Chuyên đề 8. ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Số cách chọn một bóng đèn bất kỳ trong hộp là \( 9+7=16 \).

Áp dụng qui tắc cộng, ta có số cách thực hiện là \(m+n\).

Số cách lấy bi là \(\mathrm{C}^2_{3+4}=21.\)

Có \(20+25=45\) cách chọn ra một học sinh làm lớp trưởng.

\(\bullet \) Nếu chọn đề tài về lịch sử có \(8\) cách.

\(\bullet \) Nếu chọn đề tài về thiên nhiên có \(7\) cách.

\(\bullet \) Nếu chọn đề tài về con người có \(10\) cách.

\(\bullet \) Nếu chọn đề tài về văn hóa có \(6\) cách.

Theo qui tắc cộng, ta có \(8+7+10+6=31\) cách chọn.

Số cách chọn \(1\) bạn nữ lớp \(12\)A là \(20\) cách.

Số cách chọn \(1\) bạn nam lớp \(12\)B là \(16\) cách.

Vậy có \(20\cdot 16=320\) cách chọn.

Số cách chọn một bộ quần áo là \(3\cdot 4 =12\) cách.

Số cách lấy ra hai viên bi, trong đó có \(1\) viên bi đỏ và \(1\) viên bi xanh bằng \(3\cdot 4=12\) (cách).

Để chọn một bộ quần áo, thầy Đông cần chọn \(1\) cái quần vào \(1\) cái áo.

\(\bullet\,\) Số cách chọn một cái quần là \(6\).

\(\bullet\,\) Số cách chọn một cái áo là \(5\).

\(\bullet\,\) Theo quy tắc nhân ta có: \(6 \times 5=30\) cách chọn một bộ quần áo.

Để chọn một cây bút chì-một cây bút bi-một cuốn tập, ta có:

\(\bullet \) Có \(8\) cách chọn bút chì.

\(\bullet \) Có \(6\) cách chọn bút bi.

\(\bullet \) Có \(10\) cách chọn cuốn tập.

Vậy theo qui tắc nhân ta có \(8\times 6\times 10=480\) cách.

Số cách tặng quà cho các bạn nữ sao cho mỗi bạn được nhận một món quà là \(5!=120\).

Số cách xếp bốn bạn Lan, Bình, Chung, Duyên ngồi vào một bàn dài gồm có \( 4 \) chỗ là số hoán vị của 4 người.\\\( 4! =24 \) cách.

Số cách xếp \(5\) người thành một hàng ngang \(5!\).

Xếp bạn Chi ngồi giữa có \(1\) cách. Số cách xếp \(4\) bạn sinh An, Bình, Dũng, Lệ vào \(4\) chỗ còn lại là số hoán vị của \(4\) phần tử nên có có \(4!\) cách.

Vậy có \(24\) cách xếp.

Số các số tự nhiên có \(4\) chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số \(1\), \(5\), \(6\), \(7\) là \(\mathrm{P}_4=4!=24\).

Số cách mắc nối tiếp \(4\) bóng đèn được chọn từ \(6\) bóng đèn khác nhau là một chỉnh hợp chập \(4\) của \(6\) phần tử. Suy ra có \(\mathrm{A}_6^4=360\) cách.

Số cách chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường vụ từ \(7\) người là số các chỉnh hợp chập ba của bảy phần tử.

Vậy có \(\mathrm{A}_7^3=210\).

Số cách chọn thỏa mãn bài là \(\mathrm{A}_7^3=210\).

Số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu là \(\mathrm{A}^2_6=30\).

Mỗi số có \(4\) chữ số tạo thành là một chỉnh hợp chập \(4\) của \(5\) phần tử.

Vậy có \(\mathrm{A}_5^4\) số tạo thành.

Với hai điểm bất kỳ trong \(n\) điểm ta luôn được một đoạn thẳng.

Vậy số đoạn thẳng cần tìm chính là số tổ hợp chập \(2\) của \(10\) phần tử (điểm).

Như vậy, ta có \(\mathrm{C}_{10}^2=\displaystyle\frac{10!}{8!2!}=45\) đường thẳng.

Đa giác lồi \(10\) cạnh thì có \(10\) đỉnh. Lấy hai điểm bất kỳ trong \(10\) đỉnh của đa giác lồi ta được số đoạn thẳng gồm cạnh và đường chéo của đa giác lồi.

Vậy số đường chéo cần tìm là \(\mathrm{C}_{10}^2-10=\displaystyle\frac{10!}{8!\cdot 2!}-10=35\).

Số các tam giác có các đỉnh thuộc tập 12 điểm trên là \(\mathrm{C}^3_{12}=220\).

Chọn điểm đầu có \( 10 \) cách.

Chọn điểm cuối có \( 9 \) cách.

Vậy có \(10\cdot 9=90\) vectơ.

Mỗi nhóm học sinh \(3\) người được chọn (không phân biệt nam, nữ-công việc) là một tổ hợp chập \(3\) của \(40\) (học sinh).

Vì vậy, số cách chọn nhóm học sinh là \(\mathrm{C}_{40}^3=\displaystyle\frac{40!}{37!\cdot 3!}=9880\).

- Sắp xếp bộ ba số \(1,2,3\) sao cho \(2\) đứng giữa \(1,3\) có \(2\) cách.

Số số tự nhiên có \(7\) chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số \(2\) đứng liền giữa hai chữ số \(1\) và \(3\) kề cà trường hợp số \(0\) đứng đầu là: \(2\cdot \mathrm{C}_7^4.5!\) số.

Số số tự nhiên có \(7\) chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số \(2\) đứng liền giữa hai chữ số \(1\) và \(3\) , có số \(0\) đứng đầu là: \(2 \cdot \mathrm{C}_6^3 \cdot 4!\) số.

Suy ra số số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là \(2 \cdot \mathrm{C}_7^4 \cdot 5!-2 \cdot \mathrm{C}_6^3 \cdot 4!=7440\).

Gọi số cần tìm có dạng \( m=\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6} \) với \( a_i \in \{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\},~ a_1 \ne 0 \) và \( i\in \{1;2;3;4;5;6\} \).

Vì các chữ số \( a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6 \) là đôi một khác nhau, có nhiều hơn một chữ số lẻ và đồng thời trong đó có hai chữ số kề nhau không cùng là số lẻ nên ta xét hai trường hợp sau:

\(\bullet\,\) Trường hợp 1: Có \( 4 \) chữ số chẵn và \( 2 \) chữ số lẻ.

\(\bullet\,\) Chữ số \( 0 \) đứng ở vị trí bất kì.

\(\bullet\,\) Lấy \( 4 \) chữ số chẵn và \( 2 \) chữ số lẻ có \( \mathrm{C}_5^4 \cdot \mathrm{C}_5^2\).

\(\bullet\,\) Xếp \( 4 \) chữ số chẵn có \( 4! \).

\(\bullet\,\) Xếp \( 2 \) chữ số lẻ có \( \mathrm{A}_5^2 \).

Vậy trường hợp này có \(\mathrm{C}_5^4 \cdot \mathrm{C}_5^2 \cdot 4! \cdot \mathrm{A}_5^2 =24000\) số.

\(\bullet\,\) Chữ số \( a_1 = 0\).

\(\bullet\,\) Lấy thêm \( 3 \) chữ số chẵn; \( 2 \) chữ số lẻ có \(\mathrm{C}_4^3 \cdot \mathrm{C}_5^2\).

\(\bullet\,\) Xếp \( 3 \) chữ số chẵn có \( 3! \).

\(\bullet\,\) Xếp \( 2 \) chữ số lẻ có \( \mathrm{A}_4^2 \).

Vậy trường hợp này có \( \mathrm{C}_4^3 \cdot \mathrm{C}_5^2 \cdot 3! \cdot\mathrm{A}_4^2=2880\).

\(\bullet\,\) Trường hợp 2: Có \( 3 \) chữ số chẵn và \( 3 \) chữ số lẻ.

\(\bullet\,\) Chữ số \( 0 \) đứng ở vị trí bất kì.

\(\bullet\,\) Lấy \( 3 \) chữ số chẵn và \( 3 \) chữ số lẻ có \( \mathrm{C}_5^3 \cdot \mathrm{C}_5^3\).

\(\bullet\,\) Xếp \( 3 \) chữ số chẵn có \( 3! \).

\(\bullet\,\) Xếp \( 3 \) chữ số lẻ có \( \mathrm{A}_4^3 \).

Vậy trường hợp này có \(\mathrm{C}_5^3 \cdot \mathrm{C}_5^3 \cdot 3! \cdot \mathrm{A}_4^3 = 14400\) số.

\(\bullet\,\) Chữ số \( a_1 = 0\).

\(\bullet\,\) Lấy thêm \( 2 \) chữ số chẵn; \( 3 \) chữ số lẻ có \(\mathrm{C}_4^2 \cdot \mathrm{C}_5^3\).

\(\bullet\,\) Xếp \( 2 \) chữ số chẵn có \( 2! \).

\(\bullet\,\) Xếp \( 3 \) chữ số lẻ có \( \mathrm{A}_3^3=3! \).

Vậy trường hợp này có \( \mathrm{C}_4^2 \cdot \mathrm{C}_5^3 \cdot 2!\cdot 3!=720\).

Vậy có \( (24000-2880)+(14400-720)=34800\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Từ các số \(0\), \(1\), \(2\), \(7\), \(8\), \(9\), số số tự nhiên có \(5\) chữ số khác nhau

\(\bullet\,\) có tận là \(0\) có thể lập được là \(\mathrm{A}_5^4=120\),

\(\bullet\,\) có tận cùng là \(2\) hoặc \(8\) có thể lập được là \(2\left(\mathrm{A}_5^4-\mathrm{A}_4^3\right)=192\).

Vậy số các số tự nhiên cần tìm là \(312\).

Trường hợp 1: số có dạng \(\overline{abcd0}\).

\(\bullet\,\) Chọn một số chẵn khác \(0\) để xếp vào một trong ba vị trí đầu tiên: có \(3 \cdot 4\) cách.

\(\bullet\,\) Chọn ba chữ số lẻ để xếp vào ba vị trí còn lại: có \(\mathrm A_5^3\) cách.

\(\bullet\,\) Suy ra trường hợp này có \(3 \cdot 4 \cdot \mathrm A_5^3 = 720\) số.

Trường hợp 2: số có dạng \(\overline{abcd5}\).

+) Trước tiên ta chấp nhận chữ số \(0\) có thể xếp ở vị trí \(a\).

\(\bullet\,\) Trước chữ số \(5\), ta xếp vị trí cho \(2\) chữ số lẻ khác \(5\) bất kỳ: có \(\mathrm A_4^2\) cách.

Khi đó ta xét dãy \(* l*l*5\)

\(\bullet\,\) Vì hai chữ số chẵn không thể đứng cạnh nhau nên hai chữ số chẵn này phải được xếp vào hai trong \(3\) vị trí \(*\), có \(\mathrm C_3^2 \cdot \mathrm A_5^2\) cách.

\(\bullet\,\) Suy ra có \(\mathrm A_4^2 \cdot \mathrm C_3^2 \cdot \mathrm A_5^2=720\) số.

+) Xét số có dạng \(\overline{0 bcd5}\).

\(\bullet\,\) Vì hai chữ số chẵn không thể đứng cạnh nhau nên chữ số chẵn còn lại phải được xếp vào một trong hai vị trí \(c\) hoặc \(d\), có \(2 \cdot 4=8\) cách xếp.

\(\bullet\,\) Chọn \(2\) chữ số lẻ khác \(5\) và xếp vào hai vị trí còn lại, có \(\mathrm A_4^2\) cách.

\(\bullet\,\) Suy ra có \(8 \cdot \mathrm A_4^2=96\) số.

Suy ra trường hợp \(2\) có \(720-96=624\) số.

Vậy tổng cộng có \(720 + 624=1344\) số thoả mãn yêu cầu bài toán.

Gọi số cần lập là \(\overline{a_1a_2a_3a_4a_5}\), với \(a_1\neq0\).

\(\bullet\,\) Trường hợp 1. Số chẵn là số \(0\).

Bước 1. Xếp số \(0\) và \(4\) vị trí \(a_2,a_3,a_4,a_5\) \(\,\Rightarrow\,\) có \(4\) cách.\\

Bước 2. Chọn \(4\) số từ các chữ số \(1,3,5,7\) và xếp vào \(4\) vị trí còn lại \(\,\Rightarrow\,\) có \(4!\) cách.

Theo quy tắc nhân, trường hợp 1 có \(4\cdot 4!=96\) số.

\(\bullet\,\) Trường hợp 2. Số chẵn là một trong ba số \(2,4,6\).

Bước 1. Chọn một số trong ba số \(2,4,6\) và xếp vào một trong các vị trí \(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\) \(\,\Rightarrow\,\) có \(3\cdot 5=15\) cách.

Bước 2. Chọn \(4\) số từ các chữ số \(1,3,5,7\) và xếp vào \(4\) vị trí còn lại \(\,\Rightarrow\,\) có \(4!\) cách.

Theo quy tắc nhân, trường hợp 2 có \(15\cdot 4!=360\) số.

Theo quy tắc cộng, lập được \(96+360=456\) số.

Số cách sếp \(4\) học sinh nam là \(4!\); số cách sếp \(4\) học sinh nữ là \(4!\). Số cách xen kẽ giữa hàng nam và hàng nữ là \(2\).

Vậy tất cả có \( 4! \cdot 4! \cdot 2 = 1152.\)

Số cách xếp \(A\) và \(B\) luôn ngồi cạnh nhau có \(2! = 2\) (cách).

Coi \(A\) và \(B\) là một phần tử thì việc xếp \(9\) phần tử vào một chiếc ghế có \(9!\) (cách).

Vậy số cách xếp chỗ ngồi cho \(10\) bạn là \(9! \cdot 2!\) (cách).

Ta gọi số cách sắp xếp cần tìm theo bài là \(Q_n\) và gọi số cách sắp xếp theo nghĩa, hai cách sắp xếp nếu từ cách này, xoay vòng sắt đi một góc đi được cách kia vẫn tính là hai cách khác nhau, là \(A_n\).

Ta nhận thấy ngay \(A_n= n!\). Từ một cách sắp xếp của \(Q_n\) ta nhận được \(n\) cách sắp xếp trong \(A_n\) bằng cách quay đi \(n\) góc khác nhau. Như vậy \(Q_n= \displaystyle\frac{1}{n} \cdot A_n=(n-1)!\).

Chọn chỗ ngồi cho hai bạn \(A, F \Rightarrow\) Có \(2!\) cách xếp.

Xếp bốn bạn còn lại B, C, D, E vào bốn vị trí còn lại \(\Rightarrow \) Có \(4!\) cách xếp.

Vậy có \(2!\cdot 4!=48\) cách xếp.

Số cách xếp \(10\) học sinh ngồi vào một bàn tròn là \(9!\) cách xếp.

Số cách chọn \(3\) viên bi gồm \(2\) viên bi xanh và \(1\) viên bi đỏ là \(\mathrm{C}^2_3 \cdot \mathrm{C}^1_8 = 24\) (cách).

Số cách chọn \(3\) viên bi gồm \(1\) viên bi xanh và \(2\) viên bi đỏ là \(\mathrm{C}^1_3 \cdot \mathrm{C}^2_8 = 84\) (cách).

Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là \(24 + 84 = 108\) (cách).

\(\bullet\,\) Số cách chọn 5 học sinh trong 50 học sinh là \(\mathrm{C}_{50}^{5}\).

\(\bullet\,\) Gọi A là số cách chọn 5 học sinh mà có hai cặp sinh đôi. ta tính A:\\

- Chọn 2 cặp sinh đôi trong 4 cặp có \(\mathrm{C}_{4}^{2}\) cách.\\

- Chọn một học sinh trong 46 học sinh còn lại có \(\mathrm{C}_{46}^{1}\) cách.\\

Vậy \(A=\mathrm{C}_{4}^{2}\cdot \mathrm{C}_{46}^{1}\).

\(\bullet\,\) Gọi \(B\) là số cách chọn 5 học sinh có đúng một cặp sinh đôi.Ta tính \(B\).\\

- Chọn 1 cặp sinh đôi trong 4 cặp có \(\mathrm{C}_{4}^{1}\) cách.\\

- Gọi \(B'\) là số cách chọn 3 học sinh trong 48 học sinh còn lại sao cho không có cặp sinh đôi nào. Khi đó \(B=\mathrm{C}_{4}^{1}B'\). Ta tính \(B'\).\\

\noindent \ \ + Chọn 3 học sinh trong 48 học sinh có \(\mathrm{C}_{48}^{3}\) cách.\\

\noindent \ \ + Chọn 3 học sinh trong 48 học sinh sao cho có đúng một cặp sinh đôi có \(\mathrm{C}_{3}^{1}\cdot \mathrm{C}_{46}^{1}\).

Suy ra \(B'=\mathrm{C}_{48}^{3}-\mathrm{C}_{3}^{1}\cdot \mathrm{C}_{46}^{1}\).\\ Vậy \(B=\mathrm{C}_{4}^{1}(\mathrm{C}_{48}^{3}-\mathrm{C}_{3}^{1}\cdot \mathrm{C}_{46}^{1})\). \\

Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\mathrm{C}_{50}^{5}-A-B=\mathrm{C}_{50}^{5}-\mathrm{C}_{4}^{2}\cdot \mathrm{C}_{46}^{1}-\mathrm{C}_{4}^{1}(\mathrm{C}_{48}^{3}-\mathrm{C}_{3}^{1}\cdot \mathrm{C}_{46}^{1})=2049852\).

Trường hợp 1: Ba chữ số \( a \), \( b \), \( c \) là ba cạnh của một tam giác đều.

Ta có \( a = b = c \) nên chọn được \( 9 \) bộ số thỏa yêu cầu, do đó có \( 9 \) số thỏa yêu cầu.

Trường hợp 2: Ba chữ số \( a \), \( b \), \( c \) là ba cạnh của một tam giác cân không đều.

Không mất tính tổng quát, giả sử \( a = b \neq c \).

Để \( a \), \( a \), \( c \) là ba cạnh của một tam giác thì \( 2a > c \).

Ta chọn được \( 52 \) bộ \( a \), \( c \) thỏa yêu cầu.

Mặt khác, với mỗi bộ số \( a \), \( a \), \( c \) ta có \( 3 \) cách sắp vị trí.

Do đó có tổng cộng \( 52 \cdot 3 = 156 \) cách chọn bộ số \( a \), \( a \), \( c \), nên tìm được \( 156 \) số thỏa yêu cầu.

Vậy, có tổng cộng là \( 156 + 9 = 165 \) số thỏa yêu cầu bài toán.

Chon \(3\) tem có \(\mathrm{C}_5^3\).

Chọn \(3\) thư có \(\mathrm{C}_6^3\).

Dán \(3\) tem vào \(3\) bì thư có \(3!\) cách.

Vậy có \(\mathrm{C}_5^3 \cdot \mathrm{C}_6^3 \cdot 3!=1200\).

Số tam giác được lập từ các điểm trên là \(\mathrm{C}^{1}_{5}\mathrm{C}^{2}_{7}+\mathrm{C}^{2}_{5}\mathrm{C}^{1}_{7}=175\).

Gọi \(n\) là số cạnh của đa giác đều đã cho (\(n\ge 4\)).

\(\bullet\,\) Số cạnh của đa giác là \(n\).

\(\bullet\,\) Số đường chéo của đa giác là \(\mathrm{C}_n^2-n\).

Khi đó ta có

\begin{eqnarray*}&&\mathrm{C}_n^2-n=4n\\ &\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{n(n-1)}{2}-5n=0 \Leftrightarrow n=11.\end{eqnarray*}

Xét bài toán tổng quát với đa giác lồi \( n \) cạnh (\( n>3 \)). Số tam giác được tạo thành từ \( n \) đỉnh của đa giác lồi \( n \) cạnh này là \( \mathrm{C}^3_n \). Các tam giác này được phân loại như sau:

\(\bullet\,\) Tam giác chứa đúng hai cạnh của đa giác. Những tam giác loại này là tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của đa giác. Có \( n \) tam giác như vậy.

\(\bullet\,\) Tam giác chỉ chứa đúng một cạnh của đa giác. Những tam giác loại này là tam giác có hai đỉnh là hai đỉnh liên tiếp của đa giác và đỉnh còn lại không kế tiếp hai đỉnh kia. Xét một cạnh bất kì, cần phải chọn thêm một đỉnh nữa (đỉnh này không phải là hai đỉnh của cạnh đang xét và hai đỉnh kề nó) để tạo thành tam giác thỏa yêu cầu; có \( \mathrm{C}^1_{n-4} \) cách chọn đỉnh như vậy. Vì có \( n \) cạnh nên tương ứng có \( n\mathrm{C}^1_{n-4} \) tam giác loại này.

\(\bullet\,\) Tam giác không chứa cạnh nào của đa giác. Những tam giác loại này không bao gồm hai loại trên. Suy ra có \( \mathrm{C}^3_n-n-n\mathrm{C}^1_{n-4} \) tam giác loại này.

Quay lại bài toán ban đầu, áp dụng trường hợp thứ hai với \( n=15 \) ta tính được \( 15\cdot \mathrm{C}^1_{11}=165 \)

\(\bullet\,\) \textit{Trường hợp 1:} Chọn \(1\) điểm từ đường thẳng \(a\) và \(2\) điểm từ đường thẳng \(b\).

Tạo được \(\mathrm{C}_{5}^1\cdot \mathrm{C}_{7}^2\) tam giác.

\(\bullet\,\) \textit{Trường hợp 2:} Chọn \(2\) điểm từ đường thẳng \(a\) và \(1\) điểm từ đường thẳng \(b\).

Tạo được \(\mathrm{C}_{5}^2\cdot \mathrm{C}_{7}12\) tam giác.

Số tam giác tạo được là \(\mathrm{C}_{5}^1\cdot \mathrm{C}_{7}^2+\mathrm{C}_{5}^2\cdot \mathrm{C}_{7}^1=175\).

Gọi số đỉnh của đa giác là \(n\). Mà số cạnh bằng số đỉnh nên số cạnh của đa giác là \(n\).

Cứ mỗi đỉnh nối với \((n-3)\) đỉnh còn lại tạo thành \((n-3)\) đường chéo nên số đường chéo của đa giác là \(\displaystyle\frac{n(n-3)}{2}\) (do mỗi đường chéo được tính hai lần).

Vì số đường chéo gấp đôi số cạnh nên

\(\displaystyle\frac{n(n-3)}{2}=2n\Leftrightarrow n-3=4\Leftrightarrow n=7.\)

Vậy đa giác có \(7\) cạnh.

* Số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác là \(\mathrm{C}_{10}^3\).

* Số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác:

Chọn 2 đỉnh kề nhau: có 10 cách chọn.

Chọn đỉnh còn lại không kề với 1 trong 2 đỉnh đã chọn: có 6 cách.

Vậy có \(10.6=60\) tam giác.

* Số tam giác tạo thành từ 3 đỉnh của đa giác có 2 cạnh là cạnh của đa giác

Chọn 2 cạnh kề nhau: có 10 cách.

Vậy số tam giác cần tìm là \(C_{10}^{3}-60-10=50\) tam giác.

Điều kiện \(\begin{cases}x\ge 3\\ x\in\mathbb{N}.\end{cases}\)

\begin{eqnarray*}&&\mathrm{A}_{x}^{3}-\mathrm{C}_{x}^{3}=5 x\\&\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{x!}{(x-3)!}-\displaystyle\frac{x!}{3!(x-3)!}=5x\\&\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{5}{6}x(x-1)(x-2)=5x\\&\Leftrightarrow& (x-1)(x-2)=6\\&\Leftrightarrow& x^2-3x-4=0\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}&x=-1&\text{ (loại)}&\\&x=4&\text{ (nhận)}&.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\{4\}\).

Điều kiện \(n \geq 1, n\in\mathbb{Z}\). Ta có

\begin{eqnarray*}&&\displaystyle\frac{P_{n + 4}}{P_n\cdot P_{n + 2}} - \displaystyle\frac{15}{P_{n - 1}}=0\\&\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{(n+4) !}{n ! \cdot(n+2) !}-\displaystyle\frac{15}{(n-1) !}=0 \\&\Leftrightarrow& (n+3)(n+4)-15 n=0\\&\Leftrightarrow& n^2 - 8n + 12=0.\end{eqnarray*}

Suy ra \(n\in \{2;6\}\).

Điều kiện\(\colon\) \(x\in \mathbb{N}, x\ge 10\).

Ta có

\(\mathrm{A}_{x}^{10}+\mathrm{A}_{x}^{9}=9 \mathrm{A}_{x}^{8}\)

\(\Leftrightarrow \displaystyle\frac{x!}{(x-10)!}+\displaystyle\frac{x!}{(x-9)!}=9\cdot\displaystyle\frac{x!}{(x-8)!}\)

\(\Leftrightarrow (x-9)(x-8)+(x-8)=9\)

\(\Leftrightarrow (x-8)^2=9\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=11\\ &x=5.\end{aligned}\right.\)

Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là \(x=11\).

Ta có \(\mathrm{C}_{n}^{2}+\mathrm{A}_{n}^{2}=9n\Leftrightarrow n=7\).

Điều kiện \(n \geq 2\), \(n \in \mathbb{N}\).

\begin{eqnarray*}\mathrm{A}^2_n - \mathrm{C}^{n-1}_{n+1} = 5 &\Leftrightarrow& \displaystyle\frac{n!}{\left( n-2 \right)!}-\displaystyle\frac{\left( n+1 \right)!}{\left( n-1 \right)!2!}=5 \\ & \Leftrightarrow & n\left( n-1 \right)-\displaystyle\frac{\left( n+1 \right)n}{2}=5 \\ & \Leftrightarrow & n^2-3n-10=0 \\ & \Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}& n=5 \text{ (thỏa mãn)}\\ & n=-2 \text{ (loại)}.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Khai triển của nhị thức \((x-1)^5\) có \(5+1=6\) số hạng.

Vì bậc của khai triển là \(12\) nên trong khai triển trên có tất cả \(13\) số hạng.

Khai triển \(\left(x^2-1\right)^{100}\) có \(101\) số hạng.

Trong khai triển \((a+b)^n\), số hạng tổng quát của khai triển là \(\mathrm{C}_n^k a^{n-k} b^k\).

Trong khai triển nhị thức \((a+b)^n\) có \(n+1\) số hạng.

Do đó, trong khai triển \((1+ 2x)^{2020}\) có \(2021\) số hạng.

Ta có \((2x+3)^5=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{5}{\mathrm{C}_5^k (2x)^{5-k}3^k}\).

Với \(k=0\), suy ra số hạng thứ nhất là \(\mathrm{C}_5^0 (2x)^5\).

Ta có \(\left(2 x-y^{2}\right)^{6}=64 \mathrm{C}_{6}^{0} x^{6}-32 \mathrm{C}_{6}^{1} x^{5} y^{2}+16 \mathrm{C}_{6}^{2} x^{4} y^{4}-\mathrm{C}^{3}_{6}(2x)^{3}(y^2)^{3}\) \(+4 \mathrm{C}_{6}^{4} x^{2} y^{8}-2 \mathrm{C}_{6}^{5} x y^{10}+\mathrm{C}_{6}^{6} y^{12}\).

Vậy số hạng trong dấu \(\ldots\) là \(-\mathrm{C}_{6}^{3}(2 x)^{3} y^{6}\).

Ta có

\begin{align*}(3x+4)^5=\ &C_5^0(3x)^5 + C_5^1 (3x)^4 4+ C_5^2 (3x)^3 4^2 + C_5^3 (3x)^2 4^3 + C_5^4 (3x) 4^4 + C_5^5 4^5\\=\ &243x^5+1620x^4+4320x^3+5760x^2+3840x+1024.\end{align*}

Ta có

\begin{align*}(2x-1)^5=\ &C_5^5 (2x)^5 - C_5^4 (2x)^4 + C_5^3 (2x)^3 - C_5^2 (2x)^2 + C_5^1 (2x) - C_5^0\\=\ &32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1.\end{align*}

Ta có

\begin{align*}(1-2x)^5=\ &C_5^0 - C_5^1 (2x) + C_5^2 (2x)^2 - C_5^3 (2x)^3 + C_5^4 (2x)^4 - C_5^5 (2x)^5\\=\ &1-10x+40x^2-80x^3+80x^4-32x^5.\end{align*}

Ta có \((1+3x)^n=\sum\limits_{k=0}^{n} \mathrm{C}^k_n\left(3x\right)^k\).

Hệ số của \(x^2\) là \(\mathrm{C}^2_n 3^2=90\) \(\Leftrightarrow n^2-n-20=0 \Leftrightarrow n=5\).

Có \(x(1+2x)^5=x\displaystyle\sum_{k=0}^{5}\mathrm{C}_{5}^k \cdot \left(1\right)^{5-k} \cdot (2x)^k\) \(=\displaystyle\sum_{k=0}^{5}\mathrm{C}_{5}^k \cdot 2^k \cdot x^{k+1}\).

Hệ số chứa \(x^5\) nên \(k+1=5\Leftrightarrow k=4\).

Vậy hệ số chứa \(x^5\) trong khai triển là \(\mathrm{C}_5^4\cdot 2^4=80\).

Ta có \(P=\sum\limits_{k=0}^{7} \mathrm{C}_{7}^{k}\cdot\left(2x\right)^{7-k}\cdot\left(-1\right)^{k}\) \(=\sum\limits_{k=0}^{7} \mathrm{C}_{7}^{k}\cdot2^{7-k}\cdot\left(-1\right)^k\cdot x^{7-k}\).

Tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên là

\(\mathrm{C}_{7}^{0}\cdot2^{7}\cdot\left(-1\right)^0+\mathrm{C}_{7}^{1}\cdot2^{6}\cdot\left(-1\right)^1+\mathrm{C}_{7}^{2}\cdot2^{5}\cdot\left(-1\right)^2=352.\)

Ta có số hạng tổng quát của khai triển là \(\mathrm{C}_5^k\cdot 2^k\cdot x^k\).

Yêu cầu bài toán ta có \(k=4\).

Vậy hệ số cần tìm là \(\mathrm{C}_5^4\cdot 2^4=80\).

Ta có \({\left(3x^3-\displaystyle\frac{2}{x^2}\right)}^5=\sum\limits_{k=0}^5{\mathrm{C}_5^k\cdot(3x^3)^{5-k}\cdot{(-2x^{-2})}^k}\) \(=\sum\limits_{k=0}^5{\mathrm{C}_5^k\cdot{3^{5-k}}\cdot{(-2)}^k\cdot{x}^{15-5k}}\).

Tìm \(k\) sao cho \(15-5k=10\Leftrightarrow k=1\).

Vậy hệ số cần tìm là \(\mathrm{C}_5^1\cdot{3}^4\cdot(-2)=-810\).

Tổng hệ số trong khai triển nhị thức \((3x-5)^4\) bằng \((3\cdot 1-5)^4=(-2)^4=16\).

Tổng hệ số trong khai triển nhị thức \((3x+1)^5\) bằng \((3\cdot 1+1)^5=4^5=1024\).

Ta có \( \displaystyle (x +1)^{10}=\sum_{k=0}^{10} \mathrm{C}^k_{10}x^{10-k}\).

Tổng các hệ số là \(\displaystyle\sum_{k=0}^{10} \mathrm{C}^k_{10}=2^{10}=1024\).

Ta có \( (2x-3)^{2017}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_{2017}x^{2017}. \)

Cho \( x=1 \) ta được \( a_0+a_1+a_2+\cdots+a_{2017}=(2\cdot 1-3)^{2017}=-1. \)

Tổng hệ số trong khai triển nhị thức \((2x-3)^4\) bằng \((2\cdot 1-3)^4=(-1)^4=1\).

Ta có

\((x+1)^5=C_5^0x^5+C_5^1x^4+C_5^2x^3\) \(+C_5^3x^2+C_5^4x+C_5^5.\)

Thay \(x=1\), ta được

\((1+1)^5=C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5\Rightarrow S=2^5.\)

Xét khai triển \((a+b)^n=\mathrm{C}_{n}^{0}a^nb^0+\mathrm{C}_{n}^{1}a^{n-1}b^1+\mathrm{C}_{n}^{2}a^{n-2}b^2+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{n}a^{0}b^{n}\).

Cho \(a=b=1\) và \(n=2017\) vào khai triển trên, ta được

\begin{align*}&2^{2017} = \mathrm{C}_{2017}^{0}+\mathrm{C}_{2017}^{1}+\mathrm{C}_{2017}^{2}+\cdots+\mathrm{C}_{2017}^{2017}\\\Rightarrow\;\,&\mathrm{C}_{2017}^{1}+\mathrm{C}_{2017}^{2}+\mathrm{C}_{2017}^{3}+\cdots+\mathrm{C}_{2017}^{2016}=2^{2017}-\mathrm{C}_{2017}^{0}-\mathrm{C}_{2017}^{2017}.\end{align*}

Vậy \(S=2^{2017}-2.\)

Ta có

\((a-b)^4\) \(=C_4^0a^4 - C_4^1 a^3 b + C_4^2 a^2 b^2 - C_4^3 a b^3 + C_4^4 b^4.\)

Thay \(a=2\), \(b=3\), ta được

\((2-3)^4\) \(=C_4^0 2^4 - C_4^1 2^3\cdot 3 + C_4^2 2^2\cdot 3^2 - C_4^3 2\cdot3^3 + C_4^4 3^4\) \(\Rightarrow S=(-1)^4=1.\)

Xét khai triển \( \left(1+x\right)^{2020} = \mathrm{C}_{2020}^{0}+\mathrm{C}_{2020}^{1}x+\mathrm{C}_{2020}^{2}x^2\) \(+\mathrm{C}_{2020}^{3}x^3+\cdots+\mathrm{C}_{2020}^{2020}x^{2020} \).

Cho \( x = 1 \) thì \( 2^{2020} = 1+ \mathrm{C}_{2020}^{1}+\mathrm{C}_{2020}^{2}+\mathrm{C}_{2020}^{3}+\cdots+\mathrm{C}_{2020}^{2020}\) \(\Rightarrow S = 2^{2020}-1 \).

Xét khai triển \((x - 5)^{2018} = \mathrm{C}^0_{2018}x^{2018} - \mathrm{C}^1_{2018}x^{2017}5^1\) \(+ \mathrm{C}^2_{2018}x^{2016}5^2 - \mathrm{C}^3_{2018}x^{2015}5^3 + \cdots + \mathrm{C}^{2018}_{2018}5^{2018}\).

Với \(x = 1\) thì \((1 - 5)^{2018} = \mathrm{C}^0_{2018}1^{2018} -5\mathrm{C}^1_{2018} + 5^2\mathrm{C}^2_{2018} - 5^3\mathrm{C}^3_{2018}\) \(+ \cdots + 5^{2018}\mathrm{C}^{2018}_{2018}\).

Vậy \(S = 2^{4036} - 1\).