Chuyên đề 7. ĐẠO HÀM

Áp dụng công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa

\( f'( 0 )=\lim\limits_{x\to0}\displaystyle\frac{f( x )-f( 0 )}{x-0}\)

Ta có : \( \lim\limits_{x\to 0^+}\displaystyle\frac{f( x )-f( 0 )}{x-0}= \lim\limits_{x\to 0^+}\displaystyle\frac{( x-1 )^2-1}{x-0} =2 \)

\( \lim\limits_{x\to 0^-}\displaystyle\frac{f( x )-f( 0 )}{x-0}= \lim\limits_{x\to 0^-}\displaystyle\frac{-x^2+1-1}{x-0} =0 \)

Vì \(\lim\limits_{x\to 0^+}\displaystyle\frac{f( x )-f( 0 )}{x-0} \neq \lim\limits_{x\to 0^-}\displaystyle\frac{f( x )-f( 0 )}{x-0} \) nên không tồn tại \( \lim\limits_{x\to 0} \displaystyle\frac{f( x )-f( 0 )}{x-0} \) do đó không tồn tại đạo hàm tại \(x=0\).

Ta có \(f(0)=1,\lim\limits _{x\to 0^+ }f(x)=\lim\limits_{ x\to 0^+} (ax^2+bx+1)=1, \underset{x\to 0^-}{\mathop{\lim}}f(x)=\underset{x\to 0^-}{\mathop{\lim}}\left(ax-b-1\right)=-b-1.\)

Để hàm số có đạo hàm tại \(x_0=0\) thì hàm số phải liên tục tại \(x_0=0\) nên

\(f(0)=\underset{x\to 0^+}{\mathop{\lim}}f(x)=\underset{x\to 0^-}{\mathop{\lim}}f(x).\)

Suy ra \(-b-1=1\Leftrightarrow b=-2\).

Khi đó \(f(x)=\begin{cases}&ax^2-2x+1&\text{nếu }x\ge 0 \\ &ax+1&\text{nếu }x<0.\end{cases}\).

\(\begin{aligned}\text{Xét }&\underset{x\to 0^+}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0^+}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{ax^2-2x+1-1}{x}=\underset{x\to 0^+}{\mathop{\lim}}\left(ax-2\right)=-2;\\&\underset{x\to 0^-}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0^-}{\mathop{\lim}}\displaystyle\frac{ax+1-1}{x}=\underset{x\to 0^-}{\mathop{\lim}}a=a.\end{aligned}\)

Hàm số có đạo hàm tại \(x_0=0\) thì \(a=-2\).

Vậy với \(a=-2, b=-2\) thì hàm số có đạo hàm tại \(x_0=0\) khi đó \(T=-6\).

Theo định nghĩa đạo hàm tại \(x=4\), ta có

\(f'(4)=\lim\limits_{x\rightarrow 4}\displaystyle\frac{f(x)-f(4)}{x-4}=3\).

Theo định nghĩa thì

\(f'(x_0)=\lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) nên \(f'(2)=\lim\limits_{x \to 2} \displaystyle\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\).

Ta có \(f'(2)=\lim\limits_{x\to 2}\displaystyle\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=0\).

Ta có

\begin{eqnarray*}\Delta y&=& f\left( x_0+\Delta x \right)-f\left( x_0 \right)=f\left( -1+\Delta x \right)-f\left( -1 \right)\\ &=& \displaystyle\frac{\left( -1+\Delta x \right)^2}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1-2\Delta x+\left( \Delta x \right)^2}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}\\ &=&\displaystyle\frac{1}{2}\left( \Delta x \right)^2-\Delta x.\end{eqnarray*}

Ta có

\begin{eqnarray*}\Delta y&=&f\left( x_0+\Delta x \right)-f\left( x_0 \right)\\ &=&\left[\left( x_0+\Delta x \right)^2-4\left( x_0+\Delta x \right)+1 \right]-\left[ x_0^2-4x_0+1 \right]\\ &=&\Delta x\left( \Delta x+2x_0-4 \right).\end{eqnarray*}

Ta có

\(\Delta y=f\left( x+\Delta x \right)-f(x)=\displaystyle\frac{1}{x+\Delta x}-\displaystyle\frac{1}{x}=-\displaystyle\frac{\Delta x}{x\left( x+\Delta x \right)}.\)

Ta có

\begin{eqnarray*}\Delta y &=&f\left( x_0+\Delta x \right)-f\left( x_0 \right)=f\left( x_0+1 \right)-f\left( x_0 \right)\\ &=&\left[\left( x_0+1 \right)^3+\left(x_0+1\right)^2+1 \right]-\left[ x_0^3+x_0^2+1 \right]\\ &=&3x_0^2+5x_0+2.\end{eqnarray*}

Ta có \(\Delta y=f\left( x+\Delta x \right)-f(x)=\left[ 3\left( x+\Delta x \right)+1 \right]-\left[ 3x+1 \right]=3\Delta x\) \(\Rightarrow \displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=3\).

Ta có \( f'(x) =3x^2 +4x-7 \).

\( f'(x) =0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=1\\&x=-\displaystyle\frac{7}{3}.\end{aligned}\right.\)

Vậy nghiệm của phương trình \( f'(x)=0 \) là \(\left\{-\displaystyle\frac{7}{3}; 1\right\}\).

Ta có \(f'(x)=x^2-4\sqrt{2}x+8\).

\(f'(x)=0\Leftrightarrow x=2\sqrt{2}\).

Ta có

\begin{eqnarray*}f'(x)&=&2\left(x^3-2x^2\right) (x^3-2x^2)'\\ &=&2\left(3x^2-4x\right)\left(x^3-2x^2\right)\\ &=&2\left(3x^5-4x^4-6x^4+8x^3\right)\\ &=&6x^5-20x^4+16x^3.\end{eqnarray*}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Do \( y'(x)=14x^6+\displaystyle\frac{3}{x^2}+2 \) nên \( y'(-1)=19 \).

Ta có \( y'=4x^3-6x+3 \).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-5}{(1+x)^2}\) suy ra \(y'(0) = -5\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{2\cdot (-2)-(-3)\cdot 1}{(x-2)^2}=\displaystyle\frac{-1}{(x-2)^2}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-(x^2-2x+5)'}{(x^2-2x+5)^2}\) \(=\displaystyle\frac{-2x+2}{(x^2-2x+5)^2}.\)

\(\bullet\,\) Ta có \(y=\displaystyle\frac{x(1-3x)}{x+1}=\displaystyle\frac{x-3x^2}{x+1}\).

\(\bullet\,\) Suy ra \(y'=\displaystyle\frac{(x-3x^2)'(x+1)-(x-3x^2)(x+1)'}{(x+1)^2}\) \(=\displaystyle\frac{(1-6x)(x+1)-(x-3x^2)}{(x+1)^2}=\displaystyle\frac{-3x^2-6x+1}{(x+1)^2}.\)

Ta có \(y=x-\displaystyle\frac{3}{x+2}\Rightarrow y'=1+\displaystyle\frac{3}{(x+2)^2}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}\) \(=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\).

Suy ra \(y'\cdot y=2x-1 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\cdot \sqrt{x^2+1}=2x-1\) \(\Leftrightarrow x=2x-1 \Leftrightarrow x=1\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{(4x-x^2)'}{2\sqrt{4x-x^2}}\) \(=\displaystyle\frac{4-2x}{2\sqrt{4x-x^2}}=\displaystyle\frac{2-x}{\sqrt{4x-x^2}}\).

Áp dụng công thức \(\left(\sqrt[n]{u}\right)'=\displaystyle\frac{u'}{n\cdot\sqrt[n]{u^{n-1}}}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{(x^2)'}{3\sqrt[3]{x^4}}= \displaystyle\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-3x}{\sqrt{1-3x^2}}\).

Áp dụng công thức tính đạo hàm

\(f' ( x )=(\sqrt{x-1})'= \displaystyle\frac{1}{ 2 \sqrt{x-1}}\), thế \( x=2 \) ta được \(f'(2)=1\).

\(y'= (\sin 2x )' + \left(\sin \displaystyle\frac{\pi}{3}\right)' - (1)'= (2x)' \cos 2x + 0 - 0 = 2 \cos 2x\).

\(\Rightarrow y'\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) =2 \cos \displaystyle\frac{2\pi}{3}=-1.\)

Ta có \(f'(x)=\cos x-10\sin 2x\).

Ta có \( f'(x)=1+\tan^2\left(x-\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right).

\Rightarrow f'(0)=1+\tan^2\left(0-\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)=1+\left(\sqrt{3}\right)^2=4 \(.

Ta có \(y'=(\sin 2x)'=(2x)'\cdot \cos 2x =2\cos 2x\).

Do đó \(y'\left( \displaystyle\frac{\pi }{6} \right)=2\cos \displaystyle\frac{\pi}{3}=1\).

\(f'(x)=-\sin x \Rightarrow f'\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) = -1\).

Ta có \(y'=6^x\ln 6\).

Ta có \(\left (2^{3x}\right )'=2^{3x}3\ln 2.\)

Ta có

\(y'=13^x.\ln 13\).

Ta có \(f(x)=\left( \displaystyle\frac{1}{2}\right)^x=2^{-x}\).

Theo công thức tính đạo hàm ta có

\(f'(x)=(-x)' 2^{-x} \ln 2 =-\left( \displaystyle\frac{1}{2}\right)^x \ln 2\).

Ta có \(y'=2\cdot 2^{2x}\ln 2=2^{2x+1}\cdot \ln 2\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{(x+1)'}{x+1}\) \(=\displaystyle\frac{1}{x+1}\).

Ta có \(y' = \displaystyle\frac{(4x + 1)'}{(4x + 1) \ln 3} \) \(= \displaystyle\frac{4}{(4x + 1) \ln 3}\).

\(y=\log_2(2x^2+x+3)\)

\(\Rightarrow y'=\displaystyle\frac{{(2x^2+x+3)}'}{(2x^2+x+3)\cdot \ln 2}\) \(=\displaystyle\frac{4x+1}{(2x^2+x+3)\cdot \ln 2}.\)

Ta có \(y'=\left(\ln(x^2+1)\right)'\) \(=\displaystyle\frac{(x^2+1)'}{x^2+1}\) \(= \displaystyle\frac{2x}{x^2+1}\).

Ta có \( y=x+\sin ^{2} x\) \(\Rightarrow y'=1+2\cos x\sin x=1+\sin 2x\).

Ta có \([(x^2-3x)^5]'\) \(=5(2x-3)(x^2-3x)^4\).

Ta có \(y'=4(5x-1)^3\cdot (5x-1)'\) \(=20(5x-1)^3\).

Ta có \(y'=2\left( x^3-2x^2 \right)(3x^2-4x)\) \(=6x^5-20x^4+16x^3\).

Hàm số \(f(x)=\sin ^2 2 x-\cos 3 x\) có đạo hàm là

\(f'(x)=2\cdot2\cdot \sin2x \cdot \cos2x+3\sin3x\) \(=2\sin4x+3\sin3x.\)

Ta có: \(y' = (x)'\cdot\cot 2x + (\cot 2x)'\cdot x \) \(= \cot 2x - 2x(1 + \cot^2 2x)\) \(= -2x \cot^2 2x + \cot 2x - 2x\).

Ta có \(y'=(x^3)'\cdot \cos x+x^3\cdot (\cos x)'\) \(=3x^2\cos x-x^3\sin x\).

Ta có \(y'=\sqrt{2-x}-\displaystyle\frac{x+1}{2\sqrt{2-x}}\) \(=\displaystyle\frac{2(2-x)-(x+1)}{2\sqrt{2-x}}\) \(=\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{3}{2}x+\displaystyle\frac{3}{2}}{\sqrt{2-x}}\).

Suy ra \(\begin{cases} a=-\displaystyle\frac{3}{2}\\ b=\displaystyle\frac{3}{2}\end{cases}\Rightarrow 2a+4b=3\).

Ta có

\(y'=(2x-1)'\sqrt{x^2+x}+(2x-1)(\sqrt{x^2+x})'\) \(=2\sqrt{x^2+x}+\displaystyle\frac{(2x-1)(2x+1)}{2\sqrt{x^2+x}}\) \(=2\sqrt{x^2+x}+\displaystyle\frac{4x^2-1}{2\sqrt{x^2+x}}.\)

Ta có

\begin{eqnarray*}y'&=&\displaystyle\frac{(x-1)'\sqrt{x^2+1}-(x-1)(\sqrt{x^2+1})'}{(\sqrt{x^2+1})^2}\\&=&\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+1}-(x-1)\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{(\sqrt{x^2+1})^2}\\&=&\displaystyle\frac{x^2+1-x^2+x}{(\sqrt{x^2+1})^3}\\&=&\displaystyle\frac{1+x}{\sqrt{(x^2+1)^3}}.\end{eqnarray*}

\(y'=\left(\displaystyle\frac{x+1}{4^x}\right)'\) \(=\displaystyle\frac{1\cdot 4^x -4^x (x+1)\ln 4}{4^{2x}}\) \(=\displaystyle\frac{1 - (x+1)\ln 4}{4^{x}}\) \(=\displaystyle\frac{1-2(x+1)\ln 2}{2^{2x}}.\)

Tập xác định của hàm số \(\mathscr{D}=(0;+\infty)\).

Ta có

\(f'(x)=\displaystyle\frac{\left(\log_2x \right)'x-\left(\log_2x \right)\cdot(x)' }{x^2}\) \(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{x\ln2}\cdot x-\log_2x}{x^2}\) \(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{\ln2}-\log_2x}{x^2}\) \(=\displaystyle\frac{1-\ln x}{x^2\ln2}.\)

Ta có

\begin{eqnarray*}y'&=&\left(\displaystyle\frac{\sqrt{x-1}}{x}\right)'\\&=&\displaystyle\frac{x\left( \sqrt{x-1}\right)'-\sqrt{x-1} \cdot (x)'}{x^2}\\ &=&\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x}{2\sqrt{x-1}}-\sqrt{x-1}}{x^2}\\ &=&\displaystyle\frac{x-2(x-1)}{2x^2\sqrt{x-1}}\\ &=&\displaystyle\frac{2-x}{2x^2\sqrt{x-1}}.\end{eqnarray*}

Ta có \(y'=\left(\displaystyle\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+1}}\right)'\) \(=\displaystyle\frac{(x+3)'(\sqrt{x^{2}+1})-(x+3)(\sqrt{x^{2}+1})'}{(\sqrt{x^{2}+1})^2}\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}+1}-(x+3)\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x^{2}+1}\) \(=\displaystyle\frac{1-3 x}{\left(x^{2}+1\right) \sqrt{x^{2}+1}}\).

\(y'=\left(\sin x\right)'\cdot \mathrm{e}^{\sin x}\) \(=\cos x\cdot\mathrm{e}^{\sin x}\).

Ta có \(f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\cos \sqrt{x} + \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\sin\sqrt{x}\).

Do đó \(f'\left(\displaystyle\frac{\pi^2}{16}\right) =\displaystyle\frac{2}{\pi}\cos\displaystyle\frac{\pi}{4} +\displaystyle\frac{2}{\pi}\sin\displaystyle\frac{\pi}{4}\) \(=\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{\pi}\).

\(f'(x) = \mathrm{e}^x \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{e}^x}\)

\(\Rightarrow f'(1)=\mathrm{e}^{\mathrm{e}+1}\).

Ta có: \(f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{\ln(\ln x)}}{(\ln(\ln x))'}\) \(=\displaystyle\frac {1}{2\sqrt{\ln(\ln x)}}\cdot\displaystyle\frac{1}{\ln x}{(\ln x)'}\) \(=\displaystyle\frac {1}{2x\ln x\sqrt{\ln(\ln x)}}\).

Vậy \(f'(x)=\displaystyle\frac{1}{2x\ln x\sqrt{\ln(\ln x)}}\).

\(y' = \cos \sqrt{2 + x^2} \cdot (\sqrt{2 + x^2})' \) \(= \cos \sqrt{2 + x^2} \cdot \displaystyle\frac{x}{\sqrt{2+ x^2}}\).

\(\bullet\,\) Ta có \(f'(x)=\displaystyle\frac{3}{(x+1)^2}\) \(\Rightarrow f''(x)=\displaystyle\frac{-2\left(x+1\right)\cdot 3}{(x+1)^4}=\displaystyle\frac{-6}{(x+1)^3}\).

\(\bullet\,\) Phương trình \(f'(x)=f''(x)\Leftrightarrow \displaystyle\frac{3}{(x+1)^2}=\displaystyle\frac{-6}{(x+1)^3}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}\displaystyle\frac{-2}{x+1}=1 \\ x\ne-1\end{cases}\Leftrightarrow x=-3.\)

Ta có \(y'=-2\sin x\cos x=-\sin 2x\) \(\Rightarrow y''=-2\cos 2x\Rightarrow y^{(3)}=4\sin 2x\) \(\Rightarrow y^{(3)}\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=2\sqrt{3}\).

\(\bullet\,\) Ta có \(\begin{cases} f'(x)=4x^3-8x \\ g'(x)=-14x+10\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} f''(x)=12x^2-8 \\ g'x=-14x+10.\end{cases}\)

\(\bullet\,\) Khi đó, phương trình

\(f''(x)+g'(x)=0\Leftrightarrow \left(12x^2-8\right)+\left(-14x+10\right)=0\) \(\Leftrightarrow 12x^2-14x+2=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=1 \\ & x=\displaystyle\frac{1}{6}.\end{aligned}\right.\)

Ta có \(y'=A\omega \cos \left(\omega x+\varphi \right)\Rightarrow y''=-A\omega^2sin\left(\omega x+\varphi \right)\).

Khi đó \(M= y'' + \omega^2 y = -A \omega^2 \sin (\omega x + \varphi) + A\omega^2 \sin (\omega x + \varphi) =0\).

Ta có \(y'=-9x^2+6x-1\Rightarrow y''=-18x+6\) \(\Rightarrow y^{(3)}=-18\).

Vậy \(y^(3)(2017) = -18\).

Ta có \(y' = -3x^2 + 6x\).

Gọi \(\Delta\) là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A(3; 1)\), ta có:

\(\Delta \colon y = y'(3)(x - 3) + y(3) \Rightarrow \Delta \colon y = -9x+28\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \((H)\) với \(Ox\) là \(\displaystyle\frac{2x-4}{x-3}=0\Leftrightarrow x=2\).

Vậy \((H)\) cắt \(Ox\) tại \(A(2;0)\).

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-2}{(x-3)^2}\), suy ra phương trình tiếp tuyến của \((H)\) tại \(A\) là

\(y=y'(2)(x-2)\Leftrightarrow y=-2(x-2)=-2x+4.\)

Ta có \(y'=2x\).

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là \(k=y'\left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)=1\).

\(\bullet\,\) Với \(y_0=8\Rightarrow x_0=2\).

\(\bullet\,\) Ta tính được \(k=y'\left( 2 \right)=12\).

\(\bullet\,\) Ta có \(\begin{cases} x_0=2 \\& {{y}_0}=8 \\ k=12\end{cases} \Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến \(y-8=12\left( x-2 \right)\Leftrightarrow y=12x-16.\)

Ta có \(y'=3x^2+6x\Rightarrow y'(-1)=-3\).

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M(-1; 3)\) là

\(y=-3(x+1)+3\Leftrightarrow y=-3x\).

Hàm số \(y=x^3-3x+2\) có tập xác định \(\mathbb{R}\), \(y'=3x^2-3\).

Giả sử tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tiếp xúc với \((C)\) tại điểm \(M(x_0,y_0)\). Khi đó theo bài ra tiếp tuyến có hệ số góc bằng \(9\) nên

\(3x_0^2-3=9 \Leftrightarrow x_0^2=4 \Leftrightarrow x_0=\pm 2.\)

\(\bullet\,\) Với \(x_0=2\), tiếp điểm \( M(2;4)\) nên phương trình tiếp tuyến tại \(M\) là \(y=9(x-2)+4 \Leftrightarrow y= 9x-14.\)

\(\bullet\,\) Với \(x_0=-2\), tiếp điểm \(M(-2;0)\) nên phương trình tiếp tuyến tại \(M\) là \(y=9(x+2)+0 \Leftrightarrow y= 9x+18.\)

\(y'=\displaystyle\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}\).

Gọi \(M(x_0; y_0)\) là tọa độ tiếp điểm. Khi đó hệ số góc tiếp tuyến là \(y'(x_0)=\displaystyle\frac{3}{2\sqrt{3x_0-2}}\).

Do tiếp tuyến song song với \(y=\displaystyle\frac{3}{2}x+\displaystyle\frac{1}{2}\) nên

\(y'(x_0)=\displaystyle\frac{3}{2\sqrt{3x_0-2}}=\displaystyle\frac{3}{2} \Leftrightarrow \sqrt{3x_0-2}=1 \Leftrightarrow x_0=1 \Rightarrow y_0=1.\)

Khi đó phương trình tiếp tuyến tại \(M(1;1)\) là

\(y=\displaystyle\frac{3}{2}(x-1)+1=\displaystyle\frac{3}{2}x-\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Ta có \(x+4y-1=0\Leftrightarrow y=-\displaystyle\frac{1}{4}x+\displaystyle\frac{1}{4}\) \((d)\).

Gọi \(k\) là hệ số góc của tiếp tuyến với \((C)\) vuông góc với \(d\).

Suy ra \(k \cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{4}\right)=-1\Leftrightarrow k=4\).

Vậy hệ số góc cần tìm \(k=4\).

Ta có \(y' = \displaystyle\frac{5}{(x + 1)^2}\). Gọi \((x_0;y_0)\) là tọa độ tiếp điểm. Do tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y = 5x + 17\) nên hệ số góc của tiếp tuyến là

\begin{align*}&f'(x_0) = 5 \Rightarrow \displaystyle\frac{5}{(x_0 + 1)^2 } = 5\\ \Rightarrow &\left[\begin{aligned}x_0 &= 0\\ x_0 &= -2\end{aligned}\right.\end{align*}

\(\bullet\,\) Với \(x_0 = 0, y_0 = -3 \Rightarrow\) tiếp tuyến có phương trình là \(y = 5x - 3\).

\(\bullet\,\) Với \(x_0 = -2, y_0 = 7 \Rightarrow\) tiếp tuyến có phương trình là \(y = 5(x + 2) + 7 \Leftrightarrow 5x + 17\) (loại do trùng với đường thẳng đã cho).

Ta có \( y'=3x^2-3 \).

Gọi \( M(x_0;y_0) \) là tiếp điểm.

Ta có hệ số góc tiếp tuyến là \( k=f'(x_0)=3x_0^2-3 \).

Hệ số góc của \( d\colon y=9x+16 \) là \( k_d=9 \).

Vì tiếp tuyến song song với \( d \) nên \( k=k_d\Leftrightarrow 3x_0^2-3=9\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x_0=2\\&x_0=-2.\end{aligned}\right.\)

Với \( x_0=2\Rightarrow y_0=2 \) suy ra phương trình tiếp tuyến là \( y=9(x-2)+2=9x-16 \).

Với \( x_0=-2\Rightarrow y_0=-2 \) suy ra phương trình tiếp tuyến là \( y=9(x+2)-2=9x+16 \) (loại vì trùng với \( d \)).

Vậy có \( 1 \) tiếp tuyến của \( (C) \) song song với \( d \).

Ta có \(y=3x^2-10x\).

Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là \(M\left(x_0;x_0^3-5x_0^2+2\right)\).

Khi đó tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm \(M\) là \(y=y'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+x_0^3-5x_0^2+2\) \(\Leftrightarrow y=\left(3x_0^2-10x_0\right)\left(x-x_0\right)+x_0^3-5x_0^2+2.\)

Vì tiếp tuyến đó đi qua \(A(1;2)\) nên ta có

\(2=\left(3x_0^2-10x_0\right)\left(1-x_0\right)+x_0^3-5x_0^2+2\) \(\Leftrightarrow 2x_0^3-8x_0^2+10x_0=0\) \(\Leftrightarrow x_0=0.\)

Khi đó \(M(0;2)\) và tiếp tuyến tại \(M\) có phương trình \(y=2\).

Vậy có một tiếp tuyến thỏa mãn bài toán.

\(y'=12x^2-12x\).

Gọi \(A(x_0;y_0)\) là tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến tại \(A\) là

\(y=12(x_0^2-x_0)(x-x_0)+4x_0^3-6x_0^2+1\).

Do tiếp tuyến đi qua \(M(-1;-9)\) nên

\(-9=12(x_0^2-x_0)(-1-x_0)+4x_0^3-6x_0^2+1\) \(\Leftrightarrow -8x_0^3-6x_0^2+12x_0+10=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x_0=-1\\&x_0=\displaystyle\frac{5}{4}.\end{aligned}\right.\)

Suy ra có hai tiếp tuyến.

Ta có \(y'=3-12x^2\). Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm \(A(x_0;y_0)\) là \(y=y'(x_0)(x-x_0)+y_0\).

Do tiếp tuyến đi qua \(M(1;3)\) nên

\begin{eqnarray*}&&3=(3-12x_0^2)(1-x_0)+3x_0-4x_0^3\\&\Leftrightarrow& 8x_0^3-12x_0^2=0\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}x_0=0\\x_0=\displaystyle\frac{2}{3}\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Vậy từ \(M\) kẻ được \(2\) tiếp tuyến đến \((C)\).

Ta có \(y'=-3x^{2}+3\).

Gọi tọa độ tiếp điểm là \((a;-a^{3}+3a+2)\Rightarrow\) phương trình tiếp tuyến có dạng \(y=(-3a^2+3)(x-a)-a^{3}+3a+2\). Vì tiếp tuyến đi qua điểm \(A(3;0)\) nên

\((-3a^2+3)(3-a)-a^{3}+3a+2=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&a=-1\\ &a=\displaystyle\frac{11\pm\sqrt{33}}{4}\end{aligned}\right.\Rightarrow\) có \(3\) tiếp tuyến của đồ thị hàm số được kẻ từ điểm \(A(3;0)\).

Xét điểm \(M(x_0;x_0^3-3x_0^2+2)\) thuộc đồ thị hàm số. Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\) có dạng

\(y=(3x_0^2-6x_0)(x-x_0)+x_0^3-3x_0^2+2.\)

Tiếp tuyến này qua \(A(3;2)\) khi và chỉ khi

\begin{align*}&2=(3x_0^2-6x_0)(3-x_0)+x_0^3-3x_0^2+2\\\Leftrightarrow\ &-2x_0^3+12x_0^2-18x_0=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x_0=0\\ &x_0=3.\end{aligned}\right.\end{align*}

Vậy có hai tiếp tuyến đi qua \(A\) là \(y=2\) và \(y=9x-25\).

Phương trình vận tốc \(v(t)=S'=3t^2-6t+4\).

Phương trình gia tốc \(a(t)=v'(t)=6t-6\).

Khi vận tốc bằng \(1\) (m/s) thì ta có phương trình \(3t^2-6t+4=1\Leftrightarrow 3t^2-6t+3=0\Leftrightarrow t=1\).

Do đó khi vận tốc bằng \(1\) (m/s) thì gia tốc của vật là \(a(1)=6\cdot 1 -6=0\) m/s\(^2\).

Gia tốc chất điểm tính theo công thức \(a=s''(t)=-10\).

Do đó gia tốc chất điểm tại thời điểm \(t=6\) s bằng \(-10\) m/s\(^2\).

\(v(t)=s'(t)=2t-4\). Vận tốc của vật tại thời điểm \(t=20\) là \(v(20)=2 \cdot 20 -4=36\) (m/s).

Ta có \(S'(t)=3t^{2}-6t+1\Rightarrow v(2)=S'(2)=1\).

Ta có \(v(t)=s'(t)=3t^2-6t+3\), \(v(t)=0\Leftrightarrow 3t^2-6t+3=0\Leftrightarrow t=1\).

Ta có \(a(t)=v'(t)=6t-6\Rightarrow a(1)=0\).