1. Công thức cộng
\(+)\) \(\sin (\alpha + \beta)\) \(=\sin \alpha\cos \beta+ \sin \beta\cos a\).
\(+)\) \(\sin (\alpha - \beta)\) \(=\sin \alpha\cos \beta-\sin \beta\cos a\).
\(+)\) \(\cos (\alpha + \beta)\) \(=\cos \alpha\cos \beta - \sin \alpha\sin \beta\).
\(+)\) \(\cos (\alpha - \beta)\) \(=\cos \alpha\cos \beta +\sin \alpha\sin \beta\).
\(+)\) \(\tan (\alpha + \beta)\) \(=\displaystyle\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan a\tan \beta}\).
\(+)\) \(\tan (\alpha - \beta)\) \(=\displaystyle\frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1+\tan \alpha\tan \beta}\)
2. Công thức góc nhân đôi
lt11c1b3.tex
\(+)\) \(\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\) \(= 2\cos^2\alpha - 1\) \(= 1 - 2\sin^2\alpha\).
\(+)\) \(\sin2\alpha=2\sin \alpha\cos \alpha\).
\(+)\) \(\tan2\alpha=\displaystyle\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha}\).
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
\(+)\) \(\cos \alpha\cos \beta\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos \left({\alpha - \beta}\right)+\cos \left({\alpha + \beta}\right)\right]\)
\(+)\) \(\sin \alpha\sin \beta\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\left[{\cos\left({\alpha - \beta}\right) - \cos\left({\alpha + \beta}\right)}\right]\)
\(+)\) \(\sin \alpha\cos \beta\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\left[{\sin\left({\alpha - \beta}\right) + \sin\left({\alpha + \beta}\right)}\right]\).
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
\(+)\) \(\cos \alpha + \cos \beta \) \(= 2\cos \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}\cos \displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}\)
\(+)\) \(\cos \alpha - \cos \beta \) \(= -2\sin\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}\)
\(+)\) \(\sin \alpha + \sin \beta \) \(= 2\sin \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}\cos \displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}\)
\(+)\) \(\sin \alpha-\sin \beta\) \(=2\cos\displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\displaystyle\frac{\alpha - \beta}{2}\)
Dạng 1. Câu hỏi lí thuyết về công thức cộng
Dạng 2. Câu hỏi lí thuyết về công thức nhân đôi
Dạng 3. Câu hỏi lí thuyết về công thức tích thành tổng, tổng thành tích
Dạng 4. Tính giá trị lượng giác của một góc
Dạng 5. Tính giá trị lượng giác của một góc
Dạng 6. Tính giá trị biểu thức
Câu 1:
Công thức nào sau đây đúng?
Đáp án: \(\cos\left(a+b\right)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\)
Lời giải:
Công thức đúng là
\(\cos\left(a+b\right)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\).
Câu 2:
Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
Đáp án: \(\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\)
Lời giải:
Theo công thức cộng cung thì \(\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\).
Câu 1:
Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
Đáp án: \(\sin 2a=2\sin a\cos a\)
Lời giải:
Ta có \(\sin 2a=2\sin a\cos a\).
Câu 2:
Trong các công thức sau, công thức nào sai?
Đáp án: \(\cos 2a=\cos^2 a+\sin^2 a\)
Lời giải:
Ta có \(\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a = 2\cos^2 a-1 = 1-2\sin^2 a\).
Câu 1:
Viết lại biểu thức \(P=\sin x + \sin 5x\) dưới dạng tích.
Đáp án: \(P=2\sin 3x\cos 2x\)
Lời giải:
Ta có
\(P=\sin x+\sin 5x\) \(=2\sin\left( \displaystyle\frac{x+5x}{2}\right)\cos\left( \displaystyle\frac{x-5x}{2}\right)\) \(=2\sin 3x \cos (-2x)=2\sin 3x\cos 2x \).
Câu 2:
Xét \(a,\, b\) là các góc tùy ý, mệnh đề nào dưới đây đúng?
Đáp án: \(\sin a+\sin b=2 \sin \displaystyle\frac{a+b}{2} \cos \displaystyle\frac{a-b}{2}\)
Lời giải:
Công thức đúng là
\(\sin a+\sin b=2 \sin \displaystyle\frac{a+b}{2} \cos \displaystyle\frac{a-b}{2}\).
Câu 1:
Giá trị của biểu thức \(\cos 18^\circ\cdot \cos 12^\circ-\sin 18^\circ\cdot \sin 12^\circ\) bằng
Đáp án: \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \)
Lời giải:
Ta có
\(\cos 18^\circ\cdot \cos 12^\circ-\sin 18^\circ\cdot \sin 12^\circ\) \(=\cos(18^\circ+12^\circ)=\cos 30^\circ\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}.\)
Câu 2:
Biểu thức \(\sin\left(a+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\) được viết lại thành
Đáp án: \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a+\displaystyle\frac{1}{2}\cos a\)
Lời giải:
Ta có
\(\sin\left(a+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\sin a\cdot \cos\displaystyle\frac{\pi}{6}+\cos a\cdot \sin\displaystyle\frac{\pi}{6}\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a+\displaystyle\frac{1}{2}\cos a.\)
Câu 1:
Cho \(\sin \alpha=\displaystyle\frac{1}{3}\). Khi đó, \(\cos 2\alpha\) bằng
Đáp án: \(\displaystyle\frac{7}{9}\)
Lời giải:
Ta có
\(\cos 2\alpha=1-2\sin^2 \alpha=1-2\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2=\displaystyle\frac{7}{9}\).
Câu 2:
Biết \(\cos a=\displaystyle\frac{1}{3}\). Giá trị của \(\cos 2a\) bằng
Đáp án: \(-\displaystyle\frac{7}{9}\)
Lời giải:
Ta có
\(\cos 2a=2\cos^2a-1=2\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2-1\) \(=-\displaystyle\frac{7}{9}\).
Câu 1:
Rút gọn biểu thức \(P=\displaystyle\frac{\cos 2 \alpha+\cos 4 \alpha+\cos 6 \alpha}{\sin 2 \alpha+\sin 4 \alpha+\sin 6 \alpha}\).
Đáp án: \(P=\cot 4 \alpha\)
Lời giải:
\(P=\displaystyle\frac{\cos 2 \alpha+\cos 4 \alpha+\cos 6 \alpha}{\sin 2 \alpha+\sin 4 \alpha+\sin 6 \alpha}\)
\(=\displaystyle\frac{\cos 2 \alpha+\cos 6 \alpha+\cos 4 \alpha}{\sin 2 \alpha+\sin 6 \alpha+\sin 4 \alpha}\)
\(=\displaystyle\frac{2 \cdot \cos 4 \alpha \cdot \cos 2 \alpha+\cos 4 \alpha}{2 \cdot \sin 4 \alpha \cdot \cos 2 \alpha + \sin 4 \alpha}\)
\(=\displaystyle\frac{\cos 4 \alpha \cdot \left( 2 \cdot \cos 2 \alpha +1\right)}{\sin 4 \alpha \cdot \left( 2 \cdot \cos 2 \alpha +1\right)}\)
\(=\cot 4 \alpha.\)
Câu 2:
Cho biểu thức \(A=\cos\left(x+45^{\circ}\right)\cos\left(x-45^{\circ}\right)\). Hãy chọn khẳng định đúng.
Đáp án: \(A=\displaystyle\frac{1}{2}\cos 2x\)
Lời giải:
\(A=\cos\left(x+45^\circ\right)\cos\left(x-45^\circ\right)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\left[ \cos(x+45^\circ+x-45^\circ)+\cos(x+45^\circ-x+45^\circ)\right]\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\left( \cos 2x+\cos 90^\circ\right)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\cos 2x.\)
Câu 1:
Rút gọn biểu thức \(P=\displaystyle\frac{\sin x+\sin \displaystyle\frac{x}{2}}{1+\cos x+\cos \displaystyle\frac{x}{2}}\) ta được
Đáp án: \(P=\tan \displaystyle\frac{x}{2}\)
Lời giải:
Ta có
\(P=\displaystyle\frac{2\sin \displaystyle\frac{x}{2}\cos \displaystyle\frac{x}{2}+\sin \displaystyle\frac{x}{2}}{2\cos^2 \displaystyle\frac{x}{2}+\cos \displaystyle\frac{x}{2}}\) \(=\displaystyle\frac{\sin \displaystyle\frac{x}{2}\left(2\cos \displaystyle\frac{x}{2}+1 \right)}{\cos \displaystyle\frac{x}{2}\left(2\cos \displaystyle\frac{x}{2}+1 \right)}\) \(=\tan \displaystyle\frac{x}{2}.\)
Câu 2:
Biết \(\sin^4 x+\cos^4 x=a-\displaystyle\frac{a}{b}\sin^2 2x\) với \(a,b\in \mathbb{N}\). Khi đó tổng \(3a-b\) bằng
Đáp án: \(1\)
Lời giải:
Ta có
\(\sin^4 x+\cos^4 x=\left(\sin^2 x+\cos^2x\right)^2-2\sin^2 x\cos^2 x\) \(=1-\displaystyle\frac{1}{2}\sin^2 2x.\)
Suy ra \(a=1\), \(b=2\). Vậy \(3a-b=1\).
Dạng 1. Sử dụng công thức cộng
Dạng 2. Sử dụng công thức nhân đôi
Dạng 3. Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
Dạng 4. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích
Câu 1:
Cho \(\sin\alpha=\displaystyle\frac{3}{5}\) và \(\cos \alpha=-\displaystyle\frac{4}{5}\). Mỗi khẳng định dưới đây đúng hay sai?
Đáp án:
Lời giải:
a) \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\displaystyle\frac{3}{5}\cdot\left(-\displaystyle\frac{4}{5}\right)=-\displaystyle\frac{24}{25}\).
b) \(\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-2\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^2=\displaystyle\frac{7}{25}\).
c) \(\tan2\alpha=\displaystyle\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=-\displaystyle\frac{24}{25}:\displaystyle\frac{7}{25}=-\displaystyle\frac{24}{7}.\)
d) \(\cot2\alpha=\displaystyle\frac{1}{\tan2\alpha}=-\displaystyle\frac{7}{24}.\)
Câu 2:
Cho \(0< \alpha< \displaystyle\frac{\pi}{2}\) và \(\sin\alpha=\displaystyle\frac{1}{3}\). Các khẳng định sau là đúng hay sai?
Đáp án:
Lời giải:
Ta có \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Leftrightarrow \cos^2\alpha=\displaystyle\frac{8}{9}\Rightarrow \cos\alpha=\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\) (vì \(0< \alpha< \displaystyle\frac{\pi}{2}\) nên \(\cos\alpha>0\)).
a) Ta có \(\tan\alpha=\displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos\alpha}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\).
b) Ta có \(\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot \displaystyle\frac{1}{3}\cdot \displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}=\displaystyle\frac{4\sqrt{2}}{9}\).
c) Ta có \(\cos 2 \alpha=1-2\sin^2\alpha=\displaystyle\frac{7}{9}\neq \displaystyle\frac{1}{3}=\sin\alpha\).
d) Ta có \(\cos^2\displaystyle\frac{\alpha}{2}=\displaystyle\frac{1+\cos\alpha}{2}=\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2}=\displaystyle\frac{3+2\sqrt{2}}{6}\). \\
Vậy \(\cos \displaystyle\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\displaystyle\frac{3+2\sqrt{2}}{6}}\approx 0{,}986\) (vì \(0< \displaystyle\frac{\alpha}{2}< \displaystyle\frac{\pi}{4}\) nên \(\cos\displaystyle\frac{\alpha}{2}>0\)).
Câu 3:
Cho \(\pi< \alpha< \displaystyle\frac{3\pi}{2}\) và \(\tan\alpha =\displaystyle\frac{3}{4}\). Các khẳng định sau là đúng hay sai?
Đáp án:
Lời giải:
Ta có \(1+\tan^2\alpha=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\alpha}\Leftrightarrow \cos^2\alpha=\displaystyle\frac{16}{25}\Rightarrow\cos\alpha=-\displaystyle\frac{4}{5}\) (vì \(\pi< \alpha< \displaystyle\frac{3\pi}{2}\) nên \(\cos\alpha< 0\)).
a) \(\sin\alpha=\tan\alpha\cdot \cos\alpha=-\displaystyle\frac{3}{5}\).
b) \(\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1=\displaystyle\frac{16}{25}-1=-\displaystyle\frac{9}{25}\).
c) \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos \alpha=2\cdot \left(-\displaystyle\frac{3}{5}\right)\cdot \left(-\displaystyle\frac{4}{5}\right)=\displaystyle\frac{24}{25}\).
d) Ta có \(\tan 2\alpha=\displaystyle\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2 \alpha}=-\displaystyle\frac{8}{3}\). \\
Vậy \(\tan 4\alpha=\displaystyle\frac{2\tan 2\alpha}{1-\tan^2 2\alpha}=\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{16}{3}}{1-\left(-\displaystyle\frac{8}{3}\right)^2}=\displaystyle\frac{48}{55}\).
Câu 4:
Cho \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}< x< 0\) và \(\cos 2x=-\displaystyle\frac{7}{8}\). Các khẳng định sau là đúng hay sai?
Đáp án:
Lời giải:
a) Ta có \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}< x< 0\Leftrightarrow -\pi< 2x< 0\). Vậy \(\sin 2x< 0\). \\
Mặt khác \(\cos^2 2x+\sin^2 2x=1\Leftrightarrow \sin^2 2x=\displaystyle\frac{15}{64}\Rightarrow \sin 2x=-\displaystyle\frac{\sqrt{15}}{8}\).
b) Ta có \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}< x< 0\) nên \(\cos x>0\) và \(\sin x< 0\). \\
Sử dụng công thức hạ bậc ta có
\(\)\cos^2 x=\displaystyle\frac{1+\cos 2x}{2}\Leftrightarrow \cos^2 x=\displaystyle\frac{1}{16}\Rightarrow \cos x=\displaystyle\frac{1}{4}.\(\)
c) Ta có \(\cos 4x=2\cos^2 2x-1=\displaystyle\frac{17}{32}\).
d) Ta có \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\Leftrightarrow \sin x=\displaystyle\frac{15}{16}\Rightarrow \sin x=-\displaystyle\frac{\sqrt{15}}{4}\). \\
Vậy \(\tan x=\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}=-\sqrt{15}\).
Câu 5:
Cho góc \(\alpha\) thỏa mãn \(0< \alpha< \displaystyle\frac{\pi}{2}\) và \(\cos\alpha=\displaystyle\frac{3}{4}\). Các khẳng định sau là đúng hay sai?
Đáp án:
Lời giải:
Ta có \(0< \alpha< \displaystyle\frac{\pi}{2}\) nên \(\sin \alpha>0\). \\
Mặt khác, \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\Leftrightarrow \sin^2\alpha=\displaystyle\frac{7}{16}\Rightarrow\sin\alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{4}\).
a) Ta có \(\sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{4}\).
b) Ta có \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{4}\cdot\displaystyle\frac{3}{4}=\displaystyle\frac{3\sqrt{7}}{8}\).
c) Ta có \(0< \alpha< \displaystyle\frac{\pi}{2}\) nên \(0< \displaystyle\frac{\alpha}{2}< \displaystyle\frac{\pi}{4}\). Vậy \(\sin \displaystyle\frac{\alpha}{2}>0\). \\
Áp dụng công thức hạ bậc ta có
\(\sin^2\displaystyle\frac{\alpha}{2}=\displaystyle\frac{1-\cos \alpha}{2}=\displaystyle\frac{1}{8}\Rightarrow \sin \displaystyle\frac{\alpha}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}.\)
d) Ta có \(\tan \alpha=\displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{3}\).
Vậy \(\tan 2\alpha=\displaystyle\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha}=3\sqrt{7}\).
Câu 1:
Cho \(\sin\alpha=\displaystyle\frac{3}{5}\) và \(\cos \alpha=-\displaystyle\frac{4}{5}\). Mỗi khẳng định dưới đây đúng hay sai?
Đáp án:
Lời giải:
a) \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\displaystyle\frac{3}{5}\cdot\left(-\displaystyle\frac{4}{5}\right)=-\displaystyle\frac{24}{25}\).
b) \(\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-2\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^2=\displaystyle\frac{7}{25}\).
c) \(\tan2\alpha=\displaystyle\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=-\displaystyle\frac{24}{25}:\displaystyle\frac{7}{25}=-\displaystyle\frac{24}{7}.\)
d) \(\cot2\alpha=\displaystyle\frac{1}{\tan2\alpha}=-\displaystyle\frac{7}{24}.\)
Câu 2:
Cho \(0< \alpha< \displaystyle\frac{\pi}{2}\) và \(\sin\alpha=\displaystyle\frac{1}{3}\). Các khẳng định sau là đúng hay sai?
Đáp án:
Lời giải:
Ta có \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Leftrightarrow \cos^2\alpha=\displaystyle\frac{8}{9}\Rightarrow \cos\alpha=\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\) (vì \(0< \alpha< \displaystyle\frac{\pi}{2}\) nên \(\cos\alpha>0\)).
a) Ta có \(\tan\alpha=\displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos\alpha}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\).
b) Ta có \(\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot \displaystyle\frac{1}{3}\cdot \displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}=\displaystyle\frac{4\sqrt{2}}{9}\).
c) Ta có \(\cos 2 \alpha=1-2\sin^2\alpha=\displaystyle\frac{7}{9}\neq \displaystyle\frac{1}{3}=\sin\alpha\).
d) Ta có \(\cos^2\displaystyle\frac{\alpha}{2}=\displaystyle\frac{1+\cos\alpha}{2}=\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2}=\displaystyle\frac{3+2\sqrt{2}}{6}\).
Vậy \(\cos \displaystyle\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\displaystyle\frac{3+2\sqrt{2}}{6}}\approx 0{,}986\) (vì \(0< \displaystyle\frac{\alpha}{2}< \displaystyle\frac{\pi}{4}\) nên \(\cos\displaystyle\frac{\alpha}{2}>0\)).
Câu 3:
Cho \(\pi< \alpha< \displaystyle\frac{3\pi}{2}\) và \(\tan\alpha =\displaystyle\frac{3}{4}\). Các khẳng định sau là đúng hay sai?
Đáp án:
Lời giải:
Ta có \(1+\tan^2\alpha=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\alpha}\Leftrightarrow \cos^2\alpha=\displaystyle\frac{16}{25}\Rightarrow\cos\alpha=-\displaystyle\frac{4}{5}\) (vì \(\pi< \alpha< \displaystyle\frac{3\pi}{2}\) nên \(\cos\alpha< 0\)).
a) \(\sin\alpha=\tan\alpha\cdot \cos\alpha=-\displaystyle\frac{3}{5}\).
b) \(\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1=\displaystyle\frac{16}{25}-1=-\displaystyle\frac{9}{25}\).
c) \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos \alpha=2\cdot \left(-\displaystyle\frac{3}{5}\right)\cdot \left(-\displaystyle\frac{4}{5}\right)=\displaystyle\frac{24}{25}\).
d) Ta có \(\tan 2\alpha=\displaystyle\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2 \alpha}=-\displaystyle\frac{8}{3}\).
Vậy \(\tan 4\alpha=\displaystyle\frac{2\tan 2\alpha}{1-\tan^2 2\alpha}=\displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{16}{3}}{1-\left(-\displaystyle\frac{8}{3}\right)^2}=\displaystyle\frac{48}{55}\).
Câu 4:
Cho \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}< x< 0\) và \(\cos 2x=-\displaystyle\frac{7}{8}\). Các khẳng định sau là đúng hay sai?
Đáp án:
Lời giải:
a) Ta có \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}< x< 0\Leftrightarrow -\pi< 2x< 0\). Vậy \(\sin 2x< 0\).
Mặt khác \(\cos^2 2x+\sin^2 2x=1\Leftrightarrow \sin^2 2x=\displaystyle\frac{15}{64}\Rightarrow \sin 2x=-\displaystyle\frac{\sqrt{15}}{8}\).
b) Ta có \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}< x< 0\) nên \(\cos x>0\) và \(\sin x< 0\).
Sử dụng công thức hạ bậc ta có
\(\cos^2 x=\displaystyle\frac{1+\cos 2x}{2}\Leftrightarrow \cos^2 x=\displaystyle\frac{1}{16}\Rightarrow \cos x=\displaystyle\frac{1}{4}.\)
c) Ta có \(\cos 4x=2\cos^2 2x-1=\displaystyle\frac{17}{32}\).
d) Ta có \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\Leftrightarrow \sin x=\displaystyle\frac{15}{16}\Rightarrow \sin x=-\displaystyle\frac{\sqrt{15}}{4}\).
Vậy \(\tan x=\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}=-\sqrt{15}\).
Câu 5:
Cho góc \(\alpha\) thỏa mãn \(0< \alpha< \displaystyle\frac{\pi}{2}\) và \(\cos\alpha=\displaystyle\frac{3}{4}\). Các khẳng định sau là đúng hay sai?
Đáp án:
Lời giải:
Ta có \(0< \alpha< \displaystyle\frac{\pi}{2}\) nên \(\sin \alpha>0\).
Mặt khác, \(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\Leftrightarrow \sin^2\alpha=\displaystyle\frac{7}{16}\Rightarrow\sin\alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{4}\).
a) Ta có \(\sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{4}\).
b) Ta có \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{4}\cdot\displaystyle\frac{3}{4}=\displaystyle\frac{3\sqrt{7}}{8}\).
c) Ta có \(0< \alpha< \displaystyle\frac{\pi}{2}\) nên \(0< \displaystyle\frac{\alpha}{2}< \displaystyle\frac{\pi}{4}\). Vậy \(\sin \displaystyle\frac{\alpha}{2}>0\).
Áp dụng công thức hạ bậc ta có
\(\sin^2\displaystyle\frac{\alpha}{2}=\displaystyle\frac{1-\cos \alpha}{2}=\displaystyle\frac{1}{8}\Rightarrow \sin \displaystyle\frac{\alpha}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}.\)
d) Ta có \(\tan \alpha=\displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{3}\).
Vậy \(\tan 2\alpha=\displaystyle\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha}=3\sqrt{7}\).
Câu 1:
Cho \(\cos2 a=\displaystyle\frac{4}{5}\); \(0< a < \displaystyle\frac{\pi}{2}\). Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau
Đáp án:
Lời giải:
a) Đúng.
Ta có \(2\cos 3a \cos a=\cos 2a+ \cos 4a =\cos 2a+ 2\cos^2 a-1=\displaystyle\frac{4}{5}+2\left(\displaystyle\frac{4}{5}\right)^2-1=\displaystyle\frac{27}{25}\).
Vậy \(2\cos 3a \cos a=\displaystyle\frac{27}{25}\).
b) Đúng.
Ta có \(2\sin 3a \cos a=\sin 2a+ \sin 4a =\sin 2a(1+2\cos2a) \).
Mặt khác \(\sin2a=\pm\sqrt{1-\cos^22a}=\pm\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{4}{5}\right)^2}=\pm\displaystyle\frac{3}{5}\).\\ Kết hợp với \(0< \alpha < \displaystyle\frac{\pi}{2}\), tức là \(0< 2a < \pi\), ta nhận \(\sin 2a =\displaystyle\frac{3}{5}\).
Vậy \(2\sin 3a \cos a=\displaystyle\frac{39}{25}\).
c) Đúng.
Ta có \(2\sin 3a \sin a+ 2 \sin \displaystyle\frac{3a}{2} \cos \displaystyle\frac{3a}{2}=\cos 2a- \cos 4a +\cos a -\cos2 a =\cos a-\cos4a \).
Mặt khác \(\cos^2 a=\displaystyle\frac{1+\cos^2(2a)}{2}=\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{4}{5}}{2}=\displaystyle\frac{9}{10}\).\\ Kết hợp với \(0< a < \displaystyle\frac{\pi}{2}\), ta nhận \(\cos a = \displaystyle\frac{3}{\sqrt{10}}\).
Vậy \(2\sin 3a \sin a+ 2 \sin \displaystyle\frac{3a}{2} \cos \displaystyle\frac{3a}{2}=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{10}}+ 2\left(\displaystyle\frac{4}{5}\right)^2-1=\displaystyle\frac{3\sqrt{10}}{10}+\displaystyle\frac{7}{25}\).
d) Sai.
\begin{eqnarray*}\cos7a\cos a-\cos5a\cos a&=&\cos6a+\cos8a-(\cos4a+\cos6a)\\&=&\cos8a-\cos4a=2\cos^24a-1+\cos4a.\end{eqnarray*}
Ta lại có \(\cos4a=2\cos^22a-1=2\left(\displaystyle\frac{4}{5}\right)^2-1=\displaystyle\frac{7}{25}\).
Vậy \(\cos7a\cos a-\cos5a\cos a =\displaystyle\frac{7}{25}-\displaystyle\frac{4}{5}=-\displaystyle\frac{13}{25}\).
Câu 2:
Biết \(\sin (a+b)=\displaystyle\frac{3}{5}\), \(\sin (a-b)=\displaystyle\frac{5}{13}\) và \(0< a+b,\,a-b< \displaystyle\frac{\pi}{2}\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?
Đáp án:
Lời giải:
a)
\(\sin a \cos b=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\sin (a-b)+\sin (a+b)\right]=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{5}{13}+\displaystyle\frac{3}{5}\right)=\displaystyle\frac{32}{65}\).
b)
\begin{eqnarray*}\cos a \cos b&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos (a-b)+\cos (a+b)\right]=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\sqrt{1-\sin^2(a-b)}+\sqrt{1-\sin^2(a+b)}\right]\\&=& \displaystyle\frac{1}{2}\left[\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{5}{13}\right)^2}+\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^2}\right]=\displaystyle\frac{56}{65}.\end{eqnarray*}
c)
\begin{eqnarray*}\cos 2a \cos 2b &=& \displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos 2(a-b)+\cos 2(a+b)\right]= \displaystyle\frac{1}{2}\left[1-2\sin^2(a-b)+1-2\sin^2(a+b)\right]\\&=&1-\sin^2(a-b)-\sin^2(a+b)\\&=&1-\left(\displaystyle\frac{5}{13}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^2=-\displaystyle\frac{2079}{4225}.\end{eqnarray*}
d)
\begin{eqnarray*}&&\sin a \sin b+\cos2(a+b)+\cos2(a-b)\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos (a-b)-\cos (a+b)\right]+1-2\sin^2(a+b)+1-2\sin^2(a-b)\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left[\sqrt{1-\sin^2(a-b)}-\sqrt{1-\sin^2(a+b)}\right]+2-2\left(\displaystyle\frac{5}{13}\right)^2-2\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^2\\&=& \displaystyle\frac{1}{2}\left[\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{5}{13}\right)^2}-\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^2}\right]+2-2\left(\displaystyle\frac{5}{13}\right)^2-2\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^2=\displaystyle\frac{4418}{4225}.\end{eqnarray*}
Câu 3:
Cho hai góc nhọn \( a\) và \( b\). Biết \(\cos a=\displaystyle\frac{3}{5}\), \(\cos b=\displaystyle\frac{3}{13}\). Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau
Đáp án:
Lời giải:
a)
\(\sin\left(\displaystyle\frac{a}{2}+\displaystyle\frac{b}{2}\right)\cos\left(\displaystyle\frac{a}{2}-\displaystyle\frac{b}{2}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}(\sin a + \sin b)=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\sqrt{1-\cos^2a}+\sqrt{1-\cos^2b}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{4}{5}+\displaystyle\frac{12}{13}\right)=\displaystyle\frac{56}{65}.\)
b)
\(\cos (a+b) \cos (a-b)=\displaystyle\frac{1}{2}(\cos 2a+\cos 2b)=\cos ^2a+\cos ^2b-1=\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)^2-1=-\displaystyle\frac{2479}{4225}\).
c)
\(\sin (a+b) \sin (a-b)=\displaystyle\frac{1}{2}(\cos 2b-\cos 2a)=\cos ^2b-\cos ^2a=\left(\displaystyle\frac{3}{13}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^2=-\displaystyle\frac{1296}{4225}\).
d)
\begin{eqnarray*}\sin (a+b) \cos (a-b)&=&\displaystyle\frac{1}{2}(\sin 2b-\sin 2a)=\sin b\cos b-\sin a\cos a\\&=&\sqrt{1-\cos^2b}\cos b-\sqrt{1-\cos^2a}\cos a\\&=&\displaystyle\frac{3}{13}\cdot\displaystyle\frac{3}{13}-\displaystyle\frac{4}{5}\cdot \displaystyle\frac{3}{5}=-\displaystyle\frac{1128}{4225}.\end{eqnarray*}
Câu 4:
Cho \(\cos 2\alpha=m\); \(0< \alpha < \displaystyle\frac{\pi}{2}\). Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau
Đáp án:
Lời giải:
a) \(2 \cos3\alpha \cos \alpha=\cos 2\alpha+\cos 4\alpha=2\cos^22\alpha+\cos 2\alpha-1=2m^2+m-1\).
b) \(2\cos\alpha\cos 3\alpha+2\sin^2\alpha=2\cos^22\alpha+\cos 2\alpha-1+1-2\cos 2\alpha=2\cos^22\alpha=2m^2.\)
c) \(2\sin3\alpha \cos \alpha=\sin 2\alpha +\sin 4\alpha=\sin 2\alpha\left(1+2\cos 2\alpha\right)=\sqrt{1-m^2}(1+2m)\).
d) \begin{eqnarray*}2\sin3\alpha \sin \alpha-\sqrt{2}\cos\left(2\alpha+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)&=&\cos 2 \alpha -\cos 4\alpha- \cos 2\alpha +\sin 2\alpha=-\cos 4\alpha+\sin 2\alpha\\ &=&\sqrt{1-m^2}+1-2m^2.\end{eqnarray*}
Câu 5:
Cho \(\cos a=\displaystyle\frac{3}{5}\); \(0< \alpha < \displaystyle\frac{\pi}{2}\). Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau
Đáp án:
Lời giải:
a) \(2\sin a \sin 5a+2\cos 2a \cos4 a=\cos 4a -\cos 6a+\cos6a+\cos 2a=2\cos^22a-1+\cos2a=8m^4-6m^2.\)
Vậy \(\sin a \sin 5a+\cos 2a \cos4 a=-\displaystyle\frac{351}{625}\).
b) \(2\cos 5a \cos a+2\sin 4a \sin 2a =\cos4a+\cos6a+\cos2a-\cos6a=\cos4a+\cos2a=\displaystyle\frac{351}{1250}\).
c) \begin{eqnarray*}2\sin 5a \cos a+2\sin 4x \cos 2x &=&\sin 4a +\sin 6a-(\sin6a+\sin 2a)=\sin 4a-\sin 2a\\&=&2\sin a \cos a \left[2\left(2\cos^2a-1\right)-1\right]=-\displaystyle\frac{936}{625}.\end{eqnarray*}
d) \begin{eqnarray*}2\cos5a\cos a-2\cos3a\cos a&=&\cos6a+\cos4a-(\cos2a+\cos4a)=\cos6a-\cos2a\\&=&4\cos^32a-4\cos2a=4\cos2a(\cos^22a-1)=\displaystyle\frac{8064}{15625}.\end{eqnarray*}
Câu 1:
Mỗi kết quả dưới đây đúng hay sai?
Đáp án:
Lời giải:
a) \(\sin3x+\sin x=2\sin\displaystyle\frac{3x+x}{2}\cdot\cos\displaystyle\frac{3x-x}{2}=2\sin2x\cos x\).
b) \(\sin3x-\sin x=2\cos\displaystyle\frac{3x+x}{2}\cdot\sin\displaystyle\frac{3x-x}{2}=2\cos2x\sin x\).
c) \(\cos3x+\cos x=2\cos\displaystyle\frac{3x+x}{2}\cdot\cos\displaystyle\frac{3x-x}{2}=2\cos2x\cos x\).
d) \(\cos3x-\cos x=-2\sin\displaystyle\frac{3x+x}{2}\cdot\sin\displaystyle\frac{3x-x}{2}=-2\sin2x\sin x\).
}
Câu 2:
Cho \(A\), \(B\), \(C\) là ba góc của tam giác \(ABC\) và \(M=\sin A+\sin B-\sin C\). Các khẳng định sau đúng hay sai?
Đáp án:
Lời giải:
a) Ta có \(\triangle ABC\) đều suy ra \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^\circ\).
Nên ta có \(M=\sin60^\circ+\sin60^\circ-\sin60^\circ=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\).
b) Áp dụng công thức tổng thành tích ta được \(\sin A+\sin B=2\sin\displaystyle\frac{A+B}{2}\cos\displaystyle\frac{A-B}{2}\).
c) Áp dụng công thức nhân đôi ta được \(\sin C=2\sin\displaystyle\frac{C}{2}\cos\displaystyle\frac{C}{2}\).
d) Ta có
\begin{eqnarray*}M&=&\sin A+\sin B-\sin C\\ &=& 2\sin\displaystyle\frac{A+B}{2}\cos\displaystyle\frac{A-B}{2}-2\sin\displaystyle\frac{C}{2}\cos\displaystyle\frac{C}{2}\\&= & 2\cos\displaystyle\frac{C}{2}\cos\displaystyle\frac{A-B}{2}-2\sin\displaystyle\frac{C}{2}\cos\displaystyle\frac{C}{2}\\&=&2\cos\displaystyle\frac{C}{2}\left(\cos\displaystyle\frac{A-B}{2}-\cos\displaystyle\frac{A+B}{2}\right)\\&= & 4\sin\displaystyle\frac{A}{2}\sin\displaystyle\frac{B}{2}\cos\displaystyle\frac{C}{2}.\end{eqnarray*}
}
Câu 3:
Cho biểu thức \(A=\displaystyle\frac{\cos 2a-\cos 4a}{\sin 4a-\sin 2a}+\displaystyle\frac{\cos a-\cos 5a}{\sin 5a-\sin a},a \ne k\displaystyle\frac{\pi}{2};a \ne \displaystyle\frac{\pi}{6}+k\displaystyle\frac{\pi}{3}\) với \(k\in \mathbb{Z}\). Các khẳng định sau đúng hay sai?
Đáp án:
Lời giải:
a) Thay \(a=\displaystyle\frac{\pi}{12}\) ta được \(A=2\).
b) Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích ta được \(\cos 2a-\cos 4a=2\sin 3a \cdot \sin a\).
c) Ta có \(\displaystyle\frac{\cos a-\cos 5a}{\sin 5a-\sin a}=\displaystyle\frac{2\sin 3a \cdot \sin 2a}{2\cos 3a \cdot \sin 2a} =\tan 3a\)
d) Ta có
\begin{eqnarray*}& A& =\displaystyle\frac{\cos 2a-\cos 4a}{\sin 4a-\sin 2a}+\displaystyle\frac{\cos a-\cos 5a}{\sin 5a-\sin a} \\& & =\displaystyle\frac{2\sin 3a \cdot \sin a}{2\cos 3a \cdot \sin a}+\displaystyle\frac{2\sin 3a \cdot \sin 2a}{2\cos 3a \cdot \sin 2a}\\& & =\tan 3a+\tan 3a=2\tan 3a.\end{eqnarray*}
Câu 1:
Tính các giá trị lượng giác của góc \(15^{\circ}\).
\(\sin15^\circ=\sin\left(45^\circ-30^\circ\right)=\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\).
\(\cos15^\circ=\cos\left(45^\circ-30^\circ\right)=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\).
\(\tan15^\circ=\displaystyle\frac{\sin15^\circ}{\cos15^\circ}=2-\sqrt{3}\).
\(\cot15^\circ=2+\sqrt{3}\).
Câu 2:
Tính giá trị \(\sin \displaystyle\frac{\pi}{8}\).
Ta có \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} = \cos \left(2 \cdot \displaystyle\frac{\pi}{8}\right) = 1 - 2 \sin ^2 \displaystyle\frac{\pi}{8}\).
Suy ra \(\sin ^2 \displaystyle\frac{\pi}{8} = \displaystyle\frac{2 - \sqrt{2}}{4}\).
Vì \(0 < \displaystyle\frac{\pi}{8} < \displaystyle\frac{\pi}{2}\) nên \(\sin \displaystyle\frac{\pi}{8} > 0\).
Suy ra \(\sin \displaystyle\frac{\pi}{8} = \displaystyle\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\).
Câu 3:
Tính giá trị \(\cos \displaystyle\frac{\pi}{12}\).
\(\cos \displaystyle\frac{\pi}{12} = \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{3} - \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \cos \displaystyle\frac{\pi}{3} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} + \sin \displaystyle\frac{\pi}{3} \sin \displaystyle\frac{\pi}{4}\) \(= \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} + \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} = \displaystyle\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}\).
Câu 4:
Tính \(\sin \displaystyle\frac{\pi}{12}\) và \(\tan \displaystyle\frac{\pi}{12}\).
Ta có
\(\sin \displaystyle\frac{\pi}{12} = \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{3} - \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) = \sin \displaystyle\frac{\pi}{3} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} - \cos \displaystyle\frac{\pi}{3} \sin \displaystyle\frac{\pi}{4}\) \( = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} - \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} = \displaystyle\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\).
\(\tan \displaystyle\frac{\pi}{12} = \tan \left(\displaystyle\frac{\pi}{3} - \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) \( = \displaystyle\frac{\tan \displaystyle\frac{\pi}{3} - \tan \displaystyle\frac{\pi}{4} }{1 + \tan \displaystyle\frac{\pi}{3} \tan \displaystyle\frac{\pi}{4}} = \displaystyle\frac{\sqrt{3} -1}{1 + \sqrt{3}}\).
}
Câu 5:
Tính \(\cos \displaystyle\frac{\pi}{8}\) và \(\tan \displaystyle\frac{\pi}{8}\).
Ta có \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} = \cos \left(2 \cdot \displaystyle\frac{\pi}{8}\right) = 2 \cos ^2 \displaystyle\frac{\pi}{8} - 1\).
Suy ra \(\cos ^2 \displaystyle\frac{\pi}{8} = \displaystyle\frac{2 + \sqrt{2}}{4}\).
Vì \(0 < \displaystyle\frac{\pi}{8} < \displaystyle\frac{\pi}{2}\) nên \(\cos \displaystyle\frac{\pi}{8} > 0\). Suy ra \(\cos \displaystyle\frac{\pi}{8} = \displaystyle\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\).
Ta có \(1 = \tan \displaystyle\frac{\pi}{4} = \tan \left(2 \cdot \displaystyle\frac{\pi}{8}\right) = \displaystyle\frac{2\tan \displaystyle\frac{\pi}{8}}{1 - \tan^2 \displaystyle\frac{\pi}{8}}\).
Suy ra \(\tan^2 \displaystyle\frac{\pi}{8} + 2\tan \displaystyle\frac{\pi}{8} - 1= 0\) \(\Leftrightarrow \tan \displaystyle\frac{\pi}{8} = -1 + \sqrt{2}\) hoặc \(\tan \displaystyle\frac{\pi}{8} = -1 - \sqrt{2}.\)
Vì \(0 < \displaystyle\frac{\pi}{8} < \displaystyle\frac{\pi}{2}\) nên \(\tan \displaystyle\frac{\pi}{8} > 0\). Suy ra \(\tan \displaystyle\frac{\pi}{8} = -1 + \sqrt{2}\).
}
Câu 6:
Tính giá trị của biểu thức \(\cos \displaystyle\frac{11 \pi}{12} \cos \displaystyle\frac{7 \pi}{12}\).
\(\cos \displaystyle\frac{11 \pi}{12} \cos \displaystyle\frac{7 \pi}{12} = \displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos \left(\displaystyle\frac{11 \pi}{12} - \displaystyle\frac{7 \pi}{12}\right) + \cos \left(\displaystyle\frac{11 \pi}{12} + \displaystyle\frac{7 \pi}{12}\right)\right]\) \(= \displaystyle\frac{1}{2}\left(\cos \displaystyle\frac{\pi}{3} + \cos \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right) = \displaystyle\frac{1}{4}.\)
Câu 7:
Tính giá trị của biểu thức \(\sin \displaystyle\frac{\pi}{24} \cos \displaystyle\frac{5 \pi}{24}\) và \(\sin \displaystyle\frac{7 \pi}{8} \sin \displaystyle\frac{5 \pi}{8}\).
Ta có
\(\sin \displaystyle\frac{\pi}{24} \cos \displaystyle\frac{5 \pi}{24} = \displaystyle\frac{1}{2}\left[\sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{24} - \displaystyle\frac{5 \pi}{24}\right) + \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{24} + \displaystyle\frac{5 \pi}{24}\right)\right]\) \( = \displaystyle\frac{1}{2}\left[\sin \left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) + \sin \displaystyle\frac{ \pi}{4}\right] = \displaystyle\frac{-1 + \sqrt{2}}{4}.\)
\(\sin \displaystyle\frac{7 \pi}{8} \sin \displaystyle\frac{5 \pi}{8} = \displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos \left(\displaystyle\frac{7 \pi}{8} - \displaystyle\frac{5 \pi}{8}\right) - \cos \left(\displaystyle\frac{7 \pi}{8} + \displaystyle\frac{5 \pi}{8}\right)\right]\) \(= \displaystyle\frac{1}{2}\left(\cos \displaystyle\frac{\pi}{4} - \cos \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\right) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}.\)
}
Câu 8:
Tính \(\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{12} + \sin \displaystyle\frac{\pi}{12}\).
Ta có
\(\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{12} + \sin \displaystyle\frac{\pi}{12} = 2 \sin \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{5 \pi}{12} + \displaystyle\frac{\pi}{12}}{2} \cos \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{5 \pi}{12} - \displaystyle\frac{\pi}{12}}{2}\) \(= 2 \sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \cos \displaystyle\frac{\pi}{6} = 2 \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} = \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}.\)
Câu 9:
Tính \(\cos \displaystyle\frac{7 \pi}{12} + \cos \displaystyle\frac{\pi}{12}\).
Ta có
\(\cos \displaystyle\frac{7 \pi}{12} + \cos \displaystyle\frac{\pi}{12} = 2\cos \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{7 \pi}{12} + \displaystyle\frac{\pi}{12}}{2} \cos \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{7 \pi}{12} - \displaystyle\frac{\pi}{12}}{2}\) \(= 2 \cos \displaystyle\frac{\pi}{3} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} = 2 \cdot \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}.\)
}
Câu 10:
Tính
a) \(\tan \displaystyle\frac{7 \pi}{12}\).
b) \(\tan 165^{\circ}\).
a) Áp dụng công thức cộng đối với tang, ta có:
\(\tan \displaystyle\frac{7 \pi}{12}=\tan \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\) \(=\displaystyle\frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan \frac{\pi}{3}}{1-\tan \frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{3}}=\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=-2-\sqrt{3}\).
b) Áp dụng công thức cộng đối với tang, ta có:
\(\tan 15^{\circ}=\tan \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)=\displaystyle\frac{\tan 45^{\circ}-\tan 30^{\circ}}{1+\tan 45^{\circ} \tan 30^{\circ}}\) \(=\displaystyle\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}=2-\sqrt{3}\).
Câu 11:
Tính
a) \(\sin 75^{\circ}\).
b) \(\sin \displaystyle\frac{\pi}{12}\).
a) Áp dụng công thức cộng, ta có:
\(\sin 75^{\circ}=\sin \left(30^{\circ}+45^{\circ}\right)\) \(=\sin 30^{\circ} \cos 45^{\circ}+\cos 30^{\circ} \sin 45^{\circ}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\).
b) Áp dụng công thức cộng, ta có:
\(\sin \displaystyle\frac{\pi}{12}=\sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{3}-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) \(=\sin \displaystyle\frac{\pi}{3} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4}-\cos \displaystyle\frac{\pi}{3} \sin \displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\).
Câu 12:
Tính
a) \(\cos \displaystyle\frac{5\pi}{12}\).
b) \(\cos 15^{\circ}\).
a) Áp dụng công thức cộng, ta có:
\(\cos \displaystyle\frac{5 \pi}{12}=\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) \(=\cos \displaystyle\frac{\pi}{6} \cos \displaystyle\frac{\pi}{4}-\sin \displaystyle\frac{\pi}{6} \sin \displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\).
b) Áp dụng công thức cộng, ta có:
\(\sin 15^{\circ}=\sin \left(60^{\circ}-45^{\circ}\right)\) \(=\sin 60^{\circ} \cos 45^{\circ}+\cos 60^{\circ} \sin 45^{\circ}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\).
Câu 13:
Tính \(\sin \left(\alpha + \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\), \(\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\) biết \(\sin \alpha = -\displaystyle\frac{5}{13}\) và \(\pi < \alpha < \displaystyle\frac{3 \pi}{2}\).
Do \(\pi < \alpha < \displaystyle\frac{3 \pi}{2} \Rightarrow \cos \alpha < 0\).
Ta có
\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(-\displaystyle\frac{5}{13}\right)^2} = -\displaystyle\frac{12}{13}\).
Suy ra
\(\sin \left(\alpha + \displaystyle\frac{\pi}{6}\right) = \sin \alpha \cos \displaystyle\frac{\pi}{6} + \sin \displaystyle\frac{\pi}{6} \cos \alpha\) \(= -\displaystyle\frac{5}{13} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} - \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{12}{13} = \displaystyle\frac{-5\sqrt{3} -12}{26}\);
\(\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} \cos \alpha + \sin \displaystyle\frac{\pi}{4} \sin \alpha\) \(= -\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \displaystyle\frac{12}{13} - \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \displaystyle\frac{5}{13} = -\displaystyle\frac{17\sqrt{2}}{26}\).
}
Câu 14:
Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc:
a) \(\displaystyle\frac{5 \pi}{12}\).
b) \(-555^{\circ}\).
a) Ta có
\(\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{12}=\sin\left( \displaystyle\frac{3\pi}{12}+\displaystyle\frac{2\pi}{12} \right)=\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\) \(=\sin\displaystyle\frac{\pi}{4}\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}+\cos\displaystyle\frac{\pi}{4} \sin\displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\).
Ta có \(\cos \displaystyle\frac{5 \pi}{12}=\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\) \(=\cos\displaystyle\frac{\pi}{4}\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}-\sin\displaystyle\frac{\pi}{4} \sin\displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\).
Suy ra \(\tan\displaystyle\frac{5\pi}{12}=\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{5\pi}{12}}{\cos\displaystyle\frac{5\pi}{12}}\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt 6+\sqrt 2}{\sqrt 6-\sqrt 2}\Rightarrow \cot\displaystyle\frac{5\pi}{12}=\displaystyle\frac{\sqrt 6-\sqrt 2}{\sqrt 6+\sqrt 2}\).
b) Ta có \(-555^{\circ}=-2\cdot360^\circ+165^\circ\).
Suy ra \begin{eqnarray*}\sin(-555^\circ)&=&\sin 165^\circ \\ &=&\sin 15^\circ=\sin\left(45^\circ-30^\circ\right)\\ &=&\sin 45^\circ\cos 30^\circ-\sin 30^\circ \cos 45^\circ\\ &=&\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4};\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}\cos(-555^\circ)&=&\cos 165^\circ \\ &=&-\cos 15^\circ=-\cos\left(45^\circ-30^\circ\right)\\ &=&-\left( \cos 45^\circ\cos 30^\circ+\sin 30^\circ \sin 45^\circ\right) \\ &=&-\displaystyle\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.\end{eqnarray*}
Suy ra \(\tan (-555^\circ)=\displaystyle\frac{\sin (-555^\circ)}{\cos(-555^\circ)}\) \(=-\displaystyle\frac{\sqrt6-\sqrt2}{\sqrt6+\sqrt2}\Rightarrow \cot(-555^\circ)=-\displaystyle\frac{\sqrt6+\sqrt2}{\sqrt6-\sqrt2}\).
}
Câu 15:
Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\), biết:
a) \(\cos 2 \alpha = \displaystyle\frac{2}{5}\) và \(-\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < 0\);
b) \(\sin 2 \alpha = -\displaystyle\frac{4}{9}\) và \(\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < \displaystyle\frac{3 \pi}{4}\).
a) Do \(-\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < 0 \Rightarrow \begin{cases}\cos \alpha > 0\\ \sin \alpha < 0\\ \tan \alpha < 0\\ \cot \alpha < 0.\end{cases}\)
Ta có
\(\cos 2 \alpha = \displaystyle\frac{2}{5} \Leftrightarrow 2\cos^2 \alpha - 1 = \displaystyle\frac{2}{5} \Leftrightarrow \cos^2 \alpha = \displaystyle\frac{7}{10}\) \(\Leftrightarrow \cos \alpha = \sqrt{\displaystyle\frac{7}{10}}\) hoặc \(\cos \alpha = -\sqrt{\displaystyle\frac{7}{10}}\) (loại).
Do \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \sin \alpha = - \sqrt{1 -\cos^2 \alpha} = - \sqrt{1 - \displaystyle\frac{7}{10}} = -\sqrt{\displaystyle\frac{3}{10}}\).
Suy ra \(\tan \alpha = \displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = - \sqrt{\displaystyle\frac{3}{7}} \Rightarrow \cot \alpha = - \sqrt{\displaystyle\frac{7}{3}}\).
b) Do \(\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < \displaystyle\frac{3 \pi}{4} \Rightarrow \begin{cases}\sin \alpha > 0\\ \cos \alpha < 0\\ \tan \alpha < 0\\ \cot \alpha < 0.\end{cases}\)
Mặt khác \(\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < \displaystyle\frac{3 \pi}{4} \Rightarrow \pi < 2\alpha < \displaystyle\frac{3 \pi}{2} \Rightarrow \cos 2\alpha < 0\).
Ta có \(\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha = 1 \Rightarrow \cos 2 \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 2\alpha} = -\sqrt{1 - \left(-\displaystyle\frac{4}{9}\right)^2} = -\displaystyle\frac{\sqrt{65}}{9}.\)
Ta có
\(\cos 2 \alpha = -\displaystyle\frac{\sqrt{65}}{9} \Leftrightarrow 2\cos^2 \alpha - 1 = -\displaystyle\frac{\sqrt{65}}{9} \Leftrightarrow \cos^2 \alpha = \displaystyle\frac{9 - \sqrt{65}}{18}\) \(\Leftrightarrow \cos \alpha = \sqrt{\displaystyle\frac{9 - \sqrt{65}}{18}}\) (loại) hoặc \(\cos \alpha = -\sqrt{\displaystyle\frac{9 - \sqrt{65}}{18}}.\)
Do \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \sin \alpha = \sqrt{1 -\cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{9 - \sqrt{65}}{18}} = \sqrt{\displaystyle\frac{9 + \sqrt{65}}{18}}\).
Suy ra \(\tan \alpha = \displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = - \sqrt{\displaystyle\frac{9 + \sqrt{65}}{9 - \sqrt{65}}} \Rightarrow \cot \alpha = - \sqrt{\displaystyle\frac{9 - \sqrt{65}}{9 + \sqrt{65}}}\).
}
Câu 16:
Cho \(\cos 2 x=\displaystyle\frac{1}{4}\). Tính
a) \(A=\cos \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \cos \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\).
b) \(B=\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\).
a) \(A=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\cos 2 x+\cos \displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{3}{8}\).
b) \(B=-\displaystyle\frac{1}{2}\left(\cos 2 x-\cos \displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)\) \(=-\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{2}\right)=-\displaystyle\frac{3}{8}\).
Câu 17:
Cho \(\sin a=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\). Tính: \(\cos 2 a, \cos 4 a\).
+) \(\cos 2a=1-2\sin^2a=1-2\cdot \left(\displaystyle\frac{2}{\sqrt 5}\right)^2=-\displaystyle\frac{3}{5}\).
+) \(\cos 4a=2\cos^2(2a)-1=2\cdot \left(-\displaystyle\frac{3}{5} \right)^2-1=-\displaystyle\frac{7}{25}\).
Câu 18:
Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức
\(B=\cos \displaystyle\frac{\pi}{9}+\cos \displaystyle\frac{5 \pi}{9}+\cos \displaystyle\frac{11 \pi}{9}.\)
Ta có
\(B=\left(\cos \displaystyle\frac{\pi}{9}+\cos \displaystyle\frac{5 \pi}{9}\right)+\cos \displaystyle\frac{11 \pi}{9}\) \(=2 \cos \displaystyle\frac{2 \pi}{9} \cos \displaystyle\frac{\pi}{3}+\cos \displaystyle\frac{11 \pi}{9}=\cos \displaystyle\frac{2 \pi}{9}-\cos \displaystyle\frac{2 \pi}{9}=0.\)
Câu 19:
Tính giá trị của các biểu thức
\(A=\cos \displaystyle\frac{5 \pi}{12} \cos \displaystyle\frac{7 \pi}{12}\); \(B=\cos 75^{\circ} \sin 15^{\circ}.\)
Ta có:
\(\begin{aligned}A & =\cos \displaystyle\frac{5 \pi}{12} \cos \displaystyle\frac{7 \pi}{12}=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos \left(\displaystyle\frac{5 \pi}{12}-\displaystyle\frac{7 \pi}{12}\right)+\cos \left(\displaystyle\frac{5 \pi}{12}+\displaystyle\frac{7 \pi}{12}\right)\right] \\ & =\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos \left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+\cos \pi\right]=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}-1\right)=\displaystyle\frac{\sqrt{3}-2}{4}.\\ B & =\cos 75^{\circ} \sin 15^{\circ}=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\sin \left(15^{\circ}-75^{\circ}\right)+\sin \left(15^{\circ}+75^{\circ}\right)\right] \\ & =\displaystyle\frac{1}{2}\left[\sin \left(-60^{\circ}\right)+\sin 90^{\circ}\right]=\displaystyle\frac{1}{2}\left(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)=\displaystyle\frac{2-\sqrt{3}}{4}.\end{aligned}\)
Câu 20:
Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức:
\(A=\cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ};\) \(B=\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{12} \cos \displaystyle\frac{7 \pi}{12}.\)
\(\begin{aligned}A & =\cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ}=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos \left(75^{\circ}-15^{\circ}\right)+\cos \left(75^{\circ}+15^{\circ}\right)\right] \\ & =\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos \left(60^{\circ}\right)+\cos 90^{\circ}\right]=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{2}+0\right)=\displaystyle\frac{1}{4}.\\ B & =\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{12} \cos \displaystyle\frac{7 \pi}{12}=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\sin \left(\displaystyle\frac{5 \pi}{12}-\displaystyle\frac{7 \pi}{12}\right)+\sin \left(\displaystyle\frac{5 \pi}{12}+\displaystyle\frac{7 \pi}{12}\right)\right] \\ & =\displaystyle\frac{1}{2}\left[\sin \left(-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+\sin \pi\right]=\displaystyle\frac{1}{2}\left(-\displaystyle\frac{1}{2}+0\right)=-\displaystyle\frac{1}{4}.\end{aligned}\)
Câu 21:
Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức \(A=\sin \displaystyle\frac{\pi}{9}-\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{9}+\sin \displaystyle\frac{7 \pi}{9}.\)
Ta có
\(A=\left(\sin \displaystyle\frac{\pi}{9}+\sin \displaystyle\frac{7 \pi}{9}\right)-\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{9}\) \(=2 \sin \displaystyle\frac{4 \pi}{9} \cos \displaystyle\frac{\pi}{3}-\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{9}=\sin \displaystyle\frac{4 \pi}{9}-\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{9}=0.\)
Câu 22:
Không dùng máy tính, tính \(\cos \displaystyle\frac{\pi}{8}\).
Ta có
\(\cos^{2} \displaystyle\frac{\pi}{8}=\displaystyle\frac{1+\cos \left(2\cdot\displaystyle\frac{\pi}{8}\right)}{2}\) \(=\displaystyle\frac{1+\cos \displaystyle\frac{\pi}{4}}{2}=\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\displaystyle\frac{2+\sqrt{2}}{4}\).
Suy ra \(\cos \displaystyle\frac{\pi}{8}=\displaystyle\frac{\sqrt{{2+\sqrt{2}}}}{2}\).
Câu 23:
Không dùng máy tính, hãy tính
a) \(\cos 75^{\circ}\);
b) \(\tan \displaystyle\frac{\pi}{12}\).
a) Ta có
\(\begin{aligned}\cos 75^{\circ}&=\cos \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right)=\cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ}-\sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ}\\ &=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.\end{aligned}\)
b) Ta có
\(\begin{aligned}\tan \displaystyle\frac{\pi}{12}&=\tan \left(\displaystyle\frac{\pi}{3}-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{\tan \displaystyle\frac{\pi}{3}-\tan \displaystyle\frac{\pi}{4}}{1+\tan \displaystyle\frac{\pi}{3} \cdot \tan \displaystyle\frac{\pi}{4}}\\ &=\displaystyle\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}=\displaystyle\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1}=2-\sqrt{3}.\end{aligned}\)
Câu 24:
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(A=\displaystyle\frac{\sin \displaystyle\frac{\pi}{15} \cos \displaystyle\frac{\pi}{10}+\sin \displaystyle\frac{\pi}{10} \cos \displaystyle\frac{\pi}{15}}{\cos \displaystyle\frac{2 \pi}{15} \cos \displaystyle\frac{\pi}{5}-\sin \displaystyle\frac{2 \pi}{15} \cdot \sin \displaystyle\frac{\pi}{5}}\);
b) \(B=\sin \displaystyle\frac{\pi}{32} \cos \displaystyle\frac{\pi}{32} \cos \displaystyle\frac{\pi}{16} \cos \displaystyle\frac{\pi}{8}\).
a) \(A=\displaystyle\frac{\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{15}+\displaystyle\frac{\pi}{10}\right)}{\cos\left(\displaystyle\frac{2\pi}{15}+\displaystyle\frac{\pi}{5}\right)}\) \(=\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}}{\cos\displaystyle\frac{\pi}{3}}=\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}}{\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)}=\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}}{\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}}=1\).
b) Áp dụng công thức nhân đôi \(\sin2a=2\sin a\cos a\), ta có
\begin{eqnarray*}B&=&\sin \displaystyle\frac{\pi}{32} \cos \displaystyle\frac{\pi}{32} \cos \displaystyle\frac{\pi}{16} \cos \displaystyle\frac{\pi}{8}\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\cdot2\sin \displaystyle\frac{\pi}{32} \cos \displaystyle\frac{\pi}{32} \cos \displaystyle\frac{\pi}{16} \cos \displaystyle\frac{\pi}{8}\\&=&\displaystyle\frac{1}{4}\cdot2\sin \displaystyle\frac{\pi}{16} \cos \displaystyle\frac{\pi}{16} \cos \displaystyle\frac{\pi}{8}\\&=&\displaystyle\frac{1}{8}\cdot2\sin \displaystyle\frac{\pi}{8} \cos \displaystyle\frac{\pi}{8}\\&=&\displaystyle\frac{1}{8}\cdot\sin\displaystyle\frac{\pi}{4}\\&=&\displaystyle\frac{1}{8}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{16}.\end{eqnarray*}
Câu 25:
Tính \(D=\displaystyle\frac{\sin \frac{7 \pi}{9}+\sin \frac{\pi}{9}}{\cos \frac{7 \pi}{9}-\cos \frac{\pi}{9}}\).
Ta có \(\sin \displaystyle\frac{7\pi}{9}+\sin \displaystyle\frac{\pi}{9}=2 \sin \displaystyle\frac{\frac{7 \pi}{9}+\frac{\pi}{9}}{2} \cos \displaystyle\frac{\frac{7\pi}{9}-\frac{\pi}{9}}{2}\) \(=2 \sin \displaystyle\frac{4 \pi}{9} \cos \displaystyle\frac{\pi}{3}=\sin \displaystyle\frac{4 \pi}{9}\).
\(\cos \displaystyle\frac{7\pi}{9}-\cos \displaystyle\frac{\pi}{9}=-2 \sin \displaystyle\frac{\frac{7 \pi}{9}+\frac{\pi}{9}}{2} \sin \displaystyle\frac{\frac{7\pi}{9}-\frac{\pi}{9}}{2}\) \(=-2 \sin \displaystyle\frac{4 \pi}{9} \sin \displaystyle\frac{\pi}{3}=-\sqrt{3}\sin \displaystyle\frac{4 \pi}{9}\).
Suy ra \(D=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\).
Câu 26:
Tính
a) \(\sin \displaystyle\frac{11 \pi}{12}-\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{12}\).
b) \(\cos 105^{\circ}+\cos 15^{\circ}\).
a) \(\sin \displaystyle\frac{11 \pi}{12}-\sin \displaystyle\frac{5 \pi}{12}=2 \cos \displaystyle\frac{\frac{11 \pi}{12}+\frac{5 \pi}{12}}{2} \sin \displaystyle\frac{\frac{11 \pi}{12}-\frac{5 \pi}{12}}{2}\) \(=2 \cos \displaystyle\frac{2 \pi}{3} \sin \displaystyle\frac{\pi}{4}=2 \cdot\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right) \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).
b) \(\cos 105^{\circ}+\cos 15^{\circ}=2 \cos \displaystyle\frac{105^{\circ}+15^{\circ}}{2} \cos \displaystyle\frac{105^{\circ}-15^{\circ}}{2}\) \(=2 \cos 60^{\circ} \cos 45^{\circ}=2 \cdot \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Câu 27:
Cho \(\sin 2 x=-\displaystyle\frac{1}{3}\). Tính: \(A=\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) \cos \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).
\(\begin{aligned}A&=\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \cos \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}+x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)+\sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}-x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\right] \\ &=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\sin 2 x+\sin \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\left(-\displaystyle\frac{1}{3}+1\right)=\displaystyle\frac{1}{3}.\end{aligned}\)
Câu 28:
Cho \(\cos a=\displaystyle\frac{2}{3}\). Tính: \(B=\cos \displaystyle\frac{3 a}{2} \cos \displaystyle\frac{a}{2}\).
Ta có \(\cos2a=2\cos^2 a-1=-\displaystyle\frac{1}{9}\).
Do đó
\(B=\cos \displaystyle\frac{3 a}{2} \cos \displaystyle\frac{a}{2}=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos \left(\displaystyle\frac{3 a}{2}+\displaystyle\frac{a}{2}\right)+\cos \left(\displaystyle\frac{3 a}{2}-\displaystyle\frac{a}{2}\right)\right]\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\cos 2a+\cos a \right)=\displaystyle\frac{5}{18}.\)
Câu 29:
Cho \(\cos \alpha=\displaystyle\frac{1}{3}\) và \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}<\alpha<0\). Tính:
\(\sin \alpha\); \(\sin 2 \alpha\); \(\cos \left(\alpha+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\).
Ta có
\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Rightarrow \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2=\displaystyle\frac{8}{9}\Rightarrow \sin\alpha=\pm \displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\).
Mặt khác, \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}<\alpha<0\) nên \(\sin\alpha<0\). Do đó \(\sin\alpha=-\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\).
\(\sin 2 \alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot \displaystyle\frac{-2\sqrt{2}}{3}\cdot \displaystyle\frac{1}{3}=-\displaystyle\frac{4\sqrt{2}}{9}\).
\(\cos \left(\alpha+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\cos\alpha\cos\displaystyle\frac{\pi}{3}-\sin\alpha\sin\displaystyle\frac{\pi}{3}\) \(=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{-2\sqrt{2}}{3}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}=\displaystyle\frac{1+2\sqrt{6}}{6}\).
Câu 30:
Tính các giá trị lượng giác của góc \(2 \alpha\), biết:
a) \(\sin \alpha = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\) và \(0 < \alpha < \displaystyle\frac{\pi}{2}\);
b) \(\sin \displaystyle\frac{\alpha}{2} = \displaystyle\frac{3}{4}\) và \(\pi < \alpha < 2 \pi\).
a) Do \(0 < \alpha < \displaystyle\frac{\pi}{2} \Rightarrow \cos \alpha > 0\).
Ta có \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\).
Suy ra \(\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 2 \left(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 - 1 = \displaystyle\frac{1}{3}\);
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3} = \displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\);
\(\tan 2\alpha = \displaystyle\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} =2\sqrt{2}\Rightarrow \cot 2\alpha = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}} \).
b) Ta có \(\cos \alpha=\cos \left( 2\cdot\displaystyle\frac{\alpha}{2}\right) =1-2\sin^2 \displaystyle\frac{\alpha}{2}=1-2\cdot \left(\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2=-\displaystyle\frac{1}{8}\).
Ta có \(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\displaystyle\frac{1}{64}=\displaystyle\frac{63}{64}\).
Vì \(\pi<\alpha<2\pi\) nên \(\sin \alpha<0\). Suy ra \(\sin \alpha=-\sqrt{\displaystyle\frac{63}{64}}=-\displaystyle\frac{\sqrt{63}}{8}\).
Do đó \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha \cos \alpha=2\left(-\displaystyle\frac{\sqrt{63}}{8}\right)\left(-\displaystyle\frac{1}{8}\right)=\displaystyle\frac{\sqrt{63}}{32}\);
\(\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2\left(-\displaystyle\frac{1}{8}\right)^2-1=-\displaystyle\frac{31}{32}\).
Suy ra \(\tan 2\alpha=\displaystyle\frac{\sin2\alpha}{\cos 2\alpha}=-\displaystyle\frac{\sqrt{63}}{31}\) và \(\cot 2\alpha=-\displaystyle\frac{31}{\sqrt{63}} \).
}
Câu 31:
Cho \(\cos a=-\displaystyle\frac{1}{3}\) với \(\displaystyle\frac{\pi}{2}< a<\pi\). Tính \(\sin 2 a\).
Vì \(\displaystyle\frac{\pi}{2}< a<\pi\) nên \(\sin a>0\).
Do đó \(\sin a=\sqrt{1-\cos ^2 a}=\sqrt{1-\left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2}=\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{9}}=\sqrt{\displaystyle\frac{8}{9}}=\displaystyle\frac{2 \sqrt{2}}{3}\) .
Vậy \(\sin 2 a=2 \sin a \cos a=2 \cdot \displaystyle\frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot\left(-\displaystyle\frac{1}{3}\right)=-\displaystyle\frac{4 \sqrt{2}}{9}\) .
Câu 32:
Tính \(\sin 2 a\), \(\cos 2 a\), \(\tan 2 a\), biết:
a) \(\sin a=\displaystyle\frac{1}{3}\) và \(\displaystyle\frac{\pi}{2}< a<\pi\);
b) \(\sin a+\cos a=\displaystyle\frac{1}{2}\) và \(\displaystyle\frac{\pi}{2}< a<\displaystyle\frac{3 \pi}{4}\).
a) Ta có \(\cos^2a+\sin^2a=1\) nên \(\cos a=-\sqrt{1-\sin^2a}=-\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{9}}=-\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\) (vì \(\displaystyle\frac{\pi}{2}< a<\pi\)).
Suy ra \(\sin2a=2\sin a\cos a=2\cdot\displaystyle\frac{1}{3}\cdot\displaystyle\frac{-2\sqrt{2}}{3}=-\displaystyle\frac{4\sqrt{2}}{9}\).
\(\cos2a=1-2\sin^2a=1-2\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2=\displaystyle\frac{7}{9}\).
\(\tan2a=\displaystyle\frac{\sin2a}{\cos2a}=-\displaystyle\frac{4\sqrt{2}}{7}\).
b) Ta có
\(\sin a+\cos a=\displaystyle\frac{1}{2}\) nên
\begin{eqnarray*}&&\left(\sin a+\cos a\right)^2=\sin^2a+\cos^2a+2\sin a\cos a\\&\Leftrightarrow& \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2=1+\sin2a\\&\Leftrightarrow&\sin2a=-\displaystyle\frac{3}{4}.\end{eqnarray*}
Vì \(\displaystyle\frac{\pi}{2}< a<\displaystyle\frac{3 \pi}{4}\) nên \(\pi<2a<\displaystyle\frac{3\pi}{2}\). Suy ra \(\cos2a<0\).
Do đó
\(\cos2a=-\sqrt{1-\sin^22a}=-\sqrt{1-\left(-\displaystyle\frac{3}{4}\right)^2}=-\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{4}\).
\(\tan2a=\displaystyle\frac{\sin2a}{\cos2a}=\displaystyle\frac{3\sqrt{7}}{7}\).
Câu 33:
Tính
a) \(\cos \left(a+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\), biết \(\sin a=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\) và \(\displaystyle\frac{\pi}{2}< a<\pi\);
b) \(\tan \left(a-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\), biết \(\cos a=-\displaystyle\frac{1}{3}\) và \(\pi< a<\displaystyle\frac{3 \pi}{2}\).
a) Ta có \(\cos^2a+\sin^2a=1\) nên \(\cos a=-\sqrt{1-\sin^2a}=-\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{3}}=-\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\) (vì \(\displaystyle\frac{\pi}{2}< a<\pi\)).
\(\cos \left(a+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\cos a\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}-\sin a\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}\) \(=-\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{6}\).
b) Ta có \(\cos^2a+\sin^2a=1\) nên \(\sin a=-\sqrt{1-\cos^2a}=-\sqrt{1-\displaystyle\frac{1}{9}}=-\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}\) (vì \(\pi< a<\displaystyle\frac{3 \pi}{2}\)).
Suy ra \(\tan a=\displaystyle\frac{\sin a}{\cos a}=2\sqrt{2}\).
Do đó \(\tan\left(a-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{\tan a-\tan\displaystyle\frac{\pi}{6}}{1+\tan a\tan\displaystyle\frac{\pi}{6}}\) \(=\displaystyle\frac{2\sqrt{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+2\sqrt{2}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}}=\displaystyle\frac{9\sqrt{3}-8\sqrt{2}}{5}\).
Câu 34:
Cho \(\tan \displaystyle\frac{a}{2}=-2\). Tính \(\tan a\).
Áp dụng công thức nhân đôi, ta có
\(\tan a=\displaystyle\frac{2 \tan\displaystyle\frac{a}{2}}{1-\tan ^2 \displaystyle\frac{a}{2}}=\displaystyle\frac{2 \cdot (-2)}{1-(-2)^2}=-\displaystyle\frac{4}{3}.\)
Câu 35:
Cho góc \(\alpha\) thỏa mãn \(\displaystyle\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\), \(\cos \alpha=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\). Tính giá trị của các biểu thức sau
a) \(\sin \left(\alpha+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\);
b) \(\cos\left(\alpha+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\);
c) \(\sin\left(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\);
d) \(\cos\left(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\).
Do \(\displaystyle\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\) nên \(\begin{cases}\cos\alpha <0\\ \sin\alpha >0.\end{cases}\)
Khi đó \(\sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\).
a) Ta có \(\sin\left(\alpha+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\sin\alpha\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}+\cos\alpha\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}\).
b) Ta có \(\cos\left(\alpha+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\cos\alpha\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}-\sin\alpha\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}\) \(=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{-3-\sqrt{6}}{6}\).
c) Ta có \(\sin\left(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\sin\alpha\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}-\cos\alpha\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}\).
d) Ta có \(\cos\left(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\cos\alpha\cos\displaystyle\frac{\pi}{6}+\sin\alpha\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}\) \(=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{-3+\sqrt{6}}{6}\).
Câu 36:
Cho \(\cos a=\displaystyle\frac{3}{5}\) với \(0< a<\displaystyle\frac{\pi}{2}\). Tính: \(\sin \left(a+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right), \cos \left(a-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right), \tan \left(a+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).
Ta có: \(\sin ^2 a+\cos ^2 a=1 \Rightarrow \sin ^2 a=1-\cos ^2 a=1-\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^2=\displaystyle\frac{16}{25}\).
Do \(0< a<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) nên \(\sin a>0\). Suy ra \(\sin a=\displaystyle\frac{4}{5}\),\, \(\tan a=\displaystyle\frac{\sin a}{\cos a}=\displaystyle\frac{4}{3}\).
\(\sin \left(a+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\sin a \cos \displaystyle\frac{\pi}{6}+\cos a \sin \displaystyle\frac{\pi}{6}\) \(=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \sin a+\displaystyle\frac{1}{2} \cos a=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \displaystyle\frac{4}{5}+\displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{3}{5}=\displaystyle\frac{3+4 \sqrt{3}}{10}\).
\(\cos \left(a-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\cos a \cos \displaystyle\frac{\pi}{3}+\sin a \sin \displaystyle\frac{\pi}{3}\) \(=\displaystyle\frac{1}{2} \cos a+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \sin a=\displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{3}{5}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \displaystyle\frac{4}{5}=\displaystyle\frac{3+4 \sqrt{3}}{10}\).
\(\tan \left(a+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{\tan a+\tan \frac{\pi}{4}}{1-\tan a \cdot \tan \frac{\pi}{4}}\) \(=\displaystyle\frac{\frac{4}{3}+1}{1-\frac{4}{3} \cdot 1}=-7\).
Câu 37:
Tính:
a) \(A=\sin \left(a-17^{\circ}\right) \cos \left(a+13^{\circ}\right)-\sin \left(a+13^{\circ}\right) \cos \left(a-17^{\circ}\right)\).
b) \(B=\cos \left(b+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{6}-b\right)-\sin \left(b+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(\displaystyle\frac{\pi}{6}-b\right)\).
a) \(A=\sin \left[\left(a-17^{\circ}\right)-\left(a+13^{\circ}\right)\right]=\sin \left(-30^{\circ}\right)\) \(=-\sin 30^{\circ}=-\displaystyle\frac{1}{2}\).
b) \(B=\cos \left[\left(b+\displaystyle\frac{\pi}{3}\right]+\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}-b\right)\right)=\sin \displaystyle\frac{\pi}{2}=1\).
Câu 38:
Cho \(\tan (a+b)=3, \tan (a-b)=2\). Tính: \(\tan 2 a, \tan 2 b\).
\(\tan 2a=\tan\left[(a+b)+(a-b)\right]=\displaystyle\frac{\tan(a+b)+\tan(a-b)}{1-\tan(a+b)\tan(a-b)}=\displaystyle\frac{3+2}{1-3\cdot 2}=-1\).
\(\tan 2b=\tan\left[(a+b)-(a-b)\right]=\displaystyle\frac{\tan(a+b)-\tan(a-b)}{1+\tan(a+b)\tan(a-b)}=\displaystyle\frac{3-2}{1+3\cdot 2}=\displaystyle\frac{1}{7}\).
Câu 39:
Cho \(\sin a+\cos a=1\). Tính: \(\sin 2 a\).
Ta có: \(1=(\sin a+\cos a)^2=\sin^2a+2\sin a\cos a+\cos^2a=1+\sin 2a\).
Suy ra: \(\sin 2a=0\).
Câu 40:
Cho \(\cos 2 a=\displaystyle\frac{1}{3}\) với \(\displaystyle\frac{\pi}{2} < a< \pi\). Tính: \(\sin a, \cos a, \tan a\).
Do \(\displaystyle\frac{\pi}{2}< a<\pi\) nên \(\sin a>0,\, \cos a>0\) và \(\tan a>0\).
Ta có
+) \(\sin^2a=\displaystyle\frac{1-\cos 2a}{2}=\displaystyle\frac{1-\frac{1}{3}}{2}=\displaystyle\frac{1}{3}\Rightarrow \sin a=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\).
+) \(\cos^2a=\displaystyle\frac{1+\cos 2a}{2}=\displaystyle\frac{1+\frac{1}{3}}{2}=\displaystyle\frac{2}{3}\Rightarrow \cos a=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{3}\).
+) \(\tan^2a=\displaystyle\frac{1-\cos 2a}{1+\cos 2a}=\displaystyle\frac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow \tan a=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Câu 41:
Cho \(\sin a+\cos a=\displaystyle\frac{1}{2}\). Tính \(\sin 2 a\); \(\cos 4 a\).
+) Do \(\sin a+\cos a=\displaystyle\frac{1}{2}\) nên \((\sin a+\cos a)^{2}=\displaystyle\frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin ^{2} a+\cos ^{2} a+2 \sin a \cos a=\displaystyle\frac{1}{4}\) hay \(1+2 \sin a \cos a=\displaystyle\frac{1}{4}\).
Suy ra \(\sin 2 a=\displaystyle\frac{1}{4}-1=-\displaystyle\frac{3}{4}\).
+) Áp dụng công thức nhân đôi, ta có: \(\cos 4 a=\cos (2 \cdot 2 a)=1-2 \sin ^{2} 2 a=-\displaystyle\frac{1}{8}\).
Câu 42:
Cho bất kì góc \(\alpha\). Chứng minh các đẳng thức sau
a) \(\left(\sin \alpha+\cos\alpha\right)^2=1+\sin 2\alpha\);
b) \(\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=\cos 2\alpha\).
a) \(\left(\sin \alpha+\cos\alpha\right)^2=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=1+\sin 2\alpha\);
b) \(\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)=\cos 2\alpha\).
Câu 43:
Chứng minh đẳng thức: \(\sin (a+b) \sin (a-b)=\sin ^2 a-\sin ^2 b=\cos ^2 b-\cos ^2 a.\)
Chứng minh \(\sin (a+b) \sin (a-b)=\cos ^2 b-\cos ^2 a\).
Ta có
\begin{eqnarray*}\sin(a+b)\sin(a-b)&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos(2b)-\cos(2a)\right]\\&=&\displaystyle\frac{1}{2}\left[\left(2\cos^2b-1\right)-\left(2\cos^2a-1\right)\right]\\&=&\cos^2b-\cos^2a.\end{eqnarray*}
Chứng minh \(\sin ^2 a-\sin ^2 b=\cos ^2 b-\cos ^2 a\).
Ta có \(\sin ^2 a-\sin ^2 b=1-\cos^2a-\left(1-\cos^2b\right)=\cos^2b-\cos^2a\).
Vậy \(\sin (a+b) \sin (a-b)=\sin ^2 a-\sin ^2 b=\cos ^2 b-\cos ^2 a\).
Câu 44:
Chứng minh rằng \(\sin x+\cos x=\sqrt{2} \sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).
Ta có
\(\begin{aligned}\sqrt{2} \sin \left(x+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) &=\sqrt{2}\left(\sin x \cos \displaystyle\frac{\pi}{4}+\cos x \sin \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\\ &=\sqrt{2}\left(\sin x \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\ &=\sin x+\cos x.\end{aligned}\)
Đẳng thức được chứng minh.
Câu 45:
Chứng minh rằng:
a) \(\sin x-\cos x=\sqrt{2} \sin \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\)
b) \(\tan \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}-x\right)=\displaystyle\frac{1-\tan x}{1+\tan x}~ \left(x \neq \displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi, x \neq \displaystyle\frac{3 \pi}{4}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\right)\).
a) Ta có
\[\begin{aligned}\sqrt{2} \sin \left(x-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)&=\sqrt{2}\left(\sin x \cos \displaystyle\frac{\pi}{4}-\cos x \sin \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\\ &=\sqrt{2}\left(\sin x \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}-\cos x \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\ &=\sin x-\cos x.\end{aligned}\]
Đẳng thức được chứng minh.
b) Ta có
\(\begin{aligned}\tan \left(\displaystyle\frac{\pi}{4}-x\right)&=\displaystyle\frac{\tan\displaystyle\frac{\pi}{4}-\tan x}{1+\tan\displaystyle\frac{\pi}{4}\tan x}\\ &=\displaystyle\frac{1-\tan x}{1+\tan x}~\left(x \neq \displaystyle\frac{\pi}{2}+k \pi, x \neq \displaystyle\frac{3 \pi}{4}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\right).\end{aligned}\)
Đẳng thức được chứng minh.
Câu 46:
Chứng minh đẳng thức lượng giác:
a) \(\sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta)=\sin ^2 \alpha-\sin ^2 \beta\);
b) \(\cos ^4 \alpha-\cos ^4\left(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=\cos 2 \alpha\).
a) Ta có
\begin{eqnarray*}\sin (\alpha+\beta)&=&\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\ \sin (\alpha-\beta)&=&\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\ \Rightarrow \sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta)&=&(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)\\ &=& \sin^2\alpha\cos^2\beta+\cos^2\alpha\sin^2\beta\\ &=&\sin^2\alpha\left(1-\sin^2\beta\right)+\left(1-\sin^2\alpha\right)\sin^2\beta\\ &=&\sin^2\alpha-\sin^2\beta.\end{eqnarray*}
b) Ta có
\begin{eqnarray*}&&\cos ^4 \alpha-\cos ^4\left(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\\ &=&\cos^4\alpha-\cos^4\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\\ &=&\cos^4\alpha-\sin^4\alpha \\ &=&\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)\\ &=&\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos 2\alpha.\end{eqnarray*}
Câu 47:
Rút gọn biểu thức: \(A=\displaystyle\frac{\sin x+\sin 2 x+\sin 3 x}{\cos x+\cos 2 x+\cos 3 x}\).
\(A=\displaystyle\frac{(\sin x+\sin 3x)+\sin 2x}{(\cos x+\cos 3x)+\cos 2x}\) \(=\displaystyle\frac{2\sin2x\cos x+\sin 2x}{2\cos 2x\cos x+\cos 2x}=\displaystyle\frac{\sin 2x(2\cos x+1)}{\cos 2x(2\cos x+1)}=\tan 2x\).
Câu 48:
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(\sqrt{2} \sin \left(\alpha + \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) - \cos \alpha\);
b) \((\cos \alpha+\sin \alpha)^2 - \sin 2 \alpha\).
a) Ta có
\begin{eqnarray*}\sqrt{2} \sin \left(\alpha + \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) - \cos \alpha&=&\sqrt{2}\sin \alpha \cos \displaystyle\frac{\pi}{4} + \sqrt{2}\cos \alpha \sin \displaystyle\frac{\pi}{4} - \cos \alpha\\ &=&\sqrt{2}\sin \alpha \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}\cos \alpha \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos \alpha\\ &=&\sin \alpha + \cos \alpha - \cos \alpha\\ &=& \sin \alpha.\end{eqnarray*}
b) Ta có
\begin{eqnarray*}(\cos \alpha+\sin \alpha)^2 - \sin 2 \alpha&=&\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - \sin 2 \alpha\\ &=&(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \sin 2 \alpha - \sin 2 \alpha\\ &=&1.\end{eqnarray*}
}
Câu 49:
Chứng minh rằng trong tam giác \(ABC\), ta có \(\sin A = \sin B \cos C + \sin C \cos B\).
Trong \(\triangle ABC\) ta có \(A + B + C = \pi \Leftrightarrow A = \pi - (B + C)\).
Suy ra \(\sin A = \sin \left(\pi - (B + C)\right) = \sin (B + C) = \sin B \cos C + \sin C \cos B\).
}
Câu 1:
Cho tam giác \(A B C\) có \(\widehat{B}=75^{\circ}; \widehat{C}=45^{\circ}\) và \(a=B C=12 \mathrm{~cm}\).
a) Sử dụng công thức \(S=\displaystyle\frac{1}{2} a b \sin C\) và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác \(A B C\) cho bởi công thức
\(S=\displaystyle\frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A}.\)
b) Sử dụng kết quả ở câu \(1\) và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích \(S\) của tam giác \(A B C\).
a) Ta có \(\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\displaystyle\frac{b}{\sin B}\) nên \(b=\displaystyle\frac{a\sin B}{\sin A}\).
Khi đó \(S=\displaystyle\frac{1}{2} a b \sin C=\displaystyle\frac{1}{2}a\cdot\displaystyle\frac{a\sin B}{\sin A}\sin C=\displaystyle\frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A} \).
b) Ta có \(\sin B\sin C=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\cos\left(B-C\right)-\cos\left(B+C\right)\right]\) \(=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\cos30^\circ-\cos120^\circ\right)=\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}}{4}\).
Lại có \(\sin A=\sin\left(180^\circ-B-C\right)=\sin60^\circ=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Diện tích \(S\) của tam giác \(A B C\) là
\(S=\displaystyle\frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A}\) \(=\displaystyle\frac{12^2\cdot\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}}{4}}{2\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}=36+12\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2\).
Câu 2:
Một sợi cáp \(R\) được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất \(14 \mathrm{~m}\). Một sợi cáp \(S\) khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất \(12 \mathrm{~m}\). Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột \(15 \mathrm{~m}\).
a) Tính \(\tan\alpha\), ở đó \(\alpha\) là góc giữa hai sợi cáp trên.
b) Tìm góc \(\alpha\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).
a) Ta có: \(\tan\widehat{AOH}=\displaystyle\frac{AH}{OH}=\displaystyle\frac{14}{15}\), \(\tan\widehat{BOH}=\displaystyle\frac{BH}{OH}=\displaystyle\frac{12}{15}\). Suy ra:
\(\tan\alpha=\tan\widehat{AOB}=\tan\left(\widehat{AOH}-\widehat{BOH}\right)=\displaystyle\frac{\tan\widehat{AOH}-\tan\widehat{BOH}}{1+\tan\widehat{AOH}\cdot\tan\widehat{BOH}}=\displaystyle\frac{\frac{14}{15}-\frac{12}{15}}{1+\frac{14}{15}\cdot\frac{12}{15}}=\displaystyle\frac{10}{131}\).
b) \(\tan\alpha=\displaystyle\frac{10}{131}\Rightarrow\alpha\approx 4^\circ\).
Câu 3:
Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là \(H K=20 \mathrm{~m}\). Để đảm bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí \(C\). Gọi \(A, B\) lần lượt là vị trí thấp nhất, cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được. Hãy tính số đo góc \(A C B\) (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất). Biết rằng chiều cao của chung cư thứ hai là \(C K=32 \mathrm{~m}\), \(A H=6 \mathrm{~m}, B H=24 \mathrm{~m}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).
Ta có: \(CD=CK-BH=8\), \(CI=CK-AH=26\), \(BD=AI=HK=20\).
\(\tan\widehat{BCD}=\displaystyle\frac{BD}{CD}=\displaystyle\frac{20}{8}=\displaystyle\frac{5}{2}\), \(\tan\widehat{ACI}=\displaystyle\frac{AI}{CI}=\displaystyle\frac{20}{26}=\displaystyle\frac{10}{13}\).
\(\tan\widehat{BCA}=\tan\left(\widehat{BCD}-\widehat{ACI}\right)=\displaystyle\frac{\tan\widehat{BCD}-\tan\widehat{ACI}}{1+\tan\widehat{BCD}.\tan\widehat{ACI}}=\displaystyle\frac{\frac{5}{2}-\frac{10}{13}}{1+\frac{5}{2}\cdot\frac{10}{13}}\)
\(\tan\widehat{BCA}=\displaystyle\frac{45}{76}\Rightarrow \widehat{BCA}\approx 30,6^\circ \).
}
Câu 4:
Hiệu điện thế và cường độ dòng điện trong một thiết bị điện lần lượt được cho bởi các biểu thức sau:
\(\begin{aligned}& u=40 \sin (120 \pi t)+10 \sin (360 \pi t)(\mathrm{V}) \\ & i=4 \sin (120 \pi t)+\sin (360 \pi t) \quad \text { (A). }\end{aligned}\)
Biết rằng công suất tiêu thụ tức thời của thiết bị đó được tính theo công thức: \(P=u \cdot i\) (W). Hãy viết biểu thức biểu thị công suất tiêu thụ tức thời ở dạng không có lũy thừa và tích của các biểu thức lượng giác.
Ta có:
\(\begin{aligned}P & =u \cdot i=[40 \sin (120 \pi t)+10 \sin (360 \pi t)] \cdot[4 \sin (120 \pi t)+\sin (360 \pi t)] \\ & =160 \sin ^{2}(120 \pi t)+10 \sin ^{2}(360 \pi t)+80 \sin (120 \pi t) \sin (360 \pi t) \\ & =80[1-\cos (240 \pi t)]+5[1-\cos (720 \pi t)]+40[\cos (360 \pi t-120 \pi t)-\cos (360 \pi t+120 \pi t)] \\& =85-80 \cos (240 \pi t)-5 \cos (720 \pi t)+40 \cos (240 \pi t)-40 \cos (480 \pi t) \\ & =85-40 \cos (240 \pi t)-5 \cos (720 \pi t)-40 \cos (480 \pi t)(\mathrm{W}).\end{aligned}\)
Câu 5:
Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức \(x(t)=A \cos (\omega t+\varphi)\), trong đó \(t\) là thời điểm (tính bằng giây), \(x(t)\) là li độ của vật tại thời điểm \(t\), \(A\) là biên độ dao động \((A>0)\) và \(\varphi \in[-\pi ; \pi]\) là pha ban đầu của dao động. Xét hai dao động điều hoà có phương trình:
\(\begin{aligned}& x_1(t)=2 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{3} t+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\,(\mathrm{cm}), \\ & x_2(t)=2 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{3} t-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\,(\mathrm{cm}).\end{aligned}\)
Tìm dao động tổng hợp \(x(t)=x_1(t)+x_2(t)\) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.
Dao động tổng hợp \(x(t)\) có phương trình \(x(t)=2 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{3} t+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+2 \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{3} t-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\).
Khi đó \(x(t)=2 \left[\cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{3} t+\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)+ \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{3} t-\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\right]\) \(=2\cdot2\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}t-\displaystyle\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=2\sqrt{2}\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}t-\displaystyle\frac{\pi}{12}\right)\).
Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này lần lượt là \(A=2\sqrt{2}\) và \(\varphi=-\displaystyle\frac{\pi}{12}\).
Câu 6:
Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình vẽ bên dưới cho thấy tần số thấp \(f_1\) và tần số cao \(f_2\) liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm \(y=\sin \left(2 \pi f_1 t\right)+\sin \left(2 \pi f_2 t\right)\), ở đó \(t\) là biến thời gian (tính bằng giây).
a) Tìm hàm số mô hình hoá âm thanh được tạo ra khi nhấn phím \(4\).
b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu \(1\) về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số côsin.
a) Nhấn phím \(4\) sẽ tạo ra sóng âm \(y=\sin \left(2 \pi f_1 t\right)+\sin \left(2 \pi f_2 t\right)\) với \(f_{1}=770 \mathrm{\mathrm{Hz}}\) và \(f_{2}=1209 \mathrm{Hz}\).
Khi đó \(y=\sin \left(2 \pi 770 t\right)+\sin \left(2 \pi 1209 t\right)\).
Hay \(y=\sin \left(1540 \pi t\right)+\sin \left(2418 \pi t\right)\).
b) Ta có
\(\begin{aligned}y&=\sin \left(1540 \pi t\right)+\sin \left(2418 \pi t\right)\\ &= 2\sin \displaystyle\frac{1540 \pi t+2418 \pi t}{2}\cos \displaystyle\frac{1540 \pi t-2418 \pi t}{2}\\ &=2\sin(1979 \pi t)\cos (439 \pi t).\end{aligned}\)
Câu 7:
Trong hình bên dưới, pít-tông \(M\) của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại dọc theo xi-lanh làm quay trục khuỷu \(I A\). Ban đầu \(I\), \(A\), \(M\) thẳng hàng. Cho \(\alpha\) là góc quay của trục khuỷu, \(O\) là vị trí của pít-tông khi \(\alpha = \displaystyle\frac{\pi}{2}\) và \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(Ix\). Trục khuỷu \(IA\) rất ngắn so với độ dài thanh truyền \(A M\) nên có thể xem như độ dài \(MH\) không đổi và gần bằng \(MA\).
a) Biết \(IA = 8\) cm, viết công thức tính tọa độ \(x_M\) của điểm \(M\) trên trục \(Ox\) theo \(\alpha\).
b) Ban đầu \(\alpha = 0\). Sau 1 phút chuyển động, \(x_M = -3\) cm. Xác định \(x_M\) sau \(2\) phút chuyển động. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
a) Ta có \(OM=IH\) nên \(x_M = IA \cdot \cos \alpha = 8\cos \alpha\).
b) Sau 1 phút chuyển động, góc quay \(\alpha\) thì ta có
\(x_M = 8\cos \alpha = - 3 \Leftrightarrow \cos \alpha = -\displaystyle\frac{3}{8}.\)
Sau 2 phút chuyển động, ta có góc quay là \(2\alpha\) thì
\(x_M = 8\cos 2\alpha = 8(2\cos^2 \alpha - 1)\) \(= -\displaystyle\frac{23}{4} \approx -5{,}8\ (\mathrm{cm}).\)
Câu 8:
Trong hình bên dưới, ba điểm \(M\), \(N\), \(P\) nằm ở đầu các cánh quạt của tua-bin gió. Biết các cánh quạt dài \(31\) m, độ cao của điểm \(M\) so với mặt đất là \(30\) m, góc giữa các cánh quạt là \(\displaystyle\frac{2 \pi}{3}\) và số đo góc \((OA, OM)\) là \(\alpha\).
a. Tính \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\).
b. Tính \(\sin\) của các góc lượng giác \((OA, ON)\) và \((OA, OP)\), từ đó tính chiều cao của các điểm \(N\) và \(P\) so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
a) Ta có tọa độ điểm \(M\) trong hệ trục tọa độ \(Oxy\) là \(M(x_M; y_M)\).
Với \(\sin \alpha = \displaystyle\frac{y_M}{OM} = -\displaystyle\frac{30}{31}\) và \(\cos \alpha =\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \displaystyle\frac{\sqrt{61}}{31}\).
b) Ta có \((OA, OP)=(OA,OM)+(OM,OP)\) \(=\alpha+\displaystyle\frac{2\pi}{3}\).
Suy ra
\(\sin (OA,OP)=\sin\left(\alpha+\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)\)
\(=\sin\alpha\cos\displaystyle\frac{2\pi}{3}+\sin\displaystyle\frac{2\pi}{3}\cos\alpha\)
\(=-\displaystyle\frac{30}{31}\cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{61}}{31}=\displaystyle\frac{30+\sqrt{183}}{62}.\)
Do đó chiều cao của điểm \(P\) so với mặt đất là
\(60+31\sin(OA,OP)\) \(=60+31\cdot \displaystyle\frac{30+\sqrt{183}}{62}\approx 81{,}76\ \mathrm{m}\).
Tương tự, ta có \((OA, ON)=(OA,OM)+(OM,ON)\) \(=\alpha+\displaystyle\frac{4\pi}{3}\).
Suy ra
\(\sin (OA,ON)=\sin\left(\alpha+\displaystyle\frac{4\pi}{3}\right)\)
\(=\sin\alpha\cos\displaystyle\frac{4\pi}{3}+\sin\displaystyle\frac{4\pi}{3}\cos\alpha\)
\(=-\displaystyle\frac{30}{31}\cdot \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)+\left(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot\displaystyle\frac{\sqrt{61}}{31}\) \(=\displaystyle\frac{30-\sqrt{183}}{62}.\)
Do đó chiều cao của điểm \(N\) so với mặt đất là
\(60+31\sin(OA,ON)=60+31\cdot \displaystyle\frac{30-\sqrt{183}}{62}\) \(\approx 68{,}24 \ \mathrm{m}\).