Giả sử ta có hình lục giác đều \(ABCDEF\) tâm \(O\).

Vì tứ giác \(ABCO\) là hình bình hành (và cũng là hình thoi) nên hình biểu diễn tương ứng (tứ giác \(A'B'C'O'\)) cũng phải là hình bình hành. Nhưng theo hình vẽ, ta thấy \(A'O'\) và \(B'C'\) không song song với nhau. Vậy hình đã cho không là hình biểu diễn của một hình lục giác đều.

}

wHinhBaitapSGK11/chuong4/11c4b5h3.png

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Với phép chiếu song song biến tam giác \(ABC\) thành tam giác \(A'B'C'\), nó cũng biến \(M\) thành \(M'\) và \(G\) thành \(G'\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(B C\) nên \(B\), \(M\), \(C\) thẳng hàng theo thứ tự đó và \(\displaystyle\frac{BM}{MC}=1\). Do vậy \(B'\), \(M'\), \(C'\) thẳng hàng theo thứ tự đó và \(\displaystyle\frac{B'M'}{M'C'}=1\), tức là \(M'\) là trung điểm của \(B'C'\).

Vậy \(A'M'\) là đường trung tuyến của tam giác \(A'B'C'\).

Vì \(A\), \(G\), \(M\) thẳng hàng theo thứ tự đó và \(\displaystyle\frac{AG}{AM}=\displaystyle\frac{2}{3}\) nên \(A'\), \(G'\), \(M'\) thẳng hàng thứ tự đó và \(\displaystyle\frac{A'G'}{A'M'}=\displaystyle\frac{2}{3}\). Vậy \(G'\) là trọng tâm của tam giác \(A'B'C'\).

}

a) Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ nên \(AA'\parallel BB'\parallel CC'\). Vì \(A'\) thuộc mặt phẳng \((A'B'C')\) nên \(A'\) là hình chiếu của \(A\) trên mặt phẳng \((A'B'C')\) theo phương \(CC'\).

b) Trong mặt phẳng \((ABB'A')\) vẽ \(MM'\parallel AA'\) với \(M'\) thuộc \(A'B'\) thì \(MM'\parallel CC'\). Vì \(M'\) thuộc mặt phẳng \((A'B'C')\) nên \(M'\) là hình chiếu của \(M\) trên mặt phẳng \((A'B'C')\) theo phương \(CC'\).

}

Theo giả thiết, tam giác \(A'B'C'\) là hình chiếu của tam giác \(ABC\) qua phép chiếu song song theo phương của đường thẳng \(AA'\) lên mặt phẳng \((A'B'C')\).

Chú ý rằng \(AA'\parallel BB'\parallel CC'\).

Khi đó, ta có thể coi tam giác \(ABC\) là hình chiếu của tam giác \(A'B'C'\) qua phép chiếu song song theo phương của đường thẳng \(AA'\) lên mặt phẳng \((ABC)\).

}

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên các cạnh \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\), \(DD'\) song song với nhau. Do đó, các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) lần lượt là ảnh của \(A'\), \(B'\), \(C'\), \(D'\) qua phép chiếu song song lên mặt phẳng \((ABCD)\) theo phương \(A'A\).

}

Gọi \(A'\), \(B'\) lần lượt là hình chiếu song song của \(A\), \(B\) trên mặt phẳng \((P)\) theo phương \(\ell\).

Khi đó, hình chiếu song song của đoạn thẳng \(AB\) trên mặt phẳng \((P)\) theo phương \(\ell\) là đoạn thẳng \(A'B'\).

}

wHinhBaitapSGK11/chuong4/11c4b5h8.png

Gọi \(A'\), \(B'\), \(C'\) lần lượt là hình chiếu song song của ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) trên mặt phẳng \((P)\) theo phương \(\ell\).

a) Hình chiếu của tam giác \(ABC\) trên mặt phẳng \((P)\) là tam giác \(A'B'C'\) (Hình a).

b) Ba điểm \(A'\), \(B'\), \(C'\) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((P)\) nên ba điểm \(A'\), \(B'\), \(C'\) thẳng hàng và có một điểm nằm giữa hai điểm còn lại. Giả sử điểm \(B'\), nằm giữa hai điểm \(A'\) và \(C'\). Khi đó, hình chiếu song song của tam giác \(ABC\) trên mặt phẳng \((P)\) là đoạn thẳng \(A'C'\) (Hình b).

}

Hình \(a)\) là hình biểu diễn của hình lập phương.

Hình \(b)\) không là hình biểu diễn của hình lập phương vì trong hình này có hai cạnh đối của đáy trên không song song với nhau.

Hình \(c)\) cũng có thể là hình biểu diễn của hình lập phương. Tuy nhiên hình biểu diễn này không tốt vì không giúp ta hình dung được hình trong không gian.

}

Các Hình \(a), b), c)\) đều là hình biểu diễn cho hình tứ diện.

}

Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(D\) qua \(C\).\\ Khi đó \(E\in (ABCD)\) và \(C'E\parallel D'C\parallel A'B\).

Vậy ảnh của tam giác \(A'C'D'\) qua phép chiếu song song lên mặt phẳng \((ABCD)\) theo phương \(A'B\) là tam giác \(BEC\).

}

a) Một tam giác vuông nội tiếp trong một đường tròn có hình biểu diễn như sau

b) Hình biểu diễn của một lục giác đều như sau

}

wHinhBaitapSGK11/chuong4/11c4b5h14.png

}

wHinhBaitapSGK11/chuong4/11c4b5h15.png

Hình vuông \(A'B'C'D'\) nội tiếp \((O)\) khi có hai đường chéo là 2 đường kính vuông góc nhau, do đó \(A'C'\) và \(B'D'\) song song với hai cạnh của tam giác vuông nội tiếp \((O)\).

Trước hết, vẽ tam giác \(ABC\) là hình biểu diễn của một tam giác vuông tại nội tiếp trong một đường tròn.

Qua \(O\) ta kẻ hai dây \(A'C'\) và \(B'D'\) của elip lần lượt song song với \(AC\) và \(AB\). Khi đó tứ giác \(A'B'C'D'\) là hình biếu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một đường tròn.

}

Xét hình lục giác đều \(ABCDEF\), ta nhận thấy

+) Tứ giác \(OABC\) là hình thoi.

+) Các điểm \(D, E, F\) lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm \(A, B, C\), qua tâm \(O\).

Từ đó suy ra cách vẽ hình biễu diễn của lục giác đều \(ABCDEF\) như sau

+) Vẽ hình bình hành \(O'A'B'C'\) biễu diễn cho hình thoi \(OABC\).

+) Lấy các điểm \(D', E', F'\) lần lượt đối xứng với các điểm \(A', B', C'\) qua \(O\), ta được hình biễu diễn \(A'B'C'D'E'F'\) của hình lục giác đều \(ABCDEF\).

}