Chuyên đề 5. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN

Ta có

\(u_1=\displaystyle\frac{1}{2};\) \(u_2=\displaystyle\frac{2}{3^2-1}=\displaystyle\frac{2}{8}=\displaystyle\frac{1}{4};\) \(u_3=\displaystyle\frac{3}{3^3-1}=\displaystyle\frac{3}{26}.\)

Ta có \(u_1=-1;\) \(u_2=u_1+3=2;\) \(u_3=u_2+3=5.\)

a. Ta có

\(u_1=\displaystyle\frac{2\cdot 1^2-1}{1^2+1}=\displaystyle\frac{1}{2};\) \(u_2=\displaystyle\frac{2\cdot 2^2-1}{2^2+1}=\displaystyle\frac{7}{5};\) \(u_3=\displaystyle\frac{2\cdot 3^2-1}{3^2+1}=\displaystyle\frac{17}{10}\).

b. Ta có

\(u_1=\displaystyle\frac{1+(-1)^1}{2\cdot 1+1}=0,\) \(u_2=\displaystyle\frac{2+(-1)^2}{2\cdot 2+1}=\displaystyle\frac{3}{5},\) \(u_3=\displaystyle\frac{3+(-1)^3}{2\cdot 3+1}=\displaystyle\frac{2}{7}\).

c. Ta có \(u_1=1+\cos^21,\) \(u_2=2+\cos^22,\) \(u_3=3+\cos^23\).

d. Ta có

\(u_1=\displaystyle\frac{(1+1)!}{2^1}=1,\) \(u_2=\displaystyle\frac{(2+1)!}{2^2}=\displaystyle\frac{3}{2},\) \(u_3=\displaystyle\frac{(3+1)!}{2^3}=3\).

a. Ta có

\(u_1=2,\) \(u_2=\displaystyle\frac{1}{3}(u_1+1)=\displaystyle\frac{1}{3}(2+1)=1,\) \(u_3=\displaystyle\frac{1}{3}(u_2+1)=\displaystyle\frac{1}{3}(1+1)=\displaystyle\frac{2}{3},\) \(u_4=\displaystyle\frac{1}{3}(u_3+1)=\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{2}{3}+1\right)=\displaystyle\frac{5}{9}\).

b. Ta có

\(u_1=0,\) \(u_2=\displaystyle\frac{2}{u_1^2+1}=\displaystyle\frac{2}{0^2+1}=2,\) \(u_3=\displaystyle\frac{2}{u_2^2+1}=\displaystyle\frac{2}{2^2+1}=\displaystyle\frac{2}{5},\) \(u_4=\displaystyle\frac{2}{u_3^2+1}=\displaystyle\frac{2}{{\left(\displaystyle\frac{2}{5}\right)}^2+1}=\displaystyle\frac{50}{29}\).

c. Ta có

\(u_1=15,\) \(u_2=9,\) \(u_3=u_1-u_2=15-9=6,\) \(u_4=u_2-u_3=9-6=3\).

d. Ta có

\(u_1=1,\) \(u_2=-2,\) \(u_3=u_2-2u_1=-2-2\cdot 1=-4,\) \(u_4=u_3-2u_2=-4-2\cdot (-2)=0\).

a. Ta có

\(\begin{aligned} &u_1=1=2^2-3 \\&u_2=5=2^3-3 \\&u_3=13=2^4-3 \\&u_4=29=2^5-3 \\&\cdots\end{aligned}\)

Dự đoán: \(u_n=2^{n+1}-3\).

b. Ta có

\(\begin{aligned} &u_1=3=\sqrt{3^2+0} \\&u_2=\sqrt{10}=\sqrt{3^2+1} \\&u_3=\sqrt{11}=\sqrt{3^2+2} \\&u_4=\sqrt{12}=\sqrt{3^2+3} \\&\cdots\end{aligned}\)

Dự đoán: \(u_n=\sqrt{3^2+n-1}\).

c. Ta có

\(\begin{aligned} &u_1=\displaystyle\frac{5}{4}=1+\displaystyle\frac{1}{2^{1+1}} \\&u_2=\displaystyle\frac{9}{8}=1+\displaystyle\frac{1}{2^{2+1}} \\&u_3=\displaystyle\frac{17}{16}=1+\displaystyle\frac{1}{2^{3+1}} \\&u_4=\displaystyle\frac{33}{32}=1+\displaystyle\frac{1}{2^{4+1}} \\&\cdots \end{aligned}\)

Dự đoán: \(u_n=1+\displaystyle\frac{1}{2^{n+1}}\).

a. Khi \(n=1\), ta có

\(u_1=\displaystyle\frac{2^{2\cdot 1+1}-7}{3}=\displaystyle\frac{1}{3}\): đúng.

Giả sử \(u_k=\displaystyle\frac{2^{2k+1}-7}{3}\) với \(k\geqslant 1\).

Ta cần chứng minh

\(u_{k+1}=\displaystyle\frac{2^{2(k+1)+1}-7}{3}\) \(=\displaystyle\frac{2^{2k+3}-7}{3}\).

Theo công thức dãy số đã cho, ta có

\(u_{k+1}=4u_k+7\) \(=4\cdot \displaystyle\frac{2^{2k+1}-7}{3}+7\) \(=\displaystyle\frac{2^{2k+3}-7}{3}\).

Vậy theo phương pháp quy nạp toán học, ta có \(u_n=\displaystyle\frac{2^{2n+1}-7}{3}\) với mọi \(n\) nguyên dương.

b. Khi \(n=1\), ta có \(u_1=3^1-1=3-1=2\): đúng.

Giả sử \(u_k=3^k-k\) với \(k\geqslant 1\).

Ta cần chứng minh \(u_{k+1}=3^{k+1}-(k+1)\).

Theo công thức dãy số đã cho, ta có

\(u_{k+1}=3u_k+2k-1\) \(=3(3^k-k)+2k-1\) \(=3^{k+1}-(k+1)\).

Vậy theo phương pháp quy nạp toán học, ta có \(u_n=3^n-n\) với mọi \(n\) nguyên dương.

a. Ta có \(1;\) \( 1;\) \( 1;\) \( 1;\) \( 1;\) \( 1;\) \(\ldots\) đây là dãy hằng nên không tăng không giảm.

b. Ta có \(1;\) \( -\displaystyle\frac{1}{2};\) \( \displaystyle\frac{1}{4};\) \( -\displaystyle\frac{1}{8};\) \( \displaystyle\frac{1}{16};\) \(\ldots \Rightarrow {}u_1>u_2<u_3\Rightarrow {}(u_n)\) đây không là dãy tăng, không là dãy giảm.

c. Ta có \(1;\) \( 3;\) \( 5;\) \( 7;\) \( 9;\) \(\ldots \Rightarrow {}u_n<{u}_{n+1},n\in {\mathbb{N}}^{*}\Rightarrow {}(u_n)\) là dãy tăng.

d. Ta có \(1;\) \( \displaystyle\frac{1}{2};\) \( \displaystyle\frac{1}{4};\) \( \displaystyle\frac{1}{8};\) \( \displaystyle\frac{1}{16};\) \(\ldots \Rightarrow {}u_1>u_2>u_3\ldots >u_n>\ldots \Rightarrow {}(u_n)\) là dãy giảm.

Ta có \(u_n=\displaystyle\frac{3n-1}{3n+1}=1-\displaystyle\frac{2}{3n+1}<1.\)

Mặt khác: \(u_2=\displaystyle\frac{5}{7}>u_1=\displaystyle\frac{1}{2}>0\) nên suy ra dãy \(\left(u_n\right)\) bị chặn.

a. Ta có

\(u_n=\displaystyle\frac{n^2+n+1}{n^2+1}=1+\displaystyle\frac{n}{n^2+1}\).

Suy ra

\(u_{n+1}-u_n=\displaystyle\frac{n+1}{(n+1)^2+1}-\displaystyle\frac{n}{n^2+1}=\displaystyle\frac{n^2+n-1}{(n^2+2n+2)(n^2+1)}>0\), \(\forall n\).

Vậy \((u_n)\) là dãy số tăng.

b. Ta có \(u_n=\displaystyle\frac{4^n-1}{4^n+5}=1-\displaystyle\frac{6}{4^n+5}\).

Suy ra

\(u_{n+1}-u_n=\displaystyle\frac{6}{4^n+5}-\displaystyle\frac{6}{4^{n+1}+5}=\displaystyle\frac{18\cdot 4^n}{(4^n+5)\left(4^{n+1}+5\right)}>0\), \(\forall n\).

Vậy \((u_n)\) là dãy số tăng.

c. Ta có \(u_1=3,\) \(u_2=3,\) \(u_3=3,\) \(\ldots,\) \(u_n=3\), \(\forall n\).

Vậy dãy số đã cho không đổi.

d. Ta có

\(u_{n+1}^2-u_n^2=6+u_n-u_n^2=(u_2+2)(3-u_n)\)

Mặt khác: \(0<u_n<3\), \(\forall n\).

Do đó

\(u_{n+1}^2-u_n^2>0 \Leftrightarrow 0<u_n<u_{n+1}\), \(\forall n\).

Vậy \((u_n)\) là dãy số tăng.

a. Ta có

\(u_n=\sqrt{n+3}-\sqrt{n}=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}>0\), \(\forall n\).

Suy ra

\(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}=\displaystyle\frac{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+4}+\sqrt{n+1}}<1\), \(\forall n\).

Vậy \((u_n)\) là dãy số giảm.

b. Ta có

\(u_n=\displaystyle\frac{\sqrt{n+11}}{n}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{n}+\displaystyle\frac{11}{n^2}}>\sqrt{\displaystyle\frac{1}{n+1}+\displaystyle\frac{11}{(n+1)^2}}=u_{n+1}\), \(\forall n\).

Vậy \((u_n)\) là dãy số giảm.

Xét dãy

\(u_n=\displaystyle\frac{n-1}{n+1}=1-\displaystyle\frac{2}{n+1}\cdot\)

\(\Rightarrow u_{n+1}-u_{n}=-\displaystyle\frac{2}{n+2}+\displaystyle\frac{2}{n+1}=\displaystyle\frac{2}{(n+2)(n+1)}>0\), \(\forall n\in\mathbb{N}^\ast.\)

Do đó dãy \(u_n=\displaystyle\frac{n-1}{n+1}\) là dãy số tăng.

Xét dãy

\(u_n=\displaystyle\frac{2n-1}{n+3}=2-\displaystyle\frac{7}{n+3}\cdot\)

\(u_{n+1}-u_n=-\displaystyle\frac{7}{n+4}+\displaystyle\frac{7}{n+3}=\displaystyle\frac{7}{(n+4)(n+3)}> 0\), \(\forall n\in\mathbb{N}^\ast.\)

Do đó dãy \(u_n=\displaystyle\frac{2n-1}{n+3}\) là dãy số tăng.

Xét dãy

\(u_n=\displaystyle\frac{3n^2-2n+1}{n+1}=3n-5+\displaystyle\frac{6}{n+1}\cdot\)

Xét \(u_{n+1}-u_n=3+\displaystyle\frac{6}{(n+2)(n+1)}>0\), \(\forall n\in\mathbb{N}^\ast.\)

Vậy dãy số \((u_n)\) là dãy số tăng.

Ta có: \(u_{n+1}=\displaystyle\frac{n^2+3n+3}{2n^2+4n+3}\)

Xét

\(u_{n+1}-u_n=\displaystyle\frac{n^2+3n+3}{2n^2+4n+3}-\displaystyle\frac{n^2+n+1}{2n^2+1}=\displaystyle\frac{-2n(n+2)}{(2n^2+4n+3)(2n^2+1)}<0\), \(\forall n\in\mathbb{N}^\ast.\)

Vậy dãy số \((u_n)\) là dãy số giảm.

Ta có \(u_{n+1}=n+1-\sqrt{(n+1)^2-1}=n+1-\sqrt{n^2+2n}\).

\(u_{n+1}-u_n=1+\sqrt{n^2-1}-\sqrt{n^2+2n}\).

Ta có:

\(\begin{aligned} & u_{n+1}-u_n<0 \\ \Leftrightarrow\ & 1+\sqrt{n^2-1}-\sqrt{n^2+2n}<0\\ \Leftrightarrow\ & 1+\sqrt{n^2-1}<\sqrt{n^2+2n}\\ \Leftrightarrow\ & 1+n^2-1+2\sqrt{n^2-1} < n^2+2n\\ \Leftrightarrow\ & \sqrt{n^2-1} < n\\ \Leftrightarrow\ & n^2-1 < n^2\quad \text{(luôn đúng).}\end{aligned}\)

Vậy dãy số \((u_n)\) là dãy số giảm.

Ta có \(u_{n+1}=2n+2-\sqrt{4(n+1)^2-1}=2n+2-\sqrt{4n^2+8n+3}\).

\(u_{n+1}-u_n=2+\sqrt{4n^2-1}-\sqrt{4n^2+8n+3}\).

Ta có:

\(\begin{aligned} & u_{n+1}-u_n<0 \\ \Leftrightarrow\ & 2+\sqrt{4n^2-1}-\sqrt{4n^2+8n+3}<0\\ \Leftrightarrow\ & 2+\sqrt{4n^2-1}<\sqrt{4n^2+8n+3}\\ \Leftrightarrow\ & 3+4n^2+4\sqrt{4n^2-1} < 4n^2+8n+3\\ \Leftrightarrow\ & \sqrt{4n^2-1} < 2n\\ \Leftrightarrow\ & 4n^2-1 < 4n^2\quad \text{(luôn đúng).}\end{aligned}\)

Vậy dãy số \((u_n)\) là dãy số giảm.

Ta có: \(u_n=\displaystyle\frac{\sqrt{n+1}-1}{n} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}\cdot\)

Xét

\( u_{n+1}-u_{n}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n+2}+1} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}= \displaystyle\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2}}{\left(\sqrt{n+2}+1\right) \left(\sqrt{n+1}+1\right) }<0\), \(\forall n\in\mathbb{N}^\ast.\)

Do đó dãy \((u_n)\) là dãy số giảm.

Ta có:

\(u_n=\displaystyle\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3+n}}{n} = \displaystyle\frac{-1}{\sqrt{3}+\sqrt{n+3}}\cdot\)

Xét

\( u_{n+1}-u_{n}=\displaystyle\frac{-1}{\sqrt{3}+\sqrt{n+4}} + \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{n+3}}= \displaystyle\frac{\sqrt{n+4}-\sqrt{n+3}}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{n+4}\right) \left(\sqrt{3}+\sqrt{n+3}\right) }>0\), \(\forall n\in\mathbb{N}^\ast.\)

Do đó dãy \((u_n)\) là dãy số tăng.

Xét

\(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}=\displaystyle\frac{\sqrt{n+1}}{2^{n+1}}\cdot \displaystyle\frac{2^n}{\sqrt{n}} = \displaystyle\frac{\sqrt{{n+1}}}{2\sqrt{n}}\leq \displaystyle\frac{\sqrt{n+n}}{2\sqrt{n}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}<1\), \(\forall n\in\mathbb{N}^\ast.\)

Vậy dãy số \((u_n)\) là dãy số giảm.

Xét

\(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}=\displaystyle\frac{n+2}{3^{n+1}}\cdot \displaystyle\frac{3^n}{n+1} = \displaystyle\frac{n+2}{3(n+1)}<\displaystyle\frac{2(n+1)}{3(n+1)}=\displaystyle\frac{2}{3}<1\), \(\forall n\in\mathbb{N}^\ast.\)

Vậy dãy số \((u_n)\) là dãy số giảm.

Xét \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}=\displaystyle\frac{3^{n+1}}{(n+1)^2}\cdot \displaystyle\frac{n^2}{3^n}=\displaystyle\frac{3n^2}{(n+1)^2}\)

Vậy dãy số \((u_n)\) là dãy số .

Xét

\(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}=\displaystyle\frac{3^{n+1}}{2^{n+2}}\cdot \displaystyle\frac{2^{n+1}}{3^n} = \displaystyle\frac{3}{2}>1\), \(\forall n\in\mathbb{N}^\ast.\)

Vậy dãy số \((u_n)\) là dãy số tăng.

a. Ta có

\(u_n=\displaystyle\frac{2n+3}{n+2}=2-\displaystyle\frac{1}{n+2}\).

Vì \(0<\displaystyle\frac{1}{n+2}\leqslant \displaystyle\frac{1}{3}\), \(\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\).

Suy ra

\(0>-\displaystyle\frac{1}{n+2}\geqslant -\displaystyle\frac{1}{3}\), \(\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\).

Do đó \(2>u_n=2-\displaystyle\frac{1}{n+2}\geqslant \displaystyle\frac{5}{3}\).

Vậy \((u_n)\) là dãy số bị chặn.

b. Dễ thấy \(\displaystyle\frac{1}{2}\leqslant u_n<1\), \(\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\).

Vậy \((u_n)\) là dãy số bị chặn.

c. Dễ thấy \(u_n\geqslant 5\), \(\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\).

Vậy \((u_n)\) là dãy số bị chặn dưới.

Mặt khác, với mọi \(M>4\) lớn tùy ý, ta luôn tìm được \(N_0=\sqrt{M-4}\) để sao cho

\(\forall n>N_0\) ta đều có \(u_n>M\)

tức là không thể tìm được số \(M\) thỏa mãn \(u_n\leqslant M\), \(\forall n\).

Vậy dãy số \((u_n)\) không bị chặn trên.

d. Ta có \(u_n=\displaystyle\frac{n^2+2n}{n^2+n+1}=1+\displaystyle\frac{n-1}{n^2+n+1}\)

Vì \(0\leqslant \displaystyle\frac{n-1}{n^2+n+1}<1\), \(\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\).

Suy ra \(1\leqslant u_n<2\), \(\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\).

Vậy dãy số \((u_n)\) bị chặn.

e. Ta có

\(u_n=\displaystyle\frac{n}{\sqrt{n^2+2n+n}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{2}{n}+1}}\), \(\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\).

Suy ra

\(0<u_n<\displaystyle\frac{1}{2}\). Vậy dãy số \((u_n)\) bị chặn.

f. Ta có

\(\left|u_n\right|=\left|\cos \displaystyle\frac{\pi}{2n}\right|\leqslant 1\), \(\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\).

Suy ra \(-1\leqslant u_n\leqslant 1\). Vậy dãy số \((u_n)\) bị chặn.

a. Ta có

\(u_n=\displaystyle\frac{1}{1\cdot 3}+\displaystyle\frac{1}{3\cdot 5}+\cdots +\displaystyle\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{1}-\displaystyle\frac{1}{3}\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{5}\right)+\cdots +\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{2n-1}-\displaystyle\frac{1}{2n+1}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{1}-\displaystyle\frac{1}{2n+1}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{2(2n+1)}\).

Do đó \(0<u_n<\displaystyle\frac{1}{2}\), \(\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\).

Vậy \((u_n)\) là dãy số bị chặn.

b. Ta có \(0<\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots +\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}<\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n^2}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n^2}}+\cdots +\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n^2}}=\displaystyle\frac{n}{\sqrt{n^2}}=1\), \(\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\).

Do đó \(0<u_n<1\), \(\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\).

Vậy \((u_n)\) là dãy số bị chặn.

a. Xác định \(u_1,\) \(u_2,\) \(u_3,\) \(u_4.\)

Với \(n=1 \Rightarrow u_1=a_1=\displaystyle\frac{1}{1.2}=\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Với \(n=2 \Rightarrow u_2=a_1+a_2=\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{2.(2+1)}=\displaystyle\frac{2}{3}.\)

Với \(n=3\Rightarrow u_3=a_1+a_2+a_3=u_2+a_3=\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{1}{3(3+1)}=\displaystyle\frac{3}{4}.\)

Với \(n=4 \Rightarrow u_4=a_1+a_2+a_3+a_4=u_3+a_4=\displaystyle\frac{3}{4}+\displaystyle\frac{1}{4.5}=\displaystyle\frac{4}{5}.\)

Xác định công thức tổng quát \(u_n\) của dãy số.

Ta có: \(a_k=\displaystyle\frac{1}{k(k+1)}=\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+1}\).

Do đó:

\(u_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k=\left(1-\displaystyle\frac{1}{2}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{3}\right)+\cdots\left(\displaystyle\frac{1}{n-1}-\displaystyle\frac{1}{n}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{n+1}\right)=1-\displaystyle\frac{1}{n+1}=\displaystyle\frac{n}{n+1}\).

b. Xét tính bị chặn.

Với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\) thì \(u_n>0\) nên dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn dưới.

Ta lại có \(u_n=1-\displaystyle\frac{n}{n+1}<1,\forall n \in \mathbb{N}^*\) nên dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn trên.

Do đó dãy số bị chặn.

a. Xác định \(u_1,u_2,u_3,u_4.\)

Với \(n=1 \Rightarrow u_1=a_1=\displaystyle\frac{1}{1.5}=\displaystyle\frac{1}{5}.\)

Với \(n=2 \Rightarrow u_2=a_1+a_2=\displaystyle\frac{1}{5}+\displaystyle\frac{1}{2.6}=\displaystyle\frac{17}{60}.\)

Với \(n=3 \Rightarrow u_3=a_1+a_2+a_3=u_2+a_3=\displaystyle\frac{17}{60}+\displaystyle\frac{1}{3.7}=\displaystyle\frac{139}{420}.\)

Với \(n=4 \Rightarrow u_4=a_1+a_2+a_3+a_4=u_3+a_4=\displaystyle\frac{139}{420}+\displaystyle\frac{1}{4.8}=\displaystyle\frac{1217}{3360}.\)

b. Xác định công thức tổng quát của \(u_n\) của dãy số.

Ta có:

\(a_k=\displaystyle\frac{1}{k(k+4)}=\displaystyle\frac{1}{4}.\displaystyle\frac{4}{k(k+4)}=\displaystyle\frac{1}{4}.\displaystyle\frac{k+4-k}{k(k+4)}=\displaystyle\frac{1}{4}.\left(\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+4}\right).\)

Ta lại có: \(u_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k\).

Do đó

\(\begin{aligned}u_n&=\displaystyle\frac{1}{4}.\left(\displaystyle\frac{1}{1}-\displaystyle\frac{1}{5}\right)+\displaystyle\frac{1}{4}.\left(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{6}\right)+\cdots + \displaystyle\frac{1}{4}.\left(\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{n+4}\right)\\&=\displaystyle\frac{1}{4}\left(\displaystyle\frac{1}{1}+\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{1}{n+1}-\displaystyle\frac{1}{n+2}-\displaystyle\frac{1}{n+3}-\displaystyle\frac{1}{n+4}\right)\\&=\displaystyle\frac{1}{4}\left(\displaystyle\frac{25}{12}-\displaystyle\frac{1}{n+1}-\displaystyle\frac{1}{n+2}-\displaystyle\frac{1}{n+3}-\displaystyle\frac{1}{n+4}\right).\end{aligned}\)

b. Xét tính bị chặn.

Với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\) thì \(u_n>0\) nên dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn dưới.

Ta lại có:

\(u_n==\displaystyle\frac{1}{4}\left(\displaystyle\frac{25}{12}-\displaystyle\frac{1}{n+1}-\displaystyle\frac{1}{n+2}-\displaystyle\frac{1}{n+3}-\displaystyle\frac{1}{n+4}\right)<\displaystyle\frac{1}{4}.\displaystyle\frac{25}{12}=\displaystyle\frac{25}{48}.\)

Do đó dãy số bị chặn.

+) Xác định \(u_1,u_2,u_3,u_4.\)

Với \(n=1 \Rightarrow u_1=a_1=\displaystyle\frac{1}{4.1^2-1}=\displaystyle\frac{1}{3}.\)

Với \(n=2 \Rightarrow u_2=a_1+a_2=\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{1}{4.2^2-1}=\displaystyle\frac{2}{5}.\)

Với \(n=3 \Rightarrow u_3=a_1+a_2+a_3=u_2+a_3=\displaystyle\frac{2}{5}+\displaystyle\frac{1}{4.3^2-1}=\displaystyle\frac{3}{7}.\)

Với \(n=4 \Rightarrow u_4=a_1+a_2+a_3+a_4=u_3+a_4=\displaystyle\frac{3}{7}+\displaystyle\frac{1}{4.4^2-1}=\displaystyle\frac{4}{9}.\)

+) Xác định công thức tổng quát của \(u_n\) của dãy số.

Ta có:

\(a_k=\displaystyle\frac{1}{4k^2-1}=\displaystyle\frac{1}{(2k+1)(2k-1)}=\displaystyle\frac{1}{2}.\displaystyle\frac{(2k+1)-(2k-1)}{(2k+1)(2k-1)}=\displaystyle\frac{1}{2}.\left(\displaystyle\frac{1}{2k-1}-\displaystyle\frac{1}{2k+1}\right).\)

Ta lại có: \(u_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k\).

Do đó

\(\begin{aligned}u_n&=\displaystyle\frac{1}{2}.\left(\displaystyle\frac{1}{1}-\displaystyle\frac{1}{3}\right)+\displaystyle\frac{1}{2}.\left(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{5}\right)+\cdots + \displaystyle\frac{1}{2}.\left(\displaystyle\frac{1}{2n-1}-\displaystyle\frac{1}{2n+1}\right).\\&=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{1}-\displaystyle\frac{1}{2n+1}\right).\\&=\displaystyle\frac{1}{2}.\displaystyle\frac{2n}{2n+1}=\displaystyle\frac{n}{2n+1}.\end{aligned}\)

+) Xét tính bị chặn.

Với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\) thì \(u_n>0\) nên dãy số \(\left(u_n\right)\) bị chặn dưới.

Ta lại có:

\(u_n=\displaystyle\frac{1}{2}.\left(1-\displaystyle\frac{1}{2n+1}\right)<\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Do đó dãy số bị chặn.

a. \(\begin{cases}u_1=3\\ u_{n+1}=u_n+2\end{cases}\)

Với \(n=1 \Rightarrow u_2=u_1+2=3+2=5.\)

Với \(n=2 \Rightarrow u_3=u_2+2=5+2=7.\)

Với \(n=3 \Rightarrow u_4=u_3+2=7+2=9.\)

Với \(n=4 \Rightarrow u_5=u_4+2=9+2=11.\)

Từ các số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tổng quát \(u_n\) có dạng \(u_n=2n+1, \forall n \in \mathbb{N}^{\ast}.\)

Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh \(u_n=2n+1, \forall n \in \mathbb{N}^{\ast} \ (i).\)

+) Với \(n=1 \Rightarrow u_1=2.1+1=3:\) đúng. Do đó \((i)\) đúng khi \(n=1.\)

+) Giả sử \((i)\) đúng với \(n=k\), nghĩa là ta có: \(u_{k}=2k+1.\)

+) Ta cần chứng minh \((i)\) đúng với \(n=k+1\), nghĩa là \(u_{k+1}=2(k+1)+1=2k+3.\)

Thật vậy, từ đề bài ta có: \(u_{n+1}=u_n+2\Rightarrow u_{k+1}=u_k+2=(2k+1)+2=2k+3.\)

Theo nguyên lý quy nạp, thì \(u_n=2n+1, \forall n \in \mathbb{N}^*.\)

b. \(\begin{cases}&u_1=2\\&u_{n+1}=2u_n\end{cases}.\)

Với \(n=1 \Rightarrow u_2=2.u_1=2.2=4.\)

Với \(n=2 \Rightarrow u_3=2.u_2=2.4=8.\)

Với \(n=3 \Rightarrow u_4=2.u_3=2.8=16.\)

Với \(n=4 \Rightarrow u_5=2.u_4=2.16=32.\)

Từ các số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tổng quát \(u_n\) có dạng \(u_n=2^n, \forall n \in \mathbb{N}^{\ast}.\)

Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh \(u_n=2^n, \forall n \in \mathbb{N}^{\ast} \ (i).\)

+) Với \(n=1 \Rightarrow u_1=2^1=2:\) đúng. Do đó \((i)\) đúng khi \(n=1.\)

+) Giả sử \((i)\) đúng với \(n=k\), nghĩa là ta có: \(u_k=2^k.\)

+) Ta cần chứng minh \((i)\) đúng với \(n=k+1\), nghĩa là \(u_{k+1}=2^{k+1}.\)

Thật vậy, từ đề bài ta có: \(u_{n+1}=2u_n \Rightarrow u_{k+1}=2.u_k=2.2^k=2^{k+1}.\)

Theo nguyên lý quy nạp, thì \(u_n=2^n, \forall n \in \mathbb{N}^*.\)

Ta có: \(u_{n+1}=u_n+3n-2 \Rightarrow u_{n+1}-u_n=3n-2.\) Từ đó suy ra:

\(u_1=5.\)

\(u_2-u_1=3.1-2.\)

\(u_3-u_2=3.2-2.\)

\(u_4-u_3=3.3-2\)

\(\cdots\)

\(u_{n-1}-u_{n-2}=3(n-2)-2.\)

\(u_n-u_{n-1}=3(n-1)-2.\)

Cộng từng vế cho \(n\) đẳng thức trên, ta được:

\(\begin{aligned}u_n&=5+3\left[1+2+3+\cdots+(n-1)\right]-2(n-1).\\&=5+\displaystyle\frac{3(n-1)n}{2}-2(n-1)\\ &=5+\displaystyle\frac{3(n-1)n-4(n-1)}{2}\\&=5+\displaystyle\frac{(n-1)(3n-4)}{2}.\end{aligned}\)

Ta có: \(u_{n+1}=10u_n+1-9n.\) Từ đó suy ra:

\(u_1=11=10+1.\)

\(u_2=10.11+1-9=102=100+2=10^2+2.\)

\(u_3=10.102+1-9.2=1003=1000+3=10^3+3.\)

Từ các số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tổng quát \(u_n\) có dạng \(u_n=10^n+n, \forall n \in \mathbb{N}^{\ast}.\)

Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh \(u_n=10^n+n,\, \forall n \in \mathbb{N}^{\ast} \ (i).\)

+) Với \(n=1 \Rightarrow u_1=10^1+1=11\): đúng. Do đó \((i)\) đúng khi \(n=1\).

+) Giả sử \((i)\) đúng với \(n=k\), nghĩa là ta có: \(u_k=10^k+k\).

+) Ta cần chứng minh \((i)\) đúng với \(n=k+1\), nghĩa là cần \(u_{k+1}=10^{k+1}+k+1\).

Thật vậy, từ đề bài ta có: \(u_{k+1}=10u_k+1-9k=10\cdot(10^k+k)+1-9k=10^{k+1}+k+1\).

Theo nguyên lý quy nạp, thì \(u_n=u_n=10^n+n,\, \forall n \in \mathbb{N}^*\).

Ta dùng công thức tổng quát

\(u_n\) \(=u_1+\left(n-1\right)d\) \(=-\displaystyle\frac{1}{2}+\left(n-1\right)\displaystyle\frac{1}{2}\) \(=-1+\displaystyle\frac{n}{2}\), hoặc \({u}_{n+1}\) \(=u_n+d\) \(=u_n+\displaystyle\frac{1}{2}\)

Để tính các số hạng của một cấp số cộng.

Ta có

\(u_1=-\displaystyle\frac{1}{2};\) \(d=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Suy ra

\(u_1=-\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(u_2=u_1+d=0\)

\(u_3-u_2+d=\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(u_4=u_3+d=1\)

\(u_5=u_4+d=\displaystyle\frac{3}{2}\)

Bốn số \(-7;\) \(x;\) \(11;\) \(y\) theo thứ tự \(u_1,\) \(u_2,\) \(u_3,\) \(u_4\) lập thành cấp số cộng nên

\(\begin{cases} u_4-u_3=u_3-u_2 \\ u_4-u_3=u_2-u_1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} y-11=11-x \\ y-11=x+7\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} x+y=22 \\ x-y=-18\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} x=2 \\ y=20.\end{cases}\)

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết bài toán, ta có

\(7,\) \(7+d,\) \(7+2d,\) \(7+3d,\) \(7+4d,\) \(7+5d,\) \(7+6d,\) \(35\)

là một cấp số cộng. Do đó \(35=7+7d \Leftrightarrow d=4\).

Vây sáu số cần tìm là: \(11,\) \(15,\) \(19,\) \(23,\) \(27,\) \(31\).

Ta có \(u_{n+1}-u_n=-5\).

Suy ra cấp số cộng \((u_n)\) có công sai \(d=-5\).

Vậy \(u_{25}=u_1+24d=-9+24.(-5)=-129\).

Từ giả thiết

\(\left\{\begin{aligned} &u_5=-43 \\&u_{21}=-171\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1+4d=-43 \\&u_1+20d=-171\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1=-11 \\&d=-8.\end{aligned}\right. \)

a. Vậy \(d=-8\) và \(u_1=-11\).

b. Ta có \(u_{29}=u_1+28d=-11+28(-8)=-235\).

c. Gọi \(u_n=-16123\). Theo công thức tổng quát của cấp số cộng ta có

\(u_n=u_1+(n-1)d\) \(\Leftrightarrow -16123=-11+(n-1)(-8)\) \(\Leftrightarrow n=2015\).

Vậy \(-16123\) là số hạng thứ \(2015\).

d. Giả sử \(-35\) là số hạng thứ \(k\in {\mathbb{N}}^{*}\) của cấp số cộng.

Ta có

\(u_k=u_1+(k-1)d\) \(\Leftrightarrow -35=-11+(k-1)(-8)\) \(\Leftrightarrow k=4\in {\mathbb{N}}^{*}\).

Vậy \(-35\) thuộc cấp số cộng đã cho và là số hạng thứ 4.

a. Ta có

\(u_{n+1}-u_n=\left[5(n+1)-2\right]-[5n-2]=5\).

Vậy \((u_n)\) là cấp số cộng với công sai \(d=5\).

b. Số hạng đầu \(u_1=5\cdot 1-2=3\).

Vậy

\(S_{50}=\displaystyle\frac{\left(u_1+u_{50}\right)\cdot 50}{2}\) \(=\displaystyle\frac{(2u_1+49d)\cdot 50}{2}\) \(=\displaystyle\frac{(2\cdot 3+49\cdot 5)\cdot 50}{2}\) \(=6275\).

c. Ta có

\(S_n=\displaystyle\frac{(u_1+u_n)\cdot n}{2}\) \(=\displaystyle\frac{\left[2u_1+(n-1)d\right]\cdot n}{2}\) \(=\displaystyle\frac{\left[2\cdot 3+(n-1)\cdot 5\right]\cdot n}{2}\) \(=2576\)

\( \Leftrightarrow 5n^2+n-5152=0 \Leftrightarrow n=32\) hoặc \(n=-\displaystyle\frac{161}{5}\) (loại).

Vậy \(n=32\).

a. Ta có

\(\left\{\begin{aligned} &u_9=5u_2 \\&u_{13}=2u_6+5\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1+8d=5(u_1+d) \\&u_1+12d=2(u_1+5d)+5\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &4u_1-3d=0 \\&u_1-2d=-5\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1=3 \\&d=4.\end{aligned}\right. \)

b. Ta có

\(\left\{\begin{aligned} &u_1+u_5-u_3=10 \\&u_1+u_6=7\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1+(u_1+4d)-(u_1+2d)=10 \\&u_1+(u_1+5d)=7\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1+2d=10 \\&2u_1+5d=7\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1=36 \\&d=-13.\end{aligned}\right. \)

c. Ta có

\(\left\{\begin{aligned} &-u_3+u_7=8 \\&u_2.u_7=75\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &-(u_1+2d)+u_1+6d=8 \\&(u_1+d)(u_1+6d)=75\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &4d=8 \\&(u_1+d)(u_1+6d)=75\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &d=2 \\&u_1^2+14u_1-51=0\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1=3 \\&d=2\end{aligned}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{aligned} &u_1=-17 \\&d=2.\end{aligned}\right.\)

d. Ta có

\(\left\{\begin{aligned} &u_5=4u_3 \\&u_2u_6=-11\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &(u_1+4d)=4(u_1+2d) \\&(u_1+d)(u_1+5d)=-11\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& 3u_1+4d=0 & (1) \\ & (u_1+d)(u_1+5d)=-11. & (2)\end{aligned}\right. \)

Từ \((1)\) suy ra \(d=-\displaystyle\frac{3}{4}u_1\). Thay vào \((2)\), ta được

\(\left(u_1-\displaystyle\frac{3}{4}u_1\right)\left[u_1+5\left(-\displaystyle\frac{3}{4}u_1\right)\right]=-11\) \(\Leftrightarrow \left(\displaystyle\frac{1}{4}u_1\right)\left(-\displaystyle\frac{11}{4}u_1\right)=-11\) \(\Leftrightarrow u_1^2=16\) \(\Leftrightarrow u_1=\pm 4\).

Vậy \(\left\{\begin{aligned} &u_1=4 \\&d=-3\end{aligned}\right. \) hoặc \(\left\{\begin{aligned} &u_1=-4 \\&d=3.\end{aligned}\right. \)

a. Ta có

\(\left\{\begin{aligned} &u_2+u_4+u_6=36 \\&u_2u_3=54\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &(u_1+d)+(u_1+3d)+(u_1+5d)=36 \\&(u_1+d)(u_1+2d)=54 \end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& u_1+3d=12 & (1) \\ & (u_1+d)(u_1+2d)=54. & (2) \\ \end{aligned}\right.\)

Từ \((1)\) suy ra \(u_1=12-3d\).

Thay vào \((2)\), ta được

\((12-2d)(12-d)=54\) \(\Leftrightarrow d^2-18d+45=0\) \(\Leftrightarrow d=3\) hoặc \(d=15\).

Vậy \(\left\{\begin{aligned} &u_1=3 \\&d=3\end{aligned}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{aligned} &u_1=-33 \\&d=15.\end{aligned}\right. \)

b. Ta có

\(\left\{\begin{aligned} &u_1+u_2+u_3=9 \\&u_1u_2u_3=-21 \end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1+(u_1+d)+(u_1+2d)=9 \\&u_1(u_1+d)(u_1+2d)=-21 \end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& u_1+d=3 & (1) \\ & u_1(u_1+d)(u_1+2d)=-21. & (2) \\ \end{aligned}\right.\)

Từ \((1)\) suy ra \(d=3-u_1\).

Thay vào \((2)\), ta được

\(u_1(u_1+3-u_1)\left[u_1+2(3-u_1)\right]=-21\) \(\Leftrightarrow u_1^2-6u_1-7=0\) \(\Leftrightarrow u_1=-1\) hoặc \(u_1=7\).

Vậy \(\left\{\begin{aligned} &u_1=-1 \\&d=4 \end{aligned}\right. \) hoặc \(\left\{\begin{aligned} &u_1=7 \\&d=-4. \end{aligned}\right.\)

c. Ta có

\(\left\{\begin{aligned} &u_1+u_7=4 \\&u_3^2+u_7^2=122 \end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1+(u_1+6d)=4 \\&{(u_1+2d)}^2+{(u_1+6d)}^2=122 \end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& u_1+3d=2 & (1) \\ & {(u_1+2d)}^2+{(u_1+6d)}^2=122. & (2) \\ \end{aligned}\right. \)

Từ \((1)\) suy ra \(u_1=2-3d\).

Thay vào \((2)\), ta được

\((2-d)^2+(2+3d)^2=122\) \(\Leftrightarrow 5d^2+4d-57=9\) \(\Leftrightarrow d=3\) hoặc \(d=-\displaystyle\frac{19}{5}\).

Vậy \(\left\{\begin{aligned}&u_1=-7 \\&d=3 \end{aligned}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{aligned} &u_1=\displaystyle\frac{67}{5} \\&d=-\displaystyle\frac{19}{5}. \end{aligned}\right. \)

d. Ta có

\(\begin{aligned} &\left\{\begin{aligned} &u_1+u_2+u_3=27 \\&u_1^2+u_2^2+u_3^2=275 \end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left\{\begin{aligned} &u_1+(u_1+d)+(u_1+2d)=27 \\&u_1^2+{(u_1+d)}^2+{(u_1+2d)}^2=275 \end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ & \left\{\begin{aligned}& u_1+d=9 & (1) \\ & u_1^2+{(u_1+d)}^2+{(u_1+2d)}^2=275. & (2) \end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Từ \((1)\) suy ra \(d=9-u_1\).

Thay vào \((2)\), ta được

\(u_1^2+{(u_1+9-u_1)}^2+{\left[u_1+2(9-u_1)\right]}^2=275\) \(\Leftrightarrow u_1^2-18u_1+65=0\) \(\Leftrightarrow u_1=13\) hoặc \(u_1=5\).

Vậy \(\left\{\begin{aligned} &u_1=13 \\&d=-4 \end{aligned}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{aligned} &u_1=5 \\&d=4. \end{aligned}\right. \)

a. Ta có

\(\begin{aligned} & \left\{\begin{aligned} &u_3+u_5=14 \\&S_{12}=129 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_3+u_5=14 \\&\displaystyle\frac{\left(u_1+u_{12}\right)\cdot 12}{2}=129 \end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow& \left\{\begin{aligned} &(u_1+2d)+(u_1+4d)=14 \\&(2u_1+11d)\cdot 6=129 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &2u_1+6d=14 \\&6(2u_1+11d)=129 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1=\displaystyle\frac{5}{2} \\&d=\displaystyle\frac{3}{2}. \end{aligned}\right.\end{aligned}\)

b. Ta có

\(\left\{\begin{aligned} &S_{16}=\displaystyle\frac{152\sqrt{2}}{3} \\&S_{21}=3S_{10} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &\displaystyle\frac{(2u_1+15d)\cdot 16}{2}=\displaystyle\frac{152\sqrt{2}}{3} \\&\displaystyle\frac{(2u_1+20d)\cdot 21}{2}=3\cdot \displaystyle\frac{(2u_1+9d)\cdot 10}{2} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1=\displaystyle\frac{5\sqrt{2}}{3} \\&d=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{5}. \end{aligned}\right. \)

c. Ta có

\(\left\{\begin{aligned} &u_1=1 \\&5S_5=S_{10} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1=1 \\&5\cdot \displaystyle\frac{(2u_1+4d)\cdot 5}{2}=\displaystyle\frac{(2u_1+9d)\cdot 10}{2} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1=1 \\&d=-3. \end{aligned}\right. \)

d. Ta có

\(\begin{aligned} & \left\{\begin{aligned} &S_5-S_2-u_5=0{,}1 \\&S_4+u_7=0{,}1 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &\displaystyle\frac{(2u_1+4d)\cdot 5}{2}-\displaystyle\frac{(2u_1+d)\cdot 2}{2}-(u_1+4d)=0{,}1 \\&\displaystyle\frac{(2u_1+3d)\cdot 4}{2}+(u_1+6d)=0{,}1 \end{aligned}\right.\\&\Leftrightarrow& \left\{\begin{aligned} &2u_1+5d=0{,}1 \\&5u_1+12d=0{,}1 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1=-0{,}7 \\&d=0{,}3. \end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Ta có

\(u_{2015}+u_{2016}=500\) \(\Leftrightarrow (u_1+2014d)+(u_1+2015d)=500\) \(\Leftrightarrow 2u_1+4029d=500\).

Tổng \(4030\) số hạng đầu tiên

\(S_{4030}\) \(=\displaystyle\frac{(2u_1+4029d)\cdot 4030}{2}\) \(=\displaystyle\frac{500\cdot 4030}{2}\) \(=1007500\).

Gọi cấp số cộng cần tìm là \(u_1,u_2,\ldots,u_7\) với công sai \(d>0\).

Theo giả thiết bài toán, ta có

\(\left\{\begin{aligned} &u_4=11 \\&u_5-u_3=6 \end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1+3d=11 \\&(u_1+4d)-(u_1+2d)=6 \end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1=2 \\&d=3.\end{aligned}\right. \)

Vậy cấp số cộng cần tìm là \(2,\) \(5,\) \(8,\) \(11,\) \(14,\) \(17,\) \(20\).

Gọi \((u_n)\) là cấp số cộng với công sai \(d\).

Theo giả thiết, ta có

\(\left\{\begin{aligned} &u_1=102 \\&u_2=105 \end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1=102 \\&u_1+d=105 \end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1=102 \\&d=3. \\\end{aligned}\right. \)

Hơn nữa, ta lại có

\(u_n=999\) \(\Leftrightarrow u_1+(n-1)d=999\) \(\Leftrightarrow 102+(n-1)d=999\) \(\Leftrightarrow n=300\).

Suy ra cấp số cộng \((u_n)\) có tất cả \(300\) số hạng nên

\(u_1+u_2+\cdots +u_{300}\) \(=S_{300}\) \(=\displaystyle\frac{(2u_1+299d)\cdot 300}{2}\) \(=165150\).

a. Theo công thức truy hồi của dãy số \((u_n)\), suy ra \(u_{n+1}-u_n=3n-2\).

Do đó

\(v_n=u_{n+1}-u_n=3n-2\).

Ta có

\(v_{n+1}-v_n=\left[3(n+1)-2\right]-(3n-2)=3\), \(\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\).

Vậy \((v_n)\) là một cấp số cộng với

\(\left\{\begin{aligned} &v_1=3\cdot 1-2=1 \\&d=3. \end{aligned}\right. \)

b. Do

\(\begin{aligned}v_n=&\left(u_n-u_{n-1}\right)+\left(u_{n-1}-u_{n-2}\right)+\cdots +(u_2-u_1)+u_1 \\ =&v_{n-1}+v_{n-2}+\cdots +v_1+2.\end{aligned}\)

Mà

\(\begin{aligned}&v_{n-1}+v_{n-2}+\cdots +v_1\\ =&S_{n-1}=\displaystyle\frac{\left[2v_1+(n-2)d\right](n-1)}{2}\\ =&\displaystyle\frac{\left[2+(n-2)\cdot 3\right](n-1)}{2}=\displaystyle\frac{(3n-4)(n-1)}{2}.\end{aligned}\)

Vậy \(u_n=\displaystyle\frac{(n-1)(3n-4)}{2}+2=\displaystyle\frac{3n^2-4n+8}{2}\).

Áp dụng công thức \(u_n=u_1+(n-1)\cdot d\).

Ta có:

\(\begin{aligned} &\begin{cases}u_2+u_5-u_3=10 \\ u_4+u_6=26\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (u_1+d)+(u_1+4d)-(u_1+2d)=10 \\ (u_1+3d)+(u_1+5d)=26\end{cases}\\ \Leftrightarrow& \begin{cases} u_1+3d=10 \\ 2u_1+8d=26\end{cases}\\ \Leftrightarrow &\begin{cases}u_1=1\\ d=3.\end{cases}\end{aligned}\)

Khi đó: \(u_{20}=u_1+19d=1+19\cdot 3=58\) và

\(S_n=\displaystyle\frac{n}{2}(u_1+u_n)\) \(\Rightarrow S_{20}=\displaystyle\frac{20}{2}(1+58)=590\).

Kết luận: \(u_1=1\), \(d=3\), \(u_{20}=58\), \(S_{20}=590\).

Áp dụng công thức \(u_n=u_1+(n-1)\cdot d\).

Ta có:

\(\begin{aligned}&\begin{cases}u_2-u_3+u_5=10 \\ u_2+u_7=17\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} (u_1+d)-(u_1+2d)+(u_1+4d)=10 \\ (u_1+d)+(u_1+6d)=17\end{cases}\\ \Leftrightarrow &\begin{cases} u_1+3d=10 \\ 2u_1+7d=17\end{cases}\\ \Leftrightarrow &\begin{cases}u_1=19\\ d=-3.\end{cases}\end{aligned}\)

Khi đó: \(u_{20}=u_1+19d=19+19\cdot (-3)=-38\) và

\(S_n=\displaystyle\frac{n}{2}(u_1+u_n)\)

\(\Rightarrow S_{20}=\displaystyle\frac{20}{2}\left[19+(-38) \right]=-190\).

Kết luận: \(u_1=19\), \(d=-3\), \(u_{20}=-38\), \(S_{20}=-190\).

Áp dụng công thức \(u_n=u_1+(n-1)\cdot d\).

Ta có:

\(\begin{aligned}&\begin{cases}&u_9=5u_2 \\& u_{13}=2u_6+5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}& u_1+8d=5(u_1+d) \\& u_1+12d=2(u_1+5d)+5\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases}& 4u_1-3d=0 \\& u_1-2d=-5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}&u_1=3\\& d=4.\end{cases}\end{aligned}\)

Khi đó: \(u_{10}=u_1+9d=3+9\cdot 4=39\) và

\(S_n=\displaystyle\frac{n}{2}(u_1+u_n)\) \(\Rightarrow S_{10}=\displaystyle\frac{10}{2}\left(3+39 \right)=210\).

Kết luận: \(u_1=3\), \(d=4\), \(u_{10}=39\), \(S_{10}=210\).

Áp dụng công thức \(u_n=u_1+(n-1)\cdot d\).

Ta có:

\(\begin{aligned}&\begin{cases}u_2+u_4-u_6=-7 \\ u_8-u_7=2u_4\end{cases}\\ \Leftrightarrow &\begin{cases} (u_1+d)+(u_1+3d)-(u_1+5d)=-7 \\ (u_1+7d)-(u_1+6d)=2(u_1+3d)\end{cases}\\ \Leftrightarrow &\begin{cases} u_1-d=-7 \\ 2u_1+5d=0\end{cases}\\ \Leftrightarrow &\begin{cases}u_1=-5\\ d=2.\end{cases}\end{aligned}\)

Khi đó: \(u_{10}=u_1+9d=-5+9\cdot 2=13\) và

\(S_n=\displaystyle\frac{n}{2}(u_1+u_n)\) \(Rightarrow S_{10}=\displaystyle\frac{10}{2}\left(-5+13 \right)=40\).

Kết luận: \(u_1=-5\), \(d=2\), \(u_{10}=13\), \(S_{10}=40\).

Áp dụng công thức \(u_n=u_1+(n-1)\cdot d\).

Ta có:

\(\begin{aligned}&\begin{cases}u_3-u_7=-8\\ u_2\cdot u_7 =75\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}(u_1+2d)-(u_1+6d)=-8\\ (u_1+d)\cdot (u_1+6d)=75\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}-4d=-8\\ (u_1+d)\cdot (u_1+6d)=75\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}d=2\\ (u_1+2)\cdot (u_1+6\cdot 2)=75\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}d=2\\ u_1^2+14u_1-51=0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}d=2\\ \left[\begin{aligned}&u_1=3\\& u_1=-17\end{aligned}\right.\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&\begin{cases} u_1=3\\ d=2\end{cases} \\&\begin{cases}u_1=-17\\d=2.\end{cases}\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Vậy \(u_1=3\), \(d=2\) hoặc \(u_1=-17\), \(d=2\).

Áp dụng công thức \(u_n=u_1+(n-1)\cdot d\).

Ta có:

\(\begin{aligned}&\begin{cases}u_3+u_5=14\\ S_{12}=129\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}(u_1+2d)+(u_1+4d)=14\\ \displaystyle\frac{12}{2}(u_1+u_{12})=129\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}2u_1+6d=14\\ 6\left[u_1+(u_1+11d) \right]=129\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}2u_1+6d=14\\ 12u_1+66d=129\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} u_1=\displaystyle\frac{5}{2} \\ d=\displaystyle\frac{3}{2}.\end{cases}\end{aligned}\)

Vậy \(u_1=\displaystyle\frac{5}{2}\), \(d=\displaystyle\frac{3}{2}\).

Áp dụng công thức \(u_n=u_1+(n-1)\cdot d\).

Ta có:

\(\begin{aligned}&\begin{cases}u_6=8\\ u_2^2+u_4^2=16\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1+5d=8\\ (u_1+d)^2+(u_1+3d)^2=16\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=8-5d\\ (8-5d+d)^2 +(8-5d+3d)^2=16\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=8-5d\\ (8-4d)^2+(8-2d)^2=16\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} u_1=8-5d \\ 20d^2-96d+112=0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=8-5d\\ \left[\begin{aligned}&d=2 \\ &d=\displaystyle\frac{14}{5}\end{aligned}\right.\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=8-5\cdot 2\\ d=2\quad (d\in \mathbb{Z})\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=-2\\d=2.\end{cases}\end{aligned}\)

Vậy \(u_1=-2\), \(d=2\).

Áp dụng công thức

\(u_n=u_1+(n-1)\cdot d\).

\(\begin{aligned}&\begin{cases}u_1+u_2+u_3=9\\ u_1^2+u_2^2+u_3^2=35\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} u_1+(u_1+d)+(u_1+2d)=9\\ u_1^2+(u_1+d)^2+(u_1+2d)^2=35\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}3u_1+3d=9 \\ u_1^2+(u_1+d)^2+(u_1+2d)^2=35\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=3-d\\ (3-d)^2+(3-d+d)^2+(3-d+2d)^2=35\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=3-d \\ 2d^2-8=0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=3-d\\ \left[\begin{aligned}&d=-2\\&d=2.\end{aligned}\right.\end{cases}\end{aligned}\)

Vì \((u_n)\) là cấp số cộng giảm nên \(d<0\). Do đó \(d=-2\). Khi đó: \(u_1=3-(-2)=5\).\\

Vậy \(u_1=5\) và \(d=-2\).

Áp dụng công thức \(u_n=u_1+(n-1)\cdot d\) và \(S_n=\displaystyle\frac{n}{2}(u_1+u_n)\).

Ta có:

\(\begin{aligned}&\begin{cases} u_1^2+u_2^2+u_3^2=155\\ S_3=21\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} u_1^2+(u_1+d)^2+(u_1+2d)^2=155\\ \displaystyle\frac{3}{2}(u_1+u_3)=21\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} u_1^2+(u_1+d)^2+(u_1+2d)^2=155\\ 2u_1+2d=14\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=7-d\\ (7-d)^2+(7-d+d)^2+(7-d+2d)^2=155\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=7-d\\ 2d^2-8=0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=7-d\\ \left[\begin{aligned}&d=2\\&d=-2.\end{aligned}\right.\end{cases}\end{aligned}\)

Vì \((u_n)\) là cấp số cộng tăng nên \(d>0\).

Do đó \(d=2\). Khi đó \(u_1=7-2=5\).

Vậy \(u_1=5\) và \(d=2\).

Áp dụng công thức \(u_n=u_1+(n-1)d\) và \(S_n=\displaystyle\frac{n}{2}(u_1+u_n)\).

Ta có:

\(\begin{aligned}&\begin{cases} u_5=18 \\ 4S_n=S_{2n}\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} u_1+4d=18 \\ 4.\displaystyle\frac{n}{2}(u_1+u_n)=\displaystyle\frac{2n}{2}(u_1+u_{2n})\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1+4d=18 \\2(u_1+u_n)=u_1+u_{2n}\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1+4d=18 \\ 2\left[ u_1+u_1+(n-1)d\right]=u_1+u_1+(2n-1)d\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} u_1+4d=18 \\ 4u_1+2(n-1)d=2u_1+(2n-1)d\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1+4d=18 \\ 2u_1-d=0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1=2 \\ d=4.\end{cases}\end{aligned}\)

Vậy \(u_1=2\) và \(d=4\).

Áp dụng công thức \(u_n=u_1+(n-1)d\).

Ta có:

\(u_3+u_{13}=80\) \(\Leftrightarrow (u_1+2d)+(u_1+12d)=80 \) \(\Leftrightarrow 2u_1+14d=80\).

Áp dụng công thức \(S_n=\displaystyle\frac{n}{2}(u_1+u_n)\).

Ta có:

\(S_{15}=\displaystyle\frac{15}{2}(u_1+u_{15})\) =\(\displaystyle\frac{15}{2}\left[u_1+(u_1+14d)\right]\) =\(\displaystyle\frac{15}{2}(2u_1+14d)\) =\(\displaystyle\frac{15}{2}\cdot 80=600.\)

Vậy \(S_{15}=600\).

Áp dụng công thức \(u_n=u_1+(n-1)d\).

Ta có:

\(u_{2013}+u_{6}=1000\) \(\Leftrightarrow (u_1+2012d)+(u_1+5d)=1000 \) \(\Leftrightarrow 2u_1+2017d=1000\).

Áp dụng công thức \(S_n=\displaystyle\frac{n}{2}(u_1+u_n)\).

\(S_{2018}=\displaystyle\frac{2018}{2}(u_1+u_{2018})\) \(=\displaystyle\frac{2018}{2}\left[u_1+(u_1+2017d)\right]\) \(=\displaystyle\frac{2018}{2}(2u_1+2017d)\) \(=\displaystyle\frac{2018}{2}\cdot 1000\) \(=1009000.\)

Vậy \(S_{2018}=1009000\).

Ta có: \(d=u_2-u_1=u_3-u_2=u_4-u_3=u_5-u_4\) nên nhân \(d\neq 0\) hai vế, ta được:

\(\begin{aligned}&\displaystyle\frac{1}{u_1u_2}+\displaystyle\frac{1}{u_2u_3}+\displaystyle\frac{1}{u_3u_4}+\displaystyle\frac{1}{u_4u_5}=\displaystyle\frac{1}{2}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle\frac{u_2-u_1}{u_1u_2}+\displaystyle\frac{u_3-u_2}{u_2u_3}+\displaystyle\frac{u_4-u_3}{u_3u_4}+\displaystyle\frac{u_5-u_4}{u_4u_5}=\displaystyle\frac{d}{2}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{u_1}-\displaystyle\frac{1}{u_2}+\displaystyle\frac{1}{u_2}-\displaystyle\frac{1}{u_3}+\displaystyle\frac{1}{u_3}-\displaystyle\frac{1}{u_4}+\displaystyle\frac{1}{u_4}-\displaystyle\frac{1}{u_5}=\displaystyle\frac{d}{2}\\ &\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{u_1}-\displaystyle\frac{1}{u_5}=\displaystyle\frac{d}{2}.\end{aligned}\)

Ta có \(u_5=2u_1 \Leftrightarrow u_1+4d=2u_1\) \(\Leftrightarrow u_1=4d.\)

Khi đó \(u_5=2u_1=2\cdot 4d=8d\).

Thay vào biểu thức

\(\displaystyle\frac{1}{u_1}-\displaystyle\frac{1}{u_5}=\displaystyle\frac{d}{2}\) \( \Rightarrow \displaystyle\frac{1}{4d}-\displaystyle\frac{1}{8d}=\displaystyle\frac{d}{2}\) \(\Leftrightarrow d^2=\displaystyle\frac{1}{4}\) \(\Leftrightarrow d=\pm \displaystyle\frac{1}{2}\).

Vì \(u_1<0\) và \(u_1=4d\) nên \(d<0\), do đó \(d=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

Suy ra \(u_1=4d=4\cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)=-2\).

Vậy \(u_1=-2\) và \(d=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

Áp dụng công thức \(S_n=\displaystyle\frac{n}{2}(u_1+u_{n})\).

\(S_{100}=\displaystyle\frac{100}{2}(u_1+u_{100})\) \(=50(u_1+u_1+99d)\) \(=50(2u_1+99d)\) \(=50(2\cdot 1 +99d)\) \(=24850\)

\(\Leftrightarrow d=5\).

Khi đó \(u_{50}=u_1+49d=1+49\cdot 5=246\).

Ta có: \(d=u_2-u_1=u_3-u_2=\ldots =u_{50}-u_{49}\) nên nhân \(d\neq 0\) hai vế, ta được:

\(\begin{aligned}&dS= \displaystyle\frac{u_2-u_1}{u_1u_2}+\displaystyle\frac{u_3-u_2}{u_2u_3}+\ldots +\displaystyle\frac{u_{50}-u_{49}}{u_{49}u_{50}}\\ &\Leftrightarrow dS= \displaystyle\frac{1}{u_1}-\displaystyle\frac{1}{u_2}+\displaystyle\frac{1}{u_2}-\displaystyle\frac{1}{u_3}+\ldots +\displaystyle\frac{1}{u_{49}}-\displaystyle\frac{1}{u_{50}}\\ &\Leftrightarrow dS=\displaystyle\frac{1}{u_1}-\displaystyle\frac{1}{u_{50}}\end{aligned}\)

Thay \(d=5\), \(u_1=1\) và \(u_{50}=246\) ta được:

\(5\cdot S=\displaystyle\frac{1}{1}-\displaystyle\frac{1}{246}\) \(\Leftrightarrow S=\displaystyle\frac{49}{246}\).

Áp dụng công thức \(S_n=\displaystyle\frac{n}{2}(u_1+u_{n})\).

\(S_{100}=\displaystyle\frac{100}{2}(u_1+u_{100})\) \(=50(u_1+u_1+99d)\) \(=50(2u_1+99d)\) \(=50(2\cdot 1 +99d)\) \(=14950\) \(\Leftrightarrow d=3\).

Ta có \(u_{2018}=u_1+2017d=1+2017\cdot 3=6052\).

Xét

\(\displaystyle\frac{1}{u_{k+1}\sqrt{u_k}+u_k\sqrt{u_{k+1}}}\) \(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{u_{k+1}}\cdot \sqrt{u_k}\cdot (\sqrt{u_{k+1}}+\sqrt{u_k})}\) \(=\displaystyle\frac{1}{d}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{u_{k+1}}-\sqrt{u_k}}{\sqrt{u_k}\cdot \sqrt{u_{k+1}}}\) \(=\displaystyle\frac{1}{d}\left( \displaystyle\frac{1}{\sqrt{u_k}}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{u_{k+1}}} \right).\)

Khi đó

\(\begin{aligned}S&=\displaystyle\frac{1}{d}\cdot \left( \displaystyle\frac{1}{\sqrt{u_1}}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{u_2}}\right)+\displaystyle\frac{1}{d}\cdot \left( \displaystyle\frac{1}{\sqrt{u_2}}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{u_3}}\right)+\ldots \displaystyle\frac{1}{d}\cdot \left( \displaystyle\frac{1}{\sqrt{u_{2017}}}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{u_{2018}}}\right)\\ &=\displaystyle\frac{1}{d}\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{u_1}} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{u_2}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{u_2}} -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{u_3}}+\ldots +\displaystyle\frac{1}{\sqrt{u_{2017}}}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{u_{2018}}} \right)\\ &=\displaystyle\frac{1}{d}\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{u_1}}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{u_{2018}}} \right)\\ &=\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1}}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6052}}\right)=\displaystyle\frac{1}{3}\left( 1 - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{6052}}\right).\end{aligned}\)

Vậy \(S=\displaystyle\frac{1}{3}\left(1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{6052}}\right)\).

Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng \(3n\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)\) nên chúng lập thành cấp số cộng

\(u_n=3n\Rightarrow\begin{cases} u_1=3 \\ u_{50}=150\end{cases}\) \(\Rightarrow S_{50}=\displaystyle\frac{50}{2}\left(u_1+u_{50}\right)=3825\)

Chú ý: \(S_n=\displaystyle\frac{n}{2}\left(u_1+u_n\right)\) \(=nu_1+\displaystyle\frac{n\left(n-1\right)}{2}d.\)

Ta có

\(\begin{cases}d=-2 \\ 72=S_8=8u_1+\displaystyle\frac{8\cdot 7}{2}d\end{cases}\) \(\Rightarrow72=8u_1+28.\left(-2\right)\Leftrightarrow u_1=16.\)

a. Ta thấy các số hạng của tổng \(A\) tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1=15\) và công sai \(d=5\).

Giả sử tổng trên có \(n\) số hạng thì

\(u_n=7515 \Leftrightarrow u_1+(n-1)d=7515\) \(\Leftrightarrow 15+(n-1)5=7515 \Leftrightarrow n=1501.\)

Vậy

\(A=S_{1501}=\displaystyle\frac{(2u_1+1500d)\cdot 1501}{2}\) \(=\displaystyle\frac{(2\cdot 15+1500\cdot 5)\cdot 1501}{2}=5651265\).

b. Ta có

\(B=1\cdot (1000+999)+1\cdot (998+997)+\cdots +1\cdot (2+1)=1999+1995+\cdots +3\).

Ta thấy các số hạng của tổng \(B\) tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1=1999\) và công sai \(d=-4\).

Giả sử tổng trên có \(n\) số hạng thì

\(u_n=3 \Leftrightarrow u_1+(n-1)d=3\) \(\Leftrightarrow 1999+(n-1)(-4)=3 \Leftrightarrow n=500.\)

Vậy

\(B=S_{500}=\displaystyle\frac{\left(u_1+u_{500}\right).500}{2}\) \(=\displaystyle\frac{(1999+3)\cdot 500}{2}=5000500\).

Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng là \(x-d\); \(x\); \(x+d\).

Theo đề bài ta có

\(\begin{cases}(x-d)+x+(x+d)=27\\ (x-d)^2+x^2+(x+d)^2=293\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}3x=27\\ 3x^2+2d^2=293\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=9\\ d^2=25\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x=9\\ d=\pm 5.\end{cases}\)

Với \(x=9\), \(d=-5\) ta có CSC là \(14\); \(9\); \(4\).

Với \(x=9\), \(d=5\) ta có CSC là \(4\); \(9\); \(14\).

Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng là \(x-d\); \(x\); \(x+d\).

Theo đề bài ta có

\(\begin{cases}(x-d)+x+(x+d)=18\\ (x-d)(x+d)=27\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} 3x=18\\ x^2-d^2=27\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x=6\\ d^2=9\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x=6\\ d=\pm 3.\end{cases}\)

Với \(x=6\), \(d=-3\) ta có CSC là \(9\); \(6\); \(3\).

Với \(x=6\), \(d=3\) ta có CSC là \(3\); \(6\); \(9\).

Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng là \(x-d\); \(x\); \(x+d\).

Theo đề bài ta có

\(\begin{cases}(x-d)+x+(x+d)=15\\ (x-d)^2+x^2+(x+d)^2=83\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}3x=15\\ 3x^2+2d^2=83\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=5\\ d^2=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x=5\\ d=\pm 2.\end{cases}\)

Vì CSC cần tìm là CSC giảm nên \(d<0\). Do đó \(d=-2\).

Với \(x=5\) và \(d=-2\) ta có CSC là \(7\); \(5\); \(3\).

Gọi \(5\) số hạng liên tiếp của cấp số cộng là

\(x-2d\); \(x-d\); \(x\); \(x+d\); \(x+2d\).

Theo đề bài ta có:

\(\begin{aligned}&\begin{cases}(x-2d)+(x-d)+x+(x+d)+(x+2d)=40\\ (x-2d)^2+(x-d)^2+x^2+(x+d)^2+(x+2d)^2=480\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}5x=40\\ 5x^2+10d^2=480\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}x=8\\ d^2=16\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}x=8\\ d=\pm 4.\end{cases}\end{aligned}\)

Vì CSC cần tìm là CSC tăng nên \(d>0\). Do đó \(d=4\).

Với \(x=8\) và \(d=4\) ta có CSC là

\(0\); \(4\); \(8\); \(12\); \(16\).

Gọi \(x-3d\), \(x-d\), \(x+d\), \(x+3d\) là bốn số hạng liên tiếp cần tìm của cấp số cộng.

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}(x-3d)+(x-d)+(x+d)+(x+3d)=10\\ (x-3d)^2+(x-d)^2+(x+d)^2+(x+3d)^2=30\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}4x=10\\ 4x^2+20d^2=30\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}x=\displaystyle\frac{5}{2}\\ d=\pm \displaystyle\frac{1}{2}.\end{cases}\)

Vì là cấp số cộng tăng nên \(d=\displaystyle\frac{1}{2}\) và \(x=\displaystyle\frac{5}{2}\).

Bốn số hạng liên tiếp của cấp số cộng thoả mãn bài toán là

\(1\), \(2\), \(3\), \(4\).

Gọi \(x-3d\), \(x-d\), \(x+d\), \(x+3d\) là bốn số hạng liên tiếp cần tìm của cấp số cộng.

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}(x-3d)+(x-d)+(x+d)+(x+3d)=16\\ (x-3d)^2+(x-d)^2+(x+d)^2+(x+3d)^2=84\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}4x=16\\ 4x^2+20d^2=84\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x=4\\ d=\pm 1.\end{cases}\)

Vì là cấp số cộng giảm nên \(d=-1\) và \(x=4\).

Bốn số hạng liên tiếp của cấp số cộng thoả mãn bài toán là

\(7\); \(5\); \(3\); \(1\).

Gọi \(x-3d\), \(x-d\), \(x+d\), \(x+3d\) là bốn số hạng liên tiếp cần tìm của cấp số cộng.

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}(x-3d)+(x-d)+(x+d)+(x+3d)=34\\ (x-3d)^2+(x-d)^2+(x+d)^2+(x+3d)^2=414\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}4x=34\\ 4x^2+20d^2=414\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x=\displaystyle\frac{17}{2}\\ d=\pm \displaystyle\frac{5}{2}.\end{cases}\)

Vì là cấp số cộng giảm nên \(d=-\displaystyle\frac{5}{2}\) và \(x=\displaystyle\frac{17}{2}\).

Bốn số hạng liên tiếp của cấp số cộng thoả mãn bài toán là

\(16\); \(11\); \(6\); \(1\).

Gọi \(x-3d\), \(x-d\), \(x+d\), \(x+3d\) là bốn số hạng liên tiếp cần tìm của cấp số cộng.

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}(x-3d)+(x-d)+(x+d)+(x+3d)=20\\ (x-3d)^2+(x-d)^2+(x+d)^2+(x+3d)^2=280\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}4x=20\\ 4x^2+20d^2=280\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}x=5 \\ d=\pm 3.\end{cases}\)

Vì là cấp số cộng tăng nên \(d=3\) và \(x=5\).

Bốn số hạng liên tiếp của cấp số cộng thoả mãn bài toán là \(-4\), \(2\), \(8\), \(14\).

Áp dụng tính chất: Ba số liên tiếp \(a\), \(b\), \(c\) tạo thành cấp số cộng

\(\displaystyle\frac{a+c}{2}=b \Leftrightarrow a+c=2b\).

Theo tính chất của cấp số cộng, ta có:

\(\begin{cases}-2+6=2x\\ x+y=2\cdot 6\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} x=2\\ y=10.\end{cases}\)

Do đó: \(P=x^2+y^2=2^2+10^2=104\).

Để ba số \(1+3a\), \(a^2-5\), \(1-a\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì

\((1+3a)+(1-a)=2(a^2-5)\) \(\Leftrightarrow 2a^2-2a-12=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&a=3\\ &a=-2.\end{aligned}\right.\)

Vậy \(a=3\), \(a=-2\) thoả mãn bài toán.

Gọi bốn số nguyên lập thành cấp số cộng là \(x-3d\), \(x-d\), \(x+d\), \(x+3d\).

Theo đề bài ta có

\(\begin{aligned}&\begin{cases}(x-3d)+(x-d)+(x+d)+(x+3d)=20 \\\displaystyle\frac{1}{x-3d}+\displaystyle\frac{1}{x-d}+\displaystyle\frac{1}{x+d}+\displaystyle\frac{1}{x+3d}=\displaystyle\frac{25}{24}\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}4x=20 \\\displaystyle\frac{1}{x-3d}+\displaystyle\frac{1}{x-d}+\displaystyle\frac{1}{x+d}+\displaystyle\frac{1}{x+3d}=\displaystyle\frac{25}{24}\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}x=5 \\\displaystyle\frac{1}{5-3d}+\displaystyle\frac{1}{5-d}+\displaystyle\frac{1}{5+d}+\displaystyle\frac{1}{5+3d}=\displaystyle\frac{25}{24}\end{cases}\end{aligned}\)

Giải phương trình:

\(\begin{aligned}&\displaystyle\frac{1}{5-3d}+\displaystyle\frac{1}{5-d}+\displaystyle\frac{1}{5+d}+\displaystyle\frac{1}{5+3d}=\displaystyle\frac{25}{24}\\ \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{1}{5-3d}+\displaystyle\frac{1}{5+3d}+\displaystyle\frac{1}{5-d}+\displaystyle\frac{1}{5+d}=\displaystyle\frac{25}{24}\\ \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{5+3d+5-3d}{(5-3d)(5+3d)}+\displaystyle\frac{5+d+5-d}{(5-d)(5+d)}=\displaystyle\frac{25}{24}\\ \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{10}{25-9d^2}+\displaystyle\frac{10}{25-d^2}=\displaystyle\frac{25}{24}\\ \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{10(25-d^2)+10(25-9d^2)}{(25-9d^2)(25-d^2)}=\displaystyle\frac{25}{24}\\ \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{500-100d^2}{625-250d^2+9d^4}=\displaystyle\frac{25}{24}\\ \Leftrightarrow\ &15625 -6250d^2 +225d^4=12000-2400d^2\\ \Leftrightarrow\ &225d^4-3850d^2+3625=0\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}d^2=1\\ d^2=\displaystyle\frac{145}{9}\end{aligned}\right.\\ \Rightarrow\ &\left[\begin{aligned}d=\pm 1\\ d=\pm \displaystyle\frac{\sqrt{145}}{3}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Vì các số hạng trong cấp số cộng là số nguyên nên \(d\) phải nguyên. Do đó ta loại \(d=\pm \displaystyle\frac{\sqrt{145}}{3}\).

Với \(d=1\), \(x=5\) ta được cấp số cộng \(2\); \(4\); \(6\); \(8\).

Với \(d=-1\), \(x=5\) ta được cấp số cộng \(8\); \(6\); \(4\); \(2\).

Theo tính chất của cấp số cộng ta có

\(\begin{aligned}&\sin x+\sin 3x=2\cos ^2x\\ \Leftrightarrow\ &\sin x +3\sin x -4\sin ^3x=2(1-\sin ^2x)\\ \Leftrightarrow\ &4\sin x -4\sin ^3x=2(1-\sin ^2x)\\ \Leftrightarrow\ &4\sin x (1-\sin ^2x)=2(1-\sin ^2 x)\\ \Leftrightarrow\ &2(1-\sin ^2x)(2\sin x-1)=0\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&\sin ^2x=1\\ &\sin x=\displaystyle\frac{1}{2}\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&\sin x=1 \\ &\sin x=-1 \\ &\sin x=\sin \displaystyle\frac{\pi}{6}\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi \\ &x=-\displaystyle\frac{\pi}{2}+k2\pi \\ &x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi \\ &x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}& x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi \\ &x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi \\ &x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+k2\pi.\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

+) Xét \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\).

Ta có

\(0\leq x\leq 100 \Rightarrow 0\leq \displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi \leq 100\Leftrightarrow -0,5\leq k\leq 31,3\). Mà \(k\in \mathbb{Z}\) suy ra \(k\in \{ 0; 1; 2;\ldots ;31\}\).

Với \(k=0\Rightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\).

Với \(k=1 \Rightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+\pi\).

Với \(k=2 \Rightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+2\pi\).

\(\ldots\)

Với \(k=31 \Rightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+31\pi\).

Khi đó ta được

\(S_1=\displaystyle\frac{\pi}{2}+\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}+\pi \right)+\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}+2\pi \right)+\ldots +\left( \displaystyle\frac{\pi}{2}+31\pi\right)\)

\(S_1=32\cdot \displaystyle\frac{\pi}{2}+\left(\pi +2\pi +\ldots +31\pi\right)=16\pi +\displaystyle\frac{31}{2}(\pi+31\pi)=512\pi.\)

+) Xét \(x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi\). Ta có \(0\leq x\leq 100 \Rightarrow 0\leq \displaystyle\frac{\pi}{6}+k2\pi \leq 100\Leftrightarrow -0,083\leq k\leq 15,8\).

Mà \(k\in \mathbb{Z}\) suy ra \(k\in \{ 0; 1; 2;\ldots ;15\}\).

Với \(k=0\Rightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{6}\).

Với \(k=1 \Rightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+2\pi\).

Với \(k=2 \Rightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+4\pi\).

\(\ldots\)

Với \(k=15 \Rightarrow x=\displaystyle\frac{\pi}{6}+30\pi\).

Khi đó ta được

\(S_2=\displaystyle\frac{\pi}{6}+\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}+2\pi \right)+\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}+4\pi \right)+\ldots +\left( \displaystyle\frac{\pi}{6}+30\pi\right)\)

\(S_2=16\cdot \displaystyle\frac{\pi}{6}+\left(2\pi +4\pi +\ldots +30\pi\right)=\displaystyle\frac{16}{6}\pi +\displaystyle\frac{15}{2}(2\pi+30\pi)=\displaystyle\frac{728\pi}{3}.\)

+) Xét \(x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+k2\pi\). Ta có \(0\leq x\leq 100 \Rightarrow 0\leq \displaystyle\frac{5\pi}{6}+k2\pi \leq 100\Leftrightarrow -0,416\leq k\leq 15,49\).

Mà \(k\in \mathbb{Z}\) suy ra \(k\in \{ 0; 1; 2;\ldots ;15\}\).

Với \(k=0\Rightarrow x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}\).

Với \(k=1 \Rightarrow x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+2\pi\).

Với \(k=2 \Rightarrow x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+4\pi\).

\(\ldots\)

Với \(k=15 \Rightarrow x=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+30\pi\).

Khi đó ta được

\(S_3=\displaystyle\frac{5\pi}{6}+\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}+2\pi \right)+\left(\displaystyle\frac{5\pi}{6}+4\pi \right)+\ldots +\left( \displaystyle\frac{5\pi}{6}+30\pi\right)\)

\(S_3=16\cdot \displaystyle\frac{5\pi}{6}+\left(2\pi +4\pi +\ldots +30\pi\right)=\displaystyle\frac{80}{6}\pi +\displaystyle\frac{15}{2}(2\pi+30\pi)=\displaystyle\frac{760\pi}{3}.\)

Suy ra

\(S=S_1+S_2+S_3=512\pi +\displaystyle\frac{728\pi}{3}+\displaystyle\frac{760\pi}{3}=1008\pi\).

Tổng số cây đã trồng là

\(1+2+\ldots +n =4950\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{n(n+1)}{2}=4950\) \(\Leftrightarrow n^2+n-9900=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&n=99\\&n=-100 \text{ (loại) }.\end{aligned}\right.\)

Vậy có \(99\) hàng.

Số ghế của mỗi tầng lập thành một cấp số cộng với \(u_1=15\) và \(d=4\).

Do đó tổng số ghế của sân vận động là

\(S_{30}=\displaystyle\frac{n[2u_1+(n-1)d]}{2}\) \(=\displaystyle\frac{30(2\cdot 15+29\cdot 4)}{2}=2190.\)

Vậy sân vận động có \(2190\) ghế.

Số phòng của mỗi tầng lập thành một cấp số cộng với \(S_{30}=1890\) và \(d=-4\).

Ta có

\(S_{30}=\displaystyle\frac{n[2u_1+(n-1)d]}{2}\) \(=\displaystyle\frac{30[2\cdot u_1+29\cdot (-4)]}{2}=1890\Leftrightarrow u_1=121.\)

Số phòng ở tầng \(10\) là

\(u_{10}=121+9\cdot (-4)= 85\).

Tiền lương nhận được mỗi quý lập thành một cấp số cộng với \(u_1=4{,}5\) và \(d= 0{,}3\).

Ta có \(3\) năm bằng \(3\cdot 4=12\) quý nên tổng tiền lương nhận được sau \(3\) năm là

\(S_{12}=\displaystyle\frac{n[2u_1+(n-1)d]}{2}\) \(=\displaystyle\frac{12(2\cdot 4{,}5+11\cdot 0{,}3)}{2}=73{,}8 \text{ triệu đồng}.\)

Số que diêm của tháp \(1\) tầng là \(u_1=3\).

Tổng số que diêm của tháp \(2\) tầng là \(u_1+u_2=3+7\).

Tổng số que diêm của tháp \(3\) tầng là \(u_1+u_2+u_3=3+7+11\).

\(\ldots\)

Ta có cấp số cộng \(u_1=3\) và \(d=4\).

Tổng số que diêm của tháp \(10\) tầng là

\(S_{10}= \displaystyle\frac{10(2\cdot 3+9\cdot 4)}{2}=210\) que diêm.

Số tiền An bỏ heo mỗi ngày lập thành một cấp số cộng với \(u_1=100\) và \(d=100\).

Tổng số tiền An đã tích lũy đến ngày sinh nhật bạn là

\(S_{121}=\displaystyle\frac{121(2\cdot 100+120\cdot 100)}{2}=738100\) đồng.

Số gạch của mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với \(u_1=500\) và \(d=-1\).

Theo đề ta có

\(u_n=1\Leftrightarrow u_1+(n-1)d=1\) \(\Leftrightarrow 500+(n-1)\cdot (-1)=1\Leftrightarrow n=500.\)

Số gạch cần dùng để hoàn thành bức tường là

\(S_{500}=\displaystyle\frac{500[2\cdot 500+499\cdot (-1)]}{2}=125250\) viên gạch.

Số hộp sữa của mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với \(u_1=1\) và \(d=2\).

Theo đề ta có

\(\begin{aligned}&S_n=\displaystyle\frac{n[2u_1+(n-1)d]}{2}=900\\ &\Leftrightarrow \displaystyle\frac{n[2\cdot 1+(n-1)\cdot 2]}{2}=900\\ &\Leftrightarrow 2n^2=1800\\ &\Leftrightarrow n^2=900 \\ &\Leftrightarrow n=30\ (\text{do }n>0).\end{aligned}\)

Số hộp sữa ở hàng dưới cùng là \(u_{30}=1+29\cdot 2=59\).

Số tiền ứng với mỗi mét khoan lập thành một cấp số cộng với \(u_1=100000\) và \(d=30000\).

Tổng số tiền mà gia đình cần phải trả là

\(S_{20}=\displaystyle\frac{n[2u_1+(n-1)d]}{2}\) \(=\displaystyle\frac{20(2\cdot 100000+19\cdot 30000)}{2}=7700000\) đồng.

Theo đề ta có

\(u_n=44\Leftrightarrow u_1+(n-1)\cdot d=44\) \(\Leftrightarrow u_1+(n-1)\cdot 3 =44\) \(\Leftrightarrow u_1=47-3n\).

Mặt khác do chu vi đa giác là \(158\) cm nên

\(\begin{aligned}&S_n=158\\ &\Leftrightarrow \displaystyle\frac{n}{2}(u_1+u_n)=158\\ &\Leftrightarrow \displaystyle\frac{n}{2}(47-3n+44)=158\\&\Leftrightarrow -3n^2+91n-316=0\\&\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &n=4\\&n=\displaystyle\frac{91}{6}\text{ (loại) }.\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Vậy đa giác có \(4\) cạnh.

Theo giả thiết \(a,b,c\) lập thành một cấp số cộng, suy ra \(a+c=2b\).

a. Ta có

\(VT=a^2+2bc\) \(=a^2+(a+c)c\) \(=a^2+ac+c^2\) \(=a(a+c)+c^2\) \(=2ba+c^2=VP.\)

b. Ta có

\(\begin{aligned}VT &=a^2+8bc=a^2+4(a+c)c=a^2+4ac+4c^2\\ &=(a+2c)^2=(a+c+c)^2\\ &=(2b+c)^2=VP.\end{aligned}\)

c. Ta có

\(\begin{aligned}VT&=3(a^2+b^2+c^2)-6(a-b)^2=3c^2-3a^2+12ab-3b^2\\ &= 3(c-a)(c+a)+12ab-3b^2=6(c-a)b+12ab-3b^2 \\&= 6b(c-a+2a)-3b^2=6b(a+c)-3b^2=12b^2-3b^2\\ &= (3b)^2=(2b+b)=(a+c+b)^2=VP.\end{aligned}\)

Ta có

\(\bullet\) \(\displaystyle\frac{1}{c+a}-\displaystyle\frac{1}{b+c}\) \(=\displaystyle\frac{b-a}{(c+a)(b+c)}\) \(=\displaystyle\frac{b^2-a^2}{(b+a)(b+c)(c+a)}\).

\(\bullet\) \(\displaystyle\frac{1}{a+b}-\displaystyle\frac{1}{a+c}\) \(=\displaystyle\frac{c-b}{(a+b)(a+c)}\) \(=\displaystyle\frac{c^2-b^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}\).

Do \(a^2,b^2,c^2\) lập thành một cấp số cộng nên

\(a^2+c^2=2b^2 \Leftrightarrow c^2-b^2=b^2-a^2\).

Suy ra

\(\displaystyle\frac{1}{b+c}-\displaystyle\frac{1}{c+a}=\displaystyle\frac{1}{c+a}-\displaystyle\frac{1}{a+b}\).

Vậy ba số \(\displaystyle\frac{1}{b+c},\displaystyle\frac{1}{c+a},\displaystyle\frac{1}{a+b}\) cũng lập thành một cấp số cộng.

Ta có \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}},\displaystyle\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}},\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) lập thành cấp cố cộng khi và chỉ khi

\(\begin{aligned}& \displaystyle\frac{2}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\\& \Leftrightarrow 2\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)+\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right) \\ & \Leftrightarrow 2\left(\sqrt{ab}+b+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)=\sqrt{ac}+\sqrt{bc}+a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+c+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}.\end{aligned}\)

\(\Leftrightarrow 2b=a+c \Leftrightarrow a,b,c\) lập thành cấp số cộng.

Vì \((u_n)\) là cấp số cộng, nên \(u_n-u_1=u_1+(n-1)d-u_1=(n-1)d\).

Ta có

\(\begin{aligned}VT &=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{u_1}+\sqrt{u_2}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{u_2}+\sqrt{u_3}}+\cdots +\displaystyle\frac{1}{\sqrt{u_{n-1}}+\sqrt{u_n}}\\ &=\displaystyle\frac{\sqrt{u_2}-\sqrt{u_1}}{u_2-u_1}+\displaystyle\frac{\sqrt{u_3}-\sqrt{u_2}}{u_3-u_2}+\cdots +\displaystyle\frac{\sqrt{u_n}-\sqrt{u_{n-1}}}{u_n-u_{n-1}} \\ &=\displaystyle\frac{\sqrt{u_n}-\sqrt{u_1}}{d}=\displaystyle\frac{u_n-u_1}{d\left(\sqrt{u_n}+\sqrt{u_1}\right)}=\displaystyle\frac{n-1}{\sqrt{u_n}+\sqrt{u_1}}=VP.\end{aligned}\)

a. Vì \(1,6,11,\ldots,x\) là một cấp số cộng với \(u_1=1\) và công sai \(d=6-1=5\).

Giả sử \(x\) là số hạng thứ \(n\) của cấp số cộng. Ta có

\(S_n=\displaystyle\frac{\left[2u_1+(n-1)d\right]n}{2}=970\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{\left[2+(n-1)5\right]n}{2}=970\) \(\Leftrightarrow 5n^2-3n-1940=0\) \(\Leftrightarrow n=20\) hoặc \(n=-\displaystyle\frac{97}{5}\) (loại).

Suy ra \(x\) là số hạng thứ 20 của cấp số cộng nên \(x=u_1+19d=1+19\cdot 5=96\).

b. Vì \(1,4,7,\ldots,28\) là một cấp số cộng với \(u_1=1\) và công sai \(d=4-1=3\).

Suy ra \((x+1),(x+4),(x+7),\ldots,(x+28)\) cũng là một cấp sô cộng với \(u_1=x+1\) và công sai \(d=(x+4)-(x+1)=3\).

Ta có

\((x+1)+(x+4)+(x+7)+\ldots +(x+28)=S_{10}\) \(\Leftrightarrow 155=\displaystyle\frac{\left[2(x+1)+9\cdot 3\right]10}{2}\) \(\Leftrightarrow x=1\).

Vậy \(x=1\) là giá trị cần tìm.

a. Phương trình đã cho có ba nghiệm \(x_1,x_2,x_3\) khi

\(x^3-3x^2+mx+b\) \(=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\) \(=x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)x-x_1x_2x_3\).

So sánh hai vế ta có \(x_1+x_2+x_3=3\).

Nếu ba nghiệm \(x_1,x_2,x_3\) lập thành cấp số cộng thì

\(x_1+x_3=2x_2\) \(\Leftrightarrow x_1+x_2+x_3=3x_2\) \(\Leftrightarrow 3=3x_2\) \(\Leftrightarrow 1=x_2.\)

Thay nghiệm \(x_2=1\) vào phương trình, ta được

\(1-3+m+b=0 \Leftrightarrow b=2-m.\)

Với \(b=2-m\), phương trình trở thành

\(x^3-3x^2+mx+2-m=0\) \(\Leftrightarrow (x-1)(x^2-2x+m-2)=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x_2=1 \\ &x^2-2x+m-2=0.\end{aligned}\right. \)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) phương trình \(x^2-2x+m-2=0\) có hai nghiệm

\(\Leftrightarrow \Delta '=1-m+2\geqslant 0 \Leftrightarrow m\leqslant 3\).

Vậy \(m\leqslant 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b. Ta có \(x^4-2(m+1)x^2+2m+1=0.\) \((1)\)

Đặt \(t=x^2\geqslant 0\). Phương trình \((1)\) trở thành \( t^2-2(m+1)t+2m+1=0.\) \((2)\)

Phương trình \((1)\) có bốn nghiệm khi phương trình \((2)\) có hai nghiệm dương phân biệt \(0<t_1<t_2\)

\(\begin{aligned}&\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} & \Delta '=(m+1)^2-(2m+1)>0 \\ &P=2m+1>0 \\ &S=2(m+1)>0\end{aligned}\right.\\ &\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &m\ne 0 \\ &m>-\displaystyle\frac{1}{2} \\ &m>-1\end{aligned}\right.\\ &\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &m\ne 0 \\ &m>-\displaystyle\frac{1}{2}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Khi đó bốn nghiệm của phương trình \((1)\) theo thứ tự là \(-\sqrt{t_2},-\sqrt{t_1},\sqrt{t_1},\sqrt{t_2}\).

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow -\sqrt{t_1}+\sqrt{t_2}=2\sqrt{t_1} \Leftrightarrow \sqrt{t_2}=3\sqrt{t_1} \Leftrightarrow t_2=9t_1\).

Theo định lý Vi-et, ta có

\(\left\{\begin{aligned} &t_1+t_2=2(m+1) \\ &t_1\cdot t_2=2m+1.\end{aligned}\right. \)

Từ \(t_2=9t_1\) và \(t_1+t_2=2(m+1)\) suy ra

\(\left\{\begin{aligned} &t_1=\displaystyle\frac{m+1}{5} \\ &t_2=\displaystyle\frac{9(m+1)}{5}.\end{aligned}\right. \)

Thay vào \(t_1\cdot t_2=2m+1\), ta được

hoặc \(m=-\displaystyle\frac{4}{9}\).

\(\bullet\) Với \(m=4\), suy ra \(t_1=1,t_2=9\). Suy ra cấp số cộng \(-3,-1,1,3\).

\(\bullet\) Với \(m=-\displaystyle\frac{4}{9}\), suy ra \(t_1=\displaystyle\frac{1}{9},t_2=1\). Suy ra cấp số cộng \(-1,-\displaystyle\frac{1}{3},\displaystyle\frac{1}{3},1\).

Xét cấp số cộng \(1\), \(6\), \(11\),\(\ldots\), \(x\) có \(u_1=1\), \(d=5\) và \(u_n=x\).

Theo đề bài ta có

\(\begin{aligned}&S_n=970\\ \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{n}{2}[2u_1+(n-1)d]=970\\ \Leftrightarrow\ &n[2\cdot 1+(n-1)\cdot 5]=1950\\ \Leftrightarrow\ & 5n^2-3n-1940=0\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&n=20\\&n=-\displaystyle\frac{97}{5}\text{ (loại) }.\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Vậy \(x=u_{20}=u_1+19d=1+19\cdot 5=96\).

Xét cấp số cộng \(2\), \(7\), \(12\),\(\ldots\), \(x\) có \(u_1=2\), \(d=5\) và \(u_n=x\).

Theo đề bài ta có

\(\begin{aligned}&S_n=245\\ \Leftrightarrow\ & \displaystyle\frac{n}{2}[2u_1+(n-1)d]=245\\\Leftrightarrow\ &n[2\cdot 2+(n-1)\cdot 5]=490\\ \Leftrightarrow\ &5n^2-n-490=0\\\Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&n=10\\&n=-\displaystyle\frac{49}{5}\text{ (loại) }.\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Vậy \(x=u_{10}=u_1+9d=2+9\cdot 5=47\).

Xét cấp số cộng \(1\), \(4\), \(7\), \(\ldots\), \(28\) có \(u_1=1\), \(d=3\) và \(u_n=28\).

Ta có

\(u_n=28\Leftrightarrow u_1+(n-1)d=28\) \(\Leftrightarrow 1+(n-1)\cdot 3=28\) \(\Leftrightarrow n=10\).

Suy ra

\(S_{10}=\displaystyle\frac{n}{2}[2u_1+(n-1)d]\) \(=\displaystyle\frac{10}{2}(2\cdot 1+9\cdot 3)=145\).

Khi đó phương trình đã cho tương đương

\(10x+145=155\Leftrightarrow 10x=10\Leftrightarrow x=1.\)

Xét cấp số cộng \(1\), \(6\), \(11\), \(\ldots\), \(96\) có \(u_1=1\), \(d=5\) và \(u_n=96\).

Ta có

\(u_n=96\Leftrightarrow u_1+(n-1)d=96\) \(\Leftrightarrow 1+(n-1)\cdot 5=96\) \(\Leftrightarrow n=20\).

Suy ra

\(S_{20}=\displaystyle\frac{n}{2}[2u_1+(n-1)d]\) \(=\displaystyle\frac{20}{2}(2\cdot 1+19\cdot 5)=970\).

Khi đó phương trình đã cho tương đương

\(20\cdot 2x+970=1010\) \(\Leftrightarrow 40x=40\Leftrightarrow x=1\).

\(\begin{aligned}&\begin{cases} u_2-u_3+u_5=10\\ u_4+u_6=26\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} u_1+d-(u_1+2d)+u_1+4d=10\\ u_1+3d+u_1+5d=26\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} u_1+3d=10\\ 2u_1+8d=26\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} u_1=1\\ d=3.\end{cases}\end{aligned}\)

Khi đó \(u_1\), \(u_4\), \(u_7\),\(\ldots \),\(u_{2011}\) lập thành một cấp số cộng \((v_n)\) với

\(v_1=u_1=1\), \(d'=3\cdot 3=9\), \(v_n=u_{2011}=1+2010\cdot 3=6031\).

Ta có

\(v_n=6031\Leftrightarrow v_1+(n-1)d'=6031\) \(\Leftrightarrow 1+(n-1)\cdot 9=6031\) \(\Leftrightarrow n=671\).

Suy ra

\(S=v_1+\ldots +v_{671}\) \(=\displaystyle\frac{n}{2}[2v_1+(n-1)d']\) \(=\displaystyle\frac{671}{2}(2\cdot 1 +670\cdot 9)=2023736\).

Số hạng tổng quát của cấp số cộng \((u_n)\) là \(u_n=4+(n-1)\cdot 3=3n+1\).

Số hạng tổng quát của cấp số cộng \((v_m)\) là \(v_m=1+(m-1)\cdot 5=5m-4\).

Giả sử \(k\) là một số hạng chung của hai cấp số cộng trong \(2018\) số hạng đầu tiên của mỗi cấp số.

Vì \(k\) là một số hạng của \((u_n)\) nên \(k=3i+1\) với \(1\le i\le 2018\) và \(i\in \mathbb{N}^*\).

Vì \(k\) là một số hạng của \((v_m)\) nên \(k=3j+1\) với \(1\le j\le 2018\) và \(j\in \mathbb{N}^*\).

Số hạng chung phải thỏa

\(3i+1=5j-4\Leftrightarrow 3i=5j-5\) \(\Leftrightarrow j-1=\displaystyle\frac{3i}{5}\).

Do đó \(i \ \exits \ 5\Rightarrow i\in \{5;10;15;\ldots ;2015\}\) \(\Rightarrow\) có \(\displaystyle\frac{2015-5}{5}+1=403\) số hạng chung.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng \((a_n)\) là \(a_n=4+(n-1)\cdot 3=3n+1\).

Số hạng tổng quát của cấp số cộng \((b_m)\) là \(b_m=1+(m-1)\cdot 5=5m-4\).

Giả sử \(k\) là một số hạng chung của dãy số trên.

Vì \(k\) là một số hạng của \((a_n)\) nên \(k=3i+1\) với \(1\le i\le 100\) và \(i\in \mathbb{N}^*\).

Vì \(k\) là một số hạng của \((v_m)\) nên \(k=5j-4\) với \(1\le j\le 100\) và \(j\in \mathbb{N}^*\).

Số hạng chung phải thỏa

\(3i+1=5j-4\Leftrightarrow 3i=5j-5\) \(\Leftrightarrow j-1=\displaystyle\frac{3i}{5}\).

Do đó \(i \ \exits \ 5\Rightarrow i\in \{5;10;15;\ldots ;100\}\Rightarrow \) Có \(\displaystyle\frac{100-5}{5}+1=20\) số hạng chung.

Ta có

\(\displaystyle\frac{S_p}{S_q}=\displaystyle\frac{p^2}{q^2}\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{(u_1+u_p)p}{(u_1+u_q)q}=\displaystyle\frac{p^2}{q^2}\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{u_1+u_p}{u_1+u_q}=\displaystyle\frac{p}{q}\).

Do đó

\(\begin{aligned}&\displaystyle\frac{u_1+u_{2018}}{u_1+u_{2017}}=\displaystyle\frac{2018}{2017}\\ \Leftrightarrow & \displaystyle\frac{u_1+u_{2017}+d}{u_1+u_{2017}}=\displaystyle\frac{2018}{2017}\\ \Leftrightarrow & 1+\displaystyle\frac{d}{u_1+u_{2017}}=\displaystyle\frac{2018}{2017} \\ \Leftrightarrow & \displaystyle\frac{d}{u_1+u_1+2016d}=\displaystyle\frac{1}{2017}\\ \Leftrightarrow & \displaystyle\frac{d}{2u_1+2016d}=\displaystyle\frac{1}{2017}\\ \Leftrightarrow & 2017d=2u_1+2016d\\ \Leftrightarrow & d=2u_1.\end{aligned}\)

Vậy \(\displaystyle\frac{u_{2017}}{u_{2018}}\) \(=\displaystyle\frac{u_1+2016\cdot (2u_1)}{u_1+2017\cdot (2u_1)}\) \(=\displaystyle\frac{4032u_1}{4035u_1}\) \(=\displaystyle\frac{4032}{4035}\).

Ta có

\(\displaystyle\frac{S_p}{S_q}=\displaystyle\frac{p^2}{q^2}\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{(u_1+u_p)p}{(u_1+u_q)q}=\displaystyle\frac{p^2}{q^2}\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{u_1+u_p}{u_1+u_q}=\displaystyle\frac{p}{q} \).

Do đó

\(\begin{aligned}&\displaystyle\frac{u_1+u_{2018}}{u_1+u_{2019}}=\displaystyle\frac{2018}{2019}\\ \Leftrightarrow\ & \displaystyle\frac{u_1+u_{2019}+d}{u_1+u_{2019}}=\displaystyle\frac{2018}{2019}\\ \Leftrightarrow\ & 1+\displaystyle\frac{d}{u_1+u_{2019}}=\displaystyle\frac{2018}{2019}\\ \Leftrightarrow\ & \displaystyle\frac{d}{u_1+u_1+2018d}=\displaystyle\frac{1}{2019}\\ \Leftrightarrow\ & \displaystyle\frac{d}{2u_1+2018d}=\displaystyle\frac{1}{2019}\\ \Leftrightarrow\ & 2019d=2u_1+2018d \\ \Leftrightarrow\ & d=2u_1.\end{aligned}\)

Vậy \(\displaystyle\frac{u_{2018}}{u_{2019}}\) \(=\displaystyle\frac{u_1+2017\cdot (2u_1)}{u_1+2018\cdot (2u_1)}\) \(=\displaystyle\frac{4035u_1}{4037u_1}\) \(=\displaystyle\frac{4035}{4037}\).

Ta có

\(x^3-3x^2+mx+2-m=0\,(1)\) \(\Leftrightarrow (x-1)(x^2-2x+m-2)=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x_1=1\\&x^2-2x+m-2=0.\,(2)\end{aligned}\right.\)

Để phương trình \((1)\) có \(3\) nghiệm thì phương trình \((2)\) có nghiệm

\(\Leftrightarrow \Delta '\ge 0 \Leftrightarrow 1-m+2\ge 0\) \(\Leftrightarrow m\le 3.\)

Gọi \(x_2\), \(x_3\) là hai nghiệm của \((2)\).

Khi đó theo Vi-ét ta có \(x_2+x_3=2=2x_1\).

Suy ra \(x_2\), \(x_1\), \(x_3\) lập thành một cấp số cộng.

Vậy với \(m\le 3\) thì phương trình \((1)\) có \(3\) nghiệm lập thành cấp số cộng.

Ta có

\( x^3-(3m+1)x^2+2mx=0 \Leftrightarrow x[x^2-(3m+1)x+2m]=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x_3=0 \\ & x^2-(3m+1)x+2m=0.\,\, (*)\end{aligned}\right.\)

Gọi \( x_1 \), \( x_2 \) là hai nghiệm của phương trình

\((*) \Rightarrow \begin{cases}x_1+x_2=3m+1 \\ x_1 \cdot x_2 = 2m.\end{cases}\)

Do vai trò của \( x_1 \) và \( x_2 \) là như nhau nên ta xét hai trường hợp

+) TH1. \( x_1 + x_3 = 2x_2 \)

\(\Rightarrow x_1=2x_2\) \(\Rightarrow x_2 =\displaystyle\frac{3m+1}{3}\) \(\Rightarrow x_1 = \displaystyle\frac{6m+2}{3}\) \(\Rightarrow \displaystyle\frac{3m+1}{3} \cdot \displaystyle\frac{6m+2}{3} = 2m.\, (\text{VN})\)

+) TH2. \( x_1 + x_2 = 2x_3 = 0\)

\(\Rightarrow 3m+1 = 0\) \(\Rightarrow m = - \displaystyle\frac{1}{3}.\)

Vậy \( m=-\displaystyle\frac{1}{3} \) thỏa điều kiện bài toán.

Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng, khi đó

\(x_1+x_3=2x_2.\)

Theo hệ thức Viet, ta có

\( x_1 + x_2+x_3=3 \Rightarrow x_2=1\) \(\Rightarrow 11-m=0 \Rightarrow m=11.\)

Thử lại với \( m=11 \) ta có

\(x^3-3x^2-9x+11 = 0\) \(\Leftrightarrow (x-1)(x^2-2x-11) = 0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x_1=1-\sqrt{12} \\ & x=1 \\ & x = 1+\sqrt{12}.\end{aligned}\right.\)

Ta thấy ba số \( 1-\sqrt{12} \), \( 1 \), \( 1+\sqrt{12} \) lập thành một cấp số cộng.

Vậy \( m=11 \) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Đặt \( t=x^2 \), điều kiện \( t \ge 0 \).

Khi đó phương trình trở thành

\(t^2+2(2m+1)t-3m=0.\) \((1)\)

Để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt thì phương trình \((1)\) phải có hai nghiệm phân biệt dương \( 0 < t_1 < t_2 \)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta' > 0 \\ S>0 \\ P>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}4m^2+7m + 1 > 0 \\ -2(2m+1)>0\\ -3m > 0\end{cases} \) \(\Leftrightarrow m <\displaystyle\frac{-7-\sqrt{33}}{8}.\quad (2)\)

Giả sử bốn nghiệm phương trình là \(-\sqrt{t_2}\), \(-\sqrt{t_1} \), \(\sqrt{t_1}\), \(\sqrt{t_2}.\)

Bốn nghiệm lập thành cấp số cộng khi

\(\begin{cases}-\sqrt{t_2}+\sqrt{t_1} = -2\sqrt{t_1} \\ -\sqrt{t_1}+\sqrt{t_2} =2\sqrt{t_1}.\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \sqrt{t_2} = 3\sqrt{t_1} \Leftrightarrow t_2=9t_1.\quad (3)\)

Theo định lí Viet, ta có

\(\begin{cases}t_1+t_2 = -2(2m+1) \\ t_1 \cdot t_2 =-3m.\end{cases}\) \((4)\)

Kết hợp \( (3) \) và \( (4) \) suy ra

\(12m^2+37m+3=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}m=-\displaystyle\frac{1}{12} \\ m=-3.\end{aligned}\right.\)

Kết hợp với \( (2) \) suy ra \( m=-3 \) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Phương trình hoành độ giao điểm của \( (C_m) \) với trục hoành là

\(x^4-2(m+1)x^2+2m+1 =0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x^2=1 \\ & x^2=2m+1.\end{aligned}\right.\)

Để \((C_m) \) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt thì

\( \begin{cases}2m+1 >0 \\ 2m+1 \neq 1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow-\displaystyle\frac{1}{2} < m \neq 0.\) \((*)\)

Bốn nghiệm của phương trình là \( -1 \), \( 1 \), \( -\sqrt{2m+1} \), \(\sqrt{2m+1}.\)

Ta xét hai trường hợp

+) TH1. \( 2m+1 >1 \Leftrightarrow m >0\)

Để bốn nghiệm lập thành cấp số cộng thì

\(-1+\sqrt{2m+1}=2 \Leftrightarrow m=4\) (thỏa).

+) TH2. \( 2m+1 < 1 \Leftrightarrow m<0 \)

Để bốn nghiệm lập thành cấp số cộng thì

\( -\sqrt{2m+1}+1=2\sqrt{2m+1}\) \(\Leftrightarrow m=-\displaystyle\frac{4}{9}\) (thỏa).

Kết hợp với \( (*) \) suy ra có hai giá trị thỏa mãn điều kiện bài toán là \(m=4\) và \(m=-\displaystyle\frac{4}{9}.\)

Do \( a \), \( b \), \( c \) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng nên ta có \( a+c=2b \).

a. Do \( a \), \( b \), \( c \) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng nên ta có

\(a+c=2b \Rightarrow a=2b-c \).

\(a^2+2bc = (2b-c)^2+2bc\) \(=4b^2-2bc+c^2\) \(=2b(2b-c)+c^2=c^2+2ab.\)

Vậy \( a^2+2bc=c^2+2ab \).

b. Do \( a \), \( b \), \( c \) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng nên ta có

\(a+c=2b \Rightarrow a=2b-c\).

\(a^2+8bc=(2b-c)^2+8bc\) \(=4b^2+4bc+c^2=(2b+c)^2.\)

c. Do \( a \), \( b \), \( c \) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng nên ta có

\(a+c=2b \Rightarrow a=2b-c \).

\(\begin{aligned}VT& = 2(a+b+c)^3 = 2(3b)^3 = 54b^3\\ VP& =9 \left[ a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)\right]\\ &= 9 \left[ (2b-c)^2(b+c)+b^2(2b-c+c)+c^2(2b-c+b)\right]\\ & =9 \left[ (4b^2-4bc+c^2)(b+c)+b^2(2b)+c^2(3b-c)\right]\\ & = 9 \left(4b^3-4b^2c+bc^2+4b^2c-4bc^2+c^3+2b^3+3bc^2-c^3\right)\\ & =9(6b^2)=54b^3 =VT.\end{aligned}\)

c. Do \( a \), \( b \), \( c \) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng nên ta có

\(a+c=2b \Rightarrow a=2b-c \).

Khi đó

\(\begin{aligned}&(a^2-bc)+(c^2-ab) &=\left[(2b-c)^2-bc\right]+\left[c^2-(2b-c)b\right]\\ &= \left(4b^2-4bc+c^2-bc+c^2-2b^2+bc\right) \\ &= 2b^2-4bc+2c^2 \\ &= 2\left[b^2-(2b-c)c\right] \\ &= 2(b^2-ac).\end{aligned}\)

Vậy ba số \( a^2-bc \), \( b^2-ac \), \(c^2-ab \) cũng là một cấp số cộng.

a. Ta có

\(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\) \(=\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}{\cdot 3}^{3(n+1)+1}}{(-1)^n{\cdot 3}^{3n+1}}\) \(=(-1){\cdot 3}^3=-27\).

Vậy \((u_n)\) là cấp số nhân với công bội \(q=-27\).

b. Ta có

\(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}=\displaystyle\frac{n+4}{n+3}\): thay đổi theo \(n\). Vậy \((u_n)\) không phải là cấp số nhân.

a. Ta có \(v_n=u_n+3\), suy ra \(v_{n+1}=u_{n+1}+3=(4u_n+9)+3\).

Do đó

\(\displaystyle\frac{v_{n+1}}{v_n}=\displaystyle\frac{(4u_n+9)+3}{u_n+3}\) \(=\displaystyle\frac{4(u_n+3)}{u_n+3}=4\).

Vậy \((v_n)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(v_1=u_1+3=2+3=5\) và công bội \(q=4\).

b. Do \((v_n)\) là cấp số nhân với

\(\left\{\begin{aligned} &v_1=5 \\ &q=4\end{aligned}\right.\)

nên số hạng tổng quát là \(v_n=v_1\cdot q^{n-1}=5\cdot 4^{n-1}.\)

Suy ra công thức tổng quát của dãy số \((u_n)\) là \(u_n=v_n-3=5\cdot 4^{n-1}-3\).

a. Ta có \(v_n=\displaystyle\frac{u_n}{n}\), suy ra

\(v_{n+1}=\displaystyle\frac{u_{n+1}}{n+1}\) \(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{(n+1)u_n}{3n}}{n+1}=\displaystyle\frac{u_n}{3n}\).

Do đó

\(\displaystyle\frac{v_{n+1}}{v_n}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{u_n}{3n}}{\displaystyle\frac{u_n}{n}}=\displaystyle\frac{1}{3}\).

Vậy \((v_n)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(v_1=\displaystyle\frac{u_1}{1}=\displaystyle\frac{1}{3}\) và công bội \(q=\displaystyle\frac{1}{3}\).

b. Do \((v_n)\) là cấp số nhân với

\(\left\{\begin{aligned} &v_1=\displaystyle\frac{1}{3} \\ &q=\displaystyle\frac{1}{3}\end{aligned}\right.\)

nên số hạng tổng quát là

\(v_n=v_1\cdot q^{n-1}\) \(=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot {\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\) \(=\displaystyle\frac{1}{3^n}.\)

Suy ra công thức tổng quát của dãy số \((u_n)\) là \(u_n=nv_n=\displaystyle\frac{n}{3^n}\).

a. Ta có \(v_n=\displaystyle\frac{u_n-1}{u_n+3}\), suy ra

\(v_{n+1}=\displaystyle\frac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+3}\) \(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2u_n+3}{u_n+4}-1}{\displaystyle\frac{2u_n+3}{u_n+4}+3}\) \(=\displaystyle\frac{u_n-1}{5u_n+15}\).

Do đó

\(\displaystyle\frac{v_{n+1}}{v_n}\) \(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{u_n-1}{5(u_n+3)}}{\displaystyle\frac{u_n-1}{u_n+3}}\) \(=\displaystyle\frac{1}{5}\).

Vậy \((v_n)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(v_1=\displaystyle\frac{u_1-1}{u_1+3}=-\displaystyle\frac{1}{3}\) và công bội \(q=\displaystyle\frac{1}{5}\).

b. Do \((v_n)\) là cấp số nhân với

\(\left\{\begin{aligned} &v_1=-\displaystyle\frac{1}{3} \\ &q=\displaystyle\frac{1}{5}\end{aligned}\right.\)

nên số hạng tổng quát của \(v_n\) là

\(v_n=v_1\cdot q^{n-1}=-\displaystyle\frac{1}{3}\cdot {\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)}^{n-1}=-\displaystyle\frac{5}{3\cdot 5^n}.\)

Suy ra công thức tổng quát của dãy số \((u_n)\) là \(u_n=\displaystyle\frac{3v_n+1}{1-v_n}=\displaystyle\frac{3\cdot 5^n-15}{3\cdot 5^n+5}\).

a. Ta có

\(v_n=u_{n+1}-u_n\) \(=\displaystyle\frac{2u_n+u_{n-1}}{3}-u_n\) \(=\displaystyle\frac{-u_n+u_{n-1}}{3}\).

Suy ra

\(\begin{aligned}v_{n+1} &=u_{n+2}-u_{n+1}\\ &=\displaystyle\frac{2u_{n+1}+u_n}{3}-\displaystyle\frac{2u_n+u_{n-1}}{3}\\ &=\displaystyle\frac{2\cdot \displaystyle\frac{2u_n+u_{n-1}}{3}+u_n}{3}-\displaystyle\frac{2u_n+u_{n-1}}{3}\\ &=\displaystyle\frac{u_n-u_{n-1}}{9}.\end{aligned}\)

Do đó

\(\displaystyle\frac{v_{n+1}}{v_n}\) \(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{u_n-u_{n-1}}{9}}{\displaystyle\frac{-u_n+u_{n-1}}{3}}\) \(=-\displaystyle\frac{1}{3}\).

Vậy \((v_n)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(v_1=u_2-u_1=1\) và công bội \(q=-\displaystyle\frac{1}{3}\).

b. Do \((v_n)\) là cấp số nhân với

\(\left\{\begin{aligned} &v_1=1 \\ &q=-\displaystyle\frac{1}{3}\end{aligned}\right. \)

nên số hạng tổng quát của \(v_n\) là

\(v_n=v_1\cdot q^{n-1}\) \(=1\cdot {\left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\) \(=\displaystyle\frac{(-1)^{n-1}\cdot 3}{3^n}.\)

Suy ra công thức tổng quát của dãy số \((v_n)\) là

\(v_n=\displaystyle\frac{(-1)^{n-1}\cdot 3}{3^n}\).

Ta có

\(\begin{cases} u_1=-2 \\ q=-5\end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} u_1=-2 \\ u_2=u_1q=10 \\ u_3=u_2q=-50 \\ u_4=u_3q=250.\end{cases}\)

Cấp số nhân: \(\displaystyle\frac{1}{2} ;\) \(\displaystyle\frac{1}{4} ;\) \(\displaystyle\frac{1}{8} ;\) \(\cdots ;\) \(\displaystyle\frac{1}{4096}\)

\(\Rightarrow \begin{cases}u_1=\displaystyle\frac{1}{2} \\ q=\displaystyle\frac{u_2}{u_1}=\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases}\)

\(\Rightarrow u_n=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=\displaystyle\frac{1}{2^n}.\)

\(u_n=\displaystyle\frac{1}{4096}\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{2^n}=\displaystyle\frac{1}{2^{12}}\Leftrightarrow n=12.\)

Ta có

\(\left\{\begin{aligned} &u_1+u_5=51 \\ &u_2+u_6=102\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1+u_1{q}^4=51 \\ &u_1q+u_1{q}^5=102\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1(1+q^4)=51 \\ &u_1q(1+q^4)=102\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1=3 \\ &q=2.\end{aligned}\right.\)

a. Vậy số hạng đầu \(u_1=3\) và công bội \(q=2\).

b. Tổng của 10 số hạng đầu tiên

\(S_{10}=u_1\cdot \displaystyle\frac{1-q^{10}}{1-q}\) \(=3\cdot \displaystyle\frac{1-2^{10}}{1-2}=3069\).

c. Ta có

\(S_n=u_1\cdot \displaystyle\frac{1-q^n}{1-q}\) \(=3\cdot \displaystyle\frac{1-2^n}{1-2}=765\) \(\Leftrightarrow n=8\).

Vậy tổng của 8 số hạng đầu tiên bằng 765.

d. Giả sử \(u_n=12288\).

Theo công thức tổng quát của cấp số nhân, ta có

\(u_n=u_1\cdot q^{n-1}\) \(\Leftrightarrow 12288=3\cdot 2^{n-1}\) \(\Leftrightarrow n=13\).

Vậy \(12288\) là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.

a. Ta có

\(\left\{\begin{aligned} &u_5-u_1=15 \\ &u_4-u_2=6\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1{q}^4-u_1=15 \\ &u_1{q}^3-u_1q=6\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1(q^4-1)=15 (1) \\ &u_1q(q^2-1)=6.\quad (2)\end{aligned}\right.\)

Lấy \((1)\) chia \((2)\), ta được

\(\displaystyle\frac{q^2+1}{q}=\displaystyle\frac{15}{6}\) \(\Leftrightarrow 2q^2-5q+2=0 \Leftrightarrow q=2\) hoặc \(q=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Vậy

\(\left\{\begin{aligned} &u_1=1 \\ &q=2\end{aligned}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{aligned} &u_1=-16 \\ &q=\displaystyle\frac{1}{2}.\end{aligned}\right.\)

b. Ta có

\(\left\{\begin{aligned} &u_{20}=8u_{17} \\ &u_3+u_5=240\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1{q}^{19}=8u_1{q}^{16} \\ &u_1{q}^2+u_1{q}^4=240\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &q^3=8 \\ &u_1{q}^2+u_1{q}^4=240\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1=12 \\ &q=2.\end{aligned}\right.\)

c. Ta có

\(\left\{\begin{aligned} &u_1-u_3+u_5=65 \\ &u_1+u_7=325\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1-u_1{q}^2+u_1{q}^4=65 \\ &u_1+u_1{q}^6=325\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1(1-q^2+q^4)=65 (1) \\ &u_1(1+q^6)=325.\quad (2)\end{aligned}\right.\)

Lấy (2) chia (1), ta được

\(\displaystyle\frac{1+q^6}{1-q^2+q^4}=\displaystyle\frac{325}{65} \Leftrightarrow 1+q^2=5 \Leftrightarrow q=\pm 2\).

Vậy

\(\left\{\begin{aligned} &u_1=5 \\ &q=2\end{aligned}\right. \) hoặc \(\left\{\begin{aligned} &u_1=5 \\ &q=-2\end{aligned}\right.\)

d. Ta có

\(\left\{\begin{aligned} &u_2-u_4+u_5=10 \\ &u_3-u_5+u_6=20\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1q-u_1{q}^3+u_1{q}^4=10 \\ &u_1{q}^2-u_1{q}^4+u_1{q}^5=20\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} u_1q(1-q^2+q^3)=10 (1) \\ u_1{q}^2(1-q^2+q^3)=20.\quad (2)\end{aligned}\right.\)

Lấy \((2)\) chia \((1)\), ta được \(q=2\).

Vậy \(\left\{\begin{aligned} &u_1=1 \\ &q=2.\end{aligned}\right. \)

a. Nếu \(u_1,\) \(u_2,\) \(u_3,\) \(u_4,\) \(u_5\) là một cấp số nhân với công bội \(q\) thì

\(\displaystyle\frac{1}{u_1},\) \(\displaystyle\frac{1}{u_2},\) \(\displaystyle\frac{1}{u_3},\) \(\displaystyle\frac{1}{u_4},\) \(\displaystyle\frac{1}{u_5}\)

cũng tạo thành cấp số nhân với công bội \(\displaystyle\frac{1}{q}\).

Do đó

\(\left\{\begin{aligned} &u_1+u_2+u_3+u_4+u_5=49\left(\displaystyle\frac{1}{u_1}+\displaystyle\frac{1}{u_2}+\displaystyle\frac{1}{u_3}+\displaystyle\frac{1}{u_4}+\displaystyle\frac{1}{u_5}\right) \\ &u_1+u_3=35\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1\cdot \displaystyle\frac{q^5-1}{q-1}=49\left(\displaystyle\frac{1}{u_1}\cdot \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{q^5}-1}{\displaystyle\frac{1}{q}-1}\right) \quad (1) \\ &u_1+u_1{q}^2=35. \quad (2) \\ \end{aligned}\right.\)

Phương trình

\((1) \Leftrightarrow u_1\cdot \displaystyle\frac{q^5-1}{q-1}=\displaystyle\frac{49}{u_1}\left(\displaystyle\frac{q^5-1}{q^4(q-1)}\right)\) \(\Leftrightarrow u_1^2q^4=49 \Leftrightarrow u_1{q}^2=\pm 7\).

Với \(u_1{q}^2=7\). Thay vào \((2)\), ta được \(u_1+7=35 \Leftrightarrow u_1=28\).

Vậy \(\left\{\begin{aligned} &u_1=28 \\ &q=\displaystyle\frac{1}{2}\end{aligned}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{aligned} &u_1=28 \\ &q=-\displaystyle\frac{1}{2}.\end{aligned}\right. \)

Với \(u_1{q}^2=-7\). Thay vào \((2)\), ta được \(u_1-7=35 \Leftrightarrow u_1=42\).

Suy ra \(q^2=-\displaystyle\frac{7}{42}\): vô lý.

b. Từ \(u_1\cdot u_2\cdot u_3=64\) \(\Leftrightarrow u_1\cdot u_1q\cdot u_1{q}^2=64\) \(\Leftrightarrow {(u_1q)}^3=64\) \(\Leftrightarrow u_1q=4\) hay \(u_2=4\).

Thay vào hệ, ta được

\(\left\{\begin{aligned}&u_1+4+u_3=14 \\ &u_1\cdot 4\cdot u_3=64\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1+u_3=10 \\ &u_1\cdot u_3=16\end{aligned}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1=8 \\ &u_3=2\end{aligned}\right. \) hoặc \(\left\{\begin{aligned} &u_1=2 \\ &u_3=8.\end{aligned}\right.\)

Vậy \(\left\{\begin{aligned} &u_1=8 \\ &q=\displaystyle\frac{1}{2}\end{aligned}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{aligned} &u_1=2 \\ &q=2.\end{aligned}\right. \)

a. Ta có

\(\left\{\begin{aligned}&u_1+u_2+u_3=26 \\ &u_1^2+u_2^2+u_3^2=364\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&u_1(1+q+q^2)=26 \\ &u_1^2(1+q^2+q^4)=364\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1^2(1+q+q^2)^2=26^2\quad (1) \\ &u_1^2(1+q^2+q^4)=364.\quad (2)\end{aligned}\right.\)

Lấy \((1)\) chia \((2)\), ta được

\(\displaystyle\frac{(1+q+q^2)^2}{1+q^2+q^4}=\displaystyle\frac{26^2}{364}\) \(\Leftrightarrow 3q^4-7q^3-4q^2-7q+3=0\) \(\Leftrightarrow 3\left(q^2+\displaystyle\frac{1}{q^2}\right)-7\left(q+\displaystyle\frac{1}{q}\right)-4=0\).

Đặt \(t=q+\displaystyle\frac{1}{q}\), \(\left|t\right|\geqslant 2\).

Phương trình trở thành \(3t^2-7t-10=0 \Leftrightarrow t=-1\) (loại) hoặc \(t=-\displaystyle\frac{10}{3}\).

Với \(t=-\displaystyle\frac{10}{3}\), suy ra

\(q+\displaystyle\frac{1}{q}=-\displaystyle\frac{10}{3}\)\(\Leftrightarrow 3q^2-10q+3=0 \Leftrightarrow q=3\) hoặc \(q=\displaystyle\frac{1}{3}\).

b. Nếu \(u_1,u_2,u_3,u_4,u_5\) là một cấp số nhân với công bội \(q\) thì \(u_1^2,u_2^2,u_3^2,u_4^2\) cũng tạo thành cấp số nhân với công bội \(q^2\).

Do đó

\(\left\{\begin{aligned}&u_1+u_2+u_3+u_4=15 \\ &u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=85\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&u_1\left(\displaystyle\frac{q^4-1}{q-1}\right)=15 \\ &u_1^2\left(\displaystyle\frac{q^8-1}{q^2-1}\right)=85\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1^2{\left(\displaystyle\frac{q^4-1}{q-1}\right)}^2=225\quad (1) \\ &u_1^2\left(\displaystyle\frac{q^8-1}{q^2-1}\right)=85.\quad (2)\end{aligned}\right.\)

Lấy \((1)\) chia \((2)\) và rút gọn ta được

\(14q^4-17q^3-17q^2-17q+14=0\) \(\Leftrightarrow 14\left(q^2+\displaystyle\frac{1}{q^2}\right)-17\left(q+\displaystyle\frac{1}{q}\right)-17=0\).

Đặt \(t=q+\displaystyle\frac{1}{q}\), \(\left|t\right|\geqslant 2\).

Phương trình trở thành

\(14t^2-17t-45=0\) \(\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{5}{2}\) hoặc \(t=-\displaystyle\frac{9}{7}\) (loại).

Với \(t=\displaystyle\frac{5}{2}\), suy ra

\(q+\displaystyle\frac{1}{q}=\displaystyle\frac{5}{2}\) \(\Leftrightarrow 2q^2-5q+2=0 \Leftrightarrow q=2\) hoặc \(q=\displaystyle\frac{1}{2}\).

a. Ta có

\(\left\{\begin{aligned} &u_1=1 \\ &S_8=\displaystyle\frac{3^8-1}{2}\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1=1 \\ &u_1\cdot \displaystyle\frac{q^8-1}{q-1}=\displaystyle\frac{3^8-1}{2}\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&u_1=1 \\ &q=3. \\ &\end{aligned}\right. \)

b. Ta có

\(\left\{\begin{aligned}&S_4=40 \\ &S_8=680\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1\cdot \displaystyle\frac{q^4-1}{q-1}=40\quad (1) \\ &u_1\cdot \displaystyle\frac{q^8-1}{q-1}=680.\quad (2)\end{aligned}\right.\)

Lấy \((2)\) chia cho \((1)\), ta được

\(q^4+1=17 \Leftrightarrow q^4=16 \Leftrightarrow q=\pm 2\).

Vậy \(\left\{\begin{aligned}&u_1=\displaystyle\frac{8}{3} \\ &q=2\end{aligned}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{aligned} &u_1=-8 \\ &q=-2.\end{aligned}\right.\)

a. Ta có

\(\begin{cases}u_1+u_1q^4=51\\u_1q+u_1q^5=102\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}u_1(1+q^4)=51\quad (1)\\ u_1q(1+q^4)=102\quad (2)\end{cases}\)

Lấy (2) chia (1), vế theo vế, ta có \(q=2\Rightarrow u_1=3\).

Vậy \(u_1=3\), \(q=2\).

b. Ta có

\(S_n=3069\Leftrightarrow u_1\displaystyle\frac{q^n-1}{q-1}=3069\) \(\Leftrightarrow 3\displaystyle\frac{2^n-1}{1}=3069 \Leftrightarrow 2^n =1024 \Leftrightarrow n=10.\)

Vậy 3069 là tổng của 10 số hạng đầu tiên.

c. Ta có

\(u_n = 12288 \Leftrightarrow u_1q^{n-1}=12288\) \(\Leftrightarrow 3.2^{n-1}=12288\) \(\Leftrightarrow 2^{n-1}=4096 \) \(\Leftrightarrow n-1=12 \Leftrightarrow n=13.\)

Vậy \(12288\) là số hạng thứ \(13\).

a. Ta có

\(\begin{cases}u_1q^3-u_1q=72\\u_1q^4-u_1q^2=144.\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}u_1q(q^2-1)=72\quad(1)\\ u_1q^2(q^2-1)=144.\quad(2)\end{cases}\)

Lấy (2) chia (1), vế theo vế, ta có \(q=2 \Rightarrow u_1=12\).

Vậy \(u_1=12\), \(q=2\).

b. Ta có

\(S_n = 3060 \Leftrightarrow 12\displaystyle\frac{2^n-1}{1}=3060 \Leftrightarrow n=8\).

Vậy \(3060\) là tổng của 8 số hàng đầu tiên.

c. Ta có

\(u_n = 24576 \Leftrightarrow 12.2^{n-1}=24576\) \(\Leftrightarrow 2^{n-1}=2048 \Leftrightarrow n-1=11 \Leftrightarrow n=12\).

Vậy \(24576\) là số hạng thứ \(12\).

Ta có

\(\begin{cases}u_1q^2+u_1q^4=90\\ u_1q-u_1q^5=240.\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} u_1q^2(1+q^2)=90\quad (1)\\ u_1q(1-q^4)=270.\quad (2)\end{cases}\)

Lấy (2) chia (1), vế theo vế, ta có

\(\displaystyle\frac{1-q^4}{q(1+q^2)}=\displaystyle\frac{8}{3}\) \(\Leftrightarrow 1-q^2=\displaystyle\frac{8}{3}q\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&q=\displaystyle\frac{1}{3}\Rightarrow u_1=729\\ &q=-3\Rightarrow u_1=1.\end{aligned}\right.\)

Vậy \(\begin{cases}u_1=1\\q=-3\end{cases}\) hay \(\begin{cases}u_1=729\\q=\displaystyle\frac{1}{3}.\end{cases}\)

Ta có

\(\begin{cases}u_1+u_1q+u_1q^2=14\\u_1\cdot u_1q\cdot u_1q^2=64\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}u_1(1+q+q^2)=14\quad(1)\\u_1q=4.\quad(2)\end{cases}\)

Lấy (2) chia (1), vế theo vế, ta có

\(\displaystyle\frac{q}{1+q+q^2}=\displaystyle\frac{2}{7}\) \(\Leftrightarrow 2q^2-5q+2=0 \) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&q=\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow u_1=8\\&q=2\Rightarrow u_1=2.\end{aligned}\right.\)

Vậy \(\begin{cases}u_1=8\\q=\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases}\) hay \(\begin{cases}u_1=2\\q=2.\end{cases}\)

Ta có

\(\begin{cases}u_1q+u_1q^4-u_1q^3=10\\u_1q^2+u_1q^5-u_1q^4=20\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}u_1q(1+q^3-q^2)=10\quad (1)\\ u_1q^2(1+q^3-q^2)=20.\quad(2)\end{cases}\)

Lấy (2) chia (1), vế theo vế, ta có \(q=2\Rightarrow u_1=1\).

Vậy \(\begin{cases}u_1=1\\q=2.\end{cases}\)

Ta có

\(\begin{cases}u_1-u_1q^2+u_1q^4=65\\u_1+u_1q^6=325\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}u_1(1-q^2+q^4)=65\quad(1)\\ u_1(1+q^2)(1-q^2+q^4)=325.\quad(2)\end{cases}\)

Lấy (2) chia (1), vế theo vế, ta có

\(1+q^2=5 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&q=-2\Rightarrow u_1=5\\ &q=2\Rightarrow u_1=5.\end{aligned}\right.\)

Vậy \(\begin{cases}u_1=5\\q=2\end{cases}\) hay \(\begin{cases}u_1=5\\q=-2.\end{cases}\)

Ta có

\(\begin{cases}u_1+u_1q+u_1q^2=135\\ u_1q^3+u_1q^4+u_1q^5=40\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}u_1(1+q+q^2)=135\quad (1)\\u_1q^3(1+q+q^2)=40.\quad(2)\end{cases}\)

Lấy (2) chia (1), vế theo vế, ta có

\(q^3=\displaystyle\frac{8}{27}\) \(\Leftrightarrow q=\displaystyle\frac{2}{3}\Rightarrow u_1=\displaystyle\frac{1215}{19}.\)

Vậy \(\begin{cases}u_1=\displaystyle\frac{1215}{19}\\q=\displaystyle\frac{2}{3}.\end{cases}\)

Ta có

\(\begin{aligned}&\begin{cases}u_1q+u_1q^3+u_1q^5=-42\\u_1q^2+u_1q^4=20}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}u_1q(1+q^2+q^4)=-42(1)\\ u_1q^2(1+q^2)=20.(2)\end{cases}\end{aligned}\)

Lấy (1) chia (2), vế theo vế, ta có

\(\begin{aligned}&\displaystyle\frac{1+q^2+q^4}{q^3+q}=\displaystyle\frac{-21}{10}\\ \Leftrightarrow\ &10q^4+21q^3+10q^2+21q+10=0\\ \Leftrightarrow\ &(2q^2+5q+2)(5q^2-2q+5)=0\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&q=-2\; (l)\\ &q=-\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow u_1=61.\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Vậy \(\begin{cases}u_1=64\\q=-\displaystyle\frac{1}{2}.\end{cases}\)

Ta có

\(\begin{cases}u_1+u_1q^2=3\\u_1^2+u_1^2q^2=5\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}u_1(1+q^2)=3\quad (1)\\u_1^2(1+q^2)=5.\quad (2)\end{cases}\)

Lấy (2) chia (1), vế theo vế, ta có

\(u_1=\displaystyle\frac{5}{3}\Rightarrow q=\displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{5}\; (q>0).\)

Vậy \(\begin{cases}u_1=\displaystyle\frac{5}{3}\\q=\displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{5}.\end{cases}\)

Ta có

\(\begin{cases}u_1+u_1q+u_1q^2=7\\u_1^2+u_1^2q^2+u_1^2q^4=21\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}u_1(1+q+q^2)=7\\u_1^2(1+q^2+q^4)=21\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}u_1^2(1+q+q^2)^2=49\quad (1)\\u_1^2(1+q^2+q^4)=21.\quad (2)\end{cases}\)

Lấy (2) chia (1), vế theo vế, ta có

\(\displaystyle\frac{1+q^2+q^4}{(1+q+q^2)^2}=\displaystyle\frac{3}{7}\) \(\Leftrightarrow 1-q+q^2-3=0 \) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1-q+q^2}{1+q+q^2}=\displaystyle\frac{3}{7} \) \(\Leftrightarrow 4q^2-10q+4=0 \) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}q=2\Rightarrow u_1=1\\q=\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow u_1=4.\end{aligned}\right.\)

Vậy \(\begin{cases}u_1=1\\q=2\end{cases}\) hay \(\begin{cases}u_1=4\\q=\displaystyle\frac{1}{2}.\end{cases}\)

Ta có

\(2046=S_n=u_1\cdot \displaystyle\frac{1-q^n}{1-q}=-6.\displaystyle\frac{1-{\left(-2\right)}^n}{1-\left(-2\right)}=2\left({\left(-2\right)}^n-1\right)\) \(\Rightarrow {\left(-2\right)}^n=1024\Leftrightarrow n=10.\)

Ta có

\({5}^{n-1}-1=S_n=u_1.\displaystyle\frac{1-q^n}{1-q}=\displaystyle\frac{u_1}{q-1}\left(q^n-1\right)\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} u_1=q-1 \\ q=5\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u_1=4 \\ q=5.\end{cases}\)

Khi đó \(u_4=u_1q^3=4\cdot 5^3=500\).

Ta có

\(\displaystyle\frac{3^n-1}{{3}^{n-1}}=3\left(1-{\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)}^n\right)=S_n=\displaystyle\frac{u_1}{1-q}\left(1-q^n\right)\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} u_1=3\left(1-q\right) \\ q=\displaystyle\frac{1}{3}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} u_1=2 \\ q=\displaystyle\frac{1}{3}.\end{cases}\)

Khi đó \(u_5=u_1q^4=\displaystyle\frac{2}{3^4}\).

a. Ta thấy các số hạng của tổng \(S\) tạo thành một cấp số nhân với \(u_1=1\) và \(q=\pi \).

Do đó

\(S=1+\pi +\pi^2+\cdots +\pi^{100}\) \(=1.\displaystyle\frac{1-\pi^{101}}{1-\pi}\) \(=\displaystyle\frac{\pi^{101}-1}{\pi -1}\).

b. Ta thấy các số hạng của tổng \(S\) tạo thành một cấp số nhân với \(u_1=1\) và \(q=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Do đó

\(S=1+\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{2^2}+\cdots +\displaystyle\frac{1}{2^n}\) \(=1\cdot \displaystyle\frac{1-{\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)}^{n+1}}{1-\displaystyle\frac{1}{2}}=\displaystyle\frac{2^{n+1}-1}{2^n}\).

Ba số \(x\), \(5\), \(2y\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên \(x+2y=10\Rightarrow 2y=10-x\).

Ba số \(x\), \(4\), \(2y\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên \(2xy=16\).

Suy ra

\((10-x)x=16 \Leftrightarrow x^2-10x+16=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=8\Rightarrow 2y=2\\ &x=2 \Rightarrow 2y=8.\end{aligned}\right.\)

Suy ra \(|x-2y|=6\).

Ba số \(x\), \(5\), \(3y\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên

\(x+3y=10\Rightarrow 3y=10-x\).

Ba số \(x\), \(3\), \(3y\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên \(3xy=9\).

Suy ra

\((10-x)x=9 \Leftrightarrow x^2-10x+9=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}x=1\Rightarrow 3y=9\\x=9 \Rightarrow 3y=1.\end{aligned}\right.\)

Suy ra \(|x-3y|=8\).

Ba số \(5x-y\), \(2x+3y\), \(x+2y\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên \(6x+y=4x+6y\).

Ba số \((y+1)^2\), \(xy+1\), \((x-1)^2\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên

\((y+1)^2(x-1)^2=(xy+1)^2\).

Ta có hệ

\(\begin{cases}2x=5y\\ \left[\begin{aligned}&xy-y+x-1=xy+1\\ &xy-y+x-1=-xy-1\end{aligned}\right.\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}2x=5y\\ \left[\begin{aligned}&x-y=2\\ &2xy-y+x=0.\end{aligned}\right.\end{cases}\)

Với

\(\begin{cases}2x-5y=0\\x-y=2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x=\displaystyle\frac{10}{3}\\y=\displaystyle\frac{4}{3}.\end{cases}\)

Với

\(\begin{cases}y=\displaystyle\frac{2x}{5}\\y(2x-1)+x=0\end{cases}\) \(\Rightarrow 2x(2x-1)+5x=0\) \(\Leftrightarrow 4x^2+3x=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\Rightarrow y=0\\ &x=-\displaystyle\frac{3}{4}\Rightarrow y=-\displaystyle\frac{3}{10}.\end{aligned}\right.\)

Vậy \((x;y)=\left\{(0;0),\;\left(\displaystyle\frac{10}{3};\displaystyle\frac{4}{3}\right),\; \left(-\displaystyle\frac{3}{4};-\displaystyle\frac{3}{10}\right)\right\}.\)

Ba số \(x+5y\), \(5x+2y\), \(8x+y\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên \(9x+6y=10x+4y\).

Ba số \((y-1)^2\), \(xy-1\), \((x+1)^2\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên

\((y-1)^2(x+1)^2=(xy-1)^2\).

Ta có hệ

\(\begin{cases}x=2y\\ \left[\begin{aligned}&xy+y-x-1=xy-1\\ &xy+y-x-1=1-xy\end{aligned}\right.\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x=2y\\ \left[\begin{aligned}&x=y\\ &2xy+y-x=2.\end{aligned}\right.\end{cases}\)

Với \(\begin{cases}x-2y=0\\x-y=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x=0\\y=0.\end{cases}\)

Với

\(\begin{cases}x=2y\\2xy+y=x+2\end{cases}\) \(\Rightarrow 4y^2+y-2y-2=0 \) \(\Leftrightarrow 4y^2-y-2=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&y=\displaystyle\frac{1+\sqrt{33}}{8}\Rightarrow x= \displaystyle\frac{1+\sqrt{33}}{4}\\ &y=\displaystyle\frac{1-\sqrt{33}}{8}\Rightarrow x=\displaystyle\frac{1-\sqrt{33}}{4}.\end{aligned}\right.\)

Vậy \((x;y)=\left\{(0;0),\;\left(\displaystyle\frac{1+\sqrt{33}}{4};\displaystyle\frac{1+\sqrt{33}}{8}\right),\; \left(\displaystyle\frac{1-\sqrt{33}}{4};\displaystyle\frac{1-\sqrt{33}}{8}\right)\right\}.\)

Theo đề bài, ta có

\(\begin{cases}xz=y^2\\xz=(y-4)^2\\x+z-9=2y-8\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y=2\\xz=4\\x+z=5\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y=2\\z=\displaystyle\frac{4}{x}\\x^2-5x+4=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y=2\\z=\displaystyle\frac{4}{x}\\ \left[\begin{aligned}x=1\\x=4\end{aligned}\right.\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}x=1\\y=2\\z=4\end{cases}\) hay \(\begin{cases}x=4\\y=2\\z=1.\end{cases}\)

Vậy \((x;y;z)=\left\{(1;2;4),\; (4;2;1)\right\}\).

Theo đề bài, ta có

\(\begin{cases}a+c=2b\\ac=b^2\\a+b+c=30\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}b=10\\a+c=20\\ac=100\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}b=10\\c=\displaystyle\frac{100}{a}\\a^2-20a+100=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=10\\b=10\\c=10.\end{cases}\)

Vậy \((a;b;c)=(10;10;10)\).

Theo đề bài, ta có

\(\begin{aligned}&\displaystyle\frac{\sin \alpha .\tan\alpha}{6}=\cos^2 \alpha\\ \Leftrightarrow\ &1-\cos^2\alpha = 6\cos^3\alpha\\ \Leftrightarrow\ &\cos\alpha=\displaystyle\frac{1}{2 }.\\ \Rightarrow\ &\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha-1=-\displaystyle\frac{1}{2}.\end{aligned}\)

Do độ dài cạnh \(BC\), trung tuyến \(AM\) và độ dài cạnh \(AB\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có công bội \(q\) nên \(q > 0\).

Giả sử độ dài cạnh \(BC = a\) với \(a>0\) thì \(AM = aq\), \(AB = aq^2\).

Do \(\triangle ABC\) cân tại \(A\), \(M\) là trung điểm \(BC\) nên tam giác \(ABM\) vuông tại \(M\), khi đó

\(AM^2 + BM^2 = AB^2\) \(\Leftrightarrow a^2q^2 + \displaystyle\frac{a^2}{4} = a^2q^4\) \(\Leftrightarrow q^4 - q^2 - \displaystyle\frac{1}{4} = 0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}q^2 = \displaystyle\frac{1+\sqrt{2}}{2}\\q^2 = \displaystyle\frac{1-\sqrt{2}}{2}\,\,\,\text{(VN)}.\end{aligned}\right.\)

Với \(q^2 = \displaystyle\frac{1 + \sqrt{2}}{2}\) \(\Rightarrow q = \displaystyle\frac{\sqrt{2+2\sqrt{2}}}{2}\) (do \(q > 0\)).

Gọi ba số liên tiếp của cấp số nhân có dạng \(x\), \(xq\), \(xq^2\) với công bội là \(q\), (\(x, q > 0\)).

Theo đề ta có

\(\begin{cases}x+xq+xq^2 = 7\\\displaystyle\frac{1}{x} + \displaystyle\frac{1}{xq} + \displaystyle\frac{1}{xq^2} = \displaystyle\frac{7}{4}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x\cdot \left(1+q+q^2\right) = 7\\\displaystyle\frac{1+q+q^2}{xq^2} = \displaystyle\frac{7}{4}\end{cases} \xrightarrow{\text{chia}} x^2q^2 = 4\).

Do \(x, q > 0\) nên \(x^2q^2 = 4 \Rightarrow xq = 2\).

Khi đó

\(x=\displaystyle\frac{2}{q} \Rightarrow \displaystyle\frac{2}{q}\left(1+q+q^2\right) = 7\) \(\Leftrightarrow 2q^2 - 5q + 2 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}q=2\Rightarrow x=1\\q=\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow x = 4.\end{aligned}\right.\)

Vậy có hai cấp số nhân thỏa yêu cầu bài toán là \(1\), \(2\), \(4\) hoặc \(4\), \(2\), \(1\).

Gọi ba số liên tiếp của cấp số nhân có dạng \(x\), \(xq\), \(xq^2\) với công bội là \(q\), (\(x, q > 0\)).

Theo đề ta có

\(\begin{cases}x+xq+xq^2 = 14\\\displaystyle\frac{1}{x} + \displaystyle\frac{1}{xq} + \displaystyle\frac{1}{xq^2} = \displaystyle\frac{7}{8}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x\cdot \left(1+q+q^2\right) = 14\\\displaystyle\frac{1+q+q^2}{xq^2} = \displaystyle\frac{7}{8}\end{cases} \xrightarrow{\text{chia}} x^2q^2 = 16\).

Do \(x, q > 0\) nên \(x^2q^2 = 16 \Rightarrow xq = 4\).

Khi đó

\(x=\displaystyle\frac{4}{q} \Rightarrow \displaystyle\frac{4}{q}\left(1+q+q^2\right) = 14\) \(\Leftrightarrow 4q^2 - 10q + 4 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}q=2\Rightarrow x=2\\q=\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow x = 8.\end{aligned}\right.\)

Vậy có hai cấp số nhân thỏa yêu cầu bài toán là \(2\), \(4\), \(8\) hoặc \(8\), \(4\), \(2\).

Gọi cấp số nhân cần tìn có số hạng đầu \(u_1 = 160\), số hạng cuối là \(u_6 = 5\), công bội của cấp số nhân là \(q\).

Khi đó ta có

\(u_6 = u_1 \cdot q^5\) \(\Leftrightarrow 5 = 160q^5 \Rightarrow q = \displaystyle\frac{1}{2}\).

Vậy cấp số nhân cần tìm là \(160\), \(80\), \(40\), \(20\), \(10\), \(5\).

Gọi cấp số nhân cần tìn có số hạng đầu \(u_1 = 243\), số hạng cuối là \(u_6 = 1\), công bội của cấp số nhân là \(q\).

Khi đó ta có

\(u_6 = u_1 \cdot q^5\) \(\Leftrightarrow 1 = 243q^5 \Rightarrow q = \displaystyle\frac{1}{3}\).

Vậy cấp số nhân cần tìm là \(243\), \(81\), \(27\), \(9\), \(3\), \(1\).

Gọi cấp số nhân cần tìm là \(u_1,u_2,u_3,\cdots,u_7\) với công bội \(q\).

Theo giả thiết, ta có hệ phương trình

\(\left\{\begin{aligned} &u_4=6 \\ &u_7=243u_2\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1{q}^3=6 \\ &u_1{q}^6=243u_1q\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1{q}^3=6 \\ &q=3\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1=\displaystyle\frac{6}{27} \\ &q=3.\end{aligned}\right.\)

Vậy số hạng thứ hai của cấp số nhân là

\(u_2=u_1q=\displaystyle\frac{6}{27}\cdot 3=\displaystyle\frac{2}{3}\).

Gọi ba số cần tìm là \(u_1,u_2,u_3\) với \(u_1\ne u_2\ne u_3\ne u_1\).

Theo giả thiết \(u_1,u_2,u_3\) lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ hai mươi lăm của một cấp số cộng với công sai \(d\ne 0\) nên \(u_1,u_2=u_1+3d,u_3=u_1+24d\).

\(\bullet\) \(u_1,u_2,u_3\) có tổng bằng \(114\) nên

\(u_1+u_2+u_3=114\) \(\Leftrightarrow u_1+(u_1+3d)+(u_1+24d)=114\) \(\Leftrightarrow u_1+9d=38\).

\(\bullet\) \(u_1,u_2,u_3\) tạo thành cấp số nhân

\(\Leftrightarrow u_1u_3=u_2^3\) \(\Leftrightarrow u_1\cdot (u_1+24d)={(u_1+3d)}^2\) \(\Leftrightarrow \mathrm{d}(d-2u_1)=0\) \(\Leftrightarrow d-2u_1=0\) (do \(d\ne 0\) ).

Từ đó ta có hệ phương trình

\(\left\{\begin{aligned} &u_1+9d=38 \\ &d-2u_1=0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &u_1=2 \\ &d=4.\end{aligned}\right.\)

Vậy ba số cần tìm là \(2,14,98\).

Gọi ba số cần tìm là \(u_1,u_2,u_3\) với \(u_1\ne u_2\ne u_3\ne u_1\).

+) \(u_1,u_2,u_3\) tạo thành cấp số cộng với công sai \(d\ne 0\) nên \(u_1,u_2=u_1+d,u_3=u_1+2d\).

Hơn nữa, \(u_1+u_2+u_3=6 \Leftrightarrow u_1+(u_1+d)+(u_1+2d)=6 \Leftrightarrow u_1+d=2\).

+) \(u_2,u_1,u_3\) tạo thành cấp số nhân hay \(u_1+d,u_1,u_1+2d\) tạo thành cấp số nhân khi và chỉ khi

\(\begin{aligned}&(u_1+d)(u_1+2d)=u_1^2 \\ \Leftrightarrow\ &(u_1+d)(u_1+d+d)=u_1^2\\ \Leftrightarrow\ &2(2+2-u_1)=u_1^2\\ \Leftrightarrow\ &u_1^2+2u_1-8=0\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned} &u_1=2 \\ &u_1=-4.\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Với \(u_1=2\), suy ra \(d=0\): không thỏa mãn.

Với \(u_1=-4\), suy ra \(d=6\).

Vậy ba số cần tìm là \(-4,2,8\).

Gọi bốn số cần tìm là \(u_1,u_2,u_3,u_4\) với \(u_i\in {\mathbb{Z}}^+\), \(i=1,2,3,4\).

Ta có

\(\bullet\) \(u_1,u_2,u_3\) lập thành cấp số cộng với công sai \(d\) nên

\(u_1=u_2-d,u_2,u_3=u_2+d\).

\(\bullet\) \(u_2,u_3,u_4\) lập thành cấp số nhân với công bội \(q\) nên

\(u_2,u_3=u_2q,u_4=u_2q^2\).

Theo giả thiết, ta có

\(\left\{\begin{aligned} &u_1+u_4=37\quad(1) \\ &u_2+u_3=36.\quad(2)\end{aligned}\right.\)

Phương trình

\((1) \Leftrightarrow (u_2-d)+(u_{2q}^2)=37\) \(\Leftrightarrow u_2=\displaystyle\frac{37+d}{1+q^2}\).

Phương trình

\((2) \Leftrightarrow (u_2)+(u_2q)=36\) \(\Leftrightarrow u_2=\displaystyle\frac{36}{1+q}\).

Mặt khác,

\((2) \Leftrightarrow (u_2)+(u_2+d)=36\) \(\Leftrightarrow 2u_2+d=36\).

Suy ra

\(d=36-2u_2=36-\displaystyle\frac{72}{1+q}\) \(=\displaystyle\frac{36(q-1)}{1+q}\).

Từ đó, ta có

\(\displaystyle\frac{37+d}{1+q^2}=\displaystyle\frac{36}{1+q}\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{37+\displaystyle\frac{36(q-1)}{1+q}}{1+q^2}=\displaystyle\frac{36}{1+q}\) \(\Leftrightarrow 36q^2-73q+35=0\) \(\Leftrightarrow q=\displaystyle\frac{7}{9}\) hoặc \(q=\displaystyle\frac{5}{4}\).

Với \(q=\displaystyle\frac{7}{9}\), suy ra

\(u_2=\displaystyle\frac{81}{4}\notin {\mathbb{Z}}^+\): không thỏa mãn.

Với \(q=\displaystyle\frac{5}{4}\), suy ra \(u_2=16,u_3=20,u_4=25,u_1=12\).

Vậy bốn số cần tìm là \(12,16,20,25\).

Gọi ba số cần tìm là \(a,b,c\) với \(a\ne b\ne c\ne a\).

\(\bullet\) \(a,b,c\) lập thành cấp số cộng \(a+c=2b\).

\(\bullet\) \(a^2,b^2,c^2\) lập thành cấp số nhân \(a^2c^2=b^4\).

Nhận xét. Nếu \(a,b,c\) thỏa mãn bài toán thì \(ka,kb,kc\left(k\ne 0\right)\) cũng thỏa mãn bài toán.

Đặt \(b=1\). Ta có cấp số cộng là \(a,1,c\) và cấp số nhân là \(a^2,1,c^2\).

Khi đó ta có hệ

\(\left\{\begin{aligned}&a+c=2 \\ &a^2c^2=1.\end{aligned}\right.\)

Trường hợp 1. \(\left\{\begin{aligned} &a+c=2 \\ &ac=1\end{aligned}\right. \Leftrightarrow a=c=1\) (loại).

Trường hợp 2. \(\left\{\begin{aligned} &a+c=2 \\ &a.c=-1\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &a=1-\sqrt{2} \\ &c=1+\sqrt{2}\end{aligned}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{aligned} &a=1+\sqrt{2} \\ &c=1-\sqrt{2}.\end{aligned}\right.\)

Vậy các bộ số thích hợp là \(k\left(1-\sqrt{2}\right),k,k\left(1+\sqrt{2}\right)\) hoặc \(k\left(1+\sqrt{2}\right),k,k\left(1-\sqrt{2}\right)\) với \(\left(k\ne 0\right)\).

Theo giả thiết bài toán, ta có hệ phương trình

\(\begin{aligned}&\left\{\begin{aligned} &(x+6y)+(8x+y)=2(5x+2y) \\ &(x-1)(x-3y)=(y+2)^2\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left\{\begin{aligned} &x=3y \\ &(3y-1)(3y-3y)=(y+2)^2\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ & \left\{\begin{aligned} &x=3y \\ &0=(y+2)^2\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left\{\begin{aligned} &x=-6 \\ &y=-2.\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Theo giả thiết bài toán, ta có hệ phương trình

\(\begin{aligned}& \left\{\begin{aligned} &(2x+1)+(2y+1)=2(2x-y) \\ &(y+3)^2(x-1)^2=(xy+4)^2\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left\{\begin{aligned} &x-2y=1 \\ &(y+3)\left|x-1\right|=xy+4 \end{aligned}\right. (\text{do}\,\, x,y>0 )\\ \Leftrightarrow\ & \left\{\begin{aligned} &x=1+2y \\ &(y+3)\left|2y\right|=y+2y^2+4\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left\{\begin{aligned}

&x=1+2y \\ &5y=4\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left\{\begin{aligned} &x=\displaystyle\frac{13}{5} \\ &y=\displaystyle\frac{4}{5}.\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Để \(\displaystyle\frac{1}{a},\displaystyle\frac{1}{b},\displaystyle\frac{1}{c}\) lập thành một cấp số nhân

\(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{a}.\displaystyle\frac{1}{c}={\left(\displaystyle\frac{1}{b}\right)}^2\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{ac}=\displaystyle\frac{1}{b^2}\)

\(\Leftrightarrow ac=b^2 \Leftrightarrow a,b,c\) lập thành một cấp số nhân.

a. Vì \(a,b,c\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên \(a\cdot c=b^2\).

Ta có

\(VP=(ab+bc)^2=b^2(a+c)^2=b^2(a^2+2ac+c^2)\) \(=b^2(a^2+ac+ac+c^2)\)

\(=b^2(a^2+b^2+b^2+c^2)=(a^2b^2+b^4)+b^2(b^2+c^2)\)

\(=(a^2b^2+a^2c^2)+b^2(b^2+c^2)\) \(=a^2(b^2+c^2)+b^2(b^2+c^2)\) \(=(a^2+b^2)\cdot (b^2+c^2)=VT.\)

b. Vì \(a,b,c\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên \(a\cdot c=b^2\).

Ta có

\(VP=(a-2b-2c)^2={\left[a-2(b+c)\right]}^2\) \(=a^2-4a(b+c)+4(b+c)^2\)

\(=a^2-4ab-4ac+4b^2+8bc+4c^2\) \(=a^2-4ab-4ac+4ac+8bc+4c^2\)

\(=a^2-4ab+8bc+4c^2=VT\)

c. Vì \(a,b,c\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên \(a\cdot c=b^2\).

Ta có

\(VT=(a+b+c)(a-b+c)\) \(=a^2-ab+ac+ab-b^2+bc+ac-bc+c^2\)

\(=a^2-ab+b^2+ab-b^2+bc+b^2-bc+c^2\) \(=a^2+b^2+c^2=VP.\)

a. Vì \(a,b,c,d\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên

\(b^2=a\cdot c,c^2=b\cdot d,\displaystyle\frac{b}{a}=\displaystyle\frac{d}{c} \Leftrightarrow bc=ad\).

Ta có

\(VT=2b^2+2c^2+a^2+d^2-2bc-2ca-2bd\)

\(=2ac+2bd+a^2+d^2-2bc-2ca-2bd\)

\(=a^2+d^2-2bc=a^2+d^2-2ad\) \(=(a-d)^2=VP.\)

b. Vì \(a,b,c,d\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên

\(\displaystyle\frac{b}{a}=\displaystyle\frac{c}{b}=\displaystyle\frac{d}{c}\).

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số \((a;b;c)\) và \((b;c;d)\), ta có

\((ab+bc+cd)^2\leqslant (a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)\).

Dấu ``='' xảy ra khi và chi khi

\(\displaystyle\frac{b}{a}=\displaystyle\frac{c}{b}=\displaystyle\frac{d}{c}\).

c. Vì \(a,b,c,d\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên \(b^2=a\cdot c,c^2=b\cdot d\).

Ta có

\(VT=a^2b^2c^2\left(\displaystyle\frac{1}{a^3}+\displaystyle\frac{1}{b^3}+\displaystyle\frac{1}{c^3}\right)\) \(=\displaystyle\frac{b^2c^2}{a}+\displaystyle\frac{a^2c^2}{b}+\displaystyle\frac{a^2b^2}{c}\)

\(=\displaystyle\frac{(ac)c^2}{a}+\displaystyle\frac{(ac)^2}{b}+\displaystyle\frac{a^2(ac)}{c}\) \(=\displaystyle\frac{ac^3}{a}+\displaystyle\frac{b^4}{b}+\displaystyle\frac{a^3c}{c}=a^3+b^3+c^3=VP.\)

Vì ba số \(\displaystyle\frac{2}{b-a},\displaystyle\frac{1}{b},\displaystyle\frac{2}{b-c}\) lập thành một cấp số cộng nên

\(\displaystyle\frac{2}{b-a}+\displaystyle\frac{2}{b-c}=\displaystyle\frac{2}{b}\)

\( \Leftrightarrow b(b-c)+b(b-a)=(b-a)(b-c)\) \(\Leftrightarrow b^2-bc+b^2-ab=b^2-bc-ab+ac\) \(\Leftrightarrow b^2=ac\).

Vậy \(a,b,c\) tạo thành cấp số nhân.

Theo giả thiết \(a,b,c\) theo thứ tự lập thành cấp cố cộng nên \(a+c=2b\).

a. Áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác \(ABC\), ta có

\(\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\displaystyle\frac{b}{\sin B}=\displaystyle\frac{c}{\sin C}=2R\).

Do đó

\(a+c=2b\) \(\Leftrightarrow 2R\sin A+2R\sin C=2\cdot 2R\sin B\) \(\Leftrightarrow \sin A+\sin C=2\cdot \sin B\).

b. Theo định lý hàm số sin và tính chất tỷ lệ thức, ta có

\(\displaystyle\frac{b}{\sin B}=\displaystyle\frac{a}{\sin A}\) \(=\displaystyle\frac{c}{\sin C}\) \(=\displaystyle\frac{a+c}{\sin A+\sin C}\) \(=\displaystyle\frac{2b}{2\sin \left(\displaystyle\frac{A+C}{2}\right)\cos \left(\displaystyle\frac{A-C}{2}\right)}\) \(=\displaystyle\frac{b}{\cos \displaystyle\frac{B}{2}\cos \left(\displaystyle\frac{A-C}{2}\right)}\).

Suy ra

\(\begin{aligned}& \sin B=\cos \displaystyle\frac{B}{2}\cos \left(\displaystyle\frac{A-C}{2}\right)\\ \Leftrightarrow\ &2\sin \displaystyle\frac{B}{2}=\cos \left(\displaystyle\frac{A-C}{2}\right)\\ \Leftrightarrow\ &2\cos \left(\displaystyle\frac{A+C}{2}\right)=\cos \left(\displaystyle\frac{A-C}{2}\right)\\ \Leftrightarrow\ & 2\left(\cos \displaystyle\frac{A}{2}\cos \displaystyle\frac{C}{2}-\sin \displaystyle\frac{A}{2}\sin \displaystyle\frac{C}{2}\right)=\left(\cos \displaystyle\frac{A}{2}\cos \displaystyle\frac{C}{2}+\sin \displaystyle\frac{A}{2}\sin \displaystyle\frac{C}{2}\right) \\ \Leftrightarrow\ & \cos \displaystyle\frac{A}{2}\cos \displaystyle\frac{C}{2}=3\sin \displaystyle\frac{A}{2}\sin \displaystyle\frac{C}{2}\\ \Leftrightarrow\ &\tan \displaystyle\frac{A}{2}\tan \displaystyle\frac{C}{2}=\displaystyle\frac{1}{3}.\end{aligned}\)

Theo giả thiết \(\tan \displaystyle\frac{A}{2},\) \(\tan \displaystyle\frac{B}{2},\) \(\tan\displaystyle\frac{C}{2}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên

\(\begin{aligned} & \tan \displaystyle\frac{A}{2}+\tan \displaystyle\frac{C}{2}=2\tan \displaystyle\frac{B}{2}\\ \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{\sin \displaystyle\frac{A}{2}}{\cos \displaystyle\frac{A}{2}}+\displaystyle\frac{\sin \displaystyle\frac{C}{2}}{\cos \displaystyle\frac{C}{2}}=2\displaystyle\frac{\sin \displaystyle\frac{B}{2}}{\cos \displaystyle\frac{B}{2}}\\ \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{\sin \displaystyle\frac{A}{2}\cos \displaystyle\frac{C}{2}+\sin \displaystyle\frac{C}{2}\cos \displaystyle\frac{A}{2}}{\cos \displaystyle\frac{A}{2}\cos \displaystyle\frac{C}{2}}=2\displaystyle\frac{\sin \displaystyle\frac{B}{2}}{\cos \displaystyle\frac{B}{2}}\\ \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{\sin \left(\displaystyle\frac{A}{2}+\displaystyle\frac{C}{2}\right)}{\cos \displaystyle\frac{A}{2}\cos \displaystyle\frac{C}{2}}=2\displaystyle\frac{\sin \displaystyle\frac{B}{2}}{\cos \displaystyle\frac{B}{2}}\\ \Leftrightarrow\ &\sin \left(\displaystyle\frac{A}{2}+\displaystyle\frac{C}{2}\right)\cdot \cos \displaystyle\frac{B}{2}=2\sin \displaystyle\frac{B}{2}\cdot \cos \displaystyle\frac{A}{2}\cos \displaystyle\frac{C}{2}.\end{aligned}\)

Mà \(\sin \left(\displaystyle\frac{A}{2}+\displaystyle\frac{C}{2}\right)\) \(=\cos \displaystyle\frac{B}{2};\sin \displaystyle\frac{B}{2}\) \(=\cos \left(\displaystyle\frac{A}{2}+\displaystyle\frac{C}{2}\right)\).

Do đó

\(\begin{aligned}& \sin \left(\displaystyle\frac{A}{2}+\displaystyle\frac{C}{2}\right)\cdot \cos \displaystyle\frac{B}{2}=2\sin \displaystyle\frac{B}{2}\cdot \cos \displaystyle\frac{A}{2}\cos \displaystyle\frac{C}{2}\\ \Leftrightarrow\ &\cos^2\displaystyle\frac{B}{2}=2\cos \left(\displaystyle\frac{A}{2}+\displaystyle\frac{C}{2}\right)\cos \displaystyle\frac{A}{2}\cos \displaystyle\frac{C}{2} \\ \Leftrightarrow\ &\cos^2\displaystyle\frac{B}{2}=2\left(\cos \displaystyle\frac{A}{2}\cos \displaystyle\frac{C}{2}-\sin \displaystyle\frac{A}{2}\sin \displaystyle\frac{C}{2}\right)\cos \displaystyle\frac{A}{2}\cos \displaystyle\frac{C}{2}\\ \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{1+\cos B}{2}=2\left(\cos^2\displaystyle\frac{A}{2}\cos^2\displaystyle\frac{C}{2}-\sin \displaystyle\frac{A}{2}\sin \displaystyle\frac{C}{2}\cos \displaystyle\frac{A}{2}\cos \displaystyle\frac{C}{2}\right) \\ \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{1+\cos B}{2}=2\left(\displaystyle\frac{1+\cos A}{2}\cdot \displaystyle\frac{1+\cos C}{2}-\displaystyle\frac{1}{4}\sin A\sin C\right)\\ \Leftrightarrow\ &1+\cos B=\left(1+\cos A\right)\left(1+\cos C\right)-\sin A\sin C \\ \Leftrightarrow\ &\cos B=\cos A+\cos C+\cos A\cos C-\sin A\sin C\\ \Leftrightarrow\ &\cos B=\cos A+\cos C+\cos (A+C) \\ \Leftrightarrow\ &\cos B=\cos A+\cos C-\cos B\\ \Leftrightarrow\ &2\cos B=\cos A+\cos C.\end{aligned}\)

Vậy \(\cos A,\cos B,\cos C\) cũng lập thành một cấp số cộng.

Theo giả thiết \(\cot \displaystyle\frac{A}{2},\) \(\cot \displaystyle\frac{B}{2},\) \(\cot \displaystyle\frac{C}{2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên

\(\begin{aligned}& \cot \displaystyle\frac{A}{2}+\cot \displaystyle\frac{C}{2}=2\cot \displaystyle\frac{B}{2}\\ \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{\cos \displaystyle\frac{A}{2}}{\sin \displaystyle\frac{A}{2}}+\displaystyle\frac{\cos \displaystyle\frac{C}{2}}{\sin \displaystyle\frac{C}{2}}=2\displaystyle\frac{\cos \displaystyle\frac{B}{2}}{\sin \displaystyle\frac{B}{2}}\\ \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{\cos \displaystyle\frac{A}{2}\sin \displaystyle\frac{C}{2}+\cos \displaystyle\frac{C}{2}\sin \displaystyle\frac{A}{2}}{\sin \displaystyle\frac{A}{2}\sin \displaystyle\frac{C}{2}}=2\displaystyle\frac{\cos \displaystyle\frac{B}{2}}{\sin \displaystyle\frac{B}{2}} \\ \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{\sin \left(\displaystyle\frac{A}{2}+\displaystyle\frac{C}{2}\right)}{\sin \displaystyle\frac{A}{2}\sin \displaystyle\frac{C}{2}}=2\displaystyle\frac{\cos \displaystyle\frac{B}{2}}{\sin \displaystyle\frac{B}{2}} \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{\cos \displaystyle\frac{B}{2}}{\sin \displaystyle\frac{A}{2}\sin \displaystyle\frac{C}{2}}=2\displaystyle\frac{\cos \displaystyle\frac{B}{2}}{\sin \displaystyle\frac{B}{2}} \\ \Leftrightarrow\ &\sin \displaystyle\frac{B}{2}=2\sin \displaystyle\frac{A}{2}\sin \displaystyle\frac{C}{2} \Leftrightarrow\ &\cos \left(\displaystyle\frac{A}{2}+\displaystyle\frac{C}{2}\right)=2\sin \displaystyle\frac{A}{2}\sin \displaystyle\frac{C}{2} \\ \Leftrightarrow\ &\cos \displaystyle\frac{A}{2}\cos \displaystyle\frac{C}{2}-\sin \displaystyle\frac{A}{2}\sin \displaystyle\frac{C}{2}=2\sin \displaystyle\frac{A}{2}\sin \displaystyle\frac{C}{2}\\ \Leftrightarrow\ &\tan \displaystyle\frac{A}{2}\tan \displaystyle\frac{C}{2}=\displaystyle\frac{1}{3}.\end{aligned}\)

Đẳng thức \(\tan \displaystyle\frac{A}{2}\tan \displaystyle\frac{C}{2}=\displaystyle\frac{1}{3}\) chứng tỏ \(a,b,c\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng (đã chứng minh ở bài 58).

a. Vì \(\tan A,\tan B,\tan C\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên \(\tan A+\tan C=2\tan B\)

\(\begin{aligned} & \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\sin A}{\cos A}+\displaystyle\frac{\sin C}{\cos C}=2\displaystyle\frac{\sin B}{\cos B} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\sin A\cos C+\sin C\cos A}{\cos A\cos C}=2\displaystyle\frac{\sin B}{\cos B} \\ & \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\sin (A+C)}{\cos A\cos C}=2\displaystyle\frac{\sin B}{\cos B} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\sin (A+C)}{\cos A\cos C}=2\displaystyle\frac{\sin B}{\cos B} \\ & \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\sin B}{\cos A\cos C}=2\displaystyle\frac{\sin B}{\cos B} \Leftrightarrow \cos B=2\cos A\cos C \\ & \Leftrightarrow -\cos (A+C)=2\cos A\cos C \Leftrightarrow -\cos A\cos C+\sin A\sin C=2\cos A\cos C \\ & \Leftrightarrow \sin A\sin C=3\cos A\cos C \Leftrightarrow \tan A\cdot \tan C=3.\end{aligned}\)

b. Theo kết quả câu a, ta có

\(\tan A+\tan C=2\tan B \Leftrightarrow \sin A\sin C=3\cos A\cos C\)

\(\begin{aligned} & \Leftrightarrow \cos A\cos C+\sin A\sin C=-2\left(\cos A\cos C-\sin A\sin C\right) \\ & \Leftrightarrow \cos (A-C)=-2\cos (A+C) \Leftrightarrow \cos (A-C)=2\cos B.\end{aligned}\)

Vì \(\cot A,\cot B,\cot C\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên \(\cot A+\cot C=2\cot B\)

\(\begin{aligned} & \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\cos A}{\sin A}+\displaystyle\frac{\cos C}{\sin C}=2\displaystyle\frac{\cos B}{\sin B} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\cos A\sin C+\cos C\sin A}{\sin A\sin C}=2\displaystyle\frac{\cos B}{\sin B} \\ & \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\sin (A+C)}{\sin A\sin C}=2\displaystyle\frac{\cos B}{\sin B} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\sin B}{\sin A\sin C}=2\displaystyle\frac{\cos B}{\sin B} \\ & \Leftrightarrow \sin^2B=2\sin A\sin C\cos B \Leftrightarrow {\left(\displaystyle\frac{b}{2R}\right)}^2=2\cdot \displaystyle\frac{a}{2R}\cdot \displaystyle\frac{c}{2R}\cos B \\ & \Leftrightarrow b^2=2ac\cos B \Leftrightarrow b^2=a^2+c^2-b^2 \Leftrightarrow a^2+c^2=2b^2.\end{aligned}\)

a. Ta có

\(S=9+99+999+\cdots +\underbrace{99\cdots 9}_{\text{n số 9}}\) \(=(10-1)+(10^2-1)+\cdots +(10^n-1)\) \(=10+10^2+\cdots +10^n-n\) \(=10\cdot \displaystyle\frac{1-10^n}{1-10}-n\).

b. Ta có

\(S=7+77+777+\cdots +\underbrace{77\cdots 7}_{\text{n số 7}}\) \(=\displaystyle\frac{7}{9}\left(9+99+999+\cdots +\underbrace{99\cdots 9}_{\text{n số 9}}\right)\) \(=\displaystyle\frac{7}{9}\cdot \left[10\cdot \displaystyle\frac{1-10^n}{1-10}-n\right]\).

c. Ta có

\(\begin{aligned}S&=15+155+1555+\cdots +\underbrace{1555\cdots 5}_{\text{n số 5}}\\ &=(10+10^2+10^3+\cdots +10^n)+\left(5+55+555+\cdots +\underbrace{555\cdots 5}_{\text{n số 5}}\right)\\ &=(10+10^2+10^3+\cdots +10^n)+\displaystyle\frac{5}{9}\left(9+99+999+\cdots +\underbrace{999\cdots 9}_{\text{n số 9}}\right) \\ &=(10+10^2+10^3+\cdots +10^n)+\displaystyle\frac{5}{9}(10+10^2+10^3+\cdots +10^n-n) \\ &=\displaystyle\frac{14}{9}(10+10^2+10^3+\cdots +10^n)-\displaystyle\frac{5}{9}n=\displaystyle\frac{14}{9}\left[10\cdot \displaystyle\frac{1-10^n}{1-10}\right]-\displaystyle\frac{5}{9}n.\end{aligned}\)

a. Ta có

\(S=1+2\cdot 3+3\cdot 3^2+\cdots +(n+1){\cdot 3}^n\).

Suy ra

\(3\cdot S=3+2\cdot 3^2+3\cdot 3^3+\cdots +(n+1){\cdot 3}^{n+1}\).

Do đó

\(S-3S=1+3+3^2+\cdots +3^n-(n+1){\cdot 3}^{n+1}\) \(=\displaystyle\frac{1-3^{n+1}}{1-3}-(n+1){\cdot 3}^{n+1}\).

Vậy \(S=\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{2n+1}{4}{\cdot 3}^{n+1}\).

b. Ta có

\(S=1+4\cdot 5+7\cdot 5^2+\cdots +(3n-2){\cdot 5}^n\).

Suy ra

\(5S=5+4\cdot 5^2+7\cdot 5^3+\cdots +(3n-2){\cdot 5}^{n+1}\).

Do đó

\(S-5S=1+3\cdot 5+3\cdot 5^2+\cdots +3\cdot 5^n-(3n-2){\cdot 5}^{n+1}\) \(=1-(3n-2){\cdot 5}^{n+1}+3(5+5^2+\cdots +5^n)\) .

\(=1-(3n-2){\cdot 5}^{n+1}+3\left(5\cdot \displaystyle\frac{1-5^n}{1-5}\right)\).

Vậy \(S=\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{3n-5}{4}{\cdot 5}^{n+1}\).

Ta có

\(\begin{aligned}S &= {\left(x+\displaystyle\frac{1}{x}\right)}^2+{\left(x^2+\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)}^2+\cdots +{\left(x^n+\displaystyle\frac{1}{x^n}\right)}^2\\&= \left(x^2+x^4+\cdots +x^{2n}\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^4}+\cdots +\displaystyle\frac{1}{x^{2n}}\right)+2n \\ &=\displaystyle\frac{x^2\left(x^{2n}-1\right)}{x^2-1}+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x^2}\left(1-\displaystyle\frac{1}{x^{2n}}\right)}{1-\displaystyle\frac{1}{x^2}}+2n\\ &= \displaystyle\frac{x^2\left(x^{2n}-1\right)}{x^2-1}+\displaystyle\frac{\left(1-\displaystyle\frac{1}{x^{2n}}\right)}{x^2-1}+2n\\&= \displaystyle\frac{\left(x^{2n}-1\right)\left(x^{2n+2}+1\right)}{(x^2-1)x^{2n}}+2n.\end{aligned}\)

Ta có

\(\begin{aligned}A& = 1 + 11 + 111 + \cdots + \underbrace{111\ldots1}_{n}\\ \Leftrightarrow 9A&= 9 + 99 + 999 + \cdots + \underbrace{999\ldots9}_{n}\\ &= (10-1)+(10^2-1)+(10^3-1)+\cdots + (10^n - 1)\\ &= (10 + 10^2 + 10^3 + \cdots + 10^n) - \underbrace{(1+1+\cdots + 1)}_{n}\\ &= \displaystyle\frac{10(1-10^n)}{1-10}-n=\displaystyle\frac{10^{n+1} - 9(n+1) - 1}{9}\\ \Rightarrow A &= \displaystyle\frac{10^{n+1} - 9(n+1) - 1}{81}.\end{aligned}\)

Ta có

\(B = 7 + 77 + 777 + \cdots + \underbrace{777\ldots7}_{n}\) \(= 7(1 + 11 + 111 + \cdots + \underbrace{111\ldots1}_{n}) = 7A\).

Mà

\(\begin{aligned}A& = 1 + 11 + 111 + \cdots + \underbrace{111\ldots1}_{n}\\\Leftrightarrow 9A&= 9 + 99 + 999 + \cdots + \underbrace{999\ldots9}_{n}\\&= (10-1)+(10^2-1)+(10^3-1)+\cdots + (10^n - 1)\\&= (10 + 10^2 + 10^3 + \cdots + 10^n) - \underbrace{(1+1+\cdots + 1)}_{n}\\&= \displaystyle\frac{10(1-10^n)}{1-10}-n=\displaystyle\frac{10^{n+1} - 9(n+1) - 1}{9}\\\Rightarrow A &= \displaystyle\frac{10^{n+1} - 9n - 10}{81}.\end{aligned}\)

Vậy \(B = 7A = \displaystyle\frac{7(10^{n+1} - 9n - 10)}{81}\).

Ta có

\(\begin{aligned}A& = 4 + 44 + 444 + \cdots + \underbrace{44\ldots4}_{2018}\\&= \displaystyle\frac{4}{9}\left(9 + 99 + 999 + \cdots + \underbrace{999\ldots9}_{2018}\right)\\&= \displaystyle\frac{4}{9}\left[(10-1)+(10^2-1)+(10^3-1)+\cdots + (10^{2018} - 1)\right]\\&= \displaystyle\frac{4}{9}\left[ \left(10 + 10^2 + 10^3 + \cdots + 10^{2018}\right) - \underbrace{(1+1+\cdots + 1)}_{2018}\right]\\&= \displaystyle\frac{4}{9}\cdot \left(\displaystyle\frac{10\left(1-10^{2018}\right)}{1-10}-2018\right)=\displaystyle\frac{4}{9}\cdot \left(\displaystyle\frac{10^{2019} - 10}{9}-2018\right).\end{aligned}\)

Ta có

\(\begin{aligned}S& = 6 + 66 + 666 + \cdots + \underbrace{666\ldots6}_{n}\\&= \displaystyle\frac{2}{3}\left(9 + 99 + 999 + \cdots + \underbrace{999\ldots9}_{n}\right)\\&= \displaystyle\frac{2}{3}\left[(10-1)+(10^2-1)+(10^3-1)+\cdots + (10^n - 1)\right]\\&= \displaystyle\frac{2}{3}\left[ \left(10 + 10^2 + 10^3 + \cdots + 10^n\right) - \underbrace{(1+1+\cdots + 1)}_{n}\right]\\&= \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \left(\displaystyle\frac{10\left(1-10^n\right)}{1-10}-n\right)=\displaystyle\frac{20\left(10^n - 1\right)}{27} - \displaystyle\frac{2n}{3}.\end{aligned}\)

Ta có \(\begin{aligned}S_n &= \left(3 + \displaystyle\frac{1}{3}\right)^2 + \left(9 + \displaystyle\frac{1}{9}\right)^2 + \cdots + \left(3^n + \displaystyle\frac{1}{3^n}\right)^2\\&= \left(9+2+\displaystyle\frac{1}{9}\right)+\left(81+2+\displaystyle\frac{1}{81}\right) + \cdots \left(3^{2n}+2+\displaystyle\frac{1}{3^{2n}}\right)\\&= (9 + 81 + \cdots + 3^{2n}) + 2n + \left(\displaystyle\frac{1}{9} + \displaystyle\frac{1}{81} + \cdots + \displaystyle\frac{1}{3^{2n}}\right) \\&=9\cdot \displaystyle\frac{9^n - 1}{8} + \displaystyle\frac{1}{9}\cdot \displaystyle\frac{1-\left(\tfrac{1}{9}\right)^n}{\tfrac{8}{9}} + 2n = 9\cdot \displaystyle\frac{9^n - 1}{8} + \displaystyle\frac{1}{8}\cdot \displaystyle\frac{9^n - 1}{9^n} + 2n\\&= \displaystyle\frac{(9^n - 1)(9^{n+1} + 1)}{8\cdot 9^n} + 2n.\end{aligned}\)

Diện tích hình vuông \(ABCD\) là \(S_1 = a^2\); diện tích hình vuông \(A_1B_1C_1D_1\) là

\(S_2 = \left(\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \displaystyle\frac{a^2}{2}\).

Diện tích hình vuông \(A_2B_2C_2D_2\) là

\(S_3 = \left(\displaystyle\frac{a}{2}\right)^2 = \displaystyle\frac{a^2}{4}\); \(\ldots\).

Diện tích hình vuông \(A_{99}B_{99}C_{99}D_{99}\) là

\(S_{100} = \displaystyle\frac{a^2}{2^{99}}\).

Vậy

\(S=a^2 \left(\displaystyle\frac{1}{2^0} + \displaystyle\frac{1}{2^1} + \displaystyle\frac{1}{2^2} + \cdots + \displaystyle\frac{1}{2^{99}}\right)\) \(= a^2 \cdot \displaystyle\frac{1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{100}}{1-\tfrac{1}{2}}\) \(= \displaystyle\frac{a^2\left(2^{100} - 1\right)}{2^{99}}\).

Ta có

\(\begin{aligned}4S-S &= 1 + \left(\displaystyle\frac{2}{4} - \displaystyle\frac{1}{4}\right) + \left(\displaystyle\frac{3}{4^2} - \displaystyle\frac{2}{4^2}\right) + \cdots + \left(\displaystyle\frac{n}{4^{n-1}} - \displaystyle\frac{n-1}{4^{n-1}}\right) - \displaystyle\frac{n}{4^n}\\ &= 1+\displaystyle\frac{1}{4} + \displaystyle\frac{1}{4^2} + \cdots + \displaystyle\frac{1}{4^{n-1}} - \displaystyle\frac{n}{4^n}\\&= 1\cdot \displaystyle\frac{1-\left(\tfrac{1}{4}\right)^n}{1-\tfrac{1}{4}} - \displaystyle\frac{n}{4^n} = \displaystyle\frac{4^n - 1}{3\cdot 4^{n-1}} - \displaystyle\frac{n}{4^n}\\\Rightarrow S&= \displaystyle\frac{4^n - 1}{9\cdot 4^{n-1}} - \displaystyle\frac{n}{3\cdot4^n}.\end{aligned}\)

Vì \(a\), \(b\), \(c\) là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên \(b^2 = ac\).

a. \((ab+bc+ca)^3 = abc(a+b+c)^3\).

Ta có

\(VP = abc(a+b+c)^3\) \(= b^3(a+b+c)^3\) \(= (ab+b^2+bc)^3\) \(= (ab+bc+ac)^3=VT\).

b. \((a^2 +b^2)(b^2 + c^2) = (ab + bc)^2\).

Ta có

\(\begin{aligned}& (a^2 +b^2)(b^2 + c^2) = (ab + bc)^2\\ \Leftrightarrow\ & a^2b^2+a^2c^2+b^4+b^2c^2-a^2b^2-2acb^2-b^2c^2=0\\\Leftrightarrow\ & a^2c^2+b^4-2acb^2=0\\ \Leftrightarrow\ & b^4 + b^4 - 2b^4 = 0\,\,\text{đúng}.\end{aligned}\)

c. \((a+b+c)(a-b+c)= a^2 + b^2 + c^2\).

Ta có

\(\begin{aligned}VT &= (a+b+c)(a-b+c)\\ &= a^2-ab+ac+ab-b^2+bc+ac-bc+c^2\\&= a^2+2ac-b^2+c^2\\&=a^2+2b^2-b^2+c^2\\&=a^2+b^2+c^2=VP.\end{aligned}\)

Ta có

\(x^3 + (5-m)x^2 + (6 - 5m)x - 6m = 0\) \(\Leftrightarrow (x-m)(x^2+5x+6)=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-2\\&x=-3\\&x=m.\end{aligned}\right.\)

Để phương trình có ba nghiệm phân biệt thì \(m\neq -2\) và \(m \neq -3\).

Do các nghiệm này lập thành cấp số nhân và ta sắp xếp các nghiệm này theo thứ tự tăng dần được các dãy số sau

+) \(-3\), \(-2\), \(m\) lập thành cấp số nhân nên

\(-3m = 4 \Leftrightarrow m = -\displaystyle\frac{4}{3}\) (nhận).

+) \(-3\), \(m\), \(-2\) lập thành cấp số nhân nên

\(-3\cdot (-2) = m^2 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{6}\) (nhận).

+) \(m\), \(-3\), \(-2\) lập thành cấp số nhân nên

\(-2m = 9 \Leftrightarrow m = -\displaystyle\frac{9}{2}\) (nhận).

Vậy \(m \in \left\{-\displaystyle\frac{9}{2}; -\sqrt{6}; -\displaystyle\frac{4}{3}; \sqrt{6}\right\}\) thỏa yêu cầu bài toán.

Gọi \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) là ba nghiệm của phương trình đã cho. Khi đó \(x_1x_2x_3 = -\displaystyle\frac{-8}{1} = 8\).

Điều kiện cần để phương trình đã cho có ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là \(x = \sqrt[3]{8} = 2\) là một nghiệm của phương trình đã cho.

Thay \(x = 2\) vào phương trình đã cho, ta được

\(4-2m = 0 \Leftrightarrow m =2\).

Với \(m = 2\), ta có phương trình

\(x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=1\\&x=2\\&x=4.\end{aligned}\right.\)

Ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân nên \(m=2\) là giá trị cần tìm.

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và đồ thị hàm số \((C_m)\) là

\(-x^3 + (2m+1)x^2 - m - 1 = 2mx -m - 1\) \(\Leftrightarrow x^3 -(2m+1)x^2 + 2mx = 0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\&x=1\\&x=2m.\end{aligned}\right.\)

Để đường thẳng \(d\) cắt đồ thị hàm số \((C_m)\) tại ba điểm phân biệt thì \(m \neq 0\) và \(m \neq \displaystyle\frac{1}{2}\).

Do các nghiệm này lập thành cấp số cộng và ta sắp xếp các nghiệm này theo thứ tự tăng dần được các dãy số sau

+) \(0\), \(1\), \(2m\) lập thành cấp số cộng nên

\(2m = 2 \Leftrightarrow m = 1\) (nhận).

+) \(0\), \(2m\), \(1\) lập thành cấp số cộng nên

\(1 = 4m \Leftrightarrow m = \displaystyle\frac{1}{4}\) (nhận).

+) \(2m\), \(0\), \(1\) lập thành cấp số cộng nên

\(2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = -\displaystyle\frac{1}{2}\) (nhận).

Vậy \(m \in \left\{-\displaystyle\frac{1}{2}; \displaystyle\frac{1}{4}; 1\right\}\) thỏa yêu cầu bài toán.

Quy tắc đặt số hạt thóc ở ô thứ nhất đặt một hạt thóc, ô thứ hai đặt hai hạt thóc, các ô tiếp theo đặt số hạt thóc gấp đôi ô đứng liền kề trước nó, suy ra sô hạt thóc ở mỗi ô lập thành dãy cấp số nhân với số hạng thứ nhất \(u_1=1, u_2=2, u_3=4, \ldots \) và công bội \(q=2\).

Giả sử ở ô thứ \(n\) số hạt thóc là \(20172018\), khi đó ta có

\(S_n>20172018\Leftrightarrow u_1\cdot \displaystyle\frac{1-q^n}{1-q}>20172018\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1-2^n}{1-2}>20172018\) \(\Leftrightarrow 2^n>20172019\Rightarrow n> 24{,}266\).

Vậy tối thiểu từ ô thứ \(25\) trở đi thì tổng số hạt thóc từ ô đầu tiên đến ô đó lớn hơn \(20172018\) hạt thóc.

Số tiền đặt cọc sau mỗi lần lập thành một cấp số nhân có \(u_1=20000\) và \(q=2\).

Tổng số tiền sau khi thua \(9\) lần liên tiếp du khách đó đã thua

\(S_9=u_1\cdot \displaystyle\frac{1-q^9}{1-q}=20000\cdot \displaystyle\frac{1-2^9}{1-2}=20000\cdot 2^9-20000\).

Thắng ở lần thứ \(10\) du khách thu về số tiền

\(u_{10}=u_1\cdot q^9=20000\cdot 2^9\).

Sau \(10\) lần chơi du khách đó đã có \(u_{10}-S_9=20000\).

Vậy du khách đó đã thắng \(20000\) đồng.

Đặt \(BC=x\) với \(x>0\).

Do \(BC\), \(AH\) và \(AB\) lập thành cấp số nhân với công bội \(q\) nên \(AH=qx\) và \(AB=q^2x\).

Ta có

\(AB^2=AH^2+BH^2\) \(\Rightarrow q^4x^2=q^2x^2+\displaystyle\frac{x^2}{4}\) \(\Rightarrow q^4-q^2-\displaystyle\frac{1}{4}=0\) \(\Rightarrow q^2=\displaystyle\frac{1+\sqrt{2}}{2}\).

Dễ thấy, diện tích hình các bước tô chính là cấp số nhân với \(u_1=\displaystyle\frac{4}{9}\) và công bội \(q=\displaystyle\frac{1}{9}\).

Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân, ta có

\(S_n=u_1\cdot \displaystyle\frac{1-q^n}{1-q}\) \(=\displaystyle\frac{4}{9}\cdot \displaystyle\frac{1-\displaystyle\frac{1}{9^n}}{1-\displaystyle\frac{1}{9}}\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \left(1-\displaystyle\frac{1}{9^n}\right)\).

Theo đề bài ta có\\

\(S_n>0.4999\) \(\Leftrightarrow 1-\displaystyle\frac{1}{9^n}>0.9998\) \(\Leftrightarrow 9^n>5000\Rightarrow n>3.87\).

Vậy cần ít nhất \(4\) bước để tổng diện tích phần được tô màu chiếm nhiều hơn \(49,99\%\) diện tích hình vuông ban đầu.

Dễ thấy chu vi các hình vuông \(A_1B_1C_1D_1, A_1B_1C_1D_1 \ldots ,A_{2018}B_{2018}C_{2018}D_{2018}\) lập thành cấp số nhân \(u_1=4, u_2=2\sqrt{2}, \ldots\) và công bội \(q=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).

\(\Rightarrow u_{2018}=u_1\cdot q^{2017}\) \(=4\cdot\left(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2017}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2^{1007}}\).

Chu vi của hình vuông \(A_{2018}B_{2018}C_{2018}D_{2018}\) bằng \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2^{1007}}\).