Câu 1:
Giải các phương trình sau
\(\bullet\,\) \(5^{2 x-1}=25\).
\(\bullet\,\) \(3^{x+1}=9^{2 x+1}\).
\(\bullet\,\) \(10^{1-2 x}=100000\).
\(\bullet\,\) \(5^{2 x-1}=25\) \(\Leftrightarrow 5^{2 x-1}=5^2\) \(\Leftrightarrow 2x-1=2\) \(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{3}{2}\).
\(\bullet\,\) \(3^{x+1}=9^{2 x+1}\) \(\Leftrightarrow 3^{x+1}=3^{4x+2}\) \(\Leftrightarrow x+1=4x+2\) \(\Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{1}{3}\).
\(\bullet\,\) \(10^{1-2x}=100000\) \(\Leftrightarrow 10^{1-2x}=10^5\) \(\Leftrightarrow 1-2x=5\Leftrightarrow x=-2\).
}
Câu 2:
Giải các phương trình sau. Làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn.
\(\bullet\,\) \(3^{x+2}=7\).
\(\bullet\,\) \(3\cdot 10^{2x+1}=5\).
\(\bullet\,\) \(3^{x+2}=7\) \(\Leftrightarrow x=\log_3 7 -2\approx -0{,}229\).
\(\bullet\,\) \(3\cdot 10^{2x+1}=5\) \(\Leftrightarrow 2x+1=\log \displaystyle\frac{5}{3}\) \(\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\log \displaystyle\frac{5}{3}-1\right)\Leftrightarrow x\approx -0{,}389\).
}
Câu 3:
Giải các phương trình sau
\(\bullet\,\) \(\log _6(4 x+4)=2\).
\(\bullet\,\) \(\log _3 x-\log _3(x-2)=1\).
\(\bullet\,\) Điều kiện \(x> -1\).
\(\log_6 (4x+4)=2\Leftrightarrow 4x+4=6^2\Leftrightarrow x=8\) (thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=8\).
\(\bullet\,\) Điều kiện \(x>2\).
\(\log_3 x-\log_3(x-2)=1\Leftrightarrow \log_3 \left[x(x-2)\right]=1\) \(\Leftrightarrow x^2-2x=3\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=-1 \text{ (loại)}\\&x=3 \text{ (thỏa mãn).}\end{aligned}\right.\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=3\).
}
Câu 4:
Giải các bất phương trình sau
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{2x+1} \leqslant 9\).
\(\bullet\,\) \(4^x>2^{x-2}\).
\(\bullet\,\) \(\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{2x+1} \leqslant 9\) \(\Leftrightarrow 2x+1\geqslant -2\Leftrightarrow x\geqslant -\displaystyle\frac{3}{2}\).
\(\bullet\,\) \(4^x>2^{x-2}\Leftrightarrow 2^{2x}>2^{x-2}\) \(\Leftrightarrow 2x>x-2\Leftrightarrow x>-2\).
}
Câu 5:
Giải các bất phương trình sau
\(\bullet\,\) \(\log_2(x-2)<2\).
\(\bullet\,\) \(\log (x+1) \geq \log (2x-1)\).
\(\bullet\,\) Điều kiện \(x>2\).
\(\log_2(x-2)<2\Leftrightarrow x-2<4\Leftrightarrow x<6.\)
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là \(2
\(\bullet\,\) Điều kiện \(x>\displaystyle\frac{1}{2}\).
\(\log (x+1) \geqslant \log (2x-1)\Leftrightarrow x+1\geqslant 2x-1\Leftrightarrow x\leqslant 2.\)
Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là \(\displaystyle\frac{1}{2}
}
Câu 6:
Chất phóng xạ polonium-\(210\) có chu kì bán rã là \(138\) ngày. Điều này có nghĩa là cứ sau 138 ngày, lượng polonium còn lại trong một mẫu chỉ bằng một nửa lượng ban đầu. Một mẫu \(100 \mathrm{~g}\) có khối lượng polonium-\(210\) còn lại sau \(t\) ngày được tính theo công thức \(M(t)=100\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{t}{138}}(\mathrm{~g})\).
\(\bullet\,\) Khối lượng polonium-\(210\) còn lại bao nhiêu sau \(2\) năm?
\(\bullet\,\) Sau bao lâu thì còn lại \(40 \mathrm{~g}\) polonium-\(210\)?
\(\bullet\,\) Đổi \(2\) năm = \(730\) ngày.
Khối lượng polonium-\(210\) còn lại sau \(2\) năm là
\(M(t)=100\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{730}{138}}\approx 2{,}556\mathrm{~g}.\)
\(\bullet\,\) \(100\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{t}{138}}=40\) \(\Leftrightarrow \left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{\tfrac{t}{138}}=\displaystyle\frac{2}{5}\) \(\Leftrightarrow t=138\cdot \log_{\tfrac{1}{2}} \displaystyle\frac{2}{5}\approx 182{,}4\).
Vậy cần \(185\) ngày để còn lại \(40 \mathrm{~g}\) polonium-\(210\).
}
Câu 7:
Nhắc lại rằng, mức cường độ âm \(L\) được tính bằng công thức \(L=10 \log \left(\displaystyle\frac{I}{I_0}\right)(\mathrm{dB})\), trong đó \(I\) là cường độ của âm tính bằng \(\mathrm{W}/ \mathrm{m}^2\) và \(I_0=10^{-12} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^2\).
\(\bullet\,\) Một giáo viên đang giảng bài trong lớp học có mức cường độ âm là \(50\) dB. Cường độ âm của giọng nói giáo viên bằng bao nhiêu?
\(\bullet\,\) Mức cường độ âm trong một nhà xưởng thay đổi trong khoảng từ \(75\) dB đến \(90\) dB. Cường độ âm trong nhà xưởng này thay đổi trong khoảng nào?
\(\bullet\,\) Ta có \(L=50\Leftrightarrow 10\log \left(\displaystyle\frac{I}{I_0}\right)=50\) \(\Leftrightarrow \log \left(\displaystyle\frac{I}{I_0}\right)=5\) \(\Leftrightarrow I=T_0\cdot 10^5\) \(\Leftrightarrow I=10^{-7} \mathrm{~W}/\mathrm{m}^2\).
Vậy cường độ âm của giọng nói giáo viên bằng \(10^{-7} \mathrm{~W}/\mathrm{m}^2\).
\(\bullet\,\) Ta có \(75
Vậy cường độ âm trong nhà xưởng này thay đổi trong khoảng từ \(10^{-2{,}5}\mathrm{~W}/\mathrm{m}^2\) đến \(10^{-3}\mathrm{~W}/\mathrm{m}^2\).
}