\(\S2.\) CÁC QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

\(\bullet\,\) Suy ra \(y'=\displaystyle\frac{(x-3x^2)'(x+1)-(x-3x^2)(x+1)'}{(x+1)^2}\) \(=\displaystyle\frac{(1-6x)(x+1)-(x-3x^2)}{(x+1)^2}=\displaystyle\frac{-3x^2-6x+1}{(x+1)^2}.\)

Dạng 3. Tính đạo hàm của hàm số có chứa căn thức

Câu 1:

Hàm số \(f(x)=\sqrt{4x^2+8x+5}\) có đạo hàm là \(f'(x)=\displaystyle\frac{ax+b}{\sqrt{4x^2+8x+5}}\), với \(a\), \(b\) là các số nguyên dương. Tổng \(a+b\) bằng

\(a+b=6\)
\(a+b=12\)
\(a+b=8\)
\(a+b=16\)

Đáp án: \(a+b=8\)

Lời giải:

Ta có \(f'(x)=\displaystyle\frac{\left(4x^2+8x+5\right)'}{2\sqrt{4x^2+8x+5}}\) \(=\displaystyle\frac{8x+8}{2\sqrt{4x^2+8x+5}}\) \(=\displaystyle\frac{4x+4}{\sqrt{4x^2+8x+5}}\).

Vậy \(a+b=4+4=8\).

Câu 2:

Tính đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt{x^2+1}.\)

\(\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)
\(\displaystyle\frac{2x}{x^2+1}\)
\(\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\)
\(\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x^3+1}}\)

Đáp án: \(\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)

Lời giải:

Áp dụng công thức ta có

\(y'=\displaystyle\frac{(x^2+1)'}{2 \sqrt{x^2+1}}\) \(=\displaystyle\frac{2x}{2 \sqrt{x^2+1}}=\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.\)

Dạng 4. Tính đạo hàm của hàm số có chứa hàm lượng giác

Câu 1:

Cho hàm số \(f(x)=\sin2x\). Khi đó \(f'\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=?\)

\(2\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)

Đáp án: \(0\)

Lời giải:

Ta có: \(f'(x)=2\cos2x\Rightarrow f'\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=2\cos\left(2\cdot\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=2\cos\displaystyle\frac{\pi}{2}=0\).

Câu 2:

Đạo hàm của hàm số \(y=\cos 7 x\) là

\(y'=\sin 7 x\)
\(y'=7 \cos 7 x\)
\(y'=-7 \sin 7 x\)
\(y'=-\sin 7 x\)

Đáp án: \(y'=-7 \sin 7 x\)

Lời giải:

Ta có \(y'=-7 \sin 7 x\).

Dạng 5. Tính đạo hàm của hàm số có chứa hàm lũy thừa

Câu 1:

Hàm số \(f(x)=7^{x^2+6}\) có đạo hàm là

\(f'(x)=7^{x^2+6}\ln 7\)
\(f'(x)=\left(x^2+6\right)7^{x^2+5}\)
\(f'(x)=\left(x^2+6\right)7^{x^2+6}\ln 7\)
\(f'(x)=2x\cdot 7^{x^2+6}\ln 7\)

Đáp án: \(f'(x)=2x\cdot 7^{x^2+6}\ln 7\)

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm:

\begin{eqnarray*}&& \left(a^u\right)’=u'\cdot a^u\cdot \ln a \\&\Rightarrow &f'(x)=\left(7^{x^2+6}\right)’ \\&\Rightarrow &f'(x)=\left(x^2+6\right)’7^{x^2+6}\ln 7 \\&\Rightarrow &f'(x)=2x\cdot 7^{x^2+6}\ln 7.\end{eqnarray*}

Câu 2:

Đạo hàm của hàm số \(y=3^{2x}\) bằng

\(y'=3^{2x}\cdot\ln 3\)
\(y'=\displaystyle\frac{3^{2x}}{\ln 3}\)
\(y'=3^{2x}\)
\(y'=2\cdot 3^{2x}\ln 3\)

Đáp án: \(y'=2\cdot 3^{2x}\ln 3\)

Lời giải:

Ta có \(y'=2\cdot 3^{2x}\ln 3\).

Dạng 6. Tính đạo hàm của hàm số có chứa hàm lôgarit

Câu 1:

Đạo hàm của hàm số \(y=\log_5 x\) là

\(y'=\displaystyle\frac{1}{x}\)
\(y'=\displaystyle\frac{1}{x\log 5}\)
\(y'=\displaystyle\frac{1}{x\ln 5}\)
\(y'=\displaystyle\frac{\ln 5}{x}\)

Đáp án: \(y'=\displaystyle\frac{1}{x\ln 5}\)

Lời giải:

Ta có \(y'=\displaystyle\frac{1}{x\ln 5}\).

Câu 2:

Hàm số \(y=\ln(x^2+1)\) có đạo hàm là

\(\displaystyle\frac{2}{x^2+1}\)
\(\displaystyle\frac{x+1}{x^2+1}\)
\(\displaystyle\frac{2x}{x^2+1}\)
\(\displaystyle\frac{1}{x^2+1}\)

Đáp án: \(\displaystyle\frac{2x}{x^2+1}\)

Lời giải:

Ta có \(y'=\left(\ln(x^2+1)\right)'\) \(=\displaystyle\frac{(x^2+1)'}{x^2+1}\) \(= \displaystyle\frac{2x}{x^2+1}\).

Dạng 7. Tính đạo hàm bằng công thức \((u^n)'=n\cdot u^{n-1}u'\)

Câu 1:

Đạo hàm của hàm số \(y=(4x^4-3x)^{11}\) là

\(11(4x^4-3x)(4x^4-3x)^{10}\)
\(11(16x^3-3)(4x^4-3x)^{10}\)
\(11(16x^3-3)^{10}\)
\(11(4x^4-3x)^{10}\)

Đáp án: \(11(16x^3-3)(4x^4-3x)^{10}\)

Lời giải:

Ta có \(y'=11(4x^4-3x)^{10}(4x^4-3x)'\) \(=11(16x^3-3)(4x^4-3x)^{10}\).

Câu 2:

Đạo hàm của hàm số \(f(x)=(2x^2-1)^2\) tại \(x_0=\sqrt{2}\) bằng

\(f'(\sqrt{2})=20\sqrt{2} \)
\(f'(\sqrt{2})=24\sqrt{2}\)
\(f'(\sqrt{2})=18\sqrt{2} \)
\(f'(\sqrt{2})=16\sqrt{2} \)

Đáp án: \(f'(\sqrt{2})=24\sqrt{2}\)

Lời giải:

Ta có \(f'(x)=8x(2x^2-1)\) \( \Rightarrow f'(\sqrt{2})=24\sqrt{2}\).

}

Dạng 8. Tính đạo hàm bằng công thức \((u\cdot v)'=u'v+uv'\)

Câu 1:

Cho hàm số \(y=2\sin 3x \cdot \cos 5x\). Đạo hàm của hàm số là

\(2(4\cos 8x-\cos 2x)\)
\(2(\cos 2x-\cos 8x)\)
\(-2\cos 3x \cdot \sin 5x\)
\(-30\cos 3x \cdot \sin 5x\)

Đáp án: \(2(4\cos 8x-\cos 2x)\)

Lời giải:

\(y=2\sin 3x \cdot \cos 5x=\sin 8x - \sin 2x\)

\(y'=(\sin 8x)' - (\sin 2x)'\) \(=8\cos 8x - 2\cos 2x\) \(=2(4\cos 8x-\cos 2x)\).

Câu 2:

Tính đạo hàm của hàm số: \(y=x\tan 2x\).

\(\tan 2x+\displaystyle\frac{x}{\cos^22x}\)
\(\tan 2x+\displaystyle\frac{2x}{\cos^2x}\)
\(\displaystyle\frac{2x}{\cos^22x}\)
\(2x\tan^22x+\tan 2x+2x\)

Đáp án: \(2x\tan^22x+\tan 2x+2x\)

Lời giải:

\(y=x\tan 2x \Rightarrow y'=(x))\tan 2x+x{\left(\tan 2x\right)}'\) \(=\tan 2x+x\displaystyle\frac{(2x)'}{\cos^22x}\) \(=\tan 2x+\displaystyle\frac{2x}{\cos^22x}\) \(=2x\tan^22x+\tan 2x+2x\).

Dạng 9. Tính đạo hàm bằng công thức \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)

Câu 1:

Hàm số \(f(x)=\displaystyle\frac{3^{2-x}}{2^{x}}\) có đạo hàm là

\(f'(x)=6^{1-x}\ln 6\)
\(f'(x)=\displaystyle\frac{3^{2-x}\ln 2}{4^{x}\ln 3}\)
\(f'(x)=\displaystyle\frac{3^{2-x}\ln 6}{4^{x}}\)
\(f'(x)=-9\cdot 6^{-x}\ln 6\)

Đáp án: \(f'(x)=-9\cdot 6^{-x}\ln 6\)

Lời giải:

Ta có \(f(x)=\displaystyle\frac{9}{6^{x}}=9\cdot 6^{-x}\), suy ra \(f'(x)=-9\cdot 6^{-x}\ln 6\).

}

Câu 2:

Cho hàm số \(y=\displaystyle\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

\(y'=\displaystyle\frac{2}{1-\cos 2x}\)
\(y'=\displaystyle\frac{2}{1+\sin 2x}\)
\(y'=\displaystyle\frac{2}{1-\sin 2x}\)
\(y'=\displaystyle\frac{2}{1+\cos 2x}\)

Đáp án: \(y'=\displaystyle\frac{2}{1+\sin 2x}\)

Lời giải:

Ta có

\begin{eqnarray*}y'&=&\displaystyle\frac{(\sin x-\cos x)'(\sin x+\cos x)-(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)'}{(\sin x+\cos x)^2}\\&=&\displaystyle\frac{(\cos x+\sin x)(\sin x+\cos x)-(\sin x-\cos x)(\cos x-\sin x)'}{1+2\sin x\cos x}\\&=&\displaystyle\frac{(\sin x+\cos x)^2+(\sin x-\cos x)^2}{1+\sin 2x}\\&=& \displaystyle\frac{1+\sin 2x+1-\sin 2x}{1+\sin 2x}\\&=&\displaystyle\frac{2}{1+\sin 2x}.\end{eqnarray*}

}

Dạng 10. Tính đạo hàm của hàm hợp

Câu 1:

Hàm số \(f(x)=\log_7(x\mathrm{e}^x)\) có đạo hàm là

\(\displaystyle\frac{x+1}{x\ln 7}\)
\(\displaystyle\frac{2\mathrm{e}}{x\mathrm{e}^x\ln 7}\)
\(\displaystyle\frac{x+1}{x\mathrm{e}^x\ln 7}\)
\(\displaystyle\frac{\mathrm{e}^x(x+1)}{x\ln 7}\)

Đáp án: \(\displaystyle\frac{x+1}{x\ln 7}\)

Lời giải:

Ta có\(\left[f(x)\right]'=\left[\log_7\left(x\mathrm{e}^x\right)\right]'\) \(=\displaystyle\frac{\left(x\mathrm{e}^x\right)'}{x\mathrm{e}^x\ln 7}\) \(=\displaystyle\frac{\mathrm{e}^x+x\mathrm{e}^x}{x\mathrm{e}^x\ln 7}\) \(=\displaystyle\frac{\mathrm{e}^x\left(1+x\right)}{x\mathrm{e}^x\ln 7}\) \(=\displaystyle\frac{1+x}{x\ln 7}\).

Câu 2:

Tính đạo hàm của hàm số \(y=\log\left(1+\sqrt{x+1}\right)\).

\(y' = \displaystyle\frac{1}{\left(1+\sqrt{x+1}\right)\ln 10}\)
\(y' = \displaystyle\frac{\ln 10}{2\sqrt{x+1}\left(1+\sqrt{x+1}\right)}\)
\(y' = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x+1}\left(1+\sqrt{x+1}\right)}\)
\(y' = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x+1}\left(1+\sqrt{x+1}\right)\ln 10}\)

Đáp án: \(y' = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x+1}\left(1+\sqrt{x+1}\right)\ln 10}\)

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định khi \(x\geq -1\).

Với mọi \(x>-1\) ta có

\(y' = \displaystyle\frac{\left(1+\sqrt{x+1}\right)'}{\left(1+\sqrt{x+1}\right)\ln 10}\) \(= \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x+1}\left(1+\sqrt{x+1}\right)\ln 10}.\)

Dạng 11. Tính đạo hàm cấp hai

Câu 1:

Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=\sin 5x\cos 2x.\)

\(y''=-49\sin 7x-9\sin 3x\)
\(y''=49\sin 7x+9\sin 3x\)
\(y''=\displaystyle\frac{49}{2}\sin 7x+\displaystyle\frac{9}{2}\sin 3x\)
\(y''=-\displaystyle\frac{49}{2}\sin 7x-\displaystyle\frac{9}{2}\sin 3x\)

Đáp án: \(y''=-\displaystyle\frac{49}{2}\sin 7x-\displaystyle\frac{9}{2}\sin 3x\)

Lời giải:

\(\bullet\,\) Ta có \(y=\sin 5x\cos 2x=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\sin 7x+\sin 3x\right)\).

\(\bullet\,\) Suy ra \(y'=\displaystyle\frac{1}{2}\left(7\cos 7x+3\cos 3x\right)\) \(\Rightarrow y''=\displaystyle\frac{1}{2}\left(-49\sin 7x-9\sin 3x\right)\).

Câu 2:

Cho hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{2}x^2+x+1\). Tính giá trị biểu thức \(M=(y')^2-2yy''\).