Chuyên đề 9. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Nếu \(\overrightarrow{u}=a\cdot \overrightarrow{i}+b \cdot \overrightarrow{j}\) thì \(\overrightarrow{u}=(a;b)\). Vậy từ \(\overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{i}\), suy ra \(\overrightarrow{u}=(2;3)\).

Do \(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}=1\cdot \overrightarrow{i}+1\cdot \overrightarrow{j}\) nên \(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}=(1;1)\).

Ta có \(\overrightarrow{a} = 26\overrightarrow{i} + 12\overrightarrow{j} = \left(26;12\right)\).

Tọa độ véc-tơ \(\overrightarrow{u}\) là \(\overrightarrow{u}=(2;-1)\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)\), suy ra \(\overrightarrow{AB}=(5;6)\).

Ta có \(\begin{cases}2\overrightarrow{a}=\left(4;-8\right) \\ -\overrightarrow{b}=\left(5;-3\right)\end{cases}\) \(\Rightarrow \overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) \(=\left(4+5;-8-3\right)=\left(9;-11\right)\).

Ta có \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=(-2+1+0;1-3+2)\) \(\Rightarrow \overrightarrow{u}=(-1;0).\)

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(3;7)\) và \(\overrightarrow{AC}=(5;4)\).

Do đó \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(8;11)\).

Ta có \(2 \overrightarrow{a} = (8; -14)\). Suy ra \(2 \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\) có tọa độ là \((9; -17)\).

Ta có \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(3+\left(-1\right);-4+2\right)=\left(2;-2\right)\).

Vì \(A\in Ox, B\in Oy\) nên \(A(a;0), B(0;b)\) mà \(I\) là trung điểm của \(AB\) suy ra \(x_A+x_B=2\cdot x_I\) hay \(a=2.\)

Gọi toạ độ điểm \(B\) là \(B(x,y)\).

Khi đó ta có: \(\begin{cases}\displaystyle\frac{2+x}{2}=1 \\ \displaystyle\frac{3+y}{2}=-2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=0 \\ y=-7\end{cases}\).

Vậy toạ độ điểm \(B\) là \(B(0;-7)\).

Do \(B\) là trung điểm của \(AM\) nên \(\begin{cases}3=\displaystyle\frac{x_M+4}{2}\\ 2=\displaystyle\frac{y_M+1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_M=2\\ y_M=3.\end{cases}\)

Suy ra \(M(2;3).\)

Gọi \(M\) là trung điểm \(BA\), ta có \(\begin{cases}x_M=\displaystyle\frac{x_A+x_B}{2}=\displaystyle\frac{-2+2}{2}=0\\y_M=\displaystyle\frac{y_A+y_B}{2}=\displaystyle\frac{3+5}{2}=4.\end{cases}\)

Vậy \(M(0;4)\).

Ta có \(M \left(- \displaystyle\frac{1}{2}; 3 \right) \Rightarrow \overrightarrow{AM} = \left(- \displaystyle\frac{3}{2}; 0\right)\).

Vì \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(\begin{cases} x_B=2x_M-x_C=2\cdot 2-\left(-2\right)=6 \\ y_B=2y_M-y_C=2\cdot 0-\left(-4\right)=4 \end{cases}\Rightarrow B\left(6;4\right)\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\begin{cases} x_A=3x_G-x_B-x_C=-4 \\ y_A=3y_G-y_B-y_C=12\end{cases}\Rightarrow A\left(-4;12\right)\).

Suy ra \(x_A+x_B=2\).

Gọi \(G(x_G;y_G)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

\(\begin{cases}x_G=\displaystyle\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\displaystyle\frac{2+0+1}{3}=1\\y_G=\displaystyle\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\displaystyle\frac{3-1-4}{3}=-\displaystyle\frac{2}{3}\end{cases}\).

Vậy \(G\left(1;-\displaystyle\frac{2}{3}\right)\).

Đặt \(C(x_C;y_C)\).

Do \(G\) là trọng tâm \(\triangle ABC\) nên \(\left\{\begin{aligned}&x_A+x_B+x_C=3x_G \\ &y_A+y_B+y_C=3y_G\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x_C=3x_G-x_A-x_B \\&y_C=3y_G-y_A-y_B.\end{aligned}\right.\)

Vậy \(C(-18;8)\).

Áp dụng công thức trọng tâm trong tam giác ta có

\(\begin{cases}x_G=\displaystyle\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_G=\displaystyle\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x_G=2\\ y_G=4\end{cases}\Rightarrow G(2;4).\)

Do \(A\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\) nên

\(\begin{cases}3=\displaystyle\frac{5+6+x_D}{3}\\3=\displaystyle\frac{5+9+y_D}{3}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_D=-2\\y_D=-5\end{cases}\Rightarrow D(-2;-5).\)

Gọi \(D(x_D;y_D)\) là điểm cần tìm.

Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}4 = 6 - x_D\\5 = 2 - y_D\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x_D = 2\\y_D = -3\end{cases} \Rightarrow D(2;-3)\).

Gọi tọa độ \(D(x;y)\). Ta có \(ABCD\) là hình bình hành khi

\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow \begin{cases}x+1=4\\ y-1=-1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=3\\ y=-2.\end{cases}\)

Vậy tọa độ \(D(3;-2)\).

Gọi \(C\left(x;y\right)\).

Ta có \( \overrightarrow{AB}=\left(2;4\right) \), \( \overrightarrow{DC}=\left(x-5;y-5\right) \).

Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}2=x-5 \\ 4=y-5\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=7 \\ y=9\end{cases}\) \(\Rightarrow C\left(7;9\right)\).

Giả sử \(Q(x;y)\). Ta có \(\overrightarrow{MN}=(4;3)\) và \(\overrightarrow{QP}=(5-x;3-y)\).

Tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}\Leftrightarrow \begin{cases}5-x=4\\3-y=3\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x= 1\\y=0\end{cases}\).

Vậy \(Q(1;0)\).

Gọi \(D(x; y)\), ta có \(ABCD\) là hình bình hành \(\Leftrightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x - 1 = 4 \\ y - 3 = -1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x = 5 \\ y = 2.\end{cases}\)

Vậy \(D(5; 2)\).

Ta có \( \overrightarrow{AB}=(4;2) \), \( \overrightarrow{AM}=(x_{\tiny{M}}+3;y_{\tiny{M}}-2) \). Vì \( \overrightarrow{AM}=-2\overrightarrow{AB} \) nên

\(\begin{cases}x_{\tiny{M}}+3=-2\cdot 4\\ y_{\tiny{M}}-2=-2\cdot 2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_{\tiny{M}}=-11\\ y_{\tiny{M}}=-2.\end{cases}\)

#Gọi \(E(x;y)\) thì ta được \(\overrightarrow{BE} = (x;y+1)\), \(2 \overrightarrow{OA} = (4;2)\).

Suy ra \(\overrightarrow{BE} + 2\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BE} - 2\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow \begin{cases}x-4=0\\y-1=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}\Rightarrow E(4;1)\).

Gọi \(I(x;y)\). Khi đó \(\overrightarrow{OI}=(x;y)\), \(\overrightarrow{AB}=(4;-2)\).

Theo đề bài ta có

\(\left\{\begin{aligned}&x=4\\&y=-2\end{aligned}\right.\).

\(\bullet\,\) Gọi \(D(x;y)\). Có \(\overrightarrow{BD}=(x+1;y+1)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1;2)\).

\(\bullet\,\) \(\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow\begin{cases}x+1=2\cdot(-1)\\y+1=2\cdot2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=-3\\y=3.\end{cases}\)

Vậy \(D(-3;3)\).

Giả sử \(P(x;y)\). Khi đó, ta có

\(\overrightarrow{PM}=3\overrightarrow{PN}\Leftrightarrow\begin{cases}1-x=3(-1-x)\\-2-y=3(0-y)\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=-2\\y=1.\end{cases}\)

Vậy \(P(-2;1)\).

Ta có \(\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\begin{cases}2m+n=1\\7m+3n=5\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}m=2\\n=-3.\end{cases}\)

Vậy \(m+n=2-3=-1\).

Ta có hệ phương trình sau \(\begin{cases}x_C-x_D=m(x_A-x_D)+n(x_B-x_D)\\ y_C-y_D=m(y_A-y_D)+n(y_B-y_D)\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}2m-n=3\\ -m+3n=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}m=2\\ n=1.\end{cases}\)

Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\).

Vì \(M\) nằm trên \(AB\) sao cho \(MG \parallel BC\) nên \(\displaystyle\frac{GM}{NB}=\displaystyle\frac{AG}{AN}=\displaystyle\frac{2}{3}\), \(\overrightarrow{GM}\) và \(\overrightarrow{NB}\) cùng hướng.

Do vậy ta có \(\overrightarrow{GM} =\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x_M-x_G=\frac{1}{3}\left(x_B-x_C\right) \\ y_M-y_G=\frac{1}{3}\left(y_B-y_C\right)\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x_M+3=-3 \\ y_M-5=-1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x_M=-6 \\ y_M=4.\end{cases}\)

Vậy \(M(-6; 4).\)

Ta có

\begin{align*}&\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}\\ \Leftrightarrow& \begin{cases}-5m+n=3\\ 4m+2n=-7\end{cases}\\ \Leftrightarrow& \begin{cases}m=-\displaystyle\frac{13}{14}\\ n=-\displaystyle\frac{23}{14}.\end{cases}\end{align*}

Ta có \(\overrightarrow{b}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{c}\)

\(m\overrightarrow{a}=(4m;-2m);n\overrightarrow{c}=(2n;5n) \Rightarrow m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{c}=(4m+2n;-2m+5n)\)

Do \(\overrightarrow{b}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{c}\) nên \(\begin{cases}-1=4m+2n\\-1=-2m+5n\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}4m+2n=-1\\-4m+10n=-2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}m=-\displaystyle\frac{1}{8}\\n=-\displaystyle\frac{1}{4}\end{cases}\) \(\Rightarrow \overrightarrow{b}=-\displaystyle\frac{1}{8}\overrightarrow{a}-\displaystyle\frac{1}{4}\overrightarrow{c}\).

Để \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) cùng phương, ta cần \(\displaystyle\frac{2m-1}{2}=\displaystyle\frac{3-m}{3} \Leftrightarrow m=\displaystyle\frac{9}{8}\).

\(\bullet\,\) Với \( m=0 \) ta thấy \(A\), \(B\), \(O\) trùng nhau.

\(\bullet\,\) Với \(m\ne 0\) thì nhận thấy \( \begin{cases}\displaystyle\frac{x_A+x_B}{2}=0\\\displaystyle\frac{y_A+y_B}{2}=0\end{cases}\) hay \( O \) là trung điểm của \( AB \).

Do đó \(A\), \(O\), \(B\) thẳng hàng.

Do đó với mọi \( m \) thì đường thẳng \( AB \) luôn đi qua \( O \).

Ta có \( \overrightarrow{a}=\sqrt{2}\overrightarrow{b} \) nên hai véc-tơ \( \overrightarrow{a} \) và \( \overrightarrow{b} \) cùng hướng.

Ta có

\(\begin{aligned}&\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AB}\\ \Leftrightarrow &\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}\\ \Leftrightarrow &\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{BC}\

\overrightarrow{CN}=x\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC} \cdot\\ \Leftrightarrow &\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=x\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}\\ \Leftrightarrow&\overrightarrow{AN}=(x+1)\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}\end{aligned}\)

Để \(A, M, N\) thẳng hàng thì \(\exists k \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AN}\)

Hay \((x+1)\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=k\left(-\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{BC}\right)\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x+1=-k\\-1=2k\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}k=\displaystyle\frac{-1}{2}\\x=\displaystyle\frac{-1}{2}.\end{cases}\)

Vì \(M \in y'Oy\) nên \( M(0;y) \). Khi đó ta có \( \overrightarrow{AM}=(2;y+3) \), \( \overrightarrow{AB} =(6;10) \).

Ba điểm \( A \), \( B \), \( M \) khi và chỉ khi \( \overrightarrow{AM} \), \( \overrightarrow{AB} \) cùng phương khi và chỉ khi \( \displaystyle\frac{2}{6}=\displaystyle\frac{y+3}{10}\Leftrightarrow y=\displaystyle\frac{1}{3} \).

Vậy \( M\left(0;\displaystyle\frac{1}{3}\right) \).

Có \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=3\cdot(-2)+2\cdot 4=2\).

Ta có \(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=4\cdot 2-3\cdot2=2\).

Ta có \(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=(-3-2;4+1)=(-5;5)\) nên \(2\overrightarrow{a}\cdot \left( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} \right)=2[2\cdot (-5)+(-1)\cdot 5]=-30\).

Ta có \(\overrightarrow{a}=(4;6)\), \(\overrightarrow{b}=(3;-7)\) nên \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=12-42=-30\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-1;11)\), \(\overrightarrow{AC}=(1;-1)\) nên

\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-1-11=-12.\)

Ta có \((-2)\cdot (-6)+(-3)\cdot 4=12+(-12)=0\).

Suy ra \(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\).

Ta có \(\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}\) \(\Leftrightarrow \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0\) \(\Leftrightarrow 1\cdot m^2 +(-3)\cdot 4 =0\) \(\Leftrightarrow m^2-12=0 \Leftrightarrow m=\pm 2\sqrt{3}\).

Gọi \(C(0;c) \in Oy\). Vì \(C\) thuộc tia \(Oy\) nên \(c>0\).

Ta có \(\overrightarrow{CA}=(-6;3-c)\), \(\overrightarrow{CB}=(4;1-c)\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=0\)

\(\Leftrightarrow (-6)\cdot 4+(3-c)(1-c)=0\) \(\Leftrightarrow c^2-4c-21=0\) \(\Leftrightarrow c=7\) (nhận) hoặc \(c=-3\) (loại).

Vậy \(C(0;7)\).

Ta có \(\overrightarrow{OA}=(2;-5)\Rightarrow OA=\sqrt{29}\); \(\overrightarrow{OB}=(10;4)\Rightarrow OB=\sqrt{116}\).

Ta có \(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=2\cdot 10+(-5)\cdot 4=0\) nên tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\).

Suy ra \(S_{\triangle AOB}=\displaystyle\frac{1}{2}OA\cdot OB=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\sqrt{29}\cdot\sqrt{116}=29\).

Hai véc-tơ vuông góc nhau khi \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\), khi đó véc-tơ \(\overrightarrow{a}=(4;-8)\) sẽ không vuông góc với véc-tơ \(\overrightarrow{b}=(-1;2).\)

Ta có \(\overrightarrow{MN}=(6;2)\) nên \(MN=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}\).

Ta có \(AB=\sqrt{(1-0)^2+(4-2)^2}=\sqrt{5}\).

Ta có \(\overrightarrow{MN}=(1;5)\Rightarrow MN=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}\).

Ta có \(\overrightarrow{AB} = (1;-3)\), \(\left |\overrightarrow{AB}\right |=\sqrt{10}.\)

Ta có \(MN = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2}=2\sqrt{5}\).

Ta có

\(\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right) = \displaystyle\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \left|\overrightarrow{b}\right|}\) \(= \displaystyle\frac{0\cdot (-2)+5\cdot 1}{\sqrt{0^2+5^2}\cdot \sqrt{(-2)^2+1^2}}\) \(=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}= \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{5}.\)

Ta có: \(\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}=\displaystyle\frac{-4-21}{\sqrt{16+29}\cdot\sqrt{1+49}}=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=135^{\circ}\).

Có \(\cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\displaystyle\frac{5\cdot 2+1\cdot 3}{\sqrt{5^2+1^2}\cdot\sqrt{2^2+3^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\Rightarrow (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=45^\circ\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-2;-1)\), \(\overrightarrow{AC}=(4;-3)\) mà \(\cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})=\displaystyle\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}\) nên \(\cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})= -\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{5}.\)

Ta có \(\overrightarrow{BA}=(1;-11)\), \(\overrightarrow{BC}=(-6;-8)\).

Gọi \(\varphi\) là số đo góc \(\widehat{ABC}\). Ta có

\(\cos \varphi=\displaystyle\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|}=\displaystyle\frac{41}{5\sqrt{122}}\approx 0{,}742.\)

Suy ra \(\varphi \approx 42^\circ\).

Ta có \(\overrightarrow{BC}=\left(1;-7\right),\overrightarrow{AC}=\left(-8;-4\right)\).

Gọi \(H\left(x;y\right)\) là trực tâm của \(\Delta ABC\).

Ta có \(\overrightarrow{AH}=\left(x-4;y-3\right),\overrightarrow{BH}=\left(x+5;y-6\right)\).

Khi đó \(\begin{cases}\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x-4-7\left(y-3\right)=0\\-8\left(x+5\right)-4\left(y-6\right)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x-7y+17=0\\-8x-4y-16=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=-3\\y=2.\end{cases}\)

Vậy \(H\left(-3;2\right)\).

Gọi \(H(x;y)\) ta có \(\overrightarrow{AH}=(x-1;y-3)\), \(\overrightarrow{BH}=(x-1;y+1)\), \(\overrightarrow{BC}=(-3;4)\), \(\overrightarrow{AC}=(-3;0)\).

Điểm \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) khi và chỉ khi

\(\begin{cases} AH\perp BC\\ BH\perp AC\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{AC}=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} (x-1)\cdot (-3)+(y-3)\cdot 4=0\\ (x-1)\cdot (-3)+(y+1)\cdot 0 =0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} x=1\\ y=3.\end{cases}\)

Vậy \(H(1;3)\).

Giả sử toạ độ trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\) là \(H(x;y)\). Ta có

\(\begin{cases}AH\perp BC \\ BH\perp AC\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=0 \\ \overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{AC}=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}0(x+4)-6(y-1)=0 \\ 6(x-2)-3(y-4)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x=\displaystyle\frac{1}{2} \\ y=1.\end{cases}\)

Vậy toạ độ trực tâm của tam giác \(ABC\) là \(H\left(\displaystyle\frac{1}{2};1\right)\).

Hai tam giác \(ABC\) và \(ABM\) có cùng chiều cao từ đỉnh \(A\) do đó \(S_{ABC}=4S_{ABM}\Leftrightarrow BC=4BM.\)

Gọi \(M(x;y)\).

Vì \(M\) thuộc đoạn \(BC\) nên ta có \(\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{BM}\).

Khi đó,

\(\begin{cases} -1-3=4(x-3)\\ -2-2=4(y-2)\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=2\\ y=1\end{cases}\Rightarrow M(2;1).\)

Ta có \(M=\left(x;0\right)\) và \(x>0\).

\(\overrightarrow{MA}=\left(-3-x;2\right)\); \(\overrightarrow{MB}=\left(4-x;3\right)\).

Tam giác \(MAB\) vuông tại \(M \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0\)

\(\Leftrightarrow \left(-3-x\right)\left(4-x\right)+6=0\) \(\Leftrightarrow x^2-x-6=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x=-2\text{(loại)}\\ &x=3\text{(nhận)}\end{aligned}\right.\)

Vậy \(M=\left(3;0\right)\).

Đường thẳng \( \Delta \) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(2;5)\).

Từ phương trình tham số của đường thẳng \(d\), tọa độ một véc-tơ chỉ phương của \(d\) là \((-3;4)\).

Đường thẳng đã cho có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(2;-1)\).

Đường thẳng \(d\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(3; -4)\) nên \(d\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(4; 3)\).

Một véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{n}=(1;4)\).

Thay \(t=1\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được

\( \begin{cases} x=4-2\cdot 1=2 \\ y=5+1=6 \end{cases} \Rightarrow (2;6)\in d. \)

Thay \(x=1\) và \(y=2\) vào phương trình đường thẳng \(d\), ta có \(2\cdot 1+3\cdot 2-8=0\).

Suy ra \(A\in d\).

Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta\) ta được

\(\begin{cases}1 = -1 + 2t\\-3= 3-t\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}t = 1\\t = 6\end{cases} \text{ (vô lý)} \Rightarrow M \notin \Delta.\)

Thay tọa độ điểm \(P\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta\) ta được

\(\begin{cases}-3 = -1 + 2t\\7= 3-t\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}t =- 1\\t = -4} \text{ (vô lý)\end{cases} \Rightarrow P \notin \Delta.\)

Thay tọa độ điểm \(Q\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta\) ta được

\(\begin{cases}1 = -1 + 2t\\2= 3-t\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}t = 1\\t = 1\end{cases} \Rightarrow t = 1 \Rightarrow Q \in \Delta.\)

Thay tọa độ điểm \(N\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta\) ta được

\(\begin{cases}2 = -1 + 2t\\-1= 3-t\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}t = \displaystyle\frac{3}{2}\\t = 4\end{cases} \text{ (vô lý)} \Rightarrow N \notin \Delta.\)

Vậy \(Q(1; 2) \in \Delta\).

Thay lần lượt tọa độ các điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) vào đường thẳng \(\Delta\) ta được \(Q(0;2) \in \Delta\).

Xét điểm \(M(3;1)\), ta có \(3+1-2=2\ne 0\) nên \(M\not\in d\).

Đường thẳng đi qua \(A(-1; 2)\), nhận \(\overrightarrow{n}=(2;-4)\) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là

\(2(x+1)-4(y-2)=0 \Leftrightarrow x-2y+5=0.\)

Phương trình tham số của đường thẳng đã cho là \( \left\{\begin{aligned}&x=1+2t\\ &y=2-3t.\end{aligned}\right.\)

Gọi \(d\) là đường thẳng cần tìm.

Do \(d\) có một véc-tơ chỉ phương, suy ra \(d\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(1;2)\).

Phương trình tổng quát của \(d\) là

\( 1\cdot (x-3) + 2 \cdot (y+1) = 0\) \(\Leftrightarrow x+2y-1=0.\)

Đường thẳng đi qua điểm \(M(2;3)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(2;7)\) có phương trình là

\(2(x-2)+7(y-3)=0\) \(\Leftrightarrow 2x+7y-25=0.\)

\(\bullet\,\) Phương trình \(\begin{cases}x=-1+t \\ y=3-3t\end{cases}\) có véc-tơ chỉ phương \((1;-3)\) không cùng phương với \(\overrightarrow{u}=(3;1)\) nên loại.

\(\bullet\,\) Thế tọa độ điểm \(M(-1;3)\) vào phương trình \(\begin{cases}x=2-3t \\ y=4-t}\) ta được:\\

\(\begin{cases}-1=2-3t \\ 3=4-t\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}t=1 \\ t=1\end{cases}\) (thỏa).

Vậy đường thẳng \(\begin{cases}x=2-3t \\ y=4-t}\end{cases}\) là đường thẳng cần tìm.

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(6;-4)=2(3;-2)\).

Khi đó \(AB\) đi qua \(A(-2;3)\) và có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(2;3)\) nên có phương trình

\(2(x+2)+3(y-3)=0\) \(\Leftrightarrow 2x+3y-5=0.\)

Khi đó đường thẳng \(AB\) cũng đi qua điểm \(C(1;1)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(3;-2)\).

Suy ra phương trình tham số là \(AB\colon \begin{cases}x=1+3t\\y=1-2t.\end{cases}\)

Đường thẳng \(AB\) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB}=(1;4)\) nên có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(4;-1)\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A(1;-1)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(4;-1)\) có phương trình

\(4(x-1)-1(y+1)=0\) \(\Leftrightarrow 4x-y-5=0.\)

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left(2;3\right)\).\\

Đường thẳng đi qua điểm B có VTCP \(\overrightarrow{AB}=\left(2;3\right)\) có phương trình tham số là: \(\begin{cases} x=3+2t \\ y=1+3t\end{cases}\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(13;-4\right)\) nên \(\overrightarrow{n}=\left(4;13\right)\) là một véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là

\(4\left(x-25\right)+13\left(y-4\right)=0\) \(\Leftrightarrow 4x+13y-152=0\).

Ta có \(\overrightarrow{BA}=(3;5)\).\\

Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A(3;0)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{BA}=(3;5)\) nên phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) là \(\begin{cases}x=3+3t\\y=5t.\end{cases}\)

Vì \((\Delta)\parallel (d)\) nên phương trình của đường thẳng \((\Delta)\) có dạng \(x-2y+c=0\), với \(c\neq 1\).

Vì đường thẳng \((\Delta)\) đi qua \(M(1;-1)\) nên

\(1-2\cdot (-1)+c=0\) \(\Leftrightarrow c+3=0 \Leftrightarrow c=-3\) (thỏa mãn).

Vậy phương trình của đường thẳng \((\Delta)\) là \(x-2y-3=0\).

Ta có \(\overrightarrow{BC}=(-6;8)\).

Đường cao \(AA'\) của tam giác \(ABC\) đi qua \(A(1;-2)\) nhận \(\overrightarrow{BC}=(-6;8)\) làm véc-tơ pháp tuyến.

Phương trình của đường cao \(AA'\) là

\(-6(x-1)+8(y+2)=0\) \(\Leftrightarrow -6x+8y+22=0\) \(\Leftrightarrow3x-4y-11=0.\)

Vậy phương trình của đường cao \(AA'\) là \(3x-4y-11=0\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(2;6)\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) đi qua trung điểm \(I(2;-1)\) và nhận \(\overrightarrow{AB}=(2;6)\) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình

\(2(x-2)+3(y+1)=0\) \(\Leftrightarrow x+3y+1=0.\)

Ta có \(\overrightarrow{BC}(4;-3)\) do \(AH \perp BC\) nên \(\overrightarrow{BC}\) là VTPT của đường thẳng \(AH\)

\(\Rightarrow\) đường thẳng \(AH\) có VTCP là \(\overrightarrow{u}= (3;4)\).

Phương trình tham số đường cao \(AH\): \(\begin{cases}x=2+3t\\y=6+4t.\end{cases}\)

Ta có \(\mathrm{d}(M;\Delta)=\displaystyle\frac{|3\cdot 1-4\cdot (-1)-17|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=2\).

Ta có \(\mathrm d\left(M,\Delta\right)=\displaystyle\frac{\left| 1 \cdot 1+2 \cdot \left(-1\right)-3 \right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\displaystyle\frac{4\sqrt{5}}{5}\).

Theo công thức khoảng cách từ điểm đến mặt ta có \(\mathrm{d}(M,\Delta)=\displaystyle\frac{|4\cdot(-3)+4\cdot3-12|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\displaystyle\frac{12}{5}\).

Khoảng cách từ điểm \(M(-5;2)\) đến đường thẳng \(\Delta \colon 4x-3y+1=0\) bằng

\centerline\(\text{d}(M,\Delta)=\displaystyle\frac{|4\cdot(-5)-3\cdot2+1|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=5\).}

Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \((d)\) bằng

\(\mathrm{d}[M,(d)]=\displaystyle\frac{|2\cdot(-1)-3\cdot2+1|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\displaystyle\frac{|-7|}{\sqrt{13}}=\displaystyle\frac{7\sqrt{13}}{13}.\)

Ta có\overrightarrow tơ pháp tuyến của hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) lần lượt là: \(\overrightarrow{n_{\Delta_1}}=(3;4)\), \(\overrightarrow{n_{\Delta_2}}=(5;-12)\)

\(\Rightarrow \cos \left(\Delta_1,\Delta_2\right)\) \(=\left| \cos \left(\overrightarrow{n_{\Delta_1}},\overrightarrow{n_{\Delta_2}}\right) \right|\) \(=\left| \displaystyle\frac{3\cdot 5+4\cdot (-12)}{\sqrt{3^2+4^2}\cdot \sqrt{5^2+\left(-12\right)^2}} \right|\) \(=\displaystyle\frac{33}{65}\).

Đường thẳng \(x+my-3=0\), \(x+y=0\) lần lượt có VTPT là \(\overrightarrow{n}_1=(1;m)\) và \(\overrightarrow{n}_2=(1;1)\).

Ta có \(\overrightarrow{n}_1 \cdot \overrightarrow{n}_2=1+m\), \(\left|\overrightarrow{n}_1\right|=\sqrt{1+m^2}\) và \(\left|\overrightarrow{n}_2\right|=\sqrt{2}\).

Do góc giữa hai đường thẳng \(x+my-3=0\) và \(x+y=0\) là \(60^{\circ}\) nên ta có

\(\cos 60^{\circ}=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n}_1 \cdot \overrightarrow{n}_2\right|}{\left|\overrightarrow{n}_1\right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_2\right|}\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{|1+m|}{\sqrt{2}\sqrt{1+m^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow m^2+4m+1=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&m=-2+\sqrt{3} \\ &m=-2-\sqrt{3}.\end{aligned}\right.\)

Vậy tổng của hai giá trị ấy bằng \(-4\).

\(\bullet\,\) Đường thẳng \(d_1\), \(d_2\) lần lượt có các véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=(1;\sqrt{3})\), \(\overrightarrow{n_2}=(1;-\sqrt{3})\).

\(\bullet\,\) Ta có \(|\overrightarrow{n_1}|=|\overrightarrow{n_2}|=2\) và \(\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=-2\).

\(\bullet\,\) Gọi \(\alpha\) là góc tạo bởi \(d_1\) và \(d_2\), khi đó \(\cos \alpha=\displaystyle\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}=\displaystyle\frac{1}{2}\), suy ra \(\alpha=60^\circ\).

Ta có \(\overrightarrow{n}_{d_1}=(1;-2)\), \(\overrightarrow{u}_{d_2}=(3;1)\Rightarrow \overrightarrow{n}_{d_2}=(1;-3)\).

Khi đó

\(\cos\left(d_1,d_2\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n}_{d_1},\overrightarrow{n}_{d_2}\right)\right|\) \(=\displaystyle\frac{|1\cdot 1-2\cdot (-3)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{1^2+(-3)^2}}=\displaystyle\frac{7\sqrt{2}}{10}.\)

Ta có véc-tơ chỉ phương của \(\Delta_1\) là \(\overrightarrow{u}_1 = (4;-3)\) và véc-tơ chỉ phương của \(\Delta_2\) là \(\overrightarrow{u}_2 = (m;-2)\).

Theo giả thiết ta có

\begin{align*}&\cos 45^\circ = \displaystyle\frac{|4m+6|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}\cdot \sqrt{ m^2 + (-2)^2}}\\ \Leftrightarrow &\displaystyle\frac{5\sqrt{2}}{2}= \displaystyle\frac{|4m+6|}{\sqrt{m^2+4}}\\ \Leftrightarrow &\displaystyle\frac{25}{2}=\displaystyle\frac{16m^2+48m+36}{m^2+4}\\ \Leftrightarrow &7m^2+96m-28=0\\ \Leftrightarrow &\left[\begin{aligned}&m=\displaystyle\frac{2}{7}\\ &m=-14.\end{aligned}\right.\end{align*}

Do đó \(m \in(-15 ; 1)\).

Tọa độ giao điểm của hai dường thẳng là nghiệm của hệ phương trình \(\begin{cases}x-2y-3=0\\3x-y+4=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=-\displaystyle\frac{11}{5}\\y=-\displaystyle\frac{13}{5}.\end{cases}\)

Vậy tọa độ giao điểm \(\left(-\displaystyle\frac{11}{5} ;-\displaystyle\frac{13}{5}\right).\)

Đường thẳng \(d\) đã cho đi qua điểm \(A(1;2)\) và có một véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(1;3)\).

Phương trình tổng quát là \(3x-y-1=0\).

Ta thấy

\(\bullet\,\) \(d\) cắt đường thẳng \(x+3y-1=0\).

\(\bullet\,\) \(d\) trùng với \(\begin{cases}x=2+t\\y=5+3t.\end{cases}\)

\(\bullet\,\) \(d\) song song với \(\begin{cases}x=t\\y=3t.\end{cases}\)

\(d:2x-3y+4=0\) có VTPT là \(\overrightarrow{n}=\left(2;-3\right)\).

\(d':x+my+3=0\) có VTPT là \(\overrightarrow{n'}=\left(1;m\right)\).

Để \(d'\) vuông góc với \(d\) thì \(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n'}=0\Leftrightarrow 2-3m=0\Leftrightarrow m=\displaystyle\frac{2}{3}\)

\(d \colon 2x-3y+4=0\) có một véc-tơ phép tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left(2;-3\right)\).

\(d' \colon x+my+3=0\) có véc-tơ phép tuyến là \(\overrightarrow{n'}=\left(1;m\right)\).

\(d'\) vuông góc với \(d\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{n'}=0\Leftrightarrow 2-3m=0\Leftrightarrow m=\displaystyle\frac{2}{3}\).

Xét đường thẳng \(d\colon 2x-3y-8=0\) và đường thẳng có phương trình \(2x+3y-8=0\), ta có \(\displaystyle\frac{2}{2}\neq \displaystyle\frac{-3}{3}\).

Do đó hai đường thẳng này cắt nhau.

Ta có \(a=\displaystyle\frac{-6}{-2}=3,\) \(b=\displaystyle\frac{2}{-2}=-1,\) \(c=6\)

\(\Rightarrow I\left(3;-1\right)\), \(R=\sqrt{3^2+(-1)^2-6}=2.\)

Tâm \(I(-1;2)\), bán kính \(R=3\).

Đường tròn \( (x-2)^2+(y+5)^2=36 \) có tâm \( I(2;-5) \) và bán kính \( R=\sqrt{36}=6 \).

\((C)\colon x^2+y^2-5y=0\) \(\Rightarrow I\left(0;\displaystyle\frac{5}{2}\right),R=\sqrt{0+\displaystyle\frac{25}{4}-0}=\displaystyle\frac{5}{2}.\)

Biết rằng \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\) là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi \(a^2+b^2-c>0\).

Ta thấy phương trình trong phương án \(A\) và \(B\) có hệ số của \(x^2\), \(y^2\) không bằng nhau nên đây không phải là phương trình đường tròn.

Với phương án \(C\) có \(a^2+b^2-c=1+16-18<0\) nên đây không phải là phương trình đường tròn. Vậy ta chọn đáp án \(D\).

Phương trình \(x^2+y^2=1\) là phương trình của đường tròn tâm \(O(0;0)\) và bán kính \(R=1\).

Để là phương trình đường tròn thì điều kiện cần là hệ số của \(x^2\) và \(y^2\) phải bằng nhau nên loại được A và D.

Ta có: \(x^2+y^2-2x-8y+20=0\) \( \Leftrightarrow (x-1)^2+(y-4)^2+3=0\) vô lý.

Ta có: \(x^2+y^2-4x+6y-12=0\) \( \Leftrightarrow (x-2)^2+(y+3)^2=25\) là phương trình đường tròn tâm \(I(2;-3)\), bán kính \(R=5\).

Là \(a^2+b^2>c\).

Xét \(x^2+y^2-y=0\) \( \Leftrightarrow x^2+\left(y-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2=\displaystyle\frac{1}{4}\) đây là phương trình đường tròn.

Xét \(x^2+y^2-100y+1=0\) \( \Leftrightarrow x^2+(y-50)^2=2499\) đây là phương trình đường tròn.

Xét \(x^2+y^2-x-y+4=0\) \( \Leftrightarrow \left(x-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2=-\displaystyle\frac{7}{2}\) không phải là phương trình đường tròn.

Xét \(x^2+y^2-2=0 \Leftrightarrow x^2+y^2=2\) đây là phương trình đường tròn.

Ta có \(a=2,b=-4,c=2m-2\).

Phương trình đã cho là phương trình đường tròn \(\Leftrightarrow a^2+b^2-c>0\) \(\Leftrightarrow 4+16-2m+2>0 \Leftrightarrow m<11\).

Phương trình \(x^2+y^2-2mx-4my-5=0\) là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi

\(m^2+(2m)^2-(-5)>0\) \(\Leftrightarrow 5m^2+5>0\Leftrightarrow m\in\mathbb{R}.\)

Ta có: \(x^2+y^2-2mx-4\left(m-2\right)y+6-m=0\) \(\Rightarrow \begin{cases} a=m \\ b=2\left(m-2\right) \\ c=6-m\end{cases}\) \(\Rightarrow a^2+b^2-c>0.\)

\(\Leftrightarrow 5m^2-15m+10>0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&m<1 \\ &m>2.\end{aligned}\right.\)

Ta có: \(x^2+y^2-2\left(m+1\right)x+4y-1=0\) \(\Rightarrow \begin{cases}a=m+1 \\ b=-2 \\ c=-1\end{cases}\)

\(\Rightarrow R^2=a^2+b^2-c={\left(m+1\right)}^2+5\) \(\Rightarrow R_{\min}=5\Leftrightarrow m=-1.\)

Ta có \(\begin{cases}a=-m\\b=2(m+1)\\c=4m^2+5m+2.\end{cases}\)

Phương trình đã cho là phương trình đường tròn khi và chỉ khi

\begin{align*}&a^2+b^2-c>0\\ \Leftrightarrow &(-m)^2+\left[2(m+1)\right]^2-(4m^2+5m+2)>0\\ \Leftrightarrow &m^2+3m+2>0\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}&m<-2\\&m>-1.\end{aligned}\right.\end{align*}

Đường tròn tâm \(O(0;0)\), bán kính \(R=2\) có phương trình \(x^2+y^2=4\).

Đường tròn có tâm \(I(2;3)\) và bán kính \(R=2\).

Phương trình đường tròn: \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\) \(\Leftrightarrow (x-2)^2+(y-3)^2=4\).

Phương trình của đường tròn tâm \(I\left(-3;4\right)\), có bán kính \(R=2\) là

\(\left(x+3\right)^2+\left(y-4\right)^2=4\) \(\Leftrightarrow \left(x+3\right)^2+\left(y-4\right)^2-4=0.\)

\((C)\colon \begin{cases} I(0;0) \\ R=1\end{cases}\Rightarrow (C)\colon x^2+y^2=1.\)

Bán kính đường tròn là \(R=IB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\).

Phương trình đường tròn cần tìm là \((x-1)^2+(y-4)^2=5\).

Ta có \(\overrightarrow{IM}=(3;-1)\) \(\Rightarrow R=IM=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}\).

Phương trình đường tròn tâm \(I(-1;2)\) và \(R=\sqrt{10}\) là

\((x+1)^2+(y-2)^2=10\) \(\Leftrightarrow x^2+y^2+2x-4y-5=0.\)

Ta có \(IA=\sqrt{(3+1)^2+(-2-1)^2}=5\).

Phương trình đường tròn tâm \(I\) và đi qua \(A\) là

\((x+1)^2+(y-1)^2=25.\)

\(\begin{cases} I(-2;3) \\ R=IM=\sqrt{(2+2)^2+(-3-3)^2}=\sqrt{52}\end{cases}\)

\(\Rightarrow (C)\colon (x+2)^2+(y-3)^2=52\) \(\Leftrightarrow (C)\colon x^2+y^2+4x-6y-39=0.\)

Đường tròn tâm \(I(3;-2)\) và đi qua điểm \(M(-1;1)\) nên có bán kính bằng \(MI\).

\(MI^2=(3+1)^2+(-2-1)^2\) \(=25\)

Vậy phương trình đường tròn là \((x-3)^2+(y+2)^2=25\).

Vì đường tròn có đường kính \(AB\) nên đường tròn đó có tâm \(I(-2;-1)\) là trung điểm đoạn \(AB\) và bán kính \(R=\displaystyle\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}\).

Vậy phương trình đường tròn đường kính \(AB\) là \((x+2)^2+(y+1)^2=2\).

Trung điểm \(I(-1;2)\) là tâm đường tròn. Bán kính \(R=\displaystyle\frac{AB}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{(-3-1)^2+(3-1)^2}}{2}=\sqrt{5}\).

Phương trình đường tròn cần tìm là \((x+1)^2+(y-2)^2=5\).

Đường tròn đường kính \(AB\) có tâm là điểm \(I(-1;4)\) (\(I\) là trung điểm của đoạn \(AB\)), bán kính \(R = \displaystyle\frac{AB}{2} = \displaystyle\frac{\sqrt{(-3-1)^2+(5-3)^2}}{2} = \sqrt{5}.\)

Phương trình đường tròn đường kính \(AB\) là \((x+1)^2+(y-4)^2=5\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(6;8)\Rightarrow AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{6^2+8^2}=10\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\Rightarrow I(2;3)\).

Đường tròn đường kính \(AB\) nhận \(I\) làm tâm và có bán kính \(R=\displaystyle\frac{AB}{2}=5\) có phương trình là \((x-2)^2+(y-3)^2=25\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(I(2;-3)\).

Phương trình đường tròn đường kính \(AB\) có tâm \(I(2;-3)\) và bán kính \(R= \displaystyle\frac{AB}{2}=\sqrt{5}\) là

\((x-2)^2+(y+3)^2=5\).

\((C)\colon \begin{cases} I(-1;2) \\ R=\mathrm{d}\left(I;\Delta \right)=\displaystyle \frac{\left|-1-4+7\right|}{\sqrt{1+4}}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\end{cases}\) \(\Rightarrow (C)\colon (x+1)^2+(y-2)^2=\displaystyle\frac{4}{5}.\)

FB: Ngo Hieu, tác giả: Ngô Văn Hiếu

Gọi \(\Delta\) là đường thẳng có phương trình \(2x-y-1=0\). Bán kính đường tròn là

\(R=\mathrm{d}\left(A, \Delta \right)=\displaystyle\frac{|2 \cdot 4+3-1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\displaystyle\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\).

Phương trình đường tròn là: \((x-4)^2+(y+3)^2=20\).

Ta có \(R = \mathrm{d}(I,d) = \displaystyle\frac{|2\cdot 0 - 1 + 3|}{\sqrt{2^2+1^2}} = \displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\).

Do đó phương trình đường tròn là \(x^{2}+(y-1)^{2}=\displaystyle\frac{4}{5}\).

\((C)\colon \begin{cases} I(2;-3) \\ R=\mathrm{d}\left(I;Oy\right)=2\end{cases}\) \(\Rightarrow (C)\colon (x-2)^2+(y+3)^2=4.\)

\(\begin{cases} \overrightarrow{BA}=(-3;0) \\ \overrightarrow{BC}=(0;-4)\end{cases}\) \(\Rightarrow BA\perp BC\) \(\Rightarrow R=\displaystyle\frac{AC}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{(3-0)^2+(0-4)^2}}{2}=\displaystyle\frac{5}{2}.\)

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(2;0),\overrightarrow{BC}=(0;-2)\).

Mà \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0\), suy ra \( \triangle ABC \) vuông tại \( B \).

Nên tâm đường tròn ngoại tiếp \( \triangle ABC \) có tâm là trung điểm \( I \) của \( AC \), bán kính \( R=\displaystyle\frac{AC}{2} \).

Ta có \( I=(1;1) \), \( R=\sqrt{2} \).

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \) là \((x-1)^2+(y-1)^2=2\) \(\Leftrightarrow x^2+y^2-2x-2y=0\).

Phương trình đường tròn có dạng \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\).

Đường tròn này qua \(A,B,C\) nên

\(\begin{cases}1+4-2a-4b+c=0\\25+4-10a-4b+c=0\\1+9-2a+6b+c=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}a=3\\b=-\displaystyle\frac{1}{2}\\c=-1.\end{cases}\)

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là \(x^2+y^2-6x+y-1=0\).

\(A,B,C\in (C)\colon x^2+y^2+2ax+2by+c=0\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}20-4a+8b+c=0 \\ 50+10a+10b+c=0 \\ 40+12a-4b+c=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}a=-2 \\ b=-1 \\ c=-20.\end{cases}\)

Vậy \((C)\colon x^2+y^2-4x-2y-20=0.\)

\begin{align*} I\in d&\Rightarrow I\left(2-2a;a\right),a<1\Rightarrow d\left[I;\Delta \right]=R=5 \\ &\Leftrightarrow \displaystyle\frac{\left| 10a+5\right|}{5}=5\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&a=\displaystyle\frac{1}{2} \\ &a=-3\end{aligned}\right.\Rightarrow I\left(8;-3\right).\end{align*}

Vậy phương trình đường tròn là: \({\left(x-8\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=25.\)

\(I\in d\Rightarrow I\left(5-3a;a\right)\Rightarrow d\left[I;\Delta \right]=R=2\sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{\left| 4-4a\right|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&a=0 \\ &a=2\end{aligned}\right.\Rightarrow \left[\begin{aligned}&I\left(5;0\right) \\ &I\left(-1;2\right).\end{aligned}\right.\)

Vậy các phương trình đường tròn là: \({\left(x-5\right)}^2+y^2=8\) hoặc \({\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=8.\)

\begin{align*} I\in d&\Rightarrow I\left(12-5a;a\right)\Rightarrow R=d\left[I;Ox\right]=d\left[I;Oy\right]=\left| 12-5a\right|=\left| a\right| \\ &\Rightarrow \left[\begin{aligned}&a=3\Rightarrow I\left(-3;3\right),R=3 \\ &a=2\Rightarrow I\left(2;2\right),R=2.\end{aligned}\right.\end{align*}

Vậy phương trình các đường tròn là:

Gọi \((C)\) có tâm là \(I\in \Delta\Rightarrow I(-1+t;7+3t)\).

Khi đó \(\overrightarrow{PI}=(t;5+3t)\), \(\overrightarrow{QI}=(1+t;4+3t)\).

Vì \(P\), \(Q\in (C)\) nên \(PI^2=QI^2\Leftrightarrow t^2+(5+3t)^2=(1+t)^2+(4+3t)^2\) \(\Leftrightarrow t=-2\Rightarrow I(-3;1)\).

Bán kính \(R=PI=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{5}\).

\(AB:x-y+1=0,\) đoạn AB có trung điểm \(M\left(2;3\right)\Rightarrow\) trung trực của đoạn AB là\\ \(d:x+y-5=0\Rightarrow I\left(a;5-a\right),a\in \mathbb{Z}.\)

Ta có: \(R=IA=d\left[I;\Delta \right]=\sqrt{{\left(a-1\right)}^2+{\left(a-3\right)}^2}=\displaystyle\frac{\left| 2a+2\right|}{\sqrt{10}}\) \(\Leftrightarrow a=4\Rightarrow I\left(4;1\right),R=\sqrt{10}.\)

Vậy phương trình đường tròn là: \({\left(x-4\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=10\) \(\Leftrightarrow x^2+y^2-8x-2y+7=0.\)

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M(5;1)\) là \((x-5)(5-1)+(y-1)(1+2)=0\) \(\Leftrightarrow 4x+3y+23=0\).

Đường tròn có tâm \(I(4;1)\). Khi đó \(\overrightarrow{AI} =(1;2)\).

Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \(A\) nhận \(\overrightarrow{AI}\) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là

\(1\cdot (x-3) +2\cdot (y+1)=0\) \(\Leftrightarrow x+2y=1.\)

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(1;2)\). \(\overrightarrow{IM} = (2;2)\).

Tiếp tuyến \(\Delta\) tại \(M\) với đường tròn \((C)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = (1;1)\).

Phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) là \(1(x-3) + 1(y-4) = 0\) \(\Leftrightarrow x + y - 7 = 0\).

Ta có \(\overrightarrow{IA}=(2;-6)\), phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C)\) có tâm \(I(0;1)\), tại điểm \(A(2;-5)\) nhận \(\overrightarrow{IA}\) làm véc-tơ pháp tuyến có dạng

\(2(x-2)-6(y+5)=0\) \(\Leftrightarrow x-3y-17=0.\)

Đường tròn có tâm \(I(2;-3)\).

Ta có \(\overrightarrow{IB}=(-3;4)\), tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn là đường thẳng đi qua \(B\) và nhận \(\overrightarrow{IB}\) là một véc-tơ pháp tuyến.

Phương trình của tiếp tuyến là \(-3\left(x+1\right)+4\left(y-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow 3x-4y+7=0\).

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(3;-1)\) và bán kính \(R=\sqrt{5}\).

Gọi \(\Delta \colon 2x+y+m =0\) (\(m\ne 7\)) là tiếp tuyến song song với \(d\).

Ta có

\(\mathrm{d}(I,\Delta) =R \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\left |6-1+m\right |}{\sqrt{5}} =\sqrt{5}\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&m=0\\ &m=-10\end{aligned}\right.\ (\text{thỏa mãn}).\)

Vậy phương trình các tiếp tuyến là \(2 x+y=0 ; 2 x+y-10=0\).

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I\left(2;2\right),~R=2\) và tiếp tuyến có dạng \(\Delta:x+c=0.\)

Ta có \(R=d\left[I;\Delta \right]\Leftrightarrow \left| c+2\right|=2\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&c=0 \\ &c=-4.\end{aligned}\right.\)

Đường tròn \((x-2)^2 + (y+3)^2 = 16\) có tâm \(I(2;-3)\) và bán kính \(R=4\).

Tiếp tuyến \(\Delta\) song song với đường thẳng \(3x-4y+2=0\) có dạng \(3x-4y+m=0\), (\(m\ne 2\)).

Điều kiện tiếp xúc của \(\Delta\) với đường tròn \((I;R)\) là

\(\mathrm{d}(I,\Delta) = R \Leftrightarrow \displaystyle\frac{|m+18|}{5} = 4\)

\(\Leftrightarrow |m+18| = 20\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&m+18=20\\ &m+18=-20\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&m=2 \text{(loại)}\\ &m=-38 \text{(thỏa mãn)}.\end{aligned}\right.\)

Vậy chỉ có \(1\) tiếp tuyến thỏa mãn.

Tiếp tuyến \((d)\) vuông góc với đường thẳng \(6x+8 y-3=0\) có dạng \(8x-6y+c=0\).

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(1;-3)\) và bán kính \(R=4\).

\((d)\) tiếp xúc với \((C)\) khi và chỉ khi \(\mathrm{d}(I,d)=4\Leftrightarrow \displaystyle\frac{|26+c|}{10} = 4\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&c = -66 \\ &c=14\text{ (loại)}.\end{aligned}\right.\)

Vậy \((d)\colon 4x-3y-33=0\). Suy ra \(2 a+5 b-c = 26\).

\(\bullet\,\) Đường tròn \((C)\colon x^2+y^2-2x+6y+5=0\) có tâm \(I(1;-3)\) và có bán kính là \(R=\sqrt{1^2+(-3)^2-5}=\sqrt{5}\).

\(\bullet\,\) Vì tiếp tuyến \(\Delta\) song song với đường thẳng \(d\colon 2x-y+6=0\) nên phương trình của tiếp tuyến có dạng \(2x-y+m=0\).

\(\bullet\,\) Ta có

\(\mathrm{d}\left(I,\Delta\right)=R\Leftrightarrow \displaystyle\frac{|2\cdot 1-1\cdot (-3)+m|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\sqrt{5}\) \(\Leftrightarrow |m+5|=5\Leftrightarrow m+5=\pm 5\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&m=0\\ &m=-10.\end{aligned}\right.\)

\(\bullet\,\) Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là \(2x-y=0\) và \(2x-y-10=0\).