Ta có \(a=3\), \(b=1\), \(c=2\), \(d=-11\).

Khi đó \(a^2+b^2+c^2-d=25>0\) nên phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm \(I(3;1;2)\) và bán kính \(R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=5\).

a) Ta có

\begin{eqnarray*}&\Leftrightarrow & x^2+y^2+z^2-4x+10y-2z+14=0 \\ &\Leftrightarrow & x^2+y^2+z^2-2\cdot2 \cdot x+ 2\cdot 5 \cdot y - 2\cdot 1 \cdot z +14=0 \\ &\Leftrightarrow & (x-2)^2+(y+5)^2+(z-1)^2=16.\end{eqnarray*}

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm \(I(2;-5;1)\) bán kính \(R=\sqrt{16}=4\).

b) Ta có

\begin{eqnarray*}& & x^2+y^2+z^2+2x+4y-6z+20=0 \\&\Leftrightarrow & x^2+y^2+z^2+2\cdot 1 \cdot x + 2 \cdot 2 \cdot y -2\cdot 3 \cdot z +20 =0 \\&\Leftrightarrow & (x+1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=-6<0.\end{eqnarray*}

Vậy phương trình đã cho không là phương trình mặt cầu.

Mặt cầu có tâm \(I(0;-5;-1)\) và bán kính \(R=\sqrt{2}\).

a) Phương trình \(2x^2+y^2+z^2-2x-2y+2z+1=0\) không phải là phương trình của một mặt cầu vì các hệ số của \(x^2\) và \(y^2\) khác nhau.

b) Phương trình \(x^2+y^2-2x+6y-8z-3=0\) không phải là phương trình của mặt cầu vì không có biểu thức \(z^2\).

Phương trình đã cho tương ứng với \(a=-1\), \(b=1\), \(c=-4\), \(d= -18\).

Khi đó \(R^2 = a^2+b^2+c^2-d=1+1+16+18=36\).

Vậy phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\left(-1 ;1 ; -4\right)\) và bán kính \(R=6\).

Phương trình mặt cầu \(\left(x-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+(y+1)^2+z^2=9\) có tâm \(I \left(\displaystyle\frac{1}{2}; -1; 0\right)\) và bán kính \(R = 3\).

Ta có \(a=2\), \(b=1\), \(c=5\), \(d=2\), suy ra \(a^2+b^2+c^2-d=28>0\) nên phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm \(I(2;1;5)\) và bán kính \(R=\sqrt{28}\).

a) Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu vì

\(\left(-\displaystyle\frac{5}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{7}{2}\right)^2+\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+1>0.\)

b) Phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu vì

\((-2)^2+(-3)^2+1^2-100=-90<0.\)

c) Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu vì

\(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2-\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{1}{4}>0.\)

a) Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-6;-1;4)\) và bán kính \(R=2\) nên có phương trình \((x+6)^2+(y+1)^2+(z-4)^2=4.\)

b) Ta có \(IM=\sqrt{3}, suy ra điểm \(M\) nằm trong mặt cầu \((S)\) và người đó có thể sử dụng dịch vụ của trạm nói trên.

c) Ta có \(IN=\sqrt{35}>R\), suy ra điểm \(N\) nằm ngoài mặt cầu \((S)\) và người đó không thể sử dụng dịch vụ của trạm nói trên.

Bán kính \(R\) của mặt cầu là khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu, ta có

\(R=\sqrt{\left(-\displaystyle\frac{1}{16}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{16}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2-\displaystyle\frac{1}{16}}=\displaystyle\frac{5\sqrt{2}}{16}.\)

Tâm của mặt cầu là \(I(100;300;2000)\) và \(R=\sqrt{100^2+300^2+2000^2-4099900}=10\).

a) Mặt cầu có tâm \(I(1;-2;7)\) và bán kính \(R=10\).

b) Ta có

\(IA=\sqrt{(1-1)^2+(1+2)^2+(1-7)^2}=\sqrt{45} nên điểm \(A\) nằm bên trong mặt cầu.

\(IB=\sqrt{(9-1)^2+(4+2)^2+(7-7)^2}=\sqrt{100}=R\) nên điểm \(B\) nằm trên mặt cầu.

\(IC=\sqrt{(9-1)^2+(9+2)^2+(10-7)^2}=\sqrt{194}>R\) nên điểm \(C\) nằm ngoài mặt cầu.

a) Phương trình \(x^2+y^2+z^2+4z-32=0\) có dạng \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\) với \(a=0\), \(b=0\), \(c=-2\), \(d=-32\).

Ta có \(a^2+b^2+c^2-d=0+0+4+32=36>0\).

Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm \(I(0;0;-2)\), bán kính \(R=6\).

b) Phương trình \(x^2+y^2+z^2+2x+2y-2z+4=0\) có dạng \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\) với \(a=-1\), \(b=-1\), \(c=1\), \(d=4\).

Ta có \(a^2+b^2+c^2-d=1+1+1-4=-1<0\).

Suy ra phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

a) Phương trình \(x^2+y^2+z^2+8x-6y+2z-10=0\) có dạng \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\) với \(a=-4\), \(b=3\), \(c=-1\), \(d=-10\).

Ta có \(a^2+b^2+c^2-d=16+9+1+10=36>0\).

Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm \(I(-4;3;-1)\), bán kính \(R=6\).

b) Phương trình \(x^2+y^2+z^2+x+y-6z+33=0\) có dạng \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\) với \(a=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(b=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(c=3\), \(d=33\).

Ta có \(a^2+b^2+c^2-d=\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{4}+9-33=-\displaystyle\frac{47}{2}<0\).

Suy ra phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

a) Phương trình đã cho tương ứng với \(a=1\), \(b=0\), \(c=\displaystyle\frac{5}{2}\), \(d=30\). Trong trường hợp này, \(a^2+b^2+c^2-d=1+\displaystyle\frac{25}{4}-30 = -\displaystyle\frac{91}{9}<0\). Do đó phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.

b) Phương trình đã cho tương ứng với \(a=2\), \(b=-1\), \(c=1\), \(d=0\). Trong trường hợp này, \(a^2+b^2+c^2-d=4+1+1+0=6>0\). Do đó phương trình đã cho là phương trình của mặt cầu có tâm \(I\left(2 ;-1 ; 1\right)\) và bán kính \(R=\sqrt{6}\).

c) Phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu vì xuất hiện \(x^3\) trong phương trình.

d) Phương trình đã cho tương ứng với \(a=0\), \(b=0\), \(c=0\), \(d=5\). Trong trường hợp này, \(a^2+b^2+c^2-d= 0 + 0 + 0 - 5 =-5 < 0\). Do đó phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.

Phương trình đã cho tương ứng với \(a=-2\), \(b=\displaystyle\frac{5}{2}\), \(c=-3\), \(d=\displaystyle\frac{25}{4}\).

Khi đó \(R^2 = a^2+b^2+c^2-d=4+\displaystyle\frac{25}{4}+9-\displaystyle\frac{25}{4}=13>0\).

Vậy phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\left(-2 ;\displaystyle\frac{5}{2} ; -3\right)\) và bán kính \(R=\sqrt{13}\).

Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng

\((S) \colon \left(x^2-2 x+1\right)+\left(y^2+4 y+4\right)+\left(z^2-6 z+9\right)=16 \Leftrightarrow (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=4^2.\)

Vậy \((S)\) là mặt cầu có tâm \(I(1 ;-2 ; 3)\) và bán kính \(R=4\).

Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng

\((S) \colon \left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2+ 6y+ 9\right)+z^2=16 \Leftrightarrow (x-2)^2+(y+3)^2+z^2=5^2.\)

Vậy \((S)\) là mặt cầu có tâm \(I(2 ;-3 ; 0)\) và bán kính \(R=5\).

a) Ta viết lại phương trình của mặt cầu \((S)\) dưới dạng:

\(\left[x - (-2)\right]^2+(y-0)^2+\left[x -\left(-\frac{1}{2}\right)\right]^2=\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2.\)

Vậy mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\left(-2 ;0 ; -\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) và bán kính \(R=\displaystyle\frac{3}{2}\).

b) Ta có \(MI^2=(2+2)^2+(0+0)^2+\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2=\displaystyle\frac{73}{4}>\displaystyle\frac{3}{2}=R^2\).

Do đó, điểm \(M(2 ; 0 ; 1)\) nằm ngoài mặt cầu \((S)\).

a) Ta có

\begin{eqnarray*}&&x^2+y^2+z^2+4x-2y+1 = 0 \\&\Leftrightarrow& (x^2 +2\cdot 2\cdot x) + (y^2 - 2y) + z^2 +1 = 0\\ &\Leftrightarrow& (x + 2)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 4 + 1 - 1 \\&\Leftrightarrow& (x + 2)^2+(y-1)^2+z^2 = 4.\end{eqnarray*}

Vậy đây là phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(I(-2;1;0)\), bán kính \(r=\sqrt{4}=2\).

b) Ta có

\begin{eqnarray*}&&3x^2+3y^2+3z^2+6x+12y-9z+1=0\\ &\Leftrightarrow& x^2+y^2+z^2+2x+4y-3z+\displaystyle\frac{1}{3}=0\\&\Leftrightarrow& (x^2 + 2x) + (y^2 +2\cdot2\cdot y) + \left(z^2-2\cdot\displaystyle\frac{3}{2}\cdot z\right) = \displaystyle\frac{-1}{3}\\ &\Leftrightarrow& (x + 1)^2 + (y + 2)^2 + \left(z-\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2 = 1+4+\displaystyle\frac{9}{4}-\displaystyle\frac{1}{3}\\ &\Leftrightarrow& (x + 1)^2 + (y + 2)^2 + \left(z-\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2 = \displaystyle\frac{83}{12}.\end{eqnarray*}

Vậy đây là phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(I\left(-1;-2;\displaystyle\frac{3}{2}\right)\), bán kính \(r=\sqrt{\displaystyle\frac{83}{12}}=\displaystyle\frac{\sqrt{249}}{6}\).

a) Xét phương trình \(x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z+5=0\).

Ta thấy phương trình được cho ở dạng \(x^2+y^2+z^2+2Ax+2By+2Cz+D=0\).

Ta có \(A=-2\); \(B=1\); \(C=-3\); \(D=5\). Suy ra \(A^2+B^2+C^2-D=9>0\).

Vậy đây là phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(I(2;-1;3)\), bán kính \(r=\sqrt{A^2+B^2+C^2-D}=3\).

b) Xét phương trình \(x^2+y^2+z^2-4y+6z+20=0\).

Ta thấy phương trình được cho ở dạng \(x^2+y^2+z^2+2Ax+2By+2Cz+D=0\).

Ta có \(A=0\); \(B=-2\); \(C=3\); \(D=20\). Suy ra \(A^2+B^2+C^2-D=-7<0\).

Vậy đây không phải phương trình mặt cầu.

a) Ta có \((x+3)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=9\Leftrightarrow \left(x-(-3)\right)^2+(y-2)^2+\left(z-(-3)\right)^2=3^2\).

Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I(-3;2;-3)\) và bán kính \(r=3\).

b) Ta có \(x^2+(y+2)^2+z^2=1\Leftrightarrow \left(x-0\right)^2+\left(y-(-2)\right)^2+\left(z-0\right)^2=1^2\).

Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I(0;-2;0)\) và bán kính \(r=1\).

a) Ta có \((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=16\Leftrightarrow (x-1)^2+\left(y-(-2)\right)^2+(z-3)^2=4^2\).

Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I(1;-2;3)\) và bán kính \(r=4\).

b) Ta có \((x+2)^2+y^2+(z+3)^2=4\Leftrightarrow \left(x-(-2)\right)^2+\left(y-0)\right)^2+\left(z-(-3)\right)^2=2^2\).

Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I(-2;0;-3)\) và bán kính \(r=2\).

Ta so sánh \(IA\), \(IB\), \(IC\) với bán kính \(r\) của \((S)\).

\(IA=\sqrt{(0-1)^2+(1-2)^2+(1-3)^2}=\sqrt{6}\Rightarrow IA=r\). Nên \(A\) nằm trên mặt cầu \((S)\).

\(IB=\sqrt{(-1-1)^2+(0-2)^2+(1-3)^2}=2\sqrt{3}\Rightarrow IB>r\). Nên \(B\) nằm ngoài mặt cầu \((S)\).

\(IC=\sqrt{(0-1)^2+(2-2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{2}\Rightarrow IC. Nên \(C\) nằm trong mặt cầu \((S)\).

Ta có \(\vec{IA}= (12;0;-3)\), \(\vec{IB}=(2;0;-1)\) và \(\vec{IC}=(2;2;-1)\) suy ra \(IA=\sqrt{153}\), \(IB=\sqrt{5}\), \(IC=3\).

Do \(IA>3\) nên điểm \(A(10;1;2)\) nằm ở ngoài mặt cầu; \(IB<3\) nên điểm \(B(0;1;4)\) nằm ở trong mặt cầu; \(IC=3\) nên điểm \(C(0;3;4)\) nằm ở trên mặt cầu.

Ta có \(\vec{IA}=(-1;2;2)\) suy ra \(R=IA=\sqrt{(-1)^2+2^2+2^2}=3\).

a) Phương trình mặt tâm \(I(1;2;3)\) và bán kính \(R=10\) là \((x-1)^2+(y-2)^2+(x-3)^2=100\).

b) Bán kính mặt cầu là \(R=IB=\sqrt{(0-3)^2+(2+1)^2+(1+5)^2} =\sqrt{54}\).

Phương trình mặt cầu tâm \(I(3;-1;-5)\) bán kính \(R=\sqrt{54}\) là \((x-3)^2+(y+1)^2+(z+5)^2=54\).

a) Mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) có phương trình là

\((x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2=R^2 \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=R^2.\)

b) Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\), ta có \(I(2;3;4)\) và \(R=IA\).

\(IA=\sqrt{(1-2)^2+(2-3)^2+(1-4)^2}=\sqrt{11}\).

Phương trình mặt cầu \((x-2)^2+(x-3)^2+(z-4)^2=11\).

a) Mặt cầu \((S)\) có phương trình \((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=25\).

b) Mặt cầu \((S)\) có đường kính \(AB\) nên có tâm \(J(2 ; 4 ; 4)\) là trung điểm của \(AB\) và bán kính \(R=JA=\sqrt{11}\).

Vậy \((S)\) có phương trình \((x-2)^2+(y-4)^2+(z-4)^2=11\).

c) Mặt cầu \((S)\) có tâm \(A(1 ; 0 ;-2)\) và đi qua điểm \(B(2 ; 4 ; 1)\) nên có bán kính \(R=A B=\sqrt{26}\). Vậy \((S)\) có phương trình \((x-1)^2+y^2+(z+2)^2=26\).

Vì \( I\in d \) nên \( I(3-t;t;4+2t) \). Mặt cầu \( (S) \) đi qua điểm \( O \) nên

\(IO=5\Leftrightarrow \sqrt{(3-t)^2+t^2+(4+2t)^2}=5\) \(\Leftrightarrow 6t^2+10t=0\Leftrightarrow t=0\) hoặc \(t=-\displaystyle\frac{5}{3}.\)

Với \( t=0 \) ta được \( I(3;0;4) \) và \( t=-\displaystyle\frac{5}{3} \) ta được

\(I\left(\displaystyle\frac{14}{3};-\displaystyle\frac{5}{3};\displaystyle\frac{2}{3} \right)\).

a) Phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(O(0;0;0)\), bán kính \(r\) là \(x^2+y^2+z^2=r^2\).

b) Phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(I(1;2;-3)\), bán kính \(r=5\) là

\((x-1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=5^2\) hay \((x-1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=25.\)

a) Bán kính mặt cầu là \(r=IM=\sqrt{(4-2)^2+(1+1)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{12}\).

Phương trình mặt cầu tâm \(I(2;-1;0)\), bán kính \(r=\sqrt{12}\) là

\((x-2)^2+(y+1)^2+z^2=12.\)

b) Tâm của mặt cầu \((S)\) là trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\), suy ra \(I(2;-2;1)\).

Bán kính mặt cầu \((S)\) là

\(R=\displaystyle\frac{AB}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{4^2+(-6)^2+(-4)^2}}{2}=\sqrt{17}\).

Vậy phương trình mặt cầu \((S)\) là

\((x-2)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=17.\)

a) Phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-4;0;5)\) và bán kính \(r=\sqrt{6}\) là:

\((x+4)^2 +y^2+(z-5)^2=6.\)

b) Mặt cầu \((S)\) có tâm \(C(2;1;5)\) đi qua điểm \(A(5;-2;-1)\) nên có bán kính

\(r=AC=\sqrt{(5-2)^2+(-2-1)^2+(-1-5)^2}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}.\)

Vậy phương trình mặt cầu \((S)\) là: \((x-5)^2 +(y+2)^2+(z+1)^2=54.\)

c) Tâm \(I\) của mặt cầu \((S)\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\), suy ra toạ độ tâm \(I(-1;2;2)\).

Bán kính mặt cầu \((S)\) là

\(R=\displaystyle\frac{AB}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{(2+4)^2+(1-3)^2+(-3-7)^2}}{2}=\sqrt{35}\).

Vậy phương trình mặt cầu \((S)\) là: \((x+1)^2 +(y-2)^2+(z-2)^2=35.\)

a) Phương trình \((S)\) có tâm \(I(3;-7;1)\) và bán kính \(R=2\) là \((x-3)^2+(y+7)^2+(z-1)^2=4\).

b) \(IM=\sqrt{(3+1)^2+(1-4)^2+(2+5)^2}=\sqrt{74}\).

Phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-1;4;-5)\), bán kính \(R=IM=\sqrt{74}\) là

\((x+1)^2+(y-4)^2+(z+5)^2=74.\)

c) Gọi \(I\) là trung điểm \(CD\), suy ra \(I\left(-1;-1;\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) và ta có \(I\) là tâm của mặt cầu \((S)\).

\(CD=\sqrt{(-3-1)^2+(1+3)^2+(2+1)^2}=\sqrt{41}\), suy ra bán kính \(R=\displaystyle\frac{\sqrt{41}}{2}\).

Vậy mặt cầu \((S)\) có phương trình

\((x+1)^2+(y+1)^2+\left(z-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2=\displaystyle\frac{41}{4}\).

a) Mặt cầu có tâm là gốc toạ độ, bán kính \(R=1\) có phương trình là \(x^2 + y^2 + x^2 =1\).

b) Đoạn thẳng \(A B\) có trung điểm là \(J\left(\displaystyle\frac{3}{2} ; -2 ; \displaystyle\frac{1}{2}\right)\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(J\) và bán kính

\(R=\displaystyle\frac{1}{2} A B=\displaystyle\frac{1}{2} \sqrt{(2-1)^2+(-3+1)^2+(-1-2)^2}=\displaystyle\frac{\sqrt{14}}{2}.\)

Do đó

\((S):(x-\displaystyle\frac{3}{2})^2+(y+2)^2+\left(z+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2=\displaystyle\frac{14}{4}\).

Ta có \(P\left(\cos 10^{\circ} \cos 15^{\circ} ; \cos 10^{\circ} \sin 15^{\circ} ; \sin 10^{\circ}\right), Q\left(\cos 80^{\circ} \cos 70^{\circ} ; \cos 80^{\circ} \sin 70^{\circ} ; \sin 80^{\circ}\right).\)

Suy ra \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left(\cos 10^{\circ} \cos 15^{\circ} ; \cos 10^{\circ} \sin 15^{\circ} ; \sin 10^{\circ}\right), \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\left(\cos 80^{\circ} \cos 70^{\circ} ; \cos 80^{\circ} \sin 70^{\circ} ; \sin 80^{\circ}\right).\)

Do đó

\(\begin{aligned}&\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}\\ =\ &\cos 10^{\circ} \cos 15^{\circ} \cos 80^{\circ} \cos 70^{\circ}+\cos 10^{\circ} \sin 15^{\circ} \cos 80^{\circ} \sin 70^{\circ}+\sin 10^{\circ} \sin 80^{\circ}\\ \approx\ &0{,}2691.\end{aligned}\)

Vì \(P\), \(Q\) thuộc mặt đất nên \(\left|\overrightarrow{OP}\right|=\left|\overrightarrow{OQ}\right|=1\).

Do đó \(\cos \widehat{POQ}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}| \cdot|\overrightarrow{OQ}|} \approx 0{,}2691\). Suy ra \(\widehat{P O Q} \approx 74{,}3893^{\circ}\).

Mặt khác, đường tròn tâm \(\mathrm{O}\), đi qua \(P\), \(Q\) có bán kính 1 và chu vi là \(2 \pi \approx 6{,}2832\), nên cung nhỏ \(\widehat{PQ}\) của đường tròn đó có độ dài xấp xỉ bằng \(\displaystyle\frac{74{,}3893}{360} \cdot 6{,}2832 \approx 1{,}2983\).

Do 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí \(P\), \(Q\) xấp xỉ bằng \(1{,}2983 \cdot 6371=8271{,}4693(\mathrm{~km})\).

Phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-2 ; 0 ; 5)\) và bán kính \(R=2\) là

\((x + 2)^2 + y^2 + (z -5)^2 = 4.\)

a) Phương trình mặt cầu \((S)\) là \((x-7)^2+(y+3)^2+z^2=64\).

b) Ta có \(R=MN=\sqrt{(1-3)^2+(0-1)^2+(1+5)^2}=\sqrt{30}\).

Phương trình mặt cầu cần tìm là \((x-3)^2+(y-1)^2+(z+4)^2=30\).

c) Ta có \(R=\displaystyle\frac{AB}{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{(2-4)^2+(4-6)^2+(4-8)^2}}{2}=\sqrt{6}\).

Với \(I(3;5;6)\) là trung điểm của \(AB\) và là tâm của mặt cầu \((S)\).

Phương trình mặt cầu \((S)\) là \((x-3)^2+(y-5)^2+(z-6)^2=6\).

Ta có \(\overrightarrow{MA}=(x-1;y;z)\), \(\overrightarrow{MB}=(x-5;y;z)\).

Suy ra \(\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0\Leftrightarrow (x-1)(x-5)+y^2+z^2=0\) \(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-6x+5=0.\)

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu vì

\(a^2+b^2+c^2-d=9-5=4>0\) và có tâm \(I(3;0;0)\), bán kính \(R=2\).

a) Ta có \(\overrightarrow{O'A}=\left(2; 0; -4\right)\), \(\overrightarrow{O'C}=\left(0; 6; -4\right)\).

Mặt phẳng \((O' A C )\) đi qua \(A\left(2; 0; 0\right)\) và nhận \(\left[\overrightarrow{O' A},\overrightarrow{O' C} \right]=\left(-24; 8; 12\right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình \(\left(O' A C\right)\) là

\(-24\left(x-2\right)+8\left(y-0\right)+12\left(z-0\right)=0\Leftrightarrow -6x+2y+3z+12=0.\)

b) Đường thẳng \(C O'\) đi qua điểm \(C\left(0; 6; 0\right)\) và nhận \(\overrightarrow{CO'}=\left(0; -6; 4\right)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng \(CO'\) là \(\begin{cases}x=0\\y=6-6t\\z=4t\end{cases}\).

c) Vì hình hộp chữ nhật \(O A B C.O'A'B'C'\), với \(O\) là gốc toạ độ, \(A(2 ; 0 ; 0), C(0 ; 6 ; 0)\), \(O'(0 ; 0 ; 4)\) nên \(B'\left(2; 6; 4\right)\).

Ta có \(OB'=3\sqrt{6}\) là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật nên

\(R=\displaystyle\frac{OB'}{2}=\displaystyle\frac{3\sqrt{6}}{2}\).

Gọi \(I\) là tâm mặt cầu ta có \(I\left(1; 3; 2\right)\).

Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp chữ nhật có phương trình là

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-2\right)^2=\displaystyle\frac{27}{2}.\)

Ta có

\begin{eqnarray*}&& M A^2=M B^2+M C^2\\ &\Leftrightarrow &\left(1-x \right)^2+y^2+z^2=x^2+\left(2-y \right)^2+z^2+x^2+y^2+\left(3-z \right)^2\\ &\Leftrightarrow & 1-2x+x^2+y^2+z^2=x^2+4-4y+y^2+z^2+x^2+y^2+9-6z+z^2\\ &\Leftrightarrow & x^2+y^2+z^2+2x-4y-6z+12=0~ \text{thoả điều kiện}~ a^2+b^2+c^2-d=1+4+9-12=2>0.\end{eqnarray*}

Vậy \(M\) thuộc một mặt cầu \((S)\) có tâm \(I\left( -1;2;3\right) \) và bán kinh \(R=\sqrt{2}\).

Xét quả bóng tiếp xúc với các bức tường và chọn hệ trục \( Oxyz \) như hình vẽ bên.

Gọi \( I(a;a;a) \) là tâm của mặt cầu và \( r=a>0 \).

Phương trình mặt cầu của quả bóng là \(\) (S)\colon (x-a)^2+(y-a)^2+(z-a)^2=a^2 .\(\)

Giả sử \( M(x;y;z) \) nằm trên mặt cầu (bề mặt của quả bóng) sao cho \( \mathrm{d}\left(M,(Oxy) \right)=21 \), \( \mathrm{d}\left(M,(Oxz) \right)=18 \), \( \mathrm{d}\left(M,(Oyz) \right)=17 \). Khi đó \( z=21, y=18, x=17 \). Khi đó ta có phương trình

\begin{eqnarray*}&&(17-a)^2+(18-a)^2+(21-a)^2=a^2\\ &\Leftrightarrow & 2a^2-112a+1054=0\\ &\Leftrightarrow & a\approx 11{,}97\ (\text{nhận}) \vee\ a\approx 44{,}03\ (\text{loại}).\end{eqnarray*}

Vậy đường kính của quả bóng rổ là \( 2a\approx 23{,}94 \) cm.

Bán kính của mặt cầu tâm \(I\) là \(R=IA=\displaystyle\frac{110}{2}=55\) m.

Ta có \(OA=OI+IA\Rightarrow OI=OA-IA=85-55=30\) m.

Vì \(I\in Oz\) nên toạ độ điểm \(I(0;0;30)\).

Phương trình mặt cầu tâm \(I(0;0;30)\) có bán kính \(R=55\) m là

\(x^2+y^2+(z-30)^2=55^2 \text{ hay } x^2+y^2+(z-30)^2=3025.\)

a) Mặt cầu \((S)\) có phương trình \((x-32)^2+(y-50)^2+(z-10)^2=109\) nên có tâm \(I(32;50;10)\) và bán kính \(R=\sqrt{109}\).

b) Trong không gian \(Oxyz\), mặt sân có phương trình \(z=0\) trùng với mặt phẳng tọa độ \((Oxy)\), suy ra hình chiếu vuông góc của điểm \(I(32;50;10)\) xuống mặt sân có tọa độ \(J(32;50;0)\).

c) Trong tam giác vuông \(IJM\), ta có \(IJ=10\), \(IM=R\), suy ra

\(JM=\sqrt{IM^2-IJ^2}=\sqrt{109-100}=3.\)

Vậy khoảng cách từ vị trí \(M\) của quả bóng đến điểm \(J\) là \(3\) m.

Phương trình mặt cầu cần tìm là \((x-360)^2+(y-200)^2+(z-400)^2=4\).

a) Ta có tâm \(I(6;6;6)\), bán kính \(R=5\).

b) Khoảng cách từ tâm bồn chứa đến mặt phẳng chứa nắp là

\(\mathrm{d}(I,(P))=\displaystyle\frac{|6-10|}{1}=4.\)

a) Đường thẳng \(d\) đi qua \(A(-688;-185;8)\), có véc-tơ chỉ phương là \(\vec{u}=(91;75;0)\) nên có phương trình tham số là \(\begin{cases} x=-688 +91t \\ y=-185+75t\\ z=8\end{cases}, t\in \mathbb{R}\).

Mặt cầu \((S)\) tâm \(O(0;0;0)\) bán kính \(R=417\) có phương trình \(x^2+y^2+z^2=173\,889\).

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt cầu \((S)\) là nghiệm của hệ

\begin{eqnarray*}&&\begin{cases}x=-688 +91t \\ y=-185+75t\\ z=8 \\ x^2+y^2+z^2=173\,889\end{cases}\\ &\Leftrightarrow & \begin{cases}x=-688 +91t \\ y=-185+75t\\ z=8 \\ (-688+91t)^2+(-185+75t)^2+8^2=173\,889\end{cases} \\ & \Leftrightarrow & \begin{cases}x=-688 +91t \\ y=-185+75t\\ z=8 \\ t=8\ \vee\ t=3.\end{cases}\end{eqnarray*}

Với \(t=8 \Rightarrow \) tọa độ giao điểm thứ nhất là \(M_1 (40;415;8)\) .

Với \(t=3 \Rightarrow \) tọa độ giao điểm thứ hai là \(M_2 (-506; 40;8)\) .

Ta có \(AM_1 = \sqrt{889984}\) và \(AM_2 = \sqrt{76869}\), suy ra \(AM_2 < AM_1\). Vậy tọa độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là \(M_2=(-506;40;8)\). Điểm \(M_2\) chính là điểm \(B\) trên hình vẽ.

b) Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua \(O\) và vuông góc với đường thẳng \(d\).

Ta có \((P) \perp d\) nên nhận véc-tơ chỉ phương của \(d\) là một véc-tơ pháp tuyến.

Vậy \((P)\) đi qua \(O(0;0;0)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\vec{n}_{P}=\vec{u}_d=(91;75;0)\) nên có phương trình \(91\cdot (x-0)+75\cdot (y-0)+0\cdot (z-0)=0 \Leftrightarrow 91x+75y=0\).

Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên đường thẳng \(d\), ta có \(K\) là giao của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\). Khi đó tọa độ của \(K\) là nghiệm của hệ phương trình

\begin{eqnarray*}&&\begin{cases}x=-688 +91t \\ y=-185+75t\\ z=8 \\ 91x+75y=0\end{cases}\\ &\Leftrightarrow& \begin{cases}x=-688 +91t \\ y=-185+75t\\ z=8 \\ 91 \cdot(-688 +91t)+75 \cdot (-185+75t)=0\end{cases}\\ &\Leftrightarrow& \begin{cases} t=\displaystyle\frac{11}{2} \\ x=-\displaystyle\frac{375}{2}\\y=\displaystyle\frac{455}{2}\\z=8.\end{cases}\end{eqnarray*}

Vậy \(K\left(-\displaystyle\frac{375}{2};\displaystyle\frac{455}{2};8\right)\). Tọa độ của vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất chính là \(K\left(-\displaystyle\frac{375}{2};\displaystyle\frac{455}{2};8\right)\).

Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc này là \(KO=\sqrt{\displaystyle\frac{173953}{2}} \approx 295\) km.

c) Tọa độ của vị trí mà máy bay ra khỏi màn hình ra đa là \(M_1 (40;415;8)\) và chính là điểm \(C\) trên hình vẽ.

Gọi \(M(x;y;z)\) ta có \(MA=6\), \(MB=7\), \(MC=12\), \(MD=24\) suy ra

\begin{align*}&\begin{cases} (3-x)^2+(-1-y^2)+(6-z)^2=36 \\ (1-x)^2+(4-y)^2+(8-z)^2=49 \\ (7-x)^2+(9-y)^2+(6-z)^2=144 \\ (7-x)^2+(-15-y)^2+(18-z)^2=576\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ & \begin{cases} x^2+y^2+z^2-6x+2y-12z+10=0 \\ x^2+y^2+z^2-2x-8y-16z+32=0 \\ x^2+y^2+z^2-14x-18y-12z+22=0 \\ x^2+y^2+z^2-14x+30y-36z+22=0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} x^2+y^2+z^2-6x+2y-12z+10=0 \\4x-10y-4z+22=0 \\ -8x-20y+12=0 \\ -8x+28y-24z+12=0\end{cases} \\ \Leftrightarrow\ & \begin{cases}x=-1 \\ y=1 \\ z=2.\end{cases}\end{align*}

Vậy \(M(-1;1;2)\).

a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là \(\)(x-21)^2+(y-35)^2+(z-50)^2=4\,000^2.\(\)

b) Ta có \(IC=\sqrt{(42-21)^2+(37-35)^2+(0-50)^2}=\sqrt{2\,945}< 4\,000\).

Vì \(IC nên điểm \(C\) nằm trong mặt cầu. Vậy người đi biển ở điểm \(C(42;37;0)\) có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.

c) Ta có \(ID=\sqrt{(5\,121-21)^2+(658-35)^2+(0-50)^2}=\sqrt{26\,400\,629}>4\,000\).

Vì \(ID>R\) nên điểm \(D\) nằm ngoài mặt cầu. Vậy người đi biển ở điểm \(D(5\,121; 658; 0)\) không thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.

a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là

\((x+3)^2+(y-2)^2+(z-7)^2=9.\)

b) Ta có \(\vec{IA}=(1;-1;1)\) nên \(IA=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{3}<3\).

Vì \(IA nên điểm \(A\) nằm trong mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở điểm \(A(-2;1;8)\) có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.

c) Ta có \(\vec{IB} = (5;1;-3)\) nên \(IB=\sqrt{5^2+1^2+(-3)^2}=\sqrt{35}>3\).

Vì \(IB>R\) nên điểm \(B\) nằm ngoài mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở điểm \(B(2;3;4)\) không thể sử dụng dịch vụ của trạm này.