Chuyên đề 6. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARIT

Theo định nghĩa nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta có \(2^a\cdot 2^b=2^{a+b}\).

\(a^x-a^y=a^{x-y}\).

\(a\), \(b\) là các số thực dương, \(m\), \(n\) là các số thực tùy ý thì ta có \(a^{-m}\cdot b^m=\left(\displaystyle\frac{b}{a} \right)^m \).

Ta có \((a^m)^n=a^{mn}\), \(a^{\tfrac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\), \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\).

Theo quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số ta có \(a^m\cdot a^n= a^{m+n}\).

\(P=a^{\frac{7}{4}} : \sqrt[4]{a} = a^{\frac{7}{4} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{3}{2}}\).

Ta có

\(P=x^{-\frac{3}{4}}.\sqrt{x^{\frac{5}{2}}}=x^{-\frac{3}{4}}.x^{\frac{\frac{5}{2}}{2}}=x^{-\frac{3}{4}}.x^{\frac{5}{4}}=x^{-\frac{3}{4}+\displaystyle\frac{5}{4}}=x^{\frac{1}{2}}\).

Ta có

\(a^{\tfrac{3}{4}}\sqrt{a}=a^{\tfrac{3}{4}}\cdot a^{\tfrac{1}{2}}=a^{\tfrac{5}{4}}\).

Ta có

\((10^\alpha)^2=10^{2\alpha}=100^\alpha\). Vậy mệnh đề sai là \((10^\alpha)^2=10^{\alpha^2}\).

Ta có

\(a^{\frac{8}{3}}:\sqrt[3]{a^4}=a^{\frac{8}{3}}:a^{\frac{4}{3}}=a^{\frac{8}{3}-\frac{4}{3}}=a^{\frac{4}{3}}\).

Ta có

\(P=\left[a\left[a^2\left(a^{-1}\right)^{\frac{1}{4}}\right]^{\frac{1}{3}}\right]^{\frac{1}{2}}: a^{\frac{7}{24}}\) \(=\left[a\left(a^{\frac{7}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}\right]^{\frac{1}{2}}:a^{\frac{7}{24}}=\left(a^{\frac{19}{12}}\right)^{\frac{1}{2}}:a^{\frac{7}{24}}=a^{\frac{19}{24}}:a^{\frac{7}{24}}=a^{\frac{1}{2}} \).

Vậy \( P=a^{\frac{1}{2}} \).

Ta có

\(x^{\tfrac{4}{5}}\cdot \sqrt[6]{x^5\sqrt{x}}=x^{\tfrac{4}{5}}\cdot \sqrt[6]{x^5\cdot x^{\tfrac{1}{2}}}\) \(=x^{\tfrac{4}{5}}\cdot \left(x^{\tfrac{11}{2}}\right)^{\tfrac{1}{6}}=x^{\tfrac{103}{60}}\) \(\Rightarrow m=\displaystyle\frac{103}{60}\).

\(y^{\tfrac{4}{5}}:\sqrt[6]{y^5\sqrt{y}}=y^{\tfrac{4}{5}}:\sqrt[6]{y^5\cdot y^{\tfrac{1}{2}}}\) \(=y^{\tfrac{4}{5}}:\left(y^{\tfrac{11}{2}}\right)^{\tfrac{1}{6}}=y^{-\tfrac{7}{60}}\) \(\Rightarrow n=-\displaystyle\frac{7}{60}\).

Vậy \(m-n=\displaystyle\frac{11}{6}\).

Ta có

\(\sqrt[5]{\displaystyle\frac{a}{b}\sqrt[3]{\displaystyle\frac{b}{a}\sqrt{\displaystyle\frac{a}{b}}}}=\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^{\tfrac{1}{5}}\cdot \left(\displaystyle\frac{b}{a}\right)^{\tfrac{1}{15}}\cdot \left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^{\tfrac{1}{30}}\) \(=\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^{\tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{15}+\tfrac{1}{30}}=\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^{\tfrac{1}{6}}\).

Ta có

\( P=\left[a\left[a^2\left(a^{-1}\right)^{\frac{1}{4}}\right]^{\frac{1}{3}}\right]^{\frac{1}{2}}: a^{\frac{7}{24}}\) \(=\left[a\left(a^{\frac{7}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}\right]^{\frac{1}{2}}:a^{\frac{7}{24}}=\left(a^{\frac{19}{12}}\right)^{\frac{1}{2}}:a^{\frac{7}{24}}\) \(=a^{\frac{19}{24}}:a^{\frac{7}{24}}=a^{\frac{1}{2}} \).

Vậy \( P=a^{\frac{1}{2}} \).

Ta có: \(\displaystyle\frac{a^{\sqrt{3}+1}.a^{3-\sqrt{3}}}{\left(a^{\sqrt{5}-2}\right)^{\sqrt{5}+2}}\) \(=\displaystyle\frac{a^4}{a}=a^3\)

Mệnh đề \(\ln \sqrt{ab} = \displaystyle\frac{1}{2} \left( \ln a + \ln b \right)\) sai vì \(a<b<0\) nên \(\ln a\) và \(\ln b\) không tồn tại.

Các công thức \(\log_a (bc)=\log_a b +\log_a c\), \(\log_a \displaystyle\frac{b}{c}=\log_a b -\log_a c\), \(\log_a b =c\Leftrightarrow b =a^c\) là các tính chất của logarit nên đúng.

Công thức \(\log_a b +\log_ a c=\log_a (bc)\) nên \(\log_a (b+c)=\log_a b +\log_ a c\) là sai.

Mệnh đề đúng là \(\log_a (xy)=\log_a x+\log_a y\).

Ta có \(\log(10a)=\log (10)+\log a=1+\log a\).

Các công thức đúng theo sách giáo khoa Toán 12, chỉ có công thức sau sai:

\(\log_{a} \displaystyle\frac{x}{y} = \displaystyle\frac{\log_a x}{\log_a y}\) với \(x, y>0\).

Công thức đúng là \(\log_{a} \displaystyle\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\) với \(x, y>0\) .

Ta có \(\log_a (a^2 b) = \log_a a^2 + \log_a b = 2 + \log_a b\).

Ta có \( A=a^{\log_{a^{\frac{1}{2}}} 4}=a^{2\log_a 4}=(a^{\log_a 4})^2=4^2=16 \).

\(A=a^{2\log_{\sqrt{a}} 3}=a^{4\log_a 3}=a^{\log_a 3^4}=3^4\).

Ta có \(A=\log^2_{a^2}a^4=\left(\log_{a^2}a^4\right)^2=\left(4\cdot \displaystyle\frac{1}{2}\log_aa\right)^2=4.\)

Ta có \(I=\log _a\sqrt[3]{a}=\log _aa^{\tfrac{1}{3}}=\displaystyle\frac{1}{3}\).

Ta có

\(\log_4\sqrt{a}=5 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{4} \log_2 a = 5 \Leftrightarrow \log_2 a = 20.\)

Ta có \(\log_8{25}=\log_{2^3}{5^2}=\displaystyle\frac{2}{3}\log_2{5}=\displaystyle\frac{2}{3}a\).

Từ \(\log_6 a=2\) (\(a>0\)) \(\Leftrightarrow a=6^2\).

Khi đó \(I=\log_6 \left(\displaystyle\frac{1}{a}\right)=\log_6\left(6^2\right)^{-1}=-2\).

Ta có

\(\log _{12}18=\displaystyle\frac{\log _218}{\log _212}\) \(=\displaystyle\frac{\log _2(2\cdot3^2)}{\log _2(2^2\cdot3)}=\displaystyle\frac{\log _22+\log _23^2}{\log _22^2+\log _23}\) \(=\displaystyle\frac{1+2\log _23}{2+\log _23}=\displaystyle\frac{1+2a}{2+a}.\)

\(n=\log_{20}5=\log_{20}\displaystyle\frac{20}{4}\) \(=1-2\log _{20}2\).

Suy ra \(\log _{20}2=\displaystyle\frac{1-n}{2}\) hay \(\log _{2}{20}=\displaystyle\frac{2}{1-n}\).

Ta có \(\log_65 =\displaystyle\frac{1}{\log_56}= \displaystyle\frac{1}{\log_52+\log_53}\) \(=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{\log_25}+\displaystyle\frac{1}{\log_35}}\) \(=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}}= \displaystyle\frac{ab}{a+b}.\)

Ta có: \(\log_ac>0 \Rightarrow c>0\) và \(c\ne 1\).

Suy ra

\(\log_{ab}c=\displaystyle\frac{1}{\log_cab}\) \(=\displaystyle\frac{1}{\log_ca+\log_cb}\) \(=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}}=\displaystyle\frac{xy}{x+y}.\)

Ta có \(P=\log_a\left(\displaystyle\frac{b^2}{c^3}\right)\) \(\Leftrightarrow P=2\log_ab-3\log_ac\) \(\Leftrightarrow P=2\cdot 2-3\cdot 3=-5.\)

Theo tính chất lôgarit, suy ra \(P= \log_a (b^2c^3) =\log_a b^2 +\log_a c^3\) \(=2 \log_a b + 3 \log_a c=13\).

Ta có

\(\log_{10}6=\displaystyle\frac{\log_5 6}{\log_5 10}\) \(=\displaystyle\frac{\log_5 (2\cdot3)}{\log_5 (2\cdot5)}\) \(=\displaystyle\frac{\log_5 2+\log_5 3}{\log_5 2+1}=\displaystyle\frac{a+b}{a+1}.\)

Ta có \(a^2+b^2=23ab\) \(\Leftrightarrow (a+b)^2=25ab\) \(\Leftrightarrow \left(\displaystyle\frac{a+b}{5}\right)^2=ab\) (*)

Lấy lôgarit thập phân hai vế của (*), ta có

\(2\log\displaystyle\frac{a+b}{5}=\log a+\log b\).

Lấy lôgarit tự nhiên hai vế của (*), ta được

\(2\ln\displaystyle\frac{a+b}{5}=\ln(ab)=\ln a+\ln b\) \(\Rightarrow \ln\displaystyle\frac{a+b}{5}=\displaystyle\frac{\ln a+\ln b}{2}\).

Lấy lôgarit cơ số \(5\) hai vế của (*) ta được

\(2\left[\log_{5}(a+b)-\log_{5}5\right]=\log_5(ab)\) \(\Leftrightarrow 2\left[\log_{5}(a+b)-1\right]=\log_{5}a+\log_{5}b\)

\(\Leftrightarrow \log_5(a+b)=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\log_5{a}+\log_5{b}\right)+1\) \(=1+\log_{25}a+\log_{25}b\).

Lấy lôgarit cơ số \(5\) hai vế của (*), ta được

\(2\left[\log_{5}(a+b)-\log_{5}5\right]=\log_5(ab)\) \(\Leftrightarrow 2\log_{5}(a+b)=2+\log_{5}a+\log_{5}b\).

Với mọi số thực dương \(a\) và \(b\), ta có \(a^2 + b^2 = 2ab \Leftrightarrow (a+b)^2 = 4ab\).

Do đó, ta có

\(\log_2(a+b)^2 = \log_2(4ab)\) \(\Leftrightarrow 2\log_2(a+b) = \log_24+\log_2a+\log_2b\) \(\Leftrightarrow \log_2(a+b)=\displaystyle\frac{1}{2}(2+\log_2a+\log_2b)\).

Ta có

\(a^2+b^2=7ab\) \(\Leftrightarrow (a+b)^2=9ab\) \(\Leftrightarrow \left(\displaystyle\frac{a+b}{3}\right)^2=ab.\)

Suy ra

\(\log_7\left(\displaystyle\frac{a+b}{3}\right)^2=\log_7(ab)\) \(\Leftrightarrow \log_7\displaystyle\frac{a+b}{3}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\log_7a+\log_7b\right).\)

Ta có \(\log_5x=\log_{\sqrt[3]{5}}b-2\log_{\frac{1}{5}}a\Leftrightarrow \log_5x=3\log_5b+2\log_5a\)

\(\Leftrightarrow \log_5x=\log_5\left(a^2b^3\right)\Leftrightarrow x=a^2b^3\).

Ta có \(\log_4a=\log_9b=\log_6(a-b)=t\) \(\Rightarrow a=4^t;\) \(b=9^t;\) \(a-b=6^t\)

\begin{eqnarray*}&\Rightarrow& 4^t-9^t=6^t\\ &\Leftrightarrow& {\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)}^{2t}-{\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)}^t-1=0\\ &\Rightarrow&\left[\begin{aligned}&\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^t=\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0\quad \text{(loại)}\\ &\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^t=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{aligned}\right.\\ &\Rightarrow& M=\displaystyle\frac{5+\sqrt{5}}{10}.\end{eqnarray*}

Hàm số đã cho xác định khi

\(2x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - \displaystyle\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow \mathscr{D} = \left(- \displaystyle\frac{1}{2};+\infty\right)\).

Điều kiện \(3-2x>0\Leftrightarrow x<\displaystyle\frac{3}{2}\) nên hàm số có tập xác định là \(\left(-\infty;\displaystyle\frac{3}{2}\right)\).

Điều kiện xác định của hàm số là \(x^2+2x+3>0\) (đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\)).

Hàm số xác định khi \(x-1>0\Leftrightarrow x>1\) hay \(x\in (1;+\infty)\).

Điều kiện \(3x+1>0\Leftrightarrow x>-\displaystyle\frac{1}{3}\)

Tập xác định của hàm số là \(\left(-\displaystyle\frac{1}{3};+\infty\right)\cdot\)

Ta có \(2^{2x^2-5x+3}=1=2^0\) \(\Leftrightarrow 2x^2-5x+3=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=1 \\&x=\displaystyle\frac{3}{2}.\end{aligned}\right.\)

Ta có \(2^x=7\Leftrightarrow x=\log_27\).

Ta có

\(2^{x^2 + x } = 4\) \(\Leftrightarrow x^2+x=\log_24\) \(\Leftrightarrow x^2 + x - 2 =0\) \(\Leftrightarrow x = -2 \lor x = 1.\)

Vậy tích các nghiệm bằng: \(-2\cdot1=-2\).

Phương trình tương đương

\(\begin{cases}x \ne 0\\ \displaystyle\frac{1}{x} = \log_2 3\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x = \displaystyle\frac{1}{\log_2 3}=\log_3 2.\)

Ta có

\(2^{x+1}=8\Leftrightarrow x+1=\log_28\) \(\Leftrightarrow x+1=3\Leftrightarrow x=2.\)

\(\log_5 (x+5)=2\Leftrightarrow x+5=25\Leftrightarrow x=20\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=20\).

Điều kiện của phương trình là \(x>2\).

\(\log_2(x-2)=3\Leftrightarrow x-2=8\Leftrightarrow x=10\).

Trong điều kiện \(x>\displaystyle\frac{2}{3}\).

Phương trình tương đương với

\(3x-2=8\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{10}{3}\).

Điều kiện: \(x >- 1\).

\(PT\Leftrightarrow x + 1 = 4^3 = 64 \Leftrightarrow x = 63\).

Ta có \(\log 10^{100x}=250\Leftrightarrow 100x\cdot\log 10=250\) \(\Leftrightarrow 100x=250\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{5}{2}\in (2;+\infty).\)

Ta có \(7^x<14\Leftrightarrow x<\log_7{14}.\)

Ta có \(3^x<2\Leftrightarrow x<\log_32.\)

Ta có \(5^x<2\Leftrightarrow x<\log_52\).

Ta có

\begin{equation*}3^{2x-1}>243 \Leftrightarrow 3^{2x-1} > 3^5 \Leftrightarrow 2x-1 > 5 \Leftrightarrow x > 3.\end{equation*}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = (3;+\infty)\).

Ta có \(5^x<3\Leftrightarrow x<\log_53.\)

\(\log_2(x+5)<3\Leftrightarrow 0<x+5<8\Leftrightarrow x\in (-5;3)\).

\(\log_2(2x-1)<1\Leftrightarrow 0<2x-1<2\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{2}<x<\displaystyle\frac{3}{2}\).

Ta có \(\log_{\frac{1}{3}} \displaystyle\frac{1-2x}{x}>0\Leftrightarrow \begin{cases} \displaystyle\frac{1-2x}{x} > 0 \\ \displaystyle\frac{1-2x}{x}< 1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{3}<x<\displaystyle\frac{1}{2}\).

Ta có \(\log (x+1) <0 \Leftrightarrow 0<x+1<1 \Leftrightarrow -1<x<0\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \((-1;0)\).

\(\log_3(2x-3)>2\Leftrightarrow \begin{cases}2x-3>0\\ 2x-3>3^2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x>\displaystyle\frac{3}{2}\\ x>6\end{cases}\Leftrightarrow x>6\).

Ta có \(\left(2^x-2\right)\left(1-3^x\right)=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&2^x=2\\&3^x=1\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=1\\&x=0.\end{aligned}\right.\)

Tổng lập phương các nghiệm bằng \(1\).

Ta có \(2^{x-5}=2^{3-3x}\) \(\Leftrightarrow x-5=3-3x \Leftrightarrow x=2\).

Ta có \( \left( \displaystyle\frac{1}{25}\right)^{x+1}=125^{2x}\) \(\Leftrightarrow 5^{-2x-2}=5^{6x}\) \(\Leftrightarrow -2x-2=6x\Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{1}{4}\).

Phương trình tương đương với

\(\sqrt{2}^{x^2+2x-3}=\sqrt{2}^{4x}\) \(\Leftrightarrow x^2+2x-3=4x\) \(\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=-1\\ & x=3.\end{aligned}\right.\)

Phương trình tương đương với

\(7^{x+1}=7^{-x^2+2x+3}\) \(\Leftrightarrow x+1=-x^2+2x+3\) \(\Leftrightarrow x^2-x-2=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=-1\\ &x=2.\end{aligned}\right.\)

Từ đó suy ra \(x_1^2+x_2^2=(-1)^2+2^2=5\).

\(\log_3(x^2-x)=\log_3(2x-2)\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}2x-2>0\\ x^2-x=2x-2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x>1\\ \left[\begin{aligned}&x=1\\&x=2\end{aligned}\right.\end{cases}\Leftrightarrow x=2.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S=\{2\}\).

Điều kiện: \(\begin{cases}x>0\\ x-3>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x>0\\x>3\end{cases} \Leftrightarrow x>3\).

Ta có

\begin{eqnarray*}& &\log _2x+\log _2(x-3)=2\\&\Leftrightarrow &\log_2x(x-3)=2\\ &\Leftrightarrow &x(x-3)=2^2\\ &\Leftrightarrow &x^2-3x-4=0\\ &\Leftrightarrow &\left[\begin{aligned}&x=-1~(\text{loại vì}~x>3)\\&x=4.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Vậy phương trình có \(1\) nghiệm \(x=4\).

Điều kiện \(x>\displaystyle\frac{2}{3}\).

Với điều kiện trên phương trình tương đương với

\(\log_{2017}(3x^2-2x)=0 \Leftrightarrow 3x^2-2x-1=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=1 \quad \text{(nhận)}\\&x=-\displaystyle\frac{1}{3}\quad \text{(loại).}\end{aligned}\right.\)

Vậy phương trình có \(1\) nghiệm.

Điều kiện \( \begin{cases} x \neq 3 \\ x > 2.\end{cases}\) \(\qquad (*) \)

Với điều kiện \( (*) \), ta có

\begin{eqnarray*}&& 2 \log_2 (2x -2) + \log_2 (x - 3)^2 = 2 \\ & \Leftrightarrow & \left [ 2(x-1) \right ]^2 \cdot (x-3)^2 = 4\\ & \Leftrightarrow & \left[\begin{aligned} & x^2 - 4x + 2 = 0 \\ & x^2 - 4x + 4 = 0\end{aligned}\right.\\ & \Leftrightarrow & \left[\begin{aligned} & x = 2 - \sqrt{2}\ \ (\text{loại}) \\ & x = 2 + \sqrt{2} \\ & x = 2.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Vậy tổng các phần tử của tập \( S \) bằng \( 4 + \sqrt{2} \).

Điều kiện \(x>1.\)

Phương trình

\(\Leftrightarrow \log_2\left[x(x-1)\right]=2\) \(\Leftrightarrow x(x-1)=2^2\) \(\Leftrightarrow x^2-x-4=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{1+\sqrt{17}}{2}\quad (\text{thỏa mãn})\\ &x=\displaystyle\frac{1-\sqrt{17}}{2}\quad (\text{loại}).\end{aligned}\right.\)

Vậy phương trình có \(1\) nghiệm.

Ta có

\(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^x > 2^{2x + 1}\) \( \Leftrightarrow -x > 2x + 1\) \( \Leftrightarrow x < -\displaystyle\frac{1}{3}\).

Bất phương trình đã cho tương đương với

\begin{eqnarray*}&&\left(\displaystyle\frac{2}{3} \right)^{x} > \displaystyle\frac{9}{2}\\ &\Leftrightarrow& x < \log_{\frac{2}{3}} \displaystyle\frac{9}{2}.\end{eqnarray*}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( -\infty; \log_{\frac{2}{3}} \displaystyle\frac{9}{2}\right)\).

Ta có

\(\left(0,5\right)^3<\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{3x}\) \(\Leftrightarrow 3x<3\Leftrightarrow x<1\).

Vậy tập nghiệm là \((-\infty;1)\).

\(3^{3x} \leq 3^{x+2}\) \(\Leftrightarrow 3x \leq x+2\) \(\Leftrightarrow x \leq 1\).

Ta có

\({{\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)}^{3x}}>{{\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)}^{2x + 6}}\) \(\Leftrightarrow 3x < 2x+6 \Leftrightarrow x < 6\).

Bất phương trình tương đương với

\(\begin{cases} 3x+1>0\\ x+7>0\\ 3x+1<x+7\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}3x+1>0\\ 2x<6\end{cases}\) \(\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{1}{3}<x<3.\)

Do \(x\) nguyên nên \(x\in\{0;1;2\}\). Vậy có tất cả ba nghiệm nguyên.

Điều kiện: \(x\in (-\infty; -1) \cup (0;2)\).

\begin{eqnarray*}&&\log_{0,8}\left(x^2+x\right)<\log_{0,8}\left(-2x+4\right)\\ &\Leftrightarrow & x^2+x>-2x+4 \Leftrightarrow x^2+3x-4>0\\ &\Leftrightarrow & x \in (-\infty; -4) \cup (1;+\infty)\end{eqnarray*}

Kết hợp với điều kiện ta được \(S=\left(-\infty;-4\right)\cup \left(1;2\right)\).

Điều kiện xác định \( x >0 \). Bất phương trình viết lại \( \log_6 x + 8 \cdot \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \log_6 x \le 10\) \(\Leftrightarrow \log_6 x \le 2 \Leftrightarrow x \le 36\).

Kết hợp với điều kiện xác định, bất phương trình có tập nghiệm là \( S=(0;36] \).

\(\log_2(3x-2)>\log_2(6-5x)\Leftrightarrow \begin{cases}3x-2>6-5x\\6-5x>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x>1\\ x<\displaystyle\frac{6}{5}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow 1<x<\displaystyle\frac{6}{5}.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left(1;\displaystyle\frac{6}{5}\right)\).

Điều kiện xác định \(\begin{cases} 3x-2 >0\\ 6-5x>0\end{cases} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{2}{3} <x< \displaystyle\frac{6}{5}\).

Bất phương trình

\begin{eqnarray*}& & \log_2(3x-2)- \log_2(6-5x)>0\\&\Leftrightarrow & \log_2 {\displaystyle\frac{3x-2}{6-5x} >0}\\&\Leftrightarrow & \displaystyle\frac{3x-2}{6-5x} >1\\ &\Leftrightarrow & \displaystyle\frac{8x -8}{6-5x}>0\\& \Leftrightarrow & 1<x< \displaystyle\frac{6}{5} \quad \text{(thỏa mãn điều kiện xác định).}\end{eqnarray*}