1. Hợp và giao của hai tập hợp
Cho hai tập hợp \(A\) và \(B\).
+ Tập hợp các phần tử thuộc \(A\) hoặc thuộc \(B\) gọi là hợp của hai tập \(A\) và \(B\), kí hiệu \(A\cup B\).
\(A\cup B=\{x\ |\ x\in A\) hoặc \(x\in B\}.\)
+ Tập hợp các phần tử thuộc cả hai tập hợp \(A\) và \(B\) gọi là giao của hai tập \(A\) và \(B\), kí hiệu \(A\cap B\).
\(A\cap B=\{x\ |\ x\in A\ \text{và}\ x\in B\}.\)
Nhận xét.
+ Nếu \(A\) và \(B\) là hai tập hợp hữu hạn thì
\(\quad\) \(n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)\).
+ Đặc biệt, nếu \(A\) và \(B\) không có phần tử chung, tức \(A \cap B=\varnothing\), thì
\(\quad\) \(n(A \cup B)=n(A)+n(B)\).
2. Hiệu của hai tập hợp, phần bù của tập con
Cho hai tập hợp \(A\) và \(B\).
+ Tập hợp các phần tử thuộc \(A\) nhưng không thuộc \(B\) gọi là hiệu của hai tập \(A\) và \(B\), kí hiệu \(A\setminus B\).
\(A\setminus B=\{x\ |\ x\in A\ \text{và}\ x\not\in B\}.\)
+ Nếu \(A\) là tập con của \(E\) thì hiệu \(E \setminus A\) gọi là phần bù của \(A\) trong \(E\), kí hiệu \(C_{E} A\).
Dạng 1. Xác định giao, hợp, hiệu của các tập hữu hạn
Dạng 2. Xác định giao, hợp, hiệu của các khoảng, đoạn
Dạng 3. Xác định phần bù của đoạn, khoảng, nửa khoảng
Dạng 4. Giao, hợp, hiệu trên các tập hợp chứa tham số
Dạng 5. Giải bài toán bằng biểu đồ Ven (sử dụng Nguyên lí bù trừ)
Câu 1:
Cho tập \(A=\left\{0;2;4;6;8\right\}\); \(B=\left\{3;4;5;6;7\right\}\). Tập \(A\setminus B\) là
Đáp án: \(\left\{0;6;8\right\}\)
Lời giải:
Ta có \(A\setminus B=\left\{0;6;8\right\}\).
Câu 2:
Cho \(X=\{-3;-2;1;4;8;10\}\) và \(Y=\{-2;4;10;14\}\). Tìm tập hợp \(X\cap Y\).
Đáp án: \(X\cap Y=\{-2;4;10\}\)
Lời giải:
Ta có \(X\cap Y=\{-2;4;10\}\).
Câu 1:
Cho hai tập hợp \(A=(-3 ; 3)\) và \(B=(0 ;+\infty)\). Tìm \(A \cup B\).
Đáp án: \(A \cup B=(-3 ;+\infty)\)
Lời giải:
Ta có \(A \cup B=(-3 ;+\infty)\).
Câu 2:
Cho hai tập hợp \(A=(-\infty;1]\); \(B=[-2;4]\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
Đáp án: \(A\cup B=(-\infty;4]\)
Lời giải:
Ta có \(A\cup B=(-\infty;4]\).
+) Cho $A\subset E$ thì phần bù của $A$ trong $E$ là $C_EA=E\setminus A$.
+) Phần bù của khoảng, đoạn, nửa khoảng $A$ là tập $\mathbb{R}\setminus A$. Tức là $\mathrm{C}_{\mathbb{R}}A=\mathbb{R}\setminus A$.
Câu 1:
Cho tập hợp \( A=\left[-\sqrt{3};\sqrt{5}\right) \). Tập hợp \( \mathrm{C}_{\mathbb{R}} A \) bằng
Đáp án: \( \left(-\infty;-\sqrt{3}\right)\cup\left[\sqrt{5};+\infty\right) \)
Lời giải:
Ta có \(\mathrm{C}_{\mathbb{R}} A =\left(-\infty;-\sqrt{3}\right)\cup\left[\sqrt{5};+\infty\right)\).
Câu 2:
Cho tập hợp \(A=(-3 ; 4]\). Xác định tập hợp \(\mathrm{C}_{\mathbb{R}} A\).
Đáp án: \((-\infty ;-3] \cup(4 ;+\infty)\)
Lời giải:
\(\mathrm{C}_{\mathbb{R}} A=\mathbb{R}\setminus A=\left(-\infty;-3\right]\cup \left(4;+\infty\right)\).
Câu 1:
Cho tập hợp \(X\) thỏa mãn: \(\{1;2\}\subset X\subset \{1;2;3;4\}\). Tập hợp \(X\) không thể là tập nào trong những tập dưới đây?
Đáp án: \(\{3;4\}\)
Lời giải:
Vì \(\{1;2\}\subset X\subset \{1;2;3;4\}\) nên \(X\) phải chứa ít nhất hai phần tử 1 và 2.
Do đó \(X\) không thể là tập \(\{3;4\}\).
Câu 2:
Cho tập hợp \(A=[m; m+2], B=[1; 3)\). Điều kiện để \(A\cap B=\varnothing\) là
Đáp án: \(m < -1\) hoặc \(m \geq 3\)
Lời giải:
Để \(A\cap B=\varnothing\) thì \(m \geq 3\) hoặc \(m+2 < 1\) \(\Leftrightarrow m \geq 3\) hoặc \(m < -1\).
Thường tiến hành theo các bước sau:
+) Chuyển bài toán về ngôn ngữ tập hợp.
+) Sử dụng biểu đồ Ven để minh họa các tập hợp.
+) Dựa vào biểu đồ ven ta thiết lập được một đẳng thức (chính là nguyên lí thêm bớt) từ đó tìm được kết quả bài toán.
Nguyên lí thêm bớt
+) Đối với hai tập hữu hạn: $\mathrm{n}(A\cup B)=\mathrm{n}(A)+\mathrm{n}(B)-\mathrm{n}(A\cap B)$.
+) Đối với ba tập hữu hạn: $\mathrm{n}(A\cup B\cup C)=\mathrm{n}(A)+\mathrm{n}(B)+\mathrm{n}(C)-\left[\mathrm{n}(A\cap B)+\mathrm{n}(A\cap C)+\mathrm{n}(B\cap C)\right]+\mathrm{n}(A\cap B\cap C)$.
Câu 1:
Lớp 10A có \(40\) học sinh, trong đó có \(20\) học sinh tham gia Câu lạc bộ cờ vua, \(15\) học sinh tham gia Câu lạc bộ văn nghệ và \(5\) học sinh tham gia cả Câu lạc bộ cờ vua và Câu lạc bộ văn nghệ. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu học sinh không tham gia Câu lạc bộ nào trong \(2\) Câu lạc bộ kể trên?
Đáp án: \(10\)
Lời giải:
Số học sinh tham gia ít nhất một trong hai Câu lạc bộ cờ vua hoặc văn nghệ là
\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=20+15-5=30.\(
Số học sinh không tham gia Câu lạc bộ nào trong hai Câu lạc bộ trên là \(40-30=10\).
Câu 2:
Lớp 10A có \(25\) học sinh giỏi, trong đó có \(15\) học sinh giơi môn Toán, \(16\) học sinh giỏi môn Ngữ văn. Hỏi lớp 10A có tất cả bao nhiêu học sinh giỏi cả hai môn Toán và Ngữ văn?
Đáp án: \(6\)
Lời giải:
Số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Ngữ Văn là \(16+15-25=6\) học sinh.
Câu 1:
Gọi \(T\), \(V\) lần lượt là tập hợp các học sinh thích học Toán, Văn. Phát biểu bằng lời các tập hợp sau
a) \(T\cup V\),
b) \(T\cap V\),
c) \(T\setminus V\),
d) \(V\setminus T\).
a) \(T\cup V\) là tập hợp các học sinh thích học Toán hoặc Văn.
b) \(T\cap V\) là tập hợp các học sinh thích học Toán và Văn.
c) \(T\setminus V\) là tập hợp các học sinh thích học Toán nhưng không thích học Văn.
d) \(V\setminus T\) là tập hợp các học sinh thích học Văn nhưng không thích học Toán.
Câu 2:
Cho hai tập hợp \(A=\{1;2;3;5;7\}\) và \(B=\{n\in \mathbb{N}\mid n \text{ là ước số của } 12\}\). Tìm \(A\cap B\), \(A\cup B\), \(A \setminus B\), \(B \setminus A\).
Ta có \(B=\{1;2;3;4;6;12\}\).
Vậy \(A\cap B=\{1;2;3\}\), \(A\cup B=\{1;2;3;4;5;6;7;12\}\), \(A \setminus B =\{5;7\}\), \(B \setminus A =\{4;6;12\}\).
Câu 3:
Chứng minh rằng
a) Nếu \(A\subset B\) thì \(A\cap B=A\).
b) Nếu \(A \setminus B = \varnothing\) thì \(A \subset B\).
a) Lấy tùy ý \(x\in A\cap B\), khi đó \(x\in A\). Suy ra \((A\cap B)\subset A\).\hfill \((1)\)
Lấy tùy ý \(x\in A\). Do \(A\subset B\) nên \(x\in B\). Như thế \(x\in A\cap B\).
Suy ra \(A\subset A\cap B\).\hfill \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \(A\cap B=A\).
b) Lấy tùy ý \(x \in A\). Nếu \(x \notin B\) thì \(x \in A \setminus B\) (mâu thuẫn).
Do đó \(x \in B\). Vậy \(A \subset B\).
Câu 4:
Cho tập hợp \(B=\{x\in\mathbb{Z}\mid-4< x\le 4\}\) và \(C=\{x\in\mathbb{Z}\mid x\le a\}\). Tìm số nguyên \(a\) để tập hợp \(B\cap C=\varnothing\).
Ta có \(B=\{-3;-2;-1;0;1;2;3;4\}\), \(C=\{\ldots,a-1,a\}\).
Để \(B\cap C=\varnothing \) thì \(a\le -4, a \in \mathbb{Z}\).
Câu 5:
Cho các tập hợp \(A=\{4;5\}\) và \(B=\{n\in \mathbb{N}\mid n\le a\}\) với \(a\) là số tự nhiên. Tìm \(a\) sao cho \(A\setminus B=A\).
Ta có \(B=\{0;1;\ldots;a\}\).
Để \(A\setminus B=A\) thì các phần tử của \(A\) không thuộc \(B\). Suy ra \(a\le 3\).
Vậy \(a\in\{0;1;2;3\}\).
Câu 6:
Cho hai tập hợp \(A\), \(B\) biết \(A=\{a;b\}\), \(B=\{a;b;c;d\}\). Tìm tập hợp \(X\) sao cho \(A\cup X=B\).
Tập hợp \(X\) có thể là \(\{c;d\}\); \(\{b;c;d\}\); \(\{a;c;d\}\); \(\{a;b;c;d\}\).
Câu 7:
Cho \(A\subset B\), chứng minh rằng \(A\cup B=B\).
Lấy tùy ý \(x\in A\cup B\). Khi đó \(x\in A\) hoặc \(x\in B\).
Nếu \(x\in A\) thì do \(A\subset B\) nên \(x\in B\). Do đó \(x\in B\) hay \((A\cup B)\subset B\). \hfill \((1)\)
Ngược lại, lấy tùy ý \(x\in B\) thì \(x\in A\cup B\). Suy ra \(B\subset (A\cup B)\).\hfill \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) ta được \(A\cup B=B\).
Câu 8:
Cho \(A\setminus B=A\). Chứng minh \(A\cap B=\varnothing\).
Lấy tùy ý \(x\in A\) thì do \(A=A\setminus B\) nên \(x\in A\setminus B\). Do đó \(x\notin B\).
Vậy \(A\cap B=\varnothing\).
Câu 9:
Cho \(A=\{x \in \mathbb{Z} \mid x< 4\}; B=\left\{x \in \mathbb{Z} \mid\left(5x-3x^2\right)\left(x^2+2x-3\right)=0\right\}\).
a) Liệt kê các phần tử của hai tập hợp \(A\) và \(B\).
b) Hãy xác định các tập hợp \(A\cap B, A\cup B\) và \(A\setminus B\).
a) Ta có \(A=\{\ldots; -2; -1; 0; 1; 2; 3\}\).
Phương trình \(\left(5x-3x^2\right)\left(x^2+2x-3\right)=0\Leftrightarrow\hoac{& 5x-3x^2=0 \\ & x^2+2x-3=0}\Leftrightarrow\hoac{& x=0 \\ & x=\displaystyle\frac{5}{3}\\ & x=1\\ &x=-3.}\)
Do \(x\in\mathbb{Z}\) nên \(B=\{-3; 0; 1\}\).
b) Ta có \(A\cap B=\{-3; 0; 1\}\),
\(A\cup B=\{\ldots; -2; -1; 0; 1; 2; 3\}\),
\(A\setminus B=\{\ldots; -4; -2; -1; 2; 3\}\).
Câu 10:
Cho các tập hợp \(A=\{4;5\}\) và \(B=\{n\in \mathbb{N}\mid n\geq a\}\) với \(a\) là số tự nhiên. Tìm \(a\) sao cho \(A\cup B=B\).
Ta có \(B=\{a;a+1;a+2;\ldots\}\).
Để \(A\cup B=B\) thì các phần tử của \(A\) đều thuộc \(B\). Suy ra \(a\leq 4\).
Vậy \(a\in\{0;1;2;3;4\}\).
Câu 11:
Cho hai tập hợp \(A\) và \(B\). Chứng minh rằng \((A\setminus B)\cup B=A\cup B\).
Ta có \(x\in (A\setminus B)\cup B\Leftrightarrow\hoac{& x\in A\setminus B \\ & x\in B}\Leftrightarrow\hoac{& \heva{& x\in A \\ & x\notin B} \\ & x\in B}\Leftrightarrow\hoac{& x\in A \\ & x\in B}\Leftrightarrow x\in A\cup B\).
Vậy \((A\setminus B)\cup B=A\cup B\).
Câu 12:
Xác định tập hợp \((0;3)\cup (-3;2)\) và biểu diễn trên trục số
Biểu diễn tập hợp \(A\) trên trục số
Biểu diễn tập \(B\) trên trục số
Kết hợp hai trục số trên ta được tập \(A\cup B=(-3;3)\).
}
Câu 13:
Cho hai tập hợp \(A=\lbrace x\in \mathbb{R}\vert -1\leq x \leq 3 \rbrace\), \(B=\lbrace x\in \mathbb{R}\vert -2< x< 2 \rbrace\). Tìm \(A\cap B\).
Biểu diễn tập hợp \(A\) trên trục số
Biểu diễn tập \(B\) trên trục số
Kết hợp hai trục số trên ta được tập \(A\cap B=[-1;2)\).
Câu 14:
Xác định các tập hợp sau đây và biểu diễn chúng trên trục số.
a) \((0;3)\cap (2;4).\)
b) \(\mathbb{R}\cap (-1;1).\)
a)
Biểu diễn tập hợp \(A=(0;3)\) trên trục số
Biểu diễn tập \(B=(2;4)\) trên trục số
Kết hợp hai trục số trên ta được tập \(A\cap B=(2;3)\).
b)
Biểu diễn tập hợp \(A=\mathbb{R}\) trên trục số
Biểu diễn tập \(B=(-1;1)\) trên trục số
Kết hợp hai trục số trên ta được tập \(A\cap B=(-1;1)\).
Câu 15:
Cho \(m>5\). Xác định tập hợp \([-2;m)\cup [0;4)\).
Vì \(m>5\) nên \(m>4\Rightarrow [0;4)\subset [-2;m)\Rightarrow [-2;m)\cup [0;4)=[-2;m).\)
Câu 16:
Cho các tập hợp \(A=\{x\in \mathbb{R}| |x+2|< 2\}\), \(B=\{x\in \mathbb{R}| |x+4|\geq 3\}\),\\ \(C=[-5;3)\). Tìm các tập hợp
a) \(A \cap B\).
b) \(B \cup C\).
c) \(A \cap B\cap C\).
d) \(A \cup B\).
e) \(A \cap B \cup C\).
f) \((A \cup B)\cap(B \cup C)\).
\(|x+2|< 2\Leftrightarrow -2< x+2< 2\Leftrightarrow -4< x< 0\). Do đó \(A=(-4;0)\).
\(|x+4|\geq 3\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x+4\leq -3\\ &x+4\geq 3\\ \end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x\leq -7\\ &x\geq -1\end{aligned}\right.\).
Do đó \(B=(-\infty;-7]\cup [-1;+\infty)\).
Biểu diễn tập \(A\) trên trục số
Biểu diễn tập \(B\) trên trục số
Biểu diễn tập \(C\) trên trục số
a) \(A \cap B = [-1;0)\).
b) \(B \cup C = (-\infty;-7]\cup [-5;+\infty)\).
c) \(A \cap B\cap C= [-1;0)\).
d) \(A \cup B = (-\infty;-7]\cup (-4;+\infty)\).
e) \(A \cap B \cup C = [-5;3)\).
f) \((A \cup B)\cap(B \cup C) = (-\infty;-7]\cup (-4;+\infty)\).
Câu 17:
Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.
a) \((-4; 1]\cap[0; 3)\);
b) \((0; 2]\cup(-3; 1]\);
c) \((-2; 1)\cap(-\infty; 1]\);
a)
Biểu diễn tập hợp \(A=(-4;1]\) trên trục số
Biểu diễn tập \(B=[0;3)\) trên trục số
Kết hợp hai trục số trên ta được tập \(A\cap B=[0;1]\).
b)
Biểu diễn tập hợp \(A=(0;2]\) trên trục số
Biểu diễn tập \(B=(-3;1]\) trên trục số
Kết hợp hai trục số trên ta được tập \(A\cup B=(-3;2]\).
c)
Biểu diễn tập hợp \(A=(-2;1)\) trên trục số
Biểu diễn tập \(B=(-\infty;1]\) trên trục số
Kết hợp hai trục số trên ta được tập \(A\cap B=(-2;1)\).
Câu 18:
Gọi \(A\) là tập nghiệm của phương trình \(x^2+x-2=0\), \(B\) là tập nghiệm của phương trình \(2x^2+x-6=0\). Tìm \(C=A\cap B\).
+) \(x^2+x-2=0 \Leftrightarrow x=-2\) hoặc \(x=1\). Do đó \(A=\{-2;1\}\).
+) \(2x^2+x-6=0 \Leftrightarrow x=-2\) hoặc \(x=\displaystyle\frac{3}{2}\). Do đó \(B=\left\lbrace -2; \displaystyle\frac{3}{2} \right\rbrace\).
Bởi vậy \(C=A\cap B=\{-2\}\).
}
Câu 19:
Tìm \(D=E\cap G\) biết \(E\) và \(G\) lần lượt là tập nghiệm của hai bất phương trình trong mỗi trường hợp sau
a) \(2x+3\ge 0\) và \(-x+5\ge 0\);
b) \(x+2>0\) và \(2x-9< 0\).
a) Ta có
\(2x+3\ge 0 \Leftrightarrow x\ge -\displaystyle\frac{3}{2}\), suy ra \(E=\left[-\displaystyle\frac{3}{2}; +\infty \right)\).
\(-x+5\ge 0 \Leftrightarrow x\le 5\), suy ra \(G=\left(-\infty; 5\right]\).
Do đó \(D=E\cap G=\left[-\displaystyle\frac{3}{2}; 5 \right]\).
b) Ta có
\(x+2>0 \Leftrightarrow x>-2\), suy ra \(E=\left(-2; +\infty \right)\).
\(2x-9< 0 \Leftrightarrow x< \displaystyle\frac{9}{2}\), suy ra \(G=\left(-\infty; \displaystyle\frac{9}{2}\right)\).
Do đó \(D=E\cap G=\left(-2; \displaystyle\frac{9}{2}\right)\).
}
Câu 20:
a) Cho \(A=[0; 2]\), \(B=(-\infty; -1) \cup(1; +\infty)\). Tìm các tập \(A \cap B\), \( A \cup B\), \( A \backslash B\) và \(B \backslash A\).
b) Cho \(C=(-\infty; 5] \cup(10; +\infty)\) và \(D=[m-4; m-1]\). Tìm \(m\) sao cho tập hợp \(C \cap D\) chứa đúng hai số nguyên.
a)
\(A \cap B=(1; 2]\).
\(A \cup B= (-\infty; -1) \cup [0; + \infty)\).
\( A \backslash B= [0; 1]\).
\(B \backslash A=(-\infty; -1) \cup (2; +\infty)\).
b)
Do \(m-1-(m-4)=3\) nên \(D\) chứa ít nhất \(3\) số nguyên. \quad \((1)\)
Nếu \(m-1 \geq 13 \Leftrightarrow m \geq 14\), suy ra \(m-4\geq 10\).
Khi đó kết hợp với \((1)\) ta có \(C \cap D=D\backslash \left\lbrace 10\right\rbrace \) chứa ít nhất \(3\) số nguyên: không thỏa mãn. Do đó \(m < 14\).
Nếu \(m-4 \leq 3 \Leftrightarrow m \leq 7\) suy ra \(m-1\leq 6\), khi đó \(C \cap D\) chứa ít nhất \(3\) số nguyên: không thỏa mãn. Suy ra \(m>7\).
Lập luận tương tự ta thấy \(9>m-4>4\) không thỏa mãn, suy ra \(m \leq 8\) hoặc \(m \geq 13\).
Với \(7< m\leq 8\) thay vào ta được \(C \cap D\) chứa đúng hai số nguyên.
Với \(13 \leq m < 14\) thay vào ta được \(C \cap D\) chứa đúng hai số nguyên.
Vậy \(m \in (7; 8] \cup [13; 14)\) thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 21:
Cho hai tập hợp: \(A=\{3 ; 6 ; 9 ; 12\}\),
\(B=\{2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12\}\). Tìm \(A \setminus B\), \(B \setminus A\).
Tập hợp \(A \setminus B\) gồm những phần tử thuộc \(A\) mà không thuộc \(B\).\\ Vậy \(A \setminus B=\{3 ; 9\}\).
Tập hợp \(B \setminus A\) gồm những phần tử thuộc \(B\) mà không thuộc \(A\).\\ Vậy \(B \setminus A=\{2 ; 4 ; 8 ; 10\}\).
Câu 22:
Cho hai tập hợp: \(A=\{x \in \mathbb{N} \mid 3 x-11 \leq 0\}\),
\(B=\left\{x \in \mathbb{Z} \mid 3 x^{2}-14 x+11=0\right\}\)
Tìm \(A \cap B\), \(A \cup B\), \(A \setminus B\), \(B \setminus A\).
Ta có: \(A=\{0 ; 1 ; 2 ; 3\}, B=\{1\}\).
Vậy \(A \cap B=\{1\}, A \cup B=\{0 ; 1 ; 2 ; 3\}\), \(A \setminus B=\{0 ; 2 ; 3\}\), \(B \setminus A=\varnothing\).
Câu 23:
Cho hai tập hợp \(A=\left\{0;1;2;3;4\right\}\) và \(B=\left\{2;3;4;5;6\right\}\).
a) Tìm các tập hợp \(A\cup B, A\cap B, A\backslash B, B\backslash A\).
b) Tìm các tập \(\left(A\backslash B\right)\cup \left(B\backslash A\right), \left(A\backslash B\right)\cap \left(B\backslash A\right)\).
a) Ta có \(A\backslash B=\left\{0;1\right\}\), \(B\backslash A=\left\{5;6\right\}\), \(A\cup B=\left\{0;1;2;3;4;5;6\right\}\), \(A\cap B=\left\{2;3;4\right\}\).
b) Ta có \(\left(A\backslash B\right)\cup \left(B\backslash A\right)=\left\{0;1;5;6\right\}\), \(\left(A\backslash B\right)\cap \left(B\backslash A\right)=\varnothing \).
Câu 24:
Cho \(E=\{x \in \mathbb{N} \mid x< 10\}\), \(A=\{0;2;4;6;8\}\), \(B=\{0;3;6;9\}\).
Xác định các tập hợp \(A \setminus B\), \(B \setminus A\), \(\mathrm{C}_{E} A\), \(\mathrm{C}_{E} B\).
Ta có: \(A \setminus B=\{2;4;8\}\), \(B \setminus A=\{3;9\}\), \(\mathrm{C}_{E} A=\{1;3;5;7;9\}\), \(\mathrm{C}_{E} B=\{1;2;4;5;7;8\}\).
Câu 25:
Cho \(A\) là tập hợp các tự nhiên lẻ. Tìm phần bù của \(A\) trong tập \(\mathbb{N}\) các số tự nhiên.
Các số tự nhiên chẵn thuộc tập hợp \(\mathbb{N}\) nhưng không thuộc tập hợp \(A\) nên phần bù của \(A\) trong \(\mathbb{N}\) là tập hợp các số tự nhiên chẵn. Do đó \(\mathrm{C}_{\mathbb{N}} A= \{ 2k/ k \in \mathbb{N} \}\).
Câu 26:
Cho các tập hợp \(A=\{n \in N | 2< n \le 7 \}\) và \(B= \{n \in N | n \le a\}\) với \(a\) là số tự nhiên. Tìm \(a\) sao cho:
a) \(A \backslash B =A\).
b) \(A \backslash B = \varnothing\).
\(A=\{ 3,4,5,6,7\}, B=\{0,1,2,\cdots,a\}\).
a) Ta có \(A \backslash B =A\) khi mọi phần tử của \(A\) đều không thuộc \(B\). Suy ra \(a \le 2\). Vậy \(a \in \{0,1,2\}\).
b) Ta có \(A \backslash B = \varnothing\) khi \(A \subset B\). Suy ra \(a \geq 7\).
Câu 27:
Cho hai tập hợp:
\(\begin{aligned}&A=\{x \in \mathbb{Z} \mid-2 \leq x \leq 3\} \\&B=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}-x-6=0\right\}\end{aligned}\)
Tìm \(A \setminus B\) và \(B \setminus A\).
Ta thấy \(A=\{-2;3\}\) và \(B=\{-2;3\}\).
Ta có \(A\setminus B=\varnothing\), \(B\setminus A=\varnothing\).
Câu 28:
Cho \(E=\left\lbrace x \in \mathbb{N} \ \middle|\ x< 10\right\rbrace \), \(A=\left\lbrace x \in E \ \middle|\ x \text{ là bội của 3}\right\rbrace \), \(B=\left\lbrace x \in E \ \middle|\ x \text{ là ước của 6}\right\rbrace \). Xác định các tập hợp \(A \setminus B\), \(B \setminus A\), \(\mathrm{C}_{E} A\), \(\mathrm{C}_{E} B\), \(\mathrm{C}_{E}(A \cup B)\), \(\mathrm{C}_{E}(A \cap B)\).
Ta xác định được \(E=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}\), \(A=\{0;3;6;9\}\) và \(B=\{1;2;3;6\}\).
Từ đó ta tìm được
\(A \setminus B=\{0;9\}\);
\(B \setminus A=\{1;2\}\);
\(\mathrm{C}_{E} A=\{1;2;4;5;7;8\}\);
\(\mathrm{C}_{E} B=\{0;4;5;7;8;9\}\);
\(A \cup B=\{0;1;2;3;6;9\}\) nên \(\mathrm{C}_{E}(A \cup B)=\{4;5;7;8\}\);
\(A \cap B=\{3;6\}\) nên \(\mathrm{C}_{E}(A \cap B)=\{0;1;2;4;5;7;8;9\}\).
Câu 29:
Cho các tập hợp \(A=\big\{1;3;5;7;9\big\}\), \(B=\big\{1;2;3;4\big\}\), \(C=\big\{3;4;5;6\big\}\). Hãy xác định các tập hợp
a) \((A \cup B) \cap C\);
b) \(A \cap (B \cap C)\);
c) \(A \setminus (B \cap C)\);
d) \((A \setminus B) \cup (A \setminus C)\).
a) \(A\cup B=\big\{1;2;3;4;5;7;9\big\}\), \((A\cup B)\cap C=\big\{3;4;5\big\}\).
b) \(B\cap C=\big\{3;4\big\}\), \(A \cap (B \cap C)=\big\{3\big\}\).
c) \(A\setminus (B \cap C)=\big\{1;5;7;9\big\}\).
d) \(A\setminus B=\big\{5;7;9\big\}\), \(A \setminus C=\big\{1;7;9\big\}\).
Suy ra \((A \setminus B) \cup (A \setminus C)=\big\{1;5;7;9\big\}\).
Câu 30:
Kí hiệu \(A\) là tập hợp các học sinh nữ của trường, \(B\) là tập hợp các học sinh khối 10 của trường; \(C\), \(D\) lần lượt là tập hợp các học sinh nữ, các học sinh nam khối 10 của trường (như hình bên).
Hãy điền kí hiệu tập hợp thích hợp vào chỗ chấm.
a) \(A \cap B=\ldots\);
b) \(C \cup D=\ldots\);
c) \(B \setminus A=\ldots\);
d) \(B \cap C=\ldots\);
e) \(C \setminus A=\ldots\);
f) \(D \setminus A=\ldots\).
Từ hình vẽ, ta có
a) \(A \cap B=C\);
b) \(C \cup D=B\);
c) \(B \setminus A=D\);
d) \(B \cap C=C\);
e) \(C \setminus A=\varnothing\);
f) \(D \setminus A=D\).
Câu 31:
Cho \(A\) là tập hợp tuỳ ý. Hãy điền kí hiệu tập hợp thích hợp vào chỗ chấm.
a) \(A \cap A=\ldots\);
b) \(A \cup A=\ldots\);
c) \(A \cap \varnothing =\ldots\);
d) \(A \cup \varnothing =\ldots\);
e) \(A \setminus A=\ldots\);
f) \(A \setminus \varnothing =\ldots\);
g) \(\varnothing \setminus A=\ldots\).
Ta có
a) \(A \cap A=A\);
b) \(A \cup A=A\);
c) \(A \cap \varnothing =\varnothing\);
d) \(A \cup \varnothing =A\);
e) \(A \setminus A=\varnothing\);
f) \(A \setminus \varnothing =A\);
g) \(\varnothing \setminus A=\varnothing\).
Câu 32:
Cho \(A\), \(B\) là hai tập hợp tuỳ ý. Hãy điền kí hiệu tập hợp thích hợp vào chỗ chấm.
a) Nếu \(B \subset A\) thì \(A \cap B=\ldots\), \(A \cup B=\ldots\) và \(B \setminus A=\ldots\);
b) Nếu \(A \cap B=\varnothing\) thì \(A \setminus B=\ldots\) và \(B \setminus A=\ldots\).
Ta có
a) \(A \cap B=B\); \(A \cup B=A\); \(B \setminus A=\varnothing\).
b) \(A \setminus B=A\); \(B \setminus A=B\).
Câu 33:
Cho các tập con \(A=[-1;3]\) và \(B=[0;5)\) của tập số thực \(\mathbb{R}\). Hãy xác định \(A \cap B\), \(A \cup B\), \(A \setminus B\), \(B \setminus A\).
Ta có \(A \cap B=[0;3]\), \(A \cup B=[-1;5)\), \(A \setminus B=[-1;0)\), \(B \setminus A=(3;5)\).
Câu 34:
Trong đợt văn nghệ chào mừng ngày 20/11, lớp 10A đăng kí tham gia hai tiết mục, đó là hát tốp ca và múa. Gọi \(A\) là tập hợp các học \(\sinh\) tham gia hát tốp ca, \(B\) là tập hợp các học sinh tham gia múa, \(E\) là tập hợp các học sinh của lớp. Mô tả các tập hợp sau đây
a) \(A \cap B\);
b) \(A \cup B\);
c) \(A \setminus B\)
d) \(E \setminus A\);
e) \(E \setminus(A \cup B)\).
a) \(A \cap B\) là tập hợp các học sinh tham gia cả hai tiết mục là hát tốp ca và múa.
b) \(A \cup B\) là tập hợp các học sinh tham gia ít nhất một trong hai tiết mục là hát tốp ca hoặc múa.
c) \(A \setminus B\) là tập hợp các học sinh tham gia hát tốp ca nhưng không tham gia múa.
d) \(E \setminus A\) là tập hợp các học sinh của lớp 10A không tham gia hát tốp ca.
e) \(E \setminus(A \cup B)\) là tập hợp các học sinh của lớp 10A không tham gia tiết mục nào trong hai tiết mục hát tốp ca và múa.
Câu 1:
Cho \(A\) là tập hợp các học sinh giỏi Toán của trường THPT X và \(B\) là tập hợp học sinh giỏi Văn của trường này. Hãy mô tả các học sinh thuộc tập hợp sau
a) \(A\cup B\).
b) \(A\cap B\).
c) \(A\setminus B\).
d) \(B\setminus A\).
e) \(\left(A\cup B\right)\setminus \left(A\cap B\right)\).
a) \(A\cup B\) là tập hợp các học sinh giỏi Toán hoặc giỏi Văn của trường.
b) \(A\cap B\) là tập hợp các học sinh giỏi cả hai môn Toán và Văn của trường.
c) \(A\setminus B\) là tập hợp các học sinh chỉ giỏi Toán, không giỏi Văn.
d) \(B\setminus A\) là tập hợp các học sinh chỉ giỏi Văn, không giỏi Toán.
e) \(\left(A\cup B\right)\setminus \left(A\cap B\right)\) là tập hợp các học sinh chỉ giỏi Toán hoặc giỏi Văn của trường.
Câu 2:
Trong kì thi học sinh giỏi cấp trường, lớp 10C1 có \(45\) học sinh trong đó có \(17\) bạn đạt học sinh giỏi Văn, \(25\) bạn đạt học sinh giỏi Toán và \(13\) bạn học sinh không đạt học sinh giỏi. Tìm số học sinh giỏi cả Văn và Toán của lớp 10C1.
Gọi \(A\), \(B\) theo thứ tự là tập hợp các học sinh giỏi Văn và giỏi Toán của lớp.
Theo đề ta có \(n(A)=17\), \(n(B)=25\), \(n(A\cup B)= 45-13=32\).
Số học sinh giỏi cả Văn và Toán là \(n(A \cap B)=n(A)+ n(B) - n(A \cup B)=17+25-32=10.\)
Câu 3:
Trong số \(45\) cán bộ được triệu tập để chuẩn bị công tác cho một cuộc hội nghị quốc tế có \(25\) cán bộ phiên dịch tiếng Anh, \(15\) cán bộ phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có \(10\) cán bộ vừa phiên dịch được tiếng Anh, vừa phiên dịch được tiếng Pháp. Hỏi
a) Nhóm có bao nhiêu cán bộ được cấp thẻ đỏ, biết rằng muốn được cấp thẻ đỏ cán bộ đó phải phiên dịch được tiếng Anh hoặc phiên dịch được tiếng Pháp?
b) Nhóm có bao nhiêu cán bộ không phiên dịch được tiếng Anh và không phiên dịch được tiếng Pháp?
Gọi \(A\), \(B\) theo thứ tự là tập hợp các cán bộ phiên dịch tiếng Anh và tập hợp các cán bộ phiên dịch tiếng Pháp.
Theo đề ta có \(n(A)=25\), \(n(B)=15\), \(n(A\cap B)= 10\).
a) Tập hợp các cán bộ được cấp thẻ đỏ là \(A\cup B\).
Vậy số cán bộ được cấp thẻ đỏ là \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=25+15-10=30\).
b) Tập hợp các cán bộ của nhóm không phiên dịch được tiếng Anh và tiếng Pháp chính là số cán bộ không được cấp thẻ đỏ.
Vậy số cán bộ đó là \(45-30=15\).
Câu 4:
Một nhóm học sinh giỏi các bộ môn Anh, Toán, Văn. Có \( 18 \) em giỏi Văn, \( 10 \) em giỏi Anh, \( 12 \) em giỏi Toán, \( 3 \) em giỏi Văn và Toán, \( 4 \) em giỏi Toán và Anh, \( 5 \) em giỏi Văn và Anh, \( 2 \) em giỏi cả ba môn. Hỏi nhóm đó có bao nhiêu em?
Ký hiệu \( A \) là tập hợp những học sinh giỏi Anh,
\( T \) là tập hợp những học sinh giỏi Toán,
\( V \) là tập hợp những học sinh giỏi Văn.
\(\bullet\) \(n(V)=18,\; n(A)=10,\; n(T)=12\),
\(\bullet\) \(n(T \cap V)=3,\; n(T \cap A)=4,\; n(V \cap A)=5, n(V \cap T \cap A)=2\).
Số học sinh của nhóm là
\begin{eqnarray*}n(V \cup A \cup T)&=& n(V)+n(A)+n(T)-n(V \cap A)-n(T \cap A)-n(T \cap V)+n(V \cap T \cap A)\\ &=&18+10+12-(3+4+5)+2=30.\end{eqnarray*}
Vậy nhóm đó có \( 30 \) em.
Câu 5:
Tại vòng chung kết của một trò chơi trên truyền hình, có \(100\) khán giả tại trường quay có quyền bình chọn cho hai thí sinh A và B. Biết rằng có \(85\) khán giả bình chọn cho thí sinh A, \(72\) khán giả bình chọn cho thí sinh B và \(60\) khán giả bình chọn cho cả hai thí sinh này. Có bao nhiêu khán giả đã tham gia bình chọn? Có bao nhiêu khán giả không tham gia bình chọn?
Kí hiệu \(X\), \(Y\) lần lượt là tập hợp các khán giả đã bình chọn cho thí sinh A và B.
Theo giả thiết, \(n(X)=85\), \(n(Y)=72\), \(n(X \cap Y)=60\).
Tập hợp các khán giả đã bình chọn cho A hoặc B là \(X \cup Y\), do đó số khán giả đã tham gia bình chọn là
\(n(X \cup Y)=n(X)+n(Y)-n(X \cap Y)=85+72-60=97.\)
Số khán giả không tham gia bình chọn là \(100-97=3\).
Câu 6:
Kí hiệu \(A\) là tập hợp các học sinh của một trường trung học phổ thông, \(B\) là tập hợp các học sinh nữ của trường, \(C\), \(D\) lần lượt là tập hợp các học sinh khối \(10\), khối \(11\) của trường.
a) Hãy vẽ biểu đồ Ven biểu diễn các tập hợp \(A,B,C,D\).
b) Hãy mô tả các tập hợp sau đây:
\(M=B \cap C\); \(N=C \cup D\); \(P=A \setminus C\); \(R=C_AB\); \(S=C \setminus B\); \(T=A \setminus (C \cup D)\).
a) Biểu đồ biểu diễn các tập hợp \(A, B, C, D\) như hình vẽ.
b) Mô tả
+) \(M\) là tập hợp các học sinh nữ khối \(10\) của trường.
+) \(N\) là tập hợp các học sinh khối \(10\) và khối \(11\) của trường.
+) \(P\) là tập hợp các học sinh khối \(11\) và khối 12 của trường.
+) \(R\) là tập hợp các học sinh nam của trường.
+) \(S\) là tập hợp các học sinh nam khối \(10\) của trường.
+) \(T\) là tập hợp các học sinh khối 12 của trường.
Câu 7:
Trong một cuộc khảo sát người tiêu dùng, trong \(100\) người uống cà phê được khảo sát, có \(55\) người thêm đường, \(65\) người thêm sữa và \(30\) người thêm cả đường và sữa. Trong số \(100\) người đó,
a) Có bao nhiêu người thêm ít nhất đường hoặc sữa?
b) Có bao nhiêu người không thêm đường hoặc sữa?
Kí hiệu \(U\) là tập hợp \(100\) người được khảo sát, \(A\) là tập hợp người thêm đường, \(B\) là tập hợp người thêm sữa (trong số \(100\) người đó).
Khi đó, \(A \cap B\) là tập hợp người thêm cả đường và sữa, \(A \cup B\) là tập hợp người thêm ít nhất đường hoặc sữa.
Theo giả thiết ta có \(n(A)=55,n(B)=65,n(A \cap B)=30\).
a) Số người thêm ít nhất đường hoặc sữa là
\(n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)=55+65-30=90\).
b) Số người không thêm đường hoặc sữa là \(n(U)-n(A \cup B)=100-90=10\).
Câu 8:
Để phục vụ cho một hội nghị quốc tế, ban tổ chức huy động \(35\) người phiên dịch tiếng Anh, \(30\) người phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có \(16\) người phiên dịch được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. Hãy trả lời các câu hỏi sau
a) Ban tổ chức đã huy động bao nhiêu người phiên dịch cho hội nghị đó?
b) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Anh?
c) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp?
a) Gọi \(A\) là tập hợp những người phiên dịch tiếng Anh, \(P\) là tập hợp những người phiên dịch tiếng Pháp. Theo đề bài ta có số người phiên dịch tiếng Anh là số phần tử của \(A\) bằng \(n(A)=35\), số người phiên dịch tiếng Pháp là \(n(P)=30\), số người phiên dịch được cả hai thứ tiếng là \(n(A\cap P)=16\).
Từ biểu đồ Ven minh họa ở hình trên ta thấy tổng số người phiên dịch cho hội nghị đó chính là số phần tử của \(A\cup B\) bằng \(n(A)+n(P)-n(A\cap P)=35+30-16=49\).
b) Số người chỉ phiên dịch được tiếng Anh bằng \(n(A)-n(A\cap P)=35-16=19\).
c) Số người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp là \(n(P)-n(A\cap P)=30-16=14\).
Câu 9:
Trong số \(35\) học sinh của lớp \(10 \mathrm{H}\), có \(20\) học sinh thích môn Toán, \(16\) học sinh thích môn Tiếng Anh và \(12\) học sinh thích cả hai môn này. Hỏi lớp \(10 \mathrm{H}\)
a) có bao nhiêu học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh?
b) có bao nhiêu học sinh không thích cả hai môn này?
a) Kí hiệu \(A\), \(B\) lần lượt là tập hợp các học sinh của lớp \(10\)H thích môn Toán, thích môn Tiếng Anh.
Theo giả thiết, \(n(A)=20\), \(n(B)=16\), \(n(A \cap B)=12\).
Nhận thấy rằng, nếu tính tổng \(n(A\cup B)\) thì ta được số học sinh lớp \(10\)H thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh.
Do đó, số bạn thích nhất một trong hai môn là
\(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=20+16-12=24.\)
Vậy lớp \(10\)H có \(24\) học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh.
b) Số học sinh lớp \(10\)H không thích cả hai môn này là \(35-24=11\) học sinh.
Câu 10:
Lớp 10C có \(45\) học sinh, trong đó có \(18\) học sinh tham gia cuộc thi vẽ đồ họa trên máy tính, \(24\) học sinh tham gia cuộc thi tin học văn phòng cấp trường và \(9\) học sinh không tham gia cả hai cuộc thi này. Hỏi có bao nhiêu học sinh của lớp 10C tham gia đồng thời hai cuộc thi?
Kí hiệu \(A\) và \(B\) lần lượt là tập hợp các học sinh của lớp 10C dự thi vẽ đồ họa trên máy tính và dự thi tin học văn phòng. Khi đó, \(A\cap B\) là tập hợp các học sinh của lớp dự thi cả hai môn; \(A\cup B\) là tập hợp các học sinh của lớp dự thi ít nhất một trong hai môn.
Theo giả thiết, ta có \(n(A)=18\), \(n(B)=24\) và \(n(A\cup B)=45-9=36\).
Ta có \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\).
Suy ra \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)=18+24-36=6\).
Vậy lớp 10C có \(6\) học sinh tham gia đồng thời cả hai cuộc thi.
Câu 11:
Một nhóm có \(12\) học sinh chuẩn bị cho hội diễn văn nghệ. Trong danh sách đăng kí tham gia tiết mục múa và tiết mục hát của nhóm đó, có \(5\) học sinh tham gia tiết mục múa, \(3\) học sinh tham gia cả hai tiết mục. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong nhóm tham gia tiết mục hát? Biết rằng có 4 học sinh của nhóm không tham gia tiết mục nào.
Kí hiệu \(A\) là tập hợp học sinh tham gia tiết mục múa, \(B\) là tập hợp học sinh tham gia tiết mục hát, \(E\) là tập hợp nhóm học sinh. Ta có thể biểu diễn ba tập hợp đó bằng biểu đồ Ven (Hình vẽ). Khi đó, \(A \cap B\) là tập hợp học sinh tham gia cả hai tiết mục. Số phần tử của tập hợp \(A\) là \(5\), số phần tử của tập hợp \(A \cap B\) là \(3\), số phần tử của tập hợp \(E\) là \(12\).
Số học sinh tham gia ít nhất một trong hai tiết mục là
\(12-4=8\) (học sinh).
Số học sinh tham gia tiết mục hát mà không tham gia tiết mục múa là \(8-5=3\) (học sinh).
Số học sinh tham gia tiết mục hát là \(3+3=6\) (học sinh).
Câu 12:
Lớp 10A có \(27\) học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ bóng đá và cờ vua, trong đó có \(19\) học sinh tham gia câu lạc bộ bóng đá, \(15\) học sinh tham gia câu lạc bộ cờ vua.
a) Có bao nhiêu học sinh tham gia câu lạc bộ bóng đá mà không tham gia câu lạc bộ cờ vua?
b) Có bao nhiêu học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ?
c) Biết trong lớp có \(8\) học sinh không tham gia câu lạc bộ nào trong hai câu lạc bộ trên. Lớp 10A có bao nhiêu học sinh?
Gọi \(A\) là tập hợp các học sinh tham gia câu lạc bộ bóng đá, \(B\) là tập hợp các học sinh tham gia câu lạc bộ cờ vua (Hình vẽ). Khi đó, \(A \cup B\) là tập hợp các học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ bóng đá và cờ vua. Ta có số phần tử của \(A\) là \(19\), số phần tử của \(B\) là \(15\), số phần tử của \(A \cup B\) là \(27\).
a) Tập hợp các học sinh tham gia câu lạc bộ bóng đá mà không tham gia câu lạc bộ cờ vua chính là \(A \setminus B\) và cũng là tập hợp \((A \cup B) \setminus B\).
Số phần tử của tập hợp \((A \cup B) \setminus B\) chính là số phần tử của \(A \cup B\) trừ đi số phần tử của \(B\).
Vậy số học sinh tham gia câu lạc bộ bóng đá mà không tham gia câu lạc bộ cờ vua là \(27-15=12\) (học sinh).
b) Tập hợp các học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ chính là tập hợp \(A \cap B\).
Số phần tử của \(A \cap B\) bằng số phần tử của tập hợp \(A\) trừ đi số phần tử của tập hợp các học sinh chỉ tham gia câu lạc bộ bóng đá mà không tham gia câu lạc bộ cờ vua.
Số học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ là \(19-12=7\) (học sinh).
c) Số học sinh của lớp 10A là \(27+8=35\) (học sinh).