Đáp án: \(f'(4)=3\)

Lời giải:

Theo định nghĩa đạo hàm tại \(x=4\), ta có

\(f'(4)=\lim\limits_{x\rightarrow 4}\displaystyle\frac{f(x)-f(4)}{x-4}=3\).

Đáp án: \(T=-6\)

Lời giải:

Ta có \(f(0)=1,\lim\limits _{x\to 0^+ }f(x)=\lim\limits_{ x\to 0^+} (ax^2+bx+1)=1, \underset{x\to 0^-}{\mathop{\lim}}f(x)=\underset{x\to 0^-}{\mathop{\lim}}\left(ax-b-1\right)=-b-1.\)

Để hàm số có đạo hàm tại \(x_0=0\) thì hàm số phải liên tục tại \(x_0=0\) nên

\(f(0)=\underset{x\to 0^+}{\mathop{\lim}}f(x)=\underset{x\to 0^-}{\mathop{\lim}}f(x).\)

Suy ra \(-b-1=1\Leftrightarrow b=-2\).

Khi đó \(f(x)=\begin{cases}&ax^2-2x+1&\text{nếu }x\ge 0 \\ &ax+1&\text{nếu }x<0.\end{cases}\).

\(\begin{aligned}\text{Xét }&\underset{x\to 0^+}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0^+}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{ax^2-2x+1-1}{x}=\underset{x\to 0^+}{\mathop{\lim}}\left(ax-2\right)=-2;\\&\underset{x\to 0^-}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0^-}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{ax+1-1}{x}=\underset{x\to 0^-}{\mathop{\lim}}a=a.\end{aligned}\)

Hàm số có đạo hàm tại \(x_0=0\) thì \(a=-2\).

Vậy với \(a=-2, b=-2\) thì hàm số có đạo hàm tại \(x_0=0\) khi đó \(T=-6\).

Đáp án: \(\Delta y=-\displaystyle\frac{\Delta x}{x\left( x+\Delta x \right)}\)

Lời giải:

Ta có

\(\Delta y=f\left( x+\Delta x \right)-f(x)=\displaystyle\frac{1}{x+\Delta x}-\displaystyle\frac{1}{x}=-\displaystyle\frac{\Delta x}{x\left( x+\Delta x \right)}.\)

Đáp án: \(\Delta y=5\)

Lời giải:

Ta có \(\Delta y=f\left( x_0+\Delta x \right)-f\left( x_0 \right)=f\left( 2+1 \right)-f\left( 2 \right)=f\left( 3 \right)-f\left( 2 \right)\) \(=\left( 3^2+2 \right)-\left( 2^2+2 \right)=5.\)

Đáp án: \( - \displaystyle\frac{2}{3}\)

Lời giải:

Ta có \(f'(x)=-\displaystyle\frac{6}{(2x-1)^2}\) nên \(f'(2)=-\displaystyle\frac{6}{9}=-\displaystyle\frac{2}{3}.\)

Đáp án: \(0\)

Lời giải:

Ta có \(y'=x^3-4x\), giao điểm của đồ thị với trục tung có tung độ \(x=0\).

Hệ số góc của tiếp tuyến là \(k=y'(0)=0\).

Đáp án: \(4\)

Lời giải:

Ta có \(x+4y-1=0\Leftrightarrow y=-\displaystyle\frac{1}{4}x+\displaystyle\frac{1}{4}\) \((d)\).

Gọi \(k\) là hệ số góc của tiếp tuyến với \((C)\) vuông góc với \(d\).

Suy ra \(k \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{4}\right)=-1\Leftrightarrow k=4\).

Vậy hệ số góc cần tìm \(k=4\).

Đáp án: \(1\)

Lời giải:

Ta có \(y'=3x^2-6x\).

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y=9x+7\) nên hệ số góc của nó là \(k=9\).

Nên \(y'=k \Leftrightarrow 3x^2-6x=9 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=3\\&x=-1.\end{aligned}\right.\)

Với \(x=3\) ta có \(y(3)=2\) suy ra phương trình tiếp tuyến là \(y=9(x-3)+2=9x-25\) (thỏa mãn).

Với \(x=-1\) ta có \(y(-1)=-2\) suy ra phương trình tiếp tuyến là \(y=9(x+1)-2=9x+7\) (loại).

Vậy có một tiếp tuyến thỏa mãn.

Đáp án: \(1\)

Lời giải:

\(y=x^3-3x^2+2\) \(\Rightarrow y'=3x^2-6x\).

Gọi \(M(x_0;x_0^3-3x_0^2+2)\) thuộc đồ thị hàm số. Phương trình tiếp tuyến tại \(M\) là

\begin{align*}\Delta \colon y=\left(3x_0^2-6x_0\right)\left(x-x_0\right)+x_0^3-3x_0^2+2\Leftrightarrow y=(3x_0^2-6x_0)x-2x_0^3+3x_0^2+2.\end{align*}

Tiếp tuyến đi qua điểm \(A(1;0)\) khi

\(0=3x_0^2-6x_0-2x_0^3+3x_0^2+2\) \(\Leftrightarrow 2x_0^3-6x_0^2+6x_0-2=0\Leftrightarrow x_0=1\).

Khi đó \(\Delta \colon y=-3x+3\).

Vậy có \(1\) tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y=x^3-3x^2+2\) đi qua điểm \(A(1;0)\).

Đáp án: \(2\)

Lời giải:

\(y'=12x^2-12x\).

Gọi \(A(x_0;y_0)\) là tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến tại \(A\) là

\(y=12(x_0^2-x_0)(x-x_0)+4x_0^3-6x_0^2+1\).

Do tiếp tuyến đi qua \(M(-1;-9)\) nên

\(-9=12(x_0^2-x_0)(-1-x_0)+4x_0^3-6x_0^2+1\) \(\Leftrightarrow -8x_0^3-6x_0^2+12x_0+10=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x_0=-1\\&x_0=\displaystyle\frac{5}{4}.\end{aligned}\right.\)

Suy ra có hai tiếp tuyến.

Đáp án: \(12\) (m/s\(^2\))

Lời giải:

Ta có \(v=f'(t)=2t^2+4t-1\) và \(a=f''(t)=4t+4\).

Với \(t=2\) thì \(a=4\cdot 2+4=12\) (m/s\(^2\))

Đáp án: \( 27\) (m/s)

Lời giải:

Quy luật vận tốc của vật là \(v(t)=s'=18t-3t^2 \Rightarrow v'=18-6t\).

Xét \(t\in [0;5]\), \(v'=0 \Leftrightarrow t=3\).

Ta có \(v(0)=0,\, v(3)=27,\, v(5)=15.\)

Vậy trong \(5\) giây đầu tiên, vật tốc lớn nhất của vật đạt được bằng \(27\) (m/s).