Chuyên đề 7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

\((m^2+m+1)x^2-3x+m-1\) là tam thức bậc hai.

\((m^2+1)x^2+2mx-4\) là tam thức bậc hai.

\(f(x)=4x^2-2x+3\) là tam thức bậc hai.

\(2-3x-x(1-x)\) là tam thức bậc hai.

\(-\sqrt{2}x^2-2\) là tam thức bậc hai.

Ta có \(\left\{\begin{aligned}&a=2>0 \\&\Delta'=1^2-2 \cdot 5 = -9 < 0\end{aligned} \right.\) nên \(f(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}\).

Đáp số \(x^2-2x+10\).

Ta có \(f(x)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=1 \\& x=-\sqrt{5}.\end{aligned}\right.\)

Vì \(a=1>0\) nên \(f(x)>0\) khi \(x\in \left( -\infty ;-\sqrt{5} \right)\) hoặc \(x \in ( 1;+\infty)\).

Ta có \(f(x)=x^2-x-6=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x=-2\) và \(x=3\).

Vì \(a=1>0\) nên

\(f(x)>0\), \(\forall x\in\(-\infty;-2)\cup (3;+\infty)\),

\(f(x)<0\), \(\forall x\in\(-2;3)\).

Vậy \(f(x) > 0\) trên \((-\infty;-3)\) nên \(f(x)\geq0\) trên \((-4;-3)\).

Đáp số \((-\infty;-4]\cup [1;+\infty)\).

Ta có \(2x^2-14x+20< 0\Leftrightarrow 2<x<5\).

Ta có \(-x^2+2x+3>0\Leftrightarrow -1<x<3\).

Ta có \(x^2-4x+4>0\Leftrightarrow x\in\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Ta có \(-x^2+x+12\geq 0\Leftrightarrow -3\leq x\leq 4\).

\(2x^2-3x-15 \leq 0\Leftrightarrow \dfrac{3-\sqrt{129}}{4}\leq x\leq \dfrac{3+\sqrt{129}}{4}.\)

Vậy có các nghiệm nguyên là \(-2;-1;0;1;2;3\).

Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

\begin{eqnarray*}(m^2-3m+2)(-5)<0 \Leftrightarrow m^2-3m+2>0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& m>2 \\& m<1.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Vậy \(m\in \left(-\infty;1 \right)\cup \left(2;+\infty\right)\) là các giá trị cần tìm.

Xét phương trình \((m-2)x^2+2(2m-3)x+5m-6=0\). (\(*\))

Trường hợp 1. Với \(m-2=0\) hay \(m=2\), khi đó

\((*) \Leftrightarrow 2x+4=0\Leftrightarrow x=-2.\)

Suy ra với \(m=2\) thì phương trình \((*)\) có nghiệm duy nhất \(x=-2\).

Do đó \(m=2\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp 2. Với \(m-2\neq 0\) hay \(m\neq 2\), khi đó để phương trình \((*)\) vô nghiệm khi

\begin{eqnarray*}\Delta'<0 &\Leftrightarrow & (2m-3)^2-(m-2)(5m-6)<0\\ &\Leftrightarrow & 4m^2-12m+9-(5m^2-16m+12)<0\\ &\Leftrightarrow & -m^2+4m-3<0\\ &\Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}& m>3 \\& m<1.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Kết hợp hai trường hợp, ta được \(m>3\) hoặc \(m<1\) là các giá trị cần tìm.

Phương trình đã cho có hai nghiệm không âm khi và chỉ khi

\begin{eqnarray*}&&\begin{cases}(3m-2)^2-4(2m^2-5m-2) \geq 0 \\ 3m-2 \geq 0 \\ 2m^2-5m-2 \geq 0\end{cases}\\ &\Leftrightarrow & \begin{cases}m^2+8m+12 \geq 0 \\ m\geq \displaystyle\frac{2}{3} \\ \left[\begin{aligned}&m \leq \displaystyle\frac{5-\sqrt{41}}{4} \\&m \geq \displaystyle\frac{5+\sqrt{41}}{4}\end{aligned}\right.\end{cases}\\ &\Leftrightarrow & \begin{cases}\left[\begin{aligned}&m\leq -6 \\&m\geq -2\end{aligned}\right. \\ m \geq \displaystyle\frac{5+\sqrt{41}}{4}\end{cases}\\ &\Leftrightarrow & m \geq \displaystyle\frac{5+\sqrt{41}}{4}.\end{eqnarray*}

Vậy \(m\in \left[\displaystyle\frac{5+\sqrt{41}}{4};+\infty \right)\) là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi

\begin{eqnarray*}&& \begin{cases} a=m-1\neq 0 \\ (3m-2)^2-4(m-1)(3-2m)>0\end{cases}\\ &\Leftrightarrow & \begin{cases}m\neq 1 \\ 17m^2-32m+16>0\end{cases}\\ &\Leftrightarrow & \begin{cases}m\neq 1 \\ 16(m-1)^2+m^2>0\end{cases}\\ &\Leftrightarrow & m \neq 1.\end{eqnarray*}

Do đó, với \(m \neq 1\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

\begin{eqnarray*}\begin{cases}m^2-4(m+3)>0 \\ m>0 \\ m+3>0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}m^2-4m-12>0 \\ m>0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\left[\begin{aligned}&m<-2 \\&m>6\end{aligned}\right. \\m>0\end{cases} \Leftrightarrow m>6.\end{eqnarray*}

Vậy \(m>6\) là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tam thức \(f(x)\) có \(a=-2<0\). Do đó

\begin{eqnarray*}&&f(x)<0,\forall x\\ &\Leftrightarrow& (m+2)^2+8(m-4)<0\\ &\Leftrightarrow& m^2+12m-28\leq 0\\ &\Leftrightarrow& -14<m<2.\end{eqnarray*}

Vậy \(-14<m<2\) là các giá trị cần tìm.

\(f(x)\) xác định với mọi \(x\in \mathbb{R}\) khi \(f(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\).

Trường hợp 1. Với \(m=-4\) ta được

\(f(x)=8x+9\geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\displaystyle\frac{9}{8}.\)

Vậy \(m=-4\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp 2. Với \(m\ne -4\), yêu cầu bài toán thỏa mãn khi

\begin{eqnarray*}&& \begin{cases}m+4>0 \\(m-4)^2-4(m+4)(1-2m)\leq 0}\\&\Leftrightarrow & \begin{cases}m>-4 \\m^2+20m \leq 0}\\&\Leftrightarrow & \begin{cases}m>-4 \\-\displaystyle\frac{20}{9} \leq m \leq 0}\\&\Leftrightarrow & -\displaystyle\frac{20}{9} \leq m \leq 0.\end{eqnarray*}

Vậy \(-\displaystyle\frac{20}{9} \leq m \leq 0\) là các giá trị cần tìm.

Đặt \(f(x)=-2x^2+2(m-2)x+m-2\) và \(\Delta'=(m-2)^2+2(m-2)=m^2-2m\).

\(\bullet\,\) Nếu \(\Delta'<0\) thì \(f(x)<0, \forall x\in\mathbb{R}\), suy ra bất phương trình đã cho vô nghiệm.

\(\bullet\,\) Nếu \(\Delta'=0\) hay \(m=0\), \(m=2\) thì bất phương trình đã cho có nghiệm \(x=\displaystyle\frac{m-2}{2}\).

\(\bullet\,\) Nếu \(\Delta'>0\) hay \(m<0\), \(m>2\) thì \(f(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1<x_2\). Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm \(x\in [x_1;x_2]\).

Do đó trường hợp này có \(m<0\) hoặc \(m>2\) thỏa mãn.

Kết hợp các trường hợp ta được \( m\in (-\infty;0]\cup [2;+\infty)\) là các giá trị thoả mãn yêu cầu bài toán.

Khi \(m^2-4=0\) ta được \(m=\pm 2\).

Trường hợp 1. Khi \(m=\pm 2\).

\(\bullet\,\) Với \(m=-2\) bất phương trình đã cho trở thành \(-4x+1<0\) có nghiệm \(x>\displaystyle\frac{1}{4}\). Vậy \(m=-2\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

\(\bullet\,\) Với \(m=2\) bất phương trình đã cho trở thành \(1<0\), vô nghiệm. Vậy \(m=2\) là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp 2. Khi \(m\neq \pm 2\), yêu cầu bài toán thỏa mãn khi

\begin{eqnarray*}&& \begin{cases}m^2-4>0 \\(m-2)^2-4(m^2-4)\leq 0\end{cases}\\&\Leftrightarrow & \begin{cases}m^2-4>0 \\-3m^2-4m+20 \leq 0\end{cases}\\&\Leftrightarrow & \begin{cases}\left[\begin{aligned}&m<-2 \\&m>2\end{aligned}\right. \\&\left[\begin{aligned}&m \leq -\displaystyle\frac{10}{3} \\&m\geq 2\end{aligned}\right.\end{cases}\\&\Leftrightarrow & \left[\begin{aligned}&m\leq -\displaystyle\frac{10}{3} \\&m>2.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Kết hợp hai trường hợp, ta được \(m\le -\displaystyle\frac{10}{3}\) hoặc \(m\ge 2\) là các giá trị cần tìm.

Bất phương trình \(f(x)=x^2-(m+2)x+m+2\leq 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi \(f(x)>0\) nghiệm đúng với mọi \(x\).

Tam thức \(f(x)=x^2-(m+2)x+m+2\) có hệ số \(a=1>0\). Do đó

\begin{eqnarray*}&&f(x)>0, \forall x\\ &\Leftrightarrow& (m+2)^2-4(m+2)<0\\ &\Leftrightarrow& m^2-4<0\\ &\Leftrightarrow& -2<m<2.\end{eqnarray*}

Vậy \(m\in (-2;2)\) là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tập nghiệm của \(x^2-9<0\) là \(S_1=(-3;3)\).

Tập nghiệm của \((x-1)(3x^2+7x+4)\ge 0\) là \(S_2=\left[-\displaystyle\frac{4}{3};-1 \right]\cup \left[1;+\infty \right)\).

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là \(S=S_1\cap S_2=\left[-\displaystyle\frac{4}{3};-1 \right]\cup \left[ 1;3 \right)\).

Tập nghiệm của \(-2x^2-5x+4<0\) là \(S_1=\left(-\infty ;\displaystyle\frac{-5-\sqrt{57}}{4}\right)\cup \left(\displaystyle\frac{-5+\sqrt{57}}{4};+\infty \right)\).

Tập nghiệm của \(-x^2-3x+10>0\) là \(S_2=(-5;2)\).

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là \(S=S_1\cap S_2=\left(-5;\displaystyle\frac{-5-\sqrt{57}}{4} \right)\cup \left( \displaystyle\frac{-5+\sqrt{57}}{4};2 \right)\).

Do đó các giá trị nguyên của \(x\) thuộc tập \(S\) là \(\{-4;1\}\).

Tập nghiệm của \(x^2+4x+3\ge 0\) là \(S_1=(-\infty;-3]\cup [-1;+\infty)\).

Tập nghiệm của \(2x^2-x-10\le 0\) là \(S_2=\left[-2;\displaystyle\frac{5}{2} \right]\).

Tập nghiệm của \(2x^2-5x+3>0\) là \(S_3=(-\infty ;1)\cup \left(\displaystyle\frac{3}{2};+\infty \right)\).

Vậy tập nghiệm của hệ là \(S=S_1\cap S_2\cap S_3=[-1;1)\cup \left(\displaystyle\frac{3}{2};\displaystyle\frac{5}{2}\right]\).

Suy ra nghiệm nguyên là \(\{-1;0;2\}\).

Tập nghiệm của \(3x^2-4x+1>0\) là \(S_1=\left(-\infty;\displaystyle\frac{1}{3}\right) \cup (1;+\infty)\).

Tập nghiệm của \(3x^2-5x+2\le 0\) là \(S_2=\left[\displaystyle\frac{2}{3};1\right]\)

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là \(S=S_1\cap S_2=\varnothing \).

Tập nghiệm của \(x^2-7x+6<0\) là \(S_1=(1;6)\).

Tập nghiệm của \(|2x-1|<3\) là \(S_2=(-1;2)\).

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là \(S=S_1 \cap S_2= (1;2)\).

Thay \(x=2\) vào \(4\) phương trình ta có

\(\bullet\,\) \(\sqrt {2^2-2-4}=\sqrt {2-4}\Leftrightarrow \sqrt {-2}=\sqrt {-2}\) (vô lí).

\(\bullet\,\) \(2-1=\sqrt {2-3}\Leftrightarrow 1=\sqrt {-1}\) (vô lí).

\(\bullet\,\) \(2+2=\sqrt {2^2-2\cdot2+16}\Leftrightarrow 4=4\) (đúng).

\(\bullet\,\) \(2+2=\sqrt {2^2+8\cdot2+4}\Leftrightarrow 4=\sqrt {24}\) (vô lí).

Vậy \({x=2}\) là nghiệm của phương trình \(x+2=\sqrt {x^2-2x+16}\).

Thay \(x=-5\) vào phương trình đã cho ta thấy \(x=-5\) là nghiệm.

\(\sqrt{2x^2-2x-2}=\sqrt{x^2+x-2}\) \(\Rightarrow 2x^2-2x-2=x^2+x-2\) \(\Leftrightarrow x^2-3x=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=0\\&x=3.\end{aligned}\right.\)

Thay \(x=3\) vào phương trình ban đầu thấy thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm.

Bình phương hai vế ta được

\(\Rightarrow x^2+10 x-5=4 x^2-8 x+4\) \(\Leftrightarrow-3 x^2+18 x-9=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=3+\sqrt{6}\\&x=3-\sqrt{6}.\end{aligned}\right.\)

Thế hai giá trị của \(x\) vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ có \(x=3+\sqrt{6}\) thỏa mãn. Suy ra \(a=3,~b=6\). Vậy \(a+b=9\).

Biến đổi phương trình ta được

\begin{eqnarray*}&&\sqrt{2x^2+5x+3}=-3-x\\&\Leftrightarrow&\begin{cases}-x-3\ge0\\ 2x^2+5x+3=(-3-x)^2\end{cases}\\&\Leftrightarrow&\begin{cases}x\le-3\\x^2-x-6=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x\le-3\\x=3\vee x=-2.\end{cases}\quad(\text{vô lý})\end{eqnarray*}

Vậy phương trình đề bài vô nghiệm.

Phương trình đã cho được viết lại \(\sqrt{(x-1)(2x-1)}=2x+1\).

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được

\begin{eqnarray*}(x-1)(2x-1)=(2x+1)^2\Rightarrow 2x^2-3x+1=4x^2+4x+1\Rightarrow -2x^2-7x=0\Rightarrow x=0 \ \text{hoặc} \ x=-\displaystyle\frac{7}{2}.\end{eqnarray*}

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy \(x=0\) thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x=0\).