Chuyên đề 4. HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC HAI

a. Ta có:

\( g(x)=f(x-1)\) \(=(x-1)-2(x-1)^2\) \(=x-1-2(x^2-2x+1)\) \(=-2x^2+5x-3\).

b. Ta có:

\(g(x)\) \(=f(2-x)\) \(=(2-x)-3(2-x)^2\) \(=2-x-3(4-4x+x^2)\) \(=-3x^2+11x-10\).

c. Ta có:

\(g(x)\) \(=f(x^2+1)\) \(=(x^2+1)^2-2(x^2+1)\) \(=(x^4+2x^2+1)-2x^2-2\) \(=x^4-1\).

d. Ta có:

\(g(x)\) \(=f(1-x^2)\) \(=(1-x^2)^2-4(1-x^2)\) \(=(1-2x^2+x^4)-4+4x^2\) \(=x^4+2x^2-3\).

a. Đặt: \(t=x+2 \Leftrightarrow x=t-2\)

Khi đó:

\(f(t)=2(t-2)-1=2t-5\)

Suy ra: \(y=f(x)=2x-5\).

b. Đặt: \(t=x-1 \Leftrightarrow x=t+1\)

Khi đó:

\(f(t)=(t+1)^2-3(t+1)+3=t^2-t+1.\)

Suy ra: \(y=f(x)=x^2-x+1\).

c. Đặt: \(t=x+1 \Leftrightarrow x=t-1\)

Khi đó:

\(f(t)=(t-1)^2+2(t-1)+3=t^2+3.\)

Suy ra: \(y=f(x)=x^2+3\).

d. Đặt: \(t=1-2x \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1-t}{2}\)

Khi đó:

\(f(t)=(1-t)^2-4(1-t)+2=t^2+2t-1.\)

Suy ra: \(y=f(x)=x^2+2x-1\).

a. Ta có:

\(f(x)=2f(1-x)-3x+4\)

\(\Leftrightarrow 1-3x =2[1-3(1-x)]-3x+4\)

\(\Leftrightarrow 1-3x =2(-2+3x)-3x+4\)

\(\Leftrightarrow 1-3x =-4+6x-3x+4\)

\(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1}{6}\).

b. Ta có:

\(f(x)=f(x^2)-3x+12\)

\(\Leftrightarrow 1-3x=1-3x^2-3x+12\)

\(\Leftrightarrow -3x^2+12=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=2\\ &x=-2.\end{aligned}\right.\)

a. \(x=3\geq 2\) nên chọn (nhánh trên)

\(y=x+1 \Rightarrow y(3)=3+1=4\).

b. \(x=-1<2\) nên chọn (nhánh dưới)

\(y=x^2-2\Rightarrow y(-1)=(-1)^2-2=-1\).

c. \(x=2 \geq 2\) nên chọn (nhánh trên)

\(y=x+1 \Rightarrow y(2)=2+1=3\).

Vì \(x=m^2 \geq 0\) nên chọn (nhánh trên)

\(f(x)=x-4 \Rightarrow f(m^2)=m^2-4\).

Tương tự \(x=-2 <0\) nên chọn (nhánh dưới)

\(f(x)=x^2-4x+1\) \(\Rightarrow f(-2)=(-2)^2-4(-2)+1=13\).

Do đó

\(f(m^2)+f(-2)=18\) \(\Leftrightarrow m^2-4+13=18\) \(\Leftrightarrow m^2-9=0\) \(\Leftrightarrow m=3\) hoặc \(m=-3\).

Vì \(x=(m+1)^2 \geq 0\) nên chọn (nhánh trên)

\(f(x)=x-1\) \( \Rightarrow f((m+1)^2)=(m+1)^2-1=m^2+2m\).

Tương tự \(x=-3 <0\) nên chọn (nhánh dưới)

\(f(x)=x^3-2x\) \( \Rightarrow f(-3)=(-3)^3-2(-3)=-21\).

Do đó

\(f((m+1)^2)+f(-3)=3\) \( \Leftrightarrow m^2+2m-21=3\) \( \Leftrightarrow m^2+2m-24=0\) \( \Leftrightarrow m=4\) hoặc \(m=-6\).

Gọi \(y=f(x)=3x^2-2x+1\).

a. \(M(-1;6)\).

Ta có

\(f(-1)=3(-1)^2-2(-1)+1=6\) \( \Rightarrow M(-1;6)\) thuộc đồ thị hàm số.

b. \(N(1;1)\).

Ta có

\(f(1)=3.1^2-2.1+1=2\) \( \Rightarrow N(1;1)\) không thuộc đồ thị hàm số.

c. \(P(0;1)\).

Ta có

\(f(0)=3.0^2-2.0+1=1\) \( \Rightarrow P(0;1)\) thuộc đồ thị hàm số.

Điểm \((x,4)\) thuộc đồ thị \((C): y=f(x)=\displaystyle\frac{5x^3-7x^2+8}{3x+2}\).

Ta có:

\(\begin{aligned}f(x)=\ &\displaystyle\frac{5x^3-7x^2+8}{3x+2}=4 \\ \Leftrightarrow\ & \begin{cases} 5x^3-7x^2+8=4(3x+2) \\ 3x+2 \ne 0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ & \, \begin{cases}x=0\\x=1\\ x=\displaystyle\frac{12}{5}.\end{cases}\end{aligned}\)

Các điểm trên đồ thị \((C)\) có tung độ bằng 4 là \(M(0;4),\) \(N(-1;4)\), \(P\left( \displaystyle\frac{12}{5}; 4\right)\).

Điểm \(M\left( 1, -\displaystyle\frac{1}{2}\right) \) thuộc hàm số \(y=f(x)=\displaystyle\frac{-x^2+x-m}{2x+m}\).

Ta có

\(\begin{aligned}f(1)=\ &\displaystyle\frac{-1^2+1-m}{2.1+m}=-\displaystyle\frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{-m}{m+2}=-\displaystyle\frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}-2m=-m-2 \\ m+2 \ne 0\end{cases} \\ \Leftrightarrow\ &m=2.\end{aligned}\)

Vậy với \(m=2\) hàm số \(y=\displaystyle\frac{-x^2+x-2}{2x+2}\) qua điểm \(M\left(1; -\displaystyle\frac{1}{2} \right)\).

Hàm số xác định khi

\(x^2+x-6 \ne 0 \Leftrightarrow \begin{cases}x \ne 2 \\ x \ne -3.\end{cases}\)

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \backslash \{ -3; 2\}\).

Hàm số xác định khi

\(x^2+5x-14 \ne 0 \Leftrightarrow \begin{cases}x \ne 2 \\ x \ne -7.\end{cases}\)

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \backslash \{ -7; 2\}\).

Hàm số xác định khi

\((4-x^2)(x^2+1) \ne 0\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}4-x^2 \ne 0 \\ x^2+1 \ne 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x \ne 2 \\ x \ne -2.\end{cases}\)

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \backslash \{ -2; 2\}\).

Hàm số xác định khi

\((x-1)(x^2+2x+2) \ne 0\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x-1 \ne 0 \\ x^2+2x+2 \ne 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x \ne 1\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \backslash \{ 1 \}\).

Hàm số xác định khi

\(\begin{cases}x^2-2x\ne 0 \\ x-1 \geq 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ x\ne 2 \\ x \geq 1.\end{cases}\)

Tập xác định \(\mathscr{D}=[1;+\infty) \backslash \{ 2\} \).

Hàm số xác định khi

\(\begin{cases}-x^2+3x\ne 0 \\ 2x-4 \geq 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ x\ne 3 \\x \geq 2.\end{cases}\)

Tập xác định \(\mathscr{D}=[2;+\infty) \backslash \{ 3\} \).

Hàm số xác định khi

\(\begin{cases}x^2-3x\ne 0 \\ -x+4 \geq 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\x\ne 3 \\x \leq 4.\end{cases}\)

Tập xác định \(\mathscr{D}=(-\infty,4] \backslash \{ 0;3\} \).

Hàm số xác định khi

\(\begin{cases}x^2-10x\ne 0 \\ 5-x \geq 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} x\ne 0\\ x\ne 10 \\ x \leq 5.\end{cases}\)

Tập xác định \(\mathscr{D}=(-\infty,5] \backslash \{ 0\} \).

Hàm số xác định khi

\(\begin{cases}3-x >0 \\ 2x+4 \geq 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x < 3\\x \geq -2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow -2 \leq x <3\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=[-2,3)\).

Hàm số xác định khi

\(\begin{cases}2-x \geq 0 \\ 1+x >0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x \leq 2\\x > -1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow -1 < x \leq2 \).

Tập xác định \(\mathscr{D}=(-1,2]\).

Hàm số xác định khi

\(\begin{cases}3-x \geq 0 \\ x+2 \geq 0\\x^2-1 \ne 0\\x-4 \ne 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x \leq 3\\x \geq-2 \\x \ne \pm 1 \\x \ne 4.\end{cases}\)

Tập xác định \(\mathscr{D}=[-2,3] \backslash \{ -1;1\}\).

Hàm số xác định khi

\(\begin{cases}2x+8 \geq 0 \\ 3-x > 0\\x^2-3x-10 \ne 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x \geq -4\\x <3 \\x \ne -2 \\x \ne 5.\end{cases}\)

Tập xác định \(\mathscr{D}=[-4,3) \backslash \{ -2\}\).

Hàm số xác định khi

\(\begin{cases}2x+x^2 \ne 0 \\ x+1 > 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x \ne 0\\x \ne -2 \\x >-1.\end{cases}\)

Tập xác định \(\mathscr{D}=(-1,+\infty) \backslash \{ 0\}\).

Hàm số xác định khi

\(\begin{cases}x^2+3x \ne 0 \\ x+1 > 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x \ne 0\\x \ne -3 \\x >-1.\end{cases}\)

Tập xác định \(\mathscr{D}=(-1,+\infty) \backslash \{ 0\}\).

Hàm số xác định khi

\(\begin{cases}x-3 \ne 0 \\ x-1 \ge 0 \\ 8-x >0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x \ne 3\\x \geq 1 \\x <8.\end{cases}\)

Tập xác định \(\mathscr{D}=[1,8) \backslash \{ 3\}\).

Hàm số xác định khi

\(\begin{cases}x-4 \ne 0 \\ x-2 \ge 0 \\ 5-x >0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x \ne 4\\x \geq 2 \\x <5.\end{cases}\)

Tập xác định \(\mathscr{D}=[2,5) \backslash \{ 4\}\).

Hàm số xác định khi

\(\begin{cases}x\geq 0 \\ x-3 \ge 0 \\ \sqrt{x(x-3)}-2 \ne 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x \geq 0 \\ x \geq 3 \\ \sqrt{x(x-3)}\ne 2 \end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x \geq 3 \\ x(x-3)\ne 4 \end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x \geq 3 \\ x \ne -1 \\x\ne 4.\end{cases}\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=[3,+\infty) \backslash \{ 4\}\).

Hàm số xác định khi

\(\begin{cases}x+2\geq 0 \\ x-1 \geq 0 \\ 2+\sqrt{(x-1)(x+2)} \ne 0 \quad \text{( luôn đúng)}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x \geq-2\\x\geq 1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x \geq 1\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=[1,+\infty)\).

Hàm số xác định khi

\(\begin{cases}|x+2|-|x-2| \ne 0 \\ |x|-2 \ne 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}|x+2|\ne |x-2| \\ |x|\ne 2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x+2 \ne x-2 \\x+2 \ne -x+2 \\x \ne \pm 2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x \ne 0 \\x\ne \pm 2.\end{cases}\)

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R} \backslash \{-2; 0; 2\} \).

Hàm số xác định khi

\(\begin{cases} -4+2x \geq 0 \\ |x+1|-3 \ne 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 2 \\ |x+1|\ne 3\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x \geq 2\\x+1 \ne 3 \\ x+1 \ne -3\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x \geq 2\\x\ne 2 \\x \ne -4.\end{cases}\)

Tập xác định \(\mathscr{D}=(2;+\infty) \).

Hàm số xác định khi

\(\begin{cases} 2x-6 \geq 0 \\ |x-2|-1 \ne 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 3 \\ |x-2|\ne 1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x \geq 3\\x-2 \ne 1 \\ x-2 \ne -1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x \geq 3\\x\ne 3 \\x \ne 1.\end{cases}\)

Tập xác định \(\mathscr{D}=(3;+\infty) \).

Hàm số xác định khi

\(\begin{cases} x+4 \geq 0 \\ 10-2x \geq 0 \\ |2x|+4 \ne 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} x \geq -4 \\ x \leq 5 \\ |2x|\ne -4 \quad \text{( luôn đúng)}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x \geq -4\\x \leq 5\end{cases}\) \(\Leftrightarrow -4 \leq x \leq 5 \).

Tập xác định \(\mathscr{D}=[-4,5]\).

Hàm số xác định khi \(x-m\ne 0\Leftrightarrow x\ne m\).

Hàm số xác định trên \((-1;0]\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne m\\ x\in (-1;0]\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m\notin (-1;0]\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&m\le -1\\ &m>0.\end{aligned}\right.\)

Kết luận: \(m\le -1\) hoặc \(m>0\).

Hàm số xác định khi \(x-2m\ne 0\Leftrightarrow x\ne 2m\).

Hàm số xác định trên \((1;3]\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 2m\\ x\in (1;3]\end{cases}\) \(\Leftrightarrow 2m\notin (1;3]\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&2m\le 1\\&2m>3\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&m\le \displaystyle\frac{1}{2}\\&m>\displaystyle\frac{3}{2}.\end{aligned}\right.\)

Kết luận: \(m\le \displaystyle\frac{1}{2}\) hoặc \(m>\displaystyle\frac{3}{2}\).

Hàm số xác định khi \(x-2m\ne 0\Leftrightarrow x\ne 2m\).

Hàm số xác định trên \((4;+\infty)\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 2m\\x\in (4;+\infty)\end{cases}\) \(\Leftrightarrow 2m\notin (4;+\infty)\) \(\Leftrightarrow 2m\le 4\) \(\Leftrightarrow m\le 2\).

Kết luận: \(m\le 2\).

+) Với \(m=0\) thì \(y=-\displaystyle\frac{1}{6}\) xác định trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số xác định trên \((-\infty;2)\).

+) Với \(m\ne 0\) thì hàm số xác định khi \(3mx+6\ne 0\Leftrightarrow x\ne \displaystyle\frac{-2}{m}\).

Hàm số xác định trên \((-\infty;2)\) khi và chỉ khi

\(\begin{aligned}&\begin{cases}x\ne \displaystyle\frac{-2}{m}\\x\in (-\infty;2)\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{-2}{m}\notin (-\infty;2)\\ \Leftrightarrow\ &-\displaystyle\frac{2}{m}\ge 2\\ \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{2m+2}{m}\le 0\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&\begin{cases}2m+2\le 0\\ m>0\end{cases}\\ &\begin{cases}2m+2\ge 0\\ m<0\end{cases}\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&\begin{cases}m\le -1\\ m>0\end{cases}\text{ (vô nghiệm) } \\ &\begin{cases}m\ge -1\\m<0\end{cases}\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &-1\le m<0.\end{aligned}\)

Vậy \(-1\le m\le 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hàm số xác định khi \(x^2-6x+m-2\ne 0\).

Để hàm số xác định với mọi \(x\in \mathbb{R}\) thì

\(\begin{aligned}&x^2-6x+m-2\ne 0 \text{ luôn đúng } \forall x\in\mathbb{R}\\ \Leftrightarrow\ &x^2-6x+m-2=0 \text{ vô nghiệm}\\ \Leftrightarrow\ &\Delta'=9-m+2<0\\\Leftrightarrow\ &m>11.\end{aligned}\)

Kết luận: \(m>11\).

Hàm số xác định khi \(x^2-2x+m\ne 0\).

Để hàm số xác định với mọi \(x\in \mathbb{R}\) thì

\(\begin{aligned}&x^2-2x+m\ne 0 \text{ luôn đúng } \forall x\in\mathbb{R}\\ \Leftrightarrow\ &x^2-2x+m=0 \text{ vô nghiệm}\\ \Leftrightarrow\ & \Delta'=1-m<0\\ \Leftrightarrow\ &m>1.\end{aligned}\)

Kết luận: \(m>1\).

Hàm số xác định khi và chỉ khi

\(\begin{cases}x^2-2x+3\ge0\\x^2-4x+4-m\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}(x-1)^2+2\ge0\\x^2-4x+4-m\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x^2-4x+4-m\ne0\).

Hàm số xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\) khi và chỉ khi

\(\begin{aligned}&x^2-4x+4-m\ne0 \text{ luôn đúng } \forall x\in\mathbb{R}\\ \Leftrightarrow\ &x^2-4x+4-m=0 \text{ vô nghiệm}\\ \Leftrightarrow\ & \Delta=16-4(4-m)<0\\ \Leftrightarrow\ & m<0.\end{aligned}\)

Vậy \(m<0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(x^2+4mx+16\ne0\).

Hàm số xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\) khi và chỉ khi

\(\begin{aligned}&x^2+4mx+16\ne0 \text{ luôn đúng } \forall x\in\mathbb{R}\\ \Leftrightarrow\ &x^2+4mx+16=0 \text{ vô nghiệm}\\ \Leftrightarrow\ & \Delta=16m^2-4.16<0\\ \Leftrightarrow\ &-2<m<2.\end{aligned}\)

Vậy \(-2<m<2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Điều kiện xác định:

\(\begin{cases}-x+2m+6\ge 0\\x-m>0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\le 2m+6\\x>m.\end{cases}\)

Với \(m<2m+6\Leftrightarrow m>-6\) thì \(\mathscr{D}=(m;2m+6]\).

Hàm số xác định trên khoảng \((-1;0)\) khi và chỉ khi

\((-1;0)\subset (m;2m+6] \) \(\Leftrightarrow \begin{cases}m\le-1\\2m+6>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\le-1\\m>-3\end{cases}\) \(\Leftrightarrow-3<m\le-1\).

Vậy \(-3<m\le-1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Điều kiện xác định:

\(\begin{cases}2m+4-x\ge 0\\x-m>0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\le 2m+4\\x>m.\end{cases}\)

Với \(m<2m+4\Leftrightarrow m>-4\) thì \(\mathscr{D}=(m;2m+4]\).

Hàm số xác định trên \((0;2]\) khi và chỉ khi

\((0;2]\subset (m;2m+4] \Leftrightarrow \begin{cases}m\le0\\2m+4\ge2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\le0\\m\ge-1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow-1\le m\le 0\).

Vậy \(-1\le m\le0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Điều kiện xác định:

\(\begin{cases}m-x\ge 0\\x+m-5\ge0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x\le m\\x\ge 5-m.\end{cases}\)

Với \(5-m<m\) \(\Leftrightarrow m>\displaystyle\frac{5}{2}\) thì \(\mathscr{D}=[5-m;m]\).

Hàm số xác định trên \([0;1)\) khi và chỉ khi

\([0;1)\subset [5-m;m] \) \(\Leftrightarrow \begin{cases}5-m\le0\\m\ge1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ge5\\m\ge1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m\ge 5\).

Vậy \(m\ge5\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Điều kiện xác định:

\(\begin{cases}x-m\ge 0\\2x-m-1\ge0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ge m\\x\ge \displaystyle\frac{m+1}{2}.\end{cases}\)

+) Với \(\displaystyle\frac{m+1}{2}\le m\Leftrightarrow m\ge1\) (1) thì \(\mathscr{D}=[m;+\infty)\).

Hàm số xác định trên \([0;+\infty)\) khi và chỉ khi

\([0;+\infty)\subset [m;+\infty) \Leftrightarrow m\le0\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(m\in\varnothing\).

+) Với \(\displaystyle\frac{m+1}{2}> m\Leftrightarrow m<1\) (3) thì \(\mathscr{D}=\left[\displaystyle\frac{m+1}{2};+\infty\right)\).

Hàm số xác định trên \([0;+\infty)\) khi và chỉ khi

\([0;+\infty)\subset \left[\displaystyle\frac{m+1}{2};+\infty\right) \Leftrightarrow \displaystyle\frac{m+1}{2}\le0\) \(\Leftrightarrow m\le -1\). (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(m\le -1\).

Vậy \(m\le -1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Điều kiện xác định:

\(\begin{cases}x-m+2\ge 0\\\sqrt{x-m+2}-1\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x\ge m-2\\\sqrt{x-m+2}\ne1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge m-2\\x-m+2\ne1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge m-2\\x\ne m-1.\end{cases}\)

Suy ra \(\mathscr{D}=[m-2;+\infty)\setminus\{m-1\}\).

Hàm số xác định trên \((0;1)\) khi và chỉ khi

\(\begin{aligned}&(0;1)\subset [m-2;+\infty)\setminus\{m-1\}\\ \Leftrightarrow\ & (0;1)\subset [m-2;m-1)\cup(m-1;+\infty)\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&(0;1)\subset [m-2;m-1)\\ &(0;1)\subset(m-1;+\infty)\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&\begin{cases} m-2\le0\\ 1\le m-1\end{cases}\\ &m-1\le 0\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ & \left[\begin{aligned}&\begin{cases}m\le2\\ m\ge 2\end{cases}\\&m\le 1\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&m=2\\ &m\le 1.\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Vậy \(m\in(-\infty;1]\cup\{2\}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Điều kiện xác định:

\(\begin{cases}x-m+1\ge 0\\ \sqrt{x-m+1}-1\ne0\end{cases} \) \(\Leftrightarrow \begin{cases}x\ge m-1\\ \sqrt{x-m+1}\ne1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge m-1\\ x-m+1\ne1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge m-1\\x\ne m.\end{cases}\)

Suy ra \(\mathscr{D}=[m-1;+\infty)\setminus\{m\}\).

Hàm số xác định trên \((1;2)\) khi và chỉ khi

\(\begin{aligned}&(1;2)\subset [m-1;+\infty)\setminus\{m\}\\ \Leftrightarrow\ &(1;2)\subset [m-1;m)\cup(m;+\infty)\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&(1;2)\subset [m-1;m)\\&(1;2)\subset(m;+\infty)\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&\begin{cases}m-1\le1\\2\le m\end{cases}\\ &m\le 1\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&\begin{cases}m\le2\\m\ge 2\end{cases}\\ &m\le 1\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&m=2\\&m\le 1.\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Vậy \(m\in(-\infty;1]\cup\{2\}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Điều kiện xác định:

\(\begin{cases}2-x\ge 0\\2x+5m\ge 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\le 2\\ x\ge\displaystyle\frac{-5m}{2}.\end{cases}\)

Với \(\displaystyle\frac{-5m}{2}\le 2\Leftrightarrow m\ge\displaystyle\frac{-4}{5}\) thì \(\mathscr{D}=\left[-\displaystyle\frac{5m}{2};2\right]\).

Hàm số xác định trên đoạn có chiều dài bằng \(1\) khi và chỉ khi

\(2+\displaystyle\frac{5m}{2}=1\Leftrightarrow m=-\displaystyle\frac{2}{5}\).

Vậy \(m=-\displaystyle\frac{2}{5}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Điều kiện xác định:

\(\begin{cases}x-m+2\ge 0\\2m-x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ge m-2\\x\le2m.\end{cases}\)

Với \(m-2\le 2m\Leftrightarrow m\ge-2\) thì \(\mathscr{D}=[m-2;2m]\).

Hàm số xác định trên đoạn có chiều dài bằng \(3\) khi và chỉ khi

\(2m-(m-2)=3\Leftrightarrow m=1\).

Vậy \(m=1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a. Với mọi \(x_1,x_2\in \mathbb{R}\) và \(x_1\ne x_2\), ta có:

\(\begin{aligned}T=\ &\displaystyle\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\\ =\ &\displaystyle\frac{(x^2_2-4x_2+5)-(x^2_1-4x_1+5)}{x_2-x_1}\\ =\ &\displaystyle\frac{(x^2_2-x^2_1)-4(x_2-x_1)}{x_2-x_1} (\text{nhóm đồng bậc})\\ =\ &\displaystyle\frac{(x_2-x_1)(x_2+x_1)-4(x_2-x_1)}{x_2-x_1}\\ =\ &\displaystyle\frac{(x_2-x_1)(x_2+x_1-4)}{x_2-x_1}\\ =\ &x_1+x_2-4.\end{aligned}\)

+) Xét \(x_1, x_2\in (-\infty;2)\)

Ta có

\(\begin{cases}x_1<2\\x_2<2\end{cases}\) \(\Rightarrow x_1+x_2<4\) \(\Rightarrow x_1+x_2-4<0\) \(\Rightarrow T<0\).

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;2)\).

+) Xét \(x_1, x_2\in (2;+\infty)\)

Ta có

\(\begin{cases}x_1>2\\x_2>2\end{cases}\) \(\Rightarrow x_1+x_2>4\) \(\Rightarrow x_1+x_2-4>0\) \(\Rightarrow T>0\).

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng \((2;+\infty)\).

b. Với mọi \(x_1,x_2\in \mathbb{R}\) và \(x_1\ne x_2\), ta có:

\(\begin{aligned}T=\ &\displaystyle\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\\ =\ &\displaystyle\frac{(2x_2-x^2_2+1)-(2x_1-x^2_1+1)}{x_2-x_1}\\ =\ &\displaystyle\frac{-(x^2_2-x^2_1)+2(x_2-x_1)}{x_2-x_1}\\ =\ &\displaystyle\frac{-(x_2-x_1)(x_2+x_1)+2(x_2-x_1)}{x_2-x_1}\\ =\ &\displaystyle\frac{(x_2-x_1)(-x_2-x_1+2)}{x_2-x_1}\\ =\ &-x_1-x_2+2.\end{aligned}\)

+) Xét \(x_1, x_2\in (-\infty;1)\)

Ta có

\(\begin{cases} x_1<1\\ x_2<1\end{cases}\) \(\Rightarrow -x_1-x_2>-2\) \(\Rightarrow -x_1-x_2+2>0\) \(\Rightarrow T>0\).

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;1)\).

+) Xét \(x_1, x_2\in (1;+\infty)\)

Ta có

\(\begin{cases}x_1>1\\ x_2>1\end{cases}\) \(\Rightarrow -x_1-x_2<-2\) \(\Rightarrow -x_1-x_2+2<0\) \(\Rightarrow T<0\).

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \((1;+\infty)\).

c. Với mọi \(x_1,x_2\in \mathbb{R}\) và \(x_1\ne x_2\), ta có:

\(\begin{aligned}T=\ &\displaystyle\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\\ =\ &\displaystyle\frac{(x^2_2+10x_2+9)-(x^2_1+10x_1+9)}{x_2-x_1}\\=\ &\displaystyle\frac{(x^2_2-x^2_1)+10(x_2-x_1)}{x_2-x_1}\\=\ &\displaystyle\frac{(x_2-x_1)(x_2+x_1)+10(x_2-x_1)}{x_2-x_1}\\=\ &\displaystyle\frac{(x_2-x_1)(x_2+x_1+10)}{x_2-x_1}\\ =\ &x_1+x_2+10.\end{aligned}\)

Xét \(x_1, x_2\in (-5;+\infty)\)

Ta có

\(\begin{cases}x_1>-5\\x_2>-5\end{cases}\) \(\Rightarrow x_1+x_2>-10\) \(\Rightarrow x_1+x_2+10>0\Rightarrow T>0\).

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng \((-5;+\infty)\).

d. Với mọi \(x_1,x_2\in \mathbb{R}\) và \(x_1\ne x_2\), ta có:

\(\begin{aligned}T=\ &\displaystyle\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\\=\ &\displaystyle\frac{(-2x^2_2+4x_2)-(-2x^2_1+4x_1)}{x_2-x_1}\\=\ &\displaystyle\frac{-2(x^2_2-x^2_1)+4(x_2-x_1)}{x_2-x_1}\\=\ &\displaystyle\frac{-2(x_2-x_1)(x_2+x_1)+4(x_2-x_1)}{x_2-x_1}\\=\ &\displaystyle\frac{(x_2-x_1)(-2x_2-2x_1+4)}{x_2-x_1}\\ =\ &-2x_1-2x_2+4.\end{aligned}\)

Xét \(x_1, x_2\in (-\infty;1)\)

Ta có

\(\begin{cases}x_1<1\\x_2<1\end{cases}\) \(\Rightarrow -2x_1-2x_2>-4\) \(\Rightarrow -2x_1-2x_2+4>0\) \(\Rightarrow T>0\).

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;1)\).

a. Với mọi \(x_1,x_2\in \mathbb{R}\) và \(x_1\ne x_2\), ta có

\(\begin{aligned}T=\ &\displaystyle\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\\=\ &\displaystyle\frac{(x^3_2+3x_2-1)-(x^3_1+3x_1-1)}{x_2-x_1}\\=\ &\displaystyle\frac{(x^3_2-x^3_1)+3(x_2-x_1)}{x_2-x_1}\\=\ &\displaystyle\frac{(x_2-x_1)(x^2_2+x_1x_2+x^2_1)+3(x_2-x_1)}{x_2-x_1}\\=\ &\displaystyle\frac{(x_2-x_1)(x^2_2+x_1x_2+x^2_1+3)}{x_2-x_1}\\ =\ &x^2_2+x_1x_2+x^2_1+3.\end{aligned}\)

Ta có

\(x^2_2+x_1x_2+x^2_1\) \(=\left(x_1+\displaystyle\frac{x_2}{2}\right)^2+\displaystyle\frac{3x_2^2}{4}>0,\) \(\forall x_1,x_2\in\mathbb{R}\).

Suy ra \(T>0\).

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;+\infty)\).

b. Với mọi \(x_1,x_2\in \mathbb{R}\) và \(x_1\ne x_2\), ta có

\(\begin{aligned}T=\ &\displaystyle\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\\=\ &\displaystyle\frac{(-2020x^3_2-x_2)-(-2020x^3_1-x_1)}{x_2-x_1}\\=\ &\displaystyle\frac{-2020(x^3_2-x^3_1)-(x_2-x_1)}{x_2-x_1}\\=\ &\displaystyle\frac{(x_2-x_1)[-2020(x^2_1+x_1x_2+x^2_2)-1]}{x_2-x_1}\\=\ &-2020(x^2_1+x_1x_2+x^2_2)-1.\end{aligned}\)

Ta có

\(x^2_2+x_1x_2+x^2_1\) \(=\left(x_1+\displaystyle\frac{x_2}{2}\right)^2+\displaystyle\frac{3x_2^2}{4}>0,\) \(\forall x_1,x_2\in\mathbb{R}\) nên \(-2020(x^2_1+x_1x_2+x^2_2)-1<0,\) \(\forall x_1,x_2\in\mathbb{R}\).

Suy ra \(T<0\).

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;+\infty)\).

a. Xét \(x_1,x_2\in (-\infty;2)\text{ và }(2;+\infty)\), ta có

\(x_1<x_2\) \(\Rightarrow x_1-2<x_2-2\) \(\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{x_1-2}>\displaystyle\frac{1}{x_2-2}\) \(\Rightarrow \displaystyle\frac{2}{x_1-2}>\displaystyle\frac{2}{x_2-2}\Leftrightarrow f(x_1)>f(x_2)\).

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\).

b. Xét \(x_1,x_2\in (-\infty;1)\text{ và }(1;+\infty)\), ta có

\(x_1<x_2\) \(\Rightarrow 1-x_1>1-x_2\) \(\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{1-x_1}<\displaystyle\frac{1}{1-x_2}\) \(\Rightarrow \displaystyle\frac{3}{1-x_1}<\displaystyle\frac{3}{1-x_2}\Leftrightarrow f(x_1)<f(x_2)\).

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \((-\infty;1)\) và \((1;+\infty)\).

c. \(f(x)=1+\displaystyle\frac{1}{x-1}\)

Xét \(x_1,x_2\in (-\infty;1)\), ta có

\(x_1<x_2\) \(\Rightarrow x_1-1<x_2-1\) \(\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{x_1-1}>\displaystyle\frac{1}{x_2-1}\) \(\Rightarrow 1+\displaystyle\frac{1}{x_1-1}>1+\displaystyle\frac{1}{x_2-1}\) \(\Leftrightarrow f(x_1)>f(x_2)\).

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((-\infty;1)\).

d. \(f(x)=2-\displaystyle\frac{3}{x+1}\)

Xét \(x_1,x_2\in (-1;+\infty)\), ta có

\(x_1<x_2\) \(\Rightarrow x_1+1<x_2+1\) \(\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{x_1+1}>\displaystyle\frac{1}{x_2+1}\) \(\Rightarrow \displaystyle\frac{3}{x_1+1}>\displaystyle\frac{3}{x_2+1}\) \(\Rightarrow 2-\displaystyle\frac{3}{x_1+1}<2-\displaystyle\frac{3}{x_2+1}\) \(\Leftrightarrow f(x_1)<f(x_2)\).

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-1;+\infty)\).

a. \(f(x)=x+\displaystyle\frac{2}{x}-1\)

Với mọi \(x_1,x_2\in(3;+\infty)\) và \(x_1\ne x_2\), ta có:

\(\begin{aligned}T=\ &\displaystyle\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\\ =\ &\displaystyle\frac{(x_2+\displaystyle\frac{2}{x_2}-1)-(x_1+\displaystyle\frac{2}{x_1}-1)}{x_2-x_1}\\=\ &\displaystyle\frac{(x_2-x_1)+\displaystyle\frac{2(x_1-x_2)}{x_1x_2}}{x_2-x_1}\\=\ &1-\displaystyle\frac{2}{x_1x_2}.\end{aligned}\)

Xét \(x_1,x_2\in (3;+\infty)\), ta có

\(\begin{cases}x_1>3\\x_2>3\end{cases}\) \(\Rightarrow x_1x_2>9\) \(\Rightarrow T>0\).

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((3;+\infty)\).

b. \(f(x)=x+\displaystyle\frac{1}{x+1}\)

Với mọi \(x_1,x_2\in(0;2)\) và \(x_1\ne x_2\), ta có:

\begin{aligned}T=\ &\displaystyle\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\\ =\ &\displaystyle\frac{(x_2+\displaystyle\frac{1}{x_2+1})-(x_1+\displaystyle\frac{1}{x_1+1})}{x_2-x_1}\\=\ &\displaystyle\frac{(x_2-x_1)+\displaystyle\frac{x_1-x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}}{x_2-x_1}\\=\ &1-\displaystyle\frac{1}{(x_1+1)(x_2+1)}.\end{aligned}

Xét \(x_1,x_2\in (0;2)\), ta có

\(\begin{cases}0<x_1<2\\0<x_2<2\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}1<x_1+1<3\\1<x_2+1<3\end{cases}\) \(\Rightarrow 1<(x_1+1)(x_2+1)<9\) \(\Rightarrow T>0\).

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((0;2)\).

a. Với mọi \(x_1>4,x_2>4\), ta có

\(\begin{aligned}x_1<x_2\Rightarrow\ & \begin{cases}x_1-4<x_2-4\\x_1+1<x_2+1\end{cases}\\ \Rightarrow\ &\begin{cases}\sqrt{x_1-4}<\sqrt{x_2-4}\\ \sqrt{x_1+1}<\sqrt{x_2+1}\end{cases}\\ \Rightarrow\ & \sqrt{x_1-4}+\sqrt{x_1+1}<\sqrt{x_2-4}+\sqrt{x_2+1}\\ \Rightarrow\ &f(x_1)<f(x_2).\end{aligned}\)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((4;+\infty)\).

b. Với mọi \(x_1>3,x_2>3\), ta có

\(\begin{aligned}x_1<x_2 \Rightarrow\ & \begin{cases}&x_1-3<x_2-3\\&x_1+2<x_2+2\end{cases}\\ \Rightarrow\ &\begin{cases}&\sqrt{x_1-3}<\sqrt{x_2-3}\\&\sqrt{x_1+2}<\sqrt{x_2+2}\end{cases}\\ \Rightarrow\ & \sqrt{x_1-3}+\sqrt{x_1+2}<\sqrt{x_2-3}+\sqrt{x_2+2}\\ \Rightarrow\ &f(x_1)<f(x_2).\end{aligned}\)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((3;+\infty)\).

c. Với mọi \(x_1<2,x_2<2\), ta có

\(\begin{aligned}&x_1<x_2\\ \Rightarrow\ &5-x_1>5-x_2\\ \Rightarrow\ &\sqrt{5-x_1}>\sqrt{5-x_2}\\ \Leftrightarrow\ &f(x_1)>f(x_2).\end{aligned}\)

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((-\infty;2)\).

d. Vì \(x\in(-\infty;2)\) nên \(f(x)=-2x+4+x=-x+4\).

\(\begin{aligned}&x_1<x_2\\ \Rightarrow\ &-x_1>-x_2\\ \Rightarrow\ &-x_1+4>-x_2+4\\ \Leftrightarrow\ &f(x_1)>f(x_2).\end{aligned}\)

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((-\infty;2)\).

a. \(y=(m-2)x+5\) nghịch biến \((-\infty;+\infty)\).

Với \(x_1\), \(x_2\in (-\infty;+\infty)\) và \(x_1\ne x_2\). Xét

\(T=\displaystyle\frac{y(x_1)-y(x_2)}{x_1-x_2}\) \(=\displaystyle\frac{(m-2)x_1+5-(m-2)x_2-5}{x_1-x_2}\) \(=m-2.\)

Để hàm số nghịch biến trên \((-\infty;+\infty)\) thì \(m-2<0\Leftrightarrow m<2\).

b. \(y=(m+1)x+m\) đồng biến \((-\infty;+\infty)\).

Với \(x_1\), \(x_2\in (-\infty;+\infty)\) và \(x_1\ne x_2\). Xét

\(T=\displaystyle\frac{y(x_1)-y(x_2)}{x_1-x_2}\) \(=\displaystyle\frac{(m+1)x_1+m-(m+1)x_2-m}{x_1-x_2}\) \(=m+1.\)

Để hàm số đồng biến trên \((-\infty;+\infty)\) thì \(m+1>0\Leftrightarrow m>-1\).

c. \(f(x)=\displaystyle\frac{m}{x-2}\) đồng biến \((-\infty;2)\).

Với \(x_1\), \(x_2\in (-\infty;2)\) và \(x_1\ne x_2\). Xét

\(T=\displaystyle\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\) \(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{m}{x_1-2}-\displaystyle\frac{m}{x_2-2}}{x_1-x_2}\) \(=-\displaystyle\frac{m}{(x_1-2)(x_2-2)}.\)

Lại có \(x_1\), \(x_2\in (-\infty;2)\) nên \(x_1-2<0\), \(x_2-2<0\) do đó \((x_1-2)(x_2-2)>0\).

Khi đó để hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;2)\) thì \(-m>0\Leftrightarrow m<0\).

d. \(f(x)=\displaystyle\frac{m+1}{x}\) nghịch biến \((0;+\infty)\).

Với \(x_1\), \(x_2\in (0;+\infty)\) và \(x_1\ne x_2\). Xét

\(T=\displaystyle\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\) \(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{m+1}{x_1}-\displaystyle\frac{m+1}{x_2}}{x_1-x_2}\) \(=-\displaystyle\frac{m+1}{x_1x_2}.\)

Vì \(x_1\), \(x_2\in (0;+\infty)\) nên \(x_1>0\), \(x_2>0\) suy ra \(x_1x_2>0\).

Do đó để hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;+\infty)\) thì \(-(m+1)<0\Leftrightarrow m>-1\).

a. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị \((P)\).

+) Tọa độ đỉnh \(I(2;-1)\).

+) Trục đối xứng \(x=2\).

+) Hệ số \(a=1>0\): bề lõm quay lên trên.

+) Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;2)\) và đồng biến trên khoảng \((2;+\infty)\).

+) Bảng biến thiên

+) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(A(0;3)\), cắt trục hoành tại hai điểm \(B(1;0)\) và \(C(3;0)\).\\

b. Ta có \((0;3)=(0;2)\cup \{2\}\cup (2;3)\).

Trên khoảng \((0;2)\) hàm số nghịch biến, tại \(x=2\) thì hàm số đạt giá trị bằng \(-1\), trên khoảng \((2;3)\) hàm số đồng biến.

c. Dựa vào đồ thị, ta thấy tập hợp các giá trị của \(x\) để \(y\leqslant 0\) (đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành) là \(1\leqslant x\leqslant 3\).

d. Ta thấy đồ thị \((P)\) cắt đường thẳng \(y=8\) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \(-1\) và \(5\).\\

Do đó để đồ thị \((P)\) nằm hoàn toàn phía trên đường thẳng \(y=8\) thì \(x\in (-\infty;-1)\) hoặc \(x\in (5;+\infty)\).

e. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;2)\) nên nghịch biến trên đoạn \([-2;1]\). Do đó

+) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([-2;1]\) đạt tại \(x=-2\), khi đó \(y_{\max}=y(-2)=15\).

+) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-2;1]\) đạt tại \(x=1\), khi đó \(y_{\min}=y(1)=0\).

a. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị \((P)\).

+) Tọa độ đỉnh \(I\left(\displaystyle\frac{5}{2};\displaystyle\frac{9}{4}\right)\).

+) Trục đối xứng \(x=\displaystyle\frac{5}{2}\).

+) Hệ số \(a=-1<0\): bề lõm quay xuống dưới.

+) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty;\displaystyle\frac{5}{2}\right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left(\displaystyle\frac{5}{2};+\infty \right)\).

+) Bảng biến thiên

+) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(A(0;-4)\), cắt trục hoành tại hai điểm \(B(1;0)\) và \(C(4;0)\).

b. Ta có

\(x^2-5x+7+2m=0\) \(\Leftrightarrow -x^2+5x-4=2m+3 \quad (*)\).

Phương trình \((*)\) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \((P)\) và đường thẳng \(y=2m+3\) (song song với \(Ox\)). Do đó số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị và đường thẳng.

Dựa vào đồ thị ta có

+) \(2m+3>\displaystyle\frac{9}{4} \Leftrightarrow m>-\displaystyle\frac{3}{8}\): phương trình vô nghiệm.

+) \(2m+3=\displaystyle\frac{9}{4} \Leftrightarrow m=-\displaystyle\frac{3}{8}\): phương trình có nghiệm kép.

+) \(2m+3<\displaystyle\frac{9}{4} \Leftrightarrow m<-\displaystyle\frac{3}{8}\): phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c. Ta có bảng biến thiên của hàm số trên \([1;5]\) như sau

Dựa vào bảng biến ta thấy \(x\in [1;5]\) thì \(y\in \left[-4;\displaystyle\frac{9}{4}\right]\).

Do đo để phương trình có nghiệm \(x\in [1;5]\) khi và chỉ khi

\(-4\leqslant 2m+3\leqslant \displaystyle\frac{9}{4}\) \(\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{7}{2}\leqslant m\leqslant -\displaystyle\frac{3}{8}.\)

a. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=x^2+2x-3\).

+) Tọa độ đỉnh \(I(-1;-4)\).

+) Trục đối xứng \(x=-1\).

+) Hệ số \(a=1>0\): bề lõm quay lên trên.

+) Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-1)\) và đồng biến trên khoảng \((-1;+\infty)\).

+) Bảng biến thiên

+) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(A(0;-3)\), cắt trục hoành tại hai điểm \(B(1;0)\) và \(C(-3;0)\).

b. Ta có

\(\begin{aligned}y=\ &|x^2+2x-3|\\ =\ &\left\{\begin{aligned}& f(x)=x^2+2x-3 & \text{khi } x^2+2x-3\geqslant 0 \\ & -f(x)=-(x^2+2x-3) & \text{khi } x^2+2x-3<0.\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Do đó từ đồ thị hàm số \(y=f(x)=x^2+2x-3\) suy ra đồ thị hàm số \(y=|x^2+2x-3|\) như sau:

+) Đồ thị hàm số \(y=f(x)\) phần phía trên trục hoành ta giữ nguyên.

+) Đồ thị hàm số \(y=f(x)\) phần phía dưới trục hoành ta lấy đối xứng qua trục hoành.

+) Ta có

\(\begin{aligned}y=\ &h(x)=x^2+2|x|-3\\ =\ &\left\{\begin{aligned}& x^2+2x-3 & \text{khi } x\geqslant 0 \\ & x^2-2x-3 & \text{khi } x<0.\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

Hơn nữa hàm số \(h(x)\) làm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung.

Do đó từ đồ thị hàm số \(y=f(x)=x^2-3x+2\) suy ra đồ thị hàm số \(y=h(x)=x^2-3|x|+2\) như sau:

+) Giữ nguyên phần đồ thị hàm số \(y=f(x)\) phần bên phải trục tung.

+) Lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ nguyên ở trên qua trục tung, ta được toàn bộ đồ thị hàm số \(y=h(x)\).

a. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị \((P)\colon y=x^2-6x+8\).

+) Tọa độ đỉnh \(I(3;-1)\).

+) Trục đối xứng \(x=3\).

+) Hệ số \(a=1>0\): bề lõm quay lên trên.

+) Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;3)\) và đồng biến trên khoảng \((3;+\infty)\).

+) Bảng biến thiên

+) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(A(0;8)\), cắt trục hoành tại hai điểm \(B(4;0)\) và \(C(2;0)\).

b. Biện luận theo \(m\) số nghiệm của phương trình \((x-4)|x-2|+m=0\).\\

Ta có

\(\begin{aligned}y=\ &(x-4)|x-2|\\=\ &\left\{\begin{aligned}& (x-4)(x-2) & \text{khi } x-2\geqslant 0 \\ & -(x-4)(x-2) & \text{khi } x-2<0\end{aligned}\right.\end{aligned}\)

hay

\(y=\left\{\begin{aligned}& x^2-6x+8 & \text{khi } x\geqslant 2 \\ & -(x^2-6x+8) & \text{khi } x<2.\end{aligned}\right.\)

Do đó từ đồ thị hàm số \(y=f(x)=x^2-6x+8\) suy ra đồ thị hàm số \(y=(x-4)|x-2|\) như sau:

+) Đồ thị hàm số \(y=f(x)\) phần bên phải đường \(x=2\) ta giữ nguyên.

+) Đồ thị hàm số \(y=f(x)\) phần bên trái đường \(x=2\) ta lấy đối xứng qua trục hoành.

Phương trình

\((x-4)|x-2|+m=0\) \(\Leftrightarrow (x-4)|x-2|=-m\)

là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=(x-4)|x-2|\) và đường thẳng \(y=-m\) (song song với \(Ox\) ). Do đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị và đường thẳng.

Dựa vào đồ thị, ta có

+) \(\left[\begin{aligned}&-m>0\\&-m<-1\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&m<0\\&m>1\end{aligned}\right.\): phương trình có \(1\) nghiệm duy nhất.

+) \(\left[\begin{aligned}&-m=0\\&-m=-1\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&m=0\\&m=1\end{aligned}\right.\): phương trình có \(2\) nghiệm.

+) \(-1<-m<0 \Leftrightarrow 0<m<1\): phương trình có \(3\) nghiệm.

Khi \(x<1\) thì \(y=-x+4\).

Cho \(x=1 \Rightarrow y=3\), ta được điểm \(A(1;3)\).

Cho \(x=0 \Rightarrow y=4\), ta được điểm \(B(0;4)\).

Khi \(x\geqslant 1\) thì \(y=x^2+2x-3\).

Tọa độ đỉnh \(I(2;-1)\).

Hệ số \(a=-1<0\): bề lõm quay lên trên.

Cho \(x=1 \Rightarrow y=0\), ta được điểm \(M(1;0)\).

Cho \(x=3 \Rightarrow y=0\), ta được điểm \(N(3;0)\).

a. Hàm số \(y=2(x+3)^2-5=2x^2+12x+13\).

Ta có \(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}=-\displaystyle\frac{12}{2\cdot 2}=-3\), suy ra \(y=-5\).

Tọa độ đỉnh \(I(-3;-5)\).

Trục đối xứng là đường thẳng \(x=-3\).

Hệ số \(a=2>0\): bề lõm quay lên nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại tung độ đỉnh và bằng \(-5\).

b. Hàm số \(y=-\sqrt{2}x^2+4x\).

Ta có \(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}=\sqrt{2}\), suy ra \(y=2\sqrt{2}\).

Tọa độ đỉnh \(I\left(\sqrt{2};2\sqrt{2}\right)\).

Trục đối xứng là đường thẳng \(x=\sqrt{2}\).

Hệ số \(a=-\sqrt{2}<0\): bề lõm quay xuống dưới nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại tung độ đỉnh và bằng \(2\sqrt{2}\).

a. Theo giả thiết thì bề lõm hướng lên trên và đỉnh có tung độ dương nên

\(\left\{\begin{aligned}&a>0\\&-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}>0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a>0\\& \Delta <0.\end{aligned}\right.\)

b. Theo giả thiết thì bề lõm hướng xuống dưới và đỉnh có tung độ âm nên

\(\left\{\begin{aligned}&a<0\\&-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}<0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a<0\\& \Delta <0.\end{aligned}\right.\)

c. Theo giả thiết thì

\(\left\{\begin{aligned}& \Delta >0\\&-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}>0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& \Delta >0\\&a<0.\end{aligned}\right.\)

a. Hàm số \(y=7x^2-3x+10\) có \(a=7>0\) nên \(y\) đạt giá trị bé nhất tại đỉnh.

Suy ra \(y_{\min}=-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}=\displaystyle\frac{271}{8}\) và không tồn tại giá trị lớn nhất.

b. Hàm số \(y=-2x^2-x+1\) có \(a=-2<0\) nên \(y\) đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh.

Suy ra \(y_{\max}=-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}=\displaystyle\frac{9}{8}\) và không tồn tại giá trị nhỏ nhất.

a. Hàm số \(y=x^2-3x\) có \(a=1>0\) nên bề lõm hướng lên.

Hoành độ đỉnh \(x_I=-\displaystyle\frac{b}{2a}=\displaystyle\frac{3}{2}\in [0;2]\).

Vậy

\(\min y=f\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)=-\displaystyle\frac{9}{4}\);

\(\max y=\max \{f(0),f(2)\}\) \(=\max \{0,-2\}=0\).

b. Hàm số \(y=-x^2-4x+3\) có \(a=-1<0\) nên bề lõm hướng xuống.

Hoành độ đỉnh \(x_I=-\displaystyle\frac{b}{2a}=-2\notin [0;4]\).

Ta có \(f(4)=-29\); \(f(0)=3\).

Vậy \(\min y=f(4)=-29\); \(\max y=f(0)=3\).

Parabol có hệ số theo \(x^2\) là \(4>0\) nên bề lõm hướng lên.

Hoành độ đỉnh \(x_I=\displaystyle\frac{a}{2}\).

+) Nếu \(\displaystyle\frac{a}{2}<0 \Leftrightarrow a<0\) thì \(x_I<0<2\). Suy ra \(f\) đồng biến trên \([0;2]\).\\

Do đó \(\min\limits_{[0;3]} f(x)=f(0)=a^2-2a+2\). Theo yêu cầu bài toán

\(a^2-2a+2=3 \Leftrightarrow a^2-2a-1=0 \Leftrightarrow a=1\pm \sqrt{2}.\)

Vì \(a<0\) nên ta chọn \(a=1-\sqrt{2}\).

+) Nếu \(0\leqslant \displaystyle\frac{a}{2}\leqslant 2 \Leftrightarrow 0\leqslant a\leqslant 4\) thì \(x_I\in [0;2]\). Suy ra \(f\) đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh.

Do đó \(\min f(x)=f\left(\displaystyle\frac{a}{2}\right)=-2a+2\). Theo yêu cầu bài toán

\(-2a+2=3\) \(\Leftrightarrow a=-\displaystyle\frac{1}{2}<0\) (không thỏa mãn.

+) Nếu \(\displaystyle\frac{a}{2}>2 \Leftrightarrow a>4\) thì \(x_I>2>0\). Suy ra \(f\) nghịch biến trên \([0;2]\).

Do đó \(\min f(x)=f(2)=a^2-10a+18\). Theo yêu cầu bài toán

\(a^2-10a+18=3\) \(\Leftrightarrow a^2-10a+15=0\) \(\Leftrightarrow a=5\pm \sqrt{10}.\)

Vì \(a>4\) nên ta chọn \(a=5+\sqrt{10}\).

Vậy \(a=1-\sqrt{2}\) hoặc \(a=5+\sqrt{10}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a. Ta có

\(y=x(x+1)(x-2)(x-3)=\left[x(x-2)\right]\cdot \left[(x+1)(x-3)\right]=(x^2-2x)(x^2-2x-3)\).

Đặt \(t=x^2-2x+1=(x-1)^2\geqslant 0\), ta được \(y=f(t)=(t-1)(t-4)=t^2-5t+4\), \(t\geqslant 0\).

Hàm số \(y=t^2-5t+4\) có \(a=1>0\) nên bề lõm hướng lên.

Hoành độ đỉnh \(x_I=-\displaystyle\frac{b}{2a}=\displaystyle\frac{5}{2}\in [0;+\infty)\).

Do đó \(\min y=\min f(t)=f\left(\displaystyle\frac{5}{2}\right)=-\displaystyle\frac{9}{4}\) đạt được khi

\((x-1)^2=\displaystyle\frac{5}{2}\) \(\Leftrightarrow x-1=\pm \displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2}\) \(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{2\pm \sqrt{10}}{2}.\)

Hàm số không có giá trị lớn nhất.

b. Đặt \(t=|2x-1|,t\geqslant 0\) thì \(y=t^2-4t+3\), \(t\geqslant 0\).

Hàm số \(y=t^2-4t+3\) có \(a=1>0\) nên bề lõm hướng lên.

Hoành độ đỉnh \(x_I=-\displaystyle\frac{b}{2a}=2\in [0;+\infty)\).

Do đó \(\min y=\min f(t)=f(2)=-1\) đạt được khi

\(|2x-1|=2\) \(\Leftrightarrow 2x-1=\pm 2\) \(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1}{2}\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{3}{2}.\)

Hàm số không có giá trị lớn nhất.

a. Vì parabol \((P)\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(2\) nên điểm \(A(2;0)\) thuộc \((P)\).

Thay \(x=2\), \(y=0\) vào \((P)\), ta được \(0=4a+6-2 \Leftrightarrow a=-1\).

Vậy \((P)\colon y=-x^2+3x-2\).

b. Vì \((P)\) có trục đối xứng \(x=-3\) nên

\(-\displaystyle\frac{b}{2a}=-3\) \(\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{3}{2a}=-3\) \(\Leftrightarrow a=\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Vậy \((P)\colon y=\displaystyle\frac{1}{2}x^2+3x-2\).

c. Vì \((P)\) có đỉnh \(I\left(-\displaystyle\frac{1}{2};-\displaystyle\frac{11}{4}\right)\) nên ta có

\(\begin{aligned}&\left\{\begin{aligned}&-\displaystyle\frac{b}{2a}=-\displaystyle\frac{1}{2}\\ &-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}=-\displaystyle\frac{11}{4}\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left\{\begin{aligned}&b=a\\& \Delta =11a\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left\{\begin{aligned}&3=a\\&9+8a=11a.\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &a=3.\end{aligned}\)

Vậy \((P)\colon y=3x^2+3x-2\).

d. Vì \((P)\) đạt cực tiểu tại \(x=1\) nên suy ra

\(\begin{aligned}&\left\{\begin{aligned}&a>0\\&-\displaystyle\frac{b}{2a}=1\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left\{\begin{aligned}&a>0\\&-\displaystyle\frac{3}{2a}=1\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left\{\begin{aligned}&a>0\\&a=-\displaystyle\frac{3}{2}\end{aligned}\right.\ \text{: vô nghiệm}.\end{aligned}\)

Vậy không có \((P)\) nào thỏa yêu cầu bài toán.

a. Vì \((P)\) đi qua hai điểm \(M(1;5)\) và \(N(-2;8)\) nên ta có

\(\left\{\begin{aligned}&a+b+2=5\\&4a-2b+2=8\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=2\\&b=1.\end{aligned}\right.\)

Vậy \((P)\colon y=2x^2+x+2\).

b. Vì \((P)\) có đỉnh \(I(2;-2)\) nên ta có

\(\left\{\begin{aligned}&-\displaystyle\frac{b}{2a}=2\\&-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}=-2\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&b=-4a\\&b^2-4ac=8a\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&b=-4a\\&16a^2-16a=0\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=0\\&b=-4\end{aligned}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{aligned}&a=1\\&b=-4.\end{aligned}\right.\)

Do \((P)\) là parabol nên \(a\ne 0\) nên ta chọn

\(\left\{\begin{aligned}&a=1\\&b=-4.\end{aligned}\right.\)

Vậy \((P)\colon y=x^2-4x+2\).

c. Vì \((P)\) đi qua điểm \(A(3;-4)\) và có trục đối xứng \(x=-\displaystyle\frac{3}{4}\) nên ta có

\(\left\{\begin{aligned}&9a+3b+2=-4\\&-\displaystyle\frac{b}{2a}=-\displaystyle\frac{3}{4}\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&3a+b=-2\\&b=\displaystyle\frac{3}{2}a\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=-\displaystyle\frac{4}{9}\\&b=-\displaystyle\frac{2}{3}.\end{aligned}\right.\)

Vậy \((P)\colon y=-\displaystyle\frac{4}{9}x^2-\displaystyle\frac{2}{3}x+2\).

d. Vì \((P)\) đi qua điểm \(B(-1;6)\) và có tung độ đỉnh bằng \(-\displaystyle\frac{1}{4}\) nên ta có

\(\left\{\begin{aligned}&a-b+2=6\\&-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}=-\displaystyle\frac{1}{4}\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a-b=4\\&b^2-4ac=a\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=4+b\\&b^2-8(4+b)=4+b\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=4+b\\&b^2-9b-36=0\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=16\\&b=12\end{aligned}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{aligned}&a=1\\&b=-3.\end{aligned}\right.\)

+) Với \(\left\{\begin{aligned}&a=16\\&b=12\end{aligned}\right.\) ta có \((P)\colon y=16x^2+12x+2\).

+) Với \(a=1\), \(b=-3\) ta có \((P)\colon y=x^2-3x+2\).

Vậy \((P)\colon y=16x^2+12x+2\) hoặc \((P)\colon y=x^2-3x+2\).

a. Vì \((P)\) có trục đối xứng \(x=1\) nên

\(-\displaystyle\frac{b}{2a}=1 \Leftrightarrow b=-2a \Leftrightarrow b=-4\).

Hơn nữa \((P)\) cắt trục \(Oy\) tại điểm \(M(0;4)\) nên

\(2\cdot 0+b\cdot 0+c=4 \Leftrightarrow c=4\).

Vậy \((P)\colon y=2x^2-4x+4\).

b. Vì \((P)\) có đỉnh \(I(-1;-2)\) nên suy ra

\(\left\{\begin{aligned}&-\displaystyle\frac{b}{2a}=-1\\&-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}=-2\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&b=2a\\&b^2-4ac=8a\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&b=4\\&16-8c=16\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&b=4\\&c=0.\end{aligned}\right.\)

Vậy \((P)\colon y=2x^2+4x\).

b. Vì \((P)\) đi qua hai điểm \(A(0;-1)\) và \(B(4;0)\) nên suy ra

\(\left\{\begin{aligned}&2\cdot 0+b\cdot 0+c=-1\\&32+4b+c=0\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&c=-1\\&b=-\displaystyle\frac{31}{4}.\end{aligned}\right.\)

Vậy \((P)\colon y=2x^2-\displaystyle\frac{31}{4}x-1\).

c. Vì \((P)\) có hoành độ đỉnh bằng \(-2\) nên

\(-\displaystyle\frac{b}{2a}=-2\) \(\Leftrightarrow b=4a \Leftrightarrow b=8\).

Hơn nữa \((P)\) đi qua điểm \(N(1;-2)\) nên

\(2+b+c=-2\) \(\Leftrightarrow 2+8+c=-2 \Leftrightarrow c=-12\).

Vậy \((P)\colon y=2x^2+8x-12\).

a. Vì \((P)\) đi qua hai điểm \(M(1;1)\), \(B(2;-2)\) nên suy ra

\(\left\{\begin{aligned}&a+c=1\\&4a+c=-2\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=-1\\&c=2.\end{aligned}\right.\)

Vậy \((P)\colon y=-x^2+2\).

b. Vì \((P)\) có đỉnh \(I(0;3)\) và giao với \(Ox\) tại \(A(-2;0)\) nên suy ra \(\left\{\begin{aligned}&c=3\\&4a+c=0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&c=3\\&a=-\displaystyle\frac{3}{4}.\end{aligned}\right.\)

Vậy \((P)\colon y=-\displaystyle\frac{3}{4}x^2+3\).

a. Vì \((P)\) có hoành độ đỉnh bằng \(-3\) và đi qua \(M(-2;1)\) nên suy ra

\(\left\{\begin{aligned}&-\displaystyle\frac{b}{2a}=-3\\&4a+8+c=1\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&b=6a\\&4a+c=-7\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=-\displaystyle\frac{2}{3}\\&c=-\displaystyle\frac{13}{3}.\end{aligned}\right.\)

Vậy \((P)\colon y=-\displaystyle\frac{2}{3}x^2-4x-\displaystyle\frac{13}{3}\).

b. Vì \((P)\) có trục đối xứng \(x=2\) và cắt trục hoành tại \(A(3;0)\) nên suy ra

\(\left\{\begin{aligned}&-\displaystyle\frac{b}{2a}=2\\&9a-12+c=0\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&b=-4a\\&9a+c=12\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=1\\&c=3.\end{aligned}\right.\)

Vậy \((P)\colon y=x^2-4x+3\).

a. Vì \((P)\) đi qua ba điểm \(A(1;1)\), \(B(-1;-3)\), \(O(0;0)\) nên suy ra

\(\left\{\begin{aligned}&a+b+c=1\\&a-b+c=-3\\&c=0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=-1\\&b=2\\&c=0.\end{aligned}\right.\)

Vậy \((P)\colon y=-x^2+2x\).

b. Gọi \(A\) và \(B\) là hai giao điểm cuả \((P)\) với trục \(Ox\) có hoành độ lần lượt là \(-1\) và \(2\). Suy ra \(A(-1;0)\), \(B(2;0)\).

Gọi \(C\) là giao điểm của \((P)\) với trục \(Oy\) có tung độ bằng \(-2\). Suy ra \(C(0;-2)\).

Theo giả thiết, \((P)\) đi qua ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) nên ta có

\(\left\{\begin{aligned}&a-b+c=0\\&4a+2b+c=0\\&c=-2\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=1\\&b=-1\\&c=-2.\end{aligned}\right.\)

Vậy \((P)\colon y=x^2-x-2\).

c. Gọi \(E\) và \(F\) là hai giao điểm của \((P)\) với trục \(Ox\) có hoành độ lần lượt là \(1\) và \(3\). Suy ra \(E(1;0)\), \(F(3;0)\).

Theo giả thiết, \((P)\) đi qua ba điểm \(M\), \(E\), \(F\) nên ta có

\(\left\{\begin{aligned}&16a+4b+c=-6\\&a+b+c=0\\&9a+3b+c=0\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&c=-a-b\\&15a+3b=-6\\&8a+2b=0\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=-2\\&b=8\\&c=-6.\end{aligned}\right.\)

Vậy \((P)\colon y=-2x^2+8x-6\).

a. Vì \((P)\) có đỉnh \(I(2;-1)\) nên ta có

\(\left\{\begin{aligned}&-\displaystyle\frac{b}{2a}=2\\&-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}=-1\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&b=4a\\&b^2-4ac=4a.\end{aligned}\right. \quad (1)\)

Gọi \(A\) là giao điểm của \((P)\) với trục tung tại điểm có tung độ bằng \(-3\). Suy ra \(A(0;-3)\).

Theo giả thiết, \(A(0;-3)\) thuộc \((P)\) nên

\(a\cdot 0+b\cdot 0+c=-3 \Leftrightarrow c=-3. \quad (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\), ta có hệ

\(\left\{\begin{aligned}&b=4a\\&16a^2+8a=0\\&c=-3\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=0\\&b=0\\&c=-3\end{aligned}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{aligned}&a=-\displaystyle\frac{1}{2}\\&b=-2\\&c=-3.\end{aligned}\right.\)

Do \((P)\) là parabol nên \(a\ne 0\) nên ta chọn \(a=-\displaystyle\frac{1}{2}\); \(b=-2\); \(c=-3\).

Vậy \((P)\colon y=-\displaystyle\frac{1}{2}x^2-2x-3\).

b. Vì \((P)\) cắt trục hoành tại hai điểm \(A(1;0)\), \(B(3;0)\) nên

\(\left\{\begin{aligned}&0=a\cdot 1+b\cdot 1+c\\&0=a\cdot 9+b\cdot 3+c\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a+b+c=0\\&9a+3b+c=0.\end{aligned}\right. \quad (1)\)

Hơn nữa, \((P)\) có đỉnh thuộc đường thẳng \(y=-1\) nên

\(-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}=-1 \Leftrightarrow \Delta =4a \Leftrightarrow b^2-4ac=4a. \quad (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\), ta có hệ

\(\left\{\begin{aligned}&a+b+c=0\\&9a+3b+c=0\\&b^2-4ac=4a\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&b=-4a\\&c=3a\\&b^2-4ac=4a\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=0\\&b=0\\&c=0\end{aligned}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{aligned}&a=1\\&b=-4\\&c=3.\end{aligned}\right.\)

Do \((P)\) là parabol nên \(a\ne 0\) nên ta chọn \(a=1\), \(b=-4\), \(c=3\).

Vậy \((P)\colon y=x^2-4x+3\).

c. Vì \((P)\) có đỉnh nằm trên trục hoành nên

\(-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}=0\) \(\Leftrightarrow \Delta =0\) \(\Leftrightarrow b^2-4a=0. \quad (1)\)

Hơn nữa, \((P)\) đi qua hai điểm \(M(0;1)\), \(N(2;1)\) nên ta có

\(\left\{\begin{aligned}&c=1\\&4a+2b+c=1.\end{aligned}\right. \quad (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\), ta có hệ

\(\left\{\begin{aligned}&b^2-4a=0\\&c=1\\&4a+2b+c=1\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&b^2-4a=0\\&c=1\\&4a+2b=0\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&c=1\\&b=-2a\\&4a^2-4a=0\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=0\\&b=0\\&c=1\end{aligned}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{aligned}&a=1\\&b=-2\\&c=1.\end{aligned}\right.\)

Do \((P)\) là parabol nên \(a\ne 0\) nên ta chọn \(a=1\); \(b=-2\); \(c=1\).

Vậy \((P)\colon y=x^2-2x+1\).

d. Vì \((P)\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x=3\) nên

\(-\displaystyle\frac{b}{2a}=3 \Leftrightarrow b=-6a. \quad (1)\)

Hơn nữa, \((P)\) qua \(M(-5;6)\) nên ta có

\(6=25a-5b+c. \quad (2)\)

Lại có, \((P)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(-2\) nên

\(-2=a\cdot 0+b\cdot 0+c \Leftrightarrow c=-2. \quad (3)\)

Từ \((1)\), \((2)\) và \((3)\) ta có hệ

\(\left\{\begin{aligned}&b=-6a\\&25a+30a-2=6\\&c=-2\end{aligned}\right.\)

\(\Leftrightarrow a=\displaystyle\frac{8}{55}\); \(b=-\displaystyle\frac{48}{55}\); \(c=-2\).

Vậy \((P)\colon y=\displaystyle\frac{8}{55}x^2-\displaystyle\frac{48}{55}x-2\).

a. Vì hàm số đạt cực tiểu bằng \(4\) tại \(x=2\) và đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(0;6)\) nên ta có

\(\left\{\begin{aligned}&-\displaystyle\frac{b}{2a}=2\\&-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}=4\\&c=6\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&b=-4a\\&b^2-4ac=-16a\\&c=6\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&b=-4a\\&16a^2-8a=0\\&c=6\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=0\\&b=0\\&c=6\end{aligned}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{aligned}&a=\displaystyle\frac{1}{2}\\&b=-2\\&c=6.\end{aligned}\right.\)

Do \((P)\) là parabol nên \(a\ne 0\) nên ta chọn \(a=\displaystyle\frac{1}{2}\), \(b=-2\), \(c=6\).

Vậy \((P)\colon y=\displaystyle\frac{1}{2}x^2-2x+6\).

b. Vì hàm số đạt cực đại bằng \(3\) tại \(x=2\) và đồ thị hàm số đi qua điểm \(B(0;-1)\) nên ta có

\(\left\{\begin{aligned}&-\displaystyle\frac{b}{2a}=2\\&-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}=3\\&c=-1\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&b=-4a\\&b^2-4ac=-12a\\&c=-1\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&b=-4a\\&16a^2+16a=0\\&c=-1\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=0\\&b=0\\&c=-1\end{aligned}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{aligned}&a=-1\\&b=4\\&c=-1.\end{aligned}\right.\)

Do \((P)\) là parabol nên \(a\ne 0\) nên ta chọn \(a=-1\), \(b=4\), \(c=-1\).

Vậy \((P)\colon y=-x^2+4x-1\).

a. Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(-2;3)\) nên ta có

\(4m+4m-3m-2=3\) \(\Leftrightarrow m=1\).

Vậy \(m=1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b. Ta có \(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}=\displaystyle\frac{2m}{2m}=1\), suy ra \(y=-4m-2\).

Do đó tọa độ đỉnh \(I(1;-4m-2)\).

Theo giả thiết, đỉnh \(I\) thuộc đường thẳng \(y=3x-1\) nên ta có

\(-4m-2=3\cdot 1-1\) \(\Leftrightarrow m=-1.\)

Vậy \(m=-1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c. Theo câu b) ta có tung độ đỉnh

\(y=-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}=-4m-2\).

Để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \(-10\) thì

\(\left\{\begin{aligned}&a>0\\&-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}=-10\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&m>0\\&-4m-2=-10\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow m=2\).

Vậy \(m=2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a. Tọa độ giao điểm của \(y=2x-3\) và \(y=x^2-5x+9\) là nghiệm của hệ sau

\(\left\{\begin{aligned}&y=2x-3\\&y=x^2-5x+9\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&y=2x-3\\&x^2-7x+12=0\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x=4\\&y=5\end{aligned}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{aligned}&x=3\\&y=3.\end{aligned}\right.\)

Vậy hai giao điểm có tọa độ là \((4;5)\) và \((3;3)\).

b. Tọa độ giao điểm của \(y=2x^2+x-3\) và \(y=-x^2+3x+2\) là nghiệm của hệ sau

\(\left\{\begin{aligned}&y=2x^2+x-3\\&y=-x^2+3x+2\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&y=-x^2+3x+2\\&3x^2-2x-5=0\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x=-1\\&y=-2\end{aligned}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{aligned}&x=\displaystyle\frac{5}{3}\\&y=\displaystyle\frac{34}{9}.\end{aligned}\right.\)

Vậy hai giao điểm có tọa độ là \((-1;-2)\) và \(\left(\displaystyle\frac{5}{3};\displaystyle\frac{34}{9}\right)\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \((P)\) là

\(-x^2+4x-2=-2x+3m\) \(\Leftrightarrow x^2-6x+3m+2=0. \quad (*)\)

a. \(d\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt \(A\), \(B\) khi và chỉ khi phương trình \((*)\) có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow \Delta'=9-(3m+2)>0\) \(\Leftrightarrow 7-3m>0\) \(\Leftrightarrow m<\displaystyle\frac{7}{3}\).

Tọa độ trung điểm \(AB\) có dạng \(I\left(\displaystyle\frac{x_A+x_B}{2};\displaystyle\frac{y_A+y_B}{2}\right)\) với \(x_A\), \(x_B\) là hai nghiệm của \((*)\).

Theo định lí Viet, ta có \(x_A+x_B=6\), suy ra \(x_I=\displaystyle\frac{x_A+x_B}{2}=3\).

Ta có

\(\displaystyle\frac{y_A+y_B}{2}=\displaystyle\frac{(-2x_A+3m)+(-2x_B+3m)}{2}\) \(=-(x_A+x_B)+3m=-6+3m\).

Vậy \(I(3;-6+3m)\).

b. \(d\) và \((P)\) có một điểm chung duy nhất khi và chỉ khi phương trình \((*)\) có nghiệm duy nhất

\(\Leftrightarrow \Delta'=9-(3m+2)=0\) \(\Leftrightarrow 7-3m=0\) \(\Leftrightarrow m=\displaystyle\frac{7}{3}\).

Với \(m=\displaystyle\frac{7}{3}\), phương trình \((*)\) có nghiệm kép (nghiệm duy nhất) \(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}=3\).

Thay \(x=3\) vào hàm số \(y=-x^2+4x-2\), ta được \(y=1\).

Vậy tọa độ điểm chung là \((3;1)\).

c. \(d\) không cắt \((P)\) khi và chỉ khi phương trình \((*)\) vô nghiệm

\(\Leftrightarrow \Delta'=9-(3m+2)<0\) \(\Leftrightarrow 7-3m<0\) \(\Leftrightarrow m>\displaystyle\frac{7}{3}.\)

d. Gọi \(M(x_M,y_M)\) là giao điểm của \(d\) và \((P)\). Giao điểm này nằm trên đường thẳng \(y=-2\) suy ra \(y_M=-2\).

Mặt khác \(M\) thuộc \((P)\) nên thay \(x=x_M\) và \(y=y_M=-2\) vào \((P)\), ta được

\(-2=-x_M^2+4x_M-2\) \(\Leftrightarrow x_M^2-4x_M=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x_M=0 \Rightarrow M(0;-2)\\&x_M=4 \Rightarrow M(4;-2).\end{aligned}\right.\)

+) Với \(M(0;-2)\). Vì \(M\) cũng thuộc \(d\) nên ta có

\(-2\cdot 0+3m=-2\) \(\Leftrightarrow m=-\displaystyle\frac{2}{3}\).

+) Với \(M(4;-2)\). Vì \(M\) cũng thuộc \(d\) nên ta có

\(-2\cdot 4+3m=-2\) \(\Leftrightarrow m=2\).

Vậy \(m=-\displaystyle\frac{2}{3}\) hoặc \(m=2\) thỏa yêu cầu bài toán.

Phương trình hoành độ giao điểm của \((P)\) và \(d\) là

\(x^2-4x+3=mx+3\) \(\Leftrightarrow x^2-(4+m)x=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\&x=4+m.\end{aligned}\right.\)

a. \(d\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt \(A\), \(B\) khi

\(4+m\ne 0 \Leftrightarrow m\ne -4\).

Với \(x=0\) thì \(y=3\) suy ra \(A(0;3)\in Oy\). Với \(x=4+m\) thì \(y=m^2+4m+3\) suy ra \(B(4+m;m^2+4m+3)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B\) lên \(OA\). Suy ra \(BH=|x_B|=|4+m|\).

Theo giả thiết bài toán, ta có

\(S_{\triangle OAB}=\displaystyle\frac{9}{2}\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{2}OA\cdot BH=\displaystyle\frac{9}{2}\) \(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{1}{2}\cdot 3\cdot |m+4|=\displaystyle\frac{9}{2}\) \(\Leftrightarrow |m+4|=3\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&m=-1\\&m=-7.\end{aligned}\right.\)

Vậy \(m=-1\) hoặc \(m=-7\) thỏa yêu cầu bài toán.

\item Giả sử \(x_1=0\) và \(x_2=4+m\). Theo giả thiết, ta có

\(x_1^3+x_2^3=8\) \(\Leftrightarrow 0+(4+m)^3=8\) \(\Leftrightarrow 4+m=2\) \(\Leftrightarrow m=-2.\)

Vậy \(m=-1\) hoặc \(m=-7\) thỏa yêu cầu bài toán.

\textbf{Cách 2.} Áp dụng cho trường hợp không tìm cụ thể \(x_1\), \(x_2\).

Ta có

\(x_1^3+x_2^3=8\) \(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=8. \quad (*)\)

Do \(x_1\), \(x_2\) là hai nghiệm của phương trình \( x^2-(4+m)x=0\) nên theo định lý Viet, ta có

\(\left\{\begin{aligned}&x_1+x_2=4+m\\&x_1x_2=0\end{aligned}\right.\).

Thay vào \((*)\), ta được \((4+m)^3-3\cdot 0\cdot (4+m)=8\) \(\Leftrightarrow m=-2\).

a. Phương trình hoành độ giao điểm của \((P)\) và trục hoành là

\(x^2-mx+\displaystyle\frac{m^2}{4}-1=0. \quad (1)\)

Ta có

\(\Delta =m^2-4\cdot 1\cdot \left(\displaystyle\frac{m^2}{4}-1\right)=4>0, \forall m\in \mathbb{R}\).

Do đó \((1)\) luôn có hai nghiệm phân biệt \(\forall m\) hay \((P)\) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt \(\forall m\).

Ta có \(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}=\displaystyle\frac{m}{2}\) suy ra \(y=-1\).

Do đó tọa độ đỉnh \(I\left(\displaystyle\frac{m}{2};-1\right)\).

Vì \(y_I=-1\) nên đỉnh \(I\) luôn chạy trên đường thẳng cố định \(y=-1\).

b. Phương trình hoành độ giao điểm của \((P)\) và trục hoành là

\(x^2-2mx+m^2-1=0. \quad (2)\)

Ta có

\(\Delta'=m^2-(m^2-1)=1>0, \forall m\in \mathbb{R}\).

Do đó \((2)\) luôn có hai nghiệm phân biệt \(\forall m\) hay \((P)\) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt \(\forall m\).

Ta có \(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}=m\) suy ra \(y=-1\).

Do đó tọa độ đỉnh \(I(m;-1)\).

Vì \(y_I=-1\) nên đỉnh \(I\) luôn chạy trên đường thẳng cố định \(y=-1\).

Gọi \(A(x_0;y_0)\) là điểm cố định của đồ thị hàm số

\(\Leftrightarrow y_0=mx_0^2+2(m-2)x_0-3m+1\), với mọi \(m\).

\(\Leftrightarrow m(x_0^2+2x_0-3)-4x_0-y_0+1=0,\) với mọi \(m\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x_0^2+2x_0-3=0\\&-4x_0-y_0+1\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x_0=1\\&y_0=-3\end{aligned}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{aligned}&x_0=-3\\&y_0=13.\end{aligned}\right.\)

Vậy đồ thị luôn đi qua hai điểm cố định là \(A_1(1;-3)\) hoặc \(A_2(-3;13)\) với mọi giá trị của \(m\).

a. Gọi \(y=ax+b\) là đường thẳng mà parabol luôn tiếp xúc.

Phương trình trình hoành độ giao điểm \(2x^2-4(2m-1)x+8m^2-3=ax+b\)

\(\Leftrightarrow 2x^2-(8m-4+a)x+8m^2-3-b=0. \quad (1)\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) phương trình \((1)\) luôn có nghiệm kép với mọi \(m\)

\( \Leftrightarrow \Delta =(8m-4+a)^2-8(8m^2-3-b)=0\), với mọi \(m\)

\( \Leftrightarrow 16(-4+a)m+(-4+a)^2+8(3+b)=0\), với mọi \(m\)

\( \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&-4+a=0\\&(-4+a)^2+8(3+b)=0\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=4\\&b=-3.\end{aligned}\right.\)

Vậy parabol \(y=2x^2-4(2m-1)x+8m^2-3\) luôn tiếp xúc với đường thẳng \(y=4x-3\).

b. Gọi \(y=ax+b\) là đường thẳng mà parabol luôn tiếp xúc.

Phương trình trình hoành độ giao điểm

\(mx^2-(4m-1)x+4m-1=ax+b\)

\(\Leftrightarrow mx^2-(4m-1+a)x+4m-1-b=0. \quad (2)\)

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \) phương trình \((2)\) luôn có nghiệm kép với mọi \(m\)

\( \Leftrightarrow \Delta =(4m-1+a)^2-4m(4m-1-b)=0\), với mọi \(m\)

\( \Leftrightarrow 16m^2+8m(-1+a)+(-1+a)^2-16m^2+4m(1+b)=0\), với mọi \(m\)

\( \Leftrightarrow 4(2a+b-1)m+(-1+a)^2=0\), với mọi \(m\)

\( \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&2a+b-1=0\\&-1+a=0\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=1\\&b=-1.\end{aligned}\right.\)

Vậy parabol \(y=mx^2-(4m-1)x+4m-1\) luôn tiếp xúc với đường thẳng \(y=x-1\).

a. Gọi \(y=ax^2+bx+c\), \(a\ne 0\) là parabol cần tìm.

Phương trình trình hoành độ giao điểm

\(ax^2+bx+c=2mx-m^2+4m+2\)

\(\Leftrightarrow ax^2+(b-2m)x+c+m^2-4m-2=0. \quad (1)\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) phương trình \((1)\) luôn có nghiệm kép với mọi \(m\)

\( \Leftrightarrow \Delta =(b-2m)^2-4a(c+m^2-4m-2)=0\), với mọi \(m\)

\( \Leftrightarrow 4(1-a)m^2-4(b-4a)m+b^2-4ac+8a=0\), với mọi \(m\)

\( \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&1-a=0\\&b-4a=0\\&b^2-4ac+8a=0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=1\\&b=4\\&c=6.\end{aligned}\right.\)

Vậy đường thẳng \(y=2mx-m^2+4m+2\) luôn tiếp xúc với parabol \(y=x^2+4x+6\).

b. Gọi \(y=ax^2+bx+c\), \(a\ne 0\) là parabol cần tìm.

Phương trình trình hoành độ giao điểm

\(ax^2+bx+c=(4m-2)x-4m^2-2\)

\(\Leftrightarrow ax^2+(b-4m+2)x+c+4m^2+2=0. \quad (2)\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) phương trình \((2)\) luôn có nghiệm kép với mọi \(m\)

\( \Leftrightarrow \Delta =(b-4m+2)^2-4a(c+4m^2+2)=0\), với mọi \(m\)

\( \Leftrightarrow \left[4m-(b+2)\right]^2-4a(c+4m^2+2)=0\), với mọi \(m\)

\( \Leftrightarrow 16(1-a)m^2-8(b+2)m+(b+2)^2-4ac-8a=0\), với mọi \(m\)

\( \Leftrightarrow 16(1-a)m^2-8(b+2)m+(b+2)^2-4ac-8a=0\)

\( \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&1-a=0\\&b+2=0\\&(b+2)^2-4ac-8a=0\end{aligned}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&a=1\\&b=-2\\&c=-2.\end{aligned}\right.\)

Vậy đường thẳng \(y=(4m-2)x-4m^2-2\) luôn tiếp xúc với parabol \(y=x^2-2x-2\).

Gọi hai điểm chân cổng là \(A(x_{A};y_{A})\) và \(B(x_{B};y_{B})\), ta có \(\left | x_{A} \right |=\left | x_{B} \right |\) và \(y_{A}=y_{B}\).

Vì \(d=5m\) nên

\(\left | x_{A} \right |=\left | x_{B} \right |=\displaystyle\frac{5}{2}\). Vậy \(h=|y_{A}|=\left | -\displaystyle\frac{1}{2} \cdot \left( \displaystyle\frac{5}{2}\right)^{2} \right |=\displaystyle\frac{25}{8}(m)\)

Chọn hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ

Phương trình parabol \((P)\) có dạng \(y=ax^2+bx+c\).

Phương trình \((P)\) đi qua ba điểm \(A(0;0)\), \(B(162;0)\), \(M(10;43)\) nên ta có

\(\begin{cases}c=0\\162^2a+162b+c=0\\10^2a+10b+c=43\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases}a=-\displaystyle\frac{43}{1520}\\b=\displaystyle\frac{3483}{760}\\c=0\end{cases}\) \(\Rightarrow (P) \colon y=-\displaystyle\frac{43}{1520}x^2+\displaystyle\frac{3483}{760}\)

Do đó chiều cao của cổng là

\(h=-\displaystyle\frac{\Delta}{4a}=\displaystyle\frac{b^2-4ac}{4a}\) \(\approx 185,6m\).