1. Hệ trục tọa độ \(Oxyz\)
Gồm trục hoành \(Ox\), trục tung \(Oy\) và trục cao \(Oz\) với các véctơ đơn vị lần lượt là \(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\) và \(\overrightarrow{k}\) thỏa mãn:
+) \(\left|\overrightarrow{i}\right|=\left|\overrightarrow{j}\right|=\left|\overrightarrow{k}\right|=1\).
+) \(\overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{i}=0\).
+) \(\overrightarrow{i}=(1;0;0)\), \(\overrightarrow{j}=(0;1;0)\), \(\overrightarrow{k}=(0;0;1)\).
2. Tọa độ của điểm
+) \(M(x_M;y_M;z_M)\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=x_M\cdot \overrightarrow{i}+y_M\cdot \overrightarrow{j}+z_M\cdot\overrightarrow{k}\).
+) Đặc biệt:
\(M\in Ox\Leftrightarrow M(x;0;0)\).
\(M\in Oy\Leftrightarrow M(0;y;0)\).
\(M\in Oz\Leftrightarrow M(0;0;z)\).
\(M\in (Oxy)\Leftrightarrow M(x;y;0)\).
\(M\in (Oyz)\Leftrightarrow M(0;y;z)\).
\(M\in (Ozx)\Leftrightarrow M(x;0;z)\).
3. Tọa độ của véctơ
a) \(\overrightarrow{v}=(a;b;c)\Leftrightarrow \overrightarrow{v}=a\cdot \overrightarrow{i}+b\cdot \overrightarrow{j}+c\cdot\overrightarrow{k}\).
b) \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A;\ z_B-z_A)\).
c) Cho \(\overrightarrow{u}=(a_1;\ b_1;\ c_1)\), \(\overrightarrow{v}=(a_2;\ b_2;\ c_2)\).
Ta có
\begin{eqnarray*}\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}&=& (a_1+a_2;\ b_1+b_2;\ c_1+c_2)\\ k\overrightarrow{u}&=&(ka_1;\ kb_1;\ kc_1)\\ \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}&\Leftrightarrow&\begin{cases}a_1=a_2\\ b_1=b_2\\ c_1=c_2.\end{cases}\end{eqnarray*}
Câu 1:
Trong không gian \(O x y z\), cho hình hộp chữ nhật \(O A B C . O' A' B' C'\) như hình bên, biết \(B'(2 ; 3 ; 5)\).
a) Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b) Tính độ dài đường chéo \(O B'\) của hình hộp chữ nhật đó.
a) Ta có
+) \(O\) là gốc tọa độ nên \(O(0;0;0)\);
+) \(B\) là hình chiếu vuông góc của \(B'\) lên \((Oxy)\) nên \(B(2;3;0)\);
+) \(C'\) là hình chiếu vuông góc của \(B'\) lên \((Oyz)\) nên \(A'(0;3;5)\);
+) \(A'\) là hình chiếu vuông góc của \(B'\) lên \((Oxz)\) nên \(A'(2;0;5)\);
+) \(A\) là hình chiếu vuông góc của \(B'\) lên trục \(Ox\) nên \(A(2;0;0)\);
+) \(C\) là hình chiếu vuông góc của \(B'\) lên trục \(Oy\) nên \(C(0;3;0)\);
+) \(O'\) là hình chiếu vuông góc của \(B'\) lên trục \(Oz\) nên \(O'(0;0;5)\).
b) Ta có \(OB'=\sqrt{2^2+3^2+5^2}=\sqrt{38}\).
Câu 2:
Tìm toạ độ của điểm \(P\) được biểu diễn trong hình bên và tính khoảng cách \(O P\).
Dựa vào hình vẽ, ta thấy điểm \(P\) có tọa độ là \((2;3;3)\).
\(OP=\sqrt{2^2+3^2+3^2}=\sqrt{22}\).
Câu 3:
Cho hình hộp chữ nhật \(OABC.O'A'B'C'\). Hệ tọa độ \(Oxyz\) được chọn sao cho các tia \(Ox, Oy, Oz\) lần lượt chứa các điểm \(A, C, O'\).
a) Mặt bên \(OCC'O'\) nằm trong mặt phẳng tọa độ nào?
b) \(Ox\) có vuông góc với mặt bên \(OCC'O'\) không?
c) Mặt bên \(OAA'O'\) có vuông góc với mặt phẳng tọa độ \((Oxy)\) không?
a) Mặt bên \(OCC'O'\) nằm trong mặt phẳng tọa độ \((Oyz)\).
b) \(Ox \perp (Oyz)\) nên \(Ox \perp \left(OCC'O'\right)\).
c) Mặt bên \(OAA'O'\) nằm trong mặt phẳng tọa độ \((Oxz)\). Các mặt phẳng tọa độ đôi một vuông góc với nhau nên \(\left(OAA'O'\right) \perp (Oxy)\).
Câu 4:
Cho hình hộp đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình thoi. Hai đường chéo \(AC, BD\) của đáy có chiều dài lần lượt là \(a, b\). Cạnh bên \(AA'=c\). Hệ tọa độ \(Oxyz\) có gốc trùng với giao điểm \(O\) của hai đường chéo hình thoi \(ABCD\), có tia \(Ox\) trùng với tia \(OB\) và tia \(Oy\) trùng với tia \(OC\). Hãy xác định
a) tọa độ các đỉnh của hình hộp;
b) tọa độ véc-tơ \(\overrightarrow{BD'}\).
Ta có
a) \(O(0;0;0); B;D \in Ox\Rightarrow B\left(\displaystyle\frac{b}{2};0;0\right); D\left(-\displaystyle\frac{b}{2};0;0\right)\).
\(A;C\in Oy\Rightarrow A\left(0;-\displaystyle\frac{a}{2};0\right); C\left(0;\displaystyle\frac{a}{2};0\right)\).
\(A'\in Oz\Rightarrow A'\left(0;0;c\right)\).
Ta có
\(\overrightarrow{AA'}=\left(0;\displaystyle\frac{a}{2};c\right); \overrightarrow{BB'}=\left(x_{B'}-\displaystyle\frac{b}{2};y_{B'};z_{B'}\right)\); \(\overrightarrow{CC'}=\left(x_{C'};y_{C'}-\displaystyle\frac{a}{2};z_{C'}\right); \overrightarrow{DD'}=\left(x_{D'}+\displaystyle\frac{b}{2};y_{D'};z_{D'}\right)\).
Ta có
\(\bullet\) \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}\Rightarrow B'\left(\displaystyle\frac{b}{2};\displaystyle\frac{a}{2};c\right)\).
\(\bullet\) \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{CC'}\Rightarrow C'\left(0;a;c\right)\).
\(\bullet\) \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{DD'}\Rightarrow D'\left(- \displaystyle\frac{b}{2};\displaystyle\frac{a}{2};c\right)\).
b) \(\overrightarrow{BD'}=\left(-b;\displaystyle\frac{a}{2};c\right)\).
Câu 5:
Trong không gian \(O x y z\), cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có đỉnh \(A'\) trùng với gốc \(O\) và các đỉnh \(D', B', A\) lần lượt thuộc các tia \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) (hình bên). Giả sử đỉnh \(C\) có toạ độ là \((2 ; 3 ; 5)\) đối với hệ toạ độ \(Oxyz\), hãy tìm toạ độ của các đỉnh \(D'\), \(B'\), \(A\) đối với hệ toạ độ đó.
Vì đỉnh \(D'\) thuộc tia \(O x\) nên hai véc-tơ \(\overrightarrow{O D'}\) và \(\overrightarrow{i}\) cùng phương, suy ra có số thực \(m\) sao cho \(\overrightarrow{O D'}=m \overrightarrow{i}\).
Tương tự, có các số thực \(n\), \(p\) sao cho \(\overrightarrow{O B'}=n \overrightarrow{j}\) và \(\overrightarrow{O A}=p \overrightarrow{k}\). Theo quy tắc hình hộp, suy ra \(\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O D'}+\overrightarrow{O B'}+\overrightarrow{O A}=m \overrightarrow{i}+n \overrightarrow{j}+p \overrightarrow{k}\) và do đó điểm \(C\) có toạ độ là \((m ; n ; p)\).
Mặt khác, đỉnh \(C\) có toạ độ là \((2 ; 3 ; 5)\) nên \(m=2, n=3\), \(p=5\), tức là \(\overrightarrow{O D'}=2 \overrightarrow{i}, \overrightarrow{O B'}=3 \overrightarrow{j}\) và \(\overrightarrow{O A}=5 \overrightarrow{k}\).
Từ đây suy ra \(D'(2 ; 0 ; 0), B'(0 ; 3 ; 0)\) và \(A(0 ; 0 ; 5)\).
Câu 6:
Trong không gian \(O x y z\), cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có đỉnh \(A\) trùng với gốc \(O\) và các đỉnh \(D\), \(B\), \(A'\) có toạ độ lần lượt là \((2 ; 0 ; 0)\), \((0 ; 4 ; 0)\), \((0 ; 0 ; 3)\) (hình vẽ). Xác định toạ độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.
Vì \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\) nên ta tìm được \(C(2;4;0)\).
Vì \(\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AA'}\) nên ta tìm được \(D'(2;0;3)\).
Vì \(\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{DD'}\) nên ta tìm được \(C'(2;4;3)\).
Vì \(\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{AA'}\) nên ta tìm được \(B'(2;0;3)\).
Câu 7:
Hình bên minh hoạ một hệ toạ độ \(Oxyz\) trong không gian cùng với các hình vuông có cạnh bằng \(1\) đơn vị. Tìm toạ độ của điểm \(M\).
Trong hình bên, \(ABCM.FODE\) là hình hộp chữ nhật. Áp dụng quy tắc hình hộp suy ra
\[\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O F}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O B}=3 \overrightarrow{i}+4 \overrightarrow{j}+3 \overrightarrow{k}.\]
Vì vậy, toạ độ của điểm \(M\) là \((3 ; 4 ; 3)\).
Câu 8:
Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là \(8\) m, chiều rộng là \(6\) m và chiều cao là \(3\) m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục toạ độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) trùng với một góc phòng và mặt phẳng \((Oxy)\) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét.
Hãy tìm toạ độ của điểm treo đèn.
Gọi các điểm \(B(3;0;0)\), \(C(3;6;0)\), \(D(0;6;0)\) như hình vẽ.
\(N\) là trung điểm \(OC\), \(N'\) là hình chiếu của \(N\) lên mặt phẳng trần nhà.
Suy ra \(N'\) là điểm treo đèn.
Ta có \(N\) có tọa độ là \(\left(\displaystyle\frac{0+3}{2};\displaystyle\frac{0+6}{2};\displaystyle\frac{0+0}{2}\right)\), suy ra \(N\left(\displaystyle\frac{3}{2};3;0\right)\).
Suy ra \(N'\left(\displaystyle\frac{3}{2};3;3\right)\).
Vậy tọa độ của điểm treo đèn là \(\left(\displaystyle\frac{3}{2};3;3\right)\).
Câu 9:
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có đỉnh \(A\) trùng với gốc \(O\), các véc-tơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AA'}\) theo thứ tự cùng hướng với \(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\) và có \(AB=8\), \(AD=6\), \(AA'=4\). Tìm toạ độ các véc-tơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AC'}\) và \(\overrightarrow{AM}\) với \(M\) là trung điểm của cạnh \(C'D'\).
Để tìm toạ độ của véctơ \(\overrightarrow{AB}\), ta cần biểu diễn \(\overrightarrow{AB}\) theo ba véctơ \(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\).
Do \(\overrightarrow{AB}\) cùng phương với \(\overrightarrow{i}\) và \(|\overrightarrow{AB}|=AB=8=8|\overrightarrow{i}|\) nên \(\overrightarrow{AB}=8\overrightarrow{i}\) hay \(\overrightarrow{AB}=8\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}+0\overrightarrow{k}\).
Tương tự, ta cũng có \(\overrightarrow{AD}=0\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j}+0\overrightarrow{k}\), \(\overrightarrow{AA'}=0\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}\).
Trong hình bình hành \(ABCD\), ta có \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=8\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j}+0\overrightarrow{k}\).
Trong hình bình hành \(AA'C'C\), ta có \(\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA'}=8\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}\).
Vì \(M\) là trung điểm \(C'D'\) nên
\(\begin{aligned}[t]\overrightarrow{AM} &=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD'}+\overrightarrow{AC'}\right) &=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC'}\right) &=\displaystyle\frac{1}{2}\left(4\overrightarrow{k}+6\overrightarrow{j}+8\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}\right) &=4\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}.\end{aligned}\)
Câu 10:
Xét hệ tọa độ \(Oxyz\) gắn với hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) như hình vẽ, đơn vị của mỗi trục bằng độ dài cạnh của hình lập phương. Biết \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(D(0;1;0)\), \(A'(0;0;1)\).
a) Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\).
b) Xác định tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(A'BD\).
c) Xác định tọa độ các véc-tơ \(\overrightarrow{OG}\) và \(\overrightarrow{OC'}\). Chứng minh rằng ba điểm \(O\), \(G\), \(C'\) thẳng hàng và \(\overrightarrow{OG}=\displaystyle\frac{1}{3}OC'\).
a) Tọa độ các đỉnh của hình lập phương lần lượt là
\(C(1;1;0)\), \(B'(1;0;1)\), \(D'(0;1;1)\), \(C'(1;1;1)\).
b) Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(A'BD\) là
\(G\left(\displaystyle\frac{1}{3};\displaystyle\frac{1}{3};\displaystyle\frac{1}{3}\right).\)
c) Tọa độ của véc-tơ \(\overrightarrow{OG}=\left(\displaystyle\frac{1}{3};\displaystyle\frac{1}{3};\displaystyle\frac{1}{3}\right)\) và \(\overrightarrow{OC'}=(1;1;1)\).
Khi đó, \(\overrightarrow{OG}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{OC'}\) suy ra \(\overrightarrow{OG}\), \(\overrightarrow{OC'}\) cùng phương nên ba điểm \(O\), \(G\), \(C'\) thẳng hàng và \(\overrightarrow{OG}=\displaystyle\frac{1}{3}\overrightarrow{OC'}\).
Câu 11:
Cho tứ diện \(SABC\) có \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(BC=3\), \(BA=2\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) và có độ dài bằng \(2\).
a) Xác định một hệ toạ độ dựa trên gợi ý của hình vẽ và chỉ ra các véctơ đơn vị trên các trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các điểm \(A, B, C, S\).
a) Dựa trên gợi ý của hình vẽ ta xác định một hệ trục toạ độ là \(Bxyz\) với \(B\) trùng với gốc toạ độ \(O(0; 0)\) và các véctơ đơn vị là \(\overrightarrow{i}\) trên trục \(Bx\); \(\overrightarrow{j}\) trên trục \(By\); \(\overrightarrow{k}\) trên trục \(Bz\).
b) Ta có \(\overrightarrow{BA}=0\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+0\overrightarrow{k}\) nên \(A(0; 2; 0)\).
Vì \(B\) trùng gốc \(O\) nên \(B(0; 0; 0)\).
Vì \(\overrightarrow{BC}=0\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}\) nên \(C(0; 0; 3)\).
Ta có \(\overrightarrow{BS}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BH}\)
mà \(\overrightarrow{BA}=0\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+0\overrightarrow{k}\)
và \(\overrightarrow{BH}=0\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}\)
nên \(\overrightarrow{BH}=0\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}\) hay \(S(0; 2; 2)\).
Câu 12:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(2\), \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA =1\). Thiết lập hệ toạ độ như hình vẽ bên, hãy vẽ các véc-tơ đơn vị trên các trục \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) và tìm toạ độ các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(S\).
Vì \(BC = 2\), \(O\) là trung điểm \(BC\) nên \(OC =1\). Suy ra điểm cuối của véc-tơ \(\overrightarrow{i}\) là điểm \(C\).
Vì \(SAOH\) là hình chữ nhật nên \(OH = SA = 1\). Suy ra điểm cuối của véc-tơ \(\overrightarrow{k}\) là điểm \(H\).
Tam giác \(ABC\) đều, có \(AO\) là đường cao.
Suy ra \(AO = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{3}\). Trên cạnh \(OA\), lấy điểm \(j\) sao cho \(Oj = 1\).
Vậy ta được các véc-tơ \(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\), \(\overrightarrow{k}\) như hình vẽ.
Điểm \(C\) nằm trên tia \(Ox\), \(OC = 1\Rightarrow \overrightarrow{OC} = 1\cdot \overrightarrow{i} + 0\cdot \overrightarrow{j} + 0\cdot \overrightarrow{k} \Rightarrow C(1; 0; 0)\).
Điểm \(B\) nằm trên tia đối của tia \(Ox\), \(OB = 1 \Rightarrow \overrightarrow{OB} = (-1)\cdot \overrightarrow{i} + 0\cdot \overrightarrow{j} + 0\cdot \overrightarrow{k} \Rightarrow B(-1; 0; 0)\).
Điểm \(A\) nằm trên tia \(Oy\), \(OA = \sqrt{3} \Rightarrow \overrightarrow{OA} = 0\cdot \overrightarrow{i} + \sqrt{3}\cdot \overrightarrow{j} + 0\cdot \overrightarrow{k}\Rightarrow A(0;\sqrt{3};0)\).
Ta có \(\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OH} = 0\cdot \overrightarrow{i} + \sqrt{3}\cdot \overrightarrow{j} + 0\cdot \overrightarrow{k} + 0\cdot \overrightarrow{i} + 0\cdot \overrightarrow{j} + 1\cdot \overrightarrow{k} = 0\cdot \overrightarrow{i} + \sqrt{3}\cdot \overrightarrow{j} + 1\cdot \overrightarrow{k}\).
Suy ra \(S(0;\sqrt{3};1)\).
Câu 13:
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Biết \(SA=a, SO=h\). Xét hệ tọa độ \(Oxyz\) với các tia \(Ox, Oy, Oz\) tương ứng trùng với các tia \(OB, OC, OS\) như ở Hình 2.40. Hãy xác định tọa độ các điểm \(S, A, B, C, D\).
Gọi \(a\) là các cạnh của hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\). Ta có \(BD=AC=a\sqrt{2}\).
+) \(O(0;0;0); B\in Ox\Rightarrow B\left(\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2};0;0\right); C\in Oy \Rightarrow C\left(0;\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2};0\right); S\in Oz\Rightarrow S\left(0;0;\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)\).
+) \(O\) là trung điểm \(AC\) và \(BD \Rightarrow A\left(0; -\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2}; 0\right); D\left(-\displaystyle\frac{a\sqrt{2}}{2};0;0\right)\).
Câu 14:
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh bằng \(5\), giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) trùng với gốc \(O\). Các
véc-tơ \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\), \(\overrightarrow{OS}\) lần lượt cùng hướng với \(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\), \(\overrightarrow{k}\) và \(OA = OS = 4\) (hình vẽ bên). Tìm toạ độ các véc-tơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AS}\) và \(\overrightarrow{AM}\) với \(M\) là trung điểm
của cạnh \(SC\).
Xét tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) và có \(OA = 4\), \(AB = 5\) nên \(OB = \sqrt{AB^2 - OA^2 } = 3\).
Điểm \(B\) nằm trên tia \(Ox\), \(OB = 3\Rightarrow \overrightarrow{OB} = 3\overrightarrow{i}\).
Điểm \(A\) nằm trên tia đối của tia \(Oy\), \(OA = 4\) \(\Rightarrow \overrightarrow{OA}=-4\overrightarrow{j}\).
Điểm \(C\) nằm trên tia \(Oy\), \(OC = OA = 4\Rightarrow \overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{j}\).
Điểm \(S\) nằm trên tia \(Oz\), \(OS = 4\Rightarrow \overrightarrow{OS}=4\overrightarrow{k}\).
Khi đó \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = 3\cdot \overrightarrow{i}+4\cdot \overrightarrow{j}+0\cdot \overrightarrow{k}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (3; 4; 0)\).
\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = 0\cdot \overrightarrow{i}+8\cdot \overrightarrow{j}+0\cdot \overrightarrow{k}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow{AC} = (0; 8; 0)\).
\(\overrightarrow{AS} = \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OA} = 0\cdot \overrightarrow{i}+4\cdot \overrightarrow{j}+4\cdot \overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{AS} = (0; 4; 4)\).
\(\overrightarrow{AM} = \displaystyle\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AS}\right)= 0\cdot \overrightarrow{i}+6\cdot \overrightarrow{j}+2\cdot \overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{AM} = (0; 6; 2)\).
Câu 15:
Một chiếc máy quay phim ở đài truyền hình được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt \(P(0;0;4)\) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là \(Q_1(0;-1;0)\), \(Q_2\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2};\displaystyle\frac{1}{2};0\right)\), \(Q_3\left(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2};\displaystyle\frac{1}{2};0\right)\).
Biết trọng lượng của máy quay là \(360\) N. Tìm tọa độ các lực \(\overrightarrow{F}_1\), \(\overrightarrow{F}_2\), \(\overrightarrow{F}_3\) tác dụng lên giá đỡ.
Theo giả thiết, ta có các điểm \(P(0;0;4)\), \(Q_1(0;-1;0)\), \(Q_2\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2};\displaystyle\frac{1}{2};0\right)\), \(Q_{3}\left(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2};\displaystyle\frac{1}{2};0\right)\).
Suy ra \(\overrightarrow{PQ_1}=(0-0;-1-0;0-4)\) hay \(\overrightarrow{PQ_1}=(0;-1;-4)\);
\(\overrightarrow{PQ_2}=\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}-0;\displaystyle\frac{1}{2}-0;0-4\right)\) hay \(\overrightarrow{PQ_2}=\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2};\displaystyle\frac{1}{2};-4\right)\);
\(\overrightarrow{PQ_3}=\left(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}-0;\displaystyle\frac{1}{2}-0;0-4\right)\) hay \(\overrightarrow{PQ_3}=\left(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2};\displaystyle\frac{1}{2};-4\right)\).
Suy ra \(\left|\overrightarrow{PQ_1}\right|=\left|\overrightarrow{PQ_2}\right|=\left|\overrightarrow{PQ_3}\right|=\sqrt{17}\). Do đó \(\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{F_3}\right|\).
Vì vậy, tồn tại hằng số \(c\ne 0\) sao cho
\(\overrightarrow{F_1}=c\overrightarrow{PQ_1}=(0;-c;-4c);\)
\(\overrightarrow{F_2}=c\overrightarrow{PQ_2}=\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}c;\displaystyle\frac{1}{2}c;-4c\right);\)
\(\overrightarrow{F_3}=c\overrightarrow{PQ_3}=\left(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}c;\displaystyle\frac{1}{2}c;-4c\right).\)
Suy ra \(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=(0;0;-12c)\).
Mặt khác, ta có \(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{F}\), trong đó \(\overrightarrow{F}=(0;0;-360)\) là trọng lực tác dụng lên máy quay.
Suy ra \(-12c=-360\), tức là \(c=30\).
Vậy \(\overrightarrow{F_1}=(0;-30;-120)\); \(\overrightarrow{F_2}=\left(15\sqrt{3};15;-120\right)\); \(\overrightarrow{F_3}=\left(-15\sqrt{3};15;-120\right)\).
Câu 16:
Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao \(30 \mathrm{~m}\) và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn.
Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị độ dài trên mỗi trục là \(1\mathrm{~m})\), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm \(M(90;0;30)\), \(N(90;120;30), P(0;120;30),Q(0;0;30)\).
Giả sử \(K_0\) là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và \(K_0M=K_0N=K_0P=K_0Q\). Để theo dõi quả bóng đến vị trí \(A\), camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm \(K_1\) cao độ bằng \(19\). Tìm toạ độ của các điểm \(K_0,K_1\) và của vectơ \(\overrightarrow{K_0K_1}\).
Tọa độ tâm của hình bình hành \(MMNPQ\) là trung điểm \(H\) của \(MP\) nên \(H(45;60;30)\).
Suy ra tọa độ \(K_0(45;60;25)\); \(K_1(45;60;19)\) và \(\overrightarrow{K_0K_1}=(0;0;6)\).
Câu 17:
Hình bên dưới mô tả một sân cầu lông với kích thước theo tiêu chuẩn quốc tế. Ta chọn hệ trục \(Oxyz\) cho sân đó như ở hình (đơn vị trên mỗi trục là mét). Giả sử \(AB\) là một trụ cầu lông để căng lưới, \(AB=1{,}55\) m. Hãy xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\).
+) Gọi toạ độ điểm \(A\) là \(\left(x_A;y_A;z_A\right)\). Vì chiều rộng của sân là \(6,1 \mathrm{~m}\) nên \(x_A=6,1\). Do một nửa chiều dài của sân là \(6,7 \mathrm{~m}\) nên \(y_A=6,7\). Điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \((Oxy)\) nên \(z_A=0\). Vì vậy, điểm \(A\) có tọa độ là \((6,1;6,7;0)\).
+) Độ dài đoạn thẳng \(AB\) là \(1,55 \mathrm{~m}\) nên điểm \(B\) có toạ độ là \((6,1;6,7;1,55)\).
Vậy ta có: \(\overrightarrow{AB}=(6,1-6,1;6,7-6,7;1,55-0)\), tức là \(\overrightarrow{AB}=(0;0;1,55)\).
Câu 18:
Trong không gian, xét hệ toạ độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng \((Oxy)\) trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục \(Ox\) hướng về phía tây, trục \(Oy\) hướng về phía nam và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời (hình bên). Đơn vị đo trong không gian \(Oxyz\) lấy theo ki-lô-mét. Một chiếc ra-đa đặt tại giàn khoan có phạm vi theo dõi là \(30\) km.
Hỏi ra-đa có thể phát hiện được một chiếc tàu thám hiểm có toạ độ là \((25;15;-10)\) đối với hệ toạ độ nói trên hay không? Hãy giải thích vì sao.
Gọi \(M\) là điểm biểu diễn của tàu thám hiểm, suy ra \(M(25;15;-10)\).
Ta có \(\overrightarrow{OM}=(25;15;-10) \Rightarrow \left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{25^2+15^2+(-10)^2}=5\sqrt{38}\approx 30,82\) (km) \(>30\).
Vậy ra-đa không thể phát hiện được chiếc tàu thám hiểm có toạ độ là \((25;15;-10)\) đối với hệ toạ độ nói trên.
Câu 19:
Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên các trục là km), một máy bay đang ở độ cao \(10\) km, tại vị trí \(A(500;200;10)\). Theo hành trình dự định, máy bay sẽ phải bay qua vị trí \(B(700;200;10)\). Tuy nhiên do thời tiết xấu, máy bay phải chuyển hướng bay đến vị trí \(C(600;300;8)\).
a) Tính khoảng cách từ \(A\) đến \(C\).
b) Hỏi trong quãng thời gian tránh vùng thời tiết xấu, máy bay đã phải bay chệch hướng dự định một góc bao nhiêu độ.
a) Ta có \(\overrightarrow{AC}=(100;100;-2)\), suy ra \(AC=\sqrt{100^2+100^2+4}=141{,}435\).
b) Ta có \(\overrightarrow{AB}=(200;0;0)\)
Máy bay đã phải bay chệch hướng một góc \(\widehat{BAC}\), ta có
\(\cos \widehat{BAC}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}=\displaystyle\frac{20000}{200\sqrt{100^2+100^2+4}}\approx0{,}71\Rightarrow \widehat{BAC}=44^\circ45^\circ\)
Câu 20:
Trong Vật lí, ta biết rằng nếu lực \(\overrightarrow{F}\) tác động vào một vật và làm vật dịch chuyển theo đoạn thẳng từ \(M\) đến \(N\), thì công \(A\) sinh bởi lực \(\overrightarrow{F}\) được tính theo công thức \(A=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{MN}\). Hãy giải quyết bài toán sau:
Trong không gian \(Oxyz\), một người tác động một lực không đổi \(\overrightarrow{F}=(2;3;1)\) vào một vật đang ở gốc tọa độ \(O\) và làm cho vật dịch chuyển thẳng từ \(O\) đến điểm \(M(1;2;1)\). Biết lực tính bằng newton (N) và đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét, làm thế nào để tính công \(A\) (đơn vị: J) sinh bởi lực \(\overrightarrow{F}\) trong tình huống này?
Công sinh ra bởi lực \(\overrightarrow{F}\) bằng \(A=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{OM}=9\,\mathrm{J}\).