathbb{R}\), ta có \(y'=3x^2-2x-2\). Gọi \(M(x_0;y_0)\) là tiếp điểm.

Vì tiếp tuyến tại \(M\) song song với đường thẳng \(\Delta \colon 2x+y-1=0 \Leftrightarrow y=-2x+1\) nên hệ số góc của tiếp tuyến là \(y'(x_0)=-2\). Suy ra

\(3x_0^2-2x_0-2=-2 \Leftrightarrow x_0=0;\, x_0=\displaystyle\frac{2}{3}.\)

Với \(x_0 =0 \Rightarrow y_0=1\), phương trình tiếp tuyến là \(y=-2(x-0)+1=-2x+1\) (loại do trùng \(\Delta\)).

Với \(x_0 =\displaystyle\frac{2}{3} \Rightarrow y_0=-\displaystyle\frac{13}{27}\), phương trình tiếp tuyến là \(y=-2\left(x-\displaystyle\frac{2}{3}\right)-\displaystyle\frac{13}{27}=-2x+\displaystyle\frac{23}{27}\) (nhận).

Vậy có \(1\) tiếp tuyến cần tìm.

Ta có \(y'=x^2-3\).

Ta có \(d\colon x+y+2=0\Leftrightarrow y=-x-2\).

Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là \(A\left(x_0;\displaystyle\frac{1}{3} x_0^3-3x_0\right)\).

Khi đó tiếp tuyến của \((C)\) tại \(A\) là

\(\Delta \colon y=y'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\displaystyle\frac{1}{3} x_0^3-3x_0\).

Để \(d\perp \Delta\) thì

\[y'\left(x_0\right)\cdot(-1)=-1\Leftrightarrow \left(x_0^2-3\right)\cdot (-1)=-1\Leftrightarrow x_0=\pm 2.\]

Với \(x_0=2\) suy ra \(A\left(2;-\displaystyle\frac{10}{3}\right)\) suy ra \(\Delta\colon y=(x-2)-\displaystyle\frac{10}{3}\) hay \(y=x-\displaystyle\frac{16}{3}\).

Với \(x_0=-2\) suy ra \(A\left(-2;\displaystyle\frac{10}{3}\right)\) suy ra \(\Delta\colon y=(x+2)+\displaystyle\frac{10}{3}\) hay \(y=x+\displaystyle\frac{16}{3}\).

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là \(y=x-\displaystyle\frac{16}{3};\,y=x+\displaystyle\frac{16}{3}.\)

Ta có, hệ số góc của tiếp tuyến là \(k=-\displaystyle\frac{1}{-\tfrac{1}{5}}=5\).

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình \(y'(x_0)=k=5\Leftrightarrow 4x_0^3+1=5\Leftrightarrow x_0=1\), suy ra \(y_0=2\).

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y=x^4+x\), vuông góc với đường thẳng \(y=-\displaystyle\frac{1}{5}x+2\) là

\[y-2=5(x-1)\Leftrightarrow y=5x-3.\]

Ta có \(y'=3x^2-3\).

Gọi \(M(x_0;y_0)\) là tiếp điểm.

Ta có hệ số góc tiếp tuyến là \(k=f'(x_0)=3x_0^2-3\).

Hệ số góc của \(d\colon y=9x+16\) là \(k_d=9\).

Vì tiếp tuyến song song với \(d\) nên \(k=k_d\Leftrightarrow 3x_0^2-3=9\Leftrightarrow x_0=2;\,x_0=-2.\)

Với \(x_0=2\Rightarrow y_0=2\) suy ra phương trình tiếp tuyến là \(y=9(x-2)+2=9x-16\).

Với \(x_0=-2\Rightarrow y_0=-2\) suy ra phương trình tiếp tuyến là \(y=9(x+2)-2=9x+16\) (loại vì trùng với \(d\)).

\(y=x^3-3x^2+2\Rightarrow y'=3x^2-6x\).

Gọi \(M(x_0;x_0^3-3x_0^2+2)\) thuộc đồ thị hàm số. Phương trình tiếp tuyến tại \(M\) là

\begin{align*}\Delta \colon y=\left(3x_0^2-6x_0\right)\left(x-x_0\right)+x_0^3-3x_0^2+2\Leftrightarrow y=(3x_0^2-6x_0)x-2x_0^3+3x_0^2+2.\end{align*}

Tiếp tuyến đi qua điểm \(A(1;0)\) khi

\(0=3x_0^2-6x_0-2x_0^3+3x_0^2+2\Leftrightarrow 2x_0^3-6x_0^2+6x_0-2=0\Leftrightarrow x_0=1\).

Khi đó \(\Delta \colon y=-3x+3\).

Ta có \(y'=-3x^{2}+3\).

Gọi tọa độ tiếp điểm là \((a;-a^{3}+3a+2)\)

\(\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến có dạng \(y=(-3a^2+3)(x-a)-a^{3}+3a+2\).

Vì tiếp tuyến đi qua điểm \(A(3;0)\) nên

\((-3a^2+3)(3-a)-a^{3}+3a+2=0\Leftrightarrow a=-1\\ &a=\displaystyle\frac{11\pm\sqrt{33}}{4}\)

\(\Rightarrow\) có \(3\) tiếp tuyến của đồ thị hàm số được kẻ từ điểm \(A(3;0)\).

Với \(x\ne 1\), ta có \(y'=\displaystyle\frac{-3}{(x-1)^2}\). Gọi \(M(x_0;y_0)\) là tiếp điểm.

Khi đó, phương trình tiếp tuyến tại \(M\) là \(y=\displaystyle\frac{-3}{(x_0-1)^2}(x-x_0)+ \displaystyle\frac{2x_0+1}{x_0-1}\).

Theo giả thiết, tiếp tuyến này đi qua \(A(1;8)\) nên

\begin{eqnarray*}&& \displaystyle\frac{-3}{(x_0-1)^2}(1-x_0)+\displaystyle\frac{2x_0+1}{x_0-1}=8 \\& \Leftrightarrow & \displaystyle\frac{-3}{1-x_0}-\displaystyle\frac{2x_0+1}{1-x_0}=8\\& \Leftrightarrow & -3-(2x_0+1)=8(1-x_0) ~(\text{điều kiện }x_0\ne 1)\\& \Leftrightarrow & 6x_0=12 \Leftrightarrow x_0=2 ~(\text{nhận}).\end{eqnarray*}

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=-3x+11\).

Ta có \(y=3x^2-10x\).

Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là \(M\left(x_0;x_0^3-5x_0^2+2\right)\).

Khi đó tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm \(M\) là

\[y=y'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+x_0^3-5x_0^2+2\Leftrightarrow y=\left(3x_0^2-10x_0\right)\left(x-x_0\right)+x_0^3-5x_0^2+2.\]

Vì tiếp tuyến đó đi qua \(A(1;2)\) nên ta có

\[2=\left(3x_0^2-10x_0\right)\left(1-x_0\right)+x_0^3-5x_0^2+2\Leftrightarrow 2x_0^3-8x_0^2+10x_0=0\Leftrightarrow x_0=0.\]

Khi đó \(M(0;2)\) và tiếp tuyến tại \(M\) có phương trình \(y=2\).

Vậy có một tiếp tuyến thỏa mãn bài toán.

Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm. Tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(x_0\) có dạng

\(y=(3-8x_0)(x-x_0)+3x_0-4x_0^2.\)

Tiếp tuyến đi qua điểm \(M(1;3)\) nên ta có

\(3=(3-8x_0)(1-x_0)+3x_0-4x_0^2 \Leftrightarrow x_0=0;\, x_0=2.\)

Vậy có 2 tiếp tuyến của \((C)\) đi qua điểm \(M(1;3).\)

Ta có \(y'=3-12x^2\). Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm \(A(x_0;y_0)\) là \(y=y'(x_0)(x-x_0)+y_0\).

Do tiếp tuyến đi qua \(M(1;3)\) nên

\begin{eqnarray*}&&3=(3-12x_0^2)(1-x_0)+3x_0-4x_0^3\\&\Leftrightarrow& 8x_0^3-12x_0^2=0\\&\Leftrightarrow& x_0=0;\, x_0=\displaystyle\frac{2}{3}\end{eqnarray*}

Vậy từ \(M\) kẻ được \(2\) tiếp tuyến đến \((C)\).

\(y'=12x^2-12x\).

Gọi \(A(x_0;y_0)\) là tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến tại \(A\) là

\(y=12(x_0^2-x_0)(x-x_0)+4x_0^3-6x_0^2+1\).

Do tiếp tuyến đi qua \(M(-1;-9)\) nên

\(-9=12(x_0^2-x_0)(-1-x_0)+4x_0^3-6x_0^2+1 \Leftrightarrow -8x_0^3-6x_0^2+12x_0+10=0 \Leftrightarrow x_0=-1;\,x_0=\displaystyle\frac{5}{4}.\)

Suy ra có hai tiếp tuyến.

Xét điểm \(M(x_0;x_0^3-3x_0^2+2)\) thuộc đồ thị hàm số.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\) có dạng

\(y=(3x_0^2-6x_0)(x-x_0)+x_0^3-3x_0^2+2.\)

Tiếp tuyến này qua \(A(3;2)\) khi và chỉ khi

\begin{align*}&2=(3x_0^2-6x_0)(3-x_0)+x_0^3-3x_0^2+2\\\Leftrightarrow\ &-2x_0^3+12x_0^2-18x_0=0\Leftrightarrow x_0=0\\ &x_0=3.\end{align*}

Vậy có hai tiếp tuyến đi qua \(A\) là \(y=2\) và \(y=9x-25\).

Ta có hệ số góc tiếp tuyến \(k=\pm \tan \alpha =\pm \displaystyle\frac{OB}{OA}=\pm \displaystyle\frac{1}{2}\).

Mà \(f'\left(x_0\right)=-\displaystyle\frac{3}{(x-1)^2}<0, \forall x\neq 1\), nên \(k=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

Ta có \(y'=3x^2-6x+9=3(x-1)^2+6\geq 6\), \(\forall x\in\mathbb{R}\).

Vậy trong tất cả các tiếp tuyến tại một điểm trên đồ thị thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là \(k=6\).

Với \(x \in \mathbb{R}\), ta có \(y'=3x^2-6x\). Gọi \(M(x_0;y_0)\) là tiếp điểm.

Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại \(M\) là \(y'(x_0)=3x_0^2-6x_0\geq -3\).

Vậy tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng \(-3\).

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{x}{x+1}\) cắt hai trục tọa độ \(Ox\), \(Oy\) tại hai điểm phân biệt \(A\), \(B\) sao cho tam giác \(OAB\) cân nên có hệ số góc \(k=1\) hoặc \(k=-1\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{1}{(x+1)^2}>0\, \forall x\ne -1\) nên suy ra hệ số góc tiếp tuyến \(k=1\).

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình

\(y'=1\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{(x+1)^2}=1\Leftrightarrow x=0;\,x=-2.\)

Với \(x=0\) thì \(y=0\). Phương trình tiếp tuyến là \(y=x\) đi qua gốc tọa độ nên không thỏa mãn.

Với \(x=-2\) thì \(y=2\). Phương trình tiếp tuyến là \(y=x+4\), tiếp tuyến này cắt các trục \(Ox\), \(Oy\) lần lượt tại \(A(-4;0)\), \(B(0;4)\).

Diện tích tam giác \(OAB\) là \(S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8\).

Ta có \(y'=3x^2-6x+6=3(x-1)^2+3\ge 3, \forall x\in \Bbb{R}.\)

Suy ra tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là bằng \(3\) khi \(x=1.\)

Mặt khác \(y(1)=9\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=3(x-1)+9\) hay \(y=3x+6.\)

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-4}{(x-2)^2}\).

Giả sử đường thẳng \(\Delta\) tiếp xúc với đồ thị hàm số \((C)\) tại điểm \(M(x_0;y_0)\), suy ra

\(\Delta\colon y=\displaystyle\frac{-4}{(x_0-2)^2}(x-x_0)+\displaystyle\frac{2x_0}{x_0-2}\).

Giả sử \(\Delta\) giao các trục \(Ox\), \(Oy\) tại lần lượt \(A\), \(B\) thỏa mãn \(AB=\sqrt{2}OA\). Do tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) nên \(\widehat{BAO}=45^\circ\), suy ra \(\Delta\) có hệ số góc \(k=\pm 1\).

- Với \(k=1\), suy ra \(\displaystyle\frac{-4}{(x_0-2)^2}=1\) (vô lí).

- Với \(k=-1\), suy ra \(\displaystyle\frac{-4}{(x_0-2)^2}=-1 \Leftrightarrow x_0=0;\,x_0=4.\)

Khi \(x_0=0\), suy ra \(\Delta\colon y=-x\), suy ra \(A\equiv B\equiv O\) (loại).

Khi \(x_0=4\), suy ra \(\Delta\colon y=-x+8\).

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số.

Ta có \(y'=6x^2+6x-4\) nên

\(k=y'\left(x_0\right)=6x_0^2+6x_0-4=6\left(x_0^2+x_0-\displaystyle\frac{2}{3}\right)=6{\left(x_0+\displaystyle\frac{1}{2}\right)}^2-\displaystyle\frac{11}{2}\ge-\displaystyle\frac{11}{2}.\)

Vậy trong các tiếp tuyến của \(C\), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là \(k=-5{,}5\).

Gọi \(M\left(a;4a^3-6a^2+1\right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số.

Đạo hàm \(y'=12x^2-12x\Rightarrow k=y'(a)=12a^2-12a\).

Phương trình tiếp tuyến \(d\colon y=\left(12a^2-12a\right)\left(x-a\right)+4a^3-6a^2+1.\)

Do tiếp tuyến đi qua \(M\left(-1;-9\right)\) nên

\(-9=\left(12a^2-12a\right)\left(-1-a\right)+4a^3-6a^2+1\Leftrightarrow a=-1;\, a=\displaystyle\frac{5}{4}\Rightarrow d\colon y=24x+15;\, d\colon y=\displaystyle\frac{15}{4}x-\displaystyle\frac{21}{4}.\)

Gọi \(M\left(a;\displaystyle\frac{2a+1}{a-1}\right)\) là tiếp điểm \(d\) và \((C)\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{-3}{(x-1)^2}\Rightarrow k=y'a=-\displaystyle\frac{3}{{\left(a-1\right)}^2}.\)

Phương trình tiếp tuyến \(d \colon y=-\displaystyle\frac{3}{{\left(a-1\right)}^2}.\left(x-a\right)+\displaystyle\frac{2a+1}{a-1}.\)

Do tiếp tuyến đi qua \(A\left(4;-1\right)\) nên

\(-1=\displaystyle\frac{-3}{{\left(a-1\right)}^2}\left(4-a\right)+\displaystyle\frac{2a+1}{a-1}\Leftrightarrow 3a^2-12=0\Leftrightarrow a=2 \\ & a=-2\Rightarrow M\left(2;5\right) ;\, M \left(-2;1\right).\)

Ta có: \(v(t)=s^\prime(t)=12t^2+6\).

Vận tốc tức thời tại \(t=2\) là \(v(2)=12\cdot 2^2+6=54 \;m/s\).

a) Xét \(\Delta Q\) là số gia của biến số tại điểm \(Q\).

Ta có:

\(\begin{aligned}[t]\Delta Q=&C(Q+\Delta Q)-C(Q)\\=&\left(Q+\Delta Q\right)^2+80\left(Q+\Delta Q\right)+3500-\left(Q^2+80Q+3500\right)\\=&2Q\cdot(\Delta Q)+(\Delta Q)^2+80\Delta Q.\end{aligned}\)

Suy ra: \(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta Q}=2Q+\Delta Q+80\).

Ta thấy: \(\lim\limits_{\Delta Q\to 0}\left(2Q+\Delta Q+80\right)=2Q+80\).

Vậy \(C^\prime(Q)=2Q+80\).

b) \(C^\prime(90)=2\cdot90+80=260\).

Chi phí gia tăng để sản xuất từ \(90\) sản phẩm máy vô tuyến lên \(91\) máy vô tuyến là \(260\) USD.

c) Chi phí để sản xuất máy vô tuyến thứ \(100\) là

\(C(100)=100^2+80\cdot100+3500=21~500\) (USD).

Chi phí gia tăng để sản xuất từ \(99\) sản phẩm máy vô tuyến lên \(100\) máy vô tuyến là

\(C^\prime(99)=2\cdot99+80=278\) (USD).

Vậy tổng chi phí để sản xuất máy vô tuyến thứ \(100\) là

\(21~500+278=21~778\) (USD).

Kí hiệu \(T\) là tổng số tiền vốn và lãi của người gửi sau một năm. Tuỳ theo kì hạn, ta có những công thức tính \(T\) khác nhau.

Nếu kì hạn là 1 năm thì \(T=A(1+r)\).

Nếu kì hạn là 6 tháng thì \(T=A\left(1+\displaystyle\frac{r}{2}\right)^2\).

Nếu kì hạn là 3 tháng thì \(T=A\left(1+\displaystyle\frac{r}{4}\right)^4\).

Nếu kì hạn là 1 tháng thì \(T=A\left(1+\displaystyle\frac{r}{12}\right)^{12}\).

Nếu kì hạn là 1 ngày thì \(T=A\left(1+\displaystyle\frac{r}{365}\right)^{365}\) (luôn coi một năm có 365 ngày).

Tổng quát, nếu một năm được chia thành \(n\) kì hạn thì

\(T=A\left(1+\displaystyle\frac{r}{n}\right)^n=A\left(1+\displaystyle\frac{1}{m}\right)^{m r} (\text { với } m=\displaystyle\frac{n}{r}, r>0).\)

Khi kì hạn càng ngắn thì \(n\) càng lớn, do đó \(m\) càng lớn. Người ta chứng minh được rằng có giới hạn hữu hạn

\(\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}.\)

Hơn nữa, người ta còn biết rằng \(e\) là số vô tỉ và \(\mathrm{e}=2,718281828 \ldots\) (số thập phân vô hạn không tuần hoàn).

Từ kết quả trên suy ra, khi kì hạn trở nên rất ngắn \((m\) dần đến \(+\infty)\) thì \(\left(1+\displaystyle\frac{1}{m}\right)^m\) dần đến \(e\), và do đó \(T=A\left(1+\displaystyle\frac{1}{m}\right)^{m r}\) dần đến \(A \cdot \mathrm{e}^r\).

Số \(\mathrm{e}\) xuất hiện trong nhiều bài toán ở những lĩnh vực khác nhau như Toán học, Vật lí, Sinh học, Kinh tế,\(\ldots\)

a) \(T=2000000 \cdot e^{0,05 \cdot \frac{1}{4}}=2000000 \cdot e^{0,0125} \approx 2025157\) (đồng).

b) \(T=2000000 \cdot e^{0,05 \cdot \frac{1}{365}} \approx 2000274\) (đồng).

a) \(T=5000000\cdot \mathrm{e}^{0{,}04\cdot \frac{1}{365}}=5000547{,}975\) (đồng).

b) \(T=5000000\cdot \mathrm{e}^{0{,}04\cdot \frac{6}{73}}=5016465{,}408\) (đồng).

Số tiền nhận được sau

a) Lãi kép với kì hạn \(6\) tháng.

Số tiền nhận được sau \(6\) tháng đầu

\(T=10000000\cdot \mathrm{e}^{0.05\cdot \frac{1}{2}}=10253151{,}21\) (đồng).

Số tiền nhận được sau \(6\) tháng tiếp theo

\(T=10253151,21\cdot \mathrm{e}^{0.05\cdot \frac{1}{2}}=10512710{,}97\) (đồng).

b) Lãi kép với kì hạn liên tục là \(T=10000000\cdot \mathrm{e}^{0.05}=10512710{,}96\) (đồng).

Vận tốc rơi tức thời tại thời điểm \(t=2\) là \(v(2)=h^\prime(2)=1{,}62\cdot2=3{,}24\) m/s.

Cho \(Oy\) theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng từ mặt đất lên trời, gốc \(O\) là vị trí viên đạn bắn lên, khi đó phương trình chuyển động của viên đạn là

\[y=v_0 t-\displaystyle\frac{1}{2} g t^2.\]

Ta có vận tốc tại thời điểm \(t\) là

\[v=y'(t)=v_0-gt.\]

Do đó

\[v=0 \Leftrightarrow v_0-g t=0 \Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{v_0}{g}=\frac{196}{9{,}8}=20\,\, (\text{s}).\]

Vậy khi \(t = 20\) s thì viên đạn bắt đầu rơi, lúc đó viên đạn cách mặt đất

\[y=v_0 t-\displaystyle\frac{1}{2} g t^2=196\cdot 20-\displaystyle\frac{1}{2} 9{,}8\cdot 20^2=1960\,\,\text{m}.\]

Ta có \(q'(t)=(Q_{0}\sin \omega t)'=Q_0\cdot \omega\cdot \cos \omega t\).

Cường độ của dòng điện tại thời điểm \(t=6\) (s) là

\[I(6)=10^{-8}\cdot 10^{6}\pi \cdot\cos(10^{6}\pi \cdot 6)=\displaystyle\frac{\pi}{100}\,\,(\text{A})=31{,}4159\,\,(\text{mA}).\]

Ta có \(w'(t)=0,000758\cdot 3t^2-0,0596\cdot 2t+1,82\).

Tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm \(10\) tháng tuổi là \(w'(10)=0,8554\) pound/tháng.

Ta có \(C'(x)=\displaystyle\frac{(5x^2+60)'}{2\sqrt{2x^2=60}}=\displaystyle\frac{5x}{\sqrt{5x^2+50}}\).

Công ty thực hiện kế hoạch nâng sản lượng sau \(4\) tháng có sản lượng là \(x(4)=20\cdot 4+40=120\).

Chi phí sẽ tăng sau \(4\) tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch là \(C'(120)\simeq 2,235\).

Ta có \(s'(t)=1,62t\), \(s''(t)=1,62\).

a) Quãng đường vật đã rơi tại thời điểm \(t=2\) sau khi thả vật rơi từ độ cao \(200\) m phía trên Mặt Trăng là \(s(2)=0,81\cdot 2^2=3,24\) m.

b) Gia tốc của vật thời điểm \(t=2\) là \(s''(2)=1,62\) m/s\(^2\).

Ta có \(s'(t)=\left(4{,}9 t^2\right)'=4{,}9\cdot 2t=9{,}8t\); \(s^{\prime\prime}(t)=(9{,}8t)'=9{,}8\).

Gia tốc rơi của hòn sỏi lúc \(t=3\) là \(s^{\prime\prime}(3)=9{,}8\) m/s\(^2\).

Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình \(h(t)=100-4{,}9t^2\) suy ra vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t\) là \(v(t)=h'(t)=-9{,}8t\).

Khi vật chạm đất thì \(h(t)=0\) suy ra \(100-4{,}9t^2=0\Leftrightarrow t=\pm \displaystyle\frac{10\sqrt{10}}{7}\).

Do \(t>0\) suy ra \(t=\displaystyle\frac{10\sqrt{10}}{7}\).

a) Tại thời điểm \(t=5\) giây thì vận tốc của vật là \(v(5)=-9{,}8\cdot 5=-49\) (m/s).

b) Khi vật chạm đất tức là tại thời điểm \(t=\displaystyle\frac{10\sqrt{10}}{7}\) có vận tốc là \(v\left(\displaystyle\frac{10\sqrt{10}}{7}\right)=-9{,}8\cdot \displaystyle\frac{10\sqrt{10}}{7}=-14\sqrt{10}\, \left(\mathrm{m/s}\right).\)

Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi \(s(t)=12+0{,}5\sin(4\pi t)\) suy ra vận tốc tức thời của hạt tại thời điểm \(t\) là \(v(t)=s'(t)=2\pi\cos (4\pi t).\)

Do \(\cos (4\pi t)\leq 1\) với mọi \(t\in \mathbb{R}\) suy ra \(2\pi\cos (4\pi t)\leq 2\pi\) với mọi \(t\in \mathbb{R}\).

Vậy vận tốc cực đại của hạt là \(2\pi\).

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t\) là \(v(t)=x'(t)=-\left(2\pi t+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)'\cdot 4\sin \left(2\pi t+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=-8\pi\sin \left(2\pi t+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right).\)

Gia tốc tức thời tại thời điểm \(t\) là

\(a(t)=v'(t)=-8\pi\left(2\pi t+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)'\cdot \cos \left(2\pi t+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=-16\pi^2\cos \left(2\pi t+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right).\)

Gia tốc của vật tại thời điểm \(t=5\) giây.

\(a(5)=-16\pi^2 \cos \left(10\pi+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=-16\pi^2\cos \displaystyle\frac{\pi}{3}\approx -79 \text{(cm/s}^2).\)

Ta có \(v(t)=s'(t)=\left(2t^2+\displaystyle\frac{1}{2}t^4\right)'=4t+2t^3\).

Suy ra \(a(t)=v'(t)=\left(4t+2t^3\right)'=4+6t^2\).

Do đó gia tốc của vật tại thời điểm \(t=4\) giây là

\(a(4)=4+6\cdot 4^2=100 \,\text{(m/s}^2)\).

\(v(t)=s'(t)=\left(2\pi t+\displaystyle\frac{\pi}{5}\right)'\cdot 0{,}5 \cos \left(2\pi t+\displaystyle\frac{\pi}{5}\right)=\pi \cos \left(2\pi t+\displaystyle\frac{\pi}{5}\right).\)

\(a(t)=v'(t)=-\pi \cdot \left(2\pi t+\displaystyle\frac{\pi}{5}\right)'\cdot \sin \left(2\pi t+\displaystyle\frac{\pi}{5}\right)=-2\pi^2 \sin \left(2\pi t+\displaystyle\frac{\pi}{5}\right)\).

Gia tốc của hạt tại thời điểm \(t=5\) giây là \(a(5)=-2\pi^2 \sin \left(2\pi 5+\displaystyle\frac{\pi}{5}\right)\approx -11{,}6 \, \text{(m/s}^2).\)

Ta có \(s'(t)=4,9\cdot 2t\).

a) Vận tốc rơi của viên sỏi lúc \(t=2\) là \(s'(2)=4,9\cdot 2\cdot 2=19,6\) m/s.

b) Vận tốc của viên sỏi khi chạm đất.

Thời gian viên sỏi rơi từ độ cao \(44,1\) m đến lúc chạm đất

\[4,9t^2=44,1\ \text{suy ra}\ t=3 \ (\text{vì} \ t>0). \]

Vận tốc của viên sỏi khi chạm đất là \(s'(3)=4,9\cdot 2\cdot 3=29,4\) m/s.

Ta có \(s'(t)=6t^2+4\), \(s''(t)=12t\).

Vận tốc của vật khi \(t=1\) là \(s'(1)=6\cdot 1^2+4=10\) m/s.

Gia tốc của vật khi \(t=1\) là \(s''(1)=12\cdot 1=12 ~ m/s^2\).

\(P'(t)=\left(\displaystyle\frac{500t}{t^2+9}\right)'=\displaystyle\frac{(500t)'(t^2+9)-500t\left(t^2+9\right)'}{\left(t^2+9\right)^2}=\displaystyle\frac{500(t^2+9)-100t\cdot 2t}{\left(t^2+9\right)^2}=\displaystyle\frac{-500t^2+4500}{(t^2+9)^2}\).

Tốc độ tăng dân số tại thời điểm \(t=12\) là \(P'(12)\simeq -2,88\) nghìn người/năm.

Ta có \(S'(r)=\left(\displaystyle\frac{1}{r^4}\right)'=\left(r^{-4}\right)'=-4r^{-5}=\displaystyle\frac{-4}{r^5}\).

Tìm tốc độ thay đổi của \(S\) theo \(r\) khi \(r=0,8\) là \(S'(0,8)\simeq-12,207\).

Ta có \(T'(t)=-0,2t+1,2\).

Tốc độ thay đổi của nhiệt độ ở thời điểm \(t=1,5\) là \(T'(1,5)=0,9\).

Ta có \(R'(v)=-\displaystyle\frac{600}{v^2}\).

Tốc độ thay đổi của nhịp tim khi lượng máu tim đẩy đi ở một nhịp \(v=80\) là \(R'(80)=-0,09375\).

Phương trình chuyển động của vật là \(h=v_0 t-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\).

Vận tốc của vật tại thời điểm \(t\) được cho bởi \(v(t) = h' = v_0 -gt\).

Vận tốc của vật cao cực đại tại thời điểm \(t_1=\displaystyle\frac{v_0}{g}\), tại đó vận tốc bằng \(v\left(t_1\right)=v_0-gt_1=0\).

Vật chạm đất tại thời điểm \(t_2\) mà \(h\left(t_2\right)=0\) nên ta có \(v_0t_2-\displaystyle\frac{1}{2}gt_2^2=0 \Leftrightarrow t_2=0\) (loại) và \(t_2=\displaystyle\frac{2v_0}{g}\).

Khi chạm đất, vận tốc của vật là \(v\left(t_2\right)=v_0-gt_2=-v_0=-20\,\left(\mathrm{m/s}\right)\).

Dấu âm của \(v\left(t_2\right)\) thể hiện độ cao của vật giảm với \(20\,\mathrm{m/s}\) (tức là chiều chuyển động của vật ngược với chiều dương đẫ chọn).

Phương trình biểu diễn độ cao của vật là \(h=19{,}6t-4{,}9t^2\) nên vận tốc của vật theo thời gian \(t\) là \(v(t)=19{,}6-9{,}8t\).

Khi vật chạm đất thì \(h=0\) hay \(19{,}6t-4{,}9t^2=0\Leftrightarrow \hoac{&t=0\text{ (loại)}\\&t=4\text{ (nhận)}.}\)

Vận tốc của vật khi chạm đất là \(v(4)=19{,}6-9{,}8\cdot 4=-19{,}6\) m/s.

a) Tìm \(c\).

Chọn hệ trục tọa độ như hình, đồ thì đi qua gốc tọa độ \(P(0;0)\) nên \(c=0\).

b) Tính \(y'(0)\) và tìm \(b\).

\(y'=2ax^2+b\) nên \(y'(0)=b\).

Do hệ số góc tại \(P\) bằng \(0{,}5\) nên \(y'(0)=0{,}5\) hay \(b=0{,}5\).

c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa \(P\) và \(Q\) là \(40\) m. Tìm \(a\).

Khoảng cách theo phương ngang giữa \(P\) và \(Q\) là \(40\) m nên \(x_Q=40\).

Hệ số góc tại \(Q\) bằng \(-0{,}75\) nên \(y'(40)=-0{,}75\) hay

\(2a\cdot 40^2+0{,}5=-0{,}75 \Leftrightarrow a=\displaystyle\frac{-1}{2560}.\)

d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp \(P\) và \(Q\).

\(y=-\displaystyle\frac{1}{2560}x^2+\displaystyle\frac{1}{2}x\).

\(y_Q=y(40)=\displaystyle\frac{155}{8}=19{,}375\) m.

Vậy chênh lệch độ cao giữa \(P\) và \(Q\) là \(19{,}375\) m.

Ta có gia tốc tức thời là \(a = \left(v(t)\right)'=2t+2\).

a) Tại thời điểm \(t=3 (\mathrm{s})\) ta được gia tốc tức thời là \(a = \left(v(t)\right)'=2\cdot3+2=8 (\mathrm{m}/\mathrm{s^2}).\)

b) Tại thời điểm mà vận tốc của chất điểm bằng

\(8 \left(\mathrm{~m} / \mathrm{s}\right)\) tức là \(2 t+t^2\Leftrightarrow t= 2, t>0.\)

Khi đó gia tốc \(a = \left(v(t)\right)'=2t+2=2\cdot2+2=6 (\mathrm{m}/\mathrm{s^2})\).

a) Vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm \(t(\mathrm{~s})\) là

\begin{eqnarray*}v&=&x'=-4\pi \sin \left(\pi t-\displaystyle\frac{2 \pi}{3}\right) \\a &=&v'=-4\pi^2 \cos \left(\pi t-\displaystyle\frac{2 \pi}{3}\right).\end{eqnarray*}

b) Thời điểm mà vận tốc tức thời của con lắc bằng \(0\) là

\begin{eqnarray*}v&=&x'=-4\pi\sin\left(\pi t-\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)=0\\&\Leftrightarrow&\sin \left(\pi t-\displaystyle\frac{2 \pi}{3}\right)=0 \\&\Leftrightarrow&t=\displaystyle\frac{2}{3} +k (\mathrm{s}), \,(\text{với}\, k \in \mathbb{N}).\end{eqnarray*}

a) Phương trình vận tốc của vật \(v(t)= s'(t)=gt\).

Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t_{0}=2\) là \(v(2)=9,8\cdot 2= 19,6\) (m/s).

b) Phương trình gia tốc của vật \(a(t)=v'(t)=g\). Do đó \(a(2)=9,8\) (m/s\(^{2}\)).

a) Phương trình vận tốc của vật \(v(t)=s'(t)=3t^{2} -6t+8\).

Vận tốc tại thời điểm \(t=3\) là \(v(3)=3\cdot 3^{2}-6\cdot 3+8=17\) (m/s).

Phương trình gia tốc của vật \(a(t)=v'(t)= 6t-6\).

Gia tốc tại thời điểm \(t=3\) là \(a(3)=6\cdot 3-6 =12\) (m/s\(^{2}\)).

b) Tại thời điểm chất điểm di chuyển được \(7\)m nên ta có

\(t^{3}-3t^{2}+8t+1=7 \Leftrightarrow t^{3}-3t^{2}+8t-6=0\Leftrightarrow t=1\).

Vận tốc tại thời điểm \(t=1\) là \(v(1)=3\cdot 1^{2}-6\cdot 1+8= 5\) (m/s).

Gia tốc tại thời điểm \(t=1\) là \(a(1)=6\cdot 1-6 =0\) (m/s\(^{2}\)).

a) Phương trình vận tốc của vật \(v(x)=s'(x)=4\cos t\) (cm/s).

Vận tốc tức thời của vật ở thời điểm \(t\) là \(v(t)=4\cos t\) (cm/s).

Phương trình gia tốc của vật \(a(x)=v'(x)=-4\sin t\) (cm/s\(^{2}\)).

Gia tốc tức thời của vật ở thời điểm \(t\) là \(a(t)=-4\sin t\) (cm/s\(^{2}\)).

b) Tại thời điểm \(t=\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) ta có

Vật di chuyển được quãng đường \(x=4\sin \displaystyle\frac{2\pi}{3} = 2\sqrt{3}\) (cm).

Vận tốc tức thời tại thời điểm \(t=\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) là \(v\left(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)=4\cos \displaystyle\frac{2\pi}{3}=-2\) (cm/s).

Gia tốc tức thời tại điểm \(t=\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) là \(a\left(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)=-4\sin \displaystyle\frac{2\pi}{3} =-2\sqrt{3}\).

Tại thời điểm đó, vật di chuyển theo hướng ngược lại với phương \(Ox\).

Ta có \(v(t)=s'(t) = 3t^2-6t\).

Vận tốc cần tìm là \(v(4) = 24\) (m/s).

Ta có vận tốc tức thời \(v(t)=f'(t)=2t+1\).\\ Do đó vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t=2\) (s) là \(v(2)=f'(2)=2\cdot 2+1=5\) m/s.

Cường độ dòng điện là \(I(t)=Q'(t)=2t\).

Vậy tại thời điểm \(t_0=3\) thì cường độ dòng điện là \(I(3)=6\) A.

Vận tốc của chuyển động \(v (t) =S'=3t^2-6t-9\).

Gia tốc của chuyển động \(a (t) =S''=6t-6\).

Tại thời điểm \(t=3 \Rightarrow a\left(3 \right)=12\) (m/s\(^2\)).

\(v\left(t \right)=s'(t)=2t-2\).

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t=2\)s là \(v \left(2 \right)=2 \cdot 2-2=2\) (m/s).

Ta có \(s'(t)=2t+6\), \(s'(3)=12\).

Vậy vận tốc tức thời của xe tại thời điểm \(t=3\) là \(12\) m/s.

Vận tốc của vật đó là \(v=s'=gt\), suy ra \(v(4)=10\cdot 4=40\) (m/s).

Vận tốc của vật tại thời điểm \(t\) là \(v(t)=-t^2+4t=4-(t-2)^2\le 4\).

Suy ra vận tốc lớn nhất là \(\max v(t)=v(2)=4\) m/s.

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t\) (giây) bằng

\[v(t) = s'(t) = 4040t.\]

Vậy vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t_0 = 3\) (giây) bằng

\[v(3) = 12120 \text{ (m/s)}.\]

Ta có \(a(t)=v'(t)=\left(-3t^2+6t+9\right)'=-6t+6\).

Suy ra gia tốc của chuyển động tại thời điểm \(t=3(s)\) là \(a(3)=-6\cdot 3+6=-12\) m/s\(^2\).

Xét \(f(t)=t^3-3t^2+5t+2\) có \(f'(t)=3t^2-6t+5\) và \(f''(t)=6t-6\).

Khi đó gia tốc của chuyển động với \(t=3\) là \(a=f''(3)=12\) m/s\(^2\).

\(v(t)=s'(t)=2t-4\). Vận tốc của vật tại thời điểm \(t=20\) là \(v(20)=2 \cdot 20 -4=36\) (m/s).

Phương trình vận tốc \(v(t)=S'=3t^2-6t+4\).

Phương trình gia tốc \(a(t)=v'(t)=6t-6\).

Khi vận tốc bằng \(1\) (m/s) thì ta có phương trình \(3t^2-6t+4=1\Leftrightarrow 3t^2-6t+3=0\Leftrightarrow t=1\).

Do đó khi vận tốc bằng \(1\) (m/s) thì gia tốc của vật là \(a(1)=6\cdot 1 -6=0\) m/s\(^2\).

Ta có \(s'(t)=3t^2+4t-8\).

Vận tốc (tức thời) của chuyển động tại thời điểm \(t=3\) là

\[v=s'(3)=3\cdot 3^2+4\cdot 3-8=31.\]

Ta có \(v=f'(t)=2t^2+4t-1\) và \(a=f''(t)=4t+4\).

Với \(t=2\) thì \(a=4\cdot 2+4=12\) (m/s\(^2\))

Ta có \(v(t)=S'(t)=6t^2-1\) nên \(v(2)=6\cdot 2^2 -1=23\) (m/s).

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t\) là \(v(t)=s'(t)=3t^2+10t-6\) m/s.

Suy ra \(v(3)=3(3)^2+10\cdot 3-6=51\) m/s.

Vận tốc của chuyển động theo thời gian là \(v(t)=s'(t)=2t-3\).

Vậy vận tốc của chuyển động tại thời điểm \(t=6\) giây là \(v(6)=2\cdot 6 -3 =9\) m/s.

Vận tốc của chuyển động là \(v(t)=s'(t)= 3t^2+2mt +10\). Theo giả thiết ta có

\(v(4)=0 \Leftrightarrow 3 \cdot 4^2 +2m \cdot 4 +10 =0 \Leftrightarrow m= - \displaystyle\frac{29}{4}.\)

Khi đó \(v(t)= 3t^2 - \displaystyle\frac{29}{2}t +10\). Gia tốc của chuyển động là \(a(t)= v'(t)= 6t - \displaystyle\frac{29}{2}\).

Do đó \(a(5)= 6 \cdot 5 -\displaystyle\frac{29}{2}=\displaystyle\frac{31}{2}\).

Vận tốc của chuyển động là \(v(t)= S'(t)= 2t+9\).

Tại thời điểm \(t=8\) giây, vận tốc của chuyển động là \(v= 2\cdot8 +9 = 25\) (m/s).

Vận tốc đạt \(11\) m/s \(\Leftrightarrow 8t+3t^2 = 11 \Leftrightarrow t = 1 \text{~(thỏa mãn)};\, t = -\displaystyle\frac{11}{3}\) (loại).

Gia tốc của chất điểm được xác định bởi công thức \(a(t) = v'(t) = 8 + 6t\).

Gia tốc của chất điểm tại thời điểm \(1\) s là \(a(1) = 8 + 6 \cdot 1 = 14 \mathrm{~m/s^2}\).

Ta có \(S'=-t^2+12t\).

Tại thời điểm \(t=3\) (s), vận tốc của chất điểm bằng \(S'(3)=-3^2+12\cdot 3=27\) (m/s).

Vận tốc tại thời điểm \(t\) bất kỳ là \(v(t)=S'(t)=4t^3-18t-21\).

Vận tốc tại thời điểm \(t=3\) là \(v(3)=33\) (m/s).

Phương trình vận tốc của chuyển động là \(v(t) = s'(t) = -3t^2 + 12t + 1\). Ta có

\[v(t) = -3\left(t^2 - 4t + 4\right) + 13 = -3\left(t-2\right)^2 + 13\leq 13.\]

Vậy vận tốc lớn nhất của chuyển động trên là \(13\) m/s khi \(t = 2\) giây.

Ta có \(s'(t)=\displaystyle\frac{1}{3} t^3-3t^2+12 t+10\).

Một chất điểm chuyển động trong \(20\) giây đầu tiên có phương trình \(s(t)=\displaystyle\frac{1}{12} t^4-t^3+6 t^2+10 t\) suy ra chất điểm đó có vận tốc tại \(t=3\) s là

\[v(3)=s'(3)=28 \, \text{m/s}.\]

Vậy tại thời điểm \(t=3\) s thì vận tốc của vật bằng \(28\) m/s.

Ta có \(v(t)=S'=2t+9\).

Vận tốc tịa thời điểm \(t=9\) s là \(v(9)=2\cdot 8+9=25\) (m/s).

Ta có vận tốc tức thời của vật đó là \(v(t)=s'(t)=-t+20\Rightarrow v(8)=12\) m/s.

Ta có \(f'(t)=90t-3t^2=675-3\left(225-2\cdot 15\cdot t+t^2\right)=675-3\left(t-15\right)^2\le 675\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(t=15\).

Vậy ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn nhất là ngày thứ \(15\).

Ta có \(v(t)=S'(t)=3t^2+6t-9\), \(a(t)=v'(t)=6t+6\).

Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu nghĩa là \(v(t)=0 \Leftrightarrow 3t^2+6t-9=0 \Leftrightarrow t=1 ;\, t=-3 \text{ (loại).}\)

Gia tốc tại thời điểm \(t=1\) là \(a(1)=12\) m/s\(^2\).

Khi hòn đá chạm đất, tức là hòn đá rơi được \(460\) m suy ra \(460=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 10\cdot t^2\Leftrightarrow t^2=92\Rightarrow t=\sqrt{92}\approx 9{,}6\) s.

Vận tốc lúc hòn đá chạm đất là \(v=g\cdot t=10\cdot 9{,}6\approx 96\) m/s.

Gia tốc chất điểm tính theo công thức \(a=s''(t)=-10\).

Do đó gia tốc chất điểm tại thời điểm \(t=6\) s bằng \(-10\) m/s\(^2\).

Đặt \(s(t)=t^3+3t \Rightarrow s'(t)=3t^2+3\).

Vận tốc tại thời điểm \(t_0=2\) là \(v=s'(2)=17\).

Ta có \({v(t)=s'(t)=- \displaystyle\frac{3}{2} t^{2}+18t}\).

Bằng cách lập bảng biến thiên hàm số \(y=v(t)\)

Ta suy ra \(\max\limits_{x\in[0; 10]}v(t)=v(6)=54\).

Vậy vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng từ \(0\) đến \(10\)s là \(v(6)=54\) (m/s).

Vận tốc của chuyển động là \(v(t)=S'(t)=\displaystyle\frac{3}{2}t^2+2t-2\).

Tại \(t=4\) giây, vận tốc chuyển động là \(v(4)=30\) m/s.

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t\) là \(v(t)= s'(t) = -3t^{2}+2t\).

Ta thấy \(v(t)=-3t^{2}+12t\) là phương trình parabol có hệ số \(a=-3 < 0\), do đó đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh \(I\left(\displaystyle\frac{-b}{2a}; \displaystyle\frac{\Delta}{4a}\right)\) của parabol.

Vậy vận tốc chất điểm lớn nhất tại thời điểm \(t=\displaystyle\frac{-b}{2a}=\displaystyle\frac{-12}{2\cdot(-3)} = 2\).

Ta có \(v(t)=s'(t)=t^2-2t+9, v'(t)=2t-2\).

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta suy ra trong khoảng thời gian \(10\) giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng \(89\, \mathrm{m/s}\).

Ta có \(v(t)=20-2t=0\Leftrightarrow t=10\) nên sau khi phanh xe sẽ đi tiếp \(10\) giây rồi dừng hẳn.

Do \(a(t)=v'(t)=-2\) nên quãng đường xe đi được từ lúc hãm phanh đến lúc dừng hẳn là \[s=v_{0}t+\displaystyle\frac{1}{2}at^{2}=20\cdot 10+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot (-2)\cdot 10^{2}=100\; \text{m}.\]

Quy luật vận tốc của vật là \(v(t)=s'=18t-3t^2 \Rightarrow v'=18-6t\).

Xét \(t\in [0;5]\), \(v'=0 \Leftrightarrow t=3\). Ta có

\(v(0)=0,\, v(3)=27,\, v(5)=15.\)

Vậy trong \(5\) giây đầu tiên, vật tốc lớn nhất của vật đạt được bằng \(27\) (m/s).

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm \(t\) được tính theo công thức \(v(t)=s'(t)=gt\). Suy ra vận tốc tại thời điểm \(t=4\) là \(v(4)=9{,}8\cdot 4=39{,}2\) m/s.

Biểu thức xác định vận tốc của vật là

\begin{align*}v=s'=-6t^2+24t+14=-6\left(t-2\right)^2+38\le 38.\end{align*}

Đẳng thức xảy ra khi \(t=2\). Vậy vận tốc lớn nhất của vật là \(38\) m/s.

Ta có \(v(t)=s'(t)=3t^2-6t+3\), \(v(t)=0\Leftrightarrow 3t^2-6t+3=0\Leftrightarrow t=1\).

Ta có \(a(t)=v'(t)=6t-6\Rightarrow a(1)=0\).

Ta có \(v(t)=s'(t)=\left(-t^2+40t+10\right)'=-2t+40\).

Tại thời điểm vật dừng lại thì vận tốc bằng 0. Tức là \(v(t)=-2t+40=0\) hay \(t=20\).

Thay vào \(s(t)\) ta được quãng đường vật đi được là \(410\) (m).

Ta có \(v(t) =s'(t) =6t^2-6t+4\), gia tốc \(a(t)=v'(t)=12t-6\).

Gia tốc bằng không nghĩa là \(a(t)=0\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Do đó \(v'\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right) =2{,}5\) m/s.