\(\S3.\) CẤP SỐ NHÂN

1. Cấp số nhân

+ Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số \(q\) không đổi, nghĩa là

\[u_{n+1}=u_n \cdot q\,\, \text{với} \,\,n \in \mathbb{N}^*.\]

+ Số \(q\) được gọi là công bội của cấp số nhân.

+ Dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số nhân thì \(u_n^2=u_{n-1} \cdot u_{n+1}\) với \(n\geq2\).

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Nếu một cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) có số hạng đầu \(u_1\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát \(u_n\) của nó được xác định bởi công thức

\[u_n=u_1 \cdot q^{n-1},\, n \geq 2.\]

3. Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Giả sử \(\left(u_n\right)\) là một cấp số nhân có công bội \(q \neq 1\). Đặt \(S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n\), khi đó

\(S_n=\dfrac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}.\)

Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn

Dạng 1. Xác định cấp số nhân

Dạng 2. Tìm số hạng, công bội của cấp số nhân

Dạng 3. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân

Dạng 4. Tìm số hạng đầu và cộng bội (đưa về hệ phương trình)

Dạng 5. Tìm số hạng của cấp số nhân dựa vào tính chất

Dạng 6. Tính tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số nhân

Dạng 7. Ứng dụng

Dạng 1. Xác định cấp số nhân

Câu 1:

Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân

Đáp án: \(-1,\ 3,\ -9,\ 27,\ -81\)

Lời giải:

Dãy số \(-1,\ 3,\ 9,\ 27,\ -81\) là một cấp số nhân.

Câu 2:

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

Đáp án: \(128\); \(-64\); \(32\); \(-16\); \(8\)

Lời giải:

Ta thấy \(\displaystyle\frac{128}{-64}=\displaystyle\frac{-64}{32}=\displaystyle\frac{32}{-16}=\displaystyle\frac{-16}{8}=-2\) nên dãy số \(128\); \(-64\); \(32\); \(-16\); \(8\) là một cấp số nhân với công bội bằng \(-2\).

Dạng 2. Tìm số hạng, công bội của cấp số nhân

Câu 1:

Công bội của cấp số nhân \(-2,\ 6,\ -18,\ 54,\ -162\) bằng

Đáp án: \(-3\)

Lời giải:

Ta có \(u_n=-3 \cdot u_{n-1}\Rightarrow q=-3\).

Vậy công bội của cấp số nhân đã cho là \(-3\).

Câu 2:

Cho cấp số nhân \(\left(u_n \right)\), biết \(u_1=200\) và \(u_2=-800\). Công bội của cấp số nhân đã cho là

Đáp án: \(q=-4\)

Lời giải:

Ta có \(q=\displaystyle\frac{u_2}{u_1}=-4\).

Dạng 3. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân

Câu 1:

Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_1=1\), \(q=2\). Hỏi số \(256\) là số hạng thứ mấy?

Đáp án: \(9\)

Lời giải:

Giả sử \(u_n=256\). Khi đó

\(u_1q^{n-1}=256\) \(\Leftrightarrow 1\cdot 2^{n-1}=2^8\) \(\Leftrightarrow n-1=8\) \(\Leftrightarrow n=9.\)

Vậy \(256\) là số hạng thứ \(9\).

Câu 2:

Cho cấp số nhân \(\left( u_n\right) \) có số hạng đầu \(u_1=-3\) và công bội \(q=\displaystyle\frac{2}{3}\). Số hạng thứ \(5\) của cấp số nhân là

Đáp án: \(-\displaystyle\frac{16}{27}\)

Lời giải:

Số hạng thứ \(5\) của cấp số nhân đã cho là

\(u_5=q^4u_1=\left( \displaystyle\frac{2}{3}\right)^4\cdot (-3)=-\displaystyle\frac{16}{27}. \)

Dạng 4. Tìm số hạng đầu và cộng bội (đưa về hệ phương trình)

Câu 1:

Cho cấp số nhân \((u_n)\), biết \(u_1=1\), \(u_4=64\). Tính công bội \(q\) của cấp số nhân.

Đáp án: \(q=4\)

Lời giải:

Ta có \(u_4=u_1\cdot q^{3}\) \(\Leftrightarrow 64=q^3\) \(\Leftrightarrow q=4.\)

Câu 2:

Cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) với \(u_1=-\displaystyle\frac{1}{2},\ u_7=-32\). Tìm q?

Đáp án: \(q=\pm 2\)

Lời giải:

Vì \(\left(u_n\right)\) là một cấp số nhân nên ta có

\(u_7=u_1\cdot q^6\Rightarrow q^6=\displaystyle\frac{u_7}{u_1}\) \(=\displaystyle\frac{-32}{-\displaystyle\frac{1}{2}}=64\)

\(\Rightarrow q=\pm 2\).

Dạng 5. Tìm số hạng của cấp số nhân dựa vào tính chất

Câu 1:

Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là \(x-6;x\) và \(y\). Tìm \(y\), biết rằng công bội của cấp số nhân là \(6\)

Đáp án: \(y=\displaystyle\frac{1296}{5}\)

Lời giải:

Cấp số nhân \(x-6;x\) và \(y\) có công bội \(q=6\) nên ta có

\(\begin{cases} u_1=x-6,\,\,q=6 \\ x={{u}_{2}}=u_1q=6(x-6 ) \\ y={{u}_{3}}={{u}_{2}}{{q}^2}=36x\end{cases}\)

\(\Rightarrow \begin{cases} x=\displaystyle\frac{36}{5} \\ y=36\cdot \displaystyle\frac{36}{5}=\displaystyle\frac{1296}{5}.\end{cases}\)

Câu 2:

Tìm \(x\) để các số \(2;\,8;\,x;\,128\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Đáp án: \(x=32\)

Lời giải:

Cấp số nhân \(2;\,8;\,x;\,128\) theo thứ tự đó sẽ là \(u_1;\,\,{{u}_{2}};\,\,{{u}_{3}};\,\,u_4\), ta có

\(\begin{cases}\displaystyle\frac{{{u}_{2}}}{u_1}=\displaystyle\frac{{{u}_{3}}}{{{u}_{2}}} \\

\displaystyle\frac{{{u}_{3}}}{{{u}_{2}}}=\displaystyle\frac{u_4}{{{u}_{3}}}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} \displaystyle\frac{8}{2}=\displaystyle\frac{x}{8} \\ \displaystyle\frac{128}{x}=\displaystyle\frac{x}{8}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} x=32 \\ x^2=1024\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} x=32 \\ x=32\ \vee\ x=-32\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=32\).

Dạng 6. Tính tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số nhân

Câu 1:

Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_1=3\), \(q=-2\). Tìm tổng của \(10\) số hạng đầu.

Đáp án: \(-1023\)

Lời giải:

Tổng của \(10\) số hạng đầu tiên là

\(S_{10}=u_1\cdot\displaystyle\frac{q^{10}-1}{q-1}=3\cdot\displaystyle\frac{(-2)^{10}-1}{-2-1}=-1023.\)

Câu 2:

Cho dãy số \((u_n)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1=1\), công bội \(q=2\). Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân là

Đáp án: 7}

Lời giải:

Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân có \(u_1=1\) và \(q=2\) là

\(S_3=\displaystyle\frac{u_1\left(1-q^3\right)}{1-q}=\displaystyle\frac{1 \cdot\left(1-2^3\right)}{1-2}=7\).

Dạng 7. Ứng dụng

Câu 1:

Một hãng taxi X áp dụng mức giá đối với khách hàng theo hình thức bậc thang như sau: mỗi bậc áp dụng cho 10 km. Bậc 1 (áp dụng cho 10 km đầu) có giá 10.000 đồng \(/\) 1 km, giá mỗi km ở các bậc tiếp theo giảm 5\% so với giá của bậc trước đó. Bạn Toàn thuê hãng taxi X đó để đi hết quãng đường 42 km. Tính số tiền mà bạn Toàn phải trả (kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

Đáp án: 387000

Lời giải:

Gọi \(T_1\) là giá của mỗi km ở bậc 1.

\hspace*{1.5em} \(T_2\) là giá của mỗi km ở bậc 2.

\hspace*{1.5em} \(T_3\) là giá của mỗi km ở bậc 3.

\hspace*{1.5em} \(T_4\) là giá của mỗi km ở bậc 4.

\hspace*{1.5em} \(T_5\) là giá của mỗi km ở bậc 5.

Ta thấy, dãy \(T_n (1 \le n \le 5)\) là một cấp số nhân, với số hạng đầu \(T_1=10000\) và công bội \(q=\displaystyle\frac{95}{100}\).

Số tiền mà bạn Toàn phải trả trong 40 km đầu là

\(10(T_1+T_2+T_3+T_4)=10.\displaystyle\frac{T_1(1-q^4)}{1-q}\approx 371000\) đồng.

Số tiền mà bạn Toàn phải trả trong 2 km cuối là

\(2.T_5=2.T_1.q^4 \approx 16000\) đồng.

Vậy, tổng số tiền bạn Toàn phải trả là: \(371000+16000=387000\) đồng.

Câu 2:

Tính \(S=1+11+111+\ldots\ldots+\underbrace{111\ldots11}_n\)

Đáp án: \(S=\displaystyle\frac{10}{81}\left(10^n-1\right)-\displaystyle\frac{n}{9}\)

Lời giải:

Ta có

\(S=1+11+111+\cdot \cdot \cdot +\underbrace{111\ldots11}_n\)

\(\Leftrightarrow 9S=9+99+999+\cdot \cdot \cdot +\underbrace{999\ldots99}_n\)

\(=\left(10-1\right)+\left(10^2-1\right)+\left(10^3-1\right)+\cdot \cdot \cdot +\left(10^n-1\right)\)

\(=\left(10+10^2+10^3+\cdot \cdot \cdot +10^n\right)-\left(\underbrace{1+1+\cdot \cdot \cdot +1}_n\right)\)

\(\Rightarrow 9S=\displaystyle\frac{10\left(10^n-1\right)}{10-1}-n=\displaystyle\frac{10}{9}\left(10^n-1\right)-n\)

\(\Rightarrow S=\displaystyle\frac{10}{81}\left(10^n-1\right)-\displaystyle\frac{n}{9}.\)

Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai

Dạng 1.

Dạng 2. Tìm số hạng, công bội của cấp số nhân

Dạng 3. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân

Dạng 4. Tìm số hạng đầu và cộng bội (đưa về hệ phương trình)

Dạng 1.

Dạng 2. Tìm số hạng, công bội của cấp số nhân

Dạng 3. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân

Dạng 4. Tìm số hạng đầu và cộng bội (đưa về hệ phương trình)

Phần 3. Tự luận

Cơ bản

Nâng cao

Ứng dụng thực tế

Cơ bản

Câu 1:

Trong các dãy số hữu hạn sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?

a) \(125\); \(25\); \(5\); \(1\); \(\displaystyle\frac{1}{5}\).

b) \(2\); \(-6\); \(18\); \(54\).

Xét các thương của các số hạng (kể từ số hạng thứ hai trở đi) với số hạng ngay trước đó, ta thấy

a) \(\displaystyle\frac{25}{125}=\displaystyle\frac{5}{25}=\displaystyle\frac{1}{5}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{5}}{1}=\displaystyle\frac{1}{5}\).

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân.

b) \(\displaystyle\frac{-6}{2}=-3\), \(\displaystyle\frac{18}{-6}=-3\), \(\displaystyle\frac{54}{18}=3 \neq-3\).

Vậy dãy số đã cho không là cấp số nhân.

}

Câu 2:

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Tìm số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân đó.

a) \(1; 11; 121; 12321; 1234321\).

b) \(1; -1; 1; -1; 1\).

c) \(4; 8; 12; 16\).

a) Dãy số \(1; 11; 121; 12321; 1234321\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1=1\) và công bội \(q=11\).

b) Dãy số \(1; -1; 1; -1; 1\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1=1\) và công bội \(q=-1\).

c) Dãy số \(4; 8; 12; 16\) có \(\displaystyle\frac{u_2}{u_1}\neq\displaystyle\frac{u_3}{u_2}\) nên không là cấp số nhân.

}

Câu 3:

Tìm số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân sau

a) \(3; 6; 12; 24; 48; \ldots\);

b) \(1; -\displaystyle\frac{1}{2}; \displaystyle\frac{1}{4}; -\displaystyle\frac{1}{8}; \displaystyle\frac{1}{16}; \ldots\);

c) \(9; 9; 9; 9; 9; \ldots\).

a) Dãy số \(3; 6; 12; 24; 48; \ldots\) là cấp số nhân với \(u_1=3\) và công bội \(q=2\).

b) Dãy số \(1; -\displaystyle\frac{1}{2}; \displaystyle\frac{1}{4}; -\displaystyle\frac{1}{8}; \displaystyle\frac{1}{16}; \ldots\); là cấp số nhân với \(u_1=1\) và công bội \(q=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

c) Dãy số \(9; 9; 9; 9; 9; \ldots\) là cấp số nhân với \(u_1=9\) và công bội \(q=1\).

}

Câu 4:

Tìm số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân sau:

a) \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\); \(\ldots\);

b) \(1\); \(-\displaystyle\frac{1}{2}\); \(\displaystyle\frac{1}{4}\); \(-\displaystyle\frac{1}{8}\); \(\displaystyle\frac{1}{16}\); \(\ldots ;\)

c) \(9\); \(9\); \(9\); \(9\); \(9\); \(\ldots\)

a) Dãy số: \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\); \(\ldots\) là cấp số nhân với \(u_1=3\) và công bội \(q=2\).

b) Dãy số: \(1\); \(-\displaystyle\frac{1}{2}\); \(\displaystyle\frac{1}{4}\); \(-\displaystyle\frac{1}{8}\); \(\displaystyle\frac{1}{16}\); \(\ldots\) là cấp số nhân với \(u_1=1\) và công bội \(q=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

c) Dãy số: \(9\); \(9\); \(9\); \(9\); \(9\); \(\ldots\) là cấp số nhân với \(u_1=9\) và công bội \(q=1\).

}

Câu 5:

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.

a) \(1 ; 11 ; 121 ; 12321 ; 1234321\);

b) \(1 ;-1 ; 1 ;-1 ; 1;\)

c) \(4 ; 8 ; 12 ; 16\).

a) Dãy số: \(1 ; 11 ; 121 ; 12321 ; 1234321\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1=1\) và công bội \(q=11\).

b) Dãy số: \(1 ;-1 ; 1 ;-1 ; 1\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1=1\) và công bội \(q=-1\).

c) Dãy số: \(4 ; 8 ; 12 ; 16\) có \(\displaystyle\frac{u_2}{u_1} \neq \displaystyle\frac{u_3}{u_2}\) nên không là cấp số nhân.

}

Câu 6:

Cho cấp số nhân: \(1 ; 10 ; 100 ; 1000 ; 10000\). Biểu diễn số hạng \(10\) và \(100\) theo hai số hạng kề nó.

Ta có \( 10^2=1\cdot 100 ;\,\, 100^2=10\cdot 1000\).

}

Câu 7:

Viết công thức số hạng tổng quát \(u_n\) theo số hạng đầu \(u_1\) và công bội \(q\) của các cấp số nhân sau:

a) \(5 ; 10 ; 20 ; 40 ; 80 ; \ldots\);

b) \(1 ; \displaystyle\frac{1}{10} ; \displaystyle\frac{1}{100} ; \displaystyle\frac{1}{1000} ; \displaystyle\frac{1}{10000} ; \ldots\)

a) Ta có \(u_1=5 ; q= 2\) suy ra \(u_n = 5\cdot2^{n-1}\);

b) Ta có \(u_1=1 ; q= \displaystyle\frac{1}{10}\) suy ra \(u_n = 10\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{10}\right)^{n-1}\).

}

Câu 8:

Cho cấp số nhân \(1; 10; 100; 1000; 10000\). Biểu diễn số hạng \(10\) và \(100\) theo hai số hạng kề nó.

Ta có \(10^2=1\cdot 100\); \(100^2=10\cdot 1000\).

}

Câu 9:

Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=3 \cdot 2^n\ (n \geq 1)\). Dãy \(\left(u_n\right)\) có là cấp số nhân không? Vì sao?

Với \(n\geq 1\), ta có \(u_{n+1}:u_n=\left(3 \cdot 2^{n+1}\right):\left(3 \cdot 2^n\right)=2\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là một cấp số nhân.

}

Câu 10:

Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số \(\left(u_{n}\right)\) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội \(q\) và viết công thức số hạng tổng quát của nó dưới dạng \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}\).

a) \(u_{n}=5 n\);

b) \(u_{n}=5^{n}\);

c) \(u_{1}=1\), \(u_{n}=n u_{n-1}\);

d) \(u_{1}=1\), \(u_{n}=5 u_{n-1}\).

a) Ta có \(u_1=5\), \(u_2=10\), \(u_3=15\), \(u_4=20\), \(u_5=25\).

Đây không là một cấp số nhân.

b) Ta có \(u_1=5\), \(u_2=25\), \(u_3=125\), \(u_4=625\), \(u_5=3125\).

Đây là cấp số nhân có \(q=5\), số hạng tổng quát \(u_n=u_1\cdot q^{n-1}=5\cdot 5^{n-1}\), với \(n\ge 2\).

c) Ta có \(u_1=1\), \(u_2=2\), \(u_3=6\), \(u_4=12\), \(u_5=60\).

Đây không là một cấp số nhân.

d) Ta có \(u_1=1\), \(u_2=5\), \(u_3=25\), \(u_4=125\), \(u_5=625\).

Đây là cấp số nhân có \(q=5\), số hạng tổng quát \(u_n=u_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 5^{n-1}=5^{n-1}\), với \(n\ge 2\).

}

Câu 11:

Xác định công bội, số hạng thứ \(5\), số hạng tổng quát và số hạng thứ \(100\) của mỗi cấp số nhân sau:

a) \(1\), \(4\), \(16\), \(\ldots\);

b) \(2\), \(-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(\displaystyle\frac{1}{8}\), \(\ldots\)

a) Ta có \(u_1=1\), \(u_2=4\), \(u_3=16\), \(u_4=16\cdot 4=64\), \(u_5=64\cdot 4=256\).

Ta có \(u_1=1\), \(q=4\).

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là \(u_n=u_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 4^{n-1}\), với \(n\ge 2\).

Số hạng thứ \(100\) là \(u_{100}=1\cdot 4^{100-1} =4^{99}\).

b) Ta có \(u_1=2\), \(u_2=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(u_3=\displaystyle\frac{1}{8}\), \(u_4=\displaystyle\frac{1}{8}\cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{4} \right) =-\displaystyle\frac{1}{32}\), \(u_5=-\displaystyle\frac{1}{32}\cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{4} \right)=\displaystyle\frac{1}{128}\).

Ta có \(u_1=2\), \(q=-\displaystyle\frac{1}{4}\).

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là \(u_n=u_1\cdot q^{n-1}=2\cdot\left( -\displaystyle\frac{1}{4} \right) ^{n-1}\), với \(n\ge 2\).

Số hạng thứ \(100\) là \(u_{100}=2\cdot \left( -\displaystyle\frac{1}{4} \right) ^{100-1} =-\left(\displaystyle\frac{1}{2} \right) ^{197}\).

}

Câu 12:

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

a) \(u_n=3(-2)^n\);

b) \(u_n=(-1)^{n+1} \cdot 7^n\);

c) \(\left\{\begin{aligned}&u_1=1 \\& u_{n+1}=2 u_n+3.\end{aligned}\right.\)

a) \(u_1=3(-2)^1=-6\); \(u_2=3(-2)^2=12\); \(u_3=3(-2)^3=-24\).\\ Dãy này là cấp số nhân với công bội \(q=-2\).

b) Ta có \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}=\displaystyle\frac{(-1)^{n+2} \cdot 7^{n+1}}{(-1)^{n+1} \cdot 7^n}=-7\). Dãy này là cấp số nhân với công bội \(q=-7\).

c) Xét dãy \(\left\{\begin{aligned}&u_n=1 \\& u_{n+1}=2 u_n+3. \end{aligned}\right.\)

Ta có \(u_1 = 1\), \(u_2 = 5\), \(u_3 = 13\cdot \displaystyle\frac{u_3}{u_2} \neq \displaystyle\frac{u_2}{u_1} \) nên dãy này không là cấp số nhân.

}

Câu 13:

Cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) với số hạng đầu \(u_1=4\), công bội \(q=-\displaystyle\frac{1}{2}\). Tính \(u_7\).

Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân, ta có

\(u_7=u_1 \cdot q^{7-1}=4 \cdot\left(\displaystyle\frac{-1}{2}\right)^6=\displaystyle\frac{1}{16}. \)

}

Câu 14:

Cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) với \(u_1=-2\), công bội \(q=\displaystyle\frac{-1}{2}\). Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân đó.

Năm số hạng đầu của cấp số nhân là

\begin{eqnarray*}u_1&=&-2;\\u_2&=&u_1 \cdot q=-2 \cdot \displaystyle\frac{-1}{2}=1;\\ u_3&=&u_2 \cdot q=1 \cdot \displaystyle\frac{-1}{2}=\displaystyle\frac{-1}{2}; \\u_4&=&u_3 \cdot q=\displaystyle\frac{-1}{2} \cdot \displaystyle\frac{-1}{2}=\displaystyle\frac{1}{4};\\u_5&=&u_4 \cdot q=\displaystyle\frac{1}{4} \cdot \displaystyle\frac{-1}{2}=\displaystyle\frac{-1}{8}.\end{eqnarray*}

}

Câu 15:

Cho cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) với \(u_1=-6\), \(u_2=-2\).

a) Tìm công bội \(q\).

b) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân đó.

a) Công bội \(q\) của cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) là

\(d=u_2:u_1=(-2):(-6)=\displaystyle\frac{1}{3}. \)

b) Năm số hạng đầu của cấp số nhân là

\begin{eqnarray*}u_1&=&-6;\\u_2&=&-2;\\ u_3&=&u_2 \cdot q=(-2) \cdot \displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{-2}{3}; \\u_4&=&u_3 \cdot q=\displaystyle\frac{-2}{3} \cdot \displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{-2}{9};\\u_5&=&u_4 \cdot q=\displaystyle\frac{-2}{9} \cdot \displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{-2}{27}.\end{eqnarray*}

}

Câu 16:

Cho cấp số nhân có \(8\) số hạng, số hạng đầu là \(4374\), số hạng cuối là \(2\). Tìm công bội của cấp số nhân đó.

Ta có \(u_1=4374\) và \(u_8=2\). Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân này, ta có:

\(u_8=u_1 \cdot q^7 \text {, suy ra } q^7=\displaystyle\frac{u_8}{u_1}=\displaystyle\frac{2}{4374}=\displaystyle\frac{1}{2187}=\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^7\), do đó \(q=\displaystyle\frac{1}{3}.\)

}

Câu 17:

Một cấp số nhân có số hạng thứ \(6\) bằng \(96\) và số hạng thứ \(3\) bằng \(12\). Tìm số hạng thứ \(50\) của cấp số nhân này.

Số hạng tổng quát của cấp nhân là \(u_n=u_1\cdot q^{n-1}\), với \(n\ge 2\).

Theo bài toán, ta có

\(\begin{cases}u_6=u_1\cdot q^5=96\\u_3=u_1\cdot q^2=12\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}q^3=8\\u_1\cdot q^2=12\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}q=2\\u_1\cdot 2^2=12\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}q=2\\u_1=3.\end{cases}\)

Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân là \(u_n=3\cdot 2^{n-1}\), với \(n\ge 2\).

Số hạng thứ \(50\) là \(u_{50}=3\cdot 2^{49}\).

}

Câu 18:

Tìm số hạng đầu \(u_1\) và cộng bội \(q\) của cấp số nhân \((u_n)\) biết:

a) \(\begin{cases}u_5=96\\u_6=192;\end{cases}\)

b) \(\begin{cases}u_4+u_2=72\\u_5-u_3=144.\end{cases}\)

a) Ta có \(\begin{cases}u_5=96\\u_6=192\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}q=\displaystyle\frac{u_6}{u_5}=2\\192=u_1q^5\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}q=2\\u_1=\displaystyle\frac{192}{32}=6.\end{cases}\)

b) Theo bài ra, ta có

\(\begin{cases}u_4-u_2=72\\ u_5-u_3=144\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u_1\cdot q^3-u_1\cdot q=72\\ u_1\cdot q^4-u_1\cdot q^2=144\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u_1q(q^2-1)=72\\ u_1q^2(q^2-1)=144\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}q=\displaystyle\frac{144}{72}=2\\ u_1=12.\end{cases}\)

}

Câu 19:

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left(u_n\right)\), biết:

a) \(\left\{\begin{aligned}&u_5-u_1=15 \\& u_4-u_2=6;\end{aligned}\right.\)

b) \(\left\{\begin{aligned}&u_1-u_3+u_5=65 \\& u_1+u_7=325 .\end{aligned}\right.\)

a) Ta có \(\left\{\begin{aligned}&u_5-u_1=15 \\& u_4-u_2=6\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&u_1q^4-u_1=15 \\& u_1 q^3-u_1 q^1=6\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&u_1(q^4-1)=15&&(1)\\& u_1 (q^3-q^1)=6&&(2)\end{aligned}\right.\)

Lấy (1) chia (2) ta được \(\displaystyle\frac{q^4 - 1}{q^3-q}=\displaystyle\frac{15}{6}=\displaystyle\frac{5}{2} \Rightarrow \left[\begin{aligned}&q=1&&\text{(loại)}\\ &q=-1&&\text{(loại)}\\ &q=2; \; u_1 = 1\\&q=\displaystyle\frac{5}{2};\; u_1 = \displaystyle\frac{80}{203}.\end{aligned}\right.\)

b) \(\left\{\begin{aligned}&u_1-u_3+u_5=65 \\& u_1+u_7=325 .\end{aligned}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}&u_1\left(1-q^2+q^4\right)=65 &&(3)\\& u_1\left(1+q^6\right)=325 &&(4) \end{aligned}\right. \)

Lấy (3) chia (4) ta được \(\displaystyle\frac{1-q^2+q^4}{1+q^6}=\displaystyle\frac{65}{325}\Leftrightarrow q^2 =4 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&q=2; \, u_1=5\\&q=-2 ; \, u_1=5.\end{aligned}\right.\)

}

Câu 20:

Ba số \(\displaystyle\frac{2}{b-a}\), \(\displaystyle\frac{1}{b}\), \(\displaystyle\frac{2}{b-c}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số \(a\), \(b\), \(c\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Ta có ba số \(\displaystyle\frac{2}{b-a}\), \(\displaystyle\frac{1}{b}\), \(\displaystyle\frac{2}{b-c}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Suy ra

\(\begin{aligned}\displaystyle\frac{2}{b-a}+\displaystyle\frac{2}{b-c}=\displaystyle\frac{2}{b}&\Leftrightarrow\displaystyle\frac{1}{b-a}+\displaystyle\frac{1}{b-c}=\displaystyle\frac{1}{b}\\&\Leftrightarrow\displaystyle\frac{b-c+b-a}{(b-a)(b-c)}=\displaystyle\frac{1}{b}\\ &\Leftrightarrow 2b^2-ab-cb=b^2-bc-ab+ac\Leftrightarrow b^2=ac.\end{aligned}\)

Vậy ba số \(a\), \(b\), \(c\) theo thứ tự lập thành cấp số

nhân.

}

Câu 21:

Tính tổng: \(S=1+\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{4}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{2^9}\).

Vì \(S\) là tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1=1\) và công bội \(q=\displaystyle\frac{1}{2}\) nên

\(S=\displaystyle\frac{1 \cdot\left[1-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{10}\right]}{1-\displaystyle\frac{1}{2}}=\displaystyle\frac{1023}{512}.\)

}

Câu 22:

Tính tổng \(n\) số hạng đầu của mỗi cấp số nhân sau:

a) \(3\); \(-6\); \(12\); \(-24\); \(\ldots\) với \(n=12\).

b) \(\displaystyle\frac{1}{10}\). \(\displaystyle\frac{1}{100}\); \(\displaystyle\frac{1}{1000}\); \(\ldots\) với \(n=5\).

a) Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu \(u_1=3\) và công bội \(q=\displaystyle\frac{u_2}{u_1}=\displaystyle\frac{-6}{3}=-2\).

Do đó tổng \(12\) số hạng đầu của dãy là

\(S_{12}=\displaystyle\frac{u_1\cdot \left(1-q^{12}\right)}{1-q}=\displaystyle\frac{3\cdot\left[1-(-2)^{12}\right]}{1-(-2)}=-4095. \)

b) Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu \(u_1=\displaystyle\frac{1}{10}\) và công bội \(q=\displaystyle\frac{1}{10}=\displaystyle\frac{-6}{3}=-2\).

Do đó tổng \(5\) số hạng đầu của dãy là

\(S_{5}=\displaystyle\frac{u_1\cdot \left(1-q^{5}\right)}{1-q}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{10}\cdot\left[1-\left(\displaystyle\frac{1}{10}\right)^{5}\right]}{1-\displaystyle\frac{1}{10}}=1{,}1111. \)

}

Câu 23:

Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng \(5\) và công bội bằng \(2\). Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng \(5115\)?

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là \(u_n=5\cdot 2^{n-1}\), với \(n\ge 2\).

Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân là \(S_n=u_1\displaystyle\frac{q^n-1}{q-1}=5\cdot\displaystyle\frac{2^n-1}{2-1}=5\cdot\left( 2^n-1\right) \).

Theo bài toán, ta có \(S_n=5\cdot\left( 2^n-1\right)=5115\Leftrightarrow 2^n=1024\Leftrightarrow n=10\).

Vậy phải lấy tổng \(10\) số hạng đầu mới thỏa yêu cầu bài toán.

}

Câu 24:

Tính các tổng sau:

a) \(S_n=1+\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{1}{3^2}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{3^n}\);

b) \(S_n=9+99+999+\cdots+\underbrace{99 \ldots 9}_{n \text { chữ số } 9}\).

a)

\(S_n=1+\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{1}{3^2}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{3^n}=\displaystyle\frac{u_1(1-q^{n+1})}{1-q}=\displaystyle\frac{1\cdot\left(1-\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)}{1-\displaystyle\frac{1}{3}}=\displaystyle\frac{3}{2}\cdot\displaystyle\frac{3^{n+1}-1}{3^{n+1}}=\displaystyle\frac{3^{n+1}-1}{2 \cdot3^n}\).

b)

\(\begin{aligned}S_n&=9+99+999+\cdots+\underbrace{99 \ldots 9}_{n \text { chữ số } 9}\\&=(10-1)+(10^2-1)+(10^3-1)+\cdots+(10^n-1)=10+10^2+10^3+\cdots+10^n-n\\& =\displaystyle\frac{10\cdot(1-10^n)}{1-10}-n=\displaystyle\frac{10}{9}\cdot(10^n-1)-n\\&=\displaystyle\frac{10^{n+1}-9n-10}{9}.\end{aligned}\)

}

Câu 25:

Tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) trong các trường hợp sau:

a) \(u_1=10^5\), \(q=0{,}1\), \(n=5\);

b) \(u_1=10\), \( u_2=-20\), \(n=5\).

a) \(u_1=10^5\), \(q=0{,}1\), \(n=5\); \(S_5=\displaystyle\frac{u_1\left(1-q^5\right)}{1-q}=\displaystyle\frac{10^5\left(1-0\right)}{1-0}=10^5.\)

b) \(u_1=10\), \(u_2=-20\), \(n=5.\) Suy ra \(\displaystyle\frac{u_2}{u_1}=q=-2\).

\(S_5=\displaystyle\frac{u_1\left(1-q^5\right)}{1-q}=\displaystyle\frac{10\cdot\left(1-(-2)^5\right)}{1-(-2)}=110.\)

}

Câu 26:

Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) có số hạng đầu \(u_1=1\) và công bội \(q=2\).

Áp dụng công thức \(S_n=\displaystyle\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}\), ta có \(S_{10}=\displaystyle\frac{1 \cdot\left(1-2^{10}\right)}{1-2}=2^{10}-1=1023\).

}

Nâng cao

Ứng dụng thực tế

Câu 1:

Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày, nghĩa là sau 138 ngày, khối lượng của nguyên tố đó chi còn một nửa. Tính khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau:

a) 690 ngày;

b) 7314 ngày (khoảng 20 năm).

a) Ta có \(\displaystyle\frac{690}{138}=5\) suy ra khối lượng còn lại sau 690 ngày là \(\displaystyle\frac{20}{2^5}=0{,}625\) gam;

b) Ta có \(\displaystyle\frac{7314}{138}=53\) suy ra khối lượng còn lại sau 7314 ngày là \(\displaystyle\frac{20}{2^{53}}\) gam.

Câu 2:

Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau: Lần đầu chị gửi \(100\) triệu đồng. Sau đó, cứ hết \(1\) tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng \(6\) triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là \(0{,}5\%\) một tháng. Gọi \(P_n\) (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau \(n\) tháng.

a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau \(1\) tháng.

b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau \(3\) tháng.

c) Dự đoán công thức của \(P_n\) tính theo \(n\).

a) Số tiền lãi chị thu được sau tháng thứ \(1\) là \(100\,000\,000 \cdot 0{,}5\% = 500\,000\) đồng.

Do đó \(P_1 = 100\,000\,000 + 500\,000 + 6\,000\,000 = 106\,500\,000\) đồng.

b) Số tiền chị có trong ngân hàng sau tháng thứ \(2\) là

\(P_2 = P_1 + P_1\cdot 0{,}5\% + 6\,000\,000 = 113\,032\,500 \text{ (đồng).}\)

Số tiền chị có trong ngân hàng sau tháng thứ \(3\) là

\(P_3 = P_2 + P_2\cdot 0{,}5\% + 6 = 119\,597\,662 \text{ (đồng).}\)

c) Ta chọn đơn vị là triệu đồng và xét bài toán tổng quát: Số tiền ban đầu là \(T\) triệu đồng với lãi suất hàng tháng là \(r\) và mỗi tháng gửi thêm \(a\) triệu đồng thì số tiền trong tài khoản sau tháng thứ \(n\) là \(P_n\) triệu đồng.

Số tiền lãi sau tháng thứ \(n\) được tính là \(P_n \cdot r\) nên ta có

+) \(P_1 = T + T\cdot r + a = T(1+r) + a = T(1+r) + \displaystyle\frac{a(1+r)^1 - a}{r}\);

+) \(P_2 = P_1 + P_1\cdot r + a = T(1+r)^2 + (r+1)\cdot\displaystyle\frac{a(1+r)^1 - a}{r} + a = T(1+r)^2 + \displaystyle\frac{a(1+r)^2 - a}{r}\);

+) \(P_3 = P_2 + P_2\cdot r + a = T(1+r)^3 + (r+1)\cdot\displaystyle\frac{a(1+r)^2 - a}{r} + a = T(1+r)^3 + \displaystyle\frac{a(1+r)^3 - a}{r}\).

Cứ tiếp tục như vậy thì ta dự đoán công thức tổng quát của \(P_n\) là

\(P_n = T(1+r)^n + \displaystyle\frac{a(1+r)^n - a}{r}.\)

Thay số \(T = 100\), \(r = 0{,}5\% = 0{,}005\) và \(a =6\) ta thu được

\(P_n = 100\cdot 1{,}005^n + \displaystyle\frac{6\cdot 1{,}005^n - 6}{0{,}005}.\)

Câu 3:

Một cây đàn organ có tần số âm thanh các phím liên tiếp tạo thành một cấp số nhân. Cho biết tần số phím La trung là \(400\) Hz và tần số của phím La cao cao hơn \(12\) phím là \(800\) Hz.

Theo đề ta có

\(\begin{cases}u_1=400\\u_{13}=800\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u_1=400\\u_1q^{12}=800\end{cases}\Rightarrow q^{12} = 2 \Rightarrow q = \pm 1{,}414\).

Câu 4:

Gọi \(v_n\) là tổng diện tích của các hình tô màu ở hàng thứ \(n\) trong hình bên (mỗi ô vuông nhỏ là một đơn vị diện tích). Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số \((v_n)\).

Image

Ta thấy

+) Hàng \(1\) có \(1\) hình vuông cạnh \(1\) đơn vị nên \(v_1 = 1\times 1 = 1^3\).

+) Hàng \(2\) có \(2\) hình vuông cạnh \(2\) đơn vị nên \(v_2 = 2\times 2^2 = 2^3\).

+) Hàng \(3\) có \(3\) hình vuông cạnh \(3\) đơn vị nên \(v_3 = 3\times 3^2 = 3^3\).

+) Hàng \(4\) có \(4\) hình vuông cạnh \(4\) đơn vị nên \(v_4 = 4\times 4^2 = 4^3\).

Vậy ta dự đoán công thức tổng quát của dãy số \((v_n)\) là \(v_n = n^3\) với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\).

Câu 5:

Một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm, cứ mỗi phút số lượng lại tăng lên gấp đôi số lượng đang có. Từ một vi khuẩn ban đầu, hãy tính tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 phút.

Image

Số lượng vi khuẩn sau mỗi phút lập thành một cấp số nhân với \(u_1=1\); \(q=2\)

Suy ra tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau \(20\) phút là

\(u_{20}=u_1\cdot q^{19}=1 \cdot 2^{19}=524288\).

Câu 6:

Một hình vuông màu vàng có cạnh \(1\) đơn vị dài được chia thành chín hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh như hình. Mỗi hình vuông màu vàng nhỏ hơn lại được chia thành chín hình vuông con, và mỗi hình vuông con ở chính giữa lại được tô màu xanh. Nếu quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần, thì tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh là bao nhiêu?

#HinhBaitapSGK11/chuong2/11c2b3h3.png

Lần phân chia thứ nhất, \(1\) hình vuông thành \(9\) hình vuông con, diện tích hình vuông tô màu xanh là \(u_1=\displaystyle\frac{1}{9}\).

Lần phân chia thứ hai, \(8\) hình vuông thành \(9\) hình vuông con, diện tích hình vuông tô màu xanh tăng thêm là \(u_2=\displaystyle\frac{1}{9}\left(\displaystyle\frac{8}{9}\right)\).

Lần phân chia thứ ba, \(8^2\) hình vuông thành \(9\) hình vuông con, diện tích hình vuông tô màu xanh tăng thêm là \(u_3=\displaystyle\frac{1}{9}\left(\displaystyle\frac{8}{9}\right)^2\).

Lần phân chia thứ tư, \(8^3\) hình vuông thành \(9\) hình vuông con, diện tích hình vuông tô màu xanh tăng thêm là \(u_4=\displaystyle\frac{1}{9}\left(\displaystyle\frac{8}{9}\right)^3\).

Lần phân chia thứ năm, \(8^4\) hình vuông thành \(9\) hình vuông con, diện tích hình vuông tô màu xanh tăng thêm là \(u_5=\displaystyle\frac{1}{9}\left(\displaystyle\frac{8}{9}\right)^4\).

Như vậy diện tích các hình vuông tăng thêm sau mỗi lần chia tạo thành cấp số nhân có công bội là \(q=\displaystyle\frac{8}{9}\), số hạng đầu là \(u_1=\displaystyle\frac{1}{9}\).

Do đó, tổng diện tích hình vuông tô màu xanh sau \(5\) lần chia là

\(u_1+u_2+u_3+u_4+u_5=\displaystyle\frac{1-q^5}{1-q}\cdot u_1=\displaystyle\frac{1-\left(\displaystyle\frac{8}{9}\right)^5}{1-\displaystyle\frac{8}{9}}\cdot \displaystyle\frac{1}{9}=\displaystyle\frac{26281}{39366}.\)

Câu 7:

Tìm ba số, biết theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng \(21\), và nếu lần lượt cộng thêm các số \(2\); \(3\); \(9\) vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.

Giả sử cấp số cộng cần tìm là \(x,\,y, \, z\) . Theo tính chất của cấp số cộng ta có \(x+z=2y\).

Kết hợp giả thiết ta có \(x+y+z=21 \Rightarrow 3y=21 \Leftrightarrow y=7\).

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng \(x,\,y, \, z\) thì \(x=7-d\), \(z=7+d\).

Sau khi cộng thêm các số \(2\), \(3\), \(9\) vào ba số \(x\), \(y\), \(z\) ta được ba số \( x + 2\), \(y + 3\), \(z + 9\) hay \(9 - d\), \(10\), \(16 - d\).

Theo tính chất của cấp số nhân ta có

\((9-d)(16+d)=100 \Leftrightarrow 144-7d-d^2=100 \Leftrightarrow d^2+7d-44=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& d=4 \\&d=-11.\end{aligned}\right.\)

Với \(d = 4\) ta được cấp số cộng \(3\), \(7\), \(11\).

Với \(d = -11\) ta được cấp số cộng \(18\), \(7\), \(-4\).

Câu 8:

Tế bào E.Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ \(20\) phút lại phân đôi một lần. Hỏi sau \(24\) giờ, tế bào ban đầu sẽ phân chia thành bao nhiếu tế bào?

Lần phân chia thứ nhất, \(1\) tế bào thành \(2\) tế bào, số tế bào lần \(1\) phân chia là \(u_1 = 2\).

Lần phân chia thứ hai \(2\), số tế bào lần \(2\) phân chia là \(u_2=2\cdot 2 = u_1 \cdot 2\).

Lần phân chia thứ \(3\) có \(4\) tế bào phân chia, số tế bào lần \(3\) phân chia là \(u_3=2\cdot u_2\).

Như vậy một tế bào phân đôi sẽ tạo thành cấp số nhân có công bội là \(2\), số hạng đầu là \(u_1=2\).

Sau \(n\) lần phân chia từ một tế bào phân được thành \(u_n=2^{n-1}u_1\).

Đổi \(24\) giờ \(=24 \cdot 60 = 72 \cdot 20\) (phút) \(\Rightarrow 24\) giờ gấp \(72\) lần \(20\) phút.

Do đó, sau \(24\) giờ số tế bào nhận được là \(u_{72}=2^{71}\cdot 2 = 2^{72}\) (tế bào).

Câu 9:

Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều kế tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là \(50 \,\mathrm{mg}\), và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kề trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng \(\mathrm{mg}\)) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc \(10\) ngày liên tiếp.

Gọi \((u_n)\) là dãy số biểu diễn giá trị của lượng thuốc trong máu của bệnh nhân theo từng ngày.

Dãy số này là một cấp số nhân có \(u_1=50\), \(q=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân là \(S_n=u_1\displaystyle\frac{1-q^n}{1-q}\).

Theo bài toán, ta có \(S_{10}=50 \cdot\displaystyle\frac{1-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{10}}{1-\displaystyle\frac{1}{2}} \approx 99{,}902\).

Vậy tổng lượng thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc \(10\) ngày liên tiếp là \(99{,}902\) mg.

Câu 10:

Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng \(97\) triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là \(0{,}91 \%\). Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030.

Dân số năm 2021 tăng lên so với năm 2020 là \(97 \cdot 0{,}91 \% \) triệu người.

Dân số năm 2021 là \(97 + 97 \cdot 0{,}91 \% = 97\cdot (1+0{,}91 \%)\) triệu người.

Dân số năm 2022 tăng lên so với năm 2021 là \(97\cdot (1+0{,}91 \%)\cdot 0{,}91 \% \) triệu người.

Dân số năm 2022 là

\(97\cdot (1+0{,}91 \%) + 97\cdot (1+0{,}91 \%) \cdot 0{,}91 \% = 97\cdot (1+0{,}91 \%)^2\) triệu người.

Dân số năm 2023 tăng lên so với năm 2021 là \(97\cdot (1+0{,}91 \%)^2\cdot 0{,}91 \% \) triệu người.

Dân số năm 2023 là

\(97\cdot (1+0{,}91 \%)^2 + 97\cdot (1+0{,}91 \%)^2\cdot 0{,}91 \% = 97\cdot (1+0{,}91 \%)^3\) triệu người.

Tương tự vậy ta có dân số năm 2030 là \(97\cdot (1+0{,}91 \%)^{10} = 106{,}1973784\) triệu người.

Câu 11:

Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá \(3\) tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm \(20 \%\) so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau \(5\) năm sử dụng.

Gọi \((u_n)\) là dãy số biểu diễn giá trị của chiếc máy ủi theo từng năm.

Dãy số này là một cấp số nhân có \(u_1=3\), \(q=0{,}2\).

Số hạng tổng quát của cấp số nhân này là \(u_n=3\cdot 0{,}2^{n-1}\).

Ta có \(u_5=3\cdot 0{,}2^4=\displaystyle\frac{3}{325}=4{,}8\cdot10^{-3}\).

Tương ứng giá trị của chiếc máy ủi sau \(5\) năm là \(480\) triệu đồng.

Câu 12:

Chị Hương vay trả góp một khoản tiền \(100\) triệu đồng và đồng ý trả dần \(2\) triệu đồng mỗi tháng với lãi suất \(0,8 \%\) số tiền còn lại của mỗi tháng. Gọi \(A_n,\) \((n \in \mathbb{N})\) là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau \(n\) tháng.

a) Tìm lần lượt \(A_0,\) \( A_1,\) \( A_2,\) \( A_3,\) \( A_4,\) \( A_5,\) \( A_6\) để tính số tiền còn nợ của chị Hương sau \(6\) tháng.

b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số \(\left(A_n\right)\).

a) Ta có

\begin{eqnarray*}A_0&=&100{.}000{.}000+100{.}000{.}000 \cdot 0{,}8\%-2{.}000{.}000\\&=&100{.}000{.}000(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000=98{.}800{.}000.\\A_1&=&A_0+A_0 \cdot 0{,}8\%-2{.}000{.}000\\&=&A_0(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000=97{.}590{.}400.\\A_2&=&A_1(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000=96{.}371{.}123.\\A_3&=&A_2(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000=95{.}142{.}092.\\A_4&=&A_3(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000=93{.}903{.}228.\\A_5&=&A_4(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000=92{.}654{.}454.\\A_6&=&A_5(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000=91{.}395{.}690.\end{eqnarray*}

b) Hệ thức truy hồi đối với dãy số \(\left(A_n\right)\) là

\(A_n = A_{n-1}(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000.\)

Câu 13:

Ông An gửi tiết kiệm \(100\) triệu đồng kì hạn \(1\) tháng với lãi suất \(6 \%\) một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau \(n\) tháng được cho bởi công thức

\(A_n=100\left(1+\displaystyle\frac{0{,}06}{12}\right)^n.\)

a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.

b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm.

a) Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất là

\(A_n=100\left(1+\displaystyle\frac{0{,}06}{12}\right)^1 =100{,}5\) (triệu đồng).

Sau tháng thứ hai là

\(A_n=100\left(1+\displaystyle\frac{0{,}06}{12}\right)^2=101{,}0025\) (triệu đồng).

b) Số tiền ông An nhận được sau 1 năm là

\(A_n=100\left(1+\displaystyle\frac{0{,}06}{12}\right)^{12} =106{,}1678\) (triệu đồng).

Câu 14:

Ông An vay ngân hàng \(1\) tỉ đồng với lãi suất \(12\%/\)năm. Ông đã trả nợ theo cách: Bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, cuối tháng ông trả ngân hàng số tiền là \(a\) (đồng) và đã trả hết nợ sau đúng \(2\) năm kể từ ngày vay. Hỏi số tiền mỗi tháng mà ông An phải trả là bao nhiêu đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?

Do lãi suất là \(12\%\)/năm tương đương với lãi là \(1\%\)/tháng.

Sau \(1\) tháng, ông An còn nợ là: \(10^9.(1+1\%)-a=10^9.(1,01)-S_1\).

Sau \(2\) tháng, ông An còn nợ là: \(10^9.(1.01)^2-a.(1.01)-a=10^9(1,01)^2-S_2\).

Sau \(3\) tháng, ông An còn nợ là: \(10^9.(1.01)^3-a(1.01)^2-a(1.01)-a=10^9.(1.01)^3-S_3\).

Sau \(24\) tháng, ông An còn nợ là: \(10^9.(1.01)^{24}-S_{24}=0\).

Do đó \(S_{24}=10^9.(1.01)^{24} \Leftrightarrow a.\displaystyle\frac{1-(1.01)^{24}}{1-(1.01)}=10^9.(1.01)^{24} \Leftrightarrow a =\displaystyle\frac{10^9.(1.01)^{24}.0.01}{(1.01)^{24}-1}\approx 47073472,22\).

Vậy mỗi tháng ông An phải trả \(47073500\).

Câu 15:

Cho hình vuông \(C_1\) có cạnh bằng \(4\). Người ta chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông \(C_2\) (\textit{hình bên}). Từ hình vuông \(C_2\) lại làm tiếp tục như trên để có hình vuông \(C_3\). Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông \(C_1, C_2, C_3, \ldots , C_n, \ldots\) Gọi \(a_n\) là độ dài cạnh hình vuông \(C_n\). Chứng minh rằng dãy số \(\left(a_n\right)\) là cấp số nhân.

Image

Image

Gọi cạnh một hình vuông thứ \(n\), \(n+1\) lần lượt là \(a_n, a_{n+1}\).

Do \(MN=\sqrt{MB^2+BN^2}=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{AB}{4}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{3AB}{4}\right)^2 }=AB.\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2}\).

Nên ta có cạnh hình vuông thứ \(n+1\) là: \(a_{n+1}=a_n.\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2}\).

Vậy dãy số \(\left(a_n\right)\) là cấp số nhân.

Câu 16:

Một khay nước có nhiệt độ \(23^\circ\) được đặt vào ngăn đá của tủ lạnh. Biết sau mỗi giờ, nhiệt độ của nước giảm \(20\%\). Tính nhiệt độ của khay nước đó sau \(6\) giờ theo đơn vị độ \(C\).

Nhiệt độ sau mỗi giờ của khay nước theo thứ tự lập thành cấp số nhân với \(u_1=23\) và \(q=(1-20\%)\).

Ta có \(u_6=u_1.q^5=23.(1-20\%)^5 \approx 7,5\).

Nhiệt độ của khay nước sau \(6\) giờ là \( \approx 7,5^\circ \).

Câu 17:

Một cái tháp có \(11\) tầng. Diện tích của mặt sàn tầng \(2\) bằng nửa diện tích của mặt đáy tháp và diện tích của mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt sàn mỗi tầng ngay bên dưới. Biết mặt đáy tháp có diện tích là \(12 288\) m\(^2\). Tính diện tích của mặt sàn tầng trên cùng của tháp theo đơn vị mét vuông.

Do diện tích của mặt sàn tính từ tầng một lập thành một cấp số nhân với \(u_2=\displaystyle\frac{1}{2}.12288=6144\) và \(q=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Ta có \(\begin{cases}u_2=6144 \\ q=\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u_1=12288 \\ q=\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases}\).

Ta có \(u_{11}=u_1.q^{10}=12288.\displaystyle\frac{1}{12^{10}}=12m^2\).

Vậy diện tích của mặt sàn tầng trên cùng là \(12m^2\).

Câu 18:

Tần số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn organ tạo thành cấp số nhân. Biết tần số của hai phím Sol và Si lần lượt là \(415\) Hz và \(466\) Hz.

#HinhBaitapSGK11/chuong2/11c2b3h6.png

Ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn organ theo thứ tự \(u_1; u_2; u_3\) tạo thành cấp số nhân nên

\(u^2_2 = u_1 \cdot u_3 \Rightarrow u^2_2 =415 \cdot 466 =193390 \Rightarrow u_2 =440\, (u_2>0).\)

Vậy tần số của phím La là \(400\) Hz.

Câu 19:

Một quốc gia có dân số năm 2011 là \(P\) triệu người. Trong \(10\) năm tiếp theo, mỗi năm dân số tăng \(a \%\). Chứng minh rằng dân số các năm từ năm 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạo thành cấp số nhân. Tìm công bội của cấp số nhân này.

Coi ngày điều tra dân số năm 2011 và năm 2021 trùng nhau thì từ năm 2011 đến năm 2021 là 10 năm. Vậy dân số nước ta tính đến năm 2021 là

\(u_{10} = P\cdot \left(1+a\%\right)^{10}.\)

Ta có \(u_{1} = P\cdot \left(1+a\%\right)^{1}.\)

\(u_{2} = P\cdot \left(1+a\%\right)^{2}.\)

Và công bội của cáp số nhân này là \(\, \displaystyle\frac{u_2}{u_1} = q = \displaystyle\frac{P\cdot \left(1+a\%\right)^{2}}{P\cdot \left(1+a\%\right)^{1}} = 1+a\%.\)

Câu 20:

Trong trò chơi mạo hiểm nhảy bungee, mỗi lần nhảy, người chơi sẽ được dây an toàn có tính đàn hồi kéo nảy ngược lên \(60 \%\) chiều sâu của cú nhảy. Một người chơi bungee thực hiện cú nhảy đầu tiên có độ cao nảy ngược lên là \(9 \mathrm{~m}\).

a) Tính độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ ba;

b) Tính tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong \(5\) lần nảy đầu.

Image

a) Gọi độ cao của người nhảy bungee nảy ngược lên lần đầu là \(u_1 = 9\) m.

Độ cao của người nhảy bungee nảy ngược lên lần tứ 2 là \(u_2 = 60\%\cdot u_1 =0{,}6\cdot 9 = 5{,}4\) m.

Độ cao của người nhảy bungee nảy ngược lên lần tứ 3 là \(u_3 = 60\%\cdot u_2 =0{,}6\cdot 5{,}4 = 3{,}24\) m.

b) Tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần nảy đầu là

\(S_5 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 = u_1 \left[1+0{,}6+(0{,}6)^2+(0{,}6)^3+ (0{,}6)^4\right] =9\cdot \displaystyle\frac{1-\left(0{,}6\right)^5}{1-0{,}6}=20{,}75 \) m.

Câu 21:

Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoảng \(2{,}1\) triệu người và tốc độ gia tăng dân số trung bình mỗi năm là \(0{,}75 \%\).

a) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm \(2032\);

b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì uớc tính vào năm nào dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp đôi so với năm \(2022\)?

a) Giả sử dân số năm \(2022\) là \(u_1=2{,}1\cdot 10^6\) thì dân số năm \(2023\) là

\(u_2=u_1+ 0{,}0075u_1=1{,}0075u_1\).

Tương tự dân số năm \(2024\) là \(u_3=1{,}0075u_2\).

Do đó dân số của thành phố qua các năm lập thành một cấp số nhân với

\(u_1=2{,}1\cdot10^6\); \(q=1{,}0075\).

Vậy dân số năm \(2032\) tương ứng với

\(u_{11}=u_1\cdot q^{10}=2,1\cdot 10^6\cdot1{,}0075^{10}\approx2262924\) (người).

b) Giả sử đến năm thứ \(n\) thì dân số gấp đôi năm \(2022\).

Suy ra

\(u_n=2u_1 \Leftrightarrow q^{n-1}=2\Leftrightarrow 1{,}0075^{n-1}=2\Leftrightarrow n \approx 93{,}7.\)

Vậy \(94\) năm sau tức là năm \(2116\) thì dân số thành phố sẽ gấp đôi năm \(2022\).

Câu 22:

Một gia đình mua một chiếc ô tô giá \(800\) triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của ô tô giảm đi \(4 \%\) (so với năm trước đó).

a. Viết công thức tính giá trị của ô tô sau \(1\) năm, \(2\) năm sử dụng.

b. Viết công thức tính giá trị của ô tô sau \(n\) năm sử dụng.

c. Sau \(10\) năm, giá trị của ô tô ước tính còn bao nhiêu triệu đồng?

Gọi \(u_n\) là giá trị còn lại của ô tô sau \(n\) năm sử dụng.

a. Giá trị của ô tô sau \(1\) năm sử dụng là

\(u_1=800-800\cdot0{,}04=800\cdot0{,}96=768\) triệu đồng.

Giá trị của ô tô sau \(2\) năm sử dụng là

\(u_2=u_1-u_1\cdot0{,}04=u_1\cdot0{,}96=737{,}28\) triệu đồng.

b. Ta có

\(u_n=u_{n-1}-u_{n-1}\cdot0{,}04=u_{n-1}\cdot0{,}96\).

Do đó, \((u_n)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1=768\) và công bội \(q=0{,}96\).

Vậy sau \(n\) năm sử dụng, giá trị còn lại của chiếc ô tô là

\(u_n=u_1q^{n-1}\Rightarrow u_n=768\cdot0{,}96^{n-1}\).

c. Sau \(10\) năm, ước tính giá trị của ô tô còn lại là

\(u_{10}=768\cdot0{,}96^9\approx 531{,}87\) triệu đồng.

Câu 23:

Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài \(100\) m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng \(75\)\% so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên. Tính tổng quãng đường người đó đi được sau \(10\) lần kéo lên và lại rơi xuống.

Image

Gọi \(u_n\) là quãng đường người đó được kéo lên ở lần thứ \(n\) được kéo lên và lại rơi xuống (đơn vị tính: mét).

Ta có

\(u_1=0{,}75\cdot100=100\cdot1{,}5=75\) m và

\(u_n=0{,}75\cdot u_{n-1}\).

Vậy \((u_n)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1=75\) và công bội \(q=0{,}75\).

Tổng quãng đường người đó đi được sau \(10\) lần kéo lên và lại rơi xuống là

\(\begin{aligned}S=\ &100+2u_1+2u_2+\cdots+2u_{10}\\ =\ &100+2S_{10}\\ =\ &100+2\cdot\displaystyle\frac{75\left(1-0{,}75^{10}\right)}{1-0{,}75}\\ \approx\ &666{,}2 \text{ m}.\end{aligned}\)