Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=6x^2-6x\).

\(y'=0\Leftrightarrow 6x^2-6x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=1.\)

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((1;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((0;1)\).\\

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{_\text{CĐ}}=1\); đạt cực tiểu tại \(x=1\), \(y_{_\text{CT}}=0\).\\

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=-3x^2+6x\).

\(y'=0\Leftrightarrow -3x^2+6x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2.\)

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\), đồng biến trên khoảng \((0;2)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), \(y_{_\text{CT}}=-1\); đạt cực đại tại \(x=2\), \(y_{_\text{CĐ}}=3\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=3(x-2)^2\).

\[y'=0\Leftrightarrow 3(x-2)^2=0\Leftrightarrow x=2\quad (\text{nghiệm kép}).\]

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

Bảng biến thiên:

\(\Rightarrow\) Hàm số đồng biến trên toàn \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=-3x^2+6x-3\).

\[y'=0\Leftrightarrow -3x^2+6x-3=0\Leftrightarrow x=1\quad (\text{nghiệm kép}).\]

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).

Bảng biến thiên:

\(\Rightarrow\) Hàm số nghịch biến trên toàn \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

Bảng biến thiên:

\(\Rightarrow\) Hàm số đồng biến trên toàn \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.\\

Bảng giá trị:

Đồ thị

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=-3x^2-3<0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).

Bảng biến thiên:

\(\Rightarrow\) Hàm số nghịch biến trên toàn \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=3 x^2-6 x\);

\(y'=0 \Leftrightarrow 3x^2-6x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2\).

Giới hạn

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty\).

Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ; 0)\) và \((2 ;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((0 ; 2)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(f_{\text{CĐ}}=f(0)=4\); Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(f_{\mathrm{CT}}=f(2)=0\).

Giao với các trục tọa độ:

+) Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;4)\).

+) Ta có

\begin{eqnarray*}x^3-3 x^2+4=0 &\Leftrightarrow& (x-2)^2(x+1)=0\\ &\Leftrightarrow& x=-1 \text { hoặc } x=2.\end{eqnarray*}

\(\Rightarrow\) Do đó đồ thị hàm số giao với trục \(O x\) tại hai điểm là \((-1 ; 0)\) và \((2 ; 0)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((3;4)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I(1;2)\).

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y'=-3 x^2-6 x-4\); Phương trình \(y' = 0\) vô nghiệm.

Giới hạn: \(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty\).

Bảng biến thiên

\(\Rightarrow\) Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Hàm số không có cực trị.

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điếm \((0 ;-2)\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(O x\) tại điểm \((-1 ; 0)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((-2;2)\) và có tâm đối xứng là điểm \(I(-1;0)\).

}

Tập xác định của hàm số \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\).

Đạo hàm \(y'=-3x^2+6x\). Suy ra \(y'=0\) khi \(x=0\) hoặc \(x=2\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x \to -\infty}y=+\infty\); \(\lim\limits_{x \to +\infty}y=-\infty\).

Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;2)\), nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và \((2;+\infty)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), giá trị cực tiểu \(y_{CT}=-4\). Hàm số đạt cực đại tại \(x=2\), giá trị cực đại \(y_{\text{CĐ}}=0\).

Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm \((0;-4)\).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \((-1;0)\) và \((2;0)\).

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \((1;-2)\).

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{2}{(x+1)^2}>0\) với mọi \(x\in\mathscr{D}\). Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=1\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^-}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^+}y=-\infty\).

\(\Rightarrow\) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y=1\) và tiệm cận đứng \(x=-1\).

Bảng biến thiên:

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{-2}{(x+1)^2}<0\) với mọi \(x\in\mathscr{D}\). Suy ra hàm số nghịch biến trên từng khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=-2\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^-}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to(-1)^+}y=+\infty\).

\(\Rightarrow\) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y=-2\) và tiệm cận đứng \(x=-1\).

Bảng biến thiên:

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định: \(\mathbb{R} \backslash\{-1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{3}{(x+1)^2}>0\) với mọi \(x \neq-1\). Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\).

Giới hạn:

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to-1^{+}} y=+\infty\), suy ra đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to+\infty} y=1\), \(\displaystyle\lim\limits_{x \to-\infty} y=1\). Suy ra đường thẳng \(y=1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên.

Giao điểm của đồ thị với trục tung: \((0;-2)\).

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \((2;0)\).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((0;-2)\), \((2;0)\), \((-2;4)\) và \((-4;2)\).

}

Tập xác định \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{-3}{(x-1)^{2}}<0\) với mọi \(x \neq 1\). Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty ; 1)\) và \((1 ;+\infty)\).

Giới hạn:

\(\displaystyle\lim\limits_{x \to 1^{+}} y=+\infty\). Suy ra đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\displaystyle\lim _{x \rightarrow+\infty} y=2, \displaystyle\lim _{x \rightarrow-\infty} y=2\). Suy ra đường thẳng \(y=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên.

Giao điểm của đồ thị với trục tung: \((0 ;-1)\).

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(\left(-\displaystyle\frac{1}{2} ; 0\right)\).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((0;-1)\), \(\left(-\displaystyle\frac{1}{2};0\right)\), \((-2;1)\), \((2;5)\), \(\left(\displaystyle\frac{5}{2};4\right)\) và \((4;3)\).

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{1}{(x - 2)^2}> 0,\ \forall x \in \mathscr{D}\), suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ; 2)\) và \((2 ;+\infty)\).

Giới hạn, tiệm cận

\(\lim\limits_{x \rightarrow 2^+} f(x)=-\infty\), suy ra đường thẳng \(x = 2\) là đường tiệm cận đứng.

\(\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=-1\), \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=-1\). Suy ra đường thẳng \(y = -1\) là đường tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0 ; -\displaystyle\frac{1}{2})\) và giao với trục \(Ox\) tại điểm \((1 ; 0)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((3 ;-2)\), nhận giao điểm \(I(2 ;-1)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

}

Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R} \setminus\{-1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{1}{(x+1)^{2}}>0\) với mọi \(x \neq -1\). Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng \((-\infty;-1)\) và \((-1;+\infty)\) và không có cực trị.

Giới hạn và tiệm cận:

\(\lim\limits_{x \to(-1)^{+}} y=\lim _{x \rightarrow (-1)^{+}} \displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=-\infty\);

\(\lim\limits_{x \to+\infty} y=\lim _{x \rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=2\); \(\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} y=\lim _{x \rightarrow-\infty} \displaystyle\frac{2x+1}{x+1}=2\).

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x=-1\), tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=2\).

Bảng biến thiên:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left(0 ;1\right)\).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left(0;-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I(-1;2)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(2x-3)(x-1)-(x^2-3x+6)}{(x-1)^2}=\displaystyle\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}\).

\[y'=0\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=3.\]

Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=x-2+\displaystyle\frac{4}{x-1}\).

\(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to1^-}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to1^+}y=+\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=1\).

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(x-2)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{4}{x-1}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=x-2\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-1;1)\), \((3;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;-1)\), \((1;3)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), \(y_{_\text{CĐ}}=-5\); đạt cực tiểu tại \(x=3\), \(y_{_\text{CT}}=3\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(-2x+2)(x-2)-(-x^2+2x-4)}{(x-2)^2}=\displaystyle\frac{-x^2+4x}{(x-2)^2}\).

\(y'=0\Leftrightarrow -x^2+4x=0\Leftrightarrow x=0\); \(x=4.\)

Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=-x-\displaystyle\frac{4}{x-2}\).

\(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).

\(\lim\limits_{x\to2^-}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to2^+}y=-\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=2\).

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(-x)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{-4}{x-2}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=-x\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((0;2)\), \((4;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;0)\), \((2;4)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), \(y_{_\text{CT}}=2\); đạt cực đại tại \(x=4\), \(y_{_\text{CĐ}}=-6\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(4x+3)(x+2)-(2x^2+3x-5)}{(x+2)^2}=\displaystyle\frac{2x^2+8x+11}{(x+2)^2}\).

\[y'=0\Leftrightarrow 2x^2+8x+11=0\quad \text{vô nghiệm}.\]

Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=2x-1-\displaystyle\frac{3}{x+2}\).

\(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to(-2)^-}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to(-2)^+}y=-\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=-2\).

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(x-1)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{-3}{x+2}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=2x-1\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-2)\), \((-2;+\infty)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định: \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{(2x-2)(-x+2)+(x^2-2x-3)}{(-x+2)^2}=\displaystyle\frac{-x^2+2x-7}{(-x+2)^2}\).

\[y'=0\Leftrightarrow -x^2+2x-7=0 \Leftrightarrow \ \text{vô nghiệm}.\]

Giới hạn: Ta viết hàm số dưới dạng \(y=-x-\displaystyle\frac{3}{-x+2}\).

\(\lim\limits_{x\to-\infty}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}y=-\infty\).

\(\lim\limits_{x\to 2^-}y=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to 2^+}y=-\infty\). Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=2\).

\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[y-(-x)\right]=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{3}{-x+2}=0\). Suy ra đồ thị có tiệm cận xiên \(y=-x\).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;2)\), \((2;+\infty)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Bảng giá trị:

Đồ thị:

}

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{x^2-4}{x^2}\). Suy ra \(y'=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{x^2-4}{x^2}=0\Leftrightarrow x=\pm 2\).

Giới hạn: ta viết hàm số dưới dạng \(y=x+2+\displaystyle\frac{4}{x}\).

\(\lim\limits_{x\to -\infty} y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to 0^{+}} y=+\infty\). Suy ra đường thẳng \(x=0\) là tiệm cận đứng.

\(\lim\limits_{x\to -\infty}[y-(x+2)]=0\), \(\lim\limits_{x\to + \infty} [y-(x+2)]=0\). Suy ra đường thẳng \(y=x+2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\), nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(-2;0\right)\) và \(\left(0;2\right)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), \(y_{\text{CĐ}}=-2\), hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2\), \(y_{\text{CT}}=6\).

Bảng giá trị

Đồ thị

}

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \left\{-2\right\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{x^2+4x+5}{(x+2)^2}\). Suy ra \(y'=0\Leftrightarrow x^2+4x+5=0\), phương trình vô nghiệm.

Giới hạn: ta viết hàm số dưới dạng \(y=x+2-\displaystyle\frac{1}{x+2}\).

\(\lim\limits_{x\to -\infty} y=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to -2^{+}} y=-\infty\). Suy ra đường thẳng \(x=-2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\lim\limits_{x\to -\infty}[y-(x+2)]=0\), \(\lim\limits_{x\to + \infty} [y-(x+2)]=0\). Suy ra đường thẳng \(y=x+2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

+) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(-2;+\infty\right)\).

+) Hàm số không có cực trị.

Bảng giá trị

Đồ thị

}

Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 1 \right\}\)

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{x^2-2x}{(x - 1)^2}\). Suy ra \(y'=0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x=2\).

Giới hạn: hàm số được viết lại \(y=x+3+\displaystyle\frac{1}{x-1}\).

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to-\infty}y =-\infty\), \(\displaystyle\lim\limits_{x\to+\infty}y =+\infty\).

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to1^+}y =+\infty\), suy ra \(x=1\) là đường tiệm cận đứng.

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to-\infty}[y-(x+3)]=\displaystyle\lim\limits_{x\to-\infty}\displaystyle\frac{1}{x-1}=0\), \(\displaystyle\lim\limits_{x\to+\infty}[y-(x+3)]=\displaystyle\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle\frac{1}{x-1}=0\). Suy ra \(y=x+3\) là đường tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(- \infty;0\right)\) và \(\left( 2;+\infty\right)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left(0;1\right)\) và \(\left(1;2\right)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\), \({y_{CT}} = 6\), hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CĐ}} = 2\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \((-1+\sqrt{3}; 0)\) và điểm \((-1-\sqrt{3};0)\); giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;2)\).

}

Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \setminus\{-2\}\).

Đạo hàm: \(y'=\displaystyle\frac{-x^2-4x-10}{(x+2)^2}\). Ta có \(y'=0\Leftrightarrow -x^2-4x-10=0\), phương trình vô nghiệm.

Giới hạn: hàm số được viết lại \(y=-x-1+\displaystyle\frac{6}{x+2}\).

\(\lim\limits_{x \to-\infty} y=\lim\limits_{x \to-\infty} \displaystyle\frac{-x^2-3 x+4}{x+2}=+\infty\), \(\lim\limits_{x \to+\infty} y=\lim\limits_{x \to+\infty} \displaystyle\frac{-x^2-3 x+4}{x+2}=-\infty\).

\(\lim\limits_{x \to-2^{+}}y=+\infty\), suy ra đường thẳng \(x=-2\) là tiệm cận đứng.

\(\displaystyle\lim\limits_{x\to\pm \infty}[y-(-x-1)]=\displaystyle\lim\limits_{x\to\pm\infty}\displaystyle\frac{6}{x+2}=0\), suy ra \(y=-x-1\) là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên

+) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((-\infty;-2)\) và \((-2;+\infty)\).

+) Hàm số không có cực trị

Đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \((-4; 0)\) và điểm \((1; 0)\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0; 2)\).

Đồ thị của hàm số được biểu diễn trên Hình 6.

}

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a<0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases}f(1)=1\\ f(3)=5\\ f'(1)=0\\ f'(3)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} a+b+c+d=1\\ 27a+9b+3c+d=5\\ 3a+2b+c=0\\ 27a+6b+c=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} a=-1\\ b=6\\ c=-9\\ d=5.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=-x^3+6x^2-9x+5\).

}

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a>0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases}f(-1)=3\\ f(1)=-1\\ f'(-1)=0\\ f'(1)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} -a+b-c+d=3\\ a+b+c+d=-1\\ 3a-2b+c=0\\ 3a+2b+c=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=0\\ c=-3\\ d=1.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=x^3-3x+1\).

}

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a<0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases}f(0)=-4\\ f(2)=0\\ f'(0)=0\\ f'(2)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} d=-4\\ 8a+4b+2c+d=0\\ c=0\\ 12a+4b+c=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} a=-1\\ b=3\\ c=0\\ d=-4.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=-x^3+3x^2-4\).

}

Gọi \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), với \(a>0\).

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).

Từ hình vẽ ta thấy

\(\begin{cases}f(0)=2\\ f(2)=-2\\ f'(0)=0\\ f'(2)=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} d=2\\ 8a+4b+2c+d=-2\\ c=0\\ 12a+4b+c=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=-3\\ c=0\\ d=2.\end{cases}\)

Vậy \(y=f(x)=x^3-3x^2+2\).

}

Gọi hàm số bậc ba là \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) (\(a\neq 0\)).

Do đồ thị đi qua điểm \(C(0;50)\) nên \(d=50\), suy ra \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+50\).

Do đồ thị đi qua các điểm \(A(-1000;60)\) và \(B(1000;90)\) nên ta có

\begin{align*}&\begin{cases}-1000000000a+1000000b-1000c=10\\ 1000000000a+1000000b+1000c=40\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}-100000000a+100000b-100c=1\\ 100000000a+100000b+100c=4\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}b=\displaystyle\frac{1}{40000}\\ 100000000a+100c=1{,}5.\end{cases}\end{align*}

Ta có \(f'(x)=3ax^2+2bx+c=3ax^2+\displaystyle\frac{1}{20000}x+c.\)

Do hệ số góc của tiếp tuyến tại \(B\) của đồ thị hàm số đó bằng \(0{,}04\) nên

\[f'(1000)=3000000a+\displaystyle\frac{1}{20}+c=0{,}04\Leftrightarrow 3000000a+c=-0{,}01.\]

Ta có hệ phương trình sau:

\[\begin{cases}100000000a+100c=1{,}5\\ 3000000a+c=-0{,}01\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=-\displaystyle\frac{1}{80000000}\\ c=\displaystyle\frac{11}{400}.\end{cases}\]

Vậy hàm số bậc ba cần tìm là: \(f(x)=-\displaystyle\frac{1}{80000000}x^3+\displaystyle\frac{1}{40000}x^2+\displaystyle\frac{11}{400}x+50.\)

}

a) Khi bán \(x\) mét vải lụa:

+) Số tiền thu được là \(B(x)=220x\) (nghìn đồng).

+) Lợi nhuận thu được là \(L(x)=B(x)-C(x)=-x^3+3x^2+240x-500\) (nghìn đồng).

b) Hàm số \(L(x)\) xác định trên \([1; 18]\).

Đạo hàm \(L'(x)=-3x^2+6x+240; L'(x)=0\Leftrightarrow x=10\) hoặc \(x=-8\) (loại).

Bảng biến thiên:

+) Hàm số đồng biến trên khoảng \((1; 10)\) và nghịch biến trên khoảng \((10; 18)\).

+) Hàm số đạt cực đại tại \(x=10\) và \(L_{\text{CĐ}}=L(10)=1200\).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại \((10; 1200)\) và đi qua các điểm \((1;-258)\), \((18;-1040)\).

c) Quan sát đồ thị hàm số, ta nhận thấy khi \(x=10\) thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(1\,200\). Như vậy, hộ làm nghề dệt cần sản xuất và bán ra mỗi ngày \(10\) mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận tối đa này là \(1\,200\) nghìn đồng.

}

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y=\overline{C}(x)=2x-230+\displaystyle\frac{7\,200}{x}\) trên \([30; 120]\).

Tập xác định \(\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus \{0\}\).

Đạo hàm \(y'=2-\displaystyle\frac{7\,200}{x^2}=\displaystyle\frac{2x^2-7\,200}{x^2}\); \(y'=0 \Leftrightarrow x=-60\) (loại) \(x=60\) (nhận).

Giới hạn:

\(\lim\limits_{x\to -\infty} y=-\infty\); \(\lim\limits_{x\to +\infty} y=+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to 0^{+}} \left(2x-230+\displaystyle\frac{7\,200}{x}\right)=+\infty\), \(\Rightarrow\) Đường thẳng \(x=0\) là tiệm cận đứng.

\(\lim\limits_{x\to \pm\infty} \left[y-(2x-230)\right]=\lim\limits_{x\to \pm\infty} \displaystyle\frac{7\,200}{x}=0\), \(\Rightarrow\) Đường thẳng \(y=2x-230\) là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên

+) Hàm số nghịch biến trên khoảng \((30;60)\), đồng biến trên khoảng \((60;120)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=60\), \(y_{\text{CT}}=10\).

Trên khoảng, \(y'>0\) nên hàm số đó.

Đồ thị

b) Từ kết quả trên, để chi phí trung bình của một phần ăn là thấp nhất thì số phần ăn \(x=60\).

}

a) Ta có: \(f(52)=\displaystyle\frac{26 \cdot 52+10}{52+5}=\displaystyle\frac{1\ 362}{57}\approx 23{,}895\) (nghìn người).

Vậy dân số của thị trấn vào năm \(2022\) khoảng \(23\ 895\) người.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị.

Đạo hàm: \(f^\prime(t)=\displaystyle\frac{120}{(t+5)^2}>0\) với mọi \(t\geq 0\).

Giới hạn: \(\lim\limits_{t \to +\infty}f(t)=26\). Do đó, đường thẳng \(y=26\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên nủa khoảng \([2:+\infty)\) và không có cực trị.

Giao điểm của đồ thị với trục tung: \((0;2)\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((1;6)\).

c) Tốc độ tăng dân số.

+) Tốc độ tăng dân số vào năm \(2022\) của thị trấn là:

\[f^\prime (52)=\displaystyle\frac{120}{(52+5)^2}=\displaystyle\frac{40}{1\ 083}.\]

+) Ta có

\[f^\prime(t)=0{,}192\Leftrightarrow \displaystyle\frac{120}{(t+2)^2}=0{,}192\Leftrightarrow (t+5)^2=625\Leftrightarrow t=20\ (\text{do}\ t\geq 0).\]

Vậy vào năm \(1990\), thì tốc độ tăng dân số là là \(0{,}192\) nghìn người/năm.

}

a) Vẽ đồ thị của hàm số \(h(t)=-0{,}01t^3+1{,}1t^2-30t+250\).

Miền khảo sát: \([0;50]\).

Đạo hàm: \(h'(t)=-0{,}03t^2+2{,}2t-30\).

\(h'(t)=0\Leftrightarrow -0{,}03t^2+2{,}2t-30=0\Leftrightarrow t\approx 18\) hoặc \(t\approx 55.\)

Bảng biến thiên:

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((0;18)\) và đồng biến trên khoảng \((18;50)\).

+) Hàm số đạt cực tiểu tại \(t=18\), \(y_{_\text{CT}}=h(18)=8{,}08\).

Bảng giá trị:

Đồ thị:

b) Xác định \(v(t)\).

Ta có \(v(t)=h'(t)=-0{,}03t^2+2{,}2t-30\).

c) Tính vận tốc tức thời lúc bắt đầu hãm phanh và lúc \(t=25\) (giây).

Vận tốc tức thời lúc bắt đầu hãm phanh là: \(v(0)=-30\) (km/s).

Vận tốc tức thời lúc \(t=25\) (giây) là: \(v(25)=6{,}25\) (km/s).

c) Tại thời điểm \(t=25\) (giây), vận tốc tức thời của con tàu vẫn giảm hay tăng trở lại?

Ta có phương trình gia tốc: \(a(t)=v'(t)=-0{,}06t+2{,}2t\).

Vì \(a(25)=53{,}5>0\) nên tại thời điểm \(t=25\) (giây), vận tốc tức thời của con tàu đang tăng trở lại.

d) Tìm thời điểm mà khoảng cách giữa con tàu và Mặt Trăng nhỏ nhất.

Dựa vào đồ thị ta thấy tại thời điểm \(t=18\) (giây) thì khoảng cách giữa con tàu và Mặt Trăng nhỏ nhất, khoảng cách này bằng \(8{,}08\) km.

}