Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại điểm \(x=0\), \(y_{_{CD}}=2\) và đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{_{CT}}=-2\).

Quan sát đồ thị của hàm số \(y=f(x)=-x^3+3x\) ta thấy: \(x=-1\) là điểm cực tiểu và \(x=1\) là điểm cực đại của hàm số \(y=f(x)\).

Quan sát đồ thị ta thấy hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\), \((0;1)\), \((2;+\infty)\); nghịch biến trên các khoảng \((-1;0)\), \((1;2)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), \(x=1\) và đạt cực tiểu tại \(x=0\), \(x=2\).

Quan sát đồ thị ta thấy hàm số \(y=g(x)\) đồng biến trên các khoảng \((-2;0)\), \((1;+\infty)\); nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((0;1)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\) và đạt cực tiểu tại \(x=-2\), \(x=1\).

Ta có \(f'\left(x\right)>0\) với mọi \(x\in \left(-\infty;0\right)\) và \(f'\left(x\right)< 0\) với mọi \(x\in \left(0;1\right)\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x=0\) và \(f_{\text{CĐ}}=f\left(0\right)=2\).

Ta có \(f'\left(x\right)< 0\) với mọi \(x\in \left(0;1\right)\) và \(f'\left(x\right)>0\) với mọi \(x \in \left(1;+\infty\right)\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\)và \(f_{CT}=f\left(1\right)=-3\).

Dựa vào bảng biến thiên đã cho ta có

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty;-1\right)\), \(\left( -1;2\right)\).

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(2;+\infty\right)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=2\), \(y_{\text{CĐ}}=-2\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=6x^2+6x-36\);

\(y'=0\Leftrightarrow 6x^2+6x-36=0\Leftrightarrow x=-3\) hoặc \(x=2\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x=-3\) và đạt cực tiểu tại \(x=2\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=3x^2-6x-9\);

\(y'=0\Leftrightarrow 3x^2-6x-9=0\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=3\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\) và đạt cực tiểu tại \(x=3\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=-3x^{2}+3\).

\(y'=0\Leftrightarrow x=-1;\,x=1.\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra

+) \(x=1\) là điểm cực đại của hàm số, \(f_{\text{CĐ}}=-4\)

+) \(x=-1\) là điểm cực tiểu của hàm số, \(f_{\text{CT}}=-8\).

+) Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left(-1;1\right)\), nghịch biến trên \(\left(-\infty;-1\right)\cup\left(1;+\infty\right)\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=x^{2}-4x+3\).

\(y'=0\Leftrightarrow x=1;\,x=3.\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra

+) \(x=1\) là điểm cực đại của hàm số, \(f_{\text{CĐ}}=\displaystyle\frac{4}{3}\)

+) \(x=3\) là điểm cực tiểu của hàm số, \(f_{\text{CT}}=0\).

Hàm số xác định với mọi \(x\in \mathbb{R}\).

Ta có \(y'=x^2-2x-3\);

\(y'=0\Leftrightarrow x=-1;\,x=3.\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra \(x=-1\) là điểm cực đại của hàm số, \(f_{\text{CĐ}}=2\); \(x=3\) là điểm cực tiểu của hàm số, \(f_{\text{CT}}=\displaystyle\frac{-26}{3}\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y^{\prime}=3 x^{2}-12 x+9 ; y^{\prime}=0 \Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=3\).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\) và \(y_{\text{CĐ}}=y(1)=34\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\) và \(y_{\text{CT}}=y(3)=30\).

+) Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

+) \(y'=- 3x^2 + 4x - 1\);

\(y'=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1}{3}\) hoặc \(x=1\).

+) Bảng biến thiên

+) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;\displaystyle\frac{1}{3}\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\).

+) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{1}{3};1\right)\).

+)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\displaystyle\frac{1}{3}\) và \(y_{\text{CT}}=- \displaystyle\frac{193}{27}\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\) và \(y_{\text{CĐ}}=-7\).

Tập xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=6x^2-18x+12\); \(y'=0\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=2\).

Lập bảng biến thiên của hàm số

Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\) và \(y_{\text{CĐ}}=0\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\) và \(y_{CT}=-1\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=3x^2-6x+3=3(x-1)^2 \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Vậy, hàm số \(y=x^3-3x^2+3x-1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số \(y=x^3-3x^2+3x-1\) không có cực trị.

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=6x^2+6x-36\); \(y'=0 \Leftrightarrow x=-3;\, x=2.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x=-3\), \(y_{\text{CĐ}}=87\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{\text{CT}}=-38\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=12x^2+6x-36\); \(y'=0 \Leftrightarrow x=-2;\, x=\displaystyle\frac{3}{2}.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên \((-\infty;-2)\) và \(\left(\displaystyle\frac{3}{2};+\infty\right)\), nghịch biến trên \(\left(-2;\displaystyle\frac{3}{2}\right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), \(y_{\text{CĐ}}=58\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\displaystyle\frac{3}{2}\), \(y_{\text{CT}}=-\displaystyle\frac{111}{4}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(f'(x)=3x^2-6x+3\); \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số không có cực trị.

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(f'(x)=6x^2-18x-24\); \(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-1;\, x=4.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), \(y_{\text{CĐ}}=f(-1)=14\); và hàm số đạt cực tiểu tại \(x=4\), \(y_{\text{CT}}=f(4)=-111\).

TXĐ: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=3x^2-3\).

\(\begin{aligned}&y'=0 \Leftrightarrow 3x^2-3=0.\\ \Leftrightarrow& x=1 ;\, x=-1.\end{aligned}\)

Vậy giá trị cực tiểu của hàm số bằng \(-1\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=3x^2-3\).

Khi đó \(y'=0\Leftrightarrow x=-1 ;\,x=1\).

Bảng biến thiên của đồ thị hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=-1\), đạt cực đại tại điểm \(x=1\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=3x^2-3\).

\(y'=0 \Leftrightarrow x=1 ;\,x=-1\).

Bảng biến thiên

Vậy giá trị cực đại của hàm số đã cho \(22\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=6x^2-6x\).

\(y'=0\Leftrightarrow 6x^2-6x=0\Leftrightarrow x=0;\,x=1.\)

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

\(y'=3x^2-6x\).

\(y'=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0 \\ &x=2.\end{aligned}\right.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=2\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có: \(f'(x)=x^2-4x+3\).

\(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1;\,x=3.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=1\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=3\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=3x^2-6x\).

\(y'=0\Leftrightarrow x=0;\,x=2.\)

Bảng biến thiên:

Vậy \(y_\text{CĐ}=4\), \(y_\text{CT}=0\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=-4x^3+10x=-2x(2x^2-5)\);

\(y'=0\Leftrightarrow x=0;\,x=\pm \displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2}.\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt đại tại các điểm \(x=\pm\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2}\) và đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=4x^3-24x^2\);

\(y'=0\Leftrightarrow x=0 ;\,x=6.\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt điểm cực tiểu tại điểm \(x=6\), \(y_{_{CT}}=-431\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \( y'=4x^{3}+6x\).

Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x=0\).

Ta có bảng biến thiên

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), \(y_{_{CT}}=2\).

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=4x^3+6x\).

\(y'=0\Leftrightarrow x=0\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\), \(y_{_{CT}}=-5\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(f'(x)=-4x^3+4x\)

\(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0;\,x= \pm 1.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x=\pm 1\), \(y_{_{CD}}=-2\); đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\), \(y_{_{CT}}=-3\).

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=4x^3-4x\).

\(y'=0\Leftrightarrow 4x^3-4x=0\Leftrightarrow x=0;\,x=\pm 1\).

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-1;0 \right)\) và \(\left(1;+\infty \right)\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;-1 \right)\) và \(\left(0;1 \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\) và \(y_{CD}=-1\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\pm 1\) và \(y_{CT}=-2\).

Tập xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Ta có \(y'=4x^3-8x\); \(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=\pm\sqrt{2}\).

Lập bảng biến thiên của hàm số

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\sqrt{2}\) và \(x=\sqrt{2}\), \(y_{CT}=-2\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\) và \(y_{\text{CĐ}}=2\).

\(y=x^4-3 x^2+1\);

Ta có \(y'=4x^3-6x\). Khi đó \(y'=0\Leftrightarrowx=0;\,x=\pm\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}.\)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\pm\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\) và \(y_{\text{CT}}=y\left(\pm\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\right)=-\displaystyle\frac{5}{4}\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\) và \(y_{\text{CĐ}}=y(0)=1\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y'=4x^3+4x\);

\(y'=0\Leftrightarrow =4x^3+4x=0\Leftrightarrow x=0\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\).

\(y=\displaystyle\frac{x^2-2x+3}{x-1}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}\); \(y'=0\Leftrightarrow x=1+\sqrt{2}\) hoặc \(x=1-\sqrt{2}\).

Lập bảng biến thiên của hàm số

Hàm số đặt cực đại tại \(x=1-\sqrt{2}\) và \(y_{\text{CĐ}}=-2\sqrt{2}\) trên khoảng \((-\infty;1)\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1+\sqrt{2}\) và \(y_{\text{CT}}=2\sqrt{2}\) trên khoảng \((1;+\infty)\).

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{(2x+2)(x+1)-(x^2+2x+2)}{(x+1)^2}=\displaystyle\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\).

\(y'=0\Leftrightarrow x=0;\,x=-2\) (thỏa mãn).

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;-2 \right)\) và \(\left(0;+\infty \right)\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-2;-1 \right)\) và \(\left(-1;0 \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\) và \(y_{CD}=-2\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\) và \(y_{CT}=2\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{2\}\).

Ta có \(y=x-6-\displaystyle\frac{2}{x-2} \Rightarrow y'=1+\displaystyle\frac{2}{(x-2)^2}>0\), \(\forall x\in\mathscr{D}\).

Bảng biến thiên

Vậy hàm số không có cực trị.

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{4\}\).

Ta có \(y=x+2+\displaystyle\frac{1}{x-4} \Rightarrow y'=1-\displaystyle\frac{1}{(x-4)^2}=\displaystyle\frac{x^2-8x+15}{(x-4)^2}\);

\(y'=0 \Leftrightarrow x^2-8x+15=0 \Leftrightarrow x=3;\, x=5.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên \((-\infty;3)\) và \((5;+\infty)\), nghịch biến trên \((3;4)\) và \((4;5)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=3\), \(y_{\text{CĐ}}=4\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x=5\), \(y_{\text{CT}}=8\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Ta có: \(y^{\prime}=\displaystyle\frac{(2 x-2)(x-2)-\left(x^{2}-2 x+9\right)}{(x-2)^{2}}=\displaystyle\frac{x^{2}-4 x-5}{(x-2)^{2}}\);

\(y^{\prime}=0 \Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=5\).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\) và \(y_{\text{CĐ}}=y(-1)=-4\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=5\) và \(y_{\text{CT}}=y(5)=8\).

\(y=\displaystyle\frac{-x^2+2 x-1}{x+2}\);

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\setminus \{-2\}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-x^2-4x+5}{(x+2)^2}\).

\(y'=0 \Leftrightarrow x=1;\,x=-5.\)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đạt cực đại tại \(x=1\) và \(y_{\text{CĐ}}=y(1)=0\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-5\) và \(y_{\text{CT}}=y(-5)=12\).

Hàm số \(y=\displaystyle\frac{-x^2+2 x+2}{x+1}\) xác định với mọi \(x\in \mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace-1\right\rbrace\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-x^2-2x}{\left(x+1\right)^{2}}\).

\(y'=0\Leftrightarrow x=0;\,x=-2.\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra

+) \(x=0\) là điểm cực đại của hàm số, \(f_{\text{CĐ}}=2\)

+) \(x=-2\) là điểm cực tiểu của hàm số, \(f_{\text{CT}}=6\).

+) Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left(-2;-1\right)\cup\left(-1;0\right)\), nghịch biến trên \(\left(-\infty;-2\right)\cup\left(0;+\infty\right)\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Ta có: \(y'=\displaystyle\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\) với \(x\neq -1\);

\(y'= 0\Leftrightarrow x^2+2x=0\Leftrightarrow x=-2\) hoặc \(x=0\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\) và đạt cực tiểu tại \(x=0\).

Hàm số đã cho có tập xác định là \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Ta có: \(y'=1+\displaystyle\frac{1}{x^2}>0,\,\forall x\neq 0\).

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số không có cực trị.

Hàm số \(y=\displaystyle\frac{3x}{x^2-9}\) xác định với mọi \(x\in\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace\pm3\right\rbrace \).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-3x^{2}-27}{\left(x^{2}-9\right)^{2}}< 0\) với mọi \(x\in \mathcal{D}\) nền hàm số đã cho không có điểm cực trị.

Hàm số \(y=\left|x\right|\) xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

Khi \(x>0\), ta có \(y=x\) và \(y'=1\).

Khi \(x< 0\), ta có \(y=-x\) và \(y'=-1\).

Tại \(x = 0\), ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(y = 0\).\\ Vì vậy, ta có cực trị tại điểm \(x = 0\), với giá trị cực trị là \(y = 0\).

Ta có \(y'=f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0;\,x=1;\,x=-3.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty,-3\right)\) và \(\left(0,+\infty\right)\), hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-3,0\right)\).

Ta có \(f'(x)=0\Leftrightarrow (x-1)x^2(x+1)^3(x+2)^4=0\Leftrightarrow x=-2;\,x=-1;\,x=0;\,x=1.\).

Bảng xét dấu \(f'(x)\):

Vậy hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại điểm \(x=-1\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\).

Ta có \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=3;\,x=-3;\,x=0;\,x=2;\,x=1.\)

Bảng xét dấu của \(f'(x)\):

Vậy hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại điểm \(x=2\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=-3\) và \(x=3\).

Ta có bảng xét dấu của \(f'(x)\):

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\).

Ta có \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=\pm 1;\,x=\sqrt{3}.\)

Bảng xét dấu \(f'(x)\):

Vậy hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại các điểm \(x=-1\) và \(x=\sqrt{3}\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\).

Ta có bảng xét dấu của \(f'(x)\).

Vậy hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\).

Ta có \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=0;\,x=-1;\,x=\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Bảng xét dấu \(f'(x)\):

Vậy hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại điểm \(x=-1\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Ta có \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=0;\,x=-1;\,x=1.\)

Bảng xét dấu \(f'(x)\):

Vậy hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại điểm \(x=0\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\).

Ta có \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=1;\,x=2;\,x=3;\,x=4.\)

Bảng xét dấu \(f'(x)\):

Vậy hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại các điểm \(x=3\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\).

Ta có \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=1;\,x=-3;\,x=2.\)

Bảng xét dấu \(f'(x)\):

Vậy hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại điểm \(x=1\).

Ta có \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=0;\,x=-4;\,x=1;\,x=2.\)

Bảng xét dấu \(f'(x)\):

Vậy hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại các điểm \(x=-4\) và \(x=2\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\).

Ta có \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=1;\,x=-3;\,x=\pm 2;\,x=-2.\)

Bảng xét dấu \(f'(x)\):

Vậy hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại các điểm \(x=-3\) và \(x=2\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\).

Ta có \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2};\,x=1;\,x=3.\)

Bảng xét dấu \(f'(x)\):

Vậy hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại các điểm \(x=1\) và \(x=3\), đạt cực tiểu tại các điểm \(x=\pm\sqrt{2}\).

Từ đồ thị của đạo hàm \(f'(x)\), ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên \((-\infty;1)\), đồng biến trên \((1;+\infty)\); đạt cực tiểu tại \(x=1\).

Từ đồ thị hàm số suy ra bảng biến thiên

Vậy hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên \((-\infty;x_1)\) và \((x_2;+\infty)\), đồng biến trên \((x_1;x_2)\); đạt cực tiểu tại \(x=x_1\), đạt cực đại tại \(x=x_2\).

Từ đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên \((-\infty;-1)\) và \((2;3)\), đồng biến trên \((-1;2)\) và \((3;+\infty)\); đạt cực tiểu tại \(x=-1\) và \(x=3\), đạt cực đại tại \(x=2\).

Đồ thị ta thấy \(f'(x)=0\) có \(4\) nghiệm \(-2\), \(1\), \(2{,}5\) và \(4\).

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên \((-\infty;-2)\) và \((2{,}5;4)\), đồng biến trên \((-2;2{,}5)\) và \((4;+\infty)\); đạt cực tiểu tại \(x=-2\) và \(x=4\), đạt cực đại tại \(x=2{,}5\).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra

+) \(x=1\) là điểm cực đại của hàm số.

+) \(x=\displaystyle\frac{1}{3}\), \(x=\displaystyle\frac{5}{2}\) là điểm cực tiểu của hàm số.

+) Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left(\displaystyle\frac{1}{3};1\right)\), \(\left(\displaystyle\frac{5}{2};+\infty\right)\), nghịch biến trên \(\left(-\infty;\displaystyle\frac{1}{3}\right)\), \(\left(1;\displaystyle\frac{5}{2}\right)\).

Đồ thị hàm số cho ta bảng biến thiên như sau:

Từ đó ta có hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến trên các khoảng \((0;+\infty)\) và \((-2;+\infty)\); Nghịch biến trên khoảng \((-3;-2)\).

Ta có \(g'(x)=-2x\cdot f'(5-x^2)\)

\begin{align*}g'(x)=0 \Leftrightarrow\ &x=0;\,5-x^2=-4;\,5-x^2=1;\,5-x^2=4\\ \Leftrightarrow\ &x=0;\,x^2=9;\,x^2=4;\,x^2=1\\ \Leftrightarrow\ &x=0;\,x=\pm 3;\,x=\pm 2;\,x=\pm 1.\end{align*}

Ta có \(g'(4)=-2\cdot 4f'(5-4^2)=-8f'(-9)>0\).

Bảng xét dấu của \(g'(x)\):

Vậy hàm số \(g(x)\) đạt cực tiểu tại các điểm \(x=-3\), \(x=-1\), \(x=1\), \(x=3\).

Ta có \(g'(x)=(2x-2)f'(x^2-2x+1)\).

\begin{align*}g'(x)=0\Leftrightarrow\ &2x-2=0;\,f'(x^2-2x+1)=0\\ \Leftrightarrow\ &x=1;\,x^2-2x+1=-2;\,x^2-2x+1=1\quad (\text{bội chẵn})\\ \Leftrightarrow\ &x=1;\,x=-1;\,x=3;\,x=0\quad (\text{bội chẵn});\,x=2\quad (\text{bội chẵn}).\end{align*}

Và \(g'(4)=(2\cdot 4-2)f'(4^2-2\cdot4+1)=6f'(9)>0\).

Bảng biến thiên của hàm số \(g(x)\):

Vậy hàm số \(g(x)\) đạt cực tiểu tại các điểm \(x=-1\), \(x=3\); đạt cực đại tại điểm \(x=2\).

Ta có: \(g'(x)=(2x-2)f'(x^2-2x)\), do đó

\begin{align*}g'(x)=0\Leftrightarrow\ &2x-2=0 ;\,f'(x^2-2x)=0\\ \Leftrightarrow\ &x=1 ;\, x^2-2x=-2 ;\,x^2-2x=-1;\,x^2-2x=0\\ \Leftrightarrow\ &x=1 \text{(bội 3)};\,x=0 ;\,x=2.\end{align*}

Và \(g'(3)=(2\cdot3-2)f'(3^2-2\cdot3)=4f'(3)< 0\).

Bảng biến thiên của hàm \(g(x)\):

Vậy hàm số \(g(x)\) đạt cực đại tại các điểm \(x=0\) và \(x=2\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\).

Ta có: \(g'(x)=2xf'(x^2+1)\).

\(g'(x)=0\Leftrightarrow 2x=0;\,f'(x^2+1)=0\) \(\Leftrightarrow x=0;\,x^2+1=-2;\,x^2+1=1\quad (\text{kép})\Leftrightarrow x=0;\,x=0\quad (\text{bội chẵn}).\)

Và \(g'(1)=2\cdot 1f'(1^2+1)=2f'(2)>0\).

Bảng biến thiên của \(g(x)\):

Vậy hàm số \(g(x)\) đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\).

Ta có \(g'(x)=2xf'(x^2).\)

\(g'(x)=0 \Leftrightarrow x=0;\,f'(x^2)=0\) \(\Leftrightarrow x=0;\,x^2=-2;\,x^2=1\quad (\text{kép})\) \(\Leftrightarrow x=0;\,x=\pm1\quad (\text{kép}).\)

Và \(g'(2)=2\cdot2f'(2^2)=4f'(4)>0\).

Bảng biến thiên của \(g(x)\):

Vậy hàm số \(g(x)\) đạt cực tiểu tại điểm \(x=0\).

Ta có: \(g'(x)=2xf'(x^2)\).

\(g'(x)=0\Leftrightarrow x=0 ;\, f'(x^2)=0\) \(\Leftrightarrow x=0;\,x^2=-2;\,x^2=0\quad (\text{kép});\,x^2=1;\,x^2=3\) \(\Leftrightarrow x=0\quad (\text{bội lẻ});\,x=\pm 1;\,x=\pm \sqrt{3}.\)

\(g'(2)=2\cdot2f'(2^2)=4f'(4)>0\).

Bảng biến thiên của hàm số \(g(x)\):

Vậy hàm số \(g(x)\) đạt cực đại tại các điểm \(x=\pm 1\).

Ta có \(g'(x)=f'(x)\cdot f'\left[f(x)\right]\), khi đó

\(g'(x)=0\Leftrightarrow f'(x)=0 ;\,f'\left[f(x)\right]=0\) \(\Leftrightarrow x=0 ;\, x=2 ;\, f(x)=0 ;\, f(x)=2\Leftrightarrow x=0 ;\, x=2 ;\, x=3;\, x=3{,}5.\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số \(g(x)\) đạt cực đại tại các điểm \(x=0\) và \(x=3\), đạt cực tiểu tại các điểm \(x=2\) và \(x=3{,}5\).

Ta có \(g'(x)=2(x-1)f'(x^2-2x)\).

\begin{align*}g'(x)=0\Leftrightarrow\ &x-1=0;\,x^2-2x=-2;\,x^2-2x=1\, (\text{kép});\,x^2-2x=3\\ \Leftrightarrow\ &x=1;\,x=1\pm\sqrt{2}\, \text{(kép)};\,x=-1;\,x=3.\end{align*}

Bảng xét dấu \(g'(x)\):

Vậy hàm số \(g(x)\) đạt cực đại tại \(x=-1\) và \(x=3\), đạt cực tiểu tại \(x=1\).

Ta có \(g'(x)=-2xf'(5-x^2)\).

\(g'(x)=0 \Leftrightarrow x=0;\,f'\left(5-x^2\right)=0\) \(\Leftrightarrow x=0;\,5-x^2=-4;\,5-x^2=1;\,5-x^2=4\) \(\Leftrightarrow x=0;\,x=\pm3;\,x=\pm2;\,x=\pm1.\)

\(g'(4)=-2\cdot 4f'(5-4^2)=-8f'(-11)>0\).

Bảng xét dấu của \(g'(x)\):

Ta có: \(g'(x)=2f(x)\cdot f'(x)\).

\(g'(x)=0\Leftrightarrow f(x)=0;\,f'(x)=0\) \(\Leftrightarrow x=-1;\,x=1\, (\text{kép});\,x=4;\,x=0;\,x=1;\,x=3.\)

Bảng xét dấu của \(f'(x)\):

\(g'(5)=2f(5)\cdot f'(5)>0\) (do \(f(5)< 0\) và \(f'(5)< 0\)).

Bảng xét dấu của \(g'(x)\):

Ta có: \(g'(x)=f'(x)\cdot f'\left[f(x)\right]\).

\(g'(x)=0\Leftrightarrow f'(x)=0;\,f'\left[f(x)\right]=0\) \(\Leftrightarrow x=0;\,x=1;\,x=3;\,f(x)=0;\,f(x)=1;\,f(x)=3\) \(\Leftrightarrow x=0;\,x=1;\,x=3;\,x=-1\, \vee\, x=1\, (\text{kép})\,\vee\, x=4{,}5;\,x=0\, (\text{kép})\,\vee\, x=2\,\vee\, x=4;\,\text{vô nghiệm}.\)

Bảng xét dấu của \(f'(x)\):

\(g'(5)=f'(5)\cdot f'(f(5))< 0\) (vì \(f'(5)< 0\) và \(f(5)< 0\Rightarrow f'(f(5))>0\)).

Bảng xét dấu của \(g'(x)\):

Ta có \(g'(x)=(4x+1)f'(2x^2+x)\).

\(g'(x)=0\Leftrightarrow 4x+1=0;\, f'(2x^2+x)=0\) \(\Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{1}{4};\,2x^2+x=-2\, (\text{kép});\,2x^2+x=0;\,2x^2+x=2\, (\text{kép})\) \(\Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{1}{4};\,x=0;\, x=-\displaystyle\frac{1}{2};\,x=\displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}\, (\text{kép}).\)

Từ đó ta có bảng xét dấu sau:

Ta có \(g'(x) = f'(x) + 1\).

\(g'(x)=0\Leftrightarrow f'(x)=-1.\)

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(y=f'(x)\) và đường thẳng \(y=-1\).

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có ba nghiệm \(x=0\) (kép), \(x=1\) và \(x=2\).

Bảng xét dấu của \(g'(x)\):

Ta có \(g'(x)=f'(x)+2\);

\(g'(x)=0 \Leftrightarrow f'(x)=-2.\)

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(y=f'(x)\) và đường thẳng \(y=-2\).

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có hai nghiệm \(x=-1\) (kép) và \(x=2\).

\(g'(3)=f'(3)+2< 0\).

Bảng xét dấu của \(g'(x)\):

Ta có: \(g'(x)=f'(x)-x\).

\(g'(x)=0\Leftrightarrow f'(x)=x\).

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(y=f'(x)\) và đường thẳng \(y=x\).

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có hai nghiệm \(x=-1\), \(x=0\) và \(x=2\).

Bảng xét dấu của \(g'(x)\):

Có \(g'(x)=f'(x)-x^2+2x-1\).

\(g'(x)=0\Leftrightarrow f'(x)=x^2-2x+1\).

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(y=f'(x)\) và parabol \(y=x^2-2x+1\).

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có hai nghiệm \(x=0\), \(x=1\) và \(x=2\).

Bảng xét dấu của \(g'(x)\):

Ta có: \(g'(x)=3f'(x)+3x^2-6x\).

\(g'(x)=0\Leftrightarrow f'(x)=-x^2+3x\).

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(y=f'(x)\) và parabol \(y=-x^2+3x\).

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có hai nghiệm \(x=0\) và \(x=2\).

Bảng biến thiên

Ta có: \(g'(x) = f'(x) -2x\).

\(g'(x)=0\Leftrightarrow f'(x)=2x\).

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(y=f'(x)\) và đường thẳng \(y=2x\).

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có bốn nghiệm \(x=-2\), \(x=-1\), \(x=1\) và \(x=2\).

Bảng xét dấu của \(g'(x)\):

Ta có \(g'(x)=2f'(x)+2x+2=0\).

\(g'(x)=0\Leftrightarrow f'(x)=-x-1\).

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(y=f'(x)\) và đường thẳng \(y=-x-1\).

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có các nghiệm \(x=-3\), \(x=1\) và \(x=3\).

Bảng xét dấu của \(g'(x)\):

Ta có \(y'=x^2-2mx+5m\).

Hàm số không có cực trị khi \(\Delta' \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 5.\)

+) Xét \(m=-1\), ta có \(y=-x^2-x+3\) là hàm bậc hai có đồ thị là đường parabol có một cực trị là đỉnh của parabol. Vậy \(m=-1\) (nhận).

+) Xét \(m\ne -1\), ta có \(y'=(m+1)x^2-2x+2m+1\).

Để hàm số có cực trị thì

\[\left\{\begin{aligned} &a\ne 0\\ &\Delta_{y'}>0 \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &m+1\ne 0\\ & 1-(m+1)(2m+1)>0 \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &m\ne -1\\ &-2m^2-3m>0 \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & m\ne -1\\ &-\displaystyle\frac{3}{2}< m< 0.\end{aligned} \right.\]

Ta thấy \(m = 0\) hàm số suy biến thành \( y = 3x - 1 \) không có cực trị.

Hàm số có cực đại và cực tiểu

\[\Leftrightarrow \begin{cases} m \neq 0\\ 4m^2 -9m > 0\end{cases} \Leftrightarrow m< 0 \lor m > \displaystyle\frac{9}{4}.\]

Ta có \(y'=x^2-2mx+m+2\).

Để hàm số không có cực trị thì

\[\Delta'\leq 0\Leftrightarrow m^{2}-m-2\leq 0\Leftrightarrow -1\leq m\leq 2.\]

Ta có \(y'=3x^2-2x+m\).

Để hàm số có cực trị thì \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow\Delta'>0\Leftrightarrow1-3m>0\Leftrightarrow m< \displaystyle\frac{1}{3}\).

Ta có: \(y'=3x^2-m\).

Hàm số có 2 điểm cực trị \(\Leftrightarrow y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow 3x^2-m=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m>0\).

Vậy \(0< m< 5\) mà \(m\in\mathbb{N}\).

Do đó, \(m\in\{1;2;3;4\}\).

Hàm số có đạo hàm \(y'=x^2-2mx+m+2\).

Hàm số có hai điểm cực trị

\(\Leftrightarrow m^2-m-2>0\Leftrightarrow m\in\left(-\infty; -1\right)\cup\left(2;\infty\right)\).

\(y'=(m^2-1)x^2+2(m+1)x+3\).

Hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{3}(m^2-1)x^3+(m+1)x^2+3x+5\) có hai điểm cực trị khi và chỉ khi

\(\begin{cases}m^2-1\ne 0\\ \Delta '>0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}m\ne \pm 1\\ (m+1)^2-3(m^2-1)>0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m\ne \pm 1\\-2m^2+2m+4>0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m\ne \pm 1\\-1< m< 2.\end{cases}\)

Ta có \(y'=mx^2+2\left(2m^2-1\right)x+m-1\).

Đồ thị hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{3}mx^3+(2m^2-1)x^2+(m-1)x-m^3\) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm trái dấu.

\(\Leftrightarrow m(m-1)< 0\Leftrightarrow 0< m< 1\).

\(y'=3x^2-3\), \(y'=0\Leftrightarrow x=\pm 1\).

Suy ra hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.

Theo bà ra ta có \(y(1)\cdot y(-1)< 0\Leftrightarrow (m-2)(m+2)< 0\Leftrightarrow -2< m< 2\).

Ta có \(y'=3x^2-2mx+m+6=0\).

Hàm số \(y=x^3-mx^2+(m+6)x-m\) có điểm cực trị khi và chỉ khi \( y'=0\) có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow {\Delta}'>0 \Leftrightarrow m^2-3(m+6)>0 \Leftrightarrow m^2-3m-18>0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&m< -3 \\ &m>6.\end{aligned}\right.\)

Ta có \(y' = x^2 - 2(m-2)x+m-2\).

Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung thì phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm \(x_1\), \(x_2\) trái dấu.

Điều này tương đương với \(x_1x_2 < 0 \Leftrightarrow m - 2 < 0 \Leftrightarrow m < 2\).

Ta có \(y'=3x^2-6x=0 \Leftrightarrow x=0 ;\,x=2.\)

\(y''=6x-6\) suy ra \(y''(0)=-6< 0; y''(2)=6>0\).

Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\).

Giá trị cực tiểu là \(y(2)=m^2+2m-4\).

Để giá trị cực tiểu bằng \(-4\) thì \(m^2+2m-4=-4 \Leftrightarrow m=0;\, m=-2.\)

Ta có \(y'=4(m-1)x^3-2(2m-3)x=2x\left[2(m-1)x^2-(2m-3)\right]\). Xét các trường hợp

+) Với \(m-1=0\Leftrightarrow m=1\Rightarrow y=x^2+1\) có một điểm cực tiểu (thỏa mãn).

+) \(\begin{cases} (m-1)\cdot[-(2m-3)]\ge 0\\ m-1>0\end{cases}\Leftrightarrow 1< m\le \displaystyle\frac{3}{2}\).

+) \(\begin{cases} (m-1)\cdot[-(2m-3)]< 0\\ 1 m-1< 0\end{cases}\Leftrightarrow m< 1\)

Vậy \(m\le\displaystyle\frac{3}{2}\) thì thỏa yêu cầu đề bài.

Ta có \(y'=4x^3-4mx=4x(x^2-m)\);

\(y'=0 \Leftrightarrow x=0;\\,x^2=m\).

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi \(y'\) đổi dấu \(3\) lần \(\Leftrightarrow m>0\).

Ta có \(y'=4mx^3+2(m-1)x =2x(2mx^2+m-1)\).

\(y'=0 \Leftrightarrow x=0;\\,2mx^2=1-m \quad (1).\)

Hàm số có \(3\) điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \((1)\) có \(2\) nghiệm phân biệt khác \(0\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1-m}{2m}>0 \Leftrightarrow 0< m< 1\).

+) Với \(m=-1\) hàm số có dạng: \(y=2x^2+1\).

\(y'=2x\); \(y''=2>0\), \(\forall x\in\mathbb{R}\).

\(y'=0 \Leftrightarrow x=0\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\) \(\Rightarrow m=-1\) (loại).

+) Với \(m\ne -1\) để hàm số có một cực đại không có cực tiểu thì

\(\begin{cases}-(m+1)(m-1)\ge 0\\ m+1< 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}-1\le m\le 1\\ m< -1\end{cases} \Leftrightarrow m\in \varnothing.\)

Hàm số \(y=ax^4+bx^2+c\) có \(3\) điểm cực trị khi và chỉ khi \(ab< 0\).

Do đó để hàm số có \(3\) điểm cực trị thì \(m+1>0\Leftrightarrow m>-1\).

Ta có \(y'=4mx^3+2(m^2-9)x=2x(mx^2+m^2-9)\).

Yêu cầu bài toán

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&m< 0\\&\displaystyle\frac{-m^2+9}{m}>0\\\end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&m< 0\\&-m^2+9< 0\\\end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&m< 0\\& m< -3;\,m>3\end{aligned}\right. \Leftrightarrow m< -3\).

Hàm số đã cho có \(3\) cực trị khi

\begin{eqnarray*}& & m\cdot(m^2-9)< 0\\& \Leftrightarrow & m< -3 \text{ hoặc }0< m< 3.\end{eqnarray*}

+) Với \(m=0\) hàm số có 1 cực tiểu.

+) Với \(m>0\), hàm số có 1 cực tiểu khi và chỉ khi có 1 cực trị, khi \(2m+1\ge0\Leftrightarrow m\ge-\displaystyle\frac{1}{2}\), vậy \(m>0\) thỏa mãn.

+) Với \(m< 0\), hàm số chỉ có 1 cực tiểu khi có 3 cực trị, khi \(m>-\displaystyle\frac{1}{2}\).

Vậy hàm số đã cho có đúng một điểm cực tiểu khi và chỉ khi \(m>-\displaystyle\frac{1}{2}\).

Ta có : \(f'(x)=4x^3+12mx^2+6\left(m+1\right)x=2x\left[2x^2+6mx+3\left(m+1\right)\right]\).

\(f'(x)=0\Leftrightarrow x=0;\, g(x)=2x^2+6mx+3\left(m+1\right) =0 \ (1)\).

+) Trường hợp 1: \((1)\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép khi và chỉ khi \(\displaystyle\frac{1-\sqrt 7}{2}\leq m\leq \displaystyle\frac{1+\sqrt 7}{2}\).

+) Trường hợp 2: \((1)\) có \( 2 \) nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng \( 0 \), suy ra \(m=-1\).

Vì \(m\in\mathbb{Z}\Rightarrow m\in\left\{-1;0;1\right\}\) hay \(S=\left\{-1;0;1\right\}\).

+) TH 1\(\colon a=0 \Leftrightarrow m = 1 \Rightarrow y = -4x^2+5\) đồ thị là parabol có bề lõm hướng xuống nên chỉ có một cực đại \( \Rightarrow m =1 \) (nhận).

+) TH 2\(\colon a \ne 0 \)

YCBT \( \Leftrightarrow \begin{cases} a< 0 \\ ab \ge 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -\left( m-1\right) < 0 \\ -2\left( m-1\right) \left( m-3\right) \ge 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m< 1 \\ 1 \le m \le 3\end{cases} \Leftrightarrow 1 < m \le 3\).

+) Từ TH 1 và TH 2 ta suy ra \( 1 \le m \le 3 \).

Ta có \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=1;\,x=-2;\,x=\pm 2.\)

Bảng xét dấu \(f'(x)\):

Vậy hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại điểm \(x=2\), đạt cực tiểu tại điểm \(x=1\).

a) Hàm chi phí biên là \(C'(x)=0{,}00525x^2-x+50\).

b) Ta có \(C'(100)=0{,}00525\cdot 100^2-100+50=2{,}5\) (trăm nghìn đồng).

Chi phí biên tại \(x=100\) là \(250\,000\) đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo (đơn thứ \(101\)) là khoảng \(250\,000\) đổng.

c) Chi phí sản xuất đơn hàng thứ \(101\) là

\(C(101)-C(100)=24\,752{,}52675-24\,750=2{,}52675\) (trăm nghìn đồng)

Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên \(C'(100)\) đã tính ở câu trên.

a) Vận tốc của hạt chuyển động là \(v(t)=y'=3t^2-12\).

Gia tốc của hạt chuyển động là \(a(t)=v'(t)=6t\).

b) Vận chuyển động đi lên khi \(v(t)\ge0 \Leftrightarrow t\ge 2\).

Vận chuyển động đi xuống khi \(v(t)\le 0\Leftrightarrow 0\le t\le 2\).

c) Khi \(0\le t\le 2\), vật đi xuống nên quãng đường đi được trong khoảng thời gian \(0\le t \le 2\) là \(\)y(0)-y(2)=16.\(\)

Khi \(2\le t\le 3\), vật đi lên nên quãng đường đi được là trong khoảng thời gian \(2\le t \le 3\) là \(\)y(3)-y(2)=7.\(\)

Do đó quãng đường đi được trong khoảng thời gian \(0\le t \le 3\) là \(23\) m.

d) Hạt tăng tốc khi \(a(t)\ge 0 \Leftrightarrow t\ge 0\), hạt giảm tốc khi \(a(t)\le0 \Leftrightarrow t \le 0\).

a) Dân số của quốc gia vào năm \(2030\) là \(N(7)=100\mathrm{e}^{0{,}012\cdot ^7}=100\mathrm{e}^{0{,}084}=108{,}763\) (triệu người).

Dân số của quốc gia vào năm \(2035\) là \(N(12)=100 \mathrm{e}^{0{,}012 \cdot 12}=100 \mathrm{e}^{0{,}144}=115,488\) (triệu người).

b) Trên đoạn \(\left[0;50\right]\) ta có \(N'(t)=0{,}012\cdot 100 \mathrm{e}^{0{,}012t}=1,2 \mathrm{e}^{0{,}012t}>0\) với mọi \(t \in \left[0;50\right]\).

Do đó, hàm số \(N(t)\) đồng biến trên đoạn \(\left[0;50\right]\).

c) Ta có \(N'(t)=1{,}2 \mathrm{e}^{0{,}012t}\).

Với tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là \(1,6\) triệu người/năm ta có

\(1{,}6=1{,}2\mathrm{e}^{0{,}012t}\Leftrightarrow{\mathrm{e}^{0{,}012t}}=\displaystyle\frac{4}{3}\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{250\ln \displaystyle\frac{4}{3}}{3}\approx 23{,}97\).

Vậy vào năm \(2046\) thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là \(1{,}6\) triệu người/ năm.

Gọi \(g(t)\) là hàm tốc độ bán hàng.

Khi đó \(g(t)=f'(t)=\displaystyle\frac{25\,000e^{-t}}{(1+5e^{-t})^2}\), \(t\ge0\).

Ta có \(g'(t)=\displaystyle\frac{25\,000e^{-t}(1+5e^{-t})(5e^{-t}-1)}{(1+5e^{-t})^4}\); \(g'(t)=0\Leftrightarrow t=-\ln{\displaystyle\frac{1}{5}}=\ln5\).

Bảng biến thiên hàm số

Hàm số đạt cực đại tại \(t=-\ln{\displaystyle\frac{1}{5}}\approx1{,}6\).

Vậy sau khi phát hành \(1{,}6\) năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.

Gọi \( x \) là số lần tăng giá \((0

Mỗi lần tăng giá thì số căn hộ cho thuê là \( 100 - x \) (căn).

Số tiền thuê căn hộ sau mỗi lần tăng là \(8\,000\,000+100\,000x\) đồng.

Khi đó tổng số tiền cho thuê căn hộ 1 tháng là:

\begin{align*}y&=(8\,000\,000+100\,000 x)(100-x) \\ & =800\,000\,000-8\,000\,000 x+10\,000\,000 x-100\,000 x^2 \\ & =800\,000\,000+2\,000\,000 x-100\,000 x^2.\end{align*}

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(y\) lớn nhất.

Ta có

\(y'=-200\,000 x+2\,000\,000; \quad y'=0 \Leftrightarrow x=10.\)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy doanh thu lớn nhất khi người quản lí đặt giá thuê căn hộ là \(8\,000\,000+10 \cdot 100\,000 = 9\,000\,000\) (đồng).

Xét hàm số \(s(t)=-t^3+6t^2+t+5\), trên đoạn \(\left[0;5\right]\).

Đạo hàm \(s'(t)=-3t^2+12t+1.\)

Cho \(s'(t)=0 \Leftrightarrow -3t^2+12t+1=0 \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{6+\sqrt{39}}{3}\in[0;5]\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{6-\sqrt{39}}{3}\notin[0;5].\)

Các giá trị \(f(0)=5\), \(f\left(\tfrac{6+\sqrt{39}}{3}\right)\approx41{,}04\), \(f(5)=35\).

So sánh các giá trị, ta có \(\max\limits_{[0;5]}f(x)\approx41{,}04\), \(\min\limits_{[0;5]}f(x)=5\).

a) Số xăng trong bình ban đầu là \(V(0)=4\) lít.

b) Dung tích bình xăng \(V=V\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=41{,}5\) lít.

c) Xét hàm số \(V(t)=300(t^2-t^3)+4 \text{ với } 0\le t\le 0{,}5.\)

Đạo hàm \(V'(t)=300t(2-3t)\).

Cho \(V'(t)=0 \Leftrightarrow 300t(t-3t)=0 \Leftrightarrow t=0\in[0;0{,}5]\) hoặc \(t=\displaystyle\frac{2}{3}\notin[0;0{,5}].\)

Các giá trị \(V(0)=4\), \(V\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=41{,}5\).

Xăng chảy vào bình xăng vào thời điểm ở giây thứ \(30\) có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất.

a) Ta có độ dài một cạnh của mảnh vườn là \(x(m)\) nên độ dài cạnh còn lại của mảnh vườn là \(\displaystyle\frac{144}{x}\) (m).

Vậy chu vi của mảnh vườn là \(P(x)=2\left(x+\displaystyle\frac{144}{x}\right)=2x+\displaystyle\frac{72}{x}\).

b) Ta có: \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} P(x)=\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} 2x+\displaystyle\frac{72}{x}=+\infty\) và \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} P(x)=\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \left(2x+\displaystyle\frac{72}{x}\right)=-\infty\)

nên đồ thị hàm số \(P(x)\) không có tiệm cận ngang.

Ta có: \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \left(2x+\displaystyle\frac{72}{x}\right)=+\infty\). Suy ra đồ thị hàm số \(f(x)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=0\).

Ta có:

\(\lim _{x \rightarrow+\infty}[P(x)-2x]=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{72}{x}=0\) và \(\lim _{x \rightarrow-\infty}[P(x)-2x]=\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{72}{x}=0\) nên đồ thị hàm số \(P(x)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y=2x\).