Bài 3. PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Lỗi khi trích xuất lý thuyết từ dữ liệu Lỗi khi tải dữ liệu từ BaitapSGK10/t10ch7b3sgk2.tex

Câu 1:

Giải các phương trình sau

\(\bullet\,\) \(\sqrt{-4 x+4}=\sqrt{-x^2+1}\);

\(\bullet\,\) \(\sqrt{2 x-1}=3 x-4\);

\(\bullet\,\) \(\sqrt{3 x^2-6 x+1}=\sqrt{x^2-3}\);

\(\bullet\,\) \(\sqrt{-2 x^2+x+7}=x-3\).

Image
Image

\(\bullet\,\) \(\sqrt{-4 x+4}=\sqrt{-x^2+1}\) \((1)\)

Điều kiện \(-4 x+4 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 1\).

\((1) \Leftrightarrow-4 x+4=-x^2+1 \Leftrightarrow x^2-4 x+3=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=3 \text{ (không thỏa mãn)}\\&x=1 \text{ (thỏa mãn).}\end{aligned}\right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=1\).

\(\bullet\,\) \(\sqrt{3 x^2-6 x+1}=\sqrt{x^2-3}\) \((2)\)

Điều kiện \(x^2-3\geq 0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x\leq-\sqrt 3\\ & x\geq\sqrt 3.\end{aligned}\right.\)

\((2) \Leftrightarrow 3 x^2-6 x+1=x^2-3\) \(\Leftrightarrow 2 x^2-6 x+4=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=1 \text{ (không thỏa mãn)}\\&x=2 \text{ (thỏa mãn).}\end{aligned}\right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=2\).

\(\bullet\,\) \(\sqrt{2 x-1}=3 x-4\) \((3)\)

Điều kiện \(3 x-4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \displaystyle\frac{4}{3}\).

\((3) \Leftrightarrow 2 x-1=9 x^2-24 x+16\Leftrightarrow 9 x^2-26 x+17=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=1 \text{ (không thỏa mãn)}\\&x=\displaystyle\frac{17}{9} \text{ (thỏa mãn).}\end{aligned}\right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\displaystyle\frac{17}{9}\).

\(\bullet\,\) \(\sqrt{-2 x^2+x+7}=x-3\) \((4)\)

Điều kiện \(x-3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3\).

\((4) \Leftrightarrow-2 x^2+x+7=x-3\Leftrightarrow-2 x^2+10=0 \Leftrightarrow x^2=5\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=\sqrt{5} \text{ (không thỏa mãn)}\\&x=-\sqrt{5} \text{ (không thỏa mãn).}\end{aligned}\right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x \in \varnothing\).

}

Câu 2:

Giải các phương trình sau

\(\bullet\,\) \(\sqrt{-x^2+77x-212}=\sqrt{x^2+x-2}\).

\(\bullet\,\) \(\sqrt{x^2+25x-26}=\sqrt{x-x^2}\).

\(\bullet\,\) \(\sqrt{4x^2+8x-37}=\sqrt{-x^2-2x+3}\).

Image
Image

\(\bullet\,\)! \(\sqrt{-x^2+77x-212}=\sqrt{x^2+x-2}\).

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\sqrt{-x^2+77x-212}=\sqrt{x^2+x-2}\\&\Leftrightarrow &\begin{cases}x^2+x-2\ge 0 \\ -x^2+77x-212=x^2+x-2\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases}\left[\begin{aligned}& x\le -2 \\ & x\ge 1\end{aligned}\right. \\ 2x^2-76x+210=0\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases}\left[\begin{aligned}& x\le -2 \\ & x\ge 1\end{aligned}\right.\\ \left[\begin{aligned}& x=3 \\ & x=35\end{aligned}\right.\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}& x=3 \\ & x=35.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Tập nghiệm của phương trình là \(S=\{3;35\}\).

\(\bullet\,\)! \(\sqrt{x^2+25x-26}=\sqrt{x-x^2}\).

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\sqrt{x^2+25x-26}=\sqrt{x-x^2} \\&\Leftrightarrow& \begin{cases}x-x^2\ge 0 \\ x^2+25x-26=x-x^2\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases}0\le x\le 1 \\ 2x^2+24x-26=0\end{cases}\\&\Leftrightarrow &\begin{cases} 0\le x\le 1 \\ \left[\begin{aligned}& x=1 \\ & x=13\end{aligned}\right.\end{cases}\\&\Leftrightarrow& x=1.\end{eqnarray*}}

Tập nghiệm của phương trình là \(S=\{1\}\).

\(\bullet\,\)! \(\sqrt{4x^2+8x-37}=\sqrt{-x^2-2x+3}\).

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\sqrt{4x^2+8x-37}=\sqrt{-x^2-2x+3}\\ & \Leftrightarrow &\begin{cases}-x^2-2x+3\ge 0 \\ 4x^2+8x-37=-x^2-2x+3\end{cases}\\ &\Leftrightarrow& \begin{cases}-3\le x\le 1 \\ 5x^2+10x-40=0\end{cases}\\ &\Leftrightarrow &\begin{cases}-3\le x\le 1 \\ \left[\begin{aligned}& x=2 \text{ (loại)}\\ & x=-4\text{ (loại).}\end{aligned}\right.\end{cases}\end{eqnarray*}}

Phương trình đã cho vô nghiệm.

}

Câu 3:

Giải các phương trình sau

\(\bullet\,\) \(\sqrt{2x^2-13x+16}=6-x\).

\(\bullet\,\) \(\sqrt{3x^2-33x+55}=x-5\).

\(\bullet\,\) \(\sqrt{-x^2+3x+1}=x-4\).

Image
Image

\(\bullet\,\)! \(\sqrt{2x^2-13x+16}=6-x\).

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\sqrt{2x^2-13x+16}=6-x \\ &\Leftrightarrow& \begin{cases}6-x\ge 0 \\ 2x^2-13x+16=(6-x)^2\end{cases}\\ &\Leftrightarrow& \begin{cases}x\le 6 \\ x^2-x-20=0\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases}x\le 6 \\ \left[\begin{aligned}& x=-4 \\ & x=5\end{aligned}\right.\end{cases}\\ &\Leftrightarrow& \left[\begin{aligned}& x=-4 \\ & x=5.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

Tập nghiệm của phương trình là \(S=\{-4;5\}\).

\(\bullet\,\)! \(\sqrt{3x^2-33x+55}=x-5\).

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\sqrt{3x^2-33x+55}=x-5 \\&\Leftrightarrow& \begin{cases} x-5\ge 0 \\ 3x^2-33x+55=(x-5)^2\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases} x\ge 5 \\ 2x^2-23x+30=0\end{cases}\\&\Leftrightarrow &\begin{cases} x\ge 5 \\ \left[\begin{aligned}& x=\displaystyle\frac{3}{2} \\ & x=10\end{aligned}\right.\end{cases}\Leftrightarrow x=10.\end{eqnarray*}

Tập nghiệm của phương trình là \(S=\{10\}\).

\(\bullet\,\)! \(\sqrt{-x^2+3x+1}=x-4\).

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\sqrt{-x^2+3x+1}=x-4 \\&\Leftrightarrow& \begin{cases} x-4\ge 0 \\ -x^2+3x+1=(x-4)^2\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases} x\ge 4 \\ 2x^2-11x+15=0\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases} x\ge 4 \\ \left[\begin{aligned}& x=\displaystyle\frac{5}{2} \text{ (loại)}\\ & x=3\text{ (loại).}\end{aligned}\right.\end{cases}\end{eqnarray*}

Phương trình đã cho vô nghiệm.

}

Câu 4:

Giải các phương trình sau

\(\bullet\,\) \(\sqrt{7-2 x}+x=2\);

\(\bullet\,\) \(\sqrt{-2 x^2+7 x+1}+3 x=7\).

Image
Image

\(\bullet\,\) \(\sqrt{7-2 x}+x=2 \Leftrightarrow \sqrt{7-2 x}=2-x\) \((*)\).

Điều kiện \(2-x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 2\).

\((*)\Leftrightarrow 7-2 x=4-4 x+x^2 \Leftrightarrow x^2-2 x-3=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=3 \text{ (không thỏa mãn)}\\&x=-1 \text{ (thỏa mãn).}\end{aligned}\right.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=-1\).

\(\bullet\,\) \(\sqrt{-2 x^2+7 x+1}+3 x=7 \Leftrightarrow \sqrt{-2 x^2+7 x+1}=7-3 x\). \((**)\)

Điều kiện \(7-3 x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \displaystyle\frac{7}{3}\).

\((**)\Leftrightarrow-2 x^2+7 x+1=49-42 x+9 x^2 \Leftrightarrow 11 x^2-49 x+48=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=3 \text{ (không thỏa mãn)}\\&x=\displaystyle\frac{16}{11} \text{ (thỏa mãn).}\end{aligned}\right.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=\displaystyle\frac{16}{11}\).

}

Câu 5:

Giải các phương trình sau

\(\bullet\,\) \(\sqrt{2x-3}=x-3\).

\(\bullet\,\) \((x-3)\sqrt{x^2+4}=x^2-9\).

Image
Image

\(\bullet\,\)! \(\sqrt{2x-3}=x-3\).

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\sqrt{2x-3}=x-3 \\&\Leftrightarrow& \begin{cases} x-3\ge 0 \\ 2x-3=(x-3)^2\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases} x\ge 3 \\ x^2-8x+12=0\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases} x\ge 3 \\ \left[\begin{aligned}& x=2 \\ & x=6\end{aligned}\right.\end{cases}\Leftrightarrow x=6.\end{eqnarray*}}

Tập nghiệm của phương trình là \(S=\{6\}\).

\(\bullet\,\)! \((x-3)\sqrt{x^2+4}=x^2-9\).

Ta có \((x-3)\sqrt{x^2+4}=x^2-9\Leftrightarrow (x-3)\left(\sqrt{x^2+4}-(x+3)\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=3 \\ & \sqrt{x^2+4}-(x+3)=0.\quad(1)\end{aligned}\right.\)

\begin{eqnarray*}(1)&\Leftrightarrow&\sqrt{x^2+4}=x+3 \\&\Leftrightarrow& \begin{cases}x+3\ge 0 \\ x^2+4=(x+3)^2\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases} x\ge -3 \\ 6x=-5\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases} x\ge -3 \\ x=-\displaystyle\frac{5}{6}\end{cases}\\&\Leftrightarrow& x=-\displaystyle\frac{5}{6}.\end{eqnarray*}

Tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{-\displaystyle\frac{5}{6};3\right\}\).

}

Câu 6:

Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình sau có nghiệm

\(\sqrt{2x^2+x+1}=\sqrt{x^2+mx+m-1}.\)

Image
Image

Ta có

\begin{eqnarray*}&&\sqrt{2x^2+x+1}=\sqrt{x^2+mx+m-1}\\&\Leftrightarrow& \begin{cases}2x^2+x+1\le 0 \\ 2x^2+x+1=x^2+mx+m-1\end{cases}\\&\Leftrightarrow &\begin{cases} 2x^2+x+1\le 0 \text{ luôn đúng vì } a=2>0\text{ và }\Delta =-7<0\\ x^2+(1-m)x+2-m=0\end{cases}\\&\Leftrightarrow& \Delta_2\ge 0\\&\Leftrightarrow& (1-m)^2-4(2-m)\ge 0\Leftrightarrow m^2+2m-7\ge 0 \\&\Leftrightarrow&\left[\begin{aligned}& m\le -1-2\sqrt{2} \\ & m\ge -1+2\sqrt{2}.\end{aligned}\right.\end{eqnarray*}

}

Câu 7:

Mặt cắt đứng của cột cây số trên quốc lộ có dạng nửa hình tròn ở phía trên và phía dưới có dạng hình chữ nhật (xem hình bên). Biết rằng đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật và đường chéo của hình chữ nhật có độ dài \(66\) cm. Tìm kích thước của hình chữ nhật, biết rằng diện tích của phần nửa hình tròn bằng \(0{,}3\) lần diện tích của phần hình chữ nhật. Lấy \(\pi =3{,}14\) và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai.

baitapsgk10/t10ch7b3sgkh1.png

Image

Gọi đường kính của nửa đường tròn là \(x\) (cm) (\(x>0\)).

Độ dài cạnh bên của hình chữ nhật là \(\sqrt{66^2-x^2}\).

Diện tích nửa đường tròn là \(\displaystyle\frac{3{,}14x^2}{8}\).

Diện tích hình chữ nhật là \(x\sqrt{66^2-x^2}\).

Theo giả thiết ta có

\(\displaystyle\frac{3{,}14x^2}{8}=0{,}3\sqrt{66^2-x^2}\) \(\Leftrightarrow 157x=120\sqrt{66^2-x^2}\Leftrightarrow x^2=\displaystyle\frac{62726400}{39049}\) \(\Leftrightarrow x\approx \pm 40{,}08.\)

Vậy kích thước hình chữ nhật khoảng \(40{,}08\) cm \(\times\: 52{,}44\) cm.

}

Câu 8:

Giải thích vì sao chỉ cần kiểm tra nghiệm của phương trình \(f(x)=g(x)\) thoả mãn một trong hai bất phương trình \(f(x) \geq 0\) hoặc \(g(x) \geq 0\) mà không cần kiểm tra thoả mãn đồng thời hai bất phương trình đó để kết luận nghiệm của phương trình \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\).

Image
Image

Xét phương trình \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\). \((*)\)

Điều kiện tồn tại căn thức là \(f(x) \geq 0\) hoặc \(g(x) \geq 0\).

Bình phương hai vế của phương trình \((*)\) ta được \(f(x)=g(x)\).

Do đó ta chỉ cần hoặc \(f(x) \geq 0\) hoặc \(g(x) \geq 0\) là đủ.

}

Câu 9:

Giải thích vì sao chỉ cần kiểm tra nghiệm của phương trình \(f(x)=[g(x)]^2\) thoả mãn bất phương trình \(g(x) \geq 0\) mà không cần kiểm tra thoả mãn bất phương trình \(f(x) \geq 0\) để kết luận nghiệm của phương trình \(\sqrt{f(x)}=g(x)\).

Image
Image

Xét \(\sqrt{f(x)}=g(x)\) \((**)\)

Điều kiện của phương trình gồm:

\(\bullet\,\) Điều kiện tồn tại của căn thức là \(f(x) \geq 0\).

\(\bullet\,\)\(\sqrt{f(x)} \geq 0\) nên \(g(x) \geq 0 \).

Bình phương 2 vế của phương trình \((**)\) là: \(f(x)=[g(x)]^2 \geq 0\).

Do đó trong hai điều kiện ta chỉ cần \(g(x) \geq 0\).

}

Câu 10:

Để leo lên một bức tường, bác Dũng dùng một chiếc thang cao hơn bức tường đó \(2\) m. Ban đầu, bác Dũng đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng vào mép trên của bức tường (Hình 21 a). Sau đó, bác Dũng dịch chuyển chân thang vào gần chân bức tường thêm \(1\) m thì bác Dũng nhận thấy thang tạo với mặt đất một góc \(45^{\circ}\) (Hình 21b). Bức tường cao bao nhiêu mét?

baitapsgk10/t10ch7b3sgkh2.png

Image

Gọi chiều cao bức tường là \(x\) m \((x>0)\).

Khi đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó chạm đúng vào mép trên của bức tường thì khoảng cách chân thang đến chân tường là \(\sqrt{(x+2)^2-x^2}\) (m).

Khi thang tạo với mặt đất một góc \(45^{\circ}\) thì khoảng cách từ chân thang đến chân tường là \(x\) m.

Theo đề bài ta có phương trình \(\sqrt{(x+2)^2-x^2}=x+1\).

Giải phương trình trên ta có: \(x=3\) m với \(x>0\).

Vậy chiều cao bức tường là \(3\) m.

}

Câu 11:

Một người đi bộ xuất phát từ \(B\) trên một bờ sông (coi là đường thẳng) với vận tốc \(6\) km/h để gặp một người chèo thuyền xuất phát cùng lúc từ vị trí \(A\) với vận tốc \(3\) km/h. Nếu người chèo thuyền di chuyển theo đường vuông góc với bờ thì phải đi một khoảng cách \(AH=300\) m và gặp người đi bộ tại địa điểm cách \(B\) một khoảng \(BH=1400\) m. Tuy nhiên, nếu di chuyển theo cách đó thì hai người không tới cùng lúc. Để hai người đến cùng lúc thì mỗi người cùng di chuyển về vị trí \(C\).

\(\bullet\,\) Tính khoảng cách \(CB\).

\(\bullet\,\) Tính thời gian từ khi gặp nhau đến khi gặp nhau cùng lúc.

baitapsgk10/t10ch7b3sgkh3.png

Image

\(\bullet\,\) Đặt \(C H=x\) m \((x>0)\).

Ta có \(A C=\sqrt{300^2+x^2}, C B=1400-x\).

Vì hai người gặp nhau cùng lúc tại \(C\) nên

\(\displaystyle\frac{\sqrt{300^2+x^2}}{3000}=\displaystyle\frac{1400-x}{6000}\) \(\Leftrightarrow 2 \sqrt{300^2+x^2}=1400-x.\)

Giải phương trình trên ta có \(x=400\) m với \(x>0\).

Vậy khoảng cách \(C B=1400-400=1000\) m.

\(\bullet\,\) Thời gian hai người bắt đầu di chuyển cho đến khi tới \(C\)\(10\) phút.

}

Câu 12:

Người ta muốn thiết kế một vườn hoa hình chữ nhật nội tiếp trong một miếng đất hình tròn có đường kính bằng \(50\) m (Hình 23). Xác định kích thước vườn hoa hình chữ nhật để tổng quãng đường đi xung quanh vườn hoa đó là \(140\) m.

baitapsgk10/t10ch7b3sgkh4.png

Image

Đặt độ dài một cạnh của hình chữ nhật là \(x\) m \((0.

Vì độ dài đường chéo hình chữ nhật bằng đường kính hình tròn nên độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật đó là \(\sqrt{2500-x^2}\) m.

Khi đó, tổng quãng đường đi xung quanh vườn hoa bằng chu vi hình chữ nhật là \(2\left(\sqrt{2500-x^2}+x\right)=140\text{ m.}\)

Giải phương trình trên ta có: \(x=40\) m hoặc \(x=30\) m.

Nếu \(x=40\) m thì độ dài cạnh còn lại là \(30\) m và ngược lại.

Vậy kích thước vườn hoa là \(30 \times 40 \) m.

}