1. Công thức Niutơn - Lepnit
\begin{align*}&\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(x)\Bigg|_a^b=F(b)-F(a).\\ &\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f'(x)\mathrm{d}x=f(b)-f(a).\end{align*}
Chú ý:
\(\bullet\quad\) Đạo hàm của quãng đường di chuyển theo thời gian bằng tốc độ của chuyển động tại mỗi thời điểm \(\left(v(t)=s^{\prime}(t)\right)\). Do đó, nếu biết tốc độ \(v(t)\) tại mọi thời điểm \(t \in[a; b]\) thì tính được quãng đường di chuyển trong khoảng thời gian từ \(a\) đến \(b\) theo công thức
\[s=s(b)-s(a)=\displaystyle\int\limits_a^b v(t) \mathrm{\,d}t.\]
\(\bullet\quad\) Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a; b]\). Khi đó \(\displaystyle\frac{1}{b-a} \displaystyle\int\limits_a^b f(x) \mathrm{\,d} x\) được gọi là giá trị trung bình của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([a; b]\).
2. Tính chất
1. \(\displaystyle\int\limits_{a}^{a}f(x)\mathrm{d}x=0\).
2. \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=-\displaystyle\int\limits_{b}^{a}f(x)\mathrm{d}x\).
3. \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits_{a}^{c}f(x)\mathrm{d}x+\displaystyle\int\limits_{c}^{b}f(x)\mathrm{d}x\).
4. \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}\left[f(x)\pm g(x)\right]\mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\pm \displaystyle\int\limits_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x\).
5. \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}k\cdot f(x)\mathrm{d}x=k\cdot \displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\).
6. Nếu \(f(x)\geq 0,\ \forall x\in [a;b]\) thì \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\geq 0\).
7. Nếu \(f(x)\geq g(x),\ \forall x\in[a;b]\) thì \(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\geq \displaystyle\int\limits_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x\).
8. Nếu \(m\leq f(x)\leq M,\ \forall x\in[a;b]\) thì \(m(b-a)\leq \displaystyle\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\leq M(b-a)\).
Câu 1:
Cho \(\displaystyle\int\limits_{0}^4 f(x)\mathrm{~d}x = 4, \int\limits_{3}^4f(x)\mathrm{~d}x = 6\). Tính \(\displaystyle\int\limits_{0}^3f(x)\mathrm{~d}x\).
Ta có \(\displaystyle\int\limits_{0}^4 f(x) \mathrm{~d}x = \int\limits_{0}^3 f(x) \mathrm{~d}x + \int\limits_{3}^4 f(x) \mathrm{~d}x \), suy ra
\(\displaystyle\int\limits_{0}^3 f(x) \mathrm{~d}x = \int\limits_{0}^4 f(x) \mathrm{~d}x-\int\limits_{3}^4 f(x)\mathrm{~d}x=4-6=-2.\)
Câu 2:
Cho \(\displaystyle\int\limits_1^2 f(x) \mathrm{\,d} x=\displaystyle\frac{1}{2}\), \(\displaystyle\int\limits_2^3 f(x) \mathrm{\,d} x=\displaystyle\frac{3}{2}\), \(\displaystyle\int\limits_1^3 g(x) \mathrm{\,d} x=-1\). Tính
a) \(\displaystyle\int\limits_1^3[2 f(x)+g(x)] \mathrm{\,d} x\);
b) \(\displaystyle\int\limits_1^3[5 f(x)-4] \mathrm{\,d} x\).
a) Ta có \(\displaystyle\int\limits_1^3 f(x) \mathrm{\,d} x=\displaystyle\int\limits_1^2 f(x) \mathrm{\,d} x+\displaystyle\int\limits_2^3 f(x) \mathrm{\,d} x=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2\).
\(\displaystyle\int\limits_1^3[2 f(x)+g(x)] \mathrm{\,d} x=2 \displaystyle\int\limits_1^3 f(x) \mathrm{\,d} x+\displaystyle\int\limits_1^3 g(x) \mathrm{\,d} x=2\cdot 2-1=3.\)
b) \(\displaystyle\int\limits_1^3[5 f(x)-4] \mathrm{\,d} x=5\displaystyle\int\limits_1^3 f(x) \mathrm{\,d} x-\displaystyle\int\limits_1^3 4\mathrm{~d} x=5\cdot 2-(4 x)\bigg|_1 ^3=10-8=2\).
Câu 3:
Cho \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3} f(x) \mathrm{\,d} x=5\) và \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3} g(x) \mathrm{\,d} x=2\). Tính
a) \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3}[f(x)+g(x)]\mathrm{\,d}x\);
b) \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3}[f(x)-g(x)] \mathrm{\,d} x\);
c) \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3} 3 f(x) \mathrm{\,d} x\);
d) \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3}[2 f(x)-3 g(x)] \mathrm{\,d} x\).
a) \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3}[f(x)+g(x)]\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{0}^{3}g(x)\mathrm{\,d}x=7\).
b) \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3}[f(x)-g(x)]\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{3}f(x)\mathrm{\,d}x-\displaystyle\int\limits_{0}^{3}g(x)\mathrm{\,d}x=3\).
c) \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3} 3 f(x) \mathrm{\,d} x=3\displaystyle\int\limits_{0}^{3} f(x) \mathrm{\,d} x=15\).
d) \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3}[2 f(x)-3 g(x)] \mathrm{\,d} x=2\displaystyle\int\limits_{0}^{3}f(x) \mathrm{\,d} x-3\displaystyle\int\limits_{0}^{3} g(x)\mathrm{\,d} x=4\).
Câu 4:
Cho \(\displaystyle\int\limits_{-2}^3 f(x) \mathrm{~d}x = -10\), \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([-2;3]\), \(F(3)=-8\). Tính \(F(-2)\).
Ta có \(\displaystyle\int\limits_{-2}^3 f(x) \mathrm{~d}x =-10\), suy ra \(F(3)-F(-2)=-10\).
Vậy \(F(-2)=F(3)+10=-8+10=2\).
Câu 5:
Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\) trên khoảng \((0 ;+\infty)\) và \(F(1)=1\). Tính \(F(\mathrm{e})\).
Ta có \(F(\mathrm{e})-F(1)=\displaystyle\int\limits_1^\mathrm{e} f(x) \mathrm{\,d} x=\displaystyle\int\limits_1^\mathrm{e} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\ln x\bigg|_1 ^\mathrm{e}=1\).
Vậy \(F(\mathrm{e})=F(1)+1=1+1=2\).
Câu 6:
Tính
a) \(\displaystyle\int\limits_{-1}^2\left(3 x^2-8 x\right) \mathrm{\,d} x\).
b) \(\int\limits_0^1\left(x^2+x\right) \mathrm{\,d} x\).
c) \(\displaystyle\int\limits_0^1\left(x^6-4 x^3+3 x^2\right) \mathrm{\,d} x\).
a) \(\displaystyle\int\limits_{-1}^2\left(3 x^2-8 x\right) \mathrm{\,d} x==\left.\left(x^3-4x^2\right)\right|_{-1}^2=\left[2^3-(-1)^3\right]-4\left[2^2-(-1)^2\right]=-3.\)
b) \(\displaystyle\int\limits_0^1\left(x^2+x\right) \mathrm{\,d} x=\displaystyle\int\limits_0^1 x^2 \mathrm{~d} x+\displaystyle\int\limits_0^1 x \mathrm{~d} x=\left.\displaystyle\frac{x^3}{3}\right|_0 ^1+\left.\displaystyle\frac{x^2}{2}\right|_0 ^1=\left(\displaystyle\frac{1}{3}-0\right)+\left(\displaystyle\frac{1}{2}-0\right)=\displaystyle\frac{5}{6}\).
c) \(\displaystyle\int\limits_0^1\left(x^6-4 x^3+3 x^2\right) \mathrm{\,d} x =\left. \left(\displaystyle\frac{x^7}{7}-x^4+x^3\right)\right|_{0}^1 = \left(\displaystyle\frac{1}{7} - 1 + 1\right) - 0 = \displaystyle\frac{1}{7}\).
Câu 7:
Tính
a) \(\displaystyle\int\limits_0^1\left(4x^3-2\right) \mathrm{\,d} x\).
b) \(\displaystyle\int\limits_1^2 \frac{1}{x^4} \mathrm{~d} x\).
c) \(\displaystyle\int\limits_1^2\displaystyle\frac2{x^2}\mathrm{\,d}x\,\).
d) \(\displaystyle\int\limits_1^2 \displaystyle\frac{1}{4 x^2} \mathrm{\,d} x\).
a) \(\displaystyle\int\limits_0^1\left(4x^3-2\right) \mathrm{\,d}x=\left(x^4-2x\right)\Big|_0^1=(1^4-2\cdot1)-0=-1\).
b) \(\displaystyle\int\limits_1^2 \frac{1}{x^4} \mathrm{~d} x = \left.\displaystyle\frac{x^{-4+1}}{-4+1}\right|_1^2 = \displaystyle\frac{2^{-3}}{-3} - \displaystyle\frac{1^{-3}}{-3} = \displaystyle\frac{7}{24}\).
c) \(\displaystyle\int\limits_1^2\displaystyle\frac2{x^2}\mathrm{\,d}x\,=2\displaystyle\int\limits_1^2x^{-2}\mathrm{\,d}x\,=-\displaystyle\frac2x\Big|_1^2=-\displaystyle\frac21+\displaystyle\frac22=-1\).
d) \(\displaystyle\int\limits_0^2 2^{x+3} \mathrm{\,d} x=\displaystyle\int\limits_0^2 2^x \cdot 2^3 \mathrm{\,d} x=8 \displaystyle\int\limits_0^2 2^x \mathrm{\,d} x=\left.8 \cdot \displaystyle\frac{2^x}{\ln 2}\right|_0 ^2=\displaystyle\frac{8}{\ln 2}(4-1)=\displaystyle\frac{24}{\ln 2}\).
Câu 8:
Tính
a) \(\displaystyle\int\limits_1^4 \frac{1}{x \sqrt{x}} \mathrm{~d} x\).
b) \(\displaystyle\int\limits_1^4x^2\sqrt x\mathrm{\,d}x\,\).
c) \(\displaystyle\int\limits_1^4\left(x^2+6 \sqrt{x}\right) \mathrm{\,d}x\).
a) \(\displaystyle\int\limits_1^4 \frac{1}{x \sqrt{x}} \mathrm{~d} x = \int\limits_1^4 \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x = \left. \displaystyle\frac{x^{-\frac{3}{2}+1}}{-\frac{3}{2}+1} \right|_1^4 = \displaystyle\frac{4^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} - \displaystyle\frac{1^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} = 1 \).
b) \(\displaystyle\int\limits_1^4x^2\sqrt x\mathrm{\,d}x\,=\displaystyle\int\limits_1^4x^{\tfrac52}\mathrm{\,d}x\,=\displaystyle\frac27x^{\tfrac72}\Big|_1^4=\displaystyle\frac27(4^{\tfrac72}-1^{\tfrac72})=\displaystyle\frac27\cdot127=\displaystyle\frac{254}{7}.\)
c) \(\displaystyle\int\limits_1^4\left(x^2+6 \sqrt{x}\right) \mathrm{\,d} x=\left(\displaystyle\frac{x^3}{3}+6\displaystyle\frac{2}{3} x^{\tfrac{3}{2}}\right)\bigg|_1 ^4\) \(=\displaystyle\frac{4^3-1}{3}+4\left(2^3-1\right)=49\).
Câu 9:
Tính:
a) \(\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}(\sin x+\cos x) \mathrm{\,d} x\).
b) \(\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}(4 \sin x+3 \cos x) \mathrm{\,d} x\).
c) \(\displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\displaystyle\frac{1}{\sin ^2 x}-\displaystyle\frac{1}{\cos ^2 x}\right) \mathrm{\,d} x\).
a) \(\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}(\sin x+\cos x) \mathrm{\,d} x\) \(=\left(-\cos x+\sin x\right)\bigg|_0 ^{\frac{\pi}{4}}\) \(=-\cos \displaystyle\frac{\pi}{4} + \sin \displaystyle\frac{\pi}{4}+\cos 0 - \sin 0 = 1.\)
b) \(\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}(4 \sin x+3 \cos x) \mathrm{\,d} x = \left(-4 \cos x + 3 \sin x \right)\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}\)
\(= \left[-4 \cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) + 3 \sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) \right] - \left(-4 \cos 0 + 3 \sin 0 \right)=7\).
c) \(\displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\displaystyle\frac{1}{\sin ^2 x}-\displaystyle\frac{1}{\cos ^2 x}\right) \mathrm{\,d} x =\left(-\cot x - \tan x\right)\bigg|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\)
\(= -\cot \displaystyle\frac{\pi}{4}- \tan \displaystyle\frac{\pi}{4}-\left(-\cot \displaystyle\frac{\pi}{6}-\tan \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=-2 + \displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{3}\).
Câu 10:
Tính các tích phân sau
a) \(\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}(3 \sin x-2) \mathrm{\,d}x\).
b) \(\displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle\frac{-2}{3 \sin ^2 x} \mathrm{\,d} x\).
c) \(\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{3}}\left(\displaystyle\frac{1}{\cos ^2 x}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\sin ^2 x}\right) \mathrm{\,d} x\).
a) \(\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}(3 \sin x-2) \mathrm{\,d}x=-3\cos x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}-2x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}= 3-\pi\).
b) \(\displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle\frac{-2}{3 \sin ^2 x} \mathrm{\,d} x=-\displaystyle\frac{2}{3} \displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle\frac{1}{\sin ^2 x} \mathrm{\,d} x=-\left.\displaystyle\frac{2}{3}(-\cot x)\right|_{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{2}}=\displaystyle\frac{2}{3}\left(\cot \displaystyle\frac{\pi}{2}-\cot \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{2}{3}(0-1)=-\displaystyle\frac{2}{3}\).
c) \(\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{3}}\left(\displaystyle\frac{1}{\cos ^2 x}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\sin ^2 x}\right) \mathrm{\,d} x =\left(\tan x-\sqrt{3}\cot x\right)\bigg|_{\tfrac{\pi}{4}} ^{\tfrac{\pi}{3}}\) \(=\left(\tan\displaystyle\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}\cot \displaystyle\frac{\pi}{3}\right)-\left(\tan \displaystyle\frac{\pi}{4}-\sqrt{3}\cot \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=2 \sqrt{3}-2.\)
Câu 11:
Tính
a) \(\displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1+\tan x)\cos x\mathrm{\,d}x\).
b) \(\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \displaystyle\frac{\cos2x}{\sin^{2}x\cdot\cos^{2}x}\mathrm{\,d}x\).
c) \(\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle\frac{\sin ^2 x}{1+\cos x} \mathrm{\,d}x\).
a) \(\displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1+\tan x)\cos x\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\cos x+\sin x)\mathrm{\,d}x=\left(\sin x-\cos x\right)\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}}=1\).
b) \(\begin{aligned}[t]\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \displaystyle\frac{\cos2x}{\sin^{2}x\cos^{2}x}\mathrm{\,d}x &=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\displaystyle\frac{\cos2x}{(\sin x\cos x)^2}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\displaystyle\frac{\cos2x}{\left(\displaystyle\frac{1}{2}\sin 2x\right)^{2}}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\displaystyle\frac{4\cos2x}{\sin^{2} 2x}\mathrm{\,d}x\\ &=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\displaystyle\frac{\mathrm{\,d}(\sin^{2} 2x)}{\sin^{2}2x}=\left.{-\displaystyle\frac{1}{\tan 2x}} \right|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}=0.\end{aligned}\)
c) \(\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle\frac{\sin ^2 x}{1+\cos x} \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle\frac{1-\cos ^2 x}{1+\cos x} \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos x) \mathrm{\,d}x=x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}-\sin x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=\displaystyle\frac{\pi}{2}-1\).
Câu 12:
Tính các tích phân sau
a) \(\displaystyle\int\limits_1^e \displaystyle\frac{1}{x} \mathrm{\,d} x\).
b) \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(3^{x}-\displaystyle\frac{3}{x}\right)\mathrm{\,d}x\).
c) \(\displaystyle\int\limits_1^2 \displaystyle\frac{x^2-2 x+1}{x} \mathrm{\,d}x\).
a) \(\displaystyle\int\limits_1^e \displaystyle\frac{1}{x} \mathrm{\,d} x=\ln|x|\Big|_1^e=\ln e-\ln 1=1\).
b) \(\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\left(3^{x}-\displaystyle\frac{3}{x}\right)\mathrm{\,d}x=\left(\displaystyle\frac{3^x}{\ln3}-3\ln|x|\right)\bigg|_1^2=\left(\displaystyle\frac{3^2}{\ln3}-3\ln|2|\right)-\left(\displaystyle\frac{3^1}{\ln3}-3\ln|1|\right)=\displaystyle\frac{6}{\ln3}-3\ln2\).
c) \(\displaystyle\int\limits_1^2 \displaystyle\frac{x^2-2 x+1}{x} \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_1^2\left(x-2+\frac{1}{x}\right) \mathrm{\,d} x=\left(\displaystyle\frac{1}{2}x^2-2x+\ln x\right)\bigg|_1^2=-\displaystyle\frac{1}{2}+\ln 2\).
Câu 13:
Tính
a) \(\displaystyle\int\limits_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x\);
b) \(\displaystyle\int\limits_0^1 2^x \mathrm{~d} x\);
c) \(\displaystyle\int\limits_0^1\left(3 . 2^x-\mathrm{e}^x\right) \mathrm{\,d} x\).
a) \(\displaystyle\int\limits_0^1 \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\left.\mathrm{e}^x\right|_0 ^1=\mathrm{e}^1-\mathrm{e}^0=\mathrm{e}-1\).
b) \(\displaystyle\int\limits_0^1 2^x \mathrm{~d} x=\left.\frac{2^x}{\ln 2}\right|_0 ^1=\frac{2^1}{\ln 2}-\frac{2^0}{\ln 2}=\frac{1}{\ln 2}\).
c) \(\displaystyle \int\limits_0^1\left(3 \cdot 2^x-\mathrm{e}^x\right) \mathrm{\,d}x=\left(3\cdot\displaystyle\frac{2^x}{\ln2}-\mathrm{e}^x\right)\Big|_0^1=\left(3\cdot\displaystyle\frac{2^1}{\ln2}-\mathrm{e}\right)-\left(3\cdot\displaystyle\frac{2^0}{\ln2}-\mathrm{e}^0\right)=\displaystyle\frac{3}{\ln2}-\mathrm{e}+1\).
}
Câu 14:
Tính các tích phân sau
a) \(\displaystyle\int\limits_{-1}^0 \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x\).
b) \(\displaystyle\int\limits_{-2}^{-1} \mathrm{e}^{x+2} \mathrm{~d} x\).
c) \(\displaystyle\int\limits_0^2 2^{x+3} \mathrm{\,d} x\).
d) \(\displaystyle\int\limits_0^1\left(3 \cdot 4^x-5 \mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{\,d} x\).
a) \(\displaystyle\int\limits_{-1}^0 \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x = \left. -\mathrm{e}^{-x} \right|_{-1}^0 = -\mathrm{e}^0 - (-\mathrm{e}^1) = \mathrm{e} - 1\).
b) \(\displaystyle\int\limits_{-2}^{-1} \mathrm{e}^{x+2} \mathrm{~d} x = \mathrm{e}^2 \int\limits_{-2}^{-1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x = \mathrm{e}^2 \left.(\mathrm{e}^x)\right|_{-2}^{-1} = \mathrm{e}^2(\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^{-2})=\mathrm{e}-1\).
c) \(\displaystyle\int\limits_1^2 \displaystyle\frac{1}{4 x^2} \mathrm{\,d} x=\displaystyle\frac{1}{4} \displaystyle\int\limits_1^2 x^{-2} \mathrm{\,d} x=\left.\displaystyle\frac{1}{4} \cdot \displaystyle\frac{1}{-1} x^{-1}\right|_1 ^2=-\left.\displaystyle\frac{1}{4} \cdot \displaystyle\frac{1}{x}\right|_1 ^2=-\displaystyle\frac{1}{4}\left(\displaystyle\frac{1}{2}-1\right)=\displaystyle\frac{1}{8}\).
d) \(\displaystyle\int\limits_0^1\left(3 \cdot 4^x-5 \mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{\,d} x = \left. 3\cdot\displaystyle\frac{4^x}{\ln 4}+ 5 \mathrm{e}^{-x} \right|_0^1 = \left(\displaystyle\frac{12}{\ln 4} + \displaystyle\frac{5}{e}\right) - \left(\displaystyle\frac{3}{\ln 4} + 5 \right) = \displaystyle\frac{5}{e}-5 + \displaystyle\frac{9}{\ln 4}\).
Câu 15:
Tính
a) \(\displaystyle\int\limits_{-1}^02^{3x+2}\mathrm{\,d}x\,\);
b) \(\displaystyle\int\limits_0^22^x\cdot3^{x+1}\mathrm{\,d}x\,\);
c) \(\displaystyle\int\limits_0^1\displaystyle\frac{7^x}{11^x}\mathrm{\,d}x\,\).
d) \(\displaystyle\int_{1}^{2}2^{x}\cdot3^{x-1}\mathrm{\,d}x\).
a) Đặt \(u=3x+2\) ta có \(\mathrm{\,d}u\,=3\mathrm{\,d}x\,\) và khi \(x=-1\Rightarrow u=-1\); \(x=0\Rightarrow u=2\).
Khi đó \(\displaystyle\int\limits_{-1}^02^{3x+2}\mathrm{\,d}x\,=\displaystyle\frac13\displaystyle\int\limits_{-1}^22^u\mathrm{\,d}u\,=\displaystyle\frac13\cdot\displaystyle\frac{2^u}{\ln 2}\Big|_{-1}^2=\displaystyle\frac1{3\ln 2}(2^2-2^{-1})=\displaystyle\frac{7}{6\ln2}\).
b) \(\displaystyle\int\limits_0^22^x\cdot3^{x+1}\mathrm{\,d}x\,=\displaystyle\int\limits_0^23\cdot6^x\mathrm{\,d}x\,=\displaystyle\frac2{\ln6}6^x\Big|_0^2=\displaystyle\frac2{\ln6}(6^2-6^0)=\displaystyle\frac{70}{\ln6}\).
c) \(\displaystyle\int\limits_0^1\displaystyle\frac{7^x}{11^x}\mathrm{\,d}x\,=\displaystyle\int\limits_0^1\left(\displaystyle\frac7{11}\right)^x\mathrm{\,d}x\,=\displaystyle\frac1{\ln\displaystyle\frac7{11}}\left(\displaystyle\frac7{11}\right)^x\Big|_0^1=\displaystyle\frac1{\ln7-\ln11}\left(\displaystyle\frac7{11}-1\right)=\displaystyle\frac4{11(\ln11-\ln7)}\).
d) \(\displaystyle\int_{1}^{2}2^x\cdot3^{x-1}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{6^x}{3}\mathrm{\,d}x=\left. {\displaystyle\frac{1}{3}\cdot\displaystyle\frac{6^x}{\ln 6}} \right|_{1}^{2}=\displaystyle\frac{12}{\ln 6}-\displaystyle\frac{2}{\ln 6}=\displaystyle\frac{10}{\ln 6}\).
Câu 16:
Cho \(f(x)=\begin{cases}x^2 & \text { khi } x \leq 1\\ 2 x-1 & \text { khi } x\geq1\end{cases}\). Tính \(\displaystyle\int\limits_0^3 f(x) \mathrm{\,d} x\).
\begin{eqnarray*}\displaystyle\int\limits_0^3 f(x) \mathrm{\,d} x&=&\displaystyle\int\limits_0^1 f(x) \mathrm{\,d} x+\displaystyle\int\limits_1^3 f(x) \mathrm{\,d}x\\ &=&\displaystyle\int\limits_0^1 x^2 \mathrm{~d} x+\displaystyle\int\limits_1^3(2 x-1) \mathrm{\,d} x\\ &=&\displaystyle\frac{x^3}{3}\bigg|_0 ^1+\left(x^2-x\right)\bigg|_1 ^3\\&=&\displaystyle\frac{1}{3}+6=\displaystyle\frac{19}{3}.\end{eqnarray*}
Câu 17:
Tính \(\displaystyle\int\limits_0^3 |x-2|\mathrm{d\,}x\).
Ta có \(|x-2|=\begin{cases}x-2\quad &\text{nếu}\ x\geq 2\\ -x+2\quad &\text{nếu}\ x\leq 2.\end{cases}\)
\[\begin{aligned}\displaystyle\int\limits_{0}^{3}|x-2| \mathrm{\,d} x & =\displaystyle\int\limits_{0}^{2}|x-2| \mathrm{\,d} x+\displaystyle\int\limits_{2}^{3}|x-2| \mathrm{\,d} x=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}(2-x) \mathrm{\,d} x+\displaystyle\int\limits_{2}^{3}(x-2) \mathrm{\,d} x\\ & =\left.\left(2 x-\displaystyle\frac{x^{2}}{2}\right)\right|_{0} ^{2}+\left.\left(\displaystyle\frac{x^{2}}{2}-2 x\right)\right|_{2} ^{3}=[(4-2)-0]+\left[\left(\displaystyle\frac{9}{2}-6\right)-(2-4)\right]=\displaystyle\frac{5}{2}.\end{aligned}\]
Câu 18:
Tính \(\displaystyle\int\limits_0^3\left|x^2-2 x\right|\mathrm{\,d}x\).
Ta có \(\left|x^2-2 x\right|=\begin{cases}-\left(x^2-2 x\right) &,\, 0 \leq x \leq 2 \\ x^2-2 x &,\, 2 < x \leq 3.\end{cases}\)
Do đó
\[\begin{aligned}\displaystyle\int\limits_0^3\left|x^2-2 x\right|\mathrm{\,d}x &=\displaystyle\int\limits_0^2\left|x^2-2 x\right|\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_2^3\left|x^2-2 x\right|\mathrm{\,d}x\\ &=\displaystyle\int\limits_0^2\left(-x^2+2 x\right) \mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_2^3\left(x^2-2 x\right) \mathrm{\,d}x\\ &=\left.\left(-\displaystyle\frac{x^3}{3}+x^2\right)\right|_0 ^2+\left.\left(\displaystyle\frac{x^3}{3}-x^2\right)\right|_2 ^3=\displaystyle\frac{8}{3}.\end{aligned}\]
Câu 19:
Tính \(\displaystyle\int\limits_{0}^{3}|2 x-3|\mathrm{\,d}x\).
Ta có
\(\displaystyle\int\limits_{0}^{3}|2 x-3|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{3}{2}}|2 x-3|\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{\frac{3}{2}}^3|2 x-3|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{3}{2}}\left(2x-3\right)\mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{\frac{3}{2}}^3\left(2x-3\right)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\frac{9}{2}.\)
Câu 20:
Tính tích phân \(\displaystyle\int\limits_0^{2 \pi}|\sin x| \mathrm{\,d} x\).
\begin{eqnarray*}\displaystyle\int\limits_0^{2 \pi}|\sin x| \mathrm{\,d} x&=&\displaystyle\int\limits_0^\pi|\sin x| \mathrm{\,d} x+\displaystyle\int\limits_\pi^{2 \pi}|\sin x| \mathrm{\,d} x\\ &=&\displaystyle\int\limits_0^\pi \sin x \mathrm{~d} x-\displaystyle\int\limits_\pi^{2 \pi} \sin x \mathrm{~d} x\\ &=&-\cos x\bigg|_0 ^\pi+\cos x\bigg|_\pi ^{2 \pi}=4.\end{eqnarray*}
Câu 21:
Tính các tích phân sau
a) \(\displaystyle\int\limits_{-2}^1|2 x+2|\mathrm{\,d}x\);
b) \(\displaystyle\int\limits_0^4\left|x^2-4\right|\mathrm{\,d}x\);
c) \(\displaystyle\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x|\mathrm{\,d}x\).
a) \(\displaystyle\int\limits_{-2}^1|2 x+2|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{-2}^{-1}\left(-2x-2\right) \mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{-1}^1\left(2x+2\right) \mathrm{\,d}x=\left.\left(-x^2-2x\right)\right|_{-2}^{-1}+\left.\left(x^2+2x\right)\right|_{-1}^{1}=5\);
b) \(\displaystyle\int\limits_0^4\left|x^2-4\right|\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_0^2\left(4-x^2\right) \mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_2^4\left(x^2-4\right) \mathrm{\,d}x=\left.\left(4x-\displaystyle\frac{x^3}{3}\right)\right|_0 ^2+\left.\left(\displaystyle\frac{x^3}{3}-4x\right)\right|_2^4=16\);
c) \(\displaystyle\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x| \mathrm{\,d} x=\displaystyle\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{0}-\sin x \mathrm{\,d}x+\displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin x \mathrm{\,d}x=\cos x\Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{0}-\cos x\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=2\).
Câu 22:
Một vật chuyển động với tốc độ \(v(t)=3t+4\ \mathrm{(m/s)}\), với thời gian \(t\) tính theo giây, \(t\in[0;5]\). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ \(t=0\) đến \(t=5\).
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian trên là
\(s=\displaystyle\int\limits_{0}^{5}v(t)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_{0}^{5}(3t+4)\mathrm{\,d}x=\left(\displaystyle\frac{3t^2}{2}+4t\right)\bigg|_{0}^{5}=\displaystyle\frac{75}{2}+20=\displaystyle\frac{115}{2}\).
Câu 23:
Một vật chuyển động theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm \(t\) (giây) là \(v(t)=t^{2}-t-6\) (m/s).
a) Tìm độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian \(1 \leq t \leq 4\), tức là tính \(\displaystyle\int\limits_{1}^{4} v(t) \mathrm{d} t\).
b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này, tức là tính \(\displaystyle\int\limits_{1}^{4}|v(t)| \mathrm{\,d}t\).
a) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian \(1 \leq t \leq 4\) là
\(\displaystyle\int\limits_{1}^{4} (t^{2}-t-6) \mathrm{d} t=-\displaystyle\frac{9}{2}.\)
b) Tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian \(1 \leq t \leq 4\) là
\(\displaystyle\int\limits_{1}^{4} |t^{2}-t-6|\mathrm{d} t=\displaystyle\frac{61}{6}.\)
Câu 24:
Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở hình.
a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên.
b) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên.
a) Quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên bằng diện tích tam giác \(OAD\):
\[S_{OAD} = \displaystyle\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot 2 = 1\ (m).\]
b) Quãng đường mà vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên bằng diện tích hình thang \(OABC\):
\[S_{OABC} = \displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2 \cdot (2+1) = 3\ (m).\]
Câu 25:
Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản thường bơi từ biển ngược dòng vào sông với vân tốc là \(v(t) = -\displaystyle\frac{2t}{5} +4 \) (km/h). Nếu coi thời điểm ban đầu \(t=0\) là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông thì khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là bao nhiêu?
Khi cá dừng thì \(v(t)=0\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{2t}{5}+4=0\Leftrightarrow t=10\) (h).\\
Khi đó cá bơi được quảng đường xa nhất, quãng đường di chuyển bằng
\[s(10)-s(0)= \displaystyle \int\limits_0^{10} v(t)\mathrm{\,d}t= 20\ (\text{km}).\]
Câu 26:
Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hoá bằng công thức \(P^{\prime}(x)=-0{,}0005 x+12,2.\) Ở đây \(P(x)\) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm.
a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 101 đơn vị sản phẩm.
b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 110 đơn vị sản phẩm.
a) Ta có \(\displaystyle\int\limits_{100}^{101} P'(x)\mathrm{\,d}x \approx 12{,}5\) nên khi doanh số tăng từ 100 lên 101 đơn vị sản phẩm thì lợi nhuận tăng khoảng \(12,5\) triệu đồng.
b) Ta có \(\displaystyle\int\limits_{100}^{110} P'(x)\mathrm{\,d}x\approx 121{,}5\) nên khi doanh số tăng từ 100 lên 110 đơn vị sản phẩm thì lợi nhuận tăng khoảng \(121{,}5\) triệu đồng.
Câu 27:
Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là hình vành khuyên như Hình 9. Khí bên trong ống được duy trì ở \(150^{\circ} C\). Biết rằng nhiệt độ \(T\left(^{\circ} C\right)\) tại điểm \(A\) trên thành ống là hàm số của khoảng cách \(x~(\mathrm{cm})\) từ \(A\) đến tâm của mặt cắt và
\[T^{\prime}(x)=-\displaystyle\frac{30}{x} \quad(6 \leq x \leq 8).\]
Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống.
Ta có \(T(6)=150\) (khí bên trong ống được duy trì ở \(150^{\circ} C\)).
\(T(8)-T(6)=\displaystyle\int\limits_6^{8} T^{\prime}(x) \mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_6^{8}-\displaystyle\frac{30}{x} \mathrm{\,d} x=-30 \displaystyle\int\limits_6^{8}\displaystyle\frac{1}{x} \mathrm{\,d} x\approx -8{,}63.\)
Suy ra \( T(8)=T(6)-8{,}63\approx 141{,}37\) (\(^{\circ} C\)).
Vậy nhiệt độ mặt ngoài của ống là \(141{,}37^{\circ} C\).
Câu 28:
Một ô tô đang chạy với vận tốc \(20\) (m/s) thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động với vận tốc \(v(t)=-5t+20\) (m/s), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển thêm một quãng đường dài bao nhiêu mét?
Thời gian tính từ lúc đạp phanh cho đến khi dừng lại là
\(v(t)=0\Leftrightarrow-5t+20=0\Leftrightarrow t=4\) (s).
Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển thêm một quãng đường dài là
\(\displaystyle\int_{0}^{4}v\left(t\right)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int_{0}^{4}\left(-5t+20\right)\mathrm{\,d}t=40\) (m).
Câu 29:
Cường độ dòng điện (đơn vị: A) trong một dây dẫn tại thời điểm \(t\) giây là \(I(t)=Q'(t)=3t^2-6t+5\), với \(Q(t)\) là điện lượng (đơn vị: C) truyền trong dây dẫn tại thời điểm \(t\). Biết khi \(t=1\) giây, điện lượng truyền trong dây dẫn là \(Q(1)=4\). Tính điện lượng truyền trong dây dẫn khi \(t=3\).
Ta có \(Q(t)=\displaystyle \int Q'(t)\mathrm{\,d}t=\int \left(3t^2-6t+5\right)\mathrm{\,d}t = t^3-3t^2+5t+C\).
Vì \(Q(1)=4\Rightarrow 1-3+5+C=4\Leftrightarrow C=1\Rightarrow Q(t)=t^3-3t^2+5t+1\).
Suy ra điện lượng truyền trong dây dẫn khi \(t=3\) là \(Q(3)=3^3-3\cdot 3^2+5\cdot 3+1=16\) (C).
Câu 30:
Ở nhiệt độ \(37^{\circ}C\), một phản ứng hóa học từ chất đầu \(A\), chuyển hóa thành chất sản phẩm \(B\) theo phương trình: \(A \rightarrow B\). Giả sử \(y(x)\) là nồng độ chất \(A\) (đơn vị mol \(\text{L}^{-1}\)) tại thời gian \(x\) (giây), \(y(x) > 0\) với \(x \geq 0\), thỏa mãn hệ thức: \(y'(x) = -7 \cdot 10^{-4} y(x)\) với \(x \geq 0\). Biết rằng tại \(x=0\), nồng độ (đầu) của \(A\) là 0{,}05 mol \(\text{L}^{-1}\).
a) Xét hàm số \(f(x) = \ln y(x)\) với \(x \geq 0\). Hãy tính \(f'(x)\), từ đó hãy tìm hàm số \(f(x)\).
b) Giả sử ta tính nồng độ trung bình chất \(A\) (đơn vị mol \(\text{L}^{-1}\)) từ thời điểm \(a\) (giây) đến thời điểm \(b\) (giây) với \(0
a) Ta có \(f'(x) = \left( \ln y(x) \right)' = \displaystyle\frac{y'(x)}{y(x)} = -7 \cdot 10^{-4}\).
Suy ra \(f(x) = \displaystyle\int\limits -7 \cdot 10^{-4} \mathrm{~d}x = -7 \cdot 10^{-4} x + C\).
Tại \(x = 0\), ta có \(f(0) = \ln y(0) = \ln(0{,}05)\), suy ra \(C = \ln(0{,}05)\).
Vậy \(f(x) = -7 \cdot 10^{-4} x + \ln(0{,}05) \).
b) Ta có \(f(x) = \ln y(x)\) với \(x \geq 0\), suy ra \(y(x) = \mathrm{e}^{f(x)} = \mathrm{e}^{-7 \cdot 10^{-4} x + \ln(0{,}05)}= 0{,}05 \mathrm{e}^{-7 \cdot 10^{-4}x}\).
Nồng độ trung bình của chất \(A\) từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây là:
\[\displaystyle\frac{1}{30-15} \displaystyle\int\limits_{15}^{30} 0{,}05 \mathrm{e}^{-7 \cdot 10^{-4}x } \mathrm{~d}x = \displaystyle\frac{0{,}05}{15} \left. \displaystyle\frac{ \mathrm{e}^{-7 \cdot 10^{-4}x }}{-7 \cdot 10^{-4}} \right|_{15}^{30} \approx 0{,}04922 . \]
Câu 31:
a) Cho một vật chuyển động với vận tốc \(y = v(t)\) (m/s). Cho \(0
b) Áp dụng công thức ở câu a) để giải bài toán sau: Một vật chuyển động với vận tốc \(v(t) = 2 - \sin t \) (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm \(t=0\) (s) đền thời điểm \(t = \displaystyle\frac{3\pi}{4}\) (s).
a) Ta đã biết, công thức tính quãng đường \(s(t)\) vật đi được trong \(t\) (giây) là một nguyên hàm của \(v(t)\) (m/s).
Do đó \(\displaystyle\int\limits_a^b v(t) \mathrm{~d}t = s(b)-s(a)\) biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ \(a\) đến \(b\) (\(a,b\) tính theo giây).
b) Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm \(t=0\) (s) đền thời điểm \(t = \displaystyle\frac{3\pi}{4}\) (s) là :
\[\displaystyle\int\limits_0^{\frac{3\pi}{4}} 2 - \sin t \mathrm{~d}t = (2t+\cos t)\bigg|_0^{\frac{3\pi}{4}} = \left(\displaystyle\frac{6\pi}{4}+\cos\displaystyle\frac{3\pi}{4}\right) - (0 + \cos 0) = \displaystyle\frac{3\pi}{2} - \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \, (m).\]
Câu 32:
Tốc độ \(v\) \((\mathrm{m}/s)\) của một thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất theo thời gian \(t\) (giây) được cho bởi công thức:
\[v(t)=\begin{cases}t &,\ 0 \leq t \leq 2\\ 2 &,\ 2
Tính quãng đường chuyển động và tốc độ trung bình của thang máy.
Quãng đường chuyển động của thang máy là
\[\displaystyle\int\limits_0^{24} v(t) \mathrm{\,dt} =\displaystyle\int\limits_0^2 t \mathrm{\,dt}+\displaystyle\int\limits_2^{20} 2 \mathrm{\,dt}+\displaystyle\int\limits_{20}^{24} (12-0{,}5t) \mathrm{\,dt}=42\, (\mathrm{m}).\]
Tốc độ trung bình của thang máy là
\[\displaystyle\frac{1}{24-0} \displaystyle\int\limits_0^{24} v(t) \mathrm{\,d} t=\displaystyle\frac{42}{24}=1{,}75\, (\mathrm{m/s}).\]
Câu 33:
Tại một nhà máy, gọi \(C(x)\) là tổng chi phí (tính theo triệu đồng) để sản xuất \(x\) tấn sản phẩm \(\mathrm{A}\) trong một tháng. Khi đó, đạo hàm \(C^{\prime}(x)\), gọi là chi phí cận biên, cho biết tốc độ tăng tổng chi phí theo lượng sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức \(C^{\prime}(x)=5-0{,}06 x+0{,}00072 x^2 \text{ với } 0 \leq x \leq 150.\) Biết rằng \(C(0)=30\) triệu đồng, gọi là chi phí cố định. Tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm A trong tháng.
Ta có:
\[\begin{aligned}C(100)-C(0) &=\displaystyle\int\limits_0^{100} C^{\prime}(x) \mathrm{\,d} x=\displaystyle\int\limits_0^{100}\left(5-0{,}06 x+0{,}00072 x^2\right) \mathrm{\,d} x \\ &=5 \displaystyle\int\limits_0^{100} \mathrm{\,d} x-0{,}06 \displaystyle\int\limits_0^{100} x \mathrm{\,d} x+0{,}00072 \displaystyle\int\limits_0^{100} x^2 \mathrm{\,d} x \\ &=\left.5 x\right|_0 ^{100}-0{,}03 x^2\left.\right|_0 ^{100}+0{,}00024 x^3\left.\right|_0 ^{100}=440.\end{aligned}\]
Suy ra \(C(100)=C(0)+440=30+440=470\) (triệu đồng).
Vậy khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm A trong tháng thì tổng chi phí là \(470\) triệu đồng.
Câu 34:
Sau khi được thả rơi tự do từ độ cao \(100\) m, một vật rơi xuống với tốc độ \(v(t)=10t\) (m/s), trong đó \(t\) là thời gian tính theo giây kể từ khi thả vật.
a) Tính quãng đường \(s(t)\) vật di chuyển được sau thời gian tính theo giây kể từ khi thả vật.
b) Sau bao nhiêu giây thì vật chạm đất? Tính tốc độ rơi trung bình của vật.
a) Ta có \(s(t)=\displaystyle \int v(t)\mathrm{\,d}t=\displaystyle \int 10t\mathrm{\,d}t=5t^2+C\).
Do \(s(0)=0\) nên \(5.0^2+C=0\) hay \(C=0\).
Vậy quãng đường vật di chuyển sau thời gian \(t\) giây là: \(s(t)=5t^2\).
b) Khi vật chạm đất thì \(s(t)=100\Leftrightarrow 5t^2=100\Leftrightarrow t=2\sqrt{5}\).
Vậy vật chạm đất sau \(t=2\sqrt{5}\) giây.
Câu 35:
Một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ \(v_0=10\) m/s thì tăng tốc với gia tốc không đổi \(a=2\) m/s\(^{2}\). Tính quãng đường xe đó đi được trong \(3\) giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
Vận tốc xe tại thời điểm \(t\) giây là
\(v(t)=\displaystyle\int a(t)\mathrm{\,d}t=\int 2\mathrm{\,d}t=2t+C\).
Ta có \(v(0)=10\Leftrightarrow C=10\).
Do đó \(v(t)=2t+10\) (m/s).
Quãng đường xe đi được sau \(t\) giây là
\(s(t)=\displaystyle\int v(t)\mathrm{\,d}t=\int (2t+10)\mathrm{\,d}t=t^2+10t+C\) (m).
Lúc bắt đầu tăng tốc (tại thời điểm \(t=0\)) thì \(s=0\) nên ta có \(0^2+10\cdot 0+C=0\Rightarrow C=0\).
Suy ra \(s(t)=t^2+10t\).
Từ đó suy ta \(s(3)=3^2+10\cdot 3=39\) (mét).
Câu 36:
Một khinh khí cầu bay với độ cao (so với mực nước biển) tại thời điểm \(t\) là \(h(t)\), trong đó \(t\) tính bằng phút, \(h(t)\) tính bằng mét. Tốc độ bay của khinh khí cầu được cho bởi hàm số \(v(t)=-0{,}12t^2+1{,}2t,\) với \(t\) tính bằng phút, \(v(t)\) tính bằng mét/phút. Tại thời điểm xuất phát \((t=0)\), khinh khí cầu ở độ cao \(520\) m và \(5\) phút sau khi xuất phát, khinh khí cầu đã ở độ cao \(530\) m.
a) Viết công thức xác định hàm số \(h(t)\) \((0\le t\le29)\).
b) Độ cao tối đa của khinh khí cầu khi bay là bao nhiêu?
c) Khi nào khinh khí cầu sẽ trở lại độ cao khi xuất phát?
a) Công thức xác định hàm số \(h(t)\) là
\begin{align*}h(t)&=\displaystyle\int v(t)\mathrm{d}t\,=\displaystyle\int(-0{,}12t^2+1{,}2t)\mathrm{d}t\,\\ &=-\displaystyle\frac{0{,}12}3t^3+\displaystyle\frac{1{,}2}2t^2+C=-0{,}04t^3+0{,}6t^2+C.\end{align*}
Vì \(h(0)=520\) nên \(C=520\).
Vậy \(h(t)=-0{,}04t^3+0{,}6t^2+520\).
)b Ta có \(h'(t)=v(t)=-0{,}12t^2+1{,}2t=0\Leftrightarrow\) hoặc \(t=0\) hoặc \(t=10.\)
Lập bảng biến thiên, ta được
Vậy độ cao của khinh khí cầu khi bay là \(540\) mét.
a) Khi khí cầu trở lại độ cao khi xuất phát ứng với \(t\) là nghiệm của phương trình
\(h(t)=h(0)\Leftrightarrow -0{,}04t^3+0{,}6t^2+520=520\Leftrightarrow t=0\) hoặc \(t=15.\)
Vậy \(15\) phút sau khi xuất phát thì khinh khí cầu trở lại độ cao khi xuất phát.
Câu 37:
Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong \(100\) ngày. Số lượng công nhân được sử dụng tại thời điểm \(t\) cho bởi hàm số \(m(t)=500+50\sqrt{t}-10t,\) trong đó \(t\) tính theo ngày (\(0\le t\le100\)), \(m(t)\) tính theo người.
a) Khi nào có \(360\) công nhân được sử dụng?
b) Khi nào số công nhân được sử dụng lớn nhất?
c) Gọi \(M(t)\) là số ngày công được tính đến hết ngày thứ \(t\) (kể từ khi khởi công công trình). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng \(M'(t)=m(t)\). Tổng cộng cần bao nhiêu ngày công để hoàn thành công trình xây dựng đó?
a) Khi có \(360\) công nhân được sử dụng ta có
\begin{align*}m(t)=360&\Leftrightarrow 500+50\sqrt{t}-10t=360\Leftrightarrow 10t-50\sqrt{t}-140=0\\ &\Leftrightarrow \sqrt{t}=7\ \vee\ \sqrt{t}=-2\text{ (loại)}\Leftrightarrow t=49.\end{align*}
Vậy sau \(t=49\) ngày thì có \(360\) công nhân được sử dụng.
b) Ta có \(m'(t)=50\cdot\displaystyle\frac1{2\sqrt{t}}-10=0\Leftrightarrow \sqrt{t}=\displaystyle\frac{25}{10}=2{,}5\Leftrightarrow t=2{,}5^2=6{,}25\).\\
Ta có \(m(0)=500\); \(m(2)=560\); \(m(3)=560\); \(m(10)=0\).
Vậy số công nhân được sử dụng nhiều nhất vào ngày thứ \(2\) và ngày thứ \(3\).
c) Vì \(M'(t)=m(t)\) nên tổng số ngày công để hoành thành công trình đó là
\(\displaystyle\int\limits_0^{100}M'(t)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int\limits_0^{100}(500+50\sqrt{t}-10t)\mathrm{\,d}t\approx33~333\) (ngày).
Cách khác, ta có
\begin{align*}M(t)&=\displaystyle\int m(t)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int(500+50\sqrt{t}-10t)\mathrm{\,d}t\cr&=500t+50\cdot\displaystyle\frac23t^{\frac32}-10\cdot\displaystyle\frac{t^2}2+C=500t+\displaystyle\frac{1000}{3}t\sqrt{t}-5t^2+C.\end{align*}
Vì \(M(0)=0\) nên \(C=0\).
Vậy số ngày công để hoành thành công trình đó là
\(M(100)=500\cdot100+\displaystyle\frac{1000}{3}\cdot100\cdot\sqrt{100}-5\cdot100^2\approx33~333\) (ngày).
Câu 38:
Một chiếc xe ô tô chạy thẻ nghiệm trên một đường thẳng bắt đầu từ trạng thái đứng yên. Tốc độ của chiếc xe ô tô đó (tính bằng mét/giây) lần lượt ở giây thứ \(10\), thứ \(20\), thứ \(30\), thứ \(40\), thứ \(50\) và thứ \(60\) được ghi lại trong bảng sau:
a) Hãy xây dựng hàm số bậc ba \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) (\(a\ne0\)) để biểu diễn các số liệu ở bảng trên, tức là ở hệ trục tọa độ \(Oxy\), đồ thị của hàm số đó trên nửa khoảng \([0;+\infty)\) "gần" với các điểm \(O(0;0)\), \(B(10;5)\), \(C(20;21)\), \(D(30;40)\), \(E(40;62)\), \(G(50;78)\), \(K(60;83)\).
b) Hãy tính (gần đúng) quãng đường mà xe ô tô đó đã đi được tính đến giây thứ \(60\) của quá trình thử nghiệm.
a) Từ dữ liệu đề bài, ta có hệ
\(\begin{cases} d=0\\ 10^3a+10^2b+10c+d=5\\ 20^3a+20^2b+20c+d=21\\ 30^3a+30^2b+30c+d=40\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a=-\displaystyle\frac1{750}\\ b=\displaystyle\frac{19}{200}\\ c=-\displaystyle\frac{19}{60}\\ d=0.\end{cases}\)
Từ đó ta có \(f(x)=-\displaystyle\frac1{750}x^3+\displaystyle\frac{19}{200}x^2-\displaystyle\frac{19}{60}x\).
b) Quãng đường mà xe ô tô đó đã đi được tính đến giây thứ \(60\) là
\(S=\int\limits_0^60f(t)\mathrm{\,d}t=1~950\) (mét).