Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có

\[\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(A\mid B)\cdot \mathrm{P}(B) + \mathrm{P}\left(A\mid \overline{B}\right)\cdot \mathrm{P}\left(\overline{B}\right)= 0{,}7\cdot 0{,}6 + 0{,}4\cdot 0{,}4=0{,}58.\]

Xét hai biến cố sau:

+) \(A\): Người được chọn ra là người thừa cân.

+) \(B\): Người được chọn ra là nam giới\, (biến cố \(\overline{B}\): Người được chọn ra là nữ giới).

Từ giả thiết ta có

\(\mathrm{P}(B) = \mathrm{P}\left(\overline{B}\right)=50\%=0{,}5\);

\(\mathrm{P}(A\mid B) = 64\%=0{,}64\);

\(\mathrm{P}\left(A\mid \overline{B}\right) = 53{,}4\% = 0{,}534\).

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có

\[\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(B)\cdot\mathrm{P}\left(A\mid B\right) + \mathrm{P}\left(\overline{B}\right)\cdot\mathrm{P}\left(A\mid \overline{B}\right) = 0{,}5 \cdot 0{,}64 + 0{,}5\cdot 0{,}534=0{,}587.\]

Vậy xác suất để một người Canada được ngẫu nhiên là người thừa cân bằng \(0{,}587\). Nói cách khác, tỉ lệ người Canada thừa cân là \(58{,}7\%\).

{\bf Cách 2.} Giải bằng sơ đồ cây:

Dựa vào sơ đồ cây: \(\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(AB)+\mathrm{P}(A\overline{B})=0{,}32+0{,}267=0{,}587\).

a) Số viên bi màu đỏ có dán nhãn là \(75\%\cdot 40 = 30\) (viên bi).

Số viên bi màu xanh có dãn nhẫn là \(50\%\cdot 60 = 30\) (viên bi).

b) Xét hai biến cố sau

+) \(A\): Viên bi được chọn ra có dãn nhãn.

+) \(B\): Viên bi được chọn ra có màu đỏ.

Khi đó, ta có

+) \(\mathrm{P}(B)=\displaystyle\frac{40}{100} = \displaystyle\frac{2}{5}\);

\(\mathrm{P}\left(\overline{B}\right)= 1 - \mathrm{P}(B)=1-\displaystyle\frac{2}{5}=\displaystyle\frac{3}{5}\);

+) \(\mathrm{P}(A\mid B) = \displaystyle\frac{30}{40}=\displaystyle\frac{3}{4}\);

\(\mathrm{P}\left(A\mid \overline{B}\right)=\displaystyle\frac{30}{60}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần, ta có

\[\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(B)\cdot\mathrm{P}\left(A\mid B\right) + \mathrm{P}\left(\overline{B}\right)\cdot\mathrm{P}\left(A\mid \overline{B}\right) = \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{3}{4} + \displaystyle\frac{3}{5}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{3}{5}.\]

Vậy xác suất để viên bi được lấy ra có dãn nhãn bằng \(\displaystyle\frac{3}{5}\).

Minh họa bằng sơ đồ cây:

Từ sơ đồ ta thấy xác suất để chọn được viên bi có dán nhãn bằng \(0{,}3+0{,}3=0{,}6\).

Xét hai biến cố

\(A\): Bông hoa bạn An hái được chứa phiếu có thưởng.

\(B\): Bông hoa bạn Bình hái được chứa phiếu có thưởng.

Khi đó, ta có

\(\mathrm{P}(B)=\displaystyle\frac{5}{10}=\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(\mathrm{P}\left(\overline{B}\right) = 1 - \mathrm{P}(B)=1-\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(\mathrm{P}(A\mid B)=\displaystyle\frac{4}{9}\)

\(\mathrm{P}\left(A\mid \overline{B}\right)=\displaystyle\frac{5}{9}\).

a) Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho là

b) Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần, ta có:

\[\mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(B)\cdot\mathrm{P}\left(A\mid B\right) + \mathrm{P}\left(\overline{B}\right)\cdot\mathrm{P}\left(A\mid \overline{B}\right) = \displaystyle\frac{1}{2}\cdot \displaystyle\frac{4}{9} + \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{5}{9}=\displaystyle\frac{1}{2}.\]

Vậy xác suất bạn An hái được bông hoa chứa phiếu có thưởng bằng \(\displaystyle\frac{1}{2}\).

Vậy xác suất để cả hai lần bạn Châu đều rút được thẻ màu xanh là \(\mathrm{P}(A\cap B)=\displaystyle\frac{1}{190}.\)

Xác suất để sáng đó tuyến phố H bị tắc đường là

\(\mathrm{P}(A)= 0{,}07+0{,}18=0{,}25.\)

Xác suất để chọn được một học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ là:

\(P(B) = P(A)\cdot P(B\mid A) + P(\overline{A})\cdot P(B\mid \overline{A}) = 0{,}12 + 0{,}06= 0{,}18.\)

Vậy xác suất để chọn được một học sinh biết chơi nhạc cụ là \(0{,}18\) hay \(18\%\).

Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ bằng \(\displaystyle\frac{13}{22}\).

Vậy xác suất để lần thứ hai lấy được quả cầu trắng là:

\(P(B) = P(A)\cdot P(B\mid A) + P(\overline{A})\cdot P(B\mid \overline{A}) =\displaystyle\frac{5}{15}\cdot \displaystyle\frac{4}{14}+\displaystyle\frac{10}{15}\cdot \displaystyle\frac{5}{14}=\displaystyle\frac{1}{3}.\)

Vì số lượng người mắc bệnh ở địa phương chiếm \(0{,}45\%\) dân cư nên \(\mathrm{P}(B)=0{,}0045\).

Vì tỉ lệ nữ giới mắc bệnh là \(0{,}35\%\) nên \(\mathrm{P}(B\mid \overline{A})=0{,}0035\).

Tỉ lệ nam giới mắc bệnh là \(\mathrm{P}(B\mid A)\).

Ta có \(\mathrm{P}(B)=\mathrm{P}(A)\cdot\mathrm{P}(B\mid A)+\mathrm{P}(\overline{A})\cdot\mathrm{P}(B\mid \overline{A})\)

Giải phương trình này, tìm được: \(\mathrm{P}(B\mid A)=0{,}0065\).

a) Xác suất để thứ tư ông An đi làm bằng xe máy là: \(\mathrm{P}(\overline{B})=0{,}6\cdot0{,}4+0{,}4\cdot0{,}3=0{,}36\).

b) Xác suất để thứ tư ông An đi làm bằng xe buýt là: \(\mathrm{P}(B)=0{,}6\cdot0{,}6+0{,}4\cdot0{,}7=0{,}64\).

Xác suất để nhà tổ chức bán hết vé là:

\(P(B)= P(A) \cdot P(B \mid A)+P(\overline{A}) \cdot P(B \mid \overline{A}) = 0{,}75\cdot 0{,}4 +0{,}25\cdot 0{,}9=0{,}525\).

a) Xác suất để cây con có kiểu gene \(bb\) là

\[0{,}6\cdot0{,}6\cdot1+0{,}6\cdot0{,}4\cdot0{,}5+0{,}4\cdot0{,}6\cdot0{,}5+0{,}4\cdot0{,}4\cdot0{,}25=0{,}64.\]

b) Xác suất để cây con có kiểu gene \(BB\) bằng \(0\) vì bố, mẹ và quần thể này không có cây nào mang gene \(BB\).

c) Xác suất để cây con có kiểu gene \(Bb\) là

\[0{,}6\cdot0{,}4\cdot0{,}5+0{,}4\cdot0{,}6\cdot0{,}5+0{,}4\cdot0{,}4\cdot0{,}75=0{,}36.\]

\[\mathrm{P}(\text{bắn hạ})=\mathrm{P}(\text{bắn hạ tại X})\cdot\mathrm{P}(X)+\mathrm{P}(\text{bắn hạ tại Y})\cdot\mathrm{P}(Y).\]

Tại vị trí X, Máy bay bị bắn hạ nếu nó trúng ít nhất một 1 quả tên lửa (trong 2 quả tên lửa phóng tại vị trí X), mà xác suất bắn trúng máy bay của mỗi quả tên lửa là \(0{,}8\). Do đó

Xác suất trật cả hai là: \(0{,}2\cdot0{,}2=0{,}04\).

Xác suất máy bay bị bắn hạ là: \(1-0{,}04=0{,}96\).

Vậy xác suất để máy bay bị bắn hạ là

\[\mathrm{P}(\text{bắn hạ})=0{,}96\cdot0{,}55+0{,}8\cdot0{,}45=0{,}888.\]

Vậy xác suất để con thỏ được lấy ra từ chuồng I là con thỏ trắng bằng

\[\displaystyle\frac{10}{16}\cdot\displaystyle\frac{7}{10}+\displaystyle\frac{11}{16}\cdot\displaystyle\frac{3}{10}=\displaystyle\frac{103}{160}=0{,}64375.\]

Gọi \(A\) là biến cố: ``Linh kiện điện tử đó đạt tiêu chuẩn''. Gọi \(B\) là biến cố: ``Linh kiện điện tử đó được đóng dấu OTK''.

a) Ta có \(P(B)=P(A)\cdot P(B \mid A)+P(\overline{A}) \cdot P(B \mid \overline{A})\).

+) Tính \(P(A)\): Đây là xác suất để linh kiện đó đạt tiêu chuẩn. Vậy \(P(A)=0{,}8\).

+) Tính \(P(\overline{A})\): \(P(\overline{A})=1-P(A)=0{,}2\).

+) Tính \(P(B\mid A)\): Đây là xác suất để linh kiện điện tử đó được đóng dấu OTK với điều kiện nó đạt tiêu chuẩn. Vậy \(P(B\mid A)=0{,}99\).

+) Tính \(P(B\mid \overline{A})\): Đây là xác suất để linh kiện điện tử đó được đóng dấu OTK với điều kiện nó không đạt tiêu chuẩn. Vậy \(P(B\mid \overline{A})=1-0{,}95=0{,}05\).

Vậy \(P(B)=P(A)\cdot P(B\mid A)+P(\overline{A})\cdot P(B\mid \overline{A})=0{,}8\cdot 0{,}99+0{,}2\cdot 0{,}05=0{,}802\).

Vậy xác suất để linh kiện điện tử đó được đóng dấu OTK là \(0{,}802\).

b) Ta có sơ đồ hình cây

Có hai nhánh cây đi từ \(O\) tới \(\overline{B}\) là \(OA\overline{B}\) và \(O\overline{AB}\). Vậy xác suất để linh kiện điện tử được chọn không được đóng dấu OTK là \(P(\overline{B})=0{,}8\cdot 0{,}01+0{,}2\cdot 0{,}95=0{,}198.\)

Áp dụng công thức Bayes, ta có

\[\mathrm{P}(B\mid A)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(B)\cdot \mathrm{P}(A\mid B)}{\mathrm{P}(A)}=\displaystyle\frac{0{,}4\cdot 0{,}3}{0{,}6}=0{,}2.\]

a) Xác suất để học sinh (được gặp) có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật là

\(P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\overline{A})P(B\mid\overline{A})=0{,}0936+0{,}072=0{,}1656.\)

b) Do học sinh có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật nên xác suất học sinh đó là nam là

\(P(\overline{A}\mid B)=\displaystyle\frac{P(\overline{A})\cdot P(B\mid\overline{A})}{P(B)}=\displaystyle\frac{0{,}072}{0{,}1656}=\displaystyle\frac{10}{23}.\)

a) Xác suất để hai viên bi được lấy từ hộp thứ hai là bi đỏ là

\(\mathrm{P}(B)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B\mid A)+\mathrm{P}(\overline{A})\mathrm{P}(B\mid\overline{A})=\displaystyle\frac{6}{9}\cdot \displaystyle\frac{\mathrm{C}_8^2}{\mathrm{C}_{11}^2}+\displaystyle\frac{3}{9}\cdot \displaystyle\frac{\mathrm{C}_7^2}{\mathrm{C}_{11}^2}=\displaystyle\frac{7}{15}.\)

b) Nếu 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ thì xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất là bi đỏ là

\(\mathrm{P}(A\mid B)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(A)\cdot\mathrm{P}(B\mid A)}{\mathrm{P}(B)}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{6}{9}\cdot \displaystyle\frac{\mathrm{C}_8^2}{\mathrm{C}_{11}^2}}{\displaystyle\frac{7}{15}}=\displaystyle\frac{8}{11}.\)

Gọi \(A\) là biến cố "Tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe" và \(B\) là biến cố "Địa phương có tai nạn".

Do có \(2\%\) tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe nên \(\mathrm{P}(A)=0,02\).

Do trong các vụ tai nạn ở địa phương, có \(10\%\) là do tài xế có sử dụng điện thoại khi lái xe nên \(\mathrm{P}(A\mid B)=0,1\).

Xác suất gây tai nạn do tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe là

\(\mathrm{P}(B\mid A)= \displaystyle\frac{\mathrm{P}(B)\mathrm{P}(A\mid B)}{\mathrm{P}(A)}\)

Do đó \(\displaystyle\frac{\mathrm{P}(B\mid A)}{\mathrm{P}(B)}=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(A\mid B)}{\mathrm{P}(A)}=\displaystyle\frac{0,1}{0,02}= 5\). Suy ra \(\mathrm{P}(B\mid A)=5\mathrm{P}(B)\).

Vậy việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên \( 5 \) lần.

Xác suất radar phát cảnh báo là:

\[\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(A\mid B)\cdot\mathrm{P}(B)+\mathrm{P}(A\mid \overline{B})\cdot\mathrm{P}(\overline{B})=0{,}0585.\]

Nếu radar đang phát cảnh báo thì xác suất vật thể đó là mục tiêu thật là:

\[\mathrm{P}(B\mid A)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(A\mid B)\cdot\mathrm{P}(B)}{\mathrm{P}(A)}=\displaystyle\frac{0{,}9\cdot 0{,}01}{0{,}0585}=\displaystyle\frac{2}{13}\approx 0{,}1538.\]

a) Gọi \(A\) là biến cố “Sản phẩm bị lỗi” và \(B\) là biến cố “Sản phẩm lấy ra do phân xưởng I sản xuất”.

Do phân xưởng I sản xuất \(40\%\) số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất \(60\%\) số sản phẩm nên \(\mathrm{P}(B)=0{,}4 \text{ và } \mathrm{P}(\overline{B})=1-0{,}4=0{,}6.\)

Do tỉ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là \(2\%\) và của phân xưởng II là \(1\%\) nên

\(\mathrm{P}(A\mid B)=0{,}02 \text{ và } \mathrm{P}(A\mid \overline{B})=1-0{,}01.\)

Xác suất để sản phẩm lấy ra bị lỗi là

\(\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(B)\mathrm{P}(A\mid B)+\mathrm{P}(\overline{B})\mathrm{P}(A\mid \overline{B})=0{,}4\cdot0{,}02+0{,}6 \cdot 0{,}01=0{,}014.\)

b) Nếu sản phẩm lấy ra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất là

\(\mathrm{P}(B\mid A)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(B)\mathrm{P}(A\mid B)}{\mathrm{P}(A)}=\displaystyle\frac{0{,}4 \cdot 0{,}02}{0{,}014}=\displaystyle\frac{4}{7}.\)

Nếu sản phẩm lấy ra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất là

\(\mathrm{P}(\overline{B}\mid A)=1-\mathrm{P}(B\mid A)=\displaystyle\frac{3}{7}.\)

Vậy nếu sản phẩm lấy ra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất cao hơn

xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất.

Gọi \(A\) là biến cố “Người làm xét nghiệm có kết quả dương tính” và \(B\) là biến cố “Người làm xét nghiệm thực sự nhiễm virus”.

Xác suất người làm xét nghiệm có kết quả dương tính là

\(\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(B)\mathrm{P}(A\mid B)+\mathrm{P}(\overline{B})\mathrm{P}(A\mid \overline{B})=0{,}01653.\)

Nếu người được xét nghiệm và nhận kết quả dương tính thì xác suất để họ thực sự nhiễm vi rút là:

\(\mathrm{P}(B\mid A)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(A\mid B)\cdot\mathrm{P}(B)}{\mathrm{P}(A)}=0{,}461\).

\(\Rightarrow\) Khả năng người đó thực sự nhiễm virus là tương đối thấp (\(46{,}1\%\)), do tỉ lệ nhiễm trong cộng đồng thấp.

a) Xét hai biến cố

\(K\): Người được chọn ra không mắc bệnh.

\(D\): Người được chọn ra có phản ứng dương tính.

Do tỉ lệ người mắc bệnh là là \(0,1\%=0{,}001\) nên \(\mathrm{P}(K)=1-0{,}001 = 0{,}999\).

Trong số những người không mắc bệnh có \(5\%\) số người có phản ứng dương tính nên \break \(\mathrm{P}(D\mid K) = 5\% = 0{,}05\). Vì ai mắc bệnh khi xét nghiệm cũng có phản ứng dương tính nên \(\mathrm{P}\left(\overline{K}\right)=1\).

Ta có sơ đồ cây biểu thị tình huống đã cho

b) Ta thấy rằng khả năng mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính chính là \(\mathrm{P}\left(\overline{K}\mid D\right)\). Áp dụng công thức Bayes, ta có:

\[\mathrm{P}\left(\overline{K}\mid D\right)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}\left(\overline{K}\right)\cdot \mathrm{P}\left(D\mid \overline{K}\right)}{\mathrm{P}\left(\overline{K}\right)\cdot \mathrm{P}\left(D\mid \overline{K}\right) + \mathrm{P}(K)\cdot\mathrm{P}(D\mid K)}=\displaystyle\frac{0{,}001\cdot 1}{0{,}001\cdot 1 + 0{,}999 \cdot 0{,}05}\approx 1{,}96\%.\]

Vậy xác suất mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính là \(1{,}96\%\).

a) Xác suất để người đó thường xuyên gặp vấn đề về sức khỏe là

\(\mathrm{P}(AB)=0{,}2\cdot0{,}7+0{,}8\cdot0{,}15=0{,}26\).

b) Nếu một người thường xuyên gặp vấn đề về sức khỏe thì xác suất người đó có hút thuốc là

\(\mathrm{P}(A\mid B)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(A)\cdot \mathrm{P}\left(B\mid A\right)}{\mathrm{P}(B)}=\displaystyle\frac{0{,}14}{0{,}26} \approx 0{,}54\).

Nếu viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ thì xác suất để viên bi đỏ đó là của hộp thứ nhất bằng \(\mathrm{P}(A\mid B)\).

Ta có \(\mathrm{P}(B)=\mathrm{P} (B\mid A)\cdot \mathrm{P} (A)+\mathrm{P} \left(B\mid\overline{A}\right)\cdot \mathrm{P}\left(\overline{A}\right)=\displaystyle\frac{5}{11}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{3}{5}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{29}{55}\).

Theo công thức Bayes, ta có

\[\mathrm{P}(A\mid B)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(B\mid A)\cdot\mathrm{P}(A)}{\mathrm{P}(B)}=\displaystyle\frac{5}{11}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}:\displaystyle\frac{29}{55}=\displaystyle\frac{25}{58}.\]

Xác suất bệnh nhân mắc bệnh lao phổi (có triệu chứng) bằng \(\mathrm{P}(B\mid A)\).

Ta có

\(\mathrm{P}(B)=\mathrm{P}\left(B\mid A\right)\cdot \mathrm{P}(A)+\mathrm{P}\left(B\mid\overline{A}\right)\cdot \mathrm{P}\left(\overline{A}\right)=0{,}932\cdot 0{,}152+0{,}642\cdot 0{,}848=0{,}68608\).

Theo công thức Bayes, ta có

\(\mathrm{P}(A\mid B)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(A)\cdot\mathrm{P}\left(B\mid A\right)}{\mathrm{P}(B)}=\displaystyle\frac{0{,}152\cdot 0{,}932}{0{,}68608}\approx 0{,}2065\).

Xác suất học sinh chọn tổ hợp môn A00 (đã đỗ đại học) bằng \(\mathrm{P}(A\mid B)\).

Ta có:

\[\mathrm{P}(B)=P(A) \cdot P(B \mid A)+P(\overline{A}) \cdot P(B \mid \overline{A})=0{,}8 \cdot 0{,}6+0{,}2 \cdot 0{,}7=0{,}62.\]

Theo công thức Bayes:

\(P(A \mid B)=\displaystyle\frac{P(A) \cdot P(B \mid A)}{P(B)}=\displaystyle\frac{0{,}8 \cdot 0{,}6}{0{,}62} \approx 0{,}7742.\)

Xác suất để chai rượu (đã xác nhận là loại I) đúng là rượu loại I bằng \(\mathrm{P}(A\mid B)\).

Ta có

\[\mathrm{P}(B)=0{,}9\cdot0{,}3+0{,}05\cdot0{,}7=0{,}305.\]

Áp dụng công thức Bayes:

\(P(A\mid B) = \displaystyle\frac{P(A)\cdot P(B\mid A)}{P(A)\cdot P(B\mid A) + P(\overline{A})\cdot P(B \mid \overline{A})}=\displaystyle\frac{0{,}3\cdot 0{,}9}{0{,}305}=\displaystyle\frac{54}{61}\approx 0{,}885.\)

Vậy xác suất để chai rượu mà ông Tùng xác nhận là rượu loại I đúng là rượu loại I là khoảng \(0{,}885\).

a) Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo Y của bà N là

\(\mathrm{P}(\overline{A})=1-P(A)=1-0{,}005=0{,}995.\)

b) Sau khi xét nghiệm cho kết quả âm tính, xác suất bà N không mắc bệnh Y là \(\mathrm{P}(\overline{A} \mid \overline{B})\).

Ta có

\[\mathrm{P}(\overline{B})=0{,}06\cdot0{,}005+0{,}970{,}995=0{,}96545.\]

Theo công thức Bayes ta có

\[P(\overline{A} \mid \overline{B})=\displaystyle\frac{P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B} \mid \overline{A})}{P(\overline{B})}=\displaystyle\frac{0{,}995\cdot0{,}97}{0{,}96545} \approx 0{,}9997.\]

Vậy xác suất không mắc bệnh Y của bà N là \(99{,}97\%\).

a) Xác suất để một thư bị chặn là thư rác là \(P(A\mid B)\). Theo công thức Bayes:

\[P(A\mid B) = \displaystyle\frac{P(A)\cdot P(B\mid A)}{P(B)}=\displaystyle\frac{0{,}03\cdot 0{,}95}{0{,}03\cdot 0{,}95+0{,}97\cdot 0{,}01}=\displaystyle\frac{285}{382}\approx 0{,}746.\]

b) Xác suất để một thư không bị chạn là thư đúng là \(P(\overline{A}\mid \overline{B})\). Theo công thức Bayes:

\(P(\overline{A}\mid \overline{B}) = \displaystyle\frac{P(\overline{A})\cdot P(\overline{B}\mid \overline{A})}{P(\overline{A})}==\displaystyle\frac{0{,}97\cdot 0{,}99}{0{,}97\cdot 0{,}99+0{,}03\cdot 0{,}05}=\displaystyle\frac{3201}{3206}\approx 0{,}998.\)

c) Trong số các thư bị chặn, có \(74{,}6 \%\) là thư rác, có \(25{,}4 \%\) là thư đúng.

Trong số các thư không bị chặn, có \(0{,}2 \%\) là thư rác, có \(99{,}8 \%\) là thư đúng.

a) Xác suất để vận động viên chọn ngẫu nhiên đạt HCV là

\[P(B)=P(A)\cdot P(B \mid A)+P(\overline{A}) \cdot P(B \mid \overline{A})=\displaystyle\frac{5}{12}\cdot 0{,}65+\displaystyle\frac{7}{12}\cdot 0{,}55=\displaystyle\frac{71}{120}\approx 0{,}59.\]

b) Xác suất để vận động viên (đã đạt HCV) thuộc đội I là \(P(A\mid B)\). Theo công thức Bayes ta có

\(P(A\mid B) = \displaystyle\frac{P(A) \cdot P(B\mid A)}{P(B)}=\displaystyle\frac{5}{12}\cdot 0{,}65:\displaystyle\frac{71}{120}=\displaystyle\frac{65}{142}\approx 0{,}46.\)

Xác suất một thư (đã lọc đúng) là thư bình thường là \(P(\overline{A}\mid B)\).

Ta có

\(\begin{aligned}\mathrm{P}(B)&=\mathrm{P}(B\mid A) \cdot \mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B\mid \overline{A}) \cdot \mathrm{P}(\overline{A}) \\&=0{,}99 \cdot 0{,}4+0{,}95 \cdot 0{,}6=0{,}97.\end{aligned}\)

Áp dụng định lý Bayes:

\[\mathrm{P}(\overline{A}\mid B)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(B\mid \overline{A}) \cdot \mathrm{P}(\overline{A})}{\mathrm{P}(B)}=\displaystyle\frac{0{,}95 \cdot 0{,}6}{0{,}97}= \displaystyle\frac{57}{97}.\]

Xác suất Nam thắng ở lượt chơi thứ nhất sau khi đã thẳng ở lượt chơi thứ hai là

\[\mathrm{P}(A\mid B)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(B\mid A) \cdot \mathrm{P}(A)}{\mathrm{P}(B)}=\displaystyle\frac{0{,}8\cdot0{,}6}{0{,}8\cdot0{,}6+0{,}3\cdot0{,}4}=0{,}8.\]

a) Xác suất thí sinh đậu là

\[\mathrm{P}(B)=0{,}8\cdot0{,}65+0{,}7\cdot0{,}35=0{,}765.\]

b) Xác suất để thí sinh đã đậu là nữ là

\[\mathrm{P}(\overline{A}\mid B)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(B\mid \overline{A})\cdot\mathrm{P}(\overline{A})}{\mathrm{P}(B)}=\displaystyle\frac{0{,}7\cdot 0{,}35}{0{,}765}\approx 0{,}32.\]

a) Xác suất người dân mắc bệnh A là

\[\mathrm{P}(B)=0{,}05\cdot0{,}65+0{,}17\cdot0{,}35=0{,}092.\]

b) Xác suất người dân đã mắc bệnh A mà không tiêm vắc xin là

\[\mathrm{P}(\overline{A}\mid B)=\displaystyle\frac{\mathrm{P}(B\mid \overline{A})\cdot\mathrm{P}(\overline{A})}{\mathrm{P}(B)}=\displaystyle\frac{0{,}17\cdot 0{,}35}{0{,}092}\approx 0{,}647.\]

a) Xác suất lấy được viên bi trắng là

\[\mathrm{P}(\text{Bi trắng})=\displaystyle\frac{8}{12}\cdot \displaystyle\frac{2}{9}+\displaystyle\frac{7}{12}\cdot \displaystyle\frac{5}{9}+\displaystyle\frac{6}{12}\cdot \displaystyle\frac{2}{9}=\displaystyle\frac{7}{12}.\]

b) Xác suất để viên bi trắng (đã được lấy ra) thuộc hộp I là

\[\mathrm{P}(\text{Hộp I}\mid \text{Bi trắng})=\left(\displaystyle\frac{8}{12}\cdot \displaystyle\frac{2}{9}+\displaystyle\frac{7}{12}\cdot \displaystyle\frac{5}{9}\right):\displaystyle\frac{7}{12}=\displaystyle\frac{17}{21}.\]

a) Xác suất lấy được linh kiện tốt là

\[\mathrm{P}(B)=0{,}96\cdot\displaystyle\frac{80}{120}+0{,}97\cdot\displaystyle\frac{120}{200}=0{,}966.\]

b) Xác suất lấy được linh kiện phế phẩm là

\[\mathrm{P}(\overline{B})=1-0{,}966=0{,}034.\]

Xác suất lấy được linh kiện phế phẩm thuộc nhà máy số I:

\[\mathrm{P}(A\mid \overline{B})=\displaystyle\frac{0{,}04\cdot\displaystyle\frac{80}{200}}{0{,}034}=\displaystyle\frac{8}{17}.\]

Xác suất lấy được linh kiện phế phẩm thuộc nhà máy số II:

\[\mathrm{P}(\overline{A}\mid \overline{B})=\displaystyle\frac{0{,}03\cdot\displaystyle\frac{120}{200}}{0{,}034}=\displaystyle\frac{9}{17}.\]

Vậy với điều kiện linh kiện lấy ra là linh kiện phế phẩm thì xác suất linh kiện đó do nhà máy II sản xuất là cao nhất.

Nếu con bò có xét nghiệm dương tính thì xác suất nó bị bệnh là

\[\mathrm{P}(A\mid B)=\displaystyle\frac{0{,}7 \cdot 0{,}000013}{0{,}7 \cdot 0{,}000013+0{,}1 \cdot 0{,}999987}\approx 0{,}009\%.\]

a) Vì biến cố \(A\) chỉ xảy ra khi bạn Tuyết gặp đúng chú lùn luôn nói thật nên \(\mathrm{P}(A)=1\cdot \displaystyle\frac{4}{7}=\displaystyle\frac{4}{7}\).

Còn biến cố \(B\) xảy ra khi bạn Tuyết gặp bất kì chú lùn nào. Do đó

\[\mathrm{P}(B)=1\cdot\displaystyle\frac{4}{7}+0{,}5\cdot\displaystyle\frac{3}{7}=\displaystyle\frac{11}{14}\approx 0{,}79.\]

b) Nếu chú lùn mà bạn Tuyết gặp tự nhận mình là người nói thật (B xảy ra) thì xác suất để người đó là chú lùn nói thật là

\[\mathrm{P}(A\mid B)=1\cdot\displaystyle\frac{4}{7}:\displaystyle\frac{11}{14}=\displaystyle\frac{8}{11}\approx0{,}73.\]