1. Tích của một số với một véc-tơ và các tính chất

+ Cho số \(k\) khác \(0\) và véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) khác \(\overrightarrow{0}\). Tích của số \(k\) với véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) là một véc-tơ, kí hiệu là \(k \overrightarrow{a}\).

+ Véc-tơ \(k \overrightarrow{a}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k>0\), ngược hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k<0\) và có độ dài bằng \(|k| \cdot \left |\overrightarrow{a} \right |\).

+ Ta quy ước \(0 \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\) và \(k \overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\).

+ Người ta còn gọi tích một số với một véc-tơ là tích của một véc-tơ với một số.

Tính chất. Với hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) bất kì, với mọi số thực \(h\) và \(k\), ta có:

\(\bullet\ \) \(k\left (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )=k \overrightarrow{a}+k \overrightarrow{b}\);

\(\bullet\ \) \((h+k) \overrightarrow{a}=h \overrightarrow{a}+k \overrightarrow{a}\);

\(\bullet\ \) \(h\left (k \overrightarrow{a}\right )=(h k) \overrightarrow{a}\);

\(\bullet\ \) \(1 \cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\);

\(\bullet\ \) \(-1 \cdot \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}\).

2. Điều kiện để hai véc-tơ cùng phương

Hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) (\(\overrightarrow{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\)) cùng phương khi và chỉ khi có số \(k\) sao cho \(\overrightarrow{a}=k \overrightarrow{b}\).

Ba điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\) thẳng hàng khi và chỉ khi có số \(k\) khác 0 để \(\overrightarrow{AB}=k \overrightarrow{AC}\).

Chú ý. Cho hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương. Với mọi véc-tơ \(\overrightarrow{c}\) luôn tồn tại duy nhất cặp số thực \((m ; n)\) sao cho \(\overrightarrow{c}=m \overrightarrow{a}+n \overrightarrow{b}\).