\(\S1.\) BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x\), \(y\) là bất phương trình có một trong các dạng
\(ax+by+c<0\); \(ax+by+c>0\); \(ax+by+c\leq 0\); \(ax+by+c\geq 0\),
trong đó \(a\), \(b\), \(c\) là những số cho trước; \(a\), \(b\) không đồng thời bằng \(0\) và \(x\), \(y\) là các ẩn.
2. Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
+ Xét bất phương trình \(ax+by+c<0\).
Mỗi cặp \(x_0;y_0\) thỏa mãn \(ax_0+by_0+c<0\) được gọi là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
+ Nghiệm của các bất phương trình còn lại có định nghĩa tương tự.
3. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
+ Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tập hợp các điểm \((x_0;y_0)\) sao cho \(ax_0+by_0+c<0\) được gọi là miền nghiệm của bất phương trình \(ax+by+c<0\).
+ Miền nghiệm của các bất phương trình còn lại có định nghĩa tương tự.
Các bước biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax+by+c<0\):
+ B1. Trên mặt phẳng \(Oxy\), vẽ đường thẳng \(\Delta\colon ax+by+c=0\).
+ B2. Lấy một điểm \((x_0;y_0)\) không thuộc \(\Delta\). Tính \(ax_0+by_0+c\).
+ B3. Kết luận
\(-\) Nếu \(ax_0+by_0+c<0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ \(\Delta\)) chứa điểm \((x_0;y_0)\).
\(-\) Nếu \(ax_0+by_0+c>0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ \(\Delta\)) không chứa điểm \((x_0;y_0)\).
Chú ý. Đối với các bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng \(ax+by+c \le 0\) (hoặc \(ax+by+c \ge 0\)) thì miền nghiệm là miền nghiệm của bất phương trình \(ax+by+c < 0\) (hoặc \(ax+by+c > 0\)) kể cả bờ.
Phần 1. Trắc nghiệm bốn lựa chọn
Dạng 1. Xác định bất phương trình bậc nhất 2 ẩn
Dạng 2. Xác định nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn
Dạng 3. Xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn
Dạng 1. Xác định bất phương trình bậc nhất 2 ẩn
Câu 1:
Cho các bất phương trình: \(y>0\), \(x^2-2\geq x^2+5y\), \(x<3\), \(y-4x< 0\). Trong số các bất phương trình đã cho có bao nhiêu bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
Đáp án: \(4\)
Lời giải:
Tất cả đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Chú ý \(x^2-2\geq x^2+5y\Leftrightarrow -2\geq 5y\).
Câu 2:
Cho các bất phương trình: \(x-3y>0\), \(x+2\leq 0\), \(xy-1>0\), \(2x-1\geq y\). Trong số các bất phương trình đã cho có bao nhiêu bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
Đáp án: \(3\)
Lời giải:
Có 3 bất phương trình bậc nhất hai ẩn là
\(x-3y>0\), \(x+2\leq 0\) và \(2x-1\geq y\).
Dạng 2. Xác định nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn
Câu 1:
Miền nghiệm của bất phương trình \(-x+2+2( y-2 )<2( 1-x )\) là nửa mặt phẳng \textbf{không chứa} điểm nào trong các điểm sau?
Đáp án: \(( 4;2 )\)
Lời giải:
Ta có \(-x+2+2( y-2 )<2( 1-x )\Leftrightarrow x+2y<4.\)
+) Vì \(4+2 \cdot 2<4\) là mệnh đề sai nên \((4;2)\) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
+) Vì \(0+2 \cdot 0<4\) là mệnh đề đúng nên \((0;0)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
+) Vì \(1+2 \cdot 1<4\) là mệnh đề đúng nên \((1;1)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
+) Vì \(1+2 \cdot (-1)<4\) là mệnh đề đúng nên \((1;-1)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
Câu 2:
Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình: \(x+y-3>0\)?
Đáp án: \(D(4;1)\)
Lời giải:
Bằng cách thế tọa độ của các điểm vào bất phương trình, ta thấy cặp \((4;1)\) thỏa mãn bất phương trình. Do đó điểm \(D(4;1)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Dạng 3. Xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn
Câu 1:
Miền không bị gạch của hình vẽ bên là miền nghiệm của bất phương trình nào dưới đây?
Đáp án: \(x-y+2>0\)
Lời giải:
Đường thẳng đi qua 2 điểm \((-2;0)\) và \((0;2)\) là \(y=x+2\Leftrightarrow x-y+2=0\).
Ta thấy điểm \((0;0)\) thuộc miền nghiệm đồng thời là nghiệm của bất phương trình \(x-y+2>0\).
Vậy miền đã cho là miền nghiệm của bất phương trình \(x-y+2>0\).
Câu 2:
Miền không bị gạch của hình vẽ bên là miền nghiệm của bất phương trình nào dưới đây?
Đáp án: \(2x-y> 0\)
Lời giải:
Đường thẳng đi qua 2 điểm \(O(0;0)\) và \(A(1;2)\) là \(y=2x\Leftrightarrow 2x-y=0\).
Ta thấy điểm \((1;0)\) thuộc miền nghiệm đồng thời là nghiệm của bất phương trình \(2x-y>0\).
Vậy miền đã cho là miền nghiệm của bất phương trình \(2x-y> 0\).