Đáp án: \(-1,\ 3,\ -9,\ 27,\ -81\)

Lời giải:

Dãy số \(-1,\ 3,\ 9,\ 27,\ -81\) là một cấp số nhân.

Đáp án: \(128\); \(-64\); \(32\); \(-16\); \(8\)

Lời giải:

Ta thấy \(\displaystyle\frac{128}{-64}=\displaystyle\frac{-64}{32}=\displaystyle\frac{32}{-16}=\displaystyle\frac{-16}{8}=-2\) nên dãy số \(128\); \(-64\); \(32\); \(-16\); \(8\) là một cấp số nhân với công bội bằng \(-2\).

Đáp án: \(-3\)

Lời giải:

Ta có \(u_n=-3 \cdot u_{n-1}\Rightarrow q=-3\).

Vậy công bội của cấp số nhân đã cho là \(-3\).

Đáp án: \(q=-4\)

Lời giải:

Ta có \(q=\displaystyle\frac{u_2}{u_1}=-4\).

Đáp án: \(9\)

Lời giải:

Giả sử \(u_n=256\). Khi đó

\(u_1q^{n-1}=256\) \(\Leftrightarrow 1\cdot 2^{n-1}=2^8\) \(\Leftrightarrow n-1=8\) \(\Leftrightarrow n=9.\)

Vậy \(256\) là số hạng thứ \(9\).

Đáp án: \(-\displaystyle\frac{16}{27}\)

Lời giải:

Số hạng thứ \(5\) của cấp số nhân đã cho là

\(u_5=q^4u_1=\left( \displaystyle\frac{2}{3}\right)^4\cdot (-3)=-\displaystyle\frac{16}{27}. \)

Đáp án: \(q=4\)

Lời giải:

Ta có \(u_4=u_1\cdot q^{3}\) \(\Leftrightarrow 64=q^3\) \(\Leftrightarrow q=4.\)

Đáp án: \(q=\pm 2\)

Lời giải:

Vì \(\left(u_n\right)\) là một cấp số nhân nên ta có

\(u_7=u_1\cdot q^6\Rightarrow q^6=\displaystyle\frac{u_7}{u_1}\) \(=\displaystyle\frac{-32}{-\displaystyle\frac{1}{2}}=64\)

\(\Rightarrow q=\pm 2\).

Đáp án: \(y=\displaystyle\frac{1296}{5}\)

Lời giải:

Cấp số nhân \(x-6;x\) và \(y\) có công bội \(q=6\) nên ta có

\(\begin{cases} u_1=x-6,\,\,q=6 \\ x={{u}_{2}}=u_1q=6(x-6 ) \\ y={{u}_{3}}={{u}_{2}}{{q}^2}=36x\end{cases}\)

\(\Rightarrow \begin{cases} x=\displaystyle\frac{36}{5} \\ y=36\cdot \displaystyle\frac{36}{5}=\displaystyle\frac{1296}{5}.\end{cases}\)

Đáp án: \(x=32\)

Lời giải:

Cấp số nhân \(2;\,8;\,x;\,128\) theo thứ tự đó sẽ là \(u_1;\,\,{{u}_{2}};\,\,{{u}_{3}};\,\,u_4\), ta có

\(\begin{cases}\displaystyle\frac{{{u}_{2}}}{u_1}=\displaystyle\frac{{{u}_{3}}}{{{u}_{2}}} \\

\displaystyle\frac{{{u}_{3}}}{{{u}_{2}}}=\displaystyle\frac{u_4}{{{u}_{3}}}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} \displaystyle\frac{8}{2}=\displaystyle\frac{x}{8} \\ \displaystyle\frac{128}{x}=\displaystyle\frac{x}{8}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} x=32 \\ x^2=1024\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} x=32 \\ x=32\ \vee\ x=-32\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=32\).

Đáp án: \(-1023\)

Lời giải:

Tổng của \(10\) số hạng đầu tiên là

\(S_{10}=u_1\cdot\displaystyle\frac{q^{10}-1}{q-1}=3\cdot\displaystyle\frac{(-2)^{10}-1}{-2-1}=-1023.\)

Đáp án: 7}

Lời giải:

Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân có \(u_1=1\) và \(q=2\) là

\(S_3=\displaystyle\frac{u_1\left(1-q^3\right)}{1-q}=\displaystyle\frac{1 \cdot\left(1-2^3\right)}{1-2}=7\).

Đáp án: 387000

Lời giải:

Gọi \(T_1\) là giá của mỗi km ở bậc 1.

\hspace*{1.5em} \(T_2\) là giá của mỗi km ở bậc 2.

\hspace*{1.5em} \(T_3\) là giá của mỗi km ở bậc 3.

\hspace*{1.5em} \(T_4\) là giá của mỗi km ở bậc 4.

\hspace*{1.5em} \(T_5\) là giá của mỗi km ở bậc 5.

Ta thấy, dãy \(T_n (1 \le n \le 5)\) là một cấp số nhân, với số hạng đầu \(T_1=10000\) và công bội \(q=\displaystyle\frac{95}{100}\).

Số tiền mà bạn Toàn phải trả trong 40 km đầu là

\(10(T_1+T_2+T_3+T_4)=10.\displaystyle\frac{T_1(1-q^4)}{1-q}\approx 371000\) đồng.

Số tiền mà bạn Toàn phải trả trong 2 km cuối là

\(2.T_5=2.T_1.q^4 \approx 16000\) đồng.

Vậy, tổng số tiền bạn Toàn phải trả là: \(371000+16000=387000\) đồng.

Đáp án: \(S=\displaystyle\frac{10}{81}\left(10^n-1\right)-\displaystyle\frac{n}{9}\)

Lời giải:

Ta có

\(S=1+11+111+\cdot \cdot \cdot +\underbrace{111\ldots11}_n\)

\(\Leftrightarrow 9S=9+99+999+\cdot \cdot \cdot +\underbrace{999\ldots99}_n\)

\(=\left(10-1\right)+\left(10^2-1\right)+\left(10^3-1\right)+\cdot \cdot \cdot +\left(10^n-1\right)\)

\(=\left(10+10^2+10^3+\cdot \cdot \cdot +10^n\right)-\left(\underbrace{1+1+\cdot \cdot \cdot +1}_n\right)\)

\(\Rightarrow 9S=\displaystyle\frac{10\left(10^n-1\right)}{10-1}-n=\displaystyle\frac{10}{9}\left(10^n-1\right)-n\)

\(\Rightarrow S=\displaystyle\frac{10}{81}\left(10^n-1\right)-\displaystyle\frac{n}{9}.\)

Xét các thương của các số hạng (kể từ số hạng thứ hai trở đi) với số hạng ngay trước đó, ta thấy

a) \(\displaystyle\frac{25}{125}=\displaystyle\frac{5}{25}=\displaystyle\frac{1}{5}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{5}}{1}=\displaystyle\frac{1}{5}\).

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân.

b) \(\displaystyle\frac{-6}{2}=-3\), \(\displaystyle\frac{18}{-6}=-3\), \(\displaystyle\frac{54}{18}=3 \neq-3\).

Vậy dãy số đã cho không là cấp số nhân.

}

a) Dãy số \(1; 11; 121; 12321; 1234321\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1=1\) và công bội \(q=11\).

b) Dãy số \(1; -1; 1; -1; 1\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1=1\) và công bội \(q=-1\).

c) Dãy số \(4; 8; 12; 16\) có \(\displaystyle\frac{u_2}{u_1}\neq\displaystyle\frac{u_3}{u_2}\) nên không là cấp số nhân.

}

a) Dãy số \(3; 6; 12; 24; 48; \ldots\) là cấp số nhân với \(u_1=3\) và công bội \(q=2\).

b) Dãy số \(1; -\displaystyle\frac{1}{2}; \displaystyle\frac{1}{4}; -\displaystyle\frac{1}{8}; \displaystyle\frac{1}{16}; \ldots\); là cấp số nhân với \(u_1=1\) và công bội \(q=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

c) Dãy số \(9; 9; 9; 9; 9; \ldots\) là cấp số nhân với \(u_1=9\) và công bội \(q=1\).

}

a) Dãy số: \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\); \(\ldots\) là cấp số nhân với \(u_1=3\) và công bội \(q=2\).

b) Dãy số: \(1\); \(-\displaystyle\frac{1}{2}\); \(\displaystyle\frac{1}{4}\); \(-\displaystyle\frac{1}{8}\); \(\displaystyle\frac{1}{16}\); \(\ldots\) là cấp số nhân với \(u_1=1\) và công bội \(q=-\displaystyle\frac{1}{2}\).

c) Dãy số: \(9\); \(9\); \(9\); \(9\); \(9\); \(\ldots\) là cấp số nhân với \(u_1=9\) và công bội \(q=1\).

}

a) Dãy số: \(1 ; 11 ; 121 ; 12321 ; 1234321\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1=1\) và công bội \(q=11\).

b) Dãy số: \(1 ;-1 ; 1 ;-1 ; 1\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1=1\) và công bội \(q=-1\).

c) Dãy số: \(4 ; 8 ; 12 ; 16\) có \(\displaystyle\frac{u_2}{u_1} \neq \displaystyle\frac{u_3}{u_2}\) nên không là cấp số nhân.

}

Ta có \( 10^2=1\cdot 100 ;\,\, 100^2=10\cdot 1000\).

}

a) Ta có \(u_1=5 ; q= 2\) suy ra \(u_n = 5\cdot2^{n-1}\);

b) Ta có \(u_1=1 ; q= \displaystyle\frac{1}{10}\) suy ra \(u_n = 10\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{10}\right)^{n-1}\).

}

Ta có \(10^2=1\cdot 100\); \(100^2=10\cdot 1000\).

}

Với \(n\geq 1\), ta có \(u_{n+1}:u_n=\left(3 \cdot 2^{n+1}\right):\left(3 \cdot 2^n\right)=2\).

Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là một cấp số nhân.

}

a) Ta có \(u_1=5\), \(u_2=10\), \(u_3=15\), \(u_4=20\), \(u_5=25\).

Đây không là một cấp số nhân.

b) Ta có \(u_1=5\), \(u_2=25\), \(u_3=125\), \(u_4=625\), \(u_5=3125\).

Đây là cấp số nhân có \(q=5\), số hạng tổng quát \(u_n=u_1\cdot q^{n-1}=5\cdot 5^{n-1}\), với \(n\ge 2\).

c) Ta có \(u_1=1\), \(u_2=2\), \(u_3=6\), \(u_4=12\), \(u_5=60\).

Đây không là một cấp số nhân.

d) Ta có \(u_1=1\), \(u_2=5\), \(u_3=25\), \(u_4=125\), \(u_5=625\).

Đây là cấp số nhân có \(q=5\), số hạng tổng quát \(u_n=u_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 5^{n-1}=5^{n-1}\), với \(n\ge 2\).

}

a) Ta có \(u_1=1\), \(u_2=4\), \(u_3=16\), \(u_4=16\cdot 4=64\), \(u_5=64\cdot 4=256\).

Ta có \(u_1=1\), \(q=4\).

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là \(u_n=u_1\cdot q^{n-1}=1\cdot 4^{n-1}\), với \(n\ge 2\).

Số hạng thứ \(100\) là \(u_{100}=1\cdot 4^{100-1} =4^{99}\).

b) Ta có \(u_1=2\), \(u_2=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(u_3=\displaystyle\frac{1}{8}\), \(u_4=\displaystyle\frac{1}{8}\cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{4} \right) =-\displaystyle\frac{1}{32}\), \(u_5=-\displaystyle\frac{1}{32}\cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{4} \right)=\displaystyle\frac{1}{128}\).

Ta có \(u_1=2\), \(q=-\displaystyle\frac{1}{4}\).

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là \(u_n=u_1\cdot q^{n-1}=2\cdot\left( -\displaystyle\frac{1}{4} \right) ^{n-1}\), với \(n\ge 2\).

Số hạng thứ \(100\) là \(u_{100}=2\cdot \left( -\displaystyle\frac{1}{4} \right) ^{100-1} =-\left(\displaystyle\frac{1}{2} \right) ^{197}\).

}

a) \(u_1=3(-2)^1=-6\); \(u_2=3(-2)^2=12\); \(u_3=3(-2)^3=-24\).\\ Dãy này là cấp số nhân với công bội \(q=-2\).

b) Ta có \(\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}=\displaystyle\frac{(-1)^{n+2} \cdot 7^{n+1}}{(-1)^{n+1} \cdot 7^n}=-7\). Dãy này là cấp số nhân với công bội \(q=-7\).

c) Xét dãy \(\left\{\begin{aligned}&u_n=1 \\& u_{n+1}=2 u_n+3. \end{aligned}\right.\)

Ta có \(u_1 = 1\), \(u_2 = 5\), \(u_3 = 13\cdot \displaystyle\frac{u_3}{u_2} \neq \displaystyle\frac{u_2}{u_1} \) nên dãy này không là cấp số nhân.

}

Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân, ta có

\(u_7=u_1 \cdot q^{7-1}=4 \cdot\left(\displaystyle\frac{-1}{2}\right)^6=\displaystyle\frac{1}{16}. \)

}

Năm số hạng đầu của cấp số nhân là

\begin{eqnarray*}u_1&=&-2;\\u_2&=&u_1 \cdot q=-2 \cdot \displaystyle\frac{-1}{2}=1;\\ u_3&=&u_2 \cdot q=1 \cdot \displaystyle\frac{-1}{2}=\displaystyle\frac{-1}{2}; \\u_4&=&u_3 \cdot q=\displaystyle\frac{-1}{2} \cdot \displaystyle\frac{-1}{2}=\displaystyle\frac{1}{4};\\u_5&=&u_4 \cdot q=\displaystyle\frac{1}{4} \cdot \displaystyle\frac{-1}{2}=\displaystyle\frac{-1}{8}.\end{eqnarray*}

}

a) Công bội \(q\) của cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) là

\(d=u_2:u_1=(-2):(-6)=\displaystyle\frac{1}{3}. \)

b) Năm số hạng đầu của cấp số nhân là

\begin{eqnarray*}u_1&=&-6;\\u_2&=&-2;\\ u_3&=&u_2 \cdot q=(-2) \cdot \displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{-2}{3}; \\u_4&=&u_3 \cdot q=\displaystyle\frac{-2}{3} \cdot \displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{-2}{9};\\u_5&=&u_4 \cdot q=\displaystyle\frac{-2}{9} \cdot \displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{-2}{27}.\end{eqnarray*}

}

Ta có \(u_1=4374\) và \(u_8=2\). Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân này, ta có:

\(u_8=u_1 \cdot q^7 \text {, suy ra } q^7=\displaystyle\frac{u_8}{u_1}=\displaystyle\frac{2}{4374}=\displaystyle\frac{1}{2187}=\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^7\), do đó \(q=\displaystyle\frac{1}{3}.\)

}

Số hạng tổng quát của cấp nhân là \(u_n=u_1\cdot q^{n-1}\), với \(n\ge 2\).

Theo bài toán, ta có

\(\begin{cases}u_6=u_1\cdot q^5=96\\u_3=u_1\cdot q^2=12\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}q^3=8\\u_1\cdot q^2=12\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}q=2\\u_1\cdot 2^2=12\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}q=2\\u_1=3.\end{cases}\)

Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân là \(u_n=3\cdot 2^{n-1}\), với \(n\ge 2\).

Số hạng thứ \(50\) là \(u_{50}=3\cdot 2^{49}\).

}

a) Ta có \(\begin{cases}u_5=96\\u_6=192\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}q=\displaystyle\frac{u_6}{u_5}=2\\192=u_1q^5\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}q=2\\u_1=\displaystyle\frac{192}{32}=6.\end{cases}\)

b) Theo bài ra, ta có

\(\begin{cases}u_4-u_2=72\\ u_5-u_3=144\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u_1\cdot q^3-u_1\cdot q=72\\ u_1\cdot q^4-u_1\cdot q^2=144\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u_1q(q^2-1)=72\\ u_1q^2(q^2-1)=144\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}q=\displaystyle\frac{144}{72}=2\\ u_1=12.\end{cases}\)

}

a) Ta có \(\left\{\begin{aligned}&u_5-u_1=15 \\& u_4-u_2=6\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&u_1q^4-u_1=15 \\& u_1 q^3-u_1 q^1=6\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&u_1(q^4-1)=15&&(1)\\& u_1 (q^3-q^1)=6&&(2)\end{aligned}\right.\)

Lấy (1) chia (2) ta được \(\displaystyle\frac{q^4 - 1}{q^3-q}=\displaystyle\frac{15}{6}=\displaystyle\frac{5}{2} \Rightarrow \left[\begin{aligned}&q=1&&\text{(loại)}\\ &q=-1&&\text{(loại)}\\ &q=2; \; u_1 = 1\\&q=\displaystyle\frac{5}{2};\; u_1 = \displaystyle\frac{80}{203}.\end{aligned}\right.\)

b) \(\left\{\begin{aligned}&u_1-u_3+u_5=65 \\& u_1+u_7=325 .\end{aligned}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}&u_1\left(1-q^2+q^4\right)=65 &&(3)\\& u_1\left(1+q^6\right)=325 &&(4) \end{aligned}\right. \)

Lấy (3) chia (4) ta được \(\displaystyle\frac{1-q^2+q^4}{1+q^6}=\displaystyle\frac{65}{325}\Leftrightarrow q^2 =4 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&q=2; \, u_1=5\\&q=-2 ; \, u_1=5.\end{aligned}\right.\)

}

Ta có ba số \(\displaystyle\frac{2}{b-a}\), \(\displaystyle\frac{1}{b}\), \(\displaystyle\frac{2}{b-c}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Suy ra

\(\begin{aligned}\displaystyle\frac{2}{b-a}+\displaystyle\frac{2}{b-c}=\displaystyle\frac{2}{b}&\Leftrightarrow\displaystyle\frac{1}{b-a}+\displaystyle\frac{1}{b-c}=\displaystyle\frac{1}{b}\\&\Leftrightarrow\displaystyle\frac{b-c+b-a}{(b-a)(b-c)}=\displaystyle\frac{1}{b}\\ &\Leftrightarrow 2b^2-ab-cb=b^2-bc-ab+ac\Leftrightarrow b^2=ac.\end{aligned}\)

Vậy ba số \(a\), \(b\), \(c\) theo thứ tự lập thành cấp số

nhân.

}

Vì \(S\) là tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1=1\) và công bội \(q=\displaystyle\frac{1}{2}\) nên

\(S=\displaystyle\frac{1 \cdot\left[1-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{10}\right]}{1-\displaystyle\frac{1}{2}}=\displaystyle\frac{1023}{512}.\)

}

a) Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu \(u_1=3\) và công bội \(q=\displaystyle\frac{u_2}{u_1}=\displaystyle\frac{-6}{3}=-2\).

Do đó tổng \(12\) số hạng đầu của dãy là

\(S_{12}=\displaystyle\frac{u_1\cdot \left(1-q^{12}\right)}{1-q}=\displaystyle\frac{3\cdot\left[1-(-2)^{12}\right]}{1-(-2)}=-4095. \)

b) Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu \(u_1=\displaystyle\frac{1}{10}\) và công bội \(q=\displaystyle\frac{1}{10}=\displaystyle\frac{-6}{3}=-2\).

Do đó tổng \(5\) số hạng đầu của dãy là

\(S_{5}=\displaystyle\frac{u_1\cdot \left(1-q^{5}\right)}{1-q}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{10}\cdot\left[1-\left(\displaystyle\frac{1}{10}\right)^{5}\right]}{1-\displaystyle\frac{1}{10}}=1{,}1111. \)

}

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là \(u_n=5\cdot 2^{n-1}\), với \(n\ge 2\).

Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân là \(S_n=u_1\displaystyle\frac{q^n-1}{q-1}=5\cdot\displaystyle\frac{2^n-1}{2-1}=5\cdot\left( 2^n-1\right) \).

Theo bài toán, ta có \(S_n=5\cdot\left( 2^n-1\right)=5115\Leftrightarrow 2^n=1024\Leftrightarrow n=10\).

Vậy phải lấy tổng \(10\) số hạng đầu mới thỏa yêu cầu bài toán.

}

a)

\(S_n=1+\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{1}{3^2}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{3^n}=\displaystyle\frac{u_1(1-q^{n+1})}{1-q}=\displaystyle\frac{1\cdot\left(1-\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)}{1-\displaystyle\frac{1}{3}}=\displaystyle\frac{3}{2}\cdot\displaystyle\frac{3^{n+1}-1}{3^{n+1}}=\displaystyle\frac{3^{n+1}-1}{2 \cdot3^n}\).

b)

\(\begin{aligned}S_n&=9+99+999+\cdots+\underbrace{99 \ldots 9}_{n \text { chữ số } 9}\\&=(10-1)+(10^2-1)+(10^3-1)+\cdots+(10^n-1)=10+10^2+10^3+\cdots+10^n-n\\& =\displaystyle\frac{10\cdot(1-10^n)}{1-10}-n=\displaystyle\frac{10}{9}\cdot(10^n-1)-n\\&=\displaystyle\frac{10^{n+1}-9n-10}{9}.\end{aligned}\)

}

a) \(u_1=10^5\), \(q=0{,}1\), \(n=5\); \(S_5=\displaystyle\frac{u_1\left(1-q^5\right)}{1-q}=\displaystyle\frac{10^5\left(1-0\right)}{1-0}=10^5.\)

b) \(u_1=10\), \(u_2=-20\), \(n=5.\) Suy ra \(\displaystyle\frac{u_2}{u_1}=q=-2\).

\(S_5=\displaystyle\frac{u_1\left(1-q^5\right)}{1-q}=\displaystyle\frac{10\cdot\left(1-(-2)^5\right)}{1-(-2)}=110.\)

}

Áp dụng công thức \(S_n=\displaystyle\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}\), ta có \(S_{10}=\displaystyle\frac{1 \cdot\left(1-2^{10}\right)}{1-2}=2^{10}-1=1023\).

}

a) Ta có \(\displaystyle\frac{690}{138}=5\) suy ra khối lượng còn lại sau 690 ngày là \(\displaystyle\frac{20}{2^5}=0{,}625\) gam;

b) Ta có \(\displaystyle\frac{7314}{138}=53\) suy ra khối lượng còn lại sau 7314 ngày là \(\displaystyle\frac{20}{2^{53}}\) gam.

a) Số tiền lãi chị thu được sau tháng thứ \(1\) là \(100\,000\,000 \cdot 0{,}5\% = 500\,000\) đồng.

Do đó \(P_1 = 100\,000\,000 + 500\,000 + 6\,000\,000 = 106\,500\,000\) đồng.

b) Số tiền chị có trong ngân hàng sau tháng thứ \(2\) là

\(P_2 = P_1 + P_1\cdot 0{,}5\% + 6\,000\,000 = 113\,032\,500 \text{ (đồng).}\)

Số tiền chị có trong ngân hàng sau tháng thứ \(3\) là

\(P_3 = P_2 + P_2\cdot 0{,}5\% + 6 = 119\,597\,662 \text{ (đồng).}\)

c) Ta chọn đơn vị là triệu đồng và xét bài toán tổng quát: Số tiền ban đầu là \(T\) triệu đồng với lãi suất hàng tháng là \(r\) và mỗi tháng gửi thêm \(a\) triệu đồng thì số tiền trong tài khoản sau tháng thứ \(n\) là \(P_n\) triệu đồng.

Số tiền lãi sau tháng thứ \(n\) được tính là \(P_n \cdot r\) nên ta có

+) \(P_1 = T + T\cdot r + a = T(1+r) + a = T(1+r) + \displaystyle\frac{a(1+r)^1 - a}{r}\);

+) \(P_2 = P_1 + P_1\cdot r + a = T(1+r)^2 + (r+1)\cdot\displaystyle\frac{a(1+r)^1 - a}{r} + a = T(1+r)^2 + \displaystyle\frac{a(1+r)^2 - a}{r}\);

+) \(P_3 = P_2 + P_2\cdot r + a = T(1+r)^3 + (r+1)\cdot\displaystyle\frac{a(1+r)^2 - a}{r} + a = T(1+r)^3 + \displaystyle\frac{a(1+r)^3 - a}{r}\).

Cứ tiếp tục như vậy thì ta dự đoán công thức tổng quát của \(P_n\) là

\(P_n = T(1+r)^n + \displaystyle\frac{a(1+r)^n - a}{r}.\)

Thay số \(T = 100\), \(r = 0{,}5\% = 0{,}005\) và \(a =6\) ta thu được

\(P_n = 100\cdot 1{,}005^n + \displaystyle\frac{6\cdot 1{,}005^n - 6}{0{,}005}.\)

Theo đề ta có

\(\begin{cases}u_1=400\\u_{13}=800\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u_1=400\\u_1q^{12}=800\end{cases}\Rightarrow q^{12} = 2 \Rightarrow q = \pm 1{,}414\).

Ta thấy

+) Hàng \(1\) có \(1\) hình vuông cạnh \(1\) đơn vị nên \(v_1 = 1\times 1 = 1^3\).

+) Hàng \(2\) có \(2\) hình vuông cạnh \(2\) đơn vị nên \(v_2 = 2\times 2^2 = 2^3\).

+) Hàng \(3\) có \(3\) hình vuông cạnh \(3\) đơn vị nên \(v_3 = 3\times 3^2 = 3^3\).

+) Hàng \(4\) có \(4\) hình vuông cạnh \(4\) đơn vị nên \(v_4 = 4\times 4^2 = 4^3\).

Vậy ta dự đoán công thức tổng quát của dãy số \((v_n)\) là \(v_n = n^3\) với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\).

Số lượng vi khuẩn sau mỗi phút lập thành một cấp số nhân với \(u_1=1\); \(q=2\)

Suy ra tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau \(20\) phút là

\(u_{20}=u_1\cdot q^{19}=1 \cdot 2^{19}=524288\).

Lần phân chia thứ nhất, \(1\) hình vuông thành \(9\) hình vuông con, diện tích hình vuông tô màu xanh là \(u_1=\displaystyle\frac{1}{9}\).

Lần phân chia thứ hai, \(8\) hình vuông thành \(9\) hình vuông con, diện tích hình vuông tô màu xanh tăng thêm là \(u_2=\displaystyle\frac{1}{9}\left(\displaystyle\frac{8}{9}\right)\).

Lần phân chia thứ ba, \(8^2\) hình vuông thành \(9\) hình vuông con, diện tích hình vuông tô màu xanh tăng thêm là \(u_3=\displaystyle\frac{1}{9}\left(\displaystyle\frac{8}{9}\right)^2\).

Lần phân chia thứ tư, \(8^3\) hình vuông thành \(9\) hình vuông con, diện tích hình vuông tô màu xanh tăng thêm là \(u_4=\displaystyle\frac{1}{9}\left(\displaystyle\frac{8}{9}\right)^3\).

Lần phân chia thứ năm, \(8^4\) hình vuông thành \(9\) hình vuông con, diện tích hình vuông tô màu xanh tăng thêm là \(u_5=\displaystyle\frac{1}{9}\left(\displaystyle\frac{8}{9}\right)^4\).

Như vậy diện tích các hình vuông tăng thêm sau mỗi lần chia tạo thành cấp số nhân có công bội là \(q=\displaystyle\frac{8}{9}\), số hạng đầu là \(u_1=\displaystyle\frac{1}{9}\).

Do đó, tổng diện tích hình vuông tô màu xanh sau \(5\) lần chia là

\(u_1+u_2+u_3+u_4+u_5=\displaystyle\frac{1-q^5}{1-q}\cdot u_1=\displaystyle\frac{1-\left(\displaystyle\frac{8}{9}\right)^5}{1-\displaystyle\frac{8}{9}}\cdot \displaystyle\frac{1}{9}=\displaystyle\frac{26281}{39366}.\)

Giả sử cấp số cộng cần tìm là \(x,\,y, \, z\) . Theo tính chất của cấp số cộng ta có \(x+z=2y\).

Kết hợp giả thiết ta có \(x+y+z=21 \Rightarrow 3y=21 \Leftrightarrow y=7\).

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng \(x,\,y, \, z\) thì \(x=7-d\), \(z=7+d\).

Sau khi cộng thêm các số \(2\), \(3\), \(9\) vào ba số \(x\), \(y\), \(z\) ta được ba số \( x + 2\), \(y + 3\), \(z + 9\) hay \(9 - d\), \(10\), \(16 - d\).

Theo tính chất của cấp số nhân ta có

\((9-d)(16+d)=100 \Leftrightarrow 144-7d-d^2=100 \Leftrightarrow d^2+7d-44=0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& d=4 \\&d=-11.\end{aligned}\right.\)

Với \(d = 4\) ta được cấp số cộng \(3\), \(7\), \(11\).

Với \(d = -11\) ta được cấp số cộng \(18\), \(7\), \(-4\).

Lần phân chia thứ nhất, \(1\) tế bào thành \(2\) tế bào, số tế bào lần \(1\) phân chia là \(u_1 = 2\).

Lần phân chia thứ hai \(2\), số tế bào lần \(2\) phân chia là \(u_2=2\cdot 2 = u_1 \cdot 2\).

Lần phân chia thứ \(3\) có \(4\) tế bào phân chia, số tế bào lần \(3\) phân chia là \(u_3=2\cdot u_2\).

Như vậy một tế bào phân đôi sẽ tạo thành cấp số nhân có công bội là \(2\), số hạng đầu là \(u_1=2\).

Sau \(n\) lần phân chia từ một tế bào phân được thành \(u_n=2^{n-1}u_1\).

Đổi \(24\) giờ \(=24 \cdot 60 = 72 \cdot 20\) (phút) \(\Rightarrow 24\) giờ gấp \(72\) lần \(20\) phút.

Do đó, sau \(24\) giờ số tế bào nhận được là \(u_{72}=2^{71}\cdot 2 = 2^{72}\) (tế bào).

Gọi \((u_n)\) là dãy số biểu diễn giá trị của lượng thuốc trong máu của bệnh nhân theo từng ngày.

Dãy số này là một cấp số nhân có \(u_1=50\), \(q=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân là \(S_n=u_1\displaystyle\frac{1-q^n}{1-q}\).

Theo bài toán, ta có \(S_{10}=50 \cdot\displaystyle\frac{1-\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{10}}{1-\displaystyle\frac{1}{2}} \approx 99{,}902\).

Vậy tổng lượng thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc \(10\) ngày liên tiếp là \(99{,}902\) mg.

Dân số năm 2021 tăng lên so với năm 2020 là \(97 \cdot 0{,}91 \% \) triệu người.

Dân số năm 2021 là \(97 + 97 \cdot 0{,}91 \% = 97\cdot (1+0{,}91 \%)\) triệu người.

Dân số năm 2022 tăng lên so với năm 2021 là \(97\cdot (1+0{,}91 \%)\cdot 0{,}91 \% \) triệu người.

Dân số năm 2022 là

\(97\cdot (1+0{,}91 \%) + 97\cdot (1+0{,}91 \%) \cdot 0{,}91 \% = 97\cdot (1+0{,}91 \%)^2\) triệu người.

Dân số năm 2023 tăng lên so với năm 2021 là \(97\cdot (1+0{,}91 \%)^2\cdot 0{,}91 \% \) triệu người.

Dân số năm 2023 là

\(97\cdot (1+0{,}91 \%)^2 + 97\cdot (1+0{,}91 \%)^2\cdot 0{,}91 \% = 97\cdot (1+0{,}91 \%)^3\) triệu người.

Tương tự vậy ta có dân số năm 2030 là \(97\cdot (1+0{,}91 \%)^{10} = 106{,}1973784\) triệu người.

Gọi \((u_n)\) là dãy số biểu diễn giá trị của chiếc máy ủi theo từng năm.

Dãy số này là một cấp số nhân có \(u_1=3\), \(q=0{,}2\).

Số hạng tổng quát của cấp số nhân này là \(u_n=3\cdot 0{,}2^{n-1}\).

Ta có \(u_5=3\cdot 0{,}2^4=\displaystyle\frac{3}{325}=4{,}8\cdot10^{-3}\).

Tương ứng giá trị của chiếc máy ủi sau \(5\) năm là \(480\) triệu đồng.

a) Ta có

\begin{eqnarray*}A_0&=&100{.}000{.}000+100{.}000{.}000 \cdot 0{,}8\%-2{.}000{.}000\\&=&100{.}000{.}000(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000=98{.}800{.}000.\\A_1&=&A_0+A_0 \cdot 0{,}8\%-2{.}000{.}000\\&=&A_0(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000=97{.}590{.}400.\\A_2&=&A_1(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000=96{.}371{.}123.\\A_3&=&A_2(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000=95{.}142{.}092.\\A_4&=&A_3(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000=93{.}903{.}228.\\A_5&=&A_4(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000=92{.}654{.}454.\\A_6&=&A_5(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000=91{.}395{.}690.\end{eqnarray*}

b) Hệ thức truy hồi đối với dãy số \(\left(A_n\right)\) là

\(A_n = A_{n-1}(1+0{,}8\%)-2{.}000{.}000.\)

a) Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất là

\(A_n=100\left(1+\displaystyle\frac{0{,}06}{12}\right)^1 =100{,}5\) (triệu đồng).

Sau tháng thứ hai là

\(A_n=100\left(1+\displaystyle\frac{0{,}06}{12}\right)^2=101{,}0025\) (triệu đồng).

b) Số tiền ông An nhận được sau 1 năm là

\(A_n=100\left(1+\displaystyle\frac{0{,}06}{12}\right)^{12} =106{,}1678\) (triệu đồng).

Do lãi suất là \(12\%\)/năm tương đương với lãi là \(1\%\)/tháng.

Sau \(1\) tháng, ông An còn nợ là: \(10^9.(1+1\%)-a=10^9.(1,01)-S_1\).

Sau \(2\) tháng, ông An còn nợ là: \(10^9.(1.01)^2-a.(1.01)-a=10^9(1,01)^2-S_2\).

Sau \(3\) tháng, ông An còn nợ là: \(10^9.(1.01)^3-a(1.01)^2-a(1.01)-a=10^9.(1.01)^3-S_3\).

Sau \(24\) tháng, ông An còn nợ là: \(10^9.(1.01)^{24}-S_{24}=0\).

Do đó \(S_{24}=10^9.(1.01)^{24} \Leftrightarrow a.\displaystyle\frac{1-(1.01)^{24}}{1-(1.01)}=10^9.(1.01)^{24} \Leftrightarrow a =\displaystyle\frac{10^9.(1.01)^{24}.0.01}{(1.01)^{24}-1}\approx 47073472,22\).

Vậy mỗi tháng ông An phải trả \(47073500\).

Gọi cạnh một hình vuông thứ \(n\), \(n+1\) lần lượt là \(a_n, a_{n+1}\).

Do \(MN=\sqrt{MB^2+BN^2}=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{AB}{4}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{3AB}{4}\right)^2 }=AB.\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2}\).

Nên ta có cạnh hình vuông thứ \(n+1\) là: \(a_{n+1}=a_n.\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{2}\).

Vậy dãy số \(\left(a_n\right)\) là cấp số nhân.

Nhiệt độ sau mỗi giờ của khay nước theo thứ tự lập thành cấp số nhân với \(u_1=23\) và \(q=(1-20\%)\).

Ta có \(u_6=u_1.q^5=23.(1-20\%)^5 \approx 7,5\).

Nhiệt độ của khay nước sau \(6\) giờ là \( \approx 7,5^\circ \).

Do diện tích của mặt sàn tính từ tầng một lập thành một cấp số nhân với \(u_2=\displaystyle\frac{1}{2}.12288=6144\) và \(q=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Ta có \(\begin{cases}u_2=6144 \\ q=\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}u_1=12288 \\ q=\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases}\).

Ta có \(u_{11}=u_1.q^{10}=12288.\displaystyle\frac{1}{12^{10}}=12m^2\).

Vậy diện tích của mặt sàn tầng trên cùng là \(12m^2\).

Ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn organ theo thứ tự \(u_1; u_2; u_3\) tạo thành cấp số nhân nên

\(u^2_2 = u_1 \cdot u_3 \Rightarrow u^2_2 =415 \cdot 466 =193390 \Rightarrow u_2 =440\, (u_2>0).\)

Vậy tần số của phím La là \(400\) Hz.

Coi ngày điều tra dân số năm 2011 và năm 2021 trùng nhau thì từ năm 2011 đến năm 2021 là 10 năm. Vậy dân số nước ta tính đến năm 2021 là

\(u_{10} = P\cdot \left(1+a\%\right)^{10}.\)

Ta có \(u_{1} = P\cdot \left(1+a\%\right)^{1}.\)

\(u_{2} = P\cdot \left(1+a\%\right)^{2}.\)

Và công bội của cáp số nhân này là \(\, \displaystyle\frac{u_2}{u_1} = q = \displaystyle\frac{P\cdot \left(1+a\%\right)^{2}}{P\cdot \left(1+a\%\right)^{1}} = 1+a\%.\)

a) Gọi độ cao của người nhảy bungee nảy ngược lên lần đầu là \(u_1 = 9\) m.

Độ cao của người nhảy bungee nảy ngược lên lần tứ 2 là \(u_2 = 60\%\cdot u_1 =0{,}6\cdot 9 = 5{,}4\) m.

Độ cao của người nhảy bungee nảy ngược lên lần tứ 3 là \(u_3 = 60\%\cdot u_2 =0{,}6\cdot 5{,}4 = 3{,}24\) m.

b) Tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần nảy đầu là

\(S_5 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 = u_1 \left[1+0{,}6+(0{,}6)^2+(0{,}6)^3+ (0{,}6)^4\right] =9\cdot \displaystyle\frac{1-\left(0{,}6\right)^5}{1-0{,}6}=20{,}75 \) m.

a) Giả sử dân số năm \(2022\) là \(u_1=2{,}1\cdot 10^6\) thì dân số năm \(2023\) là

\(u_2=u_1+ 0{,}0075u_1=1{,}0075u_1\).

Tương tự dân số năm \(2024\) là \(u_3=1{,}0075u_2\).

Do đó dân số của thành phố qua các năm lập thành một cấp số nhân với

\(u_1=2{,}1\cdot10^6\); \(q=1{,}0075\).

Vậy dân số năm \(2032\) tương ứng với

\(u_{11}=u_1\cdot q^{10}=2,1\cdot 10^6\cdot1{,}0075^{10}\approx2262924\) (người).

b) Giả sử đến năm thứ \(n\) thì dân số gấp đôi năm \(2022\).

Suy ra

\(u_n=2u_1 \Leftrightarrow q^{n-1}=2\Leftrightarrow 1{,}0075^{n-1}=2\Leftrightarrow n \approx 93{,}7.\)

Vậy \(94\) năm sau tức là năm \(2116\) thì dân số thành phố sẽ gấp đôi năm \(2022\).

Gọi \(u_n\) là giá trị còn lại của ô tô sau \(n\) năm sử dụng.

a. Giá trị của ô tô sau \(1\) năm sử dụng là

\(u_1=800-800\cdot0{,}04=800\cdot0{,}96=768\) triệu đồng.

Giá trị của ô tô sau \(2\) năm sử dụng là

\(u_2=u_1-u_1\cdot0{,}04=u_1\cdot0{,}96=737{,}28\) triệu đồng.

b. Ta có

\(u_n=u_{n-1}-u_{n-1}\cdot0{,}04=u_{n-1}\cdot0{,}96\).

Do đó, \((u_n)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1=768\) và công bội \(q=0{,}96\).

Vậy sau \(n\) năm sử dụng, giá trị còn lại của chiếc ô tô là

\(u_n=u_1q^{n-1}\Rightarrow u_n=768\cdot0{,}96^{n-1}\).

c. Sau \(10\) năm, ước tính giá trị của ô tô còn lại là

\(u_{10}=768\cdot0{,}96^9\approx 531{,}87\) triệu đồng.

Gọi \(u_n\) là quãng đường người đó được kéo lên ở lần thứ \(n\) được kéo lên và lại rơi xuống (đơn vị tính: mét).

Ta có

\(u_1=0{,}75\cdot100=100\cdot1{,}5=75\) m và

\(u_n=0{,}75\cdot u_{n-1}\).

Vậy \((u_n)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1=75\) và công bội \(q=0{,}75\).

Tổng quãng đường người đó đi được sau \(10\) lần kéo lên và lại rơi xuống là

\(\begin{aligned}S=\ &100+2u_1+2u_2+\cdots+2u_{10}\\ =\ &100+2S_{10}\\ =\ &100+2\cdot\displaystyle\frac{75\left(1-0{,}75^{10}\right)}{1-0{,}75}\\ \approx\ &666{,}2 \text{ m}.\end{aligned}\)