a) Không gian mẫu \(\Omega=\{\text{Bảo; Đăng; Giang; Hoa; Long; Mai; Phúc; Tuấn; Yến} \}\).

b) \(T\) là biến cố Học sinh được chọn biết chơi cả cầu lông và bóng bàn.

Ta có: \(U=\{\text{Bảo; Đăng; Long; Phúc; Tuấn; Yến}\}\);\\ \(V=\{\text{Giang ; Long; Phúc; Tuấn}\}\).

Vậy \(T=U \cap V=\{\)Long; Phúc; Tuấn\(\}\).

a) \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25\}\).

b) \(S\) là biến cố Số ghi trên tấm thẻ là số chia hết cho \(4\) và chia hết cho \(6\).

Ta có: \(P=\{4,8,12,16,20,24\}\); \(Q=\{6,12,18,24\}\).

Vậy \(T=P \cap Q=\{12;24\}\).

a) Khi rút 1 thẻ từ 15 thẻ được đánh số thì không gian mẫu là:

\(\Omega= \{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15 \}\).

b) Các kết quả thuận lợi của biến cố \(A\): \(A= \{1;2;3;4;5;6 \}\).

Các kết quả thuận lợi của biến cố \(B\): \(B=\{2;3;5;7;11;13 \}\).

\(A \cup B\) là biến cố Số ghi trên thẻ nhỏ hơn \(7\) hoặc số nguyên tố.

\(A \cup B = \{1;2;3;4;5;6;7;11;13 \}\).

\(AB\) là biến cố Số ghi trên thẻ nhỏ hơn \(7\) và nguyên tố.

\(AB=\{2;3;5 \}\).

\(P \cup Q\) là biến cố Học sinh đó bị cận thị hoặc học sinh đó giỏi môn Toán.

\(PQ\) là biến cố Học sinh đó bị cận thị và học giỏi môn Toán.

\(\overline{P}\) là biến cố Học sinh đó không bị cận thị.

\(\overline{Q}\) là biến cố Học sinh đó không giỏi môn Toán.

\(\overline{P} \overline{Q}\) là biến cố Học sinh đó không bị cận và không giỏi môn Toán.

Chọn ngẫu nhiên một người đã bị tai nạn ô tô.

Gọi \(A\) là biến cố Người đó đã tử vong; \(B\) là biến cố Người đó đã không thắt dây an toàn.

Khi đó, \(A B\) là biến cố: Người đó không thắt dây an toàn và đã tử vong.

Ta có \(P(A)=0{,}37 \%=0{,}0037 ;\, P(B)=29 \%=0{,}29;\) suy ra \(P(A)\cdot P(B)=0{,}0037 \cdot 0{,}29=0{,}001073\).

Mặt khác \(P(A B)=0{,}28 \%=0{,}0028\).

Vì \(P(A B) \neq P(A) P(B)\) nên hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập.

Vậy việc không thắt dây an toàn khi lái xe có liên quan tới nguy cơ tử vong khi gặp tai nạn.

Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc, nghĩa là không thể xảy ra cả hai biến cố đồng thời.

Ta có \(P(A\cap B)=0\).

Nếu \(A\) và \(B\) độc lập thì:

\(P(A\cap B)=P(A)P(B) > 0\).

Điều này trái với kết quả vừa chứng minh được ở trên. Vậy nên, hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập.

Ước của \(60\) là \(1,\) \( 2,\) \( 3,\) \( 4,\) \( 5,\) \( 6,\) \( 10,\) \( 12,\) \( 15,\) \( 20,\) \( 30,\) \( 60\). Suy ra \(P(A)=\displaystyle\frac{12}{60}=0{,}2\).

Ước của \(48\) là \(1,\) \( 2,\) \( 3,\) \( 4,\) \( 6,\) \( 8,\) \( 12,\) \( 16,\) \( 24,\) \( 48\). Suy ra \(P(B)=\displaystyle\frac{10}{60}=\displaystyle\frac{1}{6}.\)

Suy ra \(P(A)\cdot P(B)=\displaystyle\frac{1}{30}\).

Ước chung của \(60\) và \(48\) là \(1,\) \( 2,\) \( 3,\) \( 4,\) \( 6,\) \( 8,\) \( 12,\) \( 24\).

Suy ra \(P(AB)=\displaystyle\frac{8}{60}=\displaystyle\frac{2}{15}\).

Vì \(P(AB)\neq P(A)P(B)\) nên hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập.

+) \(C=A\cup B\);

+) \(D=A\cap B\);

+) \(E=\overline{A}\cap \overline{B}\);\

+) \(F=A\cap \overline{B}\);

+) \(G=A\overline{B}\cup \overline{A}B\).

Biến cố \(A=\{(1 ; 4) ;(4 ; 1) ;(2 ; 3) ;(3 ; 2)\}\).

Biến cố \(B=\{(1 ; 6) ;(6 ; 1) ;(2 ; 3) ;(3 ; 2)\}\).

Biến cố \(C=\{(1 ; 6) ;(6 ; 1) ;(1 ; 5) ;(5 ; 1) ;(1 ; 4) ;(4 ; 1) ;(1 ; 3) ;(3 ; 1) ;(1 ; 2) ;(2 ; 1) ;(1 ; 1)\}\).

Kết hợp tập hợp mô tả biến cố \(A\), \(B\) ở trên, ta có biến cố \(AC=\{(1 ; 4) ;(4 ; 1)\};\) \(BC=\{(1 ; 6) ;(6 ; 1)\}.\)

a) \(A\) là biến cố Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho \(2\) \(\,\)nên \(A=\{2;4;6;8;10;12;14;16;18;20\}\).

\(B\) là biến cố Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho \(3\) \(\,\)nên \(B=\{3;6;9;12;15;18;21\}\).

Suy ra biến cố \(AB=\{6;12;18\}\).

Vậy biến cố \(AB\) là Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 6.

b) Xác suất \(P(A)=\displaystyle\frac{10}{21}\);

Xác suất \(P(B)=\displaystyle\frac{7}{21}=\displaystyle\frac{1}{3}\);

Xác suất \(P(AB)=\displaystyle\frac{3}{21}=\displaystyle\frac{1}{7}\).

Ta có \(P(AB)=\displaystyle\frac{1}{7}\neq \displaystyle\frac{10}{21}\cdot \displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{10}{63}=P(A)P(B)\) nên hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập.

a) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố \(A B\) và tính \(P(A B)\).

Hộp thứ nhất chứa \(3\) tấm thẻ cùng loại được đánh số \(1; 2; 3\).

Hộp thứ hai chứa \(5\) tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ \(1; 2; 3; 4; 5\).

Số phần tử không gian mẫu là \(3\cdot 5=15\).

Gọi \(A\) là biến cố Tổng các số ghi trên \(2\) thẻ bằng \(6\) \(\,\)nên \(A=\{(1;5);(2;4);(3;3)\}\). \(P(A)=\displaystyle\frac{3}{15}\).

Gọi \(B\) là biến cố Tích các số ghi trên \(2\) thẻ là số lẻ \(\,\)nên

\(B=\{(1;1);(1;3);(1;5);(3;1);(3;3);(3;5)\}\). \(P(B)=\displaystyle\frac{6}{15}=\displaystyle\frac{2}{5}\).

Vậy \(P(A B)=P(A)P(B)=\displaystyle\frac{1}{5}\cdot \displaystyle\frac{2}{5}=\displaystyle\frac{2}{25}\).

b) [b)] Một biến cố khác rỗng và xung khắc với cả hai biến cố \(A\) và \(B\) là

\(C\) là biến cố Tích các số ghi trên \(2\) thẻ là số chẵn và tổng khác 6 .

Suy ra \(C=\{(1;2);(1;4);(2;1);(2;2);(2;3);(2;5);(3;2);(3;4)\}\).

a) Ta có \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(AB) \\ \Rightarrow

P(AB)=P(A)+P(B)-P(A \cup B)=0,5+0,7-0,8=0,4\(.

\(P(\overline{A} B)=P(\overline{A})P(B)=0{,}5\cdot0{,}7=0{,}35.\)

\(P\overline{A} \overline{B}=P(\overline{A})P(\overline{B})=0{,}5\cdot0{,}3=0{,}15.\)

b) Vì \(P(AB)=0,4 \neq 0,35=P(A)\cdot P(B)\) nên hai biến cố

\(A\) và \(B\) không độc lập.

a) Gọi \(A\) là biến cố Lấy được hai viên bi màu xanh.

Gọi \(X\) là biến cố Lấy được viên bi màu xanh từ túi thứ nhất \(\Rightarrow P( X )=\displaystyle\frac{3}{10}\).

Gọi \(Y\) là biến cố Lấy được viên bi màu xanh từ túi thứ hai \(\Rightarrow P( Y )=\displaystyle\frac{5}{8}\).

Ta thấy biến cố \(X\), \(Y\) là \(2\) biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có

\(P( A )=P( X\cdot Y )=P( X )\cdot P( Y )=\displaystyle\frac{3}{10}\cdot\displaystyle\frac{5}{8}=\displaystyle\frac{3}{16}.\)

b) Gọi \(B\) là biến cố Lấy được hai viên bi màu đỏ.

Gọi \(E\) là biến cố Lấy được viên bi màu đỏ từ túi thứ nhất \(\Rightarrow P( E )=\displaystyle\frac{7}{10}\).

Gọi \(F\) là biến cố Lấy được viên bi màu đỏ từ túi thứ hai \(\Rightarrow P(F)=\displaystyle\frac{3}{8}\).

Ta thấy biến cố \(E\), \(F\) là \(2\) biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có

\(P(B)=P( E\cdot F )=P(E)\cdot P(F )=\displaystyle\frac{7}{10}\cdot\displaystyle\frac{3}{8}=\displaystyle\frac{21}{80}.\)

c) Gọi \(C\) là biến cố Lấy được hai viên bi cùng màu.

Ta có \(C = A \cup B \Rightarrow P(C) = P(A)+P(B)= \displaystyle\frac{3}{16} + \displaystyle\frac{21}{80} = \displaystyle\frac{9}{20}\).

d) Gọi \(D\) là biến cố Lấy được hai viên bi không cùng màu.

Ta có \(D = \overline{C} \Rightarrow P(D) = 1- P(C)= 1- \displaystyle\frac{9}{20} = \displaystyle\frac{11}{20}\).

a) Gọi \(A\) là biến cố Hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu.

Gọi \(X\) là biến cố Học sinh tỉnh \(X\) đạt yêu cầu \(\Rightarrow P( X )=0{,}93\).

Gọi \(Y\) là biến cố Học sinh tỉnh \(Y\) đạt yêu cầu \(\Rightarrow P(Y)=0{,}87\).

Ta thấy biến cố \(X\), \(Y\) là \(2\) biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có

\(P(A)=P( X\cdot Y )=P( X )\cdot P( Y )=0{,}93\cdot 0{,}87=0{,}8091.\)

b) Gọi \(B\) là biến cố Hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu.

Ta có \( B = \overline{X} \cdot \overline{Y} \Rightarrow P(B) = P(\overline{X} \cdot \overline{Y}) =P(\overline{X}) \cdot P(\overline{Y})= (1 - 0{,}93)\cdot (1-0{,}87) = 0{,}0091\).

c) Gọi \(C\) là biến cố Có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu.

Ta có

\begin{eqnarray*} C &=& (X\cdot \overline{Y}) \cup (\overline{X} \cdot Y) \\&\Rightarrow& P(C) = P((X\cdot \overline{Y}) \cup (\overline{X} \cdot Y)) =P(X) \cdot P(\overline{Y})+ P(\overline{X}) \cdot P(Y)\\&=& 0{,}93\cdot (1-0{,}87) + (1 - 0{,}93)\cdot 0{,}87 = 0{,}1818.\end{eqnarray*}

d) Gọi \(D\) là biến cố Có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu.

Ta có \( D = \overline{B} \Rightarrow P(D) =P(\overline{B})= 1 - P(B) = 1-0{,}0091 = 0{,}9909\).