Đường thẳng \(\Delta\) có phương trình \(\dfrac{x-1}{2}=\frac{y-0}{3}=\dfrac{z-(-2)}{1}\) nên điểm \(A(1 ; 0 ;-2)\) thuộc \(\Delta\) và \(\overrightarrow{u}=(2 ; 3 ; 1)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta\).

a) Ba vectơ chỉ phương của \(d\) lần lượt là \(\left(8;-4;12\right)\), \(\left(4;-2;6\right)\), \(\left(2;-1;3\right)\).

b) Thay \(t=-1\) vào phương trình tham số của \(d\) ta được

\(\left\{ \begin{array}{l}x=-1+8\cdot (-1)\\y=-4\cdot (-1)\\z=3+12\cdot (-1)\end{array}\right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x=-9\\y=4\\z=-9.\end{array}\right.\)

Vậy \(A=\left( -9;4;-9\right)\).

Tương tự, với \(t=0\) thì \(B\left( -1;0;3\right)\), với \(t=1\) thì \(C\left( 7;-4;15\right)\).

a) Từ phương trình tham số, ta có \(\overrightarrow{a}=\left( 6;2;4 \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(d\).

Chọn \(\overrightarrow{b}=\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{a}=\left( 3;1;2 \right)\), ta có \(\overrightarrow{b}\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(d\).

b) Thay \(t=0\) vào phương trình tham số của \(d\), ta được:

\(\left\{\begin{array}{l}x=-2+6 \cdot 0\\y= 11+2 \cdot 0\\z=4 \cdot 0\end{array}\right.\) hay \(\left\{\begin{array}{l}x=-2\\y= 11\\z=0.\end{array}\right.\)

Vậy \(A\left( -2;11;0 \right)\).

Tương tự, với \(t=2\) thì \(B\left( 10;15;8 \right)\), với \(t=-3\) thì \(C\left( -20;5;-12 \right)\).

Một vectơ chỉ phương của \(AB\) là \(\overrightarrow{AB}=\left(6;3;2\right)\).

Một vectơ chỉ phương của \(A'C'\) là \(\overrightarrow{A'C'}=\overrightarrow{AC}=\left(3;0;-1\right)\).

Một vectơ chỉ phương của \(BB'\) là \(\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{AA'}=\left(3;7;8\right)\).

a) Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( -2;4;0 \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\); \(\overrightarrow{AC}=\left( -2;0;7 \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AC\).

b) Vì \(\overrightarrow{v}=\left( -1;2;0 \right)=\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) nên \(\overrightarrow{v}\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\).

a) Với \(t=0\), ta có \(x=1\); \(y=3\); \(z=-1\). Suy ra \(A(1;3;-1)\in\Delta\).

Với \(t=1\), ta có \(x=0\); \(y=5\); \(z=2\). Suy ra \(B(0;5;2)\in\Delta\).

b) Thay tọa độ điểm \(C(6;-7;-16)\) vào phương trình tham số của \(\Delta\) ta có

\(\begin{cases}6=1-t\\-7=3+2t\\-16=-1+3t\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}t=-5\\t=-5\\t=-5\end{cases}\Leftrightarrow t=-5.\)

Vậy điểm \(C\in\Delta\).

Thay tọa độ điểm \(D(-3;11;-11)\) vào phương trình tham số của \(\Delta\) ta có

\(\begin{cases}-3=1-t\\11=3+2t\\-11=-1+3t\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}t=4\\t=4\\t=-\displaystyle\frac{10}{3}\end{cases}\Leftrightarrow t\in\varnothing.\)

Vậy điểm \(D\notin\Delta\).

Đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) có véc-tơ chỉ phương lẩn lượt là \(\overrightarrow{u}_1=(3 ; 2 ; 1), \overrightarrow{u}_2=(-1 ; 2 ;-1)\).

Ta có \(\overrightarrow{u}_1 \cdot \overrightarrow{u}_2=3 \cdot(-1)+2 \cdot 2+1 \cdot(-1)=0\).

Suy ra \(\Delta_1 \perp \Delta_2\).

a) \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{a}=(3;5;1)\) và \(\overrightarrow{a}'=(1;1;-8)\).

Ta có \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}'=3+5-8=0\). Vậy \(d\) và \(d'\) vuông góc với nhau.

b) \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{a}=(3;5;1)\) và \(\overrightarrow{a}'=(2;1;1)\).

Ta có \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}'=6+5+1\ne 0\). Vậy \(d\) và \(d'\) không vuông góc với nhau.

a) \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{a}=(1;-3;1)\) và \(\overrightarrow{a}'=(1;1;2)\).

Ta có \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}'=1\cdot 1+(-3)\cdot 1+1\cdot 2=0\). Vậy \(d\) và \(d'\) vuông góc với nhau.

b) \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{a}=(7;3;1)\) và \(\overrightarrow{a}'=(2;2;2)\).

Ta có \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}'=7\cdot 2+3\cdot 2+1\cdot 2=22\ne 0\). Vậy \(d\) và \(d'\) không vuông góc với nhau.

a) \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{a}=(1;2;1)\) và \(\overrightarrow{a}'=(1;1;2)\).

Ta có \(\cos (d,d')=\displaystyle\frac{\left |1\cdot 1+2\cdot 1+1\cdot 2 \right |}{\sqrt{1^2+2^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2+2^2}}=\displaystyle\frac{5}{6}\).

Suy ra \((d,d')\approx 33^{\circ}33'\).

b) \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{a}=(1;2;2)\) và \(\overrightarrow{a}'=(-2;-2;1)\).

Ta có \(\cos (d,d')=\displaystyle\frac{\left |1\cdot (-2)+2\cdot (-2)+2\cdot 1 \right |}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}\cdot\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+1^2}}=\displaystyle\frac{4}{9}\).

Suy ra \((d,d')\approx 63^{\circ}36'\).

c) \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{a}=(1;2;-1)\) và \(\overrightarrow{a}'=(2;4;10)\).

Ta có \(\cos (d,d')=\displaystyle\frac{\left |1\cdot 2+2\cdot 4+(-1)\cdot 10 \right |}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{2^2+4^2+10^2}}=0\).

Suy ra \((d,d')=90^{\circ}\).

a) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(3;1;-2)\). Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(6;2;-4)\).

Ta có \(\sin (d,(P))=\displaystyle\frac{\left |3\cdot 6+1\cdot 2+(-2)\cdot (-4) \right |}{\sqrt{3^2+1^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{6^2+2^2+(-4)^2}}=1\).

Suy ra \((d,(P))=90^{\circ}\).

b) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(2;4;2)\). Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(2;2;-4)\).

Ta có \(\sin (d,(P))=\displaystyle\frac{\left |2\cdot 2+4\cdot 2+2\cdot (-4) \right |}{\sqrt{2^2+4^2+2^2}\cdot\sqrt{2^2+2^2+(-4)^2}}=\displaystyle\frac{1}{6}\).

Suy ra \((d,(P))\approx 9^{\circ}36'\).

c) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(4;4;2)\). Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(0;2;-4)\).

Ta có \(\sin (d,(P))=\displaystyle\frac{\left |4\cdot 0+4\cdot 2+2\cdot (-4) \right |}{\sqrt{4^2+4^2+2^2}\cdot\sqrt{0^2+2^2+(-4)^2}}=0\).

Suy ra \((d,(P))=0^{\circ}\).

\(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(2;4;2)\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}'=(3;3;6)\).

Ta có \(\cos (d,d')=\displaystyle\frac{|2\cdot 3+4\cdot 3+2\cdot 6|}{\sqrt{2^2+4^2+2^2}\cdot\sqrt{3^2+3^2+6^2}}=\displaystyle\frac{5}{6}\).

Suy ra \((d,d')\approx 33^{\circ}33'\).

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(2;2;1)\).

Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(0;3;-3)\).

Ta có \(\sin (d,(P))=\displaystyle\frac{\left |2\cdot 0+2\cdot 3+1\cdot (-3) \right |}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}\cdot\sqrt{0^2+3^2+(-3)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{6}\).

Suy ra \(\left (d,(P) \right )\approx 13^{\circ}38'\).

Ta có

\(\sin (\Delta,(P))=\displaystyle\frac{|1 \cdot 2+2 \cdot 2+2 \cdot(-1)|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2} \cdot \sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}}=\displaystyle\frac{4}{9}\).

Suy ra \((\Delta,(P)) \approx 26^{\circ}\).

Hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) có véc-tơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{u}_1=(1;-\sqrt{3}; 0)\), \(\overrightarrow{u}_2=(-\sqrt{3}; 1; 0)\).

Ta có:

\(\cos \left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\frac{|1\cdot(-\sqrt{3})+(-\sqrt{3}) \cdot 1+0\cdot 0|}{\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2+0^2} \cdot \sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2+0^2}}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\)

Suy ra \(\left(\Delta_1, \Delta_2\right)=30^{\circ}\).

}

Hai đường thẳng \(\Delta\) và \(\Delta'\) tương ứng có các vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(1; 1; 0), \overrightarrow{u'}=(2; 2; 1)\).

Khi đó

\(\cos \left(\Delta, \Delta'\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u}'\right)\right|=\displaystyle\frac{|1 \cdot 2+1 \cdot 2+0 \cdot 1|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2} \cdot \sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\displaystyle\frac{2 \sqrt{2}}{3}.\)

Vậy \(\left(\Delta, \Delta'\right) \approx 19{,}5^\circ\).

a) \(\Delta_1\), \(\Delta_2\) lần lượt có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=\left(1;\sqrt{3};0\right)\) và \(\overrightarrow{u}_2=\left(\sqrt{3};1;0\right)\).

Ta có \(\cos\left(\Delta_1,\Delta_2\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}_1\cdot\overrightarrow{u}_2\right|}{\left|\overrightarrow{u}_1\right|\cdot\left|\overrightarrow{u}_2\right|}=\displaystyle\frac{\left|1\cdot\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot1+0\cdot0\right|}{\sqrt{1^2+\left(\sqrt{3}\right)^2+0^2}\cdot\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+1^2+0^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Vậy \(\left(\Delta_1,\Delta_2\right)=30^\circ\).

b) \(\Delta_1\), \(\Delta_2\) lần lượt có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=(2;1;-1)\) và \(\overrightarrow{u}_2=(3;1;-2)\).

Ta có \(\cos\left(\Delta_1,\Delta_2\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}_1\cdot\overrightarrow{u}_2\right|}{\left|\overrightarrow{u}_1\right|\cdot\left|\overrightarrow{u}_2\right|}=\displaystyle\frac{|2\cdot3+1\cdot1+(-1)\cdot(-2)|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{3^2+1^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{3\sqrt{21}}{14}\).

Vậy \(\left(\Delta_1,\Delta_2\right)\approx11^\circ\).

c) \(\Delta_1\), \(\Delta_2\) lần lượt có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=(1;1;-1)\) và \(\overrightarrow{u}_2=(-1;3;1)\).

Ta có \(\cos\left(\Delta_1,\Delta_2\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}_1\cdot\overrightarrow{u}_2\right|}{\left|\overrightarrow{u}_1\right|\cdot\left|\overrightarrow{u}_2\right|}=\displaystyle\frac{|1\cdot(-1)+1\cdot3+(-1)\cdot1|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{(-1)^2+3^2+1^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{33}}{33}\).

Vậy \(\left(\Delta_1,\Delta_2\right)\approx80^\circ\).

a) \(\Delta\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left(\sqrt{3};0;1\right)\) và \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left(\sqrt{3};0;1\right)\).

Ta có \(\overrightarrow{u}\) cùng phương với \(\overrightarrow{n}\) nên \(\Delta\perp(P)\).

Vậy \(\left(\Delta,(P)\right)=90^\circ\).

b) \(\Delta\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(1;-1;1)\) và \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(1;1;1)\).

Ta có \(\sin\left(\Delta,(P)\right)=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}\right|}=\displaystyle\frac{|1\cdot1+(-1)\cdot1+1\cdot1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\displaystyle\frac{1}{3}\).

Vậy \(\left(\Delta_1,\Delta_2\right)=71^\circ\).

Đường thẳng \(\Delta\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(-1; 2; 3)\), mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(1;1;1)\).

Ta có

\(\sin (\Delta,(P))=\displaystyle\frac{|(-1) \cdot 1+2 \cdot1+3 \cdot 1|}{\sqrt{(-1)^2+2^2+3^2} \cdot \sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\displaystyle\frac{2\sqrt{42}}{21}.\)

Vậy \(\left(\Delta, (P)\right) \approx 38{,}11^\circ\).

Ta có \(\overrightarrow{u}_1=(1;-\sqrt{2};1)\), \(\overrightarrow{u}_2=(1;1;-\sqrt{2})\).

Ta có \(\cos \left(\Delta_1; \Delta_2\right) = \displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}_1 \cdot \overrightarrow{u}_2\right| }{\left|\overrightarrow{u}_1\right| \cdot \left|\overrightarrow{u}_2\right| } = \displaystyle\frac{\left|1-\sqrt{2}-\sqrt{2}\right|}{\sqrt{1^2+(-\sqrt{2})^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+1^2+(-\sqrt{2})^2}} = \displaystyle\frac{1-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\).

Suy ra \(\left(\Delta_1; \Delta_2\right)\approx 50^{\circ}\).

Ta có \(\overrightarrow{u}_{\Delta}= (2;-3;4)\) và \(\overrightarrow{n}_{P}=(1;1;1)\).

\(\sin \left(\Delta; (P)\right) = \left|\cos\left(\overrightarrow{u}_{\Delta}; \overrightarrow{n}_{P}\right)\right| = \displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}_{\Delta}\cdot \overrightarrow{n}_{P}\right|}{\left|\overrightarrow{u}_{\Delta}\right| \cdot \left| \overrightarrow{n}_{P}\right|} = \displaystyle\frac{3}{\sqrt{29}\cdot \sqrt{3}} =\displaystyle\frac{\sqrt{87}}{29}\).

Suy ra \(\left(\Delta; (P)\right) \approx 19^{\circ}\).

\(d'\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(3;2;4)\).

Vì \(d\parallel d'\) nên \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\), khi đó \(d\) có phương trình tham số là

\(\begin{cases} x=1+3t\\y=2t\\z=1+4t.\end{cases}\)

Ta có phương trình tham số của \(d\) là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x=1+4t\\y=2+5t\\z=3-7t.\end{array}\right.\)

Thay \(x=1\) vào phương trình \(x=1+4t\), ta được \(1=1+4t\), suy ra \(t=0\).

Thay \(y=1\) và \(t=0\) vào phương trình \(y=2+5t\), ta thấy phương trình không thoả mãn. Suy ra đường thẳng \(d\) không đi qua điểm \(A\).

Ta có phương trình tham số của \(d\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x=5+9t\\y=0\\z=-7-2t.\end{array}\right.\)

Thay \(x=-4\) vào phương trình \(x=5+9t\), ta được \(-4=5+9t\), suy ra \(t=-1\).

Thay \(y=0\), \(z=-5\) và \(t=-1\) vào các phương trình \(z=-7-2t\) và \(y=0\), ta thấy thoả mãn. Suy ra đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\).

Đường thẳng \(d\) có phương trình chính tắc là: \(\displaystyle\frac{x-1}{4}=\displaystyle\frac{y-2}{5}=\displaystyle\frac{z-3}{-7}\).

Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là

\(\displaystyle\frac{x-5}{3}=\displaystyle\frac{y}{2}=\displaystyle\frac{z+6}{-4}\)

Đường thẳng \(AB\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB}=\left( 2;4;3 \right)\) nên có phương trình tham số:

\(\left\{ \begin{array}{l}x=1+2t\\y=1+4t\\z=5+3t\end{array}\right.\)

và phương trình chính tắc:

\(\displaystyle\frac{x-1}{2}=\displaystyle\frac{y-1}{4}=\displaystyle\frac{z-5}{3}\)

Đường thẳng \(MN\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{MN}=\left( 2;3;2\right)\) nên có phương trình tham số:

\(\left\{\begin{array}{l}x=4+2t\\y=3+3t\\z=1+2t\end{array}\right.\)

và phương trình chính tắc:

\(\displaystyle\frac{x-4}{2}=\displaystyle\frac{y-3}{3}=\displaystyle\frac{z-1}{2}.\)

a) Phương trình tham số của \(a\) là \(\begin{cases} x=t\\y=-2-5t\\z=-3. \end{cases}\)

b) Đường thẳng \(a\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{AB}=(3;-2;3)\) nên có phương trình tham số: \(\begin{cases} x=3t\\y=-2t\\z=2+3t. \end{cases}\)

a) Đường thẳng \(b\) có phương trình chính tắc là \(\displaystyle\frac{x-1}{5}=\displaystyle\frac{y+2}{-3}=\displaystyle\frac{z+3}{2}\).

b) Đường thẳng \(b\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{AB}=(-2;-6;4)\) nên có phương trình chính tắc là \(\displaystyle\frac{x-4}{-2}=\displaystyle\frac{y-7}{-6}=\displaystyle\frac{z-1}{4}.\)

a) \(d\) qua \(A(3;-3;2)\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(1;3;7)\).

b) Phương trình tham số của \(d \) là \(\begin{cases} x=3+t\\y=-3+3t\\z=2+7t.\end{cases}\)

a) Do \(\Delta\) có phương trình \(\left\{\begin{array}{l}x=-1+3 t \\ y=1+0 t \\ z=0+2 t\end{array}\right.\)

nên điểm \(M(-1 ; 1 ; 0)\) thuộc \(\Delta\) và \(\overrightarrow{u}(3 ; 0 ; 2)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta\).

b) Đường thẳng \(\Delta^{\prime}\) có phương trình tham số là \(\left\{\begin{array}{l}x=2+3 s \\ y=1 \\ z=2 s .\end{array}\right.\)

Đường thẳng \(\Delta\) có phương trình tham số là: \(\left\{\begin{array}{l}x=1+3 t \\ y=-2-5 t \\ z=4+t\end{array}\right.\) và có phương trình chính tắc là \(\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+2}{-5}=\dfrac{z-4}{1}\)

Mặt phẳng \((\alpha)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(3 ; 2 ; 0)\). Giá của \(\overrightarrow{n}=(3 ; 2 ; 0)\) và \(\Delta\) cùng vuông góc với \((\alpha)\) nên chúng trùng nhau hoặc song song với nhau. Do đó \(\Delta\) nhận \(\overrightarrow{n}=(3 ; 2 ; 0)\) làm một véc-tơ chỉ phương.

Vậy \(\Delta\) có phương trình tham số là: \(\left\{\begin{array}{l}x=-1+3 t \\ y=4+2 t \\ z=5 .\end{array}\right.\)

Đường thẳng \(A B\) đi qua \(A(1 ; 2 ;-1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{A B}=(1 ; 2 ; 1)\). Do đó \(A B\) có phương trình chính tắc là \(\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+1}{1}\) và có phương trình tham số là \(\left\{\begin{array}{l}x=1+t \\ y=2+2 t \\ z=-1+t\end{array}\right.\)

a) Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) là

\(\begin{cases}x=2+3 t \\ y=-1+4 t \,\text {(t là tham số)} \\z=4-5 t\end{cases}\)

b) Toạ độ của một véc-tơ chỉ phương của \(\Delta\) là

\(\overrightarrow{u}=(2;-7;9).\)

Ứng vớii \(t=0\) ta có: \(\begin{cases}x=-1+2 \cdot 0=-1 \\ y=5-7 \cdot 0=5 \\ z=9 \cdot 0=0.\end{cases}\)

Suy ra điểm \(B(-1;5;0)\) thuộc đường thẳng \(\Delta\).

Vì \(\Delta\) vuông góc với \((P)\) nên véc-tơ chỉ phương của \(\Delta\) chính là véc-tơ pháp tuyến của \((P)\) là \((3;-1;2)\), \(\Delta\) qua \(C\) nên phương trình là \(\begin{cases}x=1+3t\\y=2-t\\z=-4+2t\end{cases}(t\in \mathbb{R})\).

Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A(1;3;6)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(9;2;13)\) là

\(\displaystyle\frac{x-1}{9}=\displaystyle\frac{y-3}{2}=\displaystyle\frac{z-6}{13}.\)

Phương trình đường thẳng \(\Delta\) có \(\begin{cases}M(-1;3;6)\\\text{VTCP}\, \overrightarrow{u}=(2;-5;9).\end{cases}\)

\(\Rightarrow \displaystyle\frac{x+1}{2}=\displaystyle\frac{3-y}{5}=\displaystyle\frac{z-6}{9}\).

a) Ta có \(\Delta_1\) đi qua \(M_1 (-1;-5;5)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=(3;4;-1)\); \(\Delta_2\) đi qua \(M_2 (-13;5;-17)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_2 = (5;-2;7)\); \(\overrightarrow{M_1M_2 }= (-12;10;-22)\).

Ta có \(\left[\overrightarrow{u}_1; \overrightarrow{u}_2\right]= (26;-26;-26)\) và \(\left[\overrightarrow{u}_1; \overrightarrow{u}_2\right] \cdot \overrightarrow{M_1M_2}= 0\) suy ra \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) cắt nhau.

b) Ta có \(\Delta_1\) đi qua \(M_1 (2;-1;4)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=(2;3;-7)\); \(\Delta_2\) đi qua \(M_2 (-10;-19;45)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_2 = (-6;-9;21)\); \(\overrightarrow{M_1M_2 }= (-12;-18;41)\).

Ta có \(\left[\overrightarrow{u}_1; \overrightarrow{u}_2\right]= (0;0;0)\) và \(\left[\overrightarrow{u}_1; \overrightarrow{M_1M_2}\right] = 160 \ne 0\) nên \(\Delta_1 \parallel \Delta_2\).

c) Ta có \(\Delta_1\) đi qua \(M_1 (-3;5;2)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=(1;1;3)\); \(\Delta_2\) đi qua \(M_2 (-13;9;-13)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_2 = (5;-2;7)\); \(\overrightarrow{M_1M_2 }= (-10;4;-15)\).

Ta có \(\left[\overrightarrow{u}_1; \overrightarrow{u}_2\right]= (13;8;-7)\) và \(\left[\overrightarrow{u}_1; \overrightarrow{u}_2\right] \cdot \overrightarrow{M_1M_2}= 7 \ne 0\) suy ra \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) chéo nhau.

a) \(\Delta_1\) đi qua \(M(1;2;3)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=(2;1;-1)\); \(\Delta_2\) đi qua \(N(-11;-6;10)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_2=(-6;-3;3)\).

Khi đó \(\overrightarrow{MN}=(-12;-8;7)\). Suy ra \(\begin{cases}\overrightarrow{u}_1 \text{ cùng phương }\overrightarrow{u_2}\\\overrightarrow{u}_1\text{ không cùng phương }\overrightarrow{MN}.\end{cases}\)

Vậy \(\Delta_1\parallel\Delta_2 \).

b) \(\Delta_1\) đi qua \(M(1;2;3)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=(3;4;5)\); \(\Delta_2\) đi qua \(N(-3;-6;15)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_2=(1;2;-3)\).

Khi đó \(\overrightarrow{MN}=(-4;-8;12)\). Suy ra \(\begin{cases}\overrightarrow{u}_1\text{ không cùng phương }\overrightarrow{u}_2\\\left[\overrightarrow{u}_1,\overrightarrow{u}_2\right]\cdot\overrightarrow{MN}=0.\end{cases}\)

Vậy \(\Delta_1\) cắt \(\Delta_2 \).

c) \(\Delta_1\) đi qua \(M(-1;1;0)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=(4;3;1)\); \(\Delta_2\) đi qua \(N(1;3;1)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_2=(1;2;2)\).

Khi đó \(\overrightarrow{MN}=(2;2;1)\). Suy ra \(\left[\overrightarrow{u}_1,\overrightarrow{u}_2\right]\cdot\overrightarrow{MN}=-1\ne0.\)

Vậy \(\Delta_1\), \(\Delta_2 \) chéo nhau.

Các đường thẳng \(\Delta_{1}, \Delta_{2}\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{1}}=(2 ;-3 ;-1), \overrightarrow{u_{2}}=(1 ;-2 ; 8)\).

Do \(\overrightarrow{u_{1}}\cdot \overrightarrow{u_{2}}=2 \cdot 1+(-3) \cdot(-2)+(-1) \cdot 8=0\) nên \(\Delta_{1}\perp \Delta_{2}\).

Đường thẳng \(\Delta_{1}\) đi qua điểm \(A_{1}(1 ; 2 ;-1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{1}}=(1 ;-1 ; 2)\).

Đường thẳng \(\Delta_{2}\) đi qua điểm \(A_{2}(4 ;-1 ; 0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{2}}=(3 ; 1 ;-1)\).

Vì \(\overrightarrow{u_{1}}\cdot \overrightarrow{u_{2}}=1 \cdot 3+(-1) \cdot 1+2 \cdot(-1)=0\) nên \(\overrightarrow{u_{1}}\) vuông góc với \(\overrightarrow{u_{2}}\). Do đó \(\Delta_{1}\) vuông góc với \(\Delta_{2}\).

Ta có \(\overrightarrow{A_{1}A_{2}}=(3 ;-3 ; 1)\) và \(\left[\overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right]=(-1 ; 7 ; 4)\).

Do \(\overrightarrow{A_{1}A_{2}}\cdot\left[\overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right]=3 \cdot(-1)+(-3) \cdot 7+1 \cdot 4=-20 \neq 0\) nên \(\Delta_{1}\) và \(\Delta_{2}\) chéo nhau.

Đường thẳng \(\Delta_{1}\) đi qua \(A_{1}(1 ; 2 ;-1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{1}}=(-1 ; 1 ; 2)\). Đường thẳng \(\Delta_{2}\) đi qua \(A_{2}(-6 ; 5 ; 5)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{2}}=(1 ; 1 ; 2)\). Ta có \(\overrightarrow{A_{1}A_{2}}=(-7 ; 3 ; 6)\) và \(\left[\overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right]=(0 ; 4 ;-2)\).

Do \(\overrightarrow{A_{1}A_{2}}\cdot\left[\overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right]=(-7) \cdot 0+3 \cdot 4+6 \cdot(-2)=0\) và \(\left[\overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right] \neq \overrightarrow{0}\) nên hai đường thẳng \(\Delta_{1}\) và \(\Delta_{2}\) cắt nhau.

a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1;-1;-2)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(1;2;1)\), đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(M'(2;3;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}'=(2;4;2)\).

Ta có \(\overrightarrow{MM}'=(1;4;2)\), \(\left [\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}' \right ]=\overrightarrow{0}\), \(\left [\overrightarrow{a},\overrightarrow{MM}' \right ]=(0;-1;2)\ne\overrightarrow{0}\).

Vậy \(d\parallel d'\).

b) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1;2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(1;2;2)\), đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(M'(2;1;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}'=(1;5;1)\).

Ta có \(\overrightarrow{MM}'=(1;-1;-2)\), \(\left [\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}' \right ]=(-8;1;3)\ne \overrightarrow{0}\), \(\left [\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}' \right ]\cdot\overrightarrow{MM}'=-15\ne 0\).

Vậy \(d\) và \(d'\) chéo nhau.

a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( 1;2;1 \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=\left( 1;1;2 \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a'}=\left( 2;2;4 \right)=2\overrightarrow{a}\)

Thay toạ độ điểm \(M\) vào phương trình của \(d'\), ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}1=2+2t'\\2=5+2t'\\1=1+4t'\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t'=-\displaystyle\frac{1}{2}\\t'=-\displaystyle\frac{3}{2}\\t'=0\end{array}\right. \text{(vô nghiệm)}\)

Suy ra \(M\) không thuộc \(d'\). Vậy \(d \parallel d'\).

b) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( 1;2;1 \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=\left( 1;1;2 \right)\).

Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a'}=\left( 3;3;6\right)=3\overrightarrow{a}\).

Thay toạ độ điểm \(M\) vào phương trình của \({d}'\), ta được:

\(\displaystyle\frac{1-2}{3}=\displaystyle\frac{2-3}{3}=\displaystyle\frac{1-3}{6}.\)

Phương trình nghiệm đúng, suy ra \(M\) thuộc \(d'\). Vậy \(d \equiv d'\)

a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( 7;3;2 \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=\left( 4;-2;-2 \right)\), đường thẳng \({d}'\) đi qua điểm \({M}'\left( 3;5;4 \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a'}=\left( 2;-1;-1 \right)\).

Ta có \(\overrightarrow{MM'}=\left( -4;2;2 \right)\).

Ta có \(\overrightarrow{a'} =\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{a}=-\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{MM'}\), suy ra ba vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a’},\overrightarrow{MM'}\) cùng phương. Vậy \(d\equiv d'\).

b) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( 0;0;1 \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=\left( 3;3;4 \right)\), đường thẳng \({d}'\) đi qua điểm \({M}'\left( 2;9;5 \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a'}=\left( 3;3;4 \right)\). Ta có \(\overrightarrow{MM'}=\left( 2;9;4 \right)\).

Ta có \(\overrightarrow{a'} =\overrightarrow{a}\), suy ra \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a'}\) cùng phương và \(\displaystyle\frac{3}{2}\ne \displaystyle\frac{3}{9}\), suy ra \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{MM'}\) không cùng phương. Vậy \(d//d'\).

a) \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{a}=\left( 1;1;1 \right)\) và \(\overrightarrow{a’}=\left( 2;5;1 \right)\).

Ta có \(\displaystyle\frac{1}{2}\ne \displaystyle\frac{1}{5}\), suy ra \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{a’}\) không cùng phương. Vậy \(d\) và \({d}'\) hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.\\

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}t=1+2{t}'\\ 1+t=2+5{t}'\\ 2+t=3+{t}' \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t-2{t}'=1 (1)\\t-5{t}'=1 (2)\\t-{t}'=1. (3) \end{array} \right. \)

Từ (1) và (2) suy ra \(t=1;t'=0\). Thay vào (3) ta thấy phương trình thoả mãn.

Vậy \(d\) cắt \(d'\) tại điểm \(M\left( 1;2;3 \right)\).

b) \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{a}=\left( 1;1;1 \right)\) và \(\overrightarrow{a’}=\left( 2;5;6 \right)\).

Ta có \(\displaystyle\frac{1}{2}\ne \displaystyle\frac{1}{5}\), suy ra \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{a’}\) không cùng phương. Vậy \(d\) và \(d'\) hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.\\

\({d}'\) có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x=1+2t’ \\y=2+5t’ \\z=9+6t’\end{array} \right.\)

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}1+t=1+2t’ \\2+t=2+5t’ \\3+t=9+6t’ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t-2t’=0 \\t-5t’=0 \\t-6t’=6 \end{array} \right. \)

Từ (1) và (2) suy ra \(t=0;t’=0\). Thay vào (3) ta thấy phương trình không thoả mãn \(\left( 0\ne 6 \right)\).

Vậy \(d\) và \(d’\) chéo nhau.

a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1;2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(2;1;1)\), đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(M'(3;3;4)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}'=(4;2;2)\).

Ta có \(\overrightarrow{MM}'=(2;1;1)\), \(\left [\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}' \right ]=\overrightarrow{0}\), \(\left [\overrightarrow{a},\overrightarrow{MM}' \right ]=\overrightarrow{0}\), suy ra ba vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{a}'\), \(\overrightarrow{MM}'\) cùng phương. Vậy \(d\equiv d'\).

b) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(-1;2;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(3;2;1)\), đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(M'(4;4;2)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}'=(9;6;3)\).

Ta có \(\overrightarrow{MM}'=(5;2;2)\), \(\left [\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}' \right ]=\overrightarrow{0}\), \(\left [\overrightarrow{a},\overrightarrow{MM}' \right ]=(2;-1;-4)\ne\overrightarrow{0}\). Vậy \(d\parallel d'\).

c) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1;2;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(-1;1;-2)\), đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(M'(3;0;4)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}'=(2;3;4)\).

Ta có \(\overrightarrow{MM}'=(2;-2;4)\), \(\left [\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}' \right ]=(10;0;-5)\ne \overrightarrow{0}\), \(\left [\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}' \right ]\cdot\overrightarrow{MM}'=0\). Vậy \(d\) và \(d'\) cắt nhau.

d) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1;2;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(2;3;2)\), đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(M'(1;2;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}'=(-1;1;-2)\).

Ta có \(\overrightarrow{MM}'=(0;0;-1)\), \(\left [\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}' \right ]=(-8;2;5)\ne\overrightarrow{0}\), \(\left [\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}' \right ]\cdot\overrightarrow{MM}'=-5\ne 0\). Vậy \(d\) và \(d'\) chéo nhau.

a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(0;1;2)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(2;-1;-3)\), đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(M'(2;0;-1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}'=(4;7;11)\).

Ta có \(\overrightarrow{MM}'=(2;-1;-3)\), \(\left [\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}' \right ]=(10;-34;18)\ne\overrightarrow{0}\), \(\left [\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}' \right ]\cdot\overrightarrow{MM}'=0\).

Vậy \(d\) và \(d'\) cắt nhau

b) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(4;1;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(1;2;2)\), đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(M'(2;1;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}'=(3;2;9)\).

Ta có \(\overrightarrow{MM}'=(-2;0;0)\), \(\left [\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}' \right ]=(14;-3;-4)\ne\overrightarrow{0}\), \(\left [\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}' \right ]\cdot\overrightarrow{MM}'=-28\ne 0\).

Vậy \(d\) và \(d'\) chéo nhau.

a) Đường thẳng \(\Delta_1\) đi qua điểm \(M_1(1;2;3)\) và có \(\overrightarrow{u}_1=(5;-1;2)\) là véc-tơ chỉ phương. Đường thẳng \(\Delta_2\) đi qua điểm \(M_2(2;4;1)\) và có \(\overrightarrow{u}_2=(10;-2;4)\) là véc-tơ chỉ phương.

Ta có: \(2 \overrightarrow{u}_1=(10;-2;4)=\overrightarrow{u}_2\), suy ra \(\overrightarrow{u}_1, \overrightarrow{u}_2\) cùng phương; \(\overrightarrow{M_1 M_2}=(1 ; 2 ;-2)\) và \(\displaystyle\frac{1}{5} \neq \displaystyle\frac{2}{-1}\) nên \(\overrightarrow{u}_1, \overrightarrow{M_1 M_2}\) không cùng phương.

Vậy \(\Delta_1\parallel \Delta_2\).

b) Đường thẳng \(\Delta_1\) đi qua điểm \(M_1(2;3;-4)\) và có \(\overrightarrow{u}_1=(3;2;1)\) là véc-tơ chỉ phương. Đường thẳng \(\Delta_2\) đi qua điểm \(M_2(-2;1;2)\) và có \(\overrightarrow{u}_2=(2;1;-3)\) là véc-tơ chỉ phương.

Ta có \(\displaystyle\frac{2}{3} \neq \displaystyle\frac{1}{2}\), suy ra \(\overrightarrow{u}_1, \overrightarrow{u}_2\) không cùng phương;

\(\overrightarrow{M_1 M_2}=(-4 ;-2 ; 6),\left[\overrightarrow{u}_1, \overrightarrow{u}_2\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\1 & -3\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{cc}1 & 3 \\-3 & 2\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{cc}3 & 2 \\2 & 1\end{array}\right|\right)=(-7 ; 11 ;-1).\)

Do \(\left[\overrightarrow{u}_1, \overrightarrow{u}_2\right] \cdot \overrightarrow{M_1 M_2}=(-7) \cdot(-4)+11 \cdot(-2)+(-1) \cdot 6=0\) nên \(\overrightarrow{u}_1, \overrightarrow{u}_2, \overrightarrow{M_1 M_2}\) đồng phẳng.

Vậy \(\Delta_1\) cắt \(\Delta_2\).

c) Đường thẳng \(\Delta_1\) đi qua điểm \(M_1(-3;1;2)\) và có \(\overrightarrow{u}_1=(1;-1;2)\) là véc-tơ chỉ phương. Đường thẳng \(\Delta_2\) đi qua điểm \(M_2(6;8;-1)\) và có \(\overrightarrow{u}_2=(3;2;-1)\) là véc-tơ chỉ phương. Ta có

\(\overrightarrow{M_1 M_2}=(9 ; 7 ;-3),\left[\overrightarrow{u}_1, \overrightarrow{u}_2\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-1 & 2 \\2 & -1\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\-1 & 3\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{cc}1 & -1 \\3 & 2\end{array}\right|\right)=(-3;7;5).\)

Do \(\left[\overrightarrow{u}_1, \overrightarrow{u}_2\right] \cdot \overrightarrow{M_1 M_2}=(-3) \cdot 9+7 \cdot 7+5 \cdot(-3)=7 \neq 0\) nên \(\overrightarrow{u}_1, \overrightarrow{u}_2, \overrightarrow{M_1 M_2}\) không đồng phằng.

Vậy \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) chéo nhau.

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(0;1;1)\). Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(0;0;1)\).

Ta có \(\sin (d,(P))=\displaystyle\frac{\left |0\cdot 0+1\cdot 0+1\cdot 1 \right |}{\sqrt{0^2+1^2+1^2}\cdot\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Suy ra \((d,(P))=45^{\circ}\).

\(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{a}=(2;1;-1)\) và \(\overrightarrow{a}'=(3;3;9)\).

Ta có \(\cos (d,d')=\displaystyle\frac{\left |2\cdot 3+1\cdot 3+(-1)\cdot 9 \right |}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{3^2+3^2+9^2}}=0\).

Suy ra \((d,d')=90^{\circ}\).

\(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{a}=(1;0;0)\) và \(\overrightarrow{a}'=(0;0;3)\).

Ta có \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}'=1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 3=0\). Vậy \(d\) và \(d'\) vuông góc với nhau.

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(0;0;50)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(0;0;1)\), đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(M'(20;0;50)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}'=(0;1;0)\).

Ta có \(\overrightarrow{MM}'=(20;0;0)\), \(\left [\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}' \right ]=(-1;0;0)\ne\overrightarrow{0}\), \(\left [\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}' \right ]\cdot\overrightarrow{MM}'=-20\ne 0\).

Vậy \(d\) và \(d'\) chéo nhau.

a) \(a\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{m}=(0;0;3)\) và \(b\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{n}=(4;2;0)\).

Ta có \(\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=0\cdot 4+0\cdot 2+3\cdot 0=0\).

Do đó \(\overrightarrow{m}\perp\overrightarrow{n}\) hay \(a\perp b\).

b) Gọi \(M\) là giao điểm của \(a\) và \(b\), ta có \(\begin{cases} M\in a\\M\in b \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} M(1;2;3t)\\M(1+4t';2+2t';6)\end{cases}\).

Khi đó ta có \(\begin{cases} 1=1+4t'\\2=2+2t'\\3t=6\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} t=2\\t'=0 \end{cases}\Rightarrow M(1;2;6).\)

Vậy giao điểm của \(a\) và \(b\) là \(M(1;2;6)\).

Đường thẳng \(MN\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{MN}=(0;1;0)\) nên có phương trình tham số là \(\begin{cases} x=3\\y=3+t\\z=1{,}5.\end{cases}\)

a) Phương trình chính tắc của đường cáp là \(\displaystyle\frac{x-10}{2}=\displaystyle\frac{y-3}{-2}=\displaystyle\frac{z}{1}\).

b) Do tốc độ chuyển động của cabin là \(4{,}5\) m/s nên độ dài \(AM=4{,}5t\) (m).

Vì vậy \(\left|\overrightarrow{AM}\right|=4{,}5t\) (\(t\ge0\)).

Do hai véc-tơ \(\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{u}\) là cùng hướng nên \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{u}\) với \(k\) là số thực dương nào đó.

Suy ra \(\left|\overrightarrow{AM}\right|=k\left|\overrightarrow{u}\right|=k\cdot\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3k\). Do đó \(3k=4{,}5t\Leftrightarrow k=\displaystyle\frac{3t}{2}\).

Vì thế, ta có \(\overrightarrow{AM}=\displaystyle\frac{3t}{2}\overrightarrow{u}=\left(3t;-3t;\displaystyle\frac{3t}{2}\right)\).

Gọi tọa độ của điểm \(M\) là \((x_M;y_M;z_M)\).

Do \(\overrightarrow{AM}=(x_M-x_A;y_M-y_A;z_M-z_A)=\left(3t;-3t;\displaystyle\frac{3t}{2}\right)\) nên \(\begin{cases}=x_M=3t+x_A\\=y_M=-3t+y_A\\=z_M=\displaystyle\frac{3t}{2}+z_A\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}=x_M=3t+10\\=y_M=-3t+3\\=z_M=\displaystyle\frac{3t}{2}.\end{cases}\)\\

Vậy điểm \(M\) có tọa độ là \(\left(3t+10;-3t+3;\displaystyle\frac{3t}{2}\right)\).

c) Do \(x_B=550\) nên \(3t+10=550\), tức là \(t=180\) (s). Do đó, ta có điểm \(B(550;-537;270)\).

Vậy \(AB=\sqrt{(550-10)^2+(-537-3)^2+(270-0)^2}=\sqrt{656100}=810\) (m).

d) Đường thẳng \(AB\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(2;-2;1)\) và mặt phẳng \((Oxy)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{k}=(0;0;1)\). Do đó, ta có

\(\sin\left(\Delta,(Oxy)\right)=\left|\cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k}\right)\right|=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{k}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{k}\right|}=\displaystyle\frac{1}{3\cdot1}=\displaystyle\frac{1}{3}.\)

Vậy \(\left(\Delta,(Oxy)\right)\approx 19^\circ\).

a) Do điểm \(C(0;0;5)\) nên \begin{center}

\(AC=\sqrt{(3-0)^2+(-4-0)^2+(2-5)^2}=\sqrt{24}\) (m);

\(BC=\sqrt{(-5-0)^2+(-2-0)^2+(1-5)^2}=3\sqrt{5}\) (m).

\end{center}

b) Ta có \(\overrightarrow{OA}=(3;-4;2)\), \(\overrightarrow{OB}=(-5;-2;1)\) nên

\(\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right]=\left( \left| \begin{matrix}-4 & 2 \\-2 & 1\\\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix}2 & 3\\1 & -5\\\end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix}3 & -4\\-5& -2\\\end{matrix} \right| \right)=(0;-13;-26).\)

Vì thế véc-tơ \(\overrightarrow{n}=(0;1;2)\) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((OAB)\).

Mặt khác, do \(\overrightarrow{CA}=(3;-4;-3)\), \(\overrightarrow{BC}=(5;2;4)\) nên ta có

\(\sin\left(CA,(OAB)\right)=\left|\cos\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{n}\right)\right|=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{CA}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}\right|}=\displaystyle\frac{\left|3\cdot0+(-4)\cdot1+(-3)\cdot2\right|}{\sqrt{34}\cdot\sqrt{5}}=\displaystyle\frac{10}{\sqrt{170}}\),

suy ra \(\left(CA,(OAB)\right)\approx 50^\circ\).

Vậy góc tạo bởi dây neo \(CA\) và mặt phẳng sườn núi là khoảng \(50^\circ\).

\(\sin\left(BC,(OAB)\right)=\left|\cos\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{n}\right)\right|=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{BC}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}\right|}=\displaystyle\frac{\left|5\cdot0+2\cdot1+4\cdot2\right|}{3\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\displaystyle\frac{2}{3}\),\\

suy ra \(\left(BC,(OAB)\right)\approx 42^\circ\).

Vậy góc tạo bởi dây neo \(BC\) và mặt phẳng sườn núi là khoảng \(42^\circ\).