1. Góc giữa hai véc-tơ
+ Cho hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đều khác \(\overrightarrow{0}\). Từ một điểm \(O\) bất kì ta vẽ \(\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{b}\).
+ Góc \(\widehat{A O B}\) với số đo từ \(0^{\circ}\) đến \(180^{\circ}\) được gọi là góc giữa hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\).
+ Ta kí hiệu góc giữa hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là \(\left (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right )\).
+ Nếu \(\left (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \right )=90^{\circ}\) thì ta nói rằng \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) vuông góc với nhau, kí hiệu là \(\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}\).
Chú ý.
+ Từ định nghĩa ta có \(\left (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right )=\left (\overrightarrow{b}, \overrightarrow{a}\right )\).
+ Góc giữa hai véc-tơ cùng hướng và khác \(\overrightarrow{0}\) luôn bằng \(0^{\circ}\).
+ Góc giữa hai véc-tơ ngược hướng và khác \(\overrightarrow{0}\) luôn bằng \(180^{\circ}\).
+ Trong trường hợp có ít nhất một trong hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) hoặc \(\overrightarrow{b}\) là véc-tơ \(\overrightarrow{0}\) thì ta quy ước số đo góc giữa hai véc-tơ đó là tuỳ ý (từ \(0^{\circ}\) đến \(180^{\circ}\)).
2. Tích vô hướng của hai véc-tơ
Cho hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đều khác \(\overrightarrow{0}\).
Tích vô hướng của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\), được xác định bởi công thức:
\(\quad\) \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\left |\overrightarrow{a} \right | \cdot \left |\overrightarrow{b} \right | \cdot \cos \left (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right).\)
Chú ý.
+ Trường hợp ít nhất một trong hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) bằng \(\overrightarrow{0}\), ta quy ước \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0\).
+ Với \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đều khác \(\overrightarrow{0}\), ta có \(\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0\).
+ Khi \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\) thì tích vô hướng \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) được kí hiệu là \(\overrightarrow{a}^{2}\) và được gọi là bình phuơng vô hướng của véc-tơ \(\overrightarrow{a}\).
+ Ta có \(\overrightarrow{a}^{2}=|\overrightarrow{a}| \cdot|\overrightarrow{a}| \cdot \cos 0^{\circ}=|\overrightarrow{a}|^{2}\). Vậy bình phương vô hướng của một véc-tơ luôn bằng bình phương độ dài của véc-tơ đó.
+ \(\left(\overrightarrow{AB}\right)^2=AB^2\).
3. Tính chất của tích vô hướng
Với ba véc-tơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) bất kì và mọi số \(k\), ta có:
+ \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}\);
+ \(\overrightarrow{a} \cdot \left (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right )=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}\);
+ \(\left (k \overrightarrow{a}\right ) \cdot \overrightarrow{b}=k\left (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\right )=\overrightarrow{a} \cdot \left (k \overrightarrow{b} \right )\).
+ \(\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )^{2}=\overrightarrow{a}^{2}-2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^{2}\).
+ \(\left(\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right) \cdot \left (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right )=\overrightarrow{a}^{2}-\overrightarrow{b}^{2}.\)