a) \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=(-4;-1;4)\).

b) \(\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{(-4)^{2}+(-1)^{2}+4^{2}}=\sqrt{33}\).

c) \(\cos \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right) =\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \left|\overrightarrow{b}\right|}=\displaystyle\frac{(-2)\cdot1+1\cdot 1 +2\cdot(-1)}{\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}+2^{2}}\cdot\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}}=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\).

a) Ta có

\(\begin{cases}\overrightarrow{a}=(1;0;1)\\ \overrightarrow{b}=(1;1;0)\end{cases}\Rightarrow \cos(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|}=\displaystyle\frac{1}{2}\).

b) Ta có

\(\overrightarrow{d}=2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}=(5;3;2)\).

Ta có \(\overrightarrow{d}\perp \overrightarrow{c}\Leftrightarrow \overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{c}=0\Leftrightarrow -20+9+2m=0\Leftrightarrow m=\displaystyle\frac{11}{2}\).

a) \(\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}=(2;8;-8)\), suy ra \(\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})=-44\).

b) \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(-2;-3;1)\), suy ra \(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{14}\).

a) Ta có \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-4+3+4=3\).

b) Ta có

\((\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\displaystyle\frac{3}{3\sqrt{17}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{17}}\).

a) Vì \(\overrightarrow{u}=-2 \overrightarrow{i}+3 \overrightarrow{j}+\displaystyle\frac{3}{4} \overrightarrow{k}\) nên \(\overrightarrow{u}=\left(-2; 3; \displaystyle\frac{3}{4}\right)\).

b) Vì \(\overrightarrow{v}=\left(3;-\displaystyle\frac{5}{4}; 2\right)\) nên \(\overrightarrow{v}=3 \overrightarrow{i}-\displaystyle\frac{5}{4} \overrightarrow{j}+2 \overrightarrow{k}\).

c) Biểu diễn \(\overrightarrow{a}\) qua các véc-tơ đơn vị:

\(\begin{aligned}\overrightarrow{a}=\ &2 \overrightarrow{u}+\displaystyle\frac{1}{3} \overrightarrow{v}=2\left(-2 \overrightarrow{i}+3 \overrightarrow{j}+\displaystyle\frac{3}{4} \overrightarrow{k}\right)+\displaystyle\frac{1}{3}\left(3 \overrightarrow{i}-\displaystyle\frac{5}{4} \overrightarrow{j}+2 \overrightarrow{k}\right)\\ =\ &-3 \overrightarrow{i}+\displaystyle\frac{67}{12} \overrightarrow{j}+\displaystyle\frac{13}{6} \overrightarrow{k}.\end{aligned}\)

Vậy \(\overrightarrow{a}=\left(-3; \displaystyle\frac{67}{12}; \displaystyle\frac{13}{6}\right)\).

a) Ta có

\(\overrightarrow{a}=(x_1;y_1;z_1)\Leftrightarrow \overrightarrow{a}=x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k}\) và \(\overrightarrow{b}=(x_2;y_2;z_2)\Leftrightarrow \overrightarrow{b}=x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k}\).

b) Ta lại có

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2)\overrightarrow{i}+(y_1+y_2)\overrightarrow{j}+(z_1+z_2)\overrightarrow{k}\).

Suy ra, tọa độ của vectơ

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2;y_1+y_2;z_1+z_2)\).

Ta có

\(\begin{cases}\overrightarrow{a}=(2;-1;5)\\ \overrightarrow{b}=(0;3;-3)\\ \overrightarrow{c}=(1;4;-2)\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2\overrightarrow{a}=(4;-2;10)\\ -\displaystyle\frac{1}{5}\overrightarrow{b}=\left(0;-\displaystyle\frac{3}{5};\displaystyle\frac{3}{5}\right)\\ 3\overrightarrow{c}=(3;12;-6)\end{cases} \Rightarrow \overrightarrow{d}=\left(7;\displaystyle\frac{47}{5};\displaystyle\frac{23}{5}\right)\).

Ta có

\(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{u}-4 \overrightarrow{v}-2 \overrightarrow{w}\) \(=(2-4\cdot 0 - 2\cdot 1; -5 - 4\cdot 2 - 2 \cdot 7; 3 - 4\cdot (-1) - 2 \cdot 2)=(0;-27; 3).\)

Ta có

\(2\overrightarrow{b}=(-4;6;2)\) và \(\displaystyle\frac{3}{2}\overrightarrow{a}=\left(0;\displaystyle\frac{3}{2};\displaystyle\frac{9}{2}\right)\).

Suy ra

\(2\overrightarrow{b}-\displaystyle\frac{3}{2} \overrightarrow{a} = \left(-4;\displaystyle\frac{9}{2};-\displaystyle\frac{5}{2}\right)\).

a) \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=5\cdot 4 + 2\cdot (-2) + (-4)\cdot 2 = 8\).

b) \(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d}=2\cdot 6 + (-3)\cdot 5 + 4 \cdot (-3)=-15\).

a) Ta có \(2\overrightarrow{p} = (6; -4; 2)\), \(-3\overrightarrow{q} = (-18; 12; -6)\), \(\overrightarrow{r} = (2; 1; -3)\).

Suy ra \(\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{p} - 3\overrightarrow{q} + \overrightarrow{r} = (-10; 9; -7)\).

b) Ta có \(2\overrightarrow{p} = (6; -4; 2) = \overrightarrow{q}\), suy ra hai véc-tơ \(\overrightarrow{p}\), \(\overrightarrow{q}\) cùng phương.

Do \(\displaystyle\frac{3}{2} \ne \displaystyle\frac{-2}{1}\) nên \(\overrightarrow{p}\), \(\overrightarrow{r}\) không cùng phương.

Tương tự hai véc-tơ \(\overrightarrow{q}\), \(\overrightarrow{r}\) không cùng phương.

a) Ta có \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3\cdot 1 + 0\cdot (-1) + 1\cdot (-2) = 1\) và \(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 1\cdot 2 + (-1)\cdot 1 + (-2)\cdot (-1) = 3\).

b) Ta có \(\left| \overrightarrow{a} \right| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{10}\), \(\left| \overrightarrow{b} \right| \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}\).

\(\cos \left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right) = \displaystyle\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right| \cdot \left|\overrightarrow{b}\right|} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{6}} = \displaystyle\frac{\sqrt{15}}{60}\).

c) Ta có \(\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{a} = 1\cdot 3 + 7 \cdot 0 + (-3)\cdot 1 = 0 \Rightarrow \overrightarrow{d} \perp \overrightarrow{a}\).

a) Ta có \(2\overrightarrow{a}=(-2;4;6)\), \(3\overrightarrow{c}=(12;6;-9)\).

Suy ra \(\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}=(-11;-1;13)\).

b) Ta có \(2\overrightarrow{b}=(6;2;-4)\).

Khi đó \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}=(-3;2;4)\).

Ta có

\(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3\cdot (-2)+2\cdot 1+(-1)\cdot 2=-6\), \(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{14}\), \(|\overrightarrow{b}|=3\).

Suy ra

\(\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|}=\displaystyle\frac{6}{3\cdot \sqrt{14}}=\displaystyle\frac{\sqrt{14}}{7}\).

a) Ta có \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=1 \cdot(-4)+4 \cdot 1+2 \cdot 0=0\).

Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) vuông góc với nhau.

b) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là \(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1^2+4^2+2^2}=\sqrt{21}\).

a) Vì \(\overrightarrow{a}=(2;1;5)\) và \(\overrightarrow{b}=(2;2;1)\) nên \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(2-2;1-2;5-1)=(0;-1;4)\).

b) Ta có \(3\overrightarrow{a}=(3\cdot 2; 3\cdot 1; 3\cdot 5)=(6;3;15)\) và \(2\overrightarrow{b}=(2\cdot 2; 2\cdot 2; 2\cdot 1)=(4;4;2)\).

Do đó \(3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=(6+4;3+4;15+2)=(10;7;17)\).

Ta có

\(\left| \overrightarrow{a}\right| =\left| \overrightarrow{b}\right| =1\), \(\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) =45^\circ\).

a) \(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a}\right|\cdot \left| \overrightarrow{b}\right|\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).

b) \(\left( \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}\right) \cdot\left( \overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}\right)=\left| \overrightarrow{a}\right|^2+\cdot\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-6\left| \overrightarrow{b}\right|^2 =1+\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}-6=-5+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\).

c) \(\left( \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}\right)^2= \overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2=1+2\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}+1=2+\sqrt{2}\).

a) Ta có \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=(3+(-3)+6; 1+0+(-1); 2+4+0)= (6;0;6)\).

Ta có \(2 \overrightarrow{a}=(2\cdot 3;2\cdot 1;2\cdot 2)=(6;2;4)\), \(3 \overrightarrow{b}=(3\cdot (-3);3\cdot 0; 3\cdot 4)=(-9;0;12)\) và \(5 \overrightarrow{c}=(5\cdot 6;5\cdot (-1);5\cdot 0)=( 30;-5;0)\)

nên \(2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}-5 \overrightarrow{c}=(6-(-9)-30;2-0-(-5);4-12-0)=(-15;7;-8)\).

b) Ta có \(-\overrightarrow{b}=(3;0;-4)\).

Do đó \(\overrightarrow{a} \cdot\left(-\overrightarrow{b}\right)=3\cdot 3+1\cdot 0+2\cdot (-4)=1\) và \(\left(2 \overrightarrow{a}\right) \cdot \overrightarrow{c}=6\cdot 6+2\cdot (-1)+4\cdot 0=34\).

a) \(\overrightarrow{AB}=(-3;-3;3)\) suy ra \( AB=\sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}+3^{2}}=3\sqrt{3}\).

b) Gọi \( M(a;b;c)\).

\(\overrightarrow{AB}=(-3;-3;3)\), \(\overrightarrow{CM}=(a;b+2;c-3)\).

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\begin{cases}a-3=0\\b-1=0\\c=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=3\\b=1\\c=0\end{cases}\) suy ra \( M(3;1;0)\).

c) Ta có \( N\in (Oxy) \Rightarrow N(a;b;0)\).

\(\overrightarrow{AB}=(-3;-3;3)\), \(\overrightarrow{BN}=(a-1;b+1;-2)\).

Để \( A \), \( B \), \( N \) thẳng hàng thì \(\displaystyle\frac{a-1}{-3}=\displaystyle\frac{b+1}{-3}=\displaystyle\frac{2}{-3} \Leftrightarrow \begin{cases}a-1=2\\b+1=2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=3\\b=1.\end{cases}\)

Suy ra \( N(3;1;0)\).

a) Ta có \(\overrightarrow{MN}=\left(4-(-4);-4-3;2-3\right)=(8;-7;-1)\) và \(\overrightarrow{MP}=(3-(-4);6-3;-1-3)=(7;3;-4)\).

Ta có \(\displaystyle\frac{8}{7}\neq \displaystyle\frac{-7}{3}\neq \displaystyle\frac{-1}{-4}\). Do đó \(\overrightarrow{MN}\) không cùng phương với \(\overrightarrow{MP}\).

Vậy ba điểm \(M\), \(N\), \(P\) không thẳng hàng.

b) Ta có \(\overrightarrow{NM}=-\overrightarrow{MN}=(-8;7;1)\); \(\overrightarrow{NP}=(3-4;6-(-4);-1-2)=(-1;10;-3)\).

Khi đó \(\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}=((-8)+(-1);7+10;1+(-3))=(-9;17;-2)\).

Xét hình bình hành \(MNPQ\) có \(\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{NQ}\) (quy tắc hình bình hành).

Suy ra \(\begin{cases} x_Q=-9+4=-5 \\ y_Q=17+(-4)=13 \\ z_Q=-2+2=0.\end{cases}\)

Vậy \(Q(-5;13;0)\).

c) Ta có \(MN=\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{8^2+(-7)^2+(-1)^2}=\sqrt{114}\).

\(NP=\left|\overrightarrow{NP}\right|=\sqrt{(-1)^2+10^2+(-3)^2}=\sqrt{110}\).

Chu vi của hình bình hành \(MNPQ\) là

\(P_{MNPQ} =MN+NP+PQ+QM=2(MN+NP)\) \(=2\left(\sqrt{114}+\sqrt{110}\right)\approx 42,33\).

a) Vì \(A\) trùng gốc toạ độ nên \(A(0;0;0)\).

Vì \(B\) thuộc tia \(Ox\) và \(AB=3\) nên \(B(3;0;0)\).

Vì \(D\) thuộc tia \(Oy\) và \(AD=4\) nên \(D(0;4;0)\).

Vì \(S\) thuộc tia \(Oz\) và \(AS=2\) nên \(S(0;0;2)\).

Vì hình chiếu của \(C\) lên các trục \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) lần lượt là \(B\), \(D\), \(A\) nên \(C(3 ; 4 ; 0)\).

b) Ta có \(\overrightarrow{BD}=(0-3;4-0;0-0)=(-3;4;0)\), suy ra \(BD=|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{(-3)^2+4^2+0^2}=5\).

Ta có \(\overrightarrow{SC}=(3-0;4-0;0-2)=(3;4;-2)\), suy ra \(SC=|\overrightarrow{SC}|=\sqrt{3^2+4^2+(-2)^2}=\sqrt{29}\).

c) Ta có \(\cos (\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{SC})=\displaystyle\frac{\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{SC}}{|\overrightarrow{BD}| \cdot|\overrightarrow{SC}|}=\displaystyle\frac{(-3) \cdot 3+4 \cdot 4+0 \cdot(-2)}{5 \sqrt{29}}=\displaystyle\frac{7}{5\sqrt{29}}\).

Suy ra \((\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{SC}) \approx 74{,}9^\circ\).

Ta có

\(\overrightarrow{AB}=\left(-1;1;0\right),\overrightarrow{CD}=\left(2;-1;0\right)\).

\(\Rightarrow \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)=\displaystyle\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot\left|\overrightarrow{CD}\right|}=\displaystyle\frac{-3}{\sqrt{10}}\).

Vậy \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)\approx 161^\circ\).

a) Tìm toạ độ các đỉnh của hình hộp.

\(B\left(1;0;0\right), D\left(0;2;0\right), A'\left(0;0;3\right)\).

\(C\in\left(Oxy\right)\Rightarrow C\left(1;2;0\right);D'\in(Oyz)\Rightarrow D'\left(0;2;3\right);B'\in (Oxz)\Rightarrow B'\left(1;0;3\right)\).

\(\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AA'}\Rightarrow C'\left(1;2;3\right)\).

b) Tìm điểm \(E\) trên đường thẳng \(DD'\) sao cho \(B'E\perp A'C\).

Điểm \(E\) trên đường thẳng \(DD'\) nên \( E\left(0;2;z\right)\).

\(\overrightarrow{B'E}=\left(-1;2;z-3\right);\overrightarrow{A'C}=\left(1;2;-3\right)\).

\(B'E\perp A'C\Leftrightarrow \overrightarrow{B'E}\cdot \overrightarrow{A'C}\Leftrightarrow -1+4-3\cdot\left(z-3\right)=0\Leftrightarrow z=4\).

Vậy \(E\left(0;2;4\right)\).

}

a) Gọi \( G(x;y;z)\) là trọng tâm \(\triangle ABC \). Khi đó

\(\begin{cases}x=\displaystyle\frac{2+1+(-1)}{3}=\displaystyle\frac{2}{3}\\y=\displaystyle\frac{-1+1+0}{3}=0\\z=\displaystyle\frac{3-1+2}{3}=\displaystyle\frac{4}{3}\end{cases}\) suy ra \( G\left(\displaystyle\frac{2}{3};0;\displaystyle\frac{4}{3}\right)\).

b) Ta có \( M\in Oz \Rightarrow M(0;0;c)\).

\(\overrightarrow{BM}=(-1;-1;c+1)\), \(\overrightarrow{AC}=(-3;1;-1)\).

Vì \( BM\perp AC \Rightarrow \overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{AC}=0\) hay

\((-1)\cdot (-3) +(-1)\cdot 1 + (1+c) \cdot (-1)=0\Leftrightarrow c=1\).

Vậy \( M(0;0;1)\).

a) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Ta có tọa độ của điểm \(G\) là \(\left(\displaystyle\frac{1+0+4}{3};\displaystyle\frac{0+(-3)+(-1)}{3};\displaystyle\frac{1+1+4}{3}\right)\), suy ra \(G\left(\displaystyle\frac{5}{3};-\displaystyle\frac{4}{3};2\right)\).

b) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-1;-3;0)\) và \(\overrightarrow{AC}=(3;-1;3)\).

Khi đó \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-1)\cdot 3+(-3)\cdot (-1)+0\cdot 3=0\).

Do đó hai véc-tơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) vuông góc với nhau.

Vậy \(\widehat{BAC}=90^{\circ}\).

c) Ta có \(\overrightarrow{BA}=(1;3;0) \Rightarrow \left|\overrightarrow{BA}\right|=\sqrt{1^2+3^2+0^2}=\sqrt{10}\). \(\overrightarrow{BC}=(4;2;3)\Rightarrow \left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{4^2+2^2+3^2}=\sqrt{29}\).

Ta có \(\cos \left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=\displaystyle\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{BA}\right| \cdot \left|\overrightarrow{BC}\right|}=\displaystyle\frac{1\cdot 4+3\cdot 2+0\cdot 3}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{29}}=\displaystyle\frac{\sqrt{290}}{29}\).

Suy ra \(\widehat{ABC}=\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)\approx 54^{\circ}\).

Ta có \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow \begin{cases}x_D=x_A-x_B+x_C\\y_D=y_A-y_B+y_C\\z_D=z_A-z_B+z_C\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_D=4\\y_D=5\\z_D=-5\end{cases}\).

Suy ra \(D(4;5;-5)\).

Do đó \(\overrightarrow{DD'}=(2-4;0-5;2-(-5)) =(-2;-5;7)\).

Theo tính chất của hình hộp ta có

\(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{DD'}=(-2;-5;7)\).

Suy ra tọa độ đỉnh còn lại của hình hộp là \(A'=(2;1;2)\), \(B'(3;2;3)\), \(C'(3;1;3)\).

a) Ta có \(\overrightarrow{BA}=(1;0;-1)\), \(\overrightarrow{BC}=(2;1;0)\). Suy ra \(\overrightarrow{BA}=(1;0;-1)\ne k\overrightarrow{BC}=(2k;k;0)\) với mọi \(k\in \mathbb{R}\). Vậy ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng.

b) Ta thấy

\(BA=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\), \(BC=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}\), \(AC=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}\).\\

Vậy chu vi của tam giác \(ABC\) bằng \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\).

c) Ta có

\(\cos \widehat{ABC}=\cos \left(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}\right)=\displaystyle\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{BA}\right|\cdot \left|\overrightarrow{BC}\right|}=\displaystyle\frac{1\cdot 2+0\cdot 1+(-1)\cdot 0}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{10}}=\displaystyle\frac{\sqrt{10}}{5}.\)

a) Ta có

\(\overrightarrow{AB}=(6;-3;5)\), \(\overrightarrow{AC}=(2;-1;-3)\).

Suy ra \(\overrightarrow{AB}\ne k\overrightarrow{AC}\) với mọi \(k\in \mathbb{R}\).

Vậy ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng.

b) Ta có

\(AB=\sqrt{6^2+(-3)^2+5^2}=\sqrt{65}\), \(AC=\sqrt{14}\), \(BC=\sqrt{(0-4)^2+(2-0)^2+(-3-5)^2}=2\sqrt{21}\).

Suy ra chu vi của tam giác \(ABC\) bằng \(AB+AC+BC=\sqrt{65}+\sqrt{14}+2\sqrt{21}\approx 20{,}96\).

c) Ta có \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) suy ra

\(\begin{cases}x_G=\displaystyle\frac{-2+4+0}{3}=\displaystyle\frac{2}{3}\\ y_G=\displaystyle\frac{3+0+2}{3}=\displaystyle\frac{5}{3}\\z_G=\displaystyle\frac{0+5+(-3)}{3}=\displaystyle\frac{2}{3}.\end{cases}\)

Vậy \(G\left(\displaystyle\frac{2}{3};\displaystyle\frac{5}{3};\displaystyle\frac{2}{3}\right)\).

d) Ta có

\(\cos \widehat{BAC}=\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\displaystyle\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}=\displaystyle\frac{6\cdot 2+(-3)\cdot (-1)+5\cdot (-3)}{\sqrt{65}\cdot \sqrt{14}}=0\).

a) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)\\

\(\Leftrightarrow \begin{cases}2-1=x_C-1\\1-0=y_C-(-1)\\2-1=z_C-1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_C=2\\y_C=0\\z_C=2\end{cases}\Rightarrow C(2;0;2)\).

Do \(BB'C'C\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}x_{B'}-2=4-2\\y_{B'}-1=5-0\\z_{B'}-2=-5-2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_{B'}=4\\y_{B'}=6\\z_{B'}=-5\end{cases}\Rightarrow B'(4;6;-5)\).

Mặt khác \(DD'C'C\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{CC'}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}x_{D'}-1=4-2\\y_{D'}-(-1)=5-0\\z_{D'}-1=-5-2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_{D'}=3\\y_{D'}=4\\z_{D'}=-6\end{cases}\Rightarrow D'(3;4;-6)\).

Ta có \(\overrightarrow{AC}=(1;0;1)\), \(\overrightarrow{B'D'}=(-1;-2;-1)\) và \(\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'D'}\right]=(2;0;-2)\).

Suy ra \(\overrightarrow{u}=(2;0;-2)\ne \overrightarrow{0}\) vuông góc với cả hai véc-tơ \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{B'D'}\).

+) Ta có \(\overrightarrow{AC'}=(2;4;-7)\), \(\overrightarrow{BD}=(-1;-2;-1)\) và \(\overrightarrow{v}=\left[\overrightarrow{AC'},\overrightarrow{BD}\right]=(-18;9;0)\).

Suy ra \(\overrightarrow{v}=(-18;9;0)\ne \overrightarrow{0}\) vuông góc với cả hai véc-tơ \(\overrightarrow{AC'}\), \(\overrightarrow{BD}\).

a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-2;-4;8)\), \(\overrightarrow{AC}=(-3;2;3)\).

Khi đó \(\overrightarrow{AB}\ne k\overrightarrow{AC}\) với mọi \(k\in \mathbb{R}\) nên \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) không cùng phương.

Vậy ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng.

b) Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow \begin{cases}-2=-1-x_D\\-4=2-y_D\\8=0-z_D\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_D=-1\\y_D=6\\z_D=2.\end{cases}\)

Vậy \(D(-1;6;2)\).

c) Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là

\(G\left(\displaystyle\frac{1}{3};\displaystyle\frac{-2}{3};\displaystyle\frac{2}{3}\right).\)

d) Ta có

\(\overrightarrow{AB}=(-2;-4;8)\Rightarrow AB=2\sqrt{21};\)

\(\overrightarrow{AC}=(-3;2;3)\Rightarrow AC=\sqrt{22};\)

\(\overrightarrow{BC}=(-1;6;-5)\Rightarrow BC=\sqrt{62}.\)

Suy ra chu vi của tam giác \(ABC\) bằng \(AB+AC+BC=2\sqrt{21}+\sqrt{22}+\sqrt{62}\approx 21{,}73\).

+) Ta có

\(\cos \widehat{BAC}=\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\displaystyle\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}\) \(=\displaystyle\frac{(-2)\cdot (-3)+(-4)\cdot 2+8\cdot 3}{2\sqrt{21}\cdot \sqrt{22}}=\displaystyle\frac{\sqrt{462}}{42}.\)

a) Ta có \(\overrightarrow{BC} = (1; 1; 1)\).

Gọi \(H(x; y; z)\) là chân đường cao của tam giác \(ABC\) kẻ từ \(A\).

Suy ra \(\overrightarrow{BH} = (x-1; y-2; z-4)\).

\(\overrightarrow{BH}\) cùng phương với \(\overrightarrow{BC}\), do đó \(x-1 = t\); \(y-2 = t\); \(z-4=t\). Suy ra \(H(1+t; 2+t; 4+t)\).

Ta có \(\overrightarrow{AH} = (x_H-x_A; y_H-y_A; z_H-z_A) = (t-6; t-1; t+1)\).

\(\overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC} = 0 \Leftrightarrow t-6 + t-1 + t+ 1 =0\Leftrightarrow 3t =6 \Leftrightarrow t =2\).

Suy ra \(H(3; 4; 6)\).

b) Ta có \(\overrightarrow{AB} = (-6; -1; 1)\); \(\overrightarrow{AC} = (-5; 0; 2)\).

Suy ra \(AB = \sqrt{(-6)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{38}\) và \(AC = \sqrt{(-5)^2+0^2 +2^2} = \sqrt{29}\).

c) \(\cos A = \displaystyle\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{AB \cdot AC} = \displaystyle\frac{30+0+2}{\sqrt{38}\cdot \sqrt{29}} = \displaystyle\frac{32}{\sqrt{38\cdot 29}} \Rightarrow \widehat{A} \approx 15{,}43^\circ\).

a) Do \(M\) nằm trên trục \(Oy\) nên đặt \(M(0;y;0)\) là điểm cần tìm. Điểm \(M\) cách đều hai điểm \(B\), \(C\) khi và chỉ khi

\begin{align*}MB = MC\Leftrightarrow\ &MB^2 = MC^2\\ \Leftrightarrow\ &(1-0)^2 + (1-y)^2 +(2-0)^2 = (5-0)^2 + (3-y)^2 + (1-0)^2 \\ \Leftrightarrow\ &4y = 29 \Leftrightarrow y = \displaystyle\frac{29}{4}.\end{align*}

Vậy điểm \(M\) cần tìm là \(M\left(0;\displaystyle\frac{29}{4};0\right)\).

b) Do \(N\) nằm trên mặt phẳng \((Oxy)\) nên đặt \(N(x;y;0)\) là điểm cần tìm. Điểm \(N\) cách đều ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) khi và chỉ khi

\begin{align*}&NA=NB=NC\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} NA = NB \\ NA = NC\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} NA^2=NB^2 \\ NA^2 = NC^2\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} (3-x)^2 + (3-y)^2 +(3-0)^2 = (1-x)^2 + (1-y)^2 + (2-0)^2 \\ (3-x)^2 + (3-y)^2 +(3-0)^2 = (5-x)^2 + (3-y)^2 + (1-0)^2\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} -4x - 4y = -21 \\ 4x = 8\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x = 2\\ y = \displaystyle\frac{13}{4}.\end{cases}\end{align*}

Vậy điểm \(N\) cần tìm là \(N\left(2;\displaystyle\frac{13}{4};0\right)\).

\(M\) là điểm nằm trên đoạn thẳng \(B C\) sao cho \(M B=3 M C\) nên ta có

\[\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{MC}\Leftrightarrow

\begin{cases}1-1 = 4 \cdot \left(1-x_M\right)\\ -2-2=4\cdot \left(-2-y_M\right)\\ -5-3=4\cdot \left(-5-z_M\right)\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x_M = 1\\ y_M=-1\\ z_M = -3.\end{cases}\]

Vậy \(M(1;-1;-3)\) và \(AM = \sqrt{(1-0)^2 + (-1-1)^2 + (-3-2)^2}=\sqrt{30}\).

a) Gọi \(H(x;y;z)\) là chân đường cao hạ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(OAB\).

Suy ra \(\overrightarrow{OH}=(x;y;z)\).

Do \(\overrightarrow{OH}\) cùng phương với \(\overrightarrow{OB}=(0;-2;3)\) nên ta có \(x=0\); \(y=-2t\); \(z=3t\) (\(t\in\mathbb{R}\)), suy ra \(H(0;-2t;3t)\).

Ta có \(\overrightarrow{AH}=(-1;-2t-2;3t+1)\).

Do \(AH\perp OB\) nên \(\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{OB}\), suy ra

\[\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{OB}=0 \Leftrightarrow (-1)\cdot 0 + (-2t-2)\cdot (-2) + (3t+1)\cdot 3 = 0 \Leftrightarrow t = -\displaystyle\frac{7}{13}.\]

Vậy \(H\left( 0; \displaystyle\frac{14}{13};-\displaystyle\frac{21}{13}\right)\).

b) Ta có \(\overrightarrow{AH} = \left(-1;-\displaystyle\frac{12}{13};-\displaystyle\frac{8}{13}\right)\) và \(AH = \sqrt{(-1)^2+\left(-\displaystyle\frac{12}{13}\right)^2 + \left(-\displaystyle\frac{8}{13}\right)^2}=\displaystyle\frac{\sqrt{377}}{13}\).

\(OB=\sqrt{0^2+(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}\).

Diện tích tam giác \(O A B\) bằng

\[\displaystyle\frac{1}{2}AH\cdot OB = \displaystyle\frac{1}{2}\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{377}}{13}\cdot \sqrt{13}=\displaystyle\frac{\sqrt{29}}{2}.\]

a) Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như sau

+) Gốc \(O\) trùng với một góc phòng.

+) Mặt phẳng \((Oxy)\) trùng với trần nhà, mặt phẳng \((Oxz)\) và mặt phẳng \((Oyz)\) trùng với hai bức tường.

+) Tọa độ bóng đèn lúc đầu là \(A(1{,}6;1{,}2;0{,}5)\).

+) Tọa độ bóng đèn sau khi di chuyển là \( B(1,5;1,5;0,4)\).

b) \(\overrightarrow{AB}=(-0{,}1;0{,}3;-0{,}1)\Rightarrow AB=\sqrt{(-0{,}1)^{2}+(0{,}3)^{2}+(-0{,}1)^{2}}\approx 0{,}3\).

Vậy vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu \(0{,}3\) m.

a) Chiếc khinh khí cầu thứ nhất và thứ hai có có tọa độ lần lượt là \((2;1;0{,}5)\) và \((-1;-1{,}5;0{,}8)\).

b) Khoảng cách hai chiếc khinh khí cầu là

\(\sqrt{(-1-2)^2+(1{,}5-1)^2+(0{,}8-0{,}5)^2}=\sqrt{15{,}34}\approx3{,}92\) (km).

Sau khi máy bay vào vùng có gió thì máy bay bay với vận tốc được biểu thị bởi véctơ \(\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}=\left(492;608;224\right)\).

Sau \(30\) phút \(=0{,}5\) giờ thì máy bay ở vị trí \(B\) với \(\overrightarrow{AB}=\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{v_2}\Rightarrow B\left(496;769;127\right)\).

Vậy vị trí của máy bay sau \(30\) phút là \(B\left(496;769;127\right)\).

Gọi \(C(x;y;z)\) là vị trí của máy bay sau \(5\) phút tiếp theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BC}\) cùng hướng. Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ \(A\) đến \(B\) gấp đôi thời gian bay từ \(B\) đến \(C\) nên \(AB=2BC\).

Do đó

\(\overrightarrow{BC}=\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\left(\displaystyle\frac{940-800}{2};\displaystyle\frac{550-500}{2};\displaystyle\frac{8-7}{2} \right)=(70;25;0{,}5)\).

Mặt khác, \(\overrightarrow{BC}=(x-940;y-550;z-8)\) nên \(\begin{cases}x-940=70\\y-550=25\\z-8=0{,}5.\end{cases}\)

Từ đó \(\begin{cases}x=1010\\y=575\\z=8{,}5\end{cases}\) và vì vậy \(C(1010;575;8{,}5)\).

Vậy tọa độ của máy bay sau \(5\) phút tiếp theo là \((1010;575;8{,}5)\).

a) Ta tìm được tọa độ của các đỉnh lập phương \(OABC.O'A'B'C'\) như sau

\(O'\left(0;0;1\right)\), \(A\left(1;0;0\right)\), \(C\left(0;1;0\right)\), \(B\left(1;1;0\right)\), \(C'\left(0;1;1\right)\), \(A'\left(1;0;1\right)\), \(B'\left(1;1;1\right)\).

\(\Rightarrow AC=AB'=AO'=B'O'=B'C=O'C=\sqrt{2}\).

Do đó \(ACO'B'\) là một tứ diện đều.

\(G\) là trung điểm \(OB'\Rightarrow G\left(\displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{1}{2}\right)\).

Ta có

\(\overrightarrow{GA}=\left(\displaystyle\frac{1}{2};-\displaystyle\frac{1}{2};-\displaystyle\frac{1}{2}\right), \overrightarrow{GC}=\left(-\displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{1}{2};-\displaystyle\frac{1}{2}\right), \overrightarrow{GO'}=\left(-\displaystyle\frac{1}{2};-\displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{1}{2}\right), \overrightarrow{GB'}=\left(\displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{1}{2}\right)\).

\(\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GO'}+\overrightarrow{GB'}=\left(0;0;0\right)=\overrightarrow{0}\).

b) Tính số đo của góc liên kết

\(C\) là trọng tâm của tứ diện đều \(H_1H_2H_3H_4\).

\(\Rightarrow \overrightarrow{CH_1}+\overrightarrow{CH_2}+\overrightarrow{CH_3}+\overrightarrow{CH_4}=\overrightarrow{0}\).

\(\Rightarrow C\left(\displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{1}{2}\right)\).

\(\Rightarrow \overrightarrow{CH_1}=\left(\displaystyle\frac{1}{2};-\displaystyle\frac{1}{2};-\displaystyle\frac{1}{2}\right),\overrightarrow{CH_2}=\left(-\displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{1}{2};-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\).

\(\Rightarrow \cos\widehat{H_1CH_2}=\cos\left(\overrightarrow{CH_1},\overrightarrow{CH_2}\right)=-\displaystyle\frac{1}{3}\Rightarrow \widehat{H_1CH_2}\approx 109^\circ\).