Bài 4. BA ĐƯỜNG CÔNIC

Lỗi khi trích xuất lý thuyết từ dữ liệu Lỗi khi tải dữ liệu từ BaitapSGK10/t10ch9b4sgk2.tex

Câu 1:

Cho elip \((E)\) có phương trình \(\displaystyle\frac{x^2}{36} +\displaystyle\frac{y^2}{16}=1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Image
Image

Từ phương trình chính tắc, ta suy ra

\(\begin{cases}a^2=36\\b^2=16\\c^2=a^2-b^2=20\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a=6\\b=4\\c=2\sqrt{5}.\end{cases}\)

Các tiêu điểm là \(F_1(-2\sqrt{5};0)\)\(F_2(2\sqrt{5};0)\).

Tiêu cự \(F_1F_2=2c=4\sqrt{5}\).

}

Câu 2:

Cho hypebol \((H)\) có phương trình \(\displaystyle\frac{x^2}{16} -\displaystyle\frac{y^2}{20}=1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.

Image
Image

Từ phương trình chính tắc, ta suy ra

\(\begin{cases}a^2=16\\b^2=20\\c^2=a^2+b^2=36\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a=4\\b=2\sqrt{5}\\c=6.\end{cases}\)

Các tiêu điểm là \(F_1(-6;0)\)\(F_2(6;0)\).

Tiêu cự \(F_1F_2=2c=12\).

}

Câu 3:

Cho parabol \((P)\) có phương trình \(y^2=4x\). Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol đó.

Image
Image

Từ phương trình chính tắc, ta suy ra

\(2p=4\Rightarrow p=2.\)

Tiêu điểm là \(F(1;0)\).

Đường chuẩn \(x=-1\).

}

Câu 4:

Viết phương trình chính tắc của elip \((E)\), biết \((E)\) đi qua điểm \(A(6;0)\) và có tiêu cự bằng \(8\).

Image
Image

Gọi phương trình chính tắc của elip là

\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1,\,(0

\((E)\) đi qua \(A(6;0)\) nên

\(\displaystyle\frac{6^2}{a^2}+\displaystyle\frac{0^2}{b^2}=1\) \(\Leftrightarrow a^2=36\Rightarrow a=6.\)

Vì elip có tiêu cự bằng \(8\) nên \(2c=8\Leftrightarrow c=4\).

Từ đó ta có

\(4^2=c^2=a^2-b^2\) \(\Leftrightarrow b^2=36-14=20.\)

Vậy, phương trình chính tắc của elip là

\(\displaystyle\frac{x^2}{36}+\displaystyle\frac{y^2}{20}=1.\)

}

Câu 5:

Lập phương trình chính tắc của elip \((E)\) biết \((E)\) đi qua hai điểm \(P\left(2 ; \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)\)\(Q\left(2 \sqrt{2} ; \displaystyle\frac{3 \sqrt{2}}{2}\right).\)

Image
Image

Phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) có dạng \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\,\left( a>b>0 \right)\).

\(P\in \left( E \right)\) nên \(\displaystyle\frac{4}{a^2}+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{27}{4}}{b^2}=1\) (1).

\(Q\in \left( E \right)\) nên \(\displaystyle\frac{8}{{{a}^{2}}}+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{18}{4}}{{{b}^{2}}}=1\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\begin{cases}a=4\\b=3.\end{cases}\)

Vậy \(\left( E \right)\colon\displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{16}+\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{9}=1\).

}

Câu 6:

Cho elip \((E)\colon \displaystyle\frac{x^2}{9}+\displaystyle\frac{y^2}{4}=1\). Tìm điểm \(P\) thuộc \((E)\) thoả mãn \(O P=2{,}5\).

Image
Image

Gọi \(M\left( x;\,y \right)\in \left( E \right)\). Suy ra \(\displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{9}+\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\) \((1)\).

\(OP=2,5\) nên \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\displaystyle\frac{25}{4}\) \((2)\).

Từ \((1)\)\((2)\) suy ra \(\begin{cases}{{x}^{2}}=\displaystyle\frac{81}{20}\\{{y}^{2}}=\displaystyle\frac{11}{5}.\end{cases}\)

Suy ra \(\left( x;\,y \right)=\left( \displaystyle\frac{9}{2\sqrt{5}};\,\sqrt{\displaystyle\frac{11}{5}} \right);\,\left( \displaystyle\frac{9}{2\sqrt{5}};-\sqrt{\displaystyle\frac{11}{5}} \right);\,\left( -\displaystyle\frac{9}{2\sqrt{5}};\,\sqrt{\displaystyle\frac{11}{5}} \right);\,\left( -\displaystyle\frac{9}{2\sqrt{5}};-\sqrt{\displaystyle\frac{11}{5}}\right)\).

Vậy có 4 điểm \(P\) thỏa mãn: \({{P}_{1}}\left( \displaystyle\frac{9}{2\sqrt{5}};\,\sqrt{\displaystyle\frac{11}{5}} \right);\,{{P}_{2}}\left( \displaystyle\frac{9}{2\sqrt{5}};-\sqrt{\displaystyle\frac{11}{5}} \right);\,{{P}_{3}}\left( -\displaystyle\frac{9}{2\sqrt{5}};\,\sqrt{\displaystyle\frac{11}{5}} \right);\,{{P}_{4}}\left( -\displaystyle\frac{9}{2\sqrt{5}};-\sqrt{\displaystyle\frac{11}{5}} \right).\)

}

Câu 7:

Cho điểm \(M(x_0;y_0)\) thuộc elip có phương trình \(\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{y^2}{1}=1\).

\(\bullet\,\) Tính \(MF_1^2-MF_2^2\) theo \(x_0\); \(y_0\). Từ đó tính \(MF_1\), \(MF_2\) theo \(x_0\); \(y_0\).

Image
Image

\(\bullet\,\) Ta có \(\begin{cases}a^2=2\\b^2=1\end{cases}\Rightarrow c^2=a^2-b^2=1\).

Từ đó ta có hai tiêu điểm \(F_1(-1;0)\)\(F_2(1;0)\).

\(MF_1^2-MF_2^2=\left(x_0+1\right)^2+y_0^2-\left[(x_0-1)^2+y_0^2\right]=4x_0.\)

Mặt khác, \(M\) thuộc elip nên ta có \(MF_1+MF_2=2a=2\sqrt{2}.\) \((1)\)

Từ đó suy ra \(MF_1-MF_2=\displaystyle\frac{MF_1^2-MF_2^2}{MF_1+MF_2}=\displaystyle\frac{4x_0}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}x_0.\) \((2)\)

Giải hệ phương trình \((1)\)\((2)\), ta được \(MF_1=\sqrt{2}+\displaystyle\frac{x_0}{\sqrt{2}}\)\(MF_2=\sqrt{2}-\displaystyle\frac{x_0}{\sqrt{2}}\).

\(\bullet\,\) Sử dụng kết quả của câu trên, ta có

\(MF_2=2MF_1\Leftrightarrow \sqrt{2}-\displaystyle\frac{x_0}{\sqrt{2}}=2\left(\sqrt{2}+\displaystyle\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)\Leftrightarrow x_0=-\displaystyle\frac{2}{3}.\)

Mặt khác, \(M\) thuộc elip nên

\(\displaystyle\frac{\left(-\displaystyle\frac{2}{3}\right)^2}{2}+\displaystyle\frac{y_0^2}{1}=1\Leftrightarrow y_0^2=\displaystyle\frac{7}{9}\Leftrightarrow y_0=\pm \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{3}.\)

Vậy, có hai điểm \(M\)\(M\left(-\displaystyle\frac{2}{3};\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{3}\right)\) hoặc \(M\left(-\displaystyle\frac{2}{3};-\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{3}\right)\).

\(\bullet\,\) Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(MF_1F_2\), ta có

\begin{eqnarray*}&&\cos \widehat{F_1MF_2}=\displaystyle\frac{MF_1^2+MF_2^2-F_1F_2^2}{2MF_1\cdot MF_2}\\ &=& \displaystyle\frac{\left(\sqrt{2}+\displaystyle\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\sqrt{2}-\displaystyle\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)^2-2^2}{2\left(\sqrt{2}+\displaystyle\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)\cdot\left(\sqrt{2}-\displaystyle\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)}\\ &=&\displaystyle\frac{x_0^2}{4-x_0^2}.\end{eqnarray*}

Ta có \(\displaystyle\frac{x_0^2}{2}=1-y_0^2\le 1\Rightarrow 0\le x_0^2\le 2\).

Suy ra \(\cos \widehat{F_1MF_2}\geq 0\Rightarrow \widehat{F_1MF_2}\le 90^{\circ}\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(x_0=0\Rightarrow y_0=\pm 1\).

Vậy \(M(0;1)\) hoặc \(M(0;-1)\) thì nhìn hai tiêu điểm dưới góc lớn nhất.

}

Câu 8:

Lập phương trình chính tắc của elip \((E)\) biết \((E)\) đi qua hai điểm \(P\left(2 ; \displaystyle\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)\)\(Q\left(2 \sqrt{2} ; \displaystyle\frac{3 \sqrt{2}}{2}\right).\)

Image
Image

Phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) có dạng \(\displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,\left( a>b>0 \right)\).

\(P\in \left( E \right)\) nên \(\displaystyle\frac{4}{{{a}^{2}}}+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{27}{4}}{{{b}^{2}}}=1\) (1).

\(Q\in \left( E \right)\) nên \(\displaystyle\frac{8}{{{a}^{2}}}+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{18}{4}}{{{b}^{2}}}=1\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\begin{cases}a=4\\b=3.\end{cases}\)

Vậy \(\left( E \right)\colon\displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{16}+\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{9}=1\).

}

Câu 9:

Lập phương trình chính tắc của hypebol \((H)\), biết \((H)\) đi qua hai điểm \(M(-1 ; 0)\)\(N(2 ; 2 \sqrt{3})\).

Image
Image

Phương trình chính tắc của hypebol \(\left( H \right)\): \(\displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,\left( a>0,\,b>0 \right)\).

\(M\in \left( H \right)\) nên \(\displaystyle\frac{1}{{{a}^{2}}}-0=1\Leftrightarrow {{a}^{2}}=1\Rightarrow a=1\).

\(N\in \left( H \right)\) nên \(\displaystyle\frac{4}{{{a}^{2}}}-\displaystyle\frac{12}{{{b}^{2}}}=1\Rightarrow {{b}^{2}}=4\Rightarrow b=2\).

Vậy phương trình chính tắc của hypebol \(\left( H \right):\displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{1}-\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\).

}

Câu 10:

Cho hypebol \((H)\) có phương trình chính tắc \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\) với \(a>0\), \(b>0\) và đường thẳng \(y=n\) cắt \((H)\) tại hai điểm \(P\), \(Q\) phân biệt. Chứng minh hai điểm \(P\)\(Q\) đối xứng nhau qua trục \(Oy\).

Image
Image

Tọa độ giao điểm của hypebol \(\left( H \right)\) và đường thẳng \(y=n\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\begin{cases} \displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \\ y=n\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} {{x}^{2}}=\displaystyle\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}\left( {{n}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\\ y=n\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} x=\pm \displaystyle\frac{a}{b}\sqrt{{{n}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ y=n.\end{cases}\)

Suy ra \(P\left( \displaystyle\frac{a}{b}\sqrt{{{n}^{2}}+{{b}^{2}}};n \right)\), \(Q\left( -\displaystyle\frac{a}{b}\sqrt{{{n}^{2}}+{{b}^{2}}};n \right)\).

Ta thấy \( \begin{cases} {{x}_{P}}=-{{x}_{Q}} \\ {{y}_{P}}={{y}_{Q}}\end{cases}\) nên hai điểm \(P\)\(Q\) đối xứng nhau qua trục \(Oy\).

}

Câu 11:

Viết phương trình chính tắc của parabol \((P)\), biết

\(\bullet\,\) Phương trình đường chuẩn của \((P)\)\(x+\displaystyle\frac{1}{8}=0\);

\(\bullet\,\) \((P)\) đi qua điểm \(M(1 ;-8)\).

Image
Image

Gọi phương trình chính tắc của Parabol \(\left( P \right)\colon {{y}^{2}}=2px \left( p>0 \right)\).

\(\bullet\,\) Vì parabol có đường chuẩn là \(x+\displaystyle\frac{1}{8}=0\) nên ta có \(\displaystyle\frac{p}{2}=\displaystyle\frac{1}{8}\Leftrightarrow p=\displaystyle\frac{1}{4}\).

Vậy phương trình chính tắc của parabol là \(\left( P \right)\colon {{y}^{2}}=2\cdot \displaystyle\frac{1}{4}x=\displaystyle\frac{1}{2}x\).

\(\bullet\,\)\(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( 1;-8 \right)\) nên \({{\left( -8 \right)}^{2}}=2p\cdot 1\Leftrightarrow p=32\).

Vậy phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\colon{{y}^{2}}=64x\).

}

Câu 12:

Cho parabol \((P)\) có phương trình chính tắc \(y^2=2 p x\) \((p>0)\) và đường thẳng \(x=m\) \((m>0)\) cắt \((P)\) tại hai điểm \(I\), \(K\) phân biệt. Chứng minh hai điểm \(I\)\(K\) đối xứng nhau qua trục \(Ox\).

Image
Image

Thay \( m \) vào phương trình chính tắc của parabol ta có \( y^2=2pm \).

Suy ra \( y=\sqrt{2pm} \) hoặc \( y=-\sqrt{2pm} \).

Không mất tính tổng quát, ta lấy \( I(m;\sqrt{2pm}) \), \( K(m;-\sqrt{2pm}) \).

\( I \), \( K \) có cùng hoành độ và tung độ đối nhau nên \( I \), \( K \) đối xứng qua trục \( Ox \).

}

Câu 13:

Viết phương trình chính tắc của hypebol \((H)\), biết \((H)\) đi qua điểm \(M(3\sqrt{2};-4)\) và một tiêu điểm \(F_2(5;0)\).

Image
Image

Gọi phương trình chính tắc của hypebol là

\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1,\,(0

\((H)\) đi qua \(M(3\sqrt{2};-4)\) nên

\(\displaystyle\frac{18}{a^2}-\displaystyle\frac{16}{b^2}=1\Leftrightarrow 18b^2-16a^2=a^2b^2.\) \((1)\)

\((H)\) có tiêu điểm \(F_2(5;0)\) nên \(c=5\), do đó

\(a^2+b^2=c^2\Leftrightarrow a^2+b^2=25.\) \((2)\)

Từ \((1)\)\((2)\) ta có hệ phương trình

\begin{eqnarray*}&&\begin{cases}18b^2-16a^2=a^2b^2\\a^2+b^2=25\end{cases}\\ &\Leftrightarrow& \begin{cases}a^2=25-b^2\\18b^2-16(25-b^2)=(25-b^2)b^2\\a^2=25-b^2\end{cases}\\ &\Leftrightarrow& \begin{cases}\left[\begin{aligned}&b^2=16\\ &b^2=-25\,(\text{vô nghiệm})\end{aligned}\right.\\ a^2=25-b^2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a^2=9\\b^2=16.\end{cases}\end{eqnarray*}

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là

\(\displaystyle\frac{x^2}{9}-\displaystyle\frac{y^2}{16}=1.\)

}

Câu 14:

Viết phương trình chính tắc của parabol \((P)\), biết \((P)\) có đường chuẩn là đường thẳng \(\Delta \colon x+4=0\). Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc \((P)\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến tiêu điểm bằng \(5\).

Image
Image

Gọi phương trình chính tắc của \((P)\)\(y^2=2px\) với \(p>0\).

Phương trình đường chuẩn dạng tổng quát là \(x+\displaystyle\frac{p}{2}=0\). Từ đó suy ra \(\displaystyle\frac{p}{2}=4\Leftrightarrow p=8\).

Phương trình chính tắc là \(y^2=16x\).

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right),(x_0\geq 0)\) là điểm thuộc \((P)\). Theo định nghĩa đường parabol, ta có

\(\mathrm{d}\left(M,\Delta\right)=MF\Leftrightarrow |x_0+4|=5\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x_0+4=5\\ &x_0+4=-5\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x_0=-1\\&x_0=-9.\end{aligned}\right.\)

\(x_0\geq 0\) nên \(x_0=1\), suy ra \(y_0^2=16\Leftrightarrow y_0=\pm 4\).

Vậy có hai điểm \(M\) thỏa mãn là \(M_1(1;4)\)\(M_2(1;-4)\).

}

Câu 15:

Cho parabol \((P)\) có phương trình \(y^2=16x\). Gọi \(\Delta\) là đường thẳng bất kì đi qua tiêu điểm \(F\) của \((P)\) và không trùng với trục hoành. Chứng minh rằng \(\Delta\) luôn cắt \((P)\) tai hai điểm phân biệt \(A\), \(B\), đồng thời tích các khoảng cách từ \(A\)\(B\) đến trục hoành không đổi.

Image
Image

Gọi véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\)\(\overrightarrow{u}(a;b)\). Vì \(\Delta\) không trùng với trục \(Ox\) nên \(b\ne 0\), \(\Delta\) đi qua \(F(4;0)\) nên có phương trình tham số là

\(\begin{cases}x=4+at\\y=bt.\end{cases}\)

Tọa độ giao điểm của \((P)\)\(\Delta\) (nếu có), ứng với \(t\) là nghiệm của phương trình

\(\left(bt\right)^2=16\cdot \left(4+at\right)\Leftrightarrow b^2t^2-16at-64=0. (1)\)

\((1)\)\(b^2\cdot (-64)<0\) nên luôn có hai nghiệm phân biệt \(t_1\), \(t_2\).

Theo định lí Vi-ét ta có \(t_1\cdot t_2=\displaystyle\frac{-64}{b^2}\).

Do đó, \(\Delta\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt \(A\), \(B\).

Gọi \(A\left(4+at_1;bt_1\right)\), \(A\left(4+at_2;bt_2\right)\) là tọa độ các giao điểm.

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\mathrm{d}\left(A,Ox\right)\cdot \mathrm{d}\left(B,Ox\right)=\displaystyle\frac{\left|bt_1\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}\cdot \displaystyle\frac{\left|bt_2\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}\\ &=&\left|b^2\cdot t_1t_2\right|=\left|b^2\cdot \displaystyle\frac{-64}{b^2}\right|=64.\end{eqnarray*}

Vậy, tích các khoảng cách từ \(A\), \(B\) đến trục hoành luôn bằng một số không đổi.

}

Câu 16:

Lập phương trình chính tắc của hypebol \((H)\), biết \((H)\) đi qua hai điểm \(M(-1 ; 0)\)\(N(2 ; 2 \sqrt{3})\).

Image
Image

Phương trình chính tắc của hypebol \(\left( H \right)\): \(\displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\,\left( a>0,\,b>0 \right)\).

\(M\in \left( H \right)\) nên \(\displaystyle\frac{1}{{{a}^{2}}}-0=1\Leftrightarrow {{a}^{2}}=1\Rightarrow a=1\).

\(N\in \left( H \right)\) nên \(\displaystyle\frac{4}{{{a}^{2}}}-\displaystyle\frac{12}{{{b}^{2}}}=1\Rightarrow {{b}^{2}}=4\Rightarrow b=2\).

Vậy phương trình chính tắc của hypebol \(\left( H \right):\displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{1}-\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\).

}

Câu 17:

Cho hypebol \((H)\) có phương trình chính tắc \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\) với \(a>0\), \(b>0\) và đường thẳng \(y=n\) cắt \((H)\) tại hai điểm \(P\), \(Q\) phân biệt. Chứng minh hai điểm \(P\)\(Q\) đối xứng nhau qua trục \(Oy\).

Image
Image

Tọa độ giao điểm của hypebol \(\left( H \right)\) và đường thẳng \(y=n\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\begin{cases} \displaystyle\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\displaystyle\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \\ y=n\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}{{x}^{2}}=\displaystyle\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}\left( {{n}^{2}}+{{b}^{2}} \right) \\ y=n\end{cases}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} x=\pm \displaystyle\frac{a}{b}\sqrt{{{n}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ y=n.\end{cases}\)

Suy ra \(P\left( \displaystyle\frac{a}{b}\sqrt{{{n}^{2}}+{{b}^{2}}};n \right)\), \(Q\left( -\displaystyle\frac{a}{b}\sqrt{{{n}^{2}}+{{b}^{2}}};n \right)\).

Ta thấy \( \begin{cases}{{x}_{P}}=-{{x}_{Q}} \\ {{y}_{P}}={{y}_{Q}}\end{cases}\) nên hai điểm \(P\)\(Q\) đối xứng nhau qua trục \(Oy\).

}

Câu 18:

Viết phương trình chính tắc của parabol \((P)\), biết

\(\bullet\,\) Phương trình đường chuẩn của \((P)\)\(x+\displaystyle\frac{1}{8}=0\);

\(\bullet\,\) \((P)\) đi qua điểm \(M(1 ;-8)\).

Image
Image

Gọi phương trình chính tắc của Parabol \(\left( P \right)\colon {{y}^{2}}=2px \left( p>0 \right)\).

\(\bullet\,\) Vì parabol có đường chuẩn là \(x+\displaystyle\frac{1}{8}=0\) nên ta có \(\displaystyle\frac{p}{2}=\displaystyle\frac{1}{8}\Leftrightarrow p=\displaystyle\frac{1}{4}\).

Vậy phương trình chính tắc của parabol là \(\left( P \right)\colon {{y}^{2}}=2\cdot \displaystyle\frac{1}{4}x=\displaystyle\frac{1}{2}x\).

\(\bullet\,\)\(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( 1;-8 \right)\) nên \({{\left( -8 \right)}^{2}}=2p\cdot 1\Leftrightarrow p=32\).

Vậy phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\colon{{y}^{2}}=64x\).

}

Câu 19:

Cho parabol \((P)\) có phương trình chính tắc \(y^2=2 p x\) \((p>0)\) và đường thẳng \(x=m\) \((m>0)\) cắt \((P)\) tại hai điểm \(I\), \(K\) phân biệt. Chứng minh hai điểm \(I\)\(K\) đối xứng nhau qua trục \(Ox\).

Image
Image

Thay \( m \) vào phương trình chính tắc của parabol ta có \( y^2=2pm \).

Suy ra \( y=\sqrt{2pm} \) hoặc \( y=-\sqrt{2pm} \).

Không mất tính tổng quát, ta lấy \( I(m;\sqrt{2pm}) \), \( K(m;-\sqrt{2pm}) \).

\( I \), \( K \) có cùng hoành độ và tung độ đối nhau nên \( I \), \( K \) đối xứng qua trục \( Ox \).

}

Câu 20:

Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip với tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Độ dài trục lớn, trục nhỏ của quỹ đạo lần lượt là \(768800\) km và \(767640\) km. Tìm khoảng cách lớn nhất và khoảng cách nhỏ nhất từ tâm Trái Đất đến Mặt Trăng.

Image
Image

Gọi phương trình chính tắc của elip là \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\) vơi \(0.

Từ giả thiết ta suy ra

\(\begin{cases}2a=768800\\2b=767640\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=384400\\b=383820.\end{cases}\)

Từ đó suy ra \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{384400^2-383820^2}\approx 21108\).

Khoảng cách lớn nhất từ tâm Trái Đất đến Mặt Trăng là

\(a+c\approx 384400+21108=405508\,\text{km}.\)

Khoảng cách nhỏ nhất từ tâm Trái Đất đến Mặt Trăng là

\(a-c\approx 384400-21108=363292\,\text{km}.\)

}

Câu 21:

Một kĩ sư thiết kế đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là \(12\) m, khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là \(3\) m. Người kĩ sư này muốn đưa ra cảnh báo cho các loại xe có thể đi qua hầm. Biết rằng những loại xe tải có chiều cao \(2{,}8\) m thì có chiều rộng không quá \(3\) m. Hỏi chiếc xe tải có chiều cao \(2{,}8\) m có thể đi qua hầm được không?

baitapsgk10/t10ch9b4sgkh1.png

Image

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) có tâm \(O\) chính giữa đường, trục \(Oy\) hướng lên trên (hình vẽ).

Giả sử phương trình chính tắc của elip có hình vẽ của nửa nằm trên trục hoành là đường hầm đã nêu là \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\) với \(0.

Từ giả thiết ta có \(\begin{cases}2a=12\\b=3\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=6\\b=3.\end{cases}\)

Phương trình chính tắc là \(\displaystyle\frac{x^2}{36}+\displaystyle\frac{y^2}{9}=1\).

Xét một chiếc xe tải có chiều cao \(2{,}8\) m. Khi đó chiều rộng không quá \(3\) m. Nên tính từ chính giữa xe ra mỗi bên có chiều rộng không qua \(1{,}5\) m. Xe sẽ đi được qua hầm nếu điểm \(M(1{,}5;2{,}8)\) nằm bên trong elip.

Gọi \(N\) là điểm thuộc nửa elip có hoành độ \(x_N=1{,}5\). Ta suy ra

\(\displaystyle\frac{1{,}5^2}{36}+\displaystyle\frac{y_N^2}{9}=1\) \(\Leftrightarrow y_N^2=\displaystyle\frac{135}{36}\Rightarrow y_N=\displaystyle\frac{3\sqrt{15}}{4}\approx 2{,}905>2{,}8.\)

Như vậy, điểm \(M(1{,}5;2{,}8)\) nằm bên trong elip nên xe đi được qua hầm. Tuy nhiên, cần khuyến cáo ô tô đi vào chính giữa hầm.

}