Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: đồ thị hàm số \(y=f(x)=x^{3}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=1\), \(x=2\) là \(S=\displaystyle\int\limits_1^2|y|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_1^2|x^3|\mathrm{\,d}x\).

Ta có \(x^3=0\Leftrightarrow x=0\) nên

\[S=\displaystyle\int\limits_1^2|x^3|\mathrm{\,d}x=\left|\displaystyle\int\limits_1^2x^3\mathrm{\,d}x\right|=\left|\quad \displaystyle\frac{x^4}{4}\bigg|_1^2\quad\right|=\displaystyle\frac{15}{4}.\]

\[S=\int\limits_{-1}^1|y|\mathrm{\,d}x=\int\limits_{-1}^1|2-x^2|\mathrm{\,d}x.\]

Ta có \(2-x^2=0\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}\notin[-1;1]\) nên

\[S=\left|\int\limits_{-1}^1(2-x^2)\mathrm{\,d}x\right|=\left|\left(2x-\displaystyle\frac{x^3}{3}\right)\bigg|_{-1}^1\right|=\displaystyle\frac{10}{3}.\]

Diện tích cần tìm là \(S=\displaystyle\int\limits_0^3\left|x^2-4 x+3\right|\mathrm{\,d}x\).

Ta có \(x^2-4 x+3=0 \Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=3\).

Vậy,

\begin{align*}S=\ &\displaystyle\int\limits_0^3\left|x^2-4 x+3\right|\mathrm{\,d}x\\ =\ &\displaystyle\int\limits_0^1\left|x^2-4 x+3\right| \mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_1^3\left|x^2-4 x+3\right|\mathrm{\,d}x\\ =\ &\left|\displaystyle\int\limits_0^1\left(x^2-4 x+3\right)\mathrm{\,d}x\right|+\left|\displaystyle\int\limits_1^3\left(x^2-4 x+3\right)\mathrm{\,d}x\right|\\ =\ &\left|\left(\displaystyle\frac{x^3}{3}-2 x^2+3 x\right)\bigg|_0 ^1\right|+\left|\left(\displaystyle\frac{x^3}{3}-2 x^2+3 x\right)\right|_1 ^3\bigg|=\displaystyle\frac{8}{3}.\end{align*}

Diện tích cần tìm là \(S=\displaystyle\int\limits_{0}^{2} |x^3-x|\mathrm{\,d}x\).

Ta có \(x^3-x=0 \Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=1\) hoặc \(x=-1\).

Phương trình chỉ có hai nghiệm thuộc đoạn \([0;2]\) là \(x=0\) và \(x=1\).

Vậy

\begin{align*}S&=\displaystyle\int\limits_{0}^{2} |x^3-x|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{1} |x^3-x|\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{1}^{2} |x^3-x|\mathrm{\,d}x\\&=\left|\displaystyle\int\limits_{0}^{1} (x^3-x)\mathrm{\,d}x\right|+\left|\displaystyle\int\limits_{1}^{2} (x^3-x)\mathrm{\,d}x\right|\\&=\left|\left(\displaystyle\frac{x^4}{4}-\displaystyle\frac{x^2}{2}\right)\bigg|_{0}^{1}\right|+\left|\left(\displaystyle\frac{x^4}{4}-\displaystyle\frac{x^2}{2}\right)\bigg|_{1}^{2}\right|=\left|-\displaystyle\frac{1}{4}\right|+\left|\displaystyle\frac{9}{4}\right|=\displaystyle\frac{5}{2}.\end{align*}

\[S=\int\limits_0^1\left|\mathrm{e}^x\right|\mathrm{\,d}x=\int\limits_0^1\mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x\bigg|_0^1=\mathrm{e}^1-\mathrm{e}^{0}=\mathrm{e}-1.\]

a) Diện tích cần tìm là \(S=\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} |\mathrm{e}^x|\mathrm{\,d}x\).

Vì \(\mathrm{e}^x>0, \forall x\in[-1;1]\) nên

\(S=\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} |\mathrm{e}^x|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} \mathrm{e}^x\mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x\bigg|_{-1}^{1}=\mathrm{e}-\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}\).

b) Diện tích cần tìm là \(S=\displaystyle\int\limits_{1}^{2} \left|x+\displaystyle\frac{1}{x}\right|\mathrm{\,d}x\).

Vì \(x+\displaystyle\frac{1}{x}>0, \forall x\in[1;2]\) nên

\(S=\displaystyle\int\limits_{1}^{2} \left|x+\displaystyle\frac{1}{x}\right|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{1}^{2} \left(x+\displaystyle\frac{1}{x}\right)\mathrm{\,d}x=\left(\displaystyle\frac{x^2}{2}+\ln x\right)\bigg|_1^2=2+\ln2-\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{3}{2}+\ln2\).

Diện tích cần tìm là \(S=\displaystyle\int\limits_0^{3 \pi}|\sin x|\mathrm{\,d}x\).

Trên khoảng \((0; 3 \pi)\) phương trình \(\sin x=0\) chỉ có hai nghiệm là \(x=\pi\) và \(x=2 \pi\).

Vậy,

\(\begin{aligned}S&=\displaystyle\int\limits_0^{3 \pi}|\sin x|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_0^\pi|\sin x|\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_\pi^{2 \pi}|\sin x|\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{2 \pi}^{3 \pi}|\sin x|\mathrm{\,d}x\\ &=\left|\displaystyle\int\limits_0^\pi \sin x \mathrm{~d} x\right|+\left|\displaystyle\int\limits_\pi^{2 \pi} \sin x \mathrm{~d} x\right|+\left|\displaystyle\int\limits_{2 \pi}^{3 \pi} \sin x \mathrm{~d} x\right|\\ &=\left|(-\cos x)\Big|_0^\pi\right|+\left|(-\cos x)\Big|_\pi ^{2\pi}\right|+\left|(-\cos x)\Big|_{2 \pi} ^{3\pi}\right|\\ &=|2|+|-2|+|2|=6.\end{aligned}\)

Diện tích hình phẳng đã cho là

\(\begin{aligned}S & =\int\limits_{-1}^{2}\left|\left(x^{2}+2 x\right)-(2 x-1)\right|\mathrm{\,d} x=\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}\left|x^2+2 x-2 x+1\right|\mathrm{\,d} x \\& =\int\limits_{-1}^{2}\left|x^{2}+1\right|\mathrm{\,d} x=\int\limits_{-1}^2(x^2+1)\mathrm{\,d} x=\left(\displaystyle\frac{x^{3}}{3}+x\right)\Bigg|_{-1}^2=6.\end{aligned}\)

Ta có

\(S=\displaystyle \int\limits_0^1 \left|\mathrm{e}^x-x\right|\mathrm{\,d}x=\displaystyle \int\limits_0^1 \left(\mathrm{e}^x-x\right) \mathrm{\,d}x=\left.\left(\mathrm{e}^x-\displaystyle\frac{1}{2}x^2\right) \right| _0^1 =\mathrm{e}-\displaystyle\frac{3}{2}\).

Diện tích hình phẳng đã cho là

\begin{eqnarray*}S&=&\displaystyle\int\limits_{1}^{3} \left|\left(x^3+2x+1\right)-\left(x^3+x+3\right)\right| \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{1}^{3} |x-2| \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{1}^{2} |x-2| \mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{2}^{3} |x-2| \mathrm{\,d}x\\&=&\displaystyle\int\limits_{1}^{2} (2-x) \mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{2}^{3} (x-2) \mathrm{\,d}x=\left(2x-\displaystyle\frac{x^2}{2}\right)\bigg|_{1}^2+\left(\displaystyle\frac{x^2}{2}-2x\right)\bigg|_{2}^3=1.\end{eqnarray*}

Diện tích cần tìm là \(S=\displaystyle\int\limits_{0}^{2} |5x-x^2-(x^2-x)|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{2} |-2x^2+6x|\mathrm{\,d}x\).

Ta có \(-2x^2+6x=0 \Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=3\).

Phương trình chỉ có một nghiệm thuộc đoạn \([0;2]\) là \(x=0\).

Vậy

\begin{align*}S&=\displaystyle\int\limits_{0}^{2} |-2x^2+6x|\mathrm{\,d}x\\&=\left|\displaystyle\int\limits_{0}^{2} (-2x^2+6x)\mathrm{\,d}x\right|\\&=\left|\left(-\displaystyle\frac{2x^3}{3}+3x^2\right)\bigg|_{0}^{2}\right|\\&=\left|\displaystyle\frac{20}{3}\right|\\&=\displaystyle\frac{20}{3}.\end{align*}

Diện tích cần tìm là \(S=\displaystyle\int\limits_{1}^{4} |x^2-2x-1-(x-1)|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{1}^{4} |x^2-3x|\mathrm{\,d}x\).

Ta có \(x^2-3x=0 \Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=3\).

Phương trình chỉ có một nghiệm thuộc đoạn \([1;4]\) là \(x=3\).

Vậy

\begin{align*}S&=\displaystyle\int\limits_{1}^{4} |x^2-3x|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{1}^{3} |x^2-3x|\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{3}^{4} |x^2-3x|\mathrm{\,d}x\\&=\left|\displaystyle\int\limits_{1}^{3} (x^2-3x)\mathrm{\,d}x\right|+\left|\displaystyle\int\limits_{3}^{4} (x^2-3x)\mathrm{\,d}x\right|\\&=\left|\left(\displaystyle\frac{x^3}{3}-\displaystyle\frac{3x^2}{2}\right)\bigg|_{1}^{3}\right|+\left|\left(\displaystyle\frac{x^3}{3}-\displaystyle\frac{3x^2}{2}\right)\bigg|_{3}^{4}\right|\\&=\left|-\displaystyle\frac{10}{3}\right|+\left|\displaystyle\frac{11}{6}\right|\\&=\displaystyle\frac{31}{6}.\end{align*}

Diện tích cần tìm là \(S=\displaystyle\int\limits_{-1}^{3} |x^3-3x-x|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{-1}^{3} |x^3-4x|\mathrm{\,d}x\).

Ta có \(x^3-4x=0 \Leftrightarrow x(x^2-4)=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=-2\) hoặc \(x=2\).

Phương trình chỉ có hai nghiệm thuộc đoạn \([-1;3]\) là \(x=0\) và \(x=2\).

Vậy

\begin{align*}S&=\displaystyle\int\limits_{-1}^{3} |x^3-4x|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{-1}^{0} |x^3-4x|\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{0}^{2} |x^3-4x|\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{2}^{3} |x^3-4x|\mathrm{\,d}x\\&=\left|\displaystyle\int\limits_{-1}^{0} (x^3-4x)\mathrm{\,d}x\right|+\left|\displaystyle\int\limits_{0}^{2} (x^3-4x)\mathrm{\,d}x\right|+\left|\displaystyle\int\limits_{2}^{3} (x^3-4x)\mathrm{\,d}x\right|\\&=\left|\left(\displaystyle\frac{x^4}{4}-2x^2\right)\bigg|_{-1}^{0}\right|+\left|\left(\displaystyle\frac{x^4}{4}-2x^2\right)\bigg|_{0}^{2}\right|+\left|\left(\displaystyle\frac{x^4}{4}-2x^2\right)\bigg|_{2}^{3}\right|\\&=\left|\displaystyle\frac{7}{4}\right|+|-4|+\left|\displaystyle\frac{25}{4}\right|\\&=12.\end{align*}

Diện tích cần tìm là \(S=\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}\left|x^3+1-2\right|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{-1}^{2}\left|x^3-1\right|\mathrm{\,d}x\).

Ta có \(x^3-1=0 \Leftrightarrow x=1\in[-1;2]\).

\begin{align*}\text{ Vậy } S&=\displaystyle\int\limits_{-1}^{2} |x^3-1|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} |x^3-1|\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{1}^{2} |x^3-1|\mathrm{\,d}x\\&=\left|\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} (x^3-1)\mathrm{\,d}x\right|+\left|\displaystyle\int\limits_{1}^{2} (x^3-1)\mathrm{\,d}x\right|\\&=\left|\left(\displaystyle\frac{x^4}{4}-x\right)\bigg|_{-1}^{1}\right|+\left|\left(\displaystyle\frac{x^4}{4}-x\right)\bigg|_{1}^{2}\right|=\left|-2\right|+\left|\displaystyle\frac{11}{4}\right|=\displaystyle\frac{19}{4}.\end{align*}

}

Diện tích cần tìm \(S=\displaystyle\int\limits_{1}^{4}\left|\displaystyle\frac{x^2+1}{x}+x\right|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{1}^{4}\left|\displaystyle\frac{1}{x}+2x\right|\mathrm{\,d}x\).

Vì \(\displaystyle\frac{1}{x}+2x>0\) với mọi \(x\in[1;4]\) nên \(S=\displaystyle\int\limits_{1}^{4}\left(\displaystyle\frac{1}{x}+2x\right)\mathrm{\,d}x=\left(\ln x+x^2\right)\bigg|_1^4=\ln4+15\).

}

Ta có: \(-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+2x>\displaystyle\frac{1}{2}x^2-\displaystyle\frac{5}{2}x-\displaystyle\frac{1}{2}\) với mọi \(x\in [1;4]\).

Vậy diện tích hình phẳng đó là

\begin{eqnarray*}S&=&\displaystyle\int\limits_{1}^{4} \left|\left(-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+2x\right)-\left(\displaystyle\frac{1}{2}x^2-\displaystyle\frac{5}{2}x-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\right| \mathrm{\,d}x\\&=&\displaystyle\int\limits_{1}^{4} \left[\left(-\displaystyle\frac{1}{2}x^2+2x\right)-\left(\displaystyle\frac{1}{2}x^2-\displaystyle\frac{5}{2}x-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\right] \mathrm{\,d}x\\&=&\displaystyle\int\limits_{1}^{4} \left(-x^2+\displaystyle\frac{9}{2}x+\displaystyle\frac{1}{2}\right) \mathrm{\,d}x\\&=&\left(-\displaystyle\frac{x^3}{3}+\displaystyle\frac{9x^2}{4}+\displaystyle\frac{x}{2}\right)\bigg|_1^4=\displaystyle\frac{57}{4}.\end{eqnarray*}

Diện tích hình phẳng cần tính là

\[S=\displaystyle\int\limits_0^2 x^3\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{x^4}{4}\bigg|_0^2=4-0=4.\]

Diện của hình \((H)\) là

\[S=\int\limits_1^5 \left(-x^2+6x-5\right)\mathrm{\,d}x=\left.\left(-\displaystyle\frac{x^3}{3}+3x^2-5x\right)\right|_1^5=\displaystyle\frac{32}{3}.\]

Vì \(f(x)\geq 0,\,\forall x\in [-2;0]\) và \(f(x)\leq 0,\,\forall x\in [0;1]\) nên suy ra

\(\displaystyle A=\int\limits_{-2}^0\left|f(x)\right|\,\mathrm{d}x=\int\limits_{-2}^0f(x)\,\mathrm{d}x\Rightarrow \int\limits_{-2}^0f(x)\,\mathrm{d}x=11\);

\(\displaystyle B=\int\limits_0^1\left|f(x)\right|\,\mathrm{d}x=-\int\limits_0^1f(x)\,\mathrm{d}x\Rightarrow \int\limits_0^1f(x)\,\mathrm{d}x=-2\).

Do đó

\(\displaystyle\int\limits_{-2}^{1}f(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{-2}^0f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_0^1f(x)\mathrm{\,d}x=11+(-2)=9.\)

Diện tích hình phẳng là

\[S=-\displaystyle\int\limits_{-1}^{0} x^3 \mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{0}^{1} x^3 \mathrm{\,d}x=-\displaystyle\frac{x^4}{4} \bigg|_{-1}^0+\displaystyle\frac{x^4}{4}\bigg|_{0}^1=\displaystyle\frac{1}{2}.\]

Diện tích hình phẳng cần tính là

\begin{eqnarray*}S&=&-\displaystyle\int\limits_0^2\left(x^2-4\right)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_2^3 \left(x^2-4\right)\mathrm{\,d}x\\&=&-\left(\displaystyle\frac{x^3}{3}-4x\right)\bigg|_0^2+\left(\displaystyle\frac{x^3}{3}-4x\right)\bigg|_2^3\\&=&\displaystyle\frac{16}{3}-\displaystyle\frac{7}{3}=2.\end{eqnarray*}

Diện tích hình phẳng được tô màu trong Hình 4.18 là

\begin{eqnarray*}S&=&\int\limits_{-1}^1\left|x^3-x\right|\,\mathrm{d}x=\int\limits_{-1}^0\left|x^3-x\right|\,\mathrm{d}x+\int\limits_0^1\left|x^3-x\right|\,\mathrm{d}x\\&=&\left|\int\limits_{-1}^0\left(x^3-x\right)\,\mathrm{d}x\right|+\left|\int\limits_0^1\left(x^3-x\right)\,\mathrm{d}x\right|=\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{1}{2}\quad (\text{đvdt}).\end{eqnarray*}

a) Hình phẳng đó giới hạn bởi các đường cong \(y=\mathrm{e}^x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=-1\), \(x=1\).

b) Ta có diện tích hình phẳng

\(S=\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} \left| \mathrm{b}^x \right| \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} \mathrm{e}^x \mathrm{\,d}x=\mathrm{e}^x\Big|_{-1}^{1}=\mathrm{e}-\displaystyle\frac{1}{\mathrm{e}}\).

Ta có \(\int\left(x^2+1\right) \mathrm{d} x=\int x^2 \mathrm{~d} x+\int 1 \mathrm{~d} x=\displaystyle\frac{x^3}{3}+x+C\).

Vậy \(F(x)=\displaystyle\frac{x^3}{3}+x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=x^2+1\) trên đoạn \([-1 ; 2]\).

Diện tích hình phẳng cần tính

\[S=F(2)-F(-1)=\left(\frac{8}{3}+2\right)-\left(\frac{-1}{3}-1\right)=6.\]

Từ đồ thị ta có \(\begin{cases}S_1= \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x = \displaystyle\frac{7}{10}\\S_2= - \displaystyle\int\limits_b^c f(x)\mathrm{\,d}x = 2 \Rightarrow \displaystyle\int\limits_b^c f(x)\mathrm{\,d}x =-2.\end{cases}\)

Mà \(I= \displaystyle\int\limits_a^b f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_b^c f(x)\mathrm{\,d}x = \displaystyle\frac{7}{10}-2=-\displaystyle\frac{13}{10}.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(2x^2=3-x\Leftrightarrow2x^2+x-3=0\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=-\displaystyle\frac{3}{2}.\)

Ta có

\(S_{OAB}=\displaystyle\int\limits_0^1 2x^2\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_1^3 (3-x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{2}{3}x^3\bigg|_0^1+\left(3x-\displaystyle\frac{x^2}{2}\right)\bigg|_1^3=\displaystyle\frac{8}{3}\).

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol \(y=x^2\) và đường thẳng \(y=-x+2\):

\[x^2=-x+2\Leftrightarrow x=1;\quad x=-2.\]

Diện tích hình phẳng đã cho là

\(S=\displaystyle\int\limits_0^1 x^2 \mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_1^2 (-x+2) \mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{5}{6}\).

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong

\(x^3-5x^2+6x=2x^2\Leftrightarrow x=0\); \(x=1\) hoặc \(x=6\).

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=x^3-5x^2+6x\) với trục \(Ox\)

\(x^3-5x^2+6x=0\Leftrightarrow x=0\); \(x=2\) hoặc \(x=3\).

Suy ra diện tích

\(S = \displaystyle\int \limits_{0}^{1} 2x^2 \mathrm{d}x + \displaystyle\int \limits_{1}^{2} \left( x^3-5x^2+6x\right) {\mathrm{d}x= \displaystyle\frac{2x^3}{3} \bigg|_0^1 + \left(\displaystyle\frac{x^4}{4}-\displaystyle\frac{5x^3}{3}+3x^2 \right)\bigg|_1^2}= \displaystyle\frac{7}{4}.\)

a) Hình phẳng đó giới hạn bởi các đường thẳng \(y=\left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)^x\), \(y=x+1\), \(y=x+1\) và \(x=2\).

b) Từ hình vẽ, ta thấy được \(x+1 \geq \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)^x, \forall x \in [0;2]\). Khi đó diện tích hình phẳng:

\(S=\displaystyle\int\limits_{0}^{2} \left| x+1 - \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)^x \right| \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{2} \left[ x+1 - 2^{-x} \right] \mathrm{\,d}x=\left[\displaystyle\frac{x^2}{2} + x + \displaystyle\frac{2^{-x}}{\ln{2}} \right] \Big|_{0}^{2}=4-\displaystyle\frac{3}{4\ln{2}}\).

Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình là

\begin{eqnarray*}S&=&\int\limits_{-1}^2\left(-x^2+2-x^2+2x+2\right)\,\mathrm{d}x=\int\limits_{-1}^2\left(-2x^2+2x+4\right)\,\mathrm{d}x\\&=&\left.\left(-\displaystyle\frac{2x^3}{3}+x^2+4x\right)\right|_{-1}^2=9.\end{eqnarray*}

a) Diện tích cần tìm là

\(S_1=\displaystyle\int\limits_{0}^{2} |4x-x^2|\mathrm{\,d}x\).

Ta có: \(4x-x^2\ge 0\) với mọi \(x\in[0;2]\).

Vậy \(S_1=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}|4x-x^2|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{2} (4x-x^2)\mathrm{\,d}x=\left(2x^2-\displaystyle\frac{x^3}{3}\right)\bigg|_0^2=\displaystyle\frac{16}{3}\).

b) Gọi \(S_2\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(d\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0, x=2\).

Vì \(x\ge0\) với mọi \(x\in[0;2]\) nên ta có

\(S_2=\displaystyle\int\limits_{0}^{2} |x|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{2} x\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{x^2}{2}\bigg|_0^2=2\).

Vậy diện tích cần tìm là \(S=S_1-S_2=\displaystyle\frac{10}{3}\).

Theo hình vẽ ta thấy

\begin{eqnarray*}&S &= \displaystyle \int \limits_{-5}^{-3}\left(\displaystyle\frac{x-1}{x+2} - 2\right) \mathrm{\,d}x + \displaystyle \int \limits_{-3}^{-1} (-x+1-2) \mathrm{\,d}x\\&&=\displaystyle\int\limits_{-5}^{-3}\left(-1-\displaystyle\frac{3}{x+2}\right)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{-3}^{-1}(-x-1)\mathrm{\,d}x\\ &&= \left(-x-3\ln|x+2|\right)\bigg|_{-5}^{-3} +\left(-\displaystyle\frac{x^2}{2}-x\right)\bigg|_{-3}^{-1}\\&&= (3 - 3\ln 1) - (5-3\ln 3) + 2 = 3 \ln 3.\end{eqnarray*}

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\[\sqrt{x}=x-2\Leftrightarrow \begin{cases} x\ge 2 \\ x=(x-2)^2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x\ge 2 \\ x^2-5x+4=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x\ge 2 \\ x=1\ \vee\ x=4.\end{cases}\Leftrightarrow x=4.\]

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo là

\begin{eqnarray*}S&=&\displaystyle\int\limits_{0}^{2} \sqrt{x} \mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{2}^{4} \left[\sqrt{x}-(x-2)\right] \mathrm{\,d}x\\&=&\displaystyle\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\Bigg|_0^2+\left(\displaystyle\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\displaystyle\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_2^4\\&=&\displaystyle\frac{10}{3}.\end{eqnarray*}

Ta có \(S = \displaystyle \int\limits_0^1 {\left({\displaystyle\frac{10}{3}x-{x^2}+x}\right)\mathrm{\,d}x}+\displaystyle\int\limits_1^3 {\left({\displaystyle\frac{10}{3}x-{x^2}-x+2}\right)\mathrm{\,d}x} = \displaystyle\frac{13}{2}\).

Hai đường thẳng \(y=1\) và \(g(x)=x\) cắt nhau tại điểm \((1;1)\).

Diện tích hình phẳng cần tính là

\(S=\displaystyle \int \limits_0^1 \left( x-\displaystyle\frac{x^2}{4} \right)\mathrm{\,d}x +\displaystyle \int \limits_1^2 \left( 1-\displaystyle\frac{x^2}{4} \right)\mathrm{\,d}x=\left. \left( \displaystyle\frac{x^2}{2}-\displaystyle\frac{x^3}{12} \right) \right|_0^1 +\left. \left( x-\displaystyle\frac{x^3}{12} \right) \right|_1^2=\displaystyle\frac{5}{6}.\)

Khi đó \(a=5\), \(b=6\). Vậy \(b-a=1\).

Diện tích hình phẳng cần tính là

\[S=\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} \left[\left(4-x^2\right)-x^2\right]\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{-1}^{1} \left(4-2x^2\right) \mathrm{\,d}x=\left(4x-\displaystyle\frac{2}{3}x^3\right)\bigg|_{-1}^1=\displaystyle\frac{20}{3}.\]

Đường thẳng trong hình vẽ là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất, do đó có phương trình là \(y=x\).

Từ đó ta có

\(S_1=\displaystyle \int\limits_{0}^{3}\left[(-x^2+4x)-x\right]\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_0^3(-x^2+3x)\mathrm{\,d}x=\left(-\displaystyle\frac{x^3}{3}+\displaystyle\frac{3x^2}{2}\right)\bigg|_0^3= \displaystyle\frac{9}{2}\).

\(S_2=\displaystyle \int\limits_{0}^{4}\left[x-(-x^2+4x)\right] \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_0^4\left(x^2-3x\right)\mathrm{\,d}x=\left(\displaystyle\frac{x^3}{3}-\displaystyle\frac{3x^2}{2}\right)\bigg|_0^3=\displaystyle\frac{19}{3}\).

Vậy \(\displaystyle\frac{S_1}{S_2}=\displaystyle\frac{27}{38}\).

Diện tích mỗi cánh hoa là

\(S=\displaystyle\int\limits_0^{20}\left(\sqrt{20x} - \displaystyle\frac{1}{20}x^2\right)\mathrm{d}x=\left.\left(\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\sqrt{20}\cdot\sqrt{x^3} - \displaystyle\frac{1}{60}x^3\right)\right|_0^{20}=\displaystyle\frac{400}{3}\) \cm\(^2\).

Đặt vào hệ trục tọa độ, đỉnh cửa trùng với điểm \(A \in Oy\), hai điểm \(B\), \(C\) thuộc trục \(Ox\).

Do cửa có chiều cao là \(35\text{m}\) và đáy có chiều dài là \(70\text{m}\) nên \(A(0;21)\), \(B(-35;0)\) và \(C(35;0)\).

Do đồ thị Parabol cắt trục hoành tại \(B(-35;0)\) và \(C(35;0)\) nên parabol có phương trình là \(y=a(x-35)(x+35)\).

Mà parabol qua điểm \(A(0;21)\) nên \(y=\displaystyle\frac{-3}{175}(x-35)(x+35)=\displaystyle\frac{-3}{175}(x^2-1225)\).

Khi đó, diện tích kính của cánh cửa là \(S=\displaystyle\int\limits_{-35}^{35} \displaystyle\frac{-3}{175}(x^2-1225) \mathrm{\,d}x=980\text{m}^2\).

Từ hình vẽ, hình phẳng tô màu giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f(x)\), \(y=5\) và hai đường thẳng \(x=-5\), \(x=10\).

Khi đó diện tích hình phẳng tô màu sau là

\(S=\displaystyle\int\limits_{-5}^{10} \left[ 5-\displaystyle\frac{3}{100} \left(-\displaystyle\frac{1}{3}x^3+5x^2 \right) \right] \mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{675}{16}\text{m}^2\).

Diện tích của hình thang cong được tô màu vàng là:

\[\begin{aligned}I & =\int\limits_2^{25}-\frac{1}{800}\left(x^3-33 x^2+120 x-400\right) \mathrm{d} x \\ & =-\frac{1}{800}\left(\int\limits_2^{25} x^3 \mathrm{~d} x-33 \int\limits_2^{25} x^2 \mathrm{~d} x+120 \int\limits_2^{25} x \mathrm{~d} x-400 \int\limits_2^{25} \mathrm{~d} x\right) \\& =-\frac{1}{800}\left(\frac{x^4}{4}\bigg|_2 ^{25}-11 x^3\bigg|_2 ^{25}+60 x^2\bigg|_2 ^{25}- 400 x\bigg|_2 ^{25}\right)=\frac{184299}{3200}\ \left(\mathrm{m}^2\right).\end{aligned}\]

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ bên. Giả sử parabol có phương trình dạng \((P)\colon y=ax^2+bx+c\).\\

Vì parabol có đỉnh là \((0;4{,}8)\), cắt trục hoành tại \(A(-2;0)\), \(B(2;0)\) nên

\(\begin{cases}-\displaystyle\frac b{2a}=0\\4a+2b+c=0\\c=4{,}8\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=-1{,}2\\b=0\\c=4{,}8.\end{cases}\)

Vậy \((P)\colon y=-1{,}2x^2+4{,}8\).

Suy ra diện tích cổng là

\(S_1=\displaystyle\int\limits_{-2}^2(-1{,}2x^2+4{,}8)\mathrm{d}x\,=(-0{,}4x^3+4{,}8x)\Big|_{-2}^2=12{,}8\text{ (m\(^2\)).}\)

Từ đó diện tích cần sơn là \(10(2+4+2)-12{,}8=67{,}2\) m\(^2\).

Tổng chi phí để sơn lại toàn bộ mặt ngoài của bức tường đó là \(67{,}2\cdot15\,000=1\,008\,000\) đồng.

Vòm cổng có hình dạng một parabol \((P)\) có đỉnh \(I(0 ; 2)\) nên có phương trình dạng \(y=ax^2+2\). Mặt khác \((P)\) đi qua điểm \(B\left(\displaystyle\frac{5}{2} ; \displaystyle\frac{3}{2}\right)\) nên ta có

\(\displaystyle\frac{3}{2}=a\cdot \left(\displaystyle\frac{5}{2}\right)^2+2\Leftrightarrow \displaystyle\frac{25}{4}a=-\displaystyle\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=-\displaystyle\frac{2}{25}.\)

Do đó \((P)\colon y=-\displaystyle\frac{2}{25}x^2+2\).

Gọi \(S~\left(\mathrm{m}^2\right)\) là tổng diện tích hai cánh cửa cổng.

Khi đó \(S\) bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \((P)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=-\displaystyle\frac{5}{2}\), \(x=\displaystyle\frac{5}{2}\).

Vậy

\(S=\int\limits_{-\tfrac{5}{2}}^{\tfrac{5}{2}}\left(-\displaystyle\frac{2}{25}x^2+2\right)\,\mathrm{d}x=\left.\left(-\displaystyle\frac{2}{75}x^3+2x\right)\right|_{-\tfrac{5}{2}}^{\tfrac{5}{2}}=\displaystyle\frac{55}{6}~\left(\mathrm{m}^2\right).\)

Cửa có hình dạng một parabol \((P)\) với phương trình \(y=ax^2+bx+c\).\\

Parabol \((P)\) có đỉnh \(I\left(0;\displaystyle\frac{9}{4}\right)\) nên \(c=\displaystyle\frac{9}{4}\), suy ra \((P)\colon y=ax^2+bx+\displaystyle\frac{9}{4}\).

Vì parabol \((P)\) đi qua các điểm \(A\left(-\displaystyle\frac{3}{2};0\right)\), \(B\left(\displaystyle\frac{3}{2};0\right)\) nên

\(\begin{cases}\displaystyle\frac{9}{4}a-\displaystyle\frac{3}{2}b=-\displaystyle\frac{9}{4}\\\displaystyle\frac{9}{4}a+\displaystyle\frac{3}{2} b=-\displaystyle\frac{9}{4}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=-1\\b=0.\end{cases}\)

Do đó \((P)\colon y=-x^{2}+\displaystyle\frac{9}{4}\).

Gọi \(S\) (m\(^2\)) là diện tích kính cần lắp. Ta có \(S\) bằng diện tích hình phẳng \((H)\) giới hạn bởi parabol, trục hoành và các đường thẳng \(x=-\displaystyle\frac{3}{2}\), \(x=\displaystyle\frac{3}{2}\).

\(S=\displaystyle\int\limits_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}}\left(-x^{2}+\displaystyle\frac{9}{4}\right)\mathrm{\,d}x=\left(-\displaystyle\frac{x^{3}}{3}+\displaystyle\frac{9}{4} x\right)\Bigg|_{-\tfrac{3}{2}} ^{\tfrac{3}{2}}=\displaystyle\frac{9}{2}\) (m\(^2\)).

Vậy diện tích kính cần lắp là \(\displaystyle\frac{9}{2}\) m\(^2\).

a) Giả sử parabol \(y=f(x)\) cho bởi công thức \(f(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\neq 0\)). Do parabol \(y=f(x)\) đi qua điểm \(D(0;2)\) nên \(c=2\), suy ra \(f(x)=ax^2+bx+2\) (\(a\neq 0\)). Vì parabol \(y=f(x)\) đi qua các điểm \(C(-4;0)\) và \(E(4;0)\) nên ta có hệ

\begin{align*}\begin{cases} 16a-4b+2=0 \\ 16a+4b+2=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a=-\displaystyle\frac{1}{8} \\ b=0.\end{cases}\end{align*}

Vậy \(f(x)=-\displaystyle\frac{1}{8}x^2+2\).

Giả sử parabol \(y=g(x)\) cho bởi \(g(x)=a_1x^2+b_1x+c_1\) (\(a_1\neq 0\)). Do parabol \(y=g(x)\) đi qua điểm \(G(0;-3)\) nên \(c_1=-3\), suy ra \(g(x)=a_1x^2+b_1x-3\) (\(a_1\neq 0\)). Vì parabol \(y=g(x)\) đi qua các điểm \(C(-4;0)\) và \(E(4;0)\) nên ta có

\begin{align*}\begin{cases} 16a_1-4b_1-3=0 \\ 16a_1+4b_1-3=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a_1=\displaystyle\frac{3}{16} \\ b_1=0.\end{cases}\end{align*}

Vậy \(g(x)=\displaystyle\frac{3}{16}x^2-3\).

b) Diện tích của logo là

\begin{eqnarray*}S&=&\displaystyle\int\limits_{-5}^{-4} \left|f(x)-g(x)\right| \mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{-4}^{4} \left|f(x)-g(x)\right| \mathrm{\,d}x\\&=&\displaystyle\int\limits_{-5}^{-4} \left[g(x)-f(x)\right] \mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{-4}^{4} \left[f(x)-g(x)\right] \mathrm{\,d}x\\&=&\displaystyle\int\limits_{-5}^{-4} \left[\left(\displaystyle\frac{3}{16}x^2-3\right)-\left(-\displaystyle\frac{1}{8}x^2+2\right)\right] \mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{-4}^{4} \left(-\displaystyle\frac{1}{8}x^2+2\right)-\left(\displaystyle\frac{3}{16}x^2-3\right) \mathrm{\,d}x\\&=&\displaystyle\int\limits_{-5}^{4} \left(\displaystyle\frac{5}{16}x^2-5\right) \mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{-4}^{4} \left(-\displaystyle\frac{5}{16}x^2+5\right) \mathrm{\,d}x\\&=&\displaystyle\frac{5}{48}x^3\bigg|_{-5}^{-4}-5x\bigg|_{-5}^{-4}-\displaystyle\frac{5}{48}x^3\bigg|_{-4}^4+5x\bigg|_{-4}^4\\&=&\displaystyle\frac{305}{48}-5-\displaystyle\frac{640}{48}+40=\displaystyle\frac{1345}{48}.\end{eqnarray*}

c) Gọi \(t\) là lượng ánh sáng đi qua mỗi dm\(^2\) của logo. Suy ra lượng ánh sáng đi qua logo là \(\displaystyle\frac{1345}{48}t\). Mặt khác, diện tích của cửa sổ là \((8+1)\cdot (2+3)=45\) dm\(^2\) và lượng ánh sáng đi qua mỗi dm\(^2\) của phần cửa sổ nằm ngoài logo là \(2t\). Suy ra, lượng ánh sáng đi qua cửa sổ trước khi làm logo là \(45\cdot 2t=90t\) và lượng ánh sáng đi qua phần cửa sổ nằm ngoài logo là

\begin{align*}\left(45-\displaystyle\frac{1345}{48}\right)2t=\displaystyle\frac{815}{24}t.\end{align*}

Do đó, tổng lượng ánh sáng đi qua cửa sổ sau khi làm logo là

\begin{align*}\displaystyle\frac{1345}{48}t+\displaystyle\frac{815}{24}t=\displaystyle\frac{2975}{48}t.\end{align*}

Tỉ số phần trăm của lượng ánh sáng đi qua cửa sổ sau khi làm logo so với lượng ánh sáng đi qua cửa sổ trước khi làm logo là

\begin{align*}\left(\displaystyle\frac{2975t}{48}:(90t)\right)\cdot 100\%\approx 68{,}9\%.\end{align*}

Vậy lượng ánh sáng đi qua toàn bộ cửa sổ sau khi làm logo sẽ giảm đi xấp xỉ là

\begin{align*}100\%-68{,}9\%=31{,}1\%.\end{align*}

Diện tích phần chung của vật thể và mặt phẳng cắt là

\(S(x)=3x(3x-2)=9x^2-6x.\)

Thể tích của vật thể là

\(V=\int\limits_1^3 \left(9x^2-6x\right)\mathrm{\,d}x=\left.\left(3x^3-3x^2\right)\right|_1^3=54\quad (\text{đvtt}).\)

a) Ta có \(V=\pi \displaystyle \int\limits_{-1}^1 \left(1-x^2\right)^2 \mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{16 \pi}{15}\).

b) Ta có \(V=\pi \displaystyle \int\limits_2^4 \left(\sqrt{25-x^2}\right)^2 \mathrm{\,d}x=\pi \displaystyle \int\limits_2^4 \left(25-x^2\right) \mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{94\pi}{3}\).

a) Thể tích khối tròn xoay là

\(V=\pi\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}}(2+\cos x)\mathrm{\,d}x=\pi \left(2x+\sin x\right)\Big|_0^{\tfrac{\pi}{2}}=\pi^2+\pi\quad (\text{đvtt}).\)

b) Thể tích khối tròn xoay là

\begin{eqnarray*}V&=&\pi\int\limits_0^3\left(x^2-3x\right)^2\mathrm{\,d}x=\pi\int\limits_0^3\left(x^4-6x^3+9x^2\right)\mathrm{\,d}x\\&=&\pi \left.\left(\displaystyle\frac{x^5}{5}-\displaystyle\frac{3x^4}{2}+3x^3\right)\right|_0^3=\displaystyle\frac{81\pi}{10}\quad (\text{đvtt}).\end{eqnarray*}

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay ta có \(V=\pi\displaystyle\int_{4}^{9}\left( \sqrt{x}-2\right)^{2}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{11\pi}{6}\).

Diện tích phần chung của vật thể và mặt phẳng là

\(S(x)=\left(\sqrt{x^2-2}\right)^2=x^2-2.\)

Thể tích của vật thể là

\[V=\int\limits_2^4 \left(x^2-2\right)\,\mathrm{d}x= \left. \left(\displaystyle\frac{x^3}{3}-2x\right)\right|_2^4 =\displaystyle\frac{44}{3}.\]

a) Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành là

\(V=\pi\int\limits_{0}^{\pi} \cos ^{2} \frac{x}{2} \mathrm{\,d} x=\pi \int\limits_{0}^{\pi} \frac{1+\cos x}{2} \mathrm{\,d}x=\frac{\pi}{2}(x+\sin x)\Big|_{0} ^{\pi}=\frac{\pi^{2}}{2}.\)

b) Thể tích khối tròn xoay tạo thành là

\(V=\pi\int\limits_{0}^{2}\left(x^{2}-2 x\right)^{2} \mathrm{~d} x=\pi\int\limits_{0}^{2}\left(x^{4}-4 x^{3}+4 x^{2}\right)\mathrm{\,d}x=\pi\left(\frac{x^{5}}{5}-x^{4}+\frac{4}{3} x^{3}\right)\Bigg|_{0} ^{2}=\frac{16 \pi}{15}.\)

Thể tích khối tròn xoay tạo thành là

\(V=\int\limits_1^4\left(\sqrt{x}-1\right)^2\,\mathrm{d}x=\int\limits_1^4\left(x-2\sqrt{x}+1\right)\,\mathrm{d}x=\left.\left(\displaystyle\frac{x^2}{2}-\displaystyle\frac{4\sqrt{x^3}}{3}+x\right)\right|_1^4=\displaystyle\frac{7}{6}.\)

Gọi đường thẳng \(AB\) có dạng \(y=ax+b\).

Vì đường thẳng đi qua hai điểm \(A(0;1), B(2;2)\) nên ta có hệ phương trình \(\begin{cases}b=1\\2a+b=2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=\displaystyle\frac{1}{2}\\b=1\end{cases}\).

Vậy \(y=\displaystyle\frac{1}{2}x+1\).

Thể tích cần tìm là

\(V=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2} \left(\displaystyle\frac{1}{2}x+1\right)^2\mathrm{\,d}x=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2} \left(\displaystyle\frac{1}{4}x^2+x+1\right)\mathrm{\,d}x=\pi\left(\displaystyle\frac{x^3}{12}+\displaystyle\frac{x^2}{2}+x\right)\bigg|_{0}^{2}=\displaystyle\frac{14}{3}\pi\).

Thể tích cần tìm là

\begin{align*}V&=\pi\displaystyle\int\limits_{1}^{2} \left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)^2\mathrm{\,d}x=\pi\displaystyle\int\limits_{1}^{2} \left(1+\displaystyle\frac{2}{x}+\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)\mathrm{\,d}x\\&=\pi\left(x+2\ln|x|-\displaystyle\frac{1}{x}\right)\bigg|_1^2=\pi\left(\displaystyle\frac{3}{2}+2\ln2 \right).\end{align*}

Thể tích khối tròn xoay là

\(V=\pi \displaystyle \int_{-R}^{R} (R^2-x^2)\mathrm{d}x=\displaystyle \int_{-2}^{2} (2^2-x^2)\mathrm{d}x=\displaystyle\frac{32}{3}\).

Ta có thể tích thùng rượu là

\begin{eqnarray*}V&=&\pi \displaystyle\int\limits_{-35}^{35} \left( -0{,}011x^2-0{,}071x+40 \right)^2 \mathrm{\,d}x\\&=&10^{-6} \pi \displaystyle\int\limits_{-35}^{35} \left( 11x^2+71x-40000 \right)^2 \mathrm{\,d}x\\&=&10^{-6} \pi \displaystyle\int\limits_{-35}^{35} \left( 121x^4+1562x^3-874959x^2 -568 \cdot 10^4 \cdot x +16\cdot 10^8 \right) \mathrm{\,d}x\\&=&10^{-6} \pi \left( \displaystyle\frac{121x^5}{5}+\displaystyle\frac{781x^4}{2}-291653x^3 -284 \cdot 10^4 \cdot x^2 +16\cdot 10^8 x\right) \bigg|_{-35}^{35}\\&\approx& 281275{,}6 \text{ cm}^3.\end{eqnarray*}

Xét hệ trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ bên (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét).

Trong hệ trục toạ độ đó, đường cong \(AB\) được cho bởi đồ thị của hàm số liên tục \(y=f(x)\), \(0\leq x\leq 10\).

Suy ra, đường cong \(DC\) được cho bởi đồ thị của hàm số liên tục \(y=f(x)+2\), \(0\leq x\leq 10\).

Áp dụng công thức tính diện tích ta có

\begin{align*}S_{\text{mặ đường }ABCD }=\displaystyle\int\limits_{0}^{10} \left[f(x)+2-f(x)\right] \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{10} 2 \mathrm{\,d}x=2x\bigg|_0^{10}=20\text{ m}^2.\end{align*}

Do đó, thể tích khối bê tông dùng để đổ con đường là \(20\cdot 0{,}15=3\) m\(^3\).

Vậy số tiền cô Hạnh cần dùng để đổ bê tông con đường đó là \(1~080~000\cdot 3=3~240~000\) (đồng).

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

\(f(x)=0{,}14x^3-0{,}87x^2+1{,}92x+0{,}85\)

trục hoành và hai đường thẳng \(x=0\), \(x=3\) quay quanh trục \(Ox\) là

\begin{eqnarray*}V&=&\pi \displaystyle\int\limits_{0}^{3} \left(0{,}14x^3-0{,}87x^2+1{,}92x+0{,}85\right)^2 \mathrm{\,d}x\\&=&\pi \displaystyle\int\limits_{0}^{3} \left(0{,}019x^6-0{,}2436x^5+1{,}2945x^4-3{,}1028x^3+2{,}2074x^2+3{,}264x+0{,}7225\right) \mathrm{\,d}x\\&=&\pi \left(0{,}0028x^7-0{,}0406x^6+0{,}2589x^5-0{,}7757x^4+0{,}7358x^3+1{,}632x^2+0{,}7225x\right)\bigg|_{0}^3\\&=&13{,}3293\pi\approx 42 \text{ cm}^3.\end{eqnarray*}

Vậy thể tích của chiếc chén khoảng \(42\) cm\(^3\).

a) Hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(y=x^2-4x+5\); \(y=0\); \(x=1\); \(x=4\).

b) Thể tích khối tròn xoay là

\begin{align*}V&=\pi\displaystyle\int\limits_1^4(x^2-4x+5)^2\mathrm{d}x\,=\pi\displaystyle\int\limits_1^4(x^4+16x^2+25-8x^3+10x^2-40x)\mathrm{d}x\,\\&=\pi\left(\displaystyle\frac{x^5}{5}-2x^4+\displaystyle\frac{26}{3}x^3-20x^2+25x\right)\Big|_1^4=\displaystyle\frac{78\pi}{5}.\end{align*}

Dung tích của bình là

\[V=\displaystyle\int\limits_{0}^{4} S(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{4} \left(2+\displaystyle\frac{x^2}{4}\right)\mathrm{\,d}x=\left(2x+\displaystyle\frac{x^3}{12}\right)\bigg|_0^4=\displaystyle\frac{40}{3}.\]

Thể tích vật thể cần tìm là

\(V=\displaystyle\int\limits_{-2}^{2} S(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{-2}^{2} \displaystyle\frac{1}{2}\left(4-x^2\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{1}{2}\left(4x-\displaystyle\frac{x^3}{3}\right)\bigg|_{-2}^{2}=\displaystyle\frac{8}{3}-\left(-\displaystyle\frac{8}{3}\right)=\displaystyle\frac{16}{3}\).

Thể tích của lều là

\(V=\displaystyle \int_{a}^{b} S(x) \mathrm{d}x=\displaystyle \int_{0}^{3} (\sqrt{9-x^2})^2 \mathrm{d}x=18\ (m^2)\).

Thể tích khối tròn xoay cần tính là

\(V=\pi \displaystyle\int_0^1f^2(x) \mathrm{\,d} x=\pi \displaystyle\int_0^1(\sqrt{x})^2 \mathrm{~d}x=\pi \displaystyle\int_0^1x \mathrm{~d}x=\left.\displaystyle\frac{\pi x^2}{2}\right|_0^1=\displaystyle\frac{\pi}{2}.\)

Thể tích phần trong của chậu cây là

\(\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{4}\left(\sqrt{x}+\displaystyle\frac{3}{2}\right)^{2}\mathrm{\,d}x=\pi \displaystyle\int\limits_{0}^{4}\left(x+3x^{\tfrac{1}{2}}+\displaystyle\frac{9}{4}\right)\mathrm{\,d} x=\pi\left(\displaystyle\frac{x^{2}}{2}+2x^{\tfrac{3}{2}}+\displaystyle\frac{9}{4}x\right)\Bigg|_0^4=33\pi~(\mathrm{dm}^3).\)